1. 第 2 章 群

这段内容是第二章的开篇，章标题为“群”。它引用了著名数学家团体尼古拉·布尔ба基的一句话，用来强调本章即将讨论的核心概念——组合律——在整个数学体系中的基础性地位。

章标题“群”：群 (Group) 是抽象代数中最核心、最基本的代数结构之一。它由一个集合和定义在该集合上的一个二元运算（即组合律）组成，并且这个运算需要满足一些特定的公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。本章将系统地介绍群的定义、性质和相关理论。

引言：引用“数学中很少有比组合律更原始的概念。”这句话，其目的是为了激发读者的兴趣，并从一开始就建立一个观念：我们即将学习的组合律，虽然听起来可能很抽象，但它实际上是构建许多复杂数学结构（如群、环、域等）的基石，其思想源头非常古老和根本。它就像是数学世界的“原子”或“基本粒子”，是一切运算规则的起点。

尼古拉·布尔巴基 (Nicolas Bourbaki)：这不是一个真实的人，而是在20世纪30年代由一群法国顶尖的年轻数学家使用的集体笔名。他们的目标是，以最严谨、最公理化的方式重写整个数学体系。他们的著作《数学原本》(Éléments de mathématique) 对现代数学的发展产生了深远影响。引用他们的话，也暗示了本章内容将以一种非常严谨和抽象的方式展开，这正是现代代数的特点。

第一句解释：“集合 $S$ 上的组合律是任何将 $S$ 的元素对 $a, b$ 组合起来得到 $S$ 的另一个元素 $p$ 的规则。”

这句话给出了组合律的非形式化定义，核心思想有三点：

1. 操作对象：我们有一个基础的“世界”，这个世界由一个叫做 $S$ 的集合构成。集合里的元素可以是任何东西，比如数字、矩阵、函数等等。
2. 操作方式：组合律是一种“规则”或“操作”。这个操作每次都从集合 $S$ 中取出一对元素，记作 $a$ 和 $b$。
3. 操作结果：将这对元素 $a$ 和 $b$ 按照这个规则进行“组合”后，得到的结果 $p$ 必须仍然是集合 $S$ 中的一个元素。这一点至关重要，被称为封闭性 (Closure)。运算的结果不能“跑出”我们最初定义的那个世界 $S$。

示例解释：“这个概念的一些模型是实数的加法和乘法。矩阵乘法在 $n \times n$ 矩阵的集合上是另一个例子。”

这里给出了三个具体的例子来帮助理解：

• 实数加法：集合 $S$ 是所有实数的集合 $\mathbb{R}$。组合律是“+”。任取两个实数 $a$ 和 $b$（例如 3 和 5.2），它们的和 $a+b$ (即 $3+5.2 = 8.2$) 仍然是一个实数。这个运算结果没有跑出实数集合，所以加法是实数集上的一个组合律。
• 实数乘法：集合 $S$ 仍然是 $\mathbb{R}$。组合律是“$\times$”。任取两个实数 $a$ 和 $b$（例如 2 和 -7），它们的积 $a \times b$ (即 $2 \times (-7) = -14$) 仍然是一个实数。所以乘法也是实数集上的一个组合律。
• 矩阵乘法：集合 $S$ 是所有 $n \times n$ 矩阵的集合（例如所有 $2 \times 2$ 的实数矩阵）。组合律是“矩阵乘法”。任取两个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，它们的乘积 $AB$ 仍然是一个 $n \times n$ 矩阵。所以矩阵乘法是 $n \times n$ 矩阵集合上的一个组合律。

第二句解释（形式化定义）：“形式上，组合律是一个二元函数，或者是一个映射 $S \times S \rightarrow S$”。

这是对第一句描述的严格数学化表达。

• 二元函数 (Binary Function)：一个函数，接受两个输入，并产生一个输出。
• 映射 (Mapping)：是函数的另一种说法。
• $S \times S$：这表示集合 $S$ 的笛卡尔积 (Cartesian Product)，也叫乘积集。它的元素是所有可能的有序对 $(a, b)$，其中 $a$ 和 $b$ 都来自集合 $S$。例如，如果 $S=\{1, 2\}$，那么 $S \times S = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$。
• $S \times S \rightarrow S$：这个箭头符号“$\rightarrow$”表示一个映射关系。整个表达式的含义是：这个组合律函数（我们不妨叫它 $f$）的定义域是 $S \times S$，值域是 $S$。也就是说，你给这个函数一个来自 $S \times S$ 的输入（即一个元素对 $(a, b)$），它就会输出一个来自 $S$ 的元素 $p$。这完美地对应了“将 $S$ 的元素对 $a, b$ 组合起来得到 $S$ 的另一个元素 $p$”这句话。$f((a, b)) = p$。

第一句解释：“通过对 $a, b$ 对应用该定律而获得的元素通常使用类似于乘法或加法的符号表示：... 或其他任何符号，根据所讨论的特定定律进行选择。”

前面我们将组合律定义为一个函数 $f((a, b)) = p$。但在实际使用中，每次都写 $f((a,b))$ 太过繁琐。因此，数学上习惯使用中缀表示法，即把运算符放在两个操作数之间。这里列举了一些常见的符号：

• $ab$ 或 $a \cdot b$ 或 $a \times b$：这是乘法符号。$ab$ 是最简洁的写法，当不会引起混淆时经常使用。例如，矩阵乘法 $AB$。
• $a \circ b$ 或 $a * b$：这是通用符号。当不想暗示这个运算具有乘法或加法的任何特定性质时，使用像 $\circ$ (circle) 或 $*$ (star) 这样的抽象符号，明确表示这是一个泛指的组合律。例如，函数的复合通常写为 $f \circ g$。
• $a+b$：这是加法符号。通常，这个符号被保留给满足交换律（即 $a+b=b+a$）的组合律。例如，实数加法、向量加法。

选择哪个符号？ 这取决于上下文和数学传统。例如，在讨论数字时，+ 和 × 的意义是明确的。在讨论群论时，默认的通用符号常常是乘法符号 $ab$，因为它简洁。

第二句解释：“元素 $p$ 可以被称为 $a$ 和 $b$ 的积或和，这取决于所选择的符号。”

这很简单，名称跟随符号。如果使用 $ab$，我们称 $p$ 为积 (product)。如果使用 $a+b$，我们称 $p$ 为和 (sum)。即使 $a, b$ 不是数字，我们也可以借用这些术语。例如，两个矩阵的乘积，两个函数的复合积。

第三、四句解释：“我们大多数时候会使用乘法符号 $a b$。用乘法符号完成的任何事情都可以用另一种符号（例如加法）重新编写，并且它仍然有效。重新编写只是符号的改变。”

这部分强调了符号的任意性及其背后的思想统一性。

• 默认选择：本书（以及许多抽象代数教材）将主要使用乘法符号 $ab$ 作为默认的组合律表示。这是一种约定，为了方便和简洁。
• 本质不变：无论你用 $a \cdot b = p$ 还是用 $a+b=p$ 来描述同一个抽象的组合律，这个定律的内在结构和性质是完全一样的。比如，如果一个定律满足结合律，那么 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 和 $(a+b)+c = a+(b+c)$ 表达的是完全相同的结构真理。
• 符号的改变：从一种符号体系转换到另一种，仅仅是“换皮”。比如，我们可以定义一个奇怪的运算“$\oplus$”，让 $x \oplus y = x+y-1$。然后我们可以研究 $(\mathbb{Z}, \oplus)$ 的性质，这和研究 $(\mathbb{Z}, +)$ 的性质本质上是相通的，只是表达方式不同。

第一句解释：“需要立即注意的是，$a b$ 代表 $S$ 的某个元素，即通过将给定定律应用于由 $a$ 和 $b$ 表示的元素而获得的元素。”

这句话是对符号 $ab$ 的进一步强调。$ab$ 不是一个形式化的符号组合，它是一个“待求值”的表达式。一旦组合律被确定，并且 $a$ 和 $b$ 被赋予了具体的值，那么 $ab$ 就立刻“坍缩”为集合 $S$ 中的一个确定的、具体的元素。它不再是 $a$ 和 $b$ 的并列，而是它们相互作用后的“产物”。

第二句解释（例子）：“因此，如果定律是矩阵乘法，并且如果 $a=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ 且 $b=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$，则 $a b$ 表示矩阵 $\left[\begin{array}{ll}7 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right]$。”

这是一个非常重要的具体例子，用来说明上述观点。

• 集合 S: 所有 $2 \times 2$ 实数矩阵的集合。
• 组合律: 矩阵乘法。
• 元素 a 和 b: 给定了两个具体的矩阵。
• 表达式 ab: 此时，$ab$ 就不是一个抽象的符号了，它指向一个具体的计算任务：将矩阵 $a$ 乘以矩阵 $b$。
• 求值结果:

这个结果 $\left[\begin{array}{ll}7 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right]$ 是 $S$ 中的一个新元素。所以，符号串 $ab$ 最终代表的就是这个矩阵。

第三句解释：“一旦积 $a b$ 被求值，元素 $a$ 和 $b$ 就不能从它中恢复。”

这句话揭示了组合律的一个普遍性质：信息的损失。

• 不可逆性: 组合律通常是一个“多对一”的映射。就像 $2+3=5$，但 $1+4=5$ 也成立。当你只知道结果是 $5$ 时，你无法确定最初的两个数是 $(2,3)$ 还是 $(1,4)$ 还是其他无数种可能。这个过程是不可逆的。
• 矩阵例子: 同样，知道了乘积是 $\left[\begin{array}{ll}7 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right]$，是否存在另一对矩阵 $c, d$ 使得 $cd$ 也等于这个结果呢？答案是肯定的（例如 $c=ab$，$d=I$ (单位矩阵)）。因此，从“积”无法唯一地反推出“因子”。这与初等算术中的质因数分解（在某种意义上是可逆的）形成了鲜明对比，也凸显了抽象代数中运算的普遍性。

本段引入了组合律的两个核心性质：结合律和交换律。

结合律 (Associative Law)

• 定义：一个组合律被称为结合的，如果对于集合 $S$ 中任意三个元素 $a,b,c$，它们的运算满足 $(ab)c = a(bc)$。
• 含义解析：“$(ab)c$” 的意思是，运算顺序是“从左到右”。我们先计算 $a$ 和 $b$ 的积，得到一个中间结果（我们称之为 $d=ab$），然后再计算 $d$ 和 $c$ 的积。
• 含义解析：“$a(bc)$” 的意思是，运算顺序是“从右到左”（或者说，先计算括号里的）。我们先计算 $b$ 和 $c$ 的积，得到一个中间结果（我们称之为 $e=bc$），然后再计算 $a$ 和 $e$ 的积。
• 核心思想：结合律保证了，对于三个或更多元素的连续运算，只要元素的相对顺序不变（始终是 $a, b, c$ 的顺序），那么运算的次序（即括号加在哪里）不会影响最终结果。这使得我们可以写下 $abc$ 这样的无歧义表达式。

交换律 (Commutative Law)

• 定义：一个组合律被称为可交换的，如果对于集合 $S$ 中任意两个元素 $a,b$，它们的运算满足 $ab=ba$。
• 核心思想：交换律保证了，元素的顺序可以任意调换而不影响结果。这比结合律的要求更强。

例子：矩阵乘法

• 结合性: 矩阵乘法是满足结合律的。对于三个可相乘的矩阵 $A, B, C$，恒有 $(AB)C = A(BC)$。这是一个非常重要且不那么显然的性质，可以通过直接计算来验证。
• 非交换性: 矩阵乘法通常不满足交换律。即 $AB$ 一般不等于 $BA$。我们在之前的例子中就可以验证：

$a = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right], b = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$

$ab = \left[\begin{array}{ll}7 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right]$

$ba = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}(1)(1)+(0)(0) & (1)(3)+(0)(2) \\ (2)(1)+(1)(0) & (2)(3)+(1)(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 8\end{array}\right]$

显然，$ab \neq ba$。

符号使用的习惯

• 加法符号 +: 当我们看到 $a+b$ 时，通常可以默认这个运算是可交换的 ($a+b=b+a$)。这是一种强烈的数学惯例。如果一个运算不可交换，却用 + 表示，会造成极大的误解。
• 乘法符号 ab: 这个符号是中性的。它不暗示任何关于交换性的信息。一个用乘法符号表示的组合律，可能是可交换的（如实数乘法），也可能是不可交换的（如矩阵乘法）。在使用时，必须根据上下文或明确的定义来判断其是否可交换。

第一句解释：“结合律比交换律更基本，原因之一是函数的复合是结合的。”

这句话提出了一个深刻的观点：在数学的结构中，结合律的出现频率和根本性要高于交换律。它用一个普适的例子——函数复合——来支撑这个观点。几乎所有数学分支都涉及函数和映射，而函数的复合操作天然就是结合的，这就使得结合律成为一个无处不在的性质。

函数复合的定义

• 背景: 我们有一个集合 $T$。我们考虑所有能把 $T$ 中的元素变成 $T$ 中另一个元素（或其自身）的映射（即函数）。例如，如果 $T=\mathbb{R}$（实数集），那么 $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$ 都是 $T \rightarrow T$ 的映射。
• 复合操作: 给定两个映射 $f$ 和 $g$，它们的复合映射 $g \circ f$ 定义了一个新的映射。这个新映射的作用是：对于 $T$ 中的任何一个输入 $t$，先把 $f$ 应用于 $t$ 得到结果 $f(t)$，然后再把 $g$ 应用于这个新结果 $f(t)$，得到最终输出 $g(f(t))$。
• 符号: $g \circ f$ 读作 "g compose f" 或 "g after f"。注意符号的顺序和应用的顺序是相反的。$g \circ f$ 是先用 $f$ 再用 $g$。
• $t \leadsto g(f(t))$: 这个波浪线箭头 $\leadsto$ 是一种表示“被映成”的符号。整句话表示“元素 $t$ 被映射为 $g(f(t))$”。

复合操作作为组合律

• 规则: $g, f \rightsquigarrow g \circ f$。这里的 $\rightsquigarrow$ 是一个 мета-符号，表示“将 $g$ 和 $f$ 这对映射，通过复合规则，对应于新的映射 $g \circ f$”。
• 验证: 设 $S$ 是所有映射 $T \rightarrow T$ 的集合。函数复合 $(\circ)$ 是不是 $S$ 上的一个组合律？是的。因为任取两个 $S$ 中的映射 $f, g$，它们的复合 $g \circ f$ 仍然是一个从 $T$ 映射到 $T$ 的映射，所以结果仍在 $S$ 内，满足封闭性。

函数复合的结合律证明

• 待证明: 对于任意三个 $T \rightarrow T$ 的映射 $f, g, h$，我们要证明 $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$。
• 如何证明两个函数相等？: 要证明两个函数（比如 $F$ 和 $G$）相等，就是要证明对于它们定义域里的任意一个元素 $t$，都有 $F(t) = G(t)$。
• 证明过程:

1. 计算左边: $F = (h \circ g) \circ f$。

让 $F$ 作用在任意元素 $t \in T$ 上：

$F(t) = ((h \circ g) \circ f)(t)$

根据复合的定义（先用右边的），这等于 $(h \circ g)(f(t))$。

再根据复合的定义，这等于 $h(g(f(t)))$。

1. 计算右边: $G = h \circ (g \circ f)$。

让 $G$ 作用在同一个元素 $t \in T$ 上：

$G(t) = (h \circ (g \circ f))(t)$

根据复合的定义，这等于 $h((g \circ f)(t))$。

再根据复合的定义，这等于 $h(g(f(t)))$。

1. 比较结果: 我们发现 $F(t)$ 和 $G(t)$ 都等于 $h(g(f(t)))$。因为 $t$ 是任意选取的，所以这两个函数 $F$ 和 $G$ 是完全相同的。
2. 结论: 函数复合满足结合律。

图示解释

原文中的图示是对这个证明过程的直观展示。

• 最左边的 $T$ 是起点，元素是 $t$。
• 第一个箭头 $f$ 把 $t$ 变成 $f(t)$。
• 第二个箭头 $g$ 把 $f(t)$ 变成 $g(f(t))$。
• 第三个箭头 $h$ 把 $g(f(t))$ 变成 $h(g(f(t)))$。
• 上面的路径 $(h \circ g) \circ f$：先走 $f$ 得到 $f(t)$，再走 $h \circ g$ 这条“组合路径”。而走 $h \circ g$ 就是先走 $g$ 再走 $h$。所以总路径是 $f \rightarrow g \rightarrow h$。
• 下面的路径 $h \circ (g \circ f)$：先走 $g \circ f$ 这条“组合路径”得到 $g(f(t))$。而走 $g \circ f$ 就是先走 $f$ 再走 $g$。然后再走 $h$。总路径还是 $f \rightarrow g \rightarrow h$。
• 两条路径的起点和终点完全一样，形象地说明了结合律的成立。

本节通过一个极小的、具体的例子，来展示函数复合这种组合律的具体运算，并借此说明它为什么不是可交换的。

1. 构造一个最小的非平凡世界

• 集合 T: 为了让例子尽可能简单，作者选择了只包含两个元素的集合 $T=\{a, b\}$。这是一个非常聪明的选择，因为元素再少（1个）就太简单了，元素再多（3个）映射的数量会急剧增加（$3^3=27$个），无法列表分析。
• 映射 T → T: 一个从 $T$ 到 $T$ 的映射需要为 $T$ 中的每个元素（$a$ 和 $b$）指定一个输出值，输出值也必须是 $a$ 或 $b$。
• 对于输入 $a$，输出可以是 $a$ 或 $b$（2种选择）。
• 对于输入 $b$，输出也可以是 $a$ 或 $b$（2种选择）。
• 根据乘法原理，总共有 $2 \times 2 = 4$ 个不同的映射。

2. 列出所有的映射

作者将这4个映射命名为 $i, \tau, \alpha, \beta$。

• $i$ (identity)：恒等映射。它什么也不改变。$i(a)=a, i(b)=b$。
• $\tau$ (transposition)：转置（或交换）。它把两个元素对调。$\tau(a)=b, \tau(b)=a$。
• $\alpha$ (alpha)：常函数 a。它把所有输入都变成 $a$。$\alpha(a)=a, \alpha(b)=a$。
• $\beta$ (beta)：常函数 b。它把所有输入都变成 $b$。$\beta(a)=b, \beta(b)=b$。

3. 构建组合律的乘法表

• 集合 S: 我们现在研究的集合是这四个映射本身构成的集合 $S = \{i, \tau, \alpha, \beta\}$。
• 组合律: 函数复合 $(\circ)$。
• 乘法表 (Multiplication Table)：也叫凯莱表 (Cayley Table)。这是一种展示有限集合上组合律运算结果的表格。表格的行和列分别代表组合律的第一个和第二个操作数。表格主体中的每个单元格是对应行和列元素运算的结果。
• 阅读方式: 表格约定了 $g \circ f$ 的结果位于第 $g$ 行、第 $f$ 列。即 (行元素) ∘ (列元素)。

4. 逐个计算表项（以 $\tau \circ \alpha = \beta$ 为例）

• 待计算: $\tau \circ \alpha$。这是一个新的映射，我们叫它 $k$。为了知道 $k$ 是什么，我们需要看它对 $a$ 和 $b$ 的作用。
• 计算 $k(a)$:
• $k(a) = (\tau \circ \alpha)(a)$
• 根据定义，先用 $\alpha$： $\alpha(a) = a$。
• 再用 $\tau$：$\tau(a) = b$。
• 所以，$k(a) = b$。
• 计算 $k(b)$:
• $k(b) = (\tau \circ \alpha)(b)$
• 先用 $\alpha$：$\alpha(b) = a$。
• 再用 $\tau$：$\tau(a) = b$。
• 所以，$k(b) = b$。
• 识别结果: 我们得到的新映射 $k$ 满足 $k(a)=b$ 和 $k(b)=b$。查阅上面的定义，这正是映射 $\beta$。因此，$\tau \circ \alpha = \beta$。我们可以在表格的第 $\tau$ 行、第 $\alpha$ 列填上 $\beta$。

5. 证明非交换性

• 原文给出的例子: $\tau \circ \alpha=\beta$。
• 现在我们计算反过来的顺序：$\alpha \circ \tau$。令其为 $m$。
• 计算 $m(a)$:
• $m(a) = (\alpha \circ \tau)(a)$
• 先用 $\tau$：$\tau(a) = b$。
• 再用 $\alpha$：$\alpha(b) = a$。
• 所以，$m(a)=a$。
• 计算 $m(b)$:
• $m(b) = (\alpha \circ \tau)(b)$
• 先用 $\tau$：$\tau(b) = a$。
• 再用 $\alpha$：$\alpha(a) = a$。
• 所以，$m(b)=a$。
• 识别结果: 新映射 $m$ 满足 $m(a)=a$ 和 $m(b)=a$。这正是映射 $\alpha$。因此，$\alpha \circ \tau = \alpha$。
• 结论: 因为 $\tau \circ \alpha = \beta$ 而 $\alpha \circ \tau = \alpha$，并且 $\alpha \neq \beta$，所以 $\tau \circ \alpha \neq \alpha \circ \tau$。我们找到了一个反例，证明了函数复合这个组合律不是可交换的。

引言部分解释

• 问题提出: 组合律本身只定义了两个元素的运算。如果我们有一长串元素，比如 $a_1, a_2, a_3, a_4$，我们该如何计算它们的“总乘积”？
• 多种计算方式: 由于我们一次只能结合两个元素，所以必须引入括号来指定运算次序。对于 $a_1, a_2, a_3, a_4$，可能的计算方式有：

1. 从左到右：$((a_1 a_2) a_3) a_4$
2. 从右到左：$a_1 (a_2 (a_3 a_4))$
3. 中间分开：$(a_1 a_2) (a_3 a_4)$
4. 其他方式：$a_1 ((a_2 a_3) a_4)$ 或 $(a_1 (a_2 a_3)) a_4$
   • 结合律的重要性: 如果组合律是结合的，那么无论我们选择上面哪种加括号的方式，最终得到的结果都是完全相同的。这个惊人的性质，使得我们可以放心地写下 $a_1 a_2 a_3 a_4$ 而不必担心引起歧义，因为“怎么算都一样”。
   • “积”的定义: 因此，对于一个结合律，我们可以定义一长串元素的积，就是通过任意一种合法的加括号方式计算出的那个唯一的结果。

命题 2.1.4 (广义结合律)

这个命题是对上述思想的严格数学陈述。它旨在证明，对于结合律，长字符串的积是良定义的（存在且唯一）。

• 前提: 我们有一个集合 $S$ 和一个定义在其上的结合组合律。
• 目标: 我们要定义一个叫做“n个元素的积”的东西，记作 $[a_1 \dots a_n]$。这个定义必须满足三个看似自然、实则严格的条件。
• 条件 (i): 一个元素的积。$[a_1]$ 就是 $a_1$ 本身。这是最基础的情况，积就是它自己。
• 条件 (ii): 两个元素的积。$[a_1 a_2]$ 就是由原始的组合律直接给出的 $a_1 a_2$。这保证了我们的新定义和旧定义在最简单的情况下是兼容的。
• 条件 (iii): 任意切分规则。这是最关键的条件。它说，计算 $n$ 个元素乘积 $[a_1 \dots a_n]$ 的方法，等价于在任意位置 $i$ 将字符串“切开”，先分别计算左半部分 $[a_1 \dots a_i]$ 和右半部分 $[a_{i+1} \dots a_n]$ 的积，然后将得到的两个结果再用原始的组合律相乘。

这个命题的结论是：满足这三个条件的“积”的定义方法，不仅存在，而且是唯一的。

本节给出了命题2.1.4的严格证明，其核心工具是数学归纳法。

证明思路

我们要证明对于所有正整数 $n$，满足性质(i), (ii), (iii)的积 $[a_1 \dots a_n]$ 存在且唯一。

1. 归纳基础 (Base Case)

• n=1: 性质(i)直接定义了 $[a_1] = a_1$。这是唯一的定义。
• n=2: 性质(ii)直接定义了 $[a_1 a_2] = a_1 a_2$ (由原始组合律给出)。这也是唯一的定义。此时，我们需要验证性质(iii)是否满足。对于 $n=2$，唯一可能的 $i$ 是 $i=1$。性质(iii)要求 $[a_1 a_2] = [a_1][a_2]$。根据(i)和(ii)的定义，这变成了 $a_1 a_2 = a_1 a_2$，显然成立。
• 所以，对于 $n \le 2$，命题成立。

2. 归纳假设 (Inductive Hypothesis)

• 我们假设：对于所有小于 $n$ 的正整数 $r$（即 $r \le n-1$），$r$ 个元素的积 $[a_1 \dots a_r]$ 已经存在并且是唯一满足性质(i, ii, iii)的。
• 这个假设至关重要。它意味着，我们现在可以自由地谈论和使用任何不多于 $n-1$ 个元素的（无歧义的）积。

3. 归纳步骤 (Inductive Step)

• 目标: 证明对于 $n$ 个元素，满足条件的积也存在且唯一。
• 定义 n 元积: 作者选择了一种特定的方式来定义 $n$ 元积，即通过“从左到右”的计算方式：

$[a_1 \dots a_n] := [a_1 \dots a_{n-1}][a_n]$

这个定义的含义是：先计算出前 $n-1$ 个元素的（根据归纳假设，已经良定义的）积，然后把它作为一个单一元素，再与第 $n$ 个元素 $a_n$ 相乘。

• 唯一性证明: 如果一个满足性质(iii)的 $n$ 元积真的存在，那么它必须满足 $i=n-1$ 的情况，即它必须等于 $[a_1 \dots a_{n-1}][a_n]$。而我们就是这样定义它的。所以，如果这样的积存在，那么它必然是我们定义的这个，因此它是唯一的。
• 存在性证明 (验证性质iii): 现在，唯一剩下的工作，就是验证我们这个定义是否真的满足性质(iii)对于所有 $i$ ($1 \le i < n$) 都成立。
• 对于 $i=n-1$，我们的定义本身就保证了性质(iii)成立。
• 我们需要检查的是当 $i < n-1$ 的情况。下面就是原文中的推导链条：

推导链条详解

我们要证明的目标是：$[a_1 \dots a_n] = [a_1 \dots a_i][a_{i+1} \dots a_n]$ 对于任意 $1 \le i < n-1$ 都成立。

1. $[a_1 \dots a_n] = [a_1 \dots a_{n-1}][a_n]$
   • 理由: 这是我们在归纳步骤中给出的 $n$ 元积的定义。我们从定义出发。
2. $= ([a_1 \dots a_i][a_{i+1} \dots a_{n-1}]) [a_n]$
   • 理由: 归纳假设。
   • 解释: 表达式 $[a_1 \dots a_{n-1}]$ 是 $n-1$ 个元素的积。因为 $i < n-1$，所以我们可以对这 $n-1$ 个元素组成的字符串应用性质(iii)（根据归纳假设，它对 $n-1$ 个元素成立）。我们将它在第 $i$ 个位置切开，得到 $[a_1 \dots a_{n-1}] = [a_1 \dots a_i][a_{i+1} \dots a_{n-1}]$。然后将这个结果代入第一行的表达式。
3. $= [a_1 \dots a_i] ( [a_{i+1} \dots a_{n-1}] [a_n] )$
   • 理由: 原始的二元结合律。
   • 解释: 让我们把第二行的三个部分看作三个单一的元素：
   • 令 $X = [a_1 \dots a_i]$。
   • 令 $Y = [a_{i+1} \dots a_{n-1}]$。
   • 令 $Z = [a_n]$。
   • 那么第二行的表达式就是 $(X Y) Z$。根据原始的、只针对三个元素的结合律，我们知道 $(XY)Z = X(YZ)$。把 $X,Y,Z$ 替换回来，就得到了第三行的表达式。这是整个证明最核心的一步，它将多元的结合性归结为了最基本的三元结合性。
4. $= [a_1 \dots a_i] [a_{i+1} \dots a_n]$
   • 理由: 归纳假设。
   • 解释: 看第三行括号里的部分：$[a_{i+1} \dots a_{n-1}] [a_n]$。这是“一个 $(n-1-i)$ 元的积”与“一个一元积 $a_n$”相乘。
   • 等等，这里的逻辑需要更细致。让我们看第三行的后半部分：$([a_{i+1} \dots a_{n-1}] [a_n])$。
   • 注意到子串 $a_{i+1}, \dots, a_n$ 的长度是 $n-i$。因为 $i \ge 1$，所以 $n-i \le n-1$。因此，根据归纳假设，积 $[a_{i+1} \dots a_n]$ 是良定义的。
   • 根据我们对任意 $r \le n-1$ 元积的定义（即从左到右计算），我们有：
   • 所以，第三行括号里的部分 $([a_{i+1} \dots a_{n-1}] [a_n])$ 正是积 $[a_{i+1} \dots a_n]$ 的定义。我们将它替换，就得到了第四行。

结论

我们从 $[a_1 \dots a_n]$ 出发，经过一系列等价变换，最终得到了 $[a_1 \dots a_i][a_{i+1} \dots a_n]$。这证明了我们对 $n$ 元积的定义满足性质(iii)。因此，通过数学归纳法，命题对所有正整数 $n$ 成立。

最后一步

“我们现在将删除括号并用 $a_1 \dots a_n$ 表示积。”

因为我们已经证明了这个积是无歧义的，所以就不再需要用特殊的方括号 $[\dots]$ 来表示了，可以直接写成 $a_1 \dots a_n$，并且在计算时可以随意组合相邻的项。

单位元的定义

• 什么是单位元 (Identity Element)：在一个带有组合律的集合 $S$ 中，如果存在一个特殊的元素 $e$，它跟集合中任何一个元素 $a$ 进行运算，结果都还是那个元素 $a$ 本身，那么 $e$ 就被称为单位元。
• 左单位元与右单位元: 这个定义包含两个条件：

1. $ea = a$：$e$ 放在左边和 $a$ 运算，不起作用。这时 $e$ 被称为左单位元。
2. $ae = a$：$e$ 放在右边和 $a$ 运算，也不起作用。这时 $e$ 被称为右单位元。
   • 一个元素被称为单位元，它必须同时是左单位元和右单位元。
   • “对于所有a”: 这个性质必须对集合 $S$ 中的每一个元素 $a$ 都成立，无一例外。

单位元的唯一性证明

这是一个经典而简洁的证明，展示了数学推理的美感。

• 思路: 假设法。我们假设存在两个不同的单位元，然后通过逻辑推导证明它们必然相等，从而产生矛盾。
• 证明步骤:

1. 假设: 设 $e$ 和 $e'$ 都是集合 $S$ 上的单位元。
2. 利用 e 的性质: 因为 $e$ 是一个单位元，所以它跟任何元素（包括 $e'$）运算，都等于那个元素。所以，$e e' = e'$。（把 $e'$ 看作定义中的 $a$）
3. 利用 e' 的性质: 因为 $e'$ 也是一个单位元，所以任何元素（包括 $e$）跟它运算，都等于那个元素。所以，$e e' = e$。（把 $e$ 看作定义中的 $a$）
4. 得出结论: 我们现在有两个关于同一个表达式 $e e'$ 的等式：
   • $e e' = e'$
   • $e e' = e$
   • 因此，必然有 $e = e'$。
   • 结论: 这证明了，如果一个组合律存在单位元，那么这个单位元必定是唯一的。不可能有两个或更多。

单位元的例子

• 矩阵乘法:
• 集合: 所有 $n \times n$ 矩阵。
• 组合律: 矩阵乘法。
• 单位元: 单位矩阵 $I_n$。这是一个主对角线元素全为1，其他元素全为0的矩阵。对于任何 $n \times n$ 矩阵 $A$，都有 $I_n A = A$ 和 $A I_n = A$。
• 例如，对于 $2 \times 2$ 矩阵：$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
• 函数复合:
• 集合: 所有从 $T$ 到 $T$ 的映射。
• 组合律: 函数复合 $\circ$。
• 单位元: 恒等映射 $id_T$（或原文中的 $i$）。这个映射的定义是 $id_T(t) = t$ 对于所有 $t \in T$。
• 验证: 对于任何映射 $f: T \rightarrow T$ 和任何元素 $t \in T$：
• $(id_T \circ f)(t) = id_T(f(t)) = f(t)$。所以 $id_T \circ f = f$。
• $(f \circ id_T)(t) = f(id_T(t)) = f(t)$。所以 $f \circ id_T = f$。
• 因此，恒等映射是函数复合的单位元。

这段话非常简短，但很重要，它建立了单位元的符号约定。

• 乘法形式 (Multiplicative Notation): 当我们使用 $ab$ 这种乘法风格的符号来表示组合律时，习惯上将其单位元记作 1。
• 这时，单位元的定义写作：$1 \cdot a = a$ 和 $a \cdot 1 = a$。
• 这个 1 不一定是数字1。例如，在 $n \times n$ 矩阵乘法中，单位矩阵 $I_n$ 就是这个抽象的 1。在函数复合中，恒等映射 $id$ 就是这个 1。
• 加法形式 (Additive Notation): 当我们使用 $a+b$ 这种加法风格的符号（通常用于交换律）时，习惯上将其单位元记作 0。
• 这时，单位元的定义写作：$0 + a = a$ 和 $a + 0 = a$。
• 这个 0 也不一定是数字0。例如，在向量空间中，所有分量都为零的零向量 $\vec{0}$ 就是向量加法的单位元。在函数环中，值为常数0的零函数就是函数加法的单位元。
• 核心思想: 符号 1 和 0 被从它们在初等算术中的具体含义中“解放”出来，被赋予了更广泛、更抽象的含义。它们仅仅是作为特定类型组合律下“不做任何改变”的那个元素的代号。它们共享的是单位元这个结构性角色，而不是数值。

逆元的定义

• 前提: 要讨论逆元 (Inverse Element)，必须先满足三个前提条件：

1. 有一个组合律。
2. 这个组合律是结合的。
3. 这个组合律有一个单位元（这里用乘法习惯，记作 1）。

没有单位元就无从谈起逆元，因为逆元的定义依赖于单位元。

• 什么是逆元: 对于集合中的某个元素 $a$，如果能找到另一个元素 $b$（也在集合中），使得 $a$ 和 $b$ 运算的结果恰好是单位元 1，那么 $b$ 就是 $a$ 的逆元。
• 左逆元与右逆元: 同样，这个定义也包含两个条件：

1. $ab=1$：$b$ 是 $a$ 的右逆元。
2. $ba=1$：$b$ 是 $a$ 的左逆元。
   • 一个元素 $b$ 被称为 $a$ 的逆元，必须同时是 $a$ 的左逆元和右逆元。
   • 可逆性 (Invertible)：如果一个元素 $a$ 存在逆元，那么 $a$ 就被称为可逆的。注意，在一个集合中，可能有些元素是可逆的，而另一些则不是。

逆元的符号表示

• 乘法形式: 如果组合律用乘法符号表示，元素 $a$ 的逆元通常记作 $a^{-1}$。
• 定义写作：$a a^{-1} = 1$ 和 $a^{-1} a = 1$。
• 这个 $-1$ 不是指数幂，而是一个纯粹的记号，读作 "a inverse"。
• 加法形式: 如果组合律用加法符号表示，元素 $a$ 的逆元（此时通常称为相反数, opposite）记作 $-a$。
• 定义写作：$a + (-a) = 0$ 和 $(-a) + a = 0$。这里的 0 是加法单位元。
• 这个 $-a$ 也一样，是一个整体的符号，代表 $a$ 的加法逆元。

本节列举了关于逆元的四个重要性质。这些性质在群论以及所有相关代数结构中都至关重要。

性质1：左逆元与右逆元的关系

• 原文: "如果元素 $a$ 既有左逆元 $\ell$ 又有右逆元 $r$，即如果 $\ell a=1$ 且 $a r=1$，那么 $\ell=r, a$ 是可逆的，$r$ 是它的逆元。"
• 解释: 这个性质说，在一个结合的、有单位元的结构中，只要一个元素 $a$ 同时拥有一个左逆元 $\ell$ 和一个右逆元 $r$，那么这个左逆元和右逆元必然是同一个元素。
• 证明 (原文未给，但很重要):

1. 我们从 $\ell$ 出发：$\ell = \ell \cdot 1$ (因为1是单位元)
2. 我们知道 $ar=1$，把这个代入上面的 1：$\ell = \ell(ar)$
3. 因为组合律是结合的：$\ell(ar) = (\ell a)r$
4. 我们又知道 $\ell a=1$ (因为 $\ell$ 是左逆元)：$(\ell a)r = 1 \cdot r$
5. 最后，根据单位元的性质，$1 \cdot r = r$。
6. 串起来：$\ell = \ell \cdot 1 = \ell(ar) = (\ell a)r = 1 \cdot r = r$。
7. 所以 $\ell = r$。
   • 推论: 一旦证明了 $\ell=r$，那么这个元素（我们称之为 $b$）就满足了 $ab=1$ 和 $ba=1$，完全符合逆元的定义。因此 $a$ 是可逆的，并且这个元素就是它的（双边）逆元。

性质2：逆元的唯一性

• 原文: "如果 $a$ 是可逆的，它的逆元是唯一的。"
• 解释: 这和单位元的唯一性类似。一个可逆元素，不可能有两个或更多不同的逆元。
• 证明 (假设法):

1. 假设 $b$ 和 $c$ 都是 $a$ 的逆元。
2. 根据定义，这意味着：$ab=1, ba=1$ 和 $ac=1, ca=1$。
3. 我们从 $b$ 出发：$b = b \cdot 1$ (单位元性质)
4. 用 $ac=1$ 代入：$b = b(ac)$
5. 利用结合律：$b(ac) = (ba)c$
6. 用 $ba=1$ 代入：$(ba)c = 1 \cdot c$
7. 根据单位元性质：$1 \cdot c = c$。
8. 串起来：$b = b \cdot 1 = b(ac) = (ba)c = 1 \cdot c = c$。
9. 所以 $b=c$。证明了逆元是唯一的。
   • 这个证明和性质1的证明逻辑几乎完全一样，是群论中最基本、最经典的证明技巧之一。

性质3：积的逆元（穿袜-脱袜原则）

• 原文: "逆元以相反的顺序相乘：如果 $a$ 和 $b$ 是可逆的，那么积 $a b$ 也是可逆的，并且 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$。"
• 解释: 两个可逆元素的积，其结果也是一个可逆的元素。它的逆元不是 $a^{-1}b^{-1}$，而是将两个原始逆元以相反的顺序相乘得到的结果。
• 直觉 (穿袜脱袜): 想象你先穿上袜子($a$)，再穿上鞋子($b$)。这个复合动作是 $ba$（先a后b）。要想撤销这个过程，你必须先脱鞋子($b^{-1}$)，再脱袜子($a^{-1}$)。撤销的动作序列是 $a^{-1}b^{-1}$，正好是原始动作逆元的反序。即 $(ba)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$。如果用文中的符号，动作是 $ab$，撤销就是 $b^{-1}a^{-1}$。
• 证明: 要证明 $b^{-1}a^{-1}$ 是 $ab$ 的逆元，我们只需验证它们相乘是否等于单位元 1。
• 验证右逆元:

$(ab)(b^{-1}a^{-1}) = a(b(b^{-1}a^{-1}))$ (结合律)

$= a((bb^{-1})a^{-1})$ (结合律)

$= a(1 \cdot a^{-1})$ (逆元定义)

$= a a^{-1}$ (单位元性质)

$= 1$ (逆元定义)

• 验证左逆元:

$(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}(ab))$ (结合律)

$= b^{-1}((a^{-1}a)b)$ (结合律)

$= b^{-1}(1 \cdot b)$ (逆元定义)

$= b^{-1}b$ (单位元性质)

$= 1$ (逆元定义)

• 因为左右相乘都得1，所以 $ab$ 可逆，且其逆元就是 $b^{-1}a^{-1}$。

性质4：单边逆元的存在性

• 原文: "元素 $a$ 可能有左逆元或右逆元，尽管它不是可逆的。"
• 解释: 这个性质揭示了一个微妙的可能性。一个元素可能有一个能从左边“消掉”它的伙伴，但这个伙伴从右边乘过来就不行了。或者反之。这种情况发生时，这个元素就只有单边逆元，而不是一个（双边）逆元，因此它本身是不可逆的。
• 发生条件: 这种情况只可能发生在无限维的空间或者某些特殊的代数结构中。在有限维的矩阵世界里，一个方阵有左逆就必有右逆，且它们相等。但在更广阔的数学世界里，这不成立。
• 例子 (来自习题1.3):
• 考虑由所有无限实数序列组成的集合 $S$。
• 定义两个映射（或算子）：
• 右移算子 R: $R(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$。它把整个序列向右推一格，并在开头补0。
• 左移算子 L: $L(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$。它把序列向左推一格，并丢弃第一项。
• 组合律是算子的复合。单位元是恒等算子 $I$ (什么都不做)。
• 我们来考察 $L$ 和 $R$ 的关系：
• 计算 $L \circ R$: 先右移，再左移。

$R(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$

$L(0, x_1, x_2, \dots) = (x_1, x_2, \dots)$

所以 $L \circ R = I$。这意味着，$R$ 是 $L$ 的右逆元，同时 $L$ 是 $R$ 的左逆元。

• 计算 $R \circ L$: 先左移，再右移。

$L(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$

$R(x_2, x_3, \dots) = (0, x_2, x_3, \dots)$

结果是 $(0, x_2, x_3, \dots)$，它不等于原始序列 $(x_1, x_2, \dots)$（因为第一项丢失了）。

所以 $R \circ L \neq I$。

• 结论: $R$ 有一个左逆元 $L$，但它没有右逆元。因此 $R$ 是不可逆的。同理，$L$ 有一个右逆元 $R$，但没有左逆元，也是不可逆的。

本节将我们熟悉的整数次幂的概念，推广到具有结合律的抽象代数结构中。

幂的定义

• 前提: 只要有一个结合律（用乘法表示），我们就可以定义元素的幂。如果还想定义负数次幂，则需要元素可逆。
• 正整数次幂: 对于正整数 $n$， $a^n$ 定义为 $n$ 个 $a$ 的连乘：

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ 个}}$

由于结合律的存在，这个连乘是无歧义的。

• 零次幂: $a^0$ 定义为单位元 1。

$a^0 = 1$

这和我们熟悉的 $x^0=1$ 是一致的，是保持幂运算规则和谐的必要定义。

• 负整数次幂: 对于正整数 $n$，如果 $a$ 是可逆的，那么 $a^{-n}$ 定义为 $n$ 个 $a^{-1}$ 的连乘：

$a^{-n} = (a^{-1})^n = \underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \dots \cdot a^{-1}}_{n \text{ 个}}$

注意，这要求 $a$ 必须有逆元 $a^{-1}$。

幂的运算规则

在结合律下，我们熟悉的幂运算规则依然成立，前提是 $a$ 是可逆的（对于涉及负指数的情况）。

• 同底数幂相乘: $a^r a^s = a^{r+s}$
• 解释: 左边是 $r$ 个 $a$ 相乘，后面再跟着 $s$ 个 $a$ 相乘，总共就是 $r+s$ 个 $a$ 相乘。这个规则对于任意整数 $r, s$ 都成立。
• 幂的乘方: $(a^r)^s = a^{rs}$
• 解释: 左边是把“$r$ 个 $a$ 的乘积”这个整体，再自身相乘 $s$ 次。总共 $a$ 的个数就是 $r \times s$ 个。这个规则对于任意整数 $r, s$ 也都成立。

加法符号下的表示

当组合律是加法（通常意味着可交换）时，幂的表示方式会相应改变，以符合加法的习惯。

• $a^n$ 变成 $na$: 乘法中的“$a$ 的 $n$ 次幂”，变成了加法中的“$n$ 倍的 $a$”或“$n$ 个 $a$ 相加”。

$na = \underbrace{a + a + \dots + a}_{n \text{ 个}}$

• $a^0=1$ 变成 $0a=0$: 零次幂对应零倍，结果是加法单位元 0。
• $a^{-n}$ 变成 $(-n)a$: 负数次幂对应负数倍，即 $n$ 个 $-a$ 相加。

$(-n)a = n(-a) = \underbrace{(-a) + (-a) + \dots + (-a)}_{n \text{ 个}}$

• 幂运算规则的翻译:
• $a^r a^s = a^{r+s}$ $\rightarrow$ $ra + sa = (r+s)a$ (分配律)
• $(a^r)^s = a^{rs}$ $\rightarrow$ $s(ra) = (sr)a$ (结合律)

这段话是一个重要的风格和实践建议，旨在避免在非交换结构中产生歧义。

• 问题: 我们习惯于将除法写成分数形式，比如 $8 \div 2$ 写成 $\frac{8}{2}$。在代数上，除以 $a$ 等价于乘以 $a$ 的逆元 $a^{-1}$。
• 歧义所在: 在实数乘法中，因为是可交换的，所以 $b \times a^{-1}$ 和 $a^{-1} \times b$ 是完全一样的。所以 $\frac{b}{a}$ 的含义是明确的。
• 非交换世界的问题: 但是，在一个非交换的结构中（如矩阵乘法），$b a^{-1}$ 和 $a^{-1} b$ 通常是不同的元素。
• $b a^{-1}$：这对应于方程 $xa=b$ 的解 $x=ba^{-1}$（右乘 $a^{-1}$）。
• $a^{-1} b$：这对应于方程 $ax=b$ 的解 $x=a^{-1}b$（左乘 $a^{-1}$）。
• 结论: 如果我们使用分数符号 $\frac{b}{a}$，读者无法确定我们指的是 $b a^{-1}$（可以理解为“b除以a”）还是 $a^{-1} b$（可以理解为“a的逆元乘以b”）。为了避免这种歧义，不应在非交换的组合律下使用分数符号。
• 例外: 如果明确知道组合律是可交换的，那么 $b a^{-1} = a^{-1} b$，此时使用 $\frac{b}{a}$ 是安全的，因为它没有歧义。