1. 2.9 模算术

本段是引言，旨在介绍即将讨论的核心主题——整数同余（integer congruence）。

1. 主题定位：开宗明义地指出本节内容是关于“整数同余”。这个概念在数论（number theory）中占据着至关重要的地位。数论是纯数学的一个分支，主要研究整数的性质。
2. 重要性强调：“最重要的概念之一”这句话说明了整数同余不是一个边缘知识点，而是构建更复杂理论的基石。学习它对于理解后续内容至关重要。
3. 读者引导：作者贴心地考虑到部分读者可能对这个概念感到陌生（“如果您之前没有接触过这个概念”），并给出了进一步学习的建议——“您可能需要阅读更多相关内容”。这是一种负责任的教学方式，承认本节的讨论是“简要”的，并为希望深入学习的读者指明了方向。
4. 参考文献：具体地，作者推荐了Stark编写的教材（表示为 $[$ Stark $]$）。在学术写作中，用方括号引用参考文献是标准做法。这意味着读者可以去书末的参考文献列表中找到这本书的完整信息（书名、作者、出版社等）。
5. 核心前提设定：最后一句“在本节中，我们始终使用固定的正整数 $n$”是至关重要的技术性设定。它明确了整个讨论的上下文环境。
   • 固定：意味着 $n$ 在整个讨论过程中是不会改变的。我们选定一个 $n$（比如 $n=5$ 或 $n=12$），然后所有的计算和推理都围绕这个特定的 $n$ 进行。
   • 正整数：明确了 $n$ 的取值范围。$n$ 必须是 $1, 2, 3, \ldots$ 中的一个数。它不能是负数、零、分数或无理数。这个条件对于模算术的定义是必不可少的。

本段给出了模 $n$ 同余（congruence modulo n）的正式定义。这个定义是理解后续所有内容的关键。

1. 核心条件：定义的核心是判断两个整数 $a$ 和 $b$ 是否“模 $n$ 同余”。它提供了两个等价的判断方式：
   • 方式一（整除形式）：“$n$ 整除 $b-a$”。
   • “整除”（divides）是一个精确的数学术语。说“$n$ 整除 $b-a$”意味着 $b-a$ 除以 $n$ 的结果是一个整数，没有余数。
   • 例如，$5$ 整除 $15$ 因为 $15 \div 5 = 3$，而3是整数。但是，$5$ 不整除 $16$ 因为 $16 \div 5 = 3.2$，不是整数。
   • 这个形式强调了两个数之差与模数 $n$ 的倍数关系。
   • 方式二（代数形式）：“$b=a+n k$（其中 $k$ 为某个整数）”。
   • 这个形式是从另一个角度描述同一个关系。它表示 $b$ 可以通过在 $a$ 的基础上加上若干个（$k$ 个）$n$ 来得到。
   • 这里的 $k$ 必须是整数（$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$），可以是正数、负数或零。
   • 这个形式更直观地展示了 $a$ 和 $b$ 在以 $n$ 为“步长”的网格上的关系。
   • 两种形式的等价性：如果 $n$ 整除 $b-a$，那么根据整除的定义，存在一个整数 $k$ 使得 $b-a = nk$。将这个等式变形，就得到 $b = a+nk$。反之，如果 $b=a+nk$，那么 $b-a=nk$，这正好说明了 $n$ 整除 $b-a$。所以这两种说法是完全等价的。
2. 术语和记法：
   • 如果上述条件满足，我们就说 $a$ 和 $b$ 是“模 $n$ 同余”的。
   • 这个关系用一个特殊的符号来表示：$a \equiv b \text { 模 } n$。这个三横线的符号 $\equiv$ 读作“恒等于”或在这里读作“同余于”。
   • $\text{模 } n$ 是这个同余关系的上下文，有时也写作 $\pmod n$ 或 $(\text{mod } n)$。
3. 具体示例：
   • “$2 \equiv 17$ 模 5” 是对定义的一个应用。
   • 验证方式一：$b-a = 17 - 2 = 15$。$n=5$ 能否整除 $15$？能，因为 $15 \div 5 = 3$ 是一个整数。所以它们模 5 同余。
   • 验证方式二：我们能否找到一个整数 $k$ 使得 $17 = 2 + 5k$？整理得 $15 = 5k$，解得 $k=3$。因为3是一个整数，所以它们模 5 同余。

本段引入了两个关键概念：等价关系（equivalence relation）和同余类（congruence class）。

1. 同余是等价关系：
   • 作者说“很容易验证同余是一种等价关系”。在数学中，一个关系被称为等价关系，如果它同时满足以下三个性质：
   • 自反性 (Reflexivity)：任何元素都与自身有关系。即 $a \equiv a \pmod n$。这是成立的，因为 $a-a=0$，而 $n$ 整除 $0$。
   • 对称性 (Symmetry)：如果 $a$ 与 $b$ 有关系，那么 $b$ 也与 $a$ 有关系。即如果 $a \equiv b \pmod n$，那么 $b \equiv a \pmod n$。这也是成立的。如果 $a \equiv b \pmod n$，则 $n$ 整除 $b-a$。那么 $n$ 也必然整除 $-(b-a) = a-b$，所以 $b \equiv a \pmod n$。
   • 传递性 (Transitivity)：如果 $a$ 与 $b$ 有关系，且 $b$ 与 $c$ 有关系，那么 $a$ 与 $c$ 也有关系。即如果 $a \equiv b \pmod n$ 且 $b \equiv c \pmod n$，那么 $a \equiv c \pmod n$。这也是成立的。因为 $a \equiv b \pmod n$ 意味着 $b-a=nk_1$，$b \equiv c \pmod n$ 意味着 $c-b=nk_2$。将两式相加，得到 $(c-b)+(b-a) = nk_1 + nk_2$，即 $c-a = n(k_1+k_2)$。由于 $k_1+k_2$ 是一个整数，这表明 $n$ 整除 $c-a$，所以 $a \equiv c \pmod n$。
   • 既然同余关系满足这三个性质，它就是一个等价关系。
2. 等价类的引入：
   • 任何等价关系都会将一个集合划分为若干个互不相交的子集，每个子集被称为一个等价类（equivalence class）。在同一个等价类中的所有元素彼此都是等价的。
   • 在这里，整数同余关系将所有整数的集合 $\mathbb{Z}$ 划分开。这些划分出的子集，就叫做同余类。
3. 同余类的记法和定义：
   • 一个同余类由它的一个代表元素来命名。整数 $a$ 所在的那个同余类，被记作 $\bar{a}$。这个横线符号表示我们关注的不再是单个数字 $a$，而是 $a$ 所属的整个“家族”。
   • 这个集合 $\bar{a}$ 包含哪些元素呢？它包含所有与 $a$ 模 $n$ 同余的整数。根据定义，这就是所有形如 $a+nk$（其中 $k$ 是任意整数）的数的集合。
   • 公式 (2.9.2) 明确地写出了这个集合的样貌：它是一个无限延伸的集合，以 $a$为中心，向两边以 $n$ 为步长无限扩展。

这一段使用群论（group theory）的语言来重新诠释同余类，将其与子群（subgroup）和陪集（coset）的概念联系起来。

1. 同余类相等的意义：
   • 首先重申了上文的一个要点：$\bar{a} = \bar{b}$ 这个关于集合的等式，其内在含义就是 $a$ 和 $b$ 这两个代表元素之间满足同余关系 $a \equiv b \pmod n$。这是连接集合（类）和数字（元素）的桥梁。
2. 特殊的同余类 $\overline{0}$：
   • 我们来考察同余类 $\overline{0}$。根据定义，$\overline{0} = \{0 + nk \mid k \in \mathbb{Z}\} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}$。
   • 这个集合恰好是所有 $n$ 的倍数的集合。这个集合在群论中有个特殊的名字，记为 $\mathbb{Z}n$ 或 $n\mathbb{Z}$。
   • 作者指出，这个集合 $\overline{0}$ 不仅仅是一个集合，它还是一个子群。要成为群，需要满足一些条件。这里的运算是加法。
   • 封闭性：任取 $\overline{0}$ 中两个元素，比如 $nk_1$ 和 $nk_2$。它们的和是 $n(k_1+k_2)$，仍然是 $n$ 的倍数，所以和依然在 $\overline{0}$ 中。
   • 单位元：加法的单位元是 $0$。$0$ 显然是 $n$ 的倍数（$0=n \times 0$），所以 $0 \in \overline{0}$。
   • 逆元：对于 $\overline{0}$ 中任意元素 $nk$，它的加法逆元是 $-nk = n(-k)$。由于 $-k$ 也是整数，所以 $-nk$ 也在 $\overline{0}$ 中。
   • 因为 $\overline{0}$ 本身在加法下构成一个群，并且它是更大的群 $\mathbb{Z}^{+}$（所有整数构成的加法群）的一个子集，所以 $\overline{0}$ 是 $\mathbb{Z}^{+}$ 的一个子群。
3. 其他同余类作为陪集：
   • 陪集是群论中的概念。对于一个群 $G$ 和它的一个子群 $H$，一个元素 $a \in G$ 的（左）陪集 $aH$ 定义为 $\{ah \mid h \in H\}$（如果运算是乘法）或 $a+H$ 定义为 $\{a+h \mid h \in H\}$（如果运算是加法）。
   • 本文的场景是加法群 $\mathbb{Z}^{+}$ 和它的子群 $H = \overline{0} = \mathbb{Z}n$。
   • 那么，一个陪集 $a+H$ 就是集合 $\{a+h \mid h \in H\}$。将 $H=\mathbb{Z}n$ 代入，就是 $\{a+kn \mid k \in \mathbb{Z}\}$。
   • 我们惊奇地发现，这个陪集的定义和我们之前定义的同余类 $\bar{a} = \{a+nk \mid k \in \mathbb{Z}\}$ 完全一样！
   • 因此，结论是：模 $n$ 的同余类 正是 子群 $\mathbb{Z}n$ 在 加法群 $\mathbb{Z}^{+}$ 中的陪集。同余类 $\bar{a}$ 就是陪集 $a+\mathbb{Z}n$。
4. 记号说明：
   • 作者进行了一些细致的记号辨析。在用乘法作为运算的群中，陪集写成 $aH$。但在我们这里，群的运算是加法，所以记号要相应地写成 $a+H$。
   • 作者还澄清了一个潜在的误解：“$\mathbb{Z}n$ 不是右陪集——它是 $\mathbb{Z}^{+}$的一个子群”。这句话可能有点绕。它的意思是，$\mathbb{Z}n$ 本身就是那个特殊的、包含单位元0的陪集（$0+H$），而这个特殊的陪集恰好满足子群的全部性质。其他的陪集（如 $1+H, 2+H$ 等）通常不是子群（因为它们不包含单位元0）。

本段明确了模 $n$ 的世界里到底有多少个不同的同余类，并引入了群论中的“指数”概念。

1. 代表元素的选择：
   • 我们已经知道，一个同余类可以用它里面的任何一个元素来命名。例如，当 $n=5$ 时，$\bar{2}, \bar{7}, \overline{-3}$ 都是同一个集合。
   • 为了方便和统一，我们需要为每个同余类挑选一个“标准”的代表。最自然、最常用的选择是使用整数除以 $n$ 可能得到的余数。
   • 根据带余除法（Division Algorithm），任何一个整数 $a$ 都可以唯一地写成 $a = qn + r$ 的形式，其中 $q$ 是商， $r$ 是余数，并且 $0 \le r < n$。
   • 这个式子 $a-r=qn$ 恰好说明了 $a \equiv r \pmod n$。这意味着任何整数 $a$ 都与一个在 $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ 集合中的数 $r$ 同余。
   • 因此，任何同余类 $\bar{a}$ 都等于某个 $\bar{r}$，其中 $r \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$。
   • 这说明 $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ 这 $n$ 个数足以作为所有同余类的代表。
2. 命题 2.9.4 的内容：
   • 第一部分：“模 $n$ 有 $n$ 个同余类，即 $\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}$”。
   • 这正式确认了同余类的数量。不仅 $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ 是一个完备的代表元素集，而且由它们代表的这 $n$ 个同余类是互不相同的。
   • 为什么它们互不相同？假设 $\bar{r_1} = \bar{r_2}$，其中 $0 \le r_1, r_2 < n$。这意味着 $r_1 \equiv r_2 \pmod n$，所以 $n$ 整除 $r_2-r_1$。但由于 $0 \le r_1, r_2 < n$，它们的差 $r_2-r_1$ 满足 $-n < r_2-r_1 < n$。在这个范围内唯一能被 $n$ 整除的数就是 $0$。所以 $r_2-r_1=0$，即 $r_1=r_2$。这证明了只要代表元素 $r$ 不同，它们所代表的同余类就一定不同。
   • 因此，恰好有 $n$ 个不同的同余类。
   • 第二部分：“子群 $\mathbb{Z} n$ 在 $\mathbb{Z}$ 中的指数 $[\mathbb{Z}: \mathbb{Z} n]$ 是 $n$”。
   • 这是用群论的术语重述了同一个事实。
   • 在群论中，一个子群 $H$ 在一个群 $G$ 中的指数（index），记作 $[G:H]$，定义为 $H$ 在 $G$ 中不同陪集的数目。
   • 我们已经知道，同余类就是子群 $\mathbb{Z}n$ 在 $\mathbb{Z}$ 中的陪集。
   • 既然有 $n$ 个不同的同余类，那就意味着有 $n$ 个不同的陪集。
   • 所以，根据定义，子群 $\mathbb{Z}n$ 在 $\mathbb{Z}$ 中的指数就是 $n$。
3. 证明结束符号：
   • 符号 $\square$ 是一个数学惯例，表示一个命题或定理的证明已经结束。这里虽然没有给出详细的证明过程（因为作者认为它比较直接），但这个符号标志着这个命题的陈述完毕。

本段定义了如何在同余类这个新建立的集合上进行加法和乘法运算。

1. 运算的对象：我们的运算不再是针对单个数字，而是针对同余类（即那些无限的整数集合）。我们要定义 $\bar{a}$ 这个集合和 $\bar{b}$ 这个集合相加或相乘的结果是什么。
2. 定义的策略：定义非常巧妙，它借助了同余类的代表元素。
   • 加法定义：要计算 $\bar{a} + \bar{b}$，我们不直接操作这两个无限集合。而是：
3. 从 $\bar{a}$ 中取出代表元素 $a$。
4. 从 $\bar{b}$ 中取出代表元素 $b$。
5. 在普通的整数世界里计算它们的和 $a+b$。
6. 然后找到 $a+b$ 这个新整数所属的同余类 $\overline{a+b}$。
7. 我们就把这个 $\overline{a+b}$ 定义为 $\bar{a} + \bar{b}$ 的结果。
   • 乘法定义：同样地，要计算 $\bar{a} \bar{b}$：
8. 取出代表元素 $a$ 和 $b$。
9. 计算它们的乘积 $ab$。
10. 找到 $ab$ 所属的同余类 $\overline{ab}$。
11. 将 $\overline{ab}$ 定义为 $\bar{a} \bar{b}$ 的结果。
12. 公式化表达：公式(2.9.5)就是上述定义的数学语言表达。它精确地告诉我们，对同余类的运算，可以“降维”到对它们的代表元素进行普通整数运算，然后再将结果“升维”回同余类。

本部分是整个模算术大厦的逻辑基石。它证明了上一节定义的同余类运算是合理的（well-defined）。

1. 问题的提出（合理性证明）：
   • 作者明确指出了上一节定义的潜在问题：定义依赖于代表元素的选取。
   • $\bar{a}$ 和 $\overline{a'}$ 是同一个集合（如果 $a \equiv a' \pmod n$）。
   • $\bar{b}$ 和 $\overline{b'}$ 是同一个集合（如果 $b \equiv b' \pmod n$）。
   • 我们定义 $\bar{a}+\bar{b} = \overline{a+b}$。但如果我用 $a'$ 和 $b'$ 来计算，得到的结果是 $\overline{a'+b'}$。
   • 为了使定义有意义，我们必须保证 $\overline{a+b}$ 和 $\overline{a'+b'}$ 是同一个集合。也就是说，我们必须证明 $a+b \equiv a'+b' \pmod n$。
   • 同理，对于乘法，我们必须证明 $ab \equiv a'b' \pmod n$。
   • 这个问题在数学上被称为验证定义是否与代表元的选择无关（checking if the definition is independent of the choice of representatives）。
2. 引理 2.9.6 的陈述：
   • 这个引理（Lemma）正是我们需要的结论。引理通常是用于证明更重要定理的辅助性命题。
   • 它说：如果两个数 $a'$ 和 $a$ 同余，另外两个数 $b'$ 和 $b$ 同余（在同一个模数 $n$ 下），那么它们的和 $a'+b'$ 与 $a+b$ 也同余，它们的积 $a'b'$ 与 $ab$ 也同余。
   • 这个引理从根本上保证了，无论你从两个同余类中挑选哪两个代表元素来进行加法或乘法，其结果的同余类总是一样的。
3. 证明过程的拆解：
   • 前提假设：证明始于引理的条件。
   • $a' \equiv a \pmod n$ 意味着 $a' - a$ 是 $n$ 的整数倍。用代数形式写就是 $a' = a + rn$，其中 $r$ 是某个整数。
   • $b' \equiv b \pmod n$ 意味着 $b' - b$ 是 $n$ 的整数倍。用代数形式写就是 $b' = b + sn$，其中 $s$ 是某个整数。
   • 证明加法部分：
   • 目标是证明 $a'+b' \equiv a+b \pmod n$，即证明 $(a'+b')-(a+b)$ 是 $n$ 的整数倍。
   • 将 $a'$ 和 $b'$ 的代数形式代入 $a'+b'$：
   • 重新组合各项：
   • 提出公因子 $n$：
   • 这个等式完全符合同余的代数定义 $B = A + nk$（这里 $B=a'+b'$, $A=a+b$, $k=r+s$）。由于 $r$ 和 $s$ 是整数，它们的和 $r+s$ 也必然是整数。
   • 因此，结论成立：$a'+b' \equiv a+b \pmod n$。
   • 证明乘法部分：
   • 目标是证明 $a'b' \equiv ab \pmod n$，即证明 $a'b' - ab$ 是 $n$ 的整数倍。
   • 将 $a'$ 和 $b'$ 的代数形式代入 $a'b'$：
   • 展开这个乘积（使用 FOIL 法则）：
   • 将后面三项的公因子 $n$ 提出：
   • 这个等式也完全符合同余的代数定义 $B=A+nk$。这里的 $B=a'b'$, $A=ab$, $k=as+rb+rsn$。由于 $a,b,r,s,n$ 都是整数，所以 $k$ 也必然是一个整数。
   • 因此，结论成立：$a'b' \equiv ab \pmod n$。
   • 证明结束：由于加法和乘法两个部分的结论都已得证，整个引理的证明完成，用 $\square$ 标记结束。

本段说明了我们熟悉的算术定律（结合律、交换律、分配律）在同余类的新运算中依然成立，并演示了如何证明这一点。

1. 定律的继承：
   • 核心思想是：同余类的运算性质，是由整数的运算性质“继承”而来的。
   • 我们定义的同余类运算 $\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}$ 本质上是把问题“外包”给了整数运算。因此，如果整数运算满足某个定律，同余类运算也很可能满足。
   • 这些定律包括：
   • 加法交换律: $\bar{a}+\bar{b} = \bar{b}+\bar{a}$
   • 加法结合律: $(\bar{a}+\bar{b})+\bar{c} = \bar{a}+(\bar{b}+\bar{c})$
   • 乘法交换律: $\bar{a}\bar{b} = \bar{b}\bar{a}$
   • 乘法结合律: $(\bar{a}\bar{b})\bar{c} = \bar{a}(\bar{b}\bar{c})$
   • 分配律: $\bar{a}(\bar{b}+\bar{c}) = \bar{a}\bar{b} + \bar{a}\bar{c}$
2. 分配律的证明演示：
   • 作者选择分配律作为例子来展示证明的思路。这个证明过程是一系列等式变换，每一步都有清晰的依据。
   • 第一步: $\bar{a}(\bar{b}+\bar{c}) = \bar{a}(\overline{b+c})$
   • 依据: 根据同余类加法的定义 ($\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y}$)。我们首先计算括号里的 $\bar{b}+\bar{c}$。
   • 第二步: $\bar{a}(\overline{b+c}) = \overline{a(b+c)}$
   • 依据: 根据同余类乘法的定义 ($\bar{x}\bar{y}=\overline{xy}$)。这里 $\bar{x}$ 是 $\bar{a}$，$\bar{y}$ 是 $\overline{b+c}$，其代表元素是 $b+c$。
   • 第三步: $\overline{a(b+c)} = \overline{ab+ac}$
   • 依据: 这是证明的核心。等号两边的横线表示“...所在的同余类”。由于 $a(b+c)$ 和 $ab+ac$ 这两个整数是完全相等的（这是整数的分配律），它们必然属于同一个同余类。所以 $\overline{a(b+c)}$ 和 $\overline{ab+ac}$ 是同一个集合。
   • 第四步: $\overline{ab+ac} = \overline{ab}+\overline{ac}$
   • 依据: 再次使用同余类加法的定义，但这次是反向使用 ($\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}$)。
   • 第五步: $\overline{ab}+\overline{ac} = \bar{a}\bar{b}+\bar{a}\bar{c}$
   • 依据: 两次使用同余类乘法的定义 ($\overline{xy}=\bar{x}\bar{y}$)。
   • 结论: 将这一系列等式串起来，我们就证明了 $\bar{a}(\bar{b}+\bar{c}) = \bar{a}\bar{b}+\bar{a}\bar{c}$。
3. 其他定律的省略：
   • 作者指出，其他定律（如交换律和结合律）的证明方法与此完全类似，都是通过“降维”到整数运算，利用整数的相应定律，再“升维”回同余类来完成。因此，为了简洁，不再赘述。

本段介绍了同余类集合的正式记号，并讨论了进行模算术计算的两种实用策略。

1. 集合的正式名称和记号：
   • 由所有模 $n$ 同余类组成的集合，是一个非常重要的数学对象，被称为模n整数环或商环。
   • 作者给出了三种常见的记号：
   • $\mathbb{Z} / \mathbb{Z} n$ 或 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$：这个记号来自群论，读作 "Z mod nZ"。它直观地表示用整数群 $\mathbb{Z}$“除以”它的子群 $\mathbb{Z}n$ 得到的商群（quotient group）。“除”的意义就是把子群 $\mathbb{Z}n$ 的所有元素“视作”0，从而形成了陪集（即同余类）。
   • $\mathbb{Z} / (n)$：这个记号来自环论。$(n)$ 表示由 $n$ 生成的理想（ideal），这在加法群中等同于子群 $\mathbb{Z}n$。$\mathbb{Z}/(n)$ 表示商环（quotient ring）。
   • 这些记号都指代同一个东西：集合 $\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\}$ 以及其上的加法和乘法结构。
2. 自然映射及其性质：
   • 考虑一个从整数 $\mathbb{Z}$ 到同余类 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n$ 的映射（函数），它把每个整数 $a$ 送到它自己所属的同余类 $\bar{a}$。这个映射被称为自然映射或典范投影。
   • 公式 (2.9.7) 就是在描述这个映射。
   • “与加法和乘法是兼容的”这句话非常重要，它的专业术语是说这个映射是一个同态（homomorphism）。具体来说：
   • 加法兼容：$a+b$ 映射到 $\overline{a+b}$。而 $\bar{a}+\bar{b}$ 也等于 $\overline{a+b}$。所以，先在 $\mathbb{Z}$ 中相加再映射，和先映射到 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n$ 再相加，结果相同。
   • 乘法兼容：$ab$ 映射到 $\overline{ab}$。而 $\bar{a}\bar{b}$ 也等于 $\overline{ab}$。同样，先乘后映与先映后乘结果相同。
3. 两种计算策略：
   • 策略一：最后取余。利用同态性质，我们可以在普通的整数世界里完成所有复杂的计算，直到得出最终的整数结果，然后只在最后一步求这个结果模 $n$ 的同余类。
   • 优点：思路直接，不用反复思考模运算。
   • 缺点：中间过程可能产生非常大的数字，计算起来很困难或容易出错。
   • 策略二：随时取余。由于引理 2.9.6 保证了运算与代表元素选择无关，我们可以在计算的任何一步，将一个数替换为与它同余的任何其他数（通常是更小的余数）。
   • 优点：始终让计算中涉及的数字保持在较小的范围内（通常是 $0$到 $n-1$之间），大大简化了心算或手算。这是实践中进行模算术的标准方法。
4. 计算示例演示：
   • 问题：在 $n=29$ 的情况下，计算 $(\overline{35})(\overline{17}+\overline{7})$。
   • 策略一（最后取余）：
5. 整数计算：$(35)(17+7) = 35 \times 24 = 840$。
6. 最后取余：$840 \div 29 = 28$ 余 $28$。所以 $840 \equiv 28 \pmod{29}$。因为 $28 \equiv -1 \pmod{29}$，所以结果是 $\overline{-1}$。
   • 策略二（随时取余，即作者的演示）：
7. $\overline{35}$: $35 \equiv 6 \pmod{29}$。所以 $\overline{35}$ 替换为 $\bar{6}$。
8. $\overline{17}+\overline{7}$: 计算和 $\overline{17+7}=\overline{24}$。
9. 问题变成计算 $\bar{6} \cdot \overline{24}$。
10. 这里作者用了一个技巧：$\overline{24}$ 可以看作 $\overline{24-29} = \overline{-5}$。这样数字更小。
11. 问题变成 $\bar{6} \cdot (\overline{-5}) = \overline{6 \times (-5)} = \overline{-30}$。
12. 最后对 $\overline{-30}$ 化简：$-30 \equiv -1 \pmod{29}$ (因为 $-30 = -1 \times 29 - 1$)。
13. 最终结果是 $\overline{-1}$。
    • 两种策略结果一致，但策略二的计算量明显更小（$6 \times (-5)$ vs $35 \times 24$）。

本段是本节的收尾，它引入了一种更简洁的记法，并预告了后续内容。

1. 记法的简化：
   • 在前面的讨论中，我们一直使用 $\bar{a}$ 来严格区分同余类（集合）和整数（数字）。
   • 然而，一直写这个横线是很繁琐的。在数学家们熟悉了上下文之后，他们倾向于使用更简洁的记法。
   • 这里的简化方法就是：直接省略横线，用整数 $a$ 来代表它所在的同余类 $\bar{a}$。
   • 例如，在 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 中，我们可能会写 $2+4=1$，而不是写 $\bar{2}+\bar{4}=\bar{1}$。
2. 新记法下的等号含义：
   • 省略横线带来了一个潜在的混淆：等号 = 的含义变了。
   • 在普通的整数世界里，$a=b$ 意味着 $a$ 和 $b$ 是同一个数。
   • 但在 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n$ 的上下文中，如果我们写 $a=b$，它的真实含义是 $\bar{a}=\bar{b}$，也就是说，$a \equiv b \pmod n$。
   • 公式 (2.9.8) 就是对这个新“游戏规则”的明确警告和定义。它强调，当我们声明在 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n$ 这个环境里两个数“相等”时，我们实际上是在说它们“模 $n$ 同余”。
3. 上下文的重要性：
   • 这种记法的简化，高度依赖于读者和作者之间对当前工作环境（即模数 $n$ 是多少）的共识。如果没有明确指出是在 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}n$ 中，那么 $a=b$ 仍然是其通常的含义。
4. 内容预告：
   • 最后一句“模素数的同余具有特殊性质”，为下一章的内容埋下伏笔。
   • 它暗示，当模数 $n$ 是一个素数（prime number，如 2, 3, 5, 7, 11, ...）时，同余类构成的系统 $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}p$（其中 $p$ 是素数）会拥有比普通合数模数下更强大、更优美的性质。
   • 一个最重要的特殊性质是：当 $n=p$ 是素数时，$\mathbb{Z}/\mathbb{Z}p$ 是一个域（field）。在域中，任何非零元素都有乘法逆元，这意味着“除法”总是可以干净地进行（除了不能除以0）。这在 $n$ 是合数时通常是不成立的。