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这段话是本节内容的总起和引言。它介绍了一个在数学中非常基础且普遍的思想：等价。这个思想的核心是，我们有一个原始的集合，比如一个装满了各种各样物品的“大袋子”（集合 $S$）。然后，我们根据某种我们自己定义的“标准”或“规则”，把袋子里的一些物品看作是“一样的”或“等价的”。

这个“看作一样”的过程，实际上就是一种分类。通过这种分类，我们不再关注每个物品个体的微小差异，而是关注它们所属的类别。这就好比我们有一个装满各种水果的篮子，我们可以按照水果的种类（苹果、香蕉、橙子）来分类，也可以按照颜色（红色的、黄色的、绿色的）来分类。一旦分类完成，我们就可以从一个更高、更抽象的层面来讨论这些物品。我们不再说“这个红色的富士苹果”和“那个有点酸的嘎啦苹果”，而是直接说它们都属于“苹果”这个类别。

作者举了两个非常经典的例子来帮助我们理解：

1. 整数的奇偶划分：整数集 $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ 是一个无限大的集合。我们可以定义一个规则：“凡是能被2整除的整数都归为一类，不能被2整除的都归为另一类”。于是，所有的整数就被分成了偶数 $\{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$ 和奇数 $\{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\}$ 两大类。这时，我们就得到了一个新的、更简单的集合，这个新集合里只有两个元素：【偶数类】和【奇数类】。我们不再关心 $2$ 和 $100$ 的区别，因为它们都属于偶数。
2. 三角形的全等：在几何学中，平面上有无数个形状、大小、位置各不相同的三角形。但我们常常不关心一个三角形具体画在纸的哪个位置，或者它的顶点是朝上还是朝下。我们更关心的是它的“内在属性”——三条边的长度和三个角的大小。如果两个三角形可以通过平移、旋转、翻转这些“刚体运动”完全重合，我们就说它们是全等的。在这里，“全等”就是我们定义的那个“标准”。所有全等的三角形，尽管它们在空间中的位置不同，但我们把它们看作是同一个“等价的几何对象”。比如，一个边长为3, 4, 5的直角三角形，无论它在哪里、如何摆放，我们都认为它们在几何性质上是“一样”的。

这段引言告诉我们，本节就是要深入探讨这种“分类”和“看作一样”的数学思想，它引出了两个核心概念：划分（Partition）和等价关系（Equivalence Relation）。这两种概念是同一枚硬币的两个面，描述的是同一个本质。

这段话给出了“划分”（Partition）的正式定义。一个集合 $S$ 的划分，就像切蛋糕一样，必须满足三个条件：

1. 全覆盖：划分所使用的所有子集（那些小块蛋糕）合在一起，必须正好等于原始的大集合 $S$（整个蛋糕）。不能有任何一部分被遗漏。用数学语言说，就是所有子集的并集（union）等于 $S$。
2. 不重叠：任意两个不同的子集（任意两块蛋糕）之间不能有公共部分。它们必须是不相交的（disjoint）。一个元素不能同时属于两个不同的子集。
3. 非空：用来划分的每一个子集（每一块蛋糕）本身都必须是非空的（nonempty）。你不能切出来一块“什么都没有”的“空气蛋糕”。

所以，一个划分就是把一个大集合 $S$ 分解成一堆互不相交的、非空的小集合，而这些小集合的全体正好拼回原来的大集合 $S$。

接着，文章给出了两个例子：

1. 整数集的奇偶划分：
   • 集合 $S$ 是整数集 $\mathbb{Z}$。
   • 子集1是偶数集合 $E = \{\dots, -2, 0, 2, \dots\}$。
   • 子集2是奇数集合 $O = \{\dots, -1, 1, 3, \dots\}$。
   • 我们来验证这是否是一个划分：
   • 全覆盖：任何一个整数，要么是偶数，要么是奇数。所以 $E \cup O = \mathbb{Z}$。满足。
   • 不重叠：一个数不可能既是偶数又是奇数。所以 $E \cap O = \emptyset$（空集）。满足。
   • 非空：偶数集和奇数集里都有无穷多个元素，显然不是空的。满足。
   • 因此，{偶数集, 奇数集} 是整数集 $\mathbb{Z}$ 的一个划分。
2. 对称群 $S_3$ 的划分：
   • 这是一个来自群论的例子。对称群 $S_3$ 是指对三个元素 $\{1, 2, 3\}$ 进行所有可能的排列所构成的群。它有 $3! = 6$ 个元素。用轮换表示法，这6个元素通常写作：
   • $e$ (或 $1$)：恒等变换，什么都不动。
   • $\rho_1$ (或 $x$)：旋转120度，(123)。
   • $\rho_2$ (或 $x^2$)：旋转240度，(132)。
   • $\mu_1$ (或 $y$)：关于1的垂直轴翻转，(23)。
   • $\mu_2$ (或 $xy$)：关于2的垂直轴翻转，(13)。
   • $\mu_3$ (或 $x^2y$)：关于3的垂直轴翻转，(12)。
   • 文本中给出的划分是：
   • 子集1: $\{1\}$ (即恒等元 $e$)
   • 子集2: $\{y, xy, x^2y\}$ (即三个翻转 (12), (13), (23))
   • 子集3: $\{x, x^2\}$ (即两个旋转 (123), (132))
   • 让我们验证这是否构成一个划分：
   • 全覆盖：这三个子集合并起来，包含了 $1 + 3 + 2 = 6$ 个元素，正好是 $S_3$ 的所有元素。满足。
   • 不重叠：这三个子集之间没有任何公共元素。满足。
   • 非空：每个子集都含有元素。满足。
   • 因此，这确实是 $S_3$ 的一个划分。（这个划分其实是根据元素的阶来划分的：阶为1的，阶为2的，阶为3的）。

这段话介绍了与划分密切相关的另一个概念：等价关系（Equivalence Relation）。如果说划分是从“整体”（集合）出发，把它“切”成小块；那么等价关系就是从“个体”（元素）出发，定义元素之间的“关系”。

一个“关系” $\sim$ （读作 tilde 或 “is equivalent to”），如果被称为等价关系，它必须满足三个黄金法则，这三个法则是对我们日常生活中“相等”这个概念的性质的抽象。

1. 自反性 (Reflexivity)：任何一个元素都和它自己是等价的 ($a \sim a$)。这就像说，“我等于我自己”。这是最基本的要求。
2. 对称性 (Symmetry)：如果 $a$ 和 $b$ 是等价的 ($a \sim b$)，那么反过来，$b$ 和 $a$ 也必须是等价的 ($b \sim a$)。这就像说，“如果我等于你，那么你也等于我”。关系是对等的。
3. 传递性 (Transitivity)：如果 $a$ 和 $b$ 等价 ($a \sim b$)，并且 $b$ 和 $c$ 也等价 ($b \sim c$)，那么就必须能推导出 $a$ 和 $c$ 也是等价的 ($a \sim c$)。这就像“等量代换”：“如果我的身高和你一样，你的身高和他的身高一样，那么我的身高就和他的身高一样”。

只有同时满足这三个条件的关系，才能被称为等价关系。

文章举了两个例子：

1. 三角形的全等：
   • 集合 $S$ 是平面上所有三角形的集合。
   • 关系 $\sim$ 定义为“全等于”。
   • 验证三条性质：
   • 自反性：任何一个三角形都和它自己全等。满足。
   • 对称性：如果三角形A全等于三角形B，那么三角形B也全等于三角形A。满足。
   • 传递性：如果三角形A全等于B，B又全等于C，那么A肯定也全等于C。满足。
   • 所以，“全等”确实是三角形集合上的一个等价关系。
2. 群中的共轭关系：
   • 集合 $S$ 是一个群 $G$。
   • 关系 $\sim$ 定义为“共轭” (conjugate)：元素 $a$ 和 $b$ 共轭，当且仅当存在群里的某个元素 $g$，使得 $b = gag^{-1}$。
   • 作者在这里只演示了如何检查传递性，我们把三个性质都完整地检查一遍：
   • 自反性 ($a \sim a$)：我们需要找到一个 $g$ 使得 $a = gag^{-1}$。取群的单位元 $e$ 作为 $g$ 即可，因为 $eae^{-1} = eae = a$。所以自反性满足。
   • 对称性 (若 $a \sim b$，则 $b \sim a$)：假设 $a \sim b$，这意味着存在一个 $g$ 使得 $b = gag^{-1}$。我们需要证明存在一个 $h$ 使得 $a = hbh^{-1}$。我们可以对 $b = gag^{-1}$ 这个等式做变形：
   • 传递性 (若 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，则 $a \sim c$)：这就是原文证明的过程。
   • 因为三个性质都满足，所以共轭确实是群上的一个等价关系。

这是本节最核心的论断：划分和等价关系是描述同一件事的两种不同方式，它们是一体两面的，可以相互推导和定义。

命题 2.7.4 明确指出了这种双向关系：

1. 从 等价关系 $\rightarrow$ 到 划分
2. 从 划分 $\rightarrow$ 到 等价关系

证明分为两个部分，就像一个双行道：

第一部分：从划分到等价关系 (Partition $\implies$ Equivalence Relation)

• 前提：我们手上已经有了一个对集合 $S$ 的划分 $\Pi = \{S_1, S_2, \dots\}$。这就像我们已经把蛋糕切好了。
• 目标：我们要基于这个划分来定义一个等价关系 $\sim$。
• 定义方法：规则很简单——“如果两个元素 $a$ 和 $b$ 掉在同一块蛋糕里（位于同一个子集 $S_i$ 中），那么我们就说 $a \sim b$”。
• 验证：作者说“公理显然得到满足”，我们来把它展开看看为什么是“显然”的：
• 假设 $a, b, c$ 都是 $S$ 中的元素。
• 自反性 ($a \sim a$)：元素 $a$ 肯定在某个子集 $S_i$ 里。那么 $a$ 和 $a$ 自己当然在同一个子集里。所以 $a \sim a$ 成立。
• 对称性 (若 $a \sim b$, 则 $b \sim a$)：如果 $a \sim b$，说明 $a$ 和 $b$ 在同一个子集 $S_k$ 中。那么反过来说，$b$ 和 $a$ 自然也在同一个子集 $S_k$ 中。所以 $b \sim a$ 成立。
• 传递性 (若 $a \sim b$ 且 $b \sim c$, 则 $a \sim c$)：如果 $a \sim b$，说明 $a, b$ 同在子集 $S_i$ 中。如果 $b \sim c$，说明 $b, c$ 同在子集 $S_j$ 中。因为 $b$ 同时在 $S_i$ 和 $S_j$ 中，而划分的定义要求不同的子集必须不相交，所以 $S_i$ 和 $S_j$ 必须是同一个子集，即 $i=j$。因此，$a, b, c$ 三个元素都在同一个子集 $S_i$ 中。所以 $a$ 和 $c$ 也在同一个子集中，即 $a \sim c$ 成立。
• 结论：这个定义方法确实产生了一个有效的等价关系。

第二部分：从等价关系到划分 (Equivalence Relation $\implies$ Partition)

• 前提：我们手上已经有了一个定义在集合 $S$ 上的等价关系 $\sim$。这就像我们有了“同色”的规则。
• 目标：我们要基于这个等价关系来构造一个划分 $\Pi$。
• 构造方法：对于集合 $S$ 中的任何一个元素 $a$，我们把所有与 $a$ 等价的元素（包括 $a$ 自己）收集起来，形成一个子集。这个子集就叫做 $a$ 的等价类 (Equivalence Class)。
• 等价类的定义：公式 (2.7.5) 给出了 $a$ 的等价类 $C_a$ 的严格定义。它是一个集合，包含了 $S$ 中所有满足条件 “$a \sim b$” 的元素 $b$。
• 划分的形成：由所有这些等价类构成的集合，就应该是我们想要的那个划分。例如，在“同色”的例子中，[所有红色衣服孩子组成的集合]是一个等价类，[所有蓝色衣服孩子组成的集合]是另一个等价类......所有这些等价类合起来，就构成了对全体孩子的一个划分。
• 验证：这个构造方法是否真的产生了一个有效的划分呢？也就是说，这些等价类是否满足全覆盖、不重叠、非空这三个条件？作者说，这个证明需要下面的一个引理 (Lemma 2.7.6) 来完成。

这个引理是衔接上一节“从等价关系到划分”的关键证明。它的任务是，证明我们通过等价关系 $\sim$ 构造出来的那些等价类 $C_a, C_b, \dots$ 确实构成了一个合格的划分。也就是说，我们要用等价关系的三公理（自反、对称、传递）来推出划分的三性质（非空、全覆盖、不重叠）。

证明步骤拆解：

1. 证明等价类非空 (Nonempty)
   • 我们需要证明任何一个等价类 $C_a$ 都不是空集。
   • 根据等价关系的自反性，对于任何元素 $a$，都有 $a \sim a$。
   • 根据等价类的定义 $C_a = \{b \in S \mid a \sim b\}$，既然 $a \sim a$，那么 $a$ 本身就满足了进入 $C_a$ 的条件。
   • 所以，元素 $a$ 必然属于它自己的等价类 $C_a$。
   • 因此，每个等价类至少包含一个元素（就是它自己），所以所有等价类都是非空的。
2. 证明等价类覆盖全集 (Union is S)
   • 我们需要证明所有等价类的并集就是原始集合 $S$。
   • 对于 $S$ 中的任意一个元素 $x$，我们总可以考虑它的等价类 $C_x$。
   • 正如上面刚证明的， $x$ 属于 $C_x$。
   • 既然 $S$ 中的每一个元素 $x$ 都至少属于一个等价类（即 $C_x$），那么把所有等价类合起来，自然就覆盖了整个集合 $S$。
3. 证明等价类不重叠 (Disjoint)
   • 这是证明中最关键、最巧妙的部分。我们需要证明，任意两个不同的等价类 $C_a$ 和 $C_b$ 是没有公共元素的。
   • 直接证明“不重叠”有点困难，所以作者采用了一个更强的、等价的策略来证明，即证明 (2.7.7) 命题：只要两个等价类 $C_a$ 和 $C_b$ 有一丁点儿交集（哪怕只有一个共同元素），那么它们就必须是完全相同的两个集合。
   • 这个策略非常聪明。它意味着两个等价类之间的关系只有两种可能：要么是完全重合的（$C_a = C_b$），要么是完全分离的（$C_a \cap C_b = \emptyset$）。不存在“部分重叠”的情况。这就保证了如果我们只考虑那些不完全重合的等价类，它们之间必然是不相交的。
   • 证明 (2.7.7) 的过程：
   • 假设：$C_a$ 和 $C_b$ 有一个共同元素 $d$。这意味着 $d \in C_a$ 并且 $d \in C_b$。
   • 目标：证明 $C_a = C_b$。两个集合相等，需要证明 $C_a \subset C_b$ 并且 $C_b \subset C_a$。
   • 利用对称性：作者说，因为 $a$ 和 $b$ 的角色可以互换，所以我们只需要证明其中一个方向，比如 $C_b \subset C_a$ 即可。另一个方向的证明是完全一样的。
   • 证明 $C_b \subset C_a$：
   • 我们要证明：对于任意一个属于 $C_b$ 的元素 $x$，它也必然属于 $C_a$。
   • 好了，我们开始“关系链”的推导：
   • 现在我们把这些关系串起来：我们有了三段关系链 $a \sim d$, $d \sim b$, 和 $b \sim x$。
   • 第一次使用传递性：由 $a \sim d$ 和 $d \sim b$，我们可以得到 $a \sim b$。
   • 第二次使用传递性：由刚刚得到的 $a \sim b$ 和已知的 $b \sim x$，我们可以最终得到 $a \sim x$。
   • 结论：我们推导出了 $a \sim x$。根据 $C_a$ 的定义 ($C_a = \{z \in S \mid a \sim z\}$)，$a \sim x$ 正好说明了元素 $x$ 属于等价类 $C_a$。
   • 我们从“任意一个 $x \in C_b$” 出发，成功证明了 “$x \in C_a$”。这就完成了 $C_b \subset C_a$ 的证明。
   • 由于对称性，同理可证 $C_a \subset C_b$。因此，$C_a = C_b$。
   • 最终结论：等价类的确满足了非空、全覆盖、不重叠三大性质，所以它们构成了一个对集合 $S$ 的划分。证明完毕。

这段话是前文理论的一个具体应用和回顾。它提出了一个新的等价关系的例子，并将其与之前在 (2.7.2) 中提到的 $S_3$ 的划分联系起来。

1. 定义一个新的等价关系：
   • 集合 $S$ 是一个群 $G$。
   • 关系 $\sim$ 定义为：$a \sim b$ 当且仅当元素 $a$ 的阶 (order) 与元素 $b$ 的阶相同。
   • 回忆一下，一个群元素 $a$ 的阶是使得 $a^n = e$（单位元）的最小正整数 $n$。
2. 验证这是一个等价关系：
   • 我们来检查三公理：
   • 自反性 ($a \sim a$)：$a$ 的阶当然等于 $a$ 的阶。满足。
   • 对称性 (若 $a \sim b$, 则 $b \sim a$)：如果 $a \sim b$，说明 $a$ 和 $b$ 的阶相同。那么 $b$ 和 $a$ 的阶也必然相同。满足。
   • 传递性 (若 $a \sim b$ 且 $b \sim c$, 则 $a \sim c$)：如果 $a$ 的阶等于 $b$ 的阶， $b$ 的阶又等于 $c$ 的阶，那么根据数字的传递性，$a$ 的阶必然等于 $c$ 的阶。满足。
   • 所以，“具有相同的阶”确实是群上的一个等价关系。
3. 找出对应的划分：
   • 根据我们刚刚学到的理论，这个等价关系会把群 $G$ 划分成若干个等价类。每个等价类由所有具有相同阶的元素组成。
   • 现在，让我们把这个理论应用到对称群 $S_3$ 上。
   • $S_3$ 的6个元素是 $\{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}$。（这里用置换的轮换表示法，比 $x, y$ 更直观）
   • 我们来计算每个元素的阶：
   • 阶为1：$e^1 = e$。只有单位元 $e$ 的阶是1。
   • 阶为2：需要 $a^2=e$。
   • $(12)^2 = (12)(12) = e$。阶是2。
   • $(13)^2 = (13)(13) = e$。阶是2。
   • $(23)^2 = (23)(23) = e$。阶是2。
   • 阶为3：需要 $a^3=e$。
   • $(123)^2 = (132)$, $(123)^3 = (123)(132) = e$。阶是3。
   • $(132)^2 = (123)$, $(132)^3 = (132)(123) = e$。阶是3。
   • 形成等价类：
   • 等阶1的元素集合：$\{e\}$
   • 等阶2的元素集合：$\{(12), (13), (23)\}$
   • 等阶3的元素集合：$\{(123), (132)\}$
   • 得到划分：这个等价关系导出（induce）的划分是:
   • 与 (2.7.2) 对比：回忆一下 (2.7.2) 给出的划分是 $\{\{1\},\left\{y, x y, x^{2} y\right\},\left\{x, x^{2}\right\}\}$。通过对应关系 $1 \leftrightarrow e$, $y \leftrightarrow (12)$ (或其他翻转), $x \leftrightarrow (123)$ 等，我们发现这正是同一个划分！
   • 这就完美地印证了理论：一个等价关系（按阶相等）导出了一个划分（(2.7.2) 所示的集合）。

这段话介绍了如何基于一个划分来正式地构建一个新集合。这个新集合在数学上被称为商集 (Quotient Set)。

1. 核心思想：我们已经把原始集合 $S$ 切分成了若干个子集（划分）。现在，我们想“升级”我们的视角。我们不再把这些子集看作是 $S$ 的一部分，而是把每一个子集本身，作为一个独立的、全新的元素来看待。
2. “堆”的比喻：作者用了一个非常形象的比喻——“堆”（piles）。
   • 原始集合 $S$ 是一地散沙。
   • 划分就是把这些沙子按照某种规则（比如颜色）堆成几堆。一堆是红沙，一堆是黄沙...
   • 商集 $\bar{S}$ 就是由这些“堆”本身组成的集合。商集里的元素不再是“一粒沙子”，而是一整个“沙堆”。
3. 新符号的引入：为了在数学上严格区分“作为子集的沙堆”和“作为新元素的沙堆”，我们需要引入新的记号。
   • 如果 $U$ 是 $S$ 的一个子集（划分中的一块），比如 $U = \text{偶数集}$。
   • 那么 $[U]$ 就代表在商集 $\bar{S}$ 中的那个新元素，即 [偶数集] 这个“东西”。
   • 这里的方括号 [ ] 扮演了一个“封装”或者“提升”的角色，它把一个集合“变成”了一个元素。
4. 例子：
   • $S = \mathbb{Z}$ (整数集)
   • 划分是 $\{\text{Even}, \text{Odd}\}$，其中 Even 是偶数集，Odd 是奇数集。
   • 那么商集 $\bar{S}$ 就是由这两个“堆”组成的集合。
   • $\bar{S} = \{[\text{Even}], [\text{Odd}]\}$。
   • 这个新集合 $\bar{S}$ 只有两个元素。我们成功地从一个无限集 $\mathbb{Z}$ 构建出了一个有限集 $\bar{S}$。

这段话在前文“商集”的基础上，引入了一种更常用、更便捷的记号——横线表示法 (bar notation)，并解释了其背后的哲学思想。

1. 回顾与衔接：我们已经知道，一个等价关系 $\sim$ 会导出一个划分，这个划分由所有的等价类 $C_a, C_b, \dots$ 组成。基于这个划分，我们又可以构建一个商集 $\bar{S}$，其元素是 $[C_a], [C_b], \dots$。
2. 一种新的哲学观点：作者提出，与其把 $\bar{S}$ 看作是一个由“集合的集合”构成的全新世界，不如把它看作是“对原世界 $S$ 中的相等规则进行了修改”。
   • 在原世界 $S$ 中，只有 $a=a$ 这种严格的相等。
   • 在新世界 $\bar{S}$ 中，我们把“等价” ($a \sim b$) 直接“升级”为“相等”。也就是说，只要 $a$ 和 $b$ 满足等价关系，我们就认为它们在新世界里是同一个东西。
   • 为什么这个观点是合理的？因为如果 $a \sim b$，我们之前证明了它们的等价类是完全相同的，即 $C_a = C_b$。既然它们对应的“堆”是同一个堆，那么在只关心“堆”的新世界里，它们理应被看作是相等的。
   • 例子：全等三角形。在几何课上，我们虽然画了两个位置不同但全等的三角形，但我们讨论它们的性质时（比如面积、周长），是把它们当作同一个“边长为3,4,5的直角三角形”来看待的。我们模糊了它们在位置上的区别，把“全等”这个等价关系，当作了“几何相等”。
3. 自然映射 (Natural Map) 或 典范映射 (Canonical Map)：
   • 有一个非常自然的函数 $\pi$ (pi)，可以把旧世界 $S$ 的元素映射到新世界 $\bar{S}$。
   • 这个映射的规则是：对于 $S$ 中的任何一个元素 $a$，它在 $\bar{S}$ 中的对应物就是它所属的那个等价类（或“堆”）。
   • 形式化地写，就是 $\pi(a) = [C_a]$。
   • 这个映射一定是满射 (surjection)，因为新世界 $\bar{S}$ 中的每一个元素（每一个“堆”）都至少是由旧世界里的一个元素（堆里的沙子）生成的，所以 $\bar{S}$ 中的每个元素都有“原像”。
4. 引入横线表示法 ($\bar{a}$)：
   • 写 $[C_a]$ 这样的符号太笨重了。我们想找一个更简洁的记号来表示商集中的元素。
   • 新记号：我们用 $\bar{a}$ 来代替 $[C_a]$。这里的 $a$ 是原集合 $S$ 中的一个元素，我们称之为这个等价类的代表元 (representative)。
   • 使用这个新记号后，自然映射就变得非常简洁：$\pi(a) = \bar{a}$。它直观地表示“把 $a$ 变成它在商集里的版本”。
   • 新规则的核心：这个记号的关键在于它改变了“等号”的含义。在新世界里，两个带横线的元素相等 ($\bar{a} = \bar{b}$) 的充要条件是，它们在旧世界里的代表元是等价的 ($a \sim b$)。这就是公式 (2.7.9) 的深刻含义。
5. 横线表示法的缺点与代表元的选择：
   • 缺点：一个等价类（一个“堆”）里通常有很多元素。这意味着同一个商集元素，可以有很多种不同的写法。比如在模3同余中，$C_1 = \{1, 4, 7, \dots\}$。那么 $\bar{1}, \bar{4}, \bar{7}$ 实际上都是同一个东西，即 $\bar{1} = \bar{4} = \bar{7}$。这可能会引起混淆。
   • 解决方法：为了规范，我们常常在每个等价类中挑选一个“最标准”、“最简单”的元素作为代表元。
   • 例子 (2.7.10)：对于整数的奇偶划分，商集是 $\{[\text{Even}], [\text{Odd}]\}$。
   • 偶数集 Even = $\{\dots, -2, 0, 2, \dots\}$。我们可以选 0 作为它的代表元。于是 $[\text{Even}]$ 就可以记作 $\bar{0}$。
   • 奇数集 Odd = $\{\dots, -1, 1, 3, \dots\}$。我们可以选 1 作为它的代表元。于是 $[\text{Odd}]$ 就可以记作 $\bar{1}$。
   • 这样，商集 $\bar{S}$ 就可以漂亮地写成 $\{\bar{0}, \bar{1}\}$。这正是我们在离散数学中熟悉的模2算术的集合 $\mathbb{Z}_2$。
6. 两种视角的比较：
   • “堆”的图示（$[U]$）在初学时更容易理解，因为它在物理上区分了不同层次的对象。
   • “横线”表示法（$\bar{a}$）在进行代数运算时（比如定义商群的乘法 $\bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{ab}$）远比前者方便。所以，一旦理解了概念，后者是更专业、更强大的工具。

这一部分介绍了另一种非常普遍和自然的构造等价关系的方法：通过一个映射 (或称函数)。

1. 通过映射定义等价关系：
   • 场景：我们有一个函数 $f$，它把集合 $S$ 中的元素映射到集合 $T$ 中。即 $f: S \rightarrow T$。
   • 定义规则：我们可以在 $S$ 上定义一个关系 $\sim$：对于 $S$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，如果它们经过映射 $f$ 后，“殊途同归”，到达了 $T$ 中的同一个目的地，那么我们就说它们是等价的。
   • 形式化定义：$a \sim b \iff f(a) = f(b)$。
   • 验证这是一个等价关系：
   • 自反性 ($a \sim a$)：$f(a) = f(a)$ 吗？当然。所以 $a \sim a$ 成立。
   • 对称性 (若 $a \sim b$, 则 $b \sim a$)：如果 $a \sim b$，则 $f(a) = f(b)$。那么 $f(b) = f(a)$ 也必然成立。所以 $b \sim a$ 成立。
   • 传递性 (若 $a \sim b$ 且 $b \sim c$, 则 $a \sim c$)：如果 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，则 $f(a) = f(b)$ 且 $f(b) = f(c)$。根据等号的传递性，必然有 $f(a) = f(c)$。所以 $a \sim c$ 成立。
   • 结论：这个规则确实定义了一个有效的等价关系。这是构造等价关系最常见的方法之一。
2. 逆像 (Inverse Image) / 纤维 (Fiber)：
   • 定义：给定映射 $f: S \rightarrow T$，对于目标集 $T$ 中的某一个元素 $t$，所有能够通过 $f$ 映射到 $t$ 的原像（$S$中的元素）所组成的集合，就叫做 $t$ 的逆像或纤维。
   • 符号：记作 $f^{-1}(t)$。
   • 公式 (2.7.11) 给出了它的集合定义：$f^{-1}(t) = \{s \in S \mid f(s)=t\}$。这个集合是 $S$ 的一个子集。
3. 逆像与等价类的关系：
   • 核心洞见：由映射 $f(a)=f(b)$ 定义的等价关系，其等价类恰好就是那些非空的逆像（纤维）。
   • 解释：
   • 让我们来看看元素 $a$ 的等价类 $C_a$ 是什么。根据定义，$C_a = \{b \in S \mid a \sim b\} = \{b \in S \mid f(a)=f(b)\}$。
   • 假设 $f(a)$ 的值是 $t_0 \in T$。那么 $C_a = \{b \in S \mid f(b)=t_0\}$。
   • 我们再来看看 $t_0$ 的逆像是什么。根据定义，$f^{-1}(t_0) = \{s \in S \mid f(s)=t_0\}$。
   • 两相对比，我们发现 $C_a = f^{-1}(t_0) = f^{-1}(f(a))$。
   • 也就是说，$a$ 的等价类，就是 $a$ 的像 $f(a)$ 的逆像。它包含了所有和 $a$ “飞往同一目的地”的同伴。
   • 非空纤维：如果 $T$ 中的某个元素 $t$ 不是 $f$ 的像（即 $S$ 中没有任何元素映射到 $t$），那么它的逆像 $f^{-1}(t)$ 就是空集。而我们知道等价类必须是非空的，所以只有那些非空的纤维（逆像）才能成为等-价类。
4. $f^{-1}$ 符号的警告：
   • 作者特意提醒，不要把 $f^{-1}(t)$ 看作是一个名叫 $f^{-1}$ 的函数作用在 $t$ 上。
   • 只有当 $f$ 是双射 (bijective，即单射又满射) 时，它的逆映射 $f^{-1}: T \rightarrow S$ 才存在。
   • 在一般情况下，$f$ 不是双射，所以 $f^{-1}$ 不是一个函数。$f^{-1}(t)$ 仅仅是一个符号，代表一个集合。
   • 比如，如果 $f(x)=x^2$，那么 $f^{-1}(4) = \{2, -2\}$，它返回的是一个集合，而不是一个单一的值，所以 $f^{-1}$ 不是函数。

这段话在前文的基础上，进一步阐明了由映射 $f: S \rightarrow T$ 导出的商集 $\bar{S}$ 与映射的像 (Image) 之间的关系。

1. 像 (Image) 的定义：
   • 映射 $f: S \rightarrow T$ 的像，通常记作 $\text{Im}(f)$ 或 $f(S)$，是 $T$ 的一个子集。
   • 它由 $S$ 中所有元素在 $f$ 映射下的“落点”组成。
   • 形式化定义：$\text{Im}(f) = \{t \in T \mid \exists s \in S, f(s)=t\}$。
   • 简而言之，像就是 $f$ 实际“打到”的那些目标的集合。
2. 商集与像的对应关系：
   • 我们已经知道，由映射 $f$ 导出的商集 $\bar{S}$，其元素是所有的等价类，而每一个等价类又是一个非空纤维 $f^{-1}(t)$。
   • 核心论断：商集 $\bar{S}$ 和 像 $\text{Im}(f)$ 之间存在一个双射 (bijection)，即一一对应关系。
   • 如何建立这个双射？
   • 像 $\text{Im}(f)$ 中的每一个元素 $t$，都对应着一个非空的纤维 $f^{-1}(t)$。
   • 这个纤维 $f^{-1}(t)$ 正好是商集 $\bar{S}$ 中的一个元素。
   • 于是，我们可以建立一个映射 $\psi: \text{Im}(f) \rightarrow \bar{S}$，其规则为 $\psi(t) = [f^{-1}(t)]$ (用堆的表示法) 或更简单地 $\psi(t) = \bar{s}$ 其中 $s$ 是任何一个满足 $f(s)=t$ 的元素。
   • 这个映射 $\psi$ 是一一对应的：
   • 单射：如果 $t_1 \neq t_2$，那么它们的纤维 $f^{-1}(t_1)$ 和 $f^{-1}(t_2)$ 必然是不相交的，因此是不同的等价类。
   • 满射：商集 $\bar{S}$ 中的任何一个等价类，都是某个 $t \in \text{Im}(f)$ 的纤维，所以都有对应的原像。
   • 结论：商集 $\bar{S}$ 和映射的像 $\text{Im}(f)$ 在结构上是“同构”的。它们只是对同一件事情的两种不同“编码”。$\bar{S}$ 是从定义域 $S$ 出发进行“捆绑”得到的结果，而 $\text{Im}(f)$ 是在到达域 $T$ 中“实际落点”的集合。
3. 图示解释：
   • 图片展示了绝对值映射 $f: \mathbb{C}^\times \rightarrow \mathbb{R}^\times$，规则是 $f(z) = |z|$。
   • 定义域 $S = \mathbb{C}^\times$ 是所有非零复数构成的复平面（挖掉原点）。
   • 到达域 $T = \mathbb{R}^\times$ 是所有正实数构成的射线。
   • 纤维：对于到达域中的一个元素，比如正实数 $r$，它的纤维 $f^{-1}(r)$ 是什么？
   • $f^{-1}(r) = \{z \in \mathbb{C}^\times \mid |z|=r\}$。
   • 在复平面上，所有到原点距离为 $r$ 的点的集合，正好是一个以原点为圆心、半径为 $r$ 的圆。
   • 图示内容：图中画了好几个同心圆。每一个圆圈，就是一个纤维，也是一个等价类。例如，所有在半径为 $r_1$ 的圆上的复数（如 $z_1, z_2, \dots$），它们都是等价的，因为它们的绝对值都是 $r_1$。
   • 划分：这个绝对值映射，将整个挖掉原点的复平面，划分成了无穷多个以原点为中心的同心圆。
   • 商集与像：
   • 商集 $\bar{\mathbb{C}^\times}$ 的元素就是这些“圆圈”本身。
   • 像 $\text{Im}(f)$ 是所有正实数 $\mathbb{R}^+$。
   • 商集和像之间存在一一对应：每一个“圆圈”都唯一对应一个它的“半径”值。
4. 例子 2.7.13 解释：
   • 映射：$f: G \rightarrow \mathbb{N}$，其中 $G$ 是有限群。
   • 规则：$f(a) = \text{order of } a$ (元素 $a$ 的阶)。
   • 等价关系：$a \sim b \iff \text{order}(a) = \text{order}(b)$。这就是我们之前讨论过的“同阶”关系。
   • 纤维：对于一个自然数 $k \in \mathbb{N}$，它的纤维 $f^{-1}(k) = \{a \in G \mid \text{order}(a) = k\}$。这正是群 $G$ 中所有阶为 $k$ 的元素的集合。
   • 与 (2.7.2) 的联系：对于 $G=S_3$，像 $\text{Im}(f)=\{1, 2, 3\}$。
   • $f^{-1}(1)=\{e\}$
   • $f^{-1}(2)=\{(12), (13), (23)\}$
   • $f^{-1}(3)=\{(123), (132)\}$
   • 这三个纤维，就是 (2.7.2) 中给出的那三个划分的子集。

这部分将前面关于映射、等价关系和划分的一般性理论，具体应用到群同态这个特殊的代数场景中。

1. 特化场景：
   • 我们不再处理普通的集合 $S, T$ 和普通映射 $f$。
   • 现在我们处理的是两个群 $G, G'$ 和一个保持群运算结构的特殊映射——群同态 $\varphi: G \rightarrow G'$。
2. 同余关系 (Congruence)：
   • 基于群同态 $\varphi$，我们可以定义一个等价关系，方法和之前一样：$a \sim b \iff \varphi(a) = \varphi(b)$。
   • 在群论的上下文中，这种由同态定义的等价关系有一个专门的名字，叫做同余 (Congruence)，并且符号通常写成 $\equiv$。所以 (2.7.14) 就是把通用定义换上了专用马甲。
3. 同余与陪集的联系：
   • 作者在这里引用了之前章节 (2.5.8) 的一个结论，这是理解本段的关键。
   • 结论是：$\varphi(a) = \varphi(b)$ 成立，当且仅当 $b \in aK$，其中 $K$ 是同态 $\varphi$ 的核 (Kernel)。
   • 核的定义：$K = \text{Ker}(\varphi) = \{x \in G \mid \varphi(x) = e'\}$，即所有被映射到目标群 $G'$ 的单位元 $e'$ 的元素的集合。核 $K$ 本身是一个 $G$ 的正规子群。
   • 陪集的定义：$aK = \{ak \mid k \in K\}$，是 $G$ 的一个子集。
   • 证明 $\varphi(a) = \varphi(b) \iff b \in aK$：
   • ($\Rightarrow$) 假设 $\varphi(a) = \varphi(b)$。两边同时左乘 $\varphi(a)^{-1}$。因为 $\varphi$ 是同态，所以 $\varphi(a)^{-1} = \varphi(a^{-1})$。
   • ($\Leftarrow$) 假设 $b \in aK$。这意味着存在某个 $k \in K$ 使得 $b=ak$。
   • 结论：在群同态的背景下，“$a$ 和 $b$ 同余” 这件事，和 “$b$ 属于 $a$ 的左陪集” 这件事，是完全等价的。
4. 命题 2.7.15 的解读：
   • 这个命题是对以上所有知识点的总结陈词。
   • “包含 $G$ 的元素 $a$ 的 $\varphi$ 的纤维...”：
   • 元素 $a$ 的纤维，就是 $a$ 的等价类，也就是所有与 $a$ 同余的元素的集合。
   • 纤维/等价类 = $\{b \in G \mid a \equiv b\} = \{b \in G \mid \varphi(a) = \varphi(b)\}$。
   • “...是 $K$ 的陪集 $aK$。”
   • 刚刚我们证明了 $\{b \in G \mid \varphi(a) = \varphi(b)\} = aK$。
   • 所以，由同态 $\varphi$ 导出的等价类（纤维），正好就是以它的核 $K$ 为子群形成的陪集！
   • “这些陪集划分了群 $G$...”
   • 既然陪集就是等价类，而我们已经证明了等价类必然构成一个划分。因此，所有不同的陪集 $aK, bK, \dots$ 必然构成对群 $G$ 的一个划分。这被称为群G关于子群K的左陪集分解。
   • “...并且它们对应于 $\varphi$ 的像的元素。”
   • 这就是上一节的结论。陪集（等价类）的集合，即商集 $G/K$，与同态的像 $\text{Im}(\varphi)$ 之间存在一一对应。这正是群论的第一同构定理：$G/\text{Ker}(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi)$。

这最后一句是整个章节的点睛之笔。它提示我们通过一个可视化的图像来总览和巩固前面学到的所有关于群同态、核、陪集、像之间关系的抽象概念。虽然原文没有附图，但我们可以构建出这个在抽象代数中非常经典和重要的示意图，并对其进行深入解读。

这个示意图旨在可视化群论第一同构定理的核心思想：$G/\text{Ker}(\varphi) \cong \text{Im}(\varphi)$。

图的构成元素：

1. 左侧的椭圆：代表定义域群 $G$。
2. 右侧的椭圆：代表到达域群 $G'$。
3. 从左到右的箭头 $\varphi$：代表群同态映射。
4. 左侧椭圆内的分层：群 $G$ 被“切”成了若干个互不相交的“层”或“块”。这些就是由同态 $\varphi$ 的核 $K$ 所导出的陪集。
5. 中间的特殊层 $K$：包含群 $G$ 的单位元 $e$ 的那个陪集，正是同态的核 $\text{Ker}(\varphi)$。
6. 右侧椭圆内的一些点：这些点是群 $G$ 中元素经过 $\varphi$ 映射后在 $G'$ 中的落点。这些所有落点组成的集合就是同态的像 $\text{Im}(\varphi)$。

图的动态过程：

映射 $\varphi$ 的作用可以被想象成一个“压缩”或“投影”的过程。它将左侧群 $G$ 中的一整个陪集（一个完整的“层”）上的所有元素，全部映射到右侧群 $G'$ 中的同一个点上。

• 核的映射：核 $K$ 这个陪集里的所有元素（包括 $e$），都被 $\varphi$ 映射到 $G'$ 的单位元 $e'$ 上。这是核的定义所决定的。
• 其他陪集的映射：对于任何一个陪集 $aK$，其中所有的元素（形如 $ax$, $ay$, $az$ ... 其中 $x,y,z \in K$），都会被 $\varphi$ 映射到同一个点，这个点就是 $\varphi(a)$。因为 $\varphi(ax) = \varphi(a)\varphi(x) = \varphi(a)e' = \varphi(a)$。

图揭示的核心关系：

该图最重要之处在于直观地展示了陪集与像的元素之间的一一对应关系。

• $G$ 中的每一个陪集（左侧的一个“层”）都唯一地对应于 $\text{Im}(\varphi)$ 中的一个元素（右侧的一个“点”）。
• 反过来，$\text{Im}(\varphi)$ 中的每一个元素（右侧的一个“点”），都唯一地对应于 $G$ 中一个作为其完整逆像的陪集（左侧的一个“层”）。

这个一一对应是同构的基础。它告诉我们，如果我们把 $G$ 中的陪集本身看作新的元素（即构造商群 $G/K$），那么这个由“层”组成的商群，其内部的代数结构（运算规则），和由“点”组成的像群 $\text{Im}(\varphi)$ 的代数结构是完全一样的。