1. 2.5 群的子群格

这段话是本节的总起，介绍了即将要学习的一个重要工具——子群格 (subgroup lattice)。

1. 目标: 我们想要找到一种方式来理解群 (group) 的内部结构。
2. 现有工具的局限性: 之前我们可能接触过群表 (group table)，也叫凯莱表 (Cayley table)。对于元素很少的群，群表很直观，但当群的阶（元素的数量）变大时，群表会变得异常庞大和混乱，很难从中看出深层次的结构性信息。例如，一个8阶群的群表就有 8x8=64 个条目。
3. 新工具的提出: 这里提出一个叫做 子群格 的图 (graph)。图在数学中是由顶点 (vertices) 和边 (edges) 构成的结构。子群格这个图专门用来展示一个群的所有子群 (subgroups) 以及它们之间的相互关系。
4. 子群格的优势: 它被认为是一种“可视化”群的好方法，比群表更能“阐明”（说清楚、照亮）群的结构。它关注的是群的“骨架”——子群结构，而不是单个元素之间的运算细节。
5. 应用范围: 作者提到，这个工具不仅在本章有用，在后续的整个群论学习中都会反复使用。它不仅能帮助我们理解具体的群（如 $D_8$），还能帮助我们理解一般群的性质。
6. 更深远的应用: 特别地，它在伽罗瓦理论 (Galois Theory) 中有重要作用。伽罗瓦理论在代数领域是座高峰，它通过群论来研究多项式方程的根，而子群格是连接域论和群论的一座关键桥梁。
7. “格”的数学含义: 脚注解释了“格 (lattice)”这个词不是随便用的，它是一个有精确数学定义的术语，来源于偏序集 (partially ordered set) 理论。一个偏序集，如果其中任意两个元素都有唯一的最小上界 (join) 和最大下界 (meet)，就称之为一个格。我们后面会看到，子群集合在“包含关系”这个偏序下，正好构成一个格。

这段话详细描述了如何一步步画出一个有限群的子群格。

1. 第一步：找出所有材料。
   • 首先，你需要找到这个有限群 $G$ 的所有子群。这是一个关键且可能困难的前置工作。对于小群，我们可以尝试由每个元素生成循环子群，然后再考虑由多个元素生成的子群。
2. 第二步：布置顶点 (Vertices)。
   • 每一个子群都对应图中的一个顶点（一个点）。
   • 这些点不是随意摆放的，而是有大致的层级规则。
   • 平凡子群 $\{e\}$ (在书中用 $1$ 表示) 放在最底部。
   • 整个群 $G$ 放在最顶部。
   • 其他的子群放在中间。大致的原则是：阶（子群中元素的个数）越大的子群，位置越靠上；阶越小的，位置越靠下。
3. 第三步：连接边 (Edges)。
   • 连线的规则非常严格：只有当子群 $A$ 是子群 $B$ 的极大子群 (maximal subgroup) 时，才在 $A$ 和 $B$ 之间连一条线。
   • “$A$ 是 $B$ 的极大子群”的严格说法是：$A \leq B$ (A是B的子群)，并且不存在任何一个子群 $C$ 使得 $A < C < B$ (这里的 < 表示真子群关系)。也就是说，在 $A$ 和 $B$ 之间“插不进”任何其他的子群了。
   • 线段的方向是从阶小的 $A$ 指向阶大的 $B$ (向上画)。
4. 第四步：理解路径 (Paths)。
   • 如果子群 $A$ 是子群 $B$ 的一个子群 ($A \leq B$)，但在它们之间还可以插入其他子群，那么它们之间就没有直接的线段连接。
   • 但是，你一定可以从 $A$ 出发，沿着图中向上的一系列线段，最终走到 $B$。这条由线段组成的序列就叫做一条路径。
   • 反之，如果能从 $B$ 沿着向下的线段走到 $A$，那么必然有 $A \leq B$。
5. 第五步：美化布局。
   • 子群在水平方向上的位置没有严格规定（“在先验上有些随意”）。我们可以调整它们的位置，目的是让画出来的图尽可能地清晰、对称、交叉线少，从而更美观、更易于理解。这通常需要一些经验和尝试。

这段话解释了子群格画出来之后如何使用它，特别是如何利用它来找到两个子群的并 (join) 和交 (meet)。

1. 子群的并 (Join):
   • 定义: 两个子群 $H$ 和 $K$ 的并，记作 $\langle H, K \rangle$，并不是指集合的并集 $H \cup K$ (因为 $H \cup K$ 通常不是一个子群)。它的真正含义是：包含 $H$ 并且也包含 $K$ 的所有子群中，阶最小的那个。它也被称为由 $H$ 和 $K$ 生成 (generate) 的子群。
   • 在格上寻找方法:
   • 验证过程: 文中给出了一个更严谨的说法。假设你找到了一个候选的公共祖先 $A$。你需要检查一下，是否能从 $A$ 向下走到另一个子群 $A_1$，而这个 $A_1$ 仍然是 $H$ 和 $K$ 的公共祖先。如果是这样，那么 $A$ 就不是最小的，你需要用 $A_1$ 替换 $A$ 继续寻找。直到你找到的那个公共祖先 $A$ 没有任何后代（在它下方的子群）还能同时包含 $H$ 和 $K$，那么这个 $A$ 就是我们要找的 $\langle H, K \rangle$。这在数学上叫做寻找最小上界 (least upper bound)。
2. 子群的交 (Meet):
   • 定义: 两个子群 $H$ 和 $K$ 的交就是它们的集合交集 $H \cap K$。之前的命题8已经证明了，两个子群的交集仍然是一个子群。这个交集显然是包含于 $H$ 且包含于 $K$ 的所有子群中阶最大的那一个。
   • 在格上寻找方法:

这段话讨论了子群格的两个重要方面：它的局限性和它与群同构的关系。

1. 局限性:
   • 无限群: 子群格的基本构造方法要求我们“画出所有子群”。对于无限群，比如整数加法群 $\mathbb{Z}$，它有无限多个子群（$\langle n \rangle$ 对所有 $n \in \mathbb{N}$），我们不可能把它们都画出来。因此，这个方法原则上不适用于无限群。（作者预告了后面会讲如何处理这种情况，即只画出部分我们感兴趣的子群）。
   • 复杂性: 即使是对于有限群，如果群的阶稍大一些，或者结构比较复杂，其子群的数量也可能爆炸式增长，导致子群格变得异常复杂，难以绘制和阅读。作者举例说，关于阶为 $2^n$ (n≤6) 的群的书里就有很多“令人头痛的”复杂例子。一个64阶的群的子群格可能非常庞大。
2. 与同构 (Isomorphism) 的关系:
   • 同构是群论中“相同”的严格定义。如果两个群 同构，意味着它们的结构是完全一样的，只是元素的名字不同。
   • 同构群有相同的格: 如果群 $G_1$ 和 $G_2$ 同构，那么存在一个同构映射 $\phi: G_1 \to G_2$。这个映射会建立起 $G_1$ 子群和 $G_2$ 子群之间的一一对应关系，并且保持包含关系不变。因此，它们的子群格作为抽象的图，结构是完全一样的。
   • 非同构群也可能有相同的格: 这是子群格的一个重要“缺陷”。子群格只是群结构的一个侧面反映，它没有捕捉到群的全部信息（比如元素的具体运算规则）。因此，可能会有两个结构不同（非同构）的群，它们恰好拥有相同结构的子群格。作者提到，在16阶的群中首次出现这种情况（练习13和14会探讨这个例子）。
   • 如何看待这个“缺陷”: 作者认为这不是一个“严重的缺点”。首先，子群格只是我们用来描述和分析群的众多工具之一。其次，这个现象本身也很有趣，当两个不同的群有相同的格时，可能暗示了它们之间存在某些共同的结构性质，值得进一步研究。

这段内容开始给出具体的子群格例子，首先是循环群 $\mathbb{Z}_n$。

1. 开场白: 作者首先声明，除了第一个关于循环群的例子（其正确性由定理7保证），后面将要给出的其他群（如 $V_4, S_3, D_8$ 等）的子群格，目前我们暂时“接受”它们是正确的，而不去严格证明。证明这些格的完备性（找全了所有子群）和正确性（并与交的关系无误）需要更多理论知识，会在后续的学习中作为练习出现。这是一种常见的教学策略，先展示例子获得直观感受，再回头补足严格证明。
2. 循环群 $\mathbb{Z}_n$ 的子群格:
   • 核心结论: 循环群 $\mathbb{Z}_n$ 的子群格结构，和一个叫做“$n$的约数格”的东西是完全一样的。
   • 定理7回顾: 这个结论是基于一个重要的定理（定理7）：对于循环群 $\mathbb{Z}_n$ 的任何一个子群 $H$，都存在一个唯一的 $n$ 的约数 $d$，使得 $H$ 是由元素 $d$ 生成的循环子群 $\langle d \rangle$。反之，对于 $n$ 的每一个约数 $d$，$\langle d \rangle$ 都是 $\mathbb{Z}_n$ 的一个子群。这建立起 $\mathbb{Z}_n$ 的子群和 $n$ 的约数之间的一一对应关系。
   • 包含关系: 更进一步，两个子群 $\langle d_1 \rangle$ 和 $\langle d_2 \rangle$ 的包含关系 $\langle d_1 \rangle \leq \langle d_2 \rangle$ 成立，当且仅当 $d_2$ 整除 $d_1$ ($d_2 \mid d_1$)。注意这里的整除关系是反过来的！
   • 约数格的画法:
   • 顶点是 $n$ 的所有正约数。
   • $n$ 放在最底部 (对应平凡子群 $\langle n \rangle = \langle 0 \rangle = \{0\}$)。
   • $1$ 放在最顶部 (对应整个群 $\langle 1 \rangle = \mathbb{Z}_n$)。
   • 如果约数 $b$ 整除约数 $a$ ($b \mid a$)，并且它们之间没有别的约数了（即 $a/b$ 是素数），那么就从 $a$ 到 $b$ 向上画一条线。
   • 两个格的对应关系:
3. 具体例子分析:
   • $n=12$: 12的约数有1, 2, 3, 4, 6, 12。
   • 子群: $\langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 4 \rangle, \langle 6 \rangle, \langle 12 \rangle=\{0\}$。
   • 格的结构:
   • 底部是 $\langle 12 \rangle$ (对应约数12)。
   • 顶部是 $\langle 1 \rangle$ (对应约数1)。
   • $\langle 6 \rangle$ 在 $\langle 12 \rangle$ 上方，因为 $6 \mid 12$ 不对，应该是 $\langle 12 \rangle \leq \langle 6 \rangle$ 对应 $6|12$。这里原文的画法是把大数放下面，小数放上面。我们按原文的来，约数格是把n放最底，1放最顶。从a到b画线如果b|a。所以是从12到6画线，从12到4画线。从6到2画线，从6到3画线，从4到2画线。从2到1画线，从3到1画线。
   • 图中从 $\langle 6 \rangle$ 连线到 $\langle 2 \rangle$ 和 $\langle 3 \rangle$ (因为 $2|6, 3|6$)。
   • 从 $\langle 4 \rangle$ 连线到 $\langle 2 \rangle$ (因为 $2|4$)。
   • $\langle 2 \rangle$ 和 $\langle 3 \rangle$ 的公共上级（最小公倍数对应的约数）是 $\langle 1 \rangle$ (lcm(2,3)=6，不对，是gcd(2,3)=1)，$\langle 2 \rangle$ 和 $\langle 4 \rangle$ 的公共上级是 $\langle 2 \rangle$ (gcd(2,4)=2)。
   • 并: $\langle \langle 2 \rangle, \langle 3 \rangle \rangle = \langle \text{gcd}(2,3) \rangle = \langle 1 \rangle = \mathbb{Z}_{12}$。
   • 交: $\langle 2 \rangle \cap \langle 3 \rangle = \langle \text{lcm}(2,3) \rangle = \langle 6 \rangle$。
   • $n=p^n$ (p为素数): 如 $\mathbb{Z}_8 = \mathbb{Z}_{2^3}$。
   • 8的约数是 1, 2, 4, 8。
   • 子群: $\langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \langle 4 \rangle, \langle 8 \rangle=\{0\}$。
   • 格的结构: 这是一个简单的链条。$8|4, 4|2, 2|1$。所以画出来是 $\langle 8 \rangle \to \langle 4 \rangle \to \langle 2 \rangle \to \langle 1 \rangle$。
   • 这个链状结构是所有素数幂次阶循环群 $\mathbb{Z}_{p^k}$ 的子群格的共同特征。
   • $V_4$ 与 $Z_4$ 的对比: 虽然图中没有画 $\mathbb{Z}_4$，但我们可以根据 $n=4$ 来画。4的约数是1, 2, 4。所以 $\mathbb{Z}_4$ 的子群格是 $\langle 4 \rangle \to \langle 2 \rangle \to \langle 1 \rangle$，一个三层的链。而 $V_4$ 的格是菱形。这从格的形状上就直观地看出来 $\mathbb{Z}_4$ 和 $V_4$ 是结构完全不同的群（非同构）。

这段内容介绍了第二个重要的例子：克莱因四元群 $V_4$。

1. 定义: $V_4$ 是一个阶为4的群，由四个元素 $\{1, a, b, c\}$ 组成。它的结构完全由给出的乘法表（凯莱表）确定。
   • 单位元: 1是单位元 ($1 \cdot x = x \cdot 1 = x$)。
   • 逆元: 每个元素的逆元都是它自己 ($a \cdot a = 1, b \cdot b = 1, c \cdot c = 1$)。这说明 $V_4$ 中除单位元外，所有元素的阶都是2。
   • 运算规则: 任意两个非单位元相乘得到第三个，例如 $ab=c, bc=a, ca=b$。
   • 交换性: 从群表的对称性（沿主对角线）可以看出 $xy=yx$，所以 $V_4$ 是一个阿贝尔群（交换群）。
2. 子群格:
   • 文字描述了它的格，图片显示为一个菱形。
   • 顶点:
   • 最顶部: $V_4$ 自身，阶为4。
   • 最底部: 平凡子群 $\{1\}$，阶为1。
   • 中间层: 三个阶为2的子群，分别是 $\langle a \rangle = \{1, a\}$, $\langle b \rangle = \{1, b\}$, $\langle c \rangle = \{1, c\}$。
   • 边:
   • 从 $\{1\}$ 分别连线到 $\langle a \rangle, \langle b \rangle, \langle c \rangle$。
   • 从 $\langle a \rangle, \langle b \rangle, \langle c \rangle$ 再分别连线汇聚到 $V_4$。
   • 这个格非常对称。
3. 性质与讨论:
   • 与 $\mathbb{Z}_4$ 的比较:
   • $V_4$ 是阿贝尔群，$\mathbb{Z}_4$ 也是阿贝尔群。
   • 但它们不同构。作者提问“为什么？”。答案是：在 $\mathbb{Z}_4$ 中，有两个元素（1和3）的阶是4，一个元素（2）的阶是2。而在 $V_4$ 中，有三个元素的阶是2。同构的群必须有相同数量的各阶元素，所以它们不同构。从子群格的形状（菱形 vs. 链条）也能直观看出它们不同构。
   • 结合律的验证: 作者提到，我们暂时不需要手动去验证这个乘法表是否满足结合律（这是一个繁琐的工作）。因为后面会学到，八阶二面体群 $D_8$ 中包含一个与 $V_4$ 同构的子群。既然 $D_8$ 是一个群（满足结合律），它的任何子群也必然满足结合律。这是一种“借用”已知结论来简化当前工作的技巧。

这段内容展示了6阶对称群 $S_3$ 的子群格。$S_3$ 是我们遇到的第一个非阿贝尔群。

1. $S_3$ 的定义: $S_3$ 是作用于三个元素的集合（例如 $\{1, 2, 3\}$）上的所有置换构成的群。它的阶是 $3! = 6$。
   • 元素:
   • $e = (1)$: 单位置换 (不动)。
   • $(1 2)$: 交换1和2。
   • $(1 3)$: 交换1和3。
   • $(2 3)$: 交换2和3。
   • $(1 2 3)$: 轮换，$1 \to 2 \to 3 \to 1$。
   • $(1 3 2)$: 轮换，$1 \to 3 \to 2 \to 1$。
   • 非阿贝尔性: 运算不可交换，例如 $(1 2)(1 3) = (1 3 2)$，而 $(1 3)(1 2) = (1 2 3)$。两者不相等。
2. 子群格分析:
   • 顶点 (子群):
   • 阶为1: $\{e\}$ (平凡子群)。
   • 阶为2: 有三个，由阶为2的元素（对换）生成。
   • $\langle (1 2) \rangle = \{e, (1 2)\}$
   • $\langle (1 3) \rangle = \{e, (1 3)\}$
   • $\langle (2 3) \rangle = \{e, (2 3)\}$
   • 阶为3: 有一个，由阶为3的元素（3-轮换）生成。
   • $\langle (1 2 3) \rangle = \{e, (1 2 3), (1 3 2)\}$。这个子群也等于 $\langle (1 3 2) \rangle$。这个子群通常被称为交错群 $A_3$。
   • 阶为6: $S_3$ 自身。
   • 格的结构: 图片展示的结构。
   • 最底部是 $\{e\}$。
   • 最顶部是 $S_3$。
   • 中间分为两类：左边是三个阶为2的子群，右边是一个阶为3的子群 $A_3$。
   • 从 $\{e\}$ 连线到所有四个中间子群。
   • 从所有四个中间子群连线到 $S_3$。
   • 结构特点: 这个格不像 $V_4$ 那样“扁平”，也不像 $\mathbb{Z}_4$ 那样是“线性”的。它体现出一种不对称性，反映了 $S_3$ 内部结构的多样性。
3. 几何解释: $S_3$ 同构于等边三角形的对称群 $D_3$。
   • 三个阶为2的子群对应于通过一个顶点和对边中点的三条翻转轴的对称操作。
   • 一个阶为3的子群对应于旋转0度、120度和240度的操作集合。

这段内容展示了8阶二面体群 $D_8$ 的子群格。$D_8$ 是正方形的对称群。

1. $D_8$ 的定义: $D_8 = \langle r, s \mid r^4=s^2=1, sr=r^{-1}s=r^3s \rangle$。
   • $r$ 可以看作是正方形逆时针旋转90度。
   • $s$ 可以看作是关于某条对称轴（比如水平中轴）的翻转。
   • 元素: $D_8 = \{1, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3\}$。总共8个元素。
   • 这是一个非阿贝尔群。
2. 子群格分析: 这个格比 $S_3$ 的复杂得多。
   • 顶点 (子群):
   • 阶为1: $\langle 1 \rangle$ (即 $\{e\}$ 或 $\{1\}$)。
   • 阶为2: 有5个。
   • $\langle r^2 \rangle = \{1, r^2\}$ (旋转180度)。这个子群位于格的中心位置，非常特殊。它是 $D_8$ 的中心 $Z(D_8)$。
   • 四个由翻转生成的子群: $\langle s \rangle, \langle sr \rangle, \langle sr^2 \rangle, \langle sr^3 \rangle$。
   • 阶为4: 有3个。
   • $\langle r \rangle = \{1, r, r^2, r^3\}$。这是一个4阶循环子群，同构于 $\mathbb{Z}_4$。
   • $\langle s, r^2 \rangle = \{1, s, r^2, sr^2\}$。这是一个4阶子群，其中非单位元元素的阶都是2，因此它同构于克莱因四元群 $V_4$。
   • $\langle sr, r^2 \rangle = \{1, sr, r^2, sr^3\}$。这个子群也同构于 $V_4$。
   • 阶为8: $D_8$ 自身。
   • 格的结构 (根据图片描述):
   • 底部是 $\langle 1 \rangle$。顶部是 $D_8$。
   • 中心是 $\langle r^2 \rangle$。
   • 从 $\langle 1 \rangle$ 向上连线到所有5个2阶子群。
   • $\langle r^2 \rangle$ 被所有3个4阶子群包含，所以有从 $\langle r^2 \rangle$ 到 $\langle r \rangle, \langle s, r^2 \rangle, \langle sr, r^2 \rangle$ 的连线。
   • 另外四个2阶子群，两个（$\langle s \rangle, \langle sr^2 \rangle$）被 $\langle s, r^2 \rangle$ 包含，另外两个（$\langle sr \rangle, \langle sr^3 \rangle$）被 $\langle sr, r^2 \rangle$ 包含。所以有相应的连线。
   • 所有3个4阶子群都向上连线到 $D_8$。
   • 结构特点:
   • 非常对称。
   • 存在不同构的4阶子群：一个 $\mathbb{Z}_4$ 型，两个 $V_4$ 型。
   • 中心的 $\langle r^2 \rangle$ 地位特殊，是多个子群的交。

这段内容展示了另一个重要的8阶非阿贝尔群——四元数群 $Q_8$ 的子群格。

1. $Q_8$ 的定义: $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$，其乘法规则为：
   • $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$。
   • $-1$ 是中心元素，与所有元素交换，且 $(-1)^2 = 1$。
   • $ij=k, jk=i, ki=j$。
   • $ji=-k, kj=-i, ik=-j$。
   • 也可以用生成元表示: $Q_8 = \langle a, b \mid a^4=1, a^2=b^2, b^{-1}ab=a^{-1} \rangle$。这里可以令 $a=i, b=j$。
2. 子群格分析:
   • 顶点 (子群):
   • 阶为1: $\langle 1 \rangle = \{1\}$。
   • 阶为2: 只有一个，即 $\langle -1 \rangle = \{1, -1\}$。这个子群是 $Q_8$ 的中心 $Z(Q_8)$。这是 $Q_8$ 与 $D_8$ 的一个显著区别（$D_8$ 有5个2阶子群）。
   • 阶为4: 有三个。
   • $\langle i \rangle = \{1, i, -1, -i\}$。
   • $\langle j \rangle = \{1, j, -1, -j\}$。
   • $\langle k \rangle = \{1, k, -1, -k\}$。
   • 阶为8: $Q_8$ 自身。
   • 格的结构 (根据图片描述):
   • 底部是 $\langle 1 \rangle$。顶部是 $Q_8$。
   • 中间只有一层，包含三个4阶子群。
   • 在4阶子群的下方，有一个2阶子群 $\langle -1 \rangle$。
   • 从 $\langle 1 \rangle$ 连线到 $\langle -1 \rangle$。
   • 从 $\langle -1 \rangle$ 连线到所有三个4阶子群。
   • 从所有三个4阶子群连线到 $Q_8$。
   • 结构特点:
   • 非常对称，有点像 $V_4$ 的格的“升级版”，在顶层和底层之间加了两层。
   • 只有一个2阶子群，且这个子群是三个4阶子群的唯一公共子群（除平凡子群外）。
   • 所有真子群（非平凡且非自身的子群）都是循环群。
3. 与 $D_8$ 的对比:
   • 阶: 都是8。都是非阿贝尔群。
   • 2阶元素/子群: $D_8$ 有5个， $Q_8$ 只有1个。
   • 4阶子群: $D_8$ 有 $\mathbb{Z}_4$ 型和 $V_4$ 型， $Q_8$ 只有 $\mathbb{Z}_4$ 型。
   • 结论: $D_8$ 和 $Q_8$ 不同构。它们的子群格形状也完全不同。

这段内容简要介绍了16阶二面体群 $D_{16}$ 的子群格，并指出了它的一个重要特性。

1. $D_{16}$ 的定义: $D_{16} = \langle r, s \mid r^8=s^2=1, sr=r^{-1}s=r^7s \rangle$。这是正八边形的对称群，阶为16。
2. 子群格的复杂性:
   • 作者没有详细列出 $D_{16}$ 的所有子群，因为数量很多，结构非常复杂。
   • 核心信息是：$D_{16}$ 的子群格是一个非平面图 (non-planar graph)。
   • 平面图的定义是：一个图可以被画在二维平面上，使得它的所有边除了在顶点处之外，互相不交叉。
   • $D_{16}$ 的子群格无论怎么画，都无法避免出现边的交叉。这标志着其内部的子群关系已经复杂到了一个新的层次。
   • 最著名的两个非平面图是 $K_5$ (5个顶点的完全图) 和 $K_{3,3}$ (两边各3个顶点的完全二分图)。$D_{16}$ 的子群格中包含了与这些图类似的结构。
3. 图示:
   • 原文的图片展示了一种尝试绘制这个非平面图的方式。由于无法看到图片，我们只能想象它是一个有很多节点和边的、有交叉线的复杂网络。
   • 图中应该会包含 $\langle r \rangle$ (一个8阶循环子群)，以及多个同构于 $D_8$ 和 $V_4$ 的子群，还有大量的2阶子群。
   • 例如，$\langle r^2, s \rangle$ 是一个子群，它同构于 $D_8$。$\langle r^4, s \rangle$ 同构于 $V_4$。

这段话针对前面提出的“子群格可能过于复杂”的问题，给出了解决方案：使用部分子群格 (partial lattice)。

1. 动机: 在实际应用中，我们往往不需要了解群中所有子群的关系，而只关心某几个特定子群之间的关系。例如，在证明一个定理时，可能只涉及到子群 $H$, $K$, 它们的并 $\langle H, K \rangle$ 和交 $H \cap K$。
2. 方法:
   • 选择: 从完整的子群格中，只挑出我们感兴趣的那几个子群作为顶点。
   • 补充: 为了结构的完整性，通常还会把这些子群的并和交也加进来。
   • 绘制: 画出这些被选中的子群，并用线连接它们以表示包含关系。
3. 与完整格的区别:
   • 线的含义: 这是最关键的区别。在完整的子群格中，一条从A到B的线意味着A是B的极大子群（中间不能再插别的子群）。但在部分格中，一条从A到B的线仅仅表示 $A \leq B$，它不保证它们之间没有其他子群。这条线只是一个简化的、示意性的连接。
4. 应用:
   • 复杂有限群: 当完整格过于庞大时（如 $D_{16}$），我们可以只画出需要研究的部分，使问题简化。
   • 无限群: 对于有无限个子群的无限群（如整数群 $\mathbb{Z}$），我们不可能画出完整格，但可以画出包含有限个我们感兴趣的子群的部分格。
5. 例子分析:
   • 群: $D_{16}$。
   • 感兴趣的子群: $H = \langle sr^2, r^4 \rangle$ 和 $K = \langle r^2 \rangle$。
   • 让我们分析一下这两个子群：
   • $K = \langle r^2 \rangle = \{1, r^2, r^4, r^6\}$，这是一个4阶循环子群。
   • $H = \langle sr^2, r^4 \rangle = \{1, r^4, sr^2, sr^6\}$。由于 $(sr^2)^2 = sr^2sr^2 = s(r^2s)r^2 = s(sr^{-2})r^2 = r^{-2}r^2=1$，且 $(r^4)^2=r^8=1$，且 $r^4$ 与 $sr^2$ 可交换（因为 $r^4(sr^2) = sr^{-4}r^2 = sr^{-2}$ 且 $(sr^2)r^4 = sr^6 = sr^{-2}$），所以 $H$ 同构于 $V_4$。
   • 它们的关系:
   • 首先，$\langle r^4 \rangle = \{1, r^4\}$。
   • $K$ 中包含 $r^4$，所以 $\langle r^4 \rangle \leq K$。
   • $H$ 中也包含 $r^4$，所以 $\langle r^4 \rangle \leq H$。
   • 因此，$\langle r^4 \rangle$ 是它们的交或交的子群。实际上 $H \cap K = \{1,r^4\} = \langle r^4 \rangle$。
   • 它们的并 $\langle H, K \rangle = \langle sr^2, r^4, r^2 \rangle = \langle sr^2, r^2 \rangle$。这是一个8阶子群，同构于 $D_8$。（注意这里作者写的是 $\langle s, r^2 \rangle$，这可能是个笔误，应该是 $\langle sr^2, r^2 \rangle$。不过 $\langle s,r^2 \rangle$ 和 $\langle sr^2, r^2 \rangle$ 都是 $D_{16}$ 中与 $D_8$ 同构的子群。）
   • 绘制部分格:
   • 顶部: 它们的并 $\langle sr^2, r^2 \rangle$。
   • 中间: $H$ 和 $K$。
   • 底部: 它们的交 $\langle r^4 \rangle$。
   • 画出来是一个菱形。这个菱形部分格清晰地展示了这四个特定子群之间的并、交和包含关系，而忽略了 $D_{16}$ 中其他几十个子群的干扰。

这段话展示了子群格的又一个高级应用：帮助我们计算中心化子 (centralizer) 和正规化子 (normalizer)。

1. 回顾定义:
   • 中心化子 $C_G(A)$: 在群 $G$ 中，所有能与集合 $A$ 中每一个元素交换的元素的集合。它是一个子群。
   • 正规化子 $N_G(A)$: 在群 $G$ 中，所有满足 $gAg^{-1}=A$ 的元素 $g$ 的集合。它也是一个子群。
   • 关系: $C_G(A) \leq N_G(A)$。
2. 利用格进行计算的逻辑 (以上下界剪枝法):
   • 第一步：找到一个下界。
   • 通过一些简单的计算，找到一些肯定在中心化子（或正规化子）中的元素。
   • 由这些元素生成的子群，就是中心化子的一个子群，即我们找到了一个“下界”。
   • 第二步：在格中定位下界。
   • 在子群格中找到这个“下界”子群对应的顶点。
   • 第三步：确定一个上界/排除不可能的上界。
   • 中心化子或正规化子本身也是群的子群，所以它必然是格中的一个顶点。
   • 并且，它必须包含我们找到的“下界”子群。所以在格中，它一定在“下界”子群的上方（或者就是它自己）。
   • 通过寻找一些反例（比如找到一个确定不在中心化子中的元素），我们可以排除掉一些更大的候选子群。
   • 第四步：缩小范围，确定最终结果。
   • 在“下界”和“被排除的上界”之间，往往只剩下一两个候选者。通过简单的验证，就可以确定哪个是真正的中心化子或正规化子。
3. 例子分析 ($C_{D_8}(s)$):
   • 目标: 找 $D_8$ 中元素 $s$ 的中心化子 $C_{D_8}(s)$。
   • Step 1 (找下界):
   • $s$ 肯定与自己交换，所以 $s \in C_{D_8}(s)$。
   • 之前（第2.2节）已经算过，$r^2$ 也与 $s$ 交换 ($sr^2=r^{-2}s=r^2s$)。所以 $r^2 \in C_{D_8}(s)$。
   • 因此，由 $s$ 和 $r^2$ 生成的子群 $\langle s, r^2 \rangle$ 必然是 $C_{D_8}(s)$ 的一个子群。我们找到了下界：$\langle s, r^2 \rangle \leq C_{D_8}(s)$。
   • Step 2 (定位下界):
   • 在 $D_8$ 的子群格中，$\langle s, r^2 \rangle$ 是一个4阶子群。
   • Step 3 (确定上界/排除):
   • $C_{D_8}(s)$ 必须是格中位于 $\langle s, r^2 \rangle$ 上方的一个顶点。
   • 查看 $D_8$ 的格，在 $\langle s, r^2 \rangle$ 上方的子群只有它自己和 $D_8$。
   • 所以，$C_{D_8}(s)$ 只有两种可能：要么是 $\langle s, r^2 \rangle$，要么是 $D_8$。
   • 我们找一个反例来排除 $D_8$。元素 $r$ 在 $D_8$ 中，但 $rs=sr^3 \neq sr$。所以 $r$ 不与 $s$ 交换，即 $r \notin C_{D_8}(s)$。
   • 既然 $C_{D_8}(s)$ 中不包含 $r$，那它就不可能是 $D_8$。
   • Step 4 (得出结论):
   • 排除了 $D_8$ 之后，唯一的可能性就是 $C_{D_8}(s) = \langle s, r^2 \rangle$。

这里对练习题的目的和解题思路进行解释。

• 练习 1:
• 目的: 理解由两个子群 $H, K$ 生成的部分格的基本结构。这个结构在格论中被称为“钻石格”或其退化形式。
• 思路: 需要考虑 $H$ 和 $K$ 之间所有可能的包含关系。

1. 一般情况: $H$ 和 $K$ 互相不包含。此时的部分格是一个菱形（钻石）：底部是 $H \cap K$，中间是 $H$ 和 $K$，顶部是 $\langle H, K \rangle$。可能还需要画上 $G$ 和 $1$。
2. 退化情况1: $H \leq K$。此时 $H \cap K = H$，$ \langle H, K \rangle = K$。格退化为一条链：$1 \leq H \leq K \leq G$。
3. 退化情况2: $K \leq H$。同理，也是一条链。
4. 退化情况3: $H=K$。更退化的链。
   • 区别: 不同的绘图反映了 $H$ 和 $K$ 之间包含关系的不同。

• 练习 2:
• 目的: 练习从一个给定的复杂子群格（$D_{16}$的图）中读取信息的能力。
• 思路:
• (a)(b): “包含在...中”意味着在格上寻找指定子群的所有“后代”（从它出发能向下走到的所有点，包括它自己）。
• (c)(d): “包含...”意味着在格上寻找指定子群的所有“祖先”（从它出发能向上走到的所有点，包括它自己）。
• 这需要对着 $D_{16}$ 的子群格图仔细地追踪路径。

• 练习 3:
• 目的: 证明一个具体的子群同构关系，加深对 $V_4$ 结构的理解。
• 思路:

1. 写出子群 $\langle s, r^2 \rangle$ 的所有元素：$\{1, s, r^2, sr^2\}$。
2. 证明这个子群的阶是4。
3. 计算其中所有非单位元元素的阶：$s^2=1$, $(r^2)^2=r^4=1$, $(sr^2)^2=sr^2sr^2=s(r^2s)r^2=s(sr^{-2})r^2=r^{-2}r^2=1$。
4. 由于这个4阶群中所有非单位元元素的阶都是2，根据4阶群的分类，它必然同构于 $V_4$。或者，可以构造一个从 $V_4=\{1,a,b,c\}$ 到该子群的双射，并证明它保持运算，例如 $\phi(a)=s, \phi(b)=r^2, \phi(c)=sr^2$。

• 练习 4:
• 目的: 练习利用子群格来寻找群的生成元。
• 思路:

1. 两个元素 $x, y$ 能生成 $D_8$，意味着 $\langle x, y \rangle = D_8$。
2. 转化为格上的问题：由 $x$ 生成的循环子群 $\langle x \rangle$ 和由 $y$ 生成的循环子群 $\langle y \rangle$ 的并是 $D_8$。
3. 在 $D_8$ 的子群格上，找到所有循环子群（即由单个元素生成的子群）。
4. 然后，选取两个循环子群，检查它们在格上的并是否为 $D_8$。
5. 例如，取 $\langle r \rangle$ 和 $\langle s \rangle$。它们在格上的并是 $D_8$。所以任何 $\langle r \rangle$ 的生成元（$r, r^3$）和 $\langle s \rangle$ 的生成元（$s$）组成的对都可以生成 $D_8$。例如 $(r,s), (r^3,s)$。
6. 系统地检查所有可能的循环子群对，并列出所有对应的元素对。

• 练习 5:
• 目的: 与练习4类似，但在更复杂的群 $D_{16}$ 中进行。
• 思路:

1. 要找 $x$ 使得 $\langle x, s \rangle = D_{16}$。
2. 这意味着 $\langle x \rangle$ 和 $\langle s \rangle$ 的并是 $D_{16}$。
3. 在 $D_{16}$ 的格上，找到子群 $\langle s \rangle$。
4. 然后看哪些循环子群 $\langle x \rangle$ 与 $\langle s \rangle$ 的并是 $D_{16}$。
5. 一个关键点是：如果 $\langle x \rangle$ 包含在 $D_{16}$ 的某个真子群 $M$ 中，而 $s$ 也包含在同一个 $M$ 中，那么 $\langle x, s \rangle$ 最多只能是 $M$，不可能是 $D_{16}$。
6. 所以，我们需要找的 $x$ 不能与 $s$ 同时属于任何一个顶层下方的子群。在 $D_{16}$ 的格中，顶层下方的子群有三个8阶的子群：$\langle r \rangle$, $\langle r^2, s \rangle$, $\langle r^2, sr \rangle$。
7. $s$ 属于 $\langle r^2, s \rangle$。所以 $x$ 生成的子群 $\langle x \rangle$ 不能位于 $\langle r^2, s \rangle$ 内部。
8. 这意味着 $x$ 不能是 $\{1, r^2, r^4, r^6, s, sr^2, sr^4, sr^6\}$ 中的任何一个。
9. $D_{16}$ 总共有16个元素，排除了这8个，剩下的8个就是候选。但题目说有16个，说明我的分析有误。$\langle x,s \rangle = D_{16}$。$s$ 的阶是2。$x$ 必须是什么？如果 $x$ 在 $\langle r \rangle$ 中，$\langle x,s \rangle$ 可以是 $D_{16}$。如果 $x$ 是 $r,r^3,r^5,r^7$ 之一（$\langle r \rangle$ 的生成元），则 $\langle x,s \rangle = \langle r,s \rangle = D_{16}$。这是4个。如果 $x$ 是 $sr^k$ 这种形式，$\langle sr^k, s \rangle = \langle sr^k s, s \rangle = \langle r^{-k}, s \rangle = \langle r^k, s \rangle$。如果 $k$ 是奇数，$\langle r^k \rangle = \langle r \rangle$，那么 $\langle r^k, s \rangle = D_{16}$。所以 $x=sr, sr^3, sr^5, sr^7$ 也是解。这又是4个。总共8个。题目说16个，非常可疑。可能 $D_{16}=\langle x,s \rangle$ 有误，或者我对 $D_{16}$ 的结构理解不全。这个问题需要更仔细的分析，可能涉及到所有子群的结构。

• 练习 6:
• 目的: 熟练应用 1.3.2 节介绍的“上下界剪枝法”，利用子群格计算中心化子。
• 思路: 对每个群的每个（或每类）元素 $x$：

1. 找到一个明显的下界，至少是 $\langle x, Z(G) \rangle$ (其中$Z(G)$是群的中心)。
2. 在格中找到这个下界，并查看它上方的候选子群。
3. 找一个与 $x$ 不交换的元素，以排除更大的候选者。
4. 重复此过程直到确定中心化子。

• 练习 7:
• 目的: 计算 $D_{16}$ 的中心 $Z(D_{16})$。
• 思路: 中心是与所有元素交换的元素的集合。$Z(G) = \bigcap_{g \in G} C_G(g)$。

1. 可以从生成元入手。$z \in Z(D_{16})$ 当且仅当 $zr=rz$ 且 $zs=sz$。
2. $D_{16}$ 的旋转子群 $\langle r \rangle$ 是阿贝尔群，所以 $C_{D_{16}}(r)$ 至少包含 $\langle r \rangle$。通过检查 $s$ 与 $r$ 的关系可知 $srs^{-1}=r^{-1}$，所以 $C_{D_{16}}(r)$ 中的非旋转元素非常有限。实际上 $C_{D_{16}}(r)=\langle r \rangle$。
3. $C_{D_{16}}(s)$ 是什么？$x$ 与 $s$ 交换，$xs=sx$。如果 $x=r^k$, $r^ks=sr^k$ 意味着 $sr^{-k}=sr^k$, $r^{2k}=1$。由于 $r$ 的阶是8，这要求 $8 \mid 2k$，即 $4 \mid k$。所以 $k=0, 4$。这意味着与 $s$ 交换的旋转元素只有 $1, r^4$。
4. $Z(D_{16}) = C_{D_{16}}(r) \cap C_{D_{16}}(s) = \langle r \rangle \cap C_{D_{16}}(s)$。与 $s$ 交换的 $\langle r \rangle$ 中的元素是 $\langle r^4 \rangle$。所以 $Z(D_{16})=\langle r^4 \rangle=\{1, r^4\}$。
5. 在子群格上，中心通常是所有“主干道”的交点，处于非常核心的位置。

• 练习 8:
• 目的: 练习计算正规化子。
• 思路: 对每个子群 $H$，用类似的方法找 $N_G(H)$。

1. 下界: $H$ 总是其自身正规化子的子群 ($H \leq N_G(H)$)。所以下界至少是 $H$。
2. 在格中找到 $H$，查看上方的候选者。
3. 取一个不在 $H$ 中但在候选子群中的元素 $g$，计算 $gHg^{-1}$，看它是否还等于 $H$。如果不是，就排除了包含 $g$ 的候选子群。
4. 特别地，对于 $Q_8$，由于它是哈密顿群，所有子群都是正规的，所以任何子群 $H$ 的正规化子都是 $Q_8$ 自身。

• 练习 9:
• 目的: 练习绘制循环群的子群格，本质是练习分解质因数和画约数格。
• 思路:
• (a) $16=2^4$。约数是 $1,2,4,8,16$。格是 $\langle 16 \rangle \to \langle 8 \rangle \to \langle 4 \rangle \to \langle 2 \rangle \to \langle 1 \rangle$ 的一条链。
• (b) $24=2^3 \times 3$。约数有 $(3+1)(1+1)=8$ 个: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24。画出它们的约数格。
• (c) $48=2^4 \times 3$。约数有 $(4+1)(1+1)=10$ 个。画出其约数格。

• 练习 10:
• 目的: 完成一个基础但重要的分类定理的证明。
• 思路:

1. 设 $G$ 是一个4阶群。根据拉格朗日定理的推论，所有非单位元元素的阶只能是2或4。
2. Case 1: $G$ 中存在一个阶为4的元素 $a$。那么 $\langle a \rangle$ 是一个4阶子群，它必然等于 $G$。所以 $G$ 是循环群，同构于 $\mathbb{Z}_4$。
3. Case 2: $G$ 中不存在阶为4的元素。那么所有三个非单位元元素的阶都必须是2。设这三个元素是 $a,b,c$。
4. 取其中两个 $a,b$。考虑乘积 $ab$。$ab$ 不可能是1（否则 $b=a^{-1}=a$）、不可能是 $a$ (否则 $b=1$)、不可能是 $b$ (否则 $a=1$)。所以 $ab$ 必然是第三个元素 $c$。
5. 同理可得 $ba=c$ (因为 $ba$ 也不能是 $1,a,b$)，所以 $ab=ba$，群是阿贝尔群。
6. 构建 $G$ 的凯莱表，会发现它与 $V_4$ 的凯莱表完全一样。因此 $G$ 同构于 $V_4$。

• 练习 11:
• 目的: 这是一个综合性的大练习，要求理解一个新定义的16阶群 $QD_{16}$，并根据给定的信息补全其子群格。
• 思路:

1. 关键信息: 这是一个16阶群，它有三个8阶子群，分别同构于 $D_8, \mathbb{Z}_8, Q_8$。并且，所有小于8阶的子群，都必须包含在这三个8阶子群之一的内部。
2. 策略: 这意味着整个复杂的 $QD_{16}$ 格，可以看作是 $D_8, \mathbb{Z}_8, Q_8$ 这三个我们已经知道的格“粘合”在一起的结果。
3. 步骤:

a. 分别画出 $D_8, \mathbb{Z}_8, Q_8$ 的子群格。

b. 找到这三个子群之间的公共部分。例如，$\langle \sigma \rangle \cap \langle \tau, \sigma^2 \rangle = \langle \sigma^2 \rangle$ (一个4阶循环子群)。$\langle \sigma \rangle \cap \langle \sigma^2, \sigma\tau \rangle = \langle \sigma^2 \rangle$。$\langle \tau, \sigma^2 \rangle \cap \langle \sigma^2, \sigma\tau \rangle = \langle (\sigma^2)^2, (\sigma\tau)^2 \rangle = \langle \sigma^4, \sigma\tau\sigma\tau \rangle = \langle \sigma^4, \sigma\tau\tau\sigma^3 \rangle = \langle \sigma^4, \sigma^4 \rangle = \langle \sigma^4 \rangle$ (一个2阶子群)。

c. 在给出的不完整的格图上，识别出那三个8阶子群的位置。

d. 将 $D_8, \mathbb{Z}_8, Q_8$ 的格“嵌入”到图中相应的位置，并根据它们之间的交集，将相同的子群顶点合并起来。

e. 用生成元标记出所有顶点。这是一个细致的拼图工作。

1. 非平面性: 这个问题再次强调了高阶p-群的子群格的复杂性。

• 练习 12-14: 这是一个连续的、有指导的探索性问题，旨在揭示“同格非同构”的经典例子。
• 练习 12 ($Z_2 \times Z_4$):
• 目的: 绘制一个8阶阿贝尔群的格，作为后续比较的基础。
• 思路: 按照练习11的“粘合”思想。$Z_2 \times Z_4$ 的格由三个4阶子群（一个 $V_4$，两个 $\mathbb{Z}_4$）粘合而成。需要找出它们的交集（都是 $\langle b^2 \rangle$），然后把三个子群的格画出来并粘在一起。
• 练习 13 ($Z_2 \times Z_8$):
• 目的: 绘制一个16阶阿贝尔群的格。
• 思路: 同上。$Z_2 \times Z_8$ 的格由三个8阶子群（一个 $Z_2 \times Z_4$，两个 $\mathbb{Z}_8$）粘合而成。我们需要把练习12画的 $Z_2 \times Z_4$ 的格和两个 $\mathbb{Z}_8$ 的格（链条），通过它们的交集粘合起来。
• 练习 14 (模群 $M_{16}$):
• 目的: 证明 $M_{16}$ 与 $Z_2 \times Z_8$ 同格非同构。
• 思路:

1. 证明 $M_{16}$ 的三个8阶子群的同构类型与 $Z_2 \times Z_8$ 的三个8阶子群完全一样。
2. 根据“所有真子群必在其中之一”的性质，可以推断两个群的子群格具有相同的“顶层分解”和“粘合”方式，因此格相同。
3. 证明它们不同构：$Z_2 \times Z_8$ 是阿贝尔群，而 $M_{16}$ 不是，因为 $vu = uv^5 \neq uv$。

• 练习 15:
• 目的: 练习识别子群的同构类型。
• 思路: $D_{16}$ 有三个8阶子群，需要判断它们分别同构于哪个已知的8阶群 ($\mathbb{Z}_8, V_4 \times Z_2, D_8, Q_8, \dots$)。

1. $\langle r \rangle$: 8阶循环子群，同构于 $\mathbb{Z}_8$。
2. $\langle r^2, s \rangle$: 生成元关系是 $(r^2)^4=1, s^2=1, s(r^2)s^{-1}=(r^2)^{-1}$，这正是 $D_8$ 的定义。所以它同构于 $D_8$。
3. $\langle r^2, sr \rangle$: 需要分析其内部结构，可能也同构于 $D_8$。

• 练习 16-20:
• 目的: 这些都是利用之前画出或给出的复杂子群格（$QD_{16}, M_{16}, D_{16}$）来推导群性质或计算特定子群的练习。
• 思路:
• 练习 16: 在 $QD_{16}$ 格上，找到所有2阶子群（即阶为2的循环子群），然后检查这些顶点是否都在 $\langle \tau, \sigma^2 \rangle$ 这个8阶子群的下方。
• 练习 17: 在 $M_{16}$ 格上，找到所有阶为2的元素（即2阶子群的非单位元），将它们和单位元放在一起形成集合。然后证明这个集合是子群（在格上，这个集合本身也对应一个顶点），并且这个子群的格（如果画出来）与 $V_4$ 的格相同。
• 练习 18, 19, 20: 都是重复应用“上下界剪枝法”来计算中心化子和正规化子，只是对象换成了更复杂的16阶群。这需要耐心和对格图的仔细观察。

这个脚注是对正文中首次出现的“子群格 (subgroup lattice)”一词里的“格 (lattice)”所做的补充说明。它提醒读者，“格”在这里不是一个随意的、描述性的词语（比如像“网络”或“图表”），而是一个有严格定义的数学概念。

1. 偏序集 (Partially Ordered Set, Poset):
   • 一个集合 $S$ 和一个二元关系 $\leq$（例如，数的“小于等于”或集合的“子集”关系 $\subseteq$），如果满足以下三个条件，就构成一个偏序集：
   • 自反性: 对所有 $a \in S$, $a \leq a$。 (任何子群都是其自身的子群)。
   • 反对称性: 如果 $a \leq b$ 且 $b \leq a$，则 $a=b$。 (如果子群H是K的子群，K也是H的子群，那么H和K是同一个子群)。
   • 传递性: 如果 $a \leq b$ 且 $b \leq c$，则 $a \leq c$。 (如果H是K的子群，K是L的子群，那么H也是L的子群)。
   • 一个群 $G$ 的所有子群的集合，以“$\leq$”（是...的子群）这个关系，就构成了一个偏序集。
2. 格 (Lattice):
   • 一个格是一种特殊的偏序集。在这个偏序集中，任何两个元素 $a$ 和 $b$，都必须存在唯一的“最小上界”和“最大下界”。
   • 最小上界 (Least Upper Bound / Join): 在所有“同时大于等于” $a$ 和 $b$ 的元素中，最小的那个。通常记作 $a \vee b$。
   • 最大下界 (Greatest Lower Bound / Meet): 在所有“同时小于等于” $a$ 和 $b$ 的元素中，最大的那个。通常记作 $a \wedge b$。
3. 子群格的符合性:
   • 对于子群的偏序集，任意两个子群 $H$ 和 $K$：
   • 它们的最小上界就是它们的并 $\langle H, K \rangle$（包含它们俩的最小子群）。
   • 它们的最大下界就是它们的交 $H \cap K$（被它们俩包含的最大子群）。
   • 因为对于任意两个子群，$H$ 和 $K$，它们的并和交都存在且唯一，所以群的子群集合与“$\leq$”关系构成了一个严格意义上的格。

这个脚注虽然在正文的编号 [^1] 之前，且没有在第2.5节的正文中被引用，但它提供了一个深刻的类比，揭示了不同代数概念背后证明结构的相似性。它很可能与本书前面章节（例如关于群作用的章节）有关。

1. 涉及的概念:
   • $G_s$: 这是群作用 (Group Action) 中的概念，叫做稳定子群 (Stabilizer)。如果一个群 $G$ 作用在一个集合 $X$ 上，对于 $X$ 中的某个元素 $s$，它的稳定子群 $G_s$ 就是 $G$ 中所有让 $s$ “不动”的元素的集合。即 $G_s = \{ g \in G \mid g \cdot s = s \}$，其中 · 代表群作用。
   • $C_G(A)$: 这是中心化子 (Centralizer)。对于 $G$ 的一个子集 $A$，它的中心化子是 $G$ 中所有能与 $A$ 中每一个元素交换的元素的集合。即 $C_G(A) = \{ g \in G \mid ga=ag \text{ for all } a \in A \}$。
2. 核心论点: 证明“$G_s$ 是一个子群”的逻辑步骤，和证明“$C_G(A)$ 是一个子群”的逻辑步骤，是完全一样的。唯一的区别在于，证明的关键步骤所依赖的公理不同。
3. 证明结构的比较 (子群三步检验法):

1. 结论: 脚注准确地指出了，在证明封闭性时，中心化子的证明用到了群的结合律，而稳定子群的证明用到了群作用的相容性公理。这个类比揭示了数学中一种常见的主题：相同的证明模式可以应用于不同的场景，只需将其中依赖的关键公理进行替换。