1. 第1.7节 群作用

这段话是本节的开场白，它告诉我们即将学习一个非常重要的概念——群作用（Group Action）。

1. 核心概念：群作用描述的是一个群（一个代数结构）如何去“操控”或者“变换”一个集合（一堆元素的集合）。你可以想象一个群是一套“动作指令集”，而集合是等待被操作的“对象”。
2. 作用与目的：学习群作用不是为了概念而概念，它是一个强大的“工具”。
   • 证明定理：它可以帮助我们证明一些关于抽象群本身性质的定理。比如后面会提到的凯莱定理（Cayley's Theorem）和轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）。
   • 揭示结构：通过观察一个群如何作用在某个集合上，我们可以反过来了解这个群的内部结构。例如，我们可以通过分析一个正方形的对称操作（这是一个群）如何移动它的顶点（这是一个集合），来理解这个对称群的构成。
3. 普适性：“作用”这个思想不仅仅局限于群和集合。在整个抽象代数的学习中，我们会反复看到一个代数对象（如环、域、模）如何“作用”于另一个对象。这是一种研究代数结构的通用方法论：要想了解一个东西，就去看它能“做”些什么。

这是群作用的数学化、形式化的定义。我们来一步步拆解它。

1. “是一个从 $G \times A$ 到 $A$ 的映射”：
   • $G$ 是一个群， $A$ 是一个集合。
   • $G \times A$ 是 $G$ 和 $A$ 的笛卡尔积。它的元素都是形如 $(g, a)$ 的有序对，其中 $g$ 来自群 $G$，$a$ 来自集合 $A$。
   • “映射”意味着我们有一个规则，这个规则会为每一个输入的有序对 $(g, a)$ 指定一个唯一的输出。
   • “到 $A$”意味着这个唯一的输出结果必须是集合 $A$ 里的一个元素。
   • 这个映射通常被记作 $g \cdot a$。所以，输入是 $(g, a)$，输出就是 $g \cdot a$。这个点 · 不是乘法，而是一个表示“作用”的符号。
2. 性质 (1): $g_{1} \cdot (g_{2} \cdot a) = (g_{1} g_{2}) \cdot a$
   • 这叫做结合律的兼容性。它描述了连续作用的规则。
   • 左侧 $g_{1} \cdot (g_{2} \cdot a)$：
   • 首先，群元素 $g_{2}$ 作用在集合元素 $a$ 上，得到一个新的集合元素，我们叫它 $a' = g_{2} \cdot a$。
   • 然后，群元素 $g_{1}$ 再作用在这个新的集合元素 $a'$ 上，得到最终结果 $g_{1} \cdot a'$。
   • 右侧 $(g_{1} g_{2}) \cdot a$：
   • 首先，在群 $G$ 内部，进行群的二元运算，$g_1$ 和 $g_2$ 相乘得到一个新的群元素，我们叫它 $g_3 = g_1 g_2$。
   • 然后，这个新的群元素 $g_3$ 直接作用在原始的集合元素 $a$ 上，得到最终结果 $g_3 \cdot a$。
   • 这个性质要求这两种方式得到的结果必须完全相同。这保证了群的运算结构和作用的复合是相容的。
3. 性质 (2): $1 \cdot a = a$
   • 这叫做单位元性质。
   • $1$ 是群 $G$ 中的单位元（Identity Element）。
   • 这个性质要求，当群的单位元作用于集合中的任何一个元素 $a$ 时，这个元素 $a$ 保持不变。就像遥控器上的“不动”按钮。

这段话是对前面定义的补充说明，主要关注记号和概念的清晰度。

1. 简化语言：我们不说“存在一个从 $G \times A$ 到 $A$ 的映射...”，而是直接说“群 $G$ 作用于集合 $A$”。这是一种更简洁的说法。
2. 简化记号：表示作用的点 · 经常被省略。所以 $g \cdot a$ 就直接写成 $ga$。
   • 警告：这个简写 $ga$ 看起来就像是群里的乘法，但它绝对不是！
   • 如何区分：关键看元素的“户口”。如果 $g$ 在群 $G$ 里，$a$ 在集合 $A$ 里，那么 $ga$ 就是指群作用，它的结果也在集合 $A$ 里。如果 $g_1$ 和 $g_2$ 都在群 $G$ 里，那么 $g_1 g_2$ 就是指群内部的运算，结果仍在群 $G$ 里。
3. 重申性质 (1) 的运作机制：
   • 在 $g_1(g_2 a)$ 中（使用简化记号），首先计算的是 $g_2 a$，这是一个集合元素。然后 $g_1$ 再作用于这个新得到的集合元素。整个过程都发生在“集合 $A$ 的世界”里（除了 $g_1, g_2$ 本身）。
   • 在 $(g_1 g_2)a$ 中，首先计算的是括号里的 $g_1 g_2$，这是一个群内的运算，发生在“群 $G$ 的世界”里。计算出一个新的群元素后，再让它作用于集合元素 $a$。

这段话揭示了群作用的本质：每个群元素都对应着集合 A 的一个置换。

1. “对于每个固定的 $g \in G$...”：我们从群 $G$ 中随便挑出一个元素 $g$，然后暂时把它“钉住”，只看它能做什么。
2. “我们得到一个映射 $\sigma_g$”：利用这个固定的 $g$，我们定义一个新的函数，名叫 $\sigma_g$。这个函数是专门处理集合 $A$ 里的元素的。
3. $\sigma_g$ 的定义：
   • $\sigma_g: A \to A$：表示 $\sigma_g$ 这个函数的输入是来自集合 $A$ 的元素，输出也回到了集合 $A$。
   • $\sigma_g(a) = g \cdot a$：具体来说，$\sigma_g$ 这个函数对输入 $a$ 做的操作，就是让之前我们“钉住”的那个群元素 $g$ 作用在 $a$ 上。
   • 换句话说，$\sigma_g$ 封装了 $g$ 的“作用能力”。
4. 两个重要事实：
   • (i) $\sigma_g$ 是一个置换 (Permutation)：
   • 什么是置换？一个集合 A 上的置换，是一个从 A 到 A 的双射（既是单射又是满射）函数。通俗地说，它就是把集合 A 里的元素重新排列一遍，不重不漏。
   • 这个事实说明，群元素 $g$ 的作用不是随意的，它不会把两个不同的集合元素 $a_1, a_2$ 映射到同一个地方，也不会漏掉任何一个集合元素。它只是在“洗牌”。
   • (ii) $g \mapsto \sigma_g$ 是一个同态 (Homomorphism)：
   • 我们建立了一个新的映射，我们叫它 $\varphi$。这个映射 $\varphi$ 的输入是群 $G$ 的元素 $g$，输出是集合 $A$ 的置换 $\sigma_g$。$\varphi(g) = \sigma_g$。
   • 输出的这些置换 $\sigma_g$ 组成了集合 A 上的对称群 $S_A$ (The symmetric group on A)，即 A 上所有置换构成的群，其运算是函数复合。
   • 什么是同态？一个从群 $G$ 到群 $H$ 的映射 $\varphi$ 是同态，如果它保持群的运算结构，即 $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$。（注意 $S_A$ 的运算是函数复合 $\circ$）。
   • 这个事实说明，群 $G$ 内部的运算结构，被完美地“投影”到了它所引起的置换们的复合运算上。在 $G$ 中先做乘法再映射，和先映射成置换再做复合，结果是一样的。

这段是针对事实 (i) 的严格证明。证明一个函数是双射（即置换）的常用方法是，为它找到一个逆函数。如果函数 $f$ 和函数 $h$ 满足 $f \circ h$ 和 $h \circ f$ 都是恒等映射（即把任何输入变回它自己），那么 $h$就是 $f$ 的逆函数，且 $f$ 和 $h$ 都是双射。

这里的策略是：猜测 $\sigma_g$ 的逆函数是 $\sigma_{g^{-1}}$，然后验证这个猜测。

1. 证明 $\sigma_{g^{-1}} \circ \sigma_g$ 是恒等映射：
   • 我们要证明对于集合 $A$ 中的任何元素 $a$，经过 $\sigma_g$ 和 $\sigma_{g^{-1}}$ 的连续作用后，会变回 $a$ 本身。
   • 第一步: $(\sigma_{g^{-1}} \circ \sigma_g)(a) = \sigma_{g^{-1}}(\sigma_g(a))$。这是函数复合的标准定义：先算里面的 $\sigma_g(a)$，再把结果作为输入给外面的 $\sigma_{g^{-1}}$。
   • 第二步: $= g^{-1} \cdot (g \cdot a)$。这里我们把 $\sigma$ 函数翻译回群作用的语言。$\sigma_g(a)$ 就是 $g \cdot a$。然后 $\sigma_{g^{-1}}$ 作用在这个结果上，就是 $g^{-1} \cdot (g \cdot a)$。
   • 第三步: $= (g^{-1}g) \cdot a$。这是最关键的一步，它使用了群作用的性质 (1) (结合律兼容性)。我们把作用的括号挪动，变成了群内运算的括号。
   • 第四步: $= 1 \cdot a = a$。在群 $G$ 中，$g^{-1}g$ 就是单位元 $1$。然后根据群作用的性质 (2)，单位元作用于任何元素都等于其本身。
   • 结论：我们证明了 $(\sigma_{g^{-1}} \circ \sigma_g)(a) = a$ 对所有 $a \in A$ 都成立。所以 $\sigma_{g^{-1}} \circ \sigma_g$ 这个复合函数就是恒等映射。
2. 证明 $\sigma_g \circ \sigma_{g^{-1}}$ 是恒等映射：
   • 作者在这里用了一个巧妙的说法：“由于 $g$ 是任意的，我们可以互换 $g$ 和 $g^{-1}$ 的角色”。
   • 在上面的证明中，我们选了任意一个 $g$。那么 $g^{-1}$ 也是群 $G$ 里的一个元素。我们可以把上面证明里的所有 $g$ 都换成 $g^{-1}$，所有 $g^{-1}$ 都换成 $(g^{-1})^{-1}=g$。
   • 那么第一部分的结论就变成了：$\sigma_{(g^{-1})^{-1}} \circ \sigma_{g^{-1}}$ 是恒等映射，即 $\sigma_g \circ \sigma_{g^{-1}}$ 是恒等映射。
   • 这样就避免了再写一遍几乎完全一样的推导。
3. 最终结论：
   • 因为我们找到了一个函数 $\sigma_{g^{-1}}$，它既是 $\sigma_g$ 的左逆也是右逆，所以 $\sigma_{g^{-1}}$ 就是 $\sigma_g$ 的逆函数。
   • 一个函数只要有逆函数，它就必须是一个双射。
   • A 上的双射就是 A 上的置换。
   • 证明完毕。

这段是针对事实 (ii) 的严格证明。证明一个映射 $\varphi$ 是同态，就是要证明它保持运算结构，即 $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$。

1. 设定映射 $\varphi$：
   • 我们正式地定义这个映射 $\varphi$，它的输入是群 $G$ 的元素，输出是对称群 $S_A$ 的元素（即置换）。
   • $\varphi(g) = \sigma_g$。这个映射把群元素 $g$ 变成它对应的置换函数 $\sigma_g$。
   • 前一步的证明 (i) 保证了 $\sigma_g$ 确实是 $S_A$ 的成员，所以这个映射是良定义的。
2. 证明策略：
   • 我们要证明 $\varphi(g_1 g_2)$ 和 $\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$ 是同一个东西。
   • 它们都是 $S_A$ 中的置换，也就是函数。要证明两个函数相等，就是要证明它们对定义域里的任何一个输入，都给出相同的输出。
   • 所以，我们从集合 $A$ 中任取一个元素 $a$，然后分别计算 $\varphi(g_1 g_2)(a)$ 和 $(\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))(a)$，看它们是否相等。
3. 推导过程：
   • 从左边开始: $\varphi(g_1 g_2)(a)$
   • 第一步: $= \sigma_{g_1 g_2}(a)$。根据 $\varphi$ 的定义，$\varphi$ 作用于群元素 $g_1 g_2$ 的结果就是置换 $\sigma_{g_1 g_2}$。然后我们将这个置换作用于 $a$。
   • 第二步: $= (g_1 g_2) \cdot a$。根据 $\sigma$ 的定义，$\sigma_{g_1 g_2}$ 作用于 $a$ 的结果就是群元素 $(g_1 g_2)$ 作用于 $a$。
   • 关键一步，连接左右:
   • 第三步: $= g_1 \cdot (g_2 \cdot a)$。这里我们使用了群作用的性质 (1)，把群内的运算括号，转化为了作用的先后顺序。
   • 向右边靠拢:
   • 第四步: $= \sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(a))$。我们再次使用 $\sigma$ 的定义，但这次是反向使用。$g_2 \cdot a$ 就是 $\sigma_{g_2}(a)$。$g_1$ 作用于这个结果，就等于 $\sigma_{g_1}$ 作用于这个结果。
   • 第五步: $= (\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))(a)$。我们把 $\sigma$ 翻译回 $\varphi$。$\sigma_{g_1}$ 就是 $\varphi(g_1)$，$\sigma_{g_2}$ 就是 $\varphi(g_2)$。而 $\sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(a))$ 正是函数复合 $(\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))$作用于 $a$ 的定义。
4. 结论：
   • 我们从 $\varphi(g_1 g_2)(a)$ 出发，经过一系列等价变换，得到了 $(\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))(a)$。
   • 因为 $a$ 是任意选取的，所以这两个函数 $\varphi(g_1 g_2)$ 和 $\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$ 对所有输入都给出相同输出。
   • 因此，这两个函数是相等的：$\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$。
   • 这正是同态的定义。证明完毕。

这段话是对前面两个证明的总结，并指出了一个更深层次的结论：群作用和置换表示是同一枚硬币的两面。

1. 总结：
   • 前面我们证明了，一个群作用会自然地导出一个从 $G$ 到 $S_A$ 的同态（称为置换表示）。
   • 断言 (i) 说明 $g$ 的作用是置换。
   • 断言 (ii) 说明这种作用方式与群的结构（运算）是兼容的。
2. 过程是可逆的：
   • 现在反过来想：如果我们不是从一个群作用开始，而是直接从一个从 $G$到 $S_A$ 的同态 $\varphi$ 开始，我们能不能反向构造出一个群作用？
   • 答案是可以的。构造方法就是定义 $g \cdot a = \varphi(g)(a)$。
   • 左边是我们想要定义的“作用”。
   • 右边是已知的：$\varphi(g)$ 是一个置换（一个函数），$\varphi(g)(a)$ 就是这个函数作用在 $a$ 上的结果。
   • 我们需要验证这个定义满足群作用的两条性质。
   • 验证性质 (2)：$1 \cdot a = \varphi(1)(a)$。因为 $\varphi$ 是同态，它必须把 $G$ 的单位元 $1_G$ 映射到 $S_A$ 的单位元 $id_A$（恒等置换）。所以 $\varphi(1)(a) = id_A(a) = a$。性质 (2) 成立。
   • 验证性质 (1)：$g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
   • 左侧：$g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = g_1 \cdot (\varphi(g_2)(a))$。根据定义，这等于 $\varphi(g_1)$ 作用在 $\varphi(g_2)(a)$ 上，即 $\varphi(g_1)(\varphi(g_2)(a))$。根据函数复合的定义，这等于 $(\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))(a)$。
   • 右侧：$(g_1 g_2) \cdot a = \varphi(g_1 g_2)(a)$。
   • 因为 $\varphi$ 是一个同态，所以 $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$。
   • 因此，左侧等于右侧。性质 (1) 成立。
3. 最终结论：一一对应
   • 我们证明了：
   • 任意一个群作用 $G \curvearrowright A$ 唯一确定一个置换表示 $\varphi: G \to S_A$。
   • 任意一个置换表示 $\varphi: G \to S_A$ 唯一确定一个群作用 $G \curvearrowright A$。
   • 这两个概念之间存在一个双射（bijection）。
   • 在数学上，这意味着它们是“本质上相同的概念”，只是从不同的角度去描述。你可以随时在这两种语言之间来回切换。

这段话是一个简短的技术性补充。

1. 左作用 (Left Action)：我们目前为止定义的 $g \cdot a$ 这种形式，因为群元素 $g$ 写在集合元素 $a$ 的左边，所以严格来说应该叫做“左群作用”。它的结合律性质是 $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
2. 右作用 (Right Action)：相对应地，我们可以定义“右群作用”。
   • 它是一个映射 $A \times G \to A$，记作 $a \cdot g$。
   • 它需要满足的性质是：
   • (1') $(a \cdot g_1) \cdot g_2 = a \cdot (g_1 g_2)$。注意这里群元素相乘的顺序 $g_1 g_2$ 和作用的顺序是一致的。
   • (2') $a \cdot 1 = a$。
   • 易混淆点：在右作用中，作用的顺序和群内乘积的顺序是相同的。而在左作用中，作用的顺序是反的（先作用 $g_2$，再作用 $g_1$）。

这是一个引导性的句子，告诉读者接下来将展示一系列具体的群作用实例。同时，它也给读者布置了一个任务：对于每一个例子，读者都应该亲自动手，根据群作用的定义，去验证那两条性质是否成立。这是一个非常重要的练习，能够加深对定义的理解。

这个例子介绍了一种最简单的群作用——平凡作用，并借此引入了两个非常重要的相关概念：忠实作用和作用的核。

1. 平凡作用 (Trivial Action)：
   • 定义：$g \cdot a = a$。也就是说，无论群 $G$ 里的哪个元素 $g$ 来作用，集合 $A$ 里的元素 $a$ 都纹丝不动。
   • 验证性质：
   • (1) $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = g_1 \cdot a = a$。右侧 $(g_1 g_2) \cdot a = a$。两者相等。
   • (2) $1 \cdot a = a$。定义本身就满足。
   • 特点：这是最“懒”的作用。群 $G$ 假装在作用，但实际上什么也没干。
   • 置换表示：每个 $g \in G$ 对应的置换 $\sigma_g$ 都是恒等置换（即 $\sigma_g(a)=a$ 对所有 $a$ 成立）。因此，从 $G$ 到 $S_A$ 的置换表示 $\varphi$ 把所有 $g$ 都映射到了同一个东西—— $S_A$ 的单位元（恒等置换）。这种把所有元素都映到单位元的同态叫做平凡同态。
2. 忠实作用 (Faithful Action)：
   • 定义：如果不同的群元素 $g_1 \neq g_2$，它们诱导的置换 $\sigma_{g_1}$ 和 $\sigma_{g_2}$ 也一定不同，那么这个作用就是忠实的。
   • 等价描述：换句话说，如果 $g_1 \neq g_2$ 蕴含着存在至少一个 $a \in A$ 使得 $g_1 \cdot a \neq g_2 \cdot a$，那么作用是忠实的。
   • 与置换表示的关系：作用是忠实的，当且仅当它的置换表示 $\varphi: G \to S_A$ 是单射（injective）。因为单射的定义就是不同的输入（$g_1 \neq g_2$）对应不同的输出（$\varphi(g_1) \neq \varphi(g_2)$）。
   • 平凡作用是否忠实？如果群 $G$ 不止一个元素（$|G|>1$），比如有 $g_1 \neq g_2$，但它们都诱导了恒等置换，$\sigma_{g_1} = \sigma_{g_2} = id$。所以平凡作用通常是不忠实的（除非 $|G|=1$）。
3. 作用的核 (Kernel of an Action)：
   • 定义：一个群元素的集合，这些元素作用在 $A$ 的任何一个元素上都等于其本身。形式化地写就是 $Ker(\varphi) = \{g \in G \mid g \cdot a = a \text{ for all } a \in A\}$。
   • 直观理解：核里的元素就是那些“什么实事也不干”的元素，它们在作用中表现得像单位元一样。
   • 与置换表示的核的关系：作用的核，恰好就是其关联的置换表示 $\varphi: G \to S_A$ 这个同态的核。因为同态的核定义为被映射到目标群（这里是 $S_A$）单位元（这里是恒等置换 $id_A$）的所有原群（这里是 $G$）中的元素。$g$ 在核里 $\iff \varphi(g) = id_A \iff \sigma_g = id_A \iff \sigma_g(a) = a$ 对所有 $a$ 成立 $\iff g \cdot a = a$ 对所有 $a$ 成立。
   • 平凡作用的核：在平凡作用中，所有 $g \in G$ 都满足 $g \cdot a = a$，所以核就是整个群 $G$。
   • 核与忠实性：一个作用是忠实的，当且仅当它的核只包含单位元 $\{1\}$。因为如果核里有非单位元 $g$，那么 $g$ 和 $1$ 就是不同的群元素，但它们都诱导了恒等置换，这违反了忠实的定义。

这个例子指出，我们在线性代数中早已熟悉的“标量乘法”，其实就是一种群作用。

1. 回顾向量空间公理：一个域 F 上的向量空间 V，除了向量加法构成阿贝尔群外，还定义了标量乘法。标量乘法 $\cdot: F \times V \to V$ 满足以下四条公理：
   • a) $k \cdot (u+v) = k \cdot u + k \cdot v$ (标量对向量加法的分配律)
   • b) $(k+l) \cdot v = k \cdot v + l \cdot v$ (标量加法对向量的分配律)
   • c) $(kl) \cdot v = k \cdot (l \cdot v)$ (标量乘法结合律)
   • d) $1 \cdot v = v$ (单位元性质)，其中 1 是域 F 的乘法单位元。
2. 提取群作用：
   • 群 G：我们只关注域 F 中非零的元素，它们在乘法下构成一个群，记作 $F^\times$（域 F 的乘法群）。
   • 集合 A：就是向量空间 V 本身。
   • 作用：就是标量乘法。
   • 现在我们检查群作用的两条性质：
   • (1) 结合律兼容性: $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
   • 在向量空间的语境下，这对应的是 $g_1 \cdot (g_2 \cdot v) = (g_1 g_2) \cdot v$。
   • 这正是向量空间公理中的 (c) $(kl) \cdot v = k \cdot (l \cdot v)$！这里的 $k, l$ 都是 $F^\times$ 的元素，它们的乘积 $kl$ 也是。
   • (2) 单位元性质: $1 \cdot a = a$。
   • 在向量空间的语境下，这对应的是 $1 \cdot v = v$。
   • 这正是向量空间公理中的 (d)！这里的 1 是 $F^\times$ 的单位元。
   • 结论：向量空间的标量乘法，天然地内含了一个 $F^\times$ 在 $V$ 上的群作用。
3. 特殊情况：$\mathbb{R}^n$
   • 域 F: 实数域 $\mathbb{R}$。群 G: 非零实数乘法群 $\mathbb{R}^\times = \mathbb{R} \setminus \{0\}$。
   • 向量空间 V: n维欧式空间 $\mathbb{R}^n$。它的元素是 n-元组 $(r_1, ..., r_n)$。
   • 作用: 标量乘法定义为 $\alpha \cdot (r_1, ..., r_n) = (\alpha r_1, ..., \alpha r_n)$。这就是对向量的每个分量都乘以标量 $\alpha$。这个操作的几何意义是沿着原点方向对向量进行缩放（如果 $\alpha>0$）或缩放并反向（如果 $\alpha<0$）。

这个例子可以说是最“名正言顺”的群作用。

1. 群 G: $S_A$，即集合 $A$ 上所有置换构成的群。一个置换本身就是一个从 $A$ 到 $A$ 的双射函数。$S_A$ 的运算是函数复合。
2. 集合 A: 就是 $S_A$ 定义时所基于的那个集合 $A$。
3. 作用的定义: $\sigma \cdot a = \sigma(a)$。
   • 这里的 $\sigma$ 是 $S_A$ 里的一个元素，也就是说 $\sigma$ 本身就是一个函数。
   • $a$ 是集合 $A$ 里的一个元素。
   • 这个作用的定义就是：置换 $\sigma$ 对元素 $a$ 的“作用”，就定义为将函数 $\sigma$ 应用于输入 $a$。
4. 验证性质:
   • (1) 结合律兼容性: $\sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot a) = (\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot a$。
   • 左侧：$\sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot a) = \sigma_1 \cdot (\sigma_2(a))$。根据定义，这等于 $\sigma_1(\sigma_2(a))$。
   • 右侧：$(\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot a$。这里的 $\sigma_1 \circ \sigma_2$ 是 $S_A$ 里的一个新置换。根据定义，作用等于 $(\sigma_1 \circ \sigma_2)(a)$。
   • 根据函数复合的定义，$\sigma_1(\sigma_2(a)) = (\sigma_1 \circ \sigma_2)(a)$。所以左侧等于右侧。
   • (2) 单位元性质: $id \cdot a = a$。
   • $S_A$ 的单位元是恒等置换 $id$，它满足 $id(a)=a$ 对所有 $a$ 成立。
   • 根据定义，$id \cdot a = id(a) = a$。性质成立。
5. 相关的置换表示:
   • 置换表示是同态 $\varphi: S_A \to S_A$。
   • 它由 $\varphi(\sigma) = \sigma_\sigma$ 定义，而 $\sigma_\sigma(a) = \sigma \cdot a = \sigma(a)$。
   • 这意味着 $\sigma_\sigma$ 和 $\sigma$ 是完全相同的函数。
   • 所以，$\varphi(\sigma) = \sigma$。
   • 这个同态 $\varphi$ 只是把每个输入的置换原封不动地作为输出。这正是恒等映射（Identity Map）。

这个例子将几何直观的对称操作与抽象的群作用联系起来。

1. 群 G: $D_{2n}$，正 n 边形的二面体群。它的元素是正 n 边形的对称操作（旋转和翻转）。
2. 集合 A: $\{1, 2, ..., n\}$，代表正 n 边形的 n 个被标记的顶点。
3. 作用的定义:
   • 一个对称操作 $\alpha \in D_{2n}$ 会把顶点移动到新的位置。例如，旋转会把顶点i移动到原先顶点i+1的位置。
   • 这种移动定义了一个从顶点集合到自身的置换，记为 $\sigma_\alpha$。
   • 作用就定义为 $\alpha \cdot i = \sigma_\alpha(i)$，即对称操作 $\alpha$ 作用在顶点 $i$ 上的结果，就是 $\alpha$ 这个操作把顶点 $i$ 送到的那个新位置。
   • 后面简化记号，直接写成 $\alpha i$。
4. 作用的忠实性:
   • 这个作用是忠实的。为什么？因为 $D_{2n}$ 的元素就是由它们如何移动顶点来定义的。如果两个不同的对称操作 $\alpha_1 \neq \alpha_2$，导致所有顶点的最终位置都完全一样，那它们根据定义就是同一个对称操作，这与假设矛盾。
   • 所以，不同的对称操作必然导致不同的顶点置换。
   • 这意味着置换表示 $\varphi: D_{2n} \to S_n$ 是单射的。
5. 特殊情况 n=3 (三角形):
   • 群 G: $D_6$，正三角形的对称群，其阶为 $|D_6|=2 \times 3 = 6$。
   • 集合 A: $\{1, 2, 3\}$，三个顶点。
   • 作用诱导一个置换表示 $\varphi: D_6 \to S_3$。
   • $S_3$ 是 3 个元素的对称群，其阶为 $|S_3| = 3! = 6$。
   • 我们知道这个作用是忠实的，所以 $\varphi$ 是单射。
   • 一个从有限群到另一个同阶有限群的单射同态，必然也是满射（因为没有多余的元素可以去映射了），因此它是一个同构（Isomorphism）。
   • 结论：$D_6 \cong S_3$。
   • 几何意义: 这个同构告诉我们，任何对三角形三个顶点的重新排列（一个 $S_3$ 中的置换），都恰好对应一个三角形的刚体运动（一个 $D_6$ 中的对称操作）。
   • 这提供了一个全新的方法来证明 $D_6$ 和 $S_3$ 同构，比之前用生成元和关系来证明要直观得多。
6. 情况 n ≥ 4 (四边形及以上):
   • 对于正 n 边形 ($n \ge 4$)，$D_{2n}$ 作用在 n 个顶点上，得到一个单射同态 $\varphi: D_{2n} \to S_n$。
   • 但是，此时两个群的阶不再相等。$|D_{2n}| = 2n$，而 $|S_n| = n!$。
   • 当 $n \ge 4$ 时，$n!$ 会比 $2n$ 大得多。例如 $n=4$ 时，$|D_8|=8$，而 $|S_4|=24$。
   • 由于阶不同，它们之间不可能存在同构。$D_{2n}$ 只是 $S_n$ 的一个子群的同构像。
   • 几何意义: 对于一个正方形，不是所有对四个顶点的置换都能通过刚体运动实现。例如，你可以交换相邻的两个顶点1和2，而保持3和4不动，这个置换是 $(12)$。但你无法通过旋转或翻转一个正方形来实现这个效果（任何操作都会同时移动其他顶点）。

这个例子介绍了一个对于任何群都存在的、非常重要的群作用——左正则作用。

1. 群 G: 任何一个群 $G$。
2. 集合 A: 集合 $A$ 就是群 $G$ 本身。我们暂时“忘记” $G$ 的群结构，只把它看作一个元素的集合。
3. 作用的定义: $g \cdot a = ga$。
   • 这里的 $g$ 是作为“作用者”的群元素。
   • $a$ 是作为“被作用对象”的集合元素（它恰好也来自 $G$）。
   • 右侧的 $ga$ 是群 $G$ 内部的普通二元运算（乘法）。
4. 验证性质:
   • (1) 结合律兼容性: $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
   • 左侧：$g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = g_1 \cdot (g_2 a)$。根据定义，这等于 $g_1(g_2 a)$。
   • 右侧：$(g_1 g_2) \cdot a = (g_1 g_2) a$。
   • 由于群自身的乘法满足结合律，所以 $g_1(g_2 a) = (g_1 g_2) a$。性质成立。
   • (2) 单位元性质: $1 \cdot a = a$。
   • 根据定义，$1 \cdot a = 1a$。
   • 根据群的单位元的定义，$1a=a$。性质成立。
   • 结论：这确实是一个合法的群作用。
5. 作用的名称和形式:
   • 这个作用叫做左正则作用 (Left Regular Action)。
   • 每个群元素 $g$ 引起的置换 $\sigma_g$ 是通过“左乘” (Left Multiplication) 实现的：$\sigma_g(a) = ga$。
   • 如果群是加法群，这个作用就是 $g \cdot a = g+a$，称为“左平移” (Left Translation)。
6. 作用的忠实性:
   • 这个作用总是忠实的。
   • 验证: 我们需要证明，如果 $g_1 \neq g_2$，那么它们诱导的置换 $\sigma_{g_1}$ 和 $\sigma_{g_2}$ 也不同。
   • 要证明两个函数不同，只需找到一个输入，使它们的输出不同即可。
   • 我们来考察它们对单位元 $1 \in G$ (作为集合元素) 的作用：
   • $\sigma_{g_1}(1) = g_1 \cdot 1 = g_1 1 = g_1$。
   • $\sigma_{g_2}(1) = g_2 \cdot 1 = g_2 1 = g_2$。
   • 因为我们假设了 $g_1 \neq g_2$，所以 $\sigma_{g_1}(1) \neq \sigma_{g_2}(1)$。
   • 这说明 $\sigma_{g_1}$ 和 $\sigma_{g_2}$ 是不同的函数（不同的置换）。
   • 因此，作用是忠实的。
   • 书中提到“根据消去律”，这是另一种等价的证明思路：
   • 假设作用不忠实，即存在 $g_1 \neq g_2$ 但 $\sigma_{g_1} = \sigma_{g_2}$。
   • 这意味着对于所有 $a \in G$，都有 $g_1 a = g_2 a$。
   • 根据群的右消去律，我们可以消去两边的 $a$，得到 $g_1=g_2$。
   • 这与我们的假设 $g_1 \neq g_2$ 矛盾。
   • 所以假设不成立，作用必须是忠实的。

这是一个简单的结语，告诉读者本节正文部分的例子到此为止，更多丰富多样的群作用实例将在本节末尾的练习题中出现。

这道题是例子(2)的一般化版本，要求我们严格地从域的公理出发来证明。

• 群 G: $F^\times = F \setminus \{0\}$，域 $F$ 的非零元素在乘法下构成的群。
• 集合 A: 整个域 $F$。
• 作用: $g \cdot a = ga$ (域内乘法)。

• 证明步骤:

1. 验证映射的封闭性: 证明对于任意 $g \in F^\times$ 和 $a \in F$，其乘积 $ga$ 仍然在 $F$ 中。这是域乘法运算的封闭性公理所保证的。
2. 验证性质 (1): $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
   • 左侧: $g_1 \cdot (g_2 a) = g_1 (g_2 a)$。
   • 右侧: $(g_1 g_2) \cdot a = (g_1 g_2) a$。
   • 等式 $g_1 (g_2 a) = (g_1 g_2) a$ 成立，是因为域的乘法满足结合律。这是需要明确指出的域公理。
3. 验证性质 (2): $1 \cdot a = a$。
   • $F^\times$ 的单位元是域 $F$ 的乘法单位元 $1_F$。
   • $1_F \cdot a = 1_F a$。
   • 根据域的乘法单位元公理，$1_F a = a$。这也是需要明确指出的域公理。
   • 结论: 证明完成。

这是左正则作用在加法群 $\mathbb{Z}$ 上的一个具体实例。

• 群 G: $\mathbb{Z}$ (整数加法群)。
• 集合 A: $\mathbb{Z}$ (整数集合)。
• 作用: $z \cdot a = z+a$ (普通加法)。

• 证明步骤:

1. 验证性质 (1): $z_1 \cdot (z_2 \cdot a) = (z_1 + z_2) \cdot a$。
   • 左侧: $z_1 \cdot (z_2+a) = z_1 + (z_2+a)$。
   • 右侧: $(z_1+z_2) \cdot a = (z_1+z_2)+a$。
   • 等式成立是因为整数加法满足结合律。
2. 验证性质 (2): $0 \cdot a = a$。
   • 加法群 $\mathbb{Z}$ 的单位元是 $0$。
   • $0 \cdot a = 0+a = a$。这是加法单位元的性质。
   • 结论: 证明完成。这是一种“左平移”作用。

这是一个非标准的、有趣的作用，被称为“剪切变换”(Shear transformation)。

• 群 G: $\mathbb{R}$ (实数加法群)。
• 集合 A: $\mathbb{R}^2$ (二维平面)。
• 作用: $r \cdot (x, y) = (x+ry, y)$。

• 证明步骤:

1. 验证性质 (1): $r_1 \cdot (r_2 \cdot (x,y)) = (r_1+r_2) \cdot (x,y)$。
   • 左侧:
   • $r_2 \cdot (x,y) = (x+r_2 y, y)$。
   • $r_1 \cdot (x+r_2 y, y) = ((x+r_2 y) + r_1 y, y) = (x + (r_1+r_2)y, y)$。这里利用了实数加法和乘法的结合律和分配律。
   • 右侧:
   • $(r_1+r_2) \cdot (x,y) = (x + (r_1+r_2)y, y)$。
   • 左侧 = 右侧。
2. 验证性质 (2): $0 \cdot (x,y) = (x,y)$。
   • 群 $\mathbb{R}$ 的单位元是 $0$。
   • $0 \cdot (x,y) = (x+0y, y) = (x,y)$。
   • 几何直观: 这个作用保持每个点的 $y$ 坐标不变，但将其 $x$ 坐标平移一个与 $y$ 和 $r$ 成正比的量。这就像把一叠扑克牌水平推斜，每张牌（不同y值）滑动的距离不同。

这道题要求证明两个与群作用相关的重要集合都是子群。证明一个集合 H 是子群，通常使用子群判别法：

1. H 非空（通常证明单位元在里面）。
2. 对任意 $x, y \in H$，证明 $xy^{-1} \in H$。

• (a) 作用的核: $K = \{g \in G \mid g x=x \text{ for all } x \in A\}$

1. 非空: 因为 $1 \cdot x = x$ 对所有 $x$ 成立，所以 $1 \in K$。$K$ 非空。
2. 封闭性: 设 $g_1, g_2 \in K$。我们需要证明 $g_1 g_2^{-1} \in K$。
   • 即要证明对于任意 $x \in A$，都有 $(g_1 g_2^{-1}) \cdot x = x$。
   • 因为 $g_2 \in K$，所以 $g_2 \cdot x = x$。两边用 $g_2^{-1}$ 作用，得到 $g_2^{-1} \cdot (g_2 \cdot x) = g_2^{-1} \cdot x$，即 $(g_2^{-1}g_2) \cdot x = g_2^{-1} \cdot x$，所以 $1 \cdot x = g_2^{-1} \cdot x$，即 $x = g_2^{-1} \cdot x$。这说明如果 $g_2$ 在核里，$g_2^{-1}$ 也在核里。
   • 现在看 $(g_1 g_2^{-1}) \cdot x = g_1 \cdot (g_2^{-1} \cdot x)$。
   • 根据上一步，$g_2^{-1} \cdot x = x$。
   • 所以上式等于 $g_1 \cdot x$。
   • 因为 $g_1 \in K$，所以 $g_1 \cdot x = x$。
   • 综上，$(g_1 g_2^{-1}) \cdot x = x$。所以 $g_1 g_2^{-1} \in K$。
   • 根据子群判别法，核是一个子群。

• (b) a 的稳定子 (Stabilizer): $G_a = \{g \in G \mid g a=a\}$ (注意只要求固定一个元素 $a$)

1. 非空: 因为 $1 \cdot a = a$，所以 $1 \in G_a$。$G_a$ 非空。
2. 封闭性: 设 $g_1, g_2 \in G_a$。我们需要证明 $g_1 g_2^{-1} \in G_a$。
   • 即要证明 $(g_1 g_2^{-1}) \cdot a = a$。
   • 因为 $g_2 \in G_a$，所以 $g_2 \cdot a = a$。两边用 $g_2^{-1}$ 作用，得到 $g_2^{-1} \cdot (g_2 \cdot a) = g_2^{-1} \cdot a$，即 $a = g_2^{-1} \cdot a$。
   • 现在看 $(g_1 g_2^{-1}) \cdot a = g_1 \cdot (g_2^{-1} \cdot a)$。
   • 根据上一步，$g_2^{-1} \cdot a = a$。
   • 所以上式等于 $g_1 \cdot a$。
   • 因为 $g_1 \in G_a$，所以 $g_1 \cdot a = a$。
   • 综上，$(g_1 g_2^{-1}) \cdot a = a$。所以 $g_1 g_2^{-1} \in G_a$。
   • 根据子群判别法，稳定子是一个子群。

这道题在例子(1)的解释中已经详细说明了。这里再 formalize 一遍。

• 作用的核 $K_{action} = \{g \in G \mid g \cdot a = a \text{ for all } a \in A\}$。
• 置换表示 $\varphi: G \to S_A$ 定义为 $\varphi(g) = \sigma_g$，其中 $\sigma_g(a) = g \cdot a$。
• 同态的核 $K_{hom} = \{g \in G \mid \varphi(g) = id_A\}$，其中 $id_A$ 是 $S_A$ 的单位元（恒等置换）。

• 证明 $K_{action} = K_{hom}$:
• 设 $g \in K_{action}$。
• 这意味着 $g \cdot a = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
• 这意味着 $\sigma_g(a) = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
• 这意味着 $\sigma_g$ 就是恒等置换 $id_A$。
• 这意味着 $\varphi(g) = id_A$。
• 所以 $g \in K_{hom}$。
• 因此 $K_{action} \subseteq K_{hom}$。
• 设 $g \in K_{hom}$。
• 这意味着 $\varphi(g) = id_A$。
• 这意味着 $\sigma_g = id_A$。
• 这意味着 $\sigma_g(a) = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
• 这意味着 $g \cdot a = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
• 所以 $g \in K_{action}$。
• 因此 $K_{hom} \subseteq K_{action}$。
• 综上，$K_{action} = K_{hom}$。

这道题也是在例子(1)的解释中说明了。

• 忠实作用: 如果 $g_1 \neq g_2$，则 $\sigma_{g_1} \neq \sigma_{g_2}$。
• 核: $K = \{g \in G \mid g \cdot a = a \text{ for all } a \in A\} = \{g \in G \mid \sigma_g = id_A\}$。

• 证明:
• "仅当" (=>): 假设作用是忠实的，证明核 $K=\{1\}$。
• 设 $g \in K$。这意味着 $\sigma_g = id_A$。
• 我们知道 $1 \in G$ 也有 $\sigma_1 = id_A$。
• 现在我们有两个群元素 $g$ 和 $1$，它们诱导了相同的置换（都是 $id_A$）。
• 因为作用是忠实的，所以这两个群元素必须是相同的。
• 所以 $g=1$。
• 因此核中唯一的元素就是 $1$。$K=\{1\}$。
• "当" (<=): 假设核 $K=\{1\}$，证明作用是忠实的。
• 我们要证明如果 $g_1 \neq g_2$，则 $\sigma_{g_1} \neq \sigma_{g_2}$。
• 使用反证法：假设存在 $g_1 \neq g_2$ 但 $\sigma_{g_1} = \sigma_{g_2}$。
• 两边同时与 $\sigma_{g_2^{-1}}$ 进行复合运算：$\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2^{-1}} = \sigma_{g_2} \circ \sigma_{g_2^{-1}}$。
• 因为映射是同态，所以左边是 $\sigma_{g_1 g_2^{-1}}$。右边是 $\sigma_{g_2 g_2^{-1}} = \sigma_1 = id_A$。
• 所以 $\sigma_{g_1 g_2^{-1}} = id_A$。
• 这意味着元素 $g_1 g_2^{-1}$ 在作用的核里。
• 根据我们的假设，核只有单位元，所以 $g_1 g_2^{-1} = 1$。
• 两边右乘 $g_2$，得到 $g_1 = g_2$。
• 这与我们的初始假设 $g_1 \neq g_2$ 矛盾。
• 所以反证法的假设不成立，作用必须是忠实的。

例子(2)是域的乘法群 $F^\times$ 在向量空间 $V$ 上的作用, $g \cdot v = gv$。

• 我们要证明这个作用是忠实的。根据练习6，我们只需证明它的核是 $\{1\}$。
• 核 $K = \{g \in F^\times \mid g \cdot v = v \text{ for all } v \in V\}$。
• 设 $g \in K$。这意味着 $gv = v$ 对所有 $v \in V$ 成立。
• 我们可以把它写成 $gv - v = 0$，即 $(g-1)v=0$。
• 因为 $V$ 是一个非空的向量空间（如果 $V=\{0\}$，任何作用都是忠实的，但无趣），所以我们可以取一个非零向量 $v_0 \in V$。
• 那么 $(g-1)v_0 = 0$。
• 在向量空间的公理中，如果 $k \cdot v = 0$，那么要么 $k=0$（在域 F 中），要么 $v=0$（在向量空间 V 中）。
• 因为我们取了 $v_0 \neq 0$，所以必须有 $g-1=0$。
• $g-1=0$ 意味着 $g=1$，这里的 $1$ 是域 $F$ 的乘法单位元。
• 所以，核 $K$ 中唯一的元素就是群 $F^\times$ 的单位元 $1$。
• 因此，作用是忠实的。

• 群 G: $S_A$
• 集合 B: A 的所有大小为 k 的子集构成的集合。我们称之为 $\binom{A}{k}$。
• 作用: $\sigma$ 作用在一个子集上，得到一个新的集合，这个新集合由原子集中每个元素被 $\sigma$ 作用后的像构成。
• (a) 证明:

1. 验证映射封闭性: 首先要说明 $\sigma \cdot \{a_1, ..., a_k\}$ 仍然是 B 的一个元素。
   • 原子集有 k 个元素。因为 $\sigma$ 是一个置换（双射），它会把 k 个不同的元素映射成 k 个仍然不同的元素。所以新的集合 $\{\sigma(a_1), ..., \sigma(a_k)\}$ 的基数仍然是 k。因此它确实是 B 的一个元素。
2. 验证性质 (1): $\sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot S) = (\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot S$，其中 $S=\{a_1, ..., a_k\}$。
   • 左侧: $\sigma_1 \cdot (\{\sigma_2(a_1), ..., \sigma_2(a_k)\}) = \{\sigma_1(\sigma_2(a_1)), ..., \sigma_1(\sigma_2(a_k))\}$。
   • 右侧: $(\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot \{a_1, ..., a_k\} = \{(\sigma_1 \circ \sigma_2)(a_1), ..., (\sigma_1 \circ \sigma_2)(a_k)\}$。
   • 根据函数复合定义，$\sigma_1(\sigma_2(x)) = (\sigma_1 \circ \sigma_2)(x)$。所以左侧 = 右侧。
3. 验证性质 (2): $id \cdot S = S$。
   • $id \cdot \{a_1, ..., a_k\} = \{id(a_1), ..., id(a_k)\} = \{a_1, ..., a_k\} = S$。
   • (b) 具体例子:
   • $A = \{1,2,3,4\}$，$k=2$。
   • 集合 B 是 $\{1,2,3,4\}$ 的所有2元素子集：
   • 群元素 $\sigma = (12)$:
   • $(12) \cdot \{1,2\} = \{\sigma(1), \sigma(2)\} = \{2,1\} = \{1,2\}$ (不动)。
   • $(12) \cdot \{1,3\} = \{\sigma(1), \sigma(3)\} = \{2,3\}$。
   • $(12) \cdot \{1,4\} = \{\sigma(1), \sigma(4)\} = \{2,4\}$。
   • $(12) \cdot \{2,3\} = \{\sigma(2), \sigma(3)\} = \{1,3\}$。
   • $(12) \cdot \{2,4\} = \{\sigma(2), \sigma(4)\} = \{1,4\}$。
   • $(12) \cdot \{3,4\} = \{\sigma(3), \sigma(4)\} = \{3,4\}$ (不动)。
   • 作用效果是：$\{1,3\} \leftrightarrow \{2,3\}$ 且 $\{1,4\} \leftrightarrow \{2,4\}$。
   • 群元素 $\tau = (123)$:
   • $(123) \cdot \{1,2\} = \{\tau(1), \tau(2)\} = \{2,3\}$。
   • $(123) \cdot \{1,3\} = \{\tau(1), \tau(3)\} = \{2,1\} = \{1,2\}$。
   • $(123) \cdot \{1,4\} = \{\tau(1), \tau(4)\} = \{2,4\}$。
   • $(123) \cdot \{2,3\} = \{\tau(2), \tau(3)\} = \{3,1\} = \{1,3\}$。
   • $(123) \cdot \{2,4\} = \{\tau(2), \tau(4)\} = \{3,4\}$。
   • $(123) \cdot \{3,4\} = \{\tau(3), \tau(4)\} = \{1,4\}$。
   • 作用效果是：$\{1,2\} \to \{2,3\} \to \{1,3\} \to \{1,2\}$ 形成一个3-循环，$\{1,4\} \to \{2,4\} \to \{3,4\} \to \{1,4\}$ 形成另一个3-循环。

(由于篇幅限制，后续练习题的解释将遵循相同的详细程度和结构。篇幅极长，将继续自动输出。)

这道题与上一题类似，但作用对象从无序的子集变成了有序的元组。

• 群 G: $S_A$
• 集合 C: A 的所有有序 k-元组构成的集合。
• 作用: $\sigma \cdot (a_1, ..., a_k) = (\sigma(a_1), ..., \sigma(a_k))$。

• (a) 证明: 证明过程与练习8(a)完全平行。

1. 封闭性: 因为 $\sigma$ 是单射，如果原元组中的元素是不同的（通常在定义k-元组时会要求），那么像元组中的元素也都是不同的。作用的结果仍然是一个有序 k-元组。
2. 性质 (1): $\sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot (a_1,...,a_k)) = (\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot (a_1,...,a_k)$。
   • 左侧: $\sigma_1 \cdot (\sigma_2(a_1),...,\sigma_2(a_k)) = (\sigma_1(\sigma_2(a_1)),...,\sigma_1(\sigma_2(a_k)))$。
   • 右侧: $((\sigma_1 \circ \sigma_2)(a_1),...,(\sigma_1 \circ \sigma_2)(a_k))$。
   • 两者显然相等。
3. 性质 (2): $id \cdot (a_1,...,a_k) = (id(a_1),...,id(a_k)) = (a_1,...,a_k)$。

• (b) 具体例子:
• $A = \{1,2,3,4\}$, $k=2$。
• 集合 C 是有序 2-元组的集合，例如 $(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), ...$
• 群元素 $\sigma = (12)$:
• $(12) \cdot (1,3) = (\sigma(1), \sigma(3)) = (2,3)$。
• $(12) \cdot (3,1) = (\sigma(3), \sigma(1)) = (3,2)$。
• $(12) \cdot (1,2) = (\sigma(1), \sigma(2)) = (2,1)$。
• $(12) \cdot (2,1) = (\sigma(2), \sigma(1)) = (1,2)$。
• 作用效果是：$(1,3) \to (2,3)$, $(3,1) \to (3,2)$, ... , 且 $(1,2) \leftrightarrow (2,1)$。
• 群元素 $\tau = (123)$:
• $(123) \cdot (1,4) = (\tau(1), \tau(4)) = (2,4)$。
• $(123) \cdot (4,1) = (\tau(4), \tau(1)) = (4,2)$。
• $(123) \cdot (1,2) = (\tau(1), \tau(2)) = (2,3)$。
• 可以看到，对有序元组的作用比对子集的作用更“精细”，因为它区分了顺序。

这道题要求我们判断练习8和9中的作用何时是忠实的。作用是忠实的，当且仅当其核为 $\{id\}$。

• (a) k-元素子集:
• 核 $K = \{\sigma \in S_n \mid \sigma \cdot S = S \text{ for all k-subsets } S\}$。
• $\sigma \cdot S = S$ 意味着 $\{\sigma(s_1), ..., \sigma(s_k)\} = \{s_1, ..., s_k\}$。这不要求 $\sigma(s_i) = s_i$，只要求 $\sigma$ 在子集 $S$ 内部进行置换。
• 我们要找的是：什么样的非恒等置换 $\sigma$ 能够保持 所有 k-子集不变？
• 情况 1: $k=0$ 或 $k=n$
• 如果 $k=0$，集合只有一个，即空集 $\emptyset$。任何 $\sigma$ 都满足 $\sigma \cdot \emptyset = \emptyset$。核是整个 $S_n$。作用不忠实 (假设 $n>1$)。
• 如果 $k=n$，集合只有一个，即 $\{1,...,n\}$。任何 $\sigma$ 作用后，集合依然是 $\{1,...,n\}$。核是整个 $S_n$。作用不忠实 (假设 $n>1$)。
• 情况 2: $k=1$
• 作用对象是单元素子集 $\{\{1\}, \{2\}, ..., \{n\}\}$。
• $\sigma \cdot \{i\} = \{\sigma(i)\}$。
• 如果 $\sigma$ 在核里，则必须有 $\{\sigma(i)\} = \{i\}$ 对所有 $i$ 成立，这意味着 $\sigma(i)=i$ 对所有 $i$ 成立。
• 所以 $\sigma=id$。核是 $\{id\}$。作用是忠实的。
• 情况 3: $k=n-1$
• 作用对象是 n-1 元素子集。一个 n-1 元素子集可以由它“缺少”的那个元素来唯一确定。例如，在 $\{1,2,3,4\}$ 中，子集 $\{1,2,3\}$ 由元素 4 确定。
• 令 $S_i = \{1,...,n\} \setminus \{i\}$。
• $\sigma \cdot S_i = \sigma(S_i) = S_n \setminus \{\sigma(i)\}$。
• 如果 $\sigma$ 在核里，则 $\sigma \cdot S_i = S_i$ 对所有 $i$ 成立。
• 这意味着 $S_n \setminus \{\sigma(i)\} = S_n \setminus \{i\}$，所以 $\{\sigma(i)\} = \{i\}$，即 $\sigma(i)=i$。
• 这对所有 $i$ 都成立，所以 $\sigma=id$。核是 $\{id\}$。作用是忠实的。
• 情况 4: $1 < k < n-1$
• 这个情况需要更复杂的组合论证，但结论是作用依然是忠实的 (只要 $n \ge 2k$ 且 $n \neq 2k$ 的一些特殊情况外，一般都成立)。一个简单的论证是，如果 $\sigma \neq id$，比如 $\sigma(i)=j$ 且 $\sigma(j)=i$ (一个对换)，我们可以构造一个 k-子集 $S$ 包含 $i$ 但不包含 $j$ 和其他被 $\sigma$ 移动的元素，那么 $\sigma(S)$ 将包含 $j$，所以 $\sigma(S) \neq S$。
• 结论 (a): 作用是忠实的当且仅当 $1 \le k \le n-1$。（对于一些小的n和k的边界情况，比如 $n=4, k=2$ 作用也是忠实的，一般的结论是只要 $k$ 不是 $0$ 或 $n$ 就忠实）。严格来说，只要 $0 < k < n$，作用就是忠实的（假设 $n>2$）。

• (b) 有序 k-元组:
• 核 $K = \{\sigma \in S_n \mid \sigma \cdot T = T \text{ for all k-tuples } T\}$。
• $\sigma \cdot (a_1,...,a_k) = (\sigma(a_1),...,\sigma(a_k))$。
• 如果 $\sigma$ 在核里，那么 $(\sigma(a_1),...,\sigma(a_k)) = (a_1,...,a_k)$ 对 所有 k-元组成立。
• 情况 1: $k \ge 1$
• 我们取一个 k-元组 $T=(1, 2, ..., k)$。
• 那么必须有 $(\sigma(1),...,\sigma(k)) = (1,...,k)$。
• 这要求 $\sigma(1)=1, \sigma(2)=2, ..., \sigma(k)=k$。
• 如果 $k=n$，这就证明了 $\sigma=id$。
• 如果 $k < n$，这只说明 $\sigma$ 固定了前 $k$ 个元素。
• 但是，这个条件必须对 所有 k-元组成立。
• 我们再取另一个 k-元组，例如 $T'=(2, 3, ..., k+1)$。
• 那么必须有 $\sigma(2)=2, ..., \sigma(k+1)=k+1$。
• 如此类推，我们可以取遍所有元素。
• 只要 $k \ge 1$ 且 $n>1$，我们可以取一个元组 $(i, ..., )$，得到 $\sigma(i)=i$。因为 $i$ 是任意的，所以 $\sigma=id$。
• 结论 (b): 只要 $k \ge 1$ 且 $n>1$，作用就是忠实的。如果 $k=0$ (只有一个空元组)，作用不忠实。

这道题是例子(4)在 $n=4$ 时的具体计算。

• $G = D_8$ (正方形对称群)，$A=\{1,2,3,4\}$ (逆时针顶点)。
• $D_8$ 的8个元素是：
• 4个旋转: $1$ (0°), $r$ (90°), $r^2$ (180°), $r^3$ (270°)。
• 4个翻转: $s$ (水平中轴), $sr$ (垂直中轴), $sr^2$ (主对角线), $sr^3$ (副对角线)。(翻转轴的定义可能不同，但结果的置换集合是一样的)。我们按照书本上更常见的定义：$s$ 是关于过1,3的对角线翻转，$s'$ 是关于过2,4的对角线翻转，$h$ 是水平翻转，$v$是垂直翻转。
• 我们来计算每个操作对应的置换：

1. 单位元 (旋转0°): 保持所有顶点不动。置换是 $id$。
2. $r$ (旋转90°): $1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 4, 4 \to 1$。置换是 $(1234)$。
3. $r^2$ (旋转180°): $1 \to 3, 3 \to 1$ 且 $2 \to 4, 4 \to 2$。置换是 $(13)(24)$。
4. $r^3$ (旋转270°): $1 \to 4, 4 \to 3, 3 \to 2, 2 \to 1$。置换是 $(1432)$。
5. $s$ (水平翻转，过边1-2和3-4的中点): $1 \leftrightarrow 4, 2 \leftrightarrow 3$。置换是 $(14)(23)$。
6. $v$ (垂直翻转，过边1-4和2-3的中点): $1 \leftrightarrow 2, 4 \leftrightarrow 3$。置换是 $(12)(34)$。
7. $d$ (主对角线1-3翻转): 2和4交换，1和3不动。置换是 $(24)$。
8. $d'$ (副对角线2-4翻转): 1和3交换，2和4不动。置换是 $(13)$。
   • 最终的8个置换：

• $n=2m$ 是偶数。
• 群 G: $D_{2n} = D_{4m}$。
• 集合 A: 由相对顶点对组成的集合。顶点是 $\{1, 2, ..., 2m\}$。相对顶点对是 $\{i, i+m\}$。
• 所以 $A = \{ \{1, 1+m\}, \{2, 2+m\}, ..., \{m, 2m\} \}$。这个集合的基数是 $m = n/2$。
• 作用: 一个对称操作 $\alpha \in D_{4m}$ 作用在顶点对 $\{i, i+m\}$ 上，得到新的顶点对 $\{\alpha(i), \alpha(i+m)\}$。

• 证明这是群作用:

1. 封闭性: 我们需要证明 $\{\alpha(i), \alpha(i+m)\}$ 仍然是一个相对顶点对。一个对称操作是刚体运动，它保持距离。相对顶点之间的距离是直径，是最大的。所以 $\alpha(i)$ 和 $\alpha(i+m)$ 必然还是相对的两个顶点。
2. 性质(1)和(2): 证明与练习8类似，是成立的。

• 找出作用的核:
• 核 $K = \{\alpha \in D_{4m} \mid \alpha \cdot S = S \text{ for all pairs } S\}$。
• $\alpha \cdot \{i, i+m\} = \{i, i+m\}$。
• 这意味着，对于每一对相对顶点 $\{i, i+m\}$，$\alpha$ 要么把它们都固定（$\alpha(i)=i, \alpha(i+m)=i+m$），要么把它们互相交换（$\alpha(i)=i+m, \alpha(i+m)=i$）。
• 我们来分析 $D_{4m}$ 的元素：
• 旋转: $r^k$ (旋转 $k \cdot \frac{360}{2m}$ 度)。
• $r^k(j) = j+k \pmod{2m}$。
• 如果 $r^k$ 在核里，则对每个 $j$，$\{j+k, j+m+k\}$ 必须等于 $\{j, j+m\}$。
• 情况一: $j+k = j$ 且 $j+m+k=j+m$。这要求 $k=0 \pmod{2m}$。即单位元 $1=r^0$。
• 情况二: $j+k = j+m$ 且 $j+m+k=j$。这要求 $k=m \pmod{2m}$ 且 $k=-m \pmod{2m}$。这是同一个条件。
• 所以，旋转 $r^m$ (旋转180度) 在核里。它确实把每个顶点都映到了它的对径点。
• 翻转:
• 一个翻转轴如果穿过一对相对顶点（比如1和 $1+m$），它会固定这对顶点，但会交换其他顶点对。例如，它会交换 $\{2, 2+m\}$ 和 $\{2m, m\}$。所以这个翻转不在核里。
• 一个翻转轴如果穿过一对相对边的中点（比如边(1,2)和($1+m, 2+m$)的中点），它会同时交换 $\{1, 1+m\}$ 和 $\{2, 2+m\}$，但这个交换后的像不是原像。例如，$\alpha(\{1, 1+m\}) = \{2, m+2\}$，这不等于 $\{1, 1+m\}$（除非n=4, m=2）。所以这种翻转也不在核里。
• 结论: 作用的核由两个元素组成：单位元 $1$ (旋转0度) 和旋转180度的元素 $r^{n/2}$。核是 $\{1, r^{n/2}\}$，它是一个阶为2的子群。

这在例子(5)的解释中已经作为证明忠实性的一部分完成了。

• 左正则作用: $G$ 作用于 $G$，通过 $g \cdot a = ga$。
• 核 $K = \{g \in G \mid g \cdot a = a \text{ for all } a \in G\}$。
• $g \in K$ 意味着 $ga=a$ 对所有 $a \in G$ 成立。
• 我们特别地，可以取 $a$ 为群的单位元 $1$。
• 那么必须有 $g \cdot 1 = 1$，即 $g1=1$。
• 所以 $g=1$。
• 这意味着核里最多只有一个元素，就是单位元 $1$。
• 而我们知道 $1$ 确实在核里，因为 $1a=a$ 对所有 $a$ 成立。
• 结论: 左正则作用的核是 $\{1\}$。正因为如此，左正则作用总是忠实的。

这道题让我们检验一个看起来很像“右乘”的定义，看它是否能成为一个左作用。

• 定义: $g \cdot a = ag$。
• 我们要检验群作用性质(1): $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
• 左侧: $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = g_1 \cdot (ag_2)$。根据定义，这等于 $(ag_2)g_1$。
• 右侧: $(g_1 g_2) \cdot a = a(g_1 g_2)$。
• 所以，性质(1)成立，当且仅当 $(ag_2)g_1 = a(g_1 g_2)$ 对所有 $a, g_1, g_2 \in G$ 成立。
• 利用结合律，等式变为 $a(g_2 g_1) = a(g_1 g_2)$。
• 利用左消去律，等式变为 $g_2 g_1 = g_1 g_2$。
• 这个条件 $g_2 g_1 = g_1 g_2$ 必须对所有 $g_1, g_2 \in G$ 都成立。这正是群 $G$ 是阿贝尔群（交换群）的定义。
• 题目假设 $G$ 是非阿贝尔群，这意味着存在至少一对元素 $g_1, g_2$ 使得 $g_1 g_2 \neq g_2 g_1$。
• 对于这样的一对元素，性质(1)就不成立。
• 结论: 因此，如果 $G$ 是非阿贝尔群，由 $g \cdot a = ag$ 定义的映射不是一个（左）群作用。
• 注意: 如果 $G$ 是阿贝尔群，那么这个定义确实构成一个群作用。

这个定义看起来很奇怪，但它恰好修正了练习14中的问题。

• 定义: $g \cdot a = ag^{-1}$。
• 我们要检验群作用性质(1): $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
• 左侧: $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = g_1 \cdot (ag_2^{-1})$。根据定义，这等于 $(ag_2^{-1})g_1^{-1}$。
• 右侧: $(g_1 g_2) \cdot a = a(g_1 g_2)^{-1}$。
• 我们知道群的逆元性质是 $(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$。
• 所以右侧等于 $a(g_2^{-1}g_1^{-1})$。
• 根据结合律，左侧等于 $a(g_2^{-1}g_1^{-1})$。
• 左侧 = 右侧。性质(1)成立。
• 检验性质 (2): $1 \cdot a = a$。
• 单位元是 $1 \in G$。
• $1 \cdot a = a 1^{-1}$。
• 单位元的逆元是它自身，即 $1^{-1}=1$。
• 所以 $a 1^{-1} = a1 = a$。性质(2)成立。
• 结论: 这确实是一个合法的群作用。这被称为 $G$ 在自身上的右正则作用的一种“左作用”形式。

这是一个极其重要的群作用——共轭作用 (Conjugation Action)。

• 定义: $g \cdot a = gag^{-1}$。
• 检验性质 (1): $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
• 左侧: $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = g_1 \cdot (g_2 a g_2^{-1})$。
• 根据定义，这等于 $g_1 (g_2 a g_2^{-1}) g_1^{-1}$。
• 右侧: $(g_1 g_2) \cdot a = (g_1 g_2) a (g_1 g_2)^{-1}$。
• 利用逆元性质 $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$，右侧等于 $(g_1 g_2) a (g_2^{-1}g_1^{-1})$。
• 利用结合律，两个表达式是相等的。$g_1 g_2 a g_2^{-1} g_1^{-1} = g_1 g_2 a g_2^{-1} g_1^{-1}$。
• 性质(1)成立。
• 检验性质 (2): $1 \cdot a = a$。
• $1 \cdot a = 1 a 1^{-1} = a$。性质(2)成立。
• 结论: 这确实是一个合法的群作用。

这道题是对共轭作用性质的深入探讨。

• 对于固定的 $g$，我们定义一个映射 $\varphi_g: G \to G$ 为 $\varphi_g(x) = gxg^{-1}$。
• 我们要证明 $\varphi_g$ 是一个自同构 (Automorphism)，即它是一个从 $G$ 到自身的同构。
• 证明同构需要三步：证明它是同态、单射、满射。

1. 证明是同态: $\varphi_g(xy) = \varphi_g(x)\varphi_g(y)$。
   • 左侧: $\varphi_g(xy) = g(xy)g^{-1}$。
   • 右侧: $\varphi_g(x)\varphi_g(y) = (gxg^{-1})(gyg^{-1})$。
   • 在右侧中间，我们看到了 $g^{-1}g$，它们等于单位元 $1$。
   • 所以右侧等于 $g x (g^{-1}g) y g^{-1} = g x 1 y g^{-1} = gxyg^{-1}$。
   • 左侧 = 右侧，所以 $\varphi_g$ 是同态。
2. 证明是单射: 证明核为 $\{1\}$。
   • 设 $x$ 在核里，即 $\varphi_g(x) = 1$。
   • $gxg^{-1}=1$。
   • 左乘 $g^{-1}$，右乘 $g$：$g^{-1}(gxg^{-1})g = g^{-1}1g$。
   • $(g^{-1}g)x(g^{-1}g) = g^{-1}g = 1$。
   • $1x1=1$，即 $x=1$。
   • 所以核只有单位元，$\varphi_g$ 是单射。
3. 证明是满射: 对于任意 $y \in G$，能否找到一个 $x \in G$ 使得 $\varphi_g(x)=y$?
   • 我们要找 $x$ 使得 $gxg^{-1}=y$。
   • 解这个方程：左乘 $g^{-1}$，右乘 $g$，得到 $x = g^{-1}yg$。
   • 这个 $x$ 确实在群 $G$ 中。我们找到了这样一个 $x$。
   • 所以 $\varphi_g$ 是满射。

• 结论: $\varphi_g$ 是一个自同构。

• 推论:

1. 阶相同: 同构保持元素的阶。因为 $\varphi_g$ 是同构，所以 $x$ 的阶和它的像 $\varphi_g(x)=gxg^{-1}$ 的阶必须相同。
2. 基数相同: 因为 $\varphi_g$ 是一个双射，它会把子集 $A$ 映射成一个与 $A$ 基数（大小）相同的子集 $\varphi_g(A)$。
   • $\varphi_g(A) = \{\varphi_g(a) \mid a \in A\} = \{gag^{-1} \mid a \in A\} = gAg^{-1}$。
   • 所以 $|A| = |gAg^{-1}|$。

这道题引入了群作用理论中另一个核心概念——轨道 (Orbit)。

• 关系定义: $a \sim b$ 当且仅当存在 $h \in H$ 使得 $a=hb$。注意这个定义和书上常见的 $b=ha$ 略有不同，但本质是一样的。我们按题目的来。

• 证明等价关系需要三步：

1. 自反性 (Reflexivity): $a \sim a$。
   • 我们需要找一个 $h \in H$ 使得 $a=ha$。
   • 取 $h=1$ (H的单位元)。根据群作用性质(2)，$1a=a$。
   • 所以 $a \sim a$ 成立。
2. 对称性 (Symmetry): 如果 $a \sim b$，那么 $b \sim a$。
   • $a \sim b$ 意味着存在 $h \in H$ 使得 $a=hb$。
   • 两边用 $h^{-1}$ 作用：$h^{-1}a = h^{-1}(hb) = (h^{-1}h)b = 1b = b$。
   • 所以 $b = h^{-1}a$。
   • 因为 $H$ 是群，如果 $h \in H$，那么 $h^{-1} \in H$。
   • 我们找到了一个群元素 $h^{-1}$ 使得 $b$ 是它作用于 $a$ 的结果。根据定义，$b \sim a$。
   • 对称性成立。
3. 传递性 (Transitivity): 如果 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，那么 $a \sim c$。
   • $a \sim b \implies \exists h_1 \in H, a=h_1 b$。
   • $b \sim c \implies \exists h_2 \in H, b=h_2 c$。
   • 将第二个式子代入第一个：$a = h_1(h_2 c)$。
   • 根据群作用性质(1)，这等于 $a = (h_1 h_2)c$。
   • 因为 $H$ 是群，$h_1, h_2 \in H \implies h_1 h_2 \in H$。
   • 我们找到了一个群元素 $h_1 h_2$ 使得 $a$ 是它作用于 $c$ 的结果。根据定义，$a \sim c$。
   • 传递性成立。

• 轨道: 由这个等价关系划分出的等价类就是轨道。元素 $x$ 的轨道 $O_x$ 是集合 $\{y \in A \mid y \sim x\} = \{hx \mid h \in H\}$。它表示从 $x$ 出发，通过 $H$ 中所有元素的作用，能够到达的所有点的集合。

这道题用群作用的工具来证明大名鼎鼎的拉格朗日定理。

• 作用: 子群 $H$ 在大群 $G$ 上的左正则作用 ($h \cdot g = hg$)。
• 轨道: $x$ 的轨道 $\mathcal{O}_x = \{hx \mid h \in H\}$。这个集合就是 $H$ 的一个右陪集 $Hx$。
• 映射: $\psi: H \to Hx$ 定义为 $\psi(h) = hx$。

• 证明 $\psi$ 是双射:

1. 满射 (Surjective):
   • 根据轨道(即陪集)的定义，$\mathcal{O}_x = Hx$ 中的任何一个元素 $y$，其形式必然是 $y=hx$ 对于某个 $h \in H$。
   • 这个 $h$ 就是 $\psi$ 的一个原像，因为 $\psi(h)=hx=y$。
   • 所以对于任何 $y \in Hx$，都能在 $H$ 中找到原像。$\psi$ 是满射。
2. 单射 (Injective):
   • 假设 $\psi(h_1) = \psi(h_2)$。
   • 这意味着 $h_1 x = h_2 x$。
   • 在群 $G$ 中，我们可以使用右消去律，两边消去 $x$。
   • 得到 $h_1 = h_2$。
   • 所以 $\psi$ 是单射。
   • 结论: $\psi$ 是一个双射。这意味着定义域 $H$ 和值域 $\mathcal{O}_x = Hx$ 的大小（基数）是相等的。$|\mathcal{O}_x| = |Hx| = |H|$。
   • 这说明，由 $H$ 左乘作用在 $G$ 上所产生的每一个轨道（即每个右陪集），其大小都等于子群 $H$ 的大小。

• 推断拉格朗日定理:

1. 根据练习18，群作用产生的轨道是对集合 $A$ (这里是 $G$) 的一个划分。
2. 划分意味着 $G$ 被分解成若干个互不相交的轨道的并集。
3. $G = \mathcal{O}_{x_1} \cup \mathcal{O}_{x_2} \cup ... \cup \mathcal{O}_{x_k}$ (不相交并)。
4. 两边取基数：$|G| = |\mathcal{O}_{x_1}| + |\mathcal{O}_{x_2}| + ... + |\mathcal{O}_{x_k}|$。
5. 我们刚刚证明了，每个轨道的大小都等于 $|H|$。
6. 所以 $|G| = |H| + |H| + ... + |H|$ (共 $k$ 项)。
7. $|G| = k \cdot |H|$。
8. 这里的 $k$ 是轨道的数目，也称为 $H$ 在 $G$ 中的指数，记作 $[G:H]$。
9. 这个等式 $|G| = [G:H] \cdot |H|$ 明确地表明 $|H|$ 整除 $|G|$。
10. 拉格朗日定理得证。

这道题应该有一个印刷错误，四面体的旋转群是同构于 $A_4$（交错群），而不是 $S_4$。$S_4$ 是四面体的完全对称群（包括反射）。我们按“刚体运动群”（即旋转群）来做。

• 群 G: 四面体的旋转群 T。
• 集合 A: 四面体的4个顶点 $\{v_1, v_2, v_3, v_4\}$。
• 作用: $G$ 中的每个旋转操作都会引起4个顶点的置换。这定义了一个群作用。
• 这个作用给出了一个置换表示 $\varphi: T \to S_4$。

• 证明作用是忠实的:
• 任何一个非恒等的旋转，必然会移动至少一个顶点。如果一个操作让所有4个顶点都不动，那它只能是恒等操作。
• 所以作用的核是 $\{1\}$。作用是忠实的。
• 同构关系:
• 因为作用忠实，$\varphi$ 是单射。
• 根据第一同构定理，$T \cong Im(\varphi)$。
• $Im(\varphi)$ 是 $S_4$ 的一个子群。
• 证明完成了一半：T 与 $S_4$ 的一个子群同构。
• 是什么子群？
• 我们需要计算 T 的阶。
• 固定一个顶点，有3个旋转（120°, 240°, 360°=id）。一共有4个顶点，所以有 $4 \times (3-1) = 8$ 个3-循环的旋转。
• 还有穿过对边的中点的旋转180度的轴，共3个。
• 加上恒等元，总共有 $1+8+3 = 12$ 个元素。$|T|=12$。
• 所以 $Im(\varphi)$ 是 $S_4$ 的一个12阶子群。
• $S_4$ 中唯一的12阶子群就是交错群 $A_4$（所有偶置换构成的群）。
• 我们可以验证 T 引起的所有置换都是偶置换：
• 绕顶点旋转120度是 (abc) 类型的3-循环，是偶置换。
• 绕对边中点旋转180度是 (ab)(cd) 类型的，是两个对换的积，是偶置换。
• 因此 $Im(\varphi)$ 就是 $A_4$。
• 结论: $T \cong A_4$。题目中的 $S_4$ 的一个子群，这个子群就是 $A_4$。

这道题给出了一个惊人的结论，并提示了证明方法。

• 群 G: 立方体的旋转群 C。
• 集合 A: 立方体有4条空间对角线（连接相对顶点的线段）。设这4条对角线为 $\{d_1, d_2, d_3, d_4\}$。
• 作用: 立方体的任何一个旋转，都会将某条对角线变换到另一条（或自身）的位置。这定义了一个 G 在 A 上的群作用。
• 这个作用给出了一个置换表示 $\varphi: C \to S_4$。

• 计算群的阶:
• $|C|=24$。（可以通过“轨道-稳定子”定理计算：固定一个面，有4种旋转，共6个面，所以 $4 \times 6=24$。或者固定一个顶点，有3种旋转，共8个顶点，所以 $3 \times 8=24$。这些计算都有重复，正确的是 $V=8, E=12, F=6$。稳定一个顶点的子群阶为3，所以 $|C| = |O_v| \cdot |G_v| = 8 \times 3 = 24$）。

• 证明 $\varphi$ 是同构:
• 我们有一个同态 $\varphi: C \to S_4$。$|C|=24, |S_4|=24$。
• 要证明是同构，我们只需证明它是单射（因为阶相同）。
• 要证明单射，只需证明核为 $\{1\}$。
• 核 $K = \{\alpha \in C \mid \alpha \text{ 保持所有4条对角线不动}\}$。
• 如果一个旋转 $\alpha$ 保持所有4条对角线不动，它能是什么样的旋转？
• 一个绕穿过相对面中心的轴的90度旋转，会置换这4条对角线，是一个4-循环。不在核里。
• 一个绕穿过相对顶点（对角线）的轴的120度旋转，会固定这条对角线，但会循环置换其他3条对角线。不在核里。
• 一个绕穿过相对边中点的轴的180度旋转，会交换两对对角线。不在核里。
• 唯一能让所有4条对角线都回到自己位置的旋转，只有恒等旋转。
• 所以核是 $\{1\}$。$\varphi$ 是单射。
• 由于定义域和值域的阶都是24，单射必为满射。
• 结论: $\varphi$ 是同构，$C \cong S_4$。

这道题与上一题非常相似，利用了“对偶”的思想。

• 一个正八面体有8个面（三角形），6个顶点，12条边。
• 它的对偶多面体是立方体（8个顶点，6个面）。将八面体每个面的中心连接起来，就得到一个立方体。反之亦然。
• 这意味着，八面体的对称操作和立方体的对称操作是一一对应的。所以它们的旋转群必然是同构的。

• 用群作用证明:
• 群 G: 八面体的旋转群 O。
• 集合 A: 八面体有4对相对的面。$A = \{\{f_1, f'_1\}, ..., \{f_4, f'_4\}\}$。
• 作用: 八面体的旋转会将相对面构成的对，变换到另一对相对面的位置。这定义了一个群作用。
• 这个作用给出了一个置换表示 $\varphi: O \to S_4$。
• 计算群的阶: $|O|=24$。（可以通过对偶性，或者直接计算：稳定一个面（三角形）的子群阶为3，共8个面，所以 $|O| = |O_f| \cdot |G_f|$ 的一个版本是 $8 \times 3 = 24$）。
• 证明是同构: 同样地，我们证明作用是忠实的。任何非恒等旋转，必然会移动这4对相对面中的至少一对。所以核为 $\{1\}$。
• 因此 $\varphi: O \to S_4$ 是一个单射。
• 由于 $|O|=24, |S_4|=24$，所以 $\varphi$ 是同构。
• 结论: $O \cong S_4$。
• 推断:
• 我们证明了 $C \cong S_4$ 和 $O \cong S_4$。
• 根据同构的传递性，我们推断出 $C \cong O$。
• 立方体和八面体的旋转群是同构的。

• 群 G: 立方体的旋转群 C，我们知道 $|C|=24$ 且 $C \cong S_4$。
• 集合 A: 立方体有3对相对的面。$A = \{\{F_x, F_{-x}\}, \{F_y, F_{-y}\}, \{F_z, F_{-z}\}\}$。 $|A|=3$。
• 作用: G 作用在 A 上，定义了一个置换表示 $\psi: C \to S_3$。

• 为什么不忠实:
• 一个作用是忠实的，当且仅当其核为 $\{1\}$。
• $\psi: C \to S_3$ 是一个从24阶群到6阶群的同态。
• 根据第一同构定理，$C/Ker(\psi) \cong Im(\psi)$。$Im(\psi)$ 是 $S_3$ 的一个子群。
• 根据拉格朗日定理，$|C|/|Ker(\psi)| = |Im(\psi)|$。
• $24 / |Ker(\psi)| = |Im(\psi)| \le |S_3|=6$。
• 所以 $|Ker(\psi)| \ge 24/6 = 4$。
• 因为核的阶至少是4，它肯定不只包含单位元。
• 所以作用不忠实。

• 找出核:
• 核 $K = \{\alpha \in C \mid \alpha \text{ 保持所有3对相对面不动}\}$。
• $\alpha \cdot \{F_i, F_{-i}\} = \{F_i, F_{-i}\}$ 对 $i=x,y,z$ 成立。
• 这意味着，一个旋转 $\alpha$ 要么保持一对面不动，要么交换它们。
• 我们来分析 C 中的旋转：

1. 恒等旋转: 显然在核里。
2. 绕穿过相对面中心的轴旋转:
   • 以 z 轴为例。旋转90度或270度，会固定 $\{F_z, F_{-z}\}$ 这对面，但会交换另两对：$\{F_x, F_{-x}\} \to \{F_y, F_{-y}\}$。所以90度和270度旋转不在核里。
   • 旋转180度，会固定 $\{F_z, F_{-z}\}$ 这对面，并且把 $\{F_x, F_{-x}\}$ 映回自身（$F_x \to F_{-x}, F_{-x} \to F_x$），$\{F_y, F_{-y}\}$ 也映回自身。所以这个180度旋转在核里。
   • 有3个这样的轴（x,y,z），所以我们找到了3个180度旋转在核里。
3. 绕穿过相对顶点的轴旋转 (120°): 会同时置换所有3对相对面。不在核里。
4. 绕穿过相对边中点的轴旋转 (180°): 会交换一对面，并固定另两对中的面（但会把面上的点翻转）。例如，绕穿过 (1,1,0) 和 (-1,-1,0) 的轴旋转180度，会交换顶面和底面，但保持前面/后面、左面/右面这两对不动。所以这种旋转不在核里。

• 结论: 作用的核由以下4个元素组成：

1. 恒等元。
2. 绕x轴旋转180度。
3. 绕y轴旋转180度。
4. 绕z轴旋转180度。
   • 这个核 K 是一个4阶子群，它同构于克莱因四元群 $V_4$。

这是一个参考文献脚注，它为书中（很可能是在本书未展示的前言或介绍部分）提到的关于代数和群论发展的历史评论提供了出处。

1. 目的: 这是标准的学术规范，旨在对引用的历史观点来源表示感谢，并为有兴趣深入了解相关历史的读者提供权威的指引。
2. 引用的著作:
   • 《代数史》(A History of Algebra) by B. L. van der Waerden: 这是研究代数思想如何演变的一部经典著作。
   • 《抽象群概念的起源》(The Genesis of the Abstract Group Concept) by H. Wussing: 这是一本专注于群论起源的专门史学著作，表明群论的发展本身就是一个值得深入研究的丰富领域。
   • 《数论，通过历史的方法：从 Hammurapai 到 Legendre》(Number Theory, An approach through history from Hammurapi to Legendre) by A. Weil: 这是另一位数学大师安德烈·韦伊的经典之作，它展示了数论深远的历史渊源，而许多群论的思想正是在早期对数论的研究中萌芽的。
3. 学术惯例: 在学术写作中，引用来源和提供延伸阅读文献是一种基本要求，体现了作者的严谨性和对前人工作的尊重。

这是另一个参考文献脚注，指向一个更具体、更前沿的应用领域。

1. 目的: 它指出了群论的一个重要应用领域：椭圆曲线算术。这通常是在代数课程的后续，如图论、数论或代数几何中才会深入涉及的话题。
2. 引用的著作: 《椭圆曲线的算术》(The Arithmetic of Elliptic Curves) by J. Silverman。这是该领域公认的研究生级别标准教材。
3. 与群论的联系: 在一个域（如有理数域）上定义的椭圆曲线上的所有点，可以被赋予一种代数结构，使其成为一个阿贝尔群。这种群结构是现代数论的基石，在解决“费马大定理”和现代密码学（如比特币和许多网络安全协议中使用的椭圆曲线密码学）等问题中扮演着核心角色。书的正文在提到这个脚注前，很可能举了一个与此相关的例子或做了一个简短的评述。

这是一个前瞻性的脚注，它预告了后续课程的内容，并对正文中的一个说法进行了澄清。

1. 核心论点: 对称群 $S_\Omega$（即集合 $\Omega$ 上所有置换构成的群）的结构，只与 $\Omega$ 中有多少个元素有关，而与这些元素具体是什么（是数字、字母还是小动物）无关。
2. “基数” (Cardinality): 这是数学术语，指一个集合的“大小”或“元素个数”。
3. “看起来像” (Looks like): 这是对“同构”(isomorphic) 这一概念的非正式说法。同构是数学上描述两个群拥有完全相同结构的精确术语。
4. 举例说明:
   • 假设集合 $\Omega_1 = \{1, 2, 3\}$。它的对称群是 $S_{\Omega_1}$，我们通常记作 $S_3$。
   • 再假设集合 $\Omega_2 = \{A, B, C\}$。它的对称群是 $S_{\Omega_2}$。
   • 该脚注指出，$S_{\Omega_1}$ 和 $S_{\Omega_2}$ 是同构的。因为两个集合的大小都是3。$\Omega_1$ 上的任何一个置换，比如交换1和2的 $(12)$，都对应着 $\Omega_2$ 上的一个置换，即交换A和B的 $(AB)$。这些置换之间进行复合运算的规则（即群的乘法表）是完全一样的。
5. 标准记号 $S_n$: 正因为群的结构只依赖于元素的个数 $n$，我们便可以选择一个标准的、大小为 $n$ 的集合（通常是 $\{1, 2, ..., n\}$），并研究它的置换群，记作 $S_n$。任何其他包含 $n$ 个元素的集合上的对称群，都将与这个标准的 $S_n$ 同构。
6. “我们将在第 6 节看到”: 这句话提示读者，关于这个事实的严格证明或更详细的讨论，将在后续的第6节中给出。