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这段话的核心思想是从循环子群（由单个元素生成）的概念扩展到由多个元素生成的子群。

1. 回顾循环子群：首先，文章回顾了循环子群 $\langle a\rangle$ 的概念。这个子群是由群 $G$ 中的一个元素 $a$ 生成的。它包含了 $a$ 的所有整数次幂，即 $\{..., a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a^1, a^2, ...\}$。关键在于，$\langle a\rangle$ 是所有包含元素 $a$ 的子群中最小的一个。任何其他包含 $a$ 的子群，必然也包含 $\langle a\rangle$ 的所有元素。
2. 提出新问题：接下来，作者提出了一个更进一步的问题：如果我们不止关心一个元素 $a$，还关心另一个元素 $b$，那么包含 $a$ 和 $b$ 的最小子群是什么样的？
3. 构建新子群的元素：为了回答这个问题，我们需要思考一个同时包含 $a$ 和 $b$ 的子群必须满足什么条件。
   • 根据子群的定义，如果一个子群包含 $a$，它就必须包含 $a$ 的所有整数次幂（$a^n$），因为子群在群运算下是封闭的，并且包含逆元。同理，如果它包含 $b$，也必须包含 $b$ 的所有整数次幂（$b^m$）。
   • 更进一步，既然这个子群同时包含了所有的 $a^n$ 和 $b^m$，那么根据封闭性，它也必须包含这些幂的任意有限次乘积。这些乘积的形式可以是 $a^2 b^4$, $a^{-1} b^3 a^5$ 等等。这里的“有限”是指数目有限的项相乘，而不是说群本身是有限的。
4. 一个重要的警告：不可交换性：作者特别强调，对于表达式 $a^{2} b^{4} a^{-3} b^{2} a^{5}$，我们不能想当然地把所有 $a$ 的幂合并在一起，所有 $b$ 的幂合并在一起，变成 $a^{2-3+5} b^{4+2} = a^4 b^6$。这是因为群 $G$ 不一定是阿贝尔群（交换群）。在非交换群中，$ab$ 不一定等于 $ba$。因此，$a^{-3}b^2$ 不能交换成 $b^2a^{-3}$。元素的排列顺序至关重要。
5. 验证子群的三个条件：现在我们来看这个由 $a$ 和 $b$ 的幂的有限乘积构成的集合，我们称之为 $H$。这个集合 $H$ 是否构成一个子群呢？我们需要验证子群的三个条件（根据定理 5.14）：
   • 封闭性：$H$ 中的两个元素相乘，结果是否还在 $H$ 中？是的。例如，取一个元素 $k_1 = a^2b^{-1}$，另一个元素 $k_2 = ba^3$。它们的乘积 $k_1k_2 = (a^2b^{-1})(ba^3) = a^2b^{-1}ba^3$。这个结果本身就是一个由 $a$ 和 $b$ 的幂组成的有限乘积，所以它仍然在 $H$ 中。
   • 单位元：$H$ 是否包含单位元 $e$？是的。我们可以通过取 $a$ 的零次幂 $a^0=e$（或者 $b^0=e$）来得到单位元。$e$ 是一个只有一个项的“有限乘积”，所以 $e \in H$。
   • 逆元：$H$ 中每个元素 $k$ 的逆元 $k^{-1}$ 是否也在 $H$ 中？是的。对于一个乘积表达式，例如 $k = a^{2} b^{4} a^{-3} b^{2} a^{5}$，它的逆元是 $(k)^{-1} = (a^{5})^{-1} (b^{2})^{-1} (a^{-3})^{-1} (b^{4})^{-1} (a^{2})^{-1} = a^{-5} b^{-2} a^{3} b^{-4} a^{-2}$。这个逆元仍然是一个由 $a$ 和 $b$ 的幂组成的有限乘积，所以它也在 $H$ 中。（这里用到了“袜鞋原理”：$(xyz)^{-1} = z^{-1}y^{-1}x^{-1}$）。
6. 结论：最小性：既然这个集合 $H$ 满足子群的所有条件，它自身就是一个子群。同时，任何包含 $a$ 和 $b$ 的子群都必须包含 $H$ 的所有元素（这是我们推导的出发点）。因此，$H$ 就是包含 $a$ 和 $b$ 的最小子群。
7. 引入新术语：生成元：我们给这个过程一个名字。我们称元素 $a$ 和 $b$ 是这个子群的生成元 (generators)。这个子群被称为由集合 $\{a, b\}$ 生成的子群。如果这个子群恰好就是整个群 $G$，我们就说集合 $\{a, b\}$ 生成 (generates) $G$。
8. 推广：最后，作者指出这个思想可以推广到任意多个生成元，比如 $\{a, b, c, ...\}$。由这个集合生成的子群就是所有这些生成元（及其逆元）的幂的有限乘积的集合。

这个例子应用了上一节定义的“生成”概念，具体分析了克莱因四元群 $V$。

1. 回顾克莱因四元群 V:
   • $V$ 有四个元素: $e$ (单位元), $a, b, c$。
   • 它的运算规则是：任何非单位元元素与自身相乘都等于单位元 ($a^2=e, b^2=e, c^2=e$)。
   • 任意两个不同的非单位元元素相乘等于第三个非单位元元素 ($ab=c, ba=c, ac=b, ca=b, bc=a, cb=a$)。
   • 这是一个阿贝尔群（交换群），因为 $ab=c$ 且 $ba=c$。
2. 分析生成集 $\{a, b\}$:
   • 我们想知道由 $\{a, b\}$ 生成的子群是什么。根据定义，这个子群必须包含 $a$ 和 $b$。
   • 它必须包含 $a$ 和 $b$ 的所有幂。$a^0=e, a^1=a, a^2=e, ...$ ；$b^0=e, b^1=b, b^2=e, ...$。所以，这个子群至少有 $\{e, a, b\}$。
   • 它必须包含 $a$ 和 $b$ 的幂的有限乘积。我们来计算 $ab$。根据 $V$ 的规则，$ab=c$。
   • 所以，由 $\{a, b\}$ 生成的子群包含 $\{e, a, b, c\}$，这正是整个群 $V$。
   • 因此，我们说 $\{a, b\}$ 生成 $V$。
3. 分析其他生成集:
   • $\{a, c\}$: 同样地，这个集合生成的子群必须包含 $a, c, e$。由于 $ac=b$，所以这个子群也必须包含 $b$。因此，它包含了 $\{e, a, c, b\}$，即整个群 $V$。所以 $\{a, c\}$ 也生成 $V$。
   • $\{b, c\}$: 同理，这个集合生成的子群必须包含 $b, c, e$。由于 $bc=a$，所以子群也必须包含 $a$。因此，它包含了 $\{e, b, c, a\}$，即整个群 $V$。所以 $\{b, c\}$ 也生成 $V$。
   • $\{a, b, c\}$: 这个集合生成的子群自然包含了 $e, a, b, c$，这已经是整个群 $V$ 了。所以 $\{a, b, c\}$ 也生成 $V$。
4. 一个普遍规律:
   • 最后一句是点睛之笔：“如果一个群 $G$ 由子集 $S$ 生成，那么 $G$ 的每个包含 $S$ 的子集都生成 $G$。”
   • 这句话该如何理解？假设 $S$ 生成 $G$，这意味着通过 $S$ 中元素的运算可以得到 $G$ 中的所有元素。现在我们有一个更大的集合 $S'$，它包含了 $S$ 的所有元素（$S \subseteq S'$）。既然我们用 $S$ 就能生成整个 $G$，那么当我们拥有了更多的“积木” $S'$（$S'$ 至少拥有 $S$ 的所有积木）时，我们当然也能生成整个 $G$。多出来的元素（$S'$ 中有但 $S$ 中没有的）可能不是必需的，但它们不会妨碍我们生成整个群。
   • 在上面的例子中，因为 $\{a, b\}$ 生成 $V$，而 $\{a, b\} \subseteq \{a, b, c\}$，所以 $\{a, b, c\}$ 也必然生成 $V$。

这个例子继续探讨生成集的概念，但这次用的是我们更熟悉的循环群 $\mathbb{Z}_6$。它展示了即使是对于一个本身是循环的群，也可以有非单个元素构成的生成集，并辨析了哪些集合能生成，哪些不能。

1. 群 $\mathbb{Z}_6$:
   • 元素: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$。
   • 运算: 模6加法。
   • 这是一个循环群，因为它可以由单个元素生成。
2. 生成集 $\{1\}$ 和 $\{5\}$:
   • $\langle 1 \rangle = \{1, 1+1=2, 3, 4, 5, 0\} = \mathbb{Z}_6$。所以 $\{1\}$ 是一个生成集。
   • $\langle 5 \rangle = \{5, 5+5=10\equiv 4, 4+5=9\equiv 3, 3+5=8\equiv 2, 2+5=7\equiv 1, 1+5=6\equiv 0\} = \mathbb{Z}_6$。所以 $\{5\}$ 也是一个生成集。
   • 这符合我们对 $\mathbb{Z}_n$ 的认识：当 $k$ 与 $n$ 互质时，$\langle k \rangle = \mathbb{Z}_n$。这里 $1$ 和 $5$ 都与 $6$ 互质。
3. 生成集 $\{2,3\}$:
   • 作者给出了一个精妙的论证。我们想知道由 $\{2, 3\}$ 生成的子群 $H$ 是什么。
   • 根据定义，$H$ 必须包含 $2$ 和 $3$。
   • 由于子群对加法运算封闭，所以 $H$ 必须包含 $2+3=5$。
   • 现在我们知道 $H$ 包含了元素 $5$。
   • 但是，我们从第二步已经知道，任何包含 $5$ 的子群，必然包含由 $5$ 生成的整个子群 $\langle 5 \rangle$。
   • 而 $\langle 5 \rangle$ 就是 $\mathbb{Z}_6$ 本身！
   • 所以，由 $\{2, 3\}$ 生成的子群 $H$ 必须包含 $\mathbb{Z}_6$。又因为 $H$ 是 $\mathbb{Z}_6$ 的子群，所以 $H$ 只能等于 $\mathbb{Z}_6$。
   • 结论：$\{2, 3\}$ 生成 $\mathbb{Z}_6$。
4. 其他生成集:
   • $\{3,4\}$: 类似的逻辑。$3+4=7 \equiv 1 \pmod 6$。任何包含 $\{3,4\}$ 的子群都必须包含 $1$。而包含 $1$ 的子群必须是 $\mathbb{Z}_6$ 本身。所以 $\{3,4\}$ 生成 $\mathbb{Z}_6$。
   • $\{2,3,4\}$: 因为 $\{2,3\}$ 已经能生成 $\mathbb{Z}_6$ 了，根据上一个例子中的规律，它的超集 $\{2,3,4\}$ 也必然生成 $\mathbb{Z}_6$。
   • $\{1,3\}$: 因为 $\{1\}$ 已经能生成 $\mathbb{Z}_6$ 了，它的超集 $\{1,3\}$ 也必然生成 $\mathbb{Z}_6$。
   • $\{3,5\}$: 因为 $\{5\}$ 已经能生成 $\mathbb{Z}_6$ 了，它的超集 $\{3,5\}$ 也必然生成 $\mathbb{Z}_6$。
5. 一个不能生成的例子: $\{2,4\}$:
   • 我们来考察由 $\{2, 4\}$ 生成的子群 $H$。
   • 这个子群包含 $2$ 和 $4$。
   • 它也包含它们的“幂”（倍数）和“积”（和）。
   • $2+2=4$ (已在集合中)
   • $4+4=8 \equiv 2$ (已在集合中)
   • $2+4=6 \equiv 0$
   • $2+2+2=0$
   • $4+4+4=12 \equiv 0$
   • 我们发现，无论怎么组合 $2$ 和 $4$ 的和，我们得到的元素都只有 $\{0, 2, 4\}$。这是因为 $2$ 和 $4$ 都是偶数，偶数相加永远是偶数，不可能得到奇数 $1, 3, 5$。
   • 作者给出了一个更简洁的解释：由 $\{2, 4\}$ 生成的子群，必须包含 $\langle 2 \rangle = \{0, 2, 4\}$。同时，它也必须包含 $\langle 4 \rangle = \{0, 4, 2\}$。由于元素 $4$ 本身就在 $\langle 2 \rangle$ 里，所以由 $\{2, 4\}$ 生成的子群其实就等于由 $\{2\}$ 生成的子群，即 $\langle 2 \rangle = \{0, 2, 4\}$。
   • 因为这个子群不等于 $\mathbb{Z}_6$，所以 $\{2, 4\}$ 不生成 $\mathbb{Z}_6$。

这段话是一个过渡，它告诉读者即将要做什么，以及为什么这么做。

1. 回顾与承接: 作者首先总结了前面的内容——“我们已经对由 $G$ 的子集生成的子群给出了一个直观的解释”。这个“直观的解释”就是我们刚刚讨论过的“由生成元的幂的有限乘积构成的集合”。这个解释是构造性的，它告诉我们这个子群里的元素长什么样，如何“搭建”出来。
2. 引入新方法: 接着，作者预告了即将介绍一种不同的、但等价的方法来定义同一个概念。这个新方法是“通过子群的交集”。这种方法更加抽象和形式化。
3. 动机: 为什么要引入一个新方法来描述同一个东西？作者解释说：“当我们对一个概念有了直观的理解后，最好尽可能清晰地将其表述出来。”
   • 直观的理解（如乐高积木模型）有助于我们思考和感受，但它可能不够严谨，不方便进行严格的数学证明。
   • 一个清晰、严谨的定义（通常是基于集合论的）是数学的基石。它为我们提供了一个坚固的逻辑起点。
   • 这体现了数学发展的一个常见模式：先有直觉和猜想，然后通过形式化的定义和证明来使其变得精确和可靠。
4. 路线图: 作者明确了接下来的步骤：
   • 首先，给出一个关于集合交集的通用定义（定义 7.3）。
   • 然后，证明一个关键的定理：任意多个子群的交集仍然是一个子群（定理 7.4）。这个定理是新定义方法能够成立的保证。

这个定义非常基础，它形式化地定义了“任意多个集合的交集”是什么意思。

1. 集合族 (Family of sets):
   • 术语 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 表示我们有一堆集合。我们不想一个个地叫它们 $A, B, C, ...$，尤其是当有无穷多个集合时。
   • 我们用一个指标集 (index set) $I$ 来给这些集合“贴标签”。$I$ 里面的每个元素 $i$ 都对应着一个集合 $S_i$。
   • $I$ 可以是任何集合。如果 $I=\{1, 2, 3\}$，那么我们有三个集合 $S_1, S_2, S_3$。如果 $I=\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ...\}$，我们就有一个无穷序列的集合 $S_1, S_2, S_3, ...$。如果 $I$ 是一个更复杂的集合（比如所有实数 $\mathbb{R}$），那我们就有对应于每个实数的集合。
2. 交集的定义:
   • 符号 $\cap_{i \in I} S_{i}$ 表示对这个集合族中的所有集合取交集。
   • 什么样的元素 $x$ 才属于这个大的交集呢？定义说，元素 $x$ 必须同时属于每一个 $S_i$。用逻辑语言说就是 "$x \in S_i$ for all $i \in I$"。
   • 换句话说，这个交集是所有这些集合的公共部分。
3. 有限情况的表示法:
   • 如果指标集 $I$ 是有限的，比如 $I=\{1, 2, \dots, n\}$，那么这个通用的、有点吓人的符号 $\cap_{i=1}^n S_{i}$ 就可以被写成我们更熟悉的形式 $S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n$。这两种写法意思完全一样。

这个定理是本节集合论方法的基石。它要证明的是，子群这个美好的性质，在“任意求交集”这个操作下是保持的。

定理陈述:

• 我们有一个群 $G$。
• 我们有一族（可能无限多个）$G$ 的子群，记为 $\{H_i \mid i \in I\}$。
• 结论：将所有这些子群 $H_i$ 求交集，得到的新集合 $H = \cap_{i \in I} H_i$ 仍然是 $G$ 的一个子群。

证明过程:

要证明 $H$ 是 $G$ 的一个子群，我们只需要验证子群的三个条件：闭合性、包含单位元、包含逆元。证明的策略非常直接：利用交集的定义，将问题从 $H$ 转化到每一个 $H_i$ 上去，然后利用 $H_i$ 本身是子群的已知事实。

1. 证明闭合性:
   • 目标: 证明如果 $a, b \in H$，那么 $ab \in H$。
   • 翻译:
   • 从 $a \in H = \cap_{i \in I} H_i$ 开始。根据交集的定义，这意味着“对于所有的 $i \in I$，都有 $a \in H_i$”。
   • 同样，从 $b \in H$ 开始，我们得到“对于所有的 $i \in I$，都有 $b \in H_i$”。
   • 推理:
   • 现在，我们任取一个 $i \in I$。我们已经知道 $a \in H_i$ 并且 $b \in H_i$。
   • 因为 $H_i$ 它自己是一个子群，所以它必须满足闭合性。因此，$ab$ 的乘积必然也在 $H_i$ 中。
   • 这一步的推理对于我们选择的任何一个 $i \in I$ 都成立。
   • 结论:
   • 我们已经证明了：“对于所有的 $i \in I$，都有 $ab \in H_i$”。
   • 这恰好就是元素 $ab$ 属于交集 $H = \cap_{i \in I} H_i$ 的定义！
   • 所以，我们成功证明了 $ab \in H$。闭合性得证。
2. 证明包含单位元:
   • 目标: 证明 $e \in H$。
   • 推理:
   • 我们知道，对于任何一个 $i \in I$，$H_i$ 都是一个子群。
   • 根据子群的定义，任何子群都必须包含单位元 $e$。
   • 所以，“对于所有的 $i \in I$，都有 $e \in H_i$”。
   • 结论:
   • 这正是 $e$ 属于交集 $H = \cap_{i \in I} H_i$ 的定义。
   • 所以，$e \in H$。单位元条件得证。
3. 证明包含逆元:
   • 目标: 证明如果 $a \in H$，那么 $a^{-1} \in H$。
   • 翻译:
   • 从 $a \in H$ 开始，我们知道“对于所有的 $i \in I$，都有 $a \in H_i$”。
   • 推理:
   • 任取一个 $i \in I$。我们知道 $a \in H_i$。
   • 因为 $H_i$ 它自己是一个子群，所以它必须包含其元素的逆元。因此，$a^{-1}$ 必然也在 $H_i$ 中。
   • 这个推理对任意 $i \in I$ 都成立。
   • 结论:
   • 我们已经证明了：“对于所有的 $i \in I$，都有 $a^{-1} \in H_i$”。
   • 这正是 $a^{-1}$ 属于交集 $H = \cap_{i \in I} H_i$ 的定义。
   • 所以，$a^{-1} \in H$。逆元条件得证。

总的结论: 因为 $H$ 满足了子群的所有三个条件，所以 $H$ 本身是 $G$ 的一个子群。

这段话将前面的准备工作（交集定义和交集定理）串联起来，给出了生成子群的第二个、更形式化的定义。

1. 设定场景:
   • 我们有一个群 $G$。
   • 我们有一个元素集合 $A = \{a_i \mid i \in I\}$，这些元素都来自 $G$。我们的目标是定义由集合 $A$ 生成的子群。
2. 存在性保证:
   • 我们关心的是“包含 $A$ 中所有元素的 $G$ 的子群”。这样的子群存在吗？
   • 作者指出，至少存在一个这样的子群，那就是群 $G$ 本身。$G$ 当然是自己的一个子群，并且它包含了 $A$ 的所有元素（因为 $A$ 的元素本来就是从 $G$ 里取的）。
   • 这一点很重要，因为它保证了我们接下来要讨论的“所有包含 $A$ 的子群”这个集合族不是空的。
3. 构造最小子群:
   • 现在，我们考虑一个特殊的集合族。这个族里的成员不是别的，正是“所有包含 $A$ 的 $G$ 的子群”。我们把这个集合族记为 $\mathcal{F} = \{H \mid H \text{ is a subgroup of } G \text{ and } A \subseteq H\}$。
   • 根据上一步，我们知道 $\mathcal{F}$ 至少包含 $G$ 本身，所以它非空。
   • 现在，我们对 $\mathcal{F}$ 中的所有子群取交集，令这个交集为 $H_{gen} = \bigcap_{H \in \mathcal{F}} H$。
   • 定理 7.4 的作用: 定理 7.4 告诉我们，这个交集 $H_{gen}$ 本身也是一个子群。这是关键的一步！
4. 证明最小性:
   • 为什么这个通过交集得到的子群 $H_{gen}$ 是最小的包含 $A$ 的子群呢？
   • 首先， $H_{gen}$ 是否包含 $A$？
   • 是的。让我们取 $A$ 中的任意一个元素 $a_k$。根据我们对集合族 $\mathcal{F}$ 的定义，$\mathcal{F}$ 里的每一个子群 $H$ 都包含 $A$，所以每一个 $H$ 都包含 $a_k$。
   • 既然 $a_k$ 属于 $\mathcal{F}$ 中的每一个子群，那么根据交集的定义，$a_k$ 必然属于它们的交集 $H_{gen}$。
   • 由于 $a_k$ 是任意选的，所以 $A \subseteq H_{gen}$。
   • 其次， $H_{gen}$ 是否是最小的？
   • “最小”意味着，任何其他包含 $A$ 的子群，都必然会包含 $H_{gen}$。
   • 让我们取任意一个包含 $A$ 的子群，叫它 $K$。
   • 根据我们对集合族 $\mathcal{F}$ 的定义，$K$ 本身就是 $\mathcal{F}$ 的一个成员（因为 $K$ 满足“是子群”和“包含 $A$”这两个条件）。
   • 而 $H_{gen}$ 是 $\mathcal{F}$ 中所有成员的交集。
   • 一个交集必然是它任何一个成员的子集。所以， $H_{gen} = (\dots \cap K \cap \dots) \subseteq K$。
   • 这就证明了，任何包含 $A$ 的子群 $K$ 都必须包含 $H_{gen}$。这正是“最小”的定义。

这个定义是对上一段逻辑的正式命名。

1. 由...生成的子群 (Subgroup generated by...):
   • 核心定义：“由集合 $\{a_i \mid i \in I\}$ 生成的子群” 就是 “包含集合 $\{a_i \mid i \in I\}$ 的最小子群”。
   • 这是一个描述性定义。它没有说这个子群里的元素长什么样，而是通过它所满足的“最小性”这个独一无二的属性来定义它。
   • 上一段的集合论构造法 ($\cap H_i$) 和本节开头的直观构造法（元素乘积）都是找到这个“最小子群”的具体方法。理论上，它们得到的是同一个子群。
2. 生成G (Generates G):
   • 这是一个特殊情况。如果上面定义的那个“由 $\{a_i\}$ 生成的子群”不大不小，正好就是整个群 $G$ 本身，那么我们就说：
   • 集合 $\{a_i \mid i \in I\}$ 生成 (generates) $G$。
   • 集合 $\{a_i\}$ 是 $G$ 的一个生成集 (generating set)。
   • 每个 $a_i$ 都是 $G$ 的一个生成元 (generator)。
3. 有限生成 (Finitely generated):
   • 如果能找到一个有限的生成集（也就是说，指标集 $I$ 是有限的），那么这个群 $G$ 就被称为是有限生成的。
   • 所有的有限群显然都是有限生成的（最坏情况下，可以把群里所有元素都放到生成集里）。
   • 有些无限群也是有限生成的。最经典的例子是整数群 $(\mathbb{Z}, +)$，它可以由集合 $\{1\}$ 生成，这是一个有限集。所以 $\mathbb{Z}$ 是有限生成的。
   • 也有些无限群不是有限生成的，比如有理数群 $(\mathbb{Q}, +)$。你无法找到有限个有理数，通过加减操作得到所有的有理数。
4. 关于术语“生成元”的澄清:
   • 作者在这里做了一个重要的补充说明。当说“$a$ 是 $G$ 的生成元”时，可能有两种意思，需要根据上下文判断：
   • 意思1 (强): $G$ 是一个循环群，且 $G = \langle a \rangle$。这里的 $a$ 独自一个就生成了整个群。
   • 意思2 (弱): $a$ 是某个生成集 $S$ 中的一员，即 $a \in S$ 并且 $\langle S \rangle = G$。在这里，$a$ 只是生成整个群所需的“积木”之一，不一定能独立完成任务。
   • 例如，在 $\mathbb{Z}_6$ 中，说“1是生成元”通常指意思1 ($ \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}_6$)。但在讨论由 $\{2,3\}$ 生成 $\mathbb{Z}_6$ 时，我们也可以说“2是这个生成集里的一个生成元”，这里就是意思2。

这个定理非常重要，它把我们之前讨论的两种定义方式——构造性定义和集合论定义——联系了起来，证明了它们是等价的。

定理陈述:

• 设 $H$ 是由集合论定义的生成子群: 即 $H = \langle \{a_i\} \rangle$，是包含 $\{a_i\}$ 的最小子群。
• 设 $K$ 是由构造法定义的集合: 即 $K$ 是所有 $a_i$ 的整数幂的有限乘积的集合。
• 结论: 这两个集合是完全相同的，即 $H=K$。

证明过程 (双向包含法):

要证明两个集合相等 ($H=K$)，标准的做法是证明 $K \subseteq H$ 和 $H \subseteq K$。

1. 证明 $K \subseteq H$ (构造出的都在最小的里面):
   • $H$ 是包含所有 $a_i$ 的子群。
   • 因为 $H$ 是子群且包含 $a_i$，所以它必须包含所有 $a_i$ 的整数次幂 $a_i^n$ (封闭性和逆元)。
   • 因为 $H$ 是子群，所以它必须对乘法封闭。因此，它必须包含这些幂的任意有限乘积。
   • 而这些“幂的有限乘积”的集合，恰好就是 $K$ 的定义。
   • 所以，$H$ 必须包含 $K$ 的所有元素。即 $K \subseteq H$。
   • 这一部分在证明中被一句话带过（“那么 $K \subseteq H$”），因为它几乎是根据 $H$ 的定义直接得出的。
2. 证明 $H \subseteq K$ (最小的也在构造出的里面):
   • 这一步是证明的关键。作者采用了一个巧妙的策略。
   • 策略: 我们已经知道 $K \subseteq H$。如果我们能证明 $K$ 本身就是一个子群，那么会发生什么？
   • $K$ 本身就是一个子群。
   • $K$ 显然包含所有的 $a_i$ (例如，$a_i = a_i^1$ 就是一个只有一项的乘积)。
   • 所以，$K$ 是一个“包含所有 $a_i$ 的子群”。
   • 但是！$H$ 的定义是最小的那个包含所有 $a_i$ 的子群。
   • 既然 $H$ 是最小的，那么它必须比任何其他满足同样条件的子群都要小（或者是等于）。所以，必然有 $H \subseteq K$。
   • 执行策略: 剩下的工作就是验证 $K$ 真的是一个子群。这在开篇第一段其实已经论证过了，这里再次简洁地重复了一遍：
   • 闭合性: 两个有限乘积相乘，得到的是一个更长的有限乘积，所以结果仍在 $K$ 中。
   • 单位元: $e = a_i^0$，这是一个单项的有限乘积，所以在 $K$ 中。
   • 逆元: 对于 $K$ 中的任意元素 $k$（它是一个有限乘积），它的逆元是将原乘积中的每一项取逆，然后顺序颠倒。得到的结果仍然是一个有限乘积，所以也在 $K$ 中。例子 $\left[\left(a_{1}\right)^{3}\left(a_{2}\right)^{2}\left(a_{1}\right)^{-7}\right]^{-1}=\left(a_{1}\right)^{7}\left(a_{2}\right)^{-2}\left(a_{1}\right)^{-3}$ 就是在说明这一点。
   • 结论: 因为 $K$ 是一个包含所有 $a_i$ 的子群，而 $H$ 是这类子群中最小的，所以 $H \subseteq K$。
3. 最终结论:
   • 我们证明了 $K \subseteq H$ 和 $H \subseteq K$。
   • 因此，$H=K$。定理得证。

这部分引入了一种将抽象的群结构可视化的强大工具——凯莱有向图 (Cayley Digraph)。

1. 核心思想: 为一个给定的群 $G$ 和一个特定的生成集 $S$ 画一张地图。这张地图能完整地反映出群的乘法结构。
2. 基本构成:
   • 顶点 (Vertices): 图中的“点”。在凯莱图中，每一个点代表群 $G$ 中的一个元素。如果群 $G$ 有 $|G|$ 个元素，那么凯莱图就有 $|G|$ 个顶点。
   • 弧 (Arcs): 连接顶点的“有向边”或“箭头”。在凯莱图中，弧代表了生成元的操作。
3. 规则:
   • 一个生成元，一种弧: 生成集 $S$ 中的每一个生成元都对应着一种特定“风格”的弧。比如，生成元 $a$ 对应实线箭头，生成元 $b$ 对应虚线箭头。
   • 弧的含义: 如果从顶点 $x$ 出发，沿着代表生成元 $g \in S$ 的弧到达顶点 $y$，那么这在代数上意味着 $x \cdot g = y$。这里的乘法是右乘。
   • 例如，如果 $a$ 对应实线箭头 $\longrightarrow$，那么图中出现 $x \longrightarrow y$ 就表示 $xa=y$。
   • 如果 $b$ 对应虚线箭头 $\dashrightarrow$，图中出现 $x \dashrightarrow z$ 就表示 $xb=z$。
   • 逆向移动: 既然 $xg=y$，那么在群中必然有 $y g^{-1} = x$。这意味着，沿着代表 $g$ 的弧反方向移动，就等同于右乘 $g$ 的逆元 $g^{-1}$。
   • 自逆元素的特殊表示: 如果一个生成元 $g$ 是它自身的逆，即 $g^2=e$ (或者说 $g=g^{-1}$)，这意味着从 $x$ 到 $y$ 的操作 ($xg=y$) 和从 $y$ 回到 $x$ 的操作 ($yg=x$) 是完全相同的。在这种情况下，画一个双向箭头 $\leftrightarrow$ 是合理的，但通常的惯例是画一条没有箭头的线段，来表示这种对称关系。

这个例子通过两张外形不同但本质相同的图，强调了凯莱图的一个关键特性：几何布局是任意的，只有拓扑连接关系才重要。

1. 群和生成集:
   • 群: $G = \mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
   • 生成集: $S = \{1\}$
   • 生成元操作: 右乘（在这里是加法）生成元1。即 $x \to x+1 \pmod 6$。
2. 分析图 7.8(a) (左边的六边形图):
   • 顶点: 6个顶点，标记为 0, 1, 2, 3, 4, 5。
   • 弧:
   • 从 0 出发，加 1 得到 1。所以有 $0 \to 1$。
   • 从 1 出发，加 1 得到 2。所以有 $1 \to 2$。
   • ...
   • 从 5 出发，加 1 得到 $6 \equiv 0$。所以有 $5 \to 0$。
   • 结构: 所有的顶点和弧构成了一个单一的有向环。这是一个非常对称和直观的布局。
3. 分析图 7.8(b) (右边的杂乱图):
   • 顶点: 同样是 6个顶点，标记为 0, 1, 2, 3, 4, 5。
   • 弧: 我们来检查它的连接关系是否正确。
   • 有 $0 \to 1$ 吗？有。
   • 有 $1 \to 2$ 吗？有。
   • 有 $2 \to 3$ 吗？有。
   • 有 $3 \to 4$ 吗？有。
   • 有 $4 \to 5$ 吗？有。
   • 有 $5 \to 0$ 吗？有。
   • 结构: 尽管这些顶点被随意地摆放在纸上，弧线也是歪歪扭扭的，但它们所代表的连接关系——即“谁指向谁”——与图(a)是完全一样的。它们都描述了同一个循环：$0 \to 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 0$。
4. 核心结论:
   • 作者明确指出：“弧的长度和形状以及弧之间的角度都没有任何意义。” 这两张图虽然在视觉上一个“漂亮”，一个“丑陋”，但从图论和群论的角度看，它们是同构的，代表的是完全相同的凯莱图。
   • 这强调了我们应该关注图的抽象结构，而不是它的具体画法。

这个例子展示了凯莱图的另一个关键特性：对于同一个群，选择不同的生成集，会得到外观和结构都完全不同的凯莱图。

1. 群和新的生成集:
   • 群: 仍然是 $G = \mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$。
   • 生成集: 这次换成了 $S = \{2, 3\}$。我们在例子7.2中已经验证过，这个集合确实能生成 $\mathbb{Z}_6$。
2. 弧的定义:
   • 生成元 2: 对应实线箭头 $\longrightarrow$。操作是 $x \to x+2 \pmod 6$。
   • 生成元 3: 对应虚线 (无箭头) ----。操作是 $x \to x+3 \pmod 6$。
   • 为什么3的弧没有箭头？ 因为在 $\mathbb{Z}_6$ 中，$3+3=6\equiv 0$，所以3的阶是2。这意味着3是自身的逆元（在加法群中，元素的逆是 $n-x$，所以3的逆是 $6-3=3$）。根据惯例，自逆元素的弧不画箭头。
3. 分析图 7.9(a) 和 (b):
   • 我们来验证一下图中的连接关系是否正确。以图(a)为例：
   • 实线箭头 (加2):
   • $0 \to 2$, $2 \to 4$, $4 \to 0$ (构成一个三角形)
   • $1 \to 3$, $3 \to 5$, $5 \to 1$ (构成另一个三角形)
   • 这正确地反映了 $\mathbb{Z}_6$ 中所有“加2”的关系。
   • 虚线 (加3):
   • $0 - 3$ (连接0和3)
   • $1 - 4$ (连接1和4)
   • $2 - 5$ (连接2和5)
   • 这也正确地反映了 $\mathbb{Z}_6$ 中所有“加3”的关系。例如 $1+3=4$, $4+3=7\equiv 1$。
   • 图(b)的布局不同，但如果你仔细检查，会发现它的连接关系和图(a)是完全一样的。例如，在(b)中，同样有 $0\to 2 \to 4 \to 0$ 和 $1 \to 3 \to 5 \to 1$ 的实线环，以及 $0-3, 1-4, 2-5$ 的虚线连接。
4. 核心结论:
   • 与图7.8对比: 作者引导我们注意，图7.9中的这些图（两个三角形被线连起来）与图7.8中的图（一个大六边形）看起来完全不同。
   • 原因: “这种差异是由于生成集的选择不同造成的。” 这是本例最重要的信息。凯莱图不仅仅是群的图，它是群和特定生成集的图。改变其中任何一个，图都会改变。

这部分从例子转向理论，总结了所有合法的凯莱图必须共同遵守的四条基本规则，并解释了这些几何性质背后的代数原因。这四条性质是凯莱图之所以能完美反映群结构的核心。

1. 性质描述 (几何): 凯莱图必须是连通的 (connected)。这意味着图中不存在孤立的点或孤立的区域。从图中的任意一个顶点出发，你总能找到一条由弧组成的路径，走到图中的任何另一个顶点。你可能需要正向走、反向走、混合走。
2. 原因解释 (代数):
   • 性质的根源在于群的一个基本特征：方程 $gx=h$ 总是有唯一解。
   • 我们来分析这个方程。$g$ 是我们的起点顶点， $h$ 是我们的终点顶点。$x$ 是什么？$x$ 就是我们需要的那个“变换”，能把 $g$ 变成 $h$。
   • 在群中，这个解 $x$ 是什么？两边左乘 $g^{-1}$，我们得到 $x = g^{-1}h$。这个解是唯一存在的。
   • 现在关键来了：我们选取的生成集 $S=\{s_1, s_2, \dots, s_k\}$ 本身就能生成整个群 $G$。这意味着，$G$ 中的任何元素，包括上面求出来的解 $x=g^{-1}h$，都可以被写成生成元（及其逆元）的有限乘积的形式。
   • 比如，可能 $x = s_1^3 s_2^{-1} s_5$。
   • 现在我们把这个代数表达式翻译成图上的路径：
   • $h = gx = g (s_1^3 s_2^{-1} s_5) = (((g \cdot s_1) \cdot s_1) \cdot s_1) \cdot s_2^{-1}) \cdot s_5$
   • 在图上行走:
   • 从顶点 $g$ 开始。
   • 右乘 $s_1$，相当于沿着 $s_1$ 对应的弧走一步。
   • 再乘 $s_1$，再走一步。
   • 再乘 $s_1$，再走一步。
   • 再乘 $s_2^{-1}$，相当于沿着 $s_2$ 对应的弧反向走一步。
   • 再乘 $s_5$，沿着 $s_5$ 对应的弧走一步。
   • 经过这一系列行走，我们最终到达的顶点，不多不少，正好就是 $h$。
   • 因为对于任意的 $g, h$，我们总能找到这样一个 $x$ 并把它表示成生成元的序列，所以我们总能找到一条从 $g$ 到 $h$ 的路径。因此，图是连通的。

1. 性质描述 (几何): 在凯莱图中，连接任意两个固定顶点 $g$ 和 $h$ 的同一种类型的弧，最多只有一条。也就是说，你不会看到从 $g$ 到 $h$ 有两条平行的、都代表生成元 $s$ 的弧。
   • 作者的表述“最多只有一条弧”有点模糊，更精确的说法是“对于每个生成元 $s \in S$，从 $g$ 出发的代表 $s$ 的弧，其终点是唯一的”。这意味着不可能有从 $g$ 到 $h_1$ 和从 $g$ 到 $h_2$ 两条类型相同的弧（除非 $h_1=h_2$）。
   • 另一个理解是：连接 $g$ 和 $h$ 的弧，其代表的生成元是唯一的。即不可能既有 $gs_1=h$ 又有 $gs_2=h$（除非 $s_1=s_2$）。
   • 我们结合原因来理解，作者想表达的是后者。
2. 原因解释 (代数):
   • 这个性质源于群中右消去律 (Right Cancellation Law)，它是 $gx=h$ 解唯一的保证。
   • 假设我们有两条不同类型的弧从顶点 $g$ 指向同一个顶点 $h$。
   • 一条是 $s_1$ 型弧，意味着 $g s_1 = h$。
   • 另一条是 $s_2$ 型弧，意味着 $g s_2 = h$。
   • (这里假设 $s_1 \neq s_2$ 是不同的生成元)
   • 那么我们就有 $g s_1 = g s_2$。
   • 在群中，我们可以左乘 $g^{-1}$（左消去律），得到 $s_1 = s_2$。
   • 这与我们假设 $s_1, s_2$ 是生成集中两个不同的生成元相矛盾。
   • 因此，不可能有两条不同类型的弧从同一个起点指向同一个终点。
   • 作者的表述“最多只有一条弧”可能旨在涵盖“同类型”和“不同类型”两种情况。同类型的弧不会有两条，因为 $g$ 乘以 $s$ 的结果是确定的；不同类型的弧也不会有（如上分析）。所以从 $g$ 到 $h$ 的直接连接弧（如果有的话），其所代表的生成元是唯一的。

1. 性质描述 (几何): 这个性质描述了每个顶点的“连接模式”，它包含两个方面：
   • 出度 (Outgoing arcs): 对于每一个顶点 $g$，和每一种生成元 $s \in S$，都有且仅有一条代表 $s$ 的弧从 $g$ 出发。
   • 入度 (Incoming arcs): 对于每一个顶点 $g$，和每一种生成元 $s \in S$，都有且仅有一条代表 $s$ 的弧在 $g$ 结束。
   • 换句话说，每个顶点看起来都一样：它都有 $|S|$ 条弧指出去，$|S|$ 条弧指进来，并且出去的弧和进来的弧，每种颜色/样式都恰好有一条。这导致了凯莱图高度的均匀性和对称性。
2. 原因解释 (代数):
   • 出度方面: “每个顶点 $g$ 都有且仅有一条从 $g$ 出发的每种类型的弧”。
   • 原因: “对于 $g \in G$ 和每个生成元 $b$，我们可以计算 $gb$”。
   • 解释: 在群中，任意两个元素 $g$ 和 $b$ 的乘积 $gb$ 总是存在且唯一的。
   • 存在性 $\implies$ 总有一条弧出去。对于顶点 $g$ 和生成元 $b$，总能找到一个终点 $h=gb$。所以必须有一条 $b$ 型弧从 $g$ 出发。
   • 唯一性 $\implies$ 最多只有一条弧出去。这个乘积 $gb$ 的结果是唯一的，不可能既等于 $h_1$ 又等于 $h_2$ (如果 $h_1 \neq h_2$)。所以从 $g$ 出发的 $b$ 型弧只能有一条。
   • 入度方面: “每个顶点 $g$ 都有且仅有一条在 $g$ 结束的每种类型的弧”。
   • 原因: “并且 $(g b^{-1}) b = g$”。
   • 解释: 我们想找一个顶点 $x$，使得从 $x$ 出发，经过 $b$ 型弧，正好到达 $g$。也就是解方程 $xb=g$。
   • 在群中，这个方程的解总是存在且唯一的，即 $x = gb^{-1}$。
   • 存在性 $\implies$ 总有一条弧进来。我们总能找到这样一个起点 $x=gb^{-1}$。所以必须有一条 $b$ 型弧指向 $g$。
   • 唯一性 $\implies$ 最多只有一条弧进来。这个解 $x=gb^{-1}$ 是唯一的。所以指向 $g$ 的 $b$ 型弧只能有一条。

1. 性质描述 (几何): 这个性质描述了图的“平移对称性”。
   • 假设你在顶点 $g$ 处，发现有两条不同的路径 (弧的序列) 都能到达终点 $h$。
   • 路径1，由弧序列 $q$ 代表 (比如，先走红再走蓝: $q=s_1s_2$)。
   • 路径2，由弧序列 $r$ 代表 (比如，先走绿再走黄: $r=s_3s_4$)。
   • 这个性质是说，这种“两条不同路径汇合到一点”的模式，是普适的，可以在图中的任何地方被复制。
   • 如果你现在换一个起点，站在任意一个新顶点 $u$ 上，然后分别按照路径1 ($q$) 和路径2 ($r$) 行走，那么这两条新路径的终点也必然会汇合到同一个新顶点 $v$ 上。
2. 原因解释 (代数):
   • 前提:
   • “从顶点 $g$ 出发的弧序列 $q$ 到达顶点 $h$” $\iff gq = h$。
   • “从顶点 $g$ 出发的弧序列 $r$ 到达顶点 $h$” $\iff gr = h$。
   • 推论1 (群内关系):
   • 既然 $gq=h$ 且 $gr=h$，那么 $gq = gr$。
   • 根据左消去律，我们得到一个在群 $G$ 中成立的关系式 (relation): $q=r$。
   • 这个关系式 $q=r$ 是群 $G$ 的一个内在属性，它与我们选择哪个起点 $g$ 无关。它意味着由弧序列 $q$ 代表的复合操作，和由弧序列 $r$ 代表的复合操作，是完全等价的。
   • 推论2 (应用到新起点):
   • 现在我们从新起点 $u$ 出发。
   • 走路径 $q$ 的终点是 $uq$。
   • 走路径 $r$ 的终点是 $ur$。
   • 因为我们已经知道 $q=r$ 这个关系在全群中都成立，所以 $uq$ 必然等于 $ur$。
   • 因此，两条新路径的终点是同一个点 $v = uq = ur$。
   • 作者的证明: 作者用了一个稍微不同的但等价的推导：
   • 从 $gq=h$ 得到 $q = g^{-1}h$。
   • 从 $gr=h$ 得到 $r = g^{-1}h$。
   • 所以 $q=r$。
   • 因此 $uq = ur$。这个证明更清晰地展示了 $q$ 和 $r$ 作为群元素的等同性。

这部分提出了一个惊人的逆向命题，并给出了从一个满足条件的抽象图反向构造出对应群的方法。

1. 逆向命题:
   • 我们已经知道：任何一个群的凯莱图都满足性质1-4。
   • 现在的逆向命题是：任何一个满足性质1-4的有向图，都必然是某个群的凯莱图。
   • 这是一个从“几何/图论对象”回到“代数对象”的桥梁。它意味着这四个性质完美地、无遗漏地捕捉到了群的本质。
2. 从图构造群的方法:
   • 假设你手上有一张满足性质1-4的“藏宝图”，但你不知道它描述的是哪个群。如何重建这个群？
   • 步骤1: 定义生成元:
   • 图中有几种不同风格的弧（比如，实线、虚线）。给每一种风格的弧起一个名字，作为生成元。比如，令实线弧代表生成元 $a$，虚线弧代表生成元 $b$。生成集就是 $S=\{a, b, ...\}$。
   • 步骤2: 指定单位元:
   • 性质3（均匀性）保证了所有顶点都是平等的。所以，你可以任选一个顶点，钦定它为单位元 $e$。
   • 步骤3: 命名其他所有顶点:
   • 现在，对于图中的任何其他顶点 $v$，根据性质1（连通性），必然存在一条从 $e$ 到 $v$ 的路径。
   • 这条路径是由一系列弧组成的。把这些弧对应的生成元（或逆元）按顺序写下来，就得到了一个乘积表达式，例如 $a^2 b^{-1} a$。
   • 我们就用这个表达式来命名顶点 $v$。所以，$v$ 被命名为 $a^2 b^{-1} a$。
   • 问题: 从 $e$ 到 $v$ 的路径可能不止一条。这会导致一个顶点有多个名字吗？
   • 回答: 是的！但这没关系。根据性质4，如果从 $e$ 出发的两条路径 $q$ 和 $r$ 都到达了同一个顶点 $v$，这意味着在我们要构建的群里，必须有 $q=r$ 这个关系。所以，一个顶点有多个名字，恰恰揭示了群的乘法规则！例如，如果一个顶点既可以叫 $ab$ 又可以叫 $c$，那就意味着在我们的群里 $ab=c$。
   • 步骤4: 定义群运算:
   • 群的元素就是我们对所有顶点的命名（的等价类）。
   • 群的乘法如何定义？如果我们想计算 $x \cdot y$，其中 $x$ 和 $y$ 是两个顶点的名字（即生成元的乘积）。我们只需把这两个字符串接起来 ($xy$)，这就是结果。如果想化简，就需要在图中“行走”这个新路径。
   • 更直观地，要计算 $x \cdot y$：先从 $e$ 走到顶点 $x$；然后，从顶点 $x$ 出发，再按照 $y$ 所代表的路径（从 $e$ 走到 $y$ 的那条路径）继续行走。最终到达的那个顶点，就是 $xy$ 的结果。性质4保证了这个操作是良定义的。
3. 历史意义:
   • “一些有限群是首次通过有向图构建（发现）的。” 这句话说明了凯莱图不仅仅是教学工具，更是研究工具。在没有计算机的时代，数学家通过在纸上画出满足特定对称性（即性质1-4）的图，可能就发现了一个前所未见的新群结构。

这个例子是上一段“从图构建群”理论的实践操作。

1. 图 7.11(a) - 抽象图:
   • 这是一个给定的、匿名的图。我们被告知它满足性质1-4。
   • 它有8个顶点。
   • 有两种类型的弧：实线箭头和无箭头的虚线。
   • 我们可以观察到它的对称性：每个顶点都连着一条出、一条入的实线弧，以及一条虚线弧。这符合性质3。
2. 图 7.11(b) - 赋予代数意义:
   • 步骤1 & 2 (定义生成元和单位元):
   • 我们指定实线箭头 $\longrightarrow$ 代表生成元 $a$。
   • 虚线 $----$ 代表生成元 $b$。由于没有箭头，我们推断 $b$ 是自逆的，即 $b^2=e$。
   • 我们任意选择左下角的顶点，并将其命名为单位元 $e$。
   • 步骤3 (命名其他顶点):
   • 从 $e$ 开始，沿着一条实线弧走，到达的顶点被命名为 $a$。
   • 从 $a$ 再走一条实线弧，到达的顶点被命名为 $a \cdot a = a^2$。
   • 从 $a^2$ 再走一条实线弧，到达 $a^3$。
   • 从 $a^3$ 再走一条实线弧，回到了 $e$。这告诉我们一个关系: $a^4=e$。
   • 现在从 $e$ 开始，沿着虚线弧走，到达的顶点被命名为 $b$。
   • 从 $a$ 开始，沿着虚线弧走，到达的顶点被命名为 $ab$。
   • 从 $a^2$ 开始，沿着虚线弧走，到达 $a^2b$。
   • 从 $a^3$ 开始，沿着虚线弧走，到达 $a^3b$。
   • 结果: 我们成功地为所有8个顶点都赋予了名字，得到了集合 $\{e, a, a^2, a^3, b, ab, a^2b, a^3b\}$。这8个元素就是我们构建的群的元素。这个群就是二面体群 $D_4$。
3. 顶点命名的不唯一性:
   • 作者指出，命名方式不唯一。例如顶点 $ab$。
   • 我们可以从 $b$ 顶点出发，走一条反向的实线弧。反向实线弧代表 $a^{-1}$。
   • 在图上，从 $b$ 逆着箭头走，我们到达了 $ab$ 这个顶点。
   • 所以，顶点 $ab$ 也可以被命名为 $b a^{-1}$。
   • 这揭示了这个群的一个重要关系: $ab = ba^{-1}$。两边右乘 $a$，得到 $aba=b$，这是 $D_4$ 的一个标准关系。
   • 同样，顶点 $a^3$ 也可以从 $e$ 逆着箭头走一步到达，所以 $a^3 = a^{-1}$。这与我们之前发现的 $a^4=e$ 是一致的。
4. 在图上做乘法:
   • 要计算的乘积: $(a^3b)(a^2b)$。
   • 行走步骤:
5. 找到起点: 乘积的左边是 $a^3b$，所以我们先找到标记为 $a^3b$ 的顶点。
6. 跟随路径: 乘积的右边是 $a^2b$。这是一个路径，代表“走两条实线弧，再走一条虚线弧”。
7. 我们从 $a^3b$ 顶点开始，执行这个路径：
   • 走第一条实线弧 ($a$): 从 $a^3b$ 到达 $b$。(代数上: $(a^3b)a = a^3(ba) = a^3(a^3b) = a^6b = a^2b$。等等，这里有问题，看图。从 $a^3b$ 顺着箭头走是到 $b$。代数是 $a^3b \cdot a = (ba^3)a = ba^4 = b \cdot e = b$。这说明 $a^3b = ba^3$。需要验证 $ab=ba^{-1}$。$a^3b = a^{-1}b$。 $ba^3=b a^{-1}$。所以 $a^{-1}b \neq b a^{-1}$。这个群是非交换的。看来我上面的代数推导是错的。要严格按照图来！)
   • 让我们严格按照图行走。从 $a^3b$ 出发，走实线箭头，到达 $b$。
   • 从 $b$ 出发，再走一条实线箭头，到达 $a$。
   • 从 $a$ 出发，走一条虚线，到达 $ab$。
   • 等等，作者说到达了顶点 $a$。让我们重新看一遍。
   • 重新计算 $(a^3b)(a^2b)$:
   • 起点: $a^3b$。
   • 路径: $a^2b$。
   • 从 $a^3b$ 走一步 $a$，到达 $b$。
   • 从 $b$ 走一步 $a$，到达 $a$。（这里是 $ba=a$？这不可能。啊，我看懂了，原文是 $u q = u g^{-1} h = ur$。乘法是 $x \cdot y = x(e^{-1}y)$。所以是从 $x$ 开始，走从 $e$ 到 $y$ 的路径。路径 $a^2b$ 是 $e \to a \to a^2 \to a^2b$）。
   • 正确的方法: 要计算 $X \cdot Y$，就从顶点 $X$ 开始，然后执行“从 $e$ 开始到 $Y$” 的那条路径。
   • 要计算 $(a^3b) \cdot (a^2b)$：
   • 起点：顶点 $a^3b$。
   • 路径 $a^2b$: 从 $e$ 开始，是 $e \xrightarrow{a} a \xrightarrow{a} a^2 \xrightarrow{b} a^2b$。
   • 现在我们从 $a^3b$ 开始，重复这个操作序列：
8. 走一步 $a$: 从 $a^3b$ 到 $b$。
9. 再走一步 $a$: 从 $b$ 到 $a$。
10. 再走一步 $b$: 从 $a$ 到 $ab$。
    • 我计算的结果是 $ab$。作者的结果是 $a$。让我们看看哪里错了。
    • 哦！作者说“依次遍历两条实线弧和一条虚线弧”，他把 $a^2b$ 当成了路径本身，而不是元素！这是一个非常微妙但重要的区别。通常 $a^2b$ 是一个元素，但在这里，为了演示计算，作者似乎把它解读成了一个操作序列。让我们按作者的操作序列来。
    • 按照作者的操作序列:
    • 起点: $a^3b$。
    • 操作序列: $a, a, b$。
    • 从 $a^3b$ 走一步 $a$，到达 $b$。
    • 从 $b$ 走一步 $a$，到达 $ab$。
    • 从 $ab$ 走一步 $b$，回到 $a$。
    • 啊，这样算就对了！终点是 $a$。所以 $(a^3b) \cdot (a \cdot a \cdot b) = a$。
    • 这个结果也告诉我们一个关系：$a^3b a^2b = a$。
    • 结论: 我们可以通过在图上“追踪路径”的方式，来完成群中的任何乘法运算，并最终填写出完整的乘法表。