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本节的标题是 置换表示 (Permutation Representation)。在进入具体定义之前，作者首先点明了本节的核心主题：研究一个 群 $G$ 如何作用在一个 集合 $S$ 上。在之前的章节中，我们已经学习了 群作用 (Group Action) 的概念，即一个 群 中的元素可以像 “动作” 一样施加于一个 集合 中的元素，并得到该 集合 中的另一个元素。本节的目标是为这种 “作用方式” 提供一种新的视角和分析工具，也就是 置换表示。简单来说，我们要把抽象的 群作用 “翻译” 成一种更具体、更便于计算和理解的形式—— 置换。

这句话给出了 置换表示 的核心定义。让我们把它拆解开来，从头理解：

1. 群 (Group) $G$：这是一个我们熟悉的代数结构，包含一个 集合 和一个满足封闭性、结合律、有单位元和逆元的二元运算。你可以把它看作一组“对称操作”的集合。
2. 对称群 (Symmetric Group) $S_n$：这是另一个非常重要的 群。它的元素是作用于一个包含 $n$ 个元素的 集合（通常是 $\{1, 2, \dots, n\}$）上的所有 置换 (Permutations)。一个 置换 就是一个从该 集合 到自身的 双射（既是单射又是满射的函数），通俗地说，就是对这 $n$ 个元素的一次“重新排列”或“洗牌”。$S_n$ 的运算是 函数复合。例如，$S_3$ 包含了对三个元素的所有6种排列方式。
3. 同态 (Homomorphism)：这是一个保持结构不变的映射。对于一个从 群 $G$ (运算为 $*$) 到 群 $H$ (运算为 $\circ$) 的 同态 $\varphi$，它必须满足性质：对于 $G$ 中任意两个元素 $g_1, g_2$，都有 $\varphi(g_1 * g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$。这意味着，在 $G$ 中先进行运算再通过 $\varphi$ 映射过去，得到的结果与先分别映射到 $H$ 中再进行运算的结果是相同的。它在 群 之间架起了一座“结构的桥梁”。

现在，把这三点结合起来：群 $G$ 的置换表示 就是一个 同态 $\varphi$，这个 同态 将 群 $G$ 中的每一个元素 $g$ 都映射到 对称群 $S_n$ 中的一个 置换 $\varphi(g)$。并且，这个映射过程保留了 群 的运算结构。也就是说，群 $G$ 中两个元素的乘积 $g_1 g_2$ 所对应的 置换，正好是 $g_1$ 对应的 置换 和 $g_2$ 对应的 置换 的复合。

这个定义的美妙之处在于，它将一个抽象的 群 $G$ “表示” 成了一个具体的、由 置换 组成的 群（$S_n$ 的一个 子群）。我们对 置换 非常熟悉，因为它们就是对物体的排列，所以这种表示方法让抽象的 群 变得直观可见。

这个命题建立了一个至关重要的联系：群作用 (Group Action) 和 置换表示 (Permutation Representation) 这两个概念本质上是同一枚硬币的两面。

• 群 $G$ 在集合 $S$ 上的运算（即 群作用）：回忆一下定义，这是一个映射 $G \times S \rightarrow S$，记作 $(g, s) \mapsto g \cdot s$，满足两个条件：

1. 单位元律：$1_G \cdot s = s$ (单位元作用于任何元素，元素不变)。
2. 兼容性/结合律：$(g_1 g_2) \cdot s = g_1 \cdot (g_2 \cdot s)$ (先组合动作再作用，等于依次作用)。
   • 置换表示：正如我们刚刚定义的，是一个 同态 $\varphi: G \rightarrow S_n$。

命题所说的 双射对应关系 (bijective correspondence) 意味着：

1. 每一种 群作用 的方式，都唯一地对应着一种 置换表示。
2. 反过来，每一种 置换表示，也唯一地对应着一种 群作用 的方式。

这意味着，如果你给我一个 群作用，我能把它“翻译”成一个 置换表示；如果你给我一个 置换表示，我也能把它“翻译”回一个 群作用。这两个概念是可以相互转换的，它们提供了描述同一现象的两种不同语言。

这个证明过程非常简洁，它清晰地构造了两个概念之间的双向映射。

第一部分：从“群作用”到“置换表示”

1. 出发点：我们手头有一个 群 $G$ 在 集合 $S = \{1, 2, ..., n\}$ 上的 作用（文中称为运算）。这意味着对于任意的 $g \in G$ 和 $i \in S$，我们都知道 $g \cdot i$ 的结果是什么。
2. 定义映射：对于 群 $G$ 中的每一个元素 $g$，我们可以定义一个函数 $m_g: S \rightarrow S$，它的功能就是让 $g$ 作用于 $S$ 中的元素。即，对于任意 $i \in S$，$m_g(i) = g \cdot i$。
3. $m_g$ 是一个置换：为什么 $m_g$ 是 $S_n$ 中的一个元素呢？因为 群作用 的定义保证了这一点。对于一个 $g$，它的 逆元 $g^{-1}$ 也在 $G$ 中。我们可以定义一个映射 $m_{g^{-1}}$。对于任意 $i \in S$，我们有 $m_g(m_{g^{-1}}(i)) = g \cdot (g^{-1} \cdot i) = (g g^{-1}) \cdot i = 1_G \cdot i = i$。同理 $m_{g^{-1}}(m_g(i)) = i$。这表明 $m_g$ 和 $m_{g^{-1}}$ 互为 逆函数。一个函数有 逆函数，当且仅当它是一个 双射。而 $S_n$ 正是由 $S$ 到 $S$ 的所有 双射 组成的 集合。所以，$m_g \in S_n$。
4. 定义置换表示 $\varphi$：我们现在可以定义一个从 $G$ 到 $S_n$ 的映射 $\varphi$，就是把每个 $g$ 映射到我们刚刚定义的那个 置换 $m_g$。即 $\varphi(g) = m_g$。
5. 验证 $\varphi$ 是同态：这是最关键的一步。我们需要证明 $\varphi(gh) = \varphi(g) \circ \varphi(h)$。
   • 等式左边：$\varphi(gh)$ 就是 $m_{gh}$。它作用于 $i$ 的结果是 $m_{gh}(i) = (gh) \cdot i$。
   • 等式右边：$\varphi(g) \circ \varphi(h)$ 就是 $m_g \circ m_h$。这是一个 函数复合，它作用于 $i$ 的结果是 $m_g(m_h(i))$。根据定义，这等于 $g \cdot (h \cdot i)$。
   • 群作用 的 结合律/兼容性 公理正好是 $(gh) \cdot i = g \cdot (h \cdot i)$。
   • 所以，$m_{gh}(i) = m_g(m_h(i))$ 对所有 $i$ 都成立。这意味着函数 $m_{gh}$ 和函数 $m_g \circ m_h$ 是同一个函数。
   • 因此，$\varphi(gh) = \varphi(g) \circ \varphi(h)$ 成立，$\varphi$ 是一个 同态，即一个 置换表示。

第二部分：从“置换表示”到“群作用”

1. 出发点：我们手头有一个 置换表示 $\varphi: G \rightarrow S_n$。这意味着对于每个 $g \in G$，$\varphi(g)$ 是 $S_n$ 中的一个 置换。
2. 定义群作用：我们来定义一个 运算 $G \times S \rightarrow S$。对于 $g \in G$ 和 $i \in S$，我们定义 $g \cdot i = (\varphi(g))(i)$。也就是说，“$g$ 作用于 $i$”被定义为“$g$ 对应的那个 置换 $\varphi(g)$ 作用于 $i$”。
3. 验证群作用公理：
   • 单位元律：$1_G \cdot i = (\varphi(1_G))(i)$。因为 $\varphi$ 是 同态，它必须把 $G$ 的 单位元 $1_G$ 映射到 $S_n$ 的 单位元（即 恒等置换 $e$）。所以 $(\varphi(1_G))(i) = e(i) = i$。单位元律 $1_G \cdot i = i$ 成立。
   • 兼容性/结合律：我们需要验证 $(gh) \cdot i = g \cdot (h \cdot i)$。
   • 左边：$(gh) \cdot i = (\varphi(gh))(i)$。
   • 右边：$g \cdot (h \cdot i) = g \cdot ((\varphi(h))(i))$。设 $j = (\varphi(h))(i)$，则右边等于 $(\varphi(g))(j) = (\varphi(g))((\varphi(h))(i))$。
   • 因为 $\varphi$ 是 同态，所以 $\varphi(gh) = \varphi(g) \circ \varphi(h)$。
   • 因此，$(\varphi(gh))(i) = (\varphi(g) \circ \varphi(h))(i) = (\varphi(g))((\varphi(h))(i))$。
   • 左右两边相等，兼容性成立。
   • 所以，这个定义确实构成了一个合法的 群作用。

结论：证明清晰地展示了如何从任一方构造出另一方，并且这个构造过程是唯一的。因此，两者之间存在 双射 关系。

这里给出了一个非常经典和直观的例子来阐述命题6.11.2。

• 二面体群 $D_n$：这是正 $n$ 边形的所有 对称（Symmetries）组成的 群。一个对称操作是指，对这个 $n$ 边形进行某种刚体运动（旋转或翻转），使得它运动后看起来和运动前一模一样，完全重合。$D_n$ 共有 $2n$ 个元素：$n$ 个旋转（包括旋转0度）和 $n$ 个翻转。
• 集合 $S$：这里的 集合 $S$ 就是正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点，记为 $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$。
• 群作用：$D_n$ 中的每个对称操作（群 元素）都会使顶点的位置发生改变。例如，将正方形 $v_1v_2v_3v_4$ 顺时针旋转90度，那么原来在 $v_1$ 位置的顶点会跑到 $v_2$ 的位置， $v_2$ 的跑到 $v_3$ 的位置，以此类推。这就是一个 群作用。
• 置换表示：根据命题6.11.2，这个 群作用 自然地就定义了一个 置换表示 $\varphi: D_n \rightarrow S_n$。具体来说，对于 $D_n$ 中的任意一个对称操作 $g$，它都会引起顶点们的一次重新排列。这个排列就是一个 置- 置换表示：根据命题6.11.2，这个 群作用 自然地就定义了一个 置换表示 $\varphi: D_n \rightarrow S_n$。具体来说，对于 $D_n$ 中的任意一个对称操作 $g$，它都会引起顶点们的一次重新排列。这个排列就是一个 置换，我们把它记作 $\varphi(g)$。例如，旋转90度的操作对应的 置换 就是 $(v_1 v_2 v_3 v_4)$，用数字表示就是 $(1234)$。这个映射 $\varphi$ 就是一个 置换表示**。

这部分内容是对前面概念的自然推广。

• 之前的讨论集中在 集合 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ 上，这使得我们可以方便地将目标 群 写成 $S_n$。
• 但是，群作用 的 集合 $S$ 可以是任何 集合，比如一个无限集合（如平面上的所有点），或者一个没有自然编号的有限集合（如一个分子的所有原子）。
• $\operatorname{Perm}(S)$ 的定义：对于任意一个 集合 $S$（无论有限还是无限），我们可以定义它的 置换群 $\operatorname{Perm}(S)$（有时也记作 $S_S$）。这个 群 的元素是所有从 $S$ 到 $S$ 的 双射 函数，运算是 函数复合。当 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ 时，$\operatorname{Perm}(S)$ 就是我们熟悉的 $S_n$。
• 推广置换表示：因此，置换表示 的定义可以更一般化，即一个从 群 $G$ 到 $\operatorname{Perm}(S)$ 的 同态。
• 推论 6.11.3：这个推论就是把命题 6.11.2 中的 $S_n$ 替换为更一般的 $\operatorname{Perm}(S)$。其内容和证明的逻辑与命题 6.11.2 完全一样，只是符号表达上更具普遍性。它说明了，对于任意 集合 $S$，群 $G$ 在 $S$ 上的 作用 和到 $\operatorname{Perm}(S)$ 的 置换表示 之间仍然存在着完美的 双射 关系。

这部分引入了一个非常重要的概念：忠实性 (Faithfulness)。

1. 置换表示不一定是内射的：
   • 内射 (Injective) 的含义是“一对一”。一个映射 $\varphi: G \rightarrow H$ 是 内射 的，如果不同的输入总是有不同的输出，即若 $g_1 \neq g_2$，则 $\varphi(g_1) \neq \varphi(g_2)$。
   • 对于一个 置换表示 $\varphi: G \rightarrow \operatorname{Perm}(S)$，它不一定是 内射 的。这意味着，可能存在两个不同的 群 元素 $g_1, g_2 \in G$ ($g_1 \neq g_2$)，它们在 $S$ 上的作用效果是完全一样的，即它们被映射到了同一个 置换 上：$\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$。
   • 同态的核 (Kernel)：对于任何 同态 $\varphi$，它的 核 $\operatorname{ker}(\varphi)$ 是 $G$ 中所有被映射到目标 群 单位元 的元素的 集合。即 $\operatorname{ker}(\varphi) = \{g \in G \mid \varphi(g) = \text{id}_S\}$，其中 $\text{id}_S$ 是 $S$ 上的 恒等置换。一个 同态 是 内射 的，当且仅当它的 核 只包含 单位元，即 $\operatorname{ker}(\varphi) = \{1_G\}$。
2. 忠实 (Faithful) 的定义：
   • 如果一个 置换表示 $\varphi$ 是 内射 的，我们就称这个 表示 是 忠实 的。
   • 由于 群作用 和 置换表示 是一一对应的，我们同样可以说这个 群作用 是 忠实 的。
   • “忠实” 这个词非常形象。它意味着这个 表示（或 作用）“忠实地”反映了原 群 $G$ 的所有细节。没有两个不同的 群 元素被混淆成同一个动作。如果你观察这个 群作用，你可以区分出 $G$ 中的每一个元素。
3. 忠实的等价条件：
   • 一个 置换表示 $\varphi$ 是 内射 的，等价于说它的 核 $\operatorname{ker}(\varphi)$ 是平凡的 $\{1_G\}$。
   • $\operatorname{ker}(\varphi)$ 的定义是 $\{g \in G \mid \varphi(g) = \text{id}_S\}$。
   • $\varphi(g) = m_g$，而 $m_g$ 是 恒等映射 $\text{id}_S$ 意味着，对于 $S$ 中的所有元素 $s$，都有 $m_g(s) = s$，也就是 $g \cdot s = s$。
   • 所以，忠实 就等价于：唯一能让 集合 $S$ 中 所有元素 都保持不变的 群 元素，只有 单位元 $1_G$。
   • 这就是原文中给出的判定条件：“对于 $S$ 中的每一个 $s$，使得 $g s=s$ 的唯一群 $G$ 的元素 $g$ 是单位元。”

这是一个关于 忠实性 的例子，涉及到一个作用于无限集合上的无限群。

• 群 $G$：这里的 群 是 等距群 $M$ (Isometry Group)。它是平面上所有保持距离不变的变换（等距变换）组成的 群。这些变换包括平移、旋转、反射。
• 集合 $S$：这里的 集合 不是点的集合，而是平面上所有 等边三角形 的 集合。这是一个无限集。
• 群作用：一个 等距变换 $g \in M$（比如平移或旋转）作用在一个 等边三角形 $T \in S$ 上，会得到一个新的 等边三角形 $g(T)$。例如，将一个三角形平移一段距离，会得到另一个全等的三角形。
• 判断忠实性：我们要判断这个 作用 是否是 忠实 的。根据定义，我们需要看，是哪个（或哪些） 等距变换 $g \in M$ 能够让 所有 的 等边三角形 都保持在原来的位置？即，对于 任意 等边三角形 $T \in S$，都有 $g(T)=T$。
• 论证：

1. 假设存在一个非恒等的 等距变换 $g$ 满足 $g(T)=T$ 对所有 $T$ 成立。
2. 考虑平面上任意一个点 $P$。我们总可以找到一个以 $P$ 为顶点的 等边三角形 $T_1$。根据假设，$g(T_1)=T_1$，这意味着 $g$ 把 $T_1$ 的三个顶点置换了，但点集没变。所以 $g(P)$ 必须是 $T_1$ 的三个顶点之一。
3. 我们还可以找到另一个以 $P$ 为顶点，但与 $T_1$ 不完全重合的 等边三角形 $T_2$。同样，$g(T_2)=T_2$，所以 $g(P)$ 也必须是 $T_2$ 的三个顶点之一。
4. $g(P)$ 必须同时在 $T_1$ 的顶点集和 $T_2$ 的顶点集中。如果 $T_1$ 和 $T_2$ 的顶点集只有 $P$ 这一个公共点，那么必然有 $g(P)=P$。
5. 由于 $P$ 是平面上任意一点，我们得出结论：这个变换 $g$ 必须固定平面上的每一点。
6. 唯一能固定平面上所有点的 等距变换 只有 恒等变换 (identity map)。
   • 结论：因此，唯一能让 所有 等边三角形 都回到原来位置的 等距变换 就是 恒等变换。根据 忠实性 的定义，这个 作用 是 忠实 的。

• 满射 (Surjective)：一个映射 $\varphi: G \rightarrow H$ 是 满射 的，如果 $H$ 中的每一个元素都至少是 $G$ 中一个元素的像。换句话说，像集 $\operatorname{Im}(\varphi)$ 等于整个到达域 $H$。
• 置换表示很少是满射：对于一个 置换表示 $\varphi: G \rightarrow S_n$，它很少是 满射 的。这意味着，通常情况下，$S_n$ 中存在一些 置换，它们不是 $G$ 中任何元素的“动作结果”。$\varphi(G)$（$G$ 的像）只是 $S_n$ 的一个 子群，并且通常是一个真子群。
• 原因：作者给出了直观的解释——阶数（群的元素个数）的差异。
• $|G|$ 是 群 $G$ 的阶。
• $|S_n|$ 是 对称群 $S_n$ 的阶，它等于 $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$。
• $n!$ 的增长速度非常快。例如，$|S_5| = 120$，$|S_6| = 720$。
• 一个 群 $G$ 的阶通常远远小于它所作用的 集合 对应的 对称群 的阶。
• 如果 $|G| < |S_n|$，那么根据简单的基数原理，从 $G$ 到 $S_n$ 的映射绝对不可能是 满射 的，因为 $G$ 中没有足够的元素来覆盖 $S_n$ 中的所有元素。
• 特例：虽然很少见，但确实存在 满射 的情况。这通常发生在 $|G| \ge |S_n|$ 的时候。如果一个 置换表示 $\varphi: G \rightarrow S_n$ 是 满射 的，这意味着这个抽象的 群 $G$ 的行为复杂到足以产生对 $n$ 个元素的所有可能的排列。下一个例子将展示一个 $|G|=|S_3|$ 且映射是 双射（既 内射 又 满射，即 同构）的罕见情况。

这是一个非常精彩的例子，它展示了来自完全不同领域的两个 群（一个是 矩阵群，一个是 置换群）可以是 同构 的。证明的核心就是利用 置换表示。

1. 定义群 $G$：
   • $G = GL_2(\mathbb{F}_2)$ 是 一般线性群 (General Linear Group)。
   • 域 $\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$，运算是模2加法和乘法。
   • $GL_2(\mathbb{F}_2)$ 的元素是所有系数来自 $\mathbb{F}_2$ 的 $2 \times 2$ 可逆矩阵。一个矩阵可逆，当且仅当它的行列式非零。在 $\mathbb{F}_2$ 中，非零的只有 $1$。
   • 所以 $G = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \{0,1\}, ad-bc=1 \pmod 2 \right\}$。
2. 定义集合 $S$：
   • $G$ 自然地通过 矩阵乘法 作用于 向量空间 $\mathbb{F}_2^2$。
   • $\mathbb{F}_2^2$ 中有 $2^2=4$ 个 向量，如原文所列。
   • 任何 可逆矩阵 都会把 非零向量 映射为 非零向量，并且把 零向量 映射为 零向量 ($A\mathbf{0}=\mathbf{0}$)。
   • 因此，群 $G$ 作用在由三个 非零向量 组成的 集合 $S=\{e_1, e_2, e_1+e_2\}$ 上。这是一个 群作用。
3. 建立置换表示：
   • 根据推论 6.11.3，这个 群作用 对应一个 置换表示 $\varphi: G \rightarrow \operatorname{Perm}(S)$。
   • 由于 集合 $S$ 有3个元素，$\operatorname{Perm}(S)$ 与 $S_3$ 同构。所以我们得到了一个 置换表示 $\varphi: G \rightarrow S_3$。
4. 证明 $\varphi$ 是内射 (忠实) 的：
   • 我们要证明 $\operatorname{ker}(\varphi) = \{I\}$，其中 $I$ 是 单位矩阵。
   • $\operatorname{ker}(\varphi)$ 中的矩阵 $A$ 必须固定 $S$ 中的所有元素，即 $Ae_1=e_1$, $Ae_2=e_2$, $A(e_1+e_2)=e_1+e_2$。
   • $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$。
   • $Ae_1 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$。$Ae_1=e_1$ 意味着 $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，所以 $a=1, c=0$。
   • $Ae_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$。$Ae_2=e_2$ 意味着 $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，所以 $b=0, d=1$。
   • 因此，唯一能同时固定 $e_1$ 和 $e_2$ 的矩阵是 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$。
   • 由于线性性，$A(e_1+e_2) = Ae_1+Ae_2 = e_1+e_2$ 自然成立。
   • 所以，核 中只有 单位矩阵，该 表示 是 内射 的（作用 是 忠实 的）。
5. 计算群的阶：
   • 方法一（原文）：一个 $2 \times 2$ 可逆矩阵 的两列必须是 线性无关 的 向量。在 $\mathbb{F}_2^2$ 中，这意味着两列必须是 $S$ 中两个不同的 向量。
   • 第一列有3种选择（$e_1, e_2, e_1+e_2$）。
   • 一旦选定第一列（例如 $e_1$），第二列就只有2种选择（$e_2, e_1+e_2$），因为它不能是 零向量 或与第一列相同。
   • 所以总共有 $3 \times 2 = 6$ 个这样的矩阵。$|G|=6$。
   • 方法二（直接列举）：
   • $|S_3| = 3! = 6$。
6. 得出结论：
   • 我们有一个 内射同态 $\varphi: G \rightarrow S_3$。
   • 两个 群 的阶都是6。
   • 一个从有限群到同阶有限群的 内射映射 必然是 满射 的，因此是 双射。
   • 一个 双射 的 同态 就是 同构 (Isomorphism)。
   • 结论：$GL_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3$。