1. 4 实证估算周期性

这个段落是第四部分的开篇介绍，起到了一个“路标”的作用，告诉读者接下来要讲什么内容。

1. 核心任务：本节的核心任务是将前面第三节介绍的理论方法——谱分析（Spectral Analysis）——应用到真实的金融市场数据中。理论联系实际是学术研究的关键步骤。
2. 研究对象：分析的具体数据是成交量（Volume），但不是我们通常理解的成交金额或成交股数，而是成交笔数（Number of Trades）。作者特别强调了这一点，并预告会在后面的章节（第 5.1.1 节）解释为什么选择成交笔数作为主要分析指标。这表明作者的选择是经过深思熟虑的，而不是随意的。
3. 分析范围和结构：本节的分析将分两步走：
   • 第一步 (第 4.1 节)：进行“深度”分析，选择个别有代表性的股票进行详细研究。这种“解剖麻雀”式的方法有助于深入揭示微观层面的规律。
   • 第二步 (第 4.2 节)：进行“广度”分析，将同样的方法应用到整个市场的所有股票上。这能检验从个股中发现的规律是否具有普遍性，即是否是市场的“通用模式”。
4. 承上启下：段落明确指出了本节内容是建立在第 3 节的理论基础之上的，同时预告了第 5.1.1 节将会有对指标选择的进一步讨论，体现了文章结构的逻辑性和连贯性。

这一段详细说明了作者如何开始进行个股分析，包括样本选择和数据处理方法。

1. 样本选择：作者挑选了两只股票作为研究的起点。选择的不是随机的，而是“具有代表性”的：

• 苹果公司 (Apple Inc.)：代表美国市场。苹果是全球知名的科技巨头，交易活跃，市场参与者多样，是研究美股的理想样本。
• 平安银行 (Ping An Bank)：代表中国市场。平安银行是中国大型股份制商业银行，同样具有高流动性和广泛的投资者基础，能代表A股的特点。
• 跨市场比较的意图：选择分属两个不同国家、不同交易制度、不同投资者结构的市场中的代表性股票，暗示了作者想要探究交易活动周期性是否存在跨市场的共性与差异。

1. 数据预处理：

• 观测数据 $X_{t}$：作者明确指出，他们用来分析的不是原始的成交量数据，而是经过处理后的“去趋势日内平均成交量”。这里的“平均”指的是将多个交易日的同一时刻（例如，所有交易日的上午9:30:01）的成交笔数取平均，得到一个“典型交易日”的模式。
• 去趋势 (Detrended)：这是非常关键的一步。金融市场的交易活动在一天内通常呈现出“U型”或“W型”模式，即开盘和收盘时段交易最活跃，盘中相对清淡。这个宏观的、平滑变化的趋势会掩盖掉更高频率的周期性波动。因此，必须先将这个大的趋势（U型/W型）从数据中剥离出去，剩下的“残差”部分才能更好地用于分析那些短周期的、重复出现的模式。这就像你想听清楚一段录音中的微弱背景音乐，需要先用降噪软件去掉主要的噪音一样。

1. 针对中国市场的特殊处理：

• 午休问题：中国A股市场有中午休市的制度（午休），这会导致日内交易时间被分割成不连续的两段（上午和下午）。
• 分段处理：为了应对这个问题，作者决定不把一整天的数据连在一起分析。他们将平安银行的数据切分为“上午时段”和“下午时段”两个独立的部分。
• 分别估计：对上午和下午这两个时间序列，他们会独立地进行谱分析，分别计算各自的强度系数。这样做是科学的，因为它避免了午休这个巨大的人为“断点”对周期性分析造成的干扰。

这一部分是实证分析的第一个核心结果展示。作者将前面准备好的数据输入谱分析模型，得到了可视化的结果，并对结果进行了解读。

1. 分析方法回顾：作者首先提醒读者，他们使用的是第 3 节中介绍的方法。具体来说，他们将去趋势后的成交量时间序列 $X_t$ 分解成一系列不同频率的余弦波（基函数）。
2. 参数设置：他们选择了一组非常大的基函数，数量 $n=500$。（原文中的 n=50013 和脚注 14 可能是排版错误或特殊说明，但从上下文和后续的 fVR 基准计算来看，核心参数是 $n=500$）。选择500个基函数意味着他们试图将交易活动分解成500种不同频率的周期性振动。
3. 核心指标：强度系数：通过模型估计，他们得到了每个基函数（即每个频率）的强度系数 $a_j$。这个系数的平方 $\hat{a}_{j}^{2}$ （$\hat{}$ 表示这是通过数据估计出来的值）代表了对应频率 $j$ 的周期性成分的“能量”或“强度”。$\hat{a}_{j}^{2}$ 的值越大，说明这个频率的周期性在交易活动中越显著。
4. 结果可视化（图 2）：图 2 是关键。

• 横轴：是频率的指数 $j$。指数 $j$ 越大，代表的频率越高（周期越短）。
• 纵轴：是估计出的平方强度系数 $\hat{a}_{j}^{2}$。
• 图的形态：整个图就像地平线上起伏的山脉。如果交易活动没有任何周期性，这条线应该像一片平原，所有 $\hat{a}_{j}^{2}$ 的值都差不多大且很小。但图 2 显示了几个非常突出的“山峰”（peaks）。
• “山峰”的意义：这些“山峰”的出现，强烈地表明在对应的频率上，存在着非常显著的周期性行为。这就像你在收音机调频，调到某个频率时，突然听到了清晰的广播信号，而不是沙沙的噪音。
• 红点标记：为了方便读者理解，作者在一些重要的“山峰”上用红点进行了标记，并标注了这些频率对应的时间周期，如 “30s”, “1min”, “5min”。这些都是非常符合人类直觉的“整数时间”。

1. 对图 2 的解读：

• 苹果公司（上图）：在周期为 5 分钟、1 分钟、30 秒、20 秒的地方出现了明显的峰值。这说明苹果股票的交易活动，在去除了U型趋势后，存在以这些时间为周期的、反复出现的“脉冲”或“浪潮”。
• 平安银行（中下图）：无论是上午还是下午，都在 5 分钟、1 分钟、30 秒的地方出现了明显的峰值。这说明平安银行的交易活动也存在类似的周期性。
• 共性：最惊人的发现是，尽管苹果和平安银行身处完全不同的市场环境，但它们的核心周期惊人地一致（尤其是 5 分钟、1 分钟、30 秒这几个）。这暗示了这些周期性可能不是由特定市场的制度或投资者群体决定的，而是某种更深层次、更普遍的交易行为模式的体现。

这一段引入了一个关键的量化指标——频率方差比 (fVR)，用于衡量之前发现的周期性到底有多“重要”。

1. 提出问题：作者首先点明了上一步分析的局限性。我们已经通过图2“看到”了周期性的存在，但“看到”不等于“理解”。我们还不知道这些周期性有多强。具体来说，它们在整个交易活动的波动中，究竟扮演了多大的角色？一个周期性即使存在，如果它的影响微乎其微，那研究价值也不大。所以，核心问题是：这些周期性成分能解释多少方差？（在统计学中，方差是衡量数据波动程度的指标，能解释方差，就意味着能解释数据的波动）。
2. 解决方法：谱分解：作者提出，答案在于“谱分解”。这个概念源于第3节的理论。其核心思想是，一个时间序列的总方差（总波动性），可以被分解为各个不同频率成分的方差之和。就像一块大蛋糕（总方差）可以被切成许多小块，每一小块对应一个频率。
3. 定义核心指标 fVR：为了量化每个频率的重要性，作者定义了频率方差比 (fVR, frequency Variance Ratio)。

• 公式：$\mathrm{fVR}_{j}:=\frac{a_{j}^{2}}{2 \sigma^{2}+\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}$
• fVR的含义：这个公式计算的是，由第 $j$ 个频率的周期性所解释的方差（分子），占去趋势后的时间序列总方差（分母）的百分比。
• 直观理解：fVR_j 就是第 j 个频率成分这块“小蛋糕”，占整个“去趋势后”的大蛋糕的比例。如果fVR_j = 10%，就意味着这个频率的周期性活动，解释了去趋势后交易量总波动的10%。这是一个非常直观和有力的指标。

1. 解释fVR公式的构成：

• 分子 $a_{j}^{2}$：根据第3节的理论，一个频率为 $j$ 的余弦波成分 $a_j \cos(2\pi j t/T)$ 对总方-差的贡献近似是 $a_{j}^{2}/2$。这里直接用 $a_{j}^{2}$ （或其某个倍数）作为其解释方差的度量，因为它正比于该频率的能量。
• 分母 $2 \sigma^{2}+\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$：这代表了去趋势后时间序列的总方差。它由两部分组成：
• $\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$：这是所有 $n$ 个周期性成分（余弦波）贡献的方差之和。
• $2 \sigma^{2}$：这是模型中剩余的、无法被任何周期性解释的“噪音”部分的方差。$\sigma^2$ 是随机误差项 $\epsilon_t$ 的方差。
• 分母的特殊之处：作者特别强调，这个分母不包括U型趋势的方差。这是一个非常重要的设计。他们故意将U型趋势这个“巨无霸”从总方差中排除了。

1. 为什么要在分母中排除U型趋势？

• U型趋势是已知现象：“U型”或“双U型”（考虑午休）的日内交易模式是金融学界几十年来都知道的“老生常谈”(well-known stylized fact)。作者的研究兴趣不在于再次“发现”这个U型模式。
• 聚焦于新发现：他们的焦点是U型趋势之外的那些“残差”里，是否还隐藏着其他有规律的模式。通过从分母中排除U型趋势的方差，fVR衡量的就是：在排除了众所周知的U型模式之后，某个特定频率的周期性，能在多大程度上解释剩余的交易波动？
• 提高敏感度：这样做极大地提高了指标的敏感度。如果把U型趋势的巨大方差放进分母，那么所有高频成分的fVR都会变得极其微小，就像用银河系的质量作为分母来衡量地球的质量一样，数字会小到没有意义。

这一小段是专门针对中国A股市场数据处理的一个技术性补充说明。因为它之前提到，由于午休的存在，A股的数据被分成了上午和下午两段来独立分析。那么，当要计算一整天的fVR时，就面临一个如何合并这两段分析结果的问题。

1. 问题背景：之前对平安银行的数据进行了分段处理，得到了两套独立的分析结果：

• 一套是上午时段的：强度系数 $a_{j, \text{morning}}$ 和 噪音方差 $\sigma_{\text{morning}}^2$。
• 另一套是下午时段的：强度系数 $a_{j, \text{afternoon}}$ 和 噪音方差 $\sigma_{\text{afternoon}}^2$。

1. 合并的需求：为了能和美股（全天连续交易）的fVR进行公平比较，需要为A股的股票也计算一个代表“全天”的fVR值。
2. 合并方法（公式7）：作者提出了一个直接而合理的合并方法，即把两段的方差贡献简单相加。

• 分子：对于第 $j$ 个频率，它在全天的总能量，就等于它在上午的能量（由 $a_{j, \text{morning}}^2$ 体现）加上它在下午的能量（由 $a_{j, \text{afternoon}}^2$ 体现）。所以分子是 $a_{j, \text { morning }}^{2}+a_{j, \text { afternoon }}^{2}$。
• 分母：全天的“去趋势后总方差”，也等于上午的“去趋势后总方差”加上下午的“去趋势后总方差”。
• 上午的总方差 = $2 \sigma_{\text {morning }}^{2}+\sum_{i=1}^{n} a_{i, \text { morning }}^{2}$
• 下午的总方差 = $2 \sigma_{\text {afternoon }}^{2}+\sum_{i=1}^{n} a_{i, \text { afternoon }}^{2}$
• 两者相加，就得到了公式(7)的分母。

1. 公式的合理性：这个合并方法是建立在方差可加性（对于独立时段）的基础上的。它假设上午的波动和下午的波动是两个独立的过程，因此全天的总方差就是两部分方差的和。这是一个在实践中非常常见的简化处理方式。这个新的指标被记为 $\mathrm{fVR}_{j}^{\prime}$，用 ' (prime) 来和标准版的fVR区分。

这一部分是对前面定义的 fVR 指标进行实际计算，并将结果呈现在表格中，然后对表格数据进行解读，得出结论。

1. 结果呈现（表 1）：表 1 是核心的量化证据。它展示了对于苹果公司和平安银行，几个关键频率（10分钟、5分钟、1分钟、30秒、20秒）的 fVR 数值。每一行代表一只股票，每一列代表一个特定的周期。
2. 建立判断基准：在解读数据之前，作者首先建立了一个“标杆”或“参照物”，即基准 fVR (benchmark fVR)。

• 基准的逻辑：如果交易活动中不存在任何真正的周期性，那么所有的波动都纯粹是随机噪音。在这种情况下，我们把波动分解到500个频率上，每个频率分到的能量应该是大致相等的。因此，每个频率的fVR理论上都应该是 $1/n$。
• 基准的计算：由于模型中包含了 $n=500$ 个周期性成分，所以基准 fVR = $1/500 = 0.002 = 0.2\%$。
• 基准的用途：这个0.2%就是一把尺子。任何一个频率的fVR如果只是在0.2%左右，那它很可能只是随机噪音；但如果一个频率的fVR远远超过0.2%，比如达到了2%或10%，那我们就非常有信心说，这个频率上存在着真实的、不容忽视的周期性活动。

1. 数据解读与比较：作者将表1中的实际fVR值与0.2%的基准进行比较。

• 苹果公司：
• 1分钟周期的fVR高达 9.46%！这比基准值0.2%高出近50倍。说明“1分钟节拍”能解释苹果公司去趋势后交易波动的将近十分之一，这是一个非常惊人的数字。
• 30秒（3.88%）、5分钟（2.97%）、20秒（2.33%）的fVR也都显著高于基准。
• 10分钟周期的fVR为0.31%，虽然也高于基准，但相对不那么突出。
• 平安银行：
• 1分钟周期的fVR更是达到了 12.53%，比基准高出60多倍，是所有周期中最强的。
• 5分钟周期的fVR也高达 9.05%。
• 30秒（5.49%）和10分钟（2.23%）也同样非常显著。
• 20秒周期的fVR为1.63%，同样远超基准。

1. 得出结论：

• 证实周期性存在：所有这些关键频率的fVR都“显著高于”0.2%的基准，这为“日内交易量中存在重要周期性”这一论点提供了强有力的量化支持。它印证了之前从图2得到的直观观察。
• 揭示相对重要性差异：通过比较fVR的具体数值，我们可以看出不同周期之间的“实力差距”。
• 在两只股票中，1分钟周期的解释力都是最强的（苹果9.46%，平安12.53%），是“主旋律”。
• 5分钟周期也是一个非常重要的节拍，尤其是在平安银行（9.05%）中，其重要性几乎与1分钟周期相当。
• 30秒周期是次一级的重要节奏。
• 中美市场差异初现：尽管有很多相似之处，但差异也开始显现。例如，对平安银行来说，5分钟和10分钟周期的重要性（9.05%, 2.23%）似乎比苹果公司（2.97%, 0.31%）要高。而苹果在更短的20秒周期上（2.33%）比平安（1.63%）更强一些。这暗示了不同市场在交易节奏的细节上可能存在差异。

这个小段落是第4.2节的引言，标志着研究范围的重大扩展。

1. 从个案到全体：作者明确指出，研究的重心从此前的“解剖麻雀”（分析两只代表性股票）转向“普查人口”（分析样本中的所有股票）。这是一个从特殊到一般的关键跃升。
2. 研究目标：通用周期性 (Universal Periodicity)：标题和内容都点明了本小节的核心目标——寻找“通用”的周期性。也就是说，作者想验证之前在苹果和平安银行上发现的那些周期性规律（如1分钟、5分钟周期），究竟是这两只股票的特例，还是整个股票市场的普遍现象？
3. 方法论的延续：作者强调，他们使用的是“相同的方法”，即将在第4.1节中建立起来的一整套流程——包括去趋势、谱分析、计算强度系数和fVR等——应用到每一只股票上。这保证了分析的一致性和结果的可比性。
4. 样本规模：这里给出了具体的样本数量：2,573只股票。这个庞大的样本量使得研究结论具有很高的统计可信度。如果能在如此大量的股票上发现一致的模式，那么这个模式是偶然巧合的可能性就微乎其微了。

这一部分通过图3展示了全市场分析的第一个重磅结果：哪些周期性节拍在整个市场中最流行？

1. 分析方法：

• 对每只股票：对样本中2,573只股票的每一只，都运行谱分析，得到其所有频率的强度系数 $\hat{a}_j^2$。
• 找出“优等生”：从这500个频率中，找出强度系数排名前三的频率。这三个频率可以被认为是这只股票最重要的、最强的内生节拍。
• 统计“出镜率”：然后，作者开始扮演“点票员”的角色。他们看“1分钟”这个频率，在所有美股的“前三名”榜单里出现了多少次？在所有中概股的“前三名”榜单里又出现了多少次？对所有重要的频率（如30秒，5分钟等）都做同样的统计。
• 可视化（图 3）：图3就是这个“点票”结果的可视化。它是一个柱状图。
• 横轴：是各个候选的周期（10s, 15s, ..., 5min, etc.）。
• 纵轴：是某个特定周期（比如“1min”）作为一只股票“前三强”节拍出现的总次数。
• 图例：图中用不同颜色区分了“最强频率”（第一名）、“第二强频率”和“第三强频率”。这能提供更丰富的信息。

1. 结果解读（观察到了极其一致的全市场模式）：

• 美国市场（左图，492只股票）：

• 高度集中：绝大多数股票的最强节拍，都落在了少数几个周期上：1分钟、30秒、20秒、15秒、10秒、5分钟。图上这些柱子特别高，而“其他”这个柱子很矮，说明强周期不是随机分布的，而是高度集中的。
• 1分钟是王者：代表“1分钟”周期的蓝色柱子（最强频率）鹤立鸡群，说明对于绝大多数美股来说，1分钟是它们最核心的交易节拍。
• 30秒是亚军：代表“30秒”周期的橙色柱子（第二强频率）也非常高，说明如果1分钟不是最强，那么30秒很有可能就是第二强的节拍。
• 中国市场（右图，2,081只股票）：

• 同样高度集中：情况类似，强周期也集中在少数几个选择上：1分钟、5分钟、30秒、10分钟、2.5分钟。
• 双雄争霸：与美国市场不同，中国市场呈现“双寡头”格局。代表“1分钟”的蓝色柱子和代表“5分钟”的蓝色柱子都非常高，平分秋色。这意味着，大约一半的A股以1分钟为最强节拍，而另一半则以5分钟为最强节拍。
• 30秒紧随其后：30秒作为第二或第三强的频率，出现的次数也很多。

1. 一个有趣的共性：作者特别指出，无论中美，这些最流行的周期“恰好是 5 秒或 1 分钟的倍数”。比如10秒，15秒，20秒，30秒都是5秒的倍数，1分钟，2.5分钟，5分钟，10分钟都是1分钟或30秒的倍数。这强烈暗示了这些周期性与人类或机器的“凑整”行为习惯有关，而不是某种物理或自然常数决定的。
2. 最终结论：个股分析中发现的周期性绝非偶然！它是一种通用模式，在整个市场中普遍存在。而且，中美市场虽然共享某些周期（如1分钟、30秒），但在主导周期的模式上存在显著差异（美国是1分钟独大，中国是1分钟和5分钟双雄并立）。

图3告诉我们哪些周期“最流行”，而图4则更进一步，告诉我们这些流行的周期到底有多“强力”，即它们能在多大程度上解释交易的波动。

1. 分析目的：图3只关心一个频率是否能“挤进前三”，是一种“名次”的统计。但名次高不代表实力一定强。例如，A股票的冠军频率fVR是5%，B股票的冠军频率fVR是30%。两者都是冠军，但后者的重要性远大于前者。因此，需要直接分析fVR的数值本身。
2. 分析方法：箱线图 (Boxplot)

• 数据：对于某个特定频率（如“1分钟”），我们现在有了几百个（美股）或几千个（A股）fVR值，每个值来自一只股票。这就形成了一个fVR值的分布。
• 箱线图的作用：箱线图是展示数据分布的绝佳工具。它能同时显示：
• 中位数 (Median)：中间的横线，代表这个频率在所有股票中的“典型”fVR水平。50%的股票fVR低于此值，50%高于此值。
• 箱体 (Box)：代表了中间50%股票的fVR范围（从25百分位到75百分位）。箱体越窄，说明大多数股票在这个频率上的fVR水平越集中。
• 须线 (Whiskers)：从箱体延伸出的线，代表了绝大多数数据的范围。
• 异常点 (Outliers)：远离须线的点，代表一些fVR极高或极低的个别股票。

1. 图4的解读：

• 横轴：是选定的周期。
• 纵轴：是fVR的值（百分比）。
• 基准线：图中应该有一条在0.2%位置的水平线（尽管作者没有画出来，但在脑海里要有），这是我们判断fVR是否显著的“基准”。

1. 对图4的详细分析：

• 普遍高于基准：最直观的发现是，对于所有选定的频率（除了“其他”），整个箱体都远远高于0.2%的基准线。这说明，对于绝大多数股票（不仅仅是平均水平），这些周期性都是非常显著的，而不是少数几只股票拉高了平均值。
• 中国市场（右图）：
• 强度惊人：观察“1分钟”和“5分钟”这两个箱子。它们的中位数线（箱子中间的横线）都处在 10% 左右的位置！这意味着，在一个典型的A股中，光是1分钟周期就能解释10%的去趋势后波动，5分钟周期也能解释另外10%！这是非常巨大的解释力。
• 10分钟周期的中位数也在5%左右，同样不可小觑。
• 美国市场（左图）：
• 强度相对较低：与中国市场相比，美国市场所有频率的fVR箱体都位于更低的位置。例如，“1分钟”周期的fVR中位数在 5% 左右，“30秒”周期的中位数在 3% 左右。
• 但依然显著：尽管低于中国，但5%和3%的fVR值，依然是0.2%基准的25倍和15倍，所以这些周期在美国市场同样是高度显著和重要的。
• 中美对比的结论：作者由此得出一个重要推论——“与中国市场相比，美国市场的 fVR 较低，这意味着交易在不同频率上更加分散。”
• 解读：在中国市场，大量的交易活动能量都集中在了1分钟和5分钟这两个“超级频率”上。而在美国市场，能量虽然也集中，但分布得更“平均”一些，除了1分钟和30秒，其他更小的频率（如10秒，15秒，20秒，图中未单独展示但包含在图3中）也分走了一部分能量。这导致了单个频率的fVR中位数不如中国市场那么极端。

这一部分是对4.2节全市场分析结果的总结，并首次尝试对观察到的现象给出可能的解释，同时预告了接下来的稳健性检验。

1. 核心结论重申：

• 非巧合，是通用模式：作者首先强调，图3和图4的结果强有力地证明了，在苹果和平安银行上发现的周期性不是个例或巧合，而是中美两大股票市场普遍存在的“通用模式”。这是本节最重要的结论。
• 主导频率不同：在共性之外，差异性同样重要。研究证实了，两个市场的主导交易节奏是不同的。

1. 对中美市场差异的解释（初步假说）：

• 现象：美国市场在更高频率（如10秒、15秒、20秒、30秒）上显示出更强的强度。回顾图3，可以看到美国市场的强周期列表中包含了许多“秒”级的短周期；回顾图4，虽然美国整体fVR较低（能量分散），但其能量更多地分布在这些高频上。
• 解释：作者将这一现象与已知的市场“典型事实”（stylized facts）联系起来，提出了一个非常符合直觉的解释：
• 美国市场：拥有大量的算法交易和高频交易者 (HFT)。这些由计算机驱动的交易策略，其决策和执行速度极快，能够在秒级甚至毫秒级的时间尺度上进行操作。因此，它们自然会产生更高频率的交易活动。
• 中国市场：主要由散户投资者驱动。散户的交易决策依赖于人的反应速度和操作（看盘、手动下单），很难做到秒级操作，其交易节奏自然更慢，更可能集中在分钟级别。
• 中国市场的制度限制：作者还提到了一个关键的制度因素——“T+1规则”。该规则禁止当天买入的股票当天卖出，极大地抑制了以日内超高频套利为目的的交易策略。这进一步解释了为什么中国市场的高频交易不如美国活跃。
• 引用文献：作者引用了两篇文献来支持他们关于中美投资者结构差异的说法，增加了这个解释的可信度。

1. 预告稳健性检验 (Robustness Checks)：

• 稳健性检验的目的：一个好的实证研究，不仅要得出结论，还要证明这个结论是“皮实”的（robust），不会因为分析方法、时间区间或数据处理的微小改变而轻易消失。
• 检验一：扩展时间窗口：主要分析用的是2019-2021年的数据。一个自然的问题是：这个现象是最近几年才有的，还是长期存在的？为了回答这个问题，他们将时间窗口大大延长，美国市场回溯31年，中国市场回溯10年。如果在这几十年的数据中都能发现类似的周期性，那么结论将变得极为坚实。结果放在第5.1.3节。
• 检验二：更换分析工具：主要分析用的是谱分析（一种基于傅里叶变换的方法）。一个可能被质疑的点是：这个发现会不会是谱分析这个工具自身带来的“幻觉”？为了排除这种可能，他们换用了另一种完全不同的时间序列分析工具——小波方差估计量 (Wavelet variance estimator)。小波分析在处理非平稳信号和瞬时频率上具有优势。如果换一种工具还能得出同样的结论（发现通用高频周期性），那就说明这个现象是数据内禀的，而不是特定分析方法的产物。结果放在附录E。

这个段落是主文部分的最后一个技术性说明，它扩展了研究的广度和深度，并额外增加了一项稳健性检验。

1. 方法的普适性：作者首先强调，他们开发的这套谱分析框架（第3节）是一个通用工具，不只适用于分析成交量。任何具有日内模式的时间序列数据，原则上都可以用这个框架来分析其中是否隐藏着周期性。这展示了作者对自己研究方法论的信心和对其应用前景的展望。
2. 扩展应用到其他变量：

• 举例说明：为了证明方法的普适性，作者真的去做了实验。他们在附录F中，将同样的分析方法应用到了另外三个重要的金融微观结构变量上：
• 买卖价差 (Bid-Ask Spread)：衡量市场流动性的一个关键指标。
• 波动率 (Volatility)：衡量价格变动剧烈程度的指标。
• 订单不平衡 (Order Imbalance)：衡量买方力量和卖方力量对比的指标。
• 选择的依据：选择这三个变量并非随意，作者提到它们也是 Heston, Korajczyk, and Sadka (2010) 这篇经典文献研究的对象，这显示了他们的研究是与该领域的重要前人工作进行对话。
• 结果总结：作者简要报告了附录F中的核心发现：
• 买卖价差和波动率中，也发现了周期性。这意味着市场的流动性和风险水平，也存在着以分钟为单位的节律性波动。
• 但在订单不平衡中，没有发现显著的周期性。这是一个“负面结果”，但同样有价值。它说明并非所有的市场活动都有这种高频节律。买卖力量的对比可能更多地由非周期性的、事件驱动的信息流决定。

1. 额外的稳健性检验：缩尾处理

• 问题：金融数据（尤其是成交量）经常会出现一些极端值，比如某一天某个时刻突然出现一笔巨额交易。这种极端值（outliers）可能会对方差的计算产生巨大影响，从而可能扭曲fVR的估计结果。
• 解决方法：缩尾处理 (Winsorizing)：这是一种常用的统计技术，用于处理极端值。具体做法是：设定一个百分位（比如95%），将所有高于该百分位的数据点，强行设置为等于该百分位的值。例如，如果第95百分位的成交量是1000笔，那么任何大于1000笔的成交量数据（比如1500笔，5000笔）都被当作1000笔来处理。
• 目的：这样做可以有效“剪掉”数据分布的“肥尾”，减少极端异常值对整体分析的干扰，使得结果更能反映普遍情况而非特殊事件。
• 检验结果：作者对成交量数据进行缩尾处理后，重新进行了全部fVR分析。结果是：
• 周期性依然稳健 (robust)：之前发现的周期性并没有因为处理了极端值而消失。
• fVR甚至更强：在某些情况下，fVR的数值反而更大了。这可能是因为极端的大额交易往往是“非周期性”的、偶然发生的，它们增大了总方差（分母），却不贡献于周期性成分（分子），从而稀释了原始的fVR。去掉这些“噪音”后，周期性的“信号”在剩余波动中的占比自然就显得更强了。