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这段话引入了一个在抽象代数中非常重要的群，名为四元数群，记作$Q_8$。

1. “群”是什么？ 在数学中，群 (Group) 是一个基础的代数结构。它由一个集合和在这个集合上定义的一种运算（比如加法或乘法）组成。这个集合和运算必须满足四个基本条件（我们称之为群公理）：封闭性、结合律、存在单位元、以及每个元素都有逆元。我们稍后会逐一验证 $Q_8$ 是否满足这些条件。
2. “四元数群 $Q_8$”：这个名字告诉我们两件事。首先，“四元数”这个词源于一种比复数更复杂的数系，由威廉·哈密顿在1843年发现。$Q_8$ 群的元素和运算规则正是从四元数的核心部分抽象出来的。其次，下标“8”表示这个群里有8个元素，我们称之为群的阶 (Order)。
3. “定义为”：这句话表明接下来要给出这个群的精确、无歧义的数学描述。
4. $Q_{8}=\{1,-1, i,-i, j,-j, k,-k\}$：这是对 $Q_8$ 这个集合内容的明确陈述。它使用集合的标准表示法，即花括号 {} 把所有元素都列出来。这8个元素分别是：
   • $1$：可以看作是实数中的1。
   • $-1$：可以看作是实数中的-1。
   • $i, -i$：类似于复数中的虚数单位 $i$ 和它的相反数。
   • $j, -j, k, -k$：这是四元数特有的“虚数单位”。它们是 $i$ 的“兄弟”，与 $i$ 一样，它们的平方也是-1，但它们之间有着独特的相互关系。

这部分定义了 $Q_8$ 群的二元运算，即“乘法”。这个乘法是定义这些抽象符号之间如何相互作用的关键。让我们逐条分析这些规则。

1. $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$, for all $a \in Q_{8}$:
   • 这条规则说明元素 $1$ 是单位元 (Identity Element)。任何元素乘以 $1$（无论从左乘还是从右乘），结果都等于那个元素本身，就像实数乘法中的 $1$ 一样。这是群公理之一。
   • for all a ∈ Q_8 的意思是“对于 $Q_8$ 集合中的任何一个元素 $a$”。
2. $(-1) \cdot (-1) = 1$:
   • 元素 $-1$ 乘以自身得到单位元 $1$。这表明 $-1$ 的逆元是它自己。
3. $(-1) \cdot a = a \cdot (-1) = -a$, for all $a \in Q_{8}$:
   • 这条规则描述了 $-1$ 的行为。它乘以任何元素 $a$，效果就是得到 $a$ 的“相反”元素 $-a$。例如，如果 $a=i$，那么 $(-1) \cdot i = -i$。如果 $a=-j$，那么 $(-1) \cdot (-j) = j$。
   • 一个非常重要的推论是，$-1$ 与任何元素都交换位置，即 $(-1)a = a(-1)$。在群论中，能与所有元素交换的元素被称为群的中心 (Center) 的一部分。
4. $i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = -1$:
   • 这是四元数的核心关系！它告诉我们三个“虚数单位”$i, j, k$ 的平方都是 $-1$。这再次让人联想到复数 $i^2 = -1$，但这里有三个这样的元素。
5. $i \cdot j = k, \quad j \cdot i = -k$:
   • 这是最关键的一组规则，它揭示了 $Q_8$ 的非阿贝尔性（即非交换性）。
   • $i$ 乘以 $j$ 得到 $k$。
   • 但是，$j$ 乘以 $i$（交换了顺序）得到的是 $-k$。
   • 因为 $k \neq -k$，所以 $i \cdot j \neq j \cdot i$。这就证明了 $Q_8$ 的乘法不满足交换律，所以它是一个非阿贝尔群 (Non-Abelian Group)。
6. $j \cdot k = i, \quad k \cdot j = -i$ 和 $k \cdot i = j, \quad i \cdot k = -j$:
   • 这两组规则与上一条类似，展现了 $i, j, k$ 之间的一种“轮换”关系。
   • $j$ 乘 $k$ 得到 $i$，反过来 $k$ 乘 $j$ 得到 $-i$。
   • $k$ 乘 $i$ 得到 $j$，反过来 $i$ 乘 $k$ 得到 $-j$。
7. “像往常一样，我们今后将 $a \cdot b$ 写成 $ab$”:
   • 这是一个符号简化的说明。为了书写方便，我们将省略乘法点 ⋅，直接把两个元素并列写在一起表示乘法。例如，$i \cdot j = k$ 将被简写为 $ij = k$。

这部分对 $Q_8$ 的群属性进行了总结和评论。

1. “检查结合律是乏味的”:
   • 结合律 (Associative Law) 是指对于群里的任意三个元素 $a, b, c$，都要满足 $(ab)c = a(bc)$。也就是说，先计算 $ab$ 再乘以 $c$，和先计算 $bc$ 再让 $a$ 乘以它，结果是一样的。
   • 为什么“乏味”？因为 $Q_8$ 有8个元素，要验证所有可能的组合，理论上需要检查 $8 \times 8 \times 8 = 512$ 个等式。例如，我们需要验证 $(ij)k = i(jk)$。
   • 左边：$(ij)k = (k)k = k^2 = -1$。
   • 右边：$i(jk) = i(i) = i^2 = -1$。
   • 这个组合成立。但我们还需要检查像 $(i(-j))k$ vs $i((-j)k)$ 这样的所有组合。这个工作量巨大，所以作者说它是“乏味的”。
   • “我们稍后将通过较少计算的方法证明这一点”: 作者暗示了有更聪明的办法。通常，如果一个群可以被表示为某个更大、已知满足结合律的系统（如矩阵或四元数代数本身）的子群，那么它的结合律就自然成立，无需逐一验证。
2. “但其他公理很容易验证”:
   • 封闭性 (Closure): 任意两个元素相乘，结果是否还在 $Q_8$ 集合里？是的。我们从上一节的规则和例子中可以看到，任何乘积的结果都是 $\{1, -1, i, \dots, k\}$ 中的一员。例如 $ij=k$, $k^2=-1$, $(-j)(-k)=i$。
   • 单位元 (Identity): 我们已经看到，$1$ 就是单位元，因为 $1a=a1=a$ 对所有 $a$ 成立。
   • 逆元 (Inverse): 每个元素 $a$ 是否都有一个“逆元” $a^{-1}$，使得 $aa^{-1} = a^{-1}a = 1$？
   • $1$ 的逆元是 $1$。
   • $(-1)$ 的逆元是 $-1$，因为 $(-1)(-1)=1$。
   • $i$ 的逆元是什么？$i \cdot (-i) = (-1)(i^2) = (-1)(-1) = 1$。所以 $i$ 的逆元是 $-i$。同理，$-i$ 的逆元是 $i$。
   • $j$ 的逆元是 $-j$，$k$ 的逆元是 $-k$。
   • 因为四个群公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）都成立，所以 $Q_8$ 确实是一个群。
3. “请注意，$Q_{8}$ 是一个 8 阶非阿贝尔群”:
   • 这是一个重要的总结。
   • “8阶”: 因为它有8个元素。
   • “非阿贝尔群”: 因为它不满足交换律，我们已经看到 $ij=k$ 但 $ji=-k$。阿贝尔群是以数学家尼尔斯·阿贝尔命名的，特指那些满足交换律的群。

这个问题要求我们找出 $Q_8$ 中每一个元素的阶 (Order of an element)。

什么是元素的阶？

在一个群中，一个元素 $a$ 的阶被定义为最小的正整数 $n$，使得 $a^n = 1$（这里的 $1$ 是群的单位元）。$a^n$ 指的是 $a$ 与自身相乘 $n$ 次。如果不存在这样的正整数 $n$，我们就说这个元素的阶是无限的。由于 $Q_8$ 是一个有限群，其中所有元素的阶都必然是有限的。

计算步骤：

对于每个元素，我们从1次方开始，不停地乘以它自己，直到结果第一次为 $1$ 为止。这个次数就是它的阶。

• 元素 $1$:
• $1^1 = 1$。
• 第一次得到 $1$ 的幂次是 $1$。所以 $1$ 的阶是 $1$。单位元的阶永远是 $1$。

• 元素 $-1$:
• $(-1)^1 = -1 \neq 1$。
• $(-1)^2 = (-1)(-1) = 1$。
• 第一次得到 $1$ 的幂次是 $2$。所以 $-1$ 的阶是 $2$。

• 元素 $i$:
• $i^1 = i \neq 1$。
• $i^2 = -1 \neq 1$。
• $i^3 = i^2 \cdot i = (-1)i = -i \neq 1$。
• $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$。
• 第一次得到 $1$ 的幂次是 $4$。所以 $i$ 的阶是 $4$。

• 元素 $-i$:
• $(-i)^1 = -i \neq 1$。
• $(-i)^2 = (-1)^2 i^2 = (1)(-1) = -1 \neq 1$。
• $(-i)^3 = (-1)^3 i^3 = (-1)(-i) = i \neq 1$。
• $(-i)^4 = (-1)^4 i^4 = (1)(1) = 1$。
• 所以 $-i$ 的阶是 $4$。

• 元素 $j, -j, k, -k$:
• 由于 $i, j, k$ 在定义中具有对称的地位（它们的平方都是 $-1$，并且以相似的方式相互作用），我们可以推断它们的行为是类似的。
• 对于 $j$：$j^1=j, j^2=-1, j^3=-j, j^4=1$。所以 $j$ 的阶是 $4$。
• 对于 $-j$：$(-j)^1=-j, (-j)^2=-1, (-j)^3=j, (-j)^4=1$。所以 $-j$ 的阶是 $4$。
• 对于 $k$：$k^1=k, k^2=-1, k^3=-k, k^4=1$。所以 $k$ 的阶是 $4$。
• 对于 $-k$：$(-k)^1=-k, (-k)^2=-1, (-k)^3=k, (-k)^4=1$。所以 $-k$ 的阶是 $4$。

答案总结:

• 阶为 1 的元素: $\{1\}$ (1个)
• 阶为 2 的元素: $\{-1\}$ (1个)
• 阶为 4 的元素: $\{i, -i, j, -j, k, -k\}$ (6个)

这个问题要求我们画出三个特定群的群表 (Group Table)，也叫凯莱表 (Cayley Table)。群表是一个正方形的表格，用于完整地展示一个有限群的乘法运算结果。表格的行和列都由群的元素标记，表格中第 $r$ 行第 $c$ 列的单元格内容是“行元素 $r$ 乘以列元素 $c$”的结果。

1. $Q_{8}$ 的群表

我们已经知道了 $Q_8$ 的所有乘法规则，现在只需要把它们填进一个 $8 \times 8$ 的表格里。为了方便，我们把 $-1, -i, -j, -k$ 分别记作 $m, i', j', k'$。

$Q_8 = \{1, m, i, i', j, j', k, k'\}$

如何填充这个表:

• 第一行和第一列是因为 $1$ 是单位元，所以直接抄写表头。
• 第二行，$m \cdot 1=m, m \cdot m=1, m \cdot i = -i=i', m \cdot i' = m \cdot(-i) = (-1)(-i)=i$，以此类推。
• 第三行，$i \cdot 1=i, i \cdot m = -i = i', i \cdot i = -1=m, i \cdot i' = i(-i) = -(i^2) = -(-1)=1, i \cdot j=k, i \cdot j' = i(-j)=-k=k', i \cdot k = -j=j', i \cdot k' = i(-k) = -(-j) = j$。
• 其他行也按此规律计算。注意 $ij=k$ 但 $ji=-k=k'$，这在表中体现为关于主对角线不对称，这是非阿贝尔群的特征。

2. $S_{3}$ 的群表

$S_3$ 是3次对称群 (Symmetric group of degree 3)，代表了对3个物体进行所有可能的排列。它的阶是 $3! = 6$。

设这3个物体是 $\{1, 2, 3\}$。

元素如下 (使用轮换表示法):

• $e = (1)(2)(3)$: 单位元，什么都不动。
• $\rho_1 = (1 2 3)$: 轮换，$1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 1$。
• $\rho_2 = (1 3 2)$: 轮换，$1 \to 3, 3 \to 2, 2 \to 1$。 ($\rho_2 = \rho_1^2$)
• $\mu_1 = (2 3)$: 对换，交换2和3，保持1不动。
• $\mu_2 = (1 3)$: 对换，交换1和3，保持2不动。
• $\mu_3 = (1 2)$: 对换，交换1和2，保持3不动。

运算是函数复合，从右向左进行。例如，计算 $\rho_1 \mu_1$：

$\rho_1 \mu_1 = (1 2 3)(2 3)$。

• 对 1: $\mu_1$ 保持1不动，$\rho_1$ 把 $1 \to 2$。所以净效果是 $1 \to 2$。
• 对 2: $\mu_1$ 把 $2 \to 3$，$\rho_1$ 把 $3 \to 1$。所以净效果是 $2 \to 1$。
• 对 3: $\mu_1$ 把 $3 \to 2$，$\rho_1$ 把 $2 \to 3$。所以净效果是 $3 \to 3$。

结果是 $(1 2)$，即 $\mu_3$。所以 $\rho_1 \mu_1 = \mu_3$。

群表如下：

3. $D_{8}$ 的群表

$D_8$ 是8阶二面体群 (Dihedral group of order 8)，代表了正方形的所有对称操作。它有8个元素：4个旋转和4个翻转。

• $R_0$: 旋转0度（单位元）。
• $R_{90}$: 顺时针旋转90度。
• $R_{180}$: 旋转180度。
• $R_{270}$: 旋转270度。
• $H$: 水平翻转。
• $V$: 垂直翻转。
• $D$: 主对角线翻转。
• $D'$: 副对角线翻转。

设旋转为 $r=R_{90}$，水平翻转为 $s=H$。则所有元素可表示为 $\{e, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3\}$。

运算是操作的复合。例如，$R_{90} H$ (先水平翻转，再旋转90度) 等于 $D'$。

群表如下 (使用 $r, s$ 表示)：

比较 $D_8$ 和 $Q_8$:

• 两者都是8阶非阿贝尔群。
• 但它们的结构不同。一个关键区别是元素的阶：$Q_8$ 有1个2阶元素($-1$)和6个4阶元素。而 $D_8$ 有5个2阶元素($R_{180}, H, V, D, D'$)和2个4阶元素($R_{90}, R_{270}$)。
• 由于元素的阶的分布不同，所以 $D_8$ 和 $Q_8$ 是不同构 (non-isomorphic) 的。它们是仅有的两种8阶非阿贝尔群的结构类型。

这个问题要求我们为 $Q_8$ 提供一个生成元与关系表示 (Presentation of a group)。

什么是生成元和关系？

• 生成元 (Generators): 是群中的一个子集，通过这些元素和它们的逆元的乘法运算，可以“生成”出群中的所有元素。我们希望找到尽可能少的生成元。
• 关系 (Relations): 是生成元之间必须满足的“规则”或“等式”。这些规则限制了生成元的组合方式，从而确保我们生成的群恰好是 $Q_8$，不多也不少。

一个群的表示通常写成 $\langle G \mid R \rangle$，其中 $G$ 是生成元的集合，R 是关系的集合。

1. 寻找生成元

我们需要找到一个最小的集合，能通过乘法得到 $Q_8$ 的所有8个元素。

• 只用一个元素可以吗？
• 比如用 $i$：我们可以生成 $\langle i \rangle = \{i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1\}$。这只有4个元素，不够。
• 同理，$\langle j \rangle$ 和 $\langle k \rangle$ 也都只能生成4个元素。
• 那用两个元素呢？
• 让我们试试用 $\{i, j\}$ 作为生成元。
• 我们可以生成 $i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$。
• 我们也可以生成 $j$。
• 我们还可以生成它们的乘积：$ij = k$。
• 有了 $k$，我们就能生成 $-k$：$ij \cdot i^2 = k(-1) = -k$。等等，更简单的是 $j \cdot i = -k$。
• 有了 $-1$ 和 $j$，我们就能生成 $-j$：$i^2 j = -j$。
• 我们现在已经生成了 $\{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$。全了！
• 所以，$\{i, j\}$ 是 $Q_8$ 的一组生成元。同理，$\{i, k\}$ 和 $\{j, k\}$ 也可以。

2. 寻找关系

现在我们选定生成元为 $\{i, j\}$，需要找出它们满足的等式。这些等式应该足以推导出整个群表。

• 关系1：$i$ 的阶。我们知道 $i^4 = 1$。这是一个关系。
• 关系2：$j$ 和 $i$ 的联系。我们知道 $j^2 = -1$。我们也知道 $i^2 = -1$。所以一个很重要的关系是 $i^2 = j^2$。
• 关系3：交换性质。我们知道 $ij$ 和 $ji$ 的关系。$ji = -k$ 而 $ij=k$。所以 $ji = -ij$。这个关系涉及到 $-1$ 和 $k$，不是最基本的关系。一个更基本的表示方法是描述 $j$ 如何与 $i$“共轭”。
• 让我们计算 $jij^{-1}$。
• $j^{-1}$ 是 $-j$。
• $jij^{-1} = ji(-j) = (-k)(-j) = (-1)k(-1)j = (-1)(-1)kj = kj = -i$。
• 这个关系 $jij^{-1} = -i = i^{-1}$ 看起来很基本。
• 通常，这个关系会写成 $bab^{-1}=a^{-1}$ 的形式，或者等价地 $ba=a^{-1}b$。

一个标准的表示

$Q_8$ 的一个常用表示是：

让我们来解读这个表示：

• 生成元: $\langle i, j \dots \rangle$ 表示群由 $i$ 和 $j$ 生成。
• 关系:

1. $i^4=1$: $i$ 的阶是4（或者是4的因子）。
2. $i^2=j^2$: $j$ 的平方等于 $i$ 的平方。结合 $i^4=1$，我们知道 $i^2 \neq 1$。所以 $i^2$ 是一个阶为2的元素。这个关系也告诉我们 $j^4 = (j^2)^2 = (i^2)^2 = i^4 = 1$。
3. $jij^{-1}=i^{-1}$: 这是非交换规则的核心。$i^{-1}$ 就是 $i^3$ (或 $-i$)。这个关系可以变形为 $ji = i^{-1}j = i^3j$。让我们验证一下这在 $Q_8$ 中是否成立：
   • 左边：$ji = -k$。
   • 右边：$i^3j = (-i)j = -(ij) = -k$。
   • 等式成立。

这组生成元和关系足以完整地定义整个 $Q_8$ 群的结构。任何满足这些关系的由两个元素生成的群，都和 $Q_8$ 是同构的。

另一个可能的表示

这只是把生成元的名字换成了 $a, b$。

总结答案:

• 生成元的集合: $\{i, j\}$ (这是一个有效的选择)。
• 关系的集合: $\{ i^4 = 1, i^2 = j^2, jij^{-1} = i^{-1} \}$。

练习2要求我们写出三个群的群表。这三个群 $S_3, D_8, Q_8$ 都是抽象代数入门时非常重要的非阿贝尔群。通过比较它们的结构，我们可以更深刻地理解群的性质，特别是“同构”与“不同构”的概念。

1. 阶 (Order) 的比较:
   • $S_3$: 阶为 $3! = 6$。
   • $D_8$: 阶为 $8$。
   • $Q_8$: 阶为 $8$。
   • 结论: 阶是群最基本的分类标准。$S_3$ 因为阶不同，必然与 $D_8$ 和 $Q_8$ 不同构。我们的主要问题是：同为8阶非阿贝尔群的 $D_8$ 和 $Q_8$ 是否同构？
2. 元素阶分布的比较 (Element Order Distribution): 这是判断两个群是否同构的强力工具。如果两个群同构，它们的元素阶分布必须完全相同。一个同构映射会保持元素的阶不变。
   • $S_3$:
   • 阶 1: $e$ (1个)
   • 阶 2: $\mu_1=(23), \mu_2=(13), \mu_3=(12)$ (3个对换)
   • 阶 3: $\rho_1=(123), \rho_2=(132)$ (2个三轮换)
   • 分布: {1阶:1个, 2阶:3个, 3阶:2个}
   • $D_8$ (8阶二面体群):
   • 阶 1: $R_0$ (1个，旋转0度)
   • 阶 2: $R_{180}, H, V, D, D'$ (5个元素：一个180度旋转和四个翻转)
   • 阶 4: $R_{90}, R_{270}$ (2个90度/270度旋转)
   • 分布: {1阶:1个, 2阶:5个, 4阶:2个}
   • $Q_8$ (四元数群):
   • 阶 1: $1$ (1个)
   • 阶 2: $-1$ (1个)
   • 阶 4: $i, -i, j, -j, k, -k$ (6个)
   • 分布: {1阶:1个, 2阶:1个, 4阶:6个}
   • 结论: $D_8$ 和 $Q_8$ 的元素阶分布完全不同。$D_8$ 有5个2阶元素，而 $Q_8$ 只有1个。因此，$D_8$ 和 $Q_8$ 不同构。它们是仅有的两种8阶非阿贝尔群的结构类型。
3. 中心 (Center) 的比较: 群的中心 $Z(G)$ 是指能与群中所有元素交换的元素所构成的集合, 即 $Z(G) = \{z \in G \mid zg = gz \text{ for all } g \in G\}$。中心本身是一个阿贝尔子群，也是判断群结构的重要指标。同构的群其中心也必然同构。
   • $Z(S_3)$: 只有单位元 $e$ 能与所有元素交换。所以 $Z(S_3) = \{e\}$。中心的阶是1，是平凡中心。
   • $Z(D_8)$: 在正方形的对称操作中，只有“旋转0度”($R_0$)和“旋转180度”($R_{180}$)能与所有其他操作（包括翻转）交换。所以 $Z(D_8) = \{R_0, R_{180}\}$。中心的阶是2，与 $C_2$ 同构。
   • $Z(Q_8)$: 在 $Q_8$ 中，我们看到 $1$ 和 $-1$ 能与所有元素交换。例如 $(-1)i = -i$ 且 $i(-1)=-i$。而 $i, j, k$ 都不在中心里 (例如 $ij \neq ji$)。所以 $Z(Q_8) = \{1, -1\}$。中心的阶是2，与 $C_2$ 同构。
   • 结论: $D_8$ 和 $Q_8$ 的中心阶数都是2，但 $S_3$ 的中心是平凡的，这也从另一个角度说明了 $S_3$ 与它们的区别。
4. 子群结构 (Subgroup Structure) 的比较:
   • $Q_8$: $Q_8$ 的所有真子群（除了它自己和 $\{1\}$）都是循环群，并且都是正规子群。它的子群有：
   • 阶 1: $\{1\}$
   • 阶 2: $\{1, -1\}$
   • 阶 4: $\langle i \rangle = \{1, -1, i, -i\}$, $\langle j \rangle = \{1, -1, j, -j\}$, $\langle k \rangle = \{1, -1, k, -k\}$
   • 这种所有子群都是正规子群的非阿贝尔群被称为哈密顿群 (Hamiltonian group)。$Q_8$ 是最简单的哈密顿群。
   • $D_8$: $D_8$ 含有非正规子群。例如，由水平翻转 $H$ 生成的子群 $S_H = \{R_0, H\}$ 就不是正规子群。
   • 验证: 取 $g=R_{90}$，计算 $g S_H g^{-1} = \{R_{90} R_0 R_{90}^{-1}, R_{90} H R_{90}^{-1}\}$。$R_{90} H R_{270}$ 的效果是先旋转-90度，再水平翻转，再旋转90度，最终效果是一个垂直翻转 $V$。因为 $V \notin S_H$，所以 $S_H$ 不是正规子群。
   • 结论: 子群结构，特别是正规子群的有无，是区分 $D_8$ 和 $Q_8$ 的又一个根本性差异。

$Q_8$ 不仅仅是一个有趣的数学玩具，它在更广阔的数学和物理领域中扮演着重要角色。

1. 与四元数代数的关系: $Q_8$ 是构成四元数代数 $\mathbb{H}$ 基础的乘法群。一个四元数 $q$ 的一般形式是 $q = a + bi + cj + dk$，其中 $a,b,c,d$ 是实数。这个代数系统中的乘法规则正是由 $Q_8$ 的规则扩展而来的。四元数代数是第一个被发现的非交换除环，它的发明极大地扩展了“数”的概念，为向量代数和现代物理学的发展铺平了道路。
2. 在三维空间旋转中的应用: 虽然 $Q_8$ 本身只有8个元素，但它所属的单位四元数群（范数为1的四元数构成的群，记作 $Sp(1)$ 或 $S^3$）与三维空间的旋转有着深刻的联系。具体来说，存在一个从单位四元数群到三维旋转群 $SO(3)$ 的“2对1”满同态映射。
   • “2对1”的含义: 对于三维空间中的任意一个旋转操作，都有两个单位四元数（$q$ 和 $-q$）与之对应。这反映了旋转的某种拓扑性质，即旋转360度后虽然物体复位，但其与周围空间的“连接”状态并未复位，需要旋转720度才能完全复位，这种现象在描述费米子（如电子）自旋的物理学中有深刻体现。
   • 优点: 使用四元数来表示旋转比使用欧拉角或旋转矩阵更有优势。它可以避免“万向节死锁 (Gimbal Lock)”问题，并且在计算上更高效、更稳定，对旋转进行插值也更平滑自然。
   • 应用领域: 因此，四元数被广泛应用于计算机图形学（3D游戏、电影特效）、航空航天（卫星和飞行器姿态控制）、机器人学和虚拟现实 (VR)/增强现实(AR) 等领域。你玩的每一个3D游戏，背后几乎都有四元数的影子在计算着物体的旋转。
3. 在群论中的独特地位:
   • 最小的哈密顿群: 如前所述，$Q_8$ 是一个哈密顿群（所有子群都是正规子群的非阿贝尔群）。它是满足这个条件的最小的群。这使它成为群论中一个重要的反例和研究对象，用于界定某些定理的适用范围。
   • 伽罗瓦理论: 在伽罗瓦理论中，$Q_8$ 可以作为某个多项式的伽罗瓦群出现。这意味着存在一些代数方程，其根的对称性恰好由 $Q_8$ 描述。寻找并构造这样的方程是代数数论中的一个有趣问题。
   • 表示论: 在群的表示论中，$Q_8$ 也是一个基础的例子，用于展示如何构建群的线性表示，特别是不可约表示。它的表示论性质比同样阶数的$D_8$更为独特。

通过拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem)，我们知道任何子群的阶必须是母群阶的因子。$Q_8$ 的阶是8，其因子有 1, 2, 4, 8。所以其子群的阶只可能是这些数。

1. 阶为1的子群:
   • 只有一个，即由单位元构成的平凡子群: $\{1\}$。这是任何群都必然拥有的子群。
2. 阶为2的子群:
   • 子群的元素必须由单位元和一个2阶元素组成。
   • 在 $Q_8$ 中，我们通过练习1计算出，只有 $-1$ 是2阶元素。
   • 因此，只有一个阶为2的子群: $\langle -1 \rangle = \{1, -1\}$。
   • 这个子群非常特殊，它就是 $Q_8$ 的中心 $Z(Q_8)$，并且是所有4阶子群的交集。
3. 阶为4的子群:
   • 根据群论，任何4阶群都必然是阿贝尔群，且只与两种结构同构：4阶循环群 $C_4$ 或克莱因四元群 $V_4 \cong C_2 \times C_2$。
   • 一个4阶子群，如果它包含一个4阶元素，那么它必然是由这个元素生成的循环群。
   • 在 $Q_8$ 中，我们有6个4阶元素: $i, -i, j, -j, k, -k$。
   • 让我们由这些元素生成子群：
   • $\langle i \rangle = \{i^0, i^1, i^2, i^3\} = \{1, i, -1, -i\}$。
   • $\langle -i \rangle = \{(-i)^0, (-i)^1, (-i)^2, (-i)^3\} = \{1, -i, -1, i\}$。这和 $\langle i \rangle$ 是同一个集合。
   • $\langle j \rangle = \{1, j, -1, -j\}$。
   • $\langle -j \rangle = \{1, -j, -1, j\}$。这和 $\langle j \rangle$ 是同一个集合。
   • $\langle k \rangle = \{1, k, -1, -k\}$。
   • $\langle -k \rangle = \{1, -k, -1, k\}$。这和 $\langle k \rangle$ 是同一个集合。
   • 因此，总共有 3个 不同的4阶子群，它们都与 $C_4$ 同构。
   • $Q_8$ 中有没有与克莱因四元群同构的子群呢？克莱因四元群的特点是除了单位元外，所有元素都是2阶。$Q_8$ 只有一个2阶元素 $-1$，所以不可能从中挑出三个2阶元素来组成一个克莱因四元群。所以答案是没有。
4. 阶为8的子群:
   • 只有一个，即 $Q_8$ 本身。

子群格 (Subgroup Lattice)

我们可以用一个图来展示所有子群以及它们之间的包含关系，这被称为子群格。它清晰地描绘了群的内部结构。

```mermaid

graph TD

subgraph Q8 的子群格

Q8(Q_8, 阶8)

C4_i(< i >, 阶4)

C4_j(< j >, 阶4)

C4_k(< k >, 阶4)

C2({1, -1}, 阶2)

C1({1}, 阶1)

Q8 --> C4_i

Q8 --> C4_j

Q8 --> C4_k

C4_i --> C2

C4_j --> C2

C4_k --> C2

C2 --> C1

end

```