1 量子信息

本段是整个章节的引言，起到了承上启下的作用。

• 承上：它首先回顾了之前课程的内容，即“单系统”的量子信息。这提示我们，理解本章内容需要具备单系统量子力学的基础知识。在单系统中，我们学习了如何用一个量子态向量（或称为波函数）来描述一个孤立的量子系统（比如一个比特），以及如何通过酉运算来描述它的演化，如何通过测量来获取其信息。

• 启下：接着，本段明确了本章的核心主题——“多系统背景下的量子信息”。这意味着我们将从描述一个独立的粒子，转向描述两个、三个或更多相互关联的粒子组成的复合系统。这是量子计算和量子通信等领域的核心基础，因为这些技术几乎总是涉及多个量子比特的相互作用。

• 核心类比：本段提出了一个非常重要的学习方法——将多系统的量子信息与“概率论”进行类比。在经典概率论中，当我们处理多个随机变量时（例如，同时掷两个骰子），我们会使用联合概率分布来描述整个系统。描述两个独立骰子的状态，可以通过将它们各自的概率分布相乘得到。如果两个骰子有关联（例如，一个骰子的结果会影响另一个），那么它们的联合概率分布就不能简单地分解为两个独立分布的乘积。本段暗示，多系统量子力学的数学工具（如张量积）和概念（如纠缠）与概率论中的联合分布和相关性有着深刻的对应关系。这个类比可以极大地帮助我们理解后续的抽象概念。

这一段定义了多量子系统的状态如何用数学语言来描述。

1. 核心思想：“复合系统”。段落开宗明义，指出多个独立的量子系统（例如，两个量子比特）可以被看作一个单一的、更大的系统，称为复合系统。这是处理多体问题的基本视角转换。我们不再孤立地看每个部分，而是将它们作为一个整体来分析。
2. 类比再次出现。它再次强调了与概率论的相似性。在概率论中，如果我们有两个随机事件 A 和 B（比如掷两个骰子），它们的联合结果空间是各自结果空间的笛卡尔积。例如，骰子A的结果空间是 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，骰子B也是，那么联合系统的结果空间就是 $\{(1,1), (1,2), ..., (6,6)\}$，共有 $6 \times 6 = 36$ 种可能。量子世界也遵循同样的逻辑来构建状态空间。
3. 量子态的数学表示。段落的核心定义来了：
   • 表示方式：和单系统一样，多系统的量子态也用一个列向量来表示。
   • 向量的元素：这些向量的条目（元素）是复数。这是量子力学区别于经典概率论的关键特征，复数允许“相位”的存在，从而引出干涉等现象。
   • 归一化条件：向量的欧几里得范数必须等于 $1$。欧几里得范数的平方代表了所有可能测量结果的概率之和，根据概率公理，总概率必须为 $1$。这个条件保证了概率的守恒。
4. 向量的维度和基底。这是最关键的一点。这个列向量的维度（即它有多少个元素）是多少？它的每个元素又对应什么呢？
   • 古典状态集：首先，每个子系统都有自己的一组“古典状态”。对于一个量子比特，其古典状态集是 $\{0, 1\}$。
   • 笛卡尔积：复合系统的古典状态集是其所有子系统古典状态集的笛卡尔积。例如，两个量子比特（系统X和系统Y）的复合系统，其古典状态集是 $\{0,1\}_{\mathsf{X}} \times \{0,1\}_{\mathsf{Y}} = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$。
   • 向量条目与基底的对应：因此，描述这两个量子比特的量子态向量将有 $2 \times 2 = 4$ 个条目（维度为4）。这四个条目分别对应于四个标准基矢 $\vert 00 \rangle, \vert 01 \rangle, \vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle$。向量中的第一个元素是量子态在 $\vert 00 \rangle$ 这个基底上的概率幅，第二个元素是在 $\vert 01 \rangle$ 上的概率幅，以此类推。

这一段通过具体的例子，将上一段的抽象定义实例化，展示了双量子比特系统的量子态向量的具体形式。

1. 具体系统：双量子比特。例子选用最基础也最重要的多体系统：两个量子比特，分别记为 $\mathsf{X}$ 和 $\mathsf{Y}$。
2. 构建古典状态集。按照上一段的规则，复合系统 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ 的古典状态集是各自古典状态集的笛卡尔积。
   • $\mathsf{X}$ 的古典状态集：$\{0, 1\}$
   • $\mathsf{Y}$ 的古典状态集：$\{0, 1\}$
   • 笛卡尔积：$\{0,1\} \times \{0,1\} = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$。这是一个由有序对组成的集合。
3. 符号简化。为了书写方便，物理学和量子计算中通常会将有序对 $(a, b)$ 直接写成字符串 $ab$。所以，集合 $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$ 就被方便地记为 $\{00, 01, 10, 11\}$。这纯粹是一种记法上的简化，但非常通用。
4. 量子态向量示例。基于这个四元素的状态集，一个双比特系统的任意量子态都是这四个标准基矢 $\vert 00 \rangle, \vert 01 \rangle, \vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle$ 的线性组合。
   • 量子态 $\vert \psi \rangle = \alpha_{00}\vert 00 \rangle + \alpha_{01}\vert 01 \rangle + \alpha_{10}\vert 10 \rangle + \alpha_{11}\vert 11 \rangle$
   • 其中 $\alpha_{ab}$ 是复数概率幅，并且满足归一化条件 $\sum_{a,b \in \{0,1\}} |\alpha_{ab}|^2 = 1$。
5. 分析三个例子：
   • 第一个例子: $\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle$
   • 这是一个包含了所有四个基矢的通用叠加态。
   • 我们来验证它的归一化：
   • 这是一个合法的量子态向量。注意，系数 $\frac{i}{\sqrt{6}}$ 是一个纯虚数，这在量子力学中是完全允许且常见的。

• 第二个例子: $\frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle$
• 这是一个只包含两个基矢 $\vert 00 \rangle$ 和 $\vert 11 \rangle$ 的叠加态。这意味着测量时，结果只可能是 $00$ 或 $11$，不可能是 $01$ 或 $10$。
• 验证归一化：$|\frac{3}{5}|^2 + |-\frac{4}{5}|^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$。
• 这是一个合法的量子态向量。这种形式的量子态（特别是系数为 $1/\sqrt{2}$ 时）与著名的贝尔态或EPR对密切相关，是量子纠缠的典型代表。

• 第三个例子: $\vert 01 \rangle$
• 这看起来最简单，它实际上是 $\vert \psi \rangle = 0\cdot\vert 00 \rangle + 1\cdot\vert 01 \rangle + 0\cdot\vert 10 \rangle + 0\cdot\vert 11 \rangle$ 的简写。
• 这个状态不是一个叠加态，它是一个确定的标准基态。如果我们测量这个系统，结果将以 100% 的概率是 $01$。这意味着第一个量子比特 $\mathsf{X}$ 处于状态 $\vert 0 \rangle$，第二个量子比特 $\mathsf{Y}$ 处于状态 $\vert 1 \rangle$。
• 验证归一化：$|1|^2 = 1$。这也是一个合法的量子态向量。

这一部分主要介绍记法（Notation）的多样性。同一个物理状态可以用几种等价的数学符号来表示，熟悉这些不同的写法对于阅读文献和理解不同上下文中的公式至关重要。

1. 核心关系：$\vert ab \rangle = \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle$

这是理解所有这些记法的基础。一个复合系统的标准基矢（如 $\vert ab \rangle$）可以被看作是其各个子系统标准基矢（$\vert a \rangle$ 和 $\vert b \rangle$）的张量积 (Tensor Product)。

1. 第一种写法：并列 ket
   • 写法: $\vert a \rangle \vert b \rangle$
   • 解释: 这是最简洁的写法之一。直接将两个子系统的 ket 向量并排放在一起。例如，$\vert 0 \rangle \vert 0 \rangle$ 就代表 $\vert 00 \rangle$。这种写法默认了顺序，第一个 ket 对应第一个子系统，第二个 ket 对应第二个子系统。
   • 优点: 简洁，书写快速。
   • 缺点: 在复杂的表达式中，可能会与普通的乘法混淆，或者不清楚 ket 之间的界限。
2. 第二种写法：显式张量积符号
   • 写法: $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle$
   • 解释: 这是最数学上最严谨、最明确的写法。它清楚地表明我们正在执行张量积操作。张量积是一种特殊的数学运算，用于将两个向量空间合并成一个更大的向量空间。例如，将两个2维的量子比特空间合并成一个4维的双比特空间。
   • 优点: 毫无歧义，数学上最清晰。
   • 缺点: 符号 $\otimes$ 比较繁琐，在长表达式中会占用很多空间。
3. 第三种写法：带下标的 ket
   • 写法: $\vert a \rangle_{\mathsf{X}} \vert b \rangle_{\mathsf{Y}}$
   • 解释: 这种写法在 ket 向量的右下角添加了下标，明确指出这个 ket 属于哪个子系统。例如，$\vert 0 \rangle_{\mathsf{X}}$ 表示系统 $\mathsf{X}$ 处于状态 $\vert 0 \rangle$。
   • 优点: 在处理多个（超过两个）或不同类型的子系统时，或者当子系统的顺序需要灵活调整时，这种方法极其有用。它能有效避免混淆，清楚地追踪每个子系统的状态。例如，在 $\vert 1 \rangle_{\mathsf{Z}} \vert 0 \rangle_{\mathsf{X}} \vert 1 \rangle_{\mathsf{Y}}$ 中，我们能清楚地知道哪个状态属于哪个系统，即使它们的顺序不是标准的 $\mathsf{X, Y, Z}$。
   • 缺点: 也是最繁琐的一种写法。

这一小节介绍了第四种，也是最“底层”的表示方法：列向量 (Column Vector) 表示法。

1. 从狄拉克符号到列向量的转换
   • 前面我们使用的 $\vert \psi \rangle = \alpha_{00}\vert 00 \rangle + \alpha_{01}\vert 01 \rangle + \alpha_{10}\vert 10 \rangle + \alpha_{11}\vert 11 \rangle$ 是在狄拉克符号下的抽象表示。
   • 要将其转换为具体的列向量，我们需要首先确定一个基底的顺序。在量子计算中，这个顺序通常是字典序 (lexicographical order) 或二进制递增顺序，即：$\vert 00 \rangle, \vert 01 \rangle, \vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle$。
   • 一旦顺序确定，这个量子态就可以表示为一个列向量，其中第 $k$ 个元素就是量子态在第 $k$ 个基矢上的概率幅。
   • $\vert 00 \rangle$ 对应于向量 $(1, 0, 0, 0)^T$
   • $\vert 01 \rangle$ 对应于向量 $(0, 1, 0, 0)^T$
   • $\vert 10 \rangle$ 对应于向量 $(0, 0, 1, 0)^T$
   • $\vert 11 \rangle$ 对应于向量 $(0, 0, 0, 1)^T$
2. 具体例子分析
   • 原文状态: $\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle$
   • 对应概率幅:
   • $\alpha_{00} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
   • $\alpha_{01} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$
   • $\alpha_{10} = \frac{i}{\sqrt{6}}$
   • $\alpha_{11} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
   • 将这些概率幅按顺序填入一个列向量，就得到了文中的表示：
3. 表示法的选择
   • 该段最后总结，所有这些表示法（紧凑的 $\vert ab \rangle$，展开的 $\vert a \rangle \vert b \rangle$，带 $\otimes$ 的，带下标的，以及这里的列向量）都是等价的。
   • 狄拉克符号（如 $\vert \psi \rangle, \vert 01 \rangle$）在进行理论推导和符号运算时非常方便和优雅。
   • 列向量表示法在进行具体的数值计算、编程实现（例如在 Python 中用 NumPy 数组表示）或者与矩阵（代表量子门）进行乘法运算时是必不可少的。
   • 选择哪种表示法取决于具体的任务和上下文。

这一段正式引入了构建多系统量子态的核心数学工具——张量积 (Tensor Product)，并阐明了其物理意义——独立性。

1. 类比先行：段落再次使用与经典概率论的类比。在概率论中，如果两个随机事件是独立的，那么它们的联合概率等于它们各自边缘概率的乘积。例如，独立地掷两个硬币，得到“第一个正面且第二个反面”的概率是 $P(\text{正}) \times P(\text{n}) = 1/2 \times 1/2 = 1/4$。张量积在量子力学中扮演了经典概率中“乘法”的角色，用于组合独立的系统。
2. 定义乘积态 (Product State)：
   • 输入: 两个独立的量子态。假设系统 $\mathsf{X}$ 的状态是 $\vert \phi \rangle$，系统 $\mathsf{Y}$ 的状态是 $\vert \psi \rangle$。
   • 操作: 对这两个量子态向量进行张量积运算，记作 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$。
   • 输出: 得到的结果是一个新的、更高维度的量子态向量。这个向量描述了复合系统 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ 的状态。
   • 命名: 凡是能写成两个（或多个）子系统量子态的张量积形式的复合系统量子态，都被称为乘积态。
3. 物理意义：独立性
   • 这是本段最重要的概念。一个乘积态 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ 的物理含义是：系统 $\mathsf{X}$ 和系统 $\mathsf{Y}$ 是完全独立的，它们之间没有任何关联 (correlation) 或纠缠 (entanglement)。
   • “独立”意味着，对系统 $\mathsf{X}$ 进行的任何操作或测量，其结果完全不会影响系统 $\mathsf{Y}$ 的状态，反之亦然。你可以完全独立地、分别地描述这两个系统，就好像它们在两个不同的宇宙一样。
   • 这是一个非常直观且符合经典思维的场景。
4. 符号约定：再次提醒了张量积的几种等价记法：
   • 最明确的：$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$
   • 最常见的简洁写法：$\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ (直接并列)
   • 有时也用：$\vert \phi \otimes \psi \rangle$ (将张量积符号放入ket内部)

这一段提供了一个关键的数学证明：为什么两个合法的量子态向量（范数为1）经过张量积运算后，得到的向量仍然是一个合法的量子态向量（范数也为1）。这保证了我们的理论是自洽的。

1. 待证明的命题：如果 $\vert \phi \rangle$ 和 $\vert \psi \rangle$ 都是量子态向量，那么 $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ 也是一个量子态向量。
2. 证明思路：要证明一个向量是量子态向量，就是要证明它的欧几里得范数等于1。所以，本段的目标就是计算 $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\|$ 并证明其结果为1。
3. 核心性质：范数的乘性。整个证明依赖于欧几里得范数对于张量积操作具有一个很好的性质，即乘性 (multiplicativity): $\|\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|$。本段的公式推导过程实际上就是在证明这个乘性。

这一段将前面关于两个系统张量积的结论，推广到了任意 $n$ 个系统的情况。

1. 从2到n的推广：逻辑是直接的。如果两个可以，那么三个也可以（先把前两个张量积的结果看成一个整体，再和第三个做张量积），以此类推，可以推广到任意 $n$ 个系统。
2. $n$系统乘积态的定义：
   • 输入: $n$ 个独立的量子系统 $\mathsf{X}_0, \mathsf{X}_1, \ldots, \mathsf{X}_{n-1}$，它们各自的量子态分别是 $\vert \psi_0 \rangle, \vert \psi_1 \rangle, \ldots, \vert \psi_{n-1} \rangle$。
   • 操作: 将这 $n$ 个量子态向量全部张量积起来。
   • 输出: 得到一个更高维度的量子态 $\vert \Psi \rangle = \vert \psi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \psi_1 \rangle \otimes \vert \psi_0 \rangle$。这个状态描述了由 $n$ 个子系统构成的复合系统 $(\mathsf{X}_{n-1}, \ldots, \mathsf{X}_0)$。
   • 注意顺序: 文中采用了从右到左的顺序 $\vert \psi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \psi_0 \rangle$，这在量子计算中是一种常见的约定，对应于基矢 $\vert x_{n-1} \dots x_0 \rangle$ 的记法。最重要的不是顺序本身，而是在一个计算中保持一致性。
3. 合法性证明：
   • 这个推广后的乘积态是否仍然是合法的量子态？是的。
   • 证明方法就是利用上一段证明的范数乘性，并将其链式应用。
   • $\|\vert \psi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \psi_0 \rangle\| = \|\vert \psi_{n-1} \rangle\| \cdot \|\vert \psi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \psi_0 \rangle\|$
   • 持续展开，最终得到所有子系统范数的连乘积：$\|\vert \psi_{n-1} \rangle\| \cdot \|\vert \psi_{n-2} \rangle\| \cdots \|\vert \psi_0 \rangle\|$。
   • 由于每个子系统都是合法的量子态，所以 $\|\vert \psi_i \rangle\| = 1$ for all $i$。
   • 因此，最终结果是 $n$ 个1相乘，即 $1^n = 1$。
   • 结论：$n$ 个合法量子态的张量积依然是一个合法的量子态。

这一段引入了量子力学中最核心、最反直觉的概念之一：纠缠态 (Entangled State)。

1. 引出核心概念：段落以一个否定句开头，直接点明主题：“并非所有多系统的量子态向量都是乘积态。” 这句话宣告了“独立性”不是多量子系统的唯一存在方式。存在着一种无法用子系统独立状态来描述的、更深刻的内在关联。
2. 给出典型例子：为了说明这一点，文章立刻给出了量子纠缠最著名的“海报模型”——贝尔态之一 $\vert \phi^+ \rangle$。

这个状态的直观含义是：系统处于“两个量子比特都是0”和“两个量子比特都是1”的等概率叠加中。你不知道它们到底是0还是1，但在测量之前，它们的状态是完美同步的。

1. 定义纠缠态：一个纠缠态就是一个不能被写成其子系统量子态张量积形式的复合系统量子态。也就是说，对于状态 $\vert \Psi \rangle_{\text{entangled}}$，不存在任何 $\vert \phi \rangle$ 和 $\vert \psi \rangle$ 使得 $\vert \Psi \rangle_{\text{entangled}} = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$。
2. 证明方法：反证法。如何证明给定的状态 (1) 是纠缠态？文章提出了使用反证法 (proof by contradiction)。
   • 假设: 首先，我们假设状态 (1) 是一个乘积态。
   • 目标: 基于这个假设进行推导，如果最终导出了一个逻辑上的矛盾，那么我们最初的假设就是错误的。从而证明状态 (1) 不是一个乘积态，因此它必须是纠缠态。
   • 具体假设: 假设存在两个单比特量子态 $\vert \phi \rangle = \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle$ 和 $\vert \psi \rangle = \gamma \vert 0 \rangle + \delta \vert 1 \rangle$，使得它们的张量积等于状态 (1)。

这一段详细展开了上一段提出的反证法的数学步骤。

1. 第一步：分析系数为0的项
   • 在我们的假设 $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle$ 中，基矢 $\vert 01 \rangle$ 的系数（概率幅）是0。
   • 我们知道，$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle$ 在基矢 $\vert 01 \rangle$ 上的概率幅是 $\langle 01 \vert (\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle)$。
   • 利用张量积的性质，这个概率幅可以分解为 $\langle 0 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle$。
   • 所以，我们得到了第一个关键方程：$\langle 0 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle = 0$。
2. 第二步：从方程中得出推论
   • 如果两个复数的乘积为0，那么至少其中一个必须为0。
   • 因此，从 $\langle 0 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle = 0$ 我们可以得出结论：要么 $\langle 0 \vert \phi \rangle = 0$，要么 $\langle 1 \vert \psi \rangle = 0$。
   • $\langle 0 \vert \phi \rangle$ 是单比特状态 $\vert \phi \rangle$ 在 $\vert 0 \rangle$ 基上的概率幅。
   • $\langle 1 \vert \psi \rangle$ 是单比特状态 $\vert \psi \rangle$ 在 $\vert 1 \rangle$ 基上的概率幅。
3. 第三步：分析系数不为0的项，寻找矛盾
   • 现在我们来看假设中系数不为0的项。
   • 对于 $\vert 00 \rangle$ 项：其系数是 $1/\sqrt{2}$。
   • 这个系数等于 $\langle 00 \vert (\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle) = \langle 0 \vert \phi \rangle \langle 0 \vert \psi \rangle$。
   • 所以我们有第二个方程：$\langle 0 \vert \phi \rangle \langle 0 \vert \psi \rangle = 1/\sqrt{2}$。
   • 这个方程告诉我们，$\langle 0 \vert \phi \rangle$ 和 $\langle 0 \vert \psi \rangle$ 都不能为0。
   • 对于 $\vert 11 \rangle$ 项：其系数也是 $1/\sqrt{2}$。
   • 这个系数等于 $\langle 11 \vert (\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle) = \langle 1 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle$。
   • 所以我们有第三个方程：$\langle 1 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle = 1/\sqrt{2}$。
   • 这个方程告诉我们，$\langle 1 \vert \phi \rangle$ 和 $\langle 1 \vert \psi \rangle$ 都不能为0。
4. 第四步：发现矛盾
   • 从第二步，我们知道必须有 $\langle 0 \vert \phi \rangle = 0$ 或 $\langle 1 \vert \psi \rangle = 0$。
   • 情况A: 如果 $\langle 0 \vert \phi \rangle = 0$，那么第二个方程就变成了 $0 \cdot \langle 0 \vert \psi \rangle = 1/\sqrt{2}$，即 $0 = 1/\sqrt{2}$。矛盾！
   • 情况B: 如果 $\langle 1 \vert \psi \rangle = 0$，我们来看第三个方程。它告诉我们 $\langle 1 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle$ 必须是 $1/\sqrt{2}$ (非零)。但是如果我们假设 $\vert\phi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ 和 $\vert\psi\rangle = \gamma|0\rangle + \delta|1\rangle$，那么 $\langle 1|\psi\rangle = \delta$。那么 $\delta=0$。
   • 同时，从第一个方程 $\langle 0 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle = \alpha \delta = 0$ 推不出矛盾。
   • 但是从第三个方程 $\langle 1 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle = \beta \delta = 1/\sqrt{2}$ 推出矛盾，因为 $\delta=0$ 蕴含了 $\beta \delta = 0$。
   • 原文的论证方式是：
   • 从 $\langle 0 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle=0$ 得出 $\langle 0 \vert \phi \rangle=0$ 或 $\langle 1 \vert \psi \rangle=0$。
   • $\langle 0 \vert \phi \rangle \langle 0 \vert \psi \rangle = 1/\sqrt{2}$ 说明 $\langle 0 \vert \phi \rangle \neq 0$。
   • $\langle 1 \vert \phi \rangle \langle 1 \vert \psi \rangle = 1/\sqrt{2}$ 说明 $\langle 1 \vert \psi \rangle \neq 0$。
   • 这就产生了矛盾：我们既要求 $(\langle 0 \vert \phi \rangle=0 \text{ or } \langle 1 \vert \psi \rangle=0)$ 成立，又要求 $(\langle 0 \vert \phi \rangle \neq 0 \text{ and } \langle 1 \vert \psi \rangle \neq 0)$ 成立。这是不可能的。
5. 结论
   • 由于我们的初始假设“状态(1)是乘积态”导致了不可解决的逻辑矛盾，所以这个假设是错误的。
   • 因此，状态(1)不是乘积态，它是一个纠缠态。
   • 它代表了两个量子比特之间的一种深刻的、非经典的相关性。

这一段对前述的纠缠判据进行了泛化，指出其核心在于系数的“模式”，而非具体的数值。

1. 关键洞察：在前述的反证法中，我们推导出的矛盾是基于某些系数为0而另一些系数非0。例如，从 $\langle 01 | \Psi \rangle = 0$ 推出 $\langle 0|\phi \rangle=0$ 或 $\langle 1|\psi \rangle=0$；又从 $\langle 00 | \Psi \rangle \neq 0$ 和 $\langle 11 | \Psi \rangle \neq 0$ 推出它们都不能为0。

这个逻辑链条能够成立，完全不依赖于非零系数的具体值是 $1/\sqrt{2}$ 还是其他什么数。只要它们非零，矛盾就会出现。

1. 推广到一般形式：因此，任何形式为 $\alpha \vert 00 \rangle + \beta \vert 11 \rangle$ 的量子态，只要 $\alpha \neq 0$ 且 $\beta \neq 0$，它就必然是纠缠态。
   • 因为 $\vert 01 \rangle$ 和 $\vert 10 \rangle$ 的系数仍然是0，所以反证法的第一步（$\langle 0|\phi \rangle=0$ 或 $\langle 1|\psi \rangle=0$）依然成立。
   • 因为 $\vert 00 \rangle$ 和 $\vert 11 \rangle$ 的系数 $\alpha$ 和 $\beta$ 非零，所以反证法的第三步（导出 $\langle 0|\phi \rangle, \langle 0|\psi \rangle, \langle 1|\phi \rangle, \langle 1|\psi \rangle$ 均非零的部分）也依然成立。
   • 矛盾依然存在。
2. 新的例子：文章给出了一个新的例子来强化这个观点：

• 这是一个合法的量子态，因为 $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 1$。
• 在这个状态中，$\alpha = 3/5 \neq 0$ 且 $\beta = 4/5 \neq 0$。
• $\vert 01 \rangle$ 和 $\vert 10 \rangle$ 的系数为0。
• 因此，完全适用之前的论证，结论是：这个状态也是一个纠缠态，不是乘积态。
• 它与贝尔态的区别在于，测量时得到 $00$ 和 $11$ 的概率不再是相等的 $1/2$，而是分别为 $9/25$ 和 $16/25$。这种纠缠被称为非最大纠缠态 (non-maximally entangled state)，而贝尔态是最大纠缠态 (maximally entangled state)。

这一段对纠缠这个概念做了一个阶段性的总结和展望。

1. 纠缠的地位：第一句话就给纠缠定了性——它是“量子信息的一个典型特征”。这句话的潜台词是，纠缠是区分量子世界和经典世界的关键分水岭，是量子技术（计算、通信等）力量的核心源泉。没有纠缠，量子信息将失去其大部分的独特性和威力。
2. 复杂性的展望（挖坑）：第二句话提到了纠缠的复杂性，并指出了一个更高级的话题：对于混合态（有噪声的量子态）的纠缠。
   • 噪声量子态/混合态: 到目前为止，我们讨论的都是由量子态向量（ket向量 $\vert \psi \rangle$）描述的纯态 (pure state)。这是一种理想化的、没有与环境发生相互作用的完美量子态。在现实世界中，量子系统不可避免地会与环境相互作用，引入噪声，导致状态不再是纯粹的，而是一种多种可能性的“概率混合”，这种状态被称为混合态 (mixed state)。
   • 密度矩阵 (Density Matrix): 量子态向量不足以描述混合态，需要使用一个更通用的数学工具——密度矩阵 $\rho$。
   • 混合态的纠缠: 判断一个由密度矩阵描述的混合态是否纠缠，比判断纯态要复杂得多。例如，一个混合态可能既有经典的概率性关联，又有量子的纠缠关联，如何把它们区分开是一个难题（称为“可分性问题”）。
   • 课程预告: 这部分内容指明了学习路径，告诉读者这部分复杂内容将在后续的第三门课程中用密度矩阵的形式主义来处理。
3. 当前范围内的简化定义：第三句话给出了在本课程当前阶段（只考虑纯态）一个非常简洁明了的定义。
   • 对于纯态（量子态向量描述的状态）：纠缠 (entanglement) 和 相关性 (correlation) 是等价的。
   • 如何判断: 如果一个复合系统的纯态不是乘积态（即不可分离），那么它就是纠缠态（即有关联）。
   • “相关性”的含义: 在这里，“相关性”指的是一种非经典的、源于量子叠加的关联。只要两个子系统不是完全独立的（即状态不能因式分解），我们就称它们是相关的，也就是纠缠的。
   • 这个定义极大地简化了问题: 我们不需要区分不同类型的关联，只需要做一个二元判断：能分解成张量积吗？
   • 能 -> 乘积态（不纠缠，不相关）
   • 不能 -> 纠缠态（纠缠，相关）

在介绍了纠缠态之后，本段提供了一个“看起来复杂但实际上不是纠缠态”的乘积态反例，以加深对两者区别的理解。

1. 给出一个看似复杂的量子态：

• 这个状态包含了全部四个基矢，并且系数有正有负，还有虚数。从表面上看，它比之前的贝尔态更复杂，人们可能会猜测它也是纠缠态。
• 首先验证其合法性：$|1/2|^2 + |i/2|^2 + |-1/2|^2 + |-i/2|^2 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1$。它是一个合法的量子态。

1. 揭示其本质：它是一个乘积态。文章直接给出了答案：这个状态实际上可以被分解为两个单比特量子态的张量积。
2. 进行因式分解：
   • 目标: 找到两个单比特态 $\vert\phi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ 和 $\vert\psi\rangle = \gamma|0\rangle + \delta|1\rangle$，使得它们的张量积 $(\alpha\gamma, \alpha\delta, \beta\gamma, \beta\delta)^T$ 等于给定状态的系数 $(1/2, i/2, -1/2, -i/2)^T$。
   • 分解过程 (尝试): 我们可以尝试对表达式进行因式分解。
   • 这里我们提取了前两项的 $\vert 0 \rangle$ 和后两项的 $\vert 1 \rangle$ (注意符号变化)。
   • 我们发现括号里的项 $(\frac{1}{2}\vert 0 \rangle + \frac{i}{2}\vert 1 \rangle)$ 是公共的。
   • 这个分解结果还不是最终的，因为 $(\vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle)$ 和 $(\frac{1}{2}\vert 0 \rangle + \frac{i}{2}\vert 1 \rangle)$ 都不是归一化的量子态向量。
   • $\|\vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle\|^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2$。
   • $\|\frac{1}{2}\vert 0 \rangle + \frac{i}{2}\vert 1 \rangle\|^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/2$。
   • 重新分配系数以归一化: 我们可以将系数 $\sqrt{2}$ 和 $1/\sqrt{2}$ 在两个因子之间重新分配。
   • 现在，第一个因子是 $\vert - \rangle$ 态，范数为1。第二个因子 $\|\cdot\|^2 = (1/\sqrt{2})^2 + (1/\sqrt{2})^2 = 1$, 范数也为1。
   • 这就成功地将原状态分解成了两个合法的单比特量子态的张量积。
3. 结论: 因为该状态可以被写成乘积态的形式，所以根据定义，它不是纠缠的。

这一段正式且系统地介绍了四个最基本、最重要的双比特纠缠态——贝尔态 (Bell States)。

1. 引言：本段明确指出贝尔态是多比特量子态中的“重要例子”。它们之所以重要，是因为它们构成了双比特希尔伯特空间的一组标准正交基，并且是最大纠缠态，在量子通信（如量子隐形传态、超密编码）和量子计算中扮演着基石的角色。
2. 贝尔态的命名：为了纪念物理学家约翰·斯图尔特·贝尔 (John Stewart Bell)，他在1964年提出了著名的贝尔不等式，从理论上指明了如何实验性地检验量子力学的非定域性（即纠缠）与经典的定域实在论之间的区别。
3. 四个贝尔态的定义：
   • $\vert \phi^+ \rangle$: 有时被称为“同步态”。测量结果要么是 $00$，要么是 $11$，概率各为 $1/2$。两个比特的测量结果相同。
   • $\vert \phi^- \rangle$: 也是“同步态”，但 $\vert 11 \rangle$ 项有一个负号。测量结果仍然是 $00$ 或 $11$，概率各为 $1/2$。两个比特的测量结果相同。相位差会在干涉实验中体现出来。
   • $\vert \psi^+ \rangle$: 有时被称为“反同步态”。测量结果要么是 $01$，要么是 $10$，概率各为 $1/2$。两个比特的测量结果相反。
   • $\vert \psi^- \rangle$: 也是“反同步态”，但 $\vert 10 \rangle$ 项有一个负号。测量结果仍然是 $01$ 或 $10$，概率各为 $1/2$。两个比特的测量结果相反。这个态是一个自旋单态，在物理学中总角动量为零。
4. 共同特征：
   • 最大纠缠: 它们都只包含两个基矢，且两个基矢的概率幅的模都相等（都是 $1/\sqrt{2}$）。这意味着它们的纠缠度是最高的。
   • 归一化: 容易验证，所有四个态都是归一化的。例如，对于 $\vert \phi^- \rangle$，$|1/\sqrt{2}|^2 + |-1/\sqrt{2}|^2 = 1/2 + 1/2 = 1$。
   • 相关性:
   • $\phi$ 家族 ($\vert \phi^+\rangle, \vert \phi^-\rangle$): 测量结果总是相同的 (00 或 11)。
   • $\psi$ 家族 ($\vert \psi^+\rangle, \vert \psi^-\rangle$): 测量结果总是相反的 (01 或 10)。

这一段补充了贝尔态的命名来源，并强调了所有四个贝尔态都是纠缠态。

1. 命名来源:
   • 明确指出贝尔态是为了纪念物理学家约翰·贝尔 (John Bell)。
   • 标签提供了一个简短的人物介绍：约翰·贝尔 (1928-1990) 是对量子理论基础做出重要贡献的物理学家。他的主要贡献就是提出了贝尔不等式，将关于定域实在论和量子力学的哲学辩论转化为了一个可以通过实验验证的物理问题。后来的实验（如Aspect实验）结果违反了贝尔不等式，强有力地支持了量子力学的正确性，证实了量子纠缠这种非定域关联的真实存在。
2. 所有贝尔态都是纠缠态:
   • 文章指出，我们之前用来证明 $\vert\phi^+\rangle$ 是纠缠态的反证法逻辑，同样适用于其他三个贝尔态。
   • 论证过程:
   • 对于 $\vert\phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle - \vert 11 \rangle)$：它的 $\vert 01 \rangle$ 和 $\vert 10 \rangle$ 系数为0，而 $\vert 00 \rangle$ 和 $\vert 11 \rangle$ 系数非零。与 $\vert\phi^+\rangle$ 的情况完全相同，因此也是纠缠态。
   • 对于 $\vert\psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 01 \rangle + \vert 10 \rangle)$：这次是 $\vert 00 \rangle$ 和 $\vert 11 \rangle$ 系数为0，而 $\vert 01 \rangle$ 和 $\vert 10 \rangle$ 系数非零。我们之前在“易错点”中分析过类似情况，同样会导出矛盾，因此也是纠缠态。
   • 对于 $\vert\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 01 \rangle - \vert 10 \rangle)$：与 $\vert\psi^+\rangle$ 的情况类似，系数模式相同，因此也是纠缠态。
   • 结论: 所有四个贝尔态都是纠缠态的实例，它们都无法被分解为两个独立单比特状态的张量积。

这一段引入了一个更高级的概念：贝尔基 (Bell Basis)，并揭示了贝尔态的另一个重要属性——它们可以作为描述双比特系统状态的一组新的基础。

1. 从“态”到“基”：
   • 我们之前学习了标准基（也叫计算基），即 $\{\vert 00 \rangle, \vert 01 \rangle, \vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle\}$。任何双比特状态都可以表示为这四个基矢的线性组合。这四个基矢都是乘积态。
   • 本段指出，这四个贝尔态本身也构成了一组基，称为贝尔基。这意味着，任何双比特状态，无论是乘积态还是纠缠态，也都可以被唯一地表示为这四个贝尔态的线性组合。
   • 这是一个重要的视角转换：我们从用“可分离”的基来描述所有状态，转换为用“最大纠缠”的基来描述所有状态。
2. 基的条件：
   • 要成为一个基 (Basis)，一个向量集合必须满足两个条件：
3. 线性无关 (Linearly Independent): 集合中没有任何一个向量可以被其他向量的线性组合所表示。
4. 张成空间 (Spanning): 空间中的任何一个向量都可以被表示为该集合中向量的线性组合。
   • 对于一个 $d$ 维空间，一个由 $d$ 个线性无关的向量组成的集合就是一个基。
   • 贝尔基更进一步，它是一个标准正交基 (Orthonormal Basis)，这意味着基向量之间还满足：
   • 正交性 (Orthogonality): 任意两个不同的贝尔基矢量的内积为0。例如 $\langle \phi^+ | \phi^- \rangle = 0$。
   • 归一性 (Normalization): 每个贝尔基矢量自身的内积为1（即范数为1）。例如 $\langle \phi^+ | \phi^+ \rangle = 1$。
   • 双比特系统的状态空间是4维的，我们有4个贝尔态，并且可以验证它们是相互正交的，因此它们构成了一组标准正交基。
5. 例子：用贝尔基表示标准基
   • 文章给出了一个具体的例子，展示了如何反过来用贝尔基来表示一个标准基矢 $\vert 00 \rangle$。
   • $\vert 00 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle$
   • 验证: 让我们把右边展开：
   • 验证成功。这表明，标准基矢 $\vert 00 \rangle$ 在贝尔基的视角下，是 $\vert \phi^+ \rangle$ 和 $\vert \phi^- \rangle$ 的一个等量叠加态。

这一段将纠缠的概念从双比特系统推广到了三比特系统，并介绍了第一个重要的三体纠缠态——GHZ态。

1. 从“二”到“三”：纠缠并不仅限于两个粒子。三个、四个甚至更多粒子都可以处于一个集体的纠缠态中。多体纠缠比两体纠缠更加复杂，性质也更丰富。本段开始介绍两个最具代表性的三比特纠缠态。
2. GHZ态的定义：
   • 命名: 以三位物理学家 Greenberger, Horne, 和 Zeilinger 的名字首字母命名。他们使用这个状态来展示量子非定域性与经典物理之间更尖锐的矛盾（无需使用不等式）。
   • 数学表达式: $\frac{1}{\sqrt{2}} (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle)$
   • 物理含义: 这个状态是“所有三个比特都是0”和“所有三个比特都是1”的等概率叠加。
   • 相关性: 测量结果是完美同步的。只要你测量其中任意一个比特得到0，你就瞬间知道另外两个比特也必然是0。如果你测得1，另外两个也必然是1。
3. GHZ态的类比：
   • GHZ态可以被看作是双比特贝尔态 $\vert \phi^+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle)$ 的一个直接推广。
   • 贝尔态是两个比特的“全0”和“全1”的叠加。
   • GHZ态是三个比特的“全0”和“全1”的叠加。
   • 可以定义 $n$ 比特的GHZ态：$\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00\dots0 \rangle + \vert 11\dots1 \rangle)$。

这一段介绍了另一种与GHZ态性质迥异的三比特纠缠态——W态。

1. W态的定义：
   • 数学表达式: $\frac{1}{\sqrt{3}} (\vert 001\rangle + \vert 010\rangle + \vert 100\rangle)$。
   • 物理含义: 这个状态是“三个比特中，有且仅有一个比特是1”的所有可能情况的等概率叠加。
   • 名称来源: “W”这个名字来源于Wolfgang Dür，他是研究这类多体纠缠态分类的物理学家之一。
2. W态的特性:
   • 相关性: 在W态中，如果你测量系统，你总会发现有两个0和一个1。但是哪个比特是1是完全随机的。
   • 与GHZ态的对比:
   • 对称性: GHZ态是“全0”和“全1”的叠加，具有一种“极端”的对称性。W态是“只有一个1”的叠加，它在比特的轮换下也是对称的（例如，交换第一和第二个比特，$\vert 001 \rangle$ 不变，$\vert 010 \rangle$ 变成 $\vert 100 \rangle$, $\vert 100 \rangle$ 变成 $\vert 010 \rangle$，整个状态的形式不变）。
   • 纠缠的稳健性 (Robustness): 这是W态与GHZ态最本质的区别。
   • 在GHZ态中，如果测量一个粒子并丢弃它，剩下的两个粒子会变成一个乘积态（$\vert 00 \rangle$ 或 $\vert 11 \rangle$），纠缠完全消失。
   • 在W态中，如果你测量一个粒子并丢弃它，会发生什么？
   • 假设你测量第三个比特。你有 $1/3$ 的概率测到1，此时前两个比特的状态是 $\vert 00 \rangle$。
   • 你有 $2/3$ 的概率测到0 (对应于原状态中的 $\vert 010 \rangle$ 和 $\vert 100 \rangle$ 项)，此时前两个比特的状态会坍缩到 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 01 \rangle + \vert 10 \rangle)$，这正是一个贝尔态 $\vert \psi^+ \rangle$！
   • 结论：即使丢失一个粒子，W态剩下的两个粒子之间仍然保持着最大纠缠。这使得W态的纠缠更加“顽健”，在有粒子丢失风险的量子网络中具有特殊优势。
3. 纠缠的分类: GHZ态和W态代表了三比特纠缠的两种完全不同的“类型”。在局域操作和经典通信（LOCC）下，GHZ态和W态是不能相互转换的。这揭示了多体纠缠比两体纠缠要复杂得多，它存在着不同的“纠缠模式”。

这一简短的段落是对前面介绍的GHZ态和W态的一个总结，并为后续内容埋下伏笔。

1. 总结核心属性:
   • 该段再次明确指出，GHZ态和W态的核心共性是：它们都不是乘积态。
   • 根据我们之前的定义，这意味着它们都是三比特纠缠态。
   • 它们无法被分解为三个独立的单比特量子态的张量积形式，即不存在 $\vert \phi \rangle, \vert \psi \rangle, \vert \chi \rangle$ 使得 GHZ/W 态 = $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \otimes \vert \chi \rangle$。
2. 设置悬念/预告：
   • 该段预告了稍后会重新审视这两个状态，具体是在讨论“部分测量 (partial measurement)”的章节。
   • 部分测量指的是只测量复合系统中的一个或一部分子系统，而不是测量全部。
   • 这预示着，通过分析GHZ态和W态在部分测量下的不同行为，可以更深刻地揭示它们纠缠性质的差异。
   • 正如我们之前在解释W态时所做的非正式分析：
   • 对GHZ态进行部分测量，会完全摧毁纠缠。
   • 对W态进行部分测量，则可能在剩余的子系统中保留纠缠。
   • 这个预告告诉读者，我们很快就会用更形式化的方法来系统地研究这种现象。

这一段通过一个例子，将多系统量子态的概念从纯量子比特系统推广到了由不同类型子系统构成的“混合”系统。

1. 打破思维定势：开篇第一句话就点明了目的——我们之前的例子都是清一色的量子比特（所有子系统的古典状态集都是 $\{0, 1\}$），但这只是特例。复合量子系统的框架远比这更通用，它可以用来描述由任何类型的量子系统组合而成的整体。
2. 引入“混合系统”的例子：
   • 系统构成: 例子包含三个子系统 $\mathsf{X}, \mathsf{Y}, \mathsf{Z}$。
   • 子系统类型不同:
   • 系统 $\mathsf{X}$: 是一个量子比特，其古典状态集是 $\{0, 1\}$（2维）。
   • 系统 $\mathsf{Y}$: 不是量子比特，它的古典状态集是扑克牌的四种花色 $\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$。这是一个4维的量子系统，有时被称为“量子四值比特 (ququart)”。
   • 系统 $\mathsf{Z}$: 与 $\mathsf{Y}$ 相同，也是一个4维的量子四值比特。
   • 复合系统的维度: 这个复合系统的状态空间维度是所有子系统维度的乘积，即 $2 \times 4 \times 4 = 32$ 维。
3. 分析给出的量子态：
   • 状态表达式:
   • 这是一个32维空间中的一个向量，但它只由3个标准基矢的叠加构成，是一个“稀疏”的向量。
   • 合法性验证（归一化）:
   • 纠缠特性: 这个状态是纠缠态。
   • 直观判断: 比如，当子系统 $\mathsf{X}$ 处于状态 $\vert 1 \rangle$ 时，子系统 $\mathsf{Y}$ 必然处于 $\vert \spadesuit \rangle$。但当 $\mathsf{X}$ 处于 $\vert 0 \rangle$ 时，$\mathsf{Y}$ 的状态却是 $\vert \heartsuit \rangle$。$\mathsf{Y}$ 的状态依赖于 $\mathsf{X}$ 的状态，这已经是有关联的迹象。
   • 严格证明: 我们可以尝试将其分解。例如，是否能分解为 $\vert\phi\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert\Psi\rangle_{\mathsf{YZ}}$？

这一段介绍了另一个非量子比特系统的例子，这次是三个同构的量子三值比特 (qutrit)，并给出了一个具有特殊对称性的纠缠态。

1. 引入新系统：量子三值比特 (Qutrit)
   • 定义: 一个量子三值比特是一个三能级量子系统，其古典状态集是 $\{0, 1, 2\}$。它是量子比特（二能级）的直接推广。
   • 更高维度的推广: 这个概念可以进一步推广到量子 $d$ 值比特 (qudit)，其古典状态集是 $\{0, 1, \ldots, d-1\}$，是一个 $d$ 维的量子系统。
   • 例子中的系统: 本例由三个相同的量子三值比特 $\mathsf{X}, \mathsf{Y}, \mathsf{Z}$ 组成。
   • 复合系统维度: $3 \times 3 \times 3 = 27$ 维。
2. 分析给出的量子态
   • 状态表达式:
   • 合法性验证（归一化）:
   • 对称性分析:
   • 这个状态的构成很有规律。它包含了所有三个比特状态是 $\{0, 1, 2\}$ 的一个排列 (permutation) 的基矢。
   • $0,1,2$ 的排列有 $3! = 6$ 种：(0,1,2), (0,2,1), (1,0,2), (1,2,0), (2,0,1), (2,1,0)。
   • 系数的符号取决于排列的“奇偶性”。从 (0,1,2) 开始，经过一次对换（如交换1和2）得到的排列（如 (0,2,1)）被称为奇排列，其系数为负。经过两次对换得到的排列（如 (1,2,0)）被称为偶排列，其系数为正。
   • 这个状态是一个完全反对称态 (totally antisymmetric state)。如果交换任意两个子系统的状态，整个量子态会获得一个-1的符号。例如，交换前两个比特：
   • 物理意义: 在量子力学中，描述费米子（如电子）的多体波函数就必须满足这种反对称性（泡利不相容原理的体现）。这个例子在数学上与此同构。

这一段将测量的概念从单系统推广到多系统，首先讨论最简单的情况：对复合系统的整体测量。

1. 回顾单系统测量法则 (玻恩定则)：
   • 段落首先快速回顾了上一课的核心内容——单系统测量的玻恩定る (Born rule)。
   • 系统状态: $\vert \psi \rangle$。
   • 测量基: 标准基 $\{\vert a \rangle | a \in \Sigma\}$。
   • 测量结果: 测量会得到古典状态集 $\Sigma$ 中的一个结果 $a$。
   • 概率: 得到结果 $a$ 的概率是 $P(a) = |\langle a \vert \psi \rangle|^2$。
   • $\langle a \vert \psi \rangle$ 是状态向量 $\vert \psi \rangle$ 在基矢 $\vert a \rangle$ 上的概率幅，概率是该复数概率幅的模平方。
2. 推广到多系统整体测量：
   • 核心思想：将整个复合系统看作一个大的“单系统”。
   • 复合系统状态: $\vert \Psi \rangle$ (一个高维向量)。
   • 复合系统古典状态集: $\Sigma_{comp} = \Sigma_{n-1} \times \cdots \times \Sigma_0$ (由所有子系统古典状态的笛卡尔积构成)。
   • 复合系统标准基: $\{\vert a_{n-1}\dots a_0 \rangle | (a_{n-1},\dots,a_0) \in \Sigma_{comp}\}$。
   • 应用玻恩定则: 完全照搬单系统的法则。测量整个复合系统，得到某个特定的古典结果组合 $(a_{n-1},\dots,a_0)$ 的概率是：
   • 物理含义: “测量整个复合系统”就等同于“同时测量所有的子系统”。测量结果是一个包含每个子系统测量结果的元组（或字符串）。

这一段是对前一段思想的形式化和数学化重述，使用了更严谨的符号来定义 $n$ 体系统的整体测量。

1. 形式化设置:
   • 系统: $n$ 个量子系统，标记为 $\mathsf{X}_0, \mathsf{X}_1, \ldots, \mathsf{X}_{n-1}$。
   • 各自的古典状态集: 每个系统 $\mathsf{X}_i$ 都有其对应的古典状态集 $\Sigma_i$。这些 $\Sigma_i$ 可以是相同的（如同构的量子比特系统），也可以是不同的（如混合系统）。
   • 复合系统: 将这 $n$ 个系统集体视为一个单一的复合系统，记为 $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$。
   • 复合系统的古典状态集: 由各个子系统古典状态集的笛卡尔积构成，即 $\Sigma_{comp} = \Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$。
   • 复合系统的量子态: 由一个高维的量子态向量 $\vert\psi\rangle$ 表示。
2. 形式化测量法则:
   • 测量动作: “测量了所有系统”，即进行一次整体测量。
   • 可能的结果: 测量结果是复合系统古典状态集中的一个元素，即一个 $n$ 元组 $(a_{n-1},\ldots,a_0)$，其中每个 $a_i \in \Sigma_i$。
   • 概率计算: 获得特定结果 $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ 的概率由玻恩定则给出：
   • $\vert a_{n-1}\cdots a_0 \rangle$: 这是复合系统的一个标准基矢，是 $\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle$ 的简写。
   • $\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert \psi\rangle$: 这是复合态 $\vert\psi\rangle$ 在该标准基矢上的概率幅。
   • $|\cdot|^2$: 取该复数概率幅的模平方，得到实数概率。

这一段通过一个具体的“混合系统”例子，来演示如何应用上一段定义的整体测量法则。

1. 系统设置:
   • 这是一个由两个子系统 $\mathsf{X}$ 和 $\mathsf{Y}$ 构成的复合系统。
   • 系统 $\mathsf{X}$ 是一个量子比特，其古典状态集是 $\{0, 1\}$。
   • 系统 $\mathsf{Y}$ 是一个量子四值比特，其古典状态集是 $\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$。
   • 复合系统的状态空间维度是 $2 \times 4 = 8$ 维。
2. 给定的量子态:

• 这是一个8维空间中的纠缠态。它只包含了两个标准基矢 $\vert 0\heartsuit \rangle$ 和 $\vert 1\spadesuit \rangle$。
• 纠缠体现在：如果测量 $\mathsf{X}$ 得到0，那么 $\mathsf{Y}$ 必然是 $\heartsuit$；如果 $\mathsf{X}$ 是1，那么 $\mathsf{Y}$ 必然是 $\spadesuit$。

1. 应用测量法则:
   • 我们要计算整体测量下得到不同结果的概率。
   • 测量结果 $(0, \heartsuit)$:
   • 对应的标准基矢是 $\vert 0\heartsuit \rangle$。
   • 概率幅是 $\langle 0\heartsuit \vert \Psi \rangle$。从 $\vert\Psi\rangle$ 的表达式中，我们直接读出 $\vert 0\heartsuit \rangle$ 项的系数，即 $3/5$。
   • 概率是 $P(0, \heartsuit) = |\langle 0\heartsuit \vert \Psi \rangle|^2 = |3/5|^2 = 9/25$。
   • 测量结果 $(1, \spadesuit)$:
   • 对应的标准基矢是 $\vert 1\spadesuit \rangle$。
   • 概率幅是 $\langle 1\spadesuit \vert \Psi \rangle$，即 $\vert 1\spadesuit \rangle$ 项的系数，为 $-4i/5$。
   • 概率是 $P(1, \spadesuit) = |\langle 1\spadesuit \vert \Psi \rangle|^2 = |-4i/5|^2$。
   • 计算模平方：$|-4i/5|^2 = (-4i/5)^*(-4i/5) = (4i/5)(-4i/5) = -16i^2/25 = 16/25$。
   • 或者更简单地：$|\alpha i| = |\alpha|$，所以 $|-4i/5| = |-4/5| = 4/5$。$|4/5|^2 = 16/25$。
   • 其他所有结果:
   • 对于任何其他的结果组合，比如 $(0, \spadesuit)$ 或 $(1, \clubsuit)$ 等，它们在量子态表达式中对应的系数都为0。
   • 因此，测量得到这些结果的概率全部都是 $0$。
2. 概率求和验证:
   • 所有可能结果的概率之和为 $9/25 + 16/25 = 25/25 = 1$。这与我们的期望相符。

这一段引出了本章节一个极为关键和核心的概念——部分测量 (Partial Measurement)。

1. 从“整体”到“部分”的转变：
   • 前面我们讨论的是整体测量，即一次性测量复合系统的所有子系统。这在概念上比较简单，等同于把复合系统看作一个大的单系统。
   • 现在，我们进入一个更现实、也更有趣的情景：只测量系统的一部分。例如，对于一个双比特系统 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$，我们只用探测器去测量比特 $\mathsf{X}$，而让比特 $\mathsf{Y}$ 保持不受干扰。
   • “真子集 (proper subset)” 这个词强调了我们测量的不是全部，也不是空集，而是其中的一部分。
2. 问题的核心：
   • 当进行部分测量时，会引出两个核心问题：
3. 测量结果的概率是多少？ 例如，只测量比特 $\mathsf{X}$，得到结果0的概率是多少？
4. 测量后系统的状态是什么？ 当我们测量比特 $\mathsf{X}$ 得到结果0后，整个复合系统 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ 的量子态会变成什么样子？特别是，未被测量的比特 $\mathsf{Y}$ 的状态发生了什么变化？
5. 从最简单情况入手：
   • 为了清晰地阐述规则，文章再次从最简单、最基础的模型开始：一个由两个子系统 $\mathsf{X}$ 和 $\mathsf{Y}$ 组成的复合系统。
   • 系统 $\mathsf{X}$ 的古典状态集是 $\Sigma$。
   • 系统 $\mathsf{Y}$ 的古典状态集是 $\Gamma$。
   • 这个模型足以揭示部分测量的所有核心物理和数学规则。

这一段为即将展开的部分测量讨论，首先建立了一个通用的数学符号表示。它重述了一个双系统量子态的一般形式。

1. 一般形式的量子态:
   • 任何一个由系统 $\mathsf{X}$ 和 $\mathsf{Y}$ 组成的复合系统的量子态 $\vert \psi \rangle$，都可以表示为该复合系统所有标准基矢的线性组合。
   • 标准基矢: $\vert ab \rangle$，其中 $a$ 来自 $\mathsf{X}$ 的古典状态集 $\Sigma$，$b$ 来自 $\mathsf{Y}$ 的古典状态集 $\Gamma$。
   • 求和: $\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma}$ 表示对所有可能的古典状态组合 $(a,b)$ 进行求和。
   • 概率幅: $\alpha_{ab}$ 是复数系数，代表了量子态 $\vert \psi \rangle$ 在基矢 $\vert ab \rangle$ 上的概率幅。
2. 归一化条件:
   • 再次强调了作为量子态必须满足的归一化条件。
   • 所有概率幅的模平方之和必须等于1。
   • $|\alpha_{ab}|^2$ 代表了对系统进行整体测量时，得到结果 $(a,b)$ 的概率。
   • $\sum |\alpha_{ab}|^2 = 1$ 的物理意义是，所有可能的整体测量结果的概率加起来总和为100%，这是概率论的基本公理。
   • 在几何上，这个条件意味着向量 $\vert \psi \rangle$ 的长度（欧几里得范数）为1，即它是一个单位向量。

这一段正式给出了部分测量的第一个核心规则：如何计算部分测量结果的概率。

1. 回顾整体测量概率：
   • 段落首先重申了整体测量的规则：同时测量 $\mathsf{X}$ 和 $\mathsf{Y}$，得到特定组合 $(a,b)$ 的概率是 $|\alpha_{ab}|^2$。
2. 推导部分测量概率：
   • 问题: 现在我们只测量系统 $\mathsf{X}$，得到某个特定结果 $a$ 的概率是多少？
   • 逻辑: 得到结果 $a$ 的这个事件，包含了多种可能性。具体来说，只要 $\mathsf{X}$ 的结果是 $a$，我们并不关心 $\mathsf{Y}$ 的结果是什么。$\mathsf{Y}$ 的结果可以是 $\Gamma$ 集合中的任何一个元素 $b$。
   • 应用概率论的加法法则: 根据经典概率论，一个事件的总概率等于构成该事件的所有互斥子事件的概率之和。
   • 事件: “测量 $\mathsf{X}$ 得到结果 $a$”。
   • 互斥子事件: “测量得到 $(a, b_1)$”, “测量得到 $(a, b_2)$”, “测量得到 $(a, b_3)$”, ... 对于所有 $b_i \in \Gamma$。
   • 计算: 因此，测量 $\mathsf{X}$ 得到结果 $a$ 的概率 $P(a)$，应该等于所有 $\mathsf{X}$ 分量为 $a$ 的整体测量结果的概率之和。
   • 这在概率论中被称为边缘化 (Marginalization)，即通过对一个变量（这里是 $b$）的所有可能值求和，来得到另一个变量（这里是 $a$）的边缘概率分布。
3. 与物理直觉的联系：
   • 段落最后给出了一个深刻的物理学论证来支持这个规则的合理性：无超光速通信原理 (No-communication theorem)。
   • 论证: 假设远在地球的Alice持有比特 $\mathsf{X}$，远在火星的Bob持有比特 $\mathsf{Y}$。Alice在她的实验室里测量 $\mathsf{X}$。她能得到的各种结果的概率，应该只取决于她手里的东西和她所做的操作，而不应该取决于Bob是否决定在火星上同时测量他的比特 $\mathsf{Y}$。
   • 如果Alice测量 $\mathsf{X}$ 的概率分布会因为Bob是否测量 $\mathsf{Y}$ 而改变，那么Bob就可以通过“测量”或“不测量”这两个动作，瞬间地将信息传递给Alice，这就构成了超光速通信，违背了相对论。
   • 我们的计算规则 $P(a) = \sum_{b\in\Gamma} P(a,b)$ 恰好保证了这一点。无论Bob是否测量 $\mathsf{Y}$，Alice计算出的 $P(a)$ 都是一样的。这保证了量子力学与相对论的因果律是自洽的。

这一段开始着手解决部分测量的第二个核心问题：测量之后，系统的状态会变成什么？它首先引入了一种非常重要的数学处理技巧——按子系统重排表达式。

1. 回顾单系统测量后的状态（坍缩）：
   • 当我们测量一个单系统 $\vert\psi\rangle$ 并得到结果 $a$ 时，系统的状态会发生一个突变，这个过程被称为波函数坍缩 (wave function collapse)。
   • 测量后的新状态就是我们得到的测量结果对应的那个基矢，即 $\vert a \rangle$。
   • 本段的逻辑是，对于复合系统 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$，如果我们测量了子系统 $\mathsf{X}$ 并得到结果 $a$，那么 $\mathsf{X}$ 这一部分的量子态也应该“坍缩”到 $\vert a \rangle$。
2. 提出核心问题：
   • 当 $\mathsf{X}$ 坍缩到 $\vert a \rangle$ 时，那个我们没有去碰、可能远在天边的系统 $\mathsf{Y}$，它的状态会发生什么变化？这正是纠缠展现其“鬼魅”之处的地方。
3. 解决问题的关键一步：重排表达式
   • 为了看清楚系统 $\mathsf{X}$ 和系统 $\mathsf{Y}$ 之间的关系，我们需要把原始的表达式 $\vert \psi \rangle = \sum_{a,b} \alpha_{ab} \vert ab \rangle$ 重新整理一下。
   • 目标: 把所有与 $\mathsf{X}$ 处于同一个状态 $a$ 的项归类到一起。
   • 方法: 使用因式分解。
   • 引入新符号: 为了让表达式更简洁，我们定义一个新向量 $\vert \phi_a \rangle$，它包含了所有当 $\mathsf{X}$ 处于状态 $a$ 时，$\mathsf{Y}$ 的状态信息。
   • 最终形式: 代入新符号后，$\vert \psi \rangle$ 的表达式就变成了文中的形式：

这一段给出了部分测量的第二部分，也是最重要的规则：测量后状态的坍缩法则。

1. 概率法则的新视角：
   • 段落首先用新引入的符号 $\vert \phi_a \rangle$ 重新表达了部分测量的概率法则。
   • 我们之前知道 $P(X=a) = \sum_{b\in\Gamma} |\alpha_{ab}|^2$。
   • 根据 $\vert \phi_a \rangle = \sum_b \alpha_{ab} \vert b \rangle$ 的定义，其范数的平方是 $\|\vert \phi_a \rangle\|^2 = \sum_b |\alpha_{ab}|^2$。
   • 因此，我们得到了一个非常简洁和深刻的结果：只测量系统 $\mathsf{X}$ 得到结果 $a$ 的概率，等于与之关联的系统 $\mathsf{Y}$ 的“相对状态” $\vert \phi_a \rangle$ 的范数平方。
   • 这个范数平方，可以理解为原始量子态中与“$\mathsf{X}$ 处于状态 $a$”相关的所有“能量”或“概率权重”的总和。
2. 状态坍缩法则（核心内容）：
   • 前提: 我们对系统 $\mathsf{X}$ 进行了测量，并确实得到了结果 $a$。
   • 结果: 复合系统的量子态 $\vert \psi \rangle$ 发生突变（坍缩），变成一个新的状态 $\vert \psi' \rangle$。
   • 新状态的公式:
   • 这个公式的含义可以分两步理解:
3. 选择 (Selection) / 投影 (Projection): 当我们测得结果 $a$ 时，原始叠加态 $\vert\psi\rangle = \sum_{a'} \vert a' \rangle \otimes \vert \phi_{a'} \rangle$ 中，所有与结果 $a$ 不符的项（即 $a' \neq a$ 的项）全部消失，只有与结果 $a$ 对应的哪一项 $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle$ 被“保留”了下来。这就是所谓的“坍缩”。
4. 归一化 (Normalization): “选择”操作后得到的向量 $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle$ 通常不再是单位向量。它的范数是 $\|\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle\| = \|\vert a \rangle\| \cdot \|\vert \phi_a \rangle\| = 1 \cdot \|\vert \phi_a \rangle\| = \|\vert \phi_a \rangle\|$。为了使坍缩后的新状态成为一个合法的、可以进行下一步演化的量子态，我们必须将其归一化，即除以它的范数。所以我们用 $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle$ 除以 $\|\vert \phi_a \rangle\|$。
5. 对坍缩法则的诠释：
   • 最小坍缩原则: “状态像单系统情况一样‘坍缩’，但仅限于使状态与产生结果 $a$ 的 $\mathsf{X}$ 测量结果一致所需的程度。” 这句话是点睛之笔。坍缩不是完全随机的，也不是完全破坏性的。它只是“移除”了与我们的观测事实相矛盾的可能性，并保留了所有与观测事实一致的可能性，然后重新调整“权重”（归一化），使总概率再次为1。
   • 类比: 这与条件概率非常相似。在经典概率中，事件B发生后，事件A的概率更新为条件概率 $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$。这里的“除以范数”就扮演了经典概率中“除以条件事件的概率 $P(B)$”的角色。

这一段开始应用刚刚建立的部分测量规则，来分析一个具体的双比特量子态。

1. 选取例子:
   • 文章选用了本章最初引入的那个通用双比特量子态，因为它包含了所有四种基矢，并且系数有实数有复数，适合作为一个全面的教学案例。
2. 设定目标:
   • 目标是分析“只测量第一个比特 $\mathsf{X}$”时会发生的情况。
3. 执行第一步：重排表达式:
   • 根据规则，在计算概率和坍缩状态之前，我们必须先把量子态 $\vert\psi\rangle$ 改写成 $\vert\psi\rangle = \vert 0 \rangle \otimes \vert \phi_0 \rangle + \vert 1 \rangle \otimes \vert \phi_1 \rangle$ 的形式。
   • 分组:
   • 找出所有第一个比特是0的项: $\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle$。
   • 找出所有第一个比特是1的项: $\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle$。
   • 因式分解:
   • 从第一组中提取 $\vert 0 \rangle_{\mathsf{X}}$:
   • 从第二组中提取 $\vert 1 \rangle_{\mathsf{X}}$:
   • 组合结果: 将两部分加起来，就得到了文中给出的重排后的表达式。这个表达式现在清晰地显示了当 $\mathsf{X}$ 处于 $\vert 0 \rangle$ 或 $\vert 1 \rangle$ 时，与之关联的 $\mathsf{Y}$ 的“相对状态”分别是 $\vert \phi_0 \rangle$ 和 $\vert \phi_1 \rangle$。

这一段计算了当测量第一个比特 $\mathsf{X}$ 得到结果 $0$ 时的概率和坍缩后的状态。

1. 计算概率 $P(X=0)$:
   • 规则: 测量 $\mathsf{X}$ 得到结果 $0$ 的概率等于其关联的“相对状态” $\vert \phi_0 \rangle$ 的范数平方。
   • 识别相对状态: 从上一段我们知道 $\vert \phi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 计算范数平方:
   • 结论: 测量第一个比特，得到结果0的概率是 $2/3$。
2. 计算坍缩后的状态 $\vert \psi' \rangle$:
   • 规则: 坍缩后的状态是 $\vert 0 \rangle \otimes \frac{\vert \phi_0 \rangle}{\|\vert \phi_0 \rangle\|}$。
   • 代入数值:
   • 被测系统 $\mathsf{X}$ 的状态确定为 $\vert 0 \rangle$。
   • 未测系统 $\mathsf{Y}$ 的新状态是 $\frac{\vert \phi_0 \rangle}{\|\vert \phi_0 \rangle\|}$。
   • 我们已经有 $\vert \phi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 我们刚刚算出 $\|\vert \phi_0 \rangle\| = \sqrt{2/3}$。
   • 所以，$\mathsf{Y}$ 的新状态是 $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{2/3}}$。
   • 化简表达式:
   • 最终坍缩状态: 将 $\mathsf{X}$ 和 $\mathsf{Y}$ 的新状态组合起来，得到最终的复合系统状态：

这一段继续分析同一个例子，计算当测量第一个比特 $\mathsf{X}$ 得到结果 $1$ 时的概率和坍缩后的状态。

1. 计算概率 $P(X=1)$:
   • 规则: 概率等于关联的“相对状态” $\vert \phi_1 \rangle$ 的范数平方。
   • 识别相对状态: 从之前的重排中，我们知道 $\vert \phi_1 \rangle = \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 计算范数平方:
   • 结论: 测量第一个比特，得到结果1的概率是 $1/3$。这个结果与我们之前计算的 $P(X=0)=2/3$ 也是一致的，因为 $1/3 + 2/3 = 1$。
2. 计算坍缩后的状态 $\vert \psi'' \rangle$:
   • 规则: 坍缩后的状态是 $\vert 1 \rangle \otimes \frac{\vert \phi_1 \rangle}{\|\vert \phi_1 \rangle\|}$。
   • 代入数值:
   • 被测系统 $\mathsf{X}$ 的状态确定为 $\vert 1 \rangle$。
   • 未测系统 $\mathsf{Y}$ 的新状态是 $\frac{\vert \phi_1 \rangle}{\|\vert \phi_1 \rangle\|}$。
   • 我们有 $\vert \phi_1 \rangle = \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 我们算出 $\|\vert \phi_1 \rangle\| = \sqrt{1/3}$。
   • 所以，$\mathsf{Y}$ 的新状态是 $\frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{1/3}}$。
   • 化简表达式:
   • 最终坍缩状态: 将 $\mathsf{X}$ 和 $\mathsf{Y}$ 的新状态组合起来，得到最终的复合系统状态：

这一段将分析的焦点从测量系统 $\mathsf{X}$ 转移到了测量系统 $\mathsf{Y}$，并演示了如何为此进行不同的表达式重排。

1. 对称性应用:
   • 文章指出，分析测量 $\mathsf{Y}$ 的方法与分析测量 $\mathsf{X}$ 的方法是“对称的”、“相同的技术”。这意味着部分测量的规则是普适的，不依赖于我们选择测量哪个子系统。
   • 我们仍然需要遵循“重排 -> 计算概率 -> 计算坍缩状态”的流程。
2. 新的重排目标:
   • 这次我们的目标是测量系统 $\mathsf{Y}$，所以我们需要将量子态 $\vert\psi\rangle$ 改写成以系统 $\mathsf{Y}$ 的基矢 ($\vert 0 \rangle_\mathsf{Y}$ 和 $\vert 1 \rangle_\mathsf{Y}$)为索引的展开式。
   • 目标形式为: $\vert\psi\rangle = \vert \chi_0 \rangle \otimes \vert 0 \rangle + \vert \chi_1 \rangle \otimes \vert 1 \rangle$，其中 $\vert \chi_0 \rangle$ 和 $\vert \chi_1 \rangle$ 是系统 $\mathsf{X}$ 空间中的“相对状态”。
3. 执行重排操作:
   • 原始状态:
   • 分组:
   • 找出所有第二个比特是0的项: $\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle$。
   • 找出所有第二个比特是1的项: $-\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle$。
   • 因式分解:
   • 从第一组中提取 $\vert 0 \rangle_\mathsf{Y}$:
   • 从第二组中提取 $\vert 1 \rangle_\mathsf{Y}$:
   • 组合结果: 将两部分加起来，就得到了文中给出的重排后的表达式。这个表达式清晰地显示了当 $\mathsf{Y}$ 被测得为 $\vert 0 \rangle$ 或 $\vert 1 \rangle$ 时，系统 $\mathsf{X}$ 的“相对状态”分别是 $\vert \chi_0 \rangle$ 和 $\vert \chi_1 \rangle$。

这一段计算了当测量第二个比特 $\mathsf{Y}$ 得到结果 $0$ 时的概率和坍缩后的状态。

1. 计算概率 $P(Y=0)$:
   • 规则: 概率等于其关联的“相对状态” $\vert \chi_0 \rangle$ 的范数平方。
   • 识别相对状态: 从上一段我们知道 $\vert \chi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 计算范数平方:
   • 结论: 测量第二个比特，得到结果0的概率是 $2/3$。
2. 计算坍缩后的状态 $\vert \psi''' \rangle$:
   • 规则: 坍缩后的状态是 $\frac{\vert \chi_0 \rangle}{\|\vert \chi_0 \rangle\|} \otimes \vert 0 \rangle$。
   • 代入数值:
   • 被测系统 $\mathsf{Y}$ 的状态确定为 $\vert 0 \rangle$。
   • 未测系统 $\mathsf{X}$ 的新状态是 $\frac{\vert \chi_0 \rangle}{\|\vert \chi_0 \rangle\|}$。
   • 我们有 $\vert \chi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 我们算出 $\|\vert \chi_0 \rangle\| = \sqrt{2/3}$。
   • 所以，$\mathsf{X}$ 的新状态是 $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{2/3}}$。
   • 化简表达式:
   • 最终坍缩状态: $\vert \psi''' \rangle = (\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle) \otimes \vert 0 \rangle$。

这一段完成了对测量第二个比特 $\mathsf{Y}$ 的分析，计算了得到结果 $1$ 的情况。

1. 计算概率 $P(Y=1)$:
   • 规则: 概率等于关联的“相对状态” $\vert \chi_1 \rangle$ 的范数平方。
   • 识别相对状态: 我们知道 $\vert \chi_1 \rangle = -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 计算范数平方:
   • 结论: 测量第二个比特，得到结果1的概率是 $1/3$。
2. 计算坍缩后的状态 $\vert \psi'''' \rangle$:
   • 规则: 坍缩后的状态是 $\frac{\vert \chi_1 \rangle}{\|\vert \chi_1 \rangle\|} \otimes \vert 1 \rangle$。
   • 代入数值:
   • 被测系统 $\mathsf{Y}$ 的状态确定为 $\vert 1 \rangle$。
   • 未测系统 $\mathsf{X}$ 的新状态是 $\frac{\vert \chi_1 \rangle}{\|\vert \chi_1 \rangle\|}$。
   • 我们有 $\vert \chi_1 \rangle = -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle$。
   • 我们算出 $\|\vert \chi_1 \rangle\| = \sqrt{1/3} = 1/\sqrt{3}$。
   • 所以，$\mathsf{X}$ 的新状态是 $\frac{-\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{1/\sqrt{3}}$。
   • 化简表达式:
   • 最终坍缩状态: $\vert \psi'''' \rangle = (-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle) \otimes \vert 1 \rangle = \vert - \rangle \otimes \vert 1 \rangle$。

这一段指出了我们目前使用的量子态向量形式主义的一个重要局限性。

1. 回顾经典概率论的“约化”:
   • 在经典概率论中，如果我们有一个联合概率分布 $P(x, y)$，我们可以很容易地得到只关于 $X$ 的边缘概率分布 (marginal probability distribution)，也叫约化概率分布。
   • 方法就是对我们不关心的变量 $Y$ 的所有可能性进行求和（或积分）：$P(x) = \sum_y P(x, y)$。
   • 这个 $P(x)$ 本身就是一个完整的、合法的概率分布，它描述了系统 $\mathsf{X}$ 自身的统计特性，完全忽略了 $\mathsf{Y}$ 的存在。
2. 量子世界的困境:
   • 本段指出，对于一个由量子态向量 $\vert \psi \rangle$ 描述的复合系统，我们无法找到一个单一的量子态向量来完美地描述其中一个子系统（比如 $\mathsf{X}$）自身的状态。
   • 为什么会有这个需求？ 想象Alice和Bob共享一个纠缠对，Alice只在她的实验室里，她无法接触到Bob的粒子。她应该能够有一种数学工具，只用来描述她手里这个粒子（系统 $\mathsf{X}$）的所有物理性质，而不需要引用整个复合系统的量子态 $\vert\psi\rangle_{AB}$。这个只描述子系统 $\mathsf{X}$ 状态的数学对象，就是所谓的“约化量子态 (reduced quantum state)”。
   • 局限性: 本段的核心论点是，量子态向量这个工具，无法胜任描述约化态的任务。

这一段通过具体的公式对比，详细阐述了为什么不能将经典概率论中的边缘化方法直接照搬到量子态向量上。

1. 经典方法的公式化:
   • 一个经典的联合概率分布可以写成向量形式 $\sum p_{ab} \vert ab \rangle$。
   • 获得 $\mathsf{X}$ 的边缘分布 $P(a) = \sum_b p_{ab}$。
   • 这个边缘分布也可以写成向量形式 $\sum_a P(a) \vert a \rangle = \sum_a (\sum_b p_{ab}) \vert a \rangle$。
   • 文章提供了一个更紧凑的写法 $\sum_{(a,b)} p_{ab} \vert a \rangle$，它的意思是将联合概率 $p_{ab}$ 的“权重”贡献给 $\mathsf{X}$ 的基矢 $\vert a \rangle$。这在数学上是等价的。
2. 对量子态向量的错误尝试:
   • 类比: 既然经典概率是对概率 $p_{ab}$ 求和，我们是否可以对量子概率幅 $\alpha_{ab}$ 做类似的操作？
   • 错误的构造: 尝试构造一个只属于 $\mathsf{X}$ 的“状态向量” $\vert\psi_X?\rangle$，方法是简单地将联合态中的 $\vert b \rangle$ 部分“丢掉”，即 $\sum_{a,b} \alpha_{ab} \vert a \rangle$。
   • 为什么这是错误的？
3. 数学上: 这个构造出来的向量通常不是归一化的。它的范数可能不为1。
4. 物理上: 更重要的是，即使将它归一化，得到的向量也不能正确预测对子系统 $\mathsf{X}$ 进行各种测量的结果。例如，在贝尔态 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle)$ 中，子系统 $\mathsf{X}$ 处于一种特殊的状态，测量它的自旋在任何方向上都是完全随机的（50%朝上，50%朝下）。没有任何一个单比特的纯态向量 $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 具有这种性质。单比特纯态在某个方向上总是有确定的测量结果（即沿着其自身指向的方向）。
   • 结论: 子系统 $\mathsf{X}$ 的状态不能用一个纯态向量来描述。它的状态是一个“混合的”、“不确定的”状态，这种状态超出了量子态向量的描述能力。

这一段为前述的困境指明了出路。

1. 提出解决方案:
   • 既然量子态向量（描述纯态）不足以描述纠缠子系统的状态，我们需要一个更强大的数学工具。
   • 这个工具就是密度矩阵 (Density Matrix)，也叫密度算符 (density operator)。
2. 密度矩阵的功能:
   • 密度矩阵是描述量子态最通用的语言。它既可以描述理想的纯态，也可以描述现实中更常见的、与环境有相互作用的混合态 (mixed state)。
   • 纠缠子系统的约化态，正是一种典型的混合态。例如，对于贝尔态 $\vert\phi^+\rangle$ 中的第一个比特，它的约化态是一个“最大混合态”，表示在任何基下测量，得到各种结果的概率都是均等的。这个状态无法用任何一个量子态向量表示，但可以用一个非常简洁的密度矩阵 $\rho_X = \frac{1}{2}\mathbb{I}$ 来表示（$\mathbb{I}$ 是 $2 \times 2$ 的单位矩阵）。
3. 提供学习路径:
   • 本段再次作为一个“预告”，告诉读者关于密度矩阵的详细内容将在后续的课程《量子信息的通用公式》中深入讨论。
   • 它暗示，学习了密度矩阵之后，我们就能像在概率论中计算边缘分布一样，通过一个被称为部分迹 (partial trace) 的操作，从复合系统的密度矩阵中，有意义地、正确地计算出任何子系统的约化密度矩阵（即约化量子态）。

这一段介绍了处理更复杂部分测量问题的一种通用策略。

1. 问题升级:
   • 我们已经学会了如何处理两个系统中测量一个的情况。
   • 现在问题变得更复杂：如果我们有 $n$ 个系统，然后只测量其中的 $k$ 个（$1 \le k < n$），该怎么办？
2. “降维”策略:
   • 核心思想是“化繁为简”，将 $n$ 体问题转化为我们已经会解的“两体”问题。
   • 分组: 我们将所有 $n$ 个系统分成两大组：
3. 被测组 (A): 包含了所有我们决定要测量的子系统。
4. 未测组 (B): 包含了所有我们不测量的、剩下的子系统。
   • 视为两体: 现在，我们可以把整个复合系统看作是一个由两个“超级子系统” A 和 B 构成的“两体系统”。
   • 应用旧规则: 既然已经转化为了两体系统，我们就可以完全应用之前学到的两体部分测量规则了。即，将量子态重排为 $\sum_i \vert a_i \rangle_A \otimes \vert \phi_i \rangle_B$ 的形式，然后计算概率和坍缩。
5. 引入辅助工具：下标:
   • 当系统数量增多，并且被测和未测的系统交错排列时，保持对每个子系统状态的追踪变得非常困难。
   • 文章特别强调，此时使用带下标的 ket 记法（如 $\vert 0 \rangle_{\mathsf{X}_1}$）变得极其有用。
   • 下标的好处:
   • 明确归属: 下标清楚地表明每个 ket 属于哪个子系统，不会混淆。
   • 灵活排列: 因为归属已经明确，我们可以为了计算方便而任意地重新排列 ket 的顺序，而不会丢失信息。例如，我们可以把所有“被测组”的 ket 排在一起，所有“未测组”的 ket 排在一起，从而方便地进行因式分解和重组。

这一段为即将到来的复杂部分测量计算，设定了具体的场景。

1. 系统定义:
   • 系统数量: 5个子系统，标记为 $\mathsf{X}_4, \mathsf{X}_3, \mathsf{X}_2, \mathsf{X}_1, \mathsf{X}_0$。（注意这里的索引顺序是从4到0，这是一种常见的物理学记法）。
   • 系统类型: 所有5个系统都是同构的量子四值比特 (ququarts)，它们的古典状态集都是扑克牌的四种花色 $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$。
   • 复合系统维度: $4^5 = 1024$ 维。这是一个巨大的状态空间。
2. 给定的量子态:
   • 文章提供了一个包含5项标准基矢的叠加态。这是一个1024维空间中的稀疏向量。
   • 合法性验证: 我们可以检查概率和是否为1。
   • ket的顺序: 在没有下标的情况下，我们默认第一个ket对应 $\mathsf{X}_4$，第二个对应 $\mathsf{X}_3$，以此类推，最后一个对应 $\mathsf{X}_0$。
3. 测量计划:
   • 这是一个典型的部分测量问题。
   • 被测组 (A): 第一个系统 ($\mathsf{X}_4$) 和 第三个系统 ($\mathsf{X}_2$)。（注意，这里的“第一个”和“第三个”是按从左到右的顺序数的，对应于 $\mathsf{X}_4$ 和 $\mathsf{X}_2$）。
   • 未测组 (B): 剩下的系统，即 $\mathsf{X}_3, \mathsf{X}_1, \mathsf{X}_0$。
   • 问题: 测量 $\mathsf{X}_4$ 和 $\mathsf{X}_2$ 会得到哪些可能的结果？各自的概率是多少？以及每次测量后，整个5-ququart系统的状态会坍缩成什么样子？

这一段详细阐述了执行“分组降维”策略的第一步：引入下标记法。

1. 点明困难:
   • 文章首先承认，虽然概念上是简单的两体问题，但实际操作起来有困难。
   • 困难的根源在于“交错”：被测的系统 $\mathsf{X}_4, \mathsf{X}_2$ 和未测的系统 $\mathsf{X}_3, \mathsf{X}_1, \mathsf{X}_0$ 混合在一起，使得我们无法像之前那样轻易地提取公因子 $\vert a \rangle$。
2. 引入解决方案：下标记法:
   • 解决方案就是给每个 ket 明确地“贴上标签”，告诉我们它属于哪个子系统。
   • 例如，原来的第一项 $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ 被重写为 $\vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0$。
   • $\vert\heartsuit\rangle_4$ 表示系统 $\mathsf{X}_4$ 处于态 $\vert\heartsuit\rangle$。
   • $\vert\clubsuit\rangle_3$ 表示系统 $\mathsf{X}_3$ 处于态 $\vert\clubsuit\rangle$。
   • 以此类推。
3. 强调等价性:
   • 文章强调，这一步“没有任何改变”，仅仅是记法上的明确化。添加下标并没有改变量子态本身，只是让它的内部结构对我们来说更清晰了。
4. 下标的灵活性:
   • 可以使用数字索引 $(0, \dots, 4)$，也可以使用系统名称 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y}, \dots)$ 作为下标，这取决于个人偏好和上下文的清晰度。

这一段执行了“分组降维”策略的核心步骤：重新排序和因式分解。

1. 第一步：重新排序 (Reordering)
   • 目标: 将所有属于“被测组” A $(\mathsf{X}_4, \mathsf{X}_2)$ 的 ket 移到左边，所有属于“未测组” B $(\mathsf{X}_3, \mathsf{X}_1, \mathsf{X}_0)$ 的 ket 移到右边。
   • 操作: 在表达式的每一项中，重新调整 ket 的顺序。
   • 例如，第一项原来是 $\vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0$。
   • 将被测的 $\vert\heartsuit\rangle_4$ 和 $\vert\diamondsuit\rangle_2$ 移到最左边，变成 $\vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0$。
   • 这个重新排序之所以被允许，是因为张量积在代数上是“伪交换”的：虽然 $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \neq \vert b \rangle \otimes \vert a \rangle$，但它们所处的向量空间之间存在一个自然的同构。只要我们通过下标追踪每个 ket 的身份，这种形式上的重新排序就是合法的，它仅仅是为了计算方便而改变书写顺序。
2. 第二步：合并同类项/因式分解 (Factoring)
   • 目标: 将表达式改写成 $\sum_i \vert a_i \rangle_A \otimes \vert \phi_i \rangle_B$ 的形式。
   • 操作: 找出所有具有相同“被测组”部分的项，然后提取公因子。
   • 寻找公因子:
   • 公因子 $\vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2$: 我们在第一项和第四项中找到了它。
   • 第一项: $\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 (\vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0)$
   • 第四项: $-i\sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 (\vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0)$
   • 合并后得到第一行的大括号项。
   • 公因子 $\vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2$: 只在第二项中出现。所以它自己构成一组。
   • 公因子 $\vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2$: 在第三项和第五项中出现。
   • 第三项: $\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 (\vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0)$
   • 第五项: $-\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 (\vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0)$
   • 合并后得到第三行的大括号项。
3. 结果解读:
   • 经过重排和合并，原始复杂的5-ququart状态被清晰地分解成了三项。
   • 每一项都是 (被测组的一个基矢) $\otimes$ (未测组的一个“相对状态”) 的形式。
   • 被测组的可能结果: $(\heartsuit, \diamondsuit)$, $(\diamondsuit, \diamondsuit)$, $(\spadesuit, \clubsuit)$。这是我们进行部分测量时，唯三可能得到的非零概率结果。
   • 未测组的相对状态: 括号里那些复杂的表达式，就是当被测组得到特定结果时，未测组所处的（未归一化的）状态。

这一段是一个非常重要的“免责声明”或“技术澄清”，旨在防止读者对前一步的“重新排列”操作产生误解。

1. 重申隐式张量积: 即使在分组后，像 $\vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 (\dots)$ 这样的写法，在 $\vert\diamondsuit\rangle_2$ 和括号 $(\dots)$ 之间，仍然存在一个隐式的张量积符号 $\otimes$。
2. 强调张量积的非交换性 (Non-commutativity):
   • 这是一个关键的数学事实。$\vert \phi \rangle \otimes \vert \pi \rangle$ 和 $\vert \pi \rangle \otimes \vert \phi \rangle$ 在数学上是两个不同的向量。
   • 例子: $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \dots$ 意味着第一个子系统是 $\heartsuit$，第二个是 $\clubsuit$。而 $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \dots$ 意味着第一个子系统是 $\heartsuit$，第二个是 $\diamondsuit$。它们在复合系统的状态空间中是两个不同的基矢，对应两个不同的列向量。
   • 警告: 因此，我们之前做的“重新排列 ket 顺序”的步骤，绝对不是说 $\vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 = \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3$。这个等式是不成立的。
3. 解释“重新排列”的真正含义:
   • 我们所做的不是在一个固定的系统顺序下交换 ket，而是改变了我们看待整个系统顺序的视角。
   • 原始视角: 我们按照 $(\mathsf{X}_4, \mathsf{X}_3, \mathsf{X}_2, \mathsf{X}_1, \mathsf{X}_0)$ 的顺序来描述系统。在这个视角下，基矢是 $\vert x_4 x_3 x_2 x_1 x_0 \rangle$。
   • 新视角 (为了计算): 为了方便，我们临时决定采用一个新的系统顺序 $(\mathsf{X}_4, \mathsf{X}_2, \mathsf{X}_3, \mathsf{X}_1, \mathsf{X}_0)$。在这个新视角下，我们把被测的系统放在前面。
   • 下标的作用: 下标就像每个 ket 的“身份证”，保证了即使我们改变了看待它们的顺序，我们仍然知道哪个 ket 属于哪个原始的物理系统。
   • 恢复顺序: 计算完成后，我们可以随时利用下标信息，将 ket 的顺序恢复到原始的 $(\mathsf{X}_4, \mathsf{X}_3, \dots)$ 顺序，以获得符合物理约定的最终答案。

这一段应用部分测量的概率法则，计算了上一步中确定的三种可能测量结果各自发生的概率。

1. 概率法则回顾:
   • 测量“被测组” A 得到结果 $a_i$ 的概率，等于其对应的“未测组” B 的“相对状态” $\vert \phi_i \rangle_B$ 的范数平方，即 $P(a_i) = \|\vert \phi_i \rangle_B\|^2$。
2. 分析第一个可能结果:
   • 测量结果: $(\heartsuit, \diamondsuit)$。这对应于被测组 $(\mathsf{X}_4, \mathsf{X}_2)$ 的状态是 $\vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2$。
   • 找到对应的相对状态: 从之前的分解中，我们知道与这个结果关联的未测组 $(\mathsf{X}_3, \mathsf{X}_1, \mathsf{X}_0)$ 的相对状态是：
   • 计算概率: 概率等于这个相对状态的范数平方。
   • 由于 $\vert\clubsuit\spadesuit\spadesuit\rangle$ 和 $\vert\clubsuit\heartsuit\heartsuit\rangle$ 是两个不同的标准基矢，它们是相互正交的。
   • 因此，范数平方等于各自系数的模平方之和。
3. 分析第二个可能结果:
   • 测量结果: $(\diamondsuit, \diamondsuit)$。
   • 对应的相对状态: $\vert\phi_{(\diamondsuit,\diamondsuit)}\rangle = \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0$。
   • 计算概率:
4. 分析第三个可能结果:
   • 测量结果: $(\spadesuit, \clubsuit)$。
   • 对应的相对状态: $\vert\phi_{(\spadesuit,\clubsuit)}\rangle = \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0$。
   • 计算概率:
5. 概率总和验证:
   • 所有非零概率结果的总和为 $3/7 + 2/7 + 2/7 = 7/7 = 1$。这表明我们已经找到了所有可能发生的结果，并且计算是自洽的。

这一段应用部分测量的状态坍缩法则，计算了当得到特定结果 $(\heartsuit,\diamondsuit)$ 后，整个5-ququart系统的新状态。

1. 状态坍缩法则回顾:
   • 如果对 A 组的测量得到结果 $a_i$，则复合系统的新状态是 $\vert a_i \rangle_A \otimes \frac{\vert \phi_i \rangle_B}{\|\vert \phi_i \rangle_B\|}$。
2. 应用法则:
   • 测量结果: $a_i = (\heartsuit, \diamondsuit)$。这对应的被测组 A 的状态是 $\vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2$。
   • 对应的相对状态: $\vert\phi_i\rangle_B = \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0$。
   • 相对状态的范数: 我们已经算出 $\|\vert\phi_i\rangle_B\| = \sqrt{3/7}$。
   • 坍缩后的状态 (分组视角):
3. 化简和恢复顺序:
   • 化简: 将归一化常数 $1/\sqrt{3/7} = \sqrt{7/3}$ 乘入括号中。
   • 组合: 将被测组和归一化后的未测组状态张量积起来。
   • 恢复原始顺序: 为了可读性和符合物理约定，我们将 ket 的顺序从计算时用的 $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ 恢复到原始的 $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$。
   • 第一项: $\vert\heartsuit_4\diamondsuit_2\clubsuit_3\spadesuit_1\spadesuit_0\rangle$ 变成 $\vert\heartsuit_4\clubsuit_3\diamondsuit_2\spadesuit_1\spadesuit_0\rangle$。
   • 第二项: $\vert\heartsuit_4\diamondsuit_2\clubsuit_3\heartsuit_1\heartsuit_0\rangle$ 变成 $\vert\heartsuit_4\clubsuit_3\diamondsuit_2\heartsuit_1\heartsuit_0\rangle$。
   • 最终答案: 这就得到了公式第二行给出的最终结果。
4. 普适性:
   • 文章最后指出，对于另外两种可能的结果 $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ 和 $(\spadesuit,\clubsuit)$，计算坍缩后状态的方法是完全一样的，只是代入不同的相对状态和范数即可。

这一段将部分测量的规则应用到之前介绍的第一个重要三比特纠缠态——GHZ态上。

1. 系统和状态:
   • 系统: 三个量子比特。
   • 状态: GHZ态 $\vert\text{GHZ}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 000 \rangle + \vert 111 \rangle)$。
2. 测量计划:
   • 只测量第一个比特。
3. 分析过程:
   • 重排表达式: GHZ态的表达式已经天然地按照第一个比特的基矢分好组了。
   • 识别相对状态:
   • 当第一个比特为0时，后两个比特的相对状态是 $\vert \phi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 00 \rangle$。
   • 当第一个比特为1时，后两个比特的相对状态是 $\vert \phi_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 11 \rangle$。
4. 计算结果为0的情况:
   • 概率: $P(X_1=0) = \|\vert\phi_0\rangle\|^2 = \|\frac{1}{\sqrt{2}}\vert 00 \rangle\|^2 = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2$。
   • 状态坍缩:
   • 新状态 = $\vert 0 \rangle \otimes \frac{\vert\phi_0\rangle}{\|\vert\phi_0\rangle\|} = \vert 0 \rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\vert 00 \rangle}{\sqrt{1/2}} = \vert 0 \rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\vert 00 \rangle}{1/\sqrt{2}}$
   • $= \vert 0 \rangle \otimes \vert 00 \rangle = \vert 000 \rangle$。
5. 计算结果为1的情况:
   • 概率: $P(X_1=1) = \|\vert\phi_1\rangle\|^2 = \|\frac{1}{\sqrt{2}}\vert 11 \rangle\|^2 = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2$。
   • 状态坍缩:
   • 新状态 = $\vert 1 \rangle \otimes \frac{\vert\phi_1\rangle}{\|\vert\phi_1\rangle\|} = \vert 1 \rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\vert 11 \rangle}{\sqrt{1/2}} = \vert 1 \rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\vert 11 \rangle}{1/\sqrt{2}}$
   • $= \vert 1 \rangle \otimes \vert 11 \rangle = \vert 111 \rangle$。
6. 物理诠释 (GHZ态的脆弱性):
   • 这个计算结果非常深刻地揭示了GHZ态纠缠的特性。
   • 仅仅对一个比特进行测量，就完全确定了所有比特的状态。
   • 测量后，系统坍缩到一个乘积态（$\vert 000 \rangle = \vert 0\rangle\otimes\vert 0\rangle\otimes\vert 0\rangle$ 或 $\vert 111 \rangle = \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle$）。
   • 这意味着，测量一个粒子就完全摧毁了三个粒子之间精巧的纠缠关系。剩下的两个粒子之间不再有任何纠缠。这就是之前提到的GHZ态纠缠的“脆弱性”。

这一段开始对第二个重要的三比特纠缠态——W态，进行部分测量的分析，首先是准备步骤的表达式重排。

1. 系统和状态:
   • 系统: 三个量子比特。
   • 状态: W态 $\vert W \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(\vert 001 \rangle + \vert 010 \rangle + \vert 100 \rangle)$。
2. 测量计划:
   • 只测量第一个比特。
3. 执行重排操作:
   • 目标: 将 $\vert W \rangle$ 改写成 $\vert 0 \rangle \otimes \vert \phi_0 \rangle + \vert 1 \rangle \otimes \vert \phi_1 \rangle$ 的形式。
   • 分组:
   • 找出所有第一个比特是0的项: $\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle$。
   • 找出所有第一个比特是1的项: $\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle$。
   • 因式分解:
   • 从第一组提取 $\vert 0 \rangle$:
   • 从第二组提取 $\vert 1 \rangle$:
   • 组合结果: 将两部分相加，就得到了文中给出的重排形式。

这一段计算了测量W态的第一个比特得到结果0的概率和后果。

1. 计算概率 $P(X_1=0)$:
   • 规则: 概率等于相对状态 $\vert\phi_0\rangle$ 的范数平方。
   • 相对状态: $\vert \phi_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10 \rangle$。
   • 计算范数平方:
   • 结论: 测量W态的第一个比特，得到结果0的概率是 $2/3$。
2. 计算坍缩后的状态:
   • 规则: 新状态 = $\vert 0 \rangle \otimes \frac{\vert\phi_0\rangle}{\|\vert\phi_0\rangle\|}$。
   • 代入数值:
   • 被测比特状态为 $\vert 0 \rangle$。
   • 后两个比特的新状态为 $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}(\vert 01 \rangle + \vert 10 \rangle)}{\sqrt{2/3}}$。
   • 化简:
   • 识别结果: 这个结果 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 01 \rangle + \vert 10 \rangle)$ 正是四个贝尔态中的 $\vert \psi^+ \rangle$！
   • 最终坍缩状态: $\vert 0 \rangle \otimes \vert \psi^+ \rangle$。
3. 物理诠释 (W态的稳健性):
   • 这个结果与GHZ态形成了鲜明对比！
   • 在测量第一个比特得到0后，整个三体纠缠并没有完全被摧毁。
   • 系统坍缩到了一个乘积态，但这个乘积态的一个因子本身是一个最大纠缠态 $\vert\psi^+\rangle$。
   • 这意味着，剩下的两个比特之间仍然保持着最大纠缠。这就是W态纠缠的“稳健性”或“分布式”特性。

这一句简要地给出了测量W态第一个比特得到结果1的概率和后果。

1. 计算概率 $P(X_1=1)$:
   • 规则: 概率等于相对状态 $\vert\phi_1\rangle$ 的范数平方。
   • 相对状态: 从之前的重排中，我们知道 $\vert\phi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00 \rangle$。
   • 计算范数平方:
   • 结论: 得到结果1的概率是 $1/3$。
2. 计算坍缩后的状态:
   • 规则: 新状态 = $\vert 1 \rangle \otimes \frac{\vert\phi_1\rangle}{\|\vert\phi_1\rangle\|}$。
   • 代入数值:
   • 被测比特状态为 $\vert 1 \rangle$。
   • 后两个比特的新状态为 $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00 \rangle}{\sqrt{1/3}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00 \rangle}{1/\sqrt{3}} = \vert 00 \rangle$。
   • 最终坍缩状态: $\vert 1 \rangle \otimes \vert 00 \rangle = \vert 100 \rangle$。
   • 物理诠释: 在这种情况下，系统确实坍缩到了一个完全的乘积态 $\vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle\otimes\vert 0\rangle$，纠缠完全消失了。

这一段利用W态的对称性，对结论进行了推广。

1. W态的对称性:
   • 定义: W态 $\vert W \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(\vert 001 \rangle + \vert 010 \rangle + \vert 100 \rangle)$ 具有置换对称性 (permutation symmetry)。
   • 含义: 如果你交换任意两个比特的位置，整个量子态保持不变。
   • 示例: 交换第一个和第二个比特。
   • $\vert 001 \rangle \to \vert 001 \rangle$
   • $\vert 010 \rangle \to \vert 100 \rangle$
   • $\vert 100 \rangle \to \vert 010 \rangle$
   • 新状态为 $\frac{1}{\sqrt{3}}(\vert 001 \rangle + \vert 100 \rangle + \vert 010 \rangle)$，这和原来的W态是同一个状态。
2. 对称性的推论:
   • 因为W态对于所有三个比特都是对称的，所以从物理上讲，这三个比特是“不可区分的”。
   • 因此，我们去测量第一个比特、第二个比特、还是第三个比特，所能观察到的统计结果和状态演化应该是完全一样的。
   • 结论:
   • 测量任何一个比特，得到结果0的概率都是 $2/3$，之后剩下的两个比特会处于贝尔态 $\vert\psi^+\rangle$。
   • 测量任何一个比特，得到结果1的概率都是 $1/3$，之后剩下的两个比特会处于乘积态 $\vert 00 \rangle$。

这一段将量子运算的概念从单系统推广到多系统。

1. 回顾单系统酉运算:
   • 量子运算在数学上由酉矩阵 (Unitary Matrix) 描述。
   • 一个矩阵 $U$ 是酉矩阵，如果它的共轭转置 $U^\dagger$ 等于它的逆 $U^{-1}$，即 $U^\dagger U = U U^\dagger = \mathbb{I}$ (单位矩阵)。
   • 物理意义: 酉运算保持了量子态向量的范数（长度）不变，即保持了总概率为1。这对应于封闭量子系统演化的可逆性和概率守恒。
   • 对于一个具有 $d$ 个古典状态的单系统，其上的酉运算由一个 $d \times d$ 的酉矩阵表示。
2. 推广到多系统:
   • 核心思想: 再次将复合系统视为一个大的“单系统”。
   • 这个大的“单系统”，其古典状态集是由子系统古典状态集的笛卡尔积构成的。
   • 如果复合系统的状态空间维度是 $D$（例如，对于 $n$ 个量子比特，$D=2^n$），那么作用在该复合系统上的任何酉运算，就由一个 $D \times D$ 的酉矩阵来表示。
   • 这个巨大的酉矩阵描述了复合系统作为一个整体的演化，它可以是作用在所有子系统上的一个复杂的、联动的操作。

这一段聚焦于两体系统，更具体地阐述了复合系统酉矩阵的结构。

1. 两体系统设置:
   • 系统 $\mathsf{X}$，古典状态集 $\Sigma$，维度 $d_X = |\Sigma|$。
   • 系统 $\mathsf{Y}$，古典状态集 $\Gamma$，维度 $d_Y = |\Gamma|$。
   • 复合系统 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$，古典状态集 $\Sigma \times \Gamma$，维度 $D = d_X \times d_Y$。
2. 酉矩阵的结构:
   • 作用在 $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ 上的酉运算 $U$ 是一个 $D \times D$ 的矩阵。
   • 这个矩阵的行和列，都由复合系统的标准基矢 $\vert ab \rangle$ 来索引，其中 $a \in \Sigma, b \in \Gamma$。
   • 关键点: 矩阵的行和列的顺序，必须与我们表示量子态列向量时所用的基矢顺序完全一致。
   • 例如，如果我们约定量子态向量的顺序是 $(\alpha_{00}, \alpha_{01}, \alpha_{10}, \alpha_{11})^T$，那么我们的酉矩阵 $U$ 的行和列也必须按照 $\vert 00 \rangle, \vert 01 \rangle, \vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle$ 的顺序来组织。这样，矩阵-向量乘法 $U\vert\psi\rangle$ 才能正确地计算演化后的状态。
   • 矩阵元素 $U_{ij}$ 的物理意义是：如果系统初始处于第 $j$ 个基态，演化后，它在第 $i$ 个基态上的概率幅是 $U_{ij}$。

这一段通过一个具体的例子，展示了一个作用在“混合系统”上的酉矩阵是什么样子的。

1. 系统设置:
   • 系统 $\mathsf{X}$ 是一个三值比特 (qutrit)，$\Sigma=\{1,2,3\}$。
   • 系统 $\mathsf{Y}$ 是一个比特 (qubit)，$\Gamma=\{0,1\}$。
   • 复合系统维度为 $3 \times 2 = 6$。
2. 确定基矢顺序 (非常重要):
   • 文章明确了标准基矢的排序惯例，这是一种字典序：首先固定第一个系统的状态，遍历第二个系统的所有状态，然后改变第一个系统的状态，再遍历第二个系统的所有状态...
   • 顺序: $(1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1)$。
   • 这对应于基矢: $\vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle, \vert 20 \rangle, \vert 21 \rangle, \vert 30 \rangle, \vert 31 \rangle$。
   • 这个顺序决定了酉矩阵行和列的含义。第1列对应输入 $\vert 10 \rangle$，第2列对应输入 $\vert 11 \rangle$，以此类推。
3. 酉矩阵示例:
   • 给出了一个 $6 \times 6$ 的矩阵 $U$。
   • 文章明确说这个矩阵“并不特殊”，它只是为了作为一个例子，展示这种矩阵可能的样子。
   • 如何验证它是酉矩阵？
   • 方法1 (直接定义): 计算其共轭转置 $U^\dagger$ (将矩阵转置，然后所有元素取复共轭)，然后计算矩阵乘法 $U^\dagger U$，看结果是否为 $6 \times 6$ 的单位矩阵 $\mathbb{I}$。这个计算会非常繁琐。
   • 方法2 (利用性质): 酉矩阵的充要条件是它的所有列向量（或所有行向量）构成一组标准正交基。
   • 正交性: 任意两列的点积为0。
   • 归一性: 每一列自身的点积为1。
   • 文章指出，对于这个特定矩阵 $U$ 的形式，检查列向量的正交归一性可能更简单。例如，第4列和第5列显然正交于其他列。我们可以检查第1,2,3,6列是否相互正交，以及它们各自的范数是否为1。
   • 例如，第一列的范数平方: $|1/2|^2+|1/2|^2+|1/2|^2+0^2+|1/2|^2+0^2 = 4 \times (1/4)=1$。
   • 第一列和第二列的点积: $(1/2)(1/2)^* + (1/2)(i/2)^* + (1/2)(-1/2)^* + \dots = (1/4) + (-i/4) + (-1/4) + \dots$ 需要仔细计算所有项。

这一段演示了如何使用给定的酉矩阵 $U$ 来计算一个特定输入状态的演化结果。

1. 输入状态:
   • 输入是标准基矢 $\vert 1, 1 \rangle$ (即 $\vert 11 \rangle$)。
2. 矩阵-向量乘法:
   • 量子态的演化由矩阵乘以向量来计算：$\vert \psi_{out} \rangle = U \vert \psi_{in} \rangle$。
   • 输入状态 $\vert 11 \rangle$ 在我们约定的基矢顺序 $(\vert 10 \rangle, \vert 11 \rangle, \dots)$ 中排在第二位。
   • 因此，$\vert 11 \rangle$ 对应的列向量是 $(0, 1, 0, 0, 0, 0)^T$。
   • 计算 $U \vert 11 \rangle$ 就等同于用矩阵 $U$ 乘以这个列向量。
   • 线性代数知识: 矩阵乘以一个只有第 $j$ 位是1的基向量，其结果就是该矩阵的第 $j$ 列。
   • 因为 $\vert 11 \rangle$ 对应第2个基矢，所以 $U \vert 11 \rangle$ 的结果就是矩阵 $U$ 的第二列。
3. 读取结果:
   • 我们查看矩阵 $U$ 的第二列，其元素是 $(\frac{1}{2}, \frac{i}{2}, -\frac{1}{2}, 0, -\frac{i}{2}, 0)^T$。
   • 这个结果列向量的每个元素，对应于输出状态在相应基矢上的概率幅。
   • 翻译回狄拉克符号:
   • 第一行系数 $\frac{1}{2}$ 对应基矢 $\vert 10 \rangle$。
   • 第二行系数 $\frac{i}{2}$ 对应基矢 $\vert 11 \rangle$。
   • 第三行系数 $-\frac{1}{2}$ 对应基矢 $\vert 20 \rangle$。
   • 第四行系数 $0$ 对应基矢 $\vert 21 \rangle$。
   • 第五行系数 $-\frac{i}{2}$ 对应基矢 $\vert 30 \rangle$。
   • 第六行系数 $0$ 对应基矢 $\vert 31 \rangle$。
   • 将它们组合起来，就得到了文中的结果：

这一段讨论了不同表示法（矩阵 vs. 狄拉克符号）在描述量子运算时的优缺点。

1. 用狄拉克符号表示矩阵:
   • 任何一个矩阵 $U$ 都可以用狄拉克符号的“外积”形式来表示：
   • 其中 $\vert i \rangle$ 和 $\langle j \vert$ 是基矢， $U_{ij} = \langle i | U | j \rangle$ 是矩阵元素。
   • 对于我们例子中的 $6 \times 6$ 矩阵 $U$，它有 20 个非零元素。所以用狄拉克符号写出它，就需要写一个包含 20 项的巨大求和表达式。
   • 例如，矩阵左上角的元素 $U_{10,10} = 1/2$ 会写成一项 $\frac{1}{2} \vert 10 \rangle \langle 10 \vert$。第二行第一列的元素 $U_{11,10} = 1/2$ 会写成 $\frac{1}{2} \vert 11 \rangle \langle 10 \vert$。
2. 狄拉克符号的缺点:
   • 混乱 (Cluttered): 对于一个大的、没有简单规律的矩阵，写出所有项会使表达式变得极长、难以阅读。
   • 模式不清晰 (Obscured Pattern): 在矩阵表示法中，我们可能能一眼看出某些结构，比如矩阵是“块对角的”（如本例所示，矩阵右下角是一个 $2 \times 2$ 的块，左上角是一个 $4 \times 4$ 的相关块，它们之间没有耦合）。这种结构化的信息在冗长的求和表达式中很容易被淹没。
3. 结论:
   • 没有一种表示法是永远最好的。
   • 狄拉克符号在进行抽象的、符号化的理论推导时非常强大和优雅。
   • 矩阵表示法在处理具体的、数值化的计算，或者在观察矩阵的整体结构（如稀疏性、块结构等）时，更为直观和清晰。
   • 应根据具体任务选择最合适的表示工具。

这一段将酉运算推广到三个及以上系统，并用一个具体的例子来说明，同时引入了“可逆运算”的概念。

1. 推广到N体系统:
   • 与之前类似，规则被直接推广：$n$ 个子系统构成的复合系统，其酉运算由一个 $D \times D$ 的酉矩阵表示，其中 $D$ 是复合系统的状态空间总维度。矩阵的行和列由复合系统的标准基矢索引。
2. 三比特运算的例子:
   • 运算: $U = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert$。
   • 解读:
   • 这是一个三比特运算，所以状态空间是8维，基矢是 $\vert 0 \rangle, \dots, \vert 7 \rangle$。
   • 这里的数字 $k$ 代表其3位二进制编码。例如，$\vert 5 \rangle \equiv \vert 101 \rangle$。
   • 外积 $\vert i \rangle \langle j \vert$ 表示一个矩阵，它将输入基矢 $\vert j \rangle$ 映射到输出基矢 $\vert i \rangle$，并将所有其他输入基矢映射到零向量。
   • 这个求和表达式描述了 $U$ 对每个基矢的作用：$U \vert k \rangle = \vert (k+1) \bmod 8 \rangle$。
   • 这是一个“循环加一”或“增量”门。它将 $\vert 000 \rangle \to \vert 001 \rangle$, $\vert 001 \rangle \to \vert 010 \rangle$, ..., $\vert 111 \rangle \to \vert 000 \rangle$。
   • 属性1：确定性运算 (Deterministic Operation):
   • 它将每一个标准基矢都确定地映射到另一个标准基矢，而不是一个叠加态。
   • 其矩阵表示的每一列和每一行都只有一个1，其余都是0。这种矩阵被称为置换矩阵 (Permutation Matrix)。
   • 属性2：酉运算: 所有的置换矩阵都是酉矩阵。因为它的列（行）是标准基矢的一个重排，所以它们自然是正交归一的。
   • 引入新概念：可逆运算 (Reversible Operation): 一个既是确定性的（置换矩阵）又是酉运算的运算，被称为可逆运算。这在经典可逆计算中也是一个核心概念。
3. 计算共轭转置 (逆运算):
   • 共轭转置: $(A \vert i \rangle \langle j \vert B)^\dagger = B^\dagger \vert j \rangle \langle i \vert A^\dagger$。对于实数系数，$(c \vert i \rangle \langle j \vert)^\dagger = c \vert j \rangle \langle i \vert$。
   • $U^\dagger = \left(\sum_{k=0}^7 \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert\right)^\dagger = \sum_{k=0}^7 \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert$。
   • 变量代换: 为了看得更清楚，我们令 $j = (k+1) \bmod 8$，那么 $k = (j-1) \bmod 8$。当 $k$ 从0到7遍历时，$j$ 也从0到7遍历。
   • 代入后得到: $U^\dagger = \sum_{j=0}^7 \vert (j-1) \bmod 8 \rangle \langle j \vert$。把哑变量 $j$ 换回 $k$，就得到文中的第二个表达式。
   • 物理解释: 这个 $U^\dagger$ 的作用是 $U^\dagger \vert k \rangle = \vert (k-1) \bmod 8 \rangle$。它是一个“循环减一”或“减量”门。
   • 结论: “循环减一”显然是“循环加一”的逆运算。这验证了 $U^\dagger = U^{-1}$，因此 $U$ 确为酉矩阵。

这一段介绍了如何描述最常见的一类多系统酉运算——在每个子系统上独立地施加操作。

1. 场景:
   • 我们有一个由 $n$ 个子系统构成的复合系统。
   • 我们想对第0个子系统做操作 $U_0$，同时对第1个子系统做操作 $U_1$，...，同时对第 $n-1$ 个子系统做操作 $U_{n-1}$。
   • 关键是，这些操作是独立执行的，互不影响。
2. 组合规则：张量积:
   • 文章给出了核心规则：描述这种独立组合操作的整体酉矩阵 $U_{total}$，是描述每个独立操作的酉矩阵 $U_i$ 的张量积。
   • 顺序: 同样，张量积的顺序很重要，它必须与量子态向量中子系统的排列顺序相匹配。
3. 与量子态的类比:
   • 这个规则与我们之前学习的乘积态的构造完全平行。
   • 独立的状态组合成乘积态: $\vert \psi_{total} \rangle = \vert \psi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \psi_0 \rangle$。
   • 独立的运算组合成张量积运算: $U_{total} = U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$。
   • 这种并行的结构体现了张量积作为描述“独立组合”的核心数学工具的地位。
4. 与概率论的类比:
   • 文章再次提到与概率论的相似性。在概率论中，如果对独立的随机变量 $X, Y$ 分别施加变换 $f$ 和 $g$，那么对联合系统 $(X,Y)$ 的变换就是 $(f, g)$。张量积在量子力学中扮演了类似的角色。

这一部分提供了一个数学证明，来验证“多个酉矩阵的张量积仍然是一个酉矩阵”。这保证了我们用张量积组合成的独立运算，其结果仍然是一个合法的量子运算。

1. 待证明命题: 如果 $U_0, \dots, U_{n-1}$ 都是酉矩阵，那么 $U = U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ 也是一个酉矩阵。
2. 证明思路: 证明 $U$ 是酉的，就是要证明 $U^\dagger U = \mathbb{I}$。
3. 第一步：张量积的共轭转置法则
   • 文章首先给出了一个关键的线性代数性质：张量积的共轭转置等于共轭转置的张量积。
   • 这个性质可以从张量积和共轭转置的定义直接验证（对每个矩阵元素进行检查），这里我们接受它为已知事实。
   • 将这个性质应用到我们的问题上，得到：
4. 第二步：张量积的乘法法则
   • 文章接着使用了张量积的另一个关键性质：张量积的乘法（混合乘积性质）。
   • 应用这个性质：
5. 第三步：利用酉性
   • 因为我们已知每个 $U_i$ 都是酉矩阵，所以根据定义，$U_i^\dagger U_i = \mathbb{I}_i$，其中 $\mathbb{I}_i$ 是与 $U_i$ 维度相同的单位矩阵。
   • 代入上式，我们得到：

这一段完成了证明的最后一步，并对整个证明过程进行了总结。

1. 第四步：单位矩阵的张量积
   • 性质: 多个单位矩阵的张量积，结果仍然是一个单位矩阵，只是维度变得更大了。
   • 物理意义: 在每个子系统上都“什么都不做”（施加恒等运算），等同于在整个复合系统上“什么都不做”。
   • 因此，$\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0 = \mathbb{I}_{total}$，这里的 $\mathbb{I}$ 是复合系统空间中的那个巨大的单位矩阵。
2. 总结证明链:
   • 文章将整个推导过程清晰地串联起来，形成一个五行的等式链。
   • 第一行: 我们要计算的目标 $U^\dagger U$。
   • 第二行: 应用共轭转置的张量积法则。
   • 第三行: 应用矩阵乘法的张量积法则。
   • 第四行: 利用每个 $U_i$ 的酉性 ($U_i^\dagger U_i = \mathbb{I}_i$)。
   • 第五行: 利用单位矩阵的张量积性质。
   • 整个链条从 $U^\dagger U$ 开始，到 $\mathbb{I}$ 结束，完美地证明了 $U$ 的酉性。