1. 同构定理

本段是第3.3节的开篇，旨在为读者提供一个清晰的路线图。它阐明了本节的核心主题：深入探讨群同态与商群这两个核心概念之间的内在联系。

1. 回顾与深化：作者首先提到，本节的内容是建立在前面第1节（推测应为3.1节）中关于商群和同态初步讨论的基础之上的。这意味着我们将要学习的内容不是全新的，而是对已有知识的直接推论和深化。这种写作方式有助于知识的连贯性。
2. 核心问题：本节要解决的核心问题是：一个群 $G$ 和它的一个商群 $G/N$ 在结构上有什么关联？具体来说，作者将焦点放在了“子群格”上。子群格是一个用来可视化群的所有子群以及它们之间包含关系的图。因此，问题可以更具体地表述为：群 $G$ 的子群们（特别是那些包含正规子群 $N$ 的子群）的结构，是如何“遗传”或者“反映”到商群 $G/N$ 的子群结构上的？
3. 第一个重要结果预告：作者预告了本节将要介绍的第一个重要定理，即“同态基本定理”，也常被称为“第一同构定理”。这个定理是整个群论的基石之一。它精准地描述了同态的两个基本要素——核（kernel）与像（image）——之间的关系。具体来说，它指出，对于任何一个群同态，从定义域群 $G$ 出发，通过“除以”同态的核得到的商群，与这个同态的像（值域中的一个子群）是同构的。这意味着它们的群结构是完全一样的，只是元素的名字不同。

这个定理是群论中最核心、最基本的定理之一。它分为两个部分，清晰地阐述了群同态的内在结构。

1. 第一部分: $\operatorname{ker} \varphi \unlhd G$。
   • 这句话的含义是：任何一个群同态 $\varphi$ 的核（kernel），必定是定义域群 $G$ 的一个正规子群。
   • 核的定义是 $\operatorname{ker} \varphi = \{ g \in G \mid \varphi(g) = e_H \}$，其中 $e_H$ 是群 $H$ 的单位元。
   • 我们在之前的学习中已经证明过，核首先是一个子群。
   • 这里的关键是“正规”（normal）。要证明一个子群 $N$ 是正规的，需要证明对于 $G$ 中任意元素 $g$ 和 $N$ 中任意元素 $n$，都有 $gng^{-1} \in N$。
   • 对于核 $\operatorname{ker} \varphi$ 来说，我们取任意 $g \in G$ 和任意 $k \in \operatorname{ker} \varphi$，需要验证 $gkg^{-1}$ 是否也在 $\operatorname{ker} \varphi$ 中。
   • 验证方法是把它代入同态 $\varphi$ 中：
   • 因为 $\varphi(gkg^{-1}) = e_H$，所以根据核的定义，$gkg^{-1} \in \operatorname{ker} \varphi$。
   • 这就证明了 $\operatorname{ker} \varphi$ 是一个正规子群。这个结论至关重要，因为它保证了我们可以用 $\operatorname{ker} \varphi$ 来构造商群 $G / \operatorname{ker} \varphi$。
2. 第二部分: $G / \operatorname{ker} \varphi \cong \varphi(G)$。
   • 这句话的含义是：由群 $G$ 对其同态核作商得到的商群 $G / \operatorname{ker} \varphi$，与该同态的像 $\varphi(G)$ 是同构的。
   • 同构（isomorphic）意味着这两个群在代数结构上是完全相同的，可以看作是同一个群的两种不同表现形式。它们之间存在一个双射同态。
   • 要证明这一点，我们需要构造一个从 $G / \operatorname{ker} \varphi$ 到 $\varphi(G)$ 的同构映射，我们称之为 $\psi$。
   • 定义映射: 一个自然的想法是定义 $\psi(gK) = \varphi(g)$，其中 $K = \operatorname{ker} \varphi$。
   • 验证映射良定义 (Well-defined): 商群的元素是陪集，一个陪集可以由不同的代表元表示。如果 $g_1 K = g_2 K$，我们需要确保 $\psi(g_1 K) = \psi(g_2 K)$，即 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$。
   • $g_1 K = g_2 K$ 意味着 $g_2^{-1}g_1 \in K = \operatorname{ker} \varphi$。
   • 根据核的定义，$\varphi(g_2^{-1}g_1) = e_H$。
   • 因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(g_2^{-1})\varphi(g_1) = e_H$，即 $(\varphi(g_2))^{-1}\varphi(g_1) = e_H$。
   • 两边左乘 $\varphi(g_2)$，得到 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$。
   • 所以映射 $\psi$ 是良定义的，它的值不依赖于陪集代表元的选择。
   • 验证映射是同态: 我们需要证明 $\psi((g_1 K)(g_2 K)) = \psi(g_1 K) \psi(g_2 K)$。
   • 左边: $\psi((g_1 K)(g_2 K)) = \psi((g_1 g_2) K) = \varphi(g_1 g_2)$。
   • 右边: $\psi(g_1 K) \psi(g_2 K) = \varphi(g_1) \varphi(g_2)$。
   • 因为 $\varphi$ 本身是同态，所以 $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2)$。
   • 因此 $\psi$ 是一个同态。
   • 验证映射是单射 (Injective): 我们需要证明如果 $\psi(g_1 K) = \psi(g_2 K)$，那么 $g_1 K = g_2 K$。
   • $\psi(g_1 K) = \psi(g_2 K)$ 意味着 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$。
   • 两边右乘 $(\varphi(g_2))^{-1}$，得到 $\varphi(g_1)(\varphi(g_2))^{-1} = e_H$。
   • 即 $\varphi(g_1 g_2^{-1}) = e_H$。
   • 根据核的定义，这意味着 $g_1 g_2^{-1} \in \operatorname{ker} \varphi = K$。
   • 根据陪集的性质，这意味着 $g_1 K = g_2 K$。
   • 因此 $\psi$ 是单射。
   • 验证映射是满射 (Surjective): 我们需要证明对于像 $\varphi(G)$ 中的任意元素 $h$，都存在一个商群 $G/K$ 中的元素 $gK$，使得 $\psi(gK) = h$。
   • 根据像的定义，如果 $h \in \varphi(G)$，那么必然存在一个 $g \in G$ 使得 $\varphi(g) = h$。
   • 那么我们取陪集 $gK \in G/K$，根据 $\psi$ 的定义，$\psi(gK) = \varphi(g) = h$。
   • 因此 $\psi$ 是满射。
   • 综上所述，$\psi$ 是一个双射同态，即一个同构。这就证明了 $G / \operatorname{ker} \varphi \cong \varphi(G)$。

这个推论是第一同构定理非常直接和有用的结果。

(1) $\varphi$ 是内射的当且仅当 $\operatorname{ker} \varphi=1$

• 内射（injective）也叫单射，意味着如果 $g_1 \neq g_2$，那么 $\varphi(g_1) \neq \varphi(g_2)$。等价地说，如果 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$，那么必须有 $g_1 = g_2$。
• $\operatorname{ker} \varphi = 1$ 是一个简写，意思是核 $\operatorname{ker} \varphi$ 是一个平凡群，只包含群 $G$ 的单位元 $e_G$。所以 $\operatorname{ker} \varphi = \{e_G\}$。

• 证明 "仅当" 部分 (=>): 假设 $\varphi$ 是内射的，我们要证明 $\operatorname{ker} \varphi = \{e_G\}$。
• 根据核的定义，$\operatorname{ker} \varphi = \{g \in G \mid \varphi(g) = e_H\}$。
• 我们知道对于任何同态，$\varphi(e_G) = e_H$，所以 $e_G$ 肯定在 $\operatorname{ker} \varphi$ 中。
• 现在假设还有另一个元素 $g \in \operatorname{ker} \varphi$。那么根据定义，$\varphi(g) = e_H$。
• 我们现在有 $\varphi(g) = e_H$ 和 $\varphi(e_G) = e_H$。
• 因为 $\varphi$ 是内射的，从 $\varphi(g) = \varphi(e_G)$ 就可以推导出 $g = e_G$。
• 这说明核里面不可能有除了单位元之外的任何其他元素。
• 因此，$\operatorname{ker} \varphi = \{e_G\}$。

• 证明 "当" 部分 (<=): 假设 $\operatorname{ker} \varphi = \{e_G\}$，我们要证明 $\varphi$ 是内射的。
• 我们需要证明：如果 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$，那么 $g_1 = g_2$。
• 从 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$ 开始。两边同时右乘 $(\varphi(g_2))^{-1}$，得到 $\varphi(g_1)(\varphi(g_2))^{-1} = e_H$。
• 因为 $\varphi$ 是同态，$(\varphi(g_2))^{-1} = \varphi(g_2^{-1})$，所以上式变为 $\varphi(g_1 g_2^{-1}) = e_H$。
• 根据核的定义，这就意味着元素 $g_1 g_2^{-1}$ 在 $\operatorname{ker} \varphi$ 中。
• 但我们已经假设了 $\operatorname{ker} \varphi = \{e_G\}$，所以 $g_1 g_2^{-1}$ 必须是单位元 $e_G$。
• $g_1 g_2^{-1} = e_G$。两边右乘 $g_2$，得到 $g_1 = e_G g_2 = g_2$。
• 这就证明了 $\varphi$ 是内射的。

(2) $|G: \operatorname{ker} \varphi|=|\varphi(G)|$

• $|G: K|$ 表示子群 $K$ 在群 $G$ 中的指数（index），它的定义是 $K$ 在 $G$ 中不同陪集的个数。如果 $G$ 和 $K$ 都是有限群，根据拉格朗日定理，它等于 $|G|/|K|$。但这个指数的定义对于无限群也适用。
• $|\varphi(G)|$ 表示同态像 $\varphi(G)$ 这个集合的基数（cardinality），也就是元素的个数。

• 证明:
• 根据第一同构定理，我们知道 $G / \operatorname{ker} \varphi \cong \varphi(G)$。
• 同构的定义是两个群之间存在一个双射同态。
• 双射（bijection）意味着两个集合的元素可以一一对应。
• 因此，同构的两个群必须有相同数量的元素。
• 商群 $G / \operatorname{ker} \varphi$ 的元素是 $\operatorname{ker} \varphi$ 的所有不同陪集。元素的数量就是陪集的个数，根据定义，这正是指数 $|G: \operatorname{ker} \varphi|$。
• 同态像 $\varphi(G)$ 的元素数量是 $|\varphi(G)|$。
• 因为 $G / \operatorname{ker} \varphi$ 和 $\varphi(G)$ 元素数量相同，所以我们得出结论：$|G: \operatorname{ker} \varphi| = |\varphi(G)|$。
• 如果 $G$ 是有限群，这个公式也可以写成 $|G| / |\operatorname{ker} \varphi| = |\varphi(G)|$，这通常被称为拉格朗日定理的一个推广形式。

本段旨在建立抽象代数中的群论与线性代数之间的联系，展示了同一个深刻思想在不同数学分支中的体现。

1. 类比的桥梁: 向量空间本身是一个阿贝尔群（关于向量加法）。线性变换 $\varphi: V \rightarrow W$ 是一种保持向量空间结构的映射，即 $\varphi(v_1+v_2) = \varphi(v_1)+\varphi(v_2)$ 和 $\varphi(cv) = c\varphi(v)$。注意，它首先是一个群同态（只看加法）。
2. 概念的对应:
   • 群 G $\leftrightarrow$ 向量空间 V: 都是加法阿贝尔群。
   • 群同态 $\varphi$ $\leftrightarrow$ 线性变换 $\varphi$: 线性变换是更强的同态。
   • 核 ker $\varphi$ (群论) $\leftrightarrow$ 核或零空间 ker $\varphi$ (线代): 在线性代数中，$\operatorname{ker} \varphi = \{ v \in V \mid \varphi(v) = \mathbf{0} \}$，其中 $\mathbf{0}$ 是 $W$ 中的零向量（即加法单位元）。这和群论中核的定义完全一致。$\operatorname{ker} \varphi$ 在线性代数中是一个子空间。
   • 像 $\varphi(G)$ (群论) $\leftrightarrow$ 像或值域 Im $\varphi$ (线代): 在线性代数中，$\operatorname{Im} \varphi = \{ w \in W \mid \exists v \in V, \varphi(v)=w \}$。这和群论中像的定义也完全一致。$\operatorname{Im} \varphi$ 在线性代数中是一个子空间。
   • 群的阶 |G| $\leftrightarrow$ 向量空间的维数 dim V: 对于有限维向量空间，维数扮演了类似于有限群的“大小”或“阶”的角色。
3. 公式的转化:
   • 群论公式（对于有限群）: $|G| = |\operatorname{ker} \varphi| \cdot |\varphi(G)|$。
   • 将群的阶替换为向量空间的维数，我们得到一个类比的公式：
   • 在线性代数中，我们有专门的术语：
   • 零度 (nullity): $\operatorname{nullity} \varphi = \operatorname{dim}(\operatorname{ker} \varphi)$。
   • 秩 (rank): $\operatorname{rank} \varphi = \operatorname{dim}(\operatorname{Im} \varphi)$。
   • 代入这些术语，就得到了著名的秩-零度定理：
4. 更深刻的联系:
   • 推论 17(2) 的原始形式是 $|G: \operatorname{ker} \varphi|=|\varphi(G)|$。
   • 在向量空间中，商空间 $V/\operatorname{ker} \varphi$ 也是一个向量空间。
   • 第一同构定理在线代版本中是 $V/\operatorname{ker} \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi$。
   • 对这个同构取维数，我们得到 $\operatorname{dim}(V/\operatorname{ker} \varphi) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im} \varphi)$。
   • 而商空间的维数公式是 $\operatorname{dim}(V/U) = \operatorname{dim} V - \operatorname{dim} U$。
   • 所以，$\operatorname{dim} V - \operatorname{dim}(\operatorname{ker} \varphi) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im} \varphi)$。
   • 移项后即得 $\operatorname{dim} V = \operatorname{dim}(\operatorname{Im} \varphi) + \operatorname{dim}(\operatorname{ker} \varphi)$，也就是秩-零度定理。
   • 所以，秩-零度定理可以被看作是群论第一同构定理在向量空间这个特殊环境下的一个直接推论，只是把“计数”换成了“测度量”（维数）。

这个定理处理的是两个子群 $A$ 和 $B$ 的相互关系，特别是它们的交 $A \cap B$ 和它们的积 $AB$ 的关系。定理的结论形成了一个优美的对称结构，因此被称为“菱形同构定理”。

1. 前提条件:
   • $G$ 是一个群。
   • $A, B$ 是 $G$ 的两个子群。
   • 关键条件: $A \leq N_{G}(B)$。
   • $N_G(B)$ 是子群 $B$ 在 $G$ 中的正规化子 (normalizer)，定义为 $N_G(B) = \{ g \in G \mid gBg^{-1} = B \}$。
   • $A \leq N_G(B)$ 意味着对于任何 $a \in A$，都有 $aBa^{-1} = B$，或者等价地，$aB = Ba$。这个条件是说，$A$ 中的每个元素都“正规化”子群 $B$。
   • 这是一个比“$A$ 中的元素与 $B$ 中的元素可交换” ($ab=ba$) 更弱的条件。它只要求 $a$ 与整个集合 $B$ 可交换。
2. 结论:
   • 结论一: $AB$ 是 $G$ 的子群。
   • $AB$ 定义为集合 $\{ab \mid a \in A, b \in B\}$。
   • 通常情况下，两个子群的积集不一定是子群。它成为子群的充分必要条件是 $AB=BA$。
   • 而前提条件 $A \leq N_G(B)$ 意味着对所有 $a \in A$, $aB=Ba$。这可以推广到 $AB = \bigcup_{a \in A} aB = \bigcup_{a \in A} Ba = BA$。
   • 因此，前提条件保证了 $AB$ 是一个子群。
   • 结论二: $B \unlhd AB$。
   • 我们需要证明 $B$ 是子群 $AB$ 的一个正规子群。
   • 这需要证明对于 $AB$ 中任意元素 $x$ 和 $B$ 中任意元素 $b$，都有 $xbx^{-1} \in B$。
   • 设 $x = ab'$，其中 $a \in A, b' \in B$。
   • $xbx^{-1} = (ab')b(ab')^{-1} = ab'b(b')^{-1}a^{-1}$。
   • 因为 $b', b, (b')^{-1}$ 都在 $B$ 中，所以它们的乘积 $b'b(b')^{-1}$ 也在 $B$ 中，我们记为 $b'' \in B$。
   • 于是 $xbx^{-1} = ab''a^{-1}$。
   • 根据前提条件 $A \leq N_G(B)$，我们知道对于任何 $a \in A$，都有 $aBa^{-1}=B$。这意味着对于任何 $b'' \in B$，$ab''a^{-1}$ 也在 $B$ 中。
   • 所以 $xbx^{-1} \in B$。这就证明了 $B$ 在 $AB$ 中是正规的。
   • 这个结论保证了我们可以构造商群 $AB/B$。
   • 结论三: $A \cap B \unlhd A$。
   • 我们需要证明 $A \cap B$ 是 $A$ 的一个正规子群。注意，这里不是在 $G$ 或 $B$ 中正规，而是在 $A$ 中正规。
   • 这需要证明对于 $A$ 中任意元素 $a$ 和 $A \cap B$ 中任意元素 $x$，都有 $axa^{-1} \in A \cap B$。
   • 设 $x \in A \cap B$。这意味着 $x \in A$ 且 $x \in B$。
   • 设 $a \in A$。
   • 首先，因为 $a, x, a^{-1}$ 都在子群 $A$ 中，它们的乘积 $axa^{-1}$ 必然也在 $A$ 中。
   • 其次，因为 $a \in A \leq N_G(B)$，所以 $aBa^{-1} = B$。因为 $x \in B$，所以 $axa^{-1}$ 必然在 $aBa^{-1}$ 这个集合中，即 $axa^{-1} \in B$。
   • 综上， $axa^{-1}$ 同时属于 $A$ 和 $B$，所以 $axa^{-1} \in A \cap B$。
   • 这就证明了 $A \cap B$ 在 $A$ 中是正规的。
   • 这个结论保证了我们可以构造商群 $A / (A \cap B)$。
   • 结论四: $AB/B \cong A/(A \cap B)$。
   • 这是定理的核心结论。它在两个看似不相关的商群之间建立了一个同构。
   • 证明方法是构造一个从 $A$ 到 $AB/B$ 的同态，然后应用第一同构定理。
   • 定义映射 $\varphi: A \rightarrow AB/B$ 为 $\varphi(a) = aB$。
   • 验证同态: $\varphi(a_1 a_2) = (a_1 a_2)B = (a_1 B)(a_2 B) = \varphi(a_1)\varphi(a_2)$。所以 $\varphi$ 是一个同态。
   • 找像: $\varphi(A) = \{aB \mid a \in A\}$。这个像是否等于 $AB/B$？
   • $AB/B$ 的一个典型元素是 $(ab)B$，其中 $a \in A, b \in B$。
   • 由于 $b \in B$，所以 $(ab)B = a(bB) = aB$。
   • 这意味着 $AB/B$ 中的任何元素都可以写成 $aB$ 的形式，其中 $a \in A$。
   • 所以 $\varphi$ 是一个满射，$\varphi(A) = AB/B$。
   • 找核: $\operatorname{ker} \varphi = \{a \in A \mid \varphi(a) = \text{单位元}\}$。
   • $AB/B$ 中的单位元是陪集 $B$。
   • 所以 $\operatorname{ker} \varphi = \{a \in A \mid aB = B\}$。
   • $aB=B$ 的条件等价于 $a \in B$。
   • 所以，核是那些既在 $A$ 中又在 $B$ 中的元素，即 $\operatorname{ker} \varphi = A \cap B$。
   • 应用第一同构定理:
   • 根据第一同构定理，$A/\operatorname{ker} \varphi \cong \varphi(A)$。
   • 代入我们找到的核和像，得到 $A/(A \cap B) \cong AB/B$。
   • 定理证毕。同时，第一同构定理也自动给出了 $A \cap B \unlhd A$ 的结论。

这部分是原文对第二同构定理的详细证明过程，我们可以一步步分解它。

1. 第一步：证明 $AB$ 是子群且 $B \unlhd AB$。
   • 原文引用了“推论 15”（这里可能指之前某个结论，即若 $AB=BA$ 则 $AB$ 是子群）。如前分析，由 $A \leq N_G(B)$ 可推得 $AB=BA$，故 $AB$ 是子群。
   • 原文接着证明 $B \unlhd AB$。它的论证是：
   • $A \leq N_G(B)$ （已知）
   • $B \leq N_G(B)$ （显然，一个子群的元素当然正规化它自己）
   • 由于 $N_G(B)$ 本身是一个子群，所以它对乘法封闭。因此由 $A, B \subseteq N_G(B)$ 可知，它们的积子群 $AB$ 也包含在 $N_G(B)$ 中，即 $AB \leq N_G(B)$。
   • $AB \leq N_G(B)$ 的定义就是，对于 $AB$ 中任意元素 $x$，都有 $xBx^{-1} = B$。
   • 这正是 $B$ 在 $AB$ 中是正规子群的定义。
   • 这一小段逻辑清晰地证明了商群 $AB/B$ 的存在是合理的。
2. 第二步：构造一个巧妙的同态。
   • 证明的核心是应用第一同构定理。为此，必须构造一个同态，其核与像恰好能导出我们想要的结论。
   • 定义映射: $\varphi: A \rightarrow AB/B$，定义为 $\varphi(a) = aB$。
   • 这个定义非常聪明。它把子群 $A$ 的元素，映射到商群 $AB/B$ 中的陪集。注意 $a$ 是 $A$ 的元素，而 $aB$ 是 $AB/B$ 的元素。
   • 原文提到，这可以看作是自然投影同态 $\pi: AB \rightarrow AB/B$ （$\pi(x)=xB$）在子群 $A$ 上的限制。因为同态在子群上的限制仍然是同态，所以 $\varphi$ 是同态是显然的。
   • 验证同态 (直接方式): 原文也给出了直接验证：
3. 第三步：确定同态的像和核。
   • 确定像 (Image): $\varphi(A) = \{ \varphi(a) \mid a \in A \} = \{ aB \mid a \in A \}$。
   • 原文说“从 $AB$ 的定义可以清楚地看出 $\varphi$ 是满射的”。我们来展开一下：
   • 我们需要证明 $\varphi(A) = AB/B$。
   • 取商群 $AB/B$ 中任意一个元素，它可以写成 $xB$ 的形式，其中 $x \in AB$。
   • 根据 $AB$ 的定义，$x$ 可以写成 $a'b'$ 的形式，其中 $a' \in A, b' \in B$。
   • 所以这个任意元素是 $(a'b')B$。
   • 根据陪集的性质，因为 $b' \in B$，所以 $(a'b')B = a'(b'B) = a'B$。
   • $a'B$ 正是 $A$ 中元素 $a'$ 在 $\varphi$ 下的像 $\varphi(a')$。
   • 这说明商群 $AB/B$ 中的任何元素，都可以在 $\varphi(A)$ 中找到它的原像（之一），因此 $\varphi$ 是满射 (surjective)，$\varphi(A) = AB/B$。
   • 确定核 (Kernel): $\operatorname{ker} \varphi = \{ a \in A \mid \varphi(a) = \text{单位元} \}$。
   • $AB/B$ 的单位元是陪集 $1B$，即 $B$ 本身。
   • 所以 $\operatorname{ker} \varphi = \{ a \in A \mid aB = B \}$。
   • “根据命题 4”（这里指一个基本性质），$aB=B$ 当且仅当 $a \in B$。
   • 所以，核中的元素 $a$ 必须满足两个条件：$a \in A$ (来自定义域) 和 $a \in B$ (来自 $aB=B$)。
   • 因此，$\operatorname{ker} \varphi = A \cap B$。
4. 第四步：应用第一同构定理。
   • 我们已经构造了一个从 $A$ 到 $AB/B$ 的同态 $\varphi$。
   • 我们已经发现 $\operatorname{ker} \varphi = A \cap B$。
   • 我们已经发现 $\varphi(A) = AB/B$。
   • 第一同构定理告诉我们：$\operatorname{ker} \varphi \unlhd A$ 并且 $A/\operatorname{ker} \varphi \cong \varphi(A)$。
   • 将我们得到的结果代入，立即得到：
   • $A \cap B \unlhd A$
   • $A / (A \cap B) \cong AB/B$
   • 这正是第二同构定理的结论。证明完成。

1. 与阶公式的关系:
   • 命题13 应该指的是子群积的阶的公式：$|AB| = \frac{|A||B|}{|A \cap B|}$。
   • 第二同构定理给出了 $AB/B \cong A/(A \cap B)$。
   • 如果群是有限的，同构的群必有相同的阶。
   • $|AB/B| = |AB|/|B|$。
   • $|A/(A \cap B)| = |A|/|A \cap B|$。
   • 所以，$\frac{|AB|}{|B|} = \frac{|A|}{|A \cap B|}$。
   • 整理一下，就得到 $|AB| = \frac{|A||B|}{|A \cap B|}$。
   • 这表明，在 $A \leq N_G(B)$ 的条件下（这个条件下 $AB$ 才保证是群），阶的公式是第二同构定理的一个直接推论。
2. 菱形同构的名称由来:
   • 这个名称来自于它在子群格中的视觉表现。
   • 子群格是一个图，节点是子群，向下的线表示包含关系。
   • 考虑四个相关的子群:
   • 顶端: $AB$ (能包含 $A$ 和 $B$ 的最小子群)
   • 中间: $A$ 和 $B$
   • 底端: $A \cap B$ (能被 $A$ 和 $B$ 包含的最大子群)
   • 将这四个子群和它们之间的包含关系画出来，就形成了一个平行四边形或菱形：
   • 从 $AB$ 有边连向 $A$ 和 $B$。
   • 从 $A$ 和 $B$ 有边连向 $A \cap B$。
   • 这个菱形有四条边，代表四个包含关系。定理说的就是，这个菱形“对边”的“长度比”是同构的。
   • 左边 $AB$ 到 $A$ 的“商”($AB/A$) 和 右边 $B$ 到 $A \cap B$ 的“商” ($B/(A \cap B)$) 有关系。
   • 上边 $AB$ 到 $B$ 的“商” ($AB/B$) 和 下边 $A$ 到 $A \cap B$ 的“商” ($A/(A \cap B)$) 是同构的。
3. 对商 $AB/A$ 的说明:
   • 原文特别指出，$AB/A$ 不一定是群。
   • 原因是，不能保证 $A$ 在 $AB$ 中是正规子群。定理的前提是 $A$ 正规化 $B$，而不是 $B$ 正规化 $A$。这两个是不对称的。
   • 然而，即使 $AB/A$ 不是群，我们仍然可以讨论陪集和指数。$|AB:A|$ 表示 $A$ 在 $AB$ 中的陪集数量，这个数是明确定义的。
   • 阶的公式 $|AB| = \frac{|A||B|}{|A \cap B|}$ 可以变形为 $\frac{|AB|}{|A|} = \frac{|B|}{|A \cap B|}$。
   • 这正是 $|AB:A| = |B:A \cap B|$。
   • 所以，菱形的另一对“对边” ($AB$ 到 $A$ 和 $B$ 到 $A \cap B$)，它们的指数是相等的。
   • 因此，这个菱形的两对对边在“长度”上是对应的：一对是商群同构，另一对是指数相等。
4. 图6的解释:
   • 这张图就是子群格的菱形示意图。
   • $AB$ 在最上面。
   • $A$ 和 $B$ 在中间。
   • $A \cap B$ 在最下面。
   • 连接线表示子群包含关系。
   • 图中标示了 $AB/B$ 和 $A/(A \cap B)$ 是同构的（用某种符号，比如波浪线或高亮）。
   • 这个图直观地展示了定理的几何意义。

这个定理处理的是“商群的商群”问题，它告诉我们这种操作可以被简化。

1. 前提条件:
   • $G$ 是一个群。
   • $H$ 和 $K$ 都是 $G$ 的正规子群。这是非常强的条件。
   • $H \leq K$。正规子群 $H$ 被包含在正规子群 $K$ 里面。
2. 结论:
   • 结论一: $K/H \unlhd G/H$。
   • 首先，我们需要理解 $G/H$ 和 $K/H$ 是什么。
   • $G/H$ 是用 $H$ 对 $G$ 作商得到的商群，其元素是形如 $gH$ 的陪集。
   • $K/H$ 是用 $H$ 对 $K$ 作商得到的商群，其元素是形如 $kH$ 的陪集，其中 $k \in K$。
   • 由于 $H \leq K \leq G$，$K/H$ 的所有元素（形如 $kH$）也都是 $G/H$ 的元素。因此，$K/H$ 是 $G/H$ 的一个子群。
   • 这里要证明的是，这个子群 $K/H$ 在 $G/H$ 中是正规的。
   • 我们需要对 $G/H$ 中任意元素 $gH$ 和 $K/H$ 中任意元素 $kH$，验证 $(gH)(kH)(gH)^{-1}$ 是否仍在 $K/H$ 中。
   • $(gH)(kH)(gH)^{-1} = (gH)(kH)(g^{-1}H)$ (求逆元)
   • 因为 $K$ 是 $G$ 的正规子群，所以对于 $g \in G, k \in K$，我们有 $gkg^{-1} \in K$。
   • 设 $k' = gkg^{-1}$，那么 $k' \in K$。
   • 于是，$(gkg^{-1})H = k'H$。
   • 因为 $k' \in K$，所以 $k'H$ 是商群 $K/H$ 的一个元素。
   • 这就证明了 $K/H$ 在 $G/H$ 中是正规的。
   • 这个结论保证了我们可以构造“商群的商群” $(G/H)/(K/H)$。
   • 结论二: $(G/H)/(K/H) \cong G/K$。
   • 这是定理的核心，它说对一个群先商掉 $H$，再商掉 $K/H$，其结果与直接商掉 $K$ 是一样的。
   • 证明方法依然是构造同态，应用第一同构定理。
   • 定义一个从 $G/H$ 到 $G/K$ 的映射 $\varphi$。
   • 定义映射: $\varphi: G/H \rightarrow G/K$，定义为 $\varphi(gH) = gK$。
   • 验证良定义性: 如果 $g_1 H = g_2 H$，我们需要证明 $\varphi(g_1 H) = \varphi(g_2 H)$，即 $g_1 K = g_2 K$。
   • $g_1 H = g_2 H$ 意味着 $g_2^{-1}g_1 \in H$。
   • 根据前提，$H \leq K$。所以如果一个元素在 $H$ 里，它也一定在 $K$ 里。
   • 因此，$g_2^{-1}g_1 \in K$。
   • $g_2^{-1}g_1 \in K$ 意味着 $g_1 K = g_2 K$。
   • 所以映射 $\varphi$ 是良定义的。
   • 验证同态: $\varphi((g_1 H)(g_2 H)) = \varphi((g_1 g_2)H) = (g_1 g_2)K$。
   • 确定像: 对于 $G/K$ 中任意元素 $gK$，我们总能找到 $G/H$ 中的元素 $gH$，使得 $\varphi(gH)=gK$。所以 $\varphi$ 是满射，$\varphi(G/H) = G/K$。
   • 确定核: $\operatorname{ker} \varphi = \{ gH \in G/H \mid \varphi(gH) = \text{单位元} \}$。
   • $G/K$ 的单位元是 $K$。
   • $\operatorname{ker} \varphi = \{ gH \in G/H \mid gK = K \}$。
   • $gK=K$ 当且仅当 $g \in K$。
   • 所以核是所有形如 $gH$ 的陪集，其中 $g$ 必须在 $K$ 中。
   • 这个集合 $\{gH \mid g \in K\}$ 正是商群 $K/H$ 的定义。
   • 所以 $\operatorname{ker} \varphi = K/H$。
   • 应用第一同构定理:
   • 我们有一个从 $G/H$ 到 $G/K$ 的满射同态 $\varphi$，其核为 $K/H$。
   • 根据第一同构定理，$(G/H)/\operatorname{ker}\varphi \cong \varphi(G/H)$。
   • 代入核和像，得到 $(G/H)/(K/H) \cong G/K$。
   • 定理证毕。
3. 简记法:
   • 用 $\bar{G}$ 表示 $G/H$，$\bar{K}$ 表示 $K/H$。
   • 那么定理可以简洁地写作 $\bar{G}/\bar{K} \cong G/K$。
   • 这种记法非常直观，就好像 $H$ 被“约掉”了一样。

这个定理，通常被称为格定理、对应定理或第四同构定理，是连接一个群与其商群的“结构地图”。它极其重要，因为它告诉我们商群的子群结构完全由原群中一部分的子群结构所决定。

1. 核心思想:
   • 自然投影同态 $\pi: G \rightarrow G/N$ (其中 $N \unlhd G$) 是理解这个定理的关键。
   • 这个定理说的是，在群 $G$ 中，所有“包含”正规子群 $N$ 的子群，与商群 $G/N$ 的所有子群之间，存在一个完美的一一对应关系。
   • 这个对应关系是通过投影 $\pi$ (从 $G$ 到 $G/N$) 和原像 $\pi^{-1}$ (从 $G/N$ 到 $G$) 建立的。
2. 一一对应 (双射):
   • 集合1: $\{ A \mid N \leq A \leq G \}$，即 $G$ 中所有包含 $N$ 的子群的集合。
   • 集合2: $\{ \bar{A} \mid \bar{A} \leq G/N \}$，即 $G/N$ 的所有子群的集合。
   • 定理说，映射 $A \mapsto A/N = \bar{A}$ 是从集合1到集合2的一个双射。
   • 满射: $G/N$ 的任何一个子群 $\bar{A}$，它的原像 $\pi^{-1}(\bar{A}) = \{ g \in G \mid gN \in \bar{A} \}$ 是 $G$ 的一个子群，并且这个原像子群必然包含 $N$ (因为 $N$ 的像是单位元，任何子群都包含单位元)。所以，任何 $\bar{A}$ 都能在集合1中找到它的“根源” $A = \pi^{-1}(\bar{A})$。
   • 单射: 如果 $A_1 \neq A_2$ 且它们都包含 $N$，那么它们的像 $A_1/N$ 和 $A_2/N$ 也一定不同。因为如果 $A_1/N = A_2/N$，那么它们的原像也必须相等，而包含 $N$ 的子群在投影下的原像就是它自身，所以 $A_1=A_2$，矛盾。
3. 保持结构的性质:

这个双射不仅仅是集合元素个数相同，它还保持了所有重要的代数结构。对于任何两个包含 $N$ 的子群 $A$ 和 $B$：

• (1) 保持包含关系: $A$ 在 $B$ 里面，当且仅当 $A$ 的像 $A/N$ 在 $B$ 的像 $B/N$ 里面。这意味着子群格中 $A$ 到 $B$ 的那条线，在商群的子群格中被完美复制。
• (2) 保持指数 (相对大小): 如果 $A \leq B$，那么它们之间的“相对大小”（指数 $|B:A|$）与它们的像之间的相对大小 ($|B/N : A/N|$) 完全一样。
• 这其实是第三同构定理的一个应用：令 G=$B$, H=$N$, K=$A$ (需要 $N,A \unlhd B$)。更直接的证明是：$|B:A|=|B|/|A|$，$|\bar{B}:\bar{A}|=|B/N|/|A/N| = (|B|/|N|)/(|A|/|N|) = |B|/|A|$。
• (3) 保持生成元关系: 由 $A$ 和 $B$ 生成的子群（包含 $A,B$ 的最小子群 $\langle A, B \rangle$）的像，等于先取 $A,B$ 的像 $\bar{A}, \bar{B}$，再由它们在商群中生成子群 $\langle \bar{A}, \bar{B} \rangle$。
• (4) 保持交集关系: $A$ 和 $B$ 的交集 $A \cap B$ 的像，等于先取 $A,B$ 的像 $\bar{A}, \bar{B}$，再取它们的交集 $\bar{A} \cap \bar{B}$。
• (5) 保持正规性: 一个包含 $N$ 的子群 $A$ 在 $G$ 中是正规的，当且仅当它的像 $A/N$ 在商群 $G/N$ 中是正规的。这保证了正规子群的结构也被完美对应。

这个例子应用格定理来可视化四元数群 $Q_8$ 的一个商群的子群格。

1. 背景:
   • $G = Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$，8阶四元数群。
   • $N = \langle -1 \rangle = \{1, -1\}$。这是 $Q_8$ 的中心 $Z(Q_8)$，因此是正规子群。
   • $G/N = Q_8/\langle -1 \rangle$ 是一个商群，阶为 $|Q_8|/|N| = 8/2 = 4$。
   • 之前已经证明过，这个4阶商群同构于克莱因四元群 $V_4$。
2. 格定理的应用:
   • 格定理说，$Q_8/\langle -1 \rangle$ 的子群格，与 $Q_8$ 中所有包含 $\langle -1 \rangle$ 的子群构成的格是同构的。
   • $Q_8$ 的子群有：
   • $\{1\}$ (1阶)
   • $\langle -1 \rangle = \{1, -1\}$ (2阶)
   • $\langle i \rangle = \{1, -1, i, -i\}$ (4阶)
   • $\langle j \rangle = \{1, -1, j, -j\}$ (4阶)
   • $\langle k \rangle = \{1, -1, k, -k\}$ (4阶)
   • $Q_8$ (8阶)
   • 其中，包含 $N=\langle -1 \rangle$ 的子群是：
   • $\langle -1 \rangle$
   • $\langle i \rangle$
   • $\langle j \rangle$
   • $\langle k \rangle$
   • $Q_8$
   • 这5个子群构成的子群格结构如下：
   • $Q_8$ 在最顶端。
   • $\langle i \rangle, \langle j \rangle, \langle k \rangle$ 在中间层，它们都包含 $\langle -1 \rangle$ 且被 $Q_8$ 包含。
   • $\langle -1 \rangle$ 在它们下面。
   • 格定理预测，$Q_8/\langle -1 \rangle \cong V_4$ 的子群格应该和上面这个结构一模一样。
3. 对比 $V_4$ 的子群格:
   • $V_4 = \{e, a, b, c\}$，其中 $a^2=b^2=c^2=e, ab=c$。
   • $V_4$ 的子群是：
   • $\{e\}$ (1阶)
   • $\langle a \rangle$ (2阶)
   • $\langle b \rangle$ (2阶)
   • $\langle c \rangle$ (2阶)
   • $V_4$ (4阶)
   • $V_4$ 的子群格结构：
   • $V_4$ 在最顶端。
   • $\langle a \rangle, \langle b \rangle, \langle c \rangle$ 在中间层。
   • $\{e\}$ 在最底端。
   • 这个结构和 $Q_8$ 中包含 $\langle -1 \rangle$ 的子群的结构完全一样。
4. 图示的解释:
   • 图中画出了 $Q_8$ 的完整子群格。
   • 用“双线”标出了那些包含 $N=\langle-1\rangle$ 的子群所形成的格。
   • 这个双线部分，从 $\langle-1\rangle$ 开始向上，包括 $\langle i \rangle, \langle j \rangle, \langle k \rangle$ 和 $Q_8$。
   • 将双线部分的最低点 $\langle-1\rangle$ 看作新的“底”，那么这个双线格的形状，就和 $V_4$ 的子群格一模一样。这直观地验证了格定理。

这个例子与前一个类似，但使用了另一个8阶群 $D_8$。

1. 背景:
   • $G = D_8$，8阶二面体群。
   • $N = \langle r^2 \rangle = \{1, r^2\}$。这也是 $D_8$ 的中心 $Z(D_8)$，是正规子群。
   • $G/N = D_8/\langle r^2 \rangle$ 是一个阶为 $8/2=4$ 的商群。
   • 可以证明，这个商群也同构于克莱因四元群 $V_4$。
2. 格定理的应用:
   • 我们需要找出 $D_8$ 中所有包含 $N = \langle r^2 \rangle$ 的子群。
   • $D_8$ 的子群比较多：
   • 1个1阶子群: $\{1\}$
   • 5个2阶子群: $\langle r^2 \rangle, \langle s \rangle, \langle sr \rangle, \langle sr^2 \rangle, \langle sr^3 \rangle$
   • 3个4阶子群: $\langle r \rangle, \langle s, r^2 \rangle, \langle sr, r^2 \rangle$
   • 1个8阶子群: $D_8$
   • 其中，包含 $N=\langle r^2 \rangle$ 的子群是：
   • $\langle r^2 \rangle$ (2阶)
   • $\langle r \rangle = \{1, r, r^2, r^3\}$ (4阶)
   • $\langle s, r^2 \rangle = \{1, s, r^2, sr^2\}$ (4阶)
   • $\langle sr, r^2 \rangle$ 实际上等于 $\langle s, r^2 \rangle$ 吗？不对，应该是 $\langle sr, (sr)^2 \rangle$ ... 这里的记法可能有误。$D_8$ 的另两个4阶子群是 $\{1, r^2, s, sr^2\}$ 和 $\{1, r^2, sr, sr^3\}$。它们都包含 $r^2$。我们记为 $K_s$ 和 $K_{sr}$。
   • $D_8$ (8阶)
   • 所以，包含 $N$ 的子群有：$N, \langle r \rangle, K_s, K_{sr}, D_8$。总共5个。
   • 这5个子群构成的格的结构是：
   • $D_8$ 在顶部。
   • $\langle r \rangle, K_s, K_{sr}$ 在中间层。
   • $N$ 在底部。
   • 这个结构同样与 $V_4$ 的子群格同构。
3. 图示的解释:
   • 图中画出了 $D_8$ 的完整子群格，它比 $Q_8$ 的格要复杂。
   • 用“双线”标出了包含 $N=\langle r^2 \rangle$ 的子群所形成的格。
   • 这个双线部分，从 $\langle r^2 \rangle$ 向上，连接到三个4阶子群 $\langle r \rangle$, $\{s, r^2s\}$, $\{rs, r^3s\}$ (原文图示可能使用了不同的生成元表示)，并最终汇集到 $D_8$。
   • 将双线部分的最低点 $\langle r^2 \rangle$ 看作新“底”，这个双线格的形状，也是一个和 $V_4$ 子群格一样的“钻石”形状。
4. 重要结论:
   • $Q_8/\langle -1 \rangle \cong V_4$
   • $D_8/\langle r^2 \rangle \cong V_4$
   • 并且 $\langle -1 \rangle \cong \langle r^2 \rangle \cong \mathbb{Z}_2$。
   • 但是 $Q_8$ 和 $D_8$ 并不同构。
   • 这说明，仅仅知道商群 $G/N$ 的同构类型和正规子群 $N$ 的同构类型，是不足以确定原群 $G$ 的同构类型的。这个问题被称为群扩张问题，是群论中一个深刻而困难的问题。

这段话是对格定理中没有被一一对应的那些子群的去向进行解释，这对于全面理解商运算至关重要。

1. 问题的提出: 格定理只建立了包含 $N$ 的子群与商群的子群之间的一一对应。那么，那些不包含 $N$ 的子群去哪了？
2. 坍缩效应:
   • 根本原因在于，商运算 $G \rightarrow G/N$ 将整个正规子群 $N$ “坍缩”成了商群中的单位元这一个点。
   • 这导致了信息的丢失，多个不同的子群在投影后可能变成同一个子群。
   • 以 $D_8$ 和 $N=\langle r^2 \rangle$ 为例，考虑不包含 $N$ 的子群 $H_1 = \langle s \rangle = \{1, s\}$。
   • 它在商群 $D_8/N$ 中的像是 $\pi(H_1) = \{ \pi(1), \pi(s) \} = \{N, sN\}$。这是一个2阶子群。
   • 现在考虑另一个不包含 $N$ 的子群 $H_2 = \langle sr^2 \rangle = \{1, sr^2\}$。
   • 它在商群中的像是 $\pi(H_2) = \{ \pi(1), \pi(sr^2) \} = \{ N, sr^2 N \}$。
   • 因为 $r^2 \in N$，所以 $sr^2 N = sN$。
   • 因此 $\pi(H_2) = \{N, sN\}$。
   • 我们发现，两个不同的2阶子群 $H_1$ 和 $H_2$ 被映射到了商群中的同一个2阶子群。这就是“多个子群可以投影到同一个子群”的例子。
3. 投影的标准化:
   • 一个子群 $H$ 的像是 $\pi(H) = \{ hN \mid h \in H \}$。
   • 现在考虑另一个子群 $HN = \{hn \mid h \in H, n \in N\}$ (这是包含 $H$ 和 $N$ 的最小子群)。
   • $HN$ 的像是 $\pi(HN) = \{ (hn)N \mid h \in H, n \in N \}$。
   • 因为 $n \in N$，所以 $(hn)N = h(nN) = hN$。
   • 所以 $\pi(HN) = \{ hN \mid h \in H \} = \pi(H)$。
   • 结论：子群 $H$ 的像和子群 $HN$ 的像是完全一样的。
   • 而 $HN$ 这个子群是包含 $N$ 的。
   • 这意味着，任何一个子群 $H$ 的投影，我们总可以找到一个包含 $N$ 的子群（即 $HN$），它有着完全相同的投影结果。
   • 这就解释了为什么我们只关心那些包含 $N$ 的子群。它们是所有投影结果的“标准代表”。
4. 原像的唯一性:
   • 反过来，从商群 $G/N$ 的一个子群 $\bar{H}$ 出发，它的原像 $\pi^{-1}(\bar{H}) = \{g \in G \mid gN \in \bar{H}\}$。
   • 这个原像有几个重要性质：
   • 它是一个 $G$ 的子群。
   • 它必然包含 $N$ (因为 $eN=N$ 是 $\bar{H}$ 的单位元，所以所有 $N$ 的元素都在原像里)。
   • 它是 $G$ 中唯一一个包含 $N$ 并且投影结果是 $\bar{H}$ 的子群。
   • 这强调了格定理中一一对应的“良好行为”。从商群的子群出发，总能唯一地、无歧义地找到它在 $G$ 中那个包含 $N$ 的“祖先”。

1. 指数标记:
   • 这是一种在子群格图上增加更多信息的方法。
   • 如果在子群 $A$ 和它包含的子群 $B$ 之间的连线上标记一个数字 $n$，这个 $n$ 代表指数 $|A:B|$。
   • 如果 $A$ 和 $B$ 之间没有其他子群（即 $A$ 是 $B$ 的一个极大子群，或 $B$ 是 $A$ 的一个极小超群），这条边就叫“未断裂的边”。
   • 例子: 在 $Q_8$ 和 $D_8$ 的格中，从8阶群到4阶子群的指数是 $8/4=2$，从4阶子群到2阶子群的指数是 $4/2=2$，从2阶子群到1阶子群的指数是 $2/1=2$。所以所有这些直接连接的边都标记为2。
2. 通过指数计算阶:
   • 根据拉格朗日定理的推广形式（指数的乘法公式）：如果 $C \leq B \leq A$，那么 $|A:C| = |A:B| \cdot |B:C|$。
   • 将这个公式应用到从单位子群 $\{e\}$ 到任意子群 $A$ 的一条路径上。
   • 设路径为 $\{e\}=A_0 \leq A_1 \leq \dots \leq A_k=A$。
   • $|A:\{e\}| = |A| = |A:A_{k-1}| \cdot |A_{k-1}:A_{k-2}| \cdots |A_1:A_0|$。
   • 这表明，一个子群的阶，等于从单位元到它的任意一条路径上所有指数标记的乘积。
   • 这是一个非常有用的快速计算子群阶的方法。
3. 指数在商运算中的保持:
   • 这是格定理性质(2)的重申：$|B:A| = |\bar{B}:\bar{A}|$。
   • 这意味着，当我们将 $G$ 的子群格中 $N$ 以上的部分“复刻”下来得到 $G/N$ 的子群格时，边上的指数标记也原封不动地被复制过去了。
   • 例如，在 $D_8$ 格中，$D_8$ 到 $\langle r \rangle$ 的边标记为2。在商群 $D_8/\langle r^2 \rangle$ 的格中，对应的边是从 $D_8/\langle r^2 \rangle$ 到 $\langle r \rangle/\langle r^2 \rangle$，它的指数也必须是2，即 $|D_8/\langle r^2 \rangle : \langle r \rangle/\langle r^2 \rangle| = (\text{4阶群}):(\text{2阶群}) = 2$。

这段话总结了一个在处理商群时极其重要的技巧和原理，即如何正确地定义从商群出发的同态。

1. 常见做法回顾:
   • 在第一同构定理和第三同构定理的证明中，我们都定义了形如 $\varphi: G/N \rightarrow H$ 的同态。
   • 我们的定义方式是“看似”只对代表元操作，例如 $\varphi(gN) = \text{某个涉及g的表达式}$。
   • 这种定义的“危险”在于，同一个陪集可以有不同的代表元。如果 $g_1N = g_2N$，我们必须保证用 $g_1$ 计算的结果和用 $g_2$ 计算的结果是一样的。这个验证过程称为证明“良定义性”（well-definedness）。
2. 更高层的视角:
   • 作者指出，这种定义方式的本质，其实是先定义了一个从“大”群 $G$ 出发的同态 $\Phi: G \rightarrow H$。
   • 我们希望这个 $\Phi$ 能“诱导”出我们想要的从商群 $G/N$ 出发的同态 $\varphi$。
   • 我们希望的关系是 $\varphi(gN) = \Phi(g)$。
   • 现在，我们来分析在这种关系下，“良定义性”意味着什么。
   • 如果 $g_1N = g_2N$，我们需要 $\varphi(g_1N) = \varphi(g_2N)$。
   • 代入希望的关系，就是需要 $\Phi(g_1) = \Phi(g_2)$。
   • $g_1N=g_2N$ 等价于 $g_2^{-1}g_1 \in N$。
   • $\Phi(g_1)=\Phi(g_2)$ 等价于 $\Phi(g_2^{-1}g_1) = e_H$，即 $g_2^{-1}g_1 \in \operatorname{ker}\Phi$。
   • 所以，良定义性问题转化为了：对于任何 $n \in N$（令 $n=g_2^{-1}g_1$），是否都有 $n \in \operatorname{ker}\Phi$？
   • 这恰好意味着 $N$ 必须是 $\operatorname{ker}\Phi$ 的一个子集（并且因为它们都是子群，所以是子群关系）。
3. 万能判据:
   • 这就得到了一个非常强大的判别准则：
   • 你想定义一个同态 $\varphi: G/N \rightarrow H$ 吗？
   • 第一步: 不要直接定义 $\varphi$，而是先定义一个更容易处理的同态 $\Phi: G \rightarrow H$。这个 $\Phi$ 就是你希望最终 $\varphi(gN)$ 等于的那个 $\Phi(g)$。
   • 第二步: 检查你定义的这个 $\Phi$ 是否满足条件 $N \leq \operatorname{ker}\Phi$。
   • 结论: 如果满足，那么你就可以顺理成章地定义 $\varphi(gN) = \Phi(g)$，并且这个 $\varphi$ 自动是良定义的、唯一的同态。如果不满足，那么就不可能从 $\Phi$ 诱导出这样一个同态 $\varphi$。

1. 术语:
   • 分解 (factors through): 当 $N \leq \operatorname{ker}\Phi$ 时，我们说同态 $\Phi: G \rightarrow H$ “穿过” $N$ (或穿过 $G/N$) 分解。这意味着 $\Phi$ 可以被拆解成两步：先从 $G$ 到 $G/N$，再从 $G/N$ 到 $H$。
   • 诱导 (induced): 我们称 $\varphi: G/N \rightarrow H$ 是由 $\Phi$ 诱导的同态。
2. 交换图:
   • 图7用一个三角图来可视化这个关系。
   • 顶点: 三个群 $G, G/N, H$。
   • 箭头 (态射): 三个同态 $\pi, \Phi, \varphi$。
   • $\pi: G \rightarrow G/N$ 是自然投影同态，$\pi(g) = gN$。
   • $\Phi: G \rightarrow H$ 是我们定义的辅助同态。
   • $\varphi: G/N \rightarrow H$ 是被诱导出的同态。
   • 可交换 (commutes): 图是可交换的，意思是“殊途同归”。从 $G$ 出发到 $H$，有两条路径：
   • 直接路径: 直接通过 $\Phi$ 映射。
   • 间接路径: 先通过 $\pi$ 映射到 $G/N$，再通过 $\varphi$ 映射到 $H$。这个复合映射记为 $\varphi \circ \pi$。
   • 图可交换，意味着 $\Phi = \varphi \circ \pi$。我们来验证一下：
   • 对任意 $g \in G$，$\Phi(g)$ 应该等于 $(\varphi \circ \pi)(g)$。
   • $(\varphi \circ \pi)(g) = \varphi(\pi(g)) = \varphi(gN)$。
   • 根据 $\varphi$ 的定义，$\varphi(gN) = \Phi(g)$。
   • 所以等式 $\Phi = \varphi \circ \pi$ 成立。
3. 总结:
   • 这个“万能判据”和交换图是范畴论思想的初步体现，它将一个关于元素是否相等的具体问题，提升到了一个关于映射和图是否可交换的结构性问题。
   • 它是现代代数中一种非常通用和强大的思考方式。
   • 最后一句“至此...可以阅读...”表明本节内容是后续学习（如自由群和表示）的基础，这些同构定理是必须熟练掌握的工具。

这道题是第一同构定理的一个直接应用。

1. 识别群和同态:
   • $G = GL_n(F)$，这是所有 $n \times n$ 的、元素在有限域 $F$ 中的、可逆的矩阵构成的群。运算是矩阵乘法。
   • 目标是研究 $GL_n(F)$ 和它的一个子群 $SL_n(F)$ 的关系。$SL_n(F)$ 是所有行列式为1的矩阵的集合。
   • 这启发我们使用行列式 (determinant) 函数来构造一个同态。
   • 设 $H = F^\times$，即有限域 $F$ 中所有非零元素构成的乘法群。由于 $F$ 的阶为 $q$，所以 $F^\times$ 的阶为 $q-1$。
   • 定义同态 $\det: GL_n(F) \rightarrow F^\times$，映射规则为 $\varphi(A) = \det(A)$。
2. 验证同态:
   • 对于任意 $A, B \in GL_n(F)$，$\det(AB) = \det(A)\det(B)$。这是行列式的基本性质。所以 $\det$ 是一个群同态。
3. 应用第一同构定理的推论:
   • 推论17(2) 告诉我们：$|G : \operatorname{ker}\varphi| = |\varphi(G)|$。
   • 我们需要找出这个同态的核与像。
   • 核: $\operatorname{ker}(\det) = \{ A \in GL_n(F) \mid \det(A) = 1 \}$。其中1是域 $F$ 的乘法单位元。
   • 这个定义正好是特殊线性群 $SL_n(F)$ 的定义。所以 $\operatorname{ker}(\det) = SL_n(F)$。
   • 像: $\varphi(G) = \det(GL_n(F))$ 是所有可逆矩阵的行列式值的集合。
   • 我们需要证明这个像就是整个 $F^\times$。即证明 $\det$ 是一个满射。
   • 对于 $F^\times$ 中任意一个元素 $c \neq 0$，我们是否能找到一个 $GL_n(F)$ 中的矩阵 $A$ 使得 $\det(A) = c$？
   • 可以。构造一个对角矩阵 $A = \operatorname{diag}(c, 1, 1, ..., 1)$。它的行列式就是 $c$。由于 $c \neq 0$ 且其他对角元为1，所以这个矩阵是可逆的。
   • 因此，$\det$ 是满射，其像为 $F^\times$。
4. 得出结论:
   • 将核和像代入公式 $|G : \operatorname{ker}\varphi| = |\varphi(G)|$：
   • 我们知道 $|F^\times| = q-1$。
   • 所以，$\left|G L_{n}(F): S L_{n}(F)\right|=q-1$。
   • 证明完毕。

这道题要求完整证明第四同构定理（格定理）的五个性质。设 $\pi: G \rightarrow G/N$ 是自然投影。

• 证明对应关系是双射:
• 定义映射: $\psi: \{A \mid N \le A \le G\} \to \{\bar{A} \mid \bar{A} \le G/N\}$ by $\psi(A) = A/N$.
• 满射: 对任意 $\bar{A} \le G/N$，令 $A = \pi^{-1}(\bar{A})$。$A$ 是 $G$ 中子群且 $N \le A$。$\pi(A) = \bar{A}$，即 $A/N=\bar{A}$。所以 $\psi$ 是满射。
• 单射: 若 $\psi(A_1)=\psi(A_2)$，即 $A_1/N = A_2/N$。这意味着 $\pi(A_1)=\pi(A_2)$。取原像，$\pi^{-1}(\pi(A_1)) = \pi^{-1}(\pi(A_2))$。因为 $A_1, A_2$ 都包含 $N$，所以 $\pi^{-1}(\pi(A_1))=A_1, \pi^{-1}(\pi(A_2))=A_2$。故 $A_1=A_2$。$\psi$ 是单射。

• 证明性质(1) $A \leq B \iff \bar{A} \leq \bar{B}$:
• (=>) 设 $A \leq B$。则 $A/N = \{aN \mid a \in A\}$，$B/N = \{bN \mid b \in B\}$。因为 $A \subseteq B$，所以任何 $a \in A$ 都有 $a \in B$，故 $aN \in B/N$。所以 $A/N \subseteq B/N$，即 $\bar{A} \leq \bar{B}$。
• (<=) 设 $\bar{A} \leq \bar{B}$，即 $A/N \leq B/N$。对任意 $a \in A$，则 $aN \in A/N$。因为 $A/N \subseteq B/N$，所以 $aN \in B/N$。这意味着存在 $b \in B$ 使得 $aN=bN$，即 $b^{-1}a \in N$。因为 $N \le B$，所以 $b^{-1}a \in B$。由于 $b \in B$，所以 $a = b(b^{-1}a) \in B$。故 $A \le B$。

• 证明性质(2) $|B: A|=|\bar{B}: \bar{A}|$:
• 这是第三同构定理的直接应用。
• $A, B$ 是 $G$ 的子群，且 $N \unlhd G, N \le A \le B$。$A$ 不一定是 $G$ 的正规子群，但 $N$ 是。
• 因为 $N \unlhd G$，所以 $N \unlhd B$。$A$ 包含 $N$，所以 $A$ 是 $B$ 的子群。
• 考虑群 $B$ 及其正规子群 $N$ 和 $A$。$N \le A \le B$。
• 由第三同构定理，$(B/N)/(A/N) \cong B/A$。这在 $A \unlhd B$ 时成立。
• 更一般的证明：考虑商群 $\bar{B}=B/N$。其子群是 $\bar{A}=A/N$。
• $|\bar{B}:\bar{A}| = |\bar{B}|/|\bar{A}| = (|B|/|N|)/(|A|/|N|) = |B|/|A| = |B:A|$。
• 这个基于阶的证明对有限群是清晰的。对无限群，需要构造陪集之间的双射。

• 证明性质(3) $\overline{\langle A, B\rangle}=\langle\bar{A}, \bar{B}\rangle$:
• $\langle A,B \rangle$ 是包含 $A$ 和 $B$ 的最小子群。$\overline{\langle A, B\rangle} = \langle A, B\rangle/N$。
• $\langle \bar{A}, \bar{B} \rangle$ 是包含 $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$ 的最小子群。
• 因为 $A \le \langle A,B \rangle$ 且 $B \le \langle A,B \rangle$，由性质(1)，$\bar{A} \le \overline{\langle A,B \rangle}$ 且 $\bar{B} \le \overline{\langle A,B \rangle}$。
• 根据最小性，$\langle \bar{A}, \bar{B} \rangle \le \overline{\langle A,B \rangle}$。
• 反之，$\langle \bar{A}, \bar{B} \rangle$ 是 $G/N$ 的一个子群。它的原像 $C = \pi^{-1}(\langle \bar{A}, \bar{B} \rangle)$ 是 $G$ 中包含 $N$ 的子群。
• 因为 $\bar{A} \le \langle \bar{A}, \bar{B} \rangle$，取原像， $A \le C$。同理 $B \le C$。
• 所以 $C$ 是一个包含 $A$ 和 $B$ 的子群。根据最小性，$\langle A,B \rangle \le C$。
• 两边取像，$\overline{\langle A,B \rangle} \le \bar{C} = \langle \bar{A}, \bar{B} \rangle$。
• 结合两方面，得证。

• 证明性质(4) $\overline{A \cap B}=\bar{A} \cap \bar{B}$:
• $\overline{A \cap B} = (A \cap B)/N$。
• $\bar{A} \cap \bar{B} = (A/N) \cap (B/N)$。
• 设 $xN \in \overline{A \cap B}$，则 $x \in A \cap B$。所以 $x \in A$ 且 $x \in B$。因此 $xN \in A/N$ 且 $xN \in B/N$。故 $xN \in \bar{A} \cap \bar{B}$。所以 $\overline{A \cap B} \subseteq \bar{A} \cap \bar{B}$。
• 设 $yN \in \bar{A} \cap \bar{B}$。则 $yN \in A/N$ 且 $yN \in B/N$。
• $yN \in A/N$ 意味着存在 $a \in A$ 使得 $yN=aN$，即 $a^{-1}y \in N$。
• $yN \in B/N$ 意味着存在 $b \in B$ 使得 $yN=bN$，即 $b^{-1}y \in N$。
• 由于 $N \le A$，由 $a^{-1}y \in N$ 可知 $y \in aN \subseteq A$。
• 同理，由于 $N \le B$，可知 $y \in B$。
• 所以 $y \in A \cap B$。因此 $yN \in (A \cap B)/N = \overline{A \cap B}$。
• 所以 $\bar{A} \cap \bar{B} \subseteq \overline{A \cap B}$。结合得证。

• 证明性质(5) $A \unlhd G \iff \bar{A} \unlhd \bar{G}$:
• (=>) 假设 $A \unlhd G$。要证明 $\bar{A} \unlhd \bar{G}$，即 $A/N \unlhd G/N$。
• 取任意 $gN \in G/N$ 和 $aN \in A/N$。
• $(gN)(aN)(gN)^{-1} = (gag^{-1})N$。
• 因为 $A \unlhd G$，所以 $gag^{-1} \in A$。
• 因此 $(gag^{-1})N \in A/N = \bar{A}$。故 $\bar{A} \unlhd \bar{G}$。
• (<=) 假设 $\bar{A} \unlhd \bar{G}$。要证明 $A \unlhd G$。
• 取任意 $g \in G$ 和 $a \in A$。
• 考虑 $(gN)(aN)(gN)^{-1} = (gag^{-1})N$。
• 因为 $\bar{A} \unlhd \bar{G}$，所以这个元素在 $\bar{A}=A/N$ 中。
• 即 $(gag^{-1})N \in A/N$。
• 这意味着存在 $a' \in A$ 使得 $(gag^{-1})N = a'N$。
• 即 $(a')^{-1}(gag^{-1}) \in N$。
• 因为 $N \le A$，所以 $(a')^{-1}(gag^{-1}) \in A$。
• 由于 $a' \in A$，所以 $gag^{-1} = a'((a')^{-1}(gag^{-1})) \in A$。
• 故 $A \unlhd G$。

这道题是一个非常重要的同构关系，有时被称为Goursat引理的一个特例或第二同构定理的推广。

1. 分析问题:
   • 前提: $M, N \unlhd G$ 且 $G=MN$。
   • 结论: $G/(M \cap N) \cong (G/M) \times (G/N)$。
   • 右手边是两个商群的外直积。
2. 证明策略:
   • 构造一个从 $G$ 到直积群 $(G/M) \times (G/N)$ 的同态。
   • 应用第一同构定理。
3. 构造同态:
   • 定义 $\varphi: G \rightarrow (G/M) \times (G/N)$ 为 $\varphi(g) = (gM, gN)$。
   • 验证同态:
   • $\varphi(g_1 g_2) = ((g_1 g_2)M, (g_1 g_2)N)$
   • $= ((g_1 M)(g_2 M), (g_1 N)(g_2 N))$ (商群乘法)
   • $= (g_1 M, g_1 N) \cdot (g_2 M, g_2 N)$ (直积群乘法)
   • $= \varphi(g_1) \varphi(g_2)$。
   • 所以 $\varphi$ 是一个同态。
4. 计算核:
   • $\operatorname{ker} \varphi = \{ g \in G \mid \varphi(g) = \text{单位元} \}$。
   • 直积群的单位元是 $(M, N)$。
   • $\operatorname{ker} \varphi = \{ g \in G \mid (gM, gN) = (M, N) \}$。
   • 这等价于 $gM=M$ 且 $gN=N$。
   • $gM=M \iff g \in M$。
   • $gN=N \iff g \in N$。
   • 所以 $g$ 必须同时在 $M$ 和 $N$ 中，即 $g \in M \cap N$。
   • 故 $\operatorname{ker} \varphi = M \cap N$。
5. 计算像 (证明满射):
   • 我们需要证明 $\varphi$ 是满射，即 $\varphi(G) = (G/M) \times (G/N)$。
   • 取直积群中任意一个元素 $(g_1 M, g_2 N)$。我们需要找到一个 $g \in G$ 使得 $\varphi(g) = (gM, gN) = (g_1 M, g_2 N)$。
   • 即 $g \equiv g_1 \pmod M$ 且 $g \equiv g_2 \pmod N$。这是一个同余方程组，让人联想到中国剩余定理。
   • 这里利用前提 $G=MN$。这意味着任意 $g \in G$ 可以写成 $g=mn$。
   • 我们想找的 $g$ 满足 $gM=g_1M$ 和 $gN=g_2N$。
   • 因为 $G=MN$，所以对于给定的 $g_1, g_2$，我们可以写 $g_1 = m_1 n_1, g_2 = m_2 n_2$。
   • 我们需要找一个 $g$。考虑 $g_1N \in G/N, g_2M \in G/M$。
   • 利用 $G=MN=NM$ (因为 $M,N$正规)。对于任意 $g_1,g_2 \in G$，存在 $m \in M, n \in N$ 使得 $g_1^{-1} g_2 = mn$。
   • 关键点在于利用 $G=MN$ 来构造所需的 $g$。
   • 因为 $G=MN$，所以对于 $g_1 \in G$，存在 $m_1 \in M, n_1 \in N$ 使得 $g_1 = m_1 n_1$。
   • 因为 $G=NM$，所以对于 $g_2 \in G$，存在 $n_2 \in N, m_2 \in M$ 使得 $g_2 = n_2 m_2$。
   • 我们要找 $g$ 使得 $g \in g_1 M$ 和 $g \in g_2 N$。
   • 考虑元素 $g = n_2 m_1$。
   • $gM = (n_2 m_1)M = n_2 M$ (因为 $m_1 \in M$)。
   • $g_2 M = (n_2 m_2)M = n_2 M$ (因为 $m_2 \in M$)。
   • 所以 $gM = g_2M$。等一下，我们需要的是 $g_1M$。
   • 让我们重新构造。我们需要 $g$ 使得 $g \equiv g_1 \pmod M, g \equiv g_2 \pmod N$。
   • 由于 $G=MN$，存在 $m \in M, n \in N$ 使得 $g_1 g_2^{-1} = mn$。
   • 令 $g = g_1 m^{-1} = g_2 n$。但这样构造不出来。
   • 正确的构造方法：因为 $G=MN$, $G/M = MN/M \cong N/(M \cap N)$ (第二同构定理)。$G/N = MN/N \cong M/(M \cap N)$。
   • 让我们回到寻找 $g$。取任意 $(xM, yN) \in (G/M) \times (G/N)$。
   • 因为 $G=MN$, 所以存在 $m \in M, n \in N$ 使得 $y^{-1}x = mn$。
   • 令 $g = ym = xn^{-1}$。
   • $g=ym$, $y,m$都在G中。$gM = (ym)M = yM$。
   • $g=xn^{-1}$, $gN = (xn^{-1})N = xN$。
   • 所以我们找到了 $g$ 使得 $gM=yM$ 且 $gN=xN$。咦，和目标 $(xM, yN)$ 弄反了。
   • 应该是：取 $(xM, yN)$，我们找 $g$ s.t. $gM=xM, gN=yN$。
   • 因为 $G=MN$, 存在 $m \in M, n \in N$ s.t. $x^{-1}y=mn$。
   • 令 $g = xn = ym^{-1}$。
   • $gN = (xn)N = xN$。
   • $gM = (ym^{-1})M = yM$。
   • 所以 $g$ 就是我们要找的元素。因此 $\varphi$ 是满射。
6. 应用第一同构定理:
   • $\varphi: G \rightarrow (G/M) \times (G/N)$ 是一个满射同态，其核为 $M \cap N$。
   • 根据第一同构定理，$G/\operatorname{ker}\varphi \cong \varphi(G)$。
   • 代入得到 $G/(M \cap N) \cong (G/M) \times (G/N)$。
   • 证明完毕。
7. 子群格:
   • $G$ 在顶部。
   • $M$ 和 $N$ 在下面一层。
   • $M \cap N$ 在底部。
   • $G=MN$ 意味着 $M, N$ 的并生成元是 $G$。
   • 这形成一个菱形。
   • 定理说，用底部的 $M \cap N$ 去商顶部的 $G$，得到的群，同构于用 $M$ 商 $G$ 和用 $N$ 商 $G$ 的直积。

这道题探讨的是一个指数为素数的正规子群的性质，它对群中任何其他子群都施加了非常强的约束。

1. 分析前提:
   • $H \unlhd G$ ($H$ 是 $G$ 的正规子群)。
   • $|G:H| = p$，其中 $p$ 是一个素数。这意味着商群 $G/H$ 的阶是 $p$。根据拉格朗日定理的推论，任何素数阶的群都是循环群，并且除了平凡子群和自身外没有其他子群。这是本题的关键。
   • $K$ 是 $G$ 的任意一个子群。
2. 运用第二同构定理和格定理:
   • 由于 $H \unlhd G$，对于任何子群 $K \leq G$，$H$ 自动被 $K$ 正规化（实际上是 $H$ 被整个 $G$ 正规化），所以第二同构定理的前提 $K \le N_G(H)$ 成立。
   • 因此，$HK$ 是 $G$ 的一个子群。
   • 根据格定理，子群 $HK$ 对应于商群 $G/H$ 中的一个子群 $(HK)/H$。
   • $G/H$ 是一个 $p$ 阶群。它的子群只有两个：单位子群 $\{H\}$ 和它自身 $G/H$。
   • 因此，$(HK)/H$ 只能是这两个中的一个。
3. 分情况讨论:
   • 情况 A: $(HK)/H = \{H\}$ (单位子群)。
   • 这意味着 $HK$ 中的任何元素 $hk$ ($h \in H, k \in K$) 都满足 $(hk)H = H$。
   • $(hk)H = kH$ (因为 $h \in H$)。
   • 所以 $kH=H$ 对所有 $k \in K$ 都成立。
   • $kH=H$ 意味着 $k \in H$。
   • 这说明子群 $K$ 的所有元素都在 $H$ 中。
   • 因此，$K \leq H$。这对应于结论 (i)。
   • 情况 B: $(HK)/H = G/H$。
   • 两边取原像，根据格定理，这意味着 $HK = G$。这是结论 (ii) 的一部分。
   • 现在我们需要证明结论 (ii) 的另一部分：$|K : K \cap H| = p$。
   • 根据第二同构定理，我们有 $HK/H \cong K/(K \cap H)$。
   • 取指数（或者对于有限群取阶），我们得到 $|HK:H| = |K:(K \cap H)|$。
   • 在当前情况 (B) 中，我们已经知道 $HK=G$。
   • 所以 $|HK:H| = |G:H|$。
   • 根据题设， $|G:H|=p$。
   • 因此，$|K : K \cap H| = p$。
   • 综上，情况 B 导出了结论 (ii): $G=HK$ 且 $|K : K \cap H| = p$。
4. 总结:
   • 由于子群 $(HK)/H$ 在 $p$ 阶商群 $G/H$ 中只有两种可能性，这两种可能性正好分别对应题目中的两种结论。因此，对于任何子群 $K$，必然满足 (i) 或 (ii) 之一。证明完毕。

这道题是关于直积群的商群性质，结论非常直观，即“商的直积等于直积的商”。

1. 证明 $(C \times D) \unlhd (A \times B)$:
   • $A \times B$ 是外直积群，其元素是序对 $(a, b)$，其中 $a \in A, b \in B$。运算是分量各自运算：$(a_1, b_1)(a_2, b_2) = (a_1 a_2, b_1 b_2)$。
   • $C \times D$ 是 $A \times B$ 的一个子集，可以证明它也是一个子群。
   • 要证明其正规性，需要对任意 $(a,b) \in A \times B$ 和任意 $(c,d) \in C \times D$，验证 $(a,b)(c,d)(a,b)^{-1}$ 是否仍在 $C \times D$ 中。
   • $(a,b)^{-1} = (a^{-1}, b^{-1})$。
   • $(a,b)(c,d)(a^{-1}, b^{-1}) = (aca^{-1}, bdb^{-1})$。
   • 因为 $C \unlhd A$，所以 $aca^{-1} \in C$。
   • 因为 $D \unlhd B$，所以 $bdb^{-1} \in D$。
   • 因此，$(aca^{-1}, bdb^{-1}) \in C \times D$。
   • 这就证明了 $C \times D$ 在 $A \times B$ 中是正规子群。
2. 证明 $(A \times B) / (C \times D) \cong (A/C) \times (B/D)$:
   • 策略: 构造一个从 $A \times B$ 到 $(A/C) \times (B/D)$ 的同态，然后应用第一同构定理。
   • 构造同态:
   • 定义 $\varphi: A \times B \rightarrow (A/C) \times (B/D)$。
   • 一个自然的选择是 $\varphi((a,b)) = (aC, bD)$。
   • 验证同态:
   • $\varphi((a_1, b_1)(a_2, b_2)) = \varphi((a_1 a_2, b_1 b_2))$
   • $= ((a_1 a_2)C, (b_1 b_2)D)$
   • $= ((a_1 C)(a_2 C), (b_1 D)(b_2 D))$
   • $= (a_1 C, b_1 D) \cdot (a_2 C, b_2 D)$ (直积群的运算)
   • $= \varphi((a_1, b_1)) \varphi((a_2, b_2))$。
   • 所以 $\varphi$ 是一个同态。
   • 计算核:
   • $\operatorname{ker} \varphi = \{ (a,b) \in A \times B \mid \varphi((a,b)) = \text{单位元} \}$。
   • 目标群的单位元是 $(C, D)$。
   • $\operatorname{ker} \varphi = \{ (a,b) \mid (aC, bD) = (C, D) \}$。
   • 这等价于 $aC=C$ 且 $bD=D$。
   • $aC=C \iff a \in C$。
   • $bD=D \iff b \in D$。
   • 所以 $\operatorname{ker} \varphi = \{ (a,b) \mid a \in C, b \in D \} = C \times D$。
   • 计算像 (证明满射):
   • 取目标群中任意一个元素 $(aC, bD)$。
   • 我们只需找到源群中的元素 $(a,b)$，那么 $\varphi((a,b)) = (aC, bD)$。
   • 所以 $\varphi$ 是满射。
   • 应用第一同构定理:
   • 我们有一个从 $A \times B$ 到 $(A/C) \times (B/D)$ 的满射同态 $\varphi$，其核为 $C \times D$。
   • 根据第一同构定理，$ (A \times B) / \operatorname{ker}\varphi \cong \varphi(A \times B) $。
   • 代入得到 $(A \times B) / (C \times D) \cong (A/C) \times (B/D)$。
   • 证明完毕。

这道题需要准确理解 $G$ 的定义。它不是指 $p$ 次单位根构成的循环群 $C_p$，而是所有 $p$ 的幂次单位根的并集，即普吕弗p-群 (Prüfer p-group)。

1. 定义群G:
   • $G = C_{p^\infty} = \{ z \in \mathbb{C} \mid \exists n \in \mathbb{Z}^+, z^{p^n} = 1 \}$。
   • 这是一个无限阿贝尔群，运算是复数乘法。
2. 证明映射是同态:
   • 定义 $\varphi: G \rightarrow G$ 为 $\varphi(z) = z^p$。
   • 对于任意 $z_1, z_2 \in G$，$\varphi(z_1 z_2) = (z_1 z_2)^p = z_1^p z_2^p$ (因为复数乘法可交换) $= \varphi(z_1)\varphi(z_2)$。
   • 所以 $\varphi$ 是一个同态。
3. 证明映射是满射:
   • 我们需要证明对于任意 $y \in G$，都存在一个 $z \in G$ 使得 $\varphi(z) = z^p = y$。
   • 设 $y \in G$。根据 $G$ 的定义，存在某个正整数 $n$ 使得 $y^{p^n}=1$。
   • 我们想找一个 $z$ 使得 $z^p = y$。这相当于找 $y$ 的 $p$ 次方根。
   • 令 $z = y^{1/p}$。我们需要确定这个 $z$ 也在 $G$ 中。
   • $z^{p^{n+1}} = (z^p)^{p^n} = y^{p^n} = 1$。
   • 这意味着 $z$ 是一个 $p^{n+1}$ 次单位根，所以根据 $G$ 的定义，$z \in G$。
   • 因此，对于任意 $y \in G$，我们都找到了它的原像 $z \in G$。所以 $\varphi$ 是满射。
4. 推导结论:
   • 我们已经有了一个从 $G$ 到 $G$ 的满射同态 $\varphi$。
   • 应用第一同构定理: $G/\operatorname{ker}\varphi \cong \varphi(G)$。
   • 因为 $\varphi$ 是满射，所以 $\varphi(G)=G$。
   • 所以 $G/\operatorname{ker}\varphi \cong G$。
   • 现在我们计算核:
   • $\operatorname{ker}\varphi = \{ z \in G \mid \varphi(z) = 1 \} = \{ z \in G \mid z^p=1 \}$。
   • 这正是所有 $p$ 次单位根的集合，它是一个阶为 $p$ 的循环群，记为 $C_p$。
   • 因为 $p \ge 2$ 是素数，所以 $\operatorname{ker}\varphi = C_p$ 不是平凡群 $\{1\}$。
   • 商群 $G/C_p$ 是一个“真商” (proper quotient)，因为它不是用平凡子群作商。
   • 结论：$G \cong G/C_p$。即 $G$ 同构于它自身的一个真商群。

这道题是关于西罗p-子群与正规子群的交互，是西罗定理应用中的一个标准结论。

1. 分析前提:
   • $|G|=p^a m, p \nmid m$。
   • $P \le G$ 且 $|P|=p^a$ (P是G的一个西罗p-子群)。
   • $N \unlhd G$ 且 $|N|=p^b n, p \nmid n$。
2. 运用第二同构定理:
   • 由于 $N \unlhd G$，对于子群 $P$，前提 $P \le N_G(N)=G$ 自动满足。
   • 因此，$PN$ 是 $G$ 的一个子群。
   • 根据第二同构定理，$PN/N \cong P/(P \cap N)$。
   • 取阶数，得到 $|PN/N| = |P|/|P \cap N|$。
3. 分析各部分的阶:
   • $|P| = p^a$ (已知)。
   • $P \cap N$ 是 $P$ 的一个子群。$P$ 是一个p-群（阶为p的幂），所以它的任何子群的阶也必须是p的幂。设 $|P \cap N| = p^c$，其中 $c \le a$。
   • $P \cap N$ 也是 $N$ 的一个子群。所以 $|P \cap N|$ 必须整除 $|N|=p^b n$。即 $p^c | p^b n$。因为 $p \nmid n$，这必然要求 $p^c | p^b$，所以 $c \le b$。
   • $PN$ 是一个子群，它包含 $P$ 和 $N$。$N \unlhd PN$。
   • $PN/N$ 是 $PN$ 的一个商群。
   • 考虑投影 $\pi: G \to G/N$。$P$ 在商群 $G/N$ 中的像是 $\pi(P) = PN/N$。
   • $\pi(P)$ 是 $G/N$ 的一个子群。
   • $|G/N| = |G|/|N| = (p^a m) / (p^b n) = p^{a-b} (m/n)$。因为 $p \nmid m, p \nmid n$，所以 $p \nmid m/n$ 并不保证。但阶是这个。
   • $\pi(P)$ 的阶必须整除 $|G/N|$。
   • $\pi(P) = PN/N \cong P/(P \cap N)$。所以 $|\pi(P)| = |P|/|P \cap N| = p^a / p^c = p^{a-c}$。
   • 所以，我们有 $p^{a-c}$ 必须整除 $|G/N| = p^{a-b} (m/n)$。
   • $|PN| = \frac{|P||N|}{|P \cap N|} = \frac{p^a p^b n}{p^c} = p^{a+b-c} n$。
   • $|PN/N| = |PN|/|N| = (p^{a+b-c} n) / (p^b n) = p^{a-c}$。这和从同构关系得到的结果一致。
   • $PN$ 是 $G$ 的子群，所以 $|PN|$ 必须整除 $|G|$。
   • $p^{a+b-c} n | p^a m$。
   • 由于 $p \nmid n$，所以 $p^{a+b-c} | p^a$。这意味着 $a+b-c \le a$，即 $b \le c$。
4. 得出结论:
   • 我们在上面推导出了 $c \le b$ 和 $b \le c$。
   • 所以必然有 $c=b$。
   • 代回到 $|P \cap N|=p^c$，我们得到 $|P \cap N| = p^b$。这是第一个要证明的结论。
   • 代回到 $|PN/N| = p^{a-c}$，我们得到 $|PN/N| = p^{a-b}$。这是第二个要证明的结论。
   • 关于西罗子群的结论: $N$ 的阶是 $p^b n$。$P \cap N$ 是 $N$ 的一个子群，且阶为 $p^b$。根据定义，$P \cap N$ 是 $N$ 的一个西罗p-子群。证明完毕。

这道题是练习9的推广，将西罗p-子群的概念推广到了更一般的霍尔子群。证明思路非常相似。

1. 分析霍尔子群定义:
   • $H \le G$ 是霍尔子群 $\iff \gcd(|G:H|, |H|) = 1$。
   • 设 $|G|=k, |H|=h$。$|G:H|=k/h$。条件是 $\gcd(k/h, h)=1$。
2. 证明 $H \cap N$ 是 $N$ 的霍尔子群:
   • 我们需要证明 $\gcd(|N : H \cap N|, |H \cap N|) = 1$。
   • 由第二同构定理，$HN/N \cong H/(H \cap N)$。所以 $|HN:N| = |H:H \cap N|$。
   • $|N : H \cap N| = \frac{|N|}{|H \cap N|}$。
   • $|H:H \cap N| = \frac{|H|}{|H \cap N|}$。
   • 所以，$\frac{|HN|}{|N|} = \frac{|H|}{|H \cap N|}$。
   • 我们有 $|H \cap N| = \frac{|H||N|}{|HN|}$。
   • 而 $|N:H \cap N| = \frac{|N|}{|H \cap N|} = \frac{|N| \cdot |HN|}{|H||N|} = \frac{|HN|}{|H|} = |HN:H|$。
   • 所以我们要证的是 $\gcd(|HN:H|, |H \cap N|) = 1$。
   • $HN$ 是 $G$ 的子群，所以 $|HN|$ 整除 $|G|$。$H$ 是 $HN$ 的子群。
   • $|G:H| = |G:HN| \cdot |HN:H|$。
   • 因为 $\gcd(|G:H|, |H|) = 1$，所以 $|G:H|$ 的任何素因子都不能整除 $|H|$。
   • $|HN:H|$ 是 $|G:H|$ 的一个因子，所以 $|HN:H|$ 的任何素因子也不能整除 $|H|$。
   • $|H \cap N|$ 是 $|H|$ 的一个因子，所以 $|H \cap N|$ 的素因子都是 $|H|$ 的素因子。
   • 因此，$\gcd(|HN:H|, |H \cap N|) = 1$。
   • 这就证明了 $H \cap N$ 是 $N$ 的一个霍尔子群。
3. 证明 $HN/N$ 是 $G/N$ 的霍尔子群:
   • 我们需要证明 $\gcd(|G/N : HN/N|, |HN/N|) = 1$。
   • $|G/N : HN/N| = \frac{|G/N|}{|HN/N|} = \frac{|G|/|N|}{|HN|/|N|} = \frac{|G|}{|HN|} = |G:HN|$。
   • $|HN/N| = |H : H \cap N| = |H|/|H \cap N|$。
   • 我们要证明 $\gcd(|G:HN|, |H|/|H \cap N|) = 1$。
   • $|G:H| = |G:HN| \cdot |HN:H|$。
   • 因为 $\gcd(|G:H|, |H|) = 1$，所以 $\gcd(|G:HN|, |H|) = 1$。
   • 因为 $|H|/|H \cap N|$ 是 $|H|$ 的一个因子，所以 $\gcd(|G:HN|, |H|/|H \cap N|)=1$ 也成立。
   • 这就证明了 $HN/N$ 是 $G/N$ 的一个霍尔子群。