1. 第 4 章：群作用

这一段是第四章的开篇介绍，它设定了本章的学习目标和核心思想。

1. 核心主题：本章的核心概念是“群作用”（Group Action）。这是一个群 $G$ 与一个集合 $A$ 之间的互动方式。你可以想象成群里的每个元素都像一个“操作”或“变换”，作用在集合的元素上，把它们移动到集合内的其他位置。
2. “作用”的价值：为什么研究群作用如此重要？段落中提到“一个客体作用于另一个客体时，关于两者都能获得大量信息”。这里的“客体”就是指群和集合。
   • 通过观察群 $G$ 如何“搅动”集合 $A$ 的元素，我们可以反过来了解群 $G$ 自身的结构。比如，群里有哪些元素？这些元素之间是什么关系？群的大小是多少？
   • 同时，我们也能了解集合 $A$ 的对称性。比如，一个正方形，有哪些旋转和翻转操作能让它看起来没变？这些操作就构成了一个群，这个群作用在正方形的顶点或边上。
3. 增加结构，获得更多信息：段落进一步指出，如果被作用的集合 $A$ 本身也具有某种数学结构，那么我们能得到的信息就更丰富。
   • 群作用于群：比如一个群 $G$ 作用于它自己或它的子群。这可以帮助我们理解共轭类、中心化子等重要概念。
   • 群作用于向量空间：这是表示论的核心思想，在物理学（如量子力学）和化学中有极其重要的应用。群的元素被看作是线性变换（矩阵），作用在向量上。这将在第 18 章详细讨论。
4. 本章的高潮：本章学习群作用的最终目标是为了证明西罗定理（Sylow Theorems）。这是有限群论中非常深刻和强大的定理，它告诉我们一个有限群的子群结构具有某些必然存在的规律。证明这个定理的过程，本身就是群作用理论的绝佳应用。通过西罗定理，我们可以对有限群进行分类，这是抽象代数的一个核心任务。

这段话强调了“群作用”这一概念在整个抽象代数乃至更广泛数学领域中的普适性和重要性。它预告了读者，本章学习的内容不是孤立的，而是一个会反复出现的核心思想。

1. “作用”是一个统一的主题：作者指出，“作用”（Action）是贯穿本书的一个基本统一主题。这意味着，一旦你深刻理解了群作用，你就能更容易地理解后续章节中看似不同的新概念，因为它们本质上都是“作用”思想的不同体现。
2. 未来应用的预告：
   • 模 (Modules)：模可以看作是向量空间的推广。在向量空间中，我们用一个域（比如实数域 $\mathbb{R}$）中的数去“数乘”向量。而在模中，我们用一个环（比域更宽泛的概念，比如整数环 $\mathbb{Z}$）中的元素去“作用”于模的元素。这其实就是环的一种“作用”。
   • 向量空间 (Vector Spaces)：前面已经提到，群可以作用于向量空间。一个群的元素被表示成矩阵，通过矩阵乘法作用于向量。这是线性代数和表示论的核心。
   • 矩阵的规范形式 (Canonical Forms for Matrices)：比如若尔当标准型 (Jordan Canonical Form)，是通过寻找一个好的基，使得线性变换（矩阵）在这个基下的表示形式最简单。这个过程可以被理解为“相似变换群”作用在所有矩阵构成的集合上，我们想在每个作用的“轨道”中找到一个最简洁的代表元素（即规范形式）。
   • 伽罗瓦理论 (Galois Theory)：这是抽象代数的顶峰之一，它研究的是域的扩张和多项式方程的根之间的深刻联系。其核心思想是，一个多项式方程的“伽罗瓦群”作用于这个方程的根的集合。通过研究这个群作用的性质，可以判断一个方程能否用根式求解（比如我们熟知的二次方程求根公式）。五次及以上的一般方程没有根式解，其根本原因就隐藏在对应的伽罗瓦群的结构中。

这一段是 4.1 节的引言，清晰地规划了本节乃至后续两节的学习路线图。

1. 本节（4.1）的核心内容：
   • 第一部分：基本理论。首先会正式地、严格地定义什么是“群作用”（Group Action），以及与之相关的基本概念，如置换表示（Permutation Representation）。这是后续所有讨论的基础。
   • 第二部分：应用与证明。理论建立后，会立即展示它的威力。具体的应用场景是：让对称群 $S_n$（或其子群）作用在集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 上。这个应用的直接成果是证明一个非常重要的结论：$S_n$ 中的任何一个置换（permutation）都可以被唯一地分解成若干个不相交的循环（cycles）的乘积。这个结论我们在第一章（如 1.3 节）可能已经接触过并使用了，但在这里，我们将从“群作用”这个更深刻、更系统的角度来给出严格的证明。
2. 后续章节（4.2, 4.3）的展望：
   • 本节只是一个开始。在接下来的两节中，我们将把本节建立的“群作用”一般理论应用到另外两种非常重要的特定场景中。
   • 通过这些应用，我们将能够推导出更多重要的群论结果。这暗示了群作用是一个“生产力工具”，可以不断产生新的定理。例如，后面要讲的轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）、类方程（Class Equation）以及最终的西罗定理（Sylow Theorems），都是通过分析特定的群作用得出的。

这是对“群作用”核心机制的第一次正式描述，并将其与“置换”这个我们已经熟悉的概念联系起来。

1. 基本设定：
   • 我们有两个对象：一个群 $G$ 和一个非空集合 $A$。
   • “$G$ 作用于 $A$” 是一个已经给定的前提。这个“作用”本身是一个抽象的规则，我们用一个符号 · 来表示。g · a 读作“$g$ 作用于 $a$”，结果是集合 $A$ 中的另一个元素。
2. 核心思想：群元素 = 变换：
   • 对于群 $G$ 中的每一个元素 $g$，我们都可以定义一个与之对应的映射（函数），记作 $\sigma_g$。
   • 这个映射 $\sigma_g$ 是从集合 $A$ 到集合 $A$ 自身的映射。
   • 它的具体功能是：对于 $A$ 中的任意一个元素 $a$，$\sigma_g(a)$ 的值就是 $g \cdot a$。
   • 换句话说，群元素 $g$ 通过“作用”这个行为，实现了一个对集合 $A$ 的“变换”，这个变换就是映射 $\sigma_g$。
3. 这个变换是什么性质？
   • 段落明确指出，$\sigma_g$ 是 $A$ 的一个置换（Permutation）。
   • 什么是置换？一个集合到自身的双射（bijection）就是一个置换。双射意味着这个映射既是单射（injective，不同的输入对应不同的输出）又是满射（surjective，输出覆盖了整个目标集合）。
   • 直观地说，一个置换就是对集合 $A$ 的元素进行一次“重新排列”，既没有“丢失”任何元素，也没有“创造”新的元素，也没有“合并”两个元素到一个位置。
   • 为什么 $\sigma_g$ 一定是置换呢？这源于群作用的公理（在 1.7 节已定义，这里是回顾）：
   • 满射性：对于 $A$ 中任意一个元素 $b$，我们能找到一个 $a$ 使得 $\sigma_g(a) = b$ 吗？可以。令 $a = g^{-1} \cdot b$（因为 $g \in G$，所以其逆元 $g^{-1}$ 也一定在 $G$ 中）。那么 $\sigma_g(a) = g \cdot a = g \cdot (g^{-1} \cdot b) = (g g^{-1}) \cdot b = e \cdot b = b$（其中 $e$ 是群的单位元）。所以 $\sigma_g$ 是满射。
   • 单射性：如果 $\sigma_g(a_1) = \sigma_g(a_2)$，即 $g \cdot a_1 = g \cdot a_2$，那么能推出 $a_1 = a_2$ 吗？可以。用 $g^{-1}$ 从左边作用于等式两边：$g^{-1} \cdot (g \cdot a_1) = g^{-1} \cdot (g \cdot a_2)$，根据群作用的结合律公理，得到 $(g^{-1}g) \cdot a_1 = (g^{-1}g) \cdot a_2$，即 $e \cdot a_1 = e \cdot a_2$，根据单位元公理，得到 $a_1 = a_2$。所以 $\sigma_g$ 是单射。
   • 既然 $\sigma_g$ 既是单射又是满射，它就是一个置换。

这段话在上一段的基础上更进一步，将群作用与群同态联系起来，正式引入了置换表示的概念。

1. 从元素到群的视角转变：
   • 上一段我们建立了“单个群元素 $g$”到“单个置换 $\sigma_g$”的对应关系。
   • 现在，我们要把这个对应关系提升到整个群的层面。我们定义一个映射 $\varphi$，它负责把整个群 $G$ 映射到所有可能置换构成的群 $S_A$。
2. 对称群 $S_A$：
   • $S_A$ 是一个非常重要的群，称为集合 $A$ 上的对称群 (Symmetric Group on A)。
   • 它的元素是 $A$ 到 $A$ 的所有置换。
   • 它的群运算是函数复合（composition）。比如，$\sigma_1, \sigma_2 \in S_A$，那么它们的乘积 $\sigma_1 \circ \sigma_2$ 定义为先执行 $\sigma_2$ 再执行 $\sigma_1$。
   • 如果 $A = \{1, 2, \ldots, n\}$，那么 $S_A$ 就是我们熟悉的 $S_n$。
3. 定义映射 $\varphi$：
   • 映射 $\varphi$ 的定义域是群 $G$，值域是群 $S_A$。
   • 它的规则很简单：对于 $G$ 中的任何一个元素 $g$，$\varphi(g)$ 的值就是我们上一段定义的那个置换 $\sigma_g$。
   • 所以，$\varphi$ 是一个“打包”的映射，它把所有 $g \mapsto \sigma_g$ 的对应关系整合在了一起。
4. 核心结论：$\varphi$ 是一个群同态：
   • 最关键的一点是，$\varphi$ 不仅仅是一个普通的集合映射，它还是一个群同态（Group Homomorphism）。
   • 什么是群同态？一个映射 $\varphi: G \to H$ 是群同态，如果它保持群的运算结构，即对于 $G$ 中任意两个元素 $g_1, g_2$，都满足 $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2)$。
   • 让我们来验证一下：
   • 左边是 $\varphi(g_1 g_2)$。根据 $\varphi$ 的定义，它等于置换 $\sigma_{g_1 g_2}$。
   • 右边是 $\varphi(g_1) \varphi(g_2)$。根据 $\varphi$ 的定义，它等于 $\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2}$（这里的乘法是 $S_A$ 中的函数复合）。
   • 我们需要证明 $\sigma_{g_1 g_2} = \sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2}$。这两个都是函数，要证明它们相等，就需要证明它们对定义域中任意一个元素 $a$ 的作用结果都相同。
   • 让我们来看左边作用在 $a$ 上：$\sigma_{g_1 g_2}(a) = (g_1 g_2) \cdot a$。
   • 再来看右边作用在 $a$ 上：$(\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2})(a) = \sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(a))$。根据 $\sigma_g$ 的定义，$\sigma_{g_2}(a) = g_2 \cdot a$。所以，$\sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(a)) = \sigma_{g_1}(g_2 \cdot a) = g_1 \cdot (g_2 \cdot a)$。
   • 根据群作用的公理之一（结合律），我们有 $(g_1 g_2) \cdot a = g_1 \cdot (g_2 \cdot a)$。
   • 因此，$\sigma_{g_1 g_2}(a) = (\sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2})(a)$ 对所有 $a \in A$ 都成立。
   • 所以，$\sigma_{g_1 g_2} = \sigma_{g_1} \circ \sigma_{g_2}$ 成立，这意味着 $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2)$ 成立。
   • 结论：$\varphi$ 确实是一个群同态。
5. 置换表示：
   • 这个从群 $G$ 到对称群 $S_A$ 的同态 $\varphi$，就被称为与该群作用相关联的置换表示（Permutation Representation）。
   • “表示”（Representation）是数学中的一个核心思想，意思是用一些更具体、更我们熟悉的对象（比如置换、矩阵）来“扮演”或“模仿”一个抽象的代数结构（比如群 $G$）。通过研究这些具体对象的行为（比如置换的乘法），我们就能理解抽象群 $G$ 的结构。

这句话是一个过渡句，它的功能是提醒读者，接下来要介绍的几个定义（核、稳定子、忠实作用）并不是全新的，而是在之前的章节中已经有所提及。这有助于减轻读者的认知负担，并将新旧知识联系起来。

1. 回顾的目的：
   • 强化记忆：通过重申，帮助读者巩固之前学过的概念。
   • 建立上下文：将这些术语置于当前更系统化的群作用理论框架下进行再次审视，可以获得更深刻的理解。
   • 为后续做铺垫：这几个术语是分析群作用性质的基础工具，马上就要被频繁使用，因此在正式使用前进行集中回顾是必要的。
2. 涉及的章节：
   • 第 1.7 节：可能是初步引入群作用和置换概念的地方。
   • 第 2.2 节：可能是在讨论子群和陪集时，用稳定子作为一个具体的子群例子。

这部分正式定义了三个与群作用紧密相关的核心概念：核、稳定子和忠实作用。

1. 核的本质：作用的核（Kernel）是群 $G$ 中的一个特殊子集。这个子集里的元素都是“懒惰”或者说“无效”的元素。
2. “懒惰”在何处？：一个群元素 $g$ 如果在“核”里，意味着它对集合 $A$ 中的所有元素 $a$ 进行作用时，都无法产生任何改变。即 $g \cdot a$ 的结果永远是 $a$ 本身。它就像一个失灵的工具，无论怎么用，零件都纹丝不动。
3. 严格定义：
   • 对象：我们寻找的是群 $G$ 里的元素 $g$。
   • 条件：这个元素 $g$ 必须满足一个非常苛刻的条件：对于集合 $A$ 中的每一个（for all）元素 $a$，等式 $g \cdot a = a$ 都必须成立。
   • 集合：所有满足这个条件的 $g$ 构成的集合，就是作用的核。
4. 与置换表示的联系：
   • 一个元素 $g$ 在作用的核里，意味着 $g \cdot a = a$ 对所有 $a$ 成立。
   • 这等价于说，它对应的置换 $\sigma_g$ 是恒等置换（identity permutation），即 $\sigma_g(a) = a$ 对所有 $a$ 成立。
   • 在置换表示的同态 $\varphi: G \to S_A$ 中，$\varphi(g) = \sigma_g$。
   • 因此，作用的核，恰好就是同态 $\varphi$ 的核（Kernel of a homomorphism）。同态的核被定义为所有被映射到目标群单位元（这里是 $S_A$ 的单位元，即恒等置换）的源群元素的集合。
   • 这个发现非常重要，因为它告诉我们，作用的核不仅仅是一个集合，它还是一个正规子群（Normal Subgroup），因为任何同态的核都是正规子群。

1. 稳定子的本质：稳定子 $G_a$ 也是群 $G$ 的一个子集。它和“核”非常相似，但有一个关键区别。
2. 与核的区别：
   • 核：要求群元素 $g$ 对集合 $A$ 中所有的元素都“懒惰”。这是一个“全局”概念。
   • 稳定子 $G_a$：只要求群元素 $g$ 对集合 $A$ 中某一个特定的元素 $a$ “懒惰”。这是一个“局部”概念。
3. 严格定义：
   • 前提：我们首先要从集合 $A$ 中选定一个元素 $a$。
   • 对象：我们寻找的是群 $G$ 里的元素 $g$。
   • 条件：这个元素 $g$ 必须满足条件 $g \cdot a = a$。它只需要固定 $a$ 就行，至于它对 $A$ 中其他元素（比如 $b \neq a$）做了什么，我们不关心。
   • 集合：所有满足这个条件的 $g$ 构成的集合，就是元素 $a$ 的稳定子，记作 $G_a$。
4. 稳定子是一个子群：
   • 可以证明，$G_a$ 永远是 $G$ 的一个子群（Subgroup）。（而核是正规子群，比子群更特殊）。
   • 验证子群：
   • 闭合性：如果 $g_1, g_2 \in G_a$，那么 $g_1 \cdot a = a$ 且 $g_2 \cdot a = a$。我们需要证明 $g_1 g_2 \in G_a$。计算 $(g_1 g_2) \cdot a = g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = g_1 \cdot a = a$。所以 $g_1 g_2$ 也在 $G_a$ 中。
   • 单位元：$e \cdot a = a$，所以 $e \in G_a$。
   • 逆元：如果 $g \in G_a$，那么 $g \cdot a = a$。我们需要证明 $g^{-1} \in G_a$。用 $g^{-1}$ 作用于等式两边：$g^{-1} \cdot (g \cdot a) = g^{-1} \cdot a$。左边是 $(g^{-1}g) \cdot a = e \cdot a = a$。所以 $a = g^{-1} \cdot a$，这意味着 $g^{-1} \in G_a$。
   • 因此，$G_a$ 是 $G$ 的一个子群。

1. 忠实性的本质：一个作用是否忠实（Faithful），是在问这个作用能否“分辨”出群里的不同元素。
2. 什么是“不忠实”：如果一个作用不忠实，意味着群 $G$ 中存在某个非单位元的元素 $g$（$g \neq e$），但这个 $g$ 的作用效果和单位元 $e$ 一模一样。也就是说，这个 $g$ 也在作用的核里面。从集合 $A$ 的角度看，它完全无法感知到 $g$ 和 $e$ 的区别，因为两者都让它“纹丝不动”。
3. 什么是“忠实”：一个作用是忠实的，当且仅当唯一能让集合 $A$ 中所有元素都保持不变的群元素，就是单位元 $e$ 本身。
4. 严格定义：
   • 一个作用是忠实的 $\iff$ 作用的核 Ker($\varphi$) $ = \{e\}$。
5. 与置换表示的联系：
   • 作用的核就是同态 $\varphi: G \to S_A$ 的核。
   • 同态的核为 $\{e\}$，这正是同态是单射（injective / one-to-one）的充分必要条件。
   • 因此，一个作用是忠实的，等价于它对应的置换表示 $\varphi$ 是单射。
   • 当 $\varphi$ 是单射时，根据同态基本定理，群 $G$ 与 $\varphi$ 的像 Im($\varphi$) 同构（isomorphic）。Im($\varphi$) 是 $S_A$ 的一个子群。
   • 凯莱定理 (Cayley's Theorem) 就是这个思想的一个著名应用：任何一个群 $G$ 都同构于某个对称群的子群。这是通过让 $G$ 作用于其自身的元素集合来证明的，并且这个作用是忠实的。

这段话是对前面定义的三个概念进行深入的阐述和关联，揭示了它们之间的逻辑关系，并引出了一个非常重要的思想：如何从一个不忠实的作用中构造出一个忠实的作用。

1. 作用的核 = 同态的核 (Kernel of Action = Kernel of Homomorphism)
   • 原文：“作用的核与关联的置换表示的核完全相同”
   • 解释：这在前面解释“核”的定义时已经推导过了。
   • 作用的核定义为：$\{g \in G \mid g \cdot a = a \text{ for all } a \in A\}$。
   • 置换表示是同态 $\varphi: G \to S_A$，其中 $\varphi(g) = \sigma_g$ 且 $\sigma_g(a) = g \cdot a$。
   • 同态的核定义为：$\{g \in G \mid \varphi(g) = e_{S_A}\}$，其中 $e_{S_A}$ 是 $S_A$ 的单位元，即恒等置换 $id$。
   • $\varphi(g) = id$ 的意思就是 $\sigma_g = id$，也就是 $\sigma_g(a) = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
   • 这进一步等价于 $g \cdot a = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
   • 这恰好就是作用的核的定义。所以两者是同一个东西。
2. 核是正规子群 (Kernel is a Normal Subgroup)
   • 原文：“特别是，核是 $G$ 的一个正规子群。”
   • 解释：这是一个直接推论。在群论中，我们有基本定理：任何群同态的核都是定义域群的一个正规子群。既然作用的核就是同态 $\varphi$ 的核，那么它自然继承了正规子群这一优良性质。
3. 相同作用的元素构成陪集 (Elements with Same Action form a Coset)
   • 原文：“当且仅当两个群元素在核的同一个陪集中时...它们在 $A$ 上诱导相同的置换。”
   • 解释：这描述了同态 $\varphi$ 的“纤维”（fibers）。
   • 假设 $g_1, g_2 \in G$ 诱导了相同的置换，即 $\sigma_{g_1} = \sigma_{g_2}$。
   • 根据 $\varphi$ 的定义，这意味着 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$。
   • 在等式两边同时右乘 $\varphi(g_2)^{-1}$（即 $\varphi(g_2^{-1})$），我们得到 $\varphi(g_1) \varphi(g_2^{-1}) = e_{S_A}$。
   • 因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(g_1 g_2^{-1}) = e_{S_A}$。
   • 根据核的定义，这意味着 $g_1 g_2^{-1} \in \ker \varphi$。
   • $g_1 g_2^{-1} \in \ker \varphi$ 正是 $g_1$ 和 $g_2$ 属于同一个右陪集（$g_1 \in (\ker \varphi) g_2$）的定义。对于正规子群，左右陪集是相同的，所以它们也属于同一个左陪集（$g_1 \in g_2 (\ker \varphi)$）。
   • 反之，如果 $g_1$ 和 $g_2$ 在同一个左陪集，比如 $g_1 = k g_2$ 其中 $k \in \ker \varphi$，那么 $\varphi(g_1) = \varphi(k g_2) = \varphi(k) \varphi(g_2) = e_{S_A} \varphi(g_2) = \varphi(g_2)$。所以它们诱导相同的置换。
   • 纤维：在映射中，被映射到同一个目标元素的所有源元素的集合称为一个纤维。这里，所有诱导相同置换的群元素构成一个纤维，而这个纤维正好是核的一个陪集。
4. 从不忠实到忠实：商群的作用 (Making it Faithful via Quotient Group)
   • 原文：“$G$ 在 $A$ 上的作用也可以看作是商群 $G / \operatorname{ker} \varphi$ 在 $A$ 上的忠实作用。”
   • 解释：这是一个非常深刻和有用的思想。如果一个作用不忠实，意味着核 $\ker \varphi$ 里有“多余”的元素。我们可以把这些“多余”的元素“打包”起来，形成一个更小的群，这个新群的作用就是忠实的。
   • 商群 $G / \ker \varphi$ 的元素是核的各个陪集，形如 $g(\ker \varphi)$。
   • 我们可以定义一个新的作用，是商群 $G/K$ (设 $K = \ker \varphi$) 作用在集合 $A$ 上。
   • 新作用的定义：对于商群中的一个元素 $gK$ 和集合中的一个元素 $a$，定义 $(gK) \cdot a = g \cdot a$。
   • 这个定义合理吗 (well-defined)？ 我们需要检查如果 $g_1 K = g_2 K$，那么 $(g_1 K) \cdot a$ 是否等于 $(g_2 K) \cdot a$。
   • $g_1 K = g_2 K$ 意味着 $g_2^{-1} g_1 \in K = \ker \varphi$。
   • 设 $k = g_2^{-1} g_1$，则 $g_1 = g_2 k$。
   • $(g_1 K) \cdot a = g_1 \cdot a = (g_2 k) \cdot a = g_2 \cdot (k \cdot a)$。
   • 因为 $k \in \ker \varphi$，所以 $k \cdot a = a$。
   • 因此，$g_2 \cdot (k \cdot a) = g_2 \cdot a = (g_2 K) \cdot a$。
   • 定义是合理的。
   • 这个新作用是忠实的吗？ 我们需要看这个新作用的核是什么。新作用的核是商群 $G/K$ 中的单位元，也就是陪集 $eK=K$ 本身。
   • 假设某个陪集 $gK$ 在新作用的核里，这意味着 $(gK) \cdot a = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
   • 根据定义，这等价于 $g \cdot a = a$ 对所有 $a \in A$ 成立。
   • 这正是 $g \in K = \ker \varphi$ 的定义。
   • 如果 $g \in K$，那么它所在的陪集 $gK$ 就是 $K$ 本身。
   • 所以新作用的核就是 $\{K\}$，即商群的单位元。因此，这个新作用是忠实的。
   • 直观理解：我们把所有表现出相同行为（诱导相同置换）的元素 $g$ 打包成一个单一的实体（陪集 $gK$），然后让这些“行为包”去作用。因为每个“行为包”都代表一种独一无二的行为，所以这个作用自然就是忠实的。
5. 稳定子是子群 (Stabilizer is a Subgroup)
   • 原文：“回顾第 2.2 节，...稳定子是 $G$ 的一个子群。”
   • 解释：这在前面已经详细证明过了（封闭性、单位元、逆元）。
6. 核与稳定子的关系 (Kernel vs Stabilizer)
   • 原文：“如果 $a$ 是 $A$ 的一个固定元素...作用的核包含在稳定子 $G_a$ 中，因为作用的核是...$\cap_{a \in A} G_{a}$。”
   • 解释：
   • 核 $\subseteq G_a$：设 $k \in \ker \varphi$。根据核的定义，$k$ 固定 $A$ 中的所有元素。既然 $a$ 是 $A$ 中的一个元素，那么 $k$ 自然也固定 $a$，即 $k \cdot a = a$。根据稳定子 $G_a$ 的定义（所有固定 $a$ 的元素），$k$ 必须在 $G_a$ 中。所以，核是任何一个稳定子的子集。
   • 核 = 所有稳定子的交集：
   • $k \in \ker \varphi$
   • $\iff k \cdot x = x$ 对于所有 $x \in A$ 成立。
   • $\iff$ 对于所有 $x \in A$，$k$ 都在 $G_x$ 中。
   • $\iff k \in \bigcap_{x \in A} G_x$ (属于所有稳定子的交集)。
   • 这个等式 $\ker \varphi = \bigcap_{a \in A} G_{a}$ 精确地描述了全局不动（核）与局部不动（稳定子）之间的关系：一个元素要能固定所有点，当且仅当它既能固定点 $a_1$，又能固定点 $a_2$，又能固定点 $a_3$...，直到所有点。

这是群作用最直接、最自然的例子：对称群 $S_n$ 作用于它原本定义要置换的那些数字。

1. 设定：
   • 群 $G$：$S_n$，即作用在 $n$ 个对象上的所有置换构成的群。
   • 集合 $A$：$\{1, 2, \ldots, n\}$，这 $n$ 个对象本身。
   • 作用 ·：定义为 $\sigma \cdot i = \sigma(i)$。这里的群元素 $\sigma$ 本身就是一个函数（置换），所以它作用于数字 $i$ 的方式，就是直接将 $i$ 作为函数的输入，计算其输出 $\sigma(i)$。
2. 分析置换表示 $\varphi$：
   • 根据定义，$\varphi: G \to S_A$。在这里，$G=S_n$ 且 $A=\{1, \ldots, n\}$，所以 $S_A = S_n$。因此，$\varphi: S_n \to S_n$。
   • $\varphi$ 的规则是 $\varphi(\sigma) = \sigma_{\sigma}$。
   • $\sigma_{\sigma}$ 是一个置换，它的作用是 $\sigma_{\sigma}(i) = \sigma \cdot i$。
   • 根据本例的作用定义，$\sigma \cdot i = \sigma(i)$。
   • 所以，$\sigma_{\sigma}(i) = \sigma(i)$ 对所有 $i$ 成立。这意味着置换 $\sigma_{\sigma}$ 和置换 $\sigma$ 是同一个函数。
   • 因此，$\varphi(\sigma) = \sigma$。
   • 这个映射 $\varphi$ 把每个输入的 $\sigma$原封不动地作为输出。这正是恒等映射（identity map）。
3. 分析忠实性：
   • 一个作用是忠实的，当且仅当其核为 $\{e\}$。这里的单位元 $e$ 是 $S_n$ 中的恒等置换 $id$。
   • 作用的核是所有满足 $\sigma \cdot i = i$ 对所有 $i \in A$ 成立的 $\sigma \in S_n$ 的集合。
   • $\sigma \cdot i = i$ 在这里就是 $\sigma(i) = i$。
   • 一个置换 $\sigma$ 使得 $\sigma(i)=i$ 对所有 $i$ 都成立，这正是恒等置换 $id$ 的定义。
   • 所以，核只包含恒等置换这一个元素。
   • 结论：此作用是忠实的。
4. 分析稳定子 $G_i$：
   • 我们选择集合 $A$ 中一个特定的元素，比如说 $i$。
   • $i$ 的稳定子 $G_i$ 是 $S_n$ 中所有满足 $\sigma \cdot i = i$ (即 $\sigma(i)=i$) 的置换 $\sigma$ 的集合。
   • 这个集合 $G_i$ 包含的置换，都在数字 $i$ 上“无所作为”，它们只在剩下的 $n-1$ 个数字 $\{1, \ldots, i-1, i+1, \ldots, n\}$ 上进行排列。
   • 这些只在 $n-1$ 个数字上进行排列的置换，构成的群正好就是对称群 $S_{n-1}$。
   • 因此，$G_i$ 同构（isomorphic）于 $S_{n-1}$。
   • 例如，在 $S_4$ 中，固定数字 4 的所有置换，如 $(12)$, $(132)$ 等，它们实际上就是在集合 $\{1,2,3\}$ 上进行操作，构成了与 $S_3$ 同构的子群。

这个例子展示了一个几何群如何通过作用被“翻译”成一个置换群。

1. 设定：
   • 群 $G$：$D_8$，即正八面体群，也就是正方形的对称群，它有8个元素。
   • 集合 $A$：正方形的四个顶点，我们给它们贴上标签 $\{1, 2, 3, 4\}$。通常是逆时针或顺时针标记，这里指定是顺时针。
   • 作用 ·：群里的元素是几何变换（旋转、反射），集合里的元素是顶点。作用就是将一个几何变换施加于正方形，看每个顶点跑到了哪个新位置。
2. 生成元及其置换：
   • $D_8$ 这个群可以由两个生成元（generators）生成：一个旋转 $r$ 和一个反射 $s$。只要我们知道了这两个生成元如何作用于顶点，我们就能知道所有8个元素如何作用。
   • 旋转 $r$：顺时针旋转 90度 ($\pi/2$ 弧度)。
   • $r \cdot 1 = 2$ (顶点1转到了原来2的位置)
   • $r \cdot 2 = 3$
   • $r \cdot 3 = 4$
   • $r \cdot 4 = 1$
   • 这个作用过程构成了一个置换 $\sigma_r$。在循环表示法中，它把 1 变成 2，2 变成 3，3 变成 4，4 变成 1。所以 $\sigma_r = (1 \ 2 \ 3 \ 4)$。
   • 反射 $s$：关于通过顶点 1 和 3 的对角线进行反射。
   • $s \cdot 1 = 1$ (在对称轴上的点不动)
   • $s \cdot 3 = 3$ (在对称轴上的点不动)
   • $s \cdot 2 = 4$ (顶点2被翻到了顶点4的位置)
   • $s \cdot 4 = 2$ (顶点4被翻到了顶点2的位置)
   • 这个作用过程构成的置换 $\sigma_s$ 交换了 2 和 4，保持 1 和 3 不变。在循环表示法中，它就是 $\sigma_s = (2 \ 4)$。
3. 置换表示的同态性质：
   • 我们已经将抽象的几何操作 $r$ 和 $s$ 翻译成了具体的置换 $\sigma_r$ 和 $\sigma_s$。
   • 置换表示 $\varphi: D_8 \to S_4$ 满足 $\varphi(r) = \sigma_r$ 和 $\varphi(s) = \sigma_s$。
   • 因为 $\varphi$ 是一个群同态，所以对于 $D_8$ 中的任何其他元素，比如 $s \cdot r$（注意群内乘法顺序），它对应的置换就是 $\varphi(sr) = \varphi(s) \varphi(r) = \sigma_s \circ \sigma_r$。
   • 这意味着，我们可以通过计算置换的乘积，来得到复杂几何变换对应的最终置换。

这段话继续分析上一个例子，计算了复合操作，并讨论了该作用的忠实性和稳定子。

1. 利用同态性质计算复合操作
   • 原文：“请注意，由于置换表示是一个同态，对应于 $sr$ 的四个顶点的置换是 $\sigma_{sr}=\sigma_{s} \sigma_{r}=(14)(23)$。”
   • 解释：这里再次强调了置换表示 $\varphi$ 是一个群同态，所以 $\varphi(sr) = \varphi(s)\varphi(r)$。在记号上，就简写为 $\sigma_{sr} = \sigma_s \sigma_r$。
   • 计算：如上一个例子分析，$\sigma_s \sigma_r = (24)(1234) = (14)(23)$。这里直接给出了结果。它说明 $D_8$ 中的元素 $sr$（先旋转90度，再沿1-3轴翻转）这个几何操作，其净效果是交换顶点1和4，同时交换顶点2和3。
2. 分析忠实性
   • 原文：“$D_{8}$ 在正方形的四个顶点上的作用是忠实的，因为只有恒等对称固定所有四个顶点。”
   • 解释：要判断作用是否忠实，我们需要找到它的核。
   • 核是 $D_8$ 中所有能让全部四个顶点都保持原位的对称操作。
   • 从几何上直观思考：
   • 任何非零角度的旋转（$r, r^2, r^3$）都会移动所有顶点。
   • 任何反射（$s$ 以及其他三个反射）都至少会移动两个顶点。
   • 唯一一个让所有四个顶点都“纹丝不动”的对称操作，就是“什么都不做”，即恒等对称 $e$。
   • 因此，这个作用的核是 $\{e\}$。
   • 根据定义，核只包含单位元的作用是忠实的。
   • 意义：这意味着 $D_8$ 中的 8 个对称操作，每一个都对应 $S_4$ 中一个独一无二的置换。没有任何两个不同的对称操作会产生完全相同的顶点变换效果。这允许我们将 $D_8$ 看作是（同构于）$S_4$ 的一个8阶子群 $\{\sigma_g \mid g \in D_8\}$。
3. 分析稳定子
   • 原文：“任何顶点 $a$ 的稳定子是 $D_{8}$ 中由通过 $a$ 和正方形中心的直线反射生成的 2 阶子群（因此，例如，顶点 1 的稳定子是 $\langle s \rangle$）。”
   • 解释：我们要找一个顶点（比如顶点1）的稳定子 $G_1$。
   • $G_1$ 是 $D_8$ 中所有能让顶点1保持在原位的操作的集合。
   • 几何分析：
   • 单位元 $e$：显然不动1，所以 $e \in G_1$。
   • 旋转：$r, r^2, r^3$ 都把1转走了，不在 $G_1$ 中。
   • 反射：
   • $s$ 是沿通过1和3的对角线反射。轴上的点不动，所以 $s$ 固定了顶点1。因此 $s \in G_1$。
   • 其他反射，比如沿2-4对角线的反射，或者沿水平/垂直中线的反射，都会把1移到别处去。
   • 结论：综上，只有 $e$ 和 $s$ 这两个操作能固定顶点1。所以 $G_1 = \{e, s\}$。
   • 这个集合 $\{e, s\}$ 是由反射 $s$ 生成的，因为 $s^2=e$。所以 $G_1 = \langle s \rangle$。
   • 这是一个 2 阶子群。
   • 推广：对于任意一个顶点 $a$，它的稳定子就是由“不动操作”和“以它为轴的反射”构成。这个“轴”就是通过顶点 $a$ 和正方形中心的直线。因此，任何一个顶点的稳定子都是一个由某个反射生成的2阶子群。例如，$G_2 = \{e, \text{沿2-4中线翻转的操作}\}$。

这个例子展示了同一个群 $D_8$ 作用在另一个不同的、由原集合派生出的新集合上，并得出了与前例截然不同的结论。

1. 改变作用的集合
   • 群 $G$：仍然是 $D_8$。
   • 新集合 $A$：不再是4个独立的顶点，而是由这些顶点构成的“无序对”组成的集合。具体来说，是两对对角顶点。
   • 一个元素是 $\{1, 3\}$ 这个组合。注意这里用花括号 {} 表示这是一个集合（set），所以 {1, 3} 和 {3, 1} 是同一个东西，顺序无所谓。
   • 另一个元素是 $\{2, 4\}$ 这个组合。
   • 所以，新集合 $A$ 只有两个元素: $A = \{ \{1,3\}, \{2,4\} \}$。
2. 作用的合理性
   • 原文：“$D_{8}$ 也作用于集合 $A$，因为正方形的每个对称都将一对相反顶点映射到一对相反顶点。”
   • 解释：要让 $D_8$ 能作用于这个新集合 $A$，我们必须保证任何一个对称操作 $g \in D_8$ 作用之后，一个“对角线顶点对”仍然会变成一个“对角线顶点对”。
   • 几何直觉：正方形的任何对称变换（旋转、翻转）都是刚性变换，它会保持点与点之间的相对关系。原来处于对角线两端的两个点，经过变换后，它们的新位置仍然是某条对角线的两端。所以，这个作用是定义良好的。例如，旋转90度后，{1,3} 这对点变成了 {2,4}，而 {2,4} 这对点变成了 {1,3} 的“镜像”。它们仍然是合法的“对角线顶点对”。
3. 分析生成元的作用
   • 为了方便，我们给集合 $A$ 的两个元素起个别名：令 $\mathbf{1} = \{1,3\}$, $\mathbf{2} = \{2,4\}$。现在 $A = \{\mathbf{1}, \mathbf{2}\}$。
   • 旋转 $r$ (顺时针90度)：
   • $r$ 作用在顶点上是 $1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 4, 4 \to 1$。
   • 那么 $r$ 作用在元素 $\mathbf{1} = \{1,3\}$ 上是什么效果？$r \cdot \{1,3\} = \{r \cdot 1, r \cdot 3\} = \{2, 4\} = \mathbf{2}$。
   • $r$ 作用在元素 $\mathbf{2} = \{2,4\}$ 上是什么效果？$r \cdot \{2,4\} = \{r \cdot 2, r \cdot 4\} = \{3, 1\} = \{1, 3\} = \mathbf{1}$。
   • 所以，$r$ 的作用是交换了 $\mathbf{1}$ 和 $\mathbf{2}$。
   • 对应的置换 $\sigma_r$ 在集合 $A=\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\}$ 上是 $(\mathbf{1} \ \mathbf{2})$。
   • 反射 $s$ (沿1-3对角线)：
   • $s$ 作用在顶点上是 $1 \to 1, 3 \to 3, 2 \to 4, 4 \to 2$。
   • $s$ 作用在元素 $\mathbf{1} = \{1,3\}$ 上：$s \cdot \{1,3\} = \{s \cdot 1, s \cdot 3\} = \{1, 3\} = \mathbf{1}$。
   • $s$ 作用在元素 $\mathbf{2} = \{2,4\}$ 上：$s \cdot \{2,4\} = \{s \cdot 2, s \cdot 4\} = \{4, 2\} = \{2, 4\} = \mathbf{2}$。
   • 所以，$s$ 的作用是让 $\mathbf{1}$ 和 $\mathbf{2}$ 都保持不变。
   • 对应的置换 $\sigma_s$ 在集合 $A=\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\}$ 上是恒等置换。
4. 置换表示
   • 这个作用关联的置换表示是 $\varphi: D_8 \to S_A \cong S_2$。
   • 我们已经知道 $\varphi(r) = (\mathbf{1} \ \mathbf{2})$ 和 $\varphi(s) = id$。

这段话对上一个例子（$D_8$ 作用于对角线对）进行了忠实性和稳定子的分析。

1. 分析忠实性（或不忠实性）
   • 原文：“$D_{8}$ 的这个作用不是忠实的：它的核是 $\left\langle s, r^{2} \right\rangle$。”
   • 判断是否忠实：一个作用忠实 $\iff$ 核为 $\{e\}$。我们需要计算这个作用的核。
   • 核的定义：$G$ 中所有能让 $A$ 中每个元素都保持不变的元素的集合。在这里，$A=\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\}$，其中 $\mathbf{1}=\{1,3\}, \mathbf{2}=\{2,4\}$。
   • 我们要找所有满足 $g \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1}$ 且 $g \cdot \mathbf{2} = \mathbf{2}$ 的 $g \in D_8$。
   • 寻找核中元素：
   • $e$: 肯定在核里。
   • $s$ (沿1-3轴翻转): 我们刚算过，$s \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1}$ 且 $s \cdot \mathbf{2} = \mathbf{2}$。所以 $s$ 在核里。
   • 既然核里有非单位元 $s$，我们立刻可以断定，这个作用不是忠实的。
   • 确定完整的核：
   • $r$ (旋转90度): $r \cdot \mathbf{1} = \mathbf{2} \neq \mathbf{1}$。所以 $r$ 不在核里。
   • $r^2$ (旋转180度): 我们算过，$r^2 \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1}$ 且 $r^2 \cdot \mathbf{2} = \mathbf{2}$。所以 $r^2$ 在核里。
   • $r^3$: $r^3 \cdot \mathbf{1} = \mathbf{2} \neq \mathbf{1}$。不在核里。
   • $sr$: $\sigma_{sr}=(14)(23)$。$sr \cdot \{1,3\} = \{sr(1), sr(3)\} = \{4,2\} = \{2,4\} = \mathbf{2} \ne \mathbf{1}$。不在核里。
   • $sr^2$: 既然 $s$ 和 $r^2$ 都在核里，而核是一个子群，那么它们的乘积 $sr^2$ 也一定在核里。
   • $sr^3$: 不在核里。
   • 核的构成：综上，核包含了 $\{e, s, r^2, sr^2\}$。这四个元素正好构成了由 $s$ 和 $r^2$ 生成的子群 $\langle s, r^2 \rangle$ (这是一个克莱因四元群)。
   • 结论：核是 $\langle s, r^2 \rangle$，它不是 $\{e\}$，所以作用不忠实。
2. 分析稳定子
   • 原文：“此外，对于每个 $a \in A$， $D_{8}$ 中 $a$ 的稳定子与作用的核相同。”
   • 解释：我们需要计算 $A$ 中每个元素的稳定子。$A$ 只有两个元素，$\mathbf{1}$ 和 $\mathbf{2}$。
   • 计算 $G_{\mathbf{1}}$ (稳定子 of $\mathbf{1}$)：
   • $G_{\mathbf{1}}$ 是所有满足 $g \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1}$ 的 $g \in D_8$ 的集合。
   • 我们刚才找核的时候，其实已经把这些元素都找出来了：$e, s, r^2, sr^2$。它们都满足 $g \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1}$。
   • 而 $r, r^3, sr, sr^3$ 都把 $\mathbf{1}$ 变成了 $\mathbf{2}$。
   • 所以，$G_{\mathbf{1}} = \{e, s, r^2, sr^2\} = \langle s, r^2 \rangle$。
   • 计算 $G_{\mathbf{2}}$ (稳定子 of $\mathbf{2}$)：
   • $G_{\mathbf{2}}$ 是所有满足 $g \cdot \mathbf{2} = \mathbf{2}$ 的 $g \in D_8$ 的集合。
   • 我们找核时也发现，$e, s, r^2, sr^2$ 同样满足 $g \cdot \mathbf{2} = \mathbf{2}$。
   • 而 $r, r^3, sr, sr^3$ 都把 $\mathbf{2}$ 变成了 $\mathbf{1}$。
   • 所以，$G_{\mathbf{2}} = \{e, s, r^2, sr^2\} = \langle s, r^2 \rangle$。
   • 结论：对于 $A$ 中所有的元素 $a$（也就是 $\mathbf{1}$ 和 $\mathbf{2}$），它们的稳定子 $G_a$ 都是同一个群 $\langle s, r^2 \rangle$。
   • 稳定子与核的关系：在这种特殊情况下，稳定子恰好就是核。$G_{\mathbf{1}} = G_{\mathbf{2}} = \ker(\varphi)$。
   • 这符合我们之前得到的公式 $\ker(\varphi) = \bigcap_{a \in A} G_a$。因为这里所有的 $G_a$ 都相同，它们的交集自然就是它们自己。

这个例子是一个反例，它告诉我们不是任何群和任何集合都能构成群作用。群作用的定义中有一个隐藏的但至关重要的条件：封闭性。

1. 设定：
   • 群 $G$：仍然是 $D_8$。
   • 新集合 $A$：这次的集合是由“相邻顶点”构成的无序对。
   • 一个元素是 $\{1,2\}$，代表顶点1和2这条边。
   • 另一个元素是 $\{3,4\}$，代表与 $\{1,2\}$ 相对的那条边。
   • 所以 $A = \{ \{1,2\}, \{3,4\} \}$。
2. 检验群作用的公理
   • 群作用的定义要求，对于任何 $g \in G$ 和任何 $a \in A$，其作用结果 $g \cdot a$ 必须仍然是 $A$ 中的一个元素。这被称为作用的封闭性。
   • 让我们来检验这个条件。
3. 寻找反例
   • 我们从集合 $A$ 中选择一个元素，比如 $a = \{1,2\}$。
   • 我们从群 $G$ 中选择一个元素，比如 $g = r$ (顺时针旋转90度)。
   • 现在我们计算作用的结果：
   • $r \cdot a = r \cdot \{1,2\}$
   • 根据作用的定义（作用在集合上等于分别作用在集合的每个元素上），这等于 $\{r \cdot 1, r \cdot 2\}$。
   • 我们知道 $r$ 对顶点的作用是 $r \cdot 1 = 2$ และ $r \cdot 2 = 3$。
   • 所以，$r \cdot \{1,2\} = \{2,3\}$。
   • 关键问题：这个结果 $\{2,3\}$ 在我们定义的集合 $A$ 里面吗？
   • $A = \{ \{1,2\}, \{3,4\} \}$。
   • 显然，$\{2,3\}$ 既不等于 $\{1,2\}$，也不等于 $\{3,4\}$。
   • 所以，$r \cdot \{1,2\} \notin A$。
   • 结论：我们找到了一个 $g \in G$ 和一个 $a \in A$，使得 $g \cdot a$ 的结果“跑出”了集合 $A$。这违反了群作用的封闭性公理。因此，$D_8$ 在这个集合 $A$ 上的“操作”不能构成一个群作用。

这段话建立了一个深刻的对偶关系：不仅“群作用”可以导出“同态”，反过来，“同态”也可以定义一个“群作用”。这说明两者本质上是同一件事的两种不同描述。

1. 视角反转：
   • 正向 (我们之前学的)：群作用 $\xrightarrow{\text{定义}}$ 置换表示同态 $\varphi$。
   • 我们先有一个抽象的规则 g · a，然后从中构造出同态 $\varphi(g) = \sigma_g$ where $\sigma_g(a) = g \cdot a$。
   • 反向 (本段要做的)：置换表示同态 $\varphi$ $\xrightarrow{\text{定义}}$ 群作用。
   • 我们先有一个同态 $\varphi: G \to S_A$，然后用它来定义一个作用 ·。
2. 如何从同态定义作用？
   • 前提：我们已知一个群 $G$，一个非空集合 $A$，以及一个群同态 $\varphi: G \to S_A$。
   • 定义作用 ·：对于任意的 $g \in G$ 和 $a \in A$，我们定义 $g \cdot a$ 的结果如下：
   • 首先，通过同态 $\varphi$，将群元素 $g$ 映射成 $S_A$ 中的一个置换，即 $\varphi(g)$。
   • 然后，将这个置换 $\varphi(g)$（它是一个函数）作用在集合元素 $a$ 上。
   • 所以，定义就是 $g \cdot a = \varphi(g)(a)$。
3. 验证这是否是一个合法的群作用：
   • 我们需要验证这个定义出来的 · 满足群作用的两条公理。
   • 公理1 (结合律)：需要验证 $(g_1 g_2) \cdot a = g_1 \cdot (g_2 \cdot a)$。
   • 左边：$(g_1 g_2) \cdot a = \varphi(g_1 g_2)(a)$ (根据新作用的定义)。
   • 因为 $\varphi$ 是一个同态，所以 $\varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$ (函数复合)。
   • 所以左边 $= (\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))(a) = \varphi(g_1)(\varphi(g_2)(a))$ (函数复合的定义)。
   • 右边：$g_1 \cdot (g_2 \cdot a)$。
   • 先看括号里：$g_2 \cdot a = \varphi(g_2)(a)$。
   • 所以右边 $= g_1 \cdot (\varphi(g_2)(a))$。把 $\varphi(g_2)(a)$ 看作一个新的集合元素，我们再次应用作用的定义：
   • 右边 $= \varphi(g_1)(\varphi(g_2)(a))$。
   • 比较：左边 = 右边。所以公理1成立。这一步的关键是利用了 $\varphi$ 的同态性质。
   • 公理2 (单位元)：需要验证 $e \cdot a = a$ (其中 $e$ 是 $G$ 的单位元)。
   • $e \cdot a = \varphi(e)(a)$ (根据新作用的定义)。
   • 因为 $\varphi$ 是一个同态，它必须把源群的单位元映射到目标群的单位元。$S_A$ 的单位元是恒等置换 $id$。所以 $\varphi(e) = id$。
   • 因此，$e \cdot a = id(a) = a$。
   • 公理2成立。这一步的关键是利用了同态的基本性质。
   • 结论：这个定义出来的 · 确实是一个合法的群作用。
4. 核的等价性：
   • 原文：“此作用的核与 $\operatorname{ker} \varphi$ 相同。”
   • 解释：
   • 新作用的核：$\{g \in G \mid g \cdot a = a \text{ for all } a \in A \}$。
   • 根据新作用的定义，$g \cdot a = \varphi(g)(a)$。
   • 所以，新作用的核是 $\{g \in G \mid \varphi(g)(a) = a \text{ for all } a \in A \}$。
   • $\varphi(g)(a) = a$ 对所有 $a$ 成立，这正是说置换 $\varphi(g)$ 是恒等置换 $id$。
   • 所以，新作用的核是 $\{g \in G \mid \varphi(g) = id\}$。
   • 这恰好就是同态 $\varphi$ 的核的定义。
5. 置换表示的等价性：
   • 原文：“与此作用相关联的置换表示正是给定的同态 $\varphi$。”
   • 解释：我们从这个新作用 · 出发，去构造它关联的置换表示，我们叫它 $\psi$。
   • $\psi$ 的定义是 $\psi(g) = \sigma_g$，其中 $\sigma_g(a) = g \cdot a$。
   • 但我们新作用 · 的定义就是 $g \cdot a = \varphi(g)(a)$。
   • 所以 $\sigma_g(a) = \varphi(g)(a)$ 对所有 $a$ 成立。这意味着 $\sigma_g$ 这个置换和 $\varphi(g)$ 这个置换是同一个函数。
   • 因此，$\psi(g) = \sigma_g = \varphi(g)$ 对所有 $g$ 成立。
   • 这意味着 $\psi$ 和 $\varphi$ 是同一个同态。
   • 这个过程形成了一个完美的闭环，证明了两种视角的等价性。

这是对上一段思想的总结，将其提炼成一个正式的数学命题。

1. 命题的核心内容：
   • 它声明了两个集合之间存在一个双射 (bijection)。
   • 第一个集合：所有可能的“$G$ 在 $A$ 上的群作用”构成的集合。我们称这个集合为 $\mathcal{A}$ (Actions)。集合里的每个元素都是一个作用（一个满足两条公理的 · 运算）。
   • 第二个集合：所有可能的“从 $G$ 到 $S_A$ 的群同态”构成的集合。我们称这个集合为 $\mathcal{H}$ (Homomorphisms)。集合里的每个元素都是一个同态 $\varphi$。
   • 双射：意味着这两个集合的元素可以建立一个一一对应的关系。每个群作用都唯一对应一个同态，反之亦然。
2. 双射的证明思路：
   • 要证明两个集合之间存在双射，我们需要定义一个从一个集合到另一个集合的映射，并证明这个映射既是单射 (injective) 又是满射 (surjective)。
   • 让我们定义一个映射 $F: \mathcal{A} \to \mathcal{H}$。
   • 映射 $F$ 的定义：对于任意一个群作用 · $\in \mathcal{A}$，我们定义 $F(\cdot) = \varphi$，其中 $\varphi$ 是由该作用 · 导出的置换表示同态，即 $\varphi(g)(a) = g \cdot a$。我们在前面已经证明了这样构造出的 $\varphi$ 确实是一个同态，所以这个映射是良定义的。
   • 证明 $F$ 是单射：
   • 我们需要证明，如果两个不同的作用 ·₁ 和 ·₂，它们被 $F$ 映射后会不会变成同一个同态。
   • 假设 $F(\cdot_1) = F(\cdot_2) = \varphi$。这意味着由 ·₁ 导出的同态 $\varphi_1$ 和由 ·₂ 导出的同态 $\varphi_2$ 是同一个同态。
   • $\varphi_1 = \varphi_2$ 意味着 $\varphi_1(g) = \varphi_2(g)$ 对所有 $g \in G$ 成立。
   • 这意味着 $\varphi_1(g)(a) = \varphi_2(g)(a)$ 对所有 $g \in G, a \in A$ 成立。
   • 根据同态的构造方式，这等价于 $g \cdot_1 a = g \cdot_2 a$ 对所有 $g \in G, a \in A$ 成立。
   • 这说明 ·₁ 和 ·₂ 这两个作用的规则是完全一样的。所以 ·₁ = ·₂。
   • 因此，不同的作用必然映射到不同的同态，$F$ 是单射。
   • 证明 $F$ 是满射：
   • 我们需要证明，对于任何一个给定的同态 $\varphi \in \mathcal{H}$，我们能否在 $\mathcal{A}$ 中找到一个作用 ·，使得 $F(\cdot) = \varphi$。
   • 这正是上一段所做的事情！对于任意一个同态 $\varphi: G \to S_A$，我们定义了一个作用 · 为 $g \cdot a = \varphi(g)(a)$。我们还证明了，由这个新作用 · 导出的置换表示同态正好就是 $\varphi$ 本身。
   • 这意味着，我们确实找到了一个源（作用 ·），它被 $F$ 映射到了我们想要的那个目标（同态 $\varphi$）。
   • 因此，$F$ 是满射。
   • 结论：由于映射 $F$ 既是单射又是满射，所以它是一个双射。命题得证。

这段话利用刚刚证明的命题1，对“置换表示”给出了一个更直接、更代数化的定义。

1. 定义的演变：
   • 旧定义 (基于作用)：我们先有一个“群作用”，然后从中导出一个到对称群的同态，并称这个同态为“置换表示”。这个定义的出发点是“作用”。
   • 新定义 (直接定义)：有了命题1，我们知道“作用”和“同态”是一回事。所以我们可以跳过“作用”这个中间步骤，直接定义。
2. 置换表示的新定义：
   • 一个群 $G$ 的置换表示，就是指从 $G$ 到任何一个对称群 $S_A$ 的任何一个群同态 $\varphi: G \to S_A$。
   • 这个定义非常简洁明了。它不再提“作用”是什么，直接将“置换表示”等同于“到对称群的同态”。
3. 术语的连接：
   • 原文：“我们称 $G$ 在 $A$ 上的给定作用产生或诱导 $G$ 的关联置换表示。”
   • 解释：这句是为了将新旧两种说法联系起来，避免混淆。
   • 产生/诱导 (produce/induce)：当我们从一个“作用”出发，构造出那个唯一的与之对应的“同态”时，我们用“产生”或“诱导”这样的动词来描述这个过程。
   • 关联 (associated)：这个同态是与那个作用紧密“关联”的。
   • 所以，虽然新定义直接将置换表示定义为同态，但我们仍然保留了描述“作用”如何“诱导”出“表示”的语言习惯。

这段话通过一个类比，帮助我们更好地理解“置换表示”的本质和作用，即将其与我们在线性代数中非常熟悉的“矩阵表示”进行类比。

1. 核心类比：
   • 置换表示 (在群论中) <--> 矩阵表示 (在线性代数中)
2. 类比的各个对应部分：
   • 抽象对象：
   • 群论中：一个抽象的群 $G$。
   • 线性代数中：一个抽象的线性空间 $V$ 及其上的线性变换 $T: V \to V$。
   • 具体化的“舞台”：
   • 群论中：一个具体的、有限的集合 $A$ (通常是 $\{1, 2, \ldots, n\}$)。
   • 线性代数中：一个具体的、有限维的坐标系 $\mathbb{R}^n$ (或 $\mathbb{C}^n$)。
   • “翻译”工具：
   • 群论中：给集合 $A$ 的 $n$ 个元素进行标记 (labeling)，即指定哪个元素是 "1"，哪个是 "2"，...。这个过程建立了一个从 $A$到 $\{1, \ldots, n\}$ 的双射。
   • 线性代数中：给向量空间 $V$ 选定一组基 (basis)，$\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$。这个过程建立了一个从 $V$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的同构（坐标映射）。
   • 具体化的“表示”：
   • 群论中：一个抽象的群元素 $g \in G$ 被表示为一个具体的置换 $\sigma \in S_n$。
   • 线性代数中：一个抽象的线性变换 $T$ 被表示为一个具体的矩阵 $M \in M_n(\mathbb{R})$。
   • 整体的“表示”：
   • 群论中：整个群 $G$ 通过一个同态 $\varphi: G \to S_n$ 被“表示”出来，这个同态就叫置换表示。
   • 线性代数中：所有线性变换构成的群 $GL(V)$ 通过一个同态 $\psi: GL(V) \to GL_n(\mathbb{R})$ 被“表示”出来，这个同态就叫矩阵表示。
3. 原文解释：
   • “在 $A$ 是一个 $n$ 个元素的有限集合的情况下，我们有 $S_A \cong S_n$”：如果集合 $A$ 里有 $n$ 个元素，那么 $A$ 上的对称群 $S_A$ 和我们熟悉的 $S_n$ (作用于 $\{1, \ldots, n\}$ 的对称群) 是同构的。它们的群结构完全一样。
   • “通过固定 $A$ 元素的一个标记”：这就是选择一个从 $A$ 到 $\{1, \ldots, n\}$ 的一一对应。比如在 $D_8$ 的例子中，我们把四个顶点标记为 1, 2, 3, 4。
   • “我们可以将我们的置换视为群 $S_n$ 的元素”：一旦标记完成，一个作用在 $A$ 上的置换就可以直接写成一个作用在 $\{1, \ldots, n\}$ 上的置换。比如，将顶点 "左上" 映到 "右上" 的操作，在标记后就变成了 $1 \to 2$。
   • “这正是我们在上面例 2 和例 3 中所做的”：回顾例2，我们把 $D_8$ 作用在顶点上，直接写出了 $\sigma_r = (1234)$，这就是将 $D_8$ 的元素表示成了 $S_4$ 的元素。例3也是如此，表示成了 $S_2$ 的元素。
   • “就像固定向量空间的基允许我们将线性变换视为矩阵一样”：这个类比是点睛之笔。它告诉我们，“标记集合元素”在群表示论中的地位，就和“选取基”在线性表示论中的地位一样，都是从抽象到具体所必需的“坐标系设定”步骤。

这一部分是本章第一个核心定理的开始，即轨道-稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)。本段先引入了一个关键的等价关系，并证明了该定理的前半部分。

1. 引言
   • 原文：“我们现在证明一个关于群作用的组合结果...”
   • 解释：这句话预告了接下来要证明的命题2是一个具有“组合”性质的结果，通常意味着它与计数、划分、元素数量有关。同时强调了它的重要性——它是一个基础工具，将在后续章节中被反复应用以推导更深刻的结论（如类方程、Sylow定理）。
2. 定义一个新的关系 $\sim$
   • 原文：“在 $A$ 上定义的关系 $a \sim b \text { 当且仅当 } a=g \cdot b \text { 对于某个 } g \in G$”
   • 解释：
   • 我们在集合 $A$ 的元素之间定义了一个新的关系，用符号 ~ 表示。
   • 我们说元素 $a$ 和 $b$ “相关”（$a \sim b$），如果存在至少一个群里的元素 $g$，能把 $b$ “变成” $a$。
   • 直观理解：$a \sim b$ 意味着 $a$ 和 $b$ 是“一伙的”或“可以互相到达的”。你可以通过群里的某个操作，从 $b$ 出发到达 $a$。
3. 证明 $\sim$ 是一个等价关系
   • 原文：“是一个等价关系。”
   • 解释：要证明一个关系是等价关系 (Equivalence Relation)，必须验证它满足三个性质：自反性 (Reflexivity)、对称性 (Symmetry) 和 传递性 (Transitivity)。
   • 自反性 ($a \sim a$)：
   • 我们需要证明任何元素 $a$ 都与自身相关。
   • 即，是否存在一个 $g \in G$ 使得 $a = g \cdot a$？
   • 是的，存在。群的单位元 $e$ 就满足这个条件。根据群作用公理2，$e \cdot a = a$。
   • 所以，$a \sim a$ 成立。
   • 对称性 (若 $a \sim b$，则 $b \sim a$)：
   • 假设 $a \sim b$，这意味着存在一个 $g \in G$ 使得 $a = g \cdot b$。
   • 我们需要证明，存在一个 $h \in G$ 使得 $b = h \cdot a$。
   • 在 $a = g \cdot b$ 的两边同时用 $g^{-1}$ (g的逆元，一定在G中) 作用：
   • $g^{-1} \cdot a = g^{-1} \cdot (g \cdot b)$
   • 根据群作用公理1 (结合律)，右边等于 $(g^{-1}g) \cdot b = e \cdot b = b$。
   • 所以我们得到 $b = g^{-1} \cdot a$。
   • 我们找到了一个群元素 (就是 $g^{-1}$)，它能把 $a$ 变成 $b$。所以 $b \sim a$ 成立。
   • 传递性 (若 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，则 $a \sim c$)：
   • 假设 $a \sim b$ 且 $b \sim c$。
   • $a \sim b \implies$ 存在 $g \in G$ 使得 $a = g \cdot b$。
   • $b \sim c \implies$ 存在 $h \in G$ 使得 $b = h \cdot c$。
   • 我们需要证明，存在一个 $k \in G$ 使得 $a = k \cdot c$。
   • 将第二个式子代入第一个式子：$a = g \cdot (h \cdot c)$。
   • 根据群作用公理1 (结合律)，右边等于 $(gh) \cdot c$。
   • 因为 $g, h \in G$，所以它们的乘积 $gh$ 也一定在 $G$ 中。
   • 我们找到了一个群元素 (就是 $gh$)，它能把 $c$ 变成 $a$。所以 $a \sim c$ 成立。
   • 结论：由于满足自反、对称、传递性，所以 ~ 是一个合法的等价关系。
4. 等价关系的重要推论
   • 一个集合上的任何等价关系，都会将这个集合划分 (partition) 成若干个不相交的等价类 (equivalence classes)。每个元素属于且仅属于一个等gaoj类。
5. 计算等价类的大小
   • 原文：“对于 $A$ 中的每个 $a$，包含 $a$ 的等价类中的元素数量是 $|G: G_{a}|$，即 $a$ 的稳定子的指数。”
   • 解释：这是定理的核心部分。
   • 等价类：包含 $a$ 的等价类，记作 $\mathcal{O}_a$ (后面会称之为“轨道”)，是集合中所有与 $a$ 相关的元素，即 $\{b \in A \mid b \sim a\}$。根据对称性，这等价于 $\{b \in A \mid a \sim b\}$，也就是 $\{g \cdot a \mid g \in G\}$。
   • 稳定子 $G_a$：我们已经知道这是 $G$ 的一个子群 $\{g \in G \mid g \cdot a = a\}$。
   • 稳定子的指数 $|G: G_a|$：根据拉格朗日定理的推广，这是 $G_a$ 在 $G$ 中左陪集 (left cosets) 的数量。$|G: G_a| = |G| / |G_a|$ (在有限群的情况下)。
   • 命题要证明的是：$|\mathcal{O}_a| = |G: G_a|$。即，能从 $a$ 出发到达的所有不同点的数量，等于 $a$ 的稳定子在群 $G$ 中的陪集数量。
6. 证明 $|\mathcal{O}_a| = |G: G_a|$ (这部分在下一段原文会详细展开，但思路在这里已经点明)
   • 证明这个等式的标准方法是，在两个集合之间建立一个双射 (一一对应)。
   • 第一个集合：等价类 $\mathcal{O}_a = \{g \cdot a \mid g \in G\}$。
   • 第二个集合：$G_a$ 在 $G$ 中的所有左陪集构成的集合，记作 $\{g G_a \mid g \in G\}$。
   • 我们需要构造一个映射 $f: \mathcal{O}_a \to \{g G_a \mid g \in G\}$，并证明它是双射。
   • 下一段原文将要执行这个证明。

这一段是命题2的第一部分——证明 ~ 是等价关系——的详细论证过程。这个过程严格地依赖于群作用的两条公理。

1. 证明自反性 (Reflexivity): $a \sim a$
   • 目标：证明任何元素 $a$ 都与自身相关。
   • 依据：群作用公理2，即 $1 \cdot a = a$ (在一些书中，单位元写为 $e$)。
   • 论证：
   • 我们要证明 $a \sim a$，根据 ~ 的定义，就是要找到一个群元素 $x \in G$ 使得 $a = x \cdot a$。
   • 群 $G$ 中必然存在单位元 $1$ (或 $e$)。
   • 根据群作用公理2，我们知道 $1 \cdot a = a$。
   • 我们找到了这个元素，它就是 $1$。
   • 因此，$a \sim a$ 成立，关系是自反的。
2. 证明对称性 (Symmetry): 如果 $a \sim b$，那么 $b \sim a$
   • 目标：如果 $a$ 能从 $b$ 到达，那么 $b$ 也能从 $a$ 到达。
   • 依据：群的逆元存在性，以及群作用的两条公理。
   • 论证：
   • 假设 $a \sim b$。根据定义，这意味着存在某个 $g \in G$ 使得 $a = g \cdot b$。
   • 目标：我们要证明 $b \sim a$，即要找到某个 $h \in G$ 使得 $b = h \cdot a$。
   • 从等式 $a = g \cdot b$ 出发。因为 $g$ 是群元素，所以它的逆元 $g^{-1}$ 也一定在群 $G$ 中。
   • 用 $g^{-1}$ 从左边作用于等式两边：$g^{-1} \cdot a = g^{-1} \cdot (g \cdot b)$。
   • 关键步骤：应用群作用公理1 (结合律) 于右侧：$g^{-1} \cdot (g \cdot b) = (g^{-1}g) \cdot b$。
   • 在群 $G$ 中，$g^{-1}g = 1$ (单位元)。所以右侧变为 $1 \cdot b$。
   • 关键步骤：应用群作用公理2 (单位元)：$1 \cdot b = b$。
   • 把所有步骤连起来，我们得到了 $b = g^{-1} \cdot a$。
   • 我们找到了要找的那个群元素 $h$，它就是 $g^{-1}$。
   • 因此，$b \sim a$ 成立，关系是对称的。
3. 证明传递性 (Transitivity): 如果 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，那么 $a \sim c$
   • 目标：如果能从 $c$ 到 $b$，又能从 $b$ 到 $a$，那么就能直接从 $c$ 到 $a$。
   • 依据：群的封闭性，以及群作用公理1。
   • 论证：
   • 假设 $a \sim b$ 并且 $b \sim c$。
   • $a \sim b \implies$ 存在某个 $g \in G$ 使得 $a = g \cdot b$。
   • $b \sim c \implies$ 存在某个 $h \in G$ 使得 $b = h \cdot c$。
   • 目标：我们要证明 $a \sim c$，即要找到某个 $k \in G$ 使得 $a = k \cdot c$。
   • 将第二个等式 ($b = h \cdot c$) 代入第一个等式中 $b$ 的位置：$a = g \cdot (h \cdot c)$。
   • 关键步骤：应用群作用公理1 (结合律)：$g \cdot (h \cdot c) = (gh) \cdot c$。
   • 因为 $g \in G$ 且 $h \in G$，根据群的封闭性，它们的乘积 $gh$ 也必然在群 $G$ 中。
   • 我们得到了 $a = (gh) \cdot c$。
   • 我们找到了要找的那个群元素 $k$，它就是 $gh$。
   • 因此，$a \sim c$ 成立，关系是传递的。

这是命题2的第二部分，也是最核心的部分的证明。它要证明等价类的大小等于稳定子的指数，即 $|\mathcal{C}_a| = |G:G_a|$。

1. 证明策略：建立双射 (Bijection)
   • 原文：“我们展示了...之间存在双射。”
   • 解释：这是证明两个集合大小相等的黄金法则。只要能在两个集合之间建立一个一一对应的映射关系，就证明了它们的元素数量相等。
   • 两个目标集合：
   • 集合1：$a$ 的等价类，记作 $\mathcal{C}_a$。它的元素是 $A$ 中的点，形如 $g \cdot a$。
   • 集合2：$G_a$ 在 $G$ 中的左陪集构成的集合。它的元素是 $G$ 的子集，形如 $gG_a$。
2. 定义等价类 $\mathcal{C}_a$
   • 原文：“设 $\mathcal{C}_{a}$ 是 $a$ 的类，所以 $\mathcal{C}_{a}=\{g \cdot a \mid g \in G\}$”
   • 解释：这是对 $a$ 的等价类的正式定义。它包含了所有可以从 $a$ 出发，通过 $G$ 中某个元素 $g$ 的作用而到达的点。后面我们会给它一个更常用的名字：“轨道”（Orbit）。
3. 定义映射
   • 原文：“映射 $b=g \cdot a \mapsto g G_{a}$”
   • 解释：我们来定义一个映射 $f$，从 $\mathcal{C}_a$ 映射到左陪集集合。
   • 映射规则：对于 $\mathcal{C}_a$ 中的任意一个元素 $b$，我们知道它一定可以写成 $g \cdot a$ 的形式（对于某个 $g \in G$）。我们就把这个元素 $b$ 映射到由同一个 $g$ 生成的左陪集 $gG_a$。
   • 即 $f(g \cdot a) = gG_a$。
4. 证明映射是良定义的 (Well-defined) - 这是最关键也最容易被忽略的一步
   • 问题：如果 $\mathcal{C}_a$ 中的一个元素 $b$ 有多种写法呢？比如 $b = g \cdot a$ 并且 $b = h \cdot a$，其中 $g \neq h$。那么 $f(b)$ 应该映射到 $gG_a$ 还是 $hG_a$？如果 $gG_a \neq hG_a$，那这个映射就不是一个合法的函数，因为同一个输入对应了多个输出。
   • 证明：我们需要证明，如果 $g \cdot a = h \cdot a$，那么必然有 $gG_a = hG_a$。
   • 从 $g \cdot a = h \cdot a$ 出发。
   • 两边用 $h^{-1}$ 作用：$h^{-1} \cdot (g \cdot a) = h^{-1} \cdot (h \cdot a)$。
   • 应用结合律和单位元公理，右边变为 $a$。
   • 所以 $(h^{-1}g) \cdot a = a$。
   • 看这个式子！它说明群元素 $h^{-1}g$ 作用在 $a$ 上，保持 $a$ 不变。根据稳定子 $G_a$ 的定义，这意味着 $h^{-1}g \in G_a$。
   • 根据陪集的性质， $h^{-1}g \in G_a$ 正是 $gG_a = hG_a$ 的充分必要条件。
   • 结论：如果两个不同的群元素 $g$ 和 $h$ 产生了同一个轨道点，那么它们必然属于同一个左陪集。因此，我们定义的映射 $f(g \cdot a) = gG_a$ 是良定义的。无论你用哪个 $g$ 来表示 $b$，最终得到的陪集都是同一个。
5. 证明映射是满射的 (Surjective)
   • 原文：“这个映射是满射的，因为对于任何 $g \in G$，元素 $g \cdot a$ 是 $\mathcal{C}_{a}$ 的一个元素。”
   • 解释：我们需要证明，对于目标集合（左陪集集合）中的任意一个元素，我们都能在源集合 ($\mathcal{C}_a$) 中找到一个元素与之对应。
   • 论证：
   • 取一个任意的左陪集 $gG_a$。
   • 我们能找到 $\mathcal{C}_a$ 中的某个点 $b$，使得 $f(b) = gG_a$ 吗？
   • 考虑点 $b = g \cdot a$。根据 $\mathcal{C}_a$ 的定义，这个点一定在 $\mathcal{C}_a$ 中。
   • 根据我们映射 $f$ 的定义，$f(g \cdot a) = gG_a$。
   • 我们找到了！这个点就是 $g \cdot a$。
   • 因此，映射是满射的。
6. 证明映射是单射的 (Injective)
   • 原文：“由于 $g \cdot a=h \cdot a$ 当且仅当 $h^{-1} g \in G_{a}$ 当且仅当 $g G_{a}=h G_{a}$，该映射也是单射的”
   • 解释：我们需要证明，如果两个不同的源元素被映射到了同一个目标元素，那么这两个源元素必须是相同的。即，如果 $f(b_1) = f(b_2)$，则 $b_1=b_2$。
   • 论证：
   • 假设 $f(b_1) = f(b_2)$。
   • 设 $b_1 = g \cdot a$ 且 $b_2 = h \cdot a$。
   • 那么 $f(g \cdot a) = f(h \cdot a)$，根据定义，这意味着 $gG_a = hG_a$。
   • 根据陪集的性质，$gG_a = hG_a \iff h^{-1}g \in G_a$。
   • 根据稳定子 $G_a$ 的定义，$h^{-1}g \in G_a \iff (h^{-1}g) \cdot a = a$。
   • 两边用 $h$ 作用：$h \cdot ((h^{-1}g) \cdot a) = h \cdot a$。
   • 应用结合律等，左边变为 $(hh^{-1}g) \cdot a = g \cdot a$。
   • 所以我们得到 $g \cdot a = h \cdot a$。
   • 这意味着 $b_1 = b_2$。
   • 因此，映射是单射的。
   • 注意：原文的论述更简洁，它直接把“良定义”和“单射”的证明合并了，因为两者依赖的是同一个“当且仅当”的逻辑链：$g \cdot a = h \cdot a \iff gG_a = hG_a$。这个核心等价关系同时保证了映射的良定义性和单射性。
7. 最终结论
   • 既然映射 $f$ 是良定义的、满射的、且单射的，那么它就是一个双射。
   • 在两个集合（$\mathcal{C}_a$ 和左陪集集合）之间存在双射，意味着它们的元素数量相等。
   • $|\mathcal{C}_a| = |\{gG_a \mid g \in G\}|$。
   • 右边正是 $G_a$ 的指数的定义，即 $|G:G_a|$。
   • 证明完成。

这部分正式为命题2中讨论的等价类命名，并基于此定义了一个重要的作用类型——传递作用。

1. 划分的总结
   • 原文：“根据命题 2，作用于集合 $A$ 的群 $G$ 在 $G$ 的作用下将 $A$ 划分为不相交的等价类。”
   • 解释：这是对命题2第一个结论的重申。我们证明了 ~ 是一个等价关系，而任何等价关系都会自然地将它所作用的集合 $A$ 分解成一堆互不相干的子集（即等价类），这些子集的并集恰好是整个集合 $A$。
   • 直观想象：群 $G$ 就像一个筛子，把集合 $A$ 里的元素按照“是否能互相到达”的标准，筛分到不同的篮子里。
2. 定义 (1): 轨道 (Orbit)
   • 原文：“等价类 $\{g \cdot a \mid g \in G\}$ 称为包含 $a$ 的 $G$ 的轨道。”
   • 解释：我们给之前一直称为“等价类 $\mathcal{C}_a$”的东西起了一个更形象、更常用的名字：轨道 (Orbit)。
   • 轨道 $\text{Orb}_G(a)$：包含元素 $a$ 的轨道，就是从 $a$ 出发，在群 $G$ 所有元素的作用下，能够到达的所有点的集合。
   • 为什么叫“轨道”：这个名字来自于天文学。行星在引力（可以看作一种群作用）的作用下，会沿着一个固定的轨迹（轨道）运行。集合 $A$ 中的一个点 $a$，在群 $G$ 的各种“推力”作用下，它能“跑到”的所有位置，构成了它的运动轨迹，即轨道。
   • 所以，命题2的结论现在可以重新表述为：轨道大小等于稳定子指数。$|\text{Orb}_G(a)| = |G:G_a|$。这就是著名的轨道-稳定子定理。
3. 定义 (2): 传递作用 (Transitive Action)
   • 原文：“如果只有一个轨道...则称 $G$ 在 $A$ 上的作用是传递的。”
   • 解释：
   • 只有一个轨道：这意味着整个集合 $A$ 本身就是一个大轨道。不存在被分割开的、互不连通的子集。
   • 等价的描述：“给定任何两个元素 $a, b \in A$，存在某个 $g \in G$ 使得 $a=g \cdot b$”。这正是说 $a \sim b$ 对于任意 $a, b$ 都成立。如果集合中任意两个元素都相互关联，那它们自然都属于同一个等价类。
   • 直观理解：一个作用是传递的，意味着集合 $A$ 中的任何一个点都可以通过群 $G$ 的某个操作，移动到任何另一个点的位置。整个集合是“高度连通”的。
   • “传递”的含义：动词 "transit" 意味着“通过、穿过”。传递作用意味着群 $G$ 的能力足够强，可以“贯穿”整个集合 $A$，在任意两点之间建立通道。

这是对一种最简单、最极端的群作用——平凡作用 (Trivial Action)——的分析。

1. 平凡作用的定义
   • 一个作用是平凡的，如果对于任何群元素 $g \in G$ 和任何集合元素 $a \in A$，都有 $g \cdot a = a$。
   • 换句话说，群里的任何操作都“什么也不做”，所有集合元素都保持原地不动。
   • 在这种情况下，作用的核就是整个群 $G$，因此这是一种极端的不忠实作用 (除非 $G$ 本身就是平凡群 $\{e\}$)。
2. 分析稳定子
   • 原文：“对于所有 $a \in A$， $G_{a}=G$”
   • 解释：
   • 稳定子 $G_a$ 的定义是 $\{g \in G \mid g \cdot a = a\}$。
   • 在平凡作用中，根据定义，所有的 $g \in G$ 都满足 $g \cdot a = a$。
   • 因此，稳定子 $G_a$ 就是整个群 $G$。
   • 这对于集合 $A$ 中任何一个元素 $a$ 都成立。
3. 分析轨道
   • 原文：“并且轨道是 $A$ 的元素。”
   • 解释：
   • 元素 $a$ 的轨道 $\text{Orb}(a)$ 的定义是 $\{g \cdot a \mid g \in G\}$。
   • 在平凡作用中，$g \cdot a = a$ 对所有 $g$ 成立。
   • 所以，无论 $g$ 取遍 $G$ 中所有元素， $g \cdot a$ 的结果永远只有一个，就是 $a$ 本身。
   • 因此，$\text{Orb}(a) = \{a\}$。
   • 这意味着，每个轨道都只包含一个元素，就是它自己。整个集合 $A$ 被划分成了由单个元素组成的“点轨道”。
   • 验证轨道-稳定子定理：$|\text{Orb}(a)|=|\{a\}|=1$。稳定子指数 $|G:G_a| = |G:G| = 1$。两者相等，定理成立。
4. 分析传递性
   • 原文：“当且仅当 $|A|=1$ 时，此作用是传递的。”
   • 解释：
   • 传递作用的定义是整个集合 $A$ 构成一个单一的大轨道。
   • 在平凡作用中，我们已经知道每个轨道都是单元素集合 $\{a\}$。
   • 要让整个集合 $A$ 是一个单一轨道，那么这个轨道必须是 $A$ 本身。
   • 即，$\{a\} = A$。
   • 这种情况只在集合 $A$ 本身就只有一个元素时才会发生。
   • 如果 $|A|=1$，设 $A=\{a\}$。那么轨道 $\text{Orb}(a)=\{a\}=A$。只有一个轨道，所以是传递的。
   • 如果 $|A|>1$，比如 $A=\{a, b, \ldots\}$。那么轨道有多个：$\{a\}$, $\{b\}$, ...。所以不是传递的。
   • 因此，平凡作用是传递的，当且仅当被作用的集合只有一个元素。

这是对例(1)的进一步分析，主要聚焦于其传递性，并从另一个角度验证了轨道-稳定子定理。

1. 回顾设定
   • 群 $G$: $S_n$。
   • 集合 $A$: $\{1, 2, \ldots, n\}$。
   • 作用: 自然作用，$\sigma \cdot i = \sigma(i)$。
2. 证明作用是传递的
   • 原文：“...是传递的。”
   • 解释：要证明作用是传递的，我们需要证明对于集合 $A$ 中任意两个元素 $i$ 和 $j$，存在一个置换 $\sigma \in S_n$ 能够使得 $\sigma(i) = j$。
   • 论证：
   • 给定任意的 $i, j \in \{1, \ldots, n\}$。
   • 情况1: $i=j$。我们找一个 $\sigma$ 使得 $\sigma(i)=i$。恒等置换 $id$ 就满足这个条件。
   • 情况2: $i \neq j$。我们找一个 $\sigma$ 使得 $\sigma(i)=j$。我们可以构造一个非常简单的置换：对换 (transposition) $\sigma = (i \ j)$。
   • 这个置换的作用是交换 $i$ 和 $j$，并保持其他所有元素不变。因此 $\sigma(i) = j$。
   • 因为我们总能找到这样的置换（对换 $(i \ j)$ 肯定在 $S_n$ 里），所以任意两点之间都是“可达”的。
   • 结论：这个作用只有一个轨道，即整个集合 $A$。因此，该作用是传递的。
3. 计算稳定子指数
   • 原文：“请注意， $G$ 中任何点 $i$ 的稳定子在 $S_{n}$ 中的指数为 $n=|A|$。”
   • 解释：这里从代数角度直接计算稳定子的指数 $|G: G_i|$。
   • 在例(1)中，我们已经分析过，任何点 $i$ 的稳定子 $G_i$ 是 $S_n$ 中所有固定 $i$ 的置换构成的子群。
   • 这个子群 $G_i$ 同构于 $S_{n-1}$ (在剩下 $n-1$ 个点上任意排列)。
   • 所以稳定子的大小是 $|G_i| = |S_{n-1}| = (n-1)!$。
   • 群 $G=S_n$ 的大小是 $|G| = |S_n| = n!$。
   • 稳定子的指数是 $|G:G_i| = |G|/|G_i| = n! / (n-1)! = n$。
   • 集合 $A$ 的大小是 $|A|=n$。
   • 所以，稳定子的指数确实是 $n$，等于集合的大小 $|A|$。
4. 与轨道-稳定子定理的联系
   • 我们从两个角度得到了相同的结果：
   • 从轨道角度：因为作用是传递的，所以只有一个轨道，轨道大小是 $|A|=n$。
   • 从稳定子角度：稳定子的指数是 $|G:G_i|=n$。
   • 轨道-稳定子定理说 $|\text{Orb}(i)| = |G:G_i|$。
   • 我们的计算结果是 $n = n$，这完美地验证了该定理。

这个例子探讨了子群的作用，并揭示了作用的性质（如传递性）是如何依赖于作用的群的。

1. 子群的作用
   • 原文：“当群 $G$ 作用于集合 $A$ 时， $G$ 的任何子群也作用于 $A$。”
   • 解释：这是一个普遍事实。如果一个大群 $G$ 能作用于 $A$，这意味着对所有 $g \in G$，作用 g · a 都定义良好且满足公理。如果 $H$ 是 $G$ 的一个子群 ($H \leq G$)，那么 $H$ 的所有元素原本也都在 $G$ 里。因此，用 $H$ 的元素去作用于 $A$，作用的规则和公理自然也都是满足的。这被称为作用的限制 (restriction of the action)。
2. 传递性的丧失
   • 原文：“如果 $G$ 在 $A$ 上是传递的，则 $G$ 的子群不一定在 $A$ 上是传递的。”
   • 解释：这是一个非常重要的警示。大群 $G$ 的能力很强，可以在 $A$ 中任意穿梭（传递）。但它的一个子群 $H$ 可能只包含了一部分能力，可能导致它只能在 $A$ 的某些“局部区域”内活动，从而失去了全局的传递性。
   • 直观理解：一支装备精良的军队（群G）可以到达国家的任何一个角落（传递）。但它的一支地方卫戍部队（子群H）可能只被授权在本省内活动，无法到达其他省份。
3. 一个具体的反例
   • 原文：“例如，如果 $G = \langle (12), (34) \rangle \leq S_{4}$...”
   • 解释：
   • 父群: $S_4$，我们知道它作用于 $\{1,2,3,4\}$ 是传递的。
   • 子群: $G = \langle (12), (34) \rangle$。这个群由两个不相交的对换生成。它的元素有哪些？
   • $id$ (单位元)
   • $(12)$
   • $(34)$
   • $(12)(34)$ (因为 (12) 和 (34) 可交换)
   • 所以 $G = \{id, (12), (34), (12)(34)\}$ (这正是我们之前用过的克莱因四元群)。
   • 集合 $A$: $\{1,2,3,4\}$。
   • 分析轨道:
   • 1的轨道: 从1出发，用 $G$ 的元素作用。
   • $id \cdot 1 = 1$
   • $(12) \cdot 1 = 2$
   • $(34) \cdot 1 = 1$
   • $(12)(34) \cdot 1 = 2$
   • 所以，从1出发只能到达 $\{1,2\}$。 $\text{Orb}_G(1) = \{1,2\}$。
   • 3的轨道: 从3出发。
   • $id \cdot 3 = 3$
   • $(12) \cdot 3 = 3$
   • $(34) \cdot 3 = 4$
   • $(12)(34) \cdot 3 = 4$
   • 所以，从3出发只能到达 $\{3,4\}$。 $\text{Orb}_G(3) = \{3,4\}$。
   • 结论: 集合 $A$ 被划分成了两个轨道 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$。因为轨道数大于1，所以子群 $G$ 的作用不是传递的。原文明确指出，“没有 $G$ 的元素将 2 映射到 3”，因为2和3处于不同的轨道（不同的“连通区域”）。
4. 循环子群的轨道
   • 原文：“下面关于循环分解的讨论表明... $\langle \sigma \rangle$ 的轨道由 $\sigma$ 的循环分解中各个循环中出现的数字集合组成”
   • 解释：这是对一类特殊子群——循环子群 $\langle \sigma \rangle$（由单个置换 $\sigma$ 生成的群）——其轨道结构的深刻洞察。
   • 循环分解: 任何一个置换 $\sigma$ 都可以分解成若干个不相交的循环的乘积。例如 $\sigma = (12)(345)$。
   • 轨道与循环的关系:
   • 当你用 $\sigma$ 和它的幂 $\sigma^2, \sigma^3, \ldots$ 去作用于某个数字时，这个数字只会在它所属的那个小循环内部“打转”。
   • 例如，对于 $\sigma = (12)(345)$：
   • 如果你从 1 开始，$\sigma \cdot 1 = 2$, $\sigma^2 \cdot 1 = \sigma \cdot 2 = 1$。你只能在 $\{1,2\}$ 之间来回。所以 $\text{Orb}_{\langle \sigma \rangle}(1) = \{1,2\}$。
   • 如果你从 3 开始，$\sigma \cdot 3 = 4$, $\sigma^2 \cdot 3 = 5$, $\sigma^3 \cdot 3 = 3$。你只能在 $\{3,4,5\}$ 之间循环。所以 $\text{Orb}_{\langle \sigma \rangle}(3) = \{3,4,5\}$。
   • 结论: $\sigma$ 的循环分解，直接告诉了你 $\langle \sigma \rangle$ 这个循环群作用下的轨道划分。每个不相交循环就是一个轨道。
   • 这个结论非常强大，它将一个代数对象（置换的循环结构）和一个群作用的几何概念（轨道）直接等同了起来。

这是对例(2)——$D_8$ 作用于顶点——的性质总结，并明确计算了指数。

1. 传递性回顾
   • 原文：“群 $D_{8}$ 在正方形的四个顶点上是传递作用”
   • 解释：我们在前面的例子中已经验证过这一点。
   • 几何直觉: 通过旋转操作，我们可以把任何一个顶点转到任何一个位置。例如，要从顶点1到顶点3，只需旋转180度 ($r^2$)。要从顶点1到顶点4，只需旋转270度 ($r^3$)。
   • 代数证明: 对于任意两个顶点 $i,j$，我们总能找到一个 $g \in D_8$ 使得 $g \cdot i = j$。
   • 因为整个集合 $\{1,2,3,4\}$ 构成一个单一的轨道，所以作用是传递的。
2. 稳定子回顾
   • 原文：“任何顶点的稳定子是关于通过该点的对称线的反射所生成的 2 阶子群”
   • 解释：我们也在例(2)的分析中计算过。
   • 稳定子 $G_1$: 固定顶点1的操作是“不动”($e$)和“沿1-3对角线反射”($s$)。所以 $G_1 = \{e,s\} = \langle s \rangle$。这是一个由反射 $s$ 生成的2阶子群。
   • 稳定子 $G_2$: 固定顶点2的操作是“不动”($e$)和“沿垂直中线反射”（操作是 $sr$ 还是 $sr^3$？ $sr$ 作用于 $2=r(1)$ 得到 $s(r(r(1)))=s(r^2(1))=s(3)=3 \ne 2$。应该是 $sr^3$。 $sr^3(2)=sr^3(r(1))=s(r^4(1))=s(1)=1 \ne 2$。 不对，让我们重新检查。几何上，固定2的反射轴是2-4对角线，我们之前算出是 $sr^2$。所以 $G_2 = \{e, sr^2\}$）。
   • 原文的描述“通过该点的对称线的反射”是准确的几何描述。对于顶点1，这条线是1-3对角线；对于顶点2，这条线是2-4对角线。
   • 所有这些稳定子都是由一个反射（这是一个2阶元素）生成的，因此它们都是2阶子群。
3. 计算指数
   • 原文：“（指数为 4）”
   • 解释：这里直接给出了稳定子指数的计算结果。
   • 计算：
   • 群的大小：$|G| = |D_8| = 8$。
   • 任何一个稳定子的大小都是2，例如 $|G_1|=2$。
   • 指数的定义：$|G:G_1| = |G|/|G_1| = 8/2 = 4$。
   • 与轨道-稳定子定理验证：
   • 轨道大小：因为作用是传递的，轨道就是整个集合 $\{1,2,3,4\}$，大小为4。
   • 稳定子指数：计算得4。
   • 轨道大小(4) = 稳定子指数(4)。定理再次得到验证。

这是对例(3)——$D_8$ 作用于对角线对——的性质总结。

1. 回顾设定
   • 群 $G$: $D_8$。
   • 集合 $A$: $\{\{1,3\}, \{2,4\}\}$。我们记作 $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\}$。
2. 分析传递性
   • 原文：“...是传递作用。”
   • 解释：我们需要证明集合 $A$ 中任意两点都是相互可达的。
   • 论证：$A$ 只有两个元素，$\mathbf{1}$ 和 $\mathbf{2}$。我们需要证明存在一个 $g \in D_8$ 能把 $\mathbf{1}$ 变成 $\mathbf{2}$。
   • 我们之前在例(3)中已经算过：旋转 $r$ (90度) 的作用是 $r \cdot \mathbf{1} = r \cdot \{1,3\} = \{2,4\} = \mathbf{2}$。
   • 我们找到了这样的 $g$ (就是 $r$)。
   • 因此，这个作用是传递的。整个集合 $A$ 构成一个单一轨道。
3. 分析稳定子
   • 原文：“任何点的稳定子是 $\left\langle s, r^{2} \right\rangle$”
   • 解释：我们在例(3)的后续分析中也已经计算过。
   • 稳定子 $G_{\mathbf{1}}$: 固定对角线对 $\mathbf{1}=\{1,3\}$ 的所有操作。
   • 我们发现 $e, s, r^2, sr^2$ 都固定 $\mathbf{1}$。
   • 所以 $G_{\mathbf{1}} = \{e, s, r^2, sr^2\} = \langle s, r^2 \rangle$。这是一个4阶子群。
   • 稳定子 $G_{\mathbf{2}}$: 固定对角线对 $\mathbf{2}=\{2,4\}$ 的所有操作。
   • 同样可以算出 $G_{\mathbf{2}} = \langle s, r^2 \rangle$。
   • 所以，任何一个“点”（这里指一个对角线对）的稳定子都是同一个4阶子群 $\langle s, r^2 \rangle$。
4. 计算指数
   • 原文：“（其指数为 2）”
   • 解释：
   • 群的大小：$|G| = |D_8| = 8$。
   • 稳定子的大小：$|G_{\mathbf{1}}| = |\langle s, r^2 \rangle| = 4$。
   • 指数：$|G:G_{\mathbf{1}}| = |G|/|G_{\mathbf{1}}| = 8/4 = 2$。
5. 与轨道-稳定子定理验证
   • 轨道大小: 作用是传递的，轨道就是整个集合 $A=\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\}$，大小为2。
   • 稳定子指数: 计算得2。
   • 轨道大小(2) = 稳定子指数(2)。定理再次得到完美验证。

这是本节的核心应用部分：利用群作用的理论来严格证明任何置换都可以唯一地分解为不相交的循环。这一段是证明的开端，它建立了证明的框架。

1. 证明目标
   • 原文：“我们现在证明对称群 $S_{n}$ 的每个元素都有...唯一循环分解。”
   • 解释：目标是证明两件事：
2. 存在性 (Existence)：任何一个置换 $\sigma \in S_n$ 都可以写成一堆互不相交的循环的乘积。
3. 唯一性 (Uniqueness)：这种分解方式，在不考虑循环的书写顺序以及每个循环内部起始元素的情况下，是唯一的。
4. 证明的设置
   • 原文：“设 $A=\{1,2, \ldots, n\}$，设 $\sigma$ 是 $S_{n}$ 的一个元素，设 $G=\langle \sigma \rangle$。”
   • 解释：
   • 我们从 $S_n$ 中任意取一个置换 $\sigma$。
   • 我们不让整个 $S_n$ 群作用，而是只考虑由 $\sigma$ 单独生成的那个循环子群 $G = \langle \sigma \rangle = \{id, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \ldots, \sigma^{k-1}\}$ (其中 $k$ 是 $\sigma$ 的阶)。
   • 让这个小小的循环子群 $G = \langle \sigma \rangle$ 作用在集合 $A=\{1,2,\ldots,n\}$ 上。作用的规则仍然是自然作用，即 $\sigma^i \cdot x = \sigma^i(x)$。
5. 应用命题2：轨道的划分
   • 原文：“那么 $\langle \sigma \rangle$ 作用于 $A$，因此根据命题 2，它将 $\{1,2, \ldots, n\}$ 划分为唯一的（不相交的）轨道集合。”
   • 解释：这是证明的第一步，也是最关键的一步。
   • 我们建立了一个群作用（$\langle \sigma \rangle$ 作用于 $A$）。
   • 根据命题2，这个作用会把集合 $A$ 划分成一堆互不相交的轨道。
   • 这个划分是唯一的，因为等价关系 ~ 是唯一确定的。
   • 核心思想：我们将要证明，每一个这样的“轨道”，就对应了循环分解中的一个“循环”。
6. 分析单个轨道
   • 原文：“设 $\mathcal{O}$ 是这些轨道之一，设 $x \in \mathcal{O}$。”
   • 解释：我们现在把注意力集中在其中任意一个轨道 $\mathcal{O}$ 上，并从这个轨道里随便选一个起始元素 $x$。
   • 根据轨道的定义，$\mathcal{O} = \{g \cdot x \mid g \in \langle \sigma \rangle\} = \{\sigma^i(x) \mid i \in \mathbb{Z}\}$。
   • 轨道 $\mathcal{O}$ 里的所有元素就是从 $x$ 出发，通过反复被 $\sigma$ 作用能到达的所有点。
7. 重用命题2的证明细节
   • 原文：“根据应用于 $A=\mathcal{O}$ 的命题 2（的证明），我们看到 $G_{x}$ 在 $G$ 中的左陪集与 $\mathcal{O}$ 的元素之间存在双射，明确地由 $\sigma^{i} x \mapsto \sigma^{i} G_{x}$ 。”
   • 解释：
   • 这里作者巧妙地再次引用了命题2的证明。命题2的证明建立了一个从轨道到陪集的双射。
   • 我们现在把这个双射具体写出来。
   • 轨道 $\mathcal{O}$ 的元素都可以写成 $\sigma^i \cdot x$ 的形式。
   • 这个双射就是把轨道中的元素 $\sigma^i \cdot x$ 映射到稳定子 $G_x$ 的一个左陪集 $\sigma^i G_x$。
   • $G$ 就是 $\langle \sigma \rangle$， $G_x$ 是 $x$ 在 $\langle \sigma \rangle$ 中的稳定子，即 $\{\sigma^j \in \langle \sigma \rangle \mid \sigma^j(x) = x\}$。
   • 这个双射关系 $f: \mathcal{O} \to \{\text{陪集}\}$，$f(\sigma^i(x)) = \sigma^i G_x$，是我们分析轨道结构的关键。

这一段是证明的核心部分，它揭示了轨道内部的结构就是一个循环。

1. 利用循环群的性质
   • 原文：“由于 $G$ 是循环群，$G_{x} \unlhd G$ 且 $G / G_{x}$ 是 $d$ 阶循环群...”
   • 解释：
   • 我们正在研究的群 $G = \langle \sigma \rangle$ 是一个循环群。
   • 循环群有一个非常好的性质：它的所有子群都是正规子群。
   • $G_x$ (稳定子) 是 $G$ 的一个子群，所以 $G_x$ 必然是 $G$ 的正规子群 ($G_x \unlhd G$)。
   • 既然 $G_x$ 是正规子群，我们就可以构造商群 $G/G_x$。
   • 循环群的商群也必然是循环群。
   • 这个商群的阶 $d = |G/G_x|$。根据拉格朗日定理，它也等于指数 $|G:G_x|$。
   • 商群 $G/G_x$ 的阶 $d$，根据循环群子群的理论，是满足 $\sigma^d \in G
   • 连接轨道大小：我们刚刚证明了命题2，即 $|G:G_x| = |\mathcal{O}|$。因此，商群的阶 $d$ 正好等于轨道 $\mathcal{O}$ 的大小。
   • d 的含义：$d$ 是使得 $\sigma^d \in G_x$ 的最小正整数。根据稳定子 $G_x$ 的定义，这等价于 $\sigma^d(x) = x$。换句话说，$d$ 是从 $x$ 出发，需要被 $\sigma$ 作用多少次才能第一次回到 $x$ 的次数。这正是包含 $x$ 的循环的长度！
2. 列出所有的陪集
   • 原文：“因此，$G_{x}$ 在 $G$ 中的不同陪集是 $1 G_{x}, \sigma G_{x}, \sigma^{2} G_{x}, \ldots, \sigma^{d-1} G_{x}$”
   • 解释：
   • 我们知道商群 $G/G_x$ 是一个 $d$ 阶循环群。
   • 它的生成元是 $\sigma G_x$ (这是商群中的一个元素，即一个陪集)。
   • 一个 $d$ 阶循环群的所有元素就是其生成元的 $0, 1, 2, \ldots, d-1$ 次幂。
   • 所以，$G/G_x$ 的所有元素是：
   • $(\sigma G_x)^0 = 1 G_x$
   • $(\sigma G_x)^1 = \sigma G_x$
   • $(\sigma G_x)^2 = \sigma^2 G_x$
   • ...
   • $(\sigma G_x)^{d-1} = \sigma^{d-1} G_x$
   • 这正好给出了 $G_x$ 在 $G$ 中的所有 $d$ 个不同的左陪集。
3. 列出轨道中的所有元素
   • 原文：“这表明 $\mathcal{O}$ 的不同元素是 $x, \sigma(x), \sigma^{2}(x), \ldots, \sigma^{d-1}(x)$”
   • 解释：
   • 在上一段中，我们建立了一个从陪集到轨道元素的双射（一一对应）：$\sigma^i G_x \longleftrightarrow \sigma^i(x)$。
   • 既然我们已经完整地列出了所有不同的陪集，我们就可以通过这个双射关系，相应地列出轨道 $\mathcal{O}$ 中所有不同的元素。
   • 陪集 $1 G_x$ 对应轨道元素 $1 \cdot x = x$。
   • 陪集 $\sigma G_x$ 对应轨道元素 $\sigma(x)$。
   • 陪集 $\sigma^2 G_x$ 对应轨道元素 $\sigma^2(x)$。
   • ...
   • 陪集 $\sigma^{d-1} G_x$ 对应轨道元素 $\sigma^{d-1}(x)$。
   • 这 $d$ 个元素，就是轨道 $\mathcal{O}$ 的全部内容。
4. 证明轨道是一个循环
   • 原文：“以这种方式排列 $\mathcal{O}$ 的元素表明 $\sigma$ 循环 $\mathcal{O}$ 的元素，也就是说，在一个大小为 $d$ 的轨道上， $\sigma$ 作用为一个 $d$-循环。”
   • 解释：我们来看看置换 $\sigma$ 是如何作用于我们刚刚列出的轨道元素的：
   • $\sigma$ 作用于第一个元素 $x$，得到 $\sigma(x)$，即列表中的第二个元素。
   • $\sigma$ 作用于第二个元素 $\sigma(x)$，得到 $\sigma(\sigma(x)) = \sigma^2(x)$，即列表中的第三个元素。
   • ...
   • $\sigma$ 作用于倒数第二个元素 $\sigma^{d-2}(x)$，得到 $\sigma^{d-1}(x)$，即列表中的最后一个元素。
   • $\sigma$ 作用于最后一个元素 $\sigma^{d-1}(x)$，得到 $\sigma^d(x)$。而我们知道，$d$ 是满足 $\sigma^d(x)=x$ 的最小正整数。所以，它回到了列表的第一个元素 $x$。
   • 结论：这个过程 $x \to \sigma(x) \to \sigma^2(x) \to \ldots \to \sigma^{d-1}(x) \to x$ 清楚地表明，置换 $\sigma$ 在轨道 $\mathcal{O}$ 这个子集上的作用，和一个 $d$-循环 $(x \ \sigma(x) \ \sigma^2(x) \ \ldots \ \sigma^{d-1}(x))$ 的作用是完全一样的。
5. 证明存在性
   • 原文：“这证明了 $S_{n}$ 中每个 $\sigma$ 的循环分解的存在性。”
   • 解释：
   • 我们从任意一个置换 $\sigma$ 出发。
   • 我们让子群 $\langle \sigma \rangle$ 作用于集合 $A=\{1, \ldots, n\}$。
   • 这个作用将集合 $A$ 唯一地划分成了若干个不相交的轨道。
   • 我们刚刚证明了，在每一个这样的轨道上，$\sigma$ 的作用等同于一个循环。
   • 因为这些轨道是不相交的，所以它们对应的循环所涉及的数字集合也是不相交的。
   • 因此，置换 $\sigma$ 在整个集合 $A$ 上的整体效果，就等于这些互不相交的循环的乘积。
   • 这就证明了任何置换 $\sigma$ 都存在一个不相交循环的分解。

这一段接着证明循环分解的第二部分：唯一性 (Uniqueness)。

1. 轨道的唯一性
   • 原文：“$\langle \sigma \rangle$ 的轨道由 $\sigma$ 唯一确定。”
   • 解释：对于一个给定的置换 $\sigma$，它生成的循环子群 $\langle \sigma \rangle$ 是确定的。这个群作用于集合 $A$ 所产生的等价关系 ~ 也是唯一确定的。因此，这个等价关系对集合 $A$ 的划分（即轨道的集合）也是绝对唯一的。
   • 例如，对于 $\sigma=(12)(345)$，作用在 $\{1,2,3,4,5\}$ 上，划分出的轨道永远是 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4,5\}$ 这两个集合，不可能划分出别的组合。
2. 表示的自由度
   • 既然轨道（即构成循环的数字集合）是唯一的，那么分解的“不唯一”体现在哪里呢？体现在我们如何书写这些循环。
   • 自由度1：循环的顺序
   • 原文：“唯一的自由度是轨道列表的顺序。”
   • 解释：我们把 $\sigma$ 写成 $(12)(345)$ 还是 $(345)(12)$？因为不相交的循环是可交换的，所以这两种写法代表的是同一个置换。因此，循环分解的唯一性，要“在循环的重新排列方面”来看，即不关心这些循环的书写顺序。
   • 自由度2：循环内部的起始点
   • 原文：“在每个轨道 $\mathcal{O}$ 中，我们可以选择任何元素作为代表。”
   • 解释：在上一段证明中，为了写出轨道 $\mathcal{O}$ 对应的循环，我们从轨道里“随便”选了一个元素 $x$ 作为起点，写出了循环 $(x \ \sigma(x) \ \ldots)$。如果当初我们不选 $x$，而是选了轨道里的另一个元素，比如 $y = \sigma^i(x)$，作为起点，写出来的循环会是什么样呢？
   • 原文：“选择 $\sigma^{i}(x)$ 而不是 $x$ 作为初始代表只会按以下顺序产生 $\mathcal{O}$ 的元素...”
   • 推导：如果我们从 $y=\sigma^i(x)$ 开始，那么循环的元素依次是：
   • $y = \sigma^i(x)$
   • $\sigma(y) = \sigma(\sigma^i(x)) = \sigma^{i+1}(x)$
   • ...
   • $\sigma^{d-1-i}(y) = \sigma^{d-1}(x)$
   • $\sigma^{d-i}(y) = \sigma^d(x) = x$
   • $\sigma^{d-i+1}(y) = \sigma(x)$
   • ...
   • $\sigma^{d-1}(y) = \sigma^{i-1}(x)$
   • 这个新的列表，就是原文给出的那个序列。
   • 原文：“这是原始列表的循环置换（向前 $i-1$ 项）。”
   • 解释：比较新列表 $(\sigma^i(x), \sigma^{i+1}(x), \ldots)$ 和旧列表 $(x, \sigma(x), \ldots)$。新列表只是把旧列表的后半部分提到了前面，这正是循环表示法中允许的写法。
   • 例如，对于轨道 $\{1,2,3\}$，从1开始写是 $(123)$。如果从2开始写，得到的是 $(231)$。如果从3开始写，得到的是 $(312)$。这三个写法 $(123), (231), (312)$ 代表的是同一个3-循环。
   • 因此，循环分解的唯一性，也要“在每个循环中整数的循环置换方面”来看，即不关心每个循环是从哪个数字开始写的。
3. 唯一性的最终结论
   • 原文：“因此，上述循环分解在循环的重新排列和每个循环中整数的循环置换方面是唯一的。”
   • 解释：综合以上两点自由度，我们得出了唯一性的精确定义。对于任何一个置换 $\sigma$，都能分解成一串不相交的循环。这个分解是唯一的，其含义是：
4. 分解出的循环集合（即每个循环包含哪些数字）是独一无二的。
5. 在书写时，这些循环的前后顺序可以任意调换。
6. 在书写每个循环时，可以从循环中的任意一个数字开始。

这段话是术语的定义和澄清，为后续的讨论设定了简洁的语言习惯。

1. 置换群 (Permutation Group)
   • 原文：“对称群的子群称为置换群。”
   • 解释：这是一个定义。
   • 对称群 $S_A$ 是集合 $A$ 上所有置换构成的群。
   • 任何一个子群 $H \leq S_A$，都被称为一个置换群。
   • 意义：这个术语强调了这个群的“血统”和“功能”。它的元素就是一些具体的置换（函数），它的运算就是函数复合。例如，$D_8$ 本身是一个抽象的对称群，但当我们将它表示为 $S_4$ 的一个子群时（如例2），这个子群就成为一个置换群。凯莱定理表明，任何群都可以被看作（同构于）一个置换群。
2. 子群的轨道的简称
   • 原文：“对于 $S_{n}$ 的任何子群 $G$， $G$ 的轨道将指其在 $\{1,2, \ldots, n\}$ 上的轨道。”
   • 解释：这是一个语言上的简化约定。
   • 完整的说法是：“子群 $G \leq S_n$ 通过自然作用作用于集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 所产生的轨道”。
   • 为了简洁，以后当我们说“置换群 $G$ 的轨道”时，就默认指的是它在标准集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上的轨道，无需再赘述作用的细节。
3. 单个元素轨道的简称
   • 原文：“$S_{n}$ 中元素 $\sigma$ 的轨道将指群 $\langle \sigma \rangle$ 的轨道...”
   • 解释：这是另一个更重要的语言简化。
   • 一个单独的元素 $\sigma$ 本身不是一个群，不能直接“作用”并产生轨道。
   • 能产生轨道的是由它生成的循环子群 $\langle \sigma \rangle$。
   • 所以，以后当我们说“置换 $\sigma$ 的轨道”时，我们实际上指的是“循环子群 $\langle \sigma \rangle$ 在 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上的轨道”。
   • 原文：“（即其循环分解中构成循环的整数集合）”
   • 解释：这进一步把这个简称和我们刚刚证明的结论联系起来。我们已经证明了，$\langle \sigma \rangle$ 的轨道，不多不少，正好就是 $\sigma$ 的不相交循环分解中，每个循环所包含的数字集合。
   • 这个联系非常重要，它使得我们可以通过观察一个置换的循环分解，直接读出它的轨道。

这句话是练习题部分的引言。

1. 目的：它指出了接下来练习题的核心目标——不仅仅是机械地计算，而是要通过这些练习来体会和掌握一个核心技能。
2. 核心技能：从置换表示中获取群论信息。
   • 置换表示：即群作用的具体表现形式，如同态 $\varphi: G \to S_A$。
   • 群论信息：关于群 $G$ 本身的结构和性质。例如：
   • $G$ 的阶、子群、正规子群。
   • $G$ 是否为阿贝尔群、循环群。
   • $G$ 的中心、元素的阶。
   • $G$ 与其他群的关系（同构、同态）。
3. 如何获取信息：习题将引导我们通过分析轨道、稳定子、核、传递性、本原性等作用的性质，来反推群 $G$ 的内在属性。这是一种“由外而内”的探究方法，通过观察群的“外部行为”（作用）来理解其“内部结构”。

这道题要求证明和推导关于稳定子和核的重要性质。

第一部分：证明稳定子的共轭关系 $G_{b}=g G_{a} g^{-1}$

1. 理解题目：
   • 前提: $a$ 和 $b$ 在同一个轨道里，并且 $b$ 是由 $g$ 作用于 $a$ 得到的。
   • 目标: 证明 $b$ 的稳定子 $G_b$ 和 $a$ 的稳定子 $G_a$ 是共轭的。$gG_ag^{-1}$ 是 $G_a$ 被 $g$ 共轭后得到的子群。
   • 共轭子群的定义: $gG_ag^{-1} = \{g h g^{-1} \mid h \in G_a\}$。
   • 证明两个集合相等：需要证明 $G_b \subseteq gG_ag^{-1}$ 和 $gG_ag^{-1} \subseteq G_b$。
2. 证明 $g G_{a} g^{-1} \subseteq G_{b}$：
   • 取任意一个元素 $x \in gG_ag^{-1}$。根据定义，$x$ 可以写成 $ghg^{-1}$ 的形式，其中 $h \in G_a$。
   • 我们要证明 $x \in G_b$，即证明 $x \cdot b = b$。
   • 开始计算：$x \cdot b = (ghg^{-1}) \cdot b$。
   • 将 $b=g \cdot a$ 代入：$x \cdot b = (ghg^{-1}) \cdot (g \cdot a)$。
   • 反复应用结合律：$= g \cdot h \cdot g^{-1} \cdot g \cdot a = g \cdot h \cdot (g^{-1}g) \cdot a = g \cdot h \cdot 1 \cdot a = g \cdot (h \cdot a)$。
   • 因为 $h \in G_a$ (a的稳定子)，所以 $h \cdot a = a$。
   • 代入得到：$x \cdot b = g \cdot a$。
   • 而我们已知 $g \cdot a = b$。
   • 所以，$x \cdot b = b$。证明完毕。
3. 证明 $G_{b} \subseteq g G_{a} g^{-1}$：
   • 取任意一个元素 $y \in G_b$。这意味着 $y \cdot b = b$。
   • 我们要证明 $y \in gG_ag^{-1}$，即证明 $y$ 可以被写成 $ghg^{-1}$ 的形式，其中 $h \in G_a$。
   • 这等价于证明 $g^{-1}yg \in G_a$。
   • 要证明 $g^{-1}yg \in G_a$，我们需要证明 $(g^{-1}yg) \cdot a = a$。
   • 开始计算：$(g^{-1}yg) \cdot a$。
   • 从已知条件 $y \cdot b = b$ 出发，将 $b=g \cdot a$ 代入：$y \cdot (g \cdot a) = g \cdot a$。
   • 两边用 $g^{-1}$ 作用：$g^{-1} \cdot (y \cdot (g \cdot a)) = g^{-1} \cdot (g \cdot a) = a$。
   • 对左边应用结合律：$(g^{-1}y) \cdot (g \cdot a) = a \implies (g^{-1}yg) \cdot a = a$。
   • 证明完毕。
4. 结论：在同一个轨道中的两个点，它们的稳定子子群是相互共轭的。这意味着它们在代数结构上是完全一样的（同构），只是在群 $G$ 中的“位置”不同。

第二部分：推断传递作用下核的公式

1. 理解题目:
   • 前提: 作用是传递的。
   • 目标: 证明作用的核是 $\bigcap_{g \in G} g G_{a} g^{-1}$。
2. 推导过程:
   • 我们已经知道，作用的核是所有稳定子的交集：$\text{ker} = \bigcap_{b \in A} G_b$。
   • 因为作用是传递的，所以对于集合 $A$ 中的任何一个元素 $b$，都存在一个 $g \in G$ 使得 $b = g \cdot a$ (这里的 $a$ 是我们随便选定的一个参考点)。
   • 这意味着，当 $b$ 取遍 $A$ 中所有元素时，其稳定子 $G_b$ 取遍了所有形如 $G_{g \cdot a}$ 的子群。
   • 根据本题第一部分的结论，$G_{g \cdot a} = gG_ag^{-1}$。
   • 所以，当我们取遍所有 $b \in A$ 时，我们实际上就取遍了所有 $gG_ag^{-1}$ 形式的共轭子群（其中 $g$ 取遍 $G$）。
   • 因此，所有稳定子的交集 $\bigcap_{b \in A} G_b$ 就等于所有 $G_a$ 的共轭子群的交集 $\bigcap_{g \in G} g G_{a} g^{-1}$。
   • 结论：$\text{ker} = \bigcap_{g \in G} g G_{a} g^{-1}$。这个交集在群论中被称为 $G_a$ 在 $G$ 中的核 (core)，是包含在 $G_a$ 中的最大的正规子群。

这道题是上一题在置换群这个具体情境下的直接应用和推论。

第一部分：证明 $\sigma G_{a} \sigma^{-1}=G_{\sigma(a)}$

1. 理解题目：
   • 设定: $G$ 是一个置换群，作用在 $A$ 上。作用的规则是自然作用 $\sigma \cdot a = \sigma(a)$。
   • 目标: 证明稳定子的共轭关系。这个表达式和上一题的 $G_b = gG_ag^{-1}$ 本质上是一样的。
2. 应用上一题的结论:
   • 在上一题中，我们证明了如果 $b = g \cdot a$，则 $G_b = gG_ag^{-1}$。
   • 在本题的设定中，群元素是置换 $\sigma$，作用是 $\sigma \cdot a = \sigma(a)$。
   • 我们令 $b = \sigma(a)$，这可以写成 $b = \sigma \cdot a$。
   • 将 $g=\sigma$ 和 $b=\sigma(a)$ 代入上一题的结论 $G_b = gG_ag^{-1}$，我们直接得到 $G_{\sigma(a)} = \sigma G_a \sigma^{-1}$。
   • 证明完成。这说明本题的第一部分只是上一题结论在置换群语言下的重新表述。

第二部分：推断传递作用下核为1

1. 理解题目:
   • 前提: $G \leq S_A$ 是一个传递的置换群。
   • 目标: 证明 $\bigcap_{\sigma \in G} \sigma G_{a} \sigma^{-1}=1$。这里的 $1$ 指的是平凡子群，即只包含单位元（恒等置换）的子群。
2. 推导过程:
   • 置换群的作用是忠实的：一个置换群 $G \leq S_A$ 作用于 $A$，其关联的置换表示 $\varphi: G \to S_A$ 就是一个包含映射 (inclusion map)，即 $\varphi(\sigma) = \sigma$。包含映射是单射的，所以这个作用是忠实的。
   • 忠实作用的核为1: 根据忠实作用的定义，其核只包含单位元。所以 $\text{ker}(\varphi) = \{1\}$。
   • 应用上一题的推论: 在上一题中，我们推断出，对于传递作用，其核等于 $\bigcap_{g \in G} g G_{a} g^{-1}$。
   • 结合两者:
   • 我们有 $\text{ker}(\varphi) = \{1\}$ （因为是置换群，作用忠实）。
   • 我们有 $\text{ker}(\varphi) = \bigcap_{\sigma \in G} \sigma G_{a} \sigma^{-1}$ （因为作用传递）。
   • 将两者等同起来，我们就得到了 $\bigcap_{\sigma \in G} \sigma G_{a} \sigma^{-1} = \{1\}$。这里的 $\{1\}$ 通常简写为 $1$。

这道题要求我们结合“阿贝尔群”和“传递作用”这两个条件，推导出一个关于群的阶的惊人结论。

第一部分：证明 $\sigma(a) \neq a$ 对于非单位元 $\sigma$

1. 理解题目:
   • 前提1: $G$ 是一个置换群 ($G \leq S_A$)。
   • 前提2: $G$ 是阿贝尔群（交换群），即对于任意 $\tau, \rho \in G$，都有 $\tau\rho = \rho\tau$。
   • 前提3: $G$ 在 $A$ 上的作用是传递的。
   • 目标: 证明对于任何非单位元的置换 $\sigma \in G$，它必然会移动 $A$ 中的所有点，即它没有任何固定点。
2. 证明思路: 我们使用反证法。假设存在一个非单位元 $\sigma \in G$ 和一个点 $a \in A$ 使得 $\sigma(a)=a$。然后从这个假设导出矛盾。
   • 假设: 存在 $\sigma \in G, \sigma \neq 1$ 和 $a \in A$ 使得 $\sigma(a)=a$。
   • $\sigma(a)=a$ 这个条件意味着 $\sigma$ 在稳定子 $G_a$ 中，即 $\sigma \in G_a$。
   • 现在我们利用阿贝尔性。对于任何一个 $\tau \in G$，我们有 $\sigma \tau = \tau \sigma$。
   • 我们来看看 $\sigma$ 如何作用于 $A$ 中的其他点。因为作用是传递的，所以 $A$ 中的任何一个点 $b$ 都可以写成 $b = \tau(a)$ 的形式，其中 $\tau$ 是某个 $G$ 中的元素。
   • 计算 $\sigma$ 作用在任意点 $b$ 上的结果：
   • $\sigma(b) = \sigma(\tau(a))$
   • 因为群是阿贝尔的，$\sigma\tau = \tau\sigma$。所以 $\sigma(\tau(a)) = (\sigma\tau)(a) = (\tau\sigma)(a) = \tau(\sigma(a))$。
   • 因为我们假设 $\sigma(a)=a$，所以 $\tau(\sigma(a)) = \tau(a)$。
   • 而 $\tau(a)$ 正是 $b$。
   • 所以我们得到了 $\sigma(b)=b$。
   • 推论: 如果一个阿贝尔传递群中有一个非单位元元素 $\sigma$ 固定了一个点 $a$，那么它必然固定所有的点 $b$。
   • 如果 $\sigma$ 固定了所有的点，那么根据定义，$\sigma$ 就是恒等置换 $1$。
   • 这与我们的初始假设“$\sigma \neq 1$”矛盾！
   • 结论: 假设不成立。因此，在阿贝尔传递置换群中，任何非单位元元素都不能有任何固定点。

第二部分：推断 $|G|=|A|$

1. 理解题目:
   • 目标: 证明群的阶等于集合的大小。
   • 提示: [使用前面的习题]。这通常指习题1和2。
2. 推导过程:
   • 我们使用轨道-稳定子定理（本质上是命题2）：对于任意 $a \in A$，我们有 $|\text{Orb}_G(a)| = |G : G_a| = |G| / |G_a|$。
   • 分析轨道: 因为作用是传递的，所以只有一个轨道，就是集合 $A$ 本身。因此 $|\text{Orb}_G(a)| = |A|$。
   • 分析稳定子: 稳定子 $G_a = \{\sigma \in G \mid \sigma(a)=a\}$。
   • 根据本题第一部分的结论，对于任何非单位元 $\sigma \in G$，都有 $\sigma(a) \neq a$。
   • 这意味着，唯一能固定点 $a$ 的群元素只有单位元 $1$。
   • 所以，对于任何 $a \in A$，其稳定子都是平凡子群：$G_a = \{1\}$。
   • 因此，稳定子的大小是 $|G_a|=1$。
   • 代入公式:
   • $|A| = |\text{Orb}_G(a)| = |G| / |G_a| = |G| / 1 = |G|$。
   • 结论: $|G|=|A|$。证明完成。