1 成交量谱模型详解

这段话是整篇论文的基石，它提出了一个数学模型来描述和解构日内成交量的动态变化。让我们从头开始，一步步理解。

1. 研究对象: 我们的研究对象是“日内成交量时间序列”，用 $V_t$ 表示。

• “日内” (Intraday) 指的是在一个交易日内部。比如从早上9:30开盘到下午3:00收盘。
• “成交量” (Volume) 可以是不同的度量，比如成交的股票总金额（金额成交量）、成交的总股数（成交股数）或者发生交易的次数（成交笔数）。
• “时间序列” (Time Series) 是指我们按照固定的时间间隔来记录成交量的数值。例如，每3秒钟记录一次成交量。$t$ 就是时间的标记，从第一个时间点 $t=1$ 一直记录到最后一个时间点 $t=T$。所以，$V_1, V_2, \dots, V_T$ 就是一个长长的数字序列，代表了一天内成交量随时间的变化。

1. 核心思想：分解: 论文的核心思想是，任何看起来复杂的成交量变化曲线 ($V_t$)，都可以被拆解成三个更简单的组成部分：一个平滑的趋势，若干个规律的周期性波动，以及一些随机的噪声。这就像把一道复杂的菜肴的味道分解成咸味、甜味、酸味等基本味道一样。
2. 模型的三个组成部分:

• 趋势项 ($m_t$): 这部分代表了成交量在一个交易日内总体的、缓慢变化的趋势。最著名的就是“U型”趋势：早上刚开盘和下午快收盘的时候成交量巨大，而中午交易比较平淡。这个 $m_t$ 就是用来捕捉这种大的、可预测的形状。它被假设为“非随机”的，意味着它更多地反映了交易者群体的确定性行为模式。
• 周期项 ($\sum_{j=1}^{n} a_{j} \cos \left(\lambda_{j} t\right)$): 这是模型最有趣的部分。它假设在大的趋势之上，还叠加了很多有规律的、重复出现的周期性波动。
• 想象一下，除了开盘和收盘的大量交易，可能每隔5分钟、10分钟、30分钟，市场上都会出现一些小的交易高峰。这些就是周期性的。
• 模型用一系列的余弦函数 ($\cos$) 来捕捉这些周期。每一个余弦函数 $\cos(\lambda_j t)$ 都代表一种特定频率的波动。
• $\lambda_j$ 是频率，决定了波动有多快。$\lambda$ 越大，波动越快（周期越短）。
• $a_j$ 是振幅或者说强度系数，决定了这个频率的波动有多强。$a_j$ 的绝对值越大，这个周期性就越显著。
• $\sum$ 符号表示我们将 $n$ 个不同频率、不同强度的周期性波动全部加起来，共同构成了成交量的复杂波动部分。
• 噪声项 ($\varepsilon_t$): 也叫扰动项或残差项。它代表了那些无法被趋势和周期解释的、完全随机的、不可预测的成交量变化。比如某个投资者突然下了一个大单，或者某个新闻事件引发的短暂交易，这些都属于噪声。模型假设它是“白噪声”，意味着这些噪声是独立的，没有规律可循。

1. 去趋势过程 ($X_t$): 论文将周期项和噪声项合在一起，称为“去趋势过程” $X_t$。也就是说，$X_t = V_t - m_t$。如果我们从原始的成交量数据中把那个大的U型趋势给减掉，剩下的部分就是 $X_t$，它包含了所有有趣的周期性波动和随机噪声。

任何数学模型都需要一些假设来保证其理论上的合理性和可解性。这些假设为模型的建立和后续的推导提供了必要的数学约束。

1. 假设 1: 这个假设说趋势项 $m_t$ 不会增长到无穷大或跌到负无穷。它始终被限制在一个有限的范围内（由常数 $M$ 限定）。

• 为什么需要这个假设？ 在金融实践中，一个交易日内的成交量不可能是无限的，它总会有一个上限。这个假设保证了模型的数学性质良好，防止出现一些理论上的极端情况，使得后续的数学运算（如求和、求极限）能够正常进行。它是一个非常合理且符合实际的技术性假设。

1. 假设 2: 这是三个假设中最核心、最具洞察力的一个。它说趋势项 $m_t$ 和所有的周期项 $\cos(\lambda_j t)$ 是“正交”的。

• 什么是“正交”？ 在几何上，两条线正交意味着它们互相垂直。在信号处理和时间序列分析中，两个序列正交意味着它们在长期来看没有相关性，它们的内积（这里用长期平均的乘积来表示）为0。
• 这个假设的含义是：我们已经把特定频率 $\lambda_j$ 的周期性完全地、干净地分离出来，放进了周期项 $a_j \cos(\lambda_j t)$ 中。剩下的趋势项 $m_t$ 里，不应该再含有任何与这些 $\lambda_j$ 频率相关的周期性成分了。
• 打个比方: 如果我们正在把一篮子水果分类，假设 2 就好比说：“苹果”这个类别（对应周期项）已经把所有的苹果都拿走了，那么在“其他水果”这个篮子（对应趋势项 $m_t$）里，就不应该再找到苹果了。这保证了模型分解的唯一性和清晰性，避免了“一个周期模式既被算作趋势又被算作周期”的混淆。

1. 假设 3: 这是关于噪声项 $\varepsilon_t$ 的标准统计假设。

• 独立同分布 (i.i.d.):
• “独立”意味着今天的噪声和昨天的噪声没有任何关系。一个随机扰动发生了，并不会增加或减少下一个随机扰动发生的概率。
• “同分布”意味着所有这些噪声都来自同一个“噪声生成器”，它们有相同的统计特性，比如相同的概率分布。
• 均值为0: 噪声在长期来看是平均为零的。有时是正的扰动（成交量意外增加），有时是负的扰动（成交量意外减少），但平均下来它们相互抵消。这保证了噪声不会系统性地推高或拉低成交量的整体水平。
• 方差为 $\sigma^2$: 方差衡量了噪声的波动幅度。$\sigma^2$ 是一个常数，意味着噪声的波动剧烈程度是稳定的，不会随时间变化。这被称为“同方差性”。

这段话是对公式(1)的文字性总结和重申，强调了每个部分的金融学含义。

1. 线性组合: 模型是“线性的”，因为总成交量 $V_t$ 是三个部分直接相加得到的。这是一种最简单、最直接的组合方式。如果模型是非线性的（例如，$V_t = m_t \times (\sum a_j \cos(\lambda_j t)) + \varepsilon_t$），分析会复杂得多。
2. 第一部分：趋势项 ($m_t$):

• 这里明确指出了 $m_t$ 的实际形态：U型 或 W型。
• U型: 在美国等西方市场常见。开盘时（上午）交易活跃，大量信息被消化，成交量高；盘中（中午）交易清淡，成交量低；临近收盘时，基金经理调仓、日内交易者平仓等导致交易再次活跃，成交量高。连接起来就像一个字母“U”。
• W型: 在中国A股等市场常见。除了开盘和收盘的两个高峰，上午10:30-11:00左右还有一个小高峰，下午的交易相对平缓，形成了类似“W”的形状（或者说是一个双U型）。
• 这个趋势项捕捉的是一天之内确定性的、由市场结构和交易者习惯决定的宏观模式。

1. 第二部分：周期项 ($\sum a_j \cos(\lambda_j t)$):

• 这部分被描述为由余弦基函数构成的 $n$ 个项。这里的“基函数”可以理解为搭建复杂波动的“积木”，每个 $\cos(\lambda_j t)$ 就是一块形状独特的积木。
• 它捕捉的是比日内U型趋势更“高频”的波动。论文的第2节（未在此处提供）应该通过谱分析等经验性证据，展示了成交量数据中存在着除了U型之外的、更快的周期性，比如5分钟、10分钟、30分钟的周期。
• $a_j$ 的解释: 这里再次强调了 $a_j$ 的重要性。它不是频率，而是强度。$a_j$ 的绝对值 $|a_j|$ 越大，说明频率为 $\lambda_j$ 的那种周期性波动在总的成交量变化中就越“响亮”、越“显著”。

1. 第三部分：特异性噪声项 ($\varepsilon_t$):

• 这里用了“特异性”（idiosyncratic）这个词，强调这种噪声是特定于某个时间点 $t$ 的、与其它时间点无关的随机事件。它是成交量中那些“一次性”的、无法用系统性趋势或周期来解释的剩余部分。

这一节开始进入技术核心：我们如何从数据中实际地“看到”并测量那些看不见的周期？答案是使用一个叫做“自协方差函数”的工具。

1. 目标: 我们想要揭示和量化模型(1)中 $\sum a_j \cos(\lambda_j t)$ 这部分。也就是说，我们想知道存在哪些周期（$\lambda_j$是什么），以及这些周期有多强（$a_j$是什么）。
2. 工具介绍: 作者引入了样本自协方差函数，记为 $\gamma_T^p(h)$。

• 这个函数是用来衡量一个时间序列“自己和自己”的相关性的。
• $p_t$ 可以是我们关心的任何一个序列：原始成交量 $V_t$，趋势 $m_t$，或者去趋势后的序列 $X_t$。
• $h$ 被称为“滞后”(lag)。它是一个时间差。
• $\gamma_T^p(h)$ 回答的问题是：一个序列在 $t$ 时刻的取值，和它在 $h$ 个时间单位之后（即 $t+h$ 时刻）的取值，有多大的关联度？

1. 公式的直观理解:

• $(p_t - \bar{p})$: 序列在 $t$ 时刻的值与平均值的偏差。
• $(p_{t+h} - \bar{p})$: 序列在 $t+h$ 时刻的值与平均值的偏差。
• $(p_t - \bar{p})(p_{t+h} - \bar{p})$: 将这两个偏差相乘。
• 如果序列在 $t$ 和 $t+h$ 时刻都倾向于高于平均值（两个偏差都为正），或者都倾向于低于平均值（两个偏差都为负），那么乘积就是正的。
• 如果一个高于平均值，一个低于平均值，乘积就是负的。
• $\frac{1}{T-h}\sum_{t=1}^{T-h}(\dots)$: 把所有可能的 $(t, t+h)$ 对的偏差乘积加起来，再取一个平均。
• 所以，如果 $\gamma_T^p(h)$ 是一个大的正数，说明序列有“惯性”：当前值高，那么 $h$ 步之后的值也很可能高。如果它是一个大的负数，说明序列有“反转”性：当前值高，那么 $h$ 步之后的值倾向于变低。如果它接近0，说明两者没什么关系。

1. 与周期性的关系:

• 关键洞察: 如果一个序列有很强的周期性，比如周期是 $P$，那么它在 $t$ 时刻的状态和在 $t+P$ 时刻的状态会非常相似。因此，它的自协方差函数在滞后 $h=P$ 的时候，应该会有一个峰值。同样，在 $h=2P, 3P, \dots$ 时也会有峰值。
• 通过计算并画出 $\gamma_T^p(h)$ 关于不同 $h$ 的图像（这个图像被称为相关图 an correlogram），我们就可以从峰值出现的位置，发现序列中隐藏的周期。

1. 变异性的来源:

• 文章最后指出，$V_t$ 和 $X_t$ 的“变异性”（variability，即上下波动的程度）有两个来源：
• 真正的随机性: 来自白噪声 $\varepsilon_t$。
• 伪随机性: 来自周期项 $\sum a_j \cos(\lambda_j t)$。一个余弦函数本身是确定性的、可预测的，但很多个不同频率的余弦波叠加在一起，看起来就像是随机波动一样。
• 自协方差函数这个工具的强大之处在于，它能帮助我们区分这两种“变异性”，并从后者中提取出关于周期的信息。

这是论文的第一个关键理论结果，它精确地揭示了我们计算出的自协方差函数 $\gamma_T^X(h)$ 和我们想要求的周期强度 $a_j$ 之间的数学关系。

1. 主角: 这个定理关注的是去趋势后的序列 $X_t = \sum a_j \cos(\lambda_j t) + \varepsilon_t$ 的自协方差 $\gamma_T^X(h)$。为什么是 $X_t$ 而不是 $V_t$? 因为我们已经通过假设2，把趋势 $m_t$ 和周期项分开了。趋势会干扰我们对周期的分析，所以我们先把它“扔掉”。
2. 前提条件: 这个定理成立需要前面的假设1-3。这些假设保证了数学推导的严谨性。
3. 核心结论 (公式3): 当我们的数据量足够大时 ($T \to \infty$)，我们从数据中计算出的样本自协方差 $\gamma_T^X(h)$ 会收敛到一个确定的理论形式。这个理论形式由两部分组成：

• 第一部分: $\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{2} \cos \left(\lambda_{j} h\right)$。
• 这是一个关于滞后 $h$ 的函数。
• 它本身也是一个由多个余弦波构成的和！
• 但请注意，这里的余弦波是 $\cos(\lambda_j h)$，变量是滞后 $h$，而不是时间 $t$。
• 每个余弦波的频率 $\lambda_j$ 与原始序列 $X_t$ 中的频率完全相同。
• 最关键的是，每个余弦波的振幅现在是 $\frac{1}{2}a_j^2$。它正比于原始周期项强度 $a_j$ 的平方！
• 第二部分: $\mathbf{1}_{h=0} \sigma^{2}$。
• $\mathbf{1}_{h=0}$ 是一个指示函数。当 $h=0$ 时，它的值为1；当 $h \neq 0$ 时，它的值为0。
• $\sigma^2$ 是白噪声 $\varepsilon_t$ 的方差。
• 所以，这部分的意思是：只有在滞后为0的情况下，自协方差中才包含噪声的方差。当滞后 $h > 0$ 时，噪声项的贡献是0。这是因为根据假设3，白噪声是独立的，$\varepsilon_t$ 和 $\varepsilon_{t+h}$ 之间没有相关性，所以它们的协方差为0。

1. 定理的意义:

• 这个定理建立了一座神奇的桥梁。桥的一头是我们能从数据中计算的东西（左边：$\gamma_T^X(h)$），桥的另一头是我们梦寐以求的东西（右边：$a_j^2$）。
• 它告诉我们：去趋势序列的自协方差函数，本身就是一个频谱！ 它的形状直接反映了原始序列中各个周期成分的强度。
• 如果原始序列 $X_t$ 在频率 $\lambda_j$ 上有一个很强的周期（即 $a_j^2$ 很大），那么它的自协方差函数 $\gamma^X(h)$ 作为一个关于 $h$ 的函数，在频率 $\lambda_j$ 上也会有一个很强的周期。

1. 如何使用这个结果:

• 第一步：我们从成交量数据 $V_t$ 中估计并移除趋势 $m_t$，得到去趋势序列 $\hat{X}_t$。
• 第二步：利用公式(2)，计算出 $\hat{X}_t$ 的样本自协方差 $\hat{\gamma}^X(h)$，对于 $h=0, 1, 2, \ldots, n$。
• 第三步：现在我们有了一组数字 $\hat{\gamma}^X(h)$。根据定理1，我们知道这组数字约等于 $\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{2} \cos \left(\lambda_{j} h\right)$ （对于 $h>0$）。
• 第四步：这是一个“反演”问题。已知多个余弦波叠加后的结果，如何求出每个余弦波的振幅（$a_j^2$）？这正是离散傅里叶变换（DFT）的拿手好戏！我们将在3.2节看到具体操作。

这个推论是定理1的一个直接且非常重要的应用，它解释了成交量的总波动究竟来自哪里。

1. 出发点: 推论的起点是定理1的公式(3)，并且特别关注 $h=0$ 的情况。

• 回顾一下，$\gamma_T^p(0)$ 就是序列 $p_t$ 的样本方差，它衡量了序列的总波动幅度。

1. 推导过程:

• 在公式(3)中，我们让 $h=0$：

$\gamma_T^X(0) \xrightarrow{a.s.} \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n a_j^2 \cos(\lambda_j \cdot 0) + \mathbf{1}_{0=0}\sigma^2$

• 因为 $\cos(0)=1$ 且 $\mathbf{1}_{0=0}=1$，上式简化为：

$\gamma_T^X(0) \xrightarrow{a.s.} \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n a_j^2 + \sigma^2$

• 这个公式告诉我们，去趋势序列 $X_t$ 的总方差 ($\gamma_T^X(0)$) 被分解成了两部分：所有周期项贡献的方差之和 ($\frac{1}{2}\sum a_j^2$)，加上白噪声自身的方差 ($\sigma^2$)。

1. 关联到原始成交量 $V_t$:

• 我们最终关心的是原始成交量 $V_t$ 的方差 $\gamma_T^V(0)$。
• 我们有 $V_t = m_t + X_t$。
• 根据方差的性质，如果两个变量是不相关的，那么它们和的方差等于它们方差的和。即 $Var(A+B) = Var(A) + Var(B)$。
• 在我们的模型里，趋势项 $m_t$ 是非随机的，而去趋势项 $X_t$ 是随机的（来源是 $\varepsilon_t$）。在更一般的设定下，如果我们将 $m_t$ 和 $X_t$ 视为两个不相关的随机过程（这与假设2的精神一致），那么总方差可以近似分解：

$\gamma_T^V(0) \approx \gamma_T^m(0) + \gamma_T^X(0)$

（总方差 = 趋势的方差 + 去趋势部分的方差）

• 将 $\gamma_T^X(0)$ 移到左边，得到 $\gamma_T^V(0) - \gamma_T^m(0) \approx \gamma_T^X(0)$。
• 再结合我们从定理1推导出的 $\gamma_T^X(0)$ 的分解，就得到了公式(4)：

$\gamma_{T}^{V}(0)-\gamma_{T}^{m}(0) \xrightarrow{\text { a.s. }} \sigma^{2}+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} a_{j}^{2}$

1. 公式(4)的解读:

• 左边：$\gamma_T^V(0) - \gamma_T^m(0)$ 是总成交量方差中，扣除了由日内U型趋势所贡献的方差之后，剩余的方差。我们可以称之为“去趋势方差”。
• 右边：这个“去趋势方差”由两部分构成：
• $\sigma^2$: 无法解释的、纯粹随机的噪声所贡献的方差。
• $\frac{1}{2} \sum a_j^2$: 所有 $n$ 个周期性成分所贡献的方差之和。

1. $a_j^2$ 的重要解释:

• 这个推论给了 $a_j^2$ 一个非常清晰的物理解释。$\frac{1}{2}a_j^2$ 正是第 $j$ 个周期分量对“去趋势方差”的贡献量。
• 我们可以计算一个比例：$R_j^2 = \frac{\frac{1}{2} a_j^2}{\sigma^2 + \frac{1}{2}\sum_k a_k^2}$。这个比例告诉我们，在所有非趋势性的波动中，由第 $j$ 个周期所解释的百分比是多少。
• 这为我们比较不同周期的重要性提供了一个量化指标。如果 $a_1^2$ 远大于 $a_2^2$，我们就可以说频率为 $\lambda_1$ 的周期比频率为 $\lambda_2$ 的周期重要得多。
• “强度系数”这个名字因此而得名，因为它直接量化了周期的强度。

这一节开始从理论转向实践，详细说明如何具体操作来估计我们最关心的参数 $a_j$。

1. 总体策略:

• 第一步：估计自协方差函数 $\gamma^X(h)$。我们已经知道怎么做了（公式2）。
• 第二步：应用“离散傅里叶反变换”（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT）到 $\gamma^X(h)$ 上，来求解 $a_j^2$。
• 为什么是傅里叶反变换？ 定理1的公式(3) $\gamma^X(h) \approx \sum_j (\frac{1}{2}a_j^2) \cos(\lambda_j h)$，本质上是一个傅里叶余弦级数。它说 $\gamma^X(h)$ 是由一系列系数为 $\frac{1}{2}a_j^2$ 的余弦波合成的。傅里叶分析告诉我们，如果知道一个信号是如何合成的，我们就可以通过傅里叶变换把它分解开，找出原始的系数。这个“分解”的过程，就是傅里叶反变换（或正变换，取决于定义）。

1. 频率的选择 ($\lambda_j$):

• 在理论部分，$\lambda_j$ 可以是任意频率。但在实践中，我们必须选择一组离散的、固定的频率来做分析。
• 作者做了一个非常标准的选择：$\lambda_j = \frac{j\pi}{n}$，其中 $j=1, \ldots, n$。
• 这组频率被称为傅里叶频率。它们在频率空间 $(0, \pi]$ 中是等距分布的。
• 对应的周期: 周期 $P_j = 2\pi / \lambda_j = 2\pi / (j\pi/n) = 2n/j$ 个时间单位。
• 具体到本文: 作者提到一个时间单位是3秒。所以周期就是 $(2n/j) \times 3$ 秒。
• $n$的选择: 作者选择 $n=500$。这是一个很重要的实证选择。
• $n$ 决定了我们能分辨的频率的精细程度。$n$ 越大，频率网格越密。
• 选择 $n=500$ 是为了确保这个频率网格足够密，能够“覆盖”到一些他们凭经验认为很重要的周期，比如5分钟和10分钟。
• 我们来验证一下：
• 5分钟 = 300秒。对应的周期是 $300/3 = 100$ 个时间单位。我们想找一个 $j$ 使得 $P_j = 2n/j = 2(500)/j = 1000/j = 100$，解得 $j=10$。所以 $\lambda_{10}$ 这个频率正好对应5分钟周期。
• 10分钟 = 600秒。对应的周期是 $600/3=200$ 个时间单位。我们想找一个 $j$ 使得 $1000/j = 200$，解得 $j=5$。所以 $\lambda_5$ 这个频率正好对应10分钟周期。
• 这个选择确保了模型有能力去捕捉5分钟和10分钟的周期效应。

1. 数据的扩展:

• 之前我们的模型 $V_t$ 看起来只针对一个时间序列。但在实证研究中，我们通常有大量的数据。
• 这里的数据结构是一个“面板数据”（Panel Data）：
• $S$ 只不同的股票（$s=1, \ldots, S$）。
• $D$ 个不同的交易日（$d=1, \ldots, D$）。
• 所以总共有 $S \times D$ 个时间序列。
• 为了体现这一点，模型(1)被扩展到了模型(5)，给所有的变量都加上了股票下标 $s$ 和日期下标 $d$。

上一步设定了一个非常灵活的模型，但参数太多 ($a_{j,s,d}$)，直接估计不现实。这一步通过一个非常简单而强大的方法来解决这个问题：平均。

1. 问题: 对于一只股票 $s$，它在不同日期 $d$ 的周期强度 $a_{j,s,d}$ 可能是不同的。我们是想知道每一天独特的周期模式，还是想知道这只股票“通常”或“平均”的周期模式？
2. 解决方案: 作者选择研究后者。他们对于每一只股票 $s$，将它在所有 $D$ 天的成交量数据，在每个时间点 $t$ 上进行平均。

• 例如，计算股票 $s$ 在所有 $D$ 天里，开盘后第一个3秒 ($t=1$) 的平均成交量 $\bar{V}_{1,s,\cdot}$。
• 再计算它在开盘后第二个3秒 ($t=2$) 的平均成交量 $\bar{V}_{2,s,\cdot}$。
• ... 以此类推，直到收盘。
• 这样，对于每只股票 $s$，我们就得到了一个新的、长度为 $T$ 的时间序列 $\bar{V}_{t,s,\cdot}$。这个序列代表了这只股票“典型交易日”的成交量模式。

1. 平均后的模型:

• 由于模型(5)是线性的（各项直接相加），对 $V_{t,s,d}$ 求平均，等价于对它右边的每一项分别求平均。
• 平均成交量 ($\bar{V}_{t, s, \cdot}$) = 平均趋势 ($\bar{m}_{t, s, \cdot}$) + 平均周期项 ($\sum (\bar{a}_{j, s, \cdot}) \cos(\lambda_j t)$) + 平均噪声 ($\bar{\varepsilon}_{t, s, \cdot}$)。
• 这个新的平均模型和原始模型长得一模一样，只是所有变量都变成了“平均版”。

1. 平均的好处 (信噪比):

• 核心思想: 信号加噪声，多次测量再平均，可以有效地降低噪声。
• 信号: 我们认为，一只股票的周期性模式 $a_j$ 是其内在的、比较稳定的属性。所以不同日期的 $a_{j,s,d}$ 虽然有波动，但其均值 $\bar{a}_{j,s,\cdot}$ 代表了其稳定的周期强度。这是我们想保留的“信号”。
• 噪声: 噪声项 $\varepsilon_{t,s,d}$ 是独立且均值为0的。根据大数定律，当我们将很多个（$D$个）这样的噪声相加再取平均时，其结果 $\bar{\varepsilon}_{t,s,\cdot} = \frac{1}{D}\sum_d \varepsilon_{t,s,d}$ 会趋近于0。
• 结果: 通过对 $D$ 天的数据进行平均，我们有效地“平均掉”了大部分随机噪声，使得隐藏在数据中的“信号”（即平均趋势 $\bar{m}$ 和平均周期强度 $\bar{a}$）更加凸显出来。这会大大提高我们后续估计的准确性和稳定性。

1. 目标转变:

• 现在，我们的目标从估计海量的、每天都不同的 $a_{j,s,d}$，转变为对于每只股票 $s$，只估计一组“平均强度系数” $\bar{a}_{j,s,\cdot}$。参数数量大大减少，问题变得可行。

这是估计流程的第一个具体操作步骤：从平均成交量序列 $\bar{V}_{t,s,\cdot}$ 中，估计并分离出趋势项 $\bar{m}_{t,s,\cdot}$。

1. 目的: 谱分析（即周期分析）对非平稳的趋势非常敏感。U型的趋势本身就是一个巨大的、周期为一天的低频信号，它的能量非常大，会掩盖掉我们感兴趣的那些更高频、更精细的周期。因此，在分析周期之前，必须先把这个强大的趋势项移除。这就像想听清楚乐队里的短笛声，得先把音量巨大的低音炮关掉一样。
2. 方法: 作者使用了金融时间序列分析中最常用的去趋势方法之一：滚动窗口移动平均 (rolling window moving average)。

• 思想: 一个时间点 $t$ 的趋势值，可以用它附近一段时间的成交量的平均值来近似。因为趋势是缓慢变化的，而周期和噪声是快速变化的，所以在一段时间内取平均，快速变化的成分会因为正负振荡而相互抵消，只剩下缓慢变化的趋势。
• 窗口: 这个“附近的一段时间”被称为“窗口”，其大小由参数 $q$ 决定。窗口的总宽度是 $2q+1$ 个时间点。
• 滚动: 之所以叫“滚动”，是因为这个窗口在时间序列上不断向前移动。为了计算 $t$ 时刻的趋势，我们用 $t$ 前后 $q$ 个点。为了计算 $t+1$ 时刻的趋势，我们把整个窗口向前移动一格，用 $t+1$ 前后 $q$ 个点。

1. 参数 $q$ 的选择:

• 作者选择 $q=100$。这意味着窗口宽度是 $2 \times 100 + 1 = 201$ 个时间点。
• 一个时间点是3秒，所以窗口的时间跨度是 $201 \times 3 = 603$ 秒，大约是10分钟。
• 这个选择的含义是: 我们假设，任何周期短于10分钟的波动都属于我们想要分析的“周期项”，而任何比10分钟更长、更平滑的变化都属于“趋势”。
• 移动平均是一个“低通滤波器”，它让低频信号（长周期，慢变化）通过，而滤掉高频信号（短周期，快变化）。$q$ 越大，窗口越宽，滤波效果越强，得到的趋势线就越平滑。

1. 估计趋势方差:

• 在得到趋势序列 $\hat{\bar{m}}_{t,s,\cdot}$ 之后，我们可以用标准的样本方差公式来计算它的方差 $\hat{\gamma}_T^{\bar{m}_{s,\cdot}}(0)$。
• 这个值将在后面的方差分解中用到，用来衡量U型趋势对总波动的贡献有多大。
• 注意求和的范围是从 $q+1$ 到 $T-q$，因为在序列的开头和结尾的 $q$ 个点，我们无法构成一个完整的窗口，所以无法计算它们的移动平均值。

这是估计流程的第二步：在“清理好场地”之后，我们开始测量我们真正感兴趣的东西——去趋势序列的自协方差。

1. 构造去趋势序列:

• 第一步，我们得到了平均成交量 $\bar{V}_{t,s,\cdot}$ 和它的趋势估计 $\hat{\bar{m}}_{t,s,\cdot}$。
• 现在，我们直接将两者相减，得到去趋势序列的估计值：

$\hat{\bar{X}}_{t,s,\cdot} = \bar{V}_{t,s,\cdot} - \hat{\bar{m}}_{t,s,\cdot}$

• 这个新的序列 $\hat{\bar{X}}_{t,s,\cdot}$ 就是我们认为主要由周期项和噪声项构成的序列。它的U型趋势已经被移除了，看起来更像是在一个固定的均值上下波动的序列。

1. 应用自协方差公式:

• 接下来，我们对这个刚刚得到的 $\hat{\bar{X}}_{t,s,\cdot}$ 序列，使用标准样本自协方差公式（即公式2）来计算它的自协方差。
• 这个公式就是步骤2中给出的那个长公式，它看起来复杂，但本质上和公式(2)一模一样，只是把里面的 $p_t$ 换成了 $\hat{\bar{X}}_{t,s,\cdot}$，并且调整了求和的边界。

1. 计算范围:

• 我们需要计算滞后 $h$ 从多少到多少的自协方差？
• 作者指出，计算范围是 $-n \leq h \leq n$。
• 回忆一下，$n=500$ 是我们在频率选择时设定的周期个数。我们需要计算从滞后-500到+500的自协方差值。
• 为什么是这个范围？因为下一步的傅里叶变换需要用到这一整段的自协方差信息，才能分辨出 $n=500$ 个不同频率的强度。输入序列的长度（这里是 $2n+1$）决定了傅里叶变换输出的频率分辨率。
• 由于自协方差函数是一个偶函数，即 $\gamma(h) = \gamma(-h)$，所以我们实际上只需要计算 $h=0, 1, \ldots, n$ 的值，然后就可以知道负滞后部分的值。

1. 公式细节:

• 公式中的 $\frac{1}{T-2q} \sum \bar{X}_{t,s,\cdot}$ 是在计算去趋势序列 $\hat{\bar{X}}_{t,s,\cdot}$ 的样本均值。理论上，如果去趋势很完美，这个均值应该接近于0。
• 求和的范围 $t$ 从 $q+1$ 到 $T-q-h$ 是为了确保 $t$ 和 $t+h$ 都落在我们有有效数据点的区间 $[q+1, T-q]$ 之内。

这是整个估计流程的最后一步，也是最高潮的部分：从自协方差序列中“榨取”出我们最终想要的强度系数 $a_j^2$。

1. 理论回顾与变形:

• 作者首先重写了定理1的结论，并做了一些数学上的变形，目的是把它变成一个标准的离散傅里叶变换（DFT）的形式。
• 第一步变形: 利用欧拉公式 $\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$，将 $\cos(\lambda_j h)$ 替换掉。这样，原来基于余弦的表达式就变成了基于复指数 $e^{i\lambda_j h}$ 的表达式。这是傅里叶分析的标准语言。
• 第二步变形: 作者将求和范围从 $j=1,\dots,n$ 扩展到了 $j=-n, \dots, n$。这是一个技巧，使得公式的形式与标准的DFT公式完全对应起来。这里定义了 $\bar{a}_{-j}^2 = \bar{a}_j^2$。
• 变形后的结论: 这个变形说明，我们观测到的自协方差序列 $\gamma(h)$ （作为 $h$ 的函数），可以被看作是另一个序列（主要是我们想求的 $\frac{1}{4}\bar{a}_j^2$）的傅里叶变换的结果。
• 噪声项的处理: 注意这里的噪声方差变成了 $\sigma_s^2 / D$。这是因为我们在分析的是平均了 $D$ 天的序列 $\bar{X}_{t,s,\cdot}$，之前我们推导过它的噪声方差会减小 $D$ 倍。

1. 傅里叶反变换:

• 核心逻辑: 如果 A 是 B 的傅里叶变换，那么 B 就是 A 的傅里叶反变换。
• 既然自协方差序列 $\gamma(h)$ 是强度序列 $a_j^2$ 的傅里叶变换，那么反过来，我们想求的强度序列 $a_j^2$ 就是我们已知的自协方差序列 $\gamma(h)$ 的傅里叶反变换！
• 这就是本步骤的核心思想：对步骤2中计算出的自协方差序列 $\{\hat{\gamma}^{\bar{X}}(h)\}_{h=-n}^n$ 应用离散傅里叶反变换算法，就能得到强度 $\{\hat{\bar{a}}_j^2\}_{j=1}^n$ 的估计值。

1. 最终的估计公式:

• 作者给出了最终的计算公式。它看起来很复杂，但它就是离散傅里叶余弦变换 (Discrete Cosine Transform, DCT) 的一个具体表达式。
• 第一个等号后的公式: 这是用复指数形式写的。注意 $e^{-i\frac{\pi}{n}hj} + e^{i\frac{\pi}{n}hj} = 2\cos(\frac{\pi}{n}hj)$。
• 第二个等号后的公式: 这是更直观的、用余弦写的形式。它告诉我们，为了计算第 $j$ 个频率上的强度 $\hat{\bar{a}}_j^2$，我们需要：
• 将自协方差序列 $\hat{\gamma}(h)$ (for $h=1..n$) 与一个对应的余弦波 $\cos(\frac{j\pi}{n}h)$逐点相乘，然后求和。这本质上是在计算 $\hat{\gamma}(h)$ 与频率为 $j\pi/n$ 的余弦基函数的“相关性”。
• 如果 $\hat{\gamma}(h)$ 本身就含有很强的 $j\pi/n$ 频率成分，那么这个乘积求和的结果就会很大。
• 最后加上 $\hat{\gamma}(0)$ 项，并乘以一个归一化常数 $\frac{2}{n}$。