1. 第2节 二元运算

这段引言旨在通过一个生动的思想实验，引导读者从最基本、最直观的角度理解二元运算这个核心代数概念的本质。它剥离了我们熟悉的数学符号（如+，×）和数字，让我们回到一个更原始的观察者视角。

1. 思想实验的设定:
   • 场景: 我们作为外星访客，观察一个外星课堂。
   • 事件: 外星老师给出两个“声音”（输入），学生们回应一个“声音”（输出）。
   • 例子:
   • 老师: "gloop", "poyt" → 学生: "bimt"
   • 老师: "ompt", "gaft" → 学生: "poyt"
   • 我们的困境: 我们不知道这些声音的含义。我们不能直接说“他们在做加法”，因为“加法”是我们人类已经定义好的概念，它与“数字”绑定。我们无法确定这些声音是否代表数字。
2. 核心观察与推论:
   • 我们可以肯定什么？ 尽管我们不懂其含义，但我们可以观察到一个清晰的模式：给定一对有序的输入，总会有一个确定的输出。
   • 关键点: 这群生物共享一个“规则”。这个规则告诉他们，如何将一对输入（比如 "gloop" 和 "poyt"）映射到一个唯一的输出（"bimt"）。
   • 类比到人类经验: 作者将这个外星课堂类比于我们小学一年级的加法课。老师说“四”、“七”（一对有序输入），我们回答“十一”（一个确定的输出）。这个过程的本质，和外星生物所做的并无不同。
3. 抽象出本质:
   • 加法是什么？ 从这个角度看，加法就是一种规则。这个规则的作用是：接收两个按特定顺序排列的数字，然后给出一个作为答案的数字。
   • 乘法是什么？ 同样，乘法是另一种不同的规则，也遵循“两个输入，一个输出”的模式。
   • 关键约束: 这个规则不是无限适用的。它只对特定集合中的元素有效。就像小学老师不能问“十”加“天空”一样，这个规则有其定义域。你只能从一个预先规定好的“池子”（集合）里取出两个元素进行操作。

这一段将前面思想实验中的直观概念“规则”正式化、数学化。

1. 从“规则”到“函数”:
   • 在日常语言中，我们说“规则”。但在数学中，描述这种“输入-输出”对应关系的最精确工具是函数。
   • 一个函数精确地定义了其定义域（允许的输入）和陪域（可能的输出范围），并且对于每一个输入，都有一个唯一确定的输出。这完美地契合了我们之前观察到的现象。
2. 确定函数的输入和输出:
   • 输入是什么？ 根据引言的分析，输入是一对“有序的”元素。如果这些元素都来自集合 $S$，那么所有可能的有序对就构成了笛卡尔积 $S \times S$。例如，如果 $S = \{1, 2\}$，那么 $S \times S = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$。因此，函数的定义域（输入空间）就是 $S \times S$。
   • 输出是什么？ 运算的结果也必须在集合 $S$ 中（这就是“封闭性”的要求）。因此，函数的值域（实际输出的集合）是 $S$ 的一个子集，而陪域（声明的输出空间）就是 $S$ 本身。
3. 形式化定义:
   • 2.1 定义: 将上述思想整合，就得到了二元运算的正式定义。
   • 名称: 二元运算 (Binary Operation)。“二元”指的是它操作两个元素。
   • 符号: 通常用 *、+、·、∘ 等符号来表示一个抽象的二元运算。
   • 核心: 一个二元运算 * 在集合 $S$ 上，是一个函数，其定义如下：
   • 函数名: *
   • 定义域: $S \times S$ (所有来自 $S$ 的有序对)
   • 陪域: $S$ (结果必须回到 $S$ 中)
   • 表达方式: 我们可以写成函数映射的形式：$*: S \times S \to S$。
4. 符号的简化:
   • 按照标准的函数记法，对于输入 $(a, b) \in S \times S$，输出应该写作 $*((a, b))$。
   • 然而，为了方便和直观，我们通常使用一种更简洁的“中缀表示法”，即把运算符号放在两个元素之间：$a * b$。这与我们写 $2+3$ 而不是 +((2, 3)) 的习惯是一致的。$a * b$ 只是 $*((a, b))$ 的一个简写。

这一部分重申了二元运算的直观含义，并给出了一系列我们非常熟悉的基础数学例子。

1. 重申直观：
   • “将 $S$ 中元素的每个有序对 $(a, b)$ 赋值给 $S$ 中的一个元素 $a * b$”。这句话是对前文定义的通俗转述。
   • “赋值” (assign) 这个词，本质上就是函数映射 (map) 的同义词。它强调了对于每一个输入对，都有一个确定的、唯一的输出。
2. 示例 2.2 的分析:
   • 运算: 普通加法 +。
   • 集合: 实数集合 $\mathbb{R}$。
   • 验证:
3. 输入:任意两个实数组成的有序对 $(a, b)$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$。
4. 输出: 它们的和 $a+b$。
5. 封闭性: 两个实数的和必然还是一个实数。例如，$3.14 + \sqrt{2}$ 的结果是一个复杂的无理数，但它毫无疑问仍然在 $\mathbb{R}$ 中。
6. 结论: 因此，加法 + 是 $\mathbb{R}$ 上的一个二元运算。

• 运算: 普通乘法 ·。
• 集合: 实数集合 $\mathbb{R}$。
• 验证:

1. 输入: 任意两个实数组成的有序对 $(a, b)$。
2. 输出: 它们的积 $a \cdot b$。
3. 封闭性: 两个实数的积也必然是一个实数。例如，$\pi \cdot e$ 仍然是一个实数。
4. 结论: 因此，乘法 · 也是 $\mathbb{R}$ 上的一个二元运算。它和加法是“不同的”，因为对于同一个输入对，比如 $(2, 3)$，加法给出 $5$，乘法给出 $6$。
5. 集合的替换:
   • 文章指出，我们不仅可以在 $\mathbb{R}$ 上进行这些运算，还可以在很多其他数字集合上进行，只要封闭性得以保持。
   • $\mathbb{C}$ (复数集): 两个复数相加或相乘，结果仍然是复数。例如 $(1+i) + (2-3i) = 3-2i \in \mathbb{C}$。所以 + 和 · 是 $\mathbb{C}$ 上的二元运算。
   • $\mathbb{Z}$ (整数集): 两个整数相加或相乘，结果仍然是整数。例如 $(-5) \times 3 = -15 \in \mathbb{Z}$。所以 + 和 · 是 $\mathbb{Z}$ 上的二元运算。
   • $\mathbb{R}^{+}$ (正实数集):
   • 加法 +: 两个正实数相加，结果是正实数。例如 $0.1 + 100 = 100.1 \in \mathbb{R}^{+}$。所以 + 是 $\mathbb{R}^{+}$ 上的二元运算。
   • 乘法 ·: 两个正实数相乘，结果是正实数。例如 $0.5 \times 10 = 5 \in \mathbb{R}^{+}$。所以 · 是 $\mathbb{R}^{+}$ 上的二元运算。
   • $\mathbb{Z}^{+}$ (正整数集):
   • 加法 +: 两个正整数相加，结果是正整数。例如 $1 + 2 = 3 \in \mathbb{Z}^{+}$。所以 + 是 $\mathbb{Z}^{+}$ 上的二元运算。
   • 乘法 ·: 两个正整数相乘，结果是正整数。例如 $3 \times 4 = 12 \in \mathbb{Z}^{+}$。所以 · 是 $\mathbb{Z}^{+}$ 上的二元运算。

这一段强调了二元运算定义的另一个关键条件：处处有定义（well-defined everywhere）。一个函数必须对它定义域中的每一个元素都能给出一个输出。

1. 回顾函数的基本要求:
   • 二元运算被定义为一个从 $S \times S$ 到 $S$ 的函数。
   • 函数的一个基本属性是，对于其定义域（这里是 $S \times S$）中的任何一个输入，都必须有且仅有一个输出。
   • “对 $S$ 中元素的每个有序对 $(a, b)$ 都进行定义” 这句话，就是在强调这个函数属性。不能有任何一个来自 $S \times S$ 的输入对，找不到对应的输出。
2. 示例 2.3 的分析:
   • 集合: $M(\mathbb{R})$，即所有元素为实数的矩阵的集合。这个集合非常庞大，包含了 $1 \times 2$ 矩阵、 $2 \times 3$ 矩阵、 $5 \times 5$ 矩阵等等，所有不同尺寸的矩阵都在里面。
   • 运算: +，通常的矩阵加法。
   • 矩阵加法的规则: 只有在两个矩阵具有相同维度（即相同的行数和相同的列数）时，它们的加法才有定义。
   • 寻找反例:
3. 从集合 $M(\mathbb{R})$ 中取出两个元素（即两个矩阵），构成一个有序对。
4. 令 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ (一个 $1 \times 2$ 矩阵)， $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ (一个 $2 \times 1$ 矩阵)。
5. 显然，$A \in M(\mathbb{R})$ 且 $B \in M(\mathbb{R})$，因此有序对 $(A, B)$ 属于 $M(\mathbb{R}) \times M(\mathbb{R})$。
6. 尝试计算 $A+B$。根据矩阵加法的规则，一个 $1 \times 2$ 矩阵和一个 $2 \times 1$ 矩阵是不能相加的。它们的和是“未定义的”。
   • 结论: 我们在定义域 $M(\mathbb{R}) \times M(\mathbb{R})$ 中找到了一个元素 $(A, B)$，它没有对应的输出。因此，矩阵加法 + 这个函数并没有在它的定义域上被完全定义。所以，通常的矩阵加法不是在“所有矩阵的集合” $M(\mathbb{R})$ 上的一个二元运算。

这一段引入了“子集上的闭合性”和“诱导运算”两个重要概念。它探讨的是，当一个二元运算已经在-一个大的集合 $S$ 上定义好之后，我们能否将其“移植”到一个较小的子集 $H$ 上，使其在 $H$ 上也构成一个合法的二元运算。

1. 背景: 我们已经有一个集合 $S$ 和其上的二元运算 。我们知道 在 $S$ 上是处处有定义且封闭的。现在，我们关注 $S$ 的一个子集 $H$ (即 $H \subseteq S$)。
2. 核心问题: * 能不能也成为 $H$ 上的一个二元运算？
   • 我们来检查二元运算的两个条件：
3. 处处有定义: 任取 $a, b \in H$。因为 $H$ 是 $S$ 的子集，所以 $a, b$ 也都在 $S$ 中。由于 * 是 $S$ 上的二元运算，所以 $a * b$ 必然是有定义的。这个条件自动满足。
4. 封闭性: 计算出的结果 $a * b$ 是否仍然在 $H$ 中？这就不一定了。$a*b$ 肯定在 $S$ 中，但它完全有可能掉出 $H$ 的范围。
5. 定义 2.4 的内容:
   • 闭合的 (closed): 这个定义给了我们判断条件。如果对于任意选自子集 $H$ 的两个元素 $a$ 和 $b$，它们的运算结果 $a*b$ 总是落在 $H$ 内部，那么我们就说“子集 $H$ 在 * 运算下是闭合的”。
   • 诱导的运算 (induced operation): 如果子集 $H$ 在 下是闭合的，那么我们就可以理直气壮地把 也看作是 $H$ 上的一个二元运算。因为处处有定义和封闭性两个条件都满足了。这个“被移植”到 $H$ 上的新二元运算，就称为由 在 $H$ 上“诱导”的运算。它本质上就是原来的运算 ，只是把它的定义域从 $S \times S$ 缩小到了 $H \times H$。

这一段通过一个具体的反例，清晰地展示了“子集不闭合”的情况。

1. 前提回顾:
   • 二元运算 在集合 $S$ 上的定义本身就隐含了“$S$ 在 下是闭合的”。这是一个同义反复。说 是 $S$ 上的二元运算，就等于说 是一个从 $S \times S$ 到 $S$ 的函数，其输出总是在 $S$ 中。
   • 然而，一个子集 $H \subseteq S$ 是否闭合，则需要单独检验。
2. 具体例子分析:
   • 父集合 $S = \mathbb{R}$ (所有实数)。
   • 二元运算 * = + (普通加法)。我们已知 + 是 $\mathbb{R}$ 上的二元运算。
   • 子集 $H = \mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (所有非零实数的集合)。
   • 问题: 加法 + 能否在 $\mathbb{R}^{*}$ 上诱导一个二元运算？换言之，$\mathbb{R}^{*}$ 在 + 下是闭合的吗？
3. 寻找反例来检验:
   • 我们的目标是证明“不闭合”，所以只需要找到一个反例即可。
   • 我们需要从 $\mathbb{R}^{*}$ 中选择两个元素 $a$ 和 $b$，使得它们的和 $a+b$ 不在 $\mathbb{R}^{*}$ 中。
   • 不在 $\mathbb{R}^{*}$ 中意味着什么？$\mathbb{R}^{*}$ 的定义是“所有实数除了0”，所以不在 $\mathbb{R}^{*}$ 中的唯一实数就是 0。
   • 因此，我们的目标简化为：在 $\mathbb{R}^{*}$ 中找两个数，使它们的和为 0。
   • 这太容易了。任何一个非零实数和它的相反数都可以。
   • 作者给出的反例:
   • 取 $a = 2$。因为 $2 \neq 0$，所以 $2 \in \mathbb{R}^{*}$。
   • 取 $b = -2$。因为 $-2 \neq 0$，所以 $-2 \in \mathbb{R}^{*}$。
   • 计算它们的和：$a+b = 2 + (-2) = 0$。
   • 检查结果：$0$ 不属于 $\mathbb{R}^{*}$。
4. 结论:
   • 我们成功找到了一个反例。两个来自 $\mathbb{R}^{*}$ 的元素，经过加法运算后，结果“掉出”了 $\mathbb{R}^{*}$ 的范围。
   • 因此，子集 $\mathbb{R}^{*}$ 在加法 + 下是不闭合的。
   • 所以，加法 + 不能在非零实数集合 $\mathbb{R}^{*}$ 上诱导一个二元运算。

这段话是作者给出的一个非常重要的学习提示，它点明了解决一类常见问题的核心方法论和学生的痛点。

1. 问题的类型:
   • 给定: 一个大集合 $S$，一个已知的二元运算 *，以及 $S$ 的一个子集 $H$。
   • 要求: 判断 $H$ 在 * 下是否闭合。
2. 核心方法论:
   • 第一步：理解 $H$ 的定义。这句话“知道一个元素在 $H$ 中意味着什么”是关键。你需要把 $H$ 的描述性定义（比如“所有偶数的集合”）转化为形式化的数学语言（比如“形如 $2k$ 的数，其中 $k$ 是整数”）。
   • 第二步：应用定义进行推导。
   • 从 $H$ 中任意选取两个元素，我们称之为 $a$ 和 $b$。
   • 使用第一步中得到的数学形式来表示 $a$ 和 $b$。例如，如果 $H$ 是偶数集，你就写 $a=2k_1, b=2k_2$。
   • 计算 $a*b$。
   • 检查计算结果 $a*b$ 的形式，看它是否满足 $H$ 元素的数学形式。例如，看 $a+b$ 的结果是否能写成 $2 \times (\text{某个整数})$ 的形式。
   • 如果对于任意的 $a, b \in H$ 都能证明 $a*b$ 满足 $H$ 的形式，则 $H$ 是闭合的。
   • 如果在推导过程中发现不成立，或者能直接举出一个反例，则 $H$ 是不闭合的。
3. 学生的痛点:
   • “学生们在这里会遇到麻烦”。麻烦通常出在第一步和第二步的连接上。
   • 麻烦1 (不理解定义): 学生可能只是模糊地知道 $H$ 是“什么”，但无法用精确的数学符号来刻画它。
   • 麻烦2 (不会运用定义): 即使知道 $a=2k_1, b=2k_2$，但在计算 $a*b$ 之后，不知道如何将结果“整理”成目标形式，或者忘记了要证明的目标是什么。
   • 麻烦3 (证明与反例的混淆): 不知道什么时候该进行普适性的逻辑证明（去证闭合），什么时候该找一个具体的反例（去证不闭合）。

这个示例是前一节方法论的直接应用。

1. 题目解析:
   • 父集合 $S = \mathbb{Z}$ (整数集)。
   • 子集 $H = \{n^2 \mid n \in \mathbb{Z}^+\}$。我们来解读这个集合的定义：
   • | 符号读作“使得”(such that)。
   • $n \in \mathbb{Z}^+$ 表示 $n$ 是一个正整数，即 $n \in \{1, 2, 3, ...\}$。
   • $n^2$ 是 $n$ 的平方。
   • 所以，$H$ 是所有正整数的平方所组成的集合。
   • $H = \{1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...\} = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, ...\}$。这个集合也叫做“完全平方数”集合（特指由正整数平方得到的部分）。
   • 要判断的运算: (a) 加法 +， (b) 乘法 ·。
   • 问题: $H$ 在 + 下闭合吗？$H$ 在 · 下闭合吗？

这一段给出了对问题(a)的解答。其逻辑非常直接，采用了“举反例”的策略。

1. 策略选择:
   • 我们的目标是判断闭合性。在上一节的数值探索中，我们已经强烈怀疑 $H$ 在加法下是不闭合的。
   • 证明一个全称命题（“对于所有 $a,b \in H$，$a+b \in H$”）是假的，最有效的方法就是找到一个使该命题不成立的特例，即反例。
2. 构建反例:
   • 第一步: 从集合 $H = \{1, 4, 9, 16, ...\}$ 中选取两个最简单的元素。最简单的显然是 1 和 4。
   • 第二步: 验证这两个元素确实在 $H$ 中。
   • 1 在 $H$ 中，因为 $1 = 1^2$，而 1 是一个正整数。
   • 4 在 $H$ 中，因为 $4 = 2^2$，而 2 是一个正整数。
   • 所以，我们选取的两个元素 $a=1, b=4$ 都是合法的 $H$ 成员。
   • 第三步: 计算它们的和。
   • $a+b = 1+4=5$。
   • 第四步: 检查和是否在 $H$ 中。
   • $5$ 在 $H$ 中意味着什么？意味着 $5$ 必须是某个正整数的平方。
   • 我们检查一下：$1^2=1, 2^2=4, 3^2=9$。$5$ 介于 $2^2$ 和 $3^2$ 之间，它显然不是任何整数的平方。
   • 因此，$5 \notin H$。
3. 得出结论:
   • 我们找到了这样一对元素 $(1, 4)$，它们都在 $H$ 中，但它们的和 $5$ 却不在 $H$ 中。
   • 这一个反例就足以推翻“$H$ 在加法下是闭合的”这个论断。
   • 因此，最终结论是：$H$ 在加法下不是闭合的。

这一段给出了对问题(b)的解答。与(a)不同，这里采用了“普适性证明”的策略。

1. 策略选择:
   • 我们的数值探索表明，$H$ 在乘法下很可能是闭合的。
   • 要证明它是闭合的，我们不能再依赖具体的数值例子。我们必须证明，对于任意两个来自 $H$ 的元素，它们的乘积必然也在 $H$ 中。这需要进行代数推导。
2. 构建证明:
   • 第一步：设定任意元素。
   • “假设 $r \in H$ 和 $s \in H$”。这里的 $r$ 和 $s$ 不是具体的数字（如4和9），而是代表 $H$ 中任何可能的两个元素。
   • 第二步：翻译元素定义。
   • “根据 $r$ 和 $s$ 在 $H$ 中意味着什么...”。这是关键步骤，应用方法论。
   • $r \in H$ 意味着 $r$ 是某个正整数的平方。我们可以用一个数学符号来代表这个未知的正整数，称之为 $n$。所以，$r = n^2$，其中 $n \in \mathbb{Z}^{+}$。
   • 同理，$s \in H$ 意味着 $s = m^2$，其中 $m$ 是某个（可能与 $n$ 不同的）正整数，即 $m \in \mathbb{Z}^{+}$。
   • 第三步：执行运算。
   • 我们关心的是它们的乘积 $rs$。
   • 将它们的代数形式代入：$rs = (n^2)(m^2)$。
   • 第四步：整理结果并与目标形式对比。
   • 我们的目标是证明 $rs$ 也在 $H$ 中，也就是说，要证明 $rs$ 能够被写成“某个正整数的平方”的形式。
   • 利用指数运算法则：$n^2 m^2 = (nm)^2$。
   • 现在我们已经把 $rs$ 写成了 $(nm)^2$ 的形式。这非常接近我们的目标了。
   • 第五步：检查新底数的合法性。
   • 我们把 $rs$ 写成了 (某个东西) 的平方，这个“某个东西”就是 $nm$。
   • 要使 $rs \in H$，这个“某个东西”必须是一个正整数。
   • 我们回顾一下前提：$n$ 是正整数，$m$ 也是正整数。
   • 两个正整数的乘积 $nm$ 必然也是一个正整数。所以，$nm \in \mathbb{Z}^{+}$。
   • 这个条件满足了！
3. 得出结论:
   • 我们已经证明，对于任意的 $r, s \in H$，它们的乘积 $rs$ 都可以被表示为 $(nm)^2$ 的形式，其中底数 $nm$ 是一个正整数。
   • 这完全符合集合 $H$ 的元素定义。
   • 因此，$rs \in H$。
   • 由于我们的推导对任意的 $r,s$ 都成立，所以我们得出结论：$H$ 在乘法下是闭合的。

这个例子将二元运算的概念从我们熟悉的数字集合推广到了更为抽象的函数集合上。

1. 定义研究对象:
   • 集合: $F$，这是一个函数的集合。
   • $F$ 中元素的资格: 要成为 $F$ 的一员，一个函数 $f$ 必须满足两个条件：
2. 定义域是 $\mathbb{R}$：$f$ 必须能接受任何实数作为输入。
3. 值域是 $\mathbb{R}$ 的子集（实值函数）：$f$ 的输出结果必须是实数。
   • 简单来说，$F$ 是所有 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 类型的函数的集合。例如 $f(x)=x^2, g(x)=\sin(x), h(x)=e^x, k(x)=5$ 等等，它们都是 $F$ 的成员。
4. 在函数集合上定义运算:
   • 这里的关键思想是：两个函数经过运算后，得到的结果应该是一个新的函数。
   • 如何定义这个新函数？我们必须说明这个新函数在任意点 $x$ 的取值是什么。
   • 文中定义了四种运算：
   • 加法 +: 新函数 $f+g$ 在点 $x$ 的值，被定义为原函数 $f$ 和 $g$ 各自在点 $x$ 的值的和，即 $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$。
   • 减法 -: 类似地，$(f-g)(x) = f(x) - g(x)$。
   • 乘法 ·: 类似地，$(f \cdot g)(x) = f(x) g(x)$。这被称为“逐点乘法”(pointwise multiplication)。
   • 复合 ∘: 新函数 $f \circ g$ 在点 $x$ 的值，被定义为先将 $x$ 输入到 $g$ 中得到 $g(x)$，再将 $g(x)$ 这个结果输入到 $f$ 中，即 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$。
5. 验证这些运算是否为 $F$ 上的二元运算:
   • 我们需要检查封闭性：任取 $f, g \in F$，它们运算后的结果（一个新的函数）是否仍然在 $F$ 中？
   • 要留在 $F$ 中，新函数必须满足两个条件：定义域是 $\mathbb{R}$，且是实值的。

• 对于 $f+g$:

1. 定义域: 对于任何 $x \in \mathbb{R}$，$f(x)$ 和 $g(x)$ 都有定义（因为 $f, g \in F$），它们都是实数。两个实数可以相加，所以 $(f+g)(x)$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 都有定义。新函数的定义域是 $\mathbb{R}$。
2. 实值: $f(x)$ 和 $g(x)$ 是实数，它们的和 $f(x)+g(x)$ 也必然是实数。所以新函数是实值的。
3. 结论: $f+g \in F$。所以 + 是 $F$ 上的二元运算。

• 对于 $f-g$ 和 $f \cdot g$: 逻辑完全相同，两个实数的差和积仍然是实数，所以 $f-g \in F$ 且 $f \cdot g \in F$。它们也都是 $F$ 上的二元运算。

• 对于 $f \circ g$:

1. 定义域: 对于任何 $x \in \mathbb{R}$，首先计算 $g(x)$。因为 $g \in F$，所以 $g(x)$ 是一个实数。接下来要计算 $f(g(x))$。因为 $f$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，它可以接受任何实数作为输入，所以它可以接受 $g(x)$ 作为输入。因此 $(f \circ g)(x)$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 都有定义。新函数的定义域是 $\mathbb{R}$。
2. 实值: 最终的输出 $f(g(x))$ 是函数 $f$ 的一个输出值，而 $f$ 是实值函数，所以 $f(g(x))$ 必然是实数。所以新函数是实值的。
3. 结论: $f \circ g \in F$。所以 ∘ 也是 $F$ 上的二元运算。

这一段是过渡性的，作者阐述了教学策略，并引出了定义二元运算的通用方法。

1. 教学策略阐述:
   • 目标: 理解代数的“结构概念”，而不仅仅是计算。
   • 方法: 从熟悉的例子（如整数加法）入手，然后转向“不熟悉的例子”。
   • 原因: 不熟悉的例子能迫使我们抛开直觉和旧习惯，专注于二元运算的定义和性质本身。我们不能想当然地认为新运算也满足加法乘法的所有良好性质（如交换律、结合律），而必须根据它的定义从头开始严格检验。
   • 回顾: 作者提到了在前面章节中已经介绍过的一些非标准运算，作为这种策略的例证：
   • $U$ 和 $U_n$ 上的复数乘法：单位圆上的复数或n次单位根的乘法，结果仍在单位圆或单位根集合上，是闭合的。
   • $\mathbb{Z}_n$ 上的加法 $+_n$：模n加法，即“钟表算术”，结果总在 $\{0, 1, ..., n-1\}$ 中。
   • $\mathbb{R}_c$ 上的加法 $+_c$：可能指某个特定的、在实数集上定义的非标准加法。
2. 定义二元运算的核心方法:
   • “通过定义在 $a$ 和 $b$ 方面的某个属性来刻画分配给每个对 $(a, b)$ 的元素 $a * b$”。
   • 这句话的意思是，定义一个二元运算 *，最直接的方法就是给出一个公式或一个规则，清楚地说明对于任意一对输入 $(a, b)$，输出 $a*b$ 是如何由 $a$ 和 $b$ 计算或决定的。
   • 这个规则本身就是运算的定义。例如：
   • 对于加法 +，规则是“求和”。
   • 对于 * 定义为 $a*b = a+b+ab$，这就是一个由 $a$ 和 $b$ 的代数式定义的规则。
   • 对于 * 定义为 “取 $a$ 和 $b$ 中较大的那个数”，这是一个由 $a$ 和 $b$ 的逻辑关系定义的规则。

这是一个非常规二元运算的具体例子。

1. 定义解析:
   • 集合: $S = \mathbb{Z}^+$ (正整数集合 $\{1, 2, 3, ...\}$)。
   • 运算: *。
   • 规则: $a * b = \min(a, b)$，即取 $a$ 和 $b$ 中数值较小的那一个。
   • 对规则的补充说明: “如果 $a=b$ 则为共同值” 这句话其实是多余的，因为如果 $a=b$，那么 $a$ 和 $b$ 中较小的一个就是它们自己。例如 $\min(3, 3) = 3$。这只是为了让定义更清晰，没有歧义。
2. 验证其为二元运算:
   • 处处有定义: 对于任意两个正整数 $a$ 和 $b$，它们之间总可以比较大小，总能找到较小的那一个。所以运算 * 对所有 $(a, b) \in \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$ 都有定义。
   • 封闭性: $a$ 和 $b$ 都是正整数，其中较小的一个也必然是正整数。例如，如果 $a \ge 1, b \ge 1$，那么 $\min(a, b) \ge 1$。所以结果 $a*b$ 始终在 $\mathbb{Z}^+$ 内。
   • 结论: * 是 $\mathbb{Z}^+$ 上的一个合法的二元运算。
3. 示例计算:
   • $2 * 11$: 在 $2$ 和 $11$ 中，较小的是 $2$。所以 $2 * 11 = 2$。
   • $15 * 10$: 在 $15$ 和 $10$ 中，较小的是 $10$。所以 $15 * 10 = 10$。
   • $3 * 3$: 在 $3$ 和 $3$ 中，较小的是 $3$（它们相等）。所以 $3 * 3 = 3$。

这是另一个非常规二元运算的例子，它甚至比前一个更简单。

1. 定义解析:
   • 集合: $S = \mathbb{Z}^+$ (正整数集合)。
   • 运算: ' (为了与上一个例子中的 区分)。
   • 规则: $a *' b = a$。这个规则极其简单：无论第二个输入 $b$ 是什么，运算结果总是等于第一个输入 $a$。这个运算有时被称为“投影”运算（projection onto the first coordinate）。
2. 验证其为二元运算:
   • 处处有定义: 对于任意一对正整数 $(a, b)$，规则就是“取 $a$”，这总是有定义的。
   • 封闭性: 输入 $a$ 本身就是一个正整数，所以输出结果 $a$ 自然也在 $\mathbb{Z}^+$ 中。封闭性显然成立。
   • 结论: *' 是 $\mathbb{Z}^+$ 上的一个合法的二元运算。
3. 示例计算:
   • $2 *' 3$: 结果是第一个元素，即 $2$。
   • $25 *' 10$: 结果是第一个元素，即 $25$。
   • $5 *' 5$: 结果是第一个元素，即 $5$。

这个例子展示了如何通过组合已有的运算来定义新的运算。

1. 定义解析:
   • 集合: $S = \mathbb{Z}^+$ (正整数集合)。
   • 运算: *'' (星号加双撇，以示区别)。
   • 规则: $a *'' b = (a * b) + 2$。这个定义包含两步：
2. 先执行示例2.8中的 * 运算，即 $a * b = \min(a, b)$。
3. 然后将第1步的结果（一个数）加上 2。
   • 所以，这个规则可以更明确地写为：$a *'' b = \min(a, b) + 2$。
4. 验证其为二元运算:
   • 处处有定义: 对于任意正整数 $a, b$，$\min(a, b)$ 总是有定义的，是一个正整数。这个正整数再加上2，也总是有定义的。
   • 封闭性: $a, b \in \mathbb{Z}^+$，所以 $a \ge 1, b \ge 1$。那么 $\min(a, b) \ge 1$。因此，$a *'' b = \min(a, b) + 2 \ge 1+2 = 3$。结果必然是一个大于等于3的整数，所以它肯定在 $\mathbb{Z}^+$ 中。封闭性成立。
   • 结论: *'' 是 $\mathbb{Z}^+$ 上的一个合法的二元运算。
5. 示例计算:
   • $4 *'' 7$:
6. 先算 $4 * 7 = \min(4, 7) = 4$。
7. 再算 $4 + 2 = 6$。
8. 所以 $4 *'' 7 = 6$。
   • $25 *'' 9$:
9. 先算 $25 * 9 = \min(25, 9) = 9$。
10. 再算 $9 + 2 = 11$。
11. 所以 $25 *'' 9 = 11$。
    • $6 *'' 6$:
12. 先算 $6 * 6 = \min(6, 6) = 6$。
13. 再算 $6 + 2 = 8$。
14. 所以 $6 *'' 6 = 8$。

本段为之前引入的“奇怪”运算进行辩护，并引出了一个核心的代数性质：交换性。

1. 为“无关紧要”的例子辩护:
   • 示例2.8 (取最小值): $a*b = \min(a, b)$。作者将其与购物决策联系起来。
   • 场景: 面对两个价格（1.67美元和1.79美元）。
   • 决策过程: 我们的大脑在执行 $\min(1.67, 1.79)$ 这个运算，得到 1.67。
   • 结论: 这个看似简单的二元运算，实际上是我们日常生活和经济活动中做决策的基础。它非常重要。
   • 示例2.9 (取第一个元素): $a*'b=a$。作者将其与行为顺序联系起来。
   • 场景: 穿衣顺序——袜子和鞋子。
   • 动作序列: (穿袜子, 穿鞋)。我们执行这个序列中的第一个动作，再执行第二个。
   • 类比: 穿袜子 *' 穿鞋 = 穿袜子 (即先做的事)。
   • 如果顺序颠倒: 穿鞋 *' 穿袜子 = 穿鞋 (先穿鞋)。结果完全不同，并且会导致严重问题。
   • 结论: “取第一个”这个运算，其背后反映的是我们对“顺序”的认知。顺序在编程、逻辑、日常生活中都至关重要。
2. 引出核心概念——对顺序的依赖性:
   • 作者明确指出，选择这两个例子的目的，就是要展示二元运算对输入顺序的两种不同依赖关系。
   • 不依赖顺序 (Symmetric):
   • 在示例2.8中，$a*b = \min(a, b)$。比较 $a$ 和 $b$ 的大小，与比较 $b$ 和 $a$ 的大小，结果是一样的。
   • 因此，$\min(a, b) = \min(b, a)$。
   • 这意味着 $a*b = b*a$ 对于所有 $a,b$ 都成立。
   • 依赖顺序 (Asymmetric):
   • 在示例2.9中，$a*'b = a$。
   • 我们来检查反向顺序：$b*'a = b$ (因为规则是取第一个元素)。
   • 只要 $a \neq b$，就有 $a*'b \neq b*'a$。
   • 作者给出了具体反例：$5*'7 = 5$，但 $7*'5 = 7$。两者不相等。
   • 这种情况，我们就说运算 *' 依赖于输入的顺序。

这一段正式给出了“交换律”的定义，并对数学定义中的术语使用惯例进行了解释。

1. 定义 2.11 解析:
   • 名称: 交换的 (Commutative)。这个词根 commute 有“交换位置、往返”的意思。
   • 对象: 一个在集合 $S$ 上的二元运算 *。
   • 条件: 要想获得“交换的”这个称号，* 必须满足一个条件：$a * b = b * a$。
   • 量词: 这个条件必须“对于所有 $a, b \in S$”都成立。这意味着你不能有任何例外。只要能找到哪怕一对 $(a, b)$ 使得 $a * b \neq b * a$，这个运算就不是交换的。
   • 符号 $\square$: 这个方块符号通常在教科书中用来标记一个定义的结束。
2. “当且仅当”的解释:
   • 原文的表述: “...是交换的当且仅当...”
   • “当且仅当” (if and only if, iff): 这是一个逻辑等价的表述。它意味着两句话是完全等价的，可以互相推导。
   • (如果) 如果对于所有 $a,b \in S$ 都有 $a*b=b*a$，那么 * 是交换的。
   • (仅当) 如果 * 是交换的，那么对于所有 $a,b \in S$ 都有 $a*b=b*a$。
   • 数学惯例: 作者指出，在数学定义中，即使只写了“当 (if)”，也总是默认“当且仅当 (if and only if)”的含义。
   • 例如，一个定义可能会写成：“如果一个整数能被2整除，它就是偶数”。这里隐含的意思是，偶数和“能被2整除”是完全等同的。
   • 定义与定理的区别:
   • 定义 (Definition): 是一个约定，一个标签。它告诉我们一个词或符号的精确含义。它永远是“当且仅当”的。
   • 定理 (Theorem): 是一个通过逻辑推导证明为真的陈述。它不一定是“当且仅当”的。
   • 定理的例子: “如果一个函数在某点可导，那么它在该点必连续”。这是一个单向的陈述。反过来不成立：“如果一个函数在某点连续，它不一定可导”（例如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导）。所以这个定理不是“当且仅当”。

这一段引入了二元运算的另一个核心性质——结合性，它讨论的是当多于两个元素连续运算时，运算顺序的问题。

1. 问题的提出:
   • 二元运算的定义是操作“两个”元素。
   • 当我们遇到三个或更多元素连算，如 $a*b*c$ 时，应该如何计算？
   • 由于我们每次只能处理两个，所以必须设定一个计算顺序。只有两种自然的方式：
2. 从左到右: 先算 $(a*b)$，得到一个结果，再用这个结果去和 $c$ 运算，即 $(a*b)*c$。
3. 从右到左: 先算 $(b*c)$，得到一个结果，再让 $a$ 和这个结果运算，即 $a*(b*c)$。
   • 核心问题: 这两种计算顺序得到的结果是否相同？
4. 正面例子：取最小值运算 * (示例 2.8)
   • * 的规则是 $x*y = \min(x,y)$。
   • 从左到右计算 $(2*5)*9$:
   • 第一步：$2*5 = \min(2,5) = 2$。
   • 第二步：(第一步的结果) $* 9 = 2 * 9 = \min(2,9) = 2$。
   • 最终结果是 $2$。
   • 从右到左计算 $2*(5*9)$:
   • 第一步：$5*9 = \min(5,9) = 5$。
   • 第二步：$2 *$ (第一步的结果) $= 2*5 = \min(2,5) = 2$。
   • 最终结果是 $2$。
   • 结论: $(2*5)*9 = 2*(5*9)$。作者断言，对于这个 * 运算，等式 $(a*b)*c = a*(b*c)$ 总是成立的。
   • 直观理解: $\min(\min(a,b), c)$ 就是求 $a,b,c$ 三个数中的最小值。而 $\min(a, \min(b,c))$ 也是求 $a,b,c$ 三个数中的最小值。两者显然是等价的。
   • 无歧义性: 正因为两种计算顺序结果相同，所以表达式 $a*b*c$ 是“无歧义的”(unambiguous)。我们可以放心地写 $2*5*9$，而不需要加括号来指定顺序，因为怎么算都一样。
5. 反面例子：复合运算 *'' (示例 2.10)
   • *'' 的规则是 $x*''y = \min(x,y)+2$。
   • 从左到右计算 $(2*''5)*''9$:
   • 第一步：$2*''5 = \min(2,5)+2 = 2+2=4$。
   • 第二步：(第一步的结果) $*'' 9 = 4*''9 = \min(4,9)+2 = 4+2=6$。
   • 最终结果是 $6$。
   • 从右到左计算 $2*''(5*''9)$:
   • 第一步：$5*''9 = \min(5,9)+2 = 5+2=7$。
   • 第二步：$2 *''$ (第一步的结果) $= 2*''7 = \min(2,7)+2 = 2+2=4$。
   • 最终结果是 $4$。
   • 结论: $6 \neq 4$。因此 $(2*''5)*''9 \neq 2*''(5*''9)$。
   • 有歧义性: 我们找到了一个反例，说明对于 *'' 运算，不同的计算顺序会导致不同的结果。因此，表达式 $a*''b*''c$ 是“有歧义的”(ambiguous)。如果不加括号，没人知道它到底代表 $6$ 还是 $4$。

这一段给出了结合律的正式定义，并阐述了其重要推论。

1. 定义 2.12 解析:
   • 名称: 结合的 (Associative)。这个词根 associate 有“联合、关联”的意思。它描述的是元素如何“结成伙伴”进行运算。
   • 对象: 一个在集合 $S$ 上的二元运算 *。
   • 条件: 要想获得“结合的”这个称号，* 必须满足等式 $(a * b) * c = a * (b * c)$。
   • 量词: 这个条件必须“对于所有 $a, b, c \in S$”都成立。这意味着在集合 $S$ 中任意挑选三个元素（可以是相同的），按两种顺序计算的结果都必须相等。只要能找到一个三元组 $(a,b,c)$ 使等式不成立，该运算就不是结合的。
2. 结合律的重要性 (推论):
   • 消除歧义: 如果一个运算是结合的，那么对于三个以上元素的连算，比如 $a*b*c*d$，我们就不再需要担心括号怎么加了。
   • 例如，对于 $a*b*c*d$，所有可能的加括号方式有:
3. $((a*b)*c)*d$
4. $(a*(b*c))*d$
5. $a*((b*c)*d)$
6. $a*(b*(c*d))$
7. $(a*b)*(c*d)$
   • 可以被证明: 如果基础的三元结合律 $(x*y)*z = x*(y*z)$ 成立，那么上面所有五种计算方式都会得到完全相同的结果。这个证明通常被称为“广义结合律”(Generalized Associative Law)，一般在更深入的课程中使用数学归纳法来证明。
   • 实践意义: 这意味着我们可以放心地写 $a_1 * a_2 * ... * a_n$ 这样的长表达式，而不用担心它的值会因为计算顺序的不同而改变。这极大地简化了代数表达式的书写和计算。

这一段将函数复合这个重要的二元运算推广到任意集合上，并强调了它一个至关重要的性质：函数复合永远是结合的。

1. 函数复合的推广:
   • 在示例2.7中，我们讨论的是定义域和值域都是 $\mathbb{R}$ 的函数。
   • 这里，作者将这个概念推广到任意集合 $S$。
   • 只要有一系列函数，它们都是将集合 $S$ 映射到 $S$ 自身（即 $f: S \to S, g: S \to S, ...$），我们就可以在它们之间定义复合运算 ∘。
   • f ∘ g 仍然是一个从 $S$ 映射到 $S$ 的函数。
   • 其定义规则不变：$(f \circ g)(x) = f(g(x))$，对于所有 $x \in S$。
2. 函数复合的重要性:
   • “我们考虑的一些最重要的二元运算是使用函数复合定义的”。
   • 这句断言非常关键。在群论中，对称性和变换是用函数（或置换）来描述的，而这些变换的组合就是函数复合。例如，一个正方形的所有旋转和翻转操作，以及它们之间的组合运算，构成了一个群，这个群的运算就是函数复合。因此，函数复合是连接代数和几何的桥梁。
3. 函数复合的结合律:
   • 这是一个非常重要的定理：函数复合这个二元运算总是满足结合律的。
   • 定理陈述: 对于任意三个可复合的函数 $f, g, h$（这里都是 $S \to S$），等式 $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ 恒成立。
   • “只要定义了” 这句话是提醒我们，在更一般的情况下，如果函数的定义域和值域不匹配，复合可能无法定义。但只要像这里一样，所有函数都是 $S \to S$ 的，复合就总能进行，并且总是结合的。

这一段给出了“函数复合的结合律”这个定理的严格证明。证明的思路非常直接，就是“剥洋葱”——逐层应用函数复合的定义。

1. 证明策略:
   • 目标: 证明两个函数相等，即证明 $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$。
   • 方法: 根据函数相等的定义，我们必须证明这两个函数对于它们共同定义域 $S$ 中的任意一个元素 $x$，所产生的输出值是完全相同的。
2. 证明过程:
   • 处理左半边: $f \circ (g \circ h)$
3. 令左边的函数为 $L = f \circ (g \circ h)$。我们要计算 $L(x)$。
4. 根据复合的定义（先右后左），$L(x) = (f \circ (g \circ h))(x) = f( (g \circ h)(x) )$。
   • 这里把 $g \circ h$ 看作一个整体，是内层函数。
5. 现在，我们再对内层的 $(g \circ h)(x)$ 应用一次复合的定义。
   • $(g \circ h)(x) = g(h(x))$。
6. 将第3步的结果代回到第2步中，得到：
   • $L(x) = f( g(h(x)) )$。
   • 这就是左边表达式“剥到最里面”的样子。

• 处理右半边: $(f \circ g) \circ h$

1. 令右边的函数为 $R = (f \circ g) \circ h$。我们要计算 $R(x)$。
2. 根据复合的定义， $R(x) = ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)( h(x) )$。
   • 这里把 $f \circ g$ 看作一个整体，是外层函数；$h$ 是内层函数。
3. 现在，我们再对外层的 $(f \circ g)$ 应用一次复合的定义。它的输入是 $h(x)$。
   • $(f \circ g)(y) = f(g(y))$。把这里的 $y$ 替换成 $h(x)$。
   • $(f \circ g)(h(x)) = f( g(h(x)) )$。
4. 这就是右边表达式“剥到最里面”的样子。

• 比较结果:
• 左边化简后得到 $f(g(h(x)))$。
• 右边化简后也得到 $f(g(h(x)))$。
• 因为对于任意 $x \in S$，两边都给出了完全相同的输出值。
• 因此，我们证明了函数 $f \circ (g \circ h)$ 和 $(f \circ g) \circ h$ 是相等的。
• 证明完毕。

这一段举了一个非常深刻和重要的例子，用来说明抽象代数思想（尤其是利用函数复合的结合律）如何能极大地简化其他数学领域的证明。

1. 问题背景：矩阵乘法的结合律
   • 在线性代数中，一个核心的运算是矩阵乘法。
   • 矩阵乘法的结合律指的是：对于任意三个可相乘的矩阵 $A, B, C$，恒有 $(AB)C = A(BC)$。
   • 传统的证明方法:
   • 这个证明通常是直接使用矩阵乘法的定义，即 $(AB)_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$。
   • 你需要分别计算 $(AB)C$ 和 $A(BC)$ 的任意一个元素，例如在第 $i$ 行第 $l$ 列的元素。
   • 这会导致复杂的双重求和符号（sigma notation $\sum$）的推导和交换求和次序的繁琐步骤。
   • 作者称之为“相当痛苦的求和符号练习”，这是很多线性代数初学者的共同感受。
2. 更优雅的证明思路（抽象代数视角）:
   • 这个新思路的关键在于转换视角，把对矩阵的研究转换成对线性变换的研究。
   • 第一步：建立对应关系 (同构)
   • 在线性代数中可以证明，在一个给定的基底下，任何一个从 $n$ 维空间到自身的线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 都唯一对应一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$。反之亦然。
   • 这是一种一一对应（one-to-one correspondence）的关系。
   • 第二步：建立运算的对应关系
   • 更重要的是，可以证明，矩阵的乘法运算正好对应着线性变换的复合运算。
   • 如果线性变换 $T_A$ 对应矩阵 $A$，线性变换 $T_B$ 对应矩阵 $B$，那么：
   • 矩阵的乘积 $AB$ 所对应的线性变换，恰好是 $T_A \circ T_B$ (先应用$T_B$，再应用$T_A$)。（注意：这里的顺序 $T_A \circ T_B$ 对应 $AB$ 是一个惯例，有时也可能定义为 $T_B \circ T_A$，取决于基和坐标的表示方式，但这不影响结合律的论证）。
   • 第三步：利用已知定理
   • 我们刚刚在定理2.13中证明了，函数复合（线性变换也是一种函数）是结合的。
   • 也就是说，对于任意三个线性变换 $T_A, T_B, T_C$，我们已经知道 $(T_A \circ T_B) \circ T_C = T_A \circ (T_B \circ T_C)$。
   • 第四步：得出结论
   • 因为矩阵和线性变换是一一对应的，且它们的运算（乘法和复合）也是对应的。
   • 所以，函数复合的结合性就直接“遗传”给了矩阵乘法。
   • $(AB)C$ 对应的变换是 $(T_A \circ T_B) \circ T_C$。
   • $A(BC)$ 对应的变换是 $T_A \circ (T_B \circ T_C)$。
   • 既然这两个变换是相等的，那么它们所对应的矩阵也必须是相等的。
   • 因此，$(AB)C = A(BC)$ 成立。
3. 总结这个方法的优势:
   • 它完全避免了繁琐的、基于元素和下标的计算。
   • 它揭示了矩阵乘法结合律的本质来源：它不是一个偶然的代数巧合，而是因为它背后所代表的“变换的复合”这一更深层结构是结合的。
   • 这种通过寻找同构（isomorphism，即保持结构的双向映射）来传递性质的证明方法，是抽象代数中最核心、最强大的思想之一。

这一段介绍了在有限集合上定义二元运算的一种非常直观和实用的方法——运算表（operation table），也称为凯莱表（Cayley table）。

1. 适用范围:
   • 这种方法只适用于有限集合，即元素个数是有限的集合。对于像 $\mathbb{Z}, \mathbb{R}$ 这样的无限集合，我们无法画出一张无限大的表格。
   • 对于无限集合，我们必须使用前文提到的“属性/规则/公式”来定义运算。
2. 表格的构造:
   • 这是一个方阵形式的表格。
   • 行标题: 将集合的所有元素，按某个固定顺序，从上到下依次列出。
   • 列标题: 将集合的所有元素，按与行标题完全相同的顺序，从左到右依次列出。
   • 表格主体: 表格的每一个单元格，都用来存放一个运算结果。
3. 表格的使用规则:
   • 要查找 $a*b$ 的结果，你需要：
4. 在行标题中找到元素 $a$。
5. 在列标题中找到元素 $b$。
6. $a$ 所在行与 $b$ 所在列交叉的那个单元格里的内容，就是 $a*b$ 的结果。
   • 这个规则被约定为 (行元素) * (列元素) = (交叉处元素)。
7. 对顺序的要求:
   • “我们总是要求集合的元素作为列标题横向列出的顺序与作为行标题纵向列出的顺序相同”。
   • 这个要求非常重要，它保证了表格的“主对角线”（从左上到右下）具有明确的意义。主对角线上的元素对应的是 $a*a, b*b, c*c, ...$ 这样的运算。
   • 这个统一的顺序也使得后续判断交换律（检查表格是否沿主对角线对称）变得简单和标准化。

这一段通过一个具体的表格示例，演示了如何从表格中读取运算结果，并引出了一个通过观察表格判断交换律的直观方法。

1. 示例解析:
   • 集合: $S = \{a, b, c\}$。这是一个只有3个元素的有限集合。
   • 运算: ，其所有运算规则都完全由表2.15给出。这个表格就是 的定义。
   • 封闭性检查: 表格主体中出现的所有元素（$a, b, c$）都在集合 $S$ 中。所以这确实是一个合法的二元运算。
2. 从表格中读取运算结果:
   • 计算 $a*b$:
3. 在行标题找到 a (第1行)。
4. 在列标题找到 b (第2列)。
5. 第1行第2列的元素是 c。
6. 所以，$a*b=c$。
   • 计算 $b*a$:
7. 在行标题找到 b (第2行)。
8. 在列标题找到 a (第1列)。
9. 第2行第1列的元素是 a。
10. 所以，$b*a=a$。
11. 判断交换性:
    • 根据交换律的定义，我们需要检查是否对于所有 $x, y \in S$，都有 $x*y = y*x$。
    • 我们在上一步的计算中已经发现，$a*b=c$ 但是 $b*a=a$。
    • 因为 $c \neq a$，所以 $a*b \neq b*a$。
    • 我们找到了一个反例 $(a,b)$。
    • 因此，我们立刻可以得出结论：这个二元运算 * 是非交换的。
12. 判断交换性的直观方法:
    • 作者提出了一个非常重要的视觉判断方法。
    • 主对角线: 从左上角到右下角的那条线。在本例中，上面的元素是 $b, c, a$。
    • 对称位置: 对于任意一个不在主对角线上的单元格（第 $i$ 行第 $j$ 列），它关于主对角线的对称位置是（第 $j$ 行第 $i$ 列）。
    • 交换律的等价表述: $x_i * x_j = x_j * x_i$。在表格中，这正好意味着“第 $i$ 行第 $j$ 列的元素”必须等于“第 $j$ 行第 $i$ 列的元素”。
    • 视觉判断: 这就意味着，表格必须关于主对角线是对称的（symmetric）。就像照镜子一样，对称位置的元素必须相同。
    • 检查表2.15:
    • $a*b = c$ (第1行第2列)。
    • $b*a = a$ (第2行第1列)。
    • c 和 a 不相等。这两个对称位置的元素不同。
    • 所以表格不是对称的。因此运算 * 不是交换的。我们只需要检查一对对称位置的元素不同，就可以得出结论。

这一段是一个动手练习，要求学生利用交换律的对称性来补全一个残缺的运算表。

1. 任务分析:
   • 给定: 一个有限集合 $S=\{a, b, c, d\}$ 和一个部分填充的运算表 (表2.17)。
   • 约束: 我们被告知，最终完成的二元运算 * 必须是交换的。
   • 目标: 补全表2.17中所有的空白格。
2. 核心原理:
   • 正如上一节所学，一个交换运算的表格必须是关于主对角线对称的。
   • 这意味着，位于 $(i, j)$ 位置的元素（即 $x_i * x_j$）必须与位于 $(j, i)$ 位置的元素（即 $x_j * x_i$）相同。
3. 填表步骤 (作者的思路):
   • 第一步：找到一对已知和未知的对称位置。
   • 作者以 $(b,a)$ 位置为例。从表2.17中，我们查到第 b 行、第 a 列的元素是 d。所以 $b*a=d$。
   • 它的对称位置是 $(a,b)$，即第 a 行、第 b 列。这个格子是空的。
   • 应用对称性: 因为运算必须是交换的，所以 $a*b$ 必须等于 $b*a$。
   • 因此，$a*b = d$。我们将 d 填入第 a 行、第 b 列的空格中。

• 第二步：系统地填充所有剩余的空白格。
• (a, c) vs (c, a):
• 已知 $c*a=a$ (第c行，第a列)。
• 所以 $a*c$ 也必须等于 a。将 a 填入 (a,c) 位置。
• (a, d) vs (d, a):
• 已知 $d*a=a$ (第d行，第a列)。
• 所以 $a*d$ 也必须等于 a。将 a 填入 (a,d) 位置。
• (b, c) vs (c, b):
• 已知 $c*b=c$ (第c行，第b列)。
• 所以 $b*c$ 也必须等于 c。将 c 填入 (b,c) 位置。
• (b, d) vs (d, b):
• 已知 $d*b=b$ (第d行，第b列)。
• 所以 $b*d$ 也必须等于 b。将 b 填入 (b,d) 位置。
• (c, d) vs (d, c):
• 已知 $d*c=b$ (第d行，第c列)。
• 所以 $c*d$ 也必须等于 b。将 b 填入 (c,d) 位置。

• 第三步：整合结果。
• 将所有推导出的元素填入表格，就得到了完整的表2.18。
• 主对角线上的元素 $a*a, b*b, c*c, d*d$ 是自身对称的，它们的值在初始表格中已经给出（或可以任意填写，只要在S内），这里它们是 $b, a, d, c$。
• 最终完成的表2.18，如果你沿着主对角线画一条线，会发现它完美地左右（上下）对称。

这一段是作者根据教学经验，总结的在定义二元运算时最容易出错的两个地方，并对这两个条件进行了更详细的阐述。

1. 重申二元运算的两个核心条件:
   • 作者将二元运算的函数定义 $f: S \times S \to S$ 拆解成了两条更通俗易懂的规则。
   • 条件1：输出的确定性 (Well-definedness)
   • 原文：“对于 $S$ 中元素的每个可能的有序对，恰好分配一个元素”。
   • “每个可能的有序对” -> 运算必须在整个定义域 $S \times S$ 上处处有定义 (defined everywhere)。不能有任何一对输入找不到输出。
   • “恰好一个” -> 输出必须是唯一的，不能有歧义。对于同一个输入，不能今天给我一个答案，明天给我另一个答案。
   • 这两个方面（处处有定义和唯一性）合在一起，被称为运算是“良定义的” (well-defined)。
   • 条件2：输出的归属性 (Closure)
   • 原文：“对于 $S$ 中元素的每个有序对，分配给它的元素仍在 $S$ 中”。
   • 这就是封闭性。输出不仅要存在且唯一，还必须“落回”到原来的集合 $S$ 里。
2. 学生常犯的错误 (对条件1的违反):
   • 错误类型A：并非处处有定义
   • “学生通常会尝试将 $S$ 的元素分配给‘大多数’有序对，但对于少数几对，却无法确定元素。”
   • 例子: 在 $\mathbb{Z}$ 上定义 $a*b = a/b$。对于 $(6,3)$，结果是 $2$；对于 $(5,2)$，结果是 $2.5$（已经不封闭了）。但对于 $(5,0)$，这个运算没有定义。因为它没有覆盖定义域中的所有元素（所有分母为0的有序对都被漏掉了），所以它不是一个二元运算。
   • 错误类型B：有歧义 (不唯一)
   • “对于某些对，尝试可能会分配 $S$ 中的多个元素，即存在歧义。”
   • 例子: 在 $\mathbb{R}$ 上定义 $a*b = y$ 使得 $y^2 = a+b$。
   • 对于输入 $(5,4)$，$a+b=9$。那么 $y^2=9$ 的解是 $y=3$ 和 $y=-3$。有两个可能的输出，不唯一。
   • 对于输入 $(-10, 1)$，$a+b=-9$。在实数集 $\mathbb{R}$ 上 $y^2=-9$ 无解。这里又出现了“未定义”的问题。
   • 因为输出不唯一，所以这个规则不是良定义的，不能构成一个二元运算。
3. 学生常犯的错误 (对条件2的违反):
   • 这个在前面已经多次讨论过。
   • 例子: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上定义 $a*b=a-b$。对于 $(3,5)$，结果是 $-2$，$-2 \notin \mathbb{Z}^+$。违反了封闭性。

这个例子展示了违反“处处有定义”的情况。

1. 定义分析:
   • 集合: $S = \mathbb{Q}$ (有理数集合)。有理数是可以表示为两个整数之比 $p/q$ (其中 $q \neq 0$) 的数。它包括整数、有限小数和无限循环小数。0 是一个有理数。
   • 尝试的运算: * 定义为普通除法，即 $a*b = a/b$。
2. 检验核心条件:
   • 条件1：良定义性
   • 我们必须检查对于每一个来自 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ 的有序对 $(a,b)$，$a/b$ 是否都有定义且唯一。
   • 让我们考虑分母为零的边界情况。
   • 取 $a=2 \in \mathbb{Q}$ 和 $b=0 \in \mathbb{Q}$。
   • 那么有序对 $(2,0)$ 确实是 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ 的一个合法成员。
   • 根据规则，我们需要计算 $2*0 = 2/0$。
   • 在数学中，除以零是未定义的 (undefined)。没有任何一个有理数（或任何数）被分配给 $2/0$。
   • 条件2：封闭性
   • 我们甚至不需要检查这一步了。因为条件1已经被违反，这个定义就已经失败了。
   • （如果我们要检查，可以取 $(3,2)$，结果是 $1.5 \in \mathbb{Q}$，没问题。但取 $(1,3)$，结果是 $1/3 \in \mathbb{Q}$，也没问题。看起来对于 $b \neq 0$ 的情况，封闭性是满足的。但这无关紧要了。）
3. 结论:
   • 由于存在至少一个有序对（实际上是所有形如 $(a,0)$ 的有序对）使得运算 $a/b$ 没有定义，所以这个规则 * 并没有在整个集合 $\mathbb{Q}$ 上处处有定义。
   • 因此，它不满足二元运算定义的第一个核心要求。
   • 结论：在 $\mathbb{Q}$ 上将 * 定义为除法，不能构成一个二元运算。

这个例子是对上一个例子的修正，展示了如何通过改变集合来使一个运算变得合法。

1. 定义分析:
   • 集合: $S = \mathbb{Q}^+$ (正有理数集合)。这意味着集合中的所有数都大于0。特别地，0 不在这个集合里。
   • 运算: * 仍然定义为普通除法，$a*b = a/b$。
2. 检验核心条件:
   • 条件1：良定义性
   • 我们需要检查对于每一个来自 $\mathbb{Q}^+ \times \mathbb{Q}^+$ 的有序对 $(a,b)$，$a/b$ 是否都有定义且唯一。
   • 因为 $b \in \mathbb{Q}^+$，所以 $b$ 是一个正有理数。最重要的，$b \neq 0$。
   • 由于除数 $b$ 永远不为零，所以 $a/b$ 这个操作对于所有 $(a,b) \in \mathbb{Q}^+ \times \mathbb{Q}^+$ 都是有定义的。唯一性也是显然的。
   • 结论: 条件1 (良定义性) 满足。
   • 条件2：封闭性
   • 我们需要检查对于任意 $a, b \in \mathbb{Q}^+$，其结果 $a/b$ 是否仍然在 $\mathbb{Q}^+$ 中。
   • $a \in \mathbb{Q}^+$ 意味着 $a>0$ 且 $a$ 是有理数。
   • $b \in \mathbb{Q}^+$ 意味着 $b>0$ 且 $b$ 是有理数。
   • 首先，结果的符号: 一个正数除以一个正数，结果必然是正数。所以 $a/b > 0$。
   • 其次，结果的类型: 一个有理数除以一个非零有理数，结果仍然是有理数。
   • 证明：设 $a=p/q, b=r/s$，其中 $p,q,r,s$ 都是整数且不为零。则 $a/b = (p/q)/(r/s) = (ps)/(qr)$。因为 $p,s,q,r$ 都不为零，所以 $ps$ 和 $qr$ 也是非零整数。因此 $(ps)/(qr)$ 是一个有理数。
   • 综合: 结果 $a/b$ 是一个正的有理数，所以 $a/b \in \mathbb{Q}^+$。
   • 结论: 条件2 (封闭性) 满足。
3. 最终结论:
   • 由于条件1和条件2都满足，我们得出结论：在正有理数集合 $\mathbb{Q}^+$ 上，除法 * 是一个合法有效的二元运算。

这个例子展示了违反“封闭性”的情况。

1. 定义分析:
   • 集合: $S = \mathbb{Z}^+$ (正整数集合 $\{1, 2, 3, ...\}$)。
   • 运算: * 仍然是除法，$a*b=a/b$。
2. 检验核心条件:
   • 条件1：良定义性
   • 我们检查 $a/b$ 是否对所有 $(a,b) \in \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$ 都有定义。
   • 因为 $b \in \mathbb{Z}^+$，所以 $b \ge 1$，特别地，$b \neq 0$。
   • 由于除数 $b$ 永远不为零，所以 $a/b$ 这个操作是有定义的。
   • 结论: 条件1 (良定义性) 满足。
   • 条件2：封闭性
   • 我们检查对于任意 $a, b \in \mathbb{Z}^+$，其结果 $a/b$ 是否仍然在 $\mathbb{Z}^+$ 中。
   • 换句话说，一个正整数除以一个正整数，结果一定还是正整数吗？
   • 我们很容易想到反例。
   • 作者给出的反例:
   • 取 $a=1 \in \mathbb{Z}^+$ 和 $b=3 \in \mathbb{Z}^+$。
   • 计算 $a*b = 1*3 = 1/3$。
   • 检查结果: $1/3$ 是一个正数，但它不是一个整数。因此，$1/3 \notin \mathbb{Z}^+$。
   • 结论: 我们找到了一个反例，证明了运算结果会“跑出”集合 $\mathbb{Z}^+$ 的范围。所以条件2 (封闭性) 不满足。
3. 最终结论:
   • 尽管除法在 $\mathbb{Z}^+$ 上是良定义的，但它不是封闭的。
   • 由于没有同时满足两个核心条件，我们得出结论：在正整数集合 $\mathbb{Z}^+$ 上，除法 * 不是一个二元运算。

这个例子将“除法”问题推广到了更抽象的函数集合上，展示了一种更微妙的“不封闭”情况。

1. 定义分析:
   • 集合: $F = \{f \mid f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$，即所有定义在整个实数域上的实值函数。
   • 尝试的运算: * 定义为函数的逐点除法。
   • $h = f*g$
   • 新函数 $h$ 的定义是：$h(x) = f(x) / g(x)$ for all $x$。
2. 检验核心条件:
   • 我们的目标: 判断 * 是否是 $F$ 上的二元运算。这意味着，对于任意 $f, g \in F$，我们必须检查新函数 $h=f*g$ 是否仍然在 $F$ 中。
   • $h$ 要在 $F$ 中的条件: $h$ 的定义域必须是整个 $\mathbb{R}$。
   • 问题出在哪里?: $h(x)$ 的定义是 $f(x)/g(x)$。这个表达式只有在 $g(x) \neq 0$ 时才有定义。
   • 如果存在某个函数 $g \in F$，它在某个点 $x_0$ 的取值为 $g(x_0)=0$，那么对于任何函数 $f \in F$，它们相除得到的新函数 $h(x)=f(x)/g(x)$ 在点 $x_0$ 处就会是未定义的。
   • 如果 $h(x)$ 在某个点 $x_0$ 未定义，那么它的定义域就不再是整个 $\mathbb{R}$，而是 $\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$ (或者所有使g(x)=0的点集)。
   • 一个定义域不是 $\mathbb{R}$ 的函数，根据 $F$ 的定义，是不属于 $F$ 的。
   • 这就构成了不封闭！运算的结果 $h$ 跑出了集合 $F$ 的范围。
3. 作者给出的反例:
   • 取 $f(x) = \cos x$。这是一个从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数，所以 $f \in F$。
   • 取 $g(x) = x^2$。这也是一个从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数，所以 $g \in F$。
   • 定义新函数 $h = f*g$，则 $h(x) = f(x)/g(x) = (\cos x) / x^2$。
   • 检查 $h$ 的定义域: 当 $x=0$ 时，分母 $g(0) = 0^2 = 0$。
   • 因此，$h(0) = (\cos 0)/0 = 1/0$ 是未定义的。
   • 由于 $h$ 在 $x=0$ 处没有定义，所以 $h$ 的定义域不是 $\mathbb{R}$。
   • 根据 $F$ 的定义，$h \notin F$。
4. 最终结论:
   • 我们找到了一个例子，其中 $f, g \in F$ 但 $f*g \notin F$。
   • 这证明了 * (函数除法) 在集合 $F$ 上是不封闭的。
   • 因此，它不是 $F$ 上的一个二元运算。
   • 作者在这里说“条件2被违反了”，是站在“$h$ 不是 $F$ 的成员”这个角度，将其归为不封闭。这是一种更精细的视角。我们也可以说，这个运算规则本身是有问题的，因为它不能保证产生一个符合 $F$ 成员资格（定义域为 $\mathbb{R}$）的函数，所以它不是良定义的。这两种说法本质上指向同一个问题：结果 $h$ 的定义域缩小了。

这个例子展示了一个“定义”因为模糊性和不唯一性而彻底失败的情况。

1. 定义分析:
   • 集合: $F = \{f \mid f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$，与前例相同。
   • 尝试的运算: $f * g=h$，其中 $h$ 的规则是“$h$ 是一个大于 $f$ 和 $g$ 的函数”。
2. 检验核心条件 - 发现致命缺陷:
   • 缺陷一：定义模糊 (Ambiguity)
   • “一个函数大于另一个函数意味着什么？” 这是一个没有标准答案的问题。
   • 可能的解释1: $h > f$ 是指对于所有 $x \in \mathbb{R}$，都有 $h(x) > f(x)$。这是一种非常强的“逐点大于”关系。
   • 可能的解释2: $h > f$ 是指 $\int_{-\infty}^{\infty} h(x) dx > \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$。这是一种基于“面积”的比较。
   • 可能的解释3: $h > f$ 是指 $h(0) > f(0)$。这只比较了在某一个点的行为。
   • 由于规则本身使用了未经定义的术语（函数间的“大于”），所以这个定义从一开始就是模糊的、无效的。

• 缺陷二：输出不唯一 (Non-uniqueness)
• 作者更进一步指出，即使我们解决了模糊性问题，这个定义仍然是无效的。
• 让我们采用上面最合理的解释1：假设“$h$ 大于 $f$ 和 $g$”意味着“对于所有 $x \in \mathbb{R}$，都有 $h(x) > f(x)$ 且 $h(x) > g(x)$”。
• 现在，取两个具体的函数：$f(x) = x^2$ 和 $g(x) = \sin(x)$。
• 我们需要找到一个输出函数 $h$。
• 一个可能的输出: 令 $h_1(x) = \max(x^2, \sin x) + 1$。对于任何 $x$，$h_1(x)$ 显然比 $x^2$ 和 $\sin x$ 都大。所以 $h_1$ 是一个合法的输出。
• 另一个可能的输出: 令 $h_2(x) = \max(x^2, \sin x) + 10$。$h_2$ 也是一个合法的输出。
• 还有无数个输出: $h_3(x) = \max(x^2, \sin x) + \pi$, $h_4(x) = x^2 + \sin^2(x) + 100$, 等等。
• 对于同一对输入 $(f,g)$，我们找到了无数个可能的输出。这严重违反了二元运算的输出必须“恰好为一个”的要求。
• 因此，这个运算不是良定义的。

1. 最终结论:
   • 这个所谓的“定义”完全没有价值，因为它既模糊又不唯一。它在根本上就违背了函数（以及二元运算）的基本要求。

这个例子展示了一个合法但看起来很“奇怪”的二元运算。

1. 定义分析:
   • 集合: $S = \{p_1, p_2, ..., p_{20}\}$，一个由20个身高各不相同的人组成的集合。
   • 运算: *。
   • 规则: 对于任意两个人 $a, b \in S$，$a*b$ 的结果是集合 $S$ 中身高最高的那个人。我们把这个最高的人记为 $c_{max}$。
   • 所以，规则可以更精确地写为：对于任意 $a, b \in S$, $a*b = c_{max}$。
2. 检验核心条件:
   • 条件1：良定义性
   • 处处有定义: 对于从 $S$ 中任意挑选的两个人 $(a,b)$，规则总是适用的。
   • 唯一性: 因为前提是“没有两个人的身高相同”，所以身高最高的人是唯一确定的。我们称之为 $c_{max}$。无论输入是 $(p_1, p_2)$ 还是 $(p_5, p_{18})$，输出永远是同一个、唯一确定的 $c_{max}$。
   • 结论: 条件1 (良定义性) 满足。
   • 条件2：封闭性
   • 输出结果 $c_{max}$ 是 $S$ 中20个人之一。
   • 因此，输出结果 $c_{max}$ 必然属于集合 $S$。
   • 结论: 条件2 (封闭性) 满足。
3. 最终结论:
   • 由于条件1和条件2都满足，所以这确实是一个合法的二元运算。
   • 趣味性: 作者评价它“不是特别有趣”，是因为这个运算完全忽略了输入。无论你输入哪两个人，结果都是固定不变的。这种运算被称为常数运算。它虽然简单，但在理论上是完全有效的。

这个例子再次回到了“非处处有定义”的问题上，但情况比除以零更微妙。

1. 定义分析:
   • 集合: $S$ 仍然是那个由20个身高各不相同的人组成的集合。
   • 运算: *。
   • 规则: $a * b = c$，其中 $c$ 的条件是：
2. $c$ 的身高 > $a$ 的身高
3. $c$ 的身高 > $b$ 的身高
4. 在所有满足条件1和2的人当中，$c$ 是身高最矮的那一个。
   • 简单来说，$a*b$ 就是“在所有比 $a$ 和 $b$ 都高的人里，挑出最矮的那个”。
5. 检验核心条件:
   • 条件1：良定义性
   • 我们来检查这个规则是否对所有 $(a,b) \in S \times S$ 都有效。
   • 一般情况: 假设 $a$ 是170cm， $b$ 是175cm。集合中比他们俩都高的人可能有 {178cm, 180cm, 185cm}。在这些人里，“最矮的那个”是 178cm。这个人是唯一确定的。在这种情况下，运算有定义且唯一。
   • 边界情况 (作者指出的问题):
   • 让我们考虑输入对中包含集合里最高的人的情况。令 $c_{max}$ 为 $S$ 中最高的人。
   • 取 $a = c_{max}$。
   • 现在，对于任何 $b \in S$，我们尝试计算 $a*b = c_{max} * b$。
   • 根据规则，我们需要在 $S$ 中找到一个比 $c_{max}$ 和 $b$ 都高的人。
   • 但是，集合 $S$ 中不存在比 $c_{max}$ 更高的人了。
   • 因此，满足条件1和2（比$a$和$b$都高）的人的集合是空集。
   • 我们无法从一个空集中“挑出最矮的那个”。
   • 所以，当输入包含 $c_{max}$ 时，$a*b$ 是未定义的。
6. 最终结论:
   • 由于存在至少一个有序对（任何包含 $c_{max}$ 的有序对）使得运算无法确定结果，所以这个规则 * 没有在集合 $S$ 上处处有定义。
   • 因此，它不满足二元运算的第一个核心要求。
   • 结论：这个规则不能构成一个二元运算。

这一部分是基于给定的运算表2.26进行实际计算的练习。

这个练习要求我们熟练使用运算表来查找简单的运算和复合运算的结果。

• 计算 $b*d$:

1. 在行标题中找到 b (第2行)。
2. 在列标题中找到 d (第4列)。
3. 查表，第2行第4列的元素是 e。
4. 所以，$b*d = e$。

• 计算 $c*c$:

1. 在行标题中找到 c (第3行)。
2. 在列标题中找到 c (第3列)。
3. 查表，第3行第3列的元素是 b。
4. 所以，$c*c = b$。

• 计算 $[(a * c) * e] * a$:

这是一个复合运算，我们必须按照括号的顺序，从内到外一步步计算。

1. 第一步：计算最内层括号 $(a*c)$。
   • 行 a (第1行)，列 c (第3列)。
   • 查表得到 c。
   • 所以，$(a*c)=c$。
2. 第二步：计算中层括号 $[c * e]$。
   • 将上一步的结果 c 代入，表达式变为 $[c * e] * a$。
   • 计算 c*e：行 c (第3行)，列 e (第5列)。
   • 查表得到 a。
   • 所以，$[(a*c)*e] = a$。
3. 第三步：计算最外层运算 $a * a$。
   • 将上一步的结果 a 代入，表达式变为 $a*a$。
   • 计算 a*a：行 a (第1行)，列 a (第1列)。
   • 查表得到 a。
4. 最终结果: $[(a * c) * e] * a = a$。

这个练习旨在通过一个具体的例子来检验结合律是否成立。

• 计算左边 $(a * b) * c$:

1. 先算括号内 $(a*b)$: 行 a (第1行)，列 b (第2列)。查表得 b。
2. 再算 $b*c$: 将上一步结果代入。行 b (第2行)，列 c (第3列)。查表得 a。
3. 所以，$(a * b) * c = a$。

• 计算右边 $a *(b * c)$:

1. 先算括号内 $(b*c)$: 行 b (第2行)，列 c (第3列)。查表得 a。
2. 再算 $a*a$: 将上一步结果代入。行 a (第1行)，列 a (第1列)。查表得 a。
3. 所以，$a *(b * c) = a$。

• 比较与判断:
• 我们发现，对于 $(a,b,c)$ 这个三元组，$(a * b) * c = a$ 且 $a *(b * c) = a$。两者是相等的。
• 问题: “根据这些计算，你能判断 * 是否是结合的吗？”
• 回答: 不能。我们只是验证了结合律对于一个特定的三元组 $(a,b,c)$ 成立。结合律的定义要求它必须对所有的三元组都成立。一个成功的例子并不能证明一个全称命题。我们可能只是碰巧选了一组恰好成立的元素。要证明结合性，需要遍历所有 $5 \times 5 \times 5 = 125$ 种组合（或者进行更抽象的证明），而要证明非结合性，只需要找到一个反例。

这个练习是上一个问题的延续，用另一个三元组来检验结合律。

• 计算左边 $(b * d) * c$:

1. 先算括号内 $(b*d)$: 行 b (第2行)，列 d (第4列)。查表得 e。
2. 再算 $e*c$: 将上一步结果代入。行 e (第5行)，列 c (第3列)。查表得 a。
3. 所以，$(b * d) * c = a$。

• 计算右边 $b *(d * c)$:

1. 先算括号内 $(d*c)$: 行 d (第4行)，列 c (第3列)。查表得 b。
2. 再算 $b*b$: 将上一步结果代入。行 b (第2行)，列 b (第2列)。查表得 c。
3. 所以，$b *(d * c) = c$。

• 比较与判断:
• 我们发现，$(b * d) * c = a$ 但是 $b *(d * c) = c$。
• 因为 $a \neq c$，所以 $(b * d) * c \neq b *(d * c)$。
• 问题: “根据这些计算，你能判断 * 是否是结合的吗？”
• 回答: 能。我们找到了一个三元组 $(b,d,c)$，它使得结合律的等式不成立。这一个反例就足以证明该二元运算 * 是非结合的 (not associative)。

这个练习要求我们利用表格判断交换性。

1. 核心原理: 一个运算是交换的，当且仅当其运算表关于主对角线是对称的。这意味着对于任意元素 $x,y$，必须有 $x*y = y*x$。
2. 检验策略: 我们可以逐一检查所有对称位置的元素是否相等。但更快捷的方法是，努力寻找一对不相等的对称位置元素作为反例。
3. 寻找反例:
   • 让我们检查 $(a,b)$ 和 $(b,a)$：
   • $a*b$ (第1行，第2列) = b。
   • $b*a$ (第2行，第1列) = b。
   • 这一对是相等的。我们还不能下结论。
   • 让我们检查 $(a,c)$ 和 $(c,a)$：
   • $a*c$ (第1行，第3列) = c。
   • $c*a$ (第3行，第1列) = c。
   • 这一对也相等。
   • 让我们检查 $(b,c)$ 和 $(c,b)$：
   • $b*c$ (第2行，第3列) = a。
   • $c*b$ (第3行，第2列) = a。
   • 这一对也相等。
   • 让我们检查 $(d,e)$ 和 $(e,d)$:
   • $d*e$ (第4行，第5列) = d。
   • $e*d$ (第5行，第4列) = d。
   • 这一对也相等。
   • 等等，让我们重新仔细检查一下。
   • 检查 $(a,b)$ 和 $(b,a)$: $a*b=b$, $b*a=b$。 OK.
   • 检查 $(a,c)$ 和 $(c,a)$: $a*c=c$, $c*a=c$。 OK.
   • 检查 $(a,d)$ 和 $(d,a)$: $a*d=b$, $d*a=b$。 OK.
   • 检查 $(a,e)$ 和 $(e,a)$: $a*e=d$, $e*a=d$。 OK.
   • 检查 $(b,c)$ 和 $(c,b)$: $b*c=a$, $c*b=a$。 OK.
   • 检查 $(b,d)$ 和 $(d,b)$: $b*d=e$, $d*b=e$。 OK.
   • 检查 $(b,e)$ 和 $(e,b)$: $b*e=c$, $e*b=b$。
   • 啊哈！我们找到了一个反例！
   • $b*e = c$
   • $e*b = b$
   • 因为 $c \neq b$，所以 $b*e \neq e*b$。
4. 结论:
   • 为什么? 因为存在至少一对元素（例如 $b$ 和 $e$），使得交换它们的运算顺序会改变结果 ($b*e \neq e*b$)。
   • 回答: * 不是交换的。

任务是利用交换律的对称性补全表2.27。

1. 原理: 运算是交换的，所以表格必须关于主对角线对称。即 $x*y = y*x$。
2. 寻找空白格及其对称位置:
   • 空白格 (a,d): 其对称位置是 (d,a)。查表得 $d*a=d$。所以，a*d = d。
   • 空白格 (b,c): 其对称位置是 (c,b)。查表得 $c*b=a$。所以，b*c = a。
   • 空白格 (d,b): 其对称位置是 (b,d)。查表得 $b*d=c$。所以，d*b = c。
   • 空白格 (d,c): 其对称位置是 (c,d)。查表得 $c*d=b$。所以，d*c = b。
3. 完成表格:

任务是假设表2.28代表一个结合运算，并计算缺失的条目。这是一个更复杂的问题，需要利用结合律 $(x*y)*z = x*(y*z)$ 来建立方程并求解。

1. 已知信息:
   • $a*x=x$ for $x \in \{a,b,c,d\}$ ($a$ 表现得像一个左单位元)。
   • $b*a=b$, $b*b=a$, $b*c=c$, $b*d=d$。
   • $c*a=c$, $c*b=d$, $c*c=c$, $c*d=d$。
   • 第 d 行是完全空白的，我们需要填充 $d*a, d*b, d*c, d*d$。
2. 利用结合律进行推导:

• 计算 $d*a$:
• 我们尝试寻找包含 $d*a$ 的结合律等式。一个好的方法是利用已知元素来构造 $d$。我们看到 $c*b=d$。
• 让我们计算 $(c*b)*a$。根据结合律，它应该等于 $c*(b*a)$。
• 左边: $(c*b)*a = d*a$ (这就是我们想求的)。
• 右边: $c*(b*a)$。查表知 $b*a=b$。所以右边是 $c*b$。查表知 $c*b=d$。
• 因此，$d*a = d$。我们填入第一个空格。

• 计算 $d*b$:
• 我们计算 $(c*b)*b$。根据结合律，它应该等于 $c*(b*b)$。
• 左边: $(c*b)*b = d*b$ (我们想求的)。
• 右边: $c*(b*b)$。查表知 $b*b=a$。所以右边是 $c*a$。查表知 $c*a=c$。
• 因此，$d*b = c$。我们填入第二个空格。

• 计算 $d*c$:
• 我们计算 $(c*b)*c$。根据结合律，它应该等于 $c*(b*c)$。
• 左边: $(c*b)*c = d*c$ (我们想求的)。
• 右边: $c*(b*c)$。查表知 $b*c=c$。所以右边是 $c*c$。查表知 $c*c=c$。
• 因此，$d*c = c$。我们填入第三个空格。

• 计算 $d*d$:
• 我们计算 $(c*b)*d$。根据结合律，它应该等于 $c*(b*d)$。
• 左边: $(c*b)*d = d*d$ (我们想求的)。
• 右边: $c*(b*d)$。查表知 $b*d=d$。所以右边是 $c*d$。查表知 $c*d=d$。
• 因此，$d*d = d$。我们填入第四个空格。

1. 完成表格:

运算: 在 $\mathbb{Z}$ 上，$a*b=a-b$ (减法)。

• 判断交换性:
• 我们需要检验 $a*b = b*a$ 是否对所有 $a,b \in \mathbb{Z}$ 成立。即 $a-b = b-a$ 是否恒成立。
• 寻找反例: 取 $a=1, b=2$。
• $a*b = 1-2 = -1$。
• $b*a = 2-1 = 1$。
• 因为 $-1 \neq 1$，所以不满足交换律。
• 结论: 非交换的。

• 判断结合性:
• 我们需要检验 $(a*b)*c = a*(b*c)$ 是否对所有 $a,b,c \in \mathbb{Z}$ 成立。即 $(a-b)-c = a-(b-c)$ 是否恒成立。
• 左边: $(a-b)-c = a-b-c$。
• 右边: $a-(b-c) = a-b+c$。
• 寻找反例: 只要 $c \neq 0$，两者就不相等。取 $a=3, b=2, c=1$。
• $(a*b)*c = (3-2)-1 = 1-1 = 0$。
• $a*(b*c) = 3-(2-1) = 3-1 = 2$。
• 因为 $0 \neq 2$，所以不满足结合律。
• 结论: 非结合的。

运算: 在 $\mathbb{Q}$ 上，$a*b=ab+1$。

• 判断交换性:
• 检验 $a*b = b*a$。即 $ab+1 = ba+1$。
• 因为有理数的乘法是交换的 ($ab=ba$)，所以 $ab+1 = ba+1$ 恒成立。
• 结论: 交换的。

• 判断结合性:
• 检验 $(a*b)*c = a*(b*c)$。
• 左边: $(a*b)*c = (ab+1)*c = (ab+1)c+1 = abc+c+1$。
• 右边: $a*(b*c) = a*(bc+1) = a(bc+1)+1 = abc+a+1$。
• 我们需要看 $abc+c+1 = abc+a+1$ 是否恒成立，即 $c=a$ 是否恒成立。这显然不是。
• 寻找反例: 取 $a=1, b=2, c=3$。
• $(a*b)*c = (1*2)*3 = (1\cdot2+1)*3 = 3*3 = 3\cdot3+1 = 10$。
• $a*(b*c) = 1*(2*3) = 1*(2\cdot3+1) = 1*7 = 1\cdot7+1 = 8$。
• 因为 $10 \neq 8$，所以不满足结合律。
• 结论: 非结合的。

运算: 在 $\mathbb{Q}$ 上，$a*b = ab/2$。

• 判断交换性:
• 检验 $a*b = b*a$。即 $ab/2 = ba/2$。
• 因为有理数乘法是交换的 ($ab=ba$)，所以 $ab/2=ba/2$ 恒成立。
• 结论: 交换的。

• 判断结合性:
• 检验 $(a*b)*c = a*(b*c)$。
• 左边: $(a*b)*c = (ab/2)*c = ((ab/2)c)/2 = abc/4$。
• 右边: $a*(b*c) = a*(bc/2) = (a(bc/2))/2 = abc/4$。
• 因为左边和右边化简后结果相同，所以等式恒成立。
• 结论: 结合的。

运算: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上，$a*b=2^{ab}$。

• 判断交换性:
• 检验 $a*b = b*a$。即 $2^{ab} = 2^{ba}$。
• 因为整数乘法是交换的 ($ab=ba$)，所以指数是相同的。因此 $2^{ab}=2^{ba}$ 恒成立。
• 结论: 交换的。

• 判断结合性:
• 检验 $(a*b)*c = a*(b*c)$。
• 左边: $(a*b)*c = (2^{ab})*c = 2^{(2^{ab})c}$。
• 右边: $a*(b*c) = a*(2^{bc}) = 2^{a(2^{bc})}$。
• 我们需要看 $c \cdot 2^{ab} = a \cdot 2^{bc}$ 是否恒成立。这显然不是。
• 寻找反例: 取 $a=1, b=2, c=3$。
• $(a*b)*c = (1*2)*3 = (2^{1\cdot2})*3 = 2^2*3 = 4*3 = 2^{4\cdot3} = 2^{12}$。
• $a*(b*c) = 1*(2*3) = 1*(2^{2\cdot3}) = 1*(2^6) = 1*64 = 2^{1\cdot64} = 2^{64}$。
• 因为 $2^{12} \neq 2^{64}$，所以不满足结合律。
• 结论: 非结合的。

运算: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上，$a*b=a^b$ (幂运算)。

• 判断交换性:
• 检验 $a*b = b*a$。即 $a^b = b^a$ 是否恒成立。
• 寻找反例: 取 $a=2, b=3$。
• $a*b = 2^3 = 8$。
• $b*a = 3^2 = 9$。
• 因为 $8 \neq 9$，所以不满足交换律。
• 结论: 非交换的。

• 判断结合性:
• 检验 $(a*b)*c = a*(b*c)$。即 $(a^b)^c = a^{(b^c)}$。
• 根据幂运算法则，左边等于 $a^{bc}$，右边等于 $a^{b^c}$。
• 我们需要看 $bc = b^c$ 是否恒成立。这显然不是。
• 寻找反例: 取 $a=2, b=3, c=2$。
• $(a*b)*c = (2^3)^2 = 8^2 = 64$。
• $a*(b*c) = 2^{(3^2)} = 2^9 = 512$。
• 因为 $64 \neq 512$，所以不满足结合律。
• 结论: 非结合的。

问题: 在一个有 $n$ 个元素的集合 $S$ 上，可以定义多少个不同的二元运算？

1. 原理:
   • 一个二元运算是一个函数 $*: S \times S \to S$。
   • 要确定一个函数，我们需要知道对于定义域中的每一个输入，其对应的输出是什么。
   • 定义域是 $S \times S$。如果 $|S|=n$ (S有n个元素)，那么 $|S \times S| = |S| \times |S| = n \times n = n^2$。即，有 $n^2$ 个不同的输入有序对。
   • 陪域 (可能的输出范围) 是 $S$，有 $n$ 个元素。
   • 对于 $S \times S$ 中的每一个输入对，我们都有 $n$ 种可能的选择来作为它的输出。
   • 由于有 $n^2$ 个独立的输入对，每个都有 $n$ 种选择，根据乘法原理，总的可能性数量是 $n$ 自乘 $n^2$ 次。
2. 计算:
   • 总的二元运算数量 = (输出选择数)^(输入对数量) = $n^{(n^2)}$。
3. 回答问题:
   • $n=1$: $S=\{a\}$。输入对只有一个 $(a,a)$。输出必须是 $a$ (为了满足封闭性)。所以只有1种选择。
   • 公式计算: $1^{(1^2)} = 1^1 = 1$。
   • $n=2$: $S=\{a,b\}$。输入对有 $2^2=4$ 个: $(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)$。对于这4个输入对中的每一个，输出都可以是 $a$ 或 $b$ (2种选择)。
   • 总数 = $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$。
   • 公式计算: $2^{(2^2)} = 2^4 = 16$。
   • $n=3$: $S=\{a,b,c\}$。输入对有 $3^2=9$ 个。每个输出都有3种选择。
   • 总数 = $3^9 = 19683$。
   • 公式计算: $3^{(3^2)} = 3^9 = 19683$。
   • $n$ 个元素:
   • 总数 = $n^{(n^2)}$。

问题: 在一个有 $n$ 个元素的集合上，可以定义多少个不同的交换二元运算？

1. 原理:
   • 一个交换运算的运算表必须是关于主对角线对称的。
   • 这意味着，我们只需要决定主对角线上的元素和主对角线上方的（或下方的）元素，那么另一半的元素就自动确定了。
   • 一个 $n \times n$ 的表格总共有 $n^2$ 个单元格。
   • 主对角线上有 $n$ 个单元格 (即 $a*a, b*b, ...$)。
   • 非对角线元素有 $n^2 - n$ 个。由于对称性，它们成对出现，所以我们只需要决定其中一半即可。非对角线上的独立单元格数量是 $(n^2 - n)/2$。
   • 因此，我们需要独立决定的单元格总数是：(对角线上的) + (上/下三角的) = $n + (n^2 - n)/2 = (2n + n^2 - n)/2 = (n^2+n)/2 = n(n+1)/2$。
   • 对于这 $n(n+1)/2$ 个独立的单元格中的每一个，我们都有 $n$ 种可能的输出来填充它。
2. 计算:
   • 总的交换二元运算数量 = (输出选择数)^(独立单元格数量) = $n^{n(n+1)/2}$。
3. 回答问题:
   • $n=2$: $S=\{a,b\}$。独立单元格有 $2(3)/2=3$ 个。它们是 $a*a, a*b, b*b$ (因为 $b*a$ 由 $a*b$ 决定)。每个位置有2种选择。
   • 总数 = $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$。
   • 公式计算: $2^{2(3)/2} = 2^3 = 8$。
   • $n=3$: $S=\{a,b,c\}$。独立单元格有 $3(4)/2=6$ 个。它们是 $a*a, a*b, a*c, b*b, b*c, c*c$。每个位置有3种选择。
   • 总数 = $3^6 = 729$。
   • 公式计算: $3^{3(4)/2} = 3^6 = 729$。
   • $n$ 个元素:
   • 总数 = $n^{n(n+1)/2}$。

原定义: 二元运算 $*$ 是交换的当且仅当 $a * b=b * a$。

问题: 这个定义缺少了量词和上下文。

• * 是哪个集合上的运算？
• $a$ 和 $b$ 是谁？

订正后的定义: 在集合 $S$ 上的二元运算 $*$ 是交换的，当且仅当对于所有 $a, b \in S$，都有 $a * b=b * a$。

原定义: 集合 $S$ 上的二元运算 $*$ 是结合的当且仅当对于所有 $a, b, c \in S$，我们有 $(b * c) * a=b *(c * a)$。

问题: 这个定义中的结合律形式写错了。结合律保持元素的相对顺序，只改变运算的括号。原定义中元素的相对顺序从 $(b,c,a)$ 变成了 $(b,c,a)$，但是括号的结合方式并不是标准的结合律定义，而且这个式子本身可能并不等价于标准的结合律，除非运算还满足交换律。标准的结合律应该是关于 $(a,b,c)$ 的。

订正后的定义: 集合 $S$ 上的二元运算 $*$ 是结合的，当且仅当对于所有 $a, b, c \in S$，都有 $(a * b) * c=a *(b * c)$。

原定义: 集合 $S$ 的子集 $H$ 在 $S$ 上的二元运算 $*$ 下是闭合的当且仅当对于所有 $a, b \in S$， $(a * b) \in H$。

问题: 这个定义中的量词范围错了。我们要判断的是子集 $H$ 的封闭性，所以我们应该只关心当输入来自 $H$ 时，输出是否还在 $H$ 内。原定义错误地要求了对所有来自父集合 $S$ 的元素对，其结果都要在子集 $H$ 内，这个条件过于苛刻，几乎不可能满足（除非 $H=S$）。

订正后的定义: 集合 $S$ 的子集 $H$ 在 $S$ 上的二元运算 $*$ 下是闭合的，当且仅当对于所有 $a, b \in H$，都有 $(a * b) \in H$。

定义: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上, $a*b=a-b$。

• 检验:

1. 条件1 (良定义性): 任意两个正整数的差总是有定义的。满足。
2. 条件2 (封闭性): 结果是否总在 $\mathbb{Z}^+$ 内？
   • 寻找反例: 取 $a=3, b=5$。两者都在 $\mathbb{Z}^+$ 中。
   • $a*b = 3-5 = -2$。
   • 结果 $-2$ 不是正整数，所以 $-2 \notin \mathbb{Z}^+$。
   • 结论: 不是二元运算。违反了条件2 (封闭性)。

定义: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上, $a*b=a^b$。

• 检验:

1. 条件1 (良定义性): 任意正整数的正整数次幂总是有定义的。满足。
2. 条件2 (封闭性): 结果是否总在 $\mathbb{Z}^+$ 内？
   • 一个正整数 ($a \ge 1$) 的正整数 ($b \ge 1$) 次幂，结果必然是一个大于等于1的整数。
   • 例如 $1^1=1, 2^3=8, 5^2=25$。所有结果都在 $\mathbb{Z}^+$ 中。
   • 结论: 是一个二元运算。

定义: 在 $\mathbb{R}$ 上, $a*b=a-b$。

• 检验:

1. 条件1 (良定义性): 任意两个实数的差总是有定义的。满足。
2. 条件2 (封闭性): 结果是否总在 $\mathbb{R}$ 内？
   • 任意两个实数的差仍然是一个实数。满足。
   • 结论: 是一个二元运算。

定义: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上, $a*b=c$，其中 $c$ 是大于 $a$ 和 $b$ 的最小整数。

• 规则的精确化: $c = \max(a,b) + 1$。
• 检验:

1. 条件1 (良定义性): 对于任意 $a,b \in \mathbb{Z}^+$，$\max(a,b)$ 是唯一确定的，再加1也是唯一确定的。满足。
2. 条件2 (封闭性): 结果是否总在 $\mathbb{Z}^+$ 内？
   • $a,b \in \mathbb{Z}^+ \Rightarrow a \ge 1, b \ge 1$。
   • $\max(a,b) \ge 1$。
   • $c = \max(a,b)+1 \ge 1+1=2$。结果必然是一个正整数。满足。
   • 结论: 是一个二元运算。

定义: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上, $a*b=c$，其中 $c$ 至少比 $a+b$ 大5。

• 规则的精确化: $c \ge a+b+5$。
• 检验:

1. 条件1 (良定义性):
   • 唯一性: “至少”一词表明满足条件的 $c$ 不唯一。
   • 寻找反例: 取 $a=1, b=2$。$a+b+5=8$。
   • 我们需要一个 $c \ge 8$。输出可以是 $8, 9, 10, ...$ 中的任何一个。
   • 由于输出不唯一，该定义不是良定义的。
   • 结论: 不是二元运算。违反了条件1 (唯一性)。

定义: 在 $\mathbb{Z}^+$ 上, $a*b=c$，其中 $c$ 是小于 $a$ 和 $b$ 的乘积的最大整数。

• 规则的精确化: $c = ab - 1$。
• 检验:

1. 条件1 (良定义性): 对于任意 $a,b \in \mathbb{Z}^+$，乘积 $ab$ 是唯一确定的，再减1也是唯一确定的。满足。
2. 条件2 (封闭性): 结果是否总在 $\mathbb{Z}^+$ 内？
   • 寻找反例: 我们需要找到一对 $a,b$，使得 $ab-1$ 不是正整数。即 $ab-1 \le 0$。
   • 取 $a=1, b=1$。两者都在 $\mathbb{Z}^+$ 中。
   • $a*b = 1 \cdot 1 - 1 = 0$。
   • 结果 $0$ 不是正整数，所以 $0 \notin \mathbb{Z}^+$。
   • 结论: 不是二元运算。违反了条件2 (封闭性)。

集合: $H = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}$。

父集合: $M_2(\mathbb{R})$ (所有 $2 \times 2$ 实数矩阵)。

(a) 矩阵加法下的闭合性

1. 原理: 任取两个 $H$ 中的矩阵，看它们的和是否仍然具有 $H$ 中矩阵的特殊形式。
2. 推导:
   • 令 $M_1 = \begin{pmatrix} a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 \end{pmatrix} \in H$ 和 $M_2 = \begin{pmatrix} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{pmatrix} \in H$。
   • 计算它们的和:
   • 检查形式: 设 $a' = a_1+a_2$ 和 $b' = b_1+b_2$。因为 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 都是实数，所以 $a', b'$ 也都是实数。
   • 和矩阵可以写成 $\begin{pmatrix} a' & -b' \\ b' & a' \end{pmatrix}$ 的形式。
   • 这完全符合集合 $H$ 的定义。
3. 结论: $H$ 在矩阵加法下是闭合的。

(b) 矩阵乘法下的闭合性

1. 原理: 任取两个 $H$ 中的矩阵，看它们的积是否仍然具有 $H$ 中矩阵的特殊形式。
2. 推导:
   • 令 $M_1 = \begin{pmatrix} a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 \end{pmatrix}$ 和 $M_2 = \begin{pmatrix} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{pmatrix}$。
   • 计算它们的积 $M_1 M_2$:
   • 检查形式: 设 $a' = a_1a_2 - b_1b_2$ 和 $b' = a_1b_2 + b_1a_2$。$a', b'$ 都是实数。
   • 积矩阵可以写成 $\begin{pmatrix} a' & -b' \\ b' & a' \end{pmatrix}$ 的形式。
   • 这完全符合集合 $H$ 的定义。
3. 结论: $H$ 在矩阵乘法下是闭合的。

a. 假。这个性质叫做幂等性 (idempotence)，但并非所有二元运算都满足。反例：在 $\mathbb{Z}$ 上，加法 $2+2=4 \neq 2$。

b. 真。因为 $*$ 是交换的，所以对于任何两个元素 $X, Y \in S$，都有 $X*Y = Y*X$。令 $X=a$, $Y=b*c$。那么 $a*(b*c) = (b*c)*a$。

c. 假。结合律说的是 $(a*b)*c = a*(b*c)$，它不涉及元素位置的交换。交换律才涉及位置交换。反例：矩阵乘法是结合的但通常不是交换的。

d. 假。函数复合、矩阵乘法、集合的交并、逻辑运算等都是在非数字集合上定义的重要二元运算。

e. 假。交换律要求对于所有 $a,b$ 都要成立。“存在”一对成立是不够的。例如，对于减法 $a-b$，当 $a=b$ 时 $a-b=b-a=0$ 成立，但减法不是交换的。

f. 真。设 $S=\{a\}$。唯一的输入是 $(a,a)$，唯一的输出也必须是 $a$。

• 交换性: $a*a = a*a$，显然成立。
• 结合性: $(a*a)*a = a*a = a$，$a*(a*a) = a*a = a$。两者相等。

g. 假。二元运算的定义要求分配“恰好一个”，而不是“至少一个”。“至少一个”允许多个输出，这是不良定义的。

h. 假。二元运算的定义要求分配“恰好一个”，而不是“至多一个”。“至多一个”允许某些输入没有输出，这是非处处定义的。

i. 真。这正是良定义性（处处有定义且唯一）的要求，是二元运算定义的一部分。

j. 假。这违反了唯一性，是不良定义的。

这是一个开放性问题，旨在检验学生是否真正理解了二元运算的定义。

1. 选择一个集合:
   • 要求: 非课文描述，非数字集合。
   • 一个简单的例子: 几何图形集合。令 $S$ 为平面上所有三角形的集合。这是一个良定义的集合。
2. 定义第一个二元运算 *:
   • 规则: 令 $a * b = c$，其中 $c$ 是一个面积等于 $a$ 和 $b$ 的面积之和的三角形。
   • 检验:
   • 良定义性: 这样的 $c$ 是否唯一？不唯一。面积为10的三角形有无数种不同的形状。所以这个定义是不良定义的。
   • 修正规则1: 令 $a * b = c$，其中 $c$ 是通过将 $a$ 和 $b$ 并排放置（若有公共边则粘合）形成的新图形。
   • 检验: 结果不一定是三角形，所以不封闭。
   • 一个好的定义:
   • 规则 *: $a * b = a$ (取第一个三角形)。
   • 检验: 良定义（唯一）且封闭（结果 $a$ 仍在 $S$ 中）。这是一个合法的二元运算。
3. 定义第二个二元运算 *':
   • 规则 *': $a *' b = c$，其中 $c$ 是一个面积等于 $a$ 和 $b$ 中较大面积的等边三角形。
   • 检验:
   • 良定义性: 对于任意两个三角形 $a, b$，它们的面积是确定的，较大面积也是确定的。面积确定后，等边三角形的形状和大小是唯一确定的（不考虑位置和朝向）。所以结果 $c$ 是唯一的。满足。
   • 封闭性: 结果 $c$ 是一个等边三角形，它当然是一个三角形。所以 $c \in S$。满足。
   • 这是一个合法的二元运算，且不同于 *。