行间公式索引

📜 原文
📖 逐步解释
∑ 公式拆解
💡 数值示例
⚠️ 易错点
📝 总结
🎯 存在目的
🧠 直觉心智模型
💭 直观想象

12.5 同态

📜 [原文1]

设 $G$ 和 $G^{\prime}$ 是群，用乘法表示。一个同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是从 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个映射，使得对于 $G$ 中所有的 $a$ 和 $b$，

$$ \begin{equation*} \varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b) . \tag{2.5.1} \end{equation*} $$

这个方程的左侧意味着

首先在 $G$ 中将 $a$ 和 $b$ 相乘，然后使用映射 $\varphi$ 将乘积发送到 $G^{\prime}$，而右侧意味着

首先使用映射 $\varphi$ 将 $a$ 和 $b$ 分别发送到 $G^{\prime}$，然后将它们在 $G^{\prime}$ 中的像相乘。直观地，一个同态是与两个群中的合成律兼容的映射，它提供了一种关联不同群的方式。

📖 [逐步解释]

这段话定义了群论中的一个核心概念：同态。让我们从头开始，一步步拆解这个定义。

  1. 基本设定: 我们有两个群，分别叫做 $G$ 和 $G^{\prime}$。群是一个集合配上一个二元运算（这里我们称之为“乘法”），满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元。需要注意的是，这里的“乘法”是一个广义的概念，不一定是数字的乘法，可以是矩阵乘法、函数复合、置换的复合等等。
  2. 映射: 同态首先是一个映射（或者叫函数），我们用希腊字母 $\varphi$ (phi) 来表示。这个映射是从群 $G$ 的元素“射向”群 $G^{\prime}$ 的元素。记作 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$。这意味着，对于 $G$ 中的任何一个元素 $a$，$\varphi$ 都能对应到 $G^{\prime}$ 中唯一的一个元素，这个元素我们记作 $\varphi(a)$。
  3. 核心性质: 成为同态的关键，在于这个映射 $\varphi$ 必须“保持结构”。这个“保持结构”的精确数学描述就是核心公式 $\varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b)$。
  4. 理解核心公式: 这个公式说的是，进行运算和进行映射的先后顺序可以交换，并且结果不变。
    • 左侧 $\varphi(ab)$: 先在群 $G$ 内部进行运算。取出 $G$ 中的两个元素 $a$ 和 $b$，用 $G$ 的“乘法”法则将它们合成为一个新元素 $ab$。然后，将这个新产生的元素 $ab$ 通过映射 $\varphi$ 发送到群 $G^{\prime}$ 中，得到 $\varphi(ab)$。
    • 右侧 $\varphi(a)\varphi(b)$: 先进行映射。分别将 $G$ 中的元素 $a$ 和 $b$ 通过映射 $\varphi$ 发送到群 $G^{\prime}$ 中，得到两个在 $G^{\prime}$ 里的元素 $\varphi(a)$ 和 $\varphi(b)$。然后，在群 $G^{\prime}$ 内部，用 $G^{\prime}$ 的“乘法”法则将 $\varphi(a)$ 和 $\varphi(b)$ 合成为一个新元素 $\varphi(a)\varphi(b)$。
    • 等式: 同态的定义就是要求，对于 $G$ 中任意的 $a$ 和 $b$，上面两种不同顺序的操作得到的结果必须完全相同。
∑ [公式拆解]

公式: $\varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b)$

  • $\varphi$: 读作 "phi"，表示一个同态映射。它是一个函数，输入是群 $G$ 的元素，输出是群 $G^{\prime}$ 的元素。
  • $G, G^{\prime}$: 表示两个群。它们是同态所关联的两个代数结构。$G$ 是定义域（domain），$G^{\prime}$ 是上域或到达域（codomain）。
  • $a, b$: 表示群 $G$ 中的任意两个元素。
  • $ab$: 表示在群 $G$ 中，$a$ 和 $b$ 按照 $G$ 的运算规则（这里广义地称为“乘法”）得到的结果。这个结果 $ab$ 仍然是 $G$ 中的一个元素。
  • $\varphi(ab)$: 表示将 $G$ 中的元素 $ab$ 通过映射 $\varphi$ 对应到 $G^{\prime}$ 中的那个元素。
  • $\varphi(a)$: 表示将 $G$ 中的元素 $a$ 通过映射 $\varphi$ 对应到 $G^{\prime}$ 中的那个元素。
  • $\varphi(b)$: 表示将 $G$ 中的元素 $b$ 通过映射 $\varphi$ 对应到 $G^{\prime}$ 中的那个元素。
  • $\varphi(a)\varphi(b)$: 表示在群 $G^{\prime}$ 中，元素 $\varphi(a)$ 和 $\varphi(b)$ 按照 $G^{\prime}$ 的运算规则（同样广义地称为“乘法”）得到的结果。
  • $=$: 表示等号两边的元素是在群 $G^{\prime}$ 中相等的同一个元素。

这个公式本身是一个定义，不是从其他地方推导出来的。它就是判断一个映射是不是同态的试金石。

💡 [数值示例]

示例1：从整数加法群到偶数加法群

  • 设 $G$ 是整数群 $(\mathbb{Z}, +)$，运算是普通的加法。
  • 设 $G^{\prime}$ 是偶数群 $(2\mathbb{Z}, +)$，运算也是普通的加法。
  • 定义一个映射 $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow 2\mathbb{Z}$，规则是 $\varphi(n) = 2n$。例如 $\varphi(3)=6, \varphi(-5)=-10$。
  • 我们来验证这是否是一个同态。根据定义，我们需要检查对于任意两个整数 $a$ 和 $b$，是否有 $\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)$。（注意：这里的运算是加法，所以定义中的“乘积” $ab$ 变成了“和” $a+b$）。
  • 左侧：$\varphi(a+b) = 2(a+b) = 2a + 2b$。
  • 右侧：$\varphi(a) + \varphi(b) = (2a) + (2b) = 2a + 2b$。
  • 因为左侧等于右侧，所以这个映射 $\varphi(n)=2n$ 是一个同态。它保持了加法结构。

示例2：从实数加法群到正实数乘法群

  • 设 $G$ 是实数群 $(\mathbb{R}, +)$，运算是加法。
  • 设 $G^{\prime}$ 是正实数群 $(\mathbb{R}^+, \times)$，运算是乘法。
  • 定义一个映射 $\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$，规则是 $\varphi(x) = e^x$（指数函数）。
  • 我们来验证这是否是一个同态。我们需要检查 $\varphi(a+b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。
  • 左侧（先在 $G$ 中运算再映射）：$\varphi(a+b) = e^{a+b}$。
  • 右侧（先映射再在 $G^{\prime}$ 中运算）：$\varphi(a) \times \varphi(b) = e^a \times e^b$。
  • 根据指数运算法则，我们知道 $e^{a+b} = e^a \times e^b$。
  • 所以左侧等于右侧，这个指数映射是一个同态。它把加法结构“翻译”成了乘法结构。
⚠️ [易错点]
  1. 混淆两个群的运算：初学者最容易犯的错误是混淆 $G$ 和 $G^{\prime}$ 的运算。在 $\varphi(ab)$ 中，$ab$ 的运算是在 $G$ 中进行的；而在 $\varphi(a)\varphi(b)$ 中，乘法运算是在 $G^{\prime}$ 中进行的。这两个运算可能完全不同，如示例2所示（一个是加法，一个是乘法）。
  2. 认为映射必须是双射：同态不要求是单射（一对一）或满射（映满）。它可以是多对一的，它的像也可能只是 $G^{\prime}$ 的一个很小的部分。
  3. 忘记验证所有元素：定义要求对“$G$ 中所有的 $a$ 和 $b$”都成立。验证时不能只挑几个特殊的例子，必须对任意元素进行证明。
  4. 单位元的映射: $\varphi$ 是一个同态，并不意味着 $\varphi$ 将 $G$ 的单位元 $e_G$ 映射到 $G^{\prime}$ 的单位元 $e_{G^{\prime}}$ 是定义的一部分，但这其实是一个可以被推导出来的性质，后面的命题会证明这一点。
📝 [总结]

同态是一个保持群运算结构的映射。它像一座桥梁，连接了两个群。通过这座桥梁，我们可以将在一个群里的运算关系，“翻译”成另一个群里的运算关系。公式 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ 精确地描述了这种“翻译”或“保持结构”的特性。

🎯 [存在目的]

同态这个概念的存在，是为了比较和关联不同的群。在数学中，我们不仅关心单个的对象（比如一个群），更关心对象之间的关系。同态就是群之间最自然、最重要的关系。它允许我们：

  1. 分类群: 了解哪些群在结构上是相似的。如果存在一个特殊的同态（称为同构），那么两个群本质上就是同一个群，只是元素的“名字”不同。
  2. 简化问题: 将一个复杂群 $G$ 的问题，通过一个同态 $\varphi$ 映射到一个更简单、我们更了解的群 $G^{\prime}$ 中去研究。$G^{\prime}$ 中的性质可以部分地反映 $G$ 的性质。
  3. 构建新群: 利用同态的核（kernel）和像（image）可以构造出新的群，这是群论中一个强大的工具（例如商群）。
🧠 [直觉心智模型]

想象你有两个不同的计算器。

  1. 计算器 $G$ 只能做加法。
  2. 计算器 $G^{\prime}$ 只能做乘法。

一个同态 $\varphi$ 就像一个翻译程序。你可以在计算器 $G$ 上输入 $a+b$ 然后按等于，得到结果 $c$。然后你把 $c$ 输入翻译程序 $\varphi$，得到 $\varphi(c)$。

另一种方法是，你先把 $a$ 和 $b$ 分别输入翻译程序，得到 $\varphi(a)$ 和 $\varphi(b)$。然后，你在计算器 $G^{\prime}$ 上计算 $\varphi(a) \times \varphi(b)$。

如果这个翻译程序 $\varphi$ 是个同态，那么无论你走哪条路，最终在 $G^{\prime}$ 里得到的结果都是一样的。这个翻译程序“尊重”了两个计算器的运算结构。

💭 [直观想象]

想象一张地图 $\varphi$。

  1. $G$ 是真实世界中的一个区域，里面的点是城市，而“运算”是从城市 $a$ 出发，再沿着某个向量（代表 $b$）走，到达一个新的城市 $ab$。
  2. $G^{\prime}$ 是纸上的地图，里面的点是地图上标记的城市。地图上的“运算”也是类似的，从一个点出发，按某个画在图上的向量走。
  3. 这个地图 $\varphi$ 是一个同态，就意味着：你在真实世界里，从城市 $a$ 按向量 $b$ 走到城市 $ab$，然后看 $ab$ 在地图上的位置 $\varphi(ab)$；这和你先在地图上找到 $a$ 的位置 $\varphi(a)$，然后按地图上画的向量 $\varphi(b)$ 走到新位置 $\varphi(a)\varphi(b)$，最后到达的地图位置是完全一样的。地图保持了真实的地理结构关系。

2例 2.5.2

📜 [原文2]

例 2.5.2 以下映射是同态：

(a) 行列式函数 $\operatorname{det}: G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$(1.4.10)，

(b) 符号同态 $\sigma: S_{n} \rightarrow\{ \pm 1\}$，它将一个置换发送到它的符号(1.5.11)，

(c) 指数映射 exp: $\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$，定义为 $x \rightsquigarrow e^{x}$，

(d) 映射 $\varphi: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow G$，定义为 $\varphi(n)=a^{n}$，其中 $a$ 是 $G$ 中的一个给定元素，

(e) 绝对值映射 $\left|\mid: \mathbb{C}^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{\times}\right|$。

在例 (c) 和 (d) 中，合成律在定义域中是加法的，在值域中是乘法的。同态条件 (2.5.1) 必须重写以考虑到这一点。它变为

$$ \varphi(a+b)=\varphi(a) \varphi(b) $$

表明指数映射是同态的公式是 $e^{a+b}=e^{a} e^{b}$。

📖 [逐步解释]

这一节通过五个具体的例子来帮助我们理解什么是同态。

(a) 行列式函数:

  • $G = G L_{n}(\mathbb{R})$：这是一般线性群，即所有 $n \times n$ 的实数可逆矩阵构成的群，运算是矩阵乘法。
  • $G^{\prime} = \mathbb{R}^{\times}$：这是所有非零实数构成的群，运算是普通乘法。
  • 映射 $\varphi = \det$：将一个矩阵映射到它的行列式（一个非零实数）。
  • 同态性质：线性代数中一个著名的定理是 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$。这完美地符合同态的定义 $\varphi(AB) = \varphi(A)\varphi(B)$。所以行列式是一个同态。

(b) 符号同态:

  • $G = S_{n}$：这是对称群，即所有对 $n$ 个元素进行置换的操作构成的群，运算是置换的复合。
  • $G^{\prime} = \{ \pm 1\}$：这是一个只有两个元素的群，运算是普通乘法 ($1 \times 1 = 1, 1 \times (-1) = -1, (-1) \times (-1) = 1$)。
  • 映射 $\varphi = \sigma$：将一个置换映射到它的符号（sign）。偶置换（由偶数个对换构成）的符号是 $+1$，奇置换（由奇数个对换构成）的符号是 $-1$。
  • 同态性质：置换理论中有一个性质：$\operatorname{sgn}(p \circ q) = \operatorname{sgn}(p) \times \operatorname{sgn}(q)$ (两个置换复合后的符号，等于它们各自符号的乘积)。这正好是同态的定义。

(c) 指数映射: (原文这里有个小笔误，定义域应该是 $(\mathbb{R}, +)$ 而不是 $(\mathbb{R}^+, \times)$，值域是 $(\mathbb{R}^\times, \times)$ )

  • $G = (\mathbb{R}, +)$：实数加法群。
  • $G^{\prime} = (\mathbb{R}^{\times}, \times)$：非零实数乘法群。实际上，由于 $e^x$ 总是正数，所以值域更精确地说是 $(\mathbb{R}^+, \times)$。
  • 映射 $\varphi(x) = e^x$。
  • 同态性质：这里 $G$ 的运算是加法，$G^{\prime}$ 的运算是乘法。所以我们要验证的是 $\varphi(a+b) = \varphi(a)\varphi(b)$。代入定义就是 $e^{a+b} = e^a e^b$，这是我们熟知的指数函数的性质。

(d) 幂映射:

  • $G = (\mathbb{Z}, +)$：整数加法群。（原文写作 $\mathbb{Z}^{+}$，即正整数，但正整数在加法下不构成群，因为它没有单位元0和负数逆元。考虑整数群 $\mathbb{Z}$ 更为标准和完整。）
  • $G^{\prime}$ 是任意一个乘法群。
  • $a$ 是 $G^{\prime}$ 中一个固定的元素。
  • 映射 $\varphi(n) = a^n$。这个映射把一个整数 $n$ 变成 $a$ 的 $n$ 次幂。
  • 同态性质：$G$ 的运算是加法，$G^{\prime}$ 是乘法。我们要验证 $\varphi(n+m) = \varphi(n)\varphi(m)$。代入定义就是 $a^{n+m} = a^n a^m$。这是幂运算的基本法则。

(e) 复数绝对值映射:

  • $G = (\mathbb{C}^{\times}, \times)$：非零复数乘法群。
  • $G^{\prime} = (\mathbb{R}^{\times}, \times)$：非零实数乘法群。实际上，绝对值总是非负的，所以值域更精确地说是 $(\mathbb{R}^+, \times)$。
  • 映射 $\varphi(z) = |z|$：将一个复数 $z=x+iy$ 映射到它的模（或绝对值）$\sqrt{x^2+y^2}$。
  • 同态性质：复数理论中我们知道 $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$。这正好是同态的定义。

最后，文本特别指出了 (c) 和 (d) 的情况，即两个群的运算不同，一个是加法，一个是乘法。在这种情况下，同态的条件 $\varphi(a \cdot_G b) = \varphi(a) \cdot_{G'} \varphi(b)$ 需要根据具体运算进行改写，变成 $\varphi(a+b) = \varphi(a)\varphi(b)$。

∑ [公式拆解]

公式: $\varphi(a+b)=\varphi(a) \varphi(b)$

  • 这个公式是同态基本定义 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ 在一种特定情况下的写法。
  • 适用情况: 当定义域群 $G$ 的运算是加法（用 $+$ 表示），而值域群 $G^{\prime}$ 的运算是乘法（用并列或 $\times$ 表示）时。
  • $a+b$: 这是在 $G$ 中进行的加法运算。
  • $\varphi(a)\varphi(b)$: 这是在 $G^{\prime}$ 中进行的乘法运算。
  • 这个公式形象地展示了同态是如何将一种运算“翻译”成另一种运算的。
💡 [数值示例]

示例1：对(a) 行列式同态

  • 令 $n=2$。$G=GL_2(\mathbb{R})$。
  • 取两个矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。
  • $\det(A) = 1 \times 1 - 2 \times 0 = 1$。
  • $\det(B) = 3 \times 2 - 0 \times 1 = 6$。
  • 先映射再乘：$\det(A)\det(B) = 1 \times 6 = 6$。
  • 先乘再映射：$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3+2 \cdot 1 & 1 \cdot 0+2 \cdot 2 \\ 0 \cdot 3+1 \cdot 1 & 0 \cdot 0+1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。
  • $\det(AB) = 5 \times 2 - 4 \times 1 = 10 - 4 = 6$。
  • 结果相同，$\det(AB) = \det(A)\det(B)$，验证了同态性质。

示例2：对(b) 符号同态

  • 令 $n=3$。$G=S_3$。
  • 取两个置换 $p = (1 2)$ (一个对换，是奇置换) 和 $q = (1 2 3)$ (一个轮换，可以写成 $(1 3)(1 2)$，是偶置换)。
  • $\operatorname{sgn}(p) = -1$。
  • $\operatorname{sgn}(q) = +1$。
  • 先映射再乘：$\operatorname{sgn}(p)\operatorname{sgn}(q) = (-1) \times (+1) = -1$。
  • 先复合再映射：$p \circ q$ 的作用是：$1 \to 2 \to 3$, $3 \to 1$, $2 \to 1 \to 2$。所以 $p \circ q = (1 3)$。
  • $p \circ q = (1 3)$ 是一个对换，所以是奇置换。$\operatorname{sgn}(p \circ q) = -1$。
  • 结果相同，$\operatorname{sgn}(p \circ q) = \operatorname{sgn}(p)\operatorname{sgn}(q)$，验证了同态性质。

示例3：对(e) 复数绝对值同态

  • $G = \mathbb{C}^\times$。
  • 取两个复数 $z_1 = 1+i$ 和 $z_2 = 2-3i$。
  • $|z_1| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$。
  • $|z_2| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$。
  • 先映射再乘：$|z_1||z_2| = \sqrt{2} \sqrt{13} = \sqrt{26}$。
  • 先乘再映射：$z_1 z_2 = (1+i)(2-3i) = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5-i$。
  • $|z_1 z_2| = |5-i| = \sqrt{5^2+(-1)^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$。
  • 结果相同，$|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$，验证了同态性质。
⚠️ [易错点]
  1. 群的运算: 再次强调，必须清楚每个群的运算是什么。例如，在(d)中，如果把 $\mathbb{Z}$ 的运算也当成乘法，那结论就不成立了，因为 $a^{nm} \neq a^n a^m$。
  2. 定义域和值域: 必须确保映射的定义域和值域都是群。例如，如果(a)中的 $GL_n(\mathbb{R})$ 换成所有 $n \times n$ 矩阵（包括奇异矩阵），它在乘法下就不是群了。如果(c)中的 $\mathbb{R}^\times$ 换成 $\mathbb{R}$ (带乘法)，它也不是群（因为0没有逆元）。
  3. (c)和(d)中的笔误: 如前所述，原文(c)的定义域应为 $(\mathbb{R}, +)$，(d)的定义域应为 $(\mathbb{Z}, +)$ 才构成群。这是理解例子时的关键修正。
📝 [总结]

本节列举了五个来自不同数学领域的常见同态实例：线性代数中的行列式，置换群理论中的符号函数，分析中的指数函数，基本代数中的幂运算，以及复分析中的绝对值。这些例子生动地展示了同态作为“结构保持映射”的普遍性和重要性，并特别说明了当两个群运算不同时如何理解和应用同态的定义。

🎯 [存在目的]

举例子的目的在于将抽象的定义具体化、形象化。通过这些来自学生们已经熟悉的数学领域的例子，可以：

  1. 建立联系: 将新的、抽象的群同态概念与已有的、具体的数学知识（如矩阵、指数函数等）联系起来，降低学习难度。
  2. 加深理解: 展示同态定义的灵活性，特别是它如何处理不同运算（加法 vs 乘法）的群之间的关系。
  3. 展示普遍性: 暗示同态是一个广泛存在于数学各个分支中的基本结构，而不仅仅是群论中的一个孤立概念。
🧠 [直觉心智模型]

这些例子就像是不同语言之间的“保真翻译”。

  1. 行列式: 将复杂的矩阵世界（旋转、缩放、剪切）中的“复合操作”（矩阵乘法），忠实地翻译成一维数字世界（数轴）中的“缩放因子变化”（数字乘法）。一个操作使体积扩大3倍，另一个使其扩大2倍，那么两个操作连续进行，总体积就扩大 $3 \times 2 = 6$ 倍。
  2. 符号同态: 将复杂的置换操作（重新排列物品）的“复合”，忠实地翻译成简单的“奇偶性”世界中的乘法。一个奇操作（-1）接着一个偶操作（+1），结果是奇操作（-1）。
  3. 指数映射: 将“累加”的世界（加法），忠实地翻译成“倍增”的世界（乘法）。今天加一份努力，明天加一份努力，反映在成果上是今天翻一倍，明天再翻一倍。
💭 [直观想象]
  1. 绝对值映射: 想象在复平面上有一个点 $z_1$ 和 $z_2$。$|z_1|$ 和 $|z_2|$ 是它们到原点的距离。$z_1 z_2$ 是一个几何变换（旋转和缩放）后的新点。这个同态 $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ 告诉我们，新点到原点的距离，就等于原来两个点到原点的距离的乘积。这个映射扔掉了所有的“方向”（辐角）信息，只保留了“长度”（模）信息，并且这种保留方式是与乘法运算兼容的。

3补充说明与平凡同态

📜 [原文3]

以下同态需要提及，尽管它们不那么有趣。任意两个群之间的平凡同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 将 $G$ 的每个元素映射到 $G^{\prime}$ 中的单位元。如果 $H$ 是 $G$ 的子群，包含映射 $i: H \rightarrow G$ 定义为对于 $H$ 中的 $x$，$i(x)=x$，它是一个同态。

📖 [逐步解释]

这部分介绍了两种非常基本但很重要的同态：平凡同态和包含映射。

  1. 平凡同态 (Trivial Homomorphism):
    • 定义: 这是一个“最懒”的映射。不管你从群 $G$ 中给它什么元素，它都一律输出群 $G^{\prime}$ 的单位元 $e^{\prime}$。所以，对于 $G$ 中任意元素 $g$，都有 $\varphi(g) = e^{\prime}$。
    • 为什么是同态: 我们来验证一下。取 $G$ 中任意两个元素 $a$ 和 $b$。
    • 左侧：$\varphi(ab)$。因为 $ab$ 也是 $G$ 中的一个元素，所以根据定义 $\varphi(ab) = e^{\prime}$。
    • 右侧：$\varphi(a)\varphi(b)$。根据定义，$\varphi(a)=e^{\prime}$ 并且 $\varphi(b)=e^{\prime}$。所以 $\varphi(a)\varphi(b) = e^{\prime} e^{\prime}$。在群 $G^{\prime}$ 中，单位元乘以单位元还是单位元，所以 $e^{\prime} e^{\prime} = e^{\prime}$。
    • 左侧 = 右侧，所以它确实是一个同态。
    • 为什么“不那么有趣”:因为它把 $G$ 的所有丰富结构都“压扁”了，所有元素在 $G^{\prime}$ 中都变得无法区分，失去了所有信息。但在理论构建中，这种极端情况是必须考虑的。
  2. 包含映射 (Inclusion Map):
    • 设定: 首先需要有一个群 $G$ 和它的一个子群 $H$。子群 $H$ 本身也是一个群，并且它的运算规则和 $G$ 完全一样。
    • 定义: 包含映射 $i: H \rightarrow G$ 做的事情非常简单：它把 $H$ 中的一个元素 $x$ “看作”是 $G$ 中的元素。也就是说，$i(x) = x$。这个映射什么也没改变，只是把视角从“它是 $H$ 的一员”切换到了“它是 $G$ 的一员”。
    • 为什么是同态: 我们来验证。取 $H$ 中任意两个元素 $a$ 和 $b$。我们需要验证 $i(ab) = i(a)i(b)$。
    • 在左侧的 $ab$ 是在子群 $H$ 中计算的。
    • 在右侧的 $i(a)i(b)$ 是在大群 $G$ 中计算的。
    • 根据子群的定义，子群的运算规则和大群是一样的。所以，在 $H$ 中计算 $ab$ 和在 $G$ 中计算 $ab$ 得到的是同一个元素。
    • 左侧：$i(ab) = ab$。
    • 右侧：$i(a)i(b) = a \cdot b = ab$。
    • 左侧 = 右侧，所以它是一个同态。
💡 [数值示例]

示例1：平凡同态

  • 设 $G = GL_2(\mathbb{R})$ (2x2可逆矩阵群)，$G^{\prime} = (\mathbb{R}^{\times}, \times)$ (非零实数乘法群)。$G^{\prime}$ 的单位元是 $1$。
  • 平凡同态 $\varphi: GL_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$ 定义为 $\varphi(A) = 1$ 对于任何矩阵 $A \in GL_2(\mathbb{R})$。
  • 取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。
  • $\varphi(A)=1$, $\varphi(B)=1$。
  • $\varphi(A)\varphi(B) = 1 \times 1 = 1$。
  • $AB = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，这是 $GL_2(\mathbb{R})$ 中另一个元素。
  • $\varphi(AB) = 1$。
  • $\varphi(AB) = \varphi(A)\varphi(B)$ 成立。

示例2：包含映射

  • 设 $G = (\mathbb{Z}, +)$ (整数加法群)。
  • 设 $H = (2\mathbb{Z}, +)$ (偶数加法群)，它是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群。
  • 包含映射 $i: 2\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 定义为 $i(x)=x$。
  • 取两个偶数 $a=4, b=6$。它们属于 $H$。
  • 我们需要验证 $i(a+b) = i(a)+i(b)$。
  • 左侧：$a+b=10$ (在 $H$ 中计算)。$i(10) = 10$。
  • 右侧：$i(a)=4, i(b)=6$。$i(a)+i(b) = 4+6=10$ (在 $G$ 中计算)。
  • 左侧 = 右侧，成立。
⚠️ [易错点]
  1. 平凡同态的目标: 平凡同态总是映射到值域群的单位元，而不是某个其他固定元素。如果映射到非单位元的固定元素 $c$，则 $\varphi(ab)=c$ 但 $\varphi(a)\varphi(b)=c^2$，通常 $c \neq c^2$，所以不再是同态。
  2. 包含映射的域: 包含映射的定义域必须是子群，而不仅仅是子集。因为我们需要定义域本身是个群，这样谈论同态才有意义。
  3. 区分包含映射和恒等映射: 恒等映射 $\mathrm{id}: G \rightarrow G$ 是一个同态，它是包含映射的一个特例（当 $H=G$ 时）。包含映射更一般，它允许定义域是真子群。
📝 [总结]

平凡同态和包含映射是两种基本类型的同态。平凡同态将所有结构信息丢失，把整个定义域群压缩到值域群的单位元上。包含映射则完美地保留了结构，因为它仅仅是将一个子群的元素视为更大群中的元素，运算规则完全不变。它们虽然看似简单，但在理论证明和分类中是不可或缺的基石。

🎯 [存在目的]
  1. 完备性: 在构建一个理论体系时，必须考虑所有的可能性，包括这些“平凡”或“极端”的情况。它们是理论的边界和基础。
  2. 反例与构造: 平凡同态可以作为很多命题的简单测试用例或反例。例如，一个关于同态的性质如果对平凡同态都不成立，那它肯定是个假命题。
  3. 连接子群和同态: 包含映射在形式上将子群的概念与同态联系起来。任何一个子群都可以被看作是一个单射同态的像（image）。这为我们提供了看待子群的另一个视角。
🧠 [直觉心智模型]
  1. 平凡同态: 就像一个信息黑洞。任何东西（$G$的元素）进去，出来的都是同一个东西（$G^{\prime}$的单位元）。好比你问任何问题，回答都是“无可奉告”。
  2. 包含映射: 就像给一个物体贴上一个更宽泛的标签。一个“苹果”（$H$的元素）被认为是一种“水果”（$G$的元素）。它的所有内在属性（味道、颜色）都没有变，只是分类变了。
💭 [直观想象]
  1. 平凡同态: 想象一个投影仪，把三维空间里所有的物体（$G$），都投影到屏幕上的同一个点（$G^{\prime}$的单位元）。整个三维世界的结构信息完全丢失了。
  2. 包含映射: 想象你有一张城市地图（子群 $H$），和一张包含这个城市的国家地图（群 $G$）。包含映射就是把城市地图上的一个地点，直接在国家地图上找到同样的位置。这个过程没有扭曲，没有变形，只是观察的尺度变大了。

4命题 2.5.3

📜 [原文4]

命题 2.5.3 设 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态。

(a) 如果 $a_{1}, \ldots, a_{k}$ 是 $G$ 的元素，那么 $\varphi\left(a_{1} \cdots a_{k}\right)=\varphi\left(a_{1}\right) \cdots \varphi\left(a_{k}\right)$。

(b) $\varphi$ 将单位元映射到单位元：$\varphi\left(1_{G}\right)=1_{G^{\prime}}$。

(c) $\varphi$ 将逆元映射到逆元：$\varphi\left(a^{-1}\right)=\varphi(a)^{-1}$。

证明。第一个断言由定义通过归纳法得出。接下来，由于 $1 \cdot 1=1$ 并且 $\varphi$ 是一个同态，$\varphi(1) \varphi(1)=\varphi(1 \cdot 1)=\varphi(1)$。我们从两边消去 $\varphi(1)$ (2.2.3) 得到 $\varphi(1)=1$。最后，$\varphi\left(a^{-1}\right) \varphi(a)=\varphi\left(a^{-1} a\right)=\varphi(1)=1$。因此 $\varphi\left(a^{-1}\right)$ 是 $\varphi(a)$ 的逆元。

📖 [逐步解释]

这个命题揭示了同态的三个基本且重要的性质，它们都是由同态的定义 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ 直接推导出来的。

(a) 保持有限乘积:

  • 性质: 同态不仅保持两个元素的乘积，它可以保持任意有限个元素的乘积。也就是说，先在 $G$ 中把一连串元素 $a_1, a_2, \dots, a_k$全都乘起来，再通过 $\varphi$ 映射过去；这和先把每个元素都分别映射到 $G^{\prime}$，再在 $G^{\prime}$ 中把它们的像全都乘起来，结果是一样的。
  • 证明思路 (归纳法):
  • 基础步骤: 当 $k=2$ 时，$\varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2)$。这就是同态的定义，所以成立。
  • 归纳假设: 假设当有 $k-1$ 个元素时命题成立，即 $\varphi(a_1 \cdots a_{k-1}) = \varphi(a_1) \cdots \varphi(a_{k-1})$。
  • 归纳步骤: 现在我们看 $k$ 个元素的情况。我们可以把 $a_1 \cdots a_k$ 看成是两个元素的乘积：$A = (a_1 \cdots a_{k-1})$ 和 $B = a_k$。
  • $\varphi(a_1 \cdots a_k) = \varphi( (a_1 \cdots a_{k-1}) a_k )$
  • 根据同态定义（$k=2$的情况），上式等于 $\varphi(a_1 \cdots a_{k-1}) \varphi(a_k)$。
  • 根据我们的归纳假设，$\varphi(a_1 \cdots a_{k-1})$ 等于 $\varphi(a_1) \cdots \varphi(a_{k-1})$。
  • 所以，$\varphi(a_1 \cdots a_k) = (\varphi(a_1) \cdots \varphi(a_{k-1})) \varphi(a_k) = \varphi(a_1) \cdots \varphi(a_k)$。
  • 命题得证。

(b) 保持单位元:

  • 性质: 一个同态必须把定义域群 $G$ 的单位元 $1_G$ 映射到值域群 $G^{\prime}$ 的单位元 $1_{G^{\prime}}$。
  • 证明思路:
  • 利用单位元的性质：在 $G$ 中，$1_G \cdot 1_G = 1_G$。
  • 将这个等式两边同时用 $\varphi$ 映射：$\varphi(1_G \cdot 1_G) = \varphi(1_G)$。
  • 因为 $\varphi$ 是同态，所以左边可以拆开：$\varphi(1_G)\varphi(1_G) = \varphi(1_G \cdot 1_G)$。
  • 结合起来得到：$\varphi(1_G)\varphi(1_G) = \varphi(1_G)$。
  • 现在我们得到了一个在群 $G^{\prime}$ 中的等式。设 $x = \varphi(1_G)$，那么等式就是 $x \cdot x = x$。
  • 在一个群中，如果 $x \cdot x = x$，我们可以两边同时右乘 $x$ 的逆元 $x^{-1}$（根据群的公理，每个元素都有逆元）。
  • $(x \cdot x) \cdot x^{-1} = x \cdot x^{-1}$。
  • 根据结合律，$x \cdot (x \cdot x^{-1}) = x \cdot x^{-1}$。
  • $x \cdot 1_{G^{\prime}} = 1_{G^{\prime}}$。
  • $x = 1_{G^{\prime}}$。
  • 这就证明了 $\varphi(1_G) = 1_{G^{\prime}}$。这个技巧叫做消去律。

(c) 保持逆元:

  • 性质: 一个同态也保持逆元运算。把 $G$ 中的一个元素 $a$ 的逆元 $a^{-1}$ 映射过去，得到的结果 $\varphi(a^{-1})$，恰好就是在 $G^{\prime}$ 中 $a$ 的像 $\varphi(a)$ 的逆元，即 $(\varphi(a))^{-1}$。
  • 证明思路:
  • 利用逆元的定义：在 $G$ 中，$a \cdot a^{-1} = 1_G$。
  • 将等式两边同时用 $\varphi$ 映射：$\varphi(a \cdot a^{-1}) = \varphi(1_G)$。
  • 根据同态性质和刚刚证明的性质 (b)，我们可以改写这个等式：
  • 左边：$\varphi(a \cdot a^{-1}) = \varphi(a) \varphi(a^{-1})$。
  • 右边：$\varphi(1_G) = 1_{G^{\prime}}$。
  • 所以我们得到：$\varphi(a) \varphi(a^{-1}) = 1_{G^{\prime}}$。
  • 这个等式在群 $G^{\prime}$ 中成立。它告诉我们，$\varphi(a^{-1})$ 这个元素乘以 $\varphi(a)$ 之后，得到的是 $G^{\prime}$ 的单位元。根据群中逆元的唯一性定义，这就意味着 $\varphi(a^{-1})$ 就是 $\varphi(a)$ 的逆元。
  • 即 $\varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1}$。
💡 [数值示例]

我们继续使用行列式同态 $\det: GL_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$ 来验证这些性质。

示例1：验证性质(b) 保持单位元

  • $G = GL_2(\mathbb{R})$ 的单位元是单位矩阵 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  • $G^{\prime} = \mathbb{R}^{\times}$ 的单位元是 $1$。
  • $\varphi(1_G) = \det(I) = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1$。
  • 这个结果正好是 $G^{\prime}$ 的单位元 $1_{G^{\prime}}$。所以 $\det(I) = 1$。性质得到验证。

示例2：验证性质(c) 保持逆元

  • 在 $G = GL_2(\mathbb{R})$ 中取一个元素 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$。
  • 首先，求它在 $G$ 中的逆元 $A^{-1}$。对于 2x2 矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其逆为 $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。
  • $A^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 3 - 2 \cdot 1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。
  • 现在我们计算 $\varphi(A^{-1})$，也就是 $\det(A^{-1})$。
  • $\det(A^{-1}) = \det\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1) = 3 - 2 = 1$。
  • 接下来，我们计算 $(\varphi(A))^{-1}$。
  • $\varphi(A) = \det(A) = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1$。
  • $\varphi(A)$ 是 $G^{\prime} = \mathbb{R}^{\times}$ 中的元素 $1$。
  • 在 $\mathbb{R}^{\times}$ 中，$1$ 的逆元是 $1/1 = 1$。
  • 所以，$(\varphi(A))^{-1} = 1$。
  • 我们看到 $\varphi(A^{-1}) = 1$ 并且 $(\varphi(A))^{-1} = 1$，两者相等。性质得到验证。

让我们再用一个行列式不为1的例子，这更具一般性。

  • 令 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$。
  • $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ 0 & 1/4 \end{pmatrix}$。
  • $\varphi(A^{-1}) = \det(A^{-1}) = 1 \cdot (1/4) - 0 = 1/4$。
  • $\varphi(A) = \det(A) = 1 \cdot 4 - 0 = 4$。
  • $(\varphi(A))^{-1}$ 是指在 $\mathbb{R}^{\times}$ 中 $4$ 的逆元，也就是 $1/4$。
  • 两者再次相等。
⚠️ [易错点]
  1. 符号的精确性: 在写 $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$ 时，一定要清楚左边的 $a^{-1}$ 是在 $G$ 中求逆元，而右边的 $\varphi(a)^{-1}$ 是在 $G^{\prime}$ 中求逆元。
  2. 性质的因果关系: 这些性质是同态定义的结果，而不是定义的一部分。在判断一个映射是否为同态时，你只需要检验 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$。如果这个成立，那么这三条性质就自动成立。
  3. 证明中的消去律: 证明 (b) 时用到的消去律是群的基本性质。对于任何群内元素 $x, y, z$，如果 $xy=xz$，那么 $y=z$。这是因为可以左乘 $x^{-1}$。
📝 [总结]

这个命题阐明了同态除了保持二元运算外，还自动地保持了群的另外两个基本结构：单位元和逆元。一个同态会将一个群的单位元映射到另一个群的单位元，并且会将一个元素的逆元映射为该元素像的逆元。这些性质是同态如此有用的根本原因，它们表明同态是一种非常深刻的结构保持。

🎯 [存在目的]

这个命题的目的是为了揭示同态更深层次的内涵。定义只要求保持乘法，但这个命题告诉我们，仅仅这一个要求就足以保证群的其他核心要素（单位元、逆元）也得到相应的保持。这大大增强了同态的威力，使得通过同态进行的“翻译”更加可靠和完整。它们也是后续证明中频繁使用的基本工具。

🧠 [直觉心智模型]

回到计算器的比喻。

  1. 保持单位元: 在加法计算器 $G$ 上，单位元是 $0$。在乘法计算器 $G^{\prime}$ 上，单位元是 $1$。这个性质意味着，翻译程序 $\varphi$ 必须把 $0$ 翻译成 $1$（例如指数映射 $e^0=1$）。这是有道理的，因为 $0$ 是加法中“什么都不做”的操作（$x+0=x$），而 $1$ 是乘法中“什么都不做”的操作（$y \times 1 = y$）。一个保持结构的操作，应该把“什么都不做”翻译成“什么都不做”。
  2. 保持逆元: 在加法计算器 $G$ 上，$a$ 的逆元是 $-a$。在乘法计算器 $G^{\prime}$ 上，$\varphi(a)$ 的逆元是 $1/\varphi(a)$。这个性质意味着，翻译程序必须把 $-a$ 翻译成 $1/\varphi(a)$（例如指数映射 $e^{-a} = 1/e^a$）。这也很有道理，因为 $-a$ 的作用是“抵消” $a$（$a+(-a)=0$），而 $1/\varphi(a)$ 的作用是“抵消” $\varphi(a)$（$\varphi(a) \times (1/\varphi(a))=1$）。“抵消”操作也被忠实地翻译了。
💭 [直观想象]

在地图的想象中：

  1. 保持单位元: 真实世界 $G$ 的“原点”（单位元）经过地图 $\varphi$ 映射后，必须落在地图 $G^{\prime}$ 的“原点”上。
  2. 保持逆元: 在真实世界 $G$ 中，从原点出发走到 $a$ 的反向操作是 $a^{-1}$（从 $a$ 走回原点）。这个性质说，这个“走回去”的向量，在地图上画出来，正好就是地图上从 $\varphi(a)$ 走回地图原点的那个向量。

5同态的像 (Image)

📜 [原文5]

一个群同态决定了两个重要的子群：它的像和它的核。

  • 同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 的像，通常表示为 $\operatorname{im} \varphi$，就是 $\varphi$ 作为集合映射的像：

$$ \begin{equation*} \operatorname{im} \varphi=\left\{x \in G^{\prime} \mid x=\varphi(a) \text { for some } a \text { in } G\right\}, \tag{2.5.4} \end{equation*} $$

像的另一个记号是 $\varphi(G)$。

📖 [逐步解释]

这部分开始介绍由一个同态自然产生的两个重要结构，首先是像。

  1. 概念: 同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 的像 (Image)，简单来说，就是 $G$ 中所有元素在 $\varphi$ 映射下，在 $G^{\prime}$ 中所能到达的所有目标的集合。
  2. 定义解读:
    • $\operatorname{im} \varphi$ 是 像 的标准记号。
    • 它是一个集合，并且是值域群 $G^{\prime}$ 的一个子集。
    • 一个元素 $x$ 属于 $\operatorname{im} \varphi$ 的充要条件是：$x$ 在 $G^{\prime}$ 中，并且我们能从 $G$ 中找到至少一个元素 $a$，使得 $\varphi(a)=x$。
    • 换句话说，像就是所有“被射中”的元素的集合。
  3. 另一个记号: $\varphi(G)$ 是一个非常直观的记号，它表示把整个集合 $G$ 通过映射 $\varphi$ 得到的新集合。
∑ [公式拆解]

公式: $\operatorname{im} \varphi=\left\{x \in G^{\prime} \mid x=\varphi(a) \text { for some } a \text { in } G\right\}$

  • $\operatorname{im} \varphi$: Image of $\varphi$，即 $\varphi$ 的像。
  • $\{ \dots \mid \dots \}$: 这是集合的标准描述法。花括号表示一个集合，竖线左边是元素的代表，右边是元素需要满足的条件。
  • $x \in G^{\prime}$: 意味着我们考虑的元素 $x$ 都来自值域群 $G^{\prime}$。这明确了 $\operatorname{im} \varphi$ 是 $G^{\prime}$ 的一个子集。
  • $x=\varphi(a) \text { for some } a \text { in } G$: 这是元素 $x$ 被收入集合的条件。它要求 $x$ 必须是 $G$ 中某个（some）元素 $a$ 的映射结果。some 这个词很重要，它不要求 $a$ 是唯一的。可能有很多不同的元素都映射到同一个 $x$。
💡 [数值示例]

示例1：行列式同态

  • $\varphi = \det: G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$。
  • $G = G L_{n}(\mathbb{R})$，$G^{\prime} = \mathbb{R}^{\times}$（非零实数）。
  • 这个同态的像是什么？我们需要问：对于任何一个非零实数 $r \in \mathbb{R}^{\times}$，我们能找到一个 $n \times n$ 的可逆矩阵 $A$，使得 $\det(A) = r$ 吗？
  • 答案是肯定的。例如，我们可以构造一个对角矩阵：

$$ A = \begin{pmatrix} r & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$

  • 这个矩阵的行列式就是 $r$。并且因为 $r \neq 0$，所以这个矩阵是可逆的，属于 $G L_{n}(\mathbb{R})$。
  • 这意味着任何一个非零实数都可以“被射中”。
  • 所以，$\operatorname{im}(\det) = \mathbb{R}^{\times}$。这个同态是一个满射。

示例2：符号同态

  • $\varphi = \operatorname{sgn}: S_{n} \rightarrow \{ \pm 1\}$ (对于 $n \ge 2$)
  • $G = S_n$，$G^{\prime} = \{ \pm 1\}$。
  • 这个同态的像是什么？
  • 我们能找到一个置换 $p \in S_n$，使得 $\operatorname{sgn}(p)=1$ 吗？可以，单位置换 $e$ 就是一个偶置换，$\operatorname{sgn}(e)=1$。
  • 我们能找到一个置换 $q \in S_n$，使得 $\operatorname{sgn}(q)=-1$ 吗？可以，只要 $n \ge 2$，我们总能找到一个对换，例如 $(12)$，它是一个奇置换，$\operatorname{sgn}((12))=-1$。
  • $G^{\prime}$ 中只有两个元素 $1$ 和 $-1$，它们都能被射中。
  • 所以，$\operatorname{im}(\operatorname{sgn}) = \{ \pm 1\}$。这个同态也是一个满射。

示例3：幂映射 (非满射)

  • 设 $G = (\mathbb{Z}, +)$，$G^{\prime} = (\mathbb{C}^{\times}, \times)$ (非零复数乘法群)。
  • 固定 $G^{\prime}$ 中的一个元素，比如 $a=2$。
  • 考虑同态 $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ 定义为 $\varphi(n) = 2^n$。
  • 这个同态的像是 $G$ 中所有元素（整数）映射过去的目标集合。
  • $\varphi(0) = 2^0 = 1$
  • $\varphi(1) = 2^1 = 2$
  • $\varphi(2) = 2^2 = 4$
  • $\varphi(-1) = 2^{-1} = 1/2$
  • $\varphi(-2) = 2^{-2} = 1/4$
  • 所以，$\operatorname{im}(\varphi) = \{ \dots, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, \dots \} = \{ 2^k \mid k \in \mathbb{Z} \}$。
  • 这个集合是 $G^{\prime} = \mathbb{C}^{\times}$ 的一个真子集。例如，复数 $i$ 就不在这个像集中。所以这个同态不是满射。
⚠️ [易错点]
  1. 像 vs. 值域: 一定要区分像 (Image) 和上域/值域 (Codomain)。上域 $G^{\prime}$ 是映射允许到达的目标群的“全集”，是事先指定的。而像 $\operatorname{im} \varphi$ 是实际到达的目标的集合，是 $\varphi$ 和 $G$ 共同决定的。$\operatorname{im} \varphi$ 永远是 $G^{\prime}$ 的一个子集，但两者不一定相等。当它们相等时，我们称这个同态是满射的 (surjective)。
  2. 像中的元素: 记住，像的元素是 $G^{\prime}$ 中的元素，而不是 $G$ 中的。
📝 [总结]

同态的像是定义域中所有元素通过映射在值域中所能到达的目标点的集合。它是值域群 $G^{\prime}$ 的一个子集，直观地反映了同态 $\varphi$ 的“势力范围”有多大。

🎯 [存在目的]

引入像的概念，是为了：

  1. 衡量同态的“覆盖范围”: 像的大小直接告诉我们这个同态在多大程度上“利用”了目标群 $G^{\prime}$。如果像就是 $G^{\prime}$ 本身（即满射），说明 $G$ 的结构足以“重现” $G^{\prime}$ 的整个结构。
  2. 第一同构定理的基础: 像是群论中最核心的定理之一——第一同构定理的关键组成部分。该定理指出，一个同态的像与定义域群关于其核的商群是同构的 ($G/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi$)。这建立了一个深刻的联系。
  3. 构造子群: 如下文所述，像本身就是一个子群。所以同态提供了一种从已知群 $G$ 和 $G^{\prime}$ 出发，构造出 $G^{\prime}$ 的新子群的系统性方法。
🧠 [直觉心智模型]

如果同态 $\varphi$ 是一个翻译程序，把中文群 $G$ 翻译成英文群 $G^{\prime}$。

  1. 上域 $G^{\prime}$ 是整个英语词典。
  2. 像 $\operatorname{im}\varphi$ 是这个翻译程序实际可能输出的所有英文单词的集合。
  3. 也许这个翻译程序能力有限，只会用一些很简单的词汇，那么它的像就只是整个英语词典的一个很小的子集。如果这个翻译程序非常强大，能用到所有英文词汇，那它的像就等于整个词典，它是满射的。
💭 [直观想象]

想象一个投影仪 $\varphi$ 把一个三维物体 $G$ 投影到一面墙 $G^{\prime}$ 上。

  1. 墙 $G^{\prime}$ 是上域。
  2. 物体在墙上留下的影子，就是像 $\operatorname{im}\varphi$。
  3. 这个影子的大小和形状，取决于物体本身，以及投影的角度和方式。影子可能只占墙上的一小块，也可能（在特定情况下）覆盖整面墙。

6像的子群性质

📜 [原文6]

映射 $\mathbb{Z}^{+} \rightarrow G$ 将 $n \rightsquigarrow a^{n}$ 的像是由 $a$ 生成的循环子群 $\langle a\rangle$。

同态的像是值域的子群。我们将验证封闭性并省略其他验证。设 $x$ 和 $y$ 是像中的元素。这意味着存在 $G$ 中的元素 $a$ 和 $b$ 使得 $x=\varphi(a)$ 和 $y=\varphi(b)$。由于 $\varphi$ 是一个同态，$x y=\varphi(a) \varphi(b)=\varphi(a b)$。所以 $x y$ 等于 $\varphi$（某个东西）。它也在像中。

📖 [逐步解释]

这部分先给出了一个像的例子，然后证明了同态的像总是一个子群。

  1. 循环子群的例子:
    • 回顾例 2.5.2(d)，我们有同态 $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow G$（使用修正后的定义域 $(\mathbb{Z},+)$），定义为 $\varphi(n) = a^n$，其中 $a$ 是 $G$ 中一个固定元素。
    • 这个同态的像是什么？根据定义，是集合 $\{ \varphi(n) \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}$。
    • 这个集合正是由元素 $a$ 生成的循环子群 $\langle a \rangle$ 的定义。所以，一个循环子群可以被看作是一个特定同态的像。
  2. 证明：像是子群 (Proof: Image is a Subgroup)
    • 论断: 对于任意群同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$，其像 $\operatorname{im} \varphi$ 是值域群 $G^{\prime}$ 的一个子群。
    • 要证明一个群 $G^{\prime}$ 的子集 $H'$ 是一个子群，我们需要验证三条（或一个等价的条件）：
  3. 非空性: $H'$ 不是空集。
  4. 封闭性: 对于任意 $x, y \in H'$，它们的乘积 $xy$ 也在 $H'$ 中。
  5. 逆元封闭性: 对于任意 $x \in H'$，它的逆元 $x^{-1}$ 也在 $H'$ 中。
    • 原文的证明 (验证封闭性):
    • 假设 $x$ 和 $y$ 是像 $\operatorname{im} \varphi$ 中的两个任意元素。
    • 根据像的定义，这意味着我们可以从 $G$ 中找到“原型” $a$ 和 $b$，使得 $x = \varphi(a)$ 且 $y = \varphi(b)$。
    • 现在我们来考察它们的乘积 $xy$（这个乘法是在 $G^{\prime}$ 中进行的）。
    • $xy = \varphi(a) \varphi(b)$。
    • 因为 $\varphi$ 是一个同态，所以 $\varphi(a)\varphi(b)$ 可以写成 $\varphi(ab)$。
    • 所以我们得到 $xy = \varphi(ab)$。
    • 这里的 $ab$ 是在 $G$ 中计算的，因为 $G$ 是群，所以 $ab$ 必然是 $G$ 中的一个元素。
    • 那么 $xy = \varphi(\text{某个G中的元素})$。根据像的定义，这就意味着 $xy$ 本身也必须属于像 $\operatorname{im} \varphi$。
    • 封闭性得证。
  • 补充验证 (非空性和逆元封闭性):
  • 非空性: 我们知道 $G$ 是一个群，所以它至少包含单位元 $1_G$。因此，$\operatorname{im}\varphi$ 至少包含元素 $\varphi(1_G)$。根据命题 2.5.3(b)，$\varphi(1_G) = 1_{G^{\prime}}$。所以 $1_{G^{\prime}} \in \operatorname{im}\varphi$。因此像集绝不是空的。
  • 逆元封闭性: 设 $x$ 是像中的任意元素。那么存在 $a \in G$ 使得 $x = \varphi(a)$。我们需要考察 $x$ 在 $G^{\prime}$ 中的逆元 $x^{-1}$ 是否也在像中。
  • $x^{-1} = (\varphi(a))^{-1}$。
  • 根据命题 2.5.3(c)（保持逆元），我们知道 $(\varphi(a))^{-1} = \varphi(a^{-1})$。
  • 因为 $a \in G$ 且 $G$ 是群，所以 $a^{-1}$ 也必然在 $G$ 中。
  • 因此，$x^{-1} = \varphi(a^{-1}) = \varphi(\text{某个G中的元素})$。
  • 根据像的定义，这说明 $x^{-1}$ 也在像 $\operatorname{im} \varphi$ 中。逆元封闭性得证。
  • 因为满足了子群的所有条件，所以同态的像是值域的一个子群。
💡 [数值示例]

示例1：验证循环子群的例子

  • 设 $G = (\mathbb{Z}, +)$, $G^{\prime} = S_3$。设 $a = (123) \in S_3$。
  • 考虑同态 $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow S_3$ 定义为 $\varphi(n) = a^n = (123)^n$。
  • $\varphi(0) = (123)^0 = e$ (单位置换)
  • $\varphi(1) = (123)^1 = (123)$
  • $\varphi(2) = (123)^2 = (132)$
  • $\varphi(3) = (123)^3 = e$
  • ... 这个模式会循环。
  • $\operatorname{im}(\varphi) = \{e, (123), (132)\}$。
  • 这个集合正是由 $(123)$ 生成的循环子群，它是 $S_3$ 的一个子群。我们可以验证它的封闭性：$(123)(132)=e$，也在集合中。

示例2：验证行列式同态的像的封闭性

  • $\varphi = \det: GL_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$。我们已经知道 $\operatorname{im}(\det) = \mathbb{R}^{\times}$。当然 $\mathbb{R}^{\times}$ 是自身的子群。
  • 让我们用原文的逻辑再走一遍。
  • 设 $x, y \in \operatorname{im}(\det)$。例如，取 $x=2, y=3$。
  • 因为 $x=2$ 在像中，所以存在矩阵 $A$ 使得 $\det(A)=2$。比如 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  • 因为 $y=3$ 在像中，所以存在矩阵 $B$ 使得 $\det(B)=3$。比如 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  • 它们的乘积 $xy=6$。
  • 根据证明逻辑，$xy$ 应该是 $\det(AB)$。
  • $AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  • $\det(AB)=6$。
  • 因为 $AB$ 是 $GL_2(\mathbb{R})$ 中的一个元素，所以 $\det(AB)=6$ 必然在像中。这验证了 $xy=6$ 确实在像中。
⚠️ [易错点]
  1. 证明的逻辑流程: 理解这个证明的关键是，要证明一个元素属于像，就必须为它在定义域中找到一个“原型”。证明封闭性时，我们为 $xy$ 找到的原型是 $ab$；证明逆元时，我们为 $x^{-1}$ 找到的原型是 $a^{-1}$。
  2. 子群的位置: 像是值域群 $G^{\prime}$ 的子群，而不是定义域群 $G$ 的子群。这是一个常见的混淆点。
📝 [总结]

本节的核心结论是：任何一个群同态的像 $\operatorname{im}\varphi$，不仅仅是值域群 $G^{\prime}$ 的一个子集，它本身就是一个子群。这个性质源于同态保持了运算、单位元和逆元的特性，使得像集自动地满足了子群的所有公理。

🎯 [存在目的]

这个结论非常重要，因为它建立了同态和子群之间的又一个坚实桥梁。它告诉我们，同态是一种“制造”子群的系统性方法。只要你有一个同态，你就能免费得到一个子群（即像）。这在研究群的结构时非常有用，我们可以通过研究一个群的所有同态像来了解其可能的子群结构。

🧠 [直觉心智模型]

在翻译程序的比喻中，这个结论意味着，翻译程序输出的所有可能词汇的集合（像），如果把它们放在一起，它们自己就构成了一门“小语言”（子群）。这门小语言有自己的语法规则（运算封闭），有自己的“无意义”词（单位元），每个词也有反义词（逆元）。这是因为翻译程序在翻译时保持了原语言的逻辑结构。

💭 [直观想象]

在投影仪的想象中，三维物体 $G$ 在墙 $G^{\prime}$ 上留下的影子 $\operatorname{im}\varphi$ 具有一个有趣的特性。如果你在影子上取两个点 $x, y$，并且你知道它们的原型是三维物体上的点 $a, b$。你在三维物体上执行一个操作 $ab$ 得到新点 $c$，那么 $c$ 的影子 $\varphi(c)$ 就是你在影子上对 $x$ 和 $y$ 执行一个对应的操作得到的结果。这意味着影子区域自身形成了一个封闭的、自洽的二维世界（一个子群）。

7同态的核 (Kernel)

📜 [原文7]

  • 同态的核更微妙也更重要。$\varphi$ 的核，通常表示为 $\operatorname{ker} \varphi$，是将 $G$ 中的元素映射到 $G^{\prime}$ 中的单位元的集合：

$$ \begin{equation*} \operatorname{ker} \varphi=\{a \in G \mid \varphi(a)=1\} . \tag{2.5.5} \end{equation*} $$

📖 [逐步解释]

这部分引入了与像并列的另一个核心概念：同态的核 (Kernel)。

  1. 概念: 同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 的核，是定义域群 $G$ 中所有那些被映射到值域群 $G^{\prime}$ 的单位元 $1_{G'}$ 的元素的集合。
  2. 定义解读:
    • $\operatorname{ker} \varphi$ 是核的标准记号，来源于德语 "Kernel"，意为“核心、果仁”。
    • 它是一个集合，并且是定义域群 $G$ 的一个子集（注意：这和像是值域群的子集不同）。
    • 一个元素 $a$ 属于 $\operatorname{ker} \varphi$ 的充要条件是：$a$ 在 $G$ 中，并且 $\varphi(a)$ 的结果恰好是 $G^{\prime}$ 的单位元 $1_{G'}$（在原文中简写为 $1$）。
  3. 直观理解: 核就是所有在映射中“消失”或“变得平凡”的元素的集合。它们是构成这个同态“信息损失”的源头。
∑ [公式拆解]

公式: $\operatorname{ker} \varphi=\{a \in G \mid \varphi(a)=1\}$

  • $\operatorname{ker} \varphi$: Kernel of $\varphi$，即 $\varphi$ 的核。
  • $\{ \dots \mid \dots \}$: 集合描述法。
  • $a \in G$: 意味着我们考虑的元素 $a$ 都来自定义域群 $G$。这明确了 $\operatorname{ker} \varphi$ 是 $G$ 的一个子集。
  • $\varphi(a)=1$: 这是元素 $a$ 被收入集合的条件。它要求 $a$ 的像必须是值域群 $G^{\prime}$ 的单位元。这里的 $1$ 是 $1_{G^{\prime}}$ 的简写。
💡 [数值示例]

示例1：行列式同态

  • $\varphi = \det: GL_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$。
  • $G = GL_n(\mathbb{R})$, $G^{\prime} = \mathbb{R}^{\times}$。$G^{\prime}$ 的单位元是 $1$。
  • 核就是所有 $GL_n(\mathbb{R})$ 中行列式为 $1$ 的矩阵的集合。
  • $\operatorname{ker}(\det) = \{ A \in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det(A)=1 \}$。
  • 这个集合有一个专门的名字，叫做特殊线性群 (Special Linear Group)，记作 $SL_n(\mathbb{R})$。

示例2：符号同态

  • $\varphi = \operatorname{sgn}: S_n \rightarrow \{\pm 1\}$。
  • $G = S_n$, $G^{\prime} = \{\pm 1\}$。$G^{\prime}$ 的单位元是 $1$。
  • 核就是所有 $S_n$ 中符号为 $1$ 的置换的集合。
  • $\operatorname{ker}(\operatorname{sgn}) = \{ p \in S_n \mid \operatorname{sgn}(p)=1 \}$。
  • 这些置换被称为偶置换。所有偶置换构成的集合叫做交错群 (Alternating Group)，记作 $A_n$。

示例3：复数绝对值同态

  • $\varphi = |\cdot|: \mathbb{C}^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$。
  • $G = \mathbb{C}^{\times}$, $G^{\prime} = \mathbb{R}^{\times}$。$G^{\prime}$ 的单位元是 $1$。
  • 核就是所有 $\mathbb{C}^{\times}$ 中绝对值为 $1$ 的复数的集合。
  • $\operatorname{ker}(|\cdot|) = \{ z \in \mathbb{C}^{\times} \mid |z|=1 \}$。
  • 在复平面上，这些点构成了以原点为圆心，半径为 $1$ 的单位圆。这个集合通常被称为圆群，记作 $\mathbb{T}$ 或 $U(1)$。
⚠️ [易错点]
  1. 核的位置: 重复强调，核是定义域 $G$ 的子集，而像是值域 $G'$ 的子集。这是最根本的区别。
  2. 单位元的区别: 定义 $\operatorname{ker} \varphi=\{a \in G \mid \varphi(a)=1\}$ 中，等号右边的 $1$ 是 $G^{\prime}$ 的单位元。初学者可能会误以为是数字1或者 $G$ 的单位元。
  3. 核一定包含单位元: 由于 $\varphi(1_G) = 1_{G'}$，所以定义域的单位元 $1_G$ 永远在核 $\operatorname{ker} \varphi$ 中。因此，核永远不是空集。
📝 [总结]

同态的核是定义域群 $G$ 中一个特殊的子集，包含了所有被映射到值域群 $G^{\prime}$ 单位元的元素。它刻画了在同态映射下，哪些信息被“压缩”和“忽略”了。

🎯 [存在目的]

核之所以比像“更微妙也更重要”，主要有以下原因：

  1. 衡量信息损失: 核的大小直接反映了同态的信息损失程度。如果核很大，说明有很多不同的元素都被映射到了同一个单位元，信息损失严重。如果核只有一个单位元（平凡核），说明没有两个不同的元素被映射到同一个地方（即单射），信息没有损失。
  2. 构造商群: 核具有一种特殊的性质（正规性），这使得我们可以用核来“分解”定义域群 $G$，构造出一个全新的群，称为商群 $G/\ker\varphi$。这是群论中构造新群的最重要的方法之一。
  3. 第一同构定理: 正如之前提到的 $G/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi$，核是连接商群和像的关键。它揭示了定义域群 $G$ 的结构是如何通过“捏掉”核的部分来变成像的结构的。
🧠 [直觉心智模型]

在翻译程序的比喻中，核是中文群 $G$ 里所有被翻译成英文群 $G^{\prime}$ 中“最没有意义的词”（比如单位元，代表“无操作”）的那些中文词的集合。这些词在翻译后都失去了自己独特的含义，变得“平凡”了。这个集合揭示了翻译程序的“盲点”。

💭 [直观想象]

在投影仪的想象中，三维物体 $G$ 投影到墙 $G^{\prime}$ 上。墙上的原点是单位元。

核就是三维物体 $G$ 上所有那些投影后恰好落在墙上原点的点的集合。

例如，如果光线是平行光，从正上方垂直向下照射到水平的地面上，那么三维空间中所有在地面原点正上方的一条竖直线上的点，它们的投影都是地面上的原点。这条竖直线就构成了这个投影同态的核。

8核的子群性质与例子

📜 [原文8]

核是 $G$ 的子群，因为如果 $a$ 和 $b$ 在核中，那么 $\varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b)= 1 \cdot 1=1$，所以 $a b$ 在核中，等等。

行列式同态 $G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$ 的核是特殊线性群 $S L_{n}(\mathbb{R})$ (2.2.11)。符号同态 $S_{n} \rightarrow\{ \pm 1\}$ 的核称为交错群。它由偶置换组成，并表示为 $A_{n}$：

$$ \begin{equation*} \text { 交错群 } A_{n} \text { 是偶置换的群。 } \tag{2.5.6} \end{equation*} $$

📖 [逐步解释]

这部分说明了核也像像一样，是一个子群，并重申了前面两个重要例子。

  1. 证明：核是子群 (Proof: Kernel is a Subgroup)
    • 论断: 对于任意群同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$，其核 $\operatorname{ker} \varphi$ 是定义域群 $G$ 的一个子群。
    • 我们需要验证三条：非空性、封闭性、逆元封闭性。
    • 原文的证明思路 (验证封闭性):
    • 假设 $a$ 和 $b$ 是核 $\operatorname{ker} \varphi$ 中的两个任意元素。
    • 根据核的定义，这意味着 $\varphi(a)=1_{G'}$ 和 $\varphi(b)=1_{G'}$ (这里的 $1$ 是 $G^{\prime}$ 的单位元)。
    • 现在我们来考察它们的乘积 $ab$（这个乘法是在 $G$ 中进行的）。我们需要判断 $ab$ 是否也在核中，即判断 $\varphi(ab)$ 是否等于 $1_{G'}$。
    • $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ (因为 $\varphi$ 是同态)。
    • 代入 $\varphi(a)=1_{G'}$ 和 $\varphi(b)=1_{G'}$，得到 $\varphi(ab) = 1_{G'} \cdot 1_{G'} = 1_{G'}$。
    • 因为 $\varphi(ab)=1_{G'}$，根据核的定义，$ab$ 就在核中。封闭性得证。
    • 原文中的 "等等" 省略了另外两步。
  • 补充验证 (非空性和逆元封闭性):
  • 非空性: 如前所述，因为 $\varphi(1_G)=1_{G'}$，所以 $1_G \in \operatorname{ker}\varphi$。核非空。
  • 逆元封闭性: 设 $a$ 是核中的任意元素，即 $\varphi(a)=1_{G'}$。我们需要判断 $a$ 在 $G$ 中的逆元 $a^{-1}$ 是否也在核中，即判断 $\varphi(a^{-1})$ 是否等于 $1_{G'}$。
  • $\varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1}$ (因为 $\varphi$ 保持逆元)。
  • 代入 $\varphi(a)=1_{G'}$，得到 $\varphi(a^{-1}) = (1_{G'})^{-1}$。
  • 在任何群中，单位元的逆元是它自身。所以 $(1_{G'})^{-1} = 1_{G'}$。
  • 因此 $\varphi(a^{-1}) = 1_{G'}$。根据核的定义，$a^{-1}$ 在核中。逆元封闭性得证。
  • 因为满足了子群的所有条件，所以同态的核是定义域的一个子群。
  1. 例子重述:
    • 特殊线性群: 行列式同态的核是所有行列式为1的矩阵，它们构成一个子群 $SL_n(\mathbb{R})$。这个证明告诉我们，两个行列式为1的矩阵相乘，结果矩阵的行列式还是1 ($1 \times 1 = 1$)。一个行列式为1的矩阵的逆矩阵，其行列式也是1 ($1/1=1$)。
    • 交错群: 符号同态的核是所有偶置换，它们构成一个子群 $A_n$。两个偶置换复合，结果还是偶置换 (+1 $\times$ +1 = +1)。一个偶置换的逆置换也还是偶置换 (1/+1 = +1)。
∑ [公式拆解]

公式: 交错群 $A_{n}$ 是偶置换的群。 (2.5.6)

  • 这是一个定义性的描述，不是一个需要推导的公式。
  • $A_n$: 交错群的记号，"A" 代表 "Alternating"。
  • 偶置换: 可以被表示为偶数个对换（二元环）的乘积的置换。
  • 群: 这句话强调了 $A_n$ 不仅仅是一个集合，它在置换复合运算下满足群的所有公理，是一个子群。上面关于核是子群的通用证明，为 $A_n$ 是一个群提供了理论依据。
💡 [数值示例]

示例1：验证 $A_3$ 的子群性质

  • $S_3 = \{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}$。
  • 偶置换是 $e, (123), (132)$，因为 $e$ 是0个对换，$(123)=(13)(12)$ 是2个对换，$(132)=(12)(13)$ 是2个对换。
  • 所以核 $A_3 = \{e, (123), (132)\}$。
  • 非空性: $e \in A_3$。
  • 封闭性: 我们检查乘法表
  • $(123)(132) = e \in A_3$
  • $(132)(123) = e \in A_3$
  • $(123)(123) = (132) \in A_3$
  • $(132)(132) = (123) \in A_3$
  • 所有乘积都在 $A_3$ 中，封闭。
  • 逆元封闭性:
  • $e^{-1}=e \in A_3$
  • $(123)^{-1} = (132) \in A_3$
  • $(132)^{-1} = (123) \in A_3$
  • 所有逆元都在 $A_3$ 中，封闭。
  • 因此 $A_3$ 是 $S_3$ 的一个子群。
⚠️ [易错点]
  1. 核与像的区别: 再次强调，核是定义域 $G$ 的子群，像是值域 $G^{\prime}$ 的子群。它们位于不同的“世界”里。
  2. $A_n$ 的大小: 交错群 $A_n$ 的元素个数恰好是对称群 $S_n$ 的一半，即 $|A_n| = |S_n|/2 = n!/2$ (对于 $n \ge 2$)。这是因为符号同态是一个满射，它将 $S_n$ 的元素均匀地分成了两半，一半映到1，一半映到-1。
📝 [总结]

本节证明了同态的核 $\operatorname{ker}\varphi$ 总是定义域群 $G$ 的一个子群。这个结论与“像是子群”的结论相平行，进一步揭示了同态与子群结构的深刻联系。同时，通过行列式和符号这两个关键同态，引出了两个非常重要的子群：特殊线性群 $SL_n(\mathbb{R})$ 和交错群 $A_n$。

🎯 [存在目的]

证明核是子群是至关重要的一步。如果核仅仅是个子集，它的代数意义将大打折扣。正因为它是一个子群，并且还是具有特殊性质的正规子群（稍后会讲），它才能被用来构造商群。这为群论中通过“分解”来研究群结构的方法（类似于整数的质因数分解）奠定了基础。

🧠 [直觉心智模型]

在翻译程序的比喻中，所有被翻译成“无意义词”的中文词（核），它们自己构成了一个“小圈子”（子群）。在这个小圈子里，任意两个词的组合（乘法）还是这个圈子里的词，每个词的反义词（逆元）也还在这个圈子里。这个“小圈子”在原语言的结构中是自洽的。

💭 [直观想象]

在投影仪的想象中，所有投影到地面原点的三维空间中的点（核），这个点集（一条竖直线）本身也具有群的结构。如果你把这条竖直线看作一个加法群，那么线上两点相加还在直线上，每个点的相反点也还在直线上。这个核本身就是一个子群。

9核与同态映射的关系

📜 [原文9]

核很重要，因为它控制着整个同态。它不仅告诉我们 $G$ 的哪些元素映射到 $G^{\prime}$ 中的单位元，还告诉我们哪些元素对在 $G^{\prime}$ 中有相同的像。

  • 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，并且 $a$ 是 $G$ 的一个元素，记号 $a H$ 将表示所有形如 $a h$ 的乘积的集合，其中 $h$ 在 $H$ 中：

$$ \begin{equation*} a H=\{g \in G \mid g=a h \text { for some } h \text { in } H\} . \tag{2.5.7} \end{equation*} $$

这个集合称为 $H$ 在 $G$ 中的一个左陪集，“左”字指的是元素 $a$ 出现在左边。

📖 [逐步解释]

这部分开始揭示核的真正威力：它如何决定了同态的全部映射行为。为此，需要先引入一个重要的工具性概念：陪集。

  1. 核的重要性:
    • 控制同态: 这句话是本节的核心思想。核不仅仅是映射到单位元的那些元素，它像一个“模板”，决定了所有具有相同像的元素是如何组织的。
    • 相同像的问题: 同态往往是“多对一”的。问题是：给定一个元素 $a$，还有哪些其他元素 $b$ 会和 $a$ 一样，被映射到同一个目标 $\varphi(a)$？即，满足 $\varphi(b) = \varphi(a)$ 的所有 $b$ 是什么？核将给出这个问题的完整答案。
  2. 左陪集 (Left Coset) 的定义:
    • 背景: 这是一个通用的定义，适用于任何群 $G$ 和它的任何一个子群 $H$。
    • 构造:
    • 从群 $G$ 中任取一个元素 $a$。
    • 从子群 $H$ 中遍历每一个元素 $h$。
    • 计算乘积 $ah$ (乘法是 $G$ 中的运算)。
    • 所有这些乘积 $ah$ 构成的集合，就叫做 $H$ 由 $a$ 产生的左陪集。
    • 记号: $aH$。这个记号非常形象，就像用元素 $a$ 去“乘”整个集合 $H$。
    • “左”的含义: 因为代表元素 $a$ 是从左边乘上去的，所以叫左陪集。相应地，也有右陪集 $Ha = \{ha \mid h \in H\}$。对于阿贝尔群（交换群），左右陪集是一样的，但对于非阿贝尔群，它们可能不同。
∑ [公式拆解]

公式: $a H=\{g \in G \mid g=a h \text { for some } h \text { in } H\}$

  • $aH$: 子群 $H$ 的一个左陪集，由元素 $a$ “引导”。
  • $a \in G, H \le G$ ($H$ 是 $G$ 的子群)。
  • $\{ \dots \mid \dots \}$: 集合描述法。
  • $g \in G$: 陪集的元素仍然是 $G$ 中的元素。陪集是 $G$ 的一个子集。
  • $g=ah \text{ for some } h \in H$: 元素 $g$ 被收入集合 $aH$ 的条件是，它必须能够被写成 $a$ 和 $H$ 中某个元素 $h$ 的乘积。
💡 [数值示例]

示例1：$S_3$ 中的陪集

  • $G = S_3 = \{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}$。
  • 取一个子群 $H = \{e, (12)\}$。这是一个二阶子群。
  • 让我们计算 $H$ 在 $G$ 中的所有左陪集。
  • 取 $a=e$：$eH = \{e \cdot e, e \cdot (12)\} = \{e, (12)\} = H$。
  • 取 $a=(12)$：$(12)H = \{(12)e, (12)(12)\} = \{(12), e\} = H$。 (注意：用 $H$ 中的元素去生成陪集，得到的还是 $H$ 自己)。
  • 取 $a=(13)$：$(13)H = \{(13)e, (13)(12)\} = \{(13), (123)\}$。（计算：$1 \to 2 \to 1, 2 \to 1 \to 3, 3 \to 3 \to 2$，所以是 $(132)$，抱歉，应该是 $(13)(12)=(123)$。$1\to2, 2\to1\to3, 3\to1$. 啊，计算错误。$1 \to 2$, $2 \to 1 \to 3$, $3 \to 3 \to 1$。所以是 $(123)$。是对的。重新计算：$(13)(12)$，$1 \to 2 \to 2$, $2 \to 1 \to 3$, $3 \to 3 \to 1$。所以是 $(132)$。天哪，又错了。让我们用标准方式，$p=(13), q=(12)$。$pq(1)=(13)((12)(1))=(13)(2)=2$。$pq(2)=(13)((12)(2))=(13)(1)=3$。$pq(3)=(13)((12)(3))=(13)(3)=1$。所以 $1 \to 2 \to 3 \to 1$，是 $(123)$。好的，这次对了。）
  • 所以 $(13)H = \{(13), (123)\}$。
  • 取 $a=(23)$：$(23)H = \{(23)e, (23)(12)\} = \{(23), (132)\}$。（计算：$(23)(12)$, $1 \to 2 \to 3, 3 \to 3 \to 2, 2 \to 1 \to 1$。所以 $1 \to 3 \to 2 \to 1$，是 $(132)$。）
  • 取 $a=(123)$：$(123)H = \{(123)e, (123)(12)\} = \{(123), (13)\}$。（计算：$(123)(12)$, $1 \to 2 \to 3, 3 \to 1 \to 1, 2 \to 1 \to 2$。所以 $1 \to 3, 3 \to 1$，是 $(13)$。）咦，这和 $(13)H$ 不一样，但元素相同，只是顺序不同。集合是无序的，所以 $(123)H = \{(13), (123)\} = (13)H$。
  • 取 $a=(132)$：$(132)H = \{(132)e, (132)(12)\} = \{(132), (23)\}$。这和 $(23)H$ 是同一个集合。
  • 总结一下，我们只得到了三个不同的左陪集：
  • $H = \{e, (12)\}$
  • $(13)H = \{(13), (123)\}$
  • $(23)H = \{(23), (132)\}$
  • 你会发现这三个陪集互不相交，并且它们的并集恰好是整个 $S_3$。这叫做群 $G$ 被子群 $H$ 的左陪集所划分 (partition)。
⚠️ [易错点]
  1. 陪集不是子群: 除了由单位元生成的陪集 $eH=H$ 本身之外，其他的陪集（如 $(13)H$）通常不是子群。例如，$(13)H$ 中没有单位元 $e$，所以它不可能是子群。
  2. 元素 vs. 集合: $aH$ 是一个集合，而不是一个元素。
  3. 代表元不唯一: 正如示例中看到的，$(13)H$ 和 $(123)H$ 是同一个陪集。一个陪集可以由它里面的任何一个元素来“代表”。例如，因为 $(123) \in (13)H$，所以 $(123)H = (13)H$。这是陪集的一个非常重要的性质。
📝 [总结]

本节引入了左陪集 $aH$ 的概念，它是由群 $G$ 的一个元素 $a$ 和一个子群 $H$ 构造出的 $G$ 的一个子集。这个概念是理解核如何“控制”同态的关键工具，因为它为“具有相同性质的元素”提供了一种分组方式。

🎯 [存在目的]

陪集的引入是为了将群进行划分。给定一个子群 $H$，整个群 $G$ 可以被完美地分割成一堆大小相等、互不相交的陪集。这种划分是群论中一个极其强大的思想。在这里，它的直接目的就是为了描述那些具有相同同态像的元素集合——它们将构成一个完美的陪集。

🧠 [直觉心智模型]

想象一个公寓楼（群 $G$）。楼里的居民按照他们的出生月份（子群 $H$）分组，所有一月份出生的人组成一个团体 $H$。

  1. 一个左陪集 $aH$ 就好比是：“找到 $a$ 这个人，然后把他所有一月份出生的亲戚朋友都找出来，组成一个新的团体”。
  2. 或者一个更好的模型：$H$ 是住在 01 号房的所有人（比如一个家庭）。$G$ 是整栋楼的人。
  3. 陪集 $aH$ 是“和 $a$ 的亲密关系与 01 号房内人际关系完全一样”的一群人。这个解释比较抽象。
  4. 让我们换个模型：$G$ 是平面上所有的点（向量加法群），$H$ 是穿过原点的一条直线（一个子群）。
  5. 一个左陪集 $a+H$ (这里用加法)就是将整条直线 $H$ 进行平移，使得原点被平移到点 $a$。结果是穿过 $a$ 且平行于 $H$ 的一条新直线。整个平面可以被这样一族无穷多的平行线所铺满。
💭 [直观想象]

想象一张方格纸（$G = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 整数格点群）。

  1. $H$ 是水平的x轴上的所有格点 ($H = \{(n, 0) \mid n \in \mathbb{Z}\}$），它是一个子群。
  2. 左陪集 $(0,1)+H$ 是把 x 轴向上平移一个单位，得到直线 $y=1$ 上的所有格点。
  3. 左陪集 $(5,2)+H$ 是把 x 轴平移，使得原点 $(0,0)$ 移动到 $(5,2)$，得到直线 $y=2$ 上的所有格点。
  4. 所有的陪集就是所有与x轴平行的、经过格点的水平直线。这些直线共同铺满了整个方格纸。

10命题 2.5.8

📜 [原文10]

命题 2.5.8 设 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态，设 $a$ 和 $b$ 是 $G$ 的元素。设 $K$ 是 $\varphi$ 的核。以下条件等价：

  • $\varphi(a)=\varphi(b)$，
  • $a^{-1} b$ 在 $K$ 中，
  • $b$ 在陪集 $a K$ 中，
  • 陪集 $b K$ 和 $a K$ 相等。

证明。假设 $\varphi(a)=\varphi(b)$。那么 $\varphi\left(a^{-1} b\right)=\varphi\left(a^{-1}\right) \varphi(b)=\varphi(a)^{-1} \varphi(b)=1$。因此 $a^{-1} b$ 在核 $K$ 中。为了证明逆命题，我们反转这个论证。如果 $a^{-1} b$ 在 $K$ 中，那么 $1=\varphi\left(a^{-1} b\right)=\varphi(a)^{-1} \varphi(b)$，所以 $\varphi(a)=\varphi(b)$。这表明前两个要点是等价的。它们与其他要点的等价性随之而来。$\square$

📖 [逐步解释]

这个命题是本章的核心，它精确地阐述了核是如何“控制”同态的。它建立了四个等价条件，揭示了“具有相同像”的元素之间的内在联系。

  • 设定: 我们有一个同态 $\varphi$，它的核是 $K$。我们想知道，对于 $G$ 中哪两个元素 $a$ 和 $b$，它们会被映射到同一个目标，即 $\varphi(a) = \varphi(b)$。
  • 四个等价条件解读:
  1. φ(a) = φ(b): 这是我们关心的问题的直接表述：$a$ 和 $b$ 的像相同。
  2. a⁻¹b 在 K 中: 这将问题转化为了与核 $K$ 的关系。它说，要判断 $a$ 和 $b$ 的像是否相同，你只需要计算一个新元素 $a^{-1}b$，然后看它是不是在核里面。如果在，像就相同；如果不在，像就不同。
  3. b 在陪集 aK 中: 这个条件将问题几何化了。它说，$b$ 和 $a$ 的像相同，当且仅当 $b$ 属于由 $a$ 引导的关于核 $K$ 的左陪集。这意味着 $b$ 可以被写成 $a$ 乘以核里的某个元素的形式，即 $b = ak$ for some $k \in K$。
  4. 陪集 bK 和 aK 相等: 这是从整个集合的角度来看。$a$ 和 $b$ 的像相同，当且仅当它们各自引导的陪集是同一个集合。
  • 证明详解:
  • 证明 (1) $\iff$ (2): (原文证明了这一步)
  • (1) $\implies$ (2): 假设 $\varphi(a) = \varphi(b)$。我们想证明 $a^{-1}b \in K$。要证明一个元素在核里，我们就要计算它的像，看是否为单位元。
  • $\varphi(a^{-1}b) = \varphi(a^{-1})\varphi(b)$ (同态性质)
  • $= (\varphi(a))^{-1}\varphi(b)$ (同态保持逆元)
  • $= (\varphi(b))^{-1}\varphi(b)$ (因为假设了 $\varphi(a)=\varphi(b)$)
  • $= 1_{G'}$ (一个元素的逆乘以它自己，得到单位元)
  • 因为 $\varphi(a^{-1}b) = 1_{G'}$，所以根据核的定义，$a^{-1}b \in K$。
  • (2) $\implies$ (1): (原文称之为“反转这个论证”) 假设 $a^{-1}b \in K$。我们想证明 $\varphi(a) = \varphi(b)$。
  • 因为 $a^{-1}b \in K$，所以 $\varphi(a^{-1}b) = 1_{G'}$。
  • $\varphi(a^{-1}b) = \varphi(a^{-1})\varphi(b) = (\varphi(a))^{-1}\varphi(b)$。
  • 所以 $(\varphi(a))^{-1}\varphi(b) = 1_{G'}$。
  • 在这个等式两边同时左乘 $\varphi(a)$。
  • $\varphi(a) [(\varphi(a))^{-1}\varphi(b)] = \varphi(a) \cdot 1_{G'}$。
  • $[\varphi(a)(\varphi(a))^{-1}]\varphi(b) = \varphi(a)$。
  • $1_{G'} \cdot \varphi(b) = \varphi(a)$。
  • $\varphi(b) = \varphi(a)$。
  • 证明 (2) $\iff$ (3): (原文说“随之而来”，我们来补充)
  • (2) $\implies$ (3): 假设 $a^{-1}b \in K$。这意味着存在某个元素 $k \in K$，使得 $a^{-1}b = k$。
  • 在这个等式两边左乘 $a$。
  • $a(a^{-1}b) = ak$。
  • $(aa^{-1})b = ak$。
  • $1_G \cdot b = ak$。
  • $b=ak$。
  • 根据左陪集 $aK$ 的定义 ($aK = \{ax \mid x \in K\}$)，$b=ak$ 意味着 $b \in aK$。
  • (3) $\implies$ (2): 假设 $b \in aK$。根据定义，这意味着存在某个元素 $k \in K$，使得 $b=ak$。
  • 在这个等式两边左乘 $a^{-1}$。
  • $a^{-1}b = a^{-1}(ak) = (a^{-1}a)k = 1_G \cdot k = k$。
  • 所以 $a^{-1}b = k$。因为 $k$ 是 $K$ 的元素，所以 $a^{-1}b \in K$。
  • 证明 (3) $\iff$ (4): (这是陪集的一个基本性质)
  • (3) $\implies$ (4): 假设 $b \in aK$。我们想证明 $aK = bK$。
  • 首先证明 $bK \subseteq aK$。取 $bK$ 中任意元素 $y = bk_1$ (其中 $k_1 \in K$)。因为 $b \in aK$，所以 $b=ak_2$ (其中 $k_2 \in K$)。代入得 $y = (ak_2)k_1 = a(k_2k_1)$。因为 $K$ 是子群，所以 $k_2, k_1 \in K \implies k_2k_1 \in K$。所以 $y$ 可以写成 $a \cdot (\text{某个K中元素})$ 的形式，即 $y \in aK$。
  • 然后证明 $aK \subseteq bK$。因为 $b=ak_2$，所以 $a=bk_2^{-1}$。取 $aK$ 中任意元素 $z = ak_3$。代入得 $z = (bk_2^{-1})k_3 = b(k_2^{-1}k_3)$。因为 $K$ 是子群，$k_2, k_3 \in K \implies k_2^{-1}k_3 \in K$。所以 $z$ 可以写成 $b \cdot (\text{某个K中元素})$ 的形式，即 $z \in bK$。
  • 因为互相包含，所以 $aK = bK$。
  • (4) $\implies$ (3): 假设 $aK=bK$。我们想证明 $b \in aK$。
  • 因为 $K$ 是子群，所以单位元 $1_G \in K$。
  • 所以 $b = b \cdot 1_G \in bK$。
  • 因为 $bK=aK$，所以 $b \in aK$。
💡 [数值示例]

示例1：符号同态

  • $\varphi = \operatorname{sgn}: S_3 \rightarrow \{\pm 1\}$。$K = \operatorname{ker}(\operatorname{sgn}) = A_3 = \{e, (123), (132)\}$。
  • 取两个元素 $a=(12)$ 和 $b=(13)$。它们的像都是 $-1$。$\varphi(a)=\varphi(b)=-1$。让我们验证其他三个等价条件。
  • 条件2: $a^{-1}b$ 是否在 $K$ 中？
  • $a=(12)$, $a^{-1}=(12)$。
  • $a^{-1}b = (12)(13)$。计算：$1 \to 3$, $3 \to 1 \to 2$, $2 \to 2 \to 1$。所以 $(12)(13) = (132)$。
  • 元素 $(132)$ 是一个偶置换，它确实在核 $K=A_3$ 中。条件成立。
  • 条件3: $b$ 是否在 $aK$ 中？
  • $aK = (12)A_3 = \{(12)e, (12)(123), (12)(132)\}$。
  • $(12)e = (12)$。
  • $(12)(123)$: $1 \to 2 \to 1, 2 \to 3 \to 3, 3 \to 1 \to 2$。所以是 $(23)$。
  • $(12)(132)$: $1 \to 3 \to 3, 3 \to 2 \to 1, 2 \to 1 \to 2$。所以是 $(13)$。
  • 所以 $aK = \{(12), (23), (13)\}$。
  • 元素 $b=(13)$ 确实在这个陪集中。条件成立。
  • 条件4: $aK$ 和 $bK$ 是否相等？
  • 我们已经计算出 $aK = \{(12), (13), (23)\}$。
  • 现在计算 $bK = (13)A_3 = \{(13)e, (13)(123), (13)(132)\}$。
  • $(13)e = (13)$。
  • $(13)(123) = (23)$ (可以自己验证)。
  • $(13)(132) = (12)$ (可以自己验证)。
  • 所以 $bK = \{(13), (23), (12)\}$。
  • 这两个集合的元素完全相同，所以 $aK=bK$。条件成立。
  • 四个条件全部成立，完美印证了命题。
⚠️ [易错点]
  1. $a^{-1}b$ 还是 $ab^{-1}$？: 命题用的是 $a^{-1}b \in K$。这对应于左陪集 $aK$。如果使用右陪集 $Ka$，那么等价条件会变成 $ab^{-1} \in K$。在使用时要保持一致。
  2. 所有映射到同一个元素的集合: 这个命题告诉我们，所有映射到 $\varphi(a)$ 的元素的集合，就是左陪集 $aK$。$G$ 中所有映射到单位元的元素的集合就是核 $K$ 本身，也就是 $1_G K$。
  3. 陪集划分: $G$ 被 $K$ 的左陪集们完美地划分为若干个不相交的块。同一个块（陪集）里的所有元素，它们的像全都相同。不同块（陪集）里的元素，它们的像一定不同。
📝 [总结]

命题 2.5.8 是理解同态、核、陪集三者关系的核心。它指出，两个元素具有相同的同态像，等价于说它们的“相对关系” $a^{-1}b$ 是一个“平凡”的元素（在核里），也等价于说它们在由核定义的划分中属于同一个“区块”（陪集）。

🎯 [存在目的]

这个命题的存在，是为了：

  1. 精确化“核控制同态”: 它将这句模糊的话变成了精确的、可操作的数学命题。
  2. 建立同态和陪集划分的对应: 它揭示了一个美妙的对应关系：$G$ 中的元素，按照它们的同态像进行分类，得到的分类结果，与用核 $K$ 的左陪集对 $G$ 进行划分的结果，是完全一样的。
  3. 为第一同构定理铺路: 这个命题是第一同构定理证明过程中的关键一步。它说明了商群 $G/K$ 的元素（即陪集）和像 $\operatorname{im}\varphi$ 的元素之间存在一个自然的一一对应关系。
🧠 [直觉心智模型]

假设一个同态 $\varphi$ 是把人（$G$）映射到他们的姓氏（$G^{\prime}$）。

  1. $\varphi(a) = \varphi(b)$ 意味着 $a$ 和 $b$ 同姓。
  2. 核 $K$ 是所有姓“单位元”（比如一个不存在的姓氏，代表匿名）的人。
  3. 命题说：$a$ 和 $b$ 同姓 $\iff$ 如果把 $a$ 的家族关系“消除”（乘以 $a^{-1}$），$b$ 就变成了一个匿名者（$a^{-1}b \in K$）$\iff$ $b$ 是 $a$ 的一个“匿名亲戚”（$b \in aK$）。
  4. 所有姓“张”的人，构成了同态像“张”的原像集。这个集合就是一个陪集，比如 $aK$，其中 $a$ 是任何一个姓张的人。
💭 [直观想象]

回到平行光垂直投影的例子。$\varphi$ 是投影， $K$ 是原点上方的竖直线。

  1. $\varphi(a)=\varphi(b)$ 意味着三维空间中的点 $a$ 和 $b$ 投影到了地面上的同一个点。
  2. 这等价于什么呢？等价于从 $a$ 点移动到 $b$ 点的那个向量 $b-a$ (加法群中对应 $a^{-1}b$) 是一个纯粹的垂直向量，即它平行于 $K$ 这条线。
  3. 这也等价于 $b$ 点就在穿过 $a$ 点的那条竖直线 $a+K$ 上。
  4. 整个三维空间被无穷多的、像 $K$ 一样的竖直线（陪集）所填满。同一条竖直线上的所有点，都投影到地面上的同一个点。

11推论 2.5.9

📜 [原文11]

推论 2.5.9 同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是内射的当且仅当它的核 $K$ 是 $G$ 的平凡子群 $\{1\}$。

证明。如果 $K=\{1\}$，命题 2.5.8 表明 $\varphi(a)=\varphi(b)$ 仅当 $a^{-1} b=1$，即 $a=b$。反之，如果 $\varphi$ 是内射的，那么单位元是 $G$ 中唯一满足 $\varphi(a)=1$ 的元素，所以 $K=\{1\}$。

📖 [逐步解释]

这个推论是命题 2.5.8 的一个直接且非常重要的应用。它给出了判断一个同态是否为单射（内射，injective，一对一）的简便方法。

  1. 单射/内射的定义: 一个映射 $\varphi$ 是单射的，如果它不会把两个不同的元素映射到同一个地方。也就是说，如果 $a \neq b$，那么一定有 $\varphi(a) \neq \varphi(b)$。等价的说法是，如果 $\varphi(a)=\varphi(b)$，那么必然有 $a=b$。
  2. 推论的含义: 这个推论说，要检查一个同态是不是单射，你不需要去比较所有可能的元素对 $(a, b)$。你只需要做一个简单得多的检查：计算这个同态的核 $K$。
    • 如果核 $K$ 里只有一个元素——群 $G$ 的单位元 $1_G$（我们称之为平凡核），那么这个同态就是单射。
    • 如果核 $K$ 里除了单位元还有任何其他元素，那么这个同态就不是单射。
  3. 证明详解:
    • “如果 $K=\{1_G\}$，则 $\varphi$ 是单射” ($\Leftarrow$):
    • 我们想证明，如果 $\varphi(a) = \varphi(b)$，那么 $a=b$。
    • 根据命题 2.5.8，条件 $\varphi(a)=\varphi(b)$ 等价于 $a^{-1}b \in K$。
    • 现在我们用上了假设：$K=\{1_G\}$。这意味着 $K$ 里面只有一个元素 $1_G$。
    • 所以 $a^{-1}b$ 必须等于 $1_G$。
    • $a^{-1}b = 1_G$。两边左乘 $a$，得到 $b=a$。
    • 这就证明了 $\varphi$ 是单射。
  • “如果 $\varphi$ 是单射，则 $K=\{1_G\}$” ($\Rightarrow$):
  • 我们想证明核 $K$ 中只有单位元 $1_G$。
  • 根据核的定义，$K=\{x \in G \mid \varphi(x)=1_{G'}\}$。
  • 我们知道同态一定会把单位元映到单位元，即 $\varphi(1_G)=1_{G'}$。所以 $1_G$ 肯定在核 $K$ 里面。
  • 现在我们要证明，不可能有其他元素在核里面了。
  • 假设还有一个元素 $k \in K$，并且 $k \neq 1_G$。
  • 因为 $k \in K$，所以 $\varphi(k) = 1_{G'}$。
  • 我们现在有两个元素 $1_G$ 和 $k$，它们不相等，但是它们的像都是 $1_{G'}$。
  • $\varphi(k) = \varphi(1_G) = 1_{G'}$，但 $k \neq 1_G$。
  • 这与 $\varphi$ 是单射的定义（不同元素必须有不同像）相矛盾。
  • 所以我们的假设（存在 $k \neq 1_G$ 且 $k \in K$）是错误的。
  • 因此，核 $K$ 中只能有单位元 $1_G$，即 $K=\{1_G\}$。
💡 [数值示例]

示例1：一个单射同态

  • 考虑同态 $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \rightarrow (2\mathbb{Z}, +)$ 定义为 $\varphi(n) = 2n$。
  • 我们来计算它的核。值域群的单位元是 $0$。
  • $\operatorname{ker}(\varphi) = \{n \in \mathbb{Z} \mid \varphi(n)=0\} = \{n \in \mathbb{Z} \mid 2n=0\}$。
  • 在整数中，唯一满足 $2n=0$ 的是 $n=0$。
  • 所以 $\operatorname{ker}(\varphi) = \{0\}$。定义域群 $(\mathbb{Z}, +)$ 的单位元就是 $0$，所以这是一个平凡核。
  • 根据推论，这个同态是单射。这很容易验证：如果 $\varphi(n)=\varphi(m)$，则 $2n=2m$，那么 $n=m$。

示例2：一个非单射同态

  • 考虑同态 $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \rightarrow (\mathbb{Z}_4, +)$ (整数模4加法群)，定义为 $\varphi(n) = n \pmod 4$。
  • 我们来计算它的核。值域群的单位元是 $\overline{0}$。
  • $\operatorname{ker}(\varphi) = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \equiv 0 \pmod 4\}$。
  • 所有4的倍数都会被映射到0：$\{\dots, -8, -4, 0, 4, 8, \dots\} = 4\mathbb{Z}$。
  • 这个核包含了 $0, 4, -4$ 等等，不仅仅是单位元 $0$。所以它不是平凡核。
  • 根据推论，这个同态不是单射。这也很容易验证：例如 $\varphi(1)=1$ 且 $\varphi(5)=1$，但 $1 \neq 5$。又如 $\varphi(0)=0$ 且 $\varphi(4)=0$，但 $0 \neq 4$。
⚠️ [易错点]
  1. 平凡子群的写法: 平凡子群 $\{1\}$ 中的 $1$ 是指定义域群 $G$ 的单位元 $1_G$。在加法群中，就是 $\{0\}$。
  2. 单射同态的别名: 单射同态有时也称为嵌入 (embedding)，因为它把群 $G$ “嵌入”到了 $G'$ 中，成为 $G'$ 的一个子群（即 $G \cong \operatorname{im}(\varphi)$）的一个完美拷贝。
  3. 应用: 这个推论在实际应用中极为方便。要判断同态是否单射，计算核通常比直接使用单射定义更容易。
📝 [总结]

推论 2.5.9 建立了同态的单射性与其核的平凡性之间的等价关系。一个同态是“一对一”的，当且仅当它的核里只包含“无害”的单位元。核的大小，精确地衡量了同态的“多对一”程度。核越小，同态越接近单射。

🎯 [存在目的]

这个推论将一个看似复杂的性质（单射，需要考虑所有元素对）转化为了一个检查点性质（核是否为平凡子群）。这在数学上是一种巨大的简化。它使得核这个概念的工具性大大增强，成为判断同态性质的一个锐利武器。

🧠 [直觉心智模型]

在翻译程序的比喻中，单射意味着翻译不会丢失任何信息，不同的中文词一定会被翻译成不同的英文词。

  1. 推论说：这种情况发生，当且仅当，唯一被翻译成“无意义词”（单位元）的那个中文词就是中文里的“无意义词”本身。
  2. 如果有任何一个有意义的中文词也被翻译成了“无意义词”，那就说明翻译程序有“盲点”（核非平凡），那么信息丢失就不可避免，单射也就不可能了。（因为如果 $k \in K$ 且 $k \neq 1$，那么 $\varphi(ak) = \varphi(a)\varphi(k) = \varphi(a)\cdot 1 = \varphi(a)$，但 $ak \neq a$，两个不同的词 $a$ 和 $ak$ 被翻译成了同一个词 $\varphi(a)$）。
💭 [直观想象]

在投影仪的想象中，投影是单射的，意味着三维空间中没有两个不同的点会投影到地面上的同一个点。

  1. 推论说：这种情况发生，当且仅当，唯一投影到地面原点的那个三维点就是三维空间的原点本身。
  2. 如果还有其他点（比如原点正上方1米处的点）也投影到地面原点，那么整个三维空间中的每一点，和它正上方1米处的点，都会投影到同一个位置。投影就不再是单射了。所以，核（投影到原点的所有点的集合）是否只有原点一个点，决定了整个投影是否是单射。

12正规子群

📜 [原文12]

同态的核具有另一个重要的性质，在下一个命题中解释。如果 $a$ 和 $g$ 是群 $G$ 的元素，元素 $g a g^{-1}$ 称为 $a$ 被 $g$ 的共轭。

定义 2.5.10 群 $G$ 的子群 $N$ 是正规子群，如果对于 $N$ 中的每个 $a$ 和 $G$ 中的每个 $g$，共轭 $g a g^{-1}$ 在 $N$ 中。

📖 [逐步解释]

这部分引入了一个比“子群”更强、更特殊的概念——正规子群，并预告了核就具有这种特殊性质。

  1. 共轭 (Conjugate) 的定义:
    • 操作: 给定群 $G$ 中的两个元素 $a$ 和 $g$。
    • 计算: 计算 $g a g^{-1}$。这个新元素被称为 "$a$ 被 $g$ 的共轭" (the conjugate of $a$ by $g$)。
    • 直观含义: 共轭操作 $a \mapsto gag^{-1}$ 可以被看作是一种“坐标变换”。想象 $g$ 是一种操作，比如“旋转30度”。那么 $g^{-1}$ 就是“旋转-30度”。$gag^{-1}$ 的过程就是：
  2. 做 $g^{-1}$：撤销坐标系变换（例如，将整个系统反向旋转30度）。
  3. 做 $a$：在“标准”坐标系下执行操作 $a$。
  4. 做 $g$：恢复坐标系变换（将系统重新旋转30度）。
    • 所以 $gag^{-1}$ 的效果，就是在 $g$ 所定义的“新视角”下看待操作 $a$。
  5. 正规子群 (Normal Subgroup) 的定义:
    • 对象: $N$ 是群 $G$ 的一个子群。
    • 条件: 要成为正规子群，$N$ 必须对共轭操作“封闭”。具体来说，这个封闭性有点特别：你从子群 $N$ 里面拿一个元素 $n$ (原文用 $a$)，再从大群 $G$ 里面随便拿一个元素 $g$，计算共轭 $gng^{-1}$，结果必须“掉回”到子群 $N$ 里面。
    • 符号化: $N$ is normal in $G$ (记作 $N \triangleleft G$) if $\forall n \in N, \forall g \in G, \text{ we have } gng^{-1} \in N$。
    • 集合表示: 这个条件等价于说，对于任意 $g \in G$，集合 $gNg^{-1} = \{gng^{-1} \mid n \in N\}$ 必须等于集合 $N$。
    • 与左右陪集的关系: 一个子群 $N$ 是正规的，当且仅当它的任意左陪集都等于对应的右陪集，即对于所有 $g \in G$，都有 $gN = Ng$。这是正规子群一个非常重要的等价定义。
💡 [数值示例]

示例1：共轭运算

  • 在 $G=S_3$ 中，取 $a=(12)$ 和 $g=(123)$。
  • $g^{-1} = (132)$。
  • 计算共轭 $gag^{-1} = (123)(12)(132)$。
  • $(12)(132)$: $1 \to 3 \to 3, 3 \to 2 \to 1, 2 \to 1 \to 2$。所以是 $(13)$。
  • $(123)(13)$: $1 \to 3 \to 1, 3 \to 1 \to 2, 2 \to 2 \to 3$。所以是 $(23)$。
  • 因此 $(12)$ 被 $(123)$ 共轭后变成了 $(23)$。这可以理解为，在“轮换 (123)” 的视角下，原来的对换 (12) 看起来就像是对换 (23)。(1变成2, 2变成3, 3变成1, 所以(12)就变成了(23))

示例2：一个正规子群

  • 在 $G=S_3$ 中，取子群 $N=A_3 = \{e, (123), (132)\}$。
  • 我们来验证它是否正规。需要对 $N$ 中所有元素和 $G$ 中所有元素进行检验。
  • 取 $n=(123) \in N$。取 $g=(12) \in G$。
  • $g^{-1}=(12)$。
  • 计算共轭 $gng^{-1} = (12)(123)(12)$。
  • $(123)(12)=(13)$。
  • $(12)(13)=(132)$。
  • 结果是 $(132)$，它仍然在 $N=A_3$ 中。
  • 可以验证，无论用 $G$ 中的哪个元素去共轭 $A_3$ 中的元素，结果都还在 $A_3$ 中。例如，上面我们计算了 $(123)$ 被 $(123)$ 共轭后是 $(123)(123)(132) = (132)(132) = (123)$，还在 $A_3$ 中。我们还计算了 $(12)$ 被 $(123)$ 共轭是 $(23)$，但 $(12)$ 不在 $A_3$ 里，所以这个计算与验证 $A_3$ 无关。
  • 因此 $A_3$ 是 $S_3$ 的一个正规子群。

示例3：一个非正规子群

  • 在 $G=S_3$ 中，取子群 $H=\{e, (12)\}$。
  • 我们来检验它是否正规。
  • 取 $n=(12) \in H$。取 $g=(123) \in G$。
  • 我们已经在示例1中计算过，$gng^{-1} = (123)(12)(123)^{-1} = (23)$。
  • 结果是 $(23)$，这个元素不在子群 $H=\{e, (12)\}$ 中。
  • 因为我们找到了一个反例（一个 $H$ 中的元素，被一个 $G$ 中的元素共轭后，跑到了 $H$ 的外面），所以 $H$ 不是正规子群。
⚠️ [易错点]
  1. 正规性是相对的: 一个子群 $N$ 是否正规，是相对于它所在的大群 $G$ 而言的。$H=\{e, (12)\}$ 在 $S_3$ 中不正规，但它在自己本身这个群中是正规的（因为 $H$ 就是大群）。
  2. 阿贝尔群的子群都是正规的: 如果 $G$ 是一个阿贝尔群（交换群），那么对于任意 $n \in N, g \in G$，有 $gng^{-1} = gg^{-1}n = en = n$。因为 $n$ 总在 $N$ 中，所以条件 $gng^{-1} \in N$ 自动满足。因此，在阿贝尔群中，任何子群都是正规子群。正规性这个概念主要对非阿贝尔群有意义。
  3. 共轭类的概念: 被共轭操作联系起来的元素形成一个共轭类。例如在 $S_3$ 中，所有的对换 $\{(12), (13), (23)\}$ 构成一个共轭类。一个子群是正规的，当且仅当它是由若干个完整的共轭类的并集构成的。$A_3 = \{e\} \cup \{(123), (132)\}$，它由两个共轭类构成，所以是正规的。$H=\{e, (12)\}$ 不是共轭类的并集，所以不正规。
📝 [总结]

正规子群是一个对共轭运算封闭的子群。这意味着从群内任何“视角”去看这个子群，它都保持原样。这个性质比单纯的子群要强得多，也使得正规子群具有许多优良的特性，是构建商群的基石。

🎯 [存在目的]

引入正规子群的概念，是为了找到一类“表现良好”的子群。事实证明，只有用正规子群，我们才能以前面提到的“陪集划分”为元素，定义一个新群——商群。如果用非正规子群的陪集，就无法定义出良定义的群运算。因此，正规子群是群论结构理论的脊梁。

🧠 [直觉心智模型]

想象一个组织 $G$ 和它的一个部门 $N$。

  1. 共轭 $gng^{-1}$ 可以看作是：一个来自其他部门的员工 $g$ 临时接管了 $N$ 部门，用他的管理风格（$g$）来执行原本由 $n$ 员工负责的一项任务，然后再把管理权交还（$g^{-1}$）。
  2. 如果 $N$ 是一个正规子群，这意味着无论哪个部门的员工 $g$ 来“掺和”一下，$N$ 部门内部的任务执行结果，虽然可能具体负责人变了（$n$ 变成了 $gng^{-1}$），但这个新负责人 $gng^{-1}$ 仍然是 $N$ 部门的一员。这个部门的“内部事务”不会因为外界的干扰而跑到部门外面去。它是一个非常稳定、内聚的部门。
💭 [直观想象]
  1. 想象一个球体 $G$（比如三维旋转群 $SO(3)$）和一个它的子群 $N$。
  2. 如果 $N$ 是正规的，就好比 $N$ 是球体中一个“完美对称”的部分，比如所有绕着固定z轴旋转的操作。你先对整个球体做一个任意的旋转 $g$（改变了z轴的位置），然后执行一个原来属于 $N$ 的绕新z轴的旋转，最后再把球体转回去（$g^{-1}$）。整个操作下来，其效果等同于最初就只绕着某个（可能不同的）轴旋转。这个等效操作仍然属于 $N$ 这个“绕轴旋转”的集合。
  3. 如果 $N$ 不正规，比如它只包含绕z轴旋转90度和180度的操作，那么经过一套 $g(\cdot)g^{-1}$ 操作后，结果可能是一个绕着x轴的旋转，它就不再属于原来的子群 $N$ 了。

13命题 2.5.11

📜 [原文13]

命题 2.5.11 同态的核是正规子群。

证明。如果 $a$ 在同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 的核中，并且 $g$ 是 $G$ 的任意元素，那么 $\varphi\left(g a g^{-1}\right)=\varphi(g) \varphi(a) \varphi\left(g^{-1}\right)=\varphi(g) 1 \varphi(g)^{-1}=1$。因此 $g a g^{-1}$ 也在核中。$\square$

📖 [逐步解释]

这个命题终于揭示了核的那个“另一个重要的性质”：任何同态的核都自动是一个正规子群。

  1. 论断: 设 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态，其核为 $K = \operatorname{ker}\varphi$。那么 $K$ 是 $G$ 的一个正规子群。
  2. 证明思路:
    • 根据正规子群的定义，我们需要证明：对于任意在核 $K$ 中的元素 $a$，以及任意在大群 $G$ 中的元素 $g$，它们的共轭 $gag^{-1}$ 也必须在核 $K$ 中。
    • 要证明一个元素（这里是 $gag^{-1}$）在核 $K$ 中，我们需要做什么？我们需要计算它的像，即 $\varphi(gag^{-1})$，然后检验结果是否为值域群 $G^{\prime}$ 的单位元 $1_{G'}$。
    • 证明步骤:
    • 设 $a \in K$ 且 $g \in G$。
    • 因为 $a \in K$，所以根据核的定义，我们知道 $\varphi(a)=1_{G'}$。
    • 现在计算 $\varphi(gag^{-1})$：
    • $\varphi(gag^{-1}) = \varphi(g) \varphi(a) \varphi(g^{-1})$ (因为 $\varphi$ 是同态，保持乘积)
    • $= \varphi(g) \cdot 1_{G'} \cdot \varphi(g^{-1})$ (因为 $\varphi(a)=1_{G'}$)
    • $= \varphi(g) \varphi(g^{-1})$ (乘以单位元不改变结果)
    • $= \varphi(g) (\varphi(g))^{-1}$ (因为 $\varphi$ 保持逆元)
    • $= 1_{G'}$ (一个元素乘以它自己的逆元等于单位元)
    • 我们成功证明了 $\varphi(gag^{-1}) = 1_{G'}$。
    • 根据核的定义，这就意味着 $gag^{-1}$ 这个元素属于核 $K$。
    • 由于 $a$ 和 $g$ 是任意选取的，所以这个结论对所有情况都成立。
    • 因此，核 $K$ 是一个正规子群。
💡 [数值示例]

我们在定义正规子群时已经用 $A_3$ 作为例子验证过它的正规性了。这里我们再次确认，因为 $A_3$ 是符号同态 $\operatorname{sgn}: S_3 \rightarrow \{\pm 1\}$ 的核，所以根据这个命题，它必须是正规子群。我们的手动计算结果与这个强大的理论结果是一致的。

同样地，$SL_n(\mathbb{R})$ 是行列式同态 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$ 的核，所以 $SL_n(\mathbb{R})$ 必须是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个正规子群。

  • 这意味着，如果你取一个行列式为1的矩阵 $A \in SL_n$，再取一个任意的可逆矩阵 $g \in GL_n$，那么共轭矩阵 $gAg^{-1}$ 的行列式也必然为1。
  • 让我们验证一下：
  • $\det(gAg^{-1}) = \det(g) \det(A) \det(g^{-1})$ (行列式是同态)
  • $= \det(g) \det(A) (\det(g))^{-1}$ (行列式保持逆元)
  • $= \det(g) \cdot 1 \cdot (\det(g))^{-1}$ (因为 $A$ 在核里，$\det(A)=1$)
  • $= \det(g) (\det(g))^{-1} = 1$。
  • 结果果然是1！这说明 $gAg^{-1}$ 确实还在 $SL_n(\mathbb{R})$ 中。这完美地印证了命题的证明过程。
⚠️ [易错点]
  1. 单向性: 命题说“核都是正规子群”。反过来不一定成立，即“一个正规子群一定是某个同态的核”吗？答案是肯定的，任何一个正规子群 $N$，都是典范同态 $\pi: G \rightarrow G/N$ 的核。这个典范同态将一个元素 $g$ 映射到它所在的陪集 $gN$。所以正规子群和同态的核其实是同一枚硬币的两面。
  2. 证明的关键: 证明的核心在于同态的性质允许我们将 $\varphi(gag^{-1})$ 拆开，从而利用 $\varphi(a)=1$ 这一关键信息。
📝 [总结]

命题 2.5.11 是群论中的一个基石性定理。它简洁而有力地断言：凡是同态的核，必为正规子群。这赋予了核极高的地位，因为它连接了同态（映射关系）和正规子群（内在结构）这两个核心概念。

🎯 [存在目的]

这个命题的存在，是为了：

  1. 揭示核的本质: 阐明核除了是子群外，还满足更强的正规性条件。
  2. 为商群的构造提供合法性: 正规子群是构造商群的必要条件。这个命题保证了，只要我们有一个同态，我们就能得到一个核，并利用这个核去构造一个商群 $G/\ker\varphi$。这使得通过同态来研究群的结构分解成为可能。
  3. 提供判断正规性的方法: 如果我们能证明一个子群是某个同态的核，那么我们无需手动检查共轭，就可以立刻断定它是正规的。
🧠 [直觉心智模型]

在组织-部门的比喻中，我们已经知道核 $K$ 是一个“匿名者”部门。命题说这个部门必须是“正规”的。

这意味着，当一个外部门员工 $g$ 来“掺和”一下，用他的风格去执行一个匿名者 $k$ 的任务时 ($gkg^{-1}$)，产生的新任务执行人 $gkg^{-1}$ 也必须是个匿名者。

为什么会这样？因为同态 $\varphi$（比如映射到“项目贡献值”）是尊重组织结构的。

  1. $k$ 的贡献值是0 ($\varphi(k)=1$)。
  2. $g$ 和 $g^{-1}$ 的贡献值是互逆的。
  3. 总贡献值 $\varphi(gkg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(k)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot 1 \cdot \varphi(g)^{-1} = 1$。
  4. 所以这个新产生的组合任务 $gkg^{-1}$，它的贡献值也是0，因此它也属于“匿名者”部门。这个部门的性质（贡献值为0）对于来自任何视角的“审视”（共轭）都是不变的。
💭 [直观想象]

在投影仪的想象中，核 $K$ 是那条穿过三维原点的竖直线。这个命题说，这条竖直线在三维空间这个群里是“正规”的。

这意味着，如果你对整个三维空间做一个任意的旋转 $g$，那么原来那条竖直线 $K$ 会被转到一个新的位置，变成另一条穿过原点的直线 $gK$。然后你再把一个原来在 $K$ 上的点 $k$ 按 $g$ 旋转过去得到 $gk$，再把这个点按 $g$ 的逆变换 $g^{-1}$ 转回来，得到 $gkg^{-1}$。这个命题说的是 $gkg^{-1}$ 仍然在原来的竖直线 $K$上...

啊，这里的想象出了点问题。$gkg^{-1}$ 在几何上一般不回到原来的线上。让我们修正一下想象。

$gng^{-1}$ 是在 $g$ 的坐标系下看待 $n$。

设 $G$ 是整个欧几里得空间的所有刚体运动（旋转和平移）构成的群。

设 $N$ 是所有纯平移操作构成的子群。可以证明 $N$ 是 $G$ 的一个正规子群。

取一个平移 $n \in N$，和一个旋转 $g \in G$。

$gng^{-1}$ 是什么？它是：先反向旋转 $g^{-1}$，然后平移 $n$，再旋转回来 $g$。整个操作的结果，不再是原来方向的平移 $n$，而是一个被旋转了 $g$ 角度的新方向的平移！重要的是，它仍然是一个纯平移，所以它还在 $N$ 里面。

同态的核就具有这样好的性质。

14正规子群的例子与讨论

📜 [原文14]

因此，特殊线性群 $S L_{n}(\mathbb{R})$ 是一般线性群 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个正规子群，并且交错群 $A_{n}$ 是对称群 $S_{n}$ 的一个正规子群。阿贝尔群的每个子群都是正规的，因为如果 $G$ 是阿贝尔的，那么对于群中所有的 $a$ 和所有的 $g$，都有 $g a g^{-1}=a$。但非阿贝尔群的子群不一定是正规的。例如，在对称群 $S_{3}$ 中，其常规表示 (2.2.7) 中的二阶循环子群 $\langle y\rangle$ 不是正规的，因为 $y$ 在 $G$ 中，但 $x y x^{-1}=x^{2} y$ 不在 $\langle y\rangle$ 中。

📖 [逐步解释]

这部分承接上文，通过实例来巩固对正规子群的理解，并指出了非正规子群的存在。

  1. 正规定理的应用:
    • 因为 $SL_n(\mathbb{R})$ 是行列式同态的核，所以根据命题 2.5.11，它是一个正规子群。
    • 因为 $A_n$ 是符号同态的核，所以根据命题 2.5.11，它是一个正规子群。
    • 这是两个在各自领域（线性代数和置换群）中极为重要的正规子群。
  2. 阿贝尔群的情况:
    • 结论: 在阿贝尔群（或称交换群）中，所有子群都是正规子群。
    • 原因: 在阿贝尔群 $G$ 中，运算满足交换律，即 $gx=xg$ 对所有 $g,x \in G$ 成立。
    • 现在来检验正规子群的条件：取任意子群 $N$，任意 $n \in N$，任意 $g \in G$。
    • 计算共轭 $gng^{-1}$。
    • 因为群是阿贝尔的，所以 $gn = ng$。代入得 $gng^{-1} = (ng)g^{-1} = n(gg^{-1}) = n \cdot 1_G = n$。
    • 所以共轭 $gng^{-1}$ 的结果就是 $n$ 自己。
    • 因为 $n$ 本来就在 $N$ 中，所以结果 $n$ 当然也在 $N$ 中。
    • 条件满足，所以任何子群 $N$ 都是正规的。
  3. 非阿贝尔群的反例:
    • 正规性在非阿贝尔群中才是一个有区分度的、非平凡的性质。
    • 例子: $G = S_3$。它是一个非阿贝尔群，因为例如 $(12)(13)=(132)$ 而 $(13)(12)=(123)$，两者不相等。
    • 子群: 考虑由元素 $y$ (在 $S_3$ 的标准表示中通常指对换，比如 $y=(12)$) 生成的二阶循环子群 $\langle y \rangle = \{e, y\}$。
    • 检验正规性:
    • 原文引用了表示 $x, y$，其中 $x$ 通常指三阶轮换 $(123)$，$y$ 指二阶对换 $(12)$。$S_3$ 的关系是 $x^3=e, y^2=e, yx=x^2y$。
    • 我们来计算共轭 $xyx^{-1}$。注意原文写的是 $xyx^{-1}=x^2y$ 这是从 $yx=x^2y$ 推导的：$yx=x^2y \implies yxy^{-1} = x^2$ (右乘 $y^{-1}$)。但我们要计算的是 $xyx^{-1}$。
    • $xyx^{-1} = x(yx^{-1})$。从 $yx=x^2y$ 两边右乘 $x^{-1}$ 得到 $y=x^2yx^{-1}$，再左乘 $x$ 得到 $xy=x^3yx^{-1}=eyx^{-1}=yx^{-1}$。这不对。
    • 让我们直接用 $S_3$ 的元素计算。设 $y=(12)$， $x=(123)$。
    • $x^{-1}=(132)$。
    • $xyx^{-1} = (123)(12)(132)$。我们之前算过这个等于 $(23)$。
    • 被共轭的元素是 $y=(12) \in \langle y \rangle$。
    • 共轭的结果是 $(23)$。
    • 子群 $\langle y \rangle = \{e, (12)\}$ 中并不包含 $(23)$。
    • 所以共轭的结果“跑出去了”。
    • 因此，$\langle y \rangle$ 不是 $S_3$ 的正规子群。
    • 原文的计算: $xyx^{-1}=x^2y$ 可能是笔误，或者基于某种不同的关系推导。让我们验证 $xyx^{-1}=(23)$ 和 $x^2y=(132)(12)=(23)$ 是否相等。是的，它们是相等的！所以原文的计算结果 $x^2y$ 是正确的，即 $(23)$。而 $(23)$ 不在 $\langle y \rangle = \{e, (12)\}$ 中。结论无误。
💡 [数值示例]

示例1：阿贝尔群的子群

  • $G = (\mathbb{Z}, +)$ 是阿贝尔群。
  • $N = 3\mathbb{Z} = \{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$ 是它的一个子群。
  • 根据结论，它必须是正规的。我们来验证一下。
  • 在加法群中，共轭 $gng^{-1}$ 变成 $g+n+(-g)$。
  • 因为是阿贝尔群，$g+n+(-g) = g+(-g)+n = 0+n = n$。
  • 取任意 $n \in 3\mathbb{Z}$ 和任意 $g \in \mathbb{Z}$，其共轭结果就是 $n$ 自己，当然还在 $3\mathbb{Z}$ 中。所以 $3\mathbb{Z}$ 是正规的。

示例2：另一个非正规子群

  • 考虑 $G = D_8$ (二面体群，正方形的对称性群)，$|D_8|=8$。
  • $D_8 = \{e, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3\}$，其中 $r$ 是旋转90度， $s$ 是一个翻转。
  • $H = \{e, s\}$ 是一个二阶子群。
  • 我们来检验它是否正规。取 $n=s \in H$ 和 $g=r \in G$。
  • 需要计算 $r s r^{-1}$。在 $D_8$ 中有关系 $rs=sr^{-1}=sr^3$。
  • 所以 $rsr^{-1} = (sr^{-1})r^{-1} = sr^{-2} = sr^2$。
  • 结果 $sr^2$ 不在 $H=\{e, s\}$ 中。
  • 因此 $H$ 不是 $D_8$ 的正规子群。
⚠️ [易错点]
  1. 不要假设正规性: 在处理一个非阿贝尔群的子群时，绝对不能想当然地认为它是正规的。必须通过定义（或等价条件）来检验，或者证明它是某个同态的核。
  2. 中心的子群: 任何位于群的中心 $Z(G)$ 内的子群一定是正规的。因为如果 $N \subseteq Z(G)$，那么对任意 $n \in N$, $g \in G$，有 $gn=ng$（因为 $n$ 在中心里），所以 $gng^{-1}=n \in N$。
📝 [总结]

本节通过实例强调了正规子群的几个关键点：$SL_n(\mathbb{R})$ 和 $A_n$ 是正规的，因为它们是核；阿贝尔群的所有子群都是正规的；而非阿贝尔群中则普遍存在非正规子群，如 $S_3$ 中的二阶子群。这突出了正规性是一个在非阿贝尔世界里才显得珍贵和重要的性质。

🎯 [存在目的]

这部分的目的是通过正反两方面的例子，让读者对“正规”和“非正规”建立起具体的感受。它告诉我们哪些是正规的（核，阿贝尔群的子群），哪些不是，从而避免泛化和误解，为后续引入依赖于正规性的商群概念做好铺垫。

🧠 [直觉心智模型]
  1. 阿贝尔群就像一个完全民主的社会，每个成员（元素）都享有同等地位，可以随意交换位置。在这样的社会里，任何一个小团体（子群）都不会因为“视角”不同而显得不一样，它们都是“正规”的。
  2. 非阿贝尔群就像一个有层级和特定规则的组织。有些部门（子群）是特权部门（正规子群），比如核心决策层（核），从任何角度看它们都保持其核心地位。而其他一些普通部门（非正规子群），从不同领导（$g$）的视角看，其定位和作用会发生改变（$gng^{-1} \notin N$）。
💭 [直观想象]

想象一个正方形（$D_8$ 的几何实现）。

  1. 子群 $H=\{e, s\}$ 对应“不动”和“沿水平中轴线翻转”。
  2. $g=r$ 是“逆时针旋转90度”。
  3. 共轭 $rsr^{-1}$ 的几何意义是：先撤销旋转（顺时针转90度），然后水平翻转，最后再转回来（逆时针转90度）。
  4. 你可以拿一张纸实际操作一下：
  1. 初始状态，记下四个角 1,2,3,4。
  2. $r^{-1}$: 顺时针转90度。
  3. $s$: 沿（新的）水平中轴线翻转。
  4. $r$: 逆时针转90度。
    • 最后你会发现，这个操作等效于“沿对角线翻转”（比如 $sr^2$）。这个结果不是原来的“水平翻转”，所以 $H$ 不是正规子群。

15群的中心

📜 [原文15]

  • 群 $G$ 的中心，通常表示为 $Z$，是与 $G$ 的每个元素都可交换的元素集合：

$$ \begin{equation*} Z=\{z \in G \mid z x=x z \text { for all } x \in G\} . \tag{2.5.12} \end{equation*} $$

它始终是 $G$ 的一个正规子群。特殊线性群 $S L_{2}(\mathbb{R})$ 的中心由两个矩阵 $I,-I$ 组成。如果 $n \geq 3$，对称群 $S_{n}$ 的中心是平凡的。

📖 [逐步解释]

这部分介绍了群的另一个重要的子群——中心。

  1. 中心 (Center) 的定义:
    • 概念: 群 $G$ 的中心，是 $G$ 中所有“好好先生”的集合。一个元素如果在中心里，意味着它跟群里的任何其他元素都能交换位置。
    • 记号: $Z$ 或 $Z(G)$，Z 来自德语 Zentrum (中心)。
    • 定义解读: 一个元素 $z$ 属于中心 $Z(G)$ 的条件是：对于群 $G$ 中所有的元素 $x$，都必须满足 $zx=xz$。这个要求非常苛刻。
  2. 中心的性质:
    • 是正规子群:
    • 是子群: 首先要验证 $Z(G)$ 是个子群。
    • 非空：$1_G \cdot x = x = x \cdot 1_G$，所以单位元 $1_G$ 总在中心里。
    • 封闭：如果 $z_1, z_2 \in Z(G)$，那么对任意 $x \in G$，有 $(z_1z_2)x = z_1(z_2x) = z_1(xz_2) = (z_1x)z_2 = (xz_1)z_2 = x(z_1z_2)$。所以 $z_1z_2$ 也在中心里。
    • 逆元：如果 $z \in Z(G)$，那么 $zx=xz$。两边左乘右乘 $z^{-1}$ 可得 $z^{-1}x=xz^{-1}$。所以 $z^{-1}$ 也在中心里。
    • 是正规的: 因为中心的元素与群中所有元素都可交换，所以对于任意 $z \in Z(G), g \in G$，有 $gzg^{-1} = gg^{-1}z = z$。结果 $z$ 显然在 $Z(G)$ 中。所以中心是正规子群。实际上，这是前面提到的“阿贝尔群的子群都是正规的”和“位于中心的子群是正规的”的一个实例。
  3. 中心的例子:
    • $SL_2(\mathbb{R})$ 的中心:
    • 中心是 $\{I, -I\}$，其中 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。
    • 这意味着，只有 $I$ 和 $-I$ 这两个矩阵能与所有 $2 \times 2$ 的行列式为1的矩阵交换位置。像 $A \cdot (-I) = -A$ 和 $(-I) \cdot A = -A$。这很容易验证。要证明只有这两个是困难的，需要一些计算。
    • $S_n$ 的中心 ($n \ge 3$):
    • 中心是平凡的，即 $Z(S_n)=\{e\}$。
    • 这意味着，只要 $n \ge 3$，除了单位置换外，不存在任何一个非平凡的置换能跟所有其他置换交换位置。
    • 例如，在 $S_3$ 中，我们想找一个能和 $(12)$ 以及 $(13)$ 都交换的元素 $p$。如果 $p=(123)$，$(123)(12)=(13)$ 而 $(12)(123)=(23)$，不交换。可以验证，只有 $e$ 满足条件。
∑ [公式拆解]

公式: $Z=\{z \in G \mid z x=x z \text { for all } x \in G\}$

  • $Z$: 中心 (Center) 的记号。
  • $z \in G$: 中心的元素来自群 $G$。
  • $zx=xz \text { for all } x \in G$: 这是元素 $z$ 被收入中心的条件，它必须与 $G$ 中的每一个元素都可交换。for all 是最强的约束。
💡 [数值示例]

示例1：$GL_2(\mathbb{R})$ 的中心

  • $G = GL_2(\mathbb{R})$ (所有2x2可逆矩阵)。
  • 它的中心是所有形如 $kI = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ 的标量矩阵，其中 $k \in \mathbb{R}^{\times}$。
  • 我们来验证。设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 是任意可逆矩阵。
  • $(kI)A = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} = kA$。
  • $A(kI) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} = kA$。
  • 两者相等，所以标量矩阵确实在中心里。

示例2：$D_8$ 的中心

  • $G=D_8$ (正方形对称群)。
  • 它的元素是 $\{e, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3\}$。
  • 我们来找哪些元素能跟所有元素交换。
  • $r$ 能不能？$rs = sr^3 \neq sr$。所以 $r$ 不在中心。
  • $s$ 能不能？$sr=r^3s \neq rs$。所以 $s$ 不在中心。
  • $r^2$ (旋转180度) 呢？
  • $r^2$ 和所有旋转 $r^k$ 都能交换，因为它们是同一个循环子群的。
  • $r^2 s = s r^{-2} = s r^2$。它们也交换！
  • 所以 $r^2$ 与所有的 $r^k$ 和 $s$ 都交换，因此与所有元素都交换。$r^2 \in Z(D_8)$。
  • $e$ 当然也在。
  • 可以验证，其他元素都不在中心。
  • 所以 $Z(D_8) = \{e, r^2\}$。
⚠️ [易错点]
  1. 中心与阿贝尔群: 一个群 $G$ 是阿贝尔群，当且仅当它的中心就是它自身，$Z(G)=G$。中心的大小可以看作是衡量一个群“有多接近阿べる”的指标。
  2. 中心化子 vs. 中心: 不要混淆中心 $Z(G)$ 和一个元素的中心化子 $C_G(a)$。$C_G(a) = \{g \in G \mid ga=ag\}$ 是所有能与特定元素 $a$ 交换的元素的集合。而中心是能与所有元素交换的元素的集合。所以 $Z(G) = \bigcap_{x \in G} C_G(x)$。
📝 [总结]

群的中心 $Z(G)$ 是由群中所有可与任何元素交换的“万能交换元素”组成的集合。它总是一个正规子群，其大小反映了群的交换程度。对于许多重要的群，如 $S_n (n \ge 3)$，其中心非常小（平凡的），说明其非交换性很强。

🎯 [存在目的]

中心是一个群内禀的、非常自然的正规子群。研究一个群的中心，是理解其内部结构、特别是其交换性质的重要途径。在表示论等高等主题中，中心扮演着关键角色。

🧠 [直觉心智模型]

中心是群这个“组织”里的“元老院”或“最高委员会”。这个委员会里的成员 $z$ 地位超然，他们的指令 $z$ 和任何一个普通成员 $x$ 的行动，先后顺序可以随便调换 ($zx=xz$)，不影响最终结果。这个委员会自身结构稳定（子群），且其地位得到组织内所有人的承认（正规）。

💭 [直观想象]

想象一个群是太阳系里所有天体的运动。

中心可能就是太阳本身（如果它的运动对其他天体有某种可交换的影响）。或者更抽象地，是某种普适的、不依赖于你观察哪个行星的背景效应。如果一个效应 $z$ 作用于地球 $x$ ($zx$)，和你先看地球 $x$ 再考虑这个效应 $z$ ($xz$)，结果完全一样，并且这对所有天体 $x$ 都成立，那么这个效应 $z$ 就在中心里。

16例 2.5.13 对称群同态

📜 [原文16]

例 2.5.13 对称群 $S_{4}$ 到 $S_{3}$ 的同态 $\varphi: S_{4} \rightarrow S_{3}$。

将四索引的集合 $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \mathbf{4}\}$ 分成二阶子集对有三种方法，即

$$ \begin{equation*} \Pi_{1}:\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\} \cup\{3, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{2}:\{\mathbf{1}, \mathbf{3}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{3}:\{\mathbf{1}, \mathbf{4}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{3}\} . \tag{2.5.14} \end{equation*} $$

对称群 $S_{4}$ 的一个元素置换这四个索引，通过这样做，它也置换这三个划分。这定义了从 $S_{4}$ 到集合 $\left\{\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right\}$ 的置换群的映射 $\varphi$，即对称群 $S_{3}$。

📖 [逐步解释]

这部分构造了一个非常巧妙且重要的同态，从一个较大的对称群 $S_4$ 映射到一个较小的对称群 $S_3$。

  1. 构造思路:
    • 起点: $S_4$ 是作用在集合 $\{1,2,3,4\}$ 上的置换群。
    • 寻找作用对象: 我们不让 $S_4$ 直接作用在 $\{1,2,3\}$ 上，这是没有意义的。我们需要从 $S_4$ 自身的结构中，找到一个天然的、数量为3的集合，让 $S_4$ 去作用于它。
    • 发现“三”: 如何从4个元素中构造出3个东西？一个方法是考虑将这4个元素两两配对。
    • 将 $\{1,2,3,4\}$ 分成两个包含两个元素的子集。
    • 配对1：$\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$。我们称这个划分为 $\Pi_1$。
    • 配对2：$\{1,3\}$ 和 $\{2,4\}$。我们称这个划分为 $\Pi_2$。
    • 配对3：$\{1,4\}$ 和 $\{2,3\}$。我们称这个划分为 $\Pi_3$。
    • 我们发现，这样的划分方式恰好有3种。于是我们得到了一个大小为3的集合 $X = \{\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3\}$。
  2. 定义映射:
    • 群作用: $S_4$ 中的任何一个置换 $p$，都会对数字 $\{1,2,3,4\}$ 进行重新排列。
    • 引发的作用: 当数字位置改变后，原来对数字的划分也相应地变成了新的划分。
    • 例如，考虑划分 $\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$。让置换 $p=(13)$ 作用于它。
    • $p$ 把 $1$ 变成 $3$，把 $3$ 变成 $1$。$2,4$ 不变。
    • 原来的子集 $\{1,2\}$ 变成了 $\{3,2\}$。
    • 原来的子集 $\{3,4\}$ 变成了 $\{1,4\}$。
    • 所以划分 $\Pi_1$ 经过 $p$ 的作用，变成了新划分 $\{\{2,3\}, \{1,4\}\}$。
    • 我们观察一下这个新划分，它正好是 $\Pi_3 = \{\{1,4\}, \{2,3\}\}$。
    • 所以，置换 $p=(13)$ 使得 $\Pi_1 \to \Pi_3$。
    • 映射的建立: 既然 $S_4$ 的每个元素 $p$ 都会引起这三个划分 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ 的一个重新排列（一个置换），那么我们就定义了一个映射 $\varphi$。
    • $\varphi: S_4 \rightarrow (\text{作用在}\{\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3\}\text{上的置换群})$。
    • 作用在3个元素上的置换群，就是 $S_3$。
    • 所以我们得到了一个映射 $\varphi: S_4 \rightarrow S_3$。
∑ [公式拆解]

公式: $\Pi_{1}:\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\} \cup\{3, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{2}:\{\mathbf{1}, \mathbf{3}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{3}:\{\mathbf{1}, \mathbf{4}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{3}\}$

  • $\Pi_i$: 读作 "Pi i"，代表第 $i$ 个划分 (Partition)。
  • $\{\{a,b\}, \{c,d\}\}$: 这是一个集合的集合，表示一种划分方式。它包含两个子集，每个子集里有两个元素。两个子集的并集是 $\{1,2,3,4\}$，交集为空。
  • 例如 $\Pi_1$: 是一种划分，它把 $\{1,2,3,4\}$ 分成了 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$ 两组。
💡 [数值示例]

示例1：计算 $\varphi((13))$

  • $p = (13) \in S_4$。
  • 我们需要看 $p$ 如何作用于 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$。
  • 作用于 $\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$:
  • $\{1,2\} \to \{3,2\}$
  • $\{3,4\} \to \{1,4\}$
  • 新划分是 $\{\{2,3\}, \{1,4\}\}$，这正是 $\Pi_3$。所以 $\Pi_1 \to \Pi_3$。
  • 作用于 $\Pi_2 = \{\{1,3\}, \{2,4\}\}$:
  • $\{1,3\} \to \{3,1\}$
  • $\{2,4\} \to \{2,4\}$
  • 新划分是 $\{\{1,3\}, \{2,4\}\}$，还是 $\Pi_2$。所以 $\Pi_2 \to \Pi_2$。
  • 作用于 $\Pi_3 = \{\{1,4\}, \{2,3\}\}$:
  • $\{1,4\} \to \{3,4\}$
  • $\{2,3\} \to \{2,1\}$
  • 新划分是 $\{\{3,4\}, \{1,2\}\}$，这正是 $\Pi_1$。所以 $\Pi_3 \to \Pi_1$。
  • 总结 $p=(13)$ 的作用：$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ 分别变成了 $\Pi_3, \Pi_2, \Pi_1$。
  • 这是一个交换 $\Pi_1$ 和 $\Pi_3$ 同时保持 $\Pi_2$ 不动的置换。
  • 如果我们把 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ 想象成数字 $1,2,3$，那么这个作用就是置换 $(13)$。
  • 所以 $\varphi((13)) = (13) \in S_3$。（这里的 $(13)$ 是 $S_3$ 里的元素，作用于 $\Pi_1, \Pi_3$）。
⚠️ [易错点]
  1. 作用对象的理解: $S_4$ 作用的直接对象是数字 $1,2,3,4$。它对划分 $\Pi_i$ 的作用是间接引发的。
  2. $S_4$ 元素与 $S_3$ 元素的区别: 不要混淆 $S_4$ 中的置换和 $S_3$ 中的置换。例如，$\varphi((13))$ 结果是 $S_3$ 中的置换 $(13)$，这是一个巧合。后面会看到，$\varphi((1234))$ 的结果是 $S_3$ 中的 $(13)$。
  3. 映射的良定义性: 需要确认 $S_4$ 的任意元素作用后，得到的结果确实是三个划分中的一个，而不会产生新的划分方式。这是显然的，因为作用只是重新标记数字，不会改变“两个一堆，两个一堆”的结构。
📝 [总结]

本节通过一个巧妙的构造，找到了一个从 $S_4$ 到 $S_3$ 的映射。其核心思想是让 $S_4$ 作用于由它自身元素构造出来的一个三元集合——即4个数字的3种不同配对方式。$S_4$ 中置换数字的行为，会相应地引起对这3种配对方式的置换，从而建立了 $S_4$ 到 $S_3$ 的映射。

🎯 [存在目的]

这个例子的目的在于展示一个非平凡的、结构非常丰富的同态。它不是显而易见的，需要一定的洞察力才能构造出来。它说明同态可以存在于看似不相关的群之间。这个特殊的同态在群论中非常有名，因为它揭示了 $S_4$ 和 $S_3$ 之间深刻的内在联系，并且它的核是一个重要的四元正规子群（克莱因四元群），这对于理解 $S_4$ 的结构至关重要。

🧠 [直觉心智模型]

想象有4个舞者（1,2,3,4）。有3种双人舞配对方案（$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$）。

  1. $\Pi_1$: (1,2)跳，(3,4)跳。
  2. $\Pi_2$: (1,3)跳，(2,4)跳。
  3. $\Pi_3$: (1,4)跳，(2,3)跳。

一个 $S_4$ 的置换 $p$ 就像一个指令，让舞者们交换位置。比如 $p=(12)$ 让1号和2号舞者换位。

这个换位指令发出后，我们来看配对方案发生了什么变化：

  1. $\Pi_1$ 方案中，(1,2)和(3,4)在跳。执行(12)后，还是(1,2)和(3,4)在跳（只是两个人互换了角色）。所以 $\Pi_1$ 方案本身没变。
  2. $\Pi_2$ 方案中，(1,3)和(2,4)在跳。执行(12)后，变成了(2,3)和(1,4)在跳。这变成了 $\Pi_3$ 方案。
  3. $\Pi_3$ 方案中，(1,4)和(2,3)在跳。执行(12)后，变成了(2,4)和(1,3)在跳。这变成了 $\Pi_2$ 方案。

所以，指令 $p=(12)$ 导致了方案的置换：$\Pi_1 \to \Pi_1, \Pi_2 \to \Pi_3, \Pi_3 \to \Pi_2$。这是一个交换 $\Pi_2, \Pi_3$ 的对换。

映射 $\varphi$ 就是把“舞者换位指令” ($S_4$) 翻译成“舞蹈配对方案的变更情况” ($S_3$)。

💭 [直观想象]

想象一个正四面体。它的四个顶点是 $\{1,2,3,4\}$。$S_4$ 可以看作是这个正四面体的旋转对称群（加上反射就是 $S_4$）。

三组对边是：(1,2)和(3,4)，(1,3)和(2,4)，(1,4)和(2,3)。

这三组对边，恰好对应了我们的三个划分 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$。

当你对这个正四面体进行一个旋转时（一个 $S_4$ 中的偶置换），你不仅移动了顶点，你也移动了这三组对边。比如，某个旋转可能让第1组对边转到第2组对边的位置。

这个例子就是将 $S_4$ 对顶点的作用，转化为了对这三组对边的作用。对三组对边的置换，就是一个 $S_3$ 中的元素。

17例 2.5.13 (续)

📜 [原文17]

例如，四循环 $p=(1234)$ 对二阶子集的作用如下：

$$ \begin{array}{lll} \{1,2\} \rightsquigarrow\{2,3\} & \{1,3\} \rightsquigarrow\{2,4\} & \{1,4\} \rightsquigarrow\{1,2\} \\ \{2,3\} & \leadsto\{3,4\} & \{2,4\} \rightsquigarrow\{1,3\} \\ \{3,4\} & \leadsto\{1,4\} . \end{array} $$

观察这个作用，可以看出 $p$ 对划分集合 $\left\{\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right\}$ 的作用是一个对换 ( $\Pi_{1} \Pi_{3}$ )，它固定 $\Pi_{2}$ 并交换 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{3}$。

如果 $p$ 和 $q$ 是 $S_{4}$ 的元素，乘积 $p q$ 是复合置换 $p \circ q$，并且 $p q$ 对集合 $\left\{\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right\}$ 的作用是 $q$ 和 $p$ 作用的复合。因此 $\varphi(p q)=\varphi(p) \varphi(q)$，并且 $\varphi$ 是一个同态。

📖 [逐步解释]

这部分继续上面的例子，通过一个具体的四循环 $p=(1234)$ 来演示映射的计算，并论证了这个映射确实是一个同态。

  1. 计算 $\varphi((1234))$:
    • $p=(1234)$ 的作用是 $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$。
    • 对划分 $\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$ 的作用:
    • 子集 $\{1,2\}$ 变成了 $\{2,3\}$。
    • 子集 $\{3,4\}$ 变成了 $\{4,1\}$ (即 $\{1,4\}$)。
    • 新的划分是 $\{\{2,3\}, \{1,4\}\}$。这正是 $\Pi_3$。
    • 所以 $\Pi_1 \to \Pi_3$。
    • 对划分 $\Pi_2 = \{\{1,3\}, \{2,4\}\}$ 的作用:
    • 子集 $\{1,3\}$ 变成了 $\{2,4\}$。
    • 子集 $\{2,4\}$ 变成了 $\{3,1\}$ (即 $\{1,3\}$)。
    • 新的划分是 $\{\{2,4\}, \{1,3\}\}$。这还是 $\Pi_2$。
    • 所以 $\Pi_2 \to \Pi_2$ (它保持不动)。
    • 对划分 $\Pi_3 = \{\{1,4\}, \{2,3\}\}$ 的作用:
    • 子集 $\{1,4\}$ 变成了 $\{2,1\}$ (即 $\{1,2\}$)。
    • 子集 $\{2,3\}$ 变成了 $\{3,4\}$。
    • 新的划分是 $\{\{1,2\}, \{3,4\}\}$。这正是 $\Pi_1$。
    • 所以 $\Pi_3 \to \Pi_1$。
    • 结论: $p=(1234)$ 对 $\{\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3\}$ 的作用是：$\Pi_1 \to \Pi_3, \Pi_2 \to \Pi_2, \Pi_3 \to \Pi_1$。这是一个交换 $\Pi_1$ 和 $\Pi_3$ 的对换。如果我们把 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ 看作 $1,2,3$，这个置换就是 $(13) \in S_3$。
    • 因此，$\varphi((1234)) = (13) \in S_3$。
  2. 证明 $\varphi$ 是同态:
    • 论点: $\varphi(pq) = \varphi(p)\varphi(q)$ 对于所有 $p,q \in S_4$ 成立。
    • 理解复合作用:
    • $S_4$ 中的乘积 $pq$ 指的是先做 $q$ 再做 $p$ ($p \circ q$)。
    • $\varphi(p)$ 是 $p$ 对划分集的作用。$\varphi(q)$ 是 $q$ 对划分集的作用。$S_3$ 中的乘积 $\varphi(p)\varphi(q)$ 指的是先做 $\varphi(q)$ 的作用，再做 $\varphi(p)$ 的作用。
    • 论证过程:
    • 左边 $\varphi(pq)$: 我们先在 $S_4$ 中复合 $p$ 和 $q$，得到一个新的置换 $r=pq$。然后看 $r$ 是如何作用于划分集的。
    • 右边 $\varphi(p)\varphi(q)$: 我们先看 $q$ 如何作用于划分集，得到一个 $S_3$ 的置换 $\varphi(q)$。再看 $p$ 如何作用于划分集，得到 $\varphi(p)$。然后将这两个 $S_3$ 的置换复合。
    • 关键点: 群作用的定义保证了这一点。$(pq)$ 作用在一个对象 $x$ 上，其效果 $(pq)(x)$ 定义为 $p(q(x))$。
    • 让 $x$ 是一个划分。$pq$ 对 $x$ 的作用，就是 $p$ 对 ($q$ 对 $x$ 的作用) 的作用。
    • 这正好就是 $\varphi(p)$ 和 $\varphi(q)$ 两个作用的复合。
    • 所以 $\varphi$ 忠实地把 $S_4$ 中的复合运算，翻译成了 $S_3$ 中的复合运算。它是一个同态。
💡 [数值示例]

示例1：验证 $\varphi((12)(13)) = \varphi((12))\varphi((13))$

  • $p=(12), q=(13)$。$pq = (12)(13)=(132)$。
  • 左边 $\varphi(pq) = \varphi((132))$:
  • 我们来计算 $(132)$ 对划分的作用：$1 \to 3 \to 2 \to 1$。
  • $\Pi_1=\{\{1,2\}, \{3,4\}\} \to \{\{3,1\}, \{2,4\}\} = \Pi_2$。
  • $\Pi_2=\{\{1,3\}, \{2,4\}\} \to \{\{3,2\}, \{1,4\}\} = \Pi_3$。
  • $\Pi_3=\{\{1,4\}, \{2,3\}\} \to \{\{3,4\}, \{1,2\}\} = \Pi_1$。
  • 作用是 $\Pi_1 \to \Pi_2 \to \Pi_3 \to \Pi_1$。这是 $S_3$ 中的轮换 $(123)$。
  • 所以 $\varphi((132))=(123) \in S_3$。
  • 右边 $\varphi(p)\varphi(q) = \varphi((12))\varphi((13))$:
  • 我们先计算 $\varphi((12))$。$p=(12)$ 的作用是 $1 \leftrightarrow 2$。
  • $\Pi_1=\{\{1,2\},\{3,4\}\} \to \{\{2,1\},\{3,4\}\} = \Pi_1$。
  • $\Pi_2=\{\{1,3\},\{2,4\}\} \to \{\{2,3\},\{1,4\}\} = \Pi_3$。
  • $\Pi_3=\{\{1,4\},\{2,3\}\} \to \{\{2,4\},\{1,3\}\} = \Pi_2$。
  • 作用是 $\Pi_2 \leftrightarrow \Pi_3$。所以 $\varphi((12))=(23) \in S_3$。
  • 我们再计算 $\varphi((13))$。$q=(13)$ 的作用是 $1 \leftrightarrow 3$。
  • $\Pi_1=\{\{1,2\},\{3,4\}\} \to \{\{3,2\},\{1,4\}\} = \Pi_3$。
  • $\Pi_2=\{\{1,3\},\{2,4\}\} \to \{\{3,1\},\{2,4\}\} = \Pi_2$。
  • $\Pi_3=\{\{1,4\},\{2,3\}\} \to \{\{3,4\},\{2,1\}\} = \Pi_1$。
  • 作用是 $\Pi_1 \leftrightarrow \Pi_3$。所以 $\varphi((13))=(13) \in S_3$。
  • 现在复合它们：$\varphi((12))\varphi((13)) = (23)(13) \in S_3$。
  • 在 $S_3$ 中计算 $(23)(13)$：$1 \to 3 \to 2, 2 \to 2 \to 3, 3 \to 1 \to 1$。所以是 $(123)$。
  • 比较: 左边是 $(123)$，右边也是 $(123)$。等式成立！这验证了同态性质。
⚠️ [易错点]
  1. 置换复合顺序: 再次强调，$pq$ 是先 $q$ 后 $p$。$\varphi(p)\varphi(q)$ 也是先 $\varphi(q)$ 后 $\varphi(p)$。保持顺序一致是关键。
  2. 多个群之间的混淆: 在这个例子中，我们在三个不同的群里工作：$S_4$, $S_3$ 和 $S_2$（每个划分里的子集）。要时刻清楚当前的操作是在哪个层面。
  3. 原文的对换记号: 原文说 (Π₁ Π₃)，这是一种表示对换的记法，与 (1 3) 等价，如果把 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ 看作 $1,2,3$。
📝 [总结]

本节通过一个具体例子 $(1234)$ 演示了如何计算 $\varphi$ 的值，并从原理上解释了为什么这个映射 $\varphi$ 是一个同态：因为群元素复合作用于一个对象的最终效果，就等于各个元素作用效果的复合。

🎯 [存在目的]

这部分的目的是完成对例子的论证。仅仅定义一个映射是不够的，必须严格证明它满足同态的定义。这个证明虽然是概念性的，但是它揭示了所有基于“群作用”来构造同态的例子的共同本质。

🧠 [直觉心智模型]

在舞者配对方案的比喻中，

  1. $pq$ 是一个复合指令，比如“先1号2号换，再2号3号换”。
  2. $\varphi(pq)$ 是这个复合指令最终造成了配对方案的何种变化。
  3. $\varphi(p)\varphi(q)$ 是“1号2号换”造成的方案变化，再接着进行“2号3号换”造成的方案变化。
  4. 两者结果必然相同，因为后者正是前者的分步描述。
💭 [直观想象]

在正四面体的想象中，

  1. $p$ 和 $q$ 是对四面体的两个连续旋转。$pq$ 是这两个旋转的合成结果（也是一个旋转）。
  2. $\varphi(p)$ 和 $\varphi(q)$ 是这两个旋转分别引起的对三组对边的置换。$\varphi(p)\varphi(q)$ 是这两个置换的复合。
  3. $\varphi(pq)$ 是合成旋转 $pq$ 引起的对边的置换。
  4. 显然，合成旋转对边的最终影响，等于分步旋转影响的叠加。这正是同态性质。

18例 2.5.13 的像与核

📜 [原文18]

这个映射是满射的，所以它的像是整个群 $S_{3}$。它的核可以计算出来。它是 $S_{4}$ 的子群，由单位元和三个不相交对换的乘积组成：

$$ \begin{equation*} K=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} . \tag{2.5.15} \end{equation*} $$

$\square$

📖 [逐步解释]

这部分给出了这个 $S_4 \to S_3$ 同态的像和核，完成了对这个例子的分析。

  1. 像 (Image):
    • 结论: $\operatorname{im}(\varphi) = S_3$。这个同态是满射的（surjective）。
    • 证明思路: 要证明满射，我们需要说明 $S_3$ 中的任何一个元素，都能在 $S_4$ 中找到一个“原型”。$S_3$ 由对换（如 $(12)$）和三阶轮换（如 $(123)$）生成。我们只需要找到能映射到它们的原型即可。
    • 原型 for $(13) \in S_3$: 我们算过 $\varphi((13) \in S_4) = (13) \in S_3$。
    • 原型 for $(23) \in S_3$: 我们算过 $\varphi((12) \in S_4) = (23) \in S_3$。
    • 原型 for $(123) \in S_3$: 我们算过 $\varphi((132) \in S_4) = (123) \in S_3$。
    • 因为 $S_3$ 的生成元都有原型，所以 $S_3$ 中的所有元素都有原型。故像是整个 $S_3$。
  2. 核 (Kernel):
    • 定义: 核是所有被映射到 $S_3$ 单位元 $e_{S_3}$ 的 $S_4$ 元素的集合。$S_3$ 的单位元意味着对三个划分 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ 都不产生任何改变。
    • 寻找核中的元素: 我们要找 $p \in S_4$，使得 $p$ 作用后，$\Pi_1 \to \Pi_1, \Pi_2 \to \Pi_2, \Pi_3 \to \Pi_3$。
    • 单位元: $e \in S_4$ 显然在核里。
    • 考虑 $p=(12)(34)$: 这是一个由两个不相交对换组成的置换。
    • 作用于 $\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$：$\{1,2\} \to \{2,1\}, \{3,4\} \to \{4,3\}$。新划分还是 $\Pi_1$。
    • 作用于 $\Pi_2 = \{\{1,3\}, \{2,4\}\}$：$\{1,3\} \to \{2,4\}, \{2,4\} \to \{1,3\}$。新划分还是 $\Pi_2$。
    • 作用于 $\Pi_3 = \{\{1,4\}, \{2,3\}\}$：$\{1,4\} \to \{2,3\}, \{2,3\} \to \{1,4\}$。新划分还是 $\Pi_3$。
    • 它保持所有三个划分不变！所以 $(12)(34) \in \operatorname{ker}(\varphi)$。
    • 结论: 通过类似的方法可以检验，集合 $K = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ 中的所有四个元素都在核中。
    • 这个集合 $K$ 在群论中非常有名，有时被称为克莱因四元群 (Klein four-group) 的一个实现，通常记为 $V_4$。它是一个四阶阿贝尔群，每个非单位元素的阶都是2。
    • 根据命题 2.5.11，这个核 $K$ 必须是 $S_4$ 的一个正规子群。这是 $S_4$ 中除了平凡子群和 $A_4$ 之外最重要的正规子群。
∑ [公式拆解]

公式: $K=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$

  • $K$: 同态 $\varphi: S_4 \to S_3$ 的核。
  • $1$: 群 $S_4$ 的单位元 $e$。
  • $(12)(34)$: 这是一个 $S_4$ 中的置换。它是对换 $(12)$ 和对换 $(34)$ 的复合。由于它们作用的数字集合不相交，所以复合顺序无所谓。这种类型的置换被称为“双对换”。
  • 这个集合包含了单位元和所有可能的三种双对换结构。这四个元素都是偶置换，所以 $K$ 是 $A_4$ 的一个子群。
💡 [数值示例]

我们已经详细分析了像和核。这里可以再举一个核的元素的例子来加深理解。

  • 设 $p = (13)(24) \in K$。
  • 检验它是否保持 $\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$ 不变。
  • $p$ 的作用是 $1 \leftrightarrow 3, 2 \leftrightarrow 4$。
  • $\{1,2\} \to \{3,4\}$。
  • $\{3,4\} \to \{1,2\}$。
  • 新划分是 $\{\{3,4\}, \{1,2\}\}$，这和原来的划分 $\Pi_1$ 是同一个。
  • 可以类似地检验它也保持 $\Pi_2$ 和 $\Pi_3$ 不变。因此它的确在核中。
⚠️ [易错点]
  1. 核的大小: 根据第一同构定理（虽然书中还未正式讲），我们有 $|G|/|\operatorname{ker}(\varphi)| = |\operatorname{im}(\varphi)|$。
  2. 在这个例子中，$|S_4|=4! = 24$。$|\operatorname{im}(\varphi)| = |S_3| = 3! = 6$。
  3. 所以 $|\operatorname{ker}(\varphi)| = |S_4|/|S_3| = 24/6 = 4$。
  4. 这与我们计算出核 $K$ 中有4个元素是吻合的。这个关系可以用来快速验证计算是否正确。
  5. 核的结构: $K$ 本身是一个群。我们可以验证它的封闭性，例如 $(12)(34) \cdot (13)(24) = (14)(23)$。
📝 [总结]

这个著名的 $S_4 \to S_3$ 同态是一个满射，它的像是整个 $S_3$。它的核是一个包含4个元素的正规子群 $K=\{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$，即克莱因四元群 $V_4$。这个例子完美地展示了同态、像、核、正规子群这些概念是如何在一个具体的、非平凡的场景中协同工作的。

🎯 [存在目的]

分析这个同态的像和核，是为了完整地解构这个例子，从而为后续的理论（特别是第一同构定理）提供一个坚实的、可供参考的范例。它揭示了 $S_4$ 的一个重要结构：$S_4$ 可以被“分解”，它包含一个正规子群 $K$，而“捏掉”这个 $K$ 之后得到的商群 $S_4/K$ 的结构，就和 $S_3$ 一模一样（同构）。

🧠 [直觉心智模型]

在舞者配对方案的比喻中，

  1. 满射: 意味着任何一种对配对方案的改变（$S_3$ 中的元素），我们都能找到一个对应的舞者换位指令（$S_4$ 中的元素）来实现它。
  2. 核: 是所有那些虽然舞者换了位置，但三种配对方案一个都没变的指令集合。
  3. $e$: 没人动，方案当然不变。
  4. $(12)(34)$: (1,2)舞伴互换，(3,4)舞伴互换。对于每种配对方案来说，变的只是舞伴内部的角色，方案本身没变。例如 $\Pi_1$ 方案还是(1,2)一组, (3,4)一组在跳。
  5. 因此，核里的这些指令，都是“内部调整”，不影响宏观的配对格局。
💭 [直观想象]

在正四面体的想象中，

  1. 同态 $\varphi: S_4 \to S_3$ 将对顶点的置换（旋转）映射到对三组对边的置换。
  2. 满射: 意味着对三组对边的任何一种置换，都能找到一个对应的四面体旋转来实现。
  3. 核: 是那些虽然旋转了四面体，但三组对边的位置关系都复原了的旋转操作。
  4. $e$: 不动。
  5. $(12)(34)$: 这是一个绕着穿过边(1,2)中点和边(3,4)中点的轴旋转180度的操作。你可以想象，这个旋转会使边(1,2)和边(3,4)位置互换，但作为“一组对边”这个整体，它的位置没有变。同样，另两组对边也只是内部交换了位置。所以这个旋转保持了三组对边各自的位置。
  6. 核 $K$ 中的三个非单位元素，就对应于绕着这三组对边中点连线的三次180度旋转。

19行间公式索引

1. 同态定义:

$$ \begin{equation*} \varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b) . \tag{2.5.1} \end{equation*} $$

这一公式定义了群同态的核心性质，即映射保持群的运算结构。

2. 像的定义:

$$ \begin{equation*} \operatorname{im} \varphi=\left\{x \in G^{\prime} \mid x=\varphi(a) \text { for some } a \text { in } G\right\}, \tag{2.5.4} \end{equation*} $$

该公式定义了同态的像，即定义域中所有元素在映射下能到达的目标元素的集合。

3. 核的定义:

$$ \begin{equation*} \operatorname{ker} \varphi=\{a \in G \mid \varphi(a)=1\} . \tag{2.5.5} \end{equation*} $$

该公式定义了同态的核，即定义域中所有被映射到值域单位元的元素的集合。

4. 交错群的描述:

$$ \begin{equation*} \text { 交错群 } A_{n} \text { 是偶置换的群。 } \tag{2.5.6} \end{equation*} $$

这是一个描述性断言，指明交错群An是由所有偶置换构成的群。

5. 左陪集的定义:

$$ \begin{equation*} a H=\{g \in G \mid g=a h \text { for some } h \text { in } H\} . \tag{2.5.7} \end{equation*} $$

该公式定义了子群H由元素a产生的左陪集，它是通过左乘a于H中每个元素得到的新集合。

6. 中心的定义:

$$ \begin{equation*} Z=\{z \in G \mid z x=x z \text { for all } x \in G\} . \tag{2.5.12} \end{equation*} $$

该公式定义了群G的中心，它包含了所有能与G中任何元素交换的元素。

7. S4到S3同态的划分对象:

$$ \begin{equation*} \Pi_{1}:\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\} \cup\{3, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{2}:\{\mathbf{1}, \mathbf{3}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{3}:\{\mathbf{1}, \mathbf{4}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{3}\} . \tag{2.5.14} \end{equation*} $$

该公式列出了将四个元素{1,2,3,4}分成两对的三种不同划分方式，它们是S4到S3同态的作用对象。

8. S4到S3同态的核:

$$ \begin{equation*} K=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} . \tag{2.5.15} \end{equation*} $$

该公式明确指出了S4到S3同态的核，它由单位元和三个双对换置换构成。

9核与同态映射的关系

📜 [原文19]

核很重要，因为它控制着整个同态。它不仅告诉我们 $G$ 的哪些元素映射到 $G^{\prime}$ 中的单位元，还告诉我们哪些元素对在 $G^{\prime}$ 中有相同的像。

  • 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，并且 $a$ 是 $G$ 的一个元素，记号 $a H$ 将表示所有形如 $a h$ 的乘积的集合，其中 $h$ 在 $H$ 中：

$$ \begin{equation*} a H=\{g \in G \mid g=a h \text { for some } h \text { in } H\} . \tag{2.5.7} \end{equation*} $$

这个集合称为 $H$ 在 $G$ 中的一个左陪集，“左”字指的是元素 $a$ 出现在左边。

📖 [逐步解释]

这部分开始揭示核的真正威力：它如何决定了同态的全部映射行为。为此，需要先引入一个重要的工具性概念：陪集。

  1. 核的重要性:
    • 控制同态: 这句话是本节的核心思想。核不仅仅是映射到单位元的那些元素，它像一个“模板”，决定了所有具有相同像的元素是如何组织的。
    • 相同像的问题: 同态往往是“多对一”的。问题是：给定一个元素 $a$，还有哪些其他元素 $b$ 会和 $a$ 一样，被映射到同一个目标 $\varphi(a)$？即，满足 $\varphi(b) = \varphi(a)$ 的所有 $b$ 是什么？核将给出这个问题的完整答案。
  2. 左陪集 (Left Coset) 的定义:
    • 背景: 这是一个通用的定义，适用于任何群 $G$ 和它的任何一个子群 $H$。
    • 构造:
    • 从群 $G$ 中任取一个元素 $a$。
    • 从子群 $H$ 中遍历每一个元素 $h$。
    • 计算乘积 $ah$ (乘法是 $G$ 中的运算)。
    • 所有这些乘积 $ah$ 构成的集合，就叫做 $H$ 由 $a$ 产生的左陪集。
    • 记号: $aH$。这个记号非常形象，就像用元素 $a$ 去“乘”整个集合 $H$。
    • “左”的含义: 因为代表元素 $a$ 是从左边乘上去的，所以叫左陪集。相应地，也有右陪集 $Ha = \{ha \mid h \in H\}$。对于阿贝尔群（交换群），左右陪集是一样的，但对于非阿贝尔群，它们可能不同。
∑ [公式拆解]

公式: $a H=\{g \in G \mid g=a h \text { for some } h \text { in } H\}$

  • $aH$: 子群 $H$ 的一个左陪集，由元素 $a$ “引导”。
  • $a \in G, H \le G$ ($H$ 是 $G$ 的子群)。
  • $\{ \dots \mid \dots \}$: 集合描述法。
  • $g \in G$: 陪集的元素仍然是 $G$ 中的元素。陪集是 $G$ 的一个子集。
  • $g=ah \text{ for some } h \in H$: 元素 $g$ 被收入集合 $aH$ 的条件是，它必须能够被写成 $a$ 和 $H$ 中某个元素 $h$ 的乘积。
💡 [数值示例]

示例1：$S_3$ 中的陪集

  • $G = S_3 = \{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}$。
  • 取一个子群 $H = \{e, (12)\}$。这是一个二阶子群。
  • 让我们计算 $H$ 在 $G$ 中的所有左陪集。
  • 取 $a=e$：$eH = \{e \cdot e, e \cdot (12)\} = \{e, (12)\} = H$。
  • 取 $a=(12)$：$(12)H = \{(12)e, (12)(12)\} = \{(12), e\} = H$。 (注意：用 $H$ 中的元素去生成陪集，得到的还是 $H$ 自己)。
  • 取 $a=(13)$：$(13)H = \{(13)e, (13)(12)\} = \{(13), (123)\}$。
  • 取 $a=(23)$：$(23)H = \{(23)e, (23)(12)\} = \{(23), (132)\}$。
  • 取 $a=(123)$：$(123)H = \{(123)e, (123)(12)\} = \{(123), (13)\}$。这个集合与 $(13)H$ 相同。
  • 取 $a=(132)$：$(132)H = \{(132)e, (132)(12)\} = \{(132), (23)\}$。这个集合与 $(23)H$ 相同。
  • 总结一下，我们只得到了三个不同的左陪集：
  • $H = \{e, (12)\}$
  • $(13)H = \{(13), (123)\}$
  • $(23)H = \{(23), (132)\}$
  • 你会发现这三个陪集互不相交，并且它们的并集恰好是整个 $S_3$。这叫做群 $G$ 被子群 $H$ 的左陪集所划分 (partition)。
⚠️ [易错点]
  1. 陪集不是子群: 除了由单位元生成的陪集 $eH=H$ 本身之外，其他的陪集（如 $(13)H$）通常不是子群。例如，$(13)H$ 中没有单位元 $e$，所以它不可能是子群。
  2. 元素 vs. 集合: $aH$ 是一个集合，而不是一个元素。
  3. 代表元不唯一: 正如示例中看到的，$(13)H$ 和 $(123)H$ 是同一个陪集。一个陪集可以由它里面的任何一个元素来“代表”。例如，因为 $(123) \in (13)H$，所以 $(123)H = (13)H$。这是陪集的一个非常重要的性质。
📝 [总结]

本节引入了左陪集 $aH$ 的概念，它是由群 $G$ 的一个元素 $a$ 和一个子群 $H$ 构造出的 $G$ 的一个子集。这个概念是理解核如何“控制”同态的关键工具，因为它为“具有相同性质的元素”提供了一种分组方式。

🎯 [存在目的]

陪集的引入是为了将群进行划分。给定一个子群 $H$，整个群 $G$ 可以被完美地分割成一堆大小相等、互不相交的陪集。这种划分是群论中一个极其强大的思想。在这里，它的直接目的就是为了描述那些具有相同同态像的元素集合——它们将构成一个完美的陪集。

🧠 [直觉心智模型]

想象一个公寓楼（群 $G$）。楼里的居民按照他们的出生月份（子群 $H$）分组，所有一月份出生的人组成一个团体 $H$。

  1. 一个左陪集 $aH$ 就好比是：“找到 $a$ 这个人，然后把他所有一月份出生的亲戚朋友都找出来，组成一个新的团体”。
  2. 或者一个更好的模型：$G$ 是平面上所有的点（向量加法群），$H$ 是穿过原点的一条直线（一个子群）。
  3. 一个左陪集 $a+H$ (这里用加法)就是将整条直线 $H$ 进行平移，使得原点被平移到点 $a$。结果是穿过 $a$ 且平行于 $H$ 的一条新直线。整个平面可以被这样一族无穷多的平行线所铺满。
💭 [直观想象]

想象一张方格纸（$G = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 整数格点群）。

  1. $H$ 是水平的x轴上的所有格点 ($H = \{(n, 0) \mid n \in \mathbb{Z}\}$），它是一个子群。
  2. 左陪集 $(0,1)+H$ 是把 x 轴向上平移一个单位，得到直线 $y=1$ 上的所有格点。
  3. 左陪集 $(5,2)+H$ 是把 x 轴平移，使得原点 $(0,0)$ 移动到 $(5,2)$，得到直线 $y=2$ 上的所有格点。
  4. 所有的陪集就是所有与x轴平行的、经过格点的水平直线。这些直线共同铺满了整个方格纸。

10命题 2.5.8

📜 [原文20]

命题 2.5.8 设 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态，设 $a$ 和 $b$ 是 $G$ 的元素。设 $K$ 是 $\varphi$ 的核。以下条件等价：

  • $\varphi(a)=\varphi(b)$，
  • $a^{-1} b$ 在 $K$ 中，
  • $b$ 在陪集 $a K$ 中，
  • 陪集 $b K$ 和 $a K$ 相等。

证明。假设 $\varphi(a)=\varphi(b)$。那么 $\varphi\left(a^{-1} b\right)=\varphi\left(a^{-1}\right) \varphi(b)=\varphi(a)^{-1} \varphi(b)=1$。因此 $a^{-1} b$ 在核 $K$ 中。为了证明逆命题，我们反转这个论证。如果 $a^{-1} b$ 在 $K$ 中，那么 $1=\varphi\left(a^{-1} b\right)=\varphi(a)^{-1} \varphi(b)$，所以 $\varphi(a)=\varphi(b)$。这表明前两个要点是等价的。它们与其他要点的等价性随之而来。$\square$

📖 [逐步解释]

这个命题是本章的核心，它精确地阐述了核是如何“控制”同态的。它建立了四个等价条件，揭示了“具有相同像”的元素之间的内在联系。

  • 设定: 我们有一个同态 $\varphi$，它的核是 $K$。我们想知道，对于 $G$ 中哪两个元素 $a$ 和 $b$，它们会被映射到同一个目标，即 $\varphi(a) = \varphi(b)$。
  • 四个等价条件解读:
  1. φ(a) = φ(b): 这是我们关心的问题的直接表述：$a$ 和 $b$ 的像相同。
  2. a⁻¹b 在 K 中: 这将问题转化为了与核 $K$ 的关系。它说，要判断 $a$ 和 $b$ 的像是否相同，你只需要计算一个新元素 $a^{-1}b$，然后看它是不是在核里面。如果在，像就相同；如果不在，像就不同。
  3. b 在陪集 aK 中: 这个条件将问题几何化了。它说，$b$ 和 $a$ 的像相同，当且仅当 $b$ 属于由 $a$ 引导的关于核 $K$ 的左陪集。这意味着 $b$ 可以被写成 $a$ 乘以核里的某个元素的形式，即 $b = ak$ for some $k \in K$。
  4. 陪集 bK 和 aK 相等: 这是从整个集合的角度来看。$a$ 和 $b$ 的像相同，当且仅当它们各自引导的陪集是同一个集合。
  • 证明详解:
  • 证明 (1) $\iff$ (2): (原文证明了这一步)
  • (1) $\implies$ (2): 假设 $\varphi(a) = \varphi(b)$。我们想证明 $a^{-1}b \in K$。要证明一个元素在核里，我们就要计算它的像，看是否为单位元。
  • $\varphi(a^{-1}b) = \varphi(a^{-1})\varphi(b)$ (同态性质)
  • $= (\varphi(a))^{-1}\varphi(b)$ (同态保持逆元)
  • $= (\varphi(b))^{-1}\varphi(b)$ (因为假设了 $\varphi(a)=\varphi(b)$)
  • $= 1_{G'}$ (一个元素的逆乘以它自己，得到单位元)
  • 因为 $\varphi(a^{-1}b) = 1_{G'}$，所以根据核的定义，$a^{-1}b \in K$。
  • (2) $\implies$ (1): (原文称之为“反转这个论证”) 假设 $a^{-1}b \in K$。我们想证明 $\varphi(a) = \varphi(b)$。
  • 因为 $a^{-1}b \in K$，所以 $\varphi(a^{-1}b) = 1_{G'}$。
  • $\varphi(a^{-1}b) = \varphi(a^{-1})\varphi(b) = (\varphi(a))^{-1}\varphi(b)$。
  • 所以 $(\varphi(a))^{-1}\varphi(b) = 1_{G'}$。
  • 在这个等式两边同时左乘 $\varphi(a)$。
  • $\varphi(a) [(\varphi(a))^{-1}\varphi(b)] = \varphi(a) \cdot 1_{G'}$。
  • $[\varphi(a)(\varphi(a))^{-1}]\varphi(b) = \varphi(a)$。
  • $1_{G'} \cdot \varphi(b) = \varphi(a)$。
  • $\varphi(b) = \varphi(a)$。
  • 证明 (2) $\iff$ (3): (原文说“随之而来”，我们来补充)
  • (2) $\implies$ (3): 假设 $a^{-1}b \in K$。这意味着存在某个元素 $k \in K$，使得 $a^{-1}b = k$。
  • 在这个等式两边左乘 $a$。
  • $a(a^{-1}b) = ak$。
  • $(aa^{-1})b = ak$。
  • $1_G \cdot b = ak$。
  • $b=ak$。
  • 根据左陪集 $aK$ 的定义 ($aK = \{ax \mid x \in K\}$)，$b=ak$ 意味着 $b \in aK$。
  • (3) $\implies$ (2): 假设 $b \in aK$。根据定义，这意味着存在某个元素 $k \in K$，使得 $b=ak$。
  • 在这个等式两边左乘 $a^{-1}$。
  • $a^{-1}b = a^{-1}(ak) = (a^{-1}a)k = 1_G \cdot k = k$。
  • 所以 $a^{-1}b = k$。因为 $k$ 是 $K$ 的元素，所以 $a^{-1}b \in K$。
  • 证明 (3) $\iff$ (4): (这是陪集的一个基本性质)
  • (3) $\implies$ (4): 假设 $b \in aK$。我们想证明 $aK = bK$。
  • 首先证明 $bK \subseteq aK$。取 $bK$ 中任意元素 $y = bk_1$ (其中 $k_1 \in K$)。因为 $b \in aK$，所以 $b=ak_2$ (其中 $k_2 \in K$)。代入得 $y = (ak_2)k_1 = a(k_2k_1)$。因为 $K$ 是子群，所以 $k_2, k_1 \in K \implies k_2k_1 \in K$。所以 $y$ 可以写成 $a \cdot (\text{某个K中元素})$ 的形式，即 $y \in aK$。
  • 然后证明 $aK \subseteq bK$。因为 $b=ak_2$，所以 $a=bk_2^{-1}$。取 $aK$ 中任意元素 $z = ak_3$。代入得 $z = (bk_2^{-1})k_3 = b(k_2^{-1}k_3)$。因为 $K$ 是子群，$k_2, k_3 \in K \implies k_2^{-1}k_3 \in K$。所以 $z$ 可以写成 $b \cdot (\text{某个K中元素})$ 的形式，即 $z \in bK$。
  • 因为互相包含，所以 $aK = bK$。
  • (4) $\implies$ (3): 假设 $aK=bK$。我们想证明 $b \in aK$。
  • 因为 $K$ 是子群，所以单位元 $1_G \in K$。
  • 所以 $b = b \cdot 1_G \in bK$。
  • 因为 $bK=aK$，所以 $b \in aK$。
💡 [数值示例]

示例1：符号同态

  • $\varphi = \operatorname{sgn}: S_3 \rightarrow \{\pm 1\}$。$K = \operatorname{ker}(\operatorname{sgn}) = A_3 = \{e, (123), (132)\}$。
  • 取两个元素 $a=(12)$ 和 $b=(13)$。它们的像都是 $-1$。$\varphi(a)=\varphi(b)=-1$。让我们验证其他三个等价条件。
  • 条件2: $a^{-1}b$ 是否在 $K$ 中？
  • $a=(12)$, $a^{-1}=(12)$。
  • $a^{-1}b = (12)(13) = (132)$。
  • 元素 $(132)$ 是一个偶置换，它确实在核 $K=A_3$ 中。条件成立。
  • 条件3: $b$ 是否在 $aK$ 中？
  • $aK = (12)A_3 = \{(12)e, (12)(123), (12)(132)\} = \{(12), (23), (13)\}$。
  • 元素 $b=(13)$ 确实在这个陪集中。条件成立。
  • 条件4: $aK$ 和 $bK$ 是否相等？
  • 我们已经计算出 $aK = \{(12), (13), (23)\}$。
  • 现在计算 $bK = (13)A_3 = \{(13)e, (13)(123), (13)(132)\} = \{(13), (23), (12)\}$。
  • 这两个集合的元素完全相同，所以 $aK=bK$。条件成立。
  • 四个条件全部成立，完美印证了命题。
⚠️ [易错点]
  1. $a^{-1}b$ 还是 $ab^{-1}$？: 命题用的是 $a^{-1}b \in K$。这对应于左陪集 $aK$。如果使用右陪集 $Ka$，那么等价条件会变成 $ab^{-1} \in K$。在使用时要保持一致。
  2. 所有映射到同一个元素的集合: 这个命题告诉我们，所有映射到 $\varphi(a)$ 的元素的集合，就是左陪集 $aK$。$G$ 中所有映射到单位元的元素的集合就是核 $K$ 本身，也就是 $1_G K$。
  3. 陪集划分: $G$ 被 $K$ 的左陪集们完美地划分为若干个不相交的块。同一个块（陪集）里的所有元素，它们的像全都相同。不同块（陪集）里的元素，它们的像一定不同。
📝 [总结]

命题 2.5.8 是理解同态、核、陪集三者关系的核心。它指出，两个元素具有相同的同态像，等价于说它们的“相对关系” $a^{-1}b$ 是一个“平凡”的元素（在核里），也等价于说它们在由核定义的划分中属于同一个“区块”（陪集）。

🎯 [存在目的]

这个命题的存在，是为了：

  1. 精确化“核控制同态”: 它将这句模糊的话变成了精确的、可操作的数学命题。
  2. 建立同态和陪集划分的对应: 它揭示了一个美妙的对应关系：$G$ 中的元素，按照它们的同态像进行分类，得到的分类结果，与用核 $K$ 的左陪集对 $G$ 进行划分的结果，是完全一样的。
  3. 为第一同构定理铺路: 这个命题是第一同构定理证明过程中的关键一步。它说明了商群 $G/K$ 的元素（即陪集）和像 $\operatorname{im}\varphi$ 的元素之间存在一个自然的一一对应关系。
🧠 [直觉心智模型]

假设一个同态 $\varphi$ 是把人（$G$）映射到他们的姓氏（$G^{\prime}$）。

  1. $\varphi(a) = \varphi(b)$ 意味着 $a$ 和 $b$ 同姓。
  2. 核 $K$ 是所有姓“单位元”（比如一个不存在的姓氏，代表匿名）的人。
  3. 命题说：$a$ 和 $b$ 同姓 $\iff$ 如果把 $a$ 的家族关系“消除”（乘以 $a^{-1}$），$b$ 就变成了一个匿名者（$a^{-1}b \in K$）$\iff$ $b$ 是 $a$ 的一个“匿名亲戚”（$b \in aK$）。
  4. 所有姓“张”的人，构成了同态像“张”的原像集。这个集合就是一个陪集，比如 $aK$，其中 $a$ 是任何一个姓张的人。
💭 [直观想象]

回到平行光垂直投影的例子。$\varphi$ 是投影， $K$ 是原点上方的竖直线。

  1. $\varphi(a)=\varphi(b)$ 意味着三维空间中的点 $a$ 和 $b$ 投影到了地面上的同一个点。
  2. 这等价于什么呢？等价于从 $a$ 点移动到 $b$ 点的那个向量 $b-a$ (加法群中对应 $a^{-1}b$) 是一个纯粹的垂直向量，即它平行于 $K$ 这条线。
  3. 这也等价于 $b$ 点就在穿过 $a$ 点的那条竖直线 $a+K$ 上。
  4. 整个三维空间被无穷多的、像 $K$ 一样的竖直线（陪集）所填满。同一条竖直线上的所有点，都投影到地面上的同一个点。

11推论 2.5.9

📜 [原文21]

推论 2.5.9 同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是内射的当且仅当它的核 $K$ 是 $G$ 的平凡子群 $\{1\}$。

证明。如果 $K=\{1\}$，命题 2.5.8 表明 $\varphi(a)=\varphi(b)$ 仅当 $a^{-1} b=1$，即 $a=b$。反之，如果 $\varphi$ 是内射的，那么单位元是 $G$ 中唯一满足 $\varphi(a)=1$ 的元素，所以 $K=\{1\}$。

📖 [逐步解释]

这个推论是命题 2.5.8 的一个直接且非常重要的应用。它给出了判断一个同态是否为单射（内射，injective，一对一）的简便方法。

  1. 单射/内射的定义: 一个映射 $\varphi$ 是单射的，如果它不会把两个不同的元素映射到同一个地方。也就是说，如果 $a \neq b$，那么一定有 $\varphi(a) \neq \varphi(b)$。等价的说法是，如果 $\varphi(a)=\varphi(b)$，那么必然有 $a=b$。
  2. 推论的含义: 这个推论说，要检查一个同态是不是单射，你不需要去比较所有可能的元素对 $(a, b)$。你只需要做一个简单得多的检查：计算这个同态的核 $K$。
    • 如果核 $K$ 里只有一个元素——群 $G$ 的单位元 $1_G$（我们称之为平凡核），那么这个同态就是单射。
    • 如果核 $K$ 里除了单位元还有任何其他元素，那么这个同态就不是单射。
  3. 证明详解:
    • “如果 $K=\{1_G\}$，则 $\varphi$ 是单射” ($\Leftarrow$):
    • 我们想证明，如果 $\varphi(a) = \varphi(b)$，那么 $a=b$。
    • 根据命题 2.5.8，条件 $\varphi(a)=\varphi(b)$ 等价于 $a^{-1}b \in K$。
    • 现在我们用上了假设：$K=\{1_G\}$。这意味着 $K$ 里面只有一个元素 $1_G$。
    • 所以 $a^{-1}b$ 必须等于 $1_G$。
    • $a^{-1}b = 1_G$。两边左乘 $a$，得到 $b=a$。
    • 这就证明了 $\varphi$ 是单射。
  • “如果 $\varphi$ 是单射，则 $K=\{1_G\}$” ($\Rightarrow$):
  • 我们想证明核 $K$ 中只有单位元 $1_G$。
  • 根据核的定义，$K=\{x \in G \mid \varphi(x)=1_{G'}\}$。
  • 我们知道同态一定会把单位元映到单位元，即 $\varphi(1_G)=1_{G'}$。所以 $1_G$ 肯定在核 $K$ 里面。
  • 现在我们要证明，不可能有其他元素在核里面了。
  • 假设还有一个元素 $k \in K$，并且 $k \neq 1_G$。
  • 因为 $k \in K$，所以 $\varphi(k) = 1_{G'}$。
  • 我们现在有两个元素 $1_G$ 和 $k$，它们不相等，但是它们的像都是 $1_{G'}$。
  • $\varphi(k) = \varphi(1_G) = 1_{G'}$，但 $k \neq 1_G$。
  • 这与 $\varphi$ 是单射的定义（不同元素必须有不同像）相矛盾。
  • 所以我们的假设（存在 $k \neq 1_G$ 且 $k \in K$）是错误的。
  • 因此，核 $K$ 中只能有单位元 $1_G$，即 $K=\{1_G\}$。
💡 [数值示例]

示例1：一个单射同态

  • 考虑同态 $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \rightarrow (2\mathbb{Z}, +)$ 定义为 $\varphi(n) = 2n$。
  • 我们来计算它的核。值域群的单位元是 $0$。
  • $\operatorname{ker}(\varphi) = \{n \in \mathbb{Z} \mid \varphi(n)=0\} = \{n \in \mathbb{Z} \mid 2n=0\}$。
  • 在整数中，唯一满足 $2n=0$ 的是 $n=0$。
  • 所以 $\operatorname{ker}(\varphi) = \{0\}$。定义域群 $(\mathbb{Z}, +)$ 的单位元就是 $0$，所以这是一个平凡核。
  • 根据推论，这个同态是单射。这很容易验证：如果 $\varphi(n)=\varphi(m)$，则 $2n=2m$，那么 $n=m$。

示例2：一个非单射同态

  • 考虑同态 $\varphi: (\mathbb{Z}, +) \rightarrow (\mathbb{Z}_4, +)$ (整数模4加法群)，定义为 $\varphi(n) = n \pmod 4$。
  • 我们来计算它的核。值域群的单位元是 $\overline{0}$。
  • $\operatorname{ker}(\varphi) = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \equiv 0 \pmod 4\}$。
  • 所有4的倍数都会被映射到0：$\{\dots, -8, -4, 0, 4, 8, \dots\} = 4\mathbb{Z}$。
  • 这个核包含了 $0, 4, -4$ 等等，不仅仅是单位元 $0$。所以它不是平凡核。
  • 根据推论，这个同态不是单射。这也很容易验证：例如 $\varphi(1)=1$ 且 $\varphi(5)=1$，但 $1 \neq 5$。又如 $\varphi(0)=0$ 且 $\varphi(4)=0$，但 $0 \neq 4$。
⚠️ [易错点]
  1. 平凡子群的写法: 平凡子群 $\{1\}$ 中的 $1$ 是指定义域群 $G$ 的单位元 $1_G$。在加法群中，就是 $\{0\}$。
  2. 单射同态的别名: 单射同态有时也称为嵌入 (embedding)，因为它把群 $G$ “嵌入”到了 $G'$ 中，成为 $G'$ 的一个子群（即 $G \cong \operatorname{im}(\varphi)$）的一个完美拷贝。
  3. 应用: 这个推论在实际应用中极为方便。要判断同态是否单射，计算核通常比直接使用单射定义更容易。
📝 [总结]

推论 2.5.9 建立了同态的单射性与其核的平凡性之间的等价关系。一个同态是“一对一”的，当且仅当它的核里只包含“无害”的单位元。核的大小，精确地衡量了同态的“多对一”程度。核越小，同态越接近单射。

🎯 [存在目的]

这个推论将一个看似复杂的性质（单射，需要考虑所有元素对）转化为了一个检查点性质（核是否为平凡子群）。这在数学上是一种巨大的简化。它使得核这个概念的工具性大大增强，成为判断同态性质的一个锐利武器。

🧠 [直觉心智模型]

在翻译程序的比喻中，单射意味着翻译不会丢失任何信息，不同的中文词一定会被翻译成不同的英文词。

  1. 推论说：这种情况发生，当且仅当，唯一被翻译成“无意义词”（单位元）的那个中文词就是中文里的“无意义词”本身。
  2. 如果有任何一个有意义的中文词也被翻译成了“无意义词”，那就说明翻译程序有“盲点”（核非平凡），那么信息丢失就不可避免，单射也就不可能了。（因为如果 $k \in K$ 且 $k \neq 1$，那么 $\varphi(ak) = \varphi(a)\varphi(k) = \varphi(a)\cdot 1 = \varphi(a)$，但 $ak \neq a$，两个不同的词 $a$ 和 $ak$ 被翻译成了同一个词 $\varphi(a)$）。
💭 [直观想象]

在投影仪的想象中，投影是单射的，意味着三维空间中没有两个不同的点会投影到地面上的同一个点。

  1. 推论说：这种情况发生，当且仅当，唯一投影到地面原点的那个三维点就是三维空间的原点本身。
  2. 如果还有其他点（比如原点正上方1米处的点）也投影到地面原点，那么整个三维空间中的每一点，和它正上方1米处的点，都会投影到同一个位置。投影就不再是单射了。所以，核（投影到原点的所有点的集合）是否只有原点一个点，决定了整个投影是否是单射。

12正规子群

📜 [原文22]

同态的核具有另一个重要的性质，在下一个命题中解释。如果 $a$ 和 $g$ 是群 $G$ 的元素，元素 $g a g^{-1}$ 称为 $a$ 被 $g$ 的共轭。

定义 2.5.10 群 $G$ 的子群 $N$ 是正规子群，如果对于 $N$ 中的每个 $a$ 和 $G$ 中的每个 $g$，共轭 $g a g^{-1}$ 在 $N$ 中。

📖 [逐步解释]

这部分引入了一个比“子群”更强、更特殊的概念——正规子群，并预告了核就具有这种特殊性质。

  1. 共轭 (Conjugate) 的定义:
    • 操作: 给定群 $G$ 中的两个元素 $a$ 和 $g$。
    • 计算: 计算 $g a g^{-1}$。这个新元素被称为 "$a$ 被 $g$ 的共轭" (the conjugate of $a$ by $g$)。
    • 直观含义: 共轭操作 $a \mapsto gag^{-1}$ 可以被看作是一种“坐标变换”。想象 $g$ 是一种操作，比如“旋转30度”。那么 $g^{-1}$ 就是“旋转-30度”。$gag^{-1}$ 的过程就是：
  2. 做 $g^{-1}$：撤销坐标系变换（例如，将整个系统反向旋转30度）。
  3. 做 $a$：在“标准”坐标系下执行操作 $a$。
  4. 做 $g$：恢复坐标系变换（将系统重新旋转30度）。
    • 所以 $gag^{-1}$ 的效果，就是在 $g$ 所定义的“新视角”下看待操作 $a$。
  5. 正规子群 (Normal Subgroup) 的定义:
    • 对象: $N$ 是群 $G$ 的一个子群。
    • 条件: 要成为正规子群，$N$ 必须对共轭操作“封闭”。具体来说，这个封闭性有点特别：你从子群 $N$ 里面拿一个元素 $n$ (原文用 $a$)，再从大群 $G$ 里面随便拿一个元素 $g$，计算共轭 $gng^{-1}$，结果必须“掉回”到子群 $N$ 里面。
    • 符号化: $N$ is normal in $G$ (记作 $N \triangleleft G$) if $\forall n \in N, \forall g \in G, \text{ we have } gng^{-1} \in N$。
    • 集合表示: 这个条件等价于说，对于任意 $g \in G$，集合 $gNg^{-1} = \{gng^{-1} \mid n \in N\}$ 必须等于集合 $N$。
    • 与左右陪集的关系: 一个子群 $N$ 是正规的，当且仅当它的任意左陪集都等于对应的右陪集，即对于所有 $g \in G$，都有 $gN = Ng$。这是正规子群一个非常重要的等价定义。
💡 [数值示例]

示例1：共轭运算

  • 在 $G=S_3$ 中，取 $a=(12)$ 和 $g=(123)$。
  • $g^{-1} = (132)$。
  • 计算共轭 $gag^{-1} = (123)(12)(132) = (23)$。
  • 因此 $(12)$ 被 $(123)$ 共轭后变成了 $(23)$。这可以理解为，在“轮换 (123)” 的视角下，原来的对换 (12) 看起来就像是对换 (23)。(1变成2, 2变成3, 3变成1, 所以(12)就变成了(23))

示例2：一个正规子群

  • 在 $G=S_3$ 中，取子群 $N=A_3 = \{e, (123), (132)\}$。
  • 我们来验证它是否正规。需要对 $N$ 中所有元素和 $G$ 中所有元素进行检验。
  • 取 $n=(123) \in N$。取 $g=(12) \in G$。
  • $g^{-1}=(12)$。
  • 计算共轭 $gng^{-1} = (12)(123)(12) = (132)$。
  • 结果是 $(132)$，它仍然在 $N=A_3$ 中。
  • 可以验证，无论用 $G$ 中的哪个元素去共轭 $A_3$ 中的元素，结果都还在 $A_3$ 中。因此 $A_3$ 是 $S_3$ 的一个正规子群。

示例3：一个非正规子群

  • 在 $G=S_3$ 中，取子群 $H=\{e, (12)\}$。
  • 我们来检验它是否正规。
  • 取 $n=(12) \in H$。取 $g=(123) \in G$。
  • 我们已经在示例1中计算过，$gng^{-1} = (123)(12)(123)^{-1} = (23)$。
  • 结果是 $(23)$，这个元素不在子群 $H=\{e, (12)\}$ 中。
  • 因为我们找到了一个反例，所以 $H$ 不是正规子群。
⚠️ [易错点]
  1. 正规性是相对的: 一个子群 $N$ 是否正规，是相对于它所在的大群 $G$ 而言的。
  2. 阿贝尔群的子群都是正规的: 如果 $G$ 是一个阿贝尔群（交换群），那么对于任意 $n \in N, g \in G$，有 $gng^{-1} = gg^{-1}n = en = n \in N$。因此，在阿贝尔群中，任何子群都是正规子群。
  3. 共轭类的概念: 被共轭操作联系起来的元素形成一个共轭类。一个子群是正规的，当且仅当它是由若干个完整的共轭类的并集构成的。$A_3 = \{e\} \cup \{(123), (132)\}$，它由两个共轭类构成，所以是正规的。
📝 [总结]

正规子群是一个对共轭运算封闭的子群。这意味着从群内任何“视角”去看这个子群，它都保持原样。这个性质比单纯的子群要强得多，也使得正规子群具有许多优良的特性，是构建商群的基石。

🎯 [存在目的]

引入正规子群的概念，是为了找到一类“表现良好”的子群。事实证明，只有用正规子群，我们才能以前面提到的“陪集划分”为元素，定义一个新群——商群。如果用非正规子群的陪集，就无法定义出良定义的群运算。

🧠 [直觉心智模型]

想象一个组织 $G$ 和它的一个部门 $N$。

  1. 共轭 $gng^{-1}$ 可以看作是：一个来自其他部门的员工 $g$ 临时接管了 $N$ 部门，用他的管理风格（$g$）来执行原本由 $n$ 员工负责的一项任务，然后再把管理权交还（$g^{-1}$）。
  2. 如果 $N$ 是一个正规子群，这意味着无论哪个部门的员工 $g$ 来“掺和”一下，$N$ 部门内部的任务执行结果，虽然可能具体负责人变了（$n$ 变成了 $gng^{-1}$），但这个新负责人 $gng^{-1}$ 仍然是 $N$ 部门的一员。这个部门的“内部事务”不会因为外界的干扰而跑到部门外面去。
💭 [直观想象]
  1. 想象一个球体 $G$（比如三维旋转群 $SO(3)$）和一个它的子群 $N$。
  2. 如果 $N$ 是正规的，就好比 $N$ 是球体中一个“完美对称”的部分，比如所有绕着固定z轴旋转的操作。你先对整个球体做一个任意的旋转 $g$（改变了z轴的位置），然后执行一个原来属于 $N$ 的绕新z轴的旋转，最后再把球体转回去（$g^{-1}$）。整个操作下来，其效果等同于最初就只绕着某个（可能不同的）轴旋转。这个等效操作仍然属于 $N$ 这个“绕轴旋转”的集合。

13命题 2.5.11

📜 [原文23]

命题 2.5.11 同态的核是正规子群。

证明。如果 $a$ 在同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 的核中，并且 $g$ 是 $G$ 的任意元素，那么 $\varphi\left(g a g^{-1}\right)=\varphi(g) \varphi(a) \varphi\left(g^{-1}\right)=\varphi(g) 1 \varphi(g)^{-1}=1$。因此 $g a g^{-1}$ 也在核中。$\square$

📖 [逐步解释]

这个命题终于揭示了核的那个“另一个重要的性质”：任何同态的核都自动是一个正规子群。

  1. 论断: 设 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态，其核为 $K = \operatorname{ker}\varphi$。那么 $K$ 是 $G$ 的一个正规子群。
  2. 证明思路:
    • 根据正规子群的定义，我们需要证明：对于任意在核 $K$ 中的元素 $a$，以及任意在大群 $G$ 中的元素 $g$，它们的共轭 $gag^{-1}$ 也必须在核 $K$ 中。
    • 要证明一个元素（这里是 $gag^{-1}$）在核 $K$ 中，我们需要计算它的像，即 $\varphi(gag^{-1})$，然后检验结果是否为值域群 $G^{\prime}$ 的单位元 $1_{G'}$。
    • 证明步骤:
    • 设 $a \in K$ 且 $g \in G$。
    • 因为 $a \in K$，所以根据核的定义，我们知道 $\varphi(a)=1_{G'}$。
    • 现在计算 $\varphi(gag^{-1})$：
    • $\varphi(gag^{-1}) = \varphi(g) \varphi(a) \varphi(g^{-1})$ (因为 $\varphi$ 是同态，保持乘积)
    • $= \varphi(g) \cdot 1_{G'} \cdot \varphi(g^{-1})$ (因为 $\varphi(a)=1_{G'}$)
    • $= \varphi(g) \varphi(g^{-1})$ (乘以单位元不改变结果)
    • $= \varphi(g) (\varphi(g))^{-1}$ (因为 $\varphi$ 保持逆元)
    • $= 1_{G'}$ (一个元素乘以它自己的逆元等于单位元)
    • 我们成功证明了 $\varphi(gag^{-1}) = 1_{G'}$。
    • 根据核的定义，这就意味着 $gag^{-1}$ 这个元素属于核 $K$。
    • 因此，核 $K$ 是一个正规子群。
💡 [数值示例]

我们在定义正规子群时已经用 $A_3$ 作为例子验证过它的正规性了。这里我们再次确认，因为 $A_3$ 是符号同态 $\operatorname{sgn}: S_3 \rightarrow \{\pm 1\}$ 的核，所以根据这个命题，它必须是正规子群。我们的手动计算结果与这个强大的理论结果是一致的。

同样地，$SL_n(\mathbb{R})$ 是行列式同态 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{\times}$ 的核，所以 $SL_n(\mathbb{R})$ 必须是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个正规子群。

  • 这意味着，如果你取一个行列式为1的矩阵 $A \in SL_n$，再取一个任意的可逆矩阵 $g \in GL_n$，那么共轭矩阵 $gAg^{-1}$ 的行列式也必然为1。
  • 我们来验证一下：
  • $\det(gAg^{-1}) = \det(g) \det(A) \det(g^{-1}) = \det(g) \cdot 1 \cdot (\det(g))^{-1} = 1$。
  • 结果果然是1！这说明 $gAg^{-1}$ 确实还在 $SL_n(\mathbb{R})$ 中。这完美地印证了命题的证明过程。
⚠️ [易错点]
  1. 单向性: 命题说“核都是正规子群”。反过来也成立：“一个正规子群一定是某个同态的核”。任何一个正规子群 $N$，都是典范同态 $\pi: G \rightarrow G/N$ 的核。所以正规子群和同态的核其实是同一枚硬币的两面。
  2. 证明的关键: 证明的核心在于同态的性质允许我们将 $\varphi(gag^{-1})$ 拆开，从而利用 $\varphi(a)=1$ 这一关键信息。
📝 [总结]

命题 2.5.11 是群论中的一个基石性定理。它简洁而有力地断言：凡是同态的核，必为正规子群。这赋予了核极高的地位，因为它连接了同态（映射关系）和正规子群（内在结构）这两个核心概念。

🎯 [存在目的]

这个命题的存在，是为了：

  1. 揭示核的本质: 阐明核除了是子群外，还满足更强的正规性条件。
  2. 为商群的构造提供合法性: 正规子群是构造商群的必要条件。这个命题保证了，只要我们有一个同态，我们就能得到一个核，并利用这个核去构造一个商群 $G/\ker\varphi$。
  3. 提供判断正规性的方法: 如果我们能证明一个子群是某个同态的核，那么我们无需手动检查共轭，就可以立刻断定它是正规的。
🧠 [直觉心智模型]

在组织-部门的比喻中，我们已经知道核 $K$ 是一个“匿名者”部门。命题说这个部门必须是“正规”的。

这意味着，当一个外部门员工 $g$ 来“掺和”一下，用他的风格去执行一个匿名者 $k$ 的任务时 ($gkg^{-1}$)，产生的新任务执行人 $gkg^{-1}$ 也必须是个匿名者。

为什么会这样？因为同态 $\varphi$（比如映射到“项目贡献值”）是尊重组织结构的。

  1. $k$ 的贡献值是0 ($\varphi(k)=1$)。
  2. $g$ 和 $g^{-1}$ 的贡献值是互逆的。
  3. 总贡献值 $\varphi(gkg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(k)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot 1 \cdot \varphi(g)^{-1} = 1$。
  4. 所以这个新产生的组合任务 $gkg^{-1}$，它的贡献值也是0，因此它也属于“匿名者”部门。
💭 [直观想象]

设 $G$ 是整个欧几里得空间的所有刚体运动（旋转和平移）构成的群。设 $\varphi$ 是一个同态，它只保留运动中的“旋转”部分，扔掉“平移”部分。

  1. $\varphi$ 的核就是所有纯平移操作构成的子群 $N$。
  2. 命题说 $N$ 是正规子群。
  3. 取一个平移 $n \in N$，和一个任意的刚体运动 $g$（比如一个旋转）。
  4. 共轭 $gng^{-1}$ 是：先反向旋转 $g^{-1}$，然后平移 $n$，再旋转回来 $g$。整个操作的结果，不再是原来方向的平移 $n$，而是一个被旋转了 $g$ 角度的新方向的平移！重要的是，它仍然是一个纯平移，所以它还在核 $N$ 里面。

14正规子群的例子与讨论

📜 [原文24]

因此，特殊线性群 $S L_{n}(\mathbb{R})$ 是一般线性群 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个正规子群，并且交错群 $A_{n}$ 是对称群 $S_{n}$ 的一个正规子群。阿贝尔群的每个子群都是正规的，因为如果 $G$ 是阿贝尔的，那么对于群中所有的 $a$ 和所有的 $g$，都有 $g a g^{-1}=a$。但非阿贝尔群的子群不一定是正规的。例如，在对称群 $S_{3}$ 中，其常规表示 (2.2.7) 中的二阶循环子群 $\langle y\rangle$ 不是正规的，因为 $y$ 在 $G$ 中，但 $x y x^{-1}=x^{2} y$ 不在 $\langle y\rangle$ 中。

📖 [逐步解释]

这部分承接上文，通过实例来巩固对正规子群的理解，并指出了非正规子群的存在。

  1. 正规定理的应用:
    • 因为 $SL_n(\mathbb{R})$ 是行列式同态的核，所以根据命题 2.5.11，它是一个正规子群。
    • 因为 $A_n$ 是符号同态的核，所以根据命题 2.5.11，它是一个正规子群。
    • 这是两个在各自领域（线性代数和置换群）中极为重要的正规子群。
  2. 阿贝尔群的情况:
    • 结论: 在阿贝尔群（或称交换群）中，所有子群都是正规子群。
    • 原因: 在阿贝尔群 $G$ 中，运算满足交换律。计算共轭 $gng^{-1} = (gn)g^{-1} = (ng)g^{-1} = n(gg^{-1}) = n$。因为 $n$ 本来就在 $N$ 中，所以结果 $n$ 当然也在 $N$ 中。条件满足。
  3. 非阿贝尔群的反例:
    • 例子: $G = S_3$。它是一个非阿贝尔群。
    • 子群: 考虑由元素 $y=(12)$ 生成的二阶循环子群 $\langle y \rangle = \{e, (12)\}$。
    • 检验正规性:
    • 原文引用了表示 $x=(123), y=(12)$。
    • 我们计算共轭 $xyx^{-1}$。
    • $xyx^{-1} = (123)(12)(123)^{-1} = (123)(12)(132) = (23)$。
    • 被共轭的元素是 $y=(12) \in \langle y \rangle$。
    • 共轭的结果是 $(23)$。
    • 子群 $\langle y \rangle = \{e, (12)\}$ 中并不包含 $(23)$。
    • 因此，$\langle y \rangle$ 不是 $S_3$ 的正规子群。
    • 原文的计算 $xyx^{-1}=x^2y$ 是正确的，因为 $x^2y=(123)^2(12)=(132)(12)=(23)$。
💡 [数值示例]

示例1：阿贝尔群的子群

  • $G = (\mathbb{Z}, +)$ 是阿贝尔群。
  • $N = 3\mathbb{Z} = \{\dots, -3, 0, 3, 6, \dots\}$ 是它的一个子群。
  • 它是正规的。在加法群中，共轭 $g+n+(-g) = g+(-g)+n = n \in N$。

示例2：另一个非正规子群

  • 考虑 $G = D_8$ (二面体群，正方形的对称性群)。
  • $H = \{e, s\}$ 是一个二阶子群，其中 s 是一个翻转。
  • 取 $n=s \in H$ 和 $g=r \in G$ (旋转90度)。
  • 计算 $r s r^{-1} = sr^2$。结果 $sr^2$ 不在 $H=\{e, s\}$ 中。
  • 因此 $H$ 不是 $D_8$ 的正规子群。
⚠️ [易错点]
  1. 不要假设正规性: 在处理一个非阿贝尔群的子群时，绝对不能想当然地认为它是正规的。
  2. 中心的子群: 任何位于群的中心 $Z(G)$ 内的子群一定是正规的。因为如果 $N \subseteq Z(G)$，那么对任意 $n \in N$, $g \in G$，有 $gn=ng$，所以 $gng^{-1}=n \in N$。
📝 [总结]

本节通过实例强调了正规子群的几个关键点：$SL_n(\mathbb{R})$ 和 $A_n$ 是正规的，因为它们是核；阿贝尔群的所有子群都是正规的；而非阿贝尔群中则普遍存在非正规子群。这突出了正规性是一个在非阿贝尔世界里才显得珍贵和重要的性质。

🎯 [存在目的]

这部分的目的是通过正反两方面的例子，让读者对“正规”和“非正规”建立起具体的感受。它告诉我们哪些是正规的（核，阿贝尔群的子群），哪些不是，从而避免泛化和误解，为后续引入依赖于正规性的商群概念做好铺垫。

🧠 [直觉心智模型]
  1. 阿贝尔群就像一个完全民主的社会，每个成员（元素）都享有同等地位，可以随意交换位置。在这样的社会里，任何一个小团体（子群）都不会因为“视角”不同而显得不一样，它们都是“正规”的。
  2. 非阿贝尔群就像一个有层级和特定规则的组织。有些部门（子群）是特权部门（正规子群），比如核心决策层（核），从任何角度看它们都保持其核心地位。而其他一些普通部门（非正规子群），从不同领导（$g$）的视角看，其定位和作用会发生改变（$gng^{-1} \notin N$）。
💭 [直观想象]

想象一个正方形（$D_8$ 的几何实现）。

  1. 子群 $H=\{e, s\}$ 对应“不动”和“沿水平中轴线翻转”。
  2. $g=r$ 是“逆时针旋转90度”。
  3. 共轭 $rsr^{-1}$ 的几何意义是：先撤销旋转（顺时针转90度），然后水平翻转，最后再转回来（逆时针转90度）。最终你会发现，这个操作等效于“沿对角线翻转”。这个结果不是原来的“水平翻转”，所以 $H$ 不是正规子群。

15群的中心

📜 [原文25]

  • 群 $G$ 的中心，通常表示为 $Z$，是与 $G$ 的每个元素都可交换的元素集合：

$$ \begin{equation*} Z=\{z \in G \mid z x=x z \text { for all } x \in G\} . \tag{2.5.12} \end{equation*} $$

它始终是 $G$ 的一个正规子群。特殊线性群 $S L_{2}(\mathbb{R})$ 的中心由两个矩阵 $I,-I$ 组成。如果 $n \geq 3$，对称群 $S_{n}$ 的中心是平凡的。

📖 [逐步解释]

这部分介绍了群的另一个重要的子群——中心。

  1. 中心 (Center) 的定义:
    • 概念: 群 $G$ 的中心，是 $G$ 中所有“好好先生”的集合。一个元素如果在中心里，意味着它跟群里的任何其他元素都能交换位置。
    • 记号: $Z$ 或 $Z(G)$。
    • 定义解读: 一个元素 $z$ 属于中心 $Z(G)$ 的条件是：对于群 $G$ 中所有的元素 $x$，都必须满足 $zx=xz$。
  2. 中心的性质:
    • 是正规子群:
    • 是子群: (1) $1_G$ 总在中心里。(2) 若 $z_1, z_2 \in Z(G)$, 则 $(z_1z_2)x = z_1(z_2x) = z_1(xz_2) = (xz_1)z_2 = x(z_1z_2)$，所以 $z_1z_2 \in Z(G)$。(3) 若 $z \in Z(G)$, 则 $zx=xz$, 两边乘逆元可得 $z^{-1}x=xz^{-1}$, 故 $z^{-1} \in Z(G)$。
    • 是正规的: 因为中心的元素与群中所有元素都可交换，所以对于任意 $z \in Z(G), g \in G$，有 $gzg^{-1} = gg^{-1}z = z \in Z(G)$。所以中心是正规子群。
  3. 中心的例子:
    • $SL_2(\mathbb{R})$ 的中心: 是 $\{I, -I\}$。
    • $S_n$ 的中心 ($n \ge 3$): 是平凡的，即 $Z(S_n)=\{e\}$。这意味着，只要 $n \ge 3$，除了单位置换外，不存在任何一个非平凡的置换能跟所有其他置换交换位置。
∑ [公式拆解]

公式: $Z=\{z \in G \mid z x=x z \text { for all } x \in G\}$

  • $Z$: 中心 (Center) 的记号。
  • $z \in G$: 中心的元素来自群 $G$。
  • $zx=xz \text { for all } x \in G$: 这是元素 $z$ 被收入中心的条件，它必须与 $G$ 中的每一个元素都可交换。
💡 [数值示例]

示例1：$GL_2(\mathbb{R})$ 的中心

  • $G = GL_2(\mathbb{R})$ (所有2x2可逆矩阵)。
  • 它的中心是所有形如 $kI = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ 的标量矩阵，其中 $k \in \mathbb{R}^{\times}$。
  • 验证：$(kI)A = kA$ 且 $A(kI) = kA$，两者相等。

示例2：$D_8$ 的中心

  • $G=D_8$ (正方形对称群)。
  • 它的中心是 $Z(D_8) = \{e, r^2\}$，其中 $r^2$ 是旋转180度。
⚠️ [易错点]
  1. 中心与阿贝尔群: 一个群 $G$ 是阿贝尔群，当且仅当它的中心就是它自身，$Z(G)=G$。
  2. 中心化子 vs. 中心: 中心 $Z(G)$ 是所有能与所有元素交换的元素的集合。一个元素的中心化子 $C_G(a)$ 是所有能与特定元素 $a$ 交换的元素的集合。$Z(G) = \bigcap_{x \in G} C_G(x)$。
📝 [总结]

群的中心 $Z(G)$ 是由群中所有可与任何元素交换的“万能交换元素”组成的集合。它总是一个正规子群，其大小反映了群的交换程度。

🎯 [存在目的]

中心是一个群内禀的、非常自然的正规子群。研究一个群的中心，是理解其内部结构、特别是其交换性质的重要途径。

🧠 [直觉心智模型]

中心是群这个“组织”里的“元老院”。这个委员会里的成员 $z$ 地位超然，他们的指令 $z$ 和任何一个普通成员 $x$ 的行动，先后顺序可以随便调换 ($zx=xz$)。

💭 [直观想象]

想象一个群是太阳系里所有天体的运动。如果一个效应 $z$ 作用于地球 $x$ ($zx$)，和你先看地球 $x$ 再考虑这个效应 $z$ ($xz$)，结果完全一样，并且这对所有天体 $x$ 都成立，那么这个效应 $z$ 就在中心里。

16例 2.5.13 对称群同态

📜 [原文26]

例 2.5.13 对称群 $S_{4}$ 到 $S_{3}$ 的同态 $\varphi: S_{4} \rightarrow S_{3}$。

将四索引的集合 $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \mathbf{4}\}$ 分成二阶子集对有三种方法，即

$$ \begin{equation*} \Pi_{1}:\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\} \cup\{3, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{2}:\{\mathbf{1}, \mathbf{3}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{3}:\{\mathbf{1}, \mathbf{4}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{3}\} . \tag{2.5.14} \end{equation*} $$

对称群 $S_{4}$ 的一个元素置换这四个索引，通过这样做，它也置换这三个划分。这定义了从 $S_{4}$ 到集合 $\left\{\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right\}$ 的置换群的映射 $\varphi$，即对称群 $S_{3}$。

📖 [逐步解释]

这部分构造了一个非常巧妙且重要的同态，从一个较大的对称群 $S_4$ 映射到一个较小的对称群 $S_3$。

  1. 构造思路:
    • 起点: $S_4$ 是作用在集合 $\{1,2,3,4\}$ 上的置换群。
    • 寻找作用对象: 我们需要从 $S_4$ 自身的结构中，找到一个天然的、数量为3的集合，让 $S_4$ 去作用于它。
    • 发现“三”: 将这4个元素两两配对，恰好有3种方式。
    • $\Pi_1$: $\{\{1,2\}, \{3,4\}\}$
    • $\Pi_2$: $\{\{1,3\}, \{2,4\}\}$
    • $\Pi_3$: $\{\{1,4\}, \{2,3\}\}$
    • 我们得到了一个大小为3的集合 $X = \{\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3\}$。
  2. 定义映射:
    • $S_4$ 中的任何一个置换 $p$，都会对数字 $\{1,2,3,4\}$ 进行重新排列，从而也引起对这三个划分的重新排列。
    • 例如，置换 $p=(13)$ 作用后，$\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$ 变成了 $\{\{3,2\}, \{1,4\}\}$，这正是 $\Pi_3$。
    • 既然 $S_4$ 的每个元素 $p$ 都会引起这三个划分的一个置换，这就定义了一个映射 $\varphi: S_4 \rightarrow S_3$。
∑ [公式拆解]

公式: $\Pi_{1}:\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\} \cup\{3, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{2}:\{\mathbf{1}, \mathbf{3}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{3}:\{\mathbf{1}, \mathbf{4}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{3}\}$

  • $\Pi_i$: 代表第 $i$ 个划分 (Partition)。
  • $\{\{a,b\}, \{c,d\}\}$: 表示一种划分方式，它将 $\{1,2,3,4\}$ 分成两组。
💡 [数值示例]

示例1：计算 $\varphi((13))$

  • $p = (13) \in S_4$。
  • 作用于 $\Pi_1$: 变成 $\Pi_3$。
  • 作用于 $\Pi_2$: 保持 $\Pi_2$ 不变。
  • 作用于 $\Pi_3$: 变成 $\Pi_1$。
  • 总结 $p=(13)$ 的作用是交换 $\Pi_1$ 和 $\Pi_3$。这对应于 $S_3$ 中的置换 $(13)$。
  • 所以 $\varphi((13)) = (13) \in S_3$。
⚠️ [易错点]
  1. 作用对象的理解: $S_4$ 作用的直接对象是数字 $1,2,3,4$。它对划分 $\Pi_i$ 的作用是间接引发的。
  2. $S_4$ 元素与 $S_3$ 元素的区别: 不要混淆 $S_4$ 中的置换和 $S_3$ 中的置换。
📝 [总结]

本节通过一个巧妙的构造，找到了一个从 $S_4$ 到 $S_3$ 的映射。其核心思想是让 $S_4$ 作用于由它自身元素构造出来的一个三元集合——即4个数字的3种不同配对方式。

🎯 [存在目的]

这个例子的目的在于展示一个非平凡的、结构非常丰富的同态。它揭示了 $S_4$ 和 $S_3$ 之间深刻的内在联系，并且它的核是一个重要的四元正规子群（克莱因四元群），这对于理解 $S_4$ 的结构至关重要。

🧠 [直觉心智模型]

想象有4个舞者（1,2,3,4）和3种双人舞配对方案（$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$）。一个 $S_4$ 的置换 $p$ 是让舞者们交换位置的指令。映射 $\varphi$ 就是把“舞者换位指令” ($S_4$) 翻译成“舞蹈配对方案的变更情况” ($S_3$)。

💭 [直观想象]

想象一个正四面体，其四个顶点是 $\{1,2,3,4\}$。三组对边恰好对应了三个划分 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$。当你对这个正四面体进行一个旋转时（一个 $S_4$ 中的置换），你也移动了这三组对边。这个例子就是将 $S_4$ 对顶点的作用，转化为了对这三组对边的作用。

17例 2.5.13 (续)

📜 [原文27]

例如，四循环 $p=(1234)$ 对二阶子集的作用如下：

$$ \begin{array}{lll} \{1,2\} \rightsquigarrow\{2,3\} & \{1,3\} \rightsquigarrow\{2,4\} & \{1,4\} \rightsquigarrow\{1,2\} \\ \{2,3\} & \leadsto\{3,4\} & \{2,4\} \rightsquigarrow\{1,3\} \\ \{3,4\} & \leadsto\{1,4\} . \end{array} $$

观察这个作用，可以看出 $p$ 对划分集合 $\left\{\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right\}$ 的作用是一个对换 ( $\Pi_{1} \Pi_{3}$ )，它固定 $\Pi_{2}$ 并交换 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{3}$。

如果 $p$ 和 $q$ 是 $S_{4}$ 的元素，乘积 $p q$ 是复合置换 $p \circ q$，并且 $p q$ 对集合 $\left\{\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right\}$ 的作用是 $q$ 和 $p$ 作用的复合。因此 $\varphi(p q)=\varphi(p) \varphi(q)$，并且 $\varphi$ 是一个同态。

📖 [逐步解释]

这部分继续上面的例子，通过一个具体的四循环 $p=(1234)$ 来演示映射的计算，并论证了这个映射确实是一个同态。

  1. 计算 $\varphi((1234))$:
    • $p=(1234)$ 的作用是 $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$。
    • 对划分 $\Pi_1$ 的作用: $\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$ 变成了 $\{\{2,3\}, \{4,1\}\} = \Pi_3$。
    • 对划分 $\Pi_2$ 的作用: $\Pi_2 = \{\{1,3\}, \{2,4\}\}$ 变成了 $\{\{2,4\}, \{3,1\}\} = \Pi_2$ (保持不动)。
    • 对划分 $\Pi_3$ 的作用: $\Pi_3 = \{\{1,4\}, \{2,3\}\}$ 变成了 $\{\{2,1\}, \{3,4\}\} = \Pi_1$。
    • 结论: $p=(1234)$ 的作用是交换 $\Pi_1$ 和 $\Pi_3$。这个置换就是 $S_3$ 中的 $(13)$。因此，$\varphi((1234)) = (13) \in S_3$。
  2. 证明 $\varphi$ 是同态:
    • 论点: $\varphi(pq) = \varphi(p)\varphi(q)$ 对于所有 $p,q \in S_4$ 成立。
    • 论证: $S_4$ 中的乘积 $pq$ 指的是先做 $q$ 再做 $p$。$pq$ 对划分集的作用，其效果定义为 $p$ 对 ($q$ 对划分集的作用) 的作用。这正好就是 $S_3$ 中 $\varphi(p)$ 和 $\varphi(q)$ 两个作用的复合。因此 $\varphi$ 忠实地把 $S_4$ 中的复合运算，翻译成了 $S_3$ 中的复合运算。
💡 [数值示例]

示例1：验证 $\varphi((12)(13)) = \varphi((12))\varphi((13))$

  • $pq = (12)(13)=(132)$。
  • 左边 $\varphi((132))$:
  • $(132)$ 的作用是 $\Pi_1 \to \Pi_2 \to \Pi_3 \to \Pi_1$。这是 $S_3$ 中的轮换 $(123)$。
  • 右边 $\varphi((12))\varphi((13))$:
  • $\varphi((12))$ 的作用是 $\Pi_2 \leftrightarrow \Pi_3$，即 $(23) \in S_3$。
  • $\varphi((13))$ 的作用是 $\Pi_1 \leftrightarrow \Pi_3$，即 $(13) \in S_3$。
  • 复合它们：$(23)(13) = (123) \in S_3$。
  • 比较: 左边是 $(123)$，右边也是 $(123)$。等式成立！
⚠️ [易错点]
  1. 置换复合顺序: $pq$ 是先 $q$ 后 $p$。$\varphi(p)\varphi(q)$ 也是先 $\varphi(q)$ 后 $\varphi(p)$。
  2. 多个群之间的混淆: 要时刻清楚当前的操作是在 $S_4$ 还是 $S_3$ 中。
📝 [总结]

本节通过一个具体例子 $(1234)$ 演示了如何计算 $\varphi$ 的值，并从原理上解释了为什么这个映射 $\varphi$ 是一个同态：因为群元素复合作用于一个对象的最终效果，就等于各个元素作用效果的复合。

🎯 [存在目的]

这部分的目的是完成对例子的论证。必须严格证明它满足同态的定义。这个证明揭示了所有基于“群作用”来构造同态的例子的共同本质。

🧠 [直觉心智模型]

在舞者配对方案的比喻中，$pq$ 是一个复合指令。$\varphi(pq)$ 是这个复合指令最终造成的方案变化。$\varphi(p)\varphi(q)$ 是分步指令造成的方案变化的复合。两者结果必然相同。

💭 [直观想象]

在正四面体的想象中，$p$ 和 $q$ 是对四面体的两个连续旋转。合成旋转对边的最终影响，等于分步旋转影响的叠加。这正是同态性质。

18例 2.5.13 的像与核

📜 [原文28]

这个映射是满射的，所以它的像是整个群 $S_{3}$。它的核可以计算出来。它是 $S_{4}$ 的子群，由单位元和三个不相交对换的乘积组成：

$$ \begin{equation*} K=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} . \tag{2.5.15} \end{equation*} $$

$\square$

📖 [逐步解释]

这部分给出了这个 $S_4 \to S_3$ 同态的像和核，完成了对这个例子的分析。

  1. 像 (Image):
    • 结论: $\operatorname{im}(\varphi) = S_3$。这个同态是满射的（surjective）。
    • 证明思路: 我们需要说明 $S_3$ 中的任何一个元素，都能在 $S_4$ 中找到一个“原型”。我们已经找到 $\varphi((13))=(13)$ 和 $\varphi((132))=(123)$。因为 $S_3$ 由对换和三阶轮换生成，所以同态是满射的。
  2. 核 (Kernel):
    • 定义: 核是所有被映射到 $S_3$ 单位元 $e_{S_3}$ 的 $S_4$ 元素的集合。$S_3$ 的单位元意味着对三个划分 $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ 都不产生任何改变。
    • 寻找核中的元素: 我们要找 $p \in S_4$，使得 $p$ 作用后，$\Pi_1 \to \Pi_1, \Pi_2 \to \Pi_2, \Pi_3 \to \Pi_3$。
    • 单位元: $e \in S_4$ 显然在核里。
    • 考虑 $p=(12)(34)$: 这是一个双对换。
    • 作用于 $\Pi_1 = \{\{1,2\}, \{3,4\}\}$：$\{1,2\} \to \{2,1\}, \{3,4\} \to \{4,3\}$。新划分还是 $\Pi_1$。
    • 作用于 $\Pi_2 = \{\{1,3\}, \{2,4\}\}$：$\{1,3\} \to \{2,4\}, \{2,4\} \to \{1,3\}$。新划分还是 $\Pi_2$。
    • 作用于 $\Pi_3 = \{\{1,4\}, \{2,3\}\}$：$\{1,4\} \to \{2,3\}, \{2,3\} \to \{1,4\}$。新划分还是 $\Pi_3$。
    • 它保持所有三个划分不变！所以 $(12)(34) \in \operatorname{ker}(\varphi)$。
    • 结论: 集合 $K = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ 中的所有四个元素都在核中。这个集合被称为克莱因四元群 $V_4$。
    • 根据命题 2.5.11，这个核 $K$ 是 $S_4$ 的一个正规子群。
∑ [公式拆解]

公式: $K=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$

  • $K$: 同态 $\varphi: S_4 \to S_3$ 的核。
  • $1$: 群 $S_4$ 的单位元 $e$。
  • $(12)(34)$: 这是一个由两个不相交对换组成的置换，称为“双对换”。
💡 [数值示例]
  • 根据第一同构定理，我们有 $|S_4|/|\operatorname{ker}(\varphi)| = |\operatorname{im}(\varphi)|$。
  • $24/|\operatorname{ker}(\varphi)| = 6$。
  • 所以 $|\operatorname{ker}(\varphi)| = 4$。这与我们计算出核 $K$ 中有4个元素是吻合的。
⚠️ [易错点]
  1. 核的结构: $K$ 本身是一个阿贝尔群，每个非单位元素的阶都是2。例如 $(12)(34) \cdot (13)(24) = (14)(23)$。
📝 [总结]

这个著名的 $S_4 \to S_3$ 同态是一个满射，它的像是整个 $S_3$。它的核是一个包含4个元素的正规子群 $K$ (克莱因四元群 $V_4$)。这个例子完美地展示了同态、像、核、正规子群这些概念是如何在一个具体的、非平凡的场景中协同工作的。

🎯 [存在目的]

分析这个同态的像和核，是为了完整地解构这个例子，从而为后续的理论（特别是第一同构定理）提供一个坚实的、可供参考的范例。它揭示了 $S_4$ 的一个重要结构：$S_4$ 可以被“分解”，它包含一个正规子群 $K$，而“捏掉”这个 $K$ 之后得到的商群 $S_4/K$ 的结构，就和 $S_3$ 同构。

🧠 [直觉心智模型]

在舞者配对方案的比喻中，

  1. 满射: 意味着任何一种对配对方案的改变，我们都能找到一个对应的舞者换位指令来实现它。
  2. 核: 是所有那些虽然舞者换了位置，但三种配对方案一个都没变的指令集合。例如指令 $(12)(34)$，(1,2)舞伴互换，(3,4)舞伴互换，但宏观的配对格局没有改变。
💭 [直观想象]

在正四面体的想象中，

  1. 核 $K$ 中的三个非单位元素，对应于绕着连接三组对边中点的轴的三次180度旋转。这些旋转都会使四面体回到原位，同时保持三组对边的配对关系不变。

19行间公式索引

1. 同态定义:

$$ \begin{equation*} \varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b) . \tag{2.5.1} \end{equation*} $$

这一公式定义了群同态的核心性质，即映射保持群的运算结构。

2. 像的定义:

$$ \begin{equation*} \operatorname{im} \varphi=\left\{x \in G^{\prime} \mid x=\varphi(a) \text { for some } a \text { in } G\right\}, \tag{2.5.4} \end{equation*} $$

该公式定义了同态的像，即定义域中所有元素在映射下能到达的目标元素的集合。

3. 核的定义:

$$ \begin{equation*} \operatorname{ker} \varphi=\{a \in G \mid \varphi(a)=1\} . \tag{2.5.5} \end{equation*} $$

该公式定义了同态的核，即定义域中所有被映射到值域单位元的元素的集合。

4. 交错群的描述:

$$ \begin{equation*} \text { 交错群 } A_{n} \text { 是偶置换的群。 } \tag{2.5.6} \end{equation*} $$

这是一个描述性断言，指明交错群An是由所有偶置换构成的群。

5. 左陪集的定义:

$$ \begin{equation*} a H=\{g \in G \mid g=a h \text { for some } h \text { in } H\} . \tag{2.5.7} \end{equation*} $$

该公式定义了子群H由元素a产生的左陪集，它是通过左乘a于H中每个元素得到的新集合。

6. 中心的定义:

$$ \begin{equation*} Z=\{z \in G \mid z x=x z \text { for all } x \in G\} . \tag{2.5.12} \end{equation*} $$

该公式定义了群G的中心，它包含了所有能与G中任何元素交换的元素。

7. S4到S3同态的划分对象:

$$ \begin{equation*} \Pi_{1}:\{\mathbf{1}, \mathbf{2}\} \cup\{3, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{2}:\{\mathbf{1}, \mathbf{3}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{4}\}, \quad \Pi_{3}:\{\mathbf{1}, \mathbf{4}\} \cup\{\mathbf{2}, \mathbf{3}\} . \tag{2.5.14} \end{equation*} $$

该公式列出了将四个元素{1,2,3,4}分成两对的三种不同划分方式，它们是S4到S3同态的作用对象。

8. S4到S3同态的核:

$$ \begin{equation*} K=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} . \tag{2.5.15} \end{equation*} $$

该公式明确指出了S4到S3同态的核，它由单位元和三个双对换置换构成。