1. 1.6 同态与同构

本段是引言，旨在为读者设定本节的学习目标。它引入了两个核心概念：同态 (homomorphism) 和 同构 (isomorphism)。

1. 核心问题: 数学家如何判断两个群在本质上是“相同”的？这里的“相同”不是指它们的元素完全一样，或者运算方式完全一样，而是指它们的“结构”完全一样。
2. “看起来相同”的精确化: “看起来相同”是一个直观但模糊的说法。在群论中，我们用“同构”这个精确的数学术语来描述这种结构上的相同性。
3. 学习路径: 为了理解更严格的“同构”概念，我们需要先从一个更普遍、更基础的概念——“同态”——开始。本节会先定义同态，然后在其基础上定义同构。这就好比在学习“正方形”之前，我们先学习“四边形”和“矩形”一样，是一个从一般到特殊的过程。

这段话给出了同态 (homomorphism) 的形式化定义。

1. 前提: 我们有两个群，分别是 $(G, \star)$ 和 $(H, \diamond)$。这里 $G$ 和 $H$ 是元素的集合，$\star$ 和 $\diamond$ 分别是它们各自的二元运算。
2. 核心: 同态是一个映射 (map) 或函数 (function)，我们用希腊字母 $\varphi$ (phi) 来表示它。这个映射将群 $G$ 中的每一个元素，都对应到群 $H$ 中的一个元素。写作 $\varphi: G \rightarrow H$。
3. 关键条件: 这个映射 $\varphi$ 不是任意的，它必须满足一个非常重要的性质，即“保持运算结构”。这个性质用公式表达就是 $\varphi(x \star y) = \varphi(x) \diamond \varphi(y)$。
4. 公式解读:
   • 左边 $\varphi(x \star y)$: 意思是先在群 $G$ 内部，对任意两个元素 $x$ 和 $y$ 进行 $\star$ 运算，得到结果 $x \star y$。然后，将这个结果通过映射 $\varphi$ 对应到群 $H$ 中去。
   • 右边 $\varphi(x) \diamond \varphi(y)$: 意思是先把群 $G$ 中的元素 $x$ 和 $y$ 分别通过映射 $\varphi$ 对应到群 $H$ 中，得到 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(y)$。然后，在群 $H$ 内部，对这两个新元素进行 $\diamond$ 运算。
   • 等号的意义: 同态的精髓就在于这个等号。它要求“先在 $G$ 中运算再映射到 $H$” 和 “先分别映射到 $H$ 再在 $H$ 中运算” 所得到的结果是完全相同的。这正是“保持结构”的含义。
5. 简化写法: 在群论中，我们常常省略运算符号，直接用并列的方式表示运算（如 $xy$）。在这种简写下，同态的条件就写成 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$。但是，必须时刻清楚，左边的 $xy$ 是在 $G$ 中的运算，右边的 $\varphi(x)\varphi(y)$ 是在 $H$ 中的运算。
6. 直观总结: 同态就像一个“翻译器”，它在翻译两个群的语言时，能够保持句子（运算）的结构。你可以在一个群里把两个元素“组合”起来再“翻译”，也可以先把它们分别“翻译”过去再“组合”，结果是一样的。

这段话在同态的基础上定义了同构 (isomorphism)。

1. 同构的两个条件: 一个从群 $G$ 到群 $H$ 的映射 $\varphi$ 要成为一个同构，必须同时满足两个条件：
   • 条件 (1) - 结构保持: $\varphi$ 必须是一个同态。这是我们刚刚学过的，意味着 $\varphi$ 保持了群的运算结构。
   • 条件 (2) - 形式保持: $\varphi$ 必须是一个双射 (bijection)。
2. 双射的含义: 一个映射是双射，意味着它既是单射 (injective) 又是满射 (surjective)。
   • 单射 (一对一): $G$ 中不同的元素，一定被映射到 $H$ 中不同的元素。不会出现 $x \neq y$ 但 $\varphi(x) = \varphi(y)$ 的情况。这意味着没有“信息压缩”，$G$ 的每个元素在 $H$ 中都有一个独特的对应。
   • 满射 (映成): $H$ 中的任何一个元素，都可以在 $G$ 中找到至少一个元素与之对应。这意味着 $H$ 中没有“多余”的元素，$G$ 中的元素足以“覆盖”整个 $H$。
3. 合并理解: 同构就是一个“保持结构的完美一一对应”。它在两个群之间建立了一座桥梁，不仅交通规则（运算）能够被完美翻译，而且桥两边的村庄（集合）大小完全一样，每个村民（元素）都有且仅有一个外国笔友。
4. “同构”的直观意义: 如果两个群 $G$ 和 $H$ 是同构的（记作 $G \cong H$），那么从群论的观点来看，它们就是同一个群。它们的区别仅仅在于“表面上的伪装”——元素的名字可能不同，运算的符号可能不同，但内在的、抽象的结构是完全一致的。这就好比用中文说“一加一等于二”和用英文说“one plus one equals two”，表达的是完全相同的数学事实。
5. 结构性质的传递: 正因为同构的群在结构上是相同的，所以任何只与群结构有关的性质（称为群论性质），在一个群中成立，就必然在另一个群中也成立。例如：
   • 如果 $G$ 是交换群，那么与它同构的 $H$ 也必然是交换群。
   • 如果 $G$ 有 5 个 2 阶元素，那么与它同构的 $H$ 也必然有 5 个 2 阶元素。
   • 如果 $G$ 的阶是 12，那么与它同构的 $H$ 的阶也必然是 12。
6. 符号的合理性: 这也解释了为什么在抽象地讨论群时，我们可以随意使用一个通用的运算符号（比如 $\cdot$ 或 $\star$），因为具体的符号是什么并不影响群的同构类型（即它的本质结构）。

这个例子阐述了同构关系 $\cong$ 本身所具有的性质，即它是一种等价关系。

1. 自身同构: 任何一个群 $G$ 都和它自己是同构的，记为 $G \cong G$。
   • 证明: 我们可以使用恒等映射 (identity map) $id: G \rightarrow G$，定义为 $id(x) = x$。
   • 同态性: $id(xy) = xy$。而 $id(x)id(y) = x \cdot y = xy$。所以 $id(xy) = id(x)id(y)$，是同态。
   • 双射性: 恒等映射显然是单射（如果 $x \neq y$，则 $id(x) \neq id(y)$）和满射（对于任何 $z \in G$，取 $x=z$，则 $id(x)=z$）。所以是双射。
   • 因此，恒等映射是一个从 $G$ 到自身的同构。这种从一个群到其自身的同构被称为自同构 (automorphism)。
   • 文中提到，恒等映射通常不是唯一的自同构。例如，在加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 中，映射 $\varphi(n)=-n$ 也是一个自同构。
2. 同构是等价关系: 等价关系需要满足三个性质：自反性、对称性和传递性。
   • 自反性 (Reflexivity): $G \cong G$。我们刚刚已经证明了这一点。
   • 对称性 (Symmetry): 如果 $G \cong H$，那么 $H \cong G$。
   • 证明: 如果 $G \cong H$，那么存在一个同构 $\varphi: G \rightarrow H$。因为它是一个双射，所以它的逆映射 $\varphi^{-1}: H \rightarrow G$ 存在且也是一个双射。我们只需证明 $\varphi^{-1}$ 是一个同态。
   • 设 $a, b \in H$。因为 $\varphi$ 是满射，所以存在 $x, y \in G$ 使得 $\varphi(x)=a$ 和 $\varphi(y)=b$。从而 $x = \varphi^{-1}(a)$ 和 $y = \varphi^{-1}(b)$。
   • $\varphi^{-1}(ab) = \varphi^{-1}(\varphi(x)\varphi(y))$
   • 因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(x)\varphi(y) = \varphi(xy)$。
   • 所以 $\varphi^{-1}(ab) = \varphi^{-1}(\varphi(xy)) = xy$ （因为 $\varphi^{-1}$ 和 $\varphi$ 互为逆映射）。
   • 而 $xy = \varphi^{-1}(a)\varphi^{-1}(b)$。
   • 综上，$\varphi^{-1}(ab) = \varphi^{-1}(a)\varphi^{-1}(b)$，所以 $\varphi^{-1}$ 也是同态。因此 $\varphi^{-1}$ 是一个同构，所以 $H \cong G$。
   • 传递性 (Transitivity): 如果 $G \cong H$ 且 $H \cong K$，那么 $G \cong K$。
   • 证明: 存在同构 $\varphi: G \rightarrow H$ 和 $\psi: H \rightarrow K$。考虑复合映射 $\psi \circ \varphi: G \rightarrow K$。
   • 两个双射的复合仍然是双射。
   • 两个同态的复合仍然是同态: $(\psi \circ \varphi)(xy) = \psi(\varphi(xy)) = \psi(\varphi(x)\varphi(y)) = \psi(\varphi(x))\psi(\varphi(y)) = (\psi \circ \varphi)(x)(\psi \circ \varphi)(y)$。
   • 因此，$\psi \circ \varphi$ 是一个同构，所以 $G \cong K$。
3. 同构类: 既然同构是一种等价关系，它就可以将所有群的集合 $\mathcal{G}$ 分割成互不相交的子集，每个子集称为一个同构类 (isomorphism class)。同一个同构类里的所有群彼此都同构，它们在结构上是“相同”的。不同同构类里的群则不同构。
   • 这解释了为什么群论的目标之一是“分类”，即找出所有可能的同构类。

这是同构的一个经典且极其重要的例子，它揭示了加法和乘法这两种看似截然不同的运算，在特定群中可以有完全相同的结构。

1. 两个群:
   • $G = (\mathbb{R}, +)$：全体实数构成的加法群。其单位元是 0，任意元素 $x$ 的逆元是 $-x$。
   • $H = (\mathbb{R}^+, \times)$：全体正实数构成的乘法群。其单位元是 1，任意元素 $y$ 的逆元是 $1/y$。
2. 映射: $\exp: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$，定义为 $\exp(x) = e^x$。这是我们熟悉的自然指数函数。
3. 验证同构的两个步骤:
   • 步骤一：验证同态性
   • 我们需要验证 $\exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)$。
   • 左边是在 $G$ 中先运算再映射：$\exp(x+y) = e^{x+y}$。
   • 右边是先映射再在 $H$ 中运算：$\exp(x) \times \exp(y) = e^x \times e^y$。
   • 根据高中数学中的指数运算法则，$e^{x+y} = e^x e^y$。
   • 等式成立，所以指数函数是一个同态。它把加法成功地“翻译”成了乘法。
   • 步骤二：验证双射性
   • 一个函数是双射的，一个充分条件是它存在逆函数。
   • 指数函数 $y = e^x$ 的逆函数是自然对数函数 $x = \ln(y)$ (即 $\log_e(y)$)。
   • 这个逆函数的定义域是 $\mathbb{R}^+$，值域是 $\mathbb{R}$，正好是从 $H$ 映射回 $G$。
   • 因为逆函数存在，所以原函数 $e^x$ 必然是双射。
4. 结论: 因为 $\exp(x) = e^x$ 既是同态又是双射，所以它是一个同构。
5. 深刻含义: 这个例子告诉我们，实数加法群和正实数乘法群在结构上是完全一样的。它们只是“穿着不同的外衣”。这个同构关系揭示了加法世界和乘法世界之间的一座桥梁。
   • 加法世界中的单位元 0，通过映射 $e^0=1$，变成了乘法世界中的单位元 1。
   • 加法世界中的逆元 $-x$，通过映射 $e^{-x} = 1/e^x$，变成了乘法世界中的逆元 $1/y$ (其中 $y=e^x$)。
   • 加法世界中的“加 $n$ 次” (即 $nx$)，对应到乘法世界中的“乘 $n$ 次”（即 $(e^x)^n=e^{nx}$）。

这个例子讨论了对称群的同构问题，得出了一个非常重要的结论：一个对称群的结构，只由它作用的那个集合的大小（即基数）决定，而与集合里的元素具体是什么毫无关系。

第一部分：如果集合大小相同，则对称群同构

1. 前提: 有两个非空集合 $\Delta$ 和 $\Omega$，它们的大小相同，即基数相等，写作 $|\Delta| = |\Omega|$。
2. 目标: 证明它们的对称群 $S_{\Delta}$ (所有 $\Delta$ 到自身的双射构成的群) 和 $S_{\Omega}$ (所有 $\Omega$ 到自身的双射构成的群) 是同构的，即 $S_{\Delta} \cong S_{\Omega}$。
3. 核心思想 (重命名/Relabeling):
   • 既然 $|\Delta| = |\Omega|$，根据集合论，必然存在一个双射 $\theta: \Delta \rightarrow \Omega$。这个 $\theta$ 就像一本“字典”，为 $\Delta$ 中的每个元素都在 $\Omega$ 中找到了一个独一无二的“别名”。我们可以想象把 $\Delta$ 的每个元素 $x$ 和 $\Omega$ 中对应的元素 $\theta(x)$ “粘”在一起。
   • 现在，我们想构造一个从 $S_{\Delta}$ 到 $S_{\Omega}$ 的同构 $\varphi$。
   • 对于 $S_{\Delta}$ 中的任何一个置换 $\sigma$ (它在搅乱 $\Delta$ 中的元素)，我们希望在 $S_{\Omega}$ 中找到一个对应的置换 $\varphi(\sigma)$，让它以“同样的方式”搅乱 $\Omega$ 中的元素。
   • “同样的方式”是什么意思呢？如果 $\sigma$ 把 $\Delta$ 中的元素 $x$ 变成了 $y$ (即 $\sigma(x)=y$)，那么我们希望 $\varphi(\sigma)$ 能把 $x$ 的别名 $\theta(x)$ 变成 $y$ 的别名 $\theta(y)$ (即 $\varphi(\sigma)(\theta(x)) = \theta(y)$)。
4. 构造映射 $\varphi$:
   • 从 $\varphi(\sigma)(\theta(x)) = \theta(y)$ 和 $\sigma(x)=y$ 出发，我们可以得到 $\varphi(\sigma)(\theta(x)) = \theta(\sigma(x))$。
   • 这个式子对所有 $x \in \Delta$ 成立。令 $z = \theta(x)$，那么 $x = \theta^{-1}(z)$。代入上式，得到 $\varphi(\sigma)(z) = \theta(\sigma(\theta^{-1}(z)))$。
   • 这就是 $\varphi(\sigma)$ 的精确定义：$\varphi(\sigma) = \theta \circ \sigma \circ \theta^{-1}$。这里 $\circ$ 表示函数复合。这个操作在线性代数中称为相似变换 (similarity transformation)。
5. 验证 (留作练习):
   • 要证明 $\varphi$ 是一个同构，需要验证它是同态且是双射。这部分细节留给了练习题 10。直观上，因为 $\theta$ 有逆 $\theta^{-1}$，所以 $\varphi$ 也有逆 $\varphi^{-1}(\tau) = \theta^{-1} \circ \tau \circ \theta$，因此是双射。同态性 $(\varphi(\sigma_1 \circ \sigma_2) = \varphi(\sigma_1) \circ \varphi(\sigma_2))$ 也可以通过展开定义来验证。

第二部分：如果对称群同构，则集合大小相同 (有限情况)

1. 前提: 对称群 $S_{\Delta}$ 和 $S_{\Omega}$ 是同构的 ($S_{\Delta} \cong S_{\Omega}$)，且 $\Delta, \Omega$ 都是有限集。
2. 目标: 证明集合的大小必须相同，即 $|\Delta| = |\Omega|$。
3. 证明思路:
   • 同构的一个必要条件是两个群的阶（元素个数）必须相等。即 $|S_{\Delta}| = |S_{\Omega}|$。
   • 我们知道，如果一个有限集 $\Delta$ 的大小是 $n$ ($|\Delta|=n$)，那么它的对称群 $S_{\Delta}$ 的阶是 $n!$ (即 $n$ 的阶乘)。这和我们熟知的 $S_n$ 的阶是 $n!$ 是一回事，$S_n$ 只是 $S_{\{1,2,...,n\}}$ 的简写。
   • 同理，如果 $|\Omega|=m$，那么 $|S_{\Omega}|=m!$。
   • 由 $|S_{\Delta}| = |S_{\Omega}|$，我们得到 $n! = m!$。
   • 对于正整数来说，如果 $n! = m!$，那么必然有 $n=m$。
   • 因此，$|\Delta| = |\Omega|$。
4. 无限集的情况: 文中提到，当集合是无限的时候，这个结论依然成立，但证明更复杂，因为不能再简单地比较阶乘了。

这段话将同构的概念提升到了一个更高的哲学层面，引出了数学研究中的一个核心目标——分类。

1. 同构的普适性: 作者首先指出，同构不仅仅是群论的概念，它是整个抽象代数的通用语言。当我们学习环 (Ring)、域 (Field)、向量空间 (Vector Space) 等其他代数结构时，我们都会定义它们各自的“同构”概念，其本质都是“保持结构的双射”。
2. 数学的核心问题: 分类问题。这个问题可以表述为：
   • 给定一个代数结构（比如群），什么样的性质集合 $\mathcal{P}$ 能够唯一地确定这个结构的“身份”（即它的同构类型）？
3. 分类定理 (Classification Theorem): 回答上述问题的定理就是分类定理。它的标准形式是：
   • “任何一个满足性质 $\mathcal{P}$ 的代数结构 $X$，都与一个已知的标准模型 $G$ 同构。”
4. 分类定理的作用:
   • 唯一性: 它告诉我们，具备性质 $\mathcal{P}$ 的结构本质上只有一种（即与 $G$ 同构的那一种）。所有满足 $\mathcal{P}$ 的对象都只是标准模型 $G$ 的“化身”。
   • 识别: 只要我们验证了一个新对象 $X$ 满足性质 $\mathcal{P}$，我们无需构造同构映射，就可以立刻断定 $X \cong G$。这极大地简化了识别过程。
5. 举例预告: 作者预告了后续课程将要证明的一个具体的分类定理，作为上述思想的实例。

这段话通过 6 阶群的例子，具体展示了分类定理是什么样的，以及它如何工作。

1. 一个强分类定理:
   • 定理: “任何 6 阶非交换群都与 $S_{3}$ 同构。”
   • 分析:
   • 这里的标准模型 $G$ 是 $S_3$（3个元素的对称群，阶为 $3!=6$）。
   • 性质集合 $\mathcal{P}$ 是 {阶为 6, 非交换}。
   • 应用: 这个定理威力强大。一旦我们拿到一个群，比如二面体群 $D_6$（正三角形的对称群）或者 $GL_2(\mathbb{F}_2)$（系数在 2 元域中的 2x2 可逆矩阵群），我们只需做两件事：
2. 检查它的阶是不是 6。
3. 检查它是不是非交换的。
   • 对于 $D_6$，我们知道它的阶是 $2 \times 3 = 6$，并且旋转和翻转的复合是非交换的。所以 $D_6$ 满足性质 $\mathcal{P}$。根据分类定理，我们立刻得出结论：$D_6 \cong S_3$。我们根本不需要像之前那样费力地去构造一个从 $D_6$ 的生成元到 $S_3$ 的生成元的映射。
   • 对于 $GL_2(\mathbb{F}_2)$，它的元素是 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 其中 $a,b,c,d \in \{0,1\}$ 且 $ad-bc \neq 0$。可以穷举出它有 6 个元素，并且矩阵乘法是非交换的。因此，$GL_2(\mathbb{F}_2)$ 也满足性质 $\mathcal{P}$，所以 $GL_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3$。
4. 一个更广义的分类定理:
   • 定理: “任何一个 6 阶群，要么与 $S_3$ 同构，要么与 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 同构。”
   • 分析:
   • 这里的性质 $\mathcal{P}$ 只有一个：“阶为 6”。
   • 这个性质比较弱，它不能唯一确定一个同构类型，而是给出了一个包含所有可能性的完备列表：$\{S_3, \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\}$。
   • $S_3$ 是我们知道的 6 阶非交换群的代表。
   • $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ (模 6 整数加法群) 是 6 阶交换群的代表。
   • 这两个群彼此不同构，因为一个非交换，一个交换，而交换性是同构不变量。
   • 这也是一种分类: 这种给出完备列表的定理，也是分类定理。它告诉我们，世界上的 6 阶群总共就这两种“型号”。
5. 构造同构的困难性:
   • 作者最后强调，虽然分类定理的结论看起来很简单，但直接去证明两个具体的群（比如 $D_6$ 和 $S_3$）是否同构，通常非常困难。
   • “在计算上是不可行的”意思是，让你去尝试所有可能的双射映射，然后一一验证它们是否为同态，这个工作量是巨大的。
   • 这反过来凸显了发展更深刻的理论（比如后续章节会讲到的群作用、西罗定理等）的必要性，因为这些理论是证明分类定理的基石，使我们能够绕开“暴力构造”。

这段话介绍了一种非常实用的技巧：如何快速地证明两个群 不 同构。要证明两个群同构，你需要构造一个复杂的同构映射。但要证明它们 不 同构，你只需要找到一个它们不共享的群论性质即可。

1. 同构不变量 (Isomorphism Invariant):
   • 一个群的性质，如果在同构映射下保持不变，就称为同构不变量。
   • 也就是说，如果 $G \cong H$，且 $P$ 是一个同构不变量，那么 $G$ 具有性质 $P$ 当且仅当 $H$ 具有性质 $P$。
   • 反过来说，如果我们发现 $G$ 具有性质 $P$ 而 $H$ 不具有，我们就可以立即断定 $G$ 和 $H$ 不 同构。
2. 三个重要的同构不变量:
   • (a) 群的阶 (Order of the group): $|G|=|H|$。这是因为同构映射是双射，要求两个集合的基数必须相等。这是最基本、最先检查的性质。
   • (b) 交换性 (Abelian property): 一个群是交换群，另一个也必须是。因为如果 $xy=yx$ 对所有 $x,y \in G$ 成立，那么 $\varphi(xy) = \varphi(yx)$。由于 $\varphi$ 是同态，$\varphi(x)\varphi(y) = \varphi(y)\varphi(x)$。由于 $\varphi$ 是满射，$H$ 中的任何元素都可以写成 $\varphi(x)$ 的形式，所以 $H$ 也是交换的。
   • (c) 元素的阶 (Order of elements): 对于任何一个元素 $x \in G$，它自身的阶 $|x|$ 必须等于它在 $H$ 中的像 $\varphi(x)$ 的阶 $|\varphi(x)|$。更进一步，两个同构的群，其“阶的分布”必须完全相同。例如，如果 $G$ 有 5 个 2 阶元素和 8 个 3 阶元素，那么 $H$ 也必须不多不少地有 5 个 2 阶元素和 8 个 3 阶元素。
3. 应用举例:
   • 例一: $S_3$ 和 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
   • 它们的阶都是 6，所以性质 (a) 无法区分它们。
   • 但是 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ (整数模 6 加法群) 是交换群。
   • $S_3$ 是非交换群，因为 $(12)(13) = (132)$ 而 $(13)(12) = (123)$。
   • 一个交换，一个非交换，违反了性质 (b)。
   • 因此，$S_3 \not\cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。

• 例二: $(\mathbb{R}-\{0\}, \times)$ 和 $(\mathbb{R}, +)$
• 它们的阶（基数）都是连续统，性质 (a) 无法区分。
• 它们都是交换群，性质 (b) 无法区分。
• 现在检查性质 (c)，元素的阶。
• 在群 $(\mathbb{R}-\{0\}, \times)$ 中，我们找一个元素，比如 $-1$。计算它的阶：$(-1)^1 = -1$, $(-1)^2 = 1$ (单位元)。所以元素 $-1$ 的阶是 2。
• 在群 $(\mathbb{R}, +)$ 中，我们寻找是否存在阶为 2 的元素。一个元素 $x$ 的阶为 2 意味着 $x \neq 0$ (非单位元) 且 $x+x = 0$ (单位元)，即 $2x=0$。在实数中，只有 $x=0$ 满足这个方程。但这与 $x$ 是非单位元矛盾。
• 因此，群 $(\mathbb{R}, +)$ 中不存在阶为 2 的元素。
• 一个群有 2 阶元素，另一个没有。这违反了性质 (c) 的推论（即两个群必须有相同数量的各阶元素）。
• 因此，$(\mathbb{R}-\{0\}, \times) \not\cong (\mathbb{R}, +)$。

这段话给出了一个极其强大和便捷的工具，用于在由生成元和关系定义的群之间构造同态和同构。这个定理（冯·戴克定理 Von Dyck's Theorem 的一个应用版本）的证明被推迟了，但其用法在这里被详细说明。

定理内容分解：

1. 前提条件:
   • 有一个群 $G$，它由一组生成元 $S = \{s_1, \dots, s_m\}$ 定义。
   • $G$ 的生成元之间满足一系列的关系（即一些由生成元组成的、值为单位元的表达式，如 $s_1^3 = 1$，$s_1s_2 = s_2s_1^{-1}$ 等）。这些关系完整地定义了 $G$ 的结构，称为 $G$ 的一个表示 (presentation)。
   • 有另一个群 $H$。
   • 我们在 $H$ 中选择了一组元素 $\{r_1, \dots, r_m\}$，数量与 $G$ 的生成元个数相同。
2. 核心条件 (关系保持):
   • 我们将 $G$ 的所有关系中的 $s_i$ 全部替换为对应的 $r_i$。
   • 如果替换后的这些新关系在 $H$ 中 全部成立，那么......
3. 结论一 (同态存在):
   • ...必然存在一个 唯一 的群同态 $\varphi: G \rightarrow H$，这个同态恰好就是把每个生成元 $s_i$ 映射到我们选定的 $r_i$，即 $\varphi(s_i) = r_i$。
   • 重要性: 我们不需要为 $G$ 中的每一个元素（它们是生成元的复杂乘积）去定义映射。我们只需要定义生成元的去向，整个同态映射就被唯一确定了！我们唯一要做的就是检查目标元素是否满足原来的关系。
   • 关于关系: 如果 $G$ 是由一个表示 $\langle S \mid R \rangle$ 给出（$R$是定义关系集合），我们只需要检查 $R$ 中的关系即可，因为所有其他关系都是从 $R$ 推导出来的。
4. 结论二 (满射):
   • 如果在上述基础上，我们选定的那组元素 $\{r_1, \dots, r_m\}$ 恰好也能生成整个群 $H$ (即 $H = \langle r_1, \dots, r_m \rangle$)，那么这个同态 $\varphi$ 必然是满射的。
   • 原因: $H$ 中的任何元素都可以写成 $r_i$ 的乘积，而这个乘积正是 $G$ 中对应的 $s_i$ 的乘积的像。
5. 结论三 (同构):
   • 如果在满射的基础上，我们还知道 $G$ 和 $H$ 都是有限群，并且它们的阶相等 ($|G|=|H|$), 那么这个同态 $\varphi$ 必然是一个同构。
   • 原因: 对于两个阶相同的有限集合，它们之间的一个满射函数必然也是一个单射函数，因此是双射。一个既是同态又是双射的映射，根据定义就是同构。

直观总结:

这个定理告诉我们，要建造一座从 $G$ 到 $H$ 的同态桥梁，你只需要为 $G$ 的几个“主心骨”（生成元）在 $H$ 中找到合适的“桥墩”（目标元素）。选择桥墩的唯一要求是，它们必须能够支撑起与主心骨之间完全相同的“结构约束”（关系）。一旦桥墩选好，整座桥的结构就自动、唯一地确定了。如果这些桥墩还能撑起整个对岸世界（生成 $H$），桥就通到了对岸的每个角落（满射）。如果两岸的大小还一样（阶相等），那么这座桥就是完美的（同构）。

这段话通过与读者可能更熟悉的线性代数中的概念进行类比，来帮助理解上一段关于群的生成元和关系的定理。

1. 类比对象:
   • 群 $\leftrightarrow$ 向量空间
   • 群同态 $\leftrightarrow$ 线性变换
   • 群同构 $\leftrightarrow$ 可逆线性变换 (即向量空间同构)
   • 群的生成元 $\leftrightarrow$ 向量空间的基 (basis)
2. 线性变换的定义:
   • 我们知道，要定义一个从向量空间 $V$ 到 $W$ 的线性变换 $T: V \rightarrow W$，我们 不需要 指定 $V$ 中每一个向量的去向。
   • 我们只需要指定 $V$ 的一组基 $S = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$ 中每个基向量的去向即可。
   • 我们可以把每个 $\mathbf{v}_i$ 映射到 $W$ 中的 任意 一个向量 $\mathbf{w}_i$。即定义 $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$。
   • 一旦基向量的去向确定了，整个线性变换就唯一确定了。因为 $V$ 中任何一个向量 $\mathbf{v}$ 都可以唯一地表示为基的线性组合 $\mathbf{v} = c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_n\mathbf{v}_n$，那么它的像就是 $T(\mathbf{v}) = T(c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_n\mathbf{v}_n) = c_1T(\mathbf{v}_1) + \dots + c_nT(\mathbf{v}_n) = c_1\mathbf{w}_1 + \dots + c_n\mathbf{w}_n$。
3. 与群论定理的比较:
   • 相似点: 两者都是通过定义“生成元”（群生成元 vs. 向量空间基）的去向，来唯一确定一个“保持结构的映射”（同态 vs. 线性变换）。
   • 关键区别: 在向量空间中，基向量之间是“自由”的，它们是线性无关的，没有关系需要满足。因此，我们可以把基向量 $\mathbf{v}_i$ 映射到目标空间 $W$ 中的 任何 向量 $\mathbf{w}_i$。
   • 但在群论中，生成元 $s_i$ 之间通常不是“自由”的，它们被各种关系所约束。因此，我们不能把生成元 $s_i$ 随意映射到目标群 $H$ 中的元素 $r_i$。我们选择的 $r_i$ 必须也要满足那些关系。这就是群的情况比向量空间更复杂的地方。自由群 (free group) 是一个特例，它的生成元之间没有任何关系，因此最像向量空间的基。
4. 向量空间同构:
   • 如果目标空间 $W$ 的维数也是 $n$，并且我们所选择的目标向量 $\{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n\}$ 能够张成 (span) $W$，那么它们也构成 $W$ 的一组基。
   • 在这种情况下，这个线性变换 $T$ 就是一个可逆线性变换，也即一个向量空间同构。
   • 类比: 这完全对应于群论中的情况：如果目标元素 $\{r_1, \dots, r_m\}$ 生成了 $H$，并且 $|G|=|H|$（在有限维向量空间中，维数相等扮演了阶相等的角色），那么映射就是同构。

这个例子是上一节理论的直接应用，展示了如何在一个二面体群 $D_{2n}$ 和另一个更小的二面体群 $D_{2k}$ 之间构造一个同态。

1. 理论复述: 首先，作者复述了一遍上一节的结论：对于 $D_{2n}$ (由生成元 $r, s$ 和关系 $r^n=s^2=1, sr=r^{-1}s$ 定义)，只要我们在另一个群 $H$ 中找到两个元素 $a,b$ 也能满足这三条关系（即 $a^n=1, b^2=1, ba=a^{-1}b$），那么就一定存在一个同态 $\varphi: D_{2n} \to H$，它把 $r$ 映射到 $a$，把 $s$ 映射到 $b$。
2. 具体例子设置:
   • 源群 $G = D_{2n}$，正 $n$ 边形的对称群 ($n \ge 3$)。
   • 目标群 $H = D_{2k}$，正 $k$ 边形的对称群。
   • 条件: $k$ 是 $n$ 的一个因子，即 $n=km$ 对于某个整数 $m$ 成立。同时要求 $k \ge 3$ 以确保 $D_{2k}$ 是一个标准的二面体群。
   • $D_{2n}$ 的生成元是 $r, s$，满足关系 $r^n=1, s^2=1, sr=r^{-1}s$。
   • $D_{2k}$ 的生成元是 $r_1, s_1$，满足关系 $r_1^k=1, s_1^2=1, s_1r_1=r_1^{-1}s_1$。
3. 构造映射:
   • 我们尝试定义一个映射 $\varphi: D_{2n} \to D_{2k}$，通过指定生成元的去向：
   • $\varphi(r) = r_1$
   • $\varphi(s) = s_1$
4. 验证关系:
   • 根据冯·戴克定理，我们需要检查 $D_{2n}$ 的关系在 $r$ 被 $r_1$ 替换、$s$ 被 $s_1$ 替换后，在 $D_{2k}$ 中是否仍然成立。
   • 关系1: $r^n=1$ $\rightarrow$ 在 $D_{2k}$ 中， $r_1^n=1$ 是否成立？
   • 我们知道 $r_1^k=1$ (这是 $D_{2k}$ 的定义)。
   • 因为 $n=km$，所以 $r_1^n = r_1^{km} = (r_1^k)^m = (1)^m = 1$。
   • 成立。这是最关键的一步，利用了 $k$ 整除 $n$ 的条件。
   • 关系2: $s^2=1$ $\rightarrow$ 在 $D_{2k}$ 中， $s_1^2=1$ 是否成立？
   • 这直接就是 $D_{2k}$ 的定义之一。成立。
   • 关系3: $sr=r^{-1}s$ $\rightarrow$ 在 $D_{2k}$ 中， $s_1r_1=r_1^{-1}s_1$ 是否成立？
   • 这直接就是 $D_{2k}$ 的定义之一。成立。
5. 得出结论:
   • 同态: 因为所有三个关系都满足，所以 $\varphi$ 确实可以扩展为一个从 $D_{2n}$ 到 $D_{2k}$ 的同态。
   • 满射: 我们映射的目标元素 $\{r_1, s_1\}$ 是 $D_{2k}$ 的生成元，因此根据定理，这个同态 $\varphi$ 是满射的（映成）。
   • 非同构: 如果 $k < n$，那么 $|D_{2n}|=2n$，$|D_{2k}|=2k$。因为 $2n \neq 2k$，它们的阶不相等。所以这个同态不可能是同构。这是一个从大群到小群的“压缩”映射。

这个例子再次使用冯·戴克定理，但这次的目标是证明一个同构关系，即 $D_6 \cong S_3$。

1. 设置:
   • 源群: $G = D_6$，其表示为 $\langle r, s \mid r^3=1, s^2=1, sr=r^{-1}s \rangle$。
   • 目标群: $H = S_3$。
   • 生成元映射的目标: 我们尝试将 $D_6$ 的生成元 $r$ 和 $s$ 映射到 $S_3$ 中的具体元素。选择 $a=(123)$ 和 $b=(12)$。所以映射是 $r \mapsto (123), s \mapsto (12)$。
2. 验证关系: 我们需要检查 $D_6$ 的三个关系在将 $r$ 替换为 $a=(123)$、$s$ 替换为 $b=(12)$ 后，是否在 $S_3$ 中成立。
   • 关系1: $r^3=1$ $\rightarrow$ $a^3=1$?
   • $a^3 = (123)^3 = (123)(123)(123) = (132)(123) = e$ (恒等置换)。成立。
   • 关系2: $s^2=1$ $\rightarrow$ $b^2=1$?
   • $b^2 = (12)^2 = (12)(12) = e$。成立。
   • 关系3: $sr=r^{-1}s$ $\rightarrow$ $ba=a^{-1}b$?
   • 这个关系需要一点计算。在 $D_6$ 中，$sr=r^{-1}s$ 等价于 $srs=r^{-1}$。在 $H$ 中，我们需要验证 $bab = a^{-1}$。
   • $a=(123)$, $b=(12)$。$a^{-1}=(132)$。
   • $bab = (12)(123)(12) = (13)(12) = (132)$。
   • 由于 $bab = (132)$ 且 $a^{-1}=(132)$，所以 $bab=a^{-1}$ 成立。因此原关系 $ba = a^{-1}b$ 也成立。
3. 结论1: 同态存在: 因为所有关系都满足，所以存在一个从 $D_6$ 到 $S_3$ 的同态 $\varphi$，使得 $\varphi(r)=(123), \varphi(s)=(12)$。
4. 结论2: 满射:
   • 检查映射的目标元素 $\{a, b\} = \{(123), (12)\}$ 是否能生成整个 $S_3$。
   • $\langle (123), (12) \rangle$ 是 $S_3$ 的一个子群。它的阶必须整除 $|S_3|=6$。
   • 这个子群至少包含元素 $(123)$ (阶3) 和 $(12)$ (阶2)，所以它的阶至少是 $lcm(3,2)=6$。
   • 因此，这个子群的阶就是 6，它就是 $S_3$ 本身。
   • 因为目标元素生成了整个目标群，所以同态 $\varphi$ 是满射的。
5. 结论3: 同构:
   • $D_6$ 和 $S_3$ 都是有限群。
   • 它们的阶相等，都是 6。
   • 根据定理，一个在两个等阶有限群之间的满射同态必然是同构。
   • 最终结论: $D_6 \cong S_3$。

关于元素阶的注解:

• 作者最后补充说明，冯·戴克定理的要求是关系 $a^n=1$ 成立，而 不要求 $a$ 的阶恰好是 $n$。$a$ 的阶可以是 $n$ 的任何因子。
• 例子: 在 $D_{12} \to D_6$ 的同态中，$D_{12}$ 的关系是 $r^6=1$。我们把它映射到 $D_6$ 的 $r_1$。我们验证了 $r_1^6=1$ 成立。但是，$r_1$ 在 $D_6$ 中的阶是 3，而不是 6。这没有问题！定理只要求 $r_1^6$ 等于单位元，不要求 6 是使它等于单位元的最小正整数。
• 这个说明非常重要，它降低了寻找同态的难度。我们不必费力去寻找阶完全匹配的元素，只需要验证关系式成立即可。这也揭示了表示的本质：关系的集合完整地定义了群的结构，比单个元素的阶更为根本。

这个练习旨在证明同态的一个基本性质：它不仅保持一次运算，还保持任意整数次幂的运算。

(a) 证明正整数次幂

• 目标: 证明 $\varphi(x^n) = \varphi(x)^n$ 对于所有正整数 $n$ 都成立。
• 方法: 使用数学归纳法。
• 基础步骤 (n=1): 当 $n=1$ 时，$\varphi(x^1) = \varphi(x)$，$\varphi(x)^1 = \varphi(x)$。等式成立。
• 归纳假设: 假设当 $n=k$ (k为某个正整数) 时，命题成立，即 $\varphi(x^k) = \varphi(x)^k$。
• 归纳步骤 (n=k+1): 我们需要证明 $\varphi(x^{k+1}) = \varphi(x)^{k+1}$。
• 左边 = $\varphi(x^{k+1}) = \varphi(x^k \cdot x)$
• 因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$。这里令 $a=x^k, b=x$。
• 所以 $\varphi(x^k \cdot x) = \varphi(x^k) \cdot \varphi(x)$。
• 根据归纳假设，我们知道 $\varphi(x^k) = \varphi(x)^k$。代入上式。
• 得到 $\varphi(x^k) \cdot \varphi(x) = \varphi(x)^k \cdot \varphi(x) = \varphi(x)^{k+1}$。
• 所以，左边 = $\varphi(x^{k+1})$ = ... = $\varphi(x)^{k+1}$ = 右边。
• 结论: 根据数学归纳法，命题对于所有正整数 $n$ 成立。

(b) 证明负整数和零次幂

• 第一步：证明 n = -1
• 目标: 证明 $\varphi(x^{-1}) = \varphi(x)^{-1}$。即一个元素的逆元的像，等于这个元素的像的逆元。
• 证明:
• 设 $e_G$ 是 $G$ 的单位元，$e_H$ 是 $H$ 的单位元。
• 我们知道 $x \cdot x^{-1} = e_G$。
• 两边同时用 $\varphi$ 映射：$\varphi(x \cdot x^{-1}) = \varphi(e_G)$。
• 左边，因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(x \cdot x^{-1}) = \varphi(x) \cdot \varphi(x^{-1})$。
• 右边，同态一定把单位元映射为单位元，即 $\varphi(e_G) = e_H$。（这是一个需要单独证明但很基础的性质：$\varphi(e_G) = \varphi(e_G \cdot e_G) = \varphi(e_G) \cdot \varphi(e_G)$，在 $H$ 中两边同乘 $\varphi(e_G)$ 的逆元，得 $e_H = \varphi(e_G)$）。
• 所以，我们得到 $\varphi(x) \cdot \varphi(x^{-1}) = e_H$。
• 根据 $H$ 中逆元的唯一定义，如果 $a \cdot b = e_H$，那么 $b$ 就是 $a$ 的逆元，即 $b=a^{-1}$。
• 在我们的情况中，$a=\varphi(x), b=\varphi(x^{-1})$。因此，$\varphi(x^{-1}) = \varphi(x)^{-1}$。
• 第二步：证明 n = 0
• $\varphi(x^0) = \varphi(e_G) = e_H$。
• $\varphi(x)^0 = e_H$ (根据定义，任何群元素的 0 次幂是单位元)。
• 所以 $\varphi(x^0) = \varphi(x)^0$ 成立。
• 第三步：推断所有整数 n
• 当 $n$ 是正整数时，(a) 已经证明。
• 当 $n=0$ 时，刚刚证明。
• 当 $n$ 是负整数时，设 $n=-m$，其中 $m$ 是正整数。
• $\varphi(x^n) = \varphi(x^{-m}) = \varphi((x^m)^{-1})$。
• 根据 $n=-1$ 的结论，$\varphi((x^m)^{-1}) = \varphi(x^m)^{-1}$。
• 根据 (a) 的结论（因为 $m$ 是正数），$\varphi(x^m) = \varphi(x)^m$。
• 代入得到 $\varphi(x^m)^{-1} = (\varphi(x)^m)^{-1}$。
• 根据幂指数运算法则，$(\varphi(x)^m)^{-1} = \varphi(x)^{-m} = \varphi(x)^n$。
• 最终结论: 对于所有整数 $n \in \mathbb{Z}$，$\varphi(x^n) = \varphi(x)^n$ 成立。

这个练习要求证明元素的阶是一个同构不变量，并探讨如果映射只是同态时会发生什么。

第一部分：证明同构保持元素阶

• 目标: 证明如果 $\varphi$ 是同构，则 $|\varphi(x)| = |x|$。
• 元素的阶的定义: 元素 $g$ 的阶 $|g|$ 是使得 $g^n=e$ 成立的最小正整数 $n$。
• 证明:
• 设 $|x| = n$。这意味着 $x^n=e_G$，且对于任何 $1 \le k < n$，$x^k \neq e_G$。
• 我们将证明 $|\varphi(x)|$ 也是 $n$。
• 首先，计算 $\varphi(x)$ 的 $n$ 次幂：
• $\varphi(x)^n = \varphi(x^n)$ (根据练习1的结论)
• $= \varphi(e_G)$ (因为 $|x|=n$)
• $= e_H$ (因为同态映单位元到单位元)
• 这说明 $\varphi(x)$ 的阶至多是 $n$。即 $|\varphi(x)| \le n$。
• 其次，我们需要证明 $|\varphi(x)|$ 不可能比 $n$ 小。
• 假设 $|\varphi(x)| = k$，其中 $k$ 是一个正整数且 $k < n$。
• 这意味着 $\varphi(x)^k = e_H$。
• 同样根据练习1的结论，$\varphi(x)^k = \varphi(x^k)$。
• 所以我们有 $\varphi(x^k) = e_H$。
• 因为 $\varphi$ 是一个同构，所以它是一个双射，特别是单射。
• 单射意味着，如果 $\varphi(a) = \varphi(b)$，则必有 $a=b$。换句话说，只有单位元的像才是单位元。即 $\varphi(z)=e_H \iff z=e_G$。
• 由 $\varphi(x^k) = e_H$，我们可以推断出 $x^k = e_G$。
• 但这与我们最初的假设“$|x|=n$”（即 $n$ 是使 $x$ 的幂为单位元的 最小 正整数）相矛盾，因为我们现在找到了一个更小的正整数 $k < n$ 也使得 $x^k=e_G$。
• 因此，我们的假设“$|\varphi(x)|=k < n$”是错误的。
• 结论: 既然 $|\varphi(x)| \le n$ 且 $|\varphi(x)| \not< n$，那么必然有 $|\varphi(x)| = n = |x|$。

第二部分：推论

• 目标: 推断同构群对于每个 $n \in \mathbb{Z}^{+}$ 都具有相同数量的 $n$ 阶元素。
• 证明:
• 设 $G_n = \{x \in G \mid |x|=n\}$ 是 $G$ 中所有 $n$ 阶元素的集合。
• 设 $H_n = \{y \in H \mid |y|=n\}$ 是 $H$ 中所有 $n$ 阶元素的集合。
• 我们需要证明 $|G_n| = |H_n|$。
• 考虑同构映射 $\varphi: G \to H$。我们将 $\varphi$ 限制在 $G_n$ 上，记为 $\varphi|_{G_n}$。
• 根据第一部分的结论，如果 $x \in G_n$ (即 $|x|=n$)，那么它的像 $|\varphi(x)|$ 也等于 $n$，所以 $\varphi(x) \in H_n$。这意味着 $\varphi|_{G_n}$ 是一个从 $G_n$ 到 $H_n$ 的映射。
• 这个映射是单射吗? 是，因为 $\varphi$ 本身就是单射的，限制在子集上当然还是单射。
• 这个映射是满射吗? 是。对于 $H_n$ 中的任意元素 $y$，因为 $\varphi$ 是满射，所以在 $G$ 中存在一个 $x$ 使得 $\varphi(x)=y$。由于 $|y|=n$，根据第一部分的结论（反向使用），$|x| = |\varphi^{-1}(y)| = |y| = n$。所以这个 $x$ 实际上在 $G_n$ 中。因此映射是满射。
• 一个从 $G_n$ 到 $H_n$ 的双射映射 $\varphi|_{G_n}$ 存在，所以这两个集合的基数必须相等，即 $|G_n|=|H_n|$。

第三部分：仅为同态的情况

• 问题: 如果 $\varphi$ 只是一个同态，那么 $|\varphi(x)|=|x|$ 是否仍然成立？
• 回答: 不成立。
• 解释: 回顾第一部分的证明。我们得出了两个结论：

1. $|\varphi(x)|$ 整除 $|x|$。（因为如果 $|x|=n$，则 $\varphi(x)^n=e_H$）。
2. 如果 $\varphi$ 是单射，则 $|x|$ 整除 $|\varphi(x)|$。
   • 当 $\varphi$ 只是同态时，它不一定是单射。因此，我们只能保证 $|\varphi(x)|$ 是 $|x|$ 的一个因子，但不能保证它们相等。
   • 反例:
   • 考虑从 $D_{12}$ 到 $D_6$ 的同态 $\varphi(r)=r_1, \varphi(s)=s_1$（练习6.1的例子）。
   • 在 $D_{12}$ 中，生成元 $r$ 的阶是 $|r|=6$。
   • 它的像 $\varphi(r)=r_1$ 在 $D_6$ 中的阶是 $|r_1|=3$。
   • 这里，$|\varphi(r)|=3 \neq |r|=6$。但是 3 确实整除 6。
   • 这个反例表明，同态可以“降低”元素的阶。

这个练习要求证明交换性是同构不变量，并探讨在同态情况下，如何从源群的交换性推断出目标群的交换性。

第一部分：同构与交换性

• 目标: 证明 $G$ 是交换群 $\iff$ $H$ 是交换群，当 $\varphi: G \to H$ 是同构时。
• 这是一个双向的证明。

• 方向一 ($\Rightarrow$): 证明如果 G 是交换的，则 H 也是交换的。
• 假设: $G$ 是交换群，即对于所有 $x, y \in G$，$xy=yx$。
• 目标: 证明 $H$ 是交换群，即对于所有 $a, b \in H$，$ab=ba$。
• 证明:
• 取 $H$ 中任意两个元素 $a,b$。
• 因为 $\varphi$ 是同构，所以它是满射的。因此，存在 $x, y \in G$ 使得 $\varphi(x)=a$ 和 $\varphi(y)=b$。
• 现在计算 $ab$:

$ab = \varphi(x)\varphi(y) = \varphi(xy)$ (因为 $\varphi$ 是同态)

• 因为 $G$ 是交换的，所以 $xy=yx$。
• 所以 $\varphi(xy) = \varphi(yx)$。
• $\varphi(yx) = \varphi(y)\varphi(x)$ (因为 $\varphi$ 是同态)
• $= ba$。
• 综上，我们证明了 $ab=ba$。因为 $a,b$ 是 $H$ 中任意元素，所以 $H$ 是交换群。
• 注意: 这个方向的证明只用到了 $\varphi$ 是同态和满射。

• 方向二 ($\Leftarrow$): 证明如果 H 是交换的，则 G 也是交换的。
• 假设: $H$ 是交换群，$\varphi$ 是同构。
• 目标: 证明 $G$ 是交换群，即对于所有 $x, y \in G$，$xy=yx$。
• 证明:
• 取 $G$ 中任意两个元素 $x,y$。
• 考虑它们的像 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(y)$。它们都在 $H$ 中。
• 因为 $H$ 是交换的，所以 $\varphi(x)\varphi(y) = \varphi(y)\varphi(x)$。
• 因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(xy) = \varphi(yx)$。
• 因为 $\varphi$ 是同构，所以它是单射的。
• 如果 $\varphi(a)=\varphi(b)$，则 $a=b$。
• 将此应用于 $\varphi(xy) = \varphi(yx)$，我们得出 $xy=yx$。
• 因为 $x,y$ 是 $G$ 中任意元素，所以 $G$ 是交换群。
• 注意: 这个方向的证明用到了 $\varphi$ 是同态和单射。

第二部分：同态与交换性

• 问题: 如果 $\varphi: G \to H$ 只是一个同态，需要什么附加条件才能保证“若 $G$ 是交换群，则 $H$ 是交换群”？
• 分析:
• 回顾方向一的证明：$ab = \varphi(x)\varphi(y) = \varphi(xy) = \varphi(yx) = \varphi(y)\varphi(x) = ba$。
• 在这个推导中，为了让 $a,b$ 能代表 $H$ 中的 所有 元素，我们必须能够为任何 $a,b \in H$ 找到其在 $G$ 中的原像 $x,y$。
• 这个要求正是满射 (surjective) 的定义。
• 结论:
• 所需要的附加条件是 $\varphi$ 是满射的。
• 正式证明:
• 假设 $\varphi: G \to H$ 是一个同态且满射，并且 $G$ 是交换群。
• 要证明 $H$ 是交换的，取任意 $a,b \in H$。
• 因为 $\varphi$ 是满射的，所以存在 $x,y \in G$ 使得 $\varphi(x)=a, \varphi(y)=b$。
• $ab = \varphi(x)\varphi(y) = \varphi(xy)$。 (同态性)
• 因为 $G$ 交换，所以 $xy=yx$。
• $ab = \varphi(xy) = \varphi(yx) = \varphi(y)\varphi(x) = ba$。
• 因此 $H$ 是交换群。
• 如果不是满射会怎样?
• 如果 $\varphi$ 不是满射，那么它的像 $\varphi(G)$ 只是 $H$ 的一个子群。
• 上述证明仍然可以表明 $\varphi(G)$ 这个子群是交换的。
• 但是 $H$ 本身可能包含其他元素，使得整个 $H$ 是非交换的。
• 例子: 设 $G=(\mathbb{Z},+)$ 是交换群。设 $H=S_3$ 是非交换群。定义一个同态 $\varphi: \mathbb{Z} \to S_3$ 为 $\varphi(n) = e$ (对于所有 $n$)。这是一个合法的同态（平凡同态）。$G$ 是交换的，但 $H$ 不是。这个同态不是满射，所以无法传递交换性。

• 群1: $G = (\mathbb{R}-\{0\}, \times)$，非零实数乘法群。
• 群2: $H = (\mathbb{C}-\{0\}, \times)$，非零复数乘法群。
• 寻找不变量差异:
• 阶: 都是连续统无穷大，无法区分。
• 交换性: 都是交换群，无法区分。
• 元素阶: 这是最有希望的突破口。我们来找一个 $H$ 中有但 $G$ 中没有的有限阶元素。
• 在 $H = (\mathbb{C}-\{0\}, \times)$ 中，考虑元素 $i$ (虚数单位)。
• $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$ (单位元)。
• 所以元素 $i$ 的阶是 4。
• 现在，我们去 $G = (\mathbb{R}-\{0\}, \times)$ 中寻找阶为 4 的元素。
• 一个元素 $x \in G$ 的阶为 4 意味着 $x^4=1$ 且 $x^2 \neq 1$。
• 方程 $x^4=1$ 在实数范围内只有两个解：$x=1$ 和 $x=-1$。
• $x=1$ 是单位元，阶为 1。
• $x=-1$ 的阶是 2 (因为 $(-1)^2=1$)。
• 因此，在 $G$ 中根本不存在阶为 4 的元素。
• 结论: $H$ 有 4 阶元素（比如 $i$ 和 $-i$），而 $G$ 没有。由于元素阶的分布是同构不变量，所以这两个群不同构。

• 群1: $G = (\mathbb{R}, +)$，实数加法群。
• 群2: $H = (\mathbb{Q}, +)$，有理数加法群。
• 寻找不变量差异:
• 交换性: 都是交换群。
• 元素阶: 除了 0 以外，所有元素的阶都是无限的。无法区分。
• 基数 (阶): 这是一个更根本的区别。
• $|\mathbb{Q}|$ 是可数无穷大 (countable infinity)，记为 $\aleph_0$。
• $|\mathbb{R}|$ 是不可数无穷大 (uncountable infinity) 或称连续统 (continuum)，记为 $c$ 或 $2^{\aleph_0}$。
• 我们知道 $\aleph_0 \neq c$。
• 结论: 因为同构必须是双射，它要求两个群的基数必须相等。而 $|\mathbb{R}| \neq |\mathbb{Q}|$，所以不存在从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{Q}$ 的双射，因此更不可能存在同构。

• 群1: $G = (\mathbb{Z}, +)$，整数加法群。
• 群2: $H = (\mathbb{Q}, +)$，有理数加法群。
• 寻找不变量差异:
• 阶: 都是可数无穷大。无法区分。
• 交换性: 都是交换群。
• 元素阶: 除了 0 以外，所有元素的阶都是无限的。无法区分。
• 生成性质 (是否循环):
• $G = (\mathbb{Z}, +)$ 是一个循环群。它可以由单个元素生成，例如 $\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle$ 或 $\mathbb{Z} = \langle -1 \rangle$。
• $H = (\mathbb{Q}, +)$ 不是一个循环群。它不能由单个有理数 $p/q$ 生成。因为由 $p/q$ 生成的子群是 $\{k \cdot (p/q) \mid k \in \mathbb{Z}\}$，这个集合中的所有元素在化为最简分数后，其分母都必然是 $q$ 的因子。因此，它无法生成像 $1/(q+1)$ 这样的有理数。
• 结论: “是否为循环群”是一个同构不变量。$G$ 是循环群而 $H$ 不是，所以它们不同构。
• 另一个不变量：“可除性”
• 在群 $H=(\mathbb{Q}, +)$ 中，对于任意元素 $y \in H$ 和任意非零整数 $n$，方程 $nx=y$ 总是有解 $x=y/n \in H$。这种性质有时被称为“可除群”(divisible group)。
• 在群 $G=(\mathbb{Z}, +)$ 中，这个性质不成立。例如，取 $y=1, n=2$，方程 $2x=1$ 在整数中无解。
• “是否为可除群”也是一个同构不变量。$H$ 是可除群而 $G$ 不是，所以它们不同构。

• 群1: $G = D_8$，二面体群，阶为 8。
• 群2: $H = Q_8$，四元数群，阶为 8。
• 寻找不变量差异:
• 阶: $|D_8|=8, |Q_8|=8$。相同。
• 交换性: 都是非交换群。相同。
• 元素阶的分布:
• 在 $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ 中:
• 1阶元素: $1$ (1个)
• 2阶元素: $-1$ (1个)
• 4阶元素: $\pm i, \pm j, \pm k$ (6个)
• 在 $D_8 = \langle r,s \mid r^4=1, s^2=1, sr=r^{-1}s \rangle$ 中:
• 1阶元素: $e$ (1个)
• 2阶元素: $r^2$ (旋转180度), $s, sr, sr^2, sr^3$ (4个翻转)。共5个。
• 4阶元素: $r, r^3$ (旋转90, 270度)。共2个。
• 结论: $Q_8$ 只有一个 2 阶元素，而 $D_8$ 有 5 个。它们的元素阶分布完全不同。因此，$D_8$ 和 $Q_8$ 不同构。

• 群1: $G = S_n$，n个元素的对称群。
• 群2: $H = S_m$，m个元素的对称群。
• 假设: $n, m$ 是正整数且 $n \neq m$。为了确定，可以假设 $n > m \ge 1$。
• 寻找不变量差异:
• 阶: 这是最直接的。
• $|S_n| = n!$
• $|S_m| = m!$
• 因为 $n \neq m$，所以 $n! \neq m!$ (对于正整数)。
• 结论: 因为同构要求群的阶必须相等，而 $|S_n| \neq |S_m|$，所以它们不同构。
• 特殊情况: 如果 $n=1, m=2$，则 $|S_1|=1, |S_2|=2$。
• 注意: 这个证明在 $n,m > 2$ 时很简单。对于 $n=1, m=2$ 也成立。有一个例外是 $S_n$ 的阶有时会和别的群一样，比如 $|S_3|=6, |S_4|=24$。但 $|S_n|$ 增长速度极快，很少与其他类型的群阶相等。

• 群1: $G = D_{24}$，正12边形的对称群。
• 群2: $H = S_4$，4个元素的对称群。
• 寻找不变量差异:
• 阶:
• $|D_{24}| = 2 \times 12 = 24$。
• $|S_4| = 4! = 24$。
• 阶是相同的，所以不能用这个来区分。
• 交换性: 都是非交换群。无法区分。
• 元素阶的分布:
• 在 $G=D_{24}$ 中，生成元为 $r,s$，满足 $r^{12}=1, s^2=1$。
• 存在一个元素 $r$，其阶为 12。
• 在 $H=S_4$ 中，元素的阶是什么？
• $S_4$ 的元素是 $\{1,2,3,4\}$ 的置换。
• 一个置换的阶是其不相交循环长度的最小公倍数 (LCM)。
• $S_4$ 中可能的循环结构有：
• (1): $e$ -> 阶 1
• (2): (12) -> 阶 2
• (3): (123) -> 阶 3
• (4): (1234) -> 阶 4
• (2,2): (12)(34) -> lcm(2,2) = 2
• $S_4$ 中元素的最大可能阶是 4。
• 结论: $D_{24}$ 中有一个 12 阶元素，而 $S_4$ 中没有 12 阶元素（最大阶为4）。由于元素阶的分布是同构不变量，所以 $D_{24}$ 和 $S_4$ 不同构。
• 另一个不变量：中心 (Center)
• 群的中心 $Z(G) = \{g \in G \mid gx=xg \text{ for all } x \in G\}$ 是一个同构不变量（它的阶和结构都是）。
• $Z(D_{24}) = \{e, r^6\}$ (单位元和旋转180度)。所以 $|Z(D_{24})|=2$。
• $Z(S_4) = \{e\}$。$S_4$ 的中心是平凡的。
• 由于它们的中心阶不同 ($2 \neq 1$)，所以它们不同构。

这个练习要求我们严格地完成在正文示例(3)中提出的证明。该证明的核心是通过一个已知的集合间的双射 $\theta$，来构造一个群之间的同构 $\varphi$。这个构造方法在代数中非常普遍，被称为共轭 (conjugation) 或相似变换。

(a) 证明 $\varphi$ 是定义良好的 (Well-defined)

• 目标: 我们需要证明，对于任意一个 $\Delta$ 上的置换 $\sigma$，它经过 $\varphi$ 映射后得到的结果 $\varphi(\sigma) = \theta \circ \sigma \circ \theta^{-1}$ 确实是 $\Omega$ 上的一个置换。
• 置换的定义: 一个集合上的置换是指从该集合到其自身的双射函数。
• 证明:

1. 分析映射: $\varphi(\sigma)$ 是三个函数的复合：$\theta^{-1}$，然后是 $\sigma$，最后是 $\theta$。
2. 写出函数的路径: $\Omega \xrightarrow{\theta^{-1}} \Delta \xrightarrow{\sigma} \Delta \xrightarrow{\theta} \Omega$。
3. 检查定义域和值域: 整个复合函数 $\theta \circ \sigma \circ \theta^{-1}$ 确实是从 $\Omega$ 映射到 $\Omega$。
4. 检查双射性: 我们知道，有限个双射函数的复合仍然是一个双射函数。
   • $\theta: \Delta \to \Omega$ 是双射 (已知条件)。
   • 因此，它的逆 $\theta^{-1}: \Omega \to \Delta$ 也是双射。
   • $\sigma: \Delta \to \Delta$ 是 $\Delta$ 上的置换，根据定义它也是一个双射。
   • 因此，这三个双射函数的复合 $\theta \circ \sigma \circ \theta^{-1}$ 必然是一个从 $\Omega$到 $\Omega$ 的双射。
5. 结论: 既然 $\varphi(\sigma)$ 是从 $\Omega$到 $\Omega$ 的双射，那么根据定义，它就是 $\Omega$ 上的一个置换，即 $\varphi(\sigma) \in S_{\Omega}$。所以映射 $\varphi$ 是定义良好的。

(b) 证明 $\varphi$ 是双射 (Bijection)

• 目标: 证明映射 $\varphi: S_{\Delta} \to S_{\Omega}$ 本身是一个双射。
• 方法: 找到 $\varphi$ 的逆映射。如果一个函数有逆，那它必然是双射。
• 构造逆映射: 让我们构造一个映射 $\psi: S_{\Omega} \to S_{\Delta}$，形式上与 $\varphi$ 类似：

$\psi(\tau) = \theta^{-1} \circ \tau \circ \theta$，对于所有 $\tau \in S_{\Omega}$。

(这个映射也是定义良好的，证明与(a)完全相同)。

• 验证它是逆映射: 我们需要验证 $\psi \circ \varphi$ 是 $S_{\Delta}$ 上的恒等映射，并且 $\varphi \circ \psi$ 是 $S_{\Omega}$ 上的恒等映射。

1. 验证 $\psi(\varphi(\sigma)) = \sigma$:
   • 对于任意 $\sigma \in S_{\Delta}$：
   • $\psi(\varphi(\sigma)) = \psi(\theta \circ \sigma \circ \theta^{-1})$
   • $= \theta^{-1} \circ (\theta \circ \sigma \circ \theta^{-1}) \circ \theta$ (代入 $\psi$ 的定义)
   • $= (\theta^{-1} \circ \theta) \circ \sigma \circ (\theta^{-1} \circ \theta)$ (函数复合满足结合律)
   • $= id_{\Delta} \circ \sigma \circ id_{\Delta}$ (其中 $id_{\Delta}$ 是 $\Delta$ 上的恒等映射)
   • $= \sigma$。
2. 验证 $\varphi(\psi(\tau)) = \tau$:
   • 对于任意 $\tau \in S_{\Omega}$：
   • $\varphi(\psi(\tau)) = \varphi(\theta^{-1} \circ \tau \circ \theta)$
   • $= \theta \circ (\theta^{-1} \circ \tau \circ \theta) \circ \theta^{-1}$ (代入 $\varphi$ 的定义)
   • $= (\theta \circ \theta^{-1}) \circ \tau \circ (\theta \circ \theta^{-1})$
   • $= id_{\Omega} \circ \tau \circ id_{\Omega}$ (其中 $id_{\Omega}$ 是 $\Omega$ 上的恒等映射)
   • $= \tau$。
   • 结论: 因为我们找到了 $\varphi$ 的一个双侧逆 $\psi$，所以 $\varphi$ 是一个双射。

(c) 证明 $\varphi$ 是同态 (Homomorphism)

• 目标: 证明 $\varphi$ 保持群运算（函数复合），即对于任意 $\sigma, \tau \in S_{\Delta}$，都有 $\varphi(\sigma \circ \tau) = \varphi(\sigma) \circ \varphi(\tau)$。
• 证明:
• 左边:

$\varphi(\sigma \circ \tau) = \theta \circ (\sigma \circ \tau) \circ \theta^{-1}$

• 右边:

$\varphi(\sigma) \circ \varphi(\tau) = (\theta \circ \sigma \circ \theta^{-1}) \circ (\theta \circ \tau \circ \theta^{-1})$

• 由于函数复合满足结合律，我们可以去掉括号：

$= \theta \circ \sigma \circ \theta^{-1} \circ \theta \circ \tau \circ \theta^{-1}$

• 中间的 $\theta^{-1} \circ \theta$ 等于恒等映射 $id_{\Delta}$。

$= \theta \circ \sigma \circ id_{\Delta} \circ \tau \circ \theta^{-1}$

• 一个函数与恒等映射复合，等于其自身。

$= \theta \circ \sigma \circ \tau \circ \theta^{-1}$

• 结论: 左边 = 右边。因此，$\varphi$ 是一个同态。

最终总结: 因为 $\varphi$ 同时满足了同态和双射两个条件，所以 $\varphi$ 是一个从 $S_{\Delta}$ 到 $S_{\Omega}$ 的同构。

这个练习要求证明群的直积运算在同构的意义下是交换的。也就是说，交换直积中群的顺序，得到的群在结构上是相同的。

1. 定义群:
   • $G = A \times B$。它的元素是形如 $(a,b)$ 的有序对，其中 $a \in A, b \in B$。
   • 其群运算是逐分量定义的：$(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1a_2, b_1b_2)$。
   • $H = B \times A$。它的元素是形如 $(b,a)$ 的有序对，其中 $b \in B, a \in A$。
   • 其群运算是：$(b_1, a_1) \cdot (b_2, a_2) = (b_1b_2, a_1a_2)$。
2. 构造映射:
   • 我们需要一个从 $G$ 到 $H$ 的同构映射。最自然的想法就是交换元素的顺序。
   • 定义映射 $\varphi: A \times B \to B \times A$ 为：
3. 证明 $\varphi$ 是双射:
   • 单射 (Injective): 假设 $\varphi((a_1, b_1)) = \varphi((a_2, b_2))$。
   • 根据 $\varphi$ 的定义，这意味着 $(b_1, a_1) = (b_2, a_2)$。
   • 两个有序对相等，意味着它们对应的分量必须相等。
   • 所以 $b_1 = b_2$ 并且 $a_1 = a_2$。
   • 因此，$(a_1, b_1) = (a_2, b_2)$。
   • 这就证明了 $\varphi$ 是单射。
   • 满射 (Surjective): 取 $H = B \times A$ 中的任意一个元素，形如 $(b, a)$。
   • 我们能找到 $G = A \times B$ 中的一个元素 $(x,y)$ 使得 $\varphi((x,y)) = (b,a)$ 吗？
   • $\varphi((x,y)) = (y,x)$。所以我们需要 $(y,x) = (b,a)$。
   • 这要求 $y=b, x=a$。
   • 所以，我们找到了这个元素，它就是 $(a,b) \in A \times B$。
   • 这就证明了 $\varphi$ 是满射。
   • 因为 $\varphi$ 既是单射又是满射，所以它是双射。
4. 证明 $\varphi$ 是同态:
   • 我们需要验证 $\varphi((a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2)) = \varphi((a_1,b_1)) \cdot \varphi((a_2,b_2))$。
   • 计算左边 (LHS):
   • LHS = $\varphi((a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2))$
   • $= \varphi((a_1a_2, b_1b_2))$ (根据 $A \times B$ 的运算定义)
   • $= (b_1b_2, a_1a_2)$ (根据 $\varphi$ 的定义)
   • 计算右边 (RHS):
   • RHS = $\varphi((a_1,b_1)) \cdot \varphi((a_2,b_2))$
   • $= (b_1, a_1) \cdot (b_2, a_2)$ (根据 $\varphi$ 的定义)
   • $= (b_1b_2, a_1a_2)$ (根据 $B \times A$ 的运算定义)
   • 比较: LHS = RHS。
   • 因此，$\varphi$ 是一个同态。
5. 结论:
   • 因为 $\varphi$ 既是同态又是双射，所以它是一个同构。
   • 因此，$A \times B \cong B \times A$。

这个练习要求证明群的直积在同构意义下满足结合律。即 $(A \times B) \times C$ 和 $A \times (B \times C)$ 在结构上是相同的。

1. 定义群:
   • $G \times C = (A \times B) \times C$。
   • 它的元素是形如 $((a,b), c)$ 的有序对，其中 $(a,b) \in A \times B, c \in C$。
   • 它的运算是：$((a_1, b_1), c_1) \cdot ((a_2, b_2), c_2) = ((a_1a_2, b_1b_2), c_1c_2)$。
   • $A \times H = A \times (B \times C)$。
   • 它的元素是形如 $(a, (b,c))$ 的有序对，其中 $a \in A, (b,c) \in B \times C$。
   • 它的运算是：$(a_1, (b_1, c_1)) \cdot (a_2, (b_2, c_2)) = (a_1a_2, (b_1b_2, c_1c_2))$。
2. 构造映射:
   • 从元素的形式可以看出，它们本质上都是由 $A,B,C$ 的元素构成的“三元组”，只是括号的位置不同。
   • 我们定义一个很自然的“重组括号”映射 $\varphi: (A \times B) \times C \to A \times (B \times C)$ 为：
3. 证明 $\varphi$ 是双射:
   • 单射: 假设 $\varphi(((a_1, b_1), c_1)) = \varphi(((a_2, b_2), c_2))$。
   • 即 $(a_1, (b_1, c_1)) = (a_2, (b_2, c_2))$。
   • 根据有序对相等，有 $a_1=a_2$ 且 $(b_1,c_1)=(b_2,c_2)$。
   • 再根据有序对相等，有 $b_1=b_2$ 且 $c_1=c_2$。
   • 因此，$(a_1,b_1)=(a_2,b_2)$。
   • 最终得到 $((a_1, b_1), c_1) = ((a_2, b_2), c_2)$。
   • 所以 $\varphi$ 是单射。
   • 满射: 取 $A \times (B \times C)$ 中的任意元素 $(a, (b,c))$。
   • 我们寻找一个源群中的元素 $x$ 使得 $\varphi(x) = (a, (b,c))$。
   • 根据 $\varphi$ 的定义，这个 $x$ 必然是 $((a,b), c)$。
   • 这个元素确实在 $(A \times B) \times C$ 中。
   • 所以 $\varphi$ 是满射。
   • 因此，$\varphi$ 是双射。
4. 证明 $\varphi$ 是同态:
   • 我们需要验证 $\varphi(((a_1, b_1), c_1) \cdot ((a_2, b_2), c_2)) = \varphi(((a_1, b_1), c_1)) \cdot \varphi(((a_2, b_2), c_2))$。
   • 计算左边 (LHS):
   • LHS = $\varphi( ((a_1a_2, b_1b_2), c_1c_2) )$ (根据源群的运算)
   • $= ( a_1a_2, (b_1b_2, c_1c_2) )$ (根据 $\varphi$ 的定义)
   • 计算右边 (RHS):
   • RHS = $\varphi(((a_1, b_1), c_1)) \cdot \varphi(((a_2, b_2), c_2))$
   • $= (a_1, (b_1, c_1)) \cdot (a_2, (b_2, c_2))$ (根据 $\varphi$ 的定义)
   • $= (a_1a_2, (b_1, c_1) \cdot (b_2, c_2))$ (根据目标群的运算)
   • $= (a_1a_2, (b_1b_2, c_1c_2))$
   • 比较: LHS = RHS。
   • 因此，$\varphi$ 是一个同态。
5. 结论:
   • 因为 $\varphi$ 是一个同构，所以 $(A \times B) \times C \cong A \times (B \times C)$。

这个练习包含两个重要部分，都与同态的像 (Image) 有关。

第一部分：证明像是一个子群

• 定义: 同态 $\varphi: G \to H$ 的像被定义为集合 $\varphi(G) = \{ h \in H \mid \exists g \in G, \varphi(g)=h \}$。它是 $G$ 中所有元素在 $\varphi$ 映射下得到的目标元素所构成的集合，是 $H$ 的一个子集。
• 目标: 证明 $\varphi(G)$ 是 $H$ 的一个子群。
• 方法: 使用子群判别法。我们需要验证三点：

1. 非空性 (Non-empty):
   • $G$ 是一个群，所以它至少包含单位元 $1_G$。
   • $\varphi(1_G) = 1_H$ (同态映单位元到单位元)。
   • 所以，$1_H \in \varphi(G)$。
   • 因此，$\varphi(G)$ 不是空集。
2. 运算封闭性 (Closure):
   • 取 $\varphi(G)$ 中任意两个元素 $h_1, h_2$。
   • 根据像的定义，存在 $g_1, g_2 \in G$ 使得 $\varphi(g_1)=h_1$ 和 $\varphi(g_2)=h_2$。
   • 我们需要证明它们的乘积 $h_1h_2$ 也在 $\varphi(G)$ 中。
   • $h_1h_2 = \varphi(g_1)\varphi(g_2)$。
   • 因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(g_1)\varphi(g_2) = \varphi(g_1g_2)$。
   • 因为 $g_1, g_2 \in G$ 且 $G$ 是群，所以它们的乘积 $g_1g_2$ 也在 $G$ 中。
   • 因此，$h_1h_2 = \varphi(g_1g_2)$ 是 $G$ 中某个元素 ($g_1g_2$) 的像。
   • 根据定义，这意味着 $h_1h_2 \in \varphi(G)$。
   • 所以 $\varphi(G)$ 在群运算下是封闭的。
3. 逆元封闭性 (Closure under inverses):
   • 取 $\varphi(G)$ 中任意一个元素 $h$。
   • 存在 $g \in G$ 使得 $\varphi(g)=h$。
   • 我们需要证明 $h$ 的逆元 $h^{-1}$ 也在 $\varphi(G)$ 中。
   • $h^{-1} = (\varphi(g))^{-1}$。
   • 根据练习1的结论，同态保持逆元运算，所以 $(\varphi(g))^{-1} = \varphi(g^{-1})$。
   • 因为 $g \in G$ 且 $G$ 是群，所以 $g^{-1}$ 也在 $G$ 中。
   • 因此，$h^{-1} = \varphi(g^{-1})$ 是 $G$ 中某个元素 ($g^{-1}$) 的像。
   • 根据定义，这意味着 $h^{-1} \in \varphi(G)$。
   • 所以 $\varphi(G)$ 对逆元是封闭的。
   • 结论: 因为 $\varphi(G)$ 满足子群判别法的所有条件，所以 $\varphi(G)$ 是 $H$ 的一个子群。

第二部分：证明 G 同构于其像（当单射时）

• 目标: 证明如果 $\varphi$ 是单射 (injective) 的，则 $G \cong \varphi(G)$。
• 方法: 我们需要证明，存在一个从 $G$ 到 $\varphi(G)$ 的同构。这个同构其实就是 $\varphi$ 本身，只是我们把它的值域 (codomain) 从 $H$ 限制到了它的像 $\varphi(G)$。
• 构造新映射: 考虑映射 $\varphi': G \to \varphi(G)$，其规则与 $\varphi$ 完全相同，即 $\varphi'(g) = \varphi(g)$。
• 证明 $\varphi'$ 是同构:

1. 证明 $\varphi'$ 是同态:
   • $\varphi'(g_1g_2) = \varphi(g_1g_2) = \varphi(g_1)\varphi(g_2) = \varphi'(g_1)\varphi'(g_2)$。
   • 继承了 $\varphi$ 的同态性质。
2. 证明 $\varphi'$ 是双射:
   • 单射: 我们已知 $\varphi$ 是单射的，$\varphi'$ 和 $\varphi$ 只是值域的写法不同，所以 $\varphi'$ 也是单射的。
   • 满射: 我们需要证明对于 $\varphi(G)$ 中的任意元素 $h$，都存在 $g \in G$ 使得 $\varphi'(g)=h$。这根据像 $\varphi(G)$ 的定义是显然成立的。$h$ 在 $\varphi(G)$ 中就意味着它是 $G$ 中某个 $g$ 的像。所以 $\varphi'$ 对其自身像的映射必然是满射。
   • 结论: 因为 $\varphi': G \to \varphi(G)$ 既是同态又是双射，所以它是一个同构。因此 $G \cong \varphi(G)$。

这个练习引入了与像同样重要的概念——核 (Kernel)，并要求证明它的两个核心性质。

第一部分：证明核是一个子群

• 定义: 同态 $\varphi: G \to H$ 的核被定义为集合 $\ker(\varphi) = \{ g \in G \mid \varphi(g)=1_H \}$。它是 $G$ 中所有被映射到 $H$ 的单位元的元素的集合，是 $G$ 的一个子集。
• 目标: 证明 $\ker(\varphi)$ 是 $G$ 的一个子群。
• 方法: 使用子群判别法。

1. 非空性:
   • $\varphi(1_G) = 1_H$。
   • 根据核的定义，这意味着 $1_G \in \ker(\varphi)$。
   • 因此，核非空。
2. 运算封闭性:
   • 取 $\ker(\varphi)$ 中任意两个元素 $g_1, g_2$。
   • 这意味着 $\varphi(g_1)=1_H$ 和 $\varphi(g_2)=1_H$。
   • 我们需要证明它们的乘积 $g_1g_2$ 也在 $\ker(\varphi)$ 中，即证明 $\varphi(g_1g_2)=1_H$。
   • $\varphi(g_1g_2) = \varphi(g_1)\varphi(g_2)$ (因为 $\varphi$ 是同态)
   • $= 1_H \cdot 1_H = 1_H$。
   • 所以 $g_1g_2 \in \ker(\varphi)$。核在群运算下是封闭的。
3. 逆元封闭性:
   • 取 $\ker(\varphi)$ 中任意一个元素 $g$。
   • 这意味着 $\varphi(g)=1_H$。
   • 我们需要证明 $g^{-1}$ 也在 $\ker(\varphi)$ 中，即证明 $\varphi(g^{-1})=1_H$。
   • $\varphi(g^{-1}) = (\varphi(g))^{-1}$ (同态保持逆元)
   • $= (1_H)^{-1} = 1_H$。
   • 所以 $g^{-1} \in \ker(\varphi)$。核对逆元是封闭的。
   • 结论: $\ker(\varphi)$ 满足子群判别法，因此是 $G$ 的一个子群。

第二部分：证明单射与核的关系

• 目标: 证明 $\varphi$ 是单射 $\iff \ker(\varphi) = \{1_G\}$ (核是只包含单位元的平凡子群)。
• 这是一个双向的证明。

• 方向一 ($\Rightarrow$): 证明如果 $\varphi$ 是单射，则 $\ker(\varphi)=\{1_G\}$。
• 假设: $\varphi$ 是单射。
• 目标: 证明核中只包含单位元。
• 证明:
• 取核中任意一个元素 $g \in \ker(\varphi)$。
• 根据核的定义，$\varphi(g)=1_H$。
• 我们又知道 $\varphi(1_G)=1_H$。
• 所以我们有 $\varphi(g)=\varphi(1_G)$。
• 因为 $\varphi$ 是单射，如果像相等，则原像也必须相等。
• 因此，$g=1_G$。
• 这说明核中任意一个元素都必然是单位元。所以 $\ker(\varphi) = \{1_G\}$。

• 方向二 ($\Leftarrow$): 证明如果 $\ker(\varphi)=\{1_G\}$，则 $\varphi$ 是单射。
• 假设: $\ker(\varphi) = \{1_G\}$。
• 目标: 证明 $\varphi$ 是单射，即如果 $\varphi(g_1)=\varphi(g_2)$，则必须有 $g_1=g_2$。
• 证明:
• 假设对于某两个元素 $g_1, g_2 \in G$，有 $\varphi(g_1)=\varphi(g_2)$。
• 在等式两边同时右乘 $\varphi(g_2)^{-1}$ (它等于 $\varphi(g_2^{-1})$)。
• $\varphi(g_1)\varphi(g_2)^{-1} = \varphi(g_2)\varphi(g_2)^{-1} = 1_H$。
• 因为 $\varphi$ 是同态，左边等于 $\varphi(g_1g_2^{-1})$。
• 所以我们得到 $\varphi(g_1g_2^{-1}) = 1_H$。
• 根据核的定义，这意味着元素 $g_1g_2^{-1}$ 在核里面，即 $g_1g_2^{-1} \in \ker(\varphi)$。
• 根据我们的假设，核里面只有一个元素 $1_G$。
• 所以 $g_1g_2^{-1} = 1_G$。
• 两边右乘 $g_2$，得到 $g_1=g_2$。
• 这就证明了 $\varphi$ 是单射。

这个练习给出了一个非常直观的同态例子：将一个平面上的点“投影”到 x 轴上。

1. 定义群:
   • 源群 $G = (\mathbb{R}^2, +)$，即二维实数向量的加法群。其运算是向量加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)$。单位元是 $(0,0)$。
   • 目标群 $H = (\mathbb{R}, +)$，即实数加法群。单位元是 $0$。
2. 定义映射:
   • $\pi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 定义为 $\pi((x,y)) = x$。
   • 这个映射取一个二维向量，丢掉它的 y 分量，只保留 x 分量。这被称为投影映射 (Projection map)。
3. 证明 $\pi$ 是同态:
   • 我们需要验证 $\pi((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = \pi((x_1, y_1)) + \pi((x_2, y_2))$。
   • 计算左边 (LHS):
   • LHS = $\pi((x_1, y_1) + (x_2, y_2))$
   • $= \pi((x_1+x_2, y_1+y_2))$ (根据 $\mathbb{R}^2$ 的加法)
   • $= x_1+x_2$ (根据 $\pi$ 的定义)
   • 计算右边 (RHS):
   • RHS = $\pi((x_1, y_1)) + \pi((x_2, y_2))$
   • $= x_1 + x_2$ (根据 $\pi$ 的定义)
   • 比较: LHS = RHS。
   • 因此，$\pi$ 是一个同态。
4. 找到 $\pi$ 的核:
   • 根据定义，$\ker(\pi) = \{ g \in G \mid \pi(g) = 1_H \}$。
   • 在这里，$G=\mathbb{R}^2$，$H=\mathbb{R}$，$1_H=0$。
   • $\ker(\pi) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \pi((x,y)) = 0 \}$。
   • $\pi((x,y)) = x$，所以条件变为 $x=0$。
   • $\ker(\pi) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x=0 \}$。
   • 这个集合就是 $\{ (0,y) \mid y \in \mathbb{R} \}$。
   • 几何上，这是 $\mathbb{R}^2$ 平面上的 y-轴。
5. 补充分析:
   • 根据练习 14 的结论，因为 $\ker(\pi)$ (y-轴) 不仅仅是单位元 $(0,0)$，所以这个同态 $\pi$ 不是单射。
   • 这非常直观：所有在同一条垂直线上的点（例如 $(3,1), (3,5), (3,-100)$）都被映射到了 x 轴上的同一点 (3)。信息被“压缩”了。
   • 这个同态是满射吗？是的，因为对于目标群 $\mathbb{R}$ 中的任意实数 $r$，我们都可以在源群 $\mathbb{R}^2$ 中找到一个元素，比如 $(r,0)$，使得 $\pi((r,0))=r$。

这个练习是上一个练习的抽象化和推广。它表明从一个直积群到其分量的投影总是同态。

1. 定义群和映射:
   • 源群 $G = A \times B$。
   • 目标群 $A$ 和 $B$。
   • 投影映射:
   • $\pi_1: A \times B \to A$ 定义为 $\pi_1((a,b))=a$ (投影到第一个分量)。
   • $\pi_2: A \times B \to B$ 定义为 $\pi_2((a,b))=b$ (投影到第二个分量)。
2. 证明 $\pi_1$ 是同态:
   • 取 $G$ 中两个任意元素 $g_1 = (a_1, b_1)$ 和 $g_2 = (a_2, b_2)$。
   • 我们需要验证 $\pi_1(g_1 g_2) = \pi_1(g_1) \pi_1(g_2)$。
   • 左边: $\pi_1((a_1,b_1)(a_2,b_2)) = \pi_1((a_1a_2, b_1b_2)) = a_1a_2$。
   • 右边: $\pi_1((a_1,b_1)) \pi_1((a_2,b_2)) = a_1 \cdot a_2$。
   • 左边 = 右边。所以 $\pi_1$ 是同态。
   • 对 $\pi_2$ 的证明完全类似。
3. 找到 $\pi_1$ 的核:
   • $\ker(\pi_1) = \{ g \in G \mid \pi_1(g) = 1_A \}$ (其中 $1_A$ 是群 $A$ 的单位元)。
   • $g$ 的形式是 $(a,b)$。条件是 $\pi_1((a,b)) = a = 1_A$。
   • 所以 $\ker(\pi_1) = \{ (1_A, b) \mid b \in B \}$。
   • 这个子群的结构是怎样的？它只在第二个分量上有变化，第一个分量固定为单位元。可以很容易地证明它与群 $B$ 同构（通过映射 $(1_A, b) \mapsto b$）。
4. 找到 $\pi_2$ 的核:
   • $\ker(\pi_2) = \{ g \in G \mid \pi_2(g) = 1_B \}$ (其中 $1_B$ 是群 $B$ 的单位元)。
   • 条件是 $\pi_2((a,b)) = b = 1_B$。
   • 所以 $\ker(\pi_2) = \{ (a, 1_B) \mid a \in A \}$。
   • 这个子群与群 $A$ 同构。