1. 子集上的作用

这段话的核心思想是扩展群作用的范围。我们已经知道一个群 $G$ 可以作用于一个集合 $S$ 的单个元素。现在，我们要利用这个已有的作用，来定义一个新的作用，这个新作用的对象不再是 $S$ 中的单个元素，而是 $S$ 的子集。

1. 前提条件：我们首先需要一个已经存在的群作用。这个作用是群 $G$ 作用在集合 $S$ 上。这意味着对于 $G$ 中的任何一个元素 $g$ 和 $S$ 中的任何一个元素 $s$，我们都可以得到一个新的元素 $g \cdot s$（通常简写为 $gs$），这个新元素仍然在 $S$ 中。
2. 选择作用对象：我们不满足于只作用在单个元素上。我们把目光投向由 $S$ 的元素组成的“包裹”——也就是 $S$ 的子集。为了让讨论更具体，我们固定一个子集的大小，称之为 $r$。所以，我们关注的是 $S$ 中所有恰好包含 $r$ 个元素的子集。
3. 定义新的作用方式：如何让一个群元素 $g$ 去“作用”于一个子集 $U$ 呢？定义非常直观：$g$ 作用于子集 $U$ 的结果，就是把 $U$ 里面的每一个元素都用 $g$ 作用一遍，然后把得到的所有新元素收集起来，组成一个新的集合。这个新集合就被记为 $gU$。
4. 验证作用结果的性质：一个重要的问题是，$gU$ 是个什么样的集合？原文断言，$gU$ 仍然是一个阶为 $r$ 的子集。为什么呢？因为群作用于一个集合的元素，其效果是一个双射（置换）。也就是说，如果 $u_1$ 和 $u_2$ 是 $U$ 中两个不同的元素，那么 $gu_1$ 和 $gu_2$ 也必然是两个不同的元素。如果 $gu_1 = gu_2$，根据群作用的性质（具体说是左乘一个元素的逆），$g^{-1}(gu_1) = g^{-1}(gu_2)$，这就导出 $(g^{-1}g)u_1 = (g^{-1}g)u_2$，即 $eu_1=eu_2$，最终得到 $u_1=u_2$，这与我们假设 $u_1$ 和 $u_2$ 不同相矛盾。因此，$g$ 作用在 $U$ 的 $r$ 个不同元素上，必然会得到 $r$ 个不同的新元素。所以，$gU$ 的阶（元素个数）也必然是 $r$。
5. 构建新作用的舞台：既然 $g$ 作用于一个 $r$ 阶子集会得到另一个 $r$ 阶子集，这就意味着这个操作是“封闭”的。我们可以定义一个新的集合，我们称之为 $\mathcal{P}_r(S)$，它包含了 $S$ 中所有阶为 $r$ 的子集。那么，我们刚刚定义的规则（$g$ 作用于 $U$ 得到 $gU$）就构成了群 $G$ 在新集合 $\mathcal{P}_r(S)$ 上的一个作用。
6. 公理验证：一个合法的群作用必须满足两条公理：
   • 单位元公理：$eU = U$ 对所有 $U \in \mathcal{P}_r(S)$ 成立。其中 $e$ 是 $G$ 的单位元。根据定义，$eU = \{eu \mid u \in U\}$。因为 $e$ 是单位元，$eu=u$ 对所有 $u$ 成立，所以 $eU = \{u \mid u \in U\} = U$。公理成立。
   • 结合律公理：$(gh)U = g(hU)$ 对所有 $g, h \in G$ 和 $U \in \mathcal{P}_r(S)$ 成立。我们来推导一下：
   • 左边：$(gh)U = \{(gh)u \mid u \in U\}$。
   • 右边：首先，$hU = \{hu \mid u \in U\}$。然后，$g(hU) = \{g(v) \mid v \in hU\} = \{g(hu) \mid u \in U\}$。
   • 因为群 $G$ 作用于 $S$ 满足结合律，即 $(gh)u = g(hu)$，所以左右两边最终得到的集合是完全相同的。公理成立。

这段话提供了一个具体的、非平凡的例子来展示子集上的作用是如何运作的。

1. 设定场景：
   • 群 $G$：这里的群是八面体群 $O$。它指的是一个标准立方体的所有旋转对称操作构成的群。一个立方体有24个这样的旋转操作，所以群 $O$ 的阶是24。
   • 集合 $S$：这里的集合是立方体的六个面，记为 $F$。我们可以想象将这六个面标记为 {上, 下, 前, 后, 左, 右}。所以 $|F|=6$。
   • 已知作用：群 $O$（旋转操作）自然地作用于集合 $F$（六个面）。例如，绕着穿过上下两面中心的轴旋转90度，会使“前面”变为“左面”，“左面”变为“后面”，以此类推，而“上面”和“下面”保持不变。
2. 定义新作用：根据上一节的理论，我们可以让群 $O$ 作用于 $F$ 的子集。这里选择的子集大小 $r=2$。
   • 新作用对象：$F$ 的所有阶为2的子集。这在几何上意味着什么？一个包含两个面的子集，就是一个面偶对。因为集合是无序的，所以“{上面, 前面}”和“{前面, 上面}”是同一个面偶对。
   • 新集合的大小：从6个面中选取2个面组成一对，总共有 $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 种不同的面偶对。我们的新作用就是群 $O$ 作用在这15个面偶对构成的集合上。
3. 分析轨道：当一个群作用于一个集合时，这个集合会被分解成若干个不相交的轨道。轨道是指从集合中任选一个元素（这里是一个面偶对），然后用群里的所有元素去作用于它，得到的所有结果的集合。
   • 从几何上分类面偶对：我们可以凭直觉将这15个面偶对分成两种类型：
   • 相对面偶对：两个面平行但不接触。例如 {上, 下}，{前, 后}，{左, 右}。这种类型的偶对总共有 3 对。
   • 相邻面偶对：两个面共享一条棱。例如 {上, 前}，{上, 后}，{上, 左}，{上, 右}。每个面都与4个面相邻，总共有 $(6 \times 4) / 2 = 12$ 对（除以2是因为{上, 前}和{前, 上}被重复计算了）。
   • 验证轨道：原文断言，这两种类型的面偶对恰好构成了两个轨道。这意味着：
   • 轨道1（相对面偶对）：你可以通过某个旋转，把任何一对相对面变成任何另一对相对面。例如，一个绕着穿过前后两面中心的轴旋转90度的操作，可以将 {上, 下} 这对相对面，旋转成 {左, 右} 这对相对面。因此，所有3对相对面都在同一个轨道里。这个轨道的阶（大小）是3。
   • 轨道2（相邻面偶对）：类似地，你可以通过某个旋转，把任何一对相邻面变成任何另一对相邻面。例如，你可以轻易地通过旋转，将 {上, 前} 这对相邻面变成 {上, 左}，或者变成 {右, 下}。因此，所有12对相邻面都在同一个轨道里。这个轨道的阶是12。
   • 轨道分解：我们作用的集合（15个面偶对）被分成了两个不相交的子集（轨道），它们的元素个数分别是3和12。$3 + 12 = 15$，这与总数相符。

这段话定义了在子集作用下的一个核心概念：稳定化子。

1. 回顾稳定化子：在原始的群作用（$G$ 作用于 $S$）中，一个元素 $s \in S$ 的稳定化子 $G_s$ 是指群 $G$ 中所有能使 $s$ “保持不动”的元素 $g$ 的集合。即 $G_s = \{g \in G \mid gs=s\}$。
2. 推广到子集：现在，我们的作用对象不再是单个元素 $s$，而是一个子集 $U$。稳定化子的概念也相应地被推广。子集 $U$ 的稳定化子，我们记为 $G_U$，就是群 $G$ 中所有能使子集 $U$ “整体保持不变”的元素 $g$ 的集合。
3. “整体保持不变”的含义：$gU = U$ 是什么意思？
   • 根据定义，$gU = \{gu \mid u \in U\}$。
   • 所以 $gU=U$ 意味着集合 $\{gu \mid u \in U\}$ 和集合 $U$ 是完全相同的。
   • 这不要求 $g$ 必须让 $U$ 中的每个元素都保持不动。也就是说，不要求对所有 $u \in U$ 都有 $gu=u$。
   • 它只要求，$g$ 对 $U$ 中任意一个元素 $u$ 作用后得到的新元素 $gu$，必须仍然是 $U$ 中的某个元素。换句话说，$g$ 的作用只是在子集 $U$ 内部对元素进行了重新排列（置换），但没有把任何一个 $U$ 中的元素“踢出”到 $U$ 的外面，也没有从 $U$ 的外面“拉进来”任何一个新元素。
4. 符号说明：原文中的 $[g U]=[U]$ 是一种稍微有些模糊的记法，在很多现代代数书中，对于子集上的作用，会直接写成 $gU=U$。这里的方括号可能意在强调这是作用在轨道上的等价类，但直接理解为集合相等 $gU=U$ 在这个语境下是完全正确的，并且更清晰。

这部分首先给出了一个之前例子中稳定化子的具体阶数，然后再次强调了稳定化子的核心定义，以防读者误解。

1. 计算稳定化子的阶：
   • 对象：回到立方体的例子，我们选择一个相对面偶对，比如 $U = \{$上, 下$\}$。
   • 问题：在立方体的24个旋转操作中，有多少个操作能使得“{上, 下}”这一对作为一个整体保持不变？即，操作执行后，可能“上”还是“上”，“下”还是“下”；或者“上”变成了“下”，“下”变成了“上”，但这两种结果都意味着集合 $\{上, 下\}$ 被映射到了它自身。
   • 寻找操作：
   • 绕穿过上下两面中心的轴旋转：可以旋转0度, 90度, 180度, 270度。这4个旋转都保持了上面在上面，下面在下面。所以这4个操作都在稳定化子里。
   • 绕穿过前后/左右两面中心的轴旋转180度：以穿过“前-后”面的轴为例，旋转180度。这个操作会让“上面”跑到“下面”的位置，“下面”跑到“上面”的位置。因此 $g\{上, 下\} = \{下, 上\} = \{上, 下\}$。所以这个操作也在稳定化子里。同理，绕“左-右”轴旋转180度也在稳定化子里。这里有2个操作。
   • 绕穿过对角顶点的轴旋转：这会使上下两面都移动到其它侧面，所以不在稳定化子里。
   • 绕穿过对角棱中点的轴旋转180度：想象连接“上前棱”中点和“后下棱”中点的轴。绕这个轴旋转180度，会使“上面”和“下面”交换位置。立方体有6对这样的对角棱，但对应的轴只有6个吗？实际上，这和之前的情况有重复。我们需要更系统的方法。
   • 更系统的方法：哪些旋转能稳定住 $\{上, 下\}$ 这对面？任何保持住穿过上下面中心的轴的旋转，或者把这个轴反向的旋转。
   • 保持轴方向不变的：绕此轴的4个旋转 ($R_0, R_{90}, R_{180}, R_{270}$)。
   • 将轴反向的（即上下颠倒）：绕任何一条与此轴垂直且穿过立方体中心的轴旋转180度。这样的轴有多少？有2条穿过对侧面中心（前-后，左-右），还有2条穿过对侧棱的中点。总共4条。这4个180度旋转操作，都能实现上下颠倒。
   • 总计：$4 + 4 = 8$。所以，稳定化子 $G_U$ 的阶是8。
2. 轨道-稳定化子定理验证：
   • 群的阶：$|O|=24$。
   • 我们研究的对象是相对面偶对 $U=\{$上, 下$\}$。
   • $U$ 所在轨道的大小是3 (因为有3对相对面)。$|\text{Orb}(U)|=3$。
   • $U$ 的稳定化子的大小是 $|G_U|=8$ (刚刚算出)。
   • 根据轨道-稳定化子定理：$|\text{Orb}(U)| \cdot |G_U| = 3 \times 8 = 24 = |O|$。定理成立，这反过来验证了我们计算的稳定化子阶数是正确的。
3. 再次强调定义：原文最后一句“$g$ 置换 $U$ 中的元素，即每当 $u$ 在 $U$ 中时，$g u$ 也在 $U$ 中”是对“$gU=U$”最清晰的文字转述。
   • $gU \subseteq U$: “每当 $u$ 在 $U$ 中时，$gu$ 也在 $U$ 中”。这保证了 $g$ 不会把 $U$ 的元素扔出去。
   • $U \subseteq gU$: 因为 $g$ 是群元素，有逆元 $g^{-1}$。我们可以用 $g^{-1}$ 作用于 $gU=U$，得到 $g^{-1}(gU) = g^{-1}U$，即 $U = g^{-1}U$。这意味着 $g^{-1}$ 也稳定 $U$。把 $g$ 换成 $g^{-1}$，根据上一条，我们有“每当 $v$ 在 $U$ 中时，$g^{-1}v$ 也在 $U$ 中”。令 $v=gu$，那么 $g^{-1}(gu)=u$ 也在 $U$ 中。这说明 $g$ 的作用是满射到 $U$ 上的。
   • 结合起来，$g$ 在 $U$ 上的作用是一个从 $U$ 到 $U$ 的双射，即一个置换。