1. 群作用于自身的左乘——凯莱定理

这个练习旨在加深对左正规表示的理解，特别是它如何依赖于元素的标记。

(a) 部分

1. 目标: 验证在特定的标记下，克莱因四元群的元素 $a, b, c$ 对应的置换是否如题目所示。
2. 设定:
   • 群: $G=\{1, a, b, c\}$ (克莱因四元群, V4)。乘法规则: $x^2=1$, $ab=c, bc=a, ca=b$。
   • 标记:
   • $g_1 = 1$
   • $g_2 = a$
   • $g_3 = c$ (注意这里的顺序！)
   • $g_4 = b$
3. 计算 $\sigma_a$:
   • $a \cdot g_1 = a \cdot 1 = a = g_2 \implies \sigma_a(1)=2$
   • $a \cdot g_2 = a \cdot a = 1 = g_1 \implies \sigma_a(2)=1$
   • $a \cdot g_3 = a \cdot c = b = g_4 \implies \sigma_a(3)=4$
   • $a \cdot g_4 = a \cdot b = c = g_3 \implies \sigma_a(4)=3$
   • 结果: $\sigma_a = (1 \ 2)(3 \ 4)$。与题目给出的 $a$ 的像匹配。
4. 计算 $\sigma_b$:
   • $b \cdot g_1 = b \cdot 1 = b = g_4 \implies \sigma_b(1)=4$
   • $b \cdot g_2 = b \cdot a = c = g_3 \implies \sigma_b(2)=3$
   • $b \cdot g_3 = b \cdot c = a = g_2 \implies \sigma_b(3)=2$
   • $b \cdot g_4 = b \cdot b = 1 = g_1 \implies \sigma_b(4)=1$
   • 结果: $\sigma_b = (1 \ 4)(2 \ 3)$。与题目给出的 $b$ 的像匹配。
5. 计算 $\sigma_c$:
   • $c \cdot g_1 = c \cdot 1 = c = g_3 \implies \sigma_c(1)=3$
   • $c \cdot g_2 = c \cdot a = b = g_4 \implies \sigma_c(2)=4$
   • $c \cdot g_3 = c \cdot c = 1 = g_1 \implies \sigma_c(3)=1$
   • $c \cdot g_4 = c \cdot b = a = g_2 \implies \sigma_c(4)=2$
   • 结果: $\sigma_c = (1 \ 3)(2 \ 4)$。与题目给出的 $c$ 的像匹配。
6. 结论: (a)部分的证明完成。

(b) 部分

1. 目标: 使用新的标记，重新计算置换表示，并证明新旧两种表示虽然具体映射不同，但生成的置换群是同一个。
2. 新的标记:
   • $g_1 = 1$
   • $g_2 = b$ (新)
   • $g_3 = c$ (新)
   • $g_4 = a$ (新)
3. 计算 $\sigma_a$ (新):
   • $a \cdot g_1 = a \cdot 1 = a = g_4 \implies \sigma_a(1)=4$
   • $a \cdot g_2 = a \cdot b = c = g_3 \implies \sigma_a(2)=3$
   • $a \cdot g_3 = a \cdot c = b = g_2 \implies \sigma_a(3)=2$
   • $a \cdot g_4 = a \cdot a = 1 = g_1 \implies \sigma_a(4)=1$
   • 结果: 新 $\sigma_a = (1 \ 4)(2 \ 3)$。
4. 计算 $\sigma_b$ (新):
   • $b \cdot g_1 = b \cdot 1 = b = g_2 \implies \sigma_b(1)=2$
   • $b \cdot g_2 = b \cdot b = 1 = g_1 \implies \sigma_b(2)=1$
   • $b \cdot g_3 = b \cdot c = a = g_4 \implies \sigma_b(3)=4$
   • $b \cdot g_4 = b \cdot a = c = g_3 \implies \sigma_b(4)=3$
   • 结果: 新 $\sigma_b = (1 \ 2)(3 \ 4)$。
5. 计算 $\sigma_c$ (新):
   • $c \cdot g_1 = c \cdot 1 = c = g_3 \implies \sigma_c(1)=3$
   • $c \cdot g_2 = c \cdot b = a = g_4 \implies \sigma_c(2)=4$
   • $c \cdot g_3 = c \cdot c = 1 = g_1 \implies \sigma_c(3)=1$
   • $c \cdot g_4 = c \cdot a = b = g_2 \implies \sigma_c(4)=2$
   • 结果: 新 $\sigma_c = (1 \ 3)(2 \ 4)$。
6. 比较两个置换群:
   • 旧的置换群 (来自a部分): $G_a = \{ id, (12)(34), (14)(23), (13)(24) \}$。
   • 新的置换群 (来自b部分): $G_b = \{ id, (14)(23), (12)(34), (13)(24) \}$。
   • 比较这两个集合，我们发现它们包含的元素是完全一样的，只是顺序不同。
   • 因此，尽管在两种标记下，单个元素（比如 $a$）被映射到了不同的置换（从 $(12)(34)$ 变成了 $(14)(23)$），但由整个群 $G$ 生成的置换的集合（即置换群的像）是同一个 $S_4$ 的子群。
7. 结论: (b)部分的证明完成。这个练习清楚地表明，左正规表示本身依赖于标记，但它所产生的子群（在同构意义下）是内在的，不依赖于标记。

这个练习要求我们计算一个非阿贝尔群 $S_3$ 的左正规表示。

1. 设定:
   • 群: $G = S_3 = \{e, (12), (23), (13), (123), (132)\}$ (这里用 $e$ 表示单位元)。阶为 6。
   • 目标对称群: $S_6$。
   • 标记:
   • $g_1 = e$
   • $g_2 = (12)$
   • $g_3 = (23)$
   • $g_4 = (13)$
   • $g_5 = (123)$
   • $g_6 = (132)$
2. 计算 $\sigma_{(12)}$ (作用者 g=(12)):
   • $g \cdot g_1 = (12)e = (12) = g_2 \implies \sigma_{(12)}(1)=2$
   • $g \cdot g_2 = (12)(12) = e = g_1 \implies \sigma_{(12)}(2)=1$
   • $g \cdot g_3 = (12)(23) = (123) = g_5 \implies \sigma_{(12)}(3)=5$
   • $g \cdot g_4 = (12)(13) = (132) = g_6 \implies \sigma_{(12)}(4)=6$
   • $g \cdot g_5 = (12)(123) = (23) = g_3 \implies \sigma_{(12)}(5)=3$
   • $g \cdot g_6 = (12)(132) = (13) = g_4 \implies \sigma_{(12)}(6)=4$
   • 结果: $\sigma_{(12)} = (1 \ 2)(3 \ 5)(4 \ 6)$。
3. 计算 $\sigma_{(123)}$ (作用者 g=(123)):
   • $g \cdot g_1 = (123)e = (123) = g_5 \implies \sigma_{(123)}(1)=5$
   • $g \cdot g_2 = (123)(12) = (13) = g_4 \implies \sigma_{(123)}(2)=4$
   • $g \cdot g_3 = (123)(23) = (12) = g_2 \implies \sigma_{(123)}(3)=2$
   • $g \cdot g_4 = (123)(13) = (23) = g_3 \implies \sigma_{(123)}(4)=3$
   • $g \cdot g_5 = (123)(123) = (132) = g_6 \implies \sigma_{(123)}(5)=6$
   • $g \cdot g_6 = (123)(132) = e = g_1 \implies \sigma_{(123)}(6)=1$
   • 结果: $\sigma_{(123)} = (1 \ 5 \ 6)(2 \ 4 \ 3)$。
4. 计算其他元素的像:
   • $\sigma_e = id = ()$ (总是这样)。
   • $\sigma_{(23)}$:
   • $(23)g_1 = (23) = g_3 \implies (13)$
   • $(23)g_2 = (23)(12) = (132) = g_6 \implies (26)$
   • $(23)g_3 = e = g_1 \implies (31)$
   • $(23)g_4 = (23)(13) = (123) = g_5 \implies (45)$
   • $(23)g_5 = (23)(123) = (13) = g_4 \implies (54)$
   • $(23)g_6 = (23)(132) = (12) = g_2 \implies (62)$
   • 结果: $\sigma_{(23)} = (1 \ 3)(2 \ 6)(4 \ 5)$。
   • $\sigma_{(13)}$:
   • $(13)g_1 = (13) = g_4 \implies (14)$
   • $(13)g_2 = (13)(12) = (123) = g_5 \implies (25)$
   • $(13)g_3 = (13)(23) = (132) = g_6 \implies (36)$
   • $(13)g_4 = e = g_1 \implies (41)$
   • $(13)g_5 = (13)(123) = (12) = g_2 \implies (52)$
   • $(13)g_6 = (13)(132) = (23) = g_3 \implies (63)$
   • 结果: $\sigma_{(13)} = (1 \ 4)(2 \ 5)(3 \ 6)$。
   • $\sigma_{(132)}$:
   • $\sigma_{(132)} = (\sigma_{(123)})^2$ or $\sigma_{(132)} = \sigma_{(123)}^{-1}$。
   • Using $\sigma_{(123)} = (1 \ 5 \ 6)(2 \ 4 \ 3)$, its inverse is $(1 \ 6 \ 5)(2 \ 3 \ 4)$。
   • 结果: $\sigma_{(132)} = (1 \ 6 \ 5)(2 \ 3 \ 4)$。
5. 最终列表:
   • $e \mapsto ()$
   • $(12) \mapsto (1 \ 2)(3 \ 5)(4 \ 6)$
   • $(23) \mapsto (1 \ 3)(2 \ 6)(4 \ 5)$
   • $(13) \mapsto (1 \ 4)(2 \ 5)(3 \ 6)$
   • $(123) \mapsto (1 \ 5 \ 6)(2 \ 4 \ 3)$
   • $(132) \mapsto (1 \ 6 \ 5)(2 \ 3 \ 4)$

这个练习展示了，即使是像 $S_3$ 这样的小非阿贝尔群，其左正规表示也会迅速变得复杂。我们得到了 $S_6$ 的一个6阶子群，它与 $S_3$ 同构。

本练习旨在计算 $D_8$ 的左正规表示，并展示标记变化对置换结果的影响。

(a) 部分

1. 设定:
   • 群: $G = D_8 = \{1, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3\}$。规则: $r^4=1, s^2=1, rs=sr^3$。
   • 标记:
   • $g_1=1, g_2=r, g_3=r^2, g_4=r^3$
   • $g_5=s, g_6=sr, g_7=sr^2, g_8=sr^3$
2. 计算生成元的像: 我们只需计算生成元 $r$ 和 $s$ 的像 $\sigma_r$ 和 $\sigma_s$。
3. 计算 $\sigma_r$:
   • $r \cdot g_1 = r \cdot 1 = r = g_2 \implies \sigma_r(1)=2$
   • $r \cdot g_2 = r \cdot r = r^2 = g_3 \implies \sigma_r(2)=3$
   • $r \cdot g_3 = r \cdot r^2 = r^3 = g_4 \implies \sigma_r(3)=4$
   • $r \cdot g_4 = r \cdot r^3 = r^4 = 1 = g_1 \implies \sigma_r(4)=1$
   • $r \cdot g_5 = r \cdot s = sr^3 = g_8 \implies \sigma_r(5)=8$
   • $r \cdot g_6 = r \cdot sr = sr^3r = sr^4=s=g_5 \implies \sigma_r(6)=5$
   • $r \cdot g_7 = r \cdot sr^2 = sr^3r^2 = sr^5=sr=g_6 \implies \sigma_r(7)=6$
   • $r \cdot g_8 = r \cdot sr^3 = sr^3r^3 = sr^6=sr^2=g_7 \implies \sigma_r(8)=7$
   • 结果: $\sigma_r = (1 \ 2 \ 3 \ 4)(5 \ 8 \ 7 \ 6)$。
4. 计算 $\sigma_s$:
   • $s \cdot g_1 = s \cdot 1 = s = g_5 \implies \sigma_s(1)=5$
   • $s \cdot g_2 = s \cdot r = g_6 \implies \sigma_s(2)=6$
   • $s \cdot g_3 = s \cdot r^2 = g_7 \implies \sigma_s(3)=7$
   • $s \cdot g_4 = s \cdot r^3 = g_8 \implies \sigma_s(4)=8$
   • $s \cdot g_5 = s \cdot s = 1 = g_1 \implies \sigma_s(5)=1$
   • $s \cdot g_6 = s \cdot sr = r = g_2 \implies \sigma_s(6)=2$
   • $s \cdot g_7 = s \cdot sr^2 = r^2 = g_3 \implies \sigma_s(7)=3$
   • $s \cdot g_8 = s \cdot sr^3 = r^3 = g_4 \implies \sigma_s(8)=4$
   • 结果: $\sigma_s = (1 \ 5)(2 \ 6)(3 \ 7)(4 \ 8)$。
5. 所有元素的像: 其余元素的像可以通过同态性质计算，例如 $\sigma_{r^2} = \sigma_r^2 = ((1234)(5876))^2 = (13)(24)(57)(86)$。

(b) 部分

1. 新的标记:
   • $g_1=1, g_3=r, g_5=r^2, g_7=r^3$
   • $g_2=s, g_4=sr, g_6=sr^2, g_8=sr^3$
2. 重新计算 $\sigma_r$ (新标记):
   • $r \cdot g_1 = r = g_3 \implies \sigma_r(1)=3$
   • $r \cdot g_3 = r^2 = g_5 \implies \sigma_r(3)=5$
   • $r \cdot g_5 = r^3 = g_7 \implies \sigma_r(5)=7$
   • $r \cdot g_7 = 1 = g_1 \implies \sigma_r(7)=1$
   • $r \cdot g_2 = rs = sr^3 = g_8 \implies \sigma_r(2)=8$
   • $r \cdot g_4 = r(sr) = s = g_2 \implies \sigma_r(4)=2$
   • $r \cdot g_6 = r(sr^2) = sr = g_4 \implies \sigma_r(6)=4$
   • $r \cdot g_8 = r(sr^3) = sr^2 = g_6 \implies \sigma_r(8)=6$
   • 结果: 新 $\sigma_r = (1 \ 3 \ 5 \ 7)(2 \ 8 \ 6 \ 4)$。
3. 重新计算 $\sigma_s$ (新标记):
   • $s \cdot g_1 = s = g_2 \implies \sigma_s(1)=2$
   • $s \cdot g_3 = sr = g_4 \implies \sigma_s(3)=4$
   • $s \cdot g_5 = sr^2 = g_6 \implies \sigma_s(5)=6$
   • $s \cdot g_7 = sr^3 = g_8 \implies \sigma_s(7)=8$
   • $s \cdot g_2 = s^2 = 1 = g_1 \implies \sigma_s(2)=1$
   • $s \cdot g_4 = s(sr) = r = g_3 \implies \sigma_s(4)=3$
   • $s \cdot g_6 = s(sr^2) = r^2 = g_5 \implies \sigma_s(6)=5$
   • $s \cdot g_8 = s(sr^3) = r^3 = g_7 \implies \sigma_s(8)=7$
   • 结果: 新 $\sigma_s = (1 \ 2)(3 \ 4)(5 \ 6)(7 \ 8)$。
4. 证明子群不同:
   • 在(a)中，$\sigma_s = (15)(26)(37)(48)$。
   • 在(b)中，新 $\sigma_s = (12)(34)(56)(78)$。
   • 这显然是 $S_8$ 中两个不同的元素。由于(a)中的子群包含 $\sigma_s$ 而(b)中的不包含，所以这两个子群是不同的 $S_8$ 的子群。（尽管它们作为抽象群是同构于 $D_8$ 的）。

1. 设定:
   • 群: $G = Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$。规则: $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$。
   • 目标: 找到生成元 $i$ 和 $j$ 在左正规表示下的像 $\sigma_i, \sigma_j \in S_8$。
   • 标记:
   • $g_1=1, g_2=-1, g_3=i, g_4=-i$
   • $g_5=j, g_6=-j, g_7=k, g_8=-k$
2. 计算 $\sigma_i$:
   • $i \cdot g_1 = i \cdot 1 = i = g_3 \implies \sigma_i(1)=3$
   • $i \cdot g_2 = i \cdot (-1) = -i = g_4 \implies \sigma_i(2)=4$
   • $i \cdot g_3 = i \cdot i = -1 = g_2 \implies \sigma_i(3)=2$
   • $i \cdot g_4 = i \cdot (-i) = 1 = g_1 \implies \sigma_i(4)=1$
   • $i \cdot g_5 = i \cdot j = k = g_7 \implies \sigma_i(5)=7$
   • $i \cdot g_6 = i \cdot (-j) = -k = g_8 \implies \sigma_i(6)=8$
   • $i \cdot g_7 = i \cdot k = -j = g_6 \implies \sigma_i(7)=6$
   • $i \cdot g_8 = i \cdot (-k) = j = g_5 \implies \sigma_i(8)=5$
   • 结果: $\sigma_i = (1 \ 3 \ 2 \ 4)(5 \ 7 \ 6 \ 8)$。
3. 计算 $\sigma_j$:
   • $j \cdot g_1 = j = g_5 \implies \sigma_j(1)=5$
   • $j \cdot g_2 = -j = g_6 \implies \sigma_j(2)=6$
   • $j \cdot g_3 = j \cdot i = -k = g_8 \implies \sigma_j(3)=8$
   • $j \cdot g_4 = j \cdot (-i) = k = g_7 \implies \sigma_j(4)=7$
   • $j \cdot g_5 = j \cdot j = -1 = g_2 \implies \sigma_j(5)=2$
   • $j \cdot g_6 = j \cdot (-j) = 1 = g_1 \implies \sigma_j(6)=1$
   • $j \cdot g_7 = j \cdot k = i = g_3 \implies \sigma_j(7)=3$
   • $j \cdot g_8 = j \cdot (-k) = -i = g_4 \implies \sigma_j(8)=4$
   • 结果: $\sigma_j = (1 \ 5 \ 2 \ 6)(3 \ 8 \ 4 \ 7)$。
4. 结论:

$S_8$ 的两个元素 $\sigma_i = (1324)(5768)$ 和 $\sigma_j = (1526)(3847)$ 生成了一个与 $Q_8$ 同构的子群。

本练习深入探讨了作用于陪集的表示。

(a) 部分

1. 设定: $G=D_8, H=\langle s \rangle=\{1,s\}$。陪集集 $A=\{1H, rH, r^2H, r^3H\}$。
2. 标记: $A_1=1H, A_2=rH, A_3=r^2H, A_4=r^3H$。
3. 计算生成元的像: (这在1.7节的示例中已完成)
   • $\sigma_r = (1 \ 2 \ 3 \ 4)$
   • $\sigma_s = (2 \ 4)$
4. 所有元素的像:
   • $\sigma_1 = ()$
   • $\sigma_r = (1234)$
   • $\sigma_{r^2} = (13)(24)$
   • $\sigma_{r^3} = (1432)$
   • $\sigma_s = (24)$
   • $\sigma_{sr} = \sigma_s\sigma_r = (24)(1234) = (143)$ (有误，应为 $(12)(34)$) -> $s \cdot 1H = sH=H=A_1$, $s \cdot rH=srH=r^3H=A_4$, $s\cdot r^2H=sr^2H=r^2H=A_3$, $s\cdot r^3H=sr^3H=rH=A_2$. $\sigma_s = (24)$. $sr$: $sr \cdot 1H=srH=r^3H=A_4$. $\sigma_{sr}(1)=4$. $sr \cdot rH = sr^2H=r^2H=A_3$. $\sigma_{sr}(2)=3$. $sr \cdot r^2H=sr^3H=rH=A_2$. $\sigma_{sr}(3)=2$. $sr \cdot r^3H=sH=H=A_1$. $\sigma_{sr}(4)=1$. $\sigma_{sr}=(14)(23)$.
   • $\sigma_{sr^2} = \sigma_s\sigma_{r^2} = (24)(13)(24) = (13)$。
   • $\sigma_{sr^3} = \sigma_s\sigma_{r^3} = (24)(1432) = (12)(34)$。
5. 忠实性: 表示的核 $\operatorname{ker} \pi_H$ 是所有被映射到恒等置换的元素。在这里只有单位元 1 被映射到 ()。所以核是平凡的，表示是忠实的（单射）。因此 $D_8$ 同构于它在 $S_4$ 中的像，即 $\{(), (1234), (13)(24), (1432), (24), (14)(23), (13), (12)(34)\}$，这是一个 $S_4$ 的8阶子群。

(b) 部分

1. 新标记: $A_1=1H, A_2=r^2H, A_3=rH, A_4=r^3H$。
2. 重新计算 $\sigma_r$:
   • $r \cdot A_1=rH=A_3 \implies \sigma_r(1)=3$
   • $r \cdot A_2=r^3H=A_4 \implies \sigma_r(2)=4$
   • $r \cdot A_3=r^2H=A_2 \implies \sigma_r(3)=2$
   • $r \cdot A_4=1H=A_1 \implies \sigma_r(4)=1$
   • 结果: 新 $\sigma_r = (1 \ 3 \ 2 \ 4)$。
3. 重新计算 $\sigma_s$:
   • $s \cdot A_1=1H=A_1 \implies \sigma_s(1)=1$
   • $s \cdot A_2=r^2H=A_2 \implies \sigma_s(2)=2$
   • $s \cdot A_3=r^3H=A_4 \implies \sigma_s(3)=4$
   • $s \cdot A_4=rH=A_3 \implies \sigma_s(4)=3$
   • 结果: 新 $\sigma_s = (3 \ 4)$。
4. 证明子群不同: (a)中的子群包含置换 $(24)$，而(b)中的子群不包含 $(24)$ (它包含 $(34)$)。因此这两个是 $S_4$ 中不同的子群。

(c) 部分

1. 设定: $K=\langle sr \rangle=\{1, sr\}$。陪集集 $B=\{1K, rK, r^2K, r^3K\}$。
2. 标记: $B_1=1K, B_2=rK, B_3=r^2K, B_4=r^3K$。
3. 计算 $\sigma_r$ (关于K):
   • $r \cdot B_1 = rK=B_2 \implies \sigma_r(1)=2$
   • $r \cdot B_2 = r^2K=B_3 \implies \sigma_r(2)=3$
   • $r \cdot B_3 = r^3K=B_4 \implies \sigma_r(3)=4$
   • $r \cdot B_4 = r^4K=1K=B_1 \implies \sigma_r(4)=1$
   • 结果: $\sigma_r = (1 \ 2 \ 3 \ 4)$。这与(a)中的 $\sigma_r$ 完全相同。
4. 计算 $\sigma_s$ (关于K):
   • $s \cdot B_1=sK$。$s = r(sr)r \notin K$。$s \cdot 1K = sK$。$sK=s\{1,sr\}=\{s, r\}$. 不属于任何一个。 $s = (sr)r^{-1} = (sr)r^3 \implies sK=r^3K$. $s \cdot B_1=r^3K=B_4 \implies \sigma_s(1)=4$。
   • $s \cdot B_2 = srK = K = B_1 \implies \sigma_s(2)=1$。
   • $s \cdot B_3 = sr^2K$。$sr^2=r^2s$。 $sr^2K=r^2sK=r^2r^3K=rK=B_2$。$\sigma_s(3)=2$。
   • $s \cdot B_4 = sr^3K = rsK=rK$。$rs=sr^3$. $r(sr) = r(rs)=r(sr^3)=r s r^3$. $s \cdot r^3K = sr^3K=rsK$. $rs = (sr)s \notin K$. $rs=sr^3$. $r s K = sr^3 K = r^2 s r^2 K$.
   • 结果: $\sigma_s = (1 \ 2)(3 \ 4)$。
5. 比较子群:
   • (a)中的像由 $\sigma_r=(1234)$ 和 $\sigma_s=(24)$ 生成。
   • (c)中的像由 $\sigma_r=(1234)$ 和 $\sigma_s=(12)(34)$ 生成。
   • 这两个子群不同。例如，(c)的子群包含 $(12)(34)$，而(a)的不包含。
   • 原文结论有误，除非我计算或理解错了。让我们再次检查原文。原文说“相同”，可能是指同构，或者我的陪集列表1K, rK, r^2K, r^3K不正确。
   • $D_8$作用于$K$的陪集。陪集：$K=\{1,sr\}$, $rK=\{r,s\}$, $r^2K=\{r^2,sr^3\}$, $r^3K=\{r^3,sr^2\}$。这是正确的。标记$B_1,B_2,B_3,B_4$。
   • 作用者$r$: $r(1K)=rK, r(rK)=r^2K, r(r^2K)=r^3K, r(r^3K)=K$. $\sigma_r = (1234)$. 正确。
   • 作用者$s$: $s(1K)=\{s,1\}=rK=B_2$, $s(rK)=\{sr,r\}=1K=B_1$, $s(r^2K)=\{sr^2,r^3\}=r^3K=B_4$, $s(r^3K)=\{sr^3,r^2\}=r^2K=B_3$.
   • $\sigma_s=(12)(34)$.
   • (a)中的子群是 $\{(), (1234), (13)(24), (1432), (24), (14)(23), (13), (12)(34)\}$.
   • (c)中的子群是由 $(1234)$ 和 $(12)(34)$ 生成。$(1234)^2=(13)(24)$, $(1234)^3=(1432)$. $(12)(34)\cdot(1234)=(13)$. $(1234)\cdot(12)(34)=(24)$.
   • 结论：原文的这个断言似乎是错误的。由不同子群 $H=\langle s \rangle$ 和 $K=\langle sr \rangle$ (它们都是2阶非正规子群) 产生的置换表示的像，在 $S_4$ 中是不同的子群。

1. 设定: $G=D_8$, $N=\langle r^2 \rangle=\{1, r^2\}$。$N$ 是 $D_8$ 的中心，因此是正规子群。指数 $|G:N|=8/2=4$。
2. 陪集: $1N=\{1,r^2\}, rN=\{r,r^3\}, sN=\{s,sr^2\}, srN=\{sr,sr^3\}$。
3. 标记: $A_1=1N, A_2=rN, A_3=sN, A_4=srN$。
4. 计算生成元的像:
   • $\sigma_r$:
   • $r \cdot A_1=rN=A_2 \implies \sigma_r(1)=2$
   • $r \cdot A_2=r^2N=N=A_1 \implies \sigma_r(2)=1$
   • $r \cdot A_3=rsN=sr^3N=srN=A_4 \implies \sigma_r(3)=4$
   • $r \cdot A_4=rsrN=sN=A_3 \implies \sigma_r(4)=3$
   • 结果: $\sigma_r=(12)(34)$。
   • $\sigma_s$:
   • $s \cdot A_1=sN=A_3 \implies \sigma_s(1)=3$
   • $s \cdot A_2=srN=A_4 \implies \sigma_s(2)=4$
   • $s \cdot A_3=s^2N=N=A_1 \implies \sigma_s(3)=1$
   • $s \cdot A_4=s^2rN=rN=A_2 \implies \sigma_s(4)=2$
   • 结果: $\sigma_s=(13)(24)$。
5. 推断不忠实:
   • 表示的核 $\operatorname{ker} \pi_N$ 是被映射到恒等置换的元素。
   • 计算 $\sigma_{r^2} = (\sigma_r)^2 = ((12)(34))^2 = ()$。
   • 由于非单位元素 $r^2$ 被映射到了恒等置환，所以核非平凡 ($\{1, r^2\} \subseteq \operatorname{ker}\pi_N$)，故表示不忠实。
   • 根据定理3，核是包含在 $N$ 中的最大正规子群。由于 $N$ 本身就是正规的，所以 $\operatorname{ker}\pi_N = N = \{1, r^2\}$。
6. 证明像同构于V4:
   • 表示的像 $\pi_N(D_8)$ 是由 $\sigma_r=(12)(34)$ 和 $\sigma_s=(13)(24)$ 生成的 $S_4$ 的子群。
   • 计算 $\sigma_r\sigma_s=(12)(34)(13)(24)=(14)(23)$。
   • 所以，像是 $\{(), (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$。
   • 这个子群的元素都是阶为2（除了单位元），且交换，这正是克莱因四元群 $V_4$ 的结构。
   • 另外，根据第一同构定理，$\pi_N(D_8) \cong D_8 / \operatorname{ker}\pi_N = D_8 / N$。商群 $D_8/N$ 的阶是4。由于 $D_8$ 中所有元素的平方都在 $N$ 中（$r^2 \in N, s^2=1 \in N, (sr)^2=1 \in N$），所以商群中所有元素的阶都是2，因此它同构于 $V_4$。

(a) 部分

这直接由凯莱定理（推论4）得出。因为 $Q_8$ 是一个阶为8的群，所以它同构于 $S_8$ 的一个子群。练习4已经通过计算左正规表示具体构造了这个子群的生成元。

(b) 部分

1. 目标: 证明 $Q_8$ 无法“装进”任何一个阶数小于等于7的对称群 $S_n$ 中。
2. 证明思路 (反证法):
   • 假设 $Q_8$ 同构于 $S_n$ 的某个子群 $H$，其中 $n \leq 7$。
   • 这意味着存在一个从 $Q_8$ 到 $S_n$ 的单射同态（忠实表示） $\phi$。
   • 这个同态 $\phi$ 来源于 $Q_8$ 在一个大小为 $n$ 的集合 $A$ (设 $A=\{1, 2, ..., n\}$) 上的一个忠实作用。
   • 因为作用是忠实的，所以它的核是平凡的: $\ker \phi = \{1\}$。
3. 使用轨道-稳定子定理:
   • 对于集合 $A$ 中的任意一点 $a \in A$，我们有 $|Q_8| = |\text{Orb}(a)| \cdot |\text{Stab}(a)|$。
   • 即 $8 = |\text{Orb}(a)| \cdot |\text{Stab}(a)|$。
   • 轨道 $\text{Orb}(a)$ 是 $A$ 的一个子集，所以它的大小 $|\text{Orb}(a)| \leq |A| = n$。
   • 我们已知 $n \leq 7$。所以 $|\text{Orb}(a)| \leq 7$。
4. 分析稳定子的大小:
   • 从 $8 = |\text{Orb}(a)| \cdot |\text{Stab}(a)|$ 和 $|\text{Orb}(a)| \leq 7$ 可以推断出，$|\text{Stab}(a)|$ 不可能是1。（如果 $|\text{Stab}(a)|=1$，那么 $|\text{Orb}(a)|=8$，但这将与 $|\text{Orb}(a)| \leq 7$ 矛盾）。
   • 因此，对于任意 $a \in A$，其稳定子 $\text{Stab}(a)$ 的阶 $|\text{Stab}(a)|$ 必须是 $8$ 的除数且大于1，即阶可以是 2, 4, 或 8。
5. 分析稳定子的结构:
   • $Q_8$ 的子群结构是：1个1阶子群 $\{1\}$，1个2阶子群 $\langle -1 \rangle$，3个4阶循环子群 $\langle i \rangle, \langle j \rangle, \langle k \rangle$，和1个8阶子群 $Q_8$。
   • 关键在于，$Q_8$ 只有一个2阶子群 $\langle -1 \rangle$。任何一个阶为 2, 4, 8 的子群都必然包含这个 $\langle -1 \rangle$ 子群。
   • 因此，对于任意 $a \in A$，它的稳定子 $\text{Stab}(a)$ 必然包含子群 $\langle -1 \rangle$。
6. 分析核:
   • 作用的核的定义是 $\ker \phi = \bigcap_{a \in A} \text{Stab}(a)$。
   • 既然对于每一个 $a \in A$，都有 $\langle -1 \rangle \subseteq \text{Stab}(a)$，那么 $\langle -1 \rangle$ 也必然被包含在所有这些稳定子的交集中。
   • 所以 $\langle -1 \rangle \subseteq \ker \phi$。
   • 这意味着核 $\ker \phi$ 至少包含 $\{1, -1\}$，所以它不是平凡子群 $\{1\}$。
7. 得出矛盾:
   • 我们得出了 $\ker \phi \neq \{1\}$ 的结论。
   • 这与我们最初的假设“存在一个单射同态 $\phi$”（即核为平凡）相矛盾。
   • 因此，最初的假设是错误的。$Q_8$ 不同构于任何 $S_n (n \leq 7)$ 的子群。

1. 目标: 证明任何有限指数的子群 $H$ 内部，都包含一个指数有界的正规子群 $K$。
2. 证明思路: 这个结论是定理3和第一同构定理的直接应用。
3. 构造作用: 设 $H$ 是 $G$ 中一个指数为 $n$ 的子群。令 $A$ 为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集的集合。$|A|=n$。我们考虑 $G$ 通过左乘作用于集合 $A$。
4. 得到同态: 这个作用产生一个置换表示（一个群同态） $\pi_H: G \to S_A$。由于 $|A|=n$，我们可以认为这是 $\pi_H: G \to S_n$。
5. 定义K: 令 $K = \ker \pi_H$。作为同态的核，$K$ 自动成为 $G$ 的一个正规子群。
6. 证明 K <= H: 根据定理3(3)，我们知道 $\operatorname{ker} \pi_H$ 是包含在 $H$ 中的最大正规子群。所以，我们直接得到 $K \leq H$。
7. 证明指数有界:
   • 根据第一同构定理，$G/K \cong \pi_H(G)$，其中 $\pi_H(G)$ 是 $G$ 在 $S_n$ 中的像，因此是 $S_n$ 的一个子群。
   • 根据拉格朗日定理，子群的阶必须整除母群的阶。所以 $|\pi_H(G)|$ 必须整除 $|S_n| = n!$。
   • 由于 $|G:K| = |G/K|$ 且 $|G/K| = |\pi_H(G)|$，我们有 $|G:K|$ 整除 $n!$。
   • 如果一个正整数整除 $n!$，那它必然小于或等于 $n!$。
   • 因此，$|G:K| \leq n!$。
8. 结论: 我们找到了一个正规子群 $K$ 满足 $K \leq H$ 和 $|G:K| \leq n!$。证明完毕。这个结果也叫庞加莱定理。

(第一部分)

1. 目标: 证明 p-群中，指数为 $p$ 的子群是正规的。
2. 证明思路: 这是推论5的一个直接应用。
3. 应用推论5:
   • 群: $G$ 的阶为 $|G|=p^\alpha$，其中 $p$ 是素数。
   • 最小素因子: 能整除 $|G|$ 的素数只有 $p$ 一个。所以，整除 $|G|$ 的最小素数就是 $p$。
   • 子群: 设 $H$ 是 $G$ 中一个指数为 $p$ 的子群。
   • 结论: 根据推论5，如果一个子群的指数是母群阶的最小素因子，那么该子群是正规的。这里所有条件都满足。
   • 因此，$H$ 在 $G$ 中是正规的。

(第二部分)

1. 目标: 推断每个阶为 $p^2$ 的群都有一个阶为 $p$ 的正规子群。
2. 证明思路: 结合群论基本定理和第一部分的结论。
3. 寻找子群:
   • 设 $|G|=p^2$。
   • 根据柯西定理（或者更强的西洛第一定理），如果一个素数 $p$ 整除群 $G$ 的阶，那么 $G$ 必定有一个阶为 $p$ 的子群。
   • 因此，我们的群 $G$ 必然存在一个阶为 $p$ 的子群，我们称之为 $H$。
4. 计算指数:
   • 这个子群 $H$ 的指数是 $|G:H| = |G|/|H| = p^2/p = p$。
5. 应用第一部分结论:
   • 我们现在有了一个阶为 $p^2$ 的群 $G$，和一个指数为 $p$ 的子群 $H$。
   • 根据本练习的第一部分，这样的子群 $H$ 必须是正规的。
6. 结论: 我们证明了，任何一个阶为 $p^2$ 的群，都存在一个阶为 $p$ 的子群，并且这个子群是正规的。

(第一部分：证明非正规子群的存在)

1. 目标: 证明任何一个6阶非交换群 $G$ 都有一个阶为2的子群 $K$，且 $K$ 不正规。
2. 证明思路 (反证法):
   • 根据柯西定理，$G$ 必然有阶为2的子群。任取一个阶为2的子群 $K$。
   • 假设 $G$ 中所有阶为2的子群都是正规的。
   • 同样由柯西定理，$G$ 也有阶为3的子群 $H$。$H$ 的指数为 $6/3=2$。任何指数为2的子群都是正规的，所以 $H$ 是正规的。
   • 现在我们有正规子群 $H$ (阶为3) 和 $K$ (阶为2)。
   • $H \cap K$ 是 $H$ 和 $K$ 的子群，其阶必须整除 $|H|$ 和 $|K|$，即整除 $\text{gcd}(3,2)=1$。所以 $H \cap K = \{e\}$。
   • 考虑 $G$ 中元素的乘积 $hk$ ($h \in H, k \in K$)。由于 $H, K$ 都正规，有 $kh = h'k'$，进一步地，正规子群的元素交换：$hk=kh$。
   • 这意味着 $G$ 中的元素可以由 $H$ 和 $K$ 的元素像直积一样生成。$G \cong H \times K$。
   • $H \cong C_3$, $K \cong C_2$。所以 $G \cong C_3 \times C_2 \cong C_6$。
   • $C_6$ 是循环群，因此是阿贝尔群（交换群）。
   • 这与题目给定的“$G$ 是非交换群”相矛盾。
   • 因此，我们的初始假设“所有阶为2的子群都是正规的”是错误的。
   • 结论：必然存在至少一个阶为2的非正规子群。

(第二部分：分类6阶群)

1. 目标: 找出所有6阶群的同构类。
2. 思路: 利用半直积或置换表示。
3. 方法1：半直积:
   • 任何6阶群 $G$ 都有正规的3阶子群 $H \cong C_3$ 和2阶子群 $K \cong C_2$。
   • $G$ 的结构由 $K$ 到 $\text{Aut}(H)$ 的同态 $\phi: K \to \text{Aut}(C_3)$ 决定的半直积 $C_3 \rtimes_\phi C_2$ 给出。
   • $\text{Aut}(C_3) \cong C_2 = \{id, \text{inv}\}$，其中 $id$ 是恒等自同构，$\text{inv}$ 是求逆元 ($x \mapsto x^{-1}$)。
   • 情况1: $\phi$ 是平凡同态。$\phi$ 将 $K$ 的生成元映射到 $id$。这意味着 $G$ 是直积 $C_3 \times C_2 \cong C_6$。这是交换群。
   • 情况2: $\phi$ 是非平凡同态。$\phi$ 将 $K$ 的生成元 $b$ 映射到 $\text{inv}$。这意味着 $b$ 作用于 $H$ 的生成元 $a$ 的方式是 $bab^{-1}=a^{-1}$。这正是 $D_6$ (或 $S_3$) 的定义关系。这是非交换群。
   • 结论: 阶为6的群只有两类：循环群 $C_6$ (交换) 和二面体群 $D_6 \cong S_3$ (非交换)。
4. 方法2：利用提示:
   • 设 $G$ 是6阶非交换群。
   • 由第一部分，存在一个阶为2的非正规子群 $K$。
   • 考虑 $G$ 作用于 $K$ 的左陪集，指数为 $6/2=3$。
   • 这产生一个同态 $\pi_K: G \to S_3$。
   • 核 $\ker \pi_K$ 是 $K$ 中包含的最大正规子群。因为 $K$ 非正规，所以 $\ker \pi_K \neq K$。
   • $\ker \pi_K$ 只能是 $\{e\}$。
   • 这意味着 $\pi_K$ 是一个单射。
   • 因此，$G$ 同构于 $S_3$ 的一个6阶子群。$S_3$ 自身阶就是6，所以 $G$ 同构于 $S_3$。
   • 结论: 所有6阶非交换群都同构于 $S_3$。结合交换群的情况($C_6$)，完成了分类。

(第一部分)

1. 目标: 证明在左正规表示 $\pi$ 中，一个 $n$ 阶元素 $x$ 的像 $\pi(x)$ 的循环结构。
2. 分析置换 $\pi(x)$: $\pi(x)$ 是一个作用在集合 $G$ 上的置换，其规则是 $g \mapsto xg$。
3. 追踪一个循环: 让我们从任意一个元素 $g_0 \in G$ 开始，看它在 $\pi(x)$ 的反复作用下如何运动：

$g_0 \mapsto xg_0 \mapsto x^2g_0 \mapsto \dots$

这个序列什么时候会回到起点 $g_0$？当 $x^k g_0 = g_0$ 时。根据消去律，这等价于 $x^k=e$。

因为 $x$ 的阶是 $n$，满足此条件的最小正整数 $k$ 就是 $n$。

所以，从 $g_0$ 出发的循环是 $(g_0, xg_0, x^2g_0, \ldots, x^{n-1}g_0)$。

这个循环的长度恰好是 $n$。

1. 划分G: 这个循环包含了 $n$ 个不同的 $G$ 中元素。如果我们从 $G$ 中选取一个不在此循环中的新元素 $g_1$，同样可以生成一个长度为 $n$ 的新循环。这两个循环是不相交的。

我们可以不断重复这个过程，直到 $G$ 的所有元素都被包含在某个循环中。

这表明，置换 $\pi(x)$ 将集合 $G$ 划分成了若干个不相交的循环，且每个循环的长度都是 $n$。

1. 计算循环个数: $G$ 的总元素个数是 $|G|$。每个循环用掉 $n$ 个元素。所以，循环的总个数就是 $|G|/n$。

题目设定 $|G|=mn$，所以循环个数是 $mn/n = m$。

1. 结论: $\pi(x)$ 是 $m$ 个长度为 $n$ 的不相交循环的乘积。

(第二部分)

1. 目标: 找出 $\pi(x)$ 是奇置换的充要条件。
2. 置换的符号:
   • 一个长度为 $k$ 的循环的符号（奇偶性）是 $(-1)^{k-1}$。
   • $\pi(x)$ 是 $m$ 个 $n$-循环的乘积。不相交循环乘积的符号是各自符号的乘积。
   • 所以 $\text{sgn}(\pi(x)) = ((-1)^{n-1})^m = (-1)^{m(n-1)}$。
3. 分析奇偶性:
   • $\pi(x)$ 是奇置换 $\iff \text{sgn}(\pi(x))=-1 \iff m(n-1)$ 是奇数。
   • 一个乘积是奇数，当且仅当它的每个因子都是奇数。
   • 所以，条件是：$m$ 是奇数 并且 $n-1$ 是奇数。
   • $m$ 是奇数 $\iff \frac{|G|}{n}$ 是奇数 $\iff \frac{|G|}{|x|}$ 是奇数。
   • $n-1$ 是奇数 $\iff n$ 是偶数 $\iff |x|$ 是偶数。
4. 结论: $\pi(x)$ 是奇置换当且仅当 $|x|$ 是偶数且 $\frac{|G|}{|x|}$ 是奇数。

1. 目标: 证明 $\pi(G)$ 中存在奇置换是 $G$ 中存在指数为2的子群的充分条件。
2. 构造同态:
   • 我们有两个同态：
3. 左正规表示 $\pi: G \to S_G$。
4. 符号同态 $\text{sgn}: S_G \to \{1, -1\}$。
   • 我们可以将它们复合成一个新的同态 $\phi: G \to \{1, -1\}$，定义为 $\phi(g) = \text{sgn}(\pi(g))$。
5. 分析同态的像:
   • 题目条件是“$\pi(G)$ 包含一个奇置换”。这意味着，存在某个 $g_0 \in G$，使得 $\pi(g_0)$ 是一个奇置换。
   • 对于这个 $g_0$，我们有 $\phi(g_0) = \text{sgn}(\pi(g_0)) = -1$。
   • 这意味着同态 $\phi$ 的像 $\text{Im}(\phi)$ 不仅仅是 $\{1\}$，它至少包含了-1。
   • 由于 $\text{Im}(\phi)$ 是 $\{1, -1\}$ 的一个子群，且它不止一个元素，所以它必然是整个 $\{1, -1\}$。
   • 因此，同态 $\phi: G \to \{1, -1\}$ 是一个满射。
6. 应用第一同构定理:
   • 对于满射同态 $\phi$，我们有 $G/\ker(\phi) \cong \text{Im}(\phi) = \{1, -1\}$。
   • 比较两边群的阶，我们得到 $|G/\ker(\phi)| = |\{1, -1\}| = 2$。
   • 商群的阶就是子群的指数，所以 $|G:\ker(\phi)|=2$。
7. 结论:
   • 我们找到了 $G$ 的一个子群 $K = \ker(\phi)$，其指数为2。
   • 任何指数为2的子群都是正规的。
   • 因此，如果 $\pi(G)$ 包含奇置换，$G$ 就有一个指数为2的子群（即 $\ker(\text{sgn} \circ \pi)$）。

1. 目标: 证明阶为 $2 \times (\text{奇数})$ 的群必有指数为2的子群。
2. 证明思路: 这是一个三步长的证明，完美地串联了柯西定理和前两个练习。
3. Step 1: 寻找一个2阶元素 (柯西定理)
   • 群的阶 $|G|=2k$ 是一个偶数，因为它能被2整除。
   • 根据柯西定理，如果一个素数 $p$ 整除一个群的阶，则该群必有阶为 $p$ 的元素。
   • 这里 $p=2$，所以 $G$ 中必定存在一个阶为2的元素 $x$。
4. Step 2: 证明其表示为奇置换 (练习11)
   • 我们有了一个元素 $x$，其阶 $|x|=n=2$。
   • 我们来考察它在左正规表示 $\pi$ 下的像 $\pi(x)$ 的奇偶性。
   • 根据练习11的结论，$\pi(x)$ 是奇置换的充要条件是：$|x|$ 是偶数 且 $\frac{|G|}{|x|}$ 是奇数。
   • 检验条件:
   • $|x|=2$，是偶数。
   • $\frac{|G|}{|x|} = \frac{2k}{2} = k$。题目给定 $k$ 是奇数。
   • 两个条件都满足。因此，$\pi(x)$ 是一个奇置换。
5. Step 3: 推断指数为2的子群存在 (练习12)
   • 我们已经证明了 $\pi(G)$ (因为 $\pi(x) \in \pi(G)$) 中包含一个奇置换。
   • 根据练习12的结论，如果 $\pi(G)$ 包含奇置换，则 $G$ 有一个指数为2的子群。
6. 结论: 证明完毕。任何阶为 $2k$ ($k$ 为奇数) 的群都有一个指数为2的子群。这个子群也因此是正规的，这意味着这种群都不是单群。

1. 目标: 证明一个满足“拉格朗日定理逆命题”的复合阶群 $G$ 不是单群。
2. 术语解释:
   • 复合阶: 群的阶 $n$ 是一个合数，不是素数。
   • 单群: 除了平凡子群 $\{e\}$ 和群自身 $G$ 之外，没有其他正规子群的群。
   • 证明不是单群: 意味着我们要找到一个真（proper, $\neq G$）非平凡（non-trivial, $\neq \{e\}$）的正规子群。
3. 证明思路: 结合推论5和题目给定的特殊性质。
4. 寻找一个特殊子群:
   • 设 $|G|=n$，且 $n$ 是合数。
   • 令 $p$ 是整除 $n$ 的最小素数。
   • 考虑整数 $k = n/p$。由于 $n$ 是合数，$p \le \sqrt{n}$ (不一定)，但 $k = n/p > 1$。
   • $k$ 是 $n$ 的一个除数。
5. 应用题目性质:
   • 题目给定的性质是“对于每个除以 $n$ 的正整数 $k$， $G$ 都有一个阶为 $k$ 的子群”。
   • 由于 $k=n/p$ 是 $n$ 的一个除数，所以 $G$ 必然存在一个阶为 $n/p$ 的子群。我们称之为 $H$。
6. 计算H的指数:
   • $H$ 的指数是 $|G:H| = |G|/|H| = n / (n/p) = p$。
7. 应用推论5:
   • 我们现在有一个子群 $H$，其指数为 $p$。
   • 我们选择的 $p$ 是整除 $|G|$ 的最小素数。
   • 根据推论5，满足这两个条件的子群 $H$ 必然是正规子群。
8. 检查H是否为真非平凡:
   • $H$ 是非平凡的吗？$|H|=n/p$。因为 $n$ 是合数，$p$ 是其最小素因子，所以 $p \le n$。如果 $p=n$, 则 $n$ 是素数，与复合阶矛盾。所以 $p < n$，因此 $|H|=n/p > 1$。$H$ 是非平凡的。
   • $H$ 是真的吗？$|H|=n/p < n = |G|$。所以 $H$ 是 $G$ 的真子群。
9. 结论:
   • 我们已经找到了一个真、非平凡的正规子群 $H$。
   • 因此，根据定义，$G$ 不是一个单群。