行间公式索引

这段话的核心思想是，定义是数学这门学科的基石。想象一下，如果没有共同的语言，两个人该如何交流？在数学中，定义就是这门语言的基础词汇。

1. 交流的基石：数学是一门精确的科学。当一个数学家说“群”或者“环”，另一个数学家必须确切地知道他指的是什么。如果每个人对同一个词的理解都不同，那么任何深入的讨论和合作都将无法进行。定义通过给技术术语一个唯一、明确的含义，确保了交流的无歧义性。
2. 结构性弱点：这指出了一个深刻的哲学问题。我们用语言来定义术语，但语言本身是由词语组成的。如果我们试图定义每一个词，最终会陷入一个无法逃脱的循环。

这段话解释了上一段提到的“结构性弱点”。

1. 循环定义：尝试去定义每一个词，必然导致循环。书中举的例子非常经典：用“汇集”来定义“集合”，又用“集合”来定义“汇集”。这就像查字典，为了理解A词，你去查B词的解释，结果B词的解释里又用到了A词。这样的定义没有提供任何新信息，是无效的。
2. 原始概念（Undefined Term）：为了打破这种循环，数学体系必须建立在一些大家凭直觉就能理解、不加定义的基础概念之上。这些就是“原始概念”。在现代数学中，“集合”、“元素”以及“元素属于集合”这层关系，通常被当作这样的原始概念。
3. 共识与直觉：我们不给“集合”下一个严格的定义，而是依赖于大家的共同理解和直觉。当我们说“一篮子苹果”或者“一个班级的学生”时，大家都能直观地明白这是一个集合的概念，里面包含了一些明确的对象（元素）。数学正是建立在这种朴素的共识之上的。

这段话列出了我们在使用“集合”这个原始概念时，需要共同遵守的几个基本规则或约定。

1. 从属关系：这是最基本的约定。一个集合由一些东西（称为元素）构成。符号 $\in$ 用来表示“属于”的关系。$a \in S$ 读作“$a$ 属于 $S$”或“$a$ 是 $S$ 的一个元素”。
2. 空集：存在一个非常特殊的集合，它里面什么元素都没有。这个集合被称为空集，用符号 $\varnothing$ 或 \{\} 表示。它的唯一性很重要，意味着所有“不含任何元素的集合”都是同一个集合。
3. 表示方法：这里介绍了两种描述或表示集合的标准方法：
   • 列举法 (Roster Method)：直接把集合里的所有元素一一列出来，用逗号隔开，并用大括号括起来。例如 $\{a, e, i, o, u\}$ 表示包含所有元音字母的集合。这种方法适用于元素数量有限且不多的情况。
   • 描述法 (Set-Builder Notation)：也叫集合构造器表示法。它描述了集合中元素所共有的特征属性。格式是 $\{x \mid P(x)\}$，其中 $x$ 是集合中元素的代表，竖线 | 读作“使得”，$P(x)$ 是一个关于 $x$ 的陈述或条件。这个集合包含所有让 $P(x)$ 为真的 $x$。
4. 确定性 (Well-defined)：这是集合的一个至关重要的性质。对于任何一个集合 $S$ 和任何一个对象 $a$，"$a$ 是否在 $S$ 中" 这个问题的答案必须是明确的“是”或“否”，不能模棱两可。
   • “一些正数的集合”是含糊不清的，因为我不知道 $3$ 在不在里面，你也不知道。所以它不是一个良好定义的集合。
   • “所有素数的集合”是良好定义的。虽然我们可能不知道某个巨大的数（比如费马数 $F_{65} = 2^{(2^{65})}+1$）到底是不是素数，但我们确信它要么是素数，要么不是素数，答案是确定的，只是我们目前的技术手段还无法找到答案。问题的“可判定性”与“答案的确定性”是两回事。良好定义要求的是后者。

最后，作者补充说明，虽然理论上很多数学概念（如数字 $\pi$）可以追溯到集合论的定义，但在本书的实践中不会这样做，以避免不必要的繁琐。

这部分阐述了数学写作中关于“定义”的一个重要语言惯例。

1. 定义是双向的：“当且仅当”（if and only if, 缩写为 iff）是一个逻辑连接词，表示一个双向的蕴含关系。$P$ 当且仅当 $Q$ 意味着“如果 $P$ 成立，那么 $Q$ 成立”并且“如果 $Q$ 成立，那么 $P$ 成立”。定义的本质就是建立一个新术语和其描述之间的等价关系。
2. 语言上的简化：在日常和数学语言中，为了简洁，我们经常只说“如果”，但其内在含义是“当且仅当”。
   • 定义：“一个三角形是等腰的，如果它有两条等长的边。”
   • 实际含义：“一个三角形是等腰的，当且仅当它有两条等长的边。”
   • 这包含了两个方向：
   • （如果）：如果一个三角形有两条等长的边，那么它就是等腰三角形。
   • （仅当）：如果一个三角形是等腰的，那么它必定有两条等长的边。
3. 本书的排版约定：作者说明了本书中两种标示定义的方式：
   • 正式定义：使用 “定义 x.x” 这样带编号的格式，用于核心的、重要的代数概念。
   • 非正式定义：在正文中直接用黑体标出被定义的术语，用于一些次要或辅助性的概念，以避免版面过于繁琐。

这段话正式确立了“黑体字”的含义，并给出了学习定义的建议。

1. 黑体字约定：这是一个明确的规则说明。当你在本书中看到一个用黑体印刷的词，意味着定义这个词的句子就是你正在读的这一句。这是一种高效的信息传递方式。
2. 理解重于背诵：作者给出了一个非常重要的学习建议。学习数学不是死记硬背条文。关键在于理解定义背后的核心思想。只要你能用自己的语言，准确无误地复述出同一个概念，你的理解就是到位的。
   • 例如，对于等腰三角形，无论是说“有两条等长的边”，还是说“有两条等边”，只要听者能准确理解是边的长度相等，定义就是有效的。
3. 一个有趣的自我指涉：作者解释了为什么这个“黑体字约定”到现在才正式说明。因为在前面讨论集合时，他就已经在使用黑体字了（如 集合、元素、空集 等）。但由于“集合”本身是原始概念，无法被定义，所以作者在那里使用黑体字其实是一种强调，而非严格意义上的定义。直到这里，他才正式赋予黑体字“定义”的功能。这是一个写作技巧上的小巧思。

这是一个过渡段落。作者宣告了本节接下来的内容安排。

1. 目的：接下来的内容有两个主要目的：
   • 说明（Illustration）：通过具体的例子，展示如何使用“集合”这个基础工具来精确地定义其他我们已经很熟悉的概念（如函数、关系等）。这体现了集合论作为现代数学基石的作用。
   • 复习（Review）：在定义这些概念的过程中，也顺便帮助读者复习这些高中或初等微积分中已经学过的知识，并用更数学化、更严谨的语言重新审视它们。
2. 内容：将要开始给出一系列的定义和符号。

这个定义引入了集合之间的一种基本关系：包含关系。

1. 子集 (Subset)：子集的定义非常直观。如果集合 $B$ 里的每一个元素都能在集合 $A$ 里找到，那么 $B$ 就是 $A$ 的子集。可以想象成 $A$ 是一个大池塘，$B$ 是里面的一个小池塘。
2. 符号 $\subseteq$ 和 $\supseteq$：
   • $B \subseteq A$ 读作 “$B$ 是 $A$ 的子集” 或 “$B$ 被包含于 $A$”。
   • $A \supseteq B$ 读作 “$A$ 包含 $B$”。
3. 真子集 (Proper Subset)：如果 $B$ 是 $A$ 的子集，并且 $B$ 不等于 $A$（也就是说，$A$ 中至少有一个元素是 $B$ 中没有的），那么 $B$ 就是 $A$ 的真子集。
4. 符号 $\subset$ 和 $\supset$：
   • $B \subset A$ 读作 “$B$ 是 $A$ 的真子集”。
   • $A \supset B$ 读作 “$A$ 真包含 $B$”。

注意：关于子集符号的使用，不同的作者有不同的习惯。有些作者用 $\subset$ 表示子集，用 $\subsetneq$ 表示真子集。在阅读其他数学书籍时需要注意这一点。但在这本书中，作者已经明确规定：带横线的是子集，不带横线的是真子集。

这部分是对子集概念的进一步澄清和术语规范。

1. 两个特殊的子集：作者首先强调了对于任何一个集合 $A$（只要它不是空集），它都必然包含两个特殊的子集：
   • 空集 $\varnothing$：正如前面在“易错点”中讨论的，空集是任何集合的子集。
   • 集合自身 $A$：任何集合都是其自身的子集。
2. 非真子集 (Improper Subset)：定义0.2 给出了一个新名词 “非真子集”。它特指一个集合 $A$ 的子集中，等于 $A$ 自身的那一个。也就是说，一个集合只有一个非真子集，就是它自己。
3. 真子集 (Proper Subset) 的再次定义：与之相对，所有不是非真子集的子集，都被称为真子集。这与定义0.1中对真子集的描述（$B \subseteq A$ 但 $B \neq A$）是完全一致的，只是换了一种说法。

这是一个具体的例子，用来演示如何找出一个有限集的所有子集。

集合 $S = \{1, 2, 3\}$。我们要找出它的所有子集。我们可以按照子集中元素的个数来分类列举，这样不容易遗漏：

1. 包含 0 个元素的子集：只有一个，就是空集 $\varnothing$。
2. 包含 1 个元素的子集：从 $S$ 中只选一个元素构成集合。
   • 只选 1，得到 $\{1\}$。
   • 只选 2，得到 $\{2\}$。
   • 只选 3，得到 $\{3\}$。
3. 包含 2 个元素的子集：从 $S$ 中选两个元素构成集合。
   • 选 1 和 2，得到 $\{1, 2\}$。
   • 选 1 和 3，得到 $\{1, 3\}$。
   • 选 2 和 3，得到 $\{2, 3\}$。
4. 包含 3 个元素的子集：从 $S$ 中选三个元素构成集合。
   • 选 1, 2, 3，得到 $\{1, 2, 3\}$ (即 $S$ 自身)。

把以上所有子集汇总起来，总共有 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 个。

它们是：$\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}$。

[规律推导]

为什么是8个？对于集合 $S$ 中的每一个元素，当我们要构造一个子集时，这个元素只有两种可能性：“被选入子集”或“不被选入子集”。

• 对于元素 1：有 “选” 或 “不选” 2种选择。
• 对于元素 2：有 “选” 或 “不选” 2种选择。
• 对于元素 3：有 “选” 或 “不选” 2种选择。

根据乘法原理，总共的构造方案（即子集的个数）就是 $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ 个。

• 例如，$\varnothing$ 对应 (不选1, 不选2, 不选3)。
• $\{1,3\}$ 对应 (选1, 不选2, 选3)。
• $\{1,2,3\}$ 对应 (选1, 选2, 选3)。

这个规律可以推广：一个包含 $n$ 个元素的有限集，其子集的个数为 $2^n$。这个所有子集构成的集合被称为幂集 (Power Set)，将在后面的习题中出现。

这个定义引入了一种从两个集合生成一个新集合的重要运算——笛卡尔积。

1. 有序对 (Ordered Pair)：笛卡尔积的核心构成单位是有序对 $(a, b)$。
   • 有序：意味着元素的顺序很重要。$(a, b)$ 和 $(b, a)$ 是不同的有序对（除非 $a=b$）。这与集合 $\{a, b\}$ 不同，因为 $\{a, b\} = \{b, a\}$。
   • 对：由两个元素组成。第一个元素来自第一个集合 $A$，第二个元素来自第二个集合 $B$。
2. 笛卡尔积 (Cartesian Product)：集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积 $A \times B$ 是一个新集合，这个集合里的所有元素都是形如 $(a,b)$ 的有序对，其中 $a$ 必须取自 $A$，$b$ 必须取自 $B$。它包含了所有可能的这种配对。
3. 名称来源：这个概念以法国数学家、哲学家勒内·笛卡尔 (René Descartes) 的名字命名，因为他创立的解析几何（用坐标表示几何点）正是笛卡尔积最直观的应用。平面上的一个点 $(x, y)$ 就是实数集 $\mathbb{R}$ 与其自身的笛卡尔积 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 中的一个元素。

这个例子具体计算了两个给定有限集的笛卡尔积。

集合 $A$ 有3个元素：1, 2, 3。

集合 $B$ 有2个元素：3, 4。

笛卡尔积 $A \times B$ 的元素是所有形如 $(a,b)$ 的有序对，其中 $a$ 必须来自 $A$，$b$ 必须来自 $B$。为了确保不重不漏，我们可以遵循一个系统的步骤：

1. 固定 $A$ 中的第一个元素 $a=1$。让它与 $B$ 中的所有元素配对，得到：
   • $(1, 3)$
   • $(1, 4)$
2. 固定 $A$ 中的第二个元素 $a=2$。让它与 $B$ 中的所有元素配对，得到：
   • $(2, 3)$
   • $(2, 4)$
3. 固定 $A$ 中的第三个元素 $a=3$。让它与 $B$ 中的所有元素配对，得到：
   • $(3, 3)$
   • $(3, 4)$
4. 将以上产生的所有有序对收集到一个集合中，就得到了最终结果：

$A \times B = \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$。

如前所述，结果集合的元素个数为 $|A| \times |B| = 3 \times 2 = 6$。

这段话是一份符号速查表。作者在这里集中定义了本书后续会频繁使用的一些标准数学符号，这些符号代表了我们熟知的几大数集。

1. 基本数集
   • $\mathbb{Z}$ (Zahlen, 德语“数字”)：整数集。包括正整数 (1, 2, 3, ...)，负整数 (..., -3, -2, -1) 和 0。
   • $\mathbb{Q}$ (Quotient, 英语“商”)：有理数集。所有可以写成两个整数之比 $m/n$ 的数，其中分母 $n$ 不能为0。例如 $1/2, -5/3, 7 (=7/1)$ 都是有理数。
   • $\mathbb{R}$ (Real)：实数集。数轴上所有的点对应的数。它包括有理数和无理数（如 $\pi, \sqrt{2}$）。
   • $\mathbb{C}$ (Complex)：复数集。所有形如 $a+bi$ 的数，其中 $a,b$ 是实数，$i$ 是虚数单位（$i^2=-1$）。
2. 符号的修饰
   • 上标 +：表示取该集合中的正数部分。
   • $\mathbb{Z}^{+}$：正整数集 $\{1, 2, 3, \dots\}$。注意，根据上下文，有时可能包含0，但本书在这里明确定义为正数成员，所以不含0。
   • $\mathbb{Q}^{+}$：正有理数集。
   • $\mathbb{R}^{+}$：正实数集。
   • 上标 *：表示从该集合中除去零元素。
   • $\mathbb{Z}^{*}$：非零整数集 $\{\dots, -2, -1, 1, 2, \dots\}$。
   • $\mathbb{Q}^{*}$：非零有理数集。
   • $\mathbb{R}^{*}$：非零实数集。
   • $\mathbb{C}^{*}$：非零复数集。

这种“黑板粗体”(blackboard bold) 字体 (如 $\mathbb{R}, \mathbb{Z}$) 是数学中表示标准数集的通用写法。

这个例子将刚刚定义的笛卡尔积和常用数集符号联系起来，并与读者已有的知识（微积分中的坐标系）建立了连接。

1. 回顾笛卡尔积：$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 表示所有有序对 $(x, y)$ 的集合，其中 $x \in \mathbb{R}$ 且 $y \in \mathbb{R}$。
2. 回顾欧几里得平面：在初等几何和微积分中，我们学习的二维直角坐标系（也称笛卡尔坐标系或欧几里得平面），就是由一个水平的 $x$ 轴和一个垂直的 $y$ 轴构成的平面。平面上的每一个点都由一个唯一的坐标 $(x, y)$ 来表示，其中 $x$ 是该点在 $x$ 轴上的投影值，y 是在 $y$ 轴上的投影值。
3. 两者等同：本示例的核心观点是，从集合论的角度来看，欧几里得平面的数学本质就是笛卡尔积 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$。
   • 平面上的一个点 $\iff$ 集合 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 中的一个元素 $(x, y)$。
   • $x$ 轴 $\iff$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 中形如 $(x, 0)$ 的所有点的子集。
   • $y$ 轴 $\iff$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 中形如 $(0, y)$ 的所有点的子集。

这是一个引子，为即将到来的“关系”的正式定义做铺垫。

1. 直观概念：“关系”这个词在日常生活中很常见，比如“父子关系”、“师生关系”、“大于关系”。它描述了两个或多个对象之间的某种联系。
2. 数学化：数学的目标是把这种模糊的“联系”概念变得精确、可操作。
3. 符号表示：作者引入了一个通用的符号 $a \mathscr{R} b$ 来表示“$a$ 与 $b$ 具有关系 $\mathscr{R}$”。例如，如果 $\mathscr{R}$ 代表“小于”关系，那么 $3 < 5$ 就可以写成 $3 \mathscr{R} 5$。
4. 与有序对的类比：作者敏锐地指出了 $a \mathscr{R} b$ 和有序对 $(a, b)$ 在形式上的相似性——它们都涉及两个对象，并且顺序很重要（通常 $a \mathscr{R} b$ 和 $b \mathscr{R} a$ 是不同的）。
5. 思想飞跃：既然关系与有序对如此相似，而有序对又是笛卡尔积的元素，那么我们是否可以用有序对的集合来定义“关系”呢？这个想法直接引出了下一个定义。

这是本节的核心定义之一，它给出了“关系”的严谨数学定义。

1. 定义：一个从集合 $A$ 到集合 $B$ 的关系，被定义为笛卡尔积 $A \times B$ 的任意一个子集。
2. 理解：这个定义非常巧妙。它把一个抽象的“关系”概念，物化、实体化成了一个具体的数学对象——一个集合。这个集合里包含了所有满足该关系的有序对。
3. 两种记法：
   • 集合成员记法：$(a, b) \in \mathscr{R}$。这强调了关系 $\mathscr{R}$ 是一个集合，而有序对 $(a,b)$ 是它的一个元素。
   • 中缀记法：$a \mathscr{R} b$。这种写法更符合我们日常的习惯（例如 $3 < 5$），读起来更自然。

这个例子将最基本、最不言自明的“相等关系”也用集合论的语言重新定义了一遍，以展示这个定义框架的普适性。

1. 关系 on a set S：当说一个关系是“在集合 $S$ 上”的关系时，这是一种简写，意思是“从 $S$到 $S$ 的关系”。因此，它是 $S \times S$ 的一个子集。
2. 相等关系的定义：“相等”这个关系，被定义为 $S \times S$ 中所有形如 $(x, x)$ 的有序对构成的子集。这个子集通常被称为 $S \times S$ 的“对角线”(diagonal)。
3. 解读：
   • $(x,x) \in =$：这句话意味着 $x$ 和它自身满足相等关系，即 $x=x$。
   • 如果 $x$ 和 $y$ 是不同的元素（$x \neq y$），那么有序对 $(x,y)$ 就不在相等关系这个集合中，即 $(x,y) \notin =$。

这个例子完美地展示了如何将一个我们凭直觉使用的概念（相等），精确地翻译成集合论的语言。

这是一个简单的术语约定。

• 一般关系：从集合 $A$ 到集合 $B$ 的关系（子集 of $A \times B$）。
• 特殊情况：当 $A$ 和 $B$ 是同一个集合 $S$ 时，即关系是从 $S$ 到 $S$ 的关系（子集 of $S \times S$）。
• 简便说法：对于这种特殊情况，我们不总说“从 $S$ 到 $S$ 的关系”，而是简化为“$S$ 上的关系”（a relation on $S$）。

这个例子进一步展示了“关系”这个概念的广泛性，它甚至可以包含我们熟悉的“函数”。

1. 函数图像：我们都画过函数 $f(x)=x^3$ 的图像。这个图像是由无穷多个点 $(x, y)$ 组成的，其中每个点的坐标都满足 $y=x^3$。例如，点 $(0,0), (1,1), (2,8), (-1,-1)$ 都在这条曲线上。
2. 图像的集合论描述：这个图像本身就是一个集合，即所有满足关系的点的集合。用集合构造器表示法，这个集合就是 $G = \{(x, y) \mid y=x^3 \text{ 且 } x,y \in \mathbb{R}\}$。因为 $y$ 完全由 $x$ 决定，所以可以更简洁地写成 $G = \{(x, x^3) \mid x \in \mathbb{R}\}$。
3. 图像是关系：根据定义，任何 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 的子集都是 $\mathbb{R}$ 上的一个关系。由于函数 $f(x)=x^3$ 的图像 $G$ 显然是 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 的一个子集，所以这个图像本身就是一个关系！
4. 函数由图像决定：这个观点很关键。一旦给定了函数的图像（即那个有序对的集合），函数的所有信息就都确定了。对于任何输入 $x$，我们只需在图像集合中寻找那个以 $x$ 为第一元素的有序对 $(x,y)$，其第二元素 $y$ 就是函数值。

这是从示例0.9到定义0.10的逻辑跳板。

1. 反思函数的传统定义：作者指出，我们通常学习的函数定义是“一个规则 $f$”，它把输入集中的每个元素 $x$ 变成输出集中的一个唯一元素 $y$。这个“规则”的概念，虽然直观，但在数学上不够精确。什么是“规则”？它可以是一个公式，也可以是一个表格，或者是一段描述性文字。
2. 提出新定义：示例0.9启发我们，可以用一个更精确的数学对象——集合——来代替模糊的“规则”。我们可以直接将函数定义为它的图像，即一个满足特定条件的有序对的集合。
3. 推广：示例0.9讨论的是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数。这个思想可以被推广到任何两个集合 $X$ 和 $Y$ 之间的函数。

这是函数的正式集合论定义，非常关键。

一个从 $X$到 $Y$ 的函数 $\phi$ 是一个关系（即 $X \times Y$ 的一个子集），但它必须满足一个非常严格的附加条件：

“每个 $x \in X$ 恰好作为 $\phi$ 中一个有序对 $(x, y)$ 的第一个成员出现。”

我们来拆解这个核心条件，它包含两个子条件：

1. 存在性 (Existence)：“每个 $x \in X$ ... 出现”。这意味着定义域 $X$ 中的任何一个元素都不能被“剩下”。对于 $X$ 中的每一个 $x$，都必须至少有一个有序对以它开头。这对应了我们对函数的直观理解：函数必须对定义域中的每个输入都有定义。
2. 唯一性 (Uniqueness)：“... 恰好作为 ... 一个有序对 ... 出现”。这意味着对于 $X$ 中的每一个 $x$，不能有两个或更多个不同的有序对以它开头。也就是说，如果 $(x, y_1) \in \phi$ 并且 $(x, y_2) \in \phi$，那么必然有 $y_1 = y_2$。这对应了我们对函数的“一个输入只有一个输出”的直观理解。这就是为什么圆的图像不是函数的原因。

其他术语：

• 映射 (Mapping)：函数的同义词。在更抽象的上下文中（如抽象代数），“映射”这个词更常用。
• 符号 $\phi: X \rightarrow Y$：表示“$\phi$ 是一个从集合 $X$ 映射到集合 $Y$ 的函数”。
• 函数值表示法：$\phi(x)=y$ 是 $(x,y) \in \phi$ 的等价的、更方便的写法。
• 定义域 (Domain)：输入集合 $X$。
• 协定义域 (Codomain)：可能包含所有输出值的集合 $Y$。
• 值域 (Range) 或 图像 (Image)：所有实际输出值的集合 $\phi[X]$。值域是协定义域的一个子集，即 $\phi[X] \subseteq Y$。值域可能不等于协定义域。

这个例子极具启发性，它将我们最熟悉的操作——加法——也纳入了函数的统一框架中。

1. 二元运算 (Binary Operation)：加法是一种二元运算，因为它需要两个输入（两个数字）来产生一个输出。
2. 函数的视角：如何把需要两个输入的操作看作函数？函数的定义是每个元素对应一个输出，这里的“元素”是一个单一的东西。诀窍在于，我们可以把那“两个输入”打包成一个单一的对象——一个有序对！
3. 定义域：因此，加法运算的定义域不再是 $\mathbb{R}$，而是所有实数有序对的集合 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$。
4. 协定义域：两个实数相加的结果仍然是一个实数，所以协定义域是 $\mathbb{R}$。
5. 加法即函数：所以，加法可以被严谨地看作一个函数，其定义域是 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$，协定义域是 $\mathbb{R}$。我们可以把这个函数命名为 +。所以它的签名是 $+: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$。
6. 不同记法：
   • 函数表示法：按照标准的 $f(x)$ 写法，输入 $x$ 是一个有序对 $(2,3)$，函数名是 +，所以写成 $+((2,3))$。输出是5。所以是 $+((2,3)) = 5$。
   • 集合表示法：根据定义0.10，函数是一个有序对的集合。这里的输入是 $(2,3)$，输出是 $5$。所以构成的函数图像中的元素是 $((2,3), 5)$。因此，我们可以说 $((2,3), 5) \in +$。
   • 中缀表示法：我们最习惯的写法 $2+3=5$。这是一种语法糖 (syntactic sugar)，让书写和阅读更方便。

这部分引入了一个非常深刻的概念——基数，即衡量集合大小的方法，并将其从有限集推广到无限集。

1. 基数 (Cardinality)：对于有限集，基数就是我们通常理解的“元素个数”。符号是 $|X|$（有时也用 card(X) 或 #X）。
2. 比较基数的核心思想：如何判断两个集合“一样大”？
   • 有限集：很简单，直接数数。$|\{a,b,c\}|=3$, $|\{1,2,3\}|=3$，所以它们一样大。
   • 推广：作者提出了一个不依赖于“数数”的、更本质的方法——配对。如果集合 $X$ 的元素可以和集合 $Y$ 的元素建立一个“一一对应”的完美配对，不多不少，那么我们就说这两个集合“一样大”，即具有相同的基数。
3. 一一对应的直观理解：“一一对应”意味着：
   • $X$ 中的每个元素都恰好找到了一个来自 $Y$ 的舞伴。
   • $Y$ 中的每个元素也都被人请去跳舞了，而且也只有一个舞伴。
4. 配对与关系：作者再次将新概念与关系联系起来。这个“配对”本身，比如 $2 \leftrightarrow ?$，可以看作一个有序对 $(2, ?)$。所有的配对放在一起，就构成了一个关系集合。这个关系是一种非常特殊的关系，它正是一一对应的函数。

这段话通过一个具体的例子，展示了如何证明整数集 $\mathbb{Z}$ 和正整数集 $\mathbb{Z}^{+}$ 这两个无限集具有相同的基数，并由此引出了对“一一对应”的更形式化的描述。

1. 例子：$\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}^{+}$ 的配对
   • 问题：整数集 $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ 看起来比正整数集 $\mathbb{Z}^{+} = \{1, 2, 3, \dots\}$ 要大得多，因为它包含了0和所有负数。它们“一样大”吗？
   • 解决方法：构造一个巧妙的配对策略，如表格所示。
   • 将 $\mathbb{Z}^{+}$ 的元素（第一行）作为“标签”或“序号”。
   • 将 $\mathbb{Z}$ 的元素（第二行）按照 $0, -1, 1, -2, 2, \dots$ 的顺序排列。
   • 这样，我们就建立了一个配对：
   • $1 \leftrightarrow 0$
   • $2 \leftrightarrow -1$
   • $3 \leftrightarrow 1$
   • $4 \leftrightarrow -2$
   • $5 \leftrightarrow 2$
   • ...
   • 结论：这个配对是完美的。$\mathbb{Z}^{+}$ 中的每一个数都唯一地对应到了 $\mathbb{Z}$ 中的一个数。$\mathbb{Z}$ 中的每一个数（无论正负还是0）也都在这个序列中出现，且只出现一次。因此，根据配对原则，$|\mathbb{Z}| = |\mathbb{Z}^{+}|$。
2. 一一对应 (One-to-one Correspondence)
   • 这种完美的配对，被正式命名为“一一对应”。
   • 作者指出，一一对应可以被看作是一种特殊的函数。
   • 假设我们把配对看作一个从 $X$ 到 $Y$ 的函数 $\phi$。
   • “$X$ 中的每个元素 $x$ 在此关系中恰好出现一次”：这正是函数的定义！它确保了 $X$ 中的每个元素都被映射，且只有一个输出。
   • “$Y$ 中的每个元素 $y$ 也出现在某个配对 $x \leftrightarrow y$ 中”：这意味着这个函数的值域必须是整个协定义域 $Y$。所有 $Y$ 中的元素都被“射中”了。

这个定义给出了函数的两个至关重要的性质，它们是对前面“完美配对”思想的数学提炼。

1. 一对一 (One-to-one / Injective)
   • 定义：一个函数 $\phi$ 是一对一的，如果不同的输入必然得到不同的输出。
   • 逻辑形式：$x_1 \neq x_2 \implies \phi(x_1) \neq \phi(x_2)$。
   • 逆否命题：在数学证明中，使用其等价的逆否命题通常更方便：$\phi(x_1) = \phi(x_2) \implies x_1 = x_2$。这就是书中给出的形式（稍微调整了措辞）。如果两个输出相同，那么它们的输入必然是同一个。
   • 直观理解：没有“多对一”的情况。不同的输入不会“撞车”到同一个输出上。
   • 另一种说法：内射 (Injection)。
2. 满射 (Onto / Surjective)
   • 定义：一个函数 $\phi: X \to Y$ 是满射的，如果它的值域等于它的协定义域。
   • 逻辑形式：$\phi[X] = Y$。
   • 等价说法：对于协定义域 $Y$ 中的任意一个元素 $y$，都至少存在一个定义域 $X$ 中的元素 $x$，使得 $\phi(x)=y$。
   • 直观理解：协定义域 $Y$ 中的每一个元素都被“射中”了，没有一个元素是“靶子上的空白”。
   • 另一种说法：到上 (onto)，映上，满射 (Surjection)。

脚注[^0]的内容解释：

这个脚注解释了同时满足“一对一”和“满射”的函数（即一一对应）的特殊性质。

• 一一对应 (Bijection)：一个函数如果既是一对一的，又是满射的，那么它就叫一一对应或双射。这正是我们之前寻找的“完美配对”。
• 性质：
• 从函数的定义出发：每个 $x \in X$ 对应唯一的 $y \in Y$。
• 加上一对一：不同的 $x$ 对应不同的 $y$。
• 加上满射：所有 $Y$ 中的 $y$ 都被对应了。
• 综合起来，就是 $X$ 和 $Y$ 之间建立了一个完美的、不重不漏的配对关系。
• 逆函数 (Inverse Function)：对于一个一一对应的函数 $\phi: X \to Y$，我们可以构造它的逆函数 $\phi^{-1}: Y \to X$。
• 构造方法：将 $\phi$ 这个集合中的每一个有序对 $(x,y)$ 都颠倒过来，变成 $(y,x)$，形成一个新的集合。
• 为什么新集合是函数：因为原来的 $\phi$ 是满射的，所以 $Y$ 中的每个 $y$ 在新集合中都作为了第一元素出现（满足存在性）；因为原来的 $\phi$ 是一对一的，所以 $Y$ 中的每个 $y$ 在新集合中都只出现一次（满足唯一性）。因此，这个新集合也满足函数的定义。
• 关系：如果 $\phi(x) = y$，那么 $\phi^{-1}(y) = x$。

这是本小节的高潮，它给出了“基数相等”的最终、严谨的定义。

1. 核心判据：判断两个集合 $X$ 和 $Y$ 是否“一样大”的数学方法是：检查是否存在一个函数 $\phi: X \to Y$ 同时满足两个条件：
   • $\phi$ 是一对一的 (injective)。
   • $\phi$ 是满射的 (surjective)。
2. 等价说法：换句话说，如果 $X$ 和 $Y$ 之间存在一个一一对应（bijection），那么它们就具有相同的基数。
3. 符号表示：我们写作 $|X| = |Y|$。

这个定义完美地将之前关于“完美配对”的直观想法，用函数的性质进行了形式化。这个定义的强大之处在于，它对有限集和无限集一视同仁，提供了一个统一的比较标准。

这个例子通过两个我们非常熟悉的函数 $f(x)=x^2$ 和 $g(x)=x^3$，来练习和巩固对“一对一”和“满射”这两个概念的理解。

Part 1: 分析 $f(x)=x^2$ (定义域和协定义域都是 $\mathbb{R}$)

• 是否一对一 (Injective)?
• 判断：否。
• 理由：一对一要求不同的输入必须有不同的输出。但我们可以轻易找到一个反例：
• 输入 $x_1=2$ 和 $x_2=-2$ 是不同的输入。
• 但是它们的输出是相同的：$f(2) = 2^2 = 4$，$f(-2) = (-2)^2 = 4$。
• 因为找到了 $x_1 \neq x_2$ 但 $f(x_1)=f(x_2)$ 的情况，所以它不是一对一的。

• 是否满射 (Surjective)?
• 判断：否。
• 理由：满射要求值域必须等于协定义域。
• 协定义域被声明为 $\mathbb{R}$ (所有实数)。
• 值域是所有 $x^2$ 可能取到的值的集合。我们知道任何实数的平方都是非负的。所以值域是 $[0, \infty)$。
• 由于 $[0, \infty)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个真子集（例如，-1 在协定义域 $\mathbb{R}$ 中，但不在值域中），所以值域不等于协定义域。
• 因此，它不是满射的。

Part 2: 分析 $g(x)=x^3$ (定义域和协定义域都是 $\mathbb{R}$)

• 是否一对一 (Injective)?
• 判断：是。
• 理由：我们需要证明如果 $g(x_1) = g(x_2)$，则必然有 $x_1=x_2$。
• $g(x_1) = g(x_2) \implies x_1^3 = x_2^3$。
• 对等式两边同时开三次方根，得到 $x_1 = x_2$。
• 由于从输出相等可以推导出输入相等，所以它是一对一的。

• 是否满射 (Surjective)?
• 判断：是。
• 理由：我们需要证明对于协定义域 $\mathbb{R}$ 中的任意一个实数 $y$，我们都能找到一个 $x \in \mathbb{R}$ 使得 $g(x)=y$。
• 即 $x^3 = y$。
• 解这个方程，得到 $x = \sqrt[3]{y}$。
• 对于任何实数 $y$（无论正负还是零），它的实数立方根 $\sqrt[3]{y}$ 总是存在且唯一的。
• 所以我们总能找到所需的 $x$。因此，它是满射的。

• 结论：因为 $g(x)=x^3$ 既是一对一又是满射，所以它是一个从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的一一对应（双射）。这意味着 $|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|$ (这似乎是废话，但它验证了定义的自洽性)。

这段话引入了第一个无限基数的符号，并指出了无限集的一个核心特征。

1. 第一个超穷基数 $\aleph_0$：
   • 我们已经通过一一对应证明了正整数集 $\mathbb{Z}^{+}$ 和整数集 $\mathbb{Z}$ 是“一样大”的。
   • 数学家们给这个“大小”一个名字，叫做阿列夫零 ($\aleph_0$)。阿列夫 $\aleph$ 是希伯来字母表的第一个字母。
   • 因此，$|\mathbb{Z}^{+}| = \aleph_0$ 且 $|\mathbb{Z}| = \aleph_0$。
   • 任何与正整数集 $\mathbb{Z}^{+}$ 基数相同的集合，都被称为可数无限集 (countably infinite set)，其基数都是 $\aleph_0$。
2. 无限集的核心特征：
   • 这个例子（$|\mathbb{Z}| = |\mathbb{Z}^{+}|$）揭示了一个惊人的事实：$\mathbb{Z}^{+}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个真子集，但它们的大小居然是相同的。
   • 这在有限集的世界里是绝对不可能发生的。如果一个集合是另一个的真子集，它必然更小。
   • 作者指出，这个看似矛盾的性质——“一个集合可以与它的真子集一一对应”——正是无限集的本质特征。事实上，这可以作为无限集的一个严格定义（这被称为戴德金无限 Dedekind-infinite）。

这段话提出了一个重要问题，并用一个著名的论证——康托尔对角线法的一种变体——来解答它。

1. 问题：是不是所有的“无穷大”都是同一种无穷大（即 $\aleph_0$）？有理数集 $\mathbb{Q}$ 在数轴上看起来比整数集 $\mathbb{Z}$ 要“稠密”得多（任意两个有理数之间都还有无穷多个有理数），那么 $\mathbb{Q}$ 的基数是否比 $\mathbb{Z}$ 更大呢？
2. 可数无限的等价描述：作者首先给出了判断一个集合基数是否为 $\aleph_0$ 的一个等价描述：“它的所有元素都可以按无限行排列”。这其实就是“可以与 $\mathbb{Z}^+$ 建立一一对应”的另一种说法。能排成一列，就能用 $1,2,3,\dots$ 去给它们编号。
3. 康托尔的论证：如何将看起来“二维”的有理数集（由分子和分母两个整数决定）排成“一维”的序列？
   • 构造二维表格：如图0.15所示，构造一个巨大的表格。列代表分子，行代表分母。理论上这个表格可以包含所有分数。为了包含负数和0，这个表格需要扩展到四个象限，图中为了简化只画了一个象限。
   • 遍历路径：关键在于找到一种方法，不重不漏地走过表格中的每一个格子。如果我们一行一行地走，每一行都是无限长的，所以我们永远走不完第一行。康托尔的巧思是走“对角线”：
   • 先走 $0/1$ (虽然图中没画)。
   • 然后是 $1/1$。
   • 然后是 $1/2, 2/1$。
   • 然后是 $1/3, 2/2, 3/1$。
   • 然后是 $1/4, 2/3, 3/2, 4/1$。
   • ...
   • 拉直成线：沿着这条“之”字形的路径，我们可以把遇到的所有分数一个一个捡起来，排成一列。在捡的时候，需要跳过那些重复的值（例如 $2/2=1/1, 2/4=1/2$）和没有意义的（分母为0）。为了包含负数，可以在每捡到一个正数后，把它的相反数也加进来。
   • 结论：通过这种方式，我们成功地把所有有理数 $\mathbb{Q}$ 排成了一个无限长的序列。这意味着我们可以用 $\mathbb{Z}^+$ 给它们编号。因此，惊人地，有理数和整数是“一样多”的！$|\mathbb{Q}| = \aleph_0$。

这是全书中最深刻和著名的论证之一：康托尔的对角线论证，它证明了实数集是不可数的。

1. 论证方法：反证法。
2. 假设：假设区间 $(0,1)$ 内的实数集 $S$ 是可数的，即 $|S|=\aleph_0$。
3. 推论：如果假设成立，那么我们就可以把 $S$ 中的所有实数一个不漏地列成一个无限长的列表，就像文中展示的那样。
4. 构造一个“幽灵”数：现在，我们来构造一个新的实数 $r$，这个 $r$ 也在 $(0,1)$ 区间内，但它却不在我们刚刚列出的那个“完整”的列表里。构造规则如下：
   • $r$ 的小数点后第1位：取不同于列表中第1个数的小数点后第1位的数。列表第1个数是 $0.365\dots$，第1位是3。我们选个别的，比如5。所以 $r$ 以 $0.5\dots$ 开头。
   • $r$ 的小数点后第2位：取不同于列表中第2个数的小数点后第2位的数。列表第2个数是 $0.710\dots$，第2位是1。我们选个别的，比如6。所以 $r$ 以 $0.56\dots$ 开头。
   • $r$ 的小数点后第3位：取不同于列表中第3个数的小数点后第3位的数。列表第3个数是 $0.035\dots$，第3位是5。我们选个别的，比如3。所以 $r$ 以 $0.563\dots$ 开头。
   • ...
   • $r$ 的小数点后第 $n$ 位：取不同于列表中第 $n$ 个数的小数点后第 $n$ 位的数。
5. 矛盾：
   • 我们构造出的这个数 $r$ 在 $(0,1)$ 区间内吗？是。
   • 这个数 $r$ 在我们的列表里吗？
   • $r$ 不可能是列表中的第1个数，因为它们的第1位小数不同。
   • $r$ 不可能是列表中的第2个数，因为它们的第2位小数不同。
   • ...
   • $r$ 不可能是列表中的第 $n$ 个数，因为它们的第 $n$ 位小数不同。
   • 所以，$r$ 不在列表中的任何一个位置。这与我们最初的假设“这个列表包含了集合 $S$ 中所有的数”相矛盾！
6. 结论：最初的假设是错误的。集合 $S$ 不可能是可数的。它的元素太多了，根本无法排成一个列表。
7. 推广：
   • 作者提到，可以证明整个实数集 $\mathbb{R}$ 和区间 $(0,1)$ 的基数是相同的（见习题15）。
   • 因此，实数集 $\mathbb{R}$ 也是不可数的。它的基数 $|\mathbb{R}|$ 是一个比 $\aleph_0$ 更“大”的无穷大。这个基数有时被称为连续统的基数，记作 $\mathfrak{c}$。
   • 最后，作者指出，甚至还存在比 $|\mathbb{R}|$ 更大的无限基数。无穷的阶梯是没有尽头的。

关于选择数字“不同于0和9”的说明：这是为了避免由小数表示的歧义性引起的问题，例如 $0.5000\dots = 0.4999\dots$。通过规定我们构造的数 $r$ 的每一位都既不是0也不是9，可以确保 $r$ 只有一个唯一的小数表示，从而使论证更加严谨。

这是一个引言段落，介绍了本节的主题：划分与等价关系，并预告了其在抽象代数中的重要性。

1. 不相交 (Disjoint)：这是一个铺垫性的定义（以黑体字形式给出）。两个集合如果不含有任何共同的元素，就称它们是不相交的。它们的交集是空集。
2. 核心思想：将一个大的集合，像切蛋糕一样，分解成一堆互不重叠（不相交）的小块。
3. 在代数中的应用：作者预告，这种“分解”或“划分”的操作在抽象代数中至关重要。我们将要学习的商群、商环等概念，其本质就是将一个大的代数结构（如群）按照某种规则划分成许多子集（称为陪集），然后把这些子集本身当作新的元素，来构造一个新的、更小的代数结构。

这是“划分”的正式定义。

一个集合 $\Pi$ 被称为集合 $S$ 的一个划分，如果 $\Pi$ 满足以下三个条件：

1. $\Pi$ 是一个集合的集合：$\Pi$ 的元素本身是集合。具体来说，它们是 $S$ 的子集。例如 $\Pi = \{A, B, C\}$，其中 $A, B, C$ 都是 $S$ 的子集。
2. 对 $\Pi$ 中元素的要求：
   • 非空：$\Pi$ 中的每一个子集（称为单元 (cell)）都不能是空集 $\varnothing$。
   • 不相交：$\Pi$ 中任意两个不同的单元都是不相交的。即如果 $A, B \in \Pi$ 且 $A \neq B$，则 $A \cap B = \varnothing$。
3. 对 $S$ 中元素的要求：“$S$ 的每个元素都恰好在一个子集中”。这个条件可以分解为：
   • 覆盖全集 (Union is S)：$\Pi$ 中所有单元的并集必须等于 $S$。这保证了 $S$ 中的每个元素都至少在一个单元里。
   • 不重复 (Disjointness)：由于单元之间不相交，这保证了 $S$ 中的每个元素最多只在一个单元里。
   • 结合起来，就是“恰好在一个子集中”。

这是一个非常重要的符号约定，它建立了一个从元素到其所在单元的便捷表示。

1. 背景：我们有一个集合 $S$ 和它的一个划分 $\Pi$。
2. 符号：对于 $S$ 中的任意一个元素 $x$。
3. 定义：符号 $\bar{x}$ (读作 "x bar") 代表了在划分 $\Pi$ 中，包含元素 $x$ 的那一个唯一的单元。
   • 因为划分的定义保证了每个元素都“恰好在一个子集中”，所以对于任何 $x$，包含它的那个单元是存在且唯一的。因此，$\bar{x}$ 这个记号是良好定义的。

这个例子是抽象代数中划分思想最重要的应用之一：模n同余类。

Part 1: 模 2 划分

• 集合 $S = \mathbb{Z}^{+}$ (所有正整数)。
• 划分规则：按“除以2的余数”来分。
• 一个正整数除以2，余数要么是0（即能被2整除，是偶数），要么是1（是奇数）。
• 划分的单元：
• 单元1 (余数为0)：所有正偶数的集合 $E^+ = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$。
• 单元2 (余数为1)：所有正奇数的集合 $O^+ = \{1, 3, 5, 7, \dots\}$。
• 验证：这个划分 $\Pi = \{E^+, O^+\}$ 是合法的。
• 单元都非空。
• $E^+$ 和 $O^+$ 不相交。
• $E^+ \cup O^+ = \mathbb{Z}^{+}$。
• 使用 $\bar{x}$ 符号：
• $\overline{14}$ 是什么？14是偶数，它在偶数集合这个单元里。所以 $\overline{14} = E^+ = \{2,4,6,8,\dots\}$。
• $\overline{7}$ 是什么？7是奇数，它在奇数集合这个单元里。所以 $\overline{7} = O^+ = \{1,3,5,7,\dots\}$。

Part 2: 模 3 划分

• 集合 $S = \mathbb{Z}^{+}$。
• 划分规则：按“除以3的余数”来分。余数可能是 0, 1, 或 2。
• 划分的单元：
• 单元1 (余数0)：$C_0 = \{3, 6, 9, 12, \dots\}$ (能被3整除的数)
• 单元2 (余数1)：$C_1 = \{1, 4, 7, 10, \dots\}$ (除以3余1的数)
• 单元3 (余数2)：$C_2 = \{2, 5, 8, 11, \dots\}$ (除以3余2的数)
• 这个划分 $\Pi = \{C_0, C_1, C_2\}$ 也是合法的。

Part 3: 推广到 模 n

• 这个思想可以推广。对于任何一个正整数 $n$。
• 我们可以将 $\mathbb{Z}^+$ 按照“除以 $n$ 的余数”来划分。
• 根据带余除法，任何一个正整数除以 $n$，其可能的余数是 $0, 1, 2, \dots, n-1$ 中的一个，且是唯一的。
• 这就自然地将 $\mathbb{Z}^+$ 划分成了 $n$ 个不相交的单元。
• 这些单元被称为模n同余类 (Congruence Classes Modulo n)。$\overline{x}$ 在这里就代表 $x$ 所在的同余类。

这段话是连接“划分”和“等价关系”的桥梁，它描述了如何从一个已知的划分构造出一个关系。

1. 起点：一个集合 $S$ 和它的一个划分 $\Pi$。
2. 构造规则：我们来定义 $S$ 上的一个关系 $\mathscr{R}$。规则是：
   • “如果两个元素 $x$ 和 $y$ 落在划分的同一个单元里，我们就说它们俩有关系 $\mathscr{R}$。”
3. 形式化：用 $\bar{x}$ 符号，这个规则可以更简洁地写成：
   • $x \mathscr{R} y \iff \bar{x} = \bar{y}$。
4. 预告：作者指出，通过这种方式构造出来的关系 $\mathscr{R}$，并不是一个普通的关系，它具有一些非常好的性质。这些性质就是下一段要定义的“等价关系”的三个性质（自反性、对称性、传递性）。

这是“等价关系”的正式定义，是抽象代数中最基本的概念之一。

一个在集合 $S$ 上的关系 $\mathscr{R}$ (即 $S \times S$ 的一个子集)，如果它同时满足以下三个条件，就被称为等价关系：

1. 自反性 (Reflexivity)：$S$ 中的每个元素都与它自身有关系。
   • 集合论语言：对于所有 $x \in S$，都有 $(x,x) \in \mathscr{R}$。
   • 直观理解：每个人都和自己“相等”或“相关”。
2. 对称性 (Symmetry)：如果 $x$ 与 $y$ 有关系，那么 $y$ 也必须与 $x$ 有关系。
   • 集合论语言：如果 $(x,y) \in \mathscr{R}$，那么 $(y,x)$ 也必须在 $\mathscr{R}$ 中。
   • 直观理解：关系是“双向”的。
3. 传递性 (Transitivity)：如果 $x$ 与 $y$ 有关系，并且 $y$ 与 $z$ 有关系，那么 $x$ 必须与 $z$ 有关系。
   • 集合论语言：如果 $(x,y) \in \mathscr{R}$ 并且 $(y,z) \in \mathscr{R}$，那么 $(x,z)$ 也必须在 $\mathscr{R}$ 中。
   • 直观理解：关系可以“传递”或“搭桥”。

等价关系的本质，就是一种抽象化的“相等”。它不要求元素在所有方面都一样，只要求在某个特定的性质上“等同”。

这段话是对1.5.5节中预告的简要证明。它演示了如何验证由划分生成的关系满足对称性。

• 回顾：由划分生成的关系 $\mathscr{R}$ 的定义是：$x \mathscr{R} y \iff x$ 和 $y$ 在同一个单元里。

• 验证对称性：
• 前提：假设 $x \mathscr{R} y$ 成立。
• 翻译：根据定义，这意味着“$x$ 和 $y$ 在同一个单元里”。
• 逻辑推理：“$x$ 和 $y$ 在同一个单元里”这个陈述，和“$y$ 和 $x$ 在同一个单元里”这个陈述，显然是完全等价的。
• 翻译回来：根据定义，“$y$ 和 $x$ 在同一个单元里”就意味着 $y \mathscr{R} x$。
• 结论：我们从 $x \mathscr{R} y$ 推出了 $y \mathscr{R} x$。因此，对称性成立。

• 留给读者：作者将自反性和传递性的验证作为练习。
• 自反性提示：$x$ 和 $x$ 是否在同一个单元里？当然在。
• 传递性提示：如果 $x,y$ 在同一个单元 $C$ 中，同时 $y,z$ 也在同一个单元 $D$ 中。因为 $y$ 同时在 $C,D$ 中，而划分的单元是不相交的，所以 $C$ 和 $D$ 必须是同一个单元。因此 $x,z$ 也在这个单元里。

这个例子重申了1.5.6节练习中的结论。

• 关系：相等关系 $=$, 其集合形式是 $S \times S$ 的对角线子集 $D = \{(x,x) \mid x \in S\}$。
• 验证：

1. 自反性：对于任意 $x \in S$，是否 $(x,x) \in D$？根据 $D$ 的定义，是的。满足。
2. 对称性：如果 $(x,y) \in D$，是否 $(y,x) \in D$？
   • $(x,y) \in D$ 意味着 $x=y$。
   • 如果 $x=y$，那么 $(y,x)$ 就等于 $(x,x)$。
   • 因为 $(x,x) \in D$，所以 $(y,x) \in D$。满足。
3. 传递性：如果 $(x,y) \in D$ 且 $(y,z) \in D$，是否 $(x,z) \in D$？
   • $(x,y) \in D \implies x=y$。
   • $(y,z) \in D \implies y=z$。
   • 所以 $x=y=z$，即 $x=z$。
   • 因此 $(x,z)$ 就是 $(x,x)$。
   • 因为 $(x,x) \in D$，所以 $(x,z) \in D$。满足。
   • 结论：相等关系满足等价关系的所有三个性质，因此它是一种等价关系。

这个例子将示例0.17的同余类划分与等价关系直接联系起来。

1. 背景：在示例0.17中，我们已经知道，可以根据除以 $n$ 的余数是否相同，来对 $\mathbb{Z}^+$ 进行划分。
2. 生成等价关系：根据1.5.5节的原理，这个划分自然地产生一个等价关系。这个关系的规则是：
   • $a$ 和 $b$ 有关系 $\iff a$ 和 $b$ 在同一个划分单元里 $\iff a$ 和 $b$ 除以 $n$ 的余数相同。
3. 命名和符号：这个特别的等价关系被称为“模n同余”(Congruence Modulo n)。
   • 标准符号：$a \equiv b \pmod n$。
   • 含义：$a$ 和 $b$ 除以 $n$ 的余数相同。
   • 等价定义：$a \equiv b \pmod n$ 当且仅当 $a-b$ 是 $n$ 的倍数（即 $n$ 能整除 $a-b$）。这个定义在证明中更常用。（习题36会证明这一点）
4. 举例：
   • $15 \equiv 27 \pmod 4$。为什么？
   • 方法1（余数）：$15 = 3 \times 4 + 3$ (余3)。$27 = 6 \times 4 + 3$ (余3)。余数相同。
   • 方法2（差值）：$15 - 27 = -12$。-12 能被 4 整除。
   • $10 \equiv 1 \pmod 3$ 吗？
   • $10 \div 3$ 余 1。$1 \div 3$ 余 1。是的。
   • $8 \equiv 2 \pmod 5$ 吗？
   • $8 \div 5$ 余 3。$2 \div 5$ 余 2。余数不同。不是。

这是一个判断给定关系是否为等价关系的完整练习。关系 $\mathscr{R}$ 定义在 $\mathbb{Z}$ 上，规则是：$n \mathscr{R} m \iff nm \ge 0$。这个规则的直观含义是“$n$ 和 $m$ 同号，或者其中至少一个为0”。

• 1. 检查自反性 ($a \mathscr{R} a$)
• 问题：对任意整数 $a$，是否 $a \cdot a \ge 0$？
• 回答：是的，$a^2$ 对于任何整数 $a$ 都是非负的。
• 结论：满足自反性。

• 2. 检查对称性 (if $a \mathscr{R} b$, then $b \mathscr{R} a$)
• 前提：假设 $a \mathscr{R} b$，即 $ab \ge 0$。
• 问题：是否 $b \mathscr{R} a$ (即 $ba \ge 0$) 也成立？
• 回答：是的，因为整数乘法满足交换律，$ab = ba$。所以如果 $ab \ge 0$，那么 $ba \ge 0$。
• 结论：满足对称性。

• 3. 检查传递性 (if $a \mathscr{R} b$ and $b \mathscr{R} c$, then $a \mathscr{R} c$)
• 前提：假设 $a \mathscr{R} b$ 且 $b \mathscr{R} c$。这意味着 $ab \ge 0$ 且 $bc \ge 0$。
• 问题：是否 $a \mathscr{R} c$ (即 $ac \ge 0$) 必然成立？
• 分析：作者提供了一个聪明的思路。将两个前提相乘：$(ab)(bc) \ge 0$，即 $ab^2c \ge 0$。
• 情况一：如果 $b \neq 0$，那么 $b^2 > 0$。我们可以将不等式 $ab^2c \ge 0$ 两边同除以 $b^2$ 而不改变不等号方向，得到 $ac \ge 0$。在这种情况下，传递性成立。
• 情况二 (边界情况)：如果 $b = 0$ 呢？此时 $b^2=0$，我们不能做除法。我们需要回到原始前提来分析。
• $ab \ge 0$ 变成 $a \cdot 0 \ge 0$，即 $0 \ge 0$，这对任何 $a$ 都成立。
• $bc \ge 0$ 变成 $0 \cdot c \ge 0$，即 $0 \ge 0$，这对任何 $c$ 都成立。
• 所以，如果 $b=0$，前提“$a \mathscr{R} 0$ 且 $0 \mathscr{R} c$” 对任何整数 $a,c$ 都成立。
• 那么结论 "$a \mathscr{R} c$" (即 $ac \ge 0$) 对任何 $a,c$ 都成立吗？显然不是。
• 寻找反例：我们需要找一个 $a,c$ 使得 $ac < 0$。
• 取 $a = -3$，$c = 5$。
• 验证前提：
• $a \mathscr{R} b$：$-3 \mathscr{R} 0$。因为 $(-3)(0) = 0 \ge 0$。成立。
• $b \mathscr{R} c$：$0 \mathscr{R} 5$。因为 $(0)(5) = 0 \ge 0$。成立。
• 验证结论：
• $a \mathscr{R} c$：$-3 \mathscr{R} 5$？因为 $(-3)(5) = -15 < 0$。不成立！
• 结论：找到了一个反例，因此该关系不满足传递性。

• 最终结论：由于不满足传递性，所以该关系不是一个等价关系。

这是本节的核心定理，它正式确立了“等价关系”和“划分”这两个概念之间存在一个一一对应的关系。它们是同一数学思想的两种不同表现形式。

定理包含两个部分：

Part 1: 等价关系 $\implies$ 划分

• 起点：我们有一个集合 $S$ 和一个定义在 $S$ 上的等价关系 $\sim$。
• 构造划分：我们可以利用这个等价关系来构造 $S$ 的一个划分 $\Pi$。
• 构造单元：对于 $S$ 中的每一个元素 $a$，我们定义一个子集 $\bar{a}$，它包含了 $S$ 中所有与 $a$ “等价”的元素。这个子集 $\bar{a}$ 就被称为由 $a$ 代表的等价类 (Equivalence Class)。
• $\bar{a} = \{x \in S \mid x \sim a\}$。
• 构造划分：所有这些等价类的集合 $\Pi = \{\bar{a} \mid a \in S\}$，就构成了 $S$ 的一个划分。
• 需要证明：我们需要证明这样构造出来的集合 $\Pi$ 确实满足划分的三个条件（单元非空、单元两两不相交、单元的并集为 $S$）。这正是下一个证明要做的事情。

Part 2: 划分 $\implies$ 等价关系

• 起点：我们有一个集合 $S$ 和它的一个划分 $\Pi$。
• 构造等价关系：我们可以定义一个关系 $\sim$ 如下：
• $a \sim b \iff a$ 和 $b$ 在 $\Pi$ 的同一个单元里。
• 结论：定理声称，这样定义的关系 $\sim$ 一定是一个等价关系（即满足自反、对称、传递）。这部分在1.5.5和1.5.7节已经进行了非形式化的论证。

总结：这个定理建立了一条双向通道。

• 给定一个等价关系，可以唯一地确定一个划分（划分的单元就是等价类）。
• 给定一个划分，可以唯一地确定一个等价关系（关系就是“同属一个单元”）。

这是定理0.22第一部分（等价关系 $\implies$ 划分）的证明。证明的目标是：由等价类 $\bar{a}=\{x \in S \mid x \sim a\}$ 构成的集合 $\Pi=\{\bar{a} \mid a \in S\}$ 确实是 $S$ 的一个划分。

回顾划分的定义，我们需要证明三点：

1. 单元非空：对于任何 $\bar{a}$，它都不是空集。
2. 并集为S：所有单元的并集是 $S$。
3. 单元不相交：任意两个不同的单元 $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$，它们的交集是空集。

作者的证明思路将这三点合并为证明“$S$ 的每个元素都恰好在一个单元中”。

• 证明 “至少在一个单元中” (覆盖性)
• 取 $S$ 中任意一个元素 $a$。
• 我们要证明 $a$ 属于某个等价类。
• 考虑等价类 $\bar{a}$。它的定义是 $\{x \in S \mid x \sim a\}$。
• 因为 $\sim$ 是等价关系，它满足自反性，即 $a \sim a$。
• 所以，$a$ 满足进入 $\bar{a}$ 的条件。因此 $a \in \bar{a}$。
• 这就证明了 $S$ 中任何一个元素 $a$ 都至少在它自己所代表的那个等价类 $\bar{a}$ 中。这也顺便证明了没有一个等价类是空的（至少包含其代表元素），并且所有等价类的并集是整个 $S$。

• 证明 “至多在一个单元中” (不相交性)
• 这是证明的关键部分。我们要证明，如果一个元素 $a$ 同时属于两个等价类 $\bar{b}$ 和 $\bar{c}$，那么这两个等价类必然是同一个集合，即 $\bar{b}=\bar{c}$。
• 作者在这里用 $\bar{b}$ 和 $\bar{a}$ 来表述，假设 $a \in \bar{b}$，需要证明 $\bar{a}=\bar{b}$。
• 这个证明的策略是证明“两个等价类要么完全相同，要么完全不相交”。
• 作者提示了证明两个集合相等 ($A=B$) 的标准方法：证明 $A \subseteq B$ 并且 $B \subseteq A$。

这是一个框出来的、需要特别强调的数学证明技巧。

• 目标：证明集合 $A$ 等于集合 $B$ ($A=B$)。
• 方法：分两步走。

1. 第一步 (证明 $A \subseteq B$)：
   • 从集合 $A$ 中任取一个元素 $x$。
   • 通过一系列逻辑推导，证明这个 $x$ 也必然属于集合 $B$。
   • 因为 $x$ 是任意取的，所以这就证明了 $A$ 的所有元素都在 $B$ 中，即 $A \subseteq B$。
2. 第二步 (证明 $B \subseteq A$)：
   • 从集合 $B$ 中任取一个元素 $y$。
   • 通过一系列逻辑推导，证明这个 $y$ 也必然属于集合 $A$。
   • 这就证明了 $B \subseteq A$。
   • 结论：因为 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，所以 $A$ 和 $B$ 包含完全相同的元素，因此 $A=B$。

这个“双向包含”法是证明集合相等的黄金标准。

这是证明的关键部分，严格执行了“双向包含”法来证明：如果 $a \in \bar{b}$，那么 $\bar{a}=\bar{b}$。

前提：$a \in \bar{b}$。根据等价类的定义，这意味着 $a \sim b$。

第一步：证明 $\bar{a} \subseteq \bar{b}$

1. 任取元素：令 $x$ 是 $\bar{a}$ 中的任意一个元素。即 $x \in \bar{a}$。
2. 翻译定义：根据 $\bar{a}$ 的定义，这意味着 $x \sim a$。
3. 使用前提：我们已知 $a \sim b$。
4. 运用传递性：我们现在有两条关系链：$x \sim a$ 和 $a \sim b$。根据等价关系的传递性，我们可以得出结论 $x \sim b$。
5. 翻译定义：$x \sim b$ 意味着 $x$ 满足了进入等价类 $\bar{b}$ 的条件。所以 $x \in \bar{b}$。
6. 得出结论：我们从“$x \in \bar{a}$”出发，推导出“$x \in \bar{b}$”。因为 $x$ 是任意的，所以我们证明了 $\bar{a}$ 的所有元素都在 $\bar{b}$ 中，即 $\bar{a} \subseteq \bar{b}$。

第二步：证明 $\bar{b} \subseteq \bar{a}$

1. 任取元素：令 $y$ 是 $\bar{b}$ 中的任意一个元素。即 $y \in \bar{b}$。
2. 翻译定义：这意味着 $y \sim b$。
3. 使用前提和对称性：我们已知 $a \sim b$。根据等价关系的对称性，可以得出 $b \sim a$。
4. 运用传递性：我们现在有关系链：$y \sim b$ 和 $b \sim a$。根据传递性，可以得出结论 $y \sim a$。
5. 翻译定义：$y \sim a$ 意味着 $y$ 满足了进入等价类 $\bar{a}$ 的条件。所以 $y \in \bar{a}$。
6. 得出结论：我们从“$y \in \bar{b}$”出发，推导出“$y \in \bar{a}$”。因此 $\bar{b} \subseteq \bar{a}$。

最终结论：

因为我们已经证明了 $\bar{a} \subseteq \bar{b}$ 和 $\bar{b} \subseteq \bar{a}$，所以 $\bar{a} = \bar{b}$。

证明的意义：这个结果表明，如果两个等价类有一个共同的元素（比如 $a$ 同时在 $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$ 中），那么这两个等价类必须是完全相同的。这就证明了不同的等价类之间是不相交的。再结合之前证明的覆盖性，我们就完整地证明了所有等价类的集合构成了 $S$ 的一个划分。

这是一个总结性的术语定义。

• 背景：我们从一个等价关系 $\sim$ 出发。
• 构造：我们构造了一个划分 $\Pi$。
• 单元：这个划分 $\Pi$ 的单元是形如 $\bar{a}=\{x \in S \mid x \sim a\}$ 的集合。
• 命名：我们给这些单元一个正式的名字，叫做“等价类”(Equivalence Class)。

所以，“等价类”和“由等价关系生成的划分的单元”是同义词。一个等价类是一个集合，里面包含了所有在某个等价关系下彼此等价的元素。

这是证明的关键部分，严格执行了“双向包含”法来证明：如果 $a \in \bar{b}$，那么 $\bar{a}=\bar{b}$。

前提：$a \in \bar{b}$。根据等价类的定义，这意味着 $a \sim b$。

第一步：证明 $\bar{a} \subseteq \bar{b}$

1. 任取元素：令 $x$ 是 $\bar{a}$ 中的任意一个元素。即 $x \in \bar{a}$。
2. 翻译定义：根据 $\bar{a}$ 的定义，这意味着 $x \sim a$。
3. 使用前提：我们已知 $a \sim b$。
4. 运用传递性：我们现在有两条关系链：$x \sim a$ 和 $a \sim b$。根据等价关系的传递性，我们可以得出结论 $x \sim b$。
5. 翻译定义：$x \sim b$ 意味着 $x$ 满足了进入等价类 $\bar{b}$ 的条件。所以 $x \in \bar{b}$。
6. 得出结论：我们从“$x \in \bar{a}$”出发，推导出“$x \in \bar{b}$”。因为 $x$ 是任意的，所以我们证明了 $\bar{a}$ 的所有元素都在 $\bar{b}$ 中，即 $\bar{a} \subseteq \bar{b}$。

第二步：证明 $\bar{b} \subseteq \bar{a}$

1. 任取元素：令 $y$ 是 $\bar{b}$ 中的任意一个元素。即 $y \in \bar{b}$。
2. 翻译定义：这意味着 $y \sim b$。
3. 使用前提和对称性：我们已知 $a \sim b$。根据等价关系的对称性，可以得出 $b \sim a$。
4. 运用传递性：我们现在有关系链：$y \sim b$ 和 $b \sim a$。根据传递性，可以得出结论 $y \sim a$。
5. 翻译定义：$y \sim a$ 意味着 $y$ 满足了进入等价类 $\bar{a}$ 的条件。所以 $y \in \bar{a}$。
6. 得出结论：我们从“$y \in \bar{b}$”出发，推导出“$y \in \bar{a}$”。因此 $\bar{b} \subseteq \bar{a}$。

最终结论：

因为我们已经证明了 $\bar{a} \subseteq \bar{b}$ 和 $\bar{b} \subseteq \bar{a}$，所以 $\bar{a} = \bar{b}$。

证明的意义：这个结果表明，如果两个等价类有一个共同的元素（比如 $a$ 同时在 $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$ 中），那么这两个等价类必须是完全相同的。这就证明了不同的等价类之间是不相交的。再结合之前证明的覆盖性，我们就完整地证明了所有等价类的集合构成了 $S$ 的一个划分。

这是一个总结性的术语定义。

• 背景：我们从一个等价关系 $\sim$ 出发。
• 构造：我们构造了一个划分 $\Pi$。
• 单元：这个划分 $\Pi$ 的单元是形如 $\bar{a}=\{x \in S \mid x \sim a\}$ 的集合。
• 命名：我们给这些单元一个正式的名字，叫做“等价类”(Equivalence Class)。

所以，“等价类”和“由等价关系生成的划分的单元”是同义词。一个等价类是一个集合，里面包含了所有在某个等价关系下彼此等价的元素。

这个习题要求我们将一个用描述法给出的集合，改用列举法来表示。

1. 分析集合定义:
   • x \in \mathbb{R}: 集合的元素 $x$ 必须是实数。
   • x^2 = 3: 元素 $x$ 必须满足这个方程。
2. 解方程: 我们需要解方程 $x^2 = 3$。在实数范围内，这个方程有两个解。
   • $x = \sqrt{3}$
   • $x = -\sqrt{3}$
3. 列出元素: 这两个解都是实数，满足第一个条件。因此，这个集合包含两个元素：$\sqrt{3}$ 和 $-\sqrt{3}$。
4. 用列举法表示: 将这两个元素用大括号括起来，得到集合 $\{\sqrt{3}, -\sqrt{3}\}$。

这道题与上一题非常相似，但有一个关键区别。

1. 分析集合定义:
   • m \in \mathbb{Z}: 集合的元素 $m$ 必须是整数。
   • m^2 = 3: 元素 $m$ 必须满足这个方程。
2. 解方程: 我们需要解方程 $m^2 = 3$。这个方程的解是 $m = \sqrt{3}$ 和 $m = -\sqrt{3}$。
3. 检查范围: 我们需要判断这两个解是否满足第一个条件，即是否为整数。
   • $\sqrt{3} \approx 1.732$，它不是一个整数。
   • $-\sqrt{3} \approx -1.732$，它也不是一个整数。
4. 确定元素: 由于方程的解没有一个落在指定的整数范围内，所以没有任何元素满足集合的所有条件。
5. 用列举法表示: 一个没有任何元素的集合是空集。所以答案是 $\varnothing$ 或 {}。

这道题要求我们找出所有满足条件的整数 $m$。

1. 分析集合定义:
   • m \in \mathbb{Z}: 元素 $m$ 必须是整数。
   • 对于某个 n \in \mathbb{Z}，有 mn=60: 这句话的意思是，存在一个整数 $n$，使得 $m$ 乘以 $n$ 等于 60。
2. 转化条件: mn=60 意味着 $m$ 是 60 的一个因数（或约数）。因为 $m$ 和 $n$ 都必须是整数，所以我们需要找出 60 的所有整数因数。
3. 找因数:
   • 首先找出 60 的所有正因数。我们可以成对地找：
   • 1 和 60, 2 和 30, 3 和 20, 4 和 15, 5 和 12, 6 和 10
   • 所以正因数是：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60。
   • 因为 $m$ 和 $n$ 都是整数，所以负因数也要考虑。如果 $m$ 是一个正因数，那么 $-m$ 也是一个因数，因为 $(-m)(-n) = mn = 60$。
   • 所以负因数是：-1, -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20, -30, -60。
4. 列出元素: 将所有正负因数集合在一起，就是这个集合的元素。
   • $\{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, 10, -10, 12, -12, 15, -15, 20, -20, 30, -30, 60, -60\}$。

这道题要求我们找出所有满足一个不等式的整数。

1. 分析集合定义:
   • m \in \mathbb{Z}: 元素 $m$ 必须是整数。
   • m^2 - m < 115: 元素 $m$ 必须满足这个不等式。
2. 解不等式: 我们需要解不等式 $m^2 - m - 115 < 0$。
   • 这是一个二次不等式。我们先找到对应方程 $m^2 - m - 115 = 0$ 的根。
   • 使用求根公式 $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $a=1, b=-1, c=-115$。
   • $m = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-115)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 460}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{461}}{2}$。
   • 我们需要估算 $\sqrt{461}$ 的值。我们知道 $21^2=441$, $22^2=484$。所以 $\sqrt{461}$ 在 21 和 22 之间，大约是 21.5。
   • 所以方程的两个根大约是：$m_1 \approx \frac{1 - 21.5}{2} = -10.25$ 和 $m_2 \approx \frac{1 + 21.5}{2} = 11.25$。
   • 不等式 $m^2 - m - 115 < 0$ 的解是开口向上的抛物线在 $x$ 轴下方的部分，也就是两个根之间的部分：$-10.25 < m < 11.25$。
3. 寻找整数解: 我们需要在区间 $(-10.25, 11.25)$ 中找到所有的整数。
   • 这些整数是从 -10 到 11 的所有整数。
4. 列出元素:
   • $\{-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$。

1. 判断良好定义性: “大数”是一个主观、模糊的形容词，没有公认的、明确的标准。因此，我们无法对任意一个正整数 $n$ 明确判断它是否属于这个集合。结论：这个描述不是良好定义的，因此它不是一个集合。
2. 给出替代描述: 为了让它成为一个良好定义的集合，我们需要用一个明确的、客观的标准来代替“大数”。例如，我们可以定义“大数”为“大于1,000,000的数”。
   • 替代描述: $\{n \in \mathbb{Z}^{+} \mid n > 1,000,000\}$。这是一个良好定义的集合。

1. 判断良好定义性: 对于任何一个整数 $n$，我们都能计算出它的平方 $n^2$，并明确地判断 $n^2$ 是否小于 0。由于对于任何整数，其归属性都是明确的，所以这个描述是良好定义的。它确实是一个集合。
2. 给出替代描述: 任何整数的平方都是非负的，即 $n^2 \ge 0$。因此，不存在任何整数 $n$ 能够满足 $n^2 < 0$ 这个条件。这个集合里没有任何元素。
   • 替代描述: 这是一个空集。可以用符号 $\varnothing$ 来表示。

1. 判断良好定义性: 对于任何一个整数 $n$，我们都能计算其立方 $n^3$，并明确判断结果是否在39和57之间。归属性是明确的，所以这是良好定义的，是一个集合。
2. 给出替代描述: 我们来尝试用列举法描述它。
   • 我们可以测试一些整数的立方：$3^3 = 27$ (太小)，$4^3 = 64$ (太大)。
   • 由于函数 $f(n)=n^3$ 是单调递增的，所以没有整数 $n$ 满足 $39 < n^3 < 57$。
   • 这个集合是空集。
   • 替代描述: $\varnothing$。

1. 判断良好定义性: 与习题5中的“大数”一样，“几乎是”是一个主观、模糊的词。没有一个明确的界限来定义“几乎是”。因此，这个描述不是良好定义的，它不是一个集合。
2. 给出替代描述: 我们需要将“几乎是整数”这个模糊概念量化。
   • 替代描述: $\{x \in \mathbb{Q} \mid \text{存在一个整数 } n \text{ 使得 } |x-n| < 0.01\}$。这个集合包含了所有与某个整数的差的绝对值小于0.01的有理数。这是一个良好定义的集合。

1. 判断良好定义性: 这个描述存在歧义，但如果按照“只要存在一种写法满足即可”来理解，任何有理数 $p/q$ 都可以写成 $\frac{p \times k}{q \times k}$ 的形式。只要我们选择一个足够大的整数 $k$ 使得 $q \times k > 100$，那么任何有理数都可以满足这个条件。在这种理解下，归属性是明确的：任何一个有理数都属于它。因此，这个描述是良好定义的。
2. 给出替代描述: 根据上面的分析，这个集合包含了所有的有理数。
   • 替代描述: $\mathbb{Q}$。

1. 判断良好定义性: 我们理解条件为“分母是小于4的正整数”，即分母可以是1, 2, 或 3。一个有理数 $x$ 属于这个集合，只要它存在一种表示 $p/q$ 的形式，其中 $q \in \{1,2,3\}$ 且 $p/q > 0$。这个条件是明确的。归属性的判断标准是明确的（检查其最简分数的分母是否为1,2,3），所以该描述是良好定义的。
2. 给出替代描述: 这个集合包含了所有可以表示为 $p/1, p/2, p/3$ 形式的正有理数，其中 $p$ 是正整数。
   • 替代描述: $\{x \in \mathbb{Q}^+ \mid \text{x的最简分数表示 } p/q \text{ 满足 } q \in \{1,2,3\}\}$。这个描述更加严谨。

这道题是练习计算两个集合的笛卡尔积。

1. 确定集合: 第一个集合 $A = \{a, b, c\}$，第二个集合 $B = \{1, 2, c\}$。
2. 系统地配对:
   • 取 a 配对：$(a, 1), (a, 2), (a, c)$
   • 取 b 配对：$(b, 1), (b, 2), (b, c)$
   • 取 c 配对：$(c, 1), (c, 2), (c, c)$
3. 列出所有元素: 将上面产生的9个有序对收集起来，得到笛卡尔积：
   • $\{ (a, 1), (a, 2), (a, c), (b, 1), (b, 2), (b, c), (c, 1), (c, 2), (c, c) \}$

这道题是练习判断一个关系是否为函数，以及函数的性质（一对一、满射）。

核心判断依据:

• 是不是函数? 检查定义域 $A=\{1,2,3\}$ 中的每个元素，是否都作为了有序对的第一个元素，并且只出现了一次。
• 是不是一对一? 如果是函数，检查是否有不同的输入（第一个元素）映射到了相同的输出（第二个元素）。
• 是不是满射? 如果是函数，检查值域（所有出现过的第二个元素的集合）是否等于协定义域 $B=\{2,4,6\}$。

这道题要求我们用几何方法，在两个不同长度的线段之间建立一个一一对应关系，从而证明它们有相同的基数（即包含相同数量的“点”）。

1. 几何构造:
   • 如图所示，我们将线段 $AB$ 和线段 $CD$ 不平行地放置。
   • 延长 $AC$ 和 $BD$ 两条直线，它们会相交于一点，我们称之为点 $P$。
2. 建立配对规则:
   • 对于线段 $AB$ 上的任意一点 $x$，我们画一条通过点 $P$ 和点 $x$ 的直线。
   • 这条直线 $Px$ 与线段 $CD$ 必然会相交于唯一的一点，我们称之为 $y$。
   • 我们就将点 $x$ 与点 $y$ 配对：$x \leftrightarrow y$。
3. 验证一一对应:
   • 每个 $x$ 都有唯一的 $y$ 对应吗? 是的，对于 $AB$ 上的任何一点 $x$，直线 $Px$ 是唯一的，它与 $CD$ 的交点也是唯一的。这表明我们的配对规则是一个函数。
   • 是一对一吗? 是的。如果取 $AB$ 上两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，那么直线 $Px_1$ 和 $Px_2$ 就是两条不同的、过点 $P$ 的直线。它们与 $CD$ 的交点 $y_1$ 和 $y_2$ 也必然是不同的点。所以不同的输入对应不同的输出。
   • 是满射吗? 是的。对于线段 $CD$ 上的任意一点 $y$，我们画一条通过点 $P$ 和点 $y$ 的直线。这条直线必然会与线段 $AB$ 相交于唯一的一点 $x$。这意味着 $CD$ 上的每一个点都被“射中”了。
4. 结论:
   • 我们成功地在线段 $AB$ 的点集和线段 $CD$ 的点集之间建立了一个一一对应。
   • 根据基数相等的定义，这两个不同长度的线段具有相同的基数。

这道题要求我们用代数方法（寻找一个函数公式）来证明不同闭区间的基数相同。这本质上是寻找一个线性的一一对应函数。一个线性函数 $f(x)=mx+k$ (其中 $m \ne 0$) 总是一一对应的。我们的任务就是找到合适的斜率 $m$ 和截距 $k$。

这道题要求我们证明开区间 $(0,1)$ 和整个实数轴 $\mathbb{R}$ 的基数相同。我们需要找到一个从 $(0,1)$ 到 $\mathbb{R}$ 的一一对应函数。

1. 根据提示寻找核心函数: 我们需要一个能把一个有限长度的区间“撑开”到整个实数轴的函数。在微积分中，正切函数 $y=\tan(x)$ 是一个很好的候选。
   • $\tan(x)$ 的定义域是所有不等于 $\frac{\pi}{2} + k\pi$ 的实数。
   • 如果我们将其定义域限制在开区间 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 上，它的值域正好是整个实数集 $\mathbb{R}$。
   • 在这个区间上，$\tan(x)$ 是严格单调递增的，因此是一对一的。
   • 所以，$f(x)=\tan(x)$ 是一个从 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 到 $\mathbb{R}$ 的一一对应。
2. 平移和缩放: 我们的目标是从区间 $(0,1)$ 出发，而不是 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。我们需要一个线性的“预处理”函数 $g(x)$，把 $(0,1)$ 变成 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。
   • 这正是习题14c的应用。令 $[a,b] = [0,1]$ 和 $[c,d] = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。
   • $g(x) = c + \frac{d-c}{b-a}(x-a) = -\frac{\pi}{2} + \frac{\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})}{1-0}(x-0) = -\frac{\pi}{2} + \pi x$。
   • 这个函数 $g(x)=\pi x - \frac{\pi}{2}$ 是一个从 $(0,1)$ 到 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 的一一对应。
3. 构造复合函数: 现在我们将这两个函数复合起来。令 $h(x) = f(g(x))$。
   • $h: (0,1) \xrightarrow{g} (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \xrightarrow{f} \mathbb{R}$。
   • 函数的公式是 $h(x) = \tan(\pi x - \frac{\pi}{2})$。
   • 因为 $g$ 和 $f$ 都是一一对应，它们的复合函数 $h$ 也是一个一一对应。
   • 我们找到了一个从 $(0,1)$ 到 $\mathbb{R}$ 的一一对应函数。
4. 结论: 根据基数相等的定义，集合 $S=(0,1)$ 与 $\mathbb{R}$ 具有相同的基数。

这道题要求我们找出给定集合的所有子集，并将这些子集作为元素构成一个新的集合——幂集。

1. 猜想

• 根据习题16的结果：
• $s=0 \implies |\mathscr{P}(A)| = 1 = 2^0$
• $s=1 \implies |\mathscr{P}(A)| = 2 = 2^1$
• $s=2 \implies |\mathscr{P}(A)| = 4 = 2^2$
• $s=3 \implies |\mathscr{P}(A)| = 8 = 2^3$
• 猜想: 如果 $|A|=s$，那么 $|\mathscr{P}(A)| = 2^s$。

2. 证明

这里提供一个基于组合思想的直观证明。

• 证明思路: 构造 $A$ 的一个子集的过程，可以看作是对 $A$ 中的每个元素做一个决定：这个元素是否要放入子集中。
• 令 $A = \{a_1, a_2, \dots, a_s\}$。
• 对于元素 $a_1$，我们有2种选择：选入子集，或者不选入子集。
• 对于元素 $a_2$，我们也有2种选择：选入或者不选入。
• ...
• 对于元素 $a_s$，我们同样有2种选择：选入或者不选入。
• 每一种选择组合都唯一地对应 $A$ 的一个子集。例如，“$a_1$选，$a_2$不选，...，$a_s$选”就对应着一个特定的子集。
• 根据计数的乘法原理，总共的选择组合（也就是子集的总数）是：

$2 \times 2 \times \dots \times 2$ (共 $s$ 个 2 相乘) $= 2^s$。

• 因此，证明了 $|\mathscr{P}(A)| = 2^s$。

（更严格的证明可以使用数学归纳法。）

这道题要求我们证明 $|\mathscr{P}(A)| = |B^A|$，其中 $B=\{0,1\}$。根据基数相等的定义，我们需要在 $\mathscr{P}(A)$ 和 $B^A$ 之间建立一个一一对应的函数。

1. 理解两个集合:
   • $\mathscr{P}(A)$: $A$ 的所有子集构成的集合。其元素是集合，如 $S \subseteq A$。
   • $B^A$: 所有从 $A$ 到 $\{0,1\}$ 的函数构成的集合。其元素是函数，如 $f: A \to \{0,1\}$。
2. 建立对应关系: 我们需要一个函数 $\Phi: \mathscr{P}(A) \to B^A$，它能将 $A$ 的每个子集都唯一地对应到一个从 $A$ 到 $\{0,1\}$ 的函数。
   • 规则: 对于 $\mathscr{P}(A)$ 中的任意一个子集 $S$，我们定义它对应的函数 $f_S \in B^A$ 如下：
   • 我们定义的映射就是 $\Phi(S) = f_S$。
3. 验证一一对应:
   • 一对一: 我们需要证明，如果 $S_1$ 和 $S_2$ 是 $A$ 的两个不同子集，那么它们对应的特征函数 $f_{S_1}$ 和 $f_{S_2}$ 也一定是不同的函数。
   • 如果 $S_1 \neq S_2$，那么必然存在一个元素 $x_0$，它在一个集合中而不在另一个中。不妨设 $x_0 \in S_1$ 且 $x_0 \notin S_2$。
   • 根据定义，$f_{S_1}(x_0) = 1$，而 $f_{S_2}(x_0) = 0$。
   • 由于这两个函数在至少一个点 $x_0$ 上的取值不同，所以 $f_{S_1} \neq f_{S_2}$。
   • 因此，$\Phi$ 是一对一的。
   • 满射: 我们需要证明，对于任意一个函数 $g \in B^A$ (即任意一个 $g: A \to \{0,1\}$)，我们都能在 $\mathscr{P}(A)$ 中找到一个子集 $S$，使得 $g$ 就是 $S$ 的特征函数 $f_S$。
   • 给定一个函数 $g: A \to \{0,1\}$。
   • 我们构造一个子集 $S_g = \{x \in A \mid g(x)=1\}$。这个集合包含了所有被 $g$ 映射到 1 的元素。
   • 现在我们来看 $S_g$ 的特征函数 $f_{S_g}$ 是什么。根据定义：
   • 如果 $x \in S_g$，则 $f_{S_g}(x)=1$。而 $x \in S_g$ 的定义就是 $g(x)=1$。所以 $f_{S_g}(x) = g(x)$。
   • 如果 $x \notin S_g$，则 $f_{S_g}(x)=0$。而 $x \notin S_g$ 的定义就是 $g(x) \neq 1$，因为 $g$ 的值域只有 $\{0,1\}$，所以 $g(x)=0$。所以 $f_{S_g}(x) = g(x)$。
   • 在所有情况下，$f_{S_g} = g$。我们找到了那个“原像”子集 $S_g$。
   • 因此，$\Phi$ 是满射的。
4. 结论: 由于我们找到了一个从 $\mathscr{P}(A)$ 到 $B^A$ 的一一对应函数 $\Phi$，所以它们的基数相等，即 $|\mathscr{P}(A)| = |B^A|$。

这道题是康托尔定理的证明，是集合论中最深刻、最重要的结果之一。它证明了对于任何集合 $A$，其幂集的基数总是严格大于 $A$ 的基数，即 $|A| < |\mathscr{P}(A)|$。

Part 1: 证明 $|A| < |\mathscr{P}(A)|$

1. 证明思路: 我们要证明不存在从 $A$ 到 $\mathscr{P}(A)$ 的满射函数。如果连满射都做不到，那更不可能做到一一对应了。
2. 反证法: 假设存在一个从 $A$ 到 $\mathscr{P}(A)$ 的满射函数 $\phi$。
   • 这个函数 $\phi$ 的作用是，给 $A$ 中的每个元素 $x$，都分配一个 $A$ 的子集 $\phi(x)$。
   • 满射的假设意味着，$A$ 的所有子集都被分配出去了，$\mathscr{P}(A)$ 中的每个子集都对应着至少一个来自 $A$ 的元素。
3. 构造“幽灵”子集 (Cantor's Diagonal Argument): 现在我们来构造 $A$ 的一个特殊的子集 $S$，这个 $S$ 恰好就不在 $\phi$ 的值域里。
   • 定义 $S$: 我们定义子集 $S$ 如下：$S$ 包含所有那些不属于自己所对应的子集的元素 $x$。
   • 理解 $S$: 为了确定一个元素 $a$ 是否在 $S$ 里，我们去看 $\phi(a)$ 是什么子集，然后问 “$a$ 在不在 $\phi(a)$ 这个子集里？”。如果答案是“不在”，那么 $a$ 就被收录进 $S$。如果答案是“在”，那么 $a$ 就被排除在 $S$ 之外。
4. 导出矛盾:
   • $S$ 是 $A$ 的一个子集，所以 $S \in \mathscr{P}(A)$。
   • 根据我们的满射假设，$\phi$ 的值域是整个 $\mathscr{P}(A)$。所以，一定存在 $A$ 中的某个元素 $y$，使得 $\phi(y) = S$。也就是说，$S$ 这个子集一定被分配给了某个元素 $y$。
   • 现在我们来问一个致命的问题：这个元素 $y$ 本身，在不在 $S$ 这个子集里呢？即 "$y \in S$?"
   • 情况1: 假设 $y \in S$。
   • 根据 $S$ 的定义，$y$ 能进入 $S$ 的条件是 $y \notin \phi(y)$。
   • 但我们又知道 $\phi(y)=S$。
   • 所以，从 $y \in S$ 推出了 $y \notin S$。这是一个矛盾！
   • 情况2: 假设 $y \notin S$。
   • 根据 $S$ 的定义，$y$ 没能进入 $S$ 的原因，一定是它不满足条件，即 $y \in \phi(y)$ 成立。
   • 但我们又知道 $\phi(y)=S$。
   • 所以，从 $y \notin S$ 推出了 $y \in S$。这又是一个矛盾！
5. 结论: 无论哪种情况都会导致矛盾。唯一的根源在于我们最初的假设“存在一个满射函数 $\phi$”是错误的。因此，不存在从 $A$ 到 $\mathscr{P}(A)$ 的满射函数。这意味着 $|\mathscr{P}(A)|$ 至少不小于 $|A|$，且不等于 $|A|$，所以 $|\mathscr{P}(A)|$ 严格大于 $|A|$。

Part 2: 解释为什么存在无限多个无限基数

• 康托尔定理告诉我们，给定任何一个集合 $A$，我们总能找到一个基数更大的集合 $\mathscr{P}(A)$。
• 我们可以从一个无限集 $\mathbb{Z}$ 开始，它的基数是 $\aleph_0$。
• 它的幂集 $\mathscr{P}(\mathbb{Z})$ 的基数 $2^{\aleph_0}$ 比 $\aleph_0$ 更大。可以证明 $2^{\aleph_0} = |\mathbb{R}|$。
• 那么实数集的幂集 $\mathscr{P}(\mathbb{R})$ 呢？根据康托尔定理，$|\mathscr{P}(\mathbb{R})| > |\mathbb{R}|$。所以我们找到了一个比连续统更大的无限基数。
• 我们可以继续这个过程，构造一个无限的基数序列，每一个都比前一个严格地大：

$|\mathbb{Z}| < |\mathscr{P}(\mathbb{Z})| < |\mathscr{P}(\mathscr{P}(\mathbb{Z}))| < |\mathscr{P}(\mathscr{P}(\mathscr{P}(\mathbb{Z})))| < \dots$

$\aleph_0 < 2^{\aleph_0} < 2^{2^{\aleph_0}} < 2^{2^{2^{\aleph_0}}} < \dots$

• 这就证明了，无限不是只有一种或两种，而是存在一个无穷无尽的“无限的阶梯”。

Part 3: “所有事物的集合”

• “所有事物的集合”在逻辑上是不可接受的。
• 这个概念会导致罗素悖论的一个变体。如果存在一个包含“所有集合”的集合，我们称之为 $\mathcal{U}$。
• 那么 $\mathcal{U}$ 自身也是一个集合，所以 $\mathcal{U} \in \mathcal{U}$。
• 现在考虑 $\mathcal{U}$ 的幂集 $\mathscr{P}(\mathcal{U})$。$\mathscr{P}(\mathcal{U})$ 也是一个由集合构成的集合。
• 根据康托尔定理，$|\mathscr{P}(\mathcal{U})| > |\mathcal{U}|$。
• 这意味着幂集 $\mathscr{P}(\mathcal{U})$ 中包含的元素（即 $\mathcal{U}$ 的子集）比 $\mathcal{U}$ 本身包含的元素（所有集合）还要多。
• 但这是不可能的，因为 $\mathscr{P}(\mathcal{U})$ 的元素本身也都是集合，所以它们也必须都包含在“所有集合的集合” $\mathcal{U}$ 中。这要求 $\mathscr{P}(\mathcal{U}) \subseteq \mathcal{U}$，从而 $|\mathscr{P}(\mathcal{U})| \le |\mathcal{U}|$。
• 我们得到了一个矛盾：$|\mathscr{P}(\mathcal{U})| > |\mathcal{U}|$ 且 $|\mathscr{P}(\mathcal{U})| \le |\mathcal{U}|$。
• 因此，最初假设的“所有集合的集合” $\mathcal{U}$ 是不能存在的。

这道题引导我们通过集合运算来理解基数的加法和乘法。

Part a: 基数加法

• 有限集: $A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}$。注意，为了定义加法，我们必须选择两个不相交的集合。$A \cap B = \varnothing$。
• $|A|=2$, $|B|=3$。
• 它们的并集是 $A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$。
• $|A \cup B| = 5$。
• 基数加法的定义: 对于两个不相交的集合 $X$ 和 $Y$，它们的基数之和定义为它们并集的基数：$|X|+|Y| = |X \cup Y|$。
• 因此，我们认为 $2+3 = |A|+|B| = |A \cup B| = 5$。
• i. $3+\aleph_{0}$:
• 我们需要一个基数为 3 的集合，如 $C=\{a,b,c\}$。
• 我们需要一个基数为 $\aleph_0$ 的集合，且与 $C$ 不相交，如 $D=\{1,2,3,\dots\}$。
• $3+\aleph_0 = |C \cup D| = |\{a,b,c,1,2,3,\dots\}|$。
• 这个新的集合可以通过与 $D=\{1,2,3,\dots\}$ 建立一一对应来证明其基数仍为 $\aleph_0$：
• $a \leftrightarrow 1, b \leftrightarrow 2, c \leftrightarrow 3$
• $1 \leftrightarrow 4, 2 \leftrightarrow 5, 3 \leftrightarrow 6, \dots$ (即 $n \in D$ 对应 $n+3$)
• 我们成功地将 $C \cup D$ 与 $D$ 建立了一一对应。
• 结论: $3+\aleph_0 = \aleph_0$。一个无限集加上一个有限集，其基数不变。
• ii. $\aleph_{0}+\aleph_{0}$:
• 我们需要两个不相交的可数无限集。
• 例如，正偶数集 $E^+=\{2,4,6,\dots\}$ 和正奇数集 $O^+=\{1,3,5,\dots\}$。
• $|E^+|=\aleph_0, |O^+|=\aleph_0$。
• $\aleph_{0}+\aleph_{0} = |E^+ \cup O^+| = |\mathbb{Z}^+|$。
• 我们知道 $|\mathbb{Z}^+|=\aleph_0$。
• 结论: $\aleph_{0}+\aleph_{0} = \aleph_0$。两个可数无限集的并集仍然是可数无限的。

Part b: 基数乘法

• 有限集: $A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}$。
• $|A|=2, |B|=3$。
• 它们的笛卡尔积 $A \times B = \{(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)\}$。
• $|A \times B| = 6$。
• 基数乘法的定义: 两个集合 $X$ 和 $Y$ 的基数之积定义为它们笛卡尔积的基数：$|X| \cdot |Y| = |X \times B|$。
• 在平面上绘制这些点，会形成一个 $2 \times 3$ 的矩形点阵，共6个点。
• 因此，我们认为 $2 \cdot 3 = 6$。
• $\aleph_{0} \cdot \aleph_{0}$:
• 这等于 $|\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+|$。
• $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$ 的元素是所有形如 $(m,n)$ 的有序对，其中 $m,n$ 都是正整数。这可以看作是平面上第一象限的所有整数坐标点。
• 文本中的图示: 图0.15 展示的正是如何将一个类似的无限网格（有理数可以看作是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+$ 的一个商集）排成一列。那个对角线遍历法完全适用于 $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$。
• 通过对角线遍历法，我们可以将 $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$ 的所有元素与 $\mathbb{Z}^+$ 建立一一对应。
• 结论: $\aleph_{0} \cdot \aleph_{0} = \aleph_0$。

这道题引导我们思考基数的幂运算，特别是与实数基数的关系。