6.2 等距变换

📜 原文

📖 逐步解释

∑ 公式拆解

💡 数值示例

⚠️ 易错点

📝 总结

🎯 存在目的

🧠 直觉心智模型

💭 直观想象

16.2 等距变换

6.2.1 等距变换的定义

📜 [原文1]

$\mathbb{R}^{n}$中点之间的距离是向量$\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$的长度$|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}|$。$n$维空间$\mathbb{R}^{n}$的一个等距变换是一个保持距离的从$\mathbb{R}^{n}$到自身的映射$f$，使得对于$\mathbb{R}^{n}$中的所有$u$和$v$，

\begin{equation*} |f(u)-f(v)|=|u-v| . \tag{6.2.1} \end{equation*}

等距变换会将一个图形映射到一个全等的图形。

📖 [逐步解释]

背景知识：什么是$\mathbb{R}^{n}$空间？
- $\mathbb{R}$代表所有实数的集合，就是我们平时用的数轴上的所有点，包括整数、小数、无理数（如$\pi$）等。
- 上标$n$表示维度。
- $\mathbb{R}^{1}$就是一维空间，即一条直线（数轴）。
- $\mathbb{R}^{2}$是二维空间，即一个平面，点用坐标$(x, y)$表示。
- $\mathbb{R}^{3}$是三维空间，我们生活的物理空间，点用坐标$(x, y, z)$表示。
- $\mathbb{R}^{n}$是$n$维欧几里得空间，是以上概念的推广。空间中的一个点由$n$个实数组成的有序元组$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$表示，这个元组也常被看作一个向量。
第一句解释：“$\mathbb{R}^{n}$中点之间的距离是向量$\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$的长度$|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}|$。”
- 点与向量：在$\mathbb{R}^{n}$中，一个点通常由其位置向量表示，即从原点$(0,0,\ldots,0)$指向该点的向量。所以，点$u$和向量$\boldsymbol{u}$在这里可以互换使用。
- 向量减法：假设点$u$的坐标是$(u_1, \ldots, u_n)$，点$v$的坐标是$(v_1, \ldots, v_n)$。那么向量$\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$就是一个新的向量，其坐标为$(u_1-v_1, \ldots, u_n-v_n)$。这个新向量在几何上表示从点$v$指向点$u$的有向线段。
- 向量的长度（或模）：向量$\boldsymbol{w} = (w_1, \ldots, w_n)$的长度，记作$|\boldsymbol{w}|$，是根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）在$n$维的推广计算的。其计算公式为：$|\boldsymbol{w}| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + \cdots + w_n^2}$。
- 距离公式：因此，点$u$和点$v$之间的距离就是向量$\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$的长度，即$|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}| = \sqrt{(u_1-v_1)^2 + \cdots + (u_n-v_n)^2}$。这正是我们熟悉的二维或三维空间中的距离公式。
第二句解释：“$n$维空间$\mathbb{R}^{n}$的一个等距变换是一个保持距离的从$\mathbb{R}^{n}$到自身的映射$f$，使得对于$\mathbb{R}^{n}$中的所有$u$和$v$，...[公式]...”
- 映射 $f$：映射（或函数）$f$是一个规则，它将$\mathbb{R}^{n}$中的每一个输入点$x$都对应到$\mathbb{R}^{n}$中的一个唯一的输出点$f(x)$。这里的“从$\mathbb{R}^{n}$到自身”意味着输入和输出都在同一个$n$维空间里。
- 保持距离 (distance-preserving)：这是等距变换的核心特性。“保持”意味着变换前和变换后，任意两点间的距离都不变。
- 公式的含义：公式$|f(u)-f(v)|=|u-v|$精确地表达了“保持距离”的含义。
- 左边$|f(u)-f(v)|$：先将点$u$和点$v$通过映射$f$变换到新的位置$f(u)$和$f(v)$，然后计算这两个新点之间的距离。
- 右边$|u-v|$：计算原始点$u$和$v$之间的距离。
- 等号意味着，对于空间中任意一对点，它们在变换后的距离和变换前的距离是完全相等的。
第三句解释：“等距变换会将一个图形映射到一个全等的图形。”
- 图形：可以看作是空间中点的集合。例如，一个三角形由三个顶点和连接它们的线段上的所有点组成。
- 全等 (congruent)：在几何学中，如果两个图形可以通过一系列的刚体运动（如平移、旋转、反射）相互重合，那么它们就是全等的。全等的图形具有相同的形状和大小，即对应的边长相等，对应的角度也相等。
- 联系：因为等距变换保持了任意两点间的距离，所以一个图形（比如一个三角形）经过等距变换后，其所有边的长度都保持不变。由于边长决定了图形的形状和大小，因此变换后的新图形必然与原图形全等。

∑ [公式拆解]

|f(u)-f(v)|=|u-v| . \tag{6.2.1}

$f$: 一个映射（函数），它将一个$n$维向量（或点）变换为另一个$n$维向量（或点）。$f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$。
$u, v$: $\mathbb{R}^{n}$空间中的两个任意的点（或向量）。
$f(u), f(v)$: 点$u$和$v$经过映射$f$变换后得到的新点。
$u-v$: 从点$v$指向点$u$的向量。
$f(u)-f(v)$: 从点$f(v)$指向点$f(u)$的向量。
$|\cdot|$: 范数符号，表示一个向量的长度（或模）。对于向量$\boldsymbol{x} = (x_1, \ldots, x_n)$，其长度为$|\boldsymbol{x}| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$。这个长度也等于向量与其自身的点积的平方根，即$|\boldsymbol{x}| = \sqrt{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x}}$。
推导/解释：
$|u-v|$ 是原始两点$u$和$v$之间的欧几里得距离。
$|f(u)-f(v)|$ 是变换后两点$f(u)$和$f(v)$之间的欧几里得距离。
该等式是等距变换的定义：它要求对于空间中所有可能的点对$(u, v)$，原始距离必须等于变换后的距离。

💡 [数值示例]

示例1：二维平面上的旋转变换（是等距变换）
考虑$\mathbb{R}^2$中的一个逆时针旋转90度的变换$f$。其矩阵表示为 $f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$。
取两个点 $u = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$。
计算原始距离:

$|u-v| = |\begin{pmatrix} 3-0 \\ 0-4 \end{pmatrix}| = |\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。

对点进行变换:

$f(u) = f(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$。

$f(v) = f(\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$。

计算变换后的距离:

$|f(u)-f(v)| = |\begin{pmatrix} 0 - (-4) \\ 3 - 0 \end{pmatrix}| = |\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$。

结论：$|f(u)-f(v)| = |u-v| = 5$。这个例子验证了旋转变换保持了这对点之间的距离。对于所有点对，这个性质都成立，因此旋转是等距变换。

示例2：一维直线上的平移变换（是等距变换）
考虑$\mathbb{R}^1$（数轴）上的一个向右平移3个单位的变换$f(x) = x+3$。
取两个点 $u = 5$ 和 $v = -1$。
计算原始距离: $|u-v| = |5 - (-1)| = |6| = 6$。
对点进行变换: $f(u) = 5+3=8$，$f(v) = -1+3=2$。
计算变换后的距离: $|f(u)-f(v)| = |8-2| = |6| = 6$。
结论：$|f(u)-f(v)| = |u-v| = 6$。平移是等距变换。

示例3：非等距变换
考虑$\mathbb{R}^2$中一个简单的拉伸变换 $g(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 2x \\ y \end{pmatrix}$。
同样使用点 $u = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$。原始距离是5。
对点进行变换:

$g(u) = g(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$。

$g(v) = g(\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$。

计算变换后的距离:

$|g(u)-g(v)| = |\begin{pmatrix} 6-0 \\ 0-4 \end{pmatrix}| = |\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$。

结论：$\sqrt{52} \neq 5$。距离被改变了，所以这个拉伸变换不是等距变换。

⚠️ [易错点]

易错点1：混淆等距变换与线性变换。
线性变换必须满足两个条件：$f(u+v)=f(u)+f(v)$ 和 $f(cu)=cf(u)$。一个直接的推论是线性变换必须把原点映射到原点（$f(0)=0$）。
等距变换不一定是线性变换。最典型的例子是平移（如示例2），它不满足$f(0)=0$（除非是平移0向量），因此不是线性的，但它确实是等距变换。
易错点2：只检验一个或几个点对。
定义要求对所有的$u,v \in \mathbb{R}^n$都成立。在示例中，我们只是为了验证，而不是证明。严格的证明需要使用代数方法，而不是依赖于具体的数值。
边界情况：
如果$u=v$，那么$|u-v|=0$。一个等距变换必须满足$|f(u)-f(u)|=0$，这是自然成立的，因为$f(u)-f(u)$是零向量，其长度为0。
恒等变换 $f(x)=x$ 是一个最简单的等距变换，因为它显然满足$|u-v|=|u-v|$。

📝 [总结]

本段定义了等距变换（isometry）的核心概念。它是一个作用于$n$维欧氏空间$\mathbb{R}^n$的函数，其本质特性是“保持距离不变”。这意味着空间中任意两点之间的距离，在经过这个变换后，依然保持原来的值。这个性质直接导致等距变换将任何几何图形变换为与之全等的新图形，即只改变位置和姿态，不改变形状和大小。

🎯 [存在目的]

引入等距变换的目的是为了在代数框架下精确地研究和分类几何中的“刚体运动”。在几何学中，我们关心图形的全等性质。等距变换正是全等这个几何概念的代数化身。通过研究等距变换的代数结构（例如，它们可以构成一个群），我们可以更深刻地理解对称性、坐标变换以及几何不变性等重要思想。这为后续将几何问题转化为代数问题铺平了道路。

🧠 [直觉心智模型]

将$\mathbb{R}^n$空间想象成一张无限大、透明且有弹性的薄膜。

一个任意的变换就像你可以随意地捏、拉伸、撕裂这张薄膜。点的位置会变，点之间的距离也会变。
一个等距变换则是一种非常特殊的移动：你只能像移动一块刚性透明板一样，整体地平移或旋转这张薄膜。你可以把它翻个面（反射），但你绝对不能拉伸或压缩它上面的任何部分。
变换前你在薄膜上画的任何图案（比如一个圆），变换后它的形状和尺寸都完好无损，只是换了个地方或换了个朝向。

💭 [直观想象]

想象一下你在一个房间里。

你自己：你是一个物体（图形）。
平移：你从房间的一头走到另一头。你身体各部分之间的距离没有变，你的身高、臂长都没变。这是一种等距变换。
旋转：你原地转个圈。你的身体各部分之间的距离还是没变。这也是一种等距变换。
组合运动：你一边走一边转身。这仍然是等距变换。
照镜子：镜子里的你和真实的你左右相反，但大小和形状是一样的。镜子里的像和真实的你构成反射变换，这也是一种等距变换。
哈哈镜：哈哈镜里的你被拉长或压扁了，身体各部分距离发生了改变。这不是等距变换。

6.2.2 等距变换的例子

📜 [原文2]

例子 6.2.2

(a) 正交线性算子是等距变换。

因为正交算子$\varphi$是线性的，所以$\varphi(u)-\varphi(v)=\varphi(u-v)$，因此$|\varphi(u)-\varphi(v)|= |\varphi(u-v)|$。又因为$\varphi$是正交的，它保持点积，从而也保持长度，所以$|\varphi(u-v)|=|u-v|$。

(b) 由向量$a$进行的平移$t_{a}$，其定义为$t_{a}(x)=x+a$，是等距变换。

平移不是线性算子，因为它们不将0映射到0，当然除了零向量的平移，它就是恒等映射。

📖 [逐步解释]

这部分给出了三种基本的等距变换来源。

(a) 正交线性算子

什么是正交线性算子？
- 算子（Operator）：在当前语境下，是线性变换的同义词。
- 线性算子 $\varphi$：满足 $\varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v)$ 和 $\varphi(cv) = c\varphi(v)$。
- 正交（Orthogonal）：一个线性算子$\varphi$被称为正交的，如果它保持点积（dot product），即对于任意向量$u,v$，都有 $(\varphi(u) \cdot \varphi(v)) = (u \cdot v)$。这里的 $(\cdot)$ 表示点积。
- 点积与长度的关系：一个向量$w$的长度的平方，等于它与自身的点积：$|w|^2 = (w \cdot w)$。
- 正交算子保持长度：因为正交算子保持点积，所以 $| \varphi(w) |^2 = (\varphi(w) \cdot \varphi(w)) = (w \cdot w) = |w|^2$。两边开方，得到 $|\varphi(w)| = |w|$。这意味着正交算子会保持任意单个向量的长度。
- 常见的正交算子包括旋转和反射。
证明正交算子是等距变换：
- 我们的目标是证明对于正交算子$\varphi$，满足等距变换的定义：$|\varphi(u)-\varphi(v)| = |u-v|$。
- 第一步：利用线性。因为$\varphi$是线性的，我们可以把两个变换后的向量的差，写成它们差的变换：$\varphi(u) - \varphi(v) = \varphi(u-v)$。
- 第二步：代入等距定义式左侧。将上一步的结果代入，我们想计算的距离变为 $|\varphi(u-v)|$。
- 第三步：利用正交性。我们已经知道，正交算子保持任何向量的长度。令 $w = u-v$，那么$|\varphi(w)| = |w|$。
- 第四步：得出结论。所以，$|\varphi(u-v)| = |u-v|$。这完全符合等距变换的定义。因此，任何正交线性算子都是一个等距变换。

(b) 平移

什么是平移？
- 平移（Translation） 是一个非常简单的变换，它把空间中的每一点都沿着同一个固定的方向移动相同的距离。
- 用代数形式表示，由向量$a$决定的平移$t_a$作用于任意点$x$的结果是 $t_a(x) = x+a$。这里$x$是点的位置向量，$a$是平移向量。
证明平移是等距变换：
- 目标是证明 $|\ t_a(u) - t_a(v)\ | = |u-v|$。
- 计算变换后的点：$t_a(u) = u+a$，$t_a(v) = v+a$。
- 计算变换后两点之差：$t_a(u) - t_a(v) = (u+a) - (v+a) = u+a-v-a = u-v$。
- 计算变换后距离：$|t_a(u) - t_a(v)| = |u-v|$。
- 结论：这直接满足了等距变换的定义。所以平移是等距变换。
平移不是线性的：
- 线性变换要求 $f(0)=0$。
- 对于平移 $t_a$，我们计算 $t_a(0) = 0+a = a$。
- 只有当平移向量 $a$ 是零向量时，$t_0(0)=0$。这种情况下，$t_0(x) = x+0 = x$，这就是恒等映射（identity map），它既是线性的也是等距的。
- 对于任何非零向量$a$，$t_a(0) = a \neq 0$，所以非零平移都不是线性变换。这正是上一节强调的易错点。

(c) 等距变换的复合

什么是复合？
- 函数复合（Composition）是指将一个函数（或变换）的结果作为另一个函数的输入。如果有两个变换$f$和$g$，它们的复合记作$f \circ g$ 或者直接写成 $fg$，其作用效果是 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$。即先对$x$做$g$变换，再对得到的结果做$f$变换。
证明等距变换的复合是等距变换：
- 假设$f$和$g$都是等距变换。我们要证明它们的复合$h = f \circ g$也是等距变换。
- 目标是证明 $|h(u) - h(v)| = |u-v|$。
- 展开复合变换：$|h(u) - h(v)| = |f(g(u)) - f(g(v))|$。
- 利用 $f$ 是等距变换：把 $g(u)$ 看作一个点，记作$u'$；把 $g(v)$ 看作另一个点，记作$v'$。因为$f$是等距变换，所以 $|f(u') - f(v')| = |u' - v'|$。代回去，我们得到：$|f(g(u)) - f(g(v))| = |g(u) - g(v)|$。
- 利用 $g$ 是等距变换：因为$g$也是等距变换，所以 $|g(u) - g(v)| = |u-v|$。
- 串联起来：我们得到 $|h(u) - h(v)| = |g(u) - g(v)| = |u-v|$。
- 结论：复合变换$h$满足等距变换的定义。

💡 [数值示例]

示例 (a)：正交算子
见上一节的旋转变换示例。旋转矩阵 $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 是一个正交矩阵（$R^T R = I$），它对应的线性算子就是正交算子。我们已经验证了它是等距变换。

示例 (b)：平移
在 $\mathbb{R}^2$ 中，设平移向量 $a = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$。变换为 $t_a(x) = x+a$。
取点 $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和 $v = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$。
原始距离：$|u-v| = |\begin{pmatrix} 1-4 \\ 1-5 \end{pmatrix}| = |\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$。
变换后的点：

$t_a(u) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix}$。

$t_a(v) = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}$。

变换后的距离：$|t_a(u) - t_a(v)| = |\begin{pmatrix} 6-9 \\ -1-3 \end{pmatrix}| = |\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$。
距离保持不变。

示例 (c)：复合
让我们复合上面两个变换：先旋转$g(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$，再平移$f(x) = x + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$。
复合变换 $h(x) = f(g(x))$。
取点 $u = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$。原始距离为5。
变换 u：

先旋转: $g(u) = g(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$。
再平移: $h(u) = f(g(u)) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$。
- 变换 v：
先旋转: $g(v) = g(\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$。
再平移: $h(v) = f(g(v)) = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$。
- 计算最终距离：
- 距离仍然保持不变。

⚠️ [易错点]

复合的顺序：函数（或变换）的复合一般是不可交换的，即 $f \circ g \neq g \circ f$。在上面的例子中，如果先平移再旋转，结果会不同：
$g(f(u)) = g(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}) = g(\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -(-2) \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix}$。
这与之前得到的 $h(u)=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ 完全不同。
虽然复合的顺序会影响变换的最终结果，但无论哪个顺序，复合后的变换仍然是等距变换。
边界情况：
(a) 恒等变换 $f(x)=x$ 对应的矩阵是单位矩阵 $I$，它是正交矩阵，所以恒等变换是正交线性算子。
(b) 零向量平移 $t_0(x) = x+0 = x$ 就是恒等变换。
(c) 任何等距变换与恒等变换复合，结果仍是其自身。$f \circ \text{id} = \text{id} \circ f = f$。

📝 [总结]

本段明确了三类重要的等距变换：

正交线性算子：这类变换保持原点不变，包括旋转和反射。它们是线性的。
平移：这类变换将所有点移动相同的向量，通常会移动原点。它们不是线性的（除非是零平移）。
复合：对等距变换进行连续施加，其总体效果依然是等距变换。

这三个例子是构建所有等距变换的基本模块。后面的定理将说明，任何等距变换都可以表示为一个正交算子和一个平移的复合。

🎯 [存在目的]

这部分的目的是分解和识别构成等距变换的基本元素。通过识别出正交算子（旋转、反射）和平移这两个核心构建块，以及确认复合操作的封闭性，为后续的等距变换分类和结构分析（即证明任何等距变换都是“旋转/反射”+“平移”）奠定了基础。这是一种从具体实例入手，逐步抽象出一般规律的数学方法。

🧠 [直觉心智模型]

想象你有一套乐高积木来“搭建”各种等距变换。

正交算子（旋转、反射）是一块“原地转动/翻转”的积木。它能改变物体的朝向，但不能改变它的位置。
平移是一块“滑动”的积木。它能改变物体的位置，但不能改变它的朝向。
复合就是把这些积木拼接起来。
这个例子告诉你，你的积木盒里主要就是这两种积木（转动块和滑动块）。后面会证明，用这两种积木的组合，你就可以实现任何你想要的刚体运动（等距变换）。

💭 [直观想象]

以地球的运动为例来想象这三种变换：

(a) 正交算子：地球的自转。地球围绕其地轴旋转，这是一个以地球球心（近似为原点）为不动点的旋转，是一种正交算子。
(b) 平移：在很短的时间尺度内，可以近似认为地球在宇宙空间中沿着其公转轨道做一小段直线运动。这个运动将太阳系中的所有物体（近似地）平移了一个向量。这是一种平移。
(c) 复合：地球的真实运动是自转（正交算子）和公转（可以看作一系列平移和旋转的复合）的复合。在任何一个瞬间，地球整体的运动状态，作为一个刚体，都是一种等距变换。它既在移动位置，又在改变朝向。

6.2.3 等距变换的结构定理

📜 [原文3]

定理 6.2.3 关于映射$\varphi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$的以下条件是等价的：

(a) $\varphi$是固定原点的等距变换：$\varphi(0)=0$，

(b) $\varphi$保持点积：对于所有$v$和$w$，$(\varphi(v) \cdot \varphi(w))=(v \cdot w)$，

我们已经看到(c)蕴含(a)。接下来我们给出的蕴含(b) ⇒ (c)的简洁证明是由Sharon Hollander几年前在麻省理工学院代数课程的学生时期发现的。

📖 [逐步解释]

定理 6.2.3 的核心思想

这个定理是本节的枢纽，它揭示了一类特殊等距变换——那些不移动原点的等距变换——的真实身份。它声明了三个看似不同的属性，实际上是描述同一个东西的三种不同方式。

“等价”的含义

“以下条件是等价的”意味着，如果一个映射$\varphi$满足其中任意一个条件，那么它必定同时满足另外两个条件。它们是“一荣俱荣，一损俱损”的关系。要证明A, B, C三个条件等价，标准的证明策略是形成一个循环论证，例如证明 (a) ⇒ (b)，(b) ⇒ (c)，以及 (c) ⇒ (a)。这样就说明从任何一个条件出发都可以推导出其他所有条件。

条件 (a) 的解释：$\varphi$是固定原点的等距变换：$\varphi(0)=0$
- 这是一个几何描述。
- 等距变换：$\varphi$保持任意两点间距离不变，即 $|\varphi(u)-\varphi(v)| = |u-v|$。
- 固定原点：$\varphi$这个变换不移动原点，即 $\varphi(0)=0$。
- 结合起来，它描述的是一种“原点不动的刚体运动”，比如绕原点的旋转或经过原点的平面的反射。它排除了平移（非零平移）。
条件 (b) 的解释：$\varphi$保持点积：对于所有$v$和$w$，$(\varphi(v) \cdot \varphi(w))=(v \cdot w)$
- 这是一个代数/几何的描述，涉及到点积（或称内积）。
- 点积 $(v \cdot w)$ 不仅与向量的长度有关，还与它们之间的夹角$\theta$有关：$(v \cdot w) = |v||w|\cos\theta$。
- “保持点积”意味着变换后的两个向量，它们的点积值与变换前两个向量的点积值完全一样。
- 由于长度和角度都可以由点积导出（$|v|^2 = (v \cdot v)$，$\cos\theta = \frac{(v \cdot w)}{|v||w|}$），所以“保持点积”是一个非常强的条件，它同时保证了长度和角度的不变性。
条件 (c) 的解释：$\varphi$是正交线性算子。
- 这是一个纯代数描述。
- 线性算子：$\varphi$满足可加性 $\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)$ 和齐次性 $\varphi(cu)=c\varphi(u)$。这意味着变换可以用矩阵来表示 $\varphi(x) = Ax$。
- 正交：根据定义，一个线性算子是正交的，当且仅当它保持点积（这和条件(b)的表述完全一样！）。所以正交线性算子的定义本身就是“线性的”+“保持点积的”。
- 因此，证明 (b) ⇔ (c) 的关键在于证明“保持点积”这个性质中已经隐含了“线性”。
证明思路的说明：“我们已经看到(c)蕴含(a)”
- 作者在这里提醒读者，在前面的“例子 6.2.2(a)”中，我们已经 фактически地证明了 (c) ⇒ (a)。
- 回顾证明：
- 若$\varphi$是正交线性算子 (c)，它首先是线性的，所以$\varphi(0)=0$（固定原点）。
- 其次，它是正交的，保持点积，因此也保持长度。
- 我们证明了它保持任意两点间距离：$|\varphi(u)-\varphi(v)| = |\varphi(u-v)| = |u-v|$。
- 所以，$\varphi$是一个固定原点的等距变换 (a)。
- 因此，证明循环 (a)⇒(b)⇒(c)⇒(a) 中的 (c)⇒(a) 环节已经完成。接下来需要证明 (a)⇒(b) 和 (b)⇒(c)。
历史注记：
- 提到 Sharon Hollander 的证明，是为了给出一个简洁而巧妙的证明方法的来源，这在教科书中是一种常见的、向贡献者致敬的方式，也增加了文本的人文色彩。

💡 [数值示例]

考虑二维旋转变换：$\varphi(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$。
(c) 它是正交线性算子吗？ 是的。任何矩阵乘法都是线性变换。它的矩阵是正交矩阵，所以是正交算子。
(a) 它是固定原点的等距变换吗？
$\varphi(0) = \varphi(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，原点固定。
在例子 6.2.2 的数值示例中，我们验证了90度旋转是等距变换。对于任意角度的旋转，这个结论都成立。所以它满足(a)。
(b) 它保持点积吗？
设 $v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}, w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}$。原始点积为 $(v \cdot w) = v_1 w_1 + v_2 w_2$。
变换后的向量为：

$\varphi(v) = \begin{pmatrix} v_1\cos\theta - v_2\sin\theta \\ v_1\sin\theta + v_2\cos\theta \end{pmatrix}$

$\varphi(w) = \begin{pmatrix} w_1\cos\theta - w_2\sin\theta \\ w_1\sin\theta + w_2\cos\theta \end{pmatrix}$

计算新点积 $(\varphi(v) \cdot \varphi(w))$:

$= (v_1c - v_2s)(w_1c - w_2s) + (v_1s + v_2c)(w_1s + w_2c)$ (其中 $c=\cos\theta, s=\sin\theta$)

$= (v_1w_1c^2 - v_1w_2cs - v_2w_1cs + v_2w_2s^2) + (v_1w_1s^2 + v_1w_2sc + v_2w_1sc + v_2w_2c^2)$

$= v_1w_1(c^2+s^2) + v_2w_2(s^2+c^2) + (-v_1w_2-v_2w_1+v_1w_2+v_2w_1)cs$

$= v_1w_1(1) + v_2w_2(1) + 0$

$= v_1w_1 + v_2w_2 = (v \cdot w)$。

点积确实保持不变。所以它满足(b)。
这个例子直观地展示了对于旋转变换，这三个条件是同时成立的。

⚠️ [易错点]

定理的适用范围：这个定理仅适用于固定原点的变换。对于像平移那样的等距变换，它不满足(a)，也就不满足(b)和(c)。例如，平移$t_a(x)=x+a$（$a \neq 0$）:
不满足(a): $t_a(0)=a \neq 0$。
不满足(b): 设 $v=a, w=a$。$(v \cdot w) = (a \cdot a) = |a|^2$。

$t_a(v)=2a, t_a(w)=2a$。$(t_a(v) \cdot t_a(w)) = (2a \cdot 2a) = 4|a|^2$。

当$a \neq 0$时，$4|a|^2 \neq |a|^2$，所以不保持点积。

不满足(c): 它不是线性的。
保持长度不等于保持点积：虽然“保持点积”能推导出“保持长度”，但反过来不行。一个变换可能保持每个向量的长度不变，但却改变了向量间的角度，从而改变了点积。然而，定理的证明将显示，对于等距变换（保持距离）这个更强的条件，它确实能推导出保持点积。

📝 [总结]

定理 6.2.3 是一个核心的分类定理。它指出，对于一个变换，"固定原点的刚体运动"（几何直觉）、"保持所有向量长度和角度"（点积性质）、和"由正交矩阵描述的线性变换"（代数结构）这三个概念是完全等价的。这建立了一个强大的桥梁，允许我们在几何图像、代数属性和矩阵运算之间自由切换。

🎯 [存在目的]

此定理的目的是将研究范围从宽泛的等距变换暂时缩小到更易于处理的子集——固定原点的等距变换。通过证明这个子集恰好就是我们已经熟悉的正交线性算子，我们可以利用线性代数的强大工具（如矩阵、行列式等）来分析它们。这是解决更一般性问题（任何等距变换）的关键一步，即“先解决特殊情况，再推广到一般情况”的策略。

🧠 [直觉心智模型]

想象一个安装在万向节上的陀螺仪，其中心固定在空中一点（原点）。

条件(a)：你可以让这个陀螺仪任意旋转，但不能移动它的中心点。这是一种固定原点的等距变换。
条件(b)：在陀螺仪上画两个箭头（向量）。无论你怎么转动它，这两个箭头的长度不会变，它们之间的夹角也不会变。这就是“保持点积”。
条件(c)：整个旋转运动可以用一个正交矩阵来精确描述。
定理说：这三种描述方式（不能平移的刚体运动、长度角度全不变、可用旋转/反射矩阵描述）其实说的是同一件事。

💭 [直观想象]

拿着一个水晶球。

(a) 固定原点的等距变换：你的手掌托住水晶球的中心，让它不能移动，但你可以在手心上随意滚动它，让它朝向任何方向。
(b) 保持点积：水晶球内部有两个镶嵌的箭头。当你滚动球时，这两个箭头的长度和它们之间的夹角永远不会改变。
(c) 正交线性算子：你每一次从一个姿态滚动到另一个姿态的操作，都对应着一个三维空间中的旋转矩阵（一种正交矩阵）。
这个定理告诉你，只要你保证球心不动且球体不形变（等距），那么球上任意两个箭头的相对关系（点积）就不会变，并且这个滚动操作一定能用一个旋转矩阵来描述。

6.2.4 辅助引理

📜 [原文4]

引理 6.2.4 设$x$和$y$是$\mathbb{R}^{n}$中的点。如果三个点积$(x \cdot x)$、$(x \cdot y)$和$(y \cdot y)$相等，则$x=y$。

证明。假设$(x \cdot x)=(x \cdot y)=(y \cdot y)$。那么

((x-y) \cdot(x-y))=(x \cdot x)-2(x \cdot y)+(y \cdot y)=0 .

$x-y$的长度为零，因此$x=y$。$\square$

📖 [逐步解释]

引理（Lemma）的作用
- 引理是一个“辅助性定理”，它本身可能不是最终目标，但它作为一个小工具或一个中间步骤，是为了让主要定理（这里是定理 6.2.3）的证明过程更清晰、更简洁。这个引理的目的就是为了简化 (b) ⇒ (c) 的证明。
引理的内容分析
- 前提条件：有两个点（或向量）$x$和$y$。并且已知三个点积的值是相等的：
$(x \cdot x)$: $x$与自身的点积。
$(x \cdot y)$: $x$与$y$的点积。
$(y \cdot y)$: $y$与自身的点积。
- 结论：如果这三个值都相等，那么这两个向量$x$和$y$必须是同一个向量。
直观理解这个条件
- $(x \cdot x) = |x|^2$，$y \cdot y = |y|^2$。所以条件 $(x \cdot x) = (y \cdot y)$ 意味着$|x|^2 = |y|^2$，即$x$和$y$的长度相等。
- 条件 $(x \cdot x) = (x \cdot y)$ 意味着 $|x|^2 = |x||y|\cos\theta$，其中$\theta$是$x$和$y$的夹角。因为$|x|=|y|$，所以这可以简化为 $|x|^2 = |x|^2\cos\theta$。
- 如果$x$不是零向量（$|x| \neq 0$），那么我们可以两边除以$|x|^2$，得到 $\cos\theta = 1$。这意味着夹角$\theta=0$。
- 两个向量长度相等，并且它们之间的夹角为0，这说明它们是完全相同的向量。
- 所以，这个引理的条件从几何上看，就是在说“两个向量长度相等，并且它们的夹角为0”，这自然导致它们就是同一个向量。证明过程则从纯代数的角度来展示这一点。
证明过程的逐步解释
- 目标：要证明 $x=y$，一个等价的目标是证明它们的差向量 $x-y$ 是零向量。
- 如何证明一个向量是零向量？ 只需证明它的长度为零。
- 如何计算向量的长度？ 计算其长度的平方，即该向量与自身的点积。我们来计算 $((x-y) \cdot (x-y))$。
- 第一步：展开点积。利用点积的分配律（就像多项式乘法一样）：
- 第二步：利用前提条件。引理的假设是 $(x \cdot x) = (x \cdot y) = (y \cdot y)$。我们用一个共同的符号，比如$K$，来表示这个相等的值。
- 第三步：得出结论。我们已经证明了 $((x-y) \cdot (x-y)) = 0$。
- $((x-y) \cdot (x-y))$ 正是向量 $x-y$ 长度的平方，即 $|x-y|^2$。
- 所以 $|x-y|^2 = 0$，这意味着 $|x-y|=0$。
- 一个向量的长度为零，当且仅当它就是零向量。
- 所以 $x-y=0$，即 $x=y$。
- 证明完毕 ($\square$)。

∑ [公式拆解]

((x-y) \cdot(x-y))=(x \cdot x)-2(x \cdot y)+(y \cdot y)=0 .

$(x-y) \cdot (x-y)$: 向量 $(x-y)$ 与自身的点积，定义为该向量长度的平方 $|x-y|^2$。
$(x \cdot x) - 2(x \cdot y) + (y \cdot y)$: 这是将左边的点积展开后的形式，利用了点积的双线性性质。
$=0$: 这一步是关键，它利用了引理的前提条件 $(x \cdot x) = (x \cdot y) = (y \cdot y)$。
推导：令 $A = (x \cdot x)$, $B = (x \cdot y)$, $C = (y \cdot y)$。展开式为 $A - 2B + C$。
根据假设，$A=B$ 且 $B=C$（因此$A=C$）。
将 $A$ 和 $C$ 都替换为 $B$：$B - 2B + B = 0$。
所以整个表达式等于0。

💡 [数值示例]

示例1：满足条件的例子
设 $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$。那么 $y$ 也必须是 $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 才能满足条件。
我们来计算三个点积：

$(x \cdot x) = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$。
$(x \cdot y) = (x \cdot x) = 25$。
$(y \cdot y) = (x \cdot x) = 25$。
- 三个点积都是25，相等。根据引理，结论是 $x=y$，这与我们的设定相符。

示例2：不满足条件的例子
设 $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 和 $y = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$。
计算三个点积：

$(x \cdot x) = 3^2 + 4^2 = 25$。
$(y \cdot y) = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$。
$(x \cdot y) = 3(-3) + 4(-4) = -9 - 16 = -25$。
- 这里 $(x \cdot x) = (y \cdot y) = 25$，但 $(x \cdot y) = -25$。三个值不相等。
- 因此，引理的前提不成立，我们不能得出 $x=y$ 的结论。事实也确实如此，$x \neq y$。
- 我们也可以看看证明中的表达式的值：$(x \cdot x) - 2(x \cdot y) + (y \cdot y) = 25 - 2(-25) + 25 = 25 + 50 + 25 = 100$。这个值不为零，它等于 $|x-y|^2 = |(6, 8)|^2 = 6^2+8^2 = 36+64=100$。

示例3：另一个不满足条件的例子
设 $x = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $y = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$。
计算三个点积：

$(x \cdot x) = 5^2 + 0^2 = 25$。
$(y \cdot y) = 3^2 + 4^2 = 25$。
$(x \cdot y) = 5 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 15$。
- 这里 $(x \cdot x) = (y \cdot y)$ （即它们长度相等），但它们不等于 $(x \cdot y)$。
- 引理前提不成立，结论 $x=y$ 也不成立。

⚠️ [易错点]

易错点：可能会忘记需要三个点积都相等。仅仅是 $(x \cdot x) = (y \cdot y)$ 是不够的，这只说明 $x$ 和 $y$ 长度相等，但它们可以是任何方向的、长度相同的向量（例如示例2和3）。仅仅是 $(x \cdot y)$ 等于其中一个也是不够的。这个引理的巧妙之处在于，它用一个统一的条件把长度和方向的关系都包含了进去。
边界情况：如果 $x=y=0$（零向量），那么 $(x \cdot x)=(x \cdot y)=(y \cdot y)=0$。条件成立，结论$x=y$也成立。引理对零向量是适用的。

📝 [总结]

引理 6.2.4 提供了一个代数判据来判断两个向量是否相等。它指出，如果向量$x$自身的点积、向量$y$自身的点积、以及$x$和$y$的交叉点积这三个数值全部相等，那么$x$和$y$必然是同一个向量。证明方法非常直接，即构造向量差 $(x-y)$ 并证明其长度为零。

🎯 [存在目的]

这个引理的存在是为了给即将到来的“定理 6.2.3 的 (b)⇒(c) 证明”提供一个强有力的工具。在那个证明中，我们需要证明两个复杂的向量表达式相等（即 $\varphi(u+v)$ 和 $\varphi(u)+\varphi(v)$）。直接证明相等可能很繁琐。有了这个引理，我们就可以把任务转化为：分别计算这两个向量与自身的点积，以及它们之间的交叉点积，然后证明这三个点积相等。这是一个非常聪明且高效的证明策略。

🧠 [直觉心智模型]

想象你有两根木棍 $x$ 和 $y$。

$(x \cdot x)$ 等于 $(y \cdot y)$ 意味着这两根木棍一样长。
$(x \cdot x)$ 等于 $(x \cdot y)$ 意味着第一根木棍的长度的平方，等于两根木棍长度乘积再乘以它们夹角的余弦。如果它们一样长，那就意味着夹角余弦是1，即夹角为0。
所以，引理的条件就好像在说：“我有两根木棍，它们一样长，并且它们指向完全相同的方向。” 那么结论自然是：“这其实就是同一根木棍。”

💭 [直观想象]

在黑暗中，你无法直接看到两个向量$x$和$y$。但你有一个神奇的仪器，可以测量任意两个向量的点积。

你测量了 $(x, x)$，得到 25。你心想：“$x$ 的长度是5”。
你测量了 $(y, y)$，得到 25。你心想：“$y$ 的长度也是5”。
你测量了 $(x, y)$，也得到 25。你心想：“咦？$|x||y|\cos\theta = 5 \cdot 5 \cdot \cos\theta = 25$。这意味着 $\cos\theta=1$，所以它们夹角是0度！”

你得出结论：这两个向量长度都是5，方向完全相同。所以它们肯定是同一个向量。这个引理就是把这个推理过程形式化了。

6.2.5 定理 6.2.3 的证明 (b) ⇒ (c)

📜 [原文5]

定理 6.2.3 的证明，(b) ⇒ (c)：设$\varphi$是保持点积的映射。那么，如果它是线性算子 (5.1.12)，它将是正交的。为了证明$\varphi$是线性算子，我们必须证明对于所有$u$和$v$以及所有标量$c$，$\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)$和$\varphi(c v)=c \varphi(v)$。

给定$\mathbb{R}^{n}$中的$x$，我们用符号$x^{\prime}$表示$\varphi(x)$。我们还引入符号$w$表示和，写作$w=u+v$。那么要证明的关系$\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)$就变成了$w^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$。

我们将$x=w^{\prime}$和$y=u^{\prime}+v^{\prime}$代入引理 6.2.4。为了证明$w^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$，只需证明三个点积

\left(w^{\prime} \cdot w^{\prime}\right), \quad\left(w^{\prime} \cdot\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)\right), \quad \text { 和 } \quad\left(\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right) \cdot\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)\right)

是相等的。我们展开第二个和第三个点积。只需证明

\left(w^{\prime} \cdot w^{\prime}\right)=\left(w^{\prime} \cdot u^{\prime}\right)+\left(w^{\prime} \cdot v^{\prime}\right)=\left(u^{\prime} \cdot u^{\prime}\right)+2\left(u^{\prime} \cdot v^{\prime}\right)+\left(v^{\prime} \cdot v^{\prime}\right) .

根据假设，$\varphi$保持点积。所以我们可以去掉撇号：$\left(w^{\prime} \cdot w^{\prime}\right)=(w \cdot w)$等等。那么只需证明

\begin{equation*} (w \cdot w)=(w \cdot u)+(w \cdot v)=(u \cdot u)+2(u \cdot v)+(v \cdot v) . \tag{6.2.5} \end{equation*}

现在，虽然$w^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$有待证明，$w=u+v$是根据定义成立的。所以我们可以用$u+v$替换$w$。那么(6.2.5)就成立了。

为了证明$\varphi(c v)=c \varphi(v)$，我们写$u=c v$，并且必须证明$u^{\prime}=c v^{\prime}$。证明与我们刚刚给出的类似。$\square$

📖 [逐步解释]

这部分证明了定理6.2.3中 “(b) 保持点积” 可以推导出 “(c) 是正交线性算子”。

分析目标 (c) → 正交线性算子
- “正交线性算子”包含两个部分：1. 线性算子；2. 正交。
- 根据定义，一个线性算子如果保持点积，它就是正交的。
- 我们的前提 (b) 正是“$\varphi$是保持点积的映射”。
- 所以，只要我们能证明$\varphi$是线性算子，那么它就自动成为正交线性算子。
- 因此，整个证明的核心任务简化为：证明一个保持点积的映射$\varphi$必然是线性的。
证明 $\varphi$ 是线性的
- 要证明线性，必须证明两个性质对所有向量 $u, v$ 和标量 $c$ 都成立：
可加性: $\varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v)$
齐次性: $\varphi(cv) = c \varphi(v)$
引入简化符号
- 为了使表达式更简洁，引入了“撇号”表示法：$x' = \varphi(x)$。
- 要证明的可加性 $\varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v)$ 就变成了 $\varphi(u+v)' = u' + v'$。
- 再引入一个符号 $w = u+v$，这样要证明的式子最终变成了 $w' = u' + v'$。
使用引理 6.2.4
- 现在的问题是要证明两个向量相等：向量 $x = w'$ 和向量 $y = u' + v'$。
- 这正是引理 6.2.4 发挥作用的时刻！根据引理，要证明 $x=y$，我们只需要证明三个点积相等：
- $(x \cdot x) = (w' \cdot w')$
- $(x \cdot y) = (w' \cdot (u' + v'))$
- $(y \cdot y) = ((u' + v') \cdot (u' + v'))$
计算这三个点积
- 第一个点积：$(w' \cdot w')$。这是最简单的形式。
- 第二个点积：$(w' \cdot (u' + v'))$。根据点积分配律，它等于 $(w' \cdot u') + (w' \cdot v')$。
- 第三个点积：$((u' + v') \cdot (u' + v'))$。展开它得到 $(u' \cdot u') + 2(u' \cdot v') + (v' \cdot v')$。
- 所以，我们的任务变成了证明下面这三个表达式是相等的：
利用核心假设 (b)：$\varphi$ 保持点积
- 这个假设是我们的“王牌”。它允许我们在任何点积表达式中，把所有带撇的向量（变换后的向量）全部换成不带撇的向量（原始向量），而点积的值不变。
- 例如：$(w' \cdot w') = (w \cdot w)$，$(w' \cdot u') = (w \cdot u)$，$(u' \cdot v') = (u \cdot v)$，等等。
- 将这个规则应用到上面三个需要证明相等的表达式中，它们就变成了：
验证不带撇的表达式是否相等
- 现在的问题与变换$\varphi$完全无关了，变成了一个纯粹的关于向量$u, v, w$的代数验证。
- 我们知道，$w$ 是我们自己定义的， $w = u+v$。这个关系是确定成立的（而 $w'=u'+v'$ 是待证明的）。
- 现在我们用 $w = u+v$ 来验证这三个表达式是否相等。
- 第一个表达式: $(w \cdot w) = ((u+v) \cdot (u+v)) = (u \cdot u) + 2(u \cdot v) + (v \cdot v)$。
- 第二个表达式: $(w \cdot u) + (w \cdot v) = ((u+v) \cdot u) + ((u+v) \cdot v) = ((u \cdot u) + (v \cdot u)) + ((u \cdot v) + (v \cdot v)) = (u \cdot u) + 2(u \cdot v) + (v \cdot v)$。
- 第三个表达式: $(u \cdot u) + 2(u \cdot v) + (v \cdot v)$。
- 我们发现，这三个表达式经过展开和整理后，结果是完全相同的！
得出可加性结论
- 既然这三个关于$u,v,w$的表达式相等，那么根据第六步，那三个关于$u',v',w'$的点积表达式也必然相等。
- 根据引理 6.2.4，既然 $(w' \cdot w'), (w' \cdot (u'+v')), ((u'+v') \cdot (u'+v'))$ 这三个点积相等，那么 $w' = u'+v'$。
- 将符号还原，即证明了 $\varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v)$。可加性得证。
证明齐次性
- 作者提到“证明与我们刚刚给出的类似”。我们来完成它。
- 要证明的是 $\varphi(cv) = c\varphi(v)$。
- 令 $u = cv$。要证明 $u' = c v'$。
- 再次使用引理 6.2.4，设 $x = u'$ 和 $y = c v'$。我们需要证明三个点积相等：
$(x \cdot x) = (u' \cdot u')$
$(x \cdot y) = (u' \cdot c v') = c(u' \cdot v')$ (点积的齐次性)
$(y \cdot y) = (c v' \cdot c v') = c^2 (v' \cdot v')$ (点积的齐次性)
- 利用 $\varphi$ 保持点积的性质，把撇号去掉：
$(u \cdot u)$
$c(u \cdot v)$
$c^2 (v \cdot v)$
- 现在用 $u=cv$ 代入上面三个表达式：
$(u \cdot u) = (cv \cdot cv) = c^2 (v \cdot v)$。
$c(u \cdot v) = c((cv) \cdot v) = c(c(v \cdot v)) = c^2 (v \cdot v)$。
$c^2 (v \cdot v)$。
- 这三个表达式也是相等的！
- 因此，根据引理，$u' = c v'$，即 $\varphi(cv) = c \varphi(v)$。齐次性得证。
最终结论
- 我们证明了$\varphi$同时满足可加性和齐次性，所以$\varphi$是一个线性算子。
- 由于我们的前提是$\varphi$保持点积，一个保持点积的线性算子根据定义就是正交算子。
- 所以，(b) ⇒ (c) 证毕。

∑ [公式拆解]

\left(w^{\prime} \cdot w^{\prime}\right), \quad\left(w^{\prime} \cdot\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)\right), \quad \text { 和 } \quad\left(\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right) \cdot\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)\right)

这三个表达式是应用引理6.2.4所需的三个关键点积。这里的 $w' = \varphi(u+v)$, $u'=\varphi(u)$, $v'=\varphi(v)$。我们的目标是证明 $w' = u'+v'$。

\left(w^{\prime} \cdot w^{\prime}\right)=\left(w^{\prime} \cdot u^{\prime}\right)+\left(w^{\prime} \cdot v^{\prime}\right)=\left(u^{\prime} \cdot u^{\prime}\right)+2\left(u^{\prime} \cdot v^{\prime}\right)+\left(v^{\prime} \cdot v^{\prime}\right) .

这是一个等式链，声明了上面三个表达式的值是相等的。
第一个等号：是把第二个表达式 $(w' \cdot (u'+v'))$ 展开。
第二个等号：是把第三个表达式 $((u'+v') \cdot (u'+v'))$ 展开，并声明它与中间展开后的结果相等。

\begin{equation*} (w \cdot w)=(w \cdot u)+(w \cdot v)=(u \cdot u)+2(u \cdot v)+(v \cdot v) . \tag{6.2.5} \end{equation*}

这个公式是上一个公式去掉所有撇号（'）的结果。
合理性：因为假设 (b) 成立，即 $\varphi$ 保持点积，所以 $(x' \cdot y') = (x \cdot y)$ 对任何 $x, y$ 都成立。因此，上面带撇的等式链成立，当且仅当这个不带撇的等式链成立。
证明：这个不带撇的等式链是恒等式，因为 $w=u+v$。
$(w \cdot w) = ((u+v)\cdot(u+v)) = (u \cdot u)+2(u \cdot v)+(v \cdot v)$。
$(w \cdot u)+(w \cdot v) = ((u+v)\cdot u) + ((u+v)\cdot v) = (u\cdot u)+(v\cdot u)+(u\cdot v)+(v\cdot v) = (u \cdot u)+2(u \cdot v)+(v \cdot v)$。
这三项确实相等。

💡 [数值示例]

这个证明过程是纯抽象代数的，很难用数值示例来“验证”证明本身。但是，我们可以通过一个例子来感受其流程。

设 $\varphi$ 是一个保持点积的映射。我们不知道它是线性的。
取 $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。则 $w = u+v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
我们来计算不带撇的三个值：

$(w \cdot w) = 1^2+1^2=2$。
$(w \cdot u) + (w \cdot v) = (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = 1 + 1 = 2$。
$(u \cdot u) + 2(u \cdot v) + (v \cdot v) = (1) + 2(0) + (1) = 2$。
- 这三个值都等于2，是相等的。
- 因为 $\varphi$ 保持点积，所以对应的带撇的三个点积也必然都等于2。
$(w' \cdot w') = (w \cdot w) = 2$。
$(w' \cdot (u'+v')) = (w \cdot (u+v)) = (w \cdot w) = 2$。
$((u'+v') \cdot (u'+v')) = ((u+v)\cdot(u+v)) = (w \cdot w) = 2$。
- 由于这三个带撇的点积都相等（都等于2），引理 6.2.4 生效，我们可以得出结论：$w' = u'+v'$。
- 即 $\varphi(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \varphi(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) + \varphi(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix})$。
- 这个过程对任意 $u,v$ 都成立，因此 $\varphi$ 具有可加性。

⚠️ [易错点]

逻辑的关键：最容易混淆的地方在于 $w'=u'+v'$ 是我们要证明的，而 $w=u+v$ 是我们定义的。整个证明的巧妙之处在于，利用“保持点积”的假设，将一个关于未知的 $w'$ 的问题，转化成了一个关于已知的 $w$ 的代数恒等式验证。
引理的重要性：没有引理 6.2.4，直接证明 $w' = u'+v'$ 将会非常困难。这个引理允许我们将证明“两个向量相等”这个难题，降维成证明“三个标量（点积的值）相等”，这要容易得多。

📝 [总结]

该证明过程精妙地展示了如何从“保持点积”这一性质中“压榨”出“线性”的性质。其核心策略是：

将待证明的向量等式 $\varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v)$ 转化为 $w' = u' + v'$。
应用引理 6.2.4，将证明向量相等的问题转化为证明三个相关的点积相等。
利用“保持点积”的假设，将这三个关于变换后向量的点积问题，转化回关于原始向量的点积问题。
证明关于原始向量的点积关系式是一个基于 $w=u+v$ 定义的普通代数恒等式。
逻辑链条反推回去，最终证明了可加性。齐次性的证明采用了完全相同的思路。

至此，证明了任何保持点积的映射都必然是线性的，从而完成了 (b) ⇒ (c) 的证明。

🎯 [存在目的]

这个证明是连接几何性质和代数结构的关键桥梁。条件(b)“保持点积”是一个深刻的几何性质，它意味着变换不改变长度和角度。条件(c)“正交线性算子”则是一个非常具体的代数对象，可以用矩阵来表示和计算。这个证明表明，仅仅“保持点积”这个看似比“线性”更弱的条件，实际上已经蕴含了线性的所有要求。这揭示了欧氏空间几何结构的刚性——任何保持其核心度量（点积）的变换，都不能是随意的、非线性的映射，而必须是高度结构化的线性变换。

[直觉心-智模型]

想象一个工匠（映射$\varphi$）在加工一批金属棒（向量）。

假设(b)：这个工匠有一个神奇的能力，无论他怎么处理两根棒子 $u,v$，处理后的新棒子 $u',v'$，它们的点积 $(u' \cdot v')$ 和原来 $(u \cdot v)$ 一模一样。
要证明的目标(c)：这个工匠其实只会两种操作：线性操作（他的操作可以用一个固定的矩阵来描述）和正交操作（他只做旋转和反射）。
证明的思路：我们想看看他如何处理一个“和”向量 $w=u+v$。我们不知道他处理后的 $w'$ 是什么。但是我们可以通过“点积不变”这个线索来倒推。我们发现，要让所有点积都保持不变，他处理 $w$ 的结果 $w'$，不可能是别的，必须得是 $u'$ 和 $v'$ 的和。这就好像在说，这个工匠的能力虽然神奇，但被“保持点-积”这个规则严格地限制住了，使得他无法做出非线性的复杂操作，他能做的操作必须是线性的。

💭 [直观想象]

想象一个坐标网格。一个变换$\varphi$作用于其上。

假设(b)：$\varphi$保持点积。这意味着，网格上任意两个从原点出发的向量，变换后它们的长度和夹角都不变。特别是，原来相互垂直的单位向量（如 $e_1, e_2$），变换后仍然是相互垂直的单位向量（$\varphi(e_1), \varphi(e_2)$）。
证明过程的直观体现：
向量 $u+v$ 在几何上是平行四边形法则的对角线。
$\varphi(u+v)$ 是原对角线向量变换后的像。
$\varphi(u)+\varphi(v)$ 是由变换后的两个边向量$\varphi(u), \varphi(v)$构成的新平行四边形的对角线。
整个证明的本质，就是利用“长度和角度不变”这个性质，来证明“原平行四边形”经过变换后，变成了“新平行四边形”，并且“原对角线”恰好被变换到了“新对角线”的位置。这正是线性变换在几何上的一个直观体现：保持网格线的平行和均匀分布。

6.2.6 定理 6.2.3 的证明 (a) ⇒ (b)

📜 [原文6]

定理 6.2.3 的证明，(a) ⇒ (b)：设$\varphi$是固定原点的等距变换。用撇号表示法，$\varphi$的距离保持性质读作

\begin{equation*} \left(\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right) \cdot\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right)\right)=((u-v) \cdot(u-v)), \tag{6.2.6} \end{equation*}

对于$\mathbb{R}^{n}$中的所有$u$和$v$。我们代入$v=0$。由于$0^{\prime}=0$，所以$\left(u^{\prime} \cdot u^{\prime}\right)=(u \cdot u)$。类似地，$\left(v^{\prime} \cdot v^{\prime}\right)=(v \cdot v)$。现在，当我们展开(6.2.6)并从方程两边消去$(u \cdot u)$和$(v \cdot v)$时，(b)随之而来。$\square$

📖 [逐步解释]

这部分证明了定理6.2.3中 “(a) 是固定原点的等距变换” 可以推导出 “(b) 保持点积”。

分析前提 (a)：固定原点的等距变换
- 我们有两个已知信息：
等距变换: 对所有 $u, v$，有 $|\varphi(u)-\varphi(v)| = |u-v|$。
固定原点: $\varphi(0)=0$。
分析目标 (b)：保持点积
- 我们要证明的目标是：对所有 $u, v$，有 $(\varphi(u) \cdot \varphi(v)) = (u \cdot v)$。
建立起点：从距离到点积
- 前提是关于距离（长度）的，结论是关于点积的。我们需要一个连接它们的桥梁。
- 这个桥梁就是向量长度与点积的关系：$|x|^2 = (x \cdot x)$。
- 我们将前提中的等距公式 $|\varphi(u)-\varphi(v)| = |u-v|$ 两边平方，以便用点积来表示：
- 利用 $ |x|^2 = (x \cdot x) $，上式就变成了用撇号表示法写出的公式 (6.2.6)。
公式 (6.2.6) 的解释

\left(\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right) \cdot\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right)\right)=((u-v) \cdot(u-v)) \tag{6.2.6}

这仅仅是等距变换定义 $|u'-v'|=|u-v|$ 的两边平方后的点积形式。
左边是变换后两点差向量的长度平方。
右边是原始两点差向量的长度平方。
这个等式是我们的出发点。

利用“固定原点”的性质
- 前提(a)中还有一个条件我们没用，就是 $\varphi(0)=0$，用撇号表示就是 $0' = 0$。
- 这个条件非常关键。让我们在公式 (6.2.6) 中做一个特殊的代入，令其中一个向量为零向量，比如 $v=0$。
- 代入后，(6.2.6) 变为：
- 因为 $0'=0$，所以这简化为：
- 这个等式意味着什么？它意味着 $|u'|^2 = |u|^2$，即 $|\varphi(u)|=|u|$。
- 结论：一个固定原点的等距变换，必然保持从原点出发的任何向量的长度。
- 同理，我们也可以代入 $u=0$，得到 $(v' \cdot v') = (v \cdot v)$。
展开公式 (6.2.6)
- 现在我们回到一般情况的公式 (6.2.6)，并像多项式一样展开两边的点积：
- 展开左边: $(u' - v') \cdot (u' - v') = (u' \cdot u') - 2(u' \cdot v') + (v' \cdot v')$
- 展开右边: $(u - v) \cdot (u - v) = (u \cdot u) - 2(u \cdot v) + (v \cdot v)$
- 将展开后的两部分放回等式中：
进行消去
- 在第5步中，我们已经证明了 $(u' \cdot u') = (u \cdot u)$ 和 $(v' \cdot v') = (v \cdot v)$。
- 因此，我们可以在上面等式的两边，将 $(u' \cdot u')$ 和 $(u \cdot u)$ 消掉，将 $(v' \cdot v')$ 和 $(v \cdot v)$ 消掉。
- 消去后，等式只剩下：
- 两边同时除以 -2，我们就得到了最终的目标：
- 用标准符号写出来就是：$(\varphi(u) \cdot \varphi(v)) = (u \cdot v)$。
结论
- 我们成功地从“固定原点的等距变换”推导出了“保持点积”。
- 至此，(a) ⇒ (b) 证毕。
- 结合之前已证的 (c)⇒(a) 和 (b)⇒(c)，我们完成了 (a)⇔(b)⇔(c) 的循环证明，定理 6.2.3 完全得证。

∑ [公式拆解]

\begin{equation*} \left(\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right) \cdot\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right)\right)=((u-v) \cdot(u-v)), \tag{6.2.6} \end{equation*}

$u', v'$: 分别是 $\varphi(u)$ 和 $\varphi(v)$ 的简写。
$(u'-v') \cdot (u'-v')$: 变换后向量差的长度平方。
$(u-v) \cdot (u-v)$: 原始向量差的长度平方。
推导来源：这个公式直接来自于等距变换定义 $|u'-v'|=|u-v|$ 的两边平方。
证明中的作用：这是整个推导的起始方程，它把几何上的“距离”概念转换为了代数上更易于操作的“点积”概念。通过展开和利用固定原点的性质，从这个方程中“提取”出了保持点积的性质。这个过程也被称为“极化恒等式”思想的应用。

💡 [数值示例]

这个证明同样是抽象的，但我们可以用数值来感受其中的逻辑。

假设 $\varphi$ 是一个固定原点的等距变换，例如绕原点逆时针旋转90度：$\varphi(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$。
取 $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$。
前提 (a) 的验证：$\varphi(0)=0$。$|\varphi(u)-\varphi(v)| = |u-v|$。
$u-v = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $|u-v|^2 = (-2)^2+2^2=8$。
$u' = \varphi(u) = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v' = \varphi(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$。
$u'-v' = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$, $|u'-v'|^2 = (-2)^2+(-2)^2=8$。
前提(a)对这对向量成立。
证明 (a)⇒(b) 的过程演示：

展开(6.2.6)：

左边：$(u' \cdot u') - 2(u' \cdot v') + (v' \cdot v') = ((-2)^2+1^2) - 2(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}) + (0^2+3^2) = 5 - 2(3) + 9 = 8$。

右边：$(u \cdot u) - 2(u \cdot v) + (v \cdot v) = (1^2+2^2) - 2(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}) + (3^2+0^2) = 5 - 2(3) + 9 = 8$。

两边相等，这只是重复了前提。

利用固定原点性质：

$(u' \cdot u') = (-2)^2+1^2=5$。

$(u \cdot u) = 1^2+2^2=5$。两者相等。

$(v' \cdot v') = 0^2+3^2=9$。

$(v \cdot v) = 3^2+0^2=9$。两者相等。

消去：从展开式 $5 - 2(u' \cdot v') + 9 = 5 - 2(u \cdot v) + 9$ 中，消去5和9。

得到 $-2(u' \cdot v') = -2(u \cdot v)$。

结论：$(u' \cdot v') = (u \cdot v)$。

我们来验证一下：

$(u' \cdot v') = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = (-2)(0)+1(3) = 3$。

$(u \cdot v) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 1(3)+2(0) = 3$。

两者确实相等！这个数值例子符合了证明的每一步逻辑。

⚠️ [易错点]

关键步骤：证明的关键在于利用 $v=0$ 这个特例来从“保持距离”中推导出“保持长度”，然后再利用“保持长度”这个中间结论来从一般情况的“保持距离”中推导出“保持点积”。如果忘记使用 $\varphi(0)=0$ 这个条件，证明将无法进行。
几何意义：这个证明过程在几何上对应着所谓的“极化恒等式”（Polarization Identity），它建立了范数（长度）和内积（点积）之间的关系。例如，在实向量空间中，$ (u \cdot v) = \frac{1}{4} (|u+v|^2 - |u-v|^2) $。一个保持距离的变换，必然也保持长度，进而可以通过这个恒等式证明它也保持点积。本证明使用的 $(u-v)\cdot(u-v)$ 展开是该思想的一种更直接的体现。

📝 [总结]

该证明展示了如何从一个关于“距离”的几何条件（等距变换）推导出关于“角度和长度”的代数条件（保持点积）。其核心技巧是：

将距离的等式平方，转化为点积的等式。
利用“固定原点”这一特殊条件，首先证明变换保持单个向量的长度。
将长度保持不变的结论代入展开后的距离等式，通过代数消元，最终得到点积保持不变的结论。

这个证明完成了 (a)⇒(b) 的环节，从而封闭了整个定理的逻辑环。

🎯 [存在目的]

这个证明的存在是为了完成对定理6.2.3的完整论证。它确保了我们对“固定原点的等距变换”的理解是无懈可击的。通过证明 (a)⇒(b)，我们确认了几何上的“刚体运动”（固定原点下）与代数上的“保持内积结构”是等价的。这使得我们可以在面对一个固定原点的等距变换时，放心地使用所有与点积相关的性质和工具，极大地丰富了我们的分析手段。

🧠 [直觉心智模型]

想象你在一个二维平面上，有一个变换 $\varphi$。

前提(a)：$\varphi$是一个固定原点的等距变换。就像你把一张纸钉在桌子的中央（原点），然后你可以在不撕裂、不拉伸纸张的前提下，任意旋转这张纸。
目标(b)：证明$\varphi$保持点积。即纸上任意两个从中心点画出的箭头$u, v$，旋转后变成$u', v'$，它们的点积不变。
证明过程的直觉：

旋转不改变任何箭头的长度。所以 $|u'|=|u|, |v'|=|v|$。
旋转也不改变两个箭头之间的距离，即$u$的箭头尖端到$v$的箭头尖端的距离不变。$|u-v|=|u'-v'|$。
考虑由$u,v$构成的三角形（三点为 $0, u, v$）。旋转后得到新三角形（$0, u', v'$）。这两个三角形是全等的。
因为三角形全等，所以它们的边长都对应相等：$|u'|=|u|$, $|v'|=|v|$, $|u'-v'|=|u-v|$。
点积 $(u \cdot v)$ 可以由这三条边长完全确定（根据余弦定理：$(u \cdot v) = \frac{1}{2}(|u|^2+|v|^2 - |u-v|^2)$）。
既然旋转前后这三条边长都保持不变，那么通过余弦定理计算出的点积值也必然保持不变。
- 所以，从几何直觉上看，固定原点的刚体运动（旋转）保持了所有由原点、点u、点v构成的三角形的形状，因此必然保持了u和v的点积。

💭 [直观想象]

你是一名调查员，正在审问一个嫌疑人 $\varphi$。

你的指控：我怀疑你是一个“正交线性算子”（条件c）。
嫌疑人 $\varphi$ 的辩解：我不是！我只是一个无辜的“固定原点的等距变换”（条件a）。我只是移动东西，保证原点不动，并且不改变任何两点间的距离。
你的推理（证明过程 a⇒b）：

你说你不改变距离？好，我拿一个点 $u$ 和原点 $0$。它们之间的距离是 $|u|$。你变换之后，它们到了 $u'=\varphi(u)$ 和 $0'=\varphi(0)=0$。你说距离不变，所以 $|u'-0'|=|u-0|$，即 $|u'|=|u|$。很好，你承认了你保持每个向量的长度。
现在我拿任意两个点 $u, v$。你说它们变换后的距离 $|u'-v'|$ 等于原始距离 $|u-v|$。我们把这个等式两边平方，用点积展开，就得到 $(u' \cdot u') - 2(u' \cdot v') + (v' \cdot v') = (u \cdot u) - 2(u \cdot v) + (v \cdot v)$。
刚刚你已经承认了你保持长度，所以 $(u'\cdot u')=(u \cdot u)$ 且 $(v'\cdot v')=(v \cdot v)$。把这两项从等式两边拿掉，就只剩下 $-2(u'\cdot v') = -2(u \cdot v)$。
这就证明了你保持了点积！你满足了条件(b)。
- 你的下一轮推理（b⇒c）：哦？你保持点积？那根据我们刚做的另一个证明，任何保持点积的家伙都必须是“线性的”。一个保持点积的线性变换，按定义就是“正交算子”。
- 结论：你的辩解（a）恰恰证明了我的指控（c）。你被捕了！

6.2.7 等距变换的唯一分解

📜 [原文7]

推论 6.2.7 $\mathbb{R}^{n}$的每一个等距变换$f$都是一个正交线性算子和一个平移的复合。更确切地说，如果$f$是等距变换且$f(0)=a$，那么$f=t_{a} \varphi$，其中$t_{a}$是平移，$\varphi$是正交线性算子。这种$f$的表达式是唯一的。

证明。设$f$是等距变换，设$a=f(0)$，设$\varphi=t_{-a} f$。那么$t_{a} \varphi=f$。该推论的断言是$\varphi$是正交线性算子。由于$\varphi$是等距变换$t_{-a}$和$f$的复合，所以它是一个等距变换。此外，$\varphi(0)=t_{-a} f(0)=t_{-a}(a)=0$，所以$\varphi$固定原点。定理 6.2.3 表明$\varphi$是正交线性算子。表达式$f=t_{a} \varphi$是唯一的，因为由于$\varphi(0)=0$，我们必须有$a=f(0)$，然后$\varphi=t_{-a} f$。

📖 [逐步解释]

推论（Corollary）的含义
- 推论是通常是一个直接由前面某个定理（这里是定理 6.2.3）推导出的结论。它将定理的应用范围加以推广或具体化。
- 定理 6.2.3 只处理了“固定原点”的等距变换。这个推论则要处理任意的等距变换，包括那些移动原点的变换。
推论的核心内容
- 分解：任何一个等距变换 $f$ 都可以被拆解成两步操作的组合（复合）：
先进行一个正交线性算子 $\varphi$ (即旋转或反射)。
然后进行一个平移 $t_a$。
- 也就是 $f(x) = t_a(\varphi(x)) = \varphi(x) + a$。
- 唯一性：对于一个给定的等距变换 $f$，能实现这种分解的 $\varphi$ 和 $a$ 是唯一确定的。
直观理解
- 这个推论说的是，任何刚体运动（等距变换）都可以看作是“先绕着原点进行一次旋转或反射，然后再把整个空间平移一下”。
- 比如，你想把桌子上的一个杯子从A点移动并旋转到B点。你可以分两步：
先把杯子原地旋转，使其朝向与B点要求的朝向一致（这是$\varphi$）。
然后，把已经转好方向的杯子，沿着直线从A点平移到B点（这是$t_a$）。
- 推论说，任何复杂的刚体运动都能用这种“先转，后移”的方式来描述，并且转多少（$\varphi$）和移多远（$a$）是唯一确定的。
证明过程的逐步解释
- 第一步：定义平移部分
- 设 $f$ 是任意一个等距变换。它可能移动原点，也可能不移动。
- 我们看看它把原点移动到了哪里。令 $a = f(0)$。这个向量 $a$ 就是原点被移动到的新位置。
- 这个 $a$ 将成为我们分解式 $f=t_a \varphi$ 中的平移向量。这是非常自然的选择。

第二步：构造旋转/反射部分
我们现在想把 $f$ 的平移效应“抵消掉”，看看剩下的纯旋转/反射部分是什么。
平移 $t_a$ 的效果是 “加上 $a$”。要抵消它，就需要“减去 $a$”，这对应的变换是逆平移 $t_{-a}$，因为 $t_{-a}(x) = x-a$。
我们定义一个新的变换 $\varphi$，它等于先对一个点做 $f$ 变换，然后立刻做 $t_{-a}$ 变换来“拉回来”。即 $\varphi = t_{-a} \circ f$。
从这个定义式 $\varphi = t_{-a} f$ 出发，两边在左边复合一个 $t_a$，得到 $t_a \varphi = t_a t_{-a} f$。因为 $t_a t_{-a}$ 是先减 $a$ 再加 $a$，等于恒等变换，所以 $t_a \varphi = f$。
这样，我们就成功地把 $f$ 分解成了 $t_a \varphi$ 的形式。

第三步：证明 $\varphi$ 是正交线性算子
到目前为止，我们只知道 $\varphi$ 是个变换，但不知道它是什么类型的变换。推论的核心断言是 $\varphi$ 必须是正交线性算子。
要证明 $\varphi$ 是正交线性算子，我们可以利用刚刚证明的强大的定理 6.2.3。该定理说，只要我们能证明 $\varphi$ 是一个固定原点的等距变换，那么它就自动是正交线性算子。
证明 $\varphi$ 是等距变换：
$\varphi = t_{-a} \circ f$。
$f$ 是等距变换（已知）。
$t_{-a}$ 是一个平移，根据例子 6.2.2(b)，它也是等距变换。
根据例子 6.2.2(c)，两个等距变换的复合仍然是等距变换。
所以，$\varphi$ 是一个等距变换。
证明 $\varphi$ 固定原点：
我们需要计算 $\varphi(0)$。
根据定义 $\varphi(0) = t_{-a}(f(0))$。
在第一步中我们定义了 $a = f(0)$。
所以 $\varphi(0) = t_{-a}(a)$。
根据平移的定义，$t_{-a}(a) = a - a = 0$。
所以 $\varphi(0)=0$，即 $\varphi$ 固定原点。
应用定理 6.2.3:
我们已经证明了 $\varphi$ 同时满足“是等距变换”和“固定原点”两个条件，这正是定理 6.2.3 的条件(a)。
因此，根据定理 6.2.3，$\varphi$ 必然是正交线性算子（条件c）。
证明完毕。

第四步：证明唯一性
假设 $f$ 有一个分解 $f = t_a \varphi$，其中 $\varphi$ 是正交线性算子。我们要证明 $a$ 和 $\varphi$ 是被唯一确定的。
如何确定 $a$？对分解式 $f(x) = \varphi(x)+a$ 两边代入 $x=0$。
得到 $f(0) = \varphi(0)+a$。
因为 $\varphi$ 是正交线性算子，它必然是线性的，所以 $\varphi(0)=0$。
于是 $f(0) = 0+a = a$。这表明，平移向量 $a$ 必须等于 $f(0)$，没有其他选择。$a$ 是唯一确定的。
如何确定 $\varphi$？既然 $a$ 已经确定为 $f(0)$，我们回到分解式 $f = t_a \varphi$。
两边在左边复合一个 $t_{-a}$，得到 $t_{-a} f = t_{-a} t_a \varphi = \varphi$。
这表明，$\varphi$ 必须等于 $t_{-a}f$ (其中$a=f(0)$)，没有其他选择。$\varphi$ 也是唯一确定的。
因此，分解是唯一的。

💡 [数值示例]

示例1：考虑一个变换 $f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y+5 \\ x-2 \end{pmatrix}$。这是一个等距变换（我们在例子6.2.2(c)中验证过它的距离保持性质）。我们来分解它。

确定平移向量 a:

$a = f(0) = f(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -0+5 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$。

所以平移部分是 $t_a$，$t_a(z) = z+a$。

确定正交算子 $\varphi$:

$\varphi = t_{-a} f$。

$\varphi(x,y) = t_{-a}(f(x,y)) = f(x,y) - a$

$= \begin{pmatrix} -y+5 \\ x-2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-y+5)-5 \\ (x-2)-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$。

验证 $\varphi$:

$\varphi(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$。这正是在之前例子中看到的逆时针旋转90度的正交算子。

结论：$f$ 被唯一地分解为：先进行一个90度逆时针旋转($\varphi$)，再进行一个向量为 $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ 的平移($t_a$)。$f = t_a \varphi$。

示例2：纯平移
考虑变换 $f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x+3 \\ y+1 \end{pmatrix}$。

确定 a: $a = f(0) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。
确定 $\varphi$: $\varphi(x,y) = f(x,y) - a = \begin{pmatrix} x+3 \\ y+1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$。
验证 $\varphi$: $\varphi(x)=x$ 是恒等变换。恒等变换对应的矩阵是单位矩阵 $I$，它是正交矩阵，所以恒等变换是正交线性算子。
结论：纯平移 $t_a$ 可以被分解为：先进行一个恒等变换（什么都不做），再进行平移 $t_a$。

⚠️ [易错点]

分解顺序：推论中断言的分解形式是 $f = t_a \varphi$（先旋转/反射，后平移）。是否可以写成 $f = \varphi t_b$（先平移，后旋转/反射）呢？可以，但是平移向量会不同。
$t_a \varphi(x) = \varphi(x) + a$
$\varphi t_b(x) = \varphi(x+b) = \varphi(x) + \varphi(b)$ (因为$\varphi$是线性的)。
要使两者相等，必须有 $a = \varphi(b)$，或者说 $b = \varphi^{-1}(a)$。
所以任何一个等距变换也可以唯一地分解为“先平移 $t_b$，后旋转/反射 $\varphi$”，只是平移向量 $b$ 与之前“先转后移”的平移向量 $a$ 不一定相同。
唯一的理解：唯一性是针对固定的分解顺序而言的。即在 $f = t_a \varphi$ 这个范式下，$a$ 和 $\varphi$ 是唯一的。

📝 [总结]

推论 6.2.7 是本节的最高成就。它完整地刻画了$n$维空间中所有等距变换的结构。它指出，任何一个刚体运动，无论看起来多么复杂，都可以被精确、唯一地分解为两个基本动作的组合：一个正交线性算子（以原点为中心的旋转或反射），紧接着一个平移。这个分解是通过首先确定变换对原点的移动（平移部分），然后“减去”这个平移效应来揭示其内在的旋转/反射部分（正交算子部分）来实现的。

🎯 [存在目的]

此推论的目的是提供一个关于等距变换的通用“标准型”或“范式”。这具有巨大的理论和实践意义：

分类：它使得我们可以根据其包含的正交算子$\varphi$的类型（例如，行列式是+1还是-1）和平移向量$a$（是否为零）来对所有等距变换进行分类。
简化分析：要研究一个复杂的等距变换$f$，我们不再需要处理 $f$ 本身，而是可以分别研究其更简单的组成部分：正交算子 $\varphi$ 和平移向量 $a$。
计算：在计算机图形学、机器人学和物理学中，这种分解是表示和操作物体姿态和位置的基础。一个物体的状态就可以用一个旋转矩阵和一个平移向量来完全描述。

🧠 [直觉心智模型]

任何一个函数 $f(x)$ 都可以尝试写成 $f(x) = f(0) + (f(x) - f(0))$。

$f(0)$ 是一个常数项，代表了函数在原点的值。
$g(x) = f(x) - f(0)$ 是一个新的函数，它满足 $g(0) = f(0) - f(0) = 0$，即它固定了原点。
推论 6.2.7 的证明思路与此完全类似：
$f(x)$ 对应 等距变换 $f$。
$f(0)$ 对应平移向量 $a=f(0)$，它产生的变换是 $t_a$。
$g(x)$ 对应 $\varphi(x) = f(x)-a = t_{-a}(f(x))$。
证明的关键就在于说明：如果原来的 $f$ 是等距变换，那么这个新构造的、固定原点的函数 $\varphi$ 就不仅仅是普通函数，它必须是一个正交线性算子。

💭 [直观想象]

你是一名宇航员，穿着宇航服在空间站外执行任务。你的身体是一个刚体。

任意的等距变换 $f$：你从A位置、A姿态，运动到了B位置、B姿态。
分解过程：

找到 $a = f(0)$：我们以你的质心作为你身体的“原点”。你的质心从A位置移动到了B位置。这个位移向量就是 $a$。
构造 $\varphi = t_{-a}f$：想象一下，我们先忽略掉你的平移运动。我们把你“拉回”到A位置，但保持你在B位置的姿态。这个“只改变姿态，不改变位置”的操作，就是一个以你的质心为不动点的旋转。这个纯旋转就是 $\varphi$。
$f=t_a\varphi$：所以，你从(A, A姿态)到(B, B姿态)的整个运动，可以等效地看作：
- 你先待在A位置，原地旋转身体，变成B姿态。（这是$\varphi$）
- 然后，保持这个新姿态，身体像一块钢板一样平移到B位置。（这是$t_a$）
- 这个推论告诉我们，任何复杂的空间运动，都可以被这样唯一地拆解为一次“纯旋转/反射”和一次“纯平移”。

6.2.8 等距变换群

📜 [原文8]

为了处理等距变换的表达式$t_{a} \varphi$，我们需要确定两个这种表达式的乘积（即复合）。我们知道正交算子的复合$\varphi \psi$是正交算子。其他规则是：

\begin{equation*} t_{a} t_{b}=t_{a+b} \quad \text { and } \quad \varphi t_{a}=t_{a^{\prime}} \varphi, \quad \text { where } \quad a^{\prime}=\varphi(a) . \tag{6.2.8} \end{equation*}

我们验证最后一个关系：$\varphi t_{a}(x)=\varphi(x+a)=\varphi(x)+\varphi(a)=\varphi(x)+a^{\prime}=t_{a^{\prime}} \varphi(x)$。

推论 6.2.9 $\mathbb{R}^{n}$的所有等距变换的集合构成一个群，我们用$M_{n}$表示，其复合律是函数复合。

证明。等距变换的复合是等距变换，等距变换的逆也是等距变换，因为正交算子和平移都是可逆的，如果$f=t_{a} \varphi$，那么$f^{-1}=\varphi^{-1} t_{a}^{-1}=\varphi^{-1} t_{-a}$。这是等距变换的复合。

注意：直接从定义验证等距变换是可逆的并不容易。

📖 [逐步解释]

这部分内容分为两块：一是给出等距变换复合的运算规则，二是基于这些规则证明所有等距变换构成一个群。

第一部分：复合规则

目的：我们已经知道任何等距变换可以写成 $f = t_a \varphi$ 的形式。如果我们有两个这样的变换，$f=t_a \varphi$ 和 $g=t_b \psi$，我们想计算它们的复合 $f \circ g$ 的结果，并把它也表示成“平移”和“正交算子”复合的标准形式。
已知规则：
- 正交算子的复合：如果 $\varphi$ 和 $\psi$ 都是正交算子，它们的复合 $\varphi \psi$ 也是一个正交算子。这是因为正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
新规则 (6.2.8)
- 规则1: $t_{a} t_{b}=t_{a+b}$
- 含义：连续进行两次平移，其效果等于一次性平移，平移向量是原来两个平移向量的和。
- 验证：$(t_a t_b)(x) = t_a(t_b(x)) = t_a(x+b) = (x+b)+a = x+(a+b) = t_{a+b}(x)$。这非常直观。
- 规则2: $\varphi t_{a}=t_{a^{\prime}} \varphi$, where $a^{\prime}=\varphi(a)$
- 含义：交换一个正交算子 $\varphi$ 和一个平移 $t_a$ 的运算顺序。原来是“先平移$a$，后旋转$\varphi$”，交换后变成“先旋转$\varphi$，后平移$a'$”。注意，交换顺序后，平移的向量从 $a$ 变成了 $a'$，这个新的平移向量就是把原来的平移向量 $a$ 也进行 $\varphi$ 变换之后的结果。
- 验证（原文已给出）：我们来逐步分析这个验证过程。
- 要验证 $\varphi t_a = t_{a'} \varphi$，只需证明它们对任意输入 $x$ 的作用结果相同。
- 左边：$(\varphi t_a)(x) = \varphi(t_a(x))$ （根据复合定义）
- 右边：$(t_{a'} \varphi)(x) = t_{a'}(\varphi(x))$ （根据复合定义）
- 根据规则中 $a'$ 的定义 $a' = \varphi(a)$，我们发现左右两边的最终结果 $\varphi(x) + \varphi(a)$ 和 $\varphi(x) + a'$ 是完全一样的。
- 所以，交换规则 $\varphi t_a = t_{\varphi(a)} \varphi$ 成立。

第二部分：等距变换群 $M_n$

推论 6.2.9 的内容：
- 所有 $n$ 维等距变换的集合，记作 $M_n$。
- 以函数复合为“乘法”运算。
- 这个集合和这个运算共同构成了一个群（Group）。
群的定义回顾
- 要证明 $(M_n, \circ)$ 是一个群，需要验证四个基本公理：
封闭性（Closure）：任意两个群内元素（等距变换）运算（复合）后，结果仍然在群内（仍然是等距变换）。
结合律（Associativity）：对于任意 $f,g,h \in M_n$，有 $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$。
单位元（Identity Element）：存在一个特殊的元素 $e \in M_n$，使得对任意 $f \in M_n$，有 $e \circ f = f \circ e = f$。
逆元（Inverse Element）：对于任意 $f \in M_n$，都存在一个对应的元素 $f^{-1} \in M_n$，使得 $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = e$。
证明过程的逐步解释
- 封闭性：在“例子 6.2.2(c)”中已经证明，等距变换的复合是等距变换。所以封闭性成立。
- 结合律：函数复合运算本身是满足结合律的。这是一个普遍事实，适用于任何函数的复合，因此对等距变换也成立。所以结合律成立。
- 单位元：恒等映射 $e(x)=x$ 是一个等距变换（它是 $t_0 I$ 的形式，平移0向量，旋转/反射是单位矩阵）。它显然是单位元，因为 $f(e(x)) = f(x)$ 且 $e(f(x))=f(x)$。所以单位元存在。
- 逆元：这是证明中最需要说明的部分。我们需要证明任何一个等距变换 $f$ 都有一个逆变换 $f^{-1}$，并且这个逆变换本身也是一个等距变换。
- 设 $f = t_a \varphi$。我们想找一个 $f^{-1}$ 使得 $f \circ f^{-1} = e$。
- 就像解方程一样，$(t_a \varphi) f^{-1} = e$。两边左乘 $(t_a \varphi)^{-1}$。
- 逆的规则是 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。所以 $f^{-1} = (t_a \varphi)^{-1} = \varphi^{-1} t_a^{-1}$。
- 现在我们看 $\varphi^{-1}$ 和 $t_a^{-1}$ 是什么：
- $\varphi$ 是正交算子，对应的矩阵是正交矩阵 $A$。正交矩阵的逆 $A^{-1}$ 等于其转置 $A^T$，而 $A^T$ 同样是正交矩阵。所以 $\varphi^{-1}$ 也是一个正交算子。
- $t_a$ 是平移，其逆变换是反向平移 $t_{-a}$。$t_{-a}$ 也是一个平移，因此也是等距变换。
- 所以 $f^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$。
- 这个 $f^{-1}$ 是一个正交算子($\varphi^{-1}$)和一个等距变换($t_{-a}$)的复合。但是为了确认 $f^{-1}$ 属于 $M_n$，我们需要证明它整体是等距变换。
- 更直接地，因为 $\varphi^{-1}$ 是正交算子（所以是等距变换），$t_{-a}$ 是平移（所以是等距变换），而两个等距变换的复合（无论顺序如何）仍然是等距变换。
- 因此，$f^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$ 是一个等距变换，它存在于集合 $M_n$ 中。逆元公理成立。
- 结论：所有四个群公理都得到满足，所以 $(M_n, \circ)$ 构成一个群。
关于“注意”的解释
- “直接从定义验证等距变换是可逆的并不容易。”
- “从定义”意味着我们只知道 $|f(u)-f(v)|=|u-v|$。要证明可逆，需要证明 $f$ 是一个双射（即单射和满射）。
- 单射（Injective）：如果 $f(u)=f(v)$，则 $u=v$。这个比较容易：如果 $f(u)=f(v)$，那么 $|f(u)-f(v)|=0$。根据等距定义，可得 $|u-v|=0$，所以 $u=v$。
- 满射（Surjective）：对于任意一个点 $y \in \mathbb{R}^n$，是否存在一个点 $x \in \mathbb{R}^n$ 使得 $f(x)=y$？这个仅从距离保持的定义出发来证明，会非常困难。
- 但是，一旦我们有了 $f=t_a\varphi$ 这个强大的分解，证明逆就变得非常简单了。因为我们知道正交算子（可逆矩阵）和平移都是明确可逆的，它们的逆也很容易写出来。这正体现了结构分解定理的威力。

∑ [公式拆解]

\begin{equation*} t_{a} t_{b}=t_{a+b} \quad \text { and } \quad \varphi t_{a}=t_{a^{\prime}} \varphi, \quad \text { where } \quad a^{\prime}=\varphi(a) . \tag{6.2.8} \end{equation*}

$t_a, t_b$: 由向量 $a, b$ 定义的平移变换。
$t_a t_b$: 先做 $t_b$ 平移，再做 $t_a$ 平移。
$t_{a+b}$: 一步到位地做 $a+b$ 向量的平移。
$\varphi t_a$: 先平移 $a$，再做正交变换 $\varphi$。
$t_{a'} \varphi$: 先做正交变换 $\varphi$，再平移 $a'$。
$a' = \varphi(a)$: 新的平移向量 $a'$ 是旧的平移向量 $a$ 经过 $\varphi$ 变换后的结果。这个关系式是理解“先转后移”和“先移后转”之间转换的关键。

💡 [数值示例]

复合规则 $\varphi t_a = t_{\varphi(a)} \varphi$ 的示例
设 $\varphi$ 是逆时针旋转90度, $\varphi(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$。
设 $a = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$。
取一点 $p = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$。
计算左边 $\varphi t_a (p)$:

先平移: $t_a(p) = p+a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$。
再旋转: $\varphi(t_a(p)) = \varphi(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$。
- 计算右边 $t_{\varphi(a)} \varphi (p)$:
计算新的平移向量: $\varphi(a) = \varphi(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$。
先旋转: $\varphi(p) = \varphi(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$。
再平移: $t_{\varphi(a)}(\varphi(p)) = \varphi(p) + \varphi(a) = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$。
- 左右两边结果完全相同，验证了交换规则。

逆元示例
考虑示例 6.2.7 中的 $f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y+5 \\ x-2 \end{pmatrix}$。
我们分解得到 $f = t_a \varphi$，其中 $a=\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$，$\varphi(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$ (旋转90度)。
根据公式 $f^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$ 计算逆：
$\varphi^{-1}$ 是 $\varphi$ 的逆，即顺时针旋转90度。$\varphi^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}$。
$t_{-a}$ 是平移向量为 $-a = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ 的平移。
$f^{-1}(p) = (\varphi^{-1} t_{-a})(p) = \varphi^{-1}(t_{-a}(p)) = \varphi^{-1}(p-a)$。
设 $p=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$。

$f^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \varphi^{-1}(\begin{pmatrix} x-5 \\ y-2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} (y-2) \\ -(x-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y-2 \\ -x+5 \end{pmatrix}$。

验证：我们来验证 $f(f^{-1}(p))=p$。

$f(f^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix})) = f(\begin{pmatrix} y-2 \\ -x+5 \end{pmatrix})$

代入 $f$ 的定义 $f(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -v+5 \\ u-2 \end{pmatrix}$，这里 $u=y-2, v=-x+5$。

$= \begin{pmatrix} -(-x+5)+5 \\ (y-2)-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-5+5 \\ y-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$。

不对，计算有误。让我们重新检查复合和逆的规则。

重新检查 $f^{-1}$

$f(x) = \varphi(x)+a$

$y = \varphi(x)+a$

$y-a = \varphi(x)$

$\varphi^{-1}(y-a) = x$

所以 $f^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y-a) = \varphi^{-1}(t_{-a}(y))$。

所以逆的复合顺序是 $f^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$，这个是对的。

$f^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \varphi^{-1}(\begin{pmatrix} x-5 \\ y-2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} (y-2) \\ -(x-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y-2 \\ 5-x \end{pmatrix}$。

重新验证：

$f(f^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix})) = f(\begin{pmatrix} y-2 \\ 5-x \end{pmatrix})$

代入 $f$ 的定义 $f(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -v+5 \\ u-2 \end{pmatrix}$，这里 $u=y-2, v=5-x$。

$= \begin{pmatrix} -(5-x)+5 \\ (y-2)-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5+x+5 \\ y-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y-4 \end{pmatrix}$。

还是不对。

让我们再仔细检查一下原文的 $f^{-1}$ 推导！

原文写的是 $f^{-1} = \varphi^{-1} t_a^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$。这是正确的。

我的 $f(x)$ 示例是 $f(x) = \varphi(x) + a = t_a(\varphi(x))$。

$f^{-1} = (t_a \varphi)^{-1} = \varphi^{-1} t_a^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$。

这个公式是正确的。

我的示例 $f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y+5 \\ x-2 \end{pmatrix}$

$a = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\varphi(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$

$f(x) = \varphi(x)+a = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y+5 \\ x-2 \end{pmatrix}$。

$f^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y-a)$。

$\varphi^{-1}(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} v \\ -u \end{pmatrix}$ (顺时针转90度)

$f^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \varphi^{-1}(\begin{pmatrix} x-5 \\ y-2 \end{pmatrix})$

代入 $\varphi^{-1}$ 的公式，令 $u=x-5, v=y-2$。

$f^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} v \\ -u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y-2 \\ -(x-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y-2 \\ 5-x \end{pmatrix}$。

让我们再再再仔细验证一下 $f(f^{-1}(x,y))$

$f^{-1}(x,y) = (y-2, 5-x)$。

$f(y-2, 5-x) = \varphi(y-2, 5-x) + a$

$= \begin{pmatrix} -(5-x) \\ y-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} x-5 \\ y-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-5+5 \\ y-2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y-4 \end{pmatrix}$。

啊哈，看来我最初的示例 $f$ 写错了，它根本不是等距变换！

让我们重新构造一个正确的例子。

$f(p) = \varphi(p) + a$

$u, v$ 是两个点。

$f(u)-f(v) = (\varphi(u)+a) - (\varphi(v)+a) = \varphi(u) - \varphi(v) = \varphi(u-v)$。

$|f(u)-f(v)| = |\varphi(u-v)| = |u-v|$ (因为 $\varphi$ 是正交的)。

哦！$f(x) = \varphi(x)+a$ 这种形式的变换总是等距变换。

那为什么我的计算会出错？

$f(u) = (-u_2+5, u_1-2)$

$f(f^{-1}(x,y)) = f(y-2, 5-x)$。

设 $u_1 = y-2, u_2 = 5-x$。

$f(u_1, u_2) = (-u_2+5, u_1-2) = (-(5-x)+5, (y-2)-2) = (x-5+5, y-4) = (x, y-4)$。

我懂了！是我在最开始的“例子6.2.2(c)中验证过它的距离保持性质”这一步就错了！那个复合的例子是我自己编的，不是书上的！

让我们重新计算一下那个例子的距离：

$h(x) = f(g(x))$, $f(p)=p+a$, $g$是旋转90度。$a=(5,-2)$.

$u=(3,0), v=(0,4)$. $|u-v|=5$.

$h(u) = g(u)+a = (0,3)+(5,-2)=(5,1)$.

$h(v) = g(v)+a = (-4,0)+(5,-2)=(1,-2)$.

$|h(u)-h(v)| = |(5-1, 1-(-2))| = |(4,3)| = 5$。

这个例子是对的！$h(x) = \varphi(x)+a$。

那么 $h^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y-a)$。

$a=(5,-2)$, $\varphi$是旋转90度, $\varphi^{-1}$是反转90度。

$h^{-1}(x,y) = \varphi^{-1}((x,y)-(5,-2)) = \varphi^{-1}(x-5, y+2)$

$= ((y+2), -(x-5)) = (y+2, 5-x)$。

验证：$h(h^{-1}(x,y)) = h(y+2, 5-x)$

$= \varphi(y+2, 5-x) + a$

$= (-(5-x), y+2) + (5,-2)$

$= (x-5, y+2) + (5,-2) = (x, y)$。

这次终于对了！

这个详细的排错过程本身就是一个很好的示例，说明了严格按照公式推导的重要性。

⚠️ [易错点]

乘法（复合）不交换：$M_n$ 是一个非交换群（非阿贝尔群）。
$f g = t_a \varphi t_b \psi = t_a t_{\varphi(b)} \varphi \psi = t_{a+\varphi(b)} \varphi \psi$。
$g f = t_b \psi t_a \varphi = t_b t_{\psi(a)} \psi \varphi = t_{b+\psi(a)} \psi \varphi$。
通常情况下，$\varphi\psi \neq \psi\varphi$ 并且 $a+\varphi(b) \neq b+\psi(a)$，所以 $fg \neq gf$。
注意原文的证明细节：原文证明逆元时说 $f^{-1}=\varphi^{-1}t_{-a}$，并说这是等距变换的复合。这是因为 $\varphi^{-1}$ 是正交算子（所以是等距变换），$t_{-a}$ 是平移（所以是等距变换），所以它们的复合是等距变换。这个逻辑链条是清晰的。

📝 [总结]

本段首先建立了等距变换标准式 $t_a \varphi$ 的代数运算法则，特别是平移和正交算子如何交换顺序的规则。基于这些规则，推论 6.2.9 证明了所有$n$维等距变换的集合 $M_n$ 在函数复合运算下构成一个群。证明过程验证了群的四个公理：封闭性、结合律、单位元（恒等变换）和逆元。其中逆元的构造 $f^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$ 依赖于分解定理，并显示出该定理在代数结构分析中的威力。

🎯 [存在目的]

这部分内容的目标是将我们对等距变换的理解从“单个变换的分解”提升到“所有变换构成的完整代数系统”的高度。确立 $M_n$ 是一个群，意味着我们可以使用整个群论的强大理论和工具来研究刚体运动和几何对称性。例如，一个物体的对称操作集合必然是 $M_n$ 的一个子群。研究这些子群的结构，就是研究对称性的本质。这为晶体学、分子化学和粒子物理等领域提供了基本的数学框架。

🧠 [直觉心智模型]

想象一个游戏手柄，可以控制屏幕上的一个刚体角色。

左摇杆：控制角色的平移（$t_a$）。
右摇杆：控制角色的原地旋转（$\varphi$）。
等距变换 $f=t_a\varphi$：就是先用右摇杆转一个角度，再用左摇杆移动到某处。
复合规则 $\varphi t_a = t_{\varphi(a)} \varphi$：告诉你，“先用左摇杆移，再用右摇杆转”的效果，等价于“先用右摇杆转，然后发现角色的移动方向也跟着转了，再沿着这个新方向移动”。
群 $M_n$：所有可能的游戏操作（移动和旋转的组合）构成一个集合。这个集合是“封闭的”（任何操作序列都还是一个合法的操作），有“起点”（什么都不做），并且任何操作都有“撤销”操作。这正是一个群。研究这个“操作群”的结构，就是研究这个游戏角色的所有可能的运动方式。

💭 [直观想象]

你有一把可以平移和旋转的“变换之枪”。

平移 $t_a$：发射一道光束，把物体平移向量 $a$。
旋转 $\varphi$：发射另一道光束，把物体绕原点旋转。
$t_a t_b = t_{a+b}$：先用平移枪打一发（移动 $b$），再打一发（移动 $a$），效果和直接对着目标打一发“$a+b$”的定制光束一样。
$\varphi t_a = t_{\varphi(a)} \varphi$：你先用平移枪打了物体，再用旋转枪打它。你的朋友可以达到完全相同的效果，但他的操作顺序是：先用旋转枪打你手里的平移枪（把平移方向给转了），然后用旋转枪打物体，最后用被转过的平移枪再打物体。
群 $M_n$：你的军火库里有所有的平移光束和旋转光束，以及由它们组合成的各种“组合光束”。这个军火库是完备的：任何组合光束的再次组合，还是军火库里的一种；有“空炮”（恒等变换）；任何一种光束都有对应的“反向光束”可以撤销其效果。这个军-火库就是一个群。

6.2.9 同态 $M_n \rightarrow O_n$

📜 [原文9]

同态$M_{n} \rightarrow O_{n}$

有一个重要的映射$\pi: M_{n} \rightarrow O_{n}$，通过舍弃等距变换$f$的平移部分来定义。我们将$f$（唯一地）写成$f=t_{a} \varphi$的形式，并定义$\pi(f)=\varphi$。

命题 6.2.10 映射$\pi$是一个满射同态。它的核是平移的集合$T=\left\{t_{v}\right\}$，它是一个$M_{n}$的正规子群。

证明。很明显$\pi$是满射的，一旦我们证明$\pi$是一个同态，那么$T$是它的核，从而$T$是正规子群就显而易见了。我们必须证明如果$f$和$g$是等距变换，那么$\pi(f g)=\pi(f) \pi(g)$。假设$f=t_{a} \varphi$和$g=t_{b} \psi$，这样$\pi(f)=\varphi$和$\pi(g)=\psi$。那么$\varphi t_{b}=t_{b^{\prime}} \varphi$，其中$b^{\prime}=\varphi(b)$，且$f g=t_{a} \varphi t_{b} \psi=t_{a+b^{\prime}} \varphi \psi$。所以$\pi(f g)=\varphi \psi=\pi(f) \pi(g)$。

📖 [逐步解释]

这部分定义了一个从等距变换群到正交群的映射，并揭示了其深刻的群论结构。

1. 映射 $\pi$ 的定义

源集合与目标集合：
源: $M_n$，所有$n$维等距变换构成的群。其元素形式为 $f = t_a \varphi$。
目标: $O_n$，所有$n$维正交线性算子构成的群（即正交群）。其元素是 $\varphi, \psi$ 等。$O_n$ 本身是 $M_n$ 的一个子群（固定原点的那些等距变换）。
映射规则 $\pi(f)=\varphi$：
根据推论 6.2.7，任何等距变换 $f$ 都可以被唯一地分解为 $f = t_a \varphi$ 的形式。
映射 $\pi$ 的作用就是“提取”这个分解中的正交算子部分 $\varphi$，并“丢弃”平移部分 $t_a$。
这就像看一个人的全名“张三”，映射 $\pi$ 只关心他的姓“张”，不关心他的名“三”。

2. 命题 6.2.10 的核心内容

这个命题指出了映射 $\pi$ 的三个关键性质：

(a) $\pi$ 是一个同态 (Homomorphism)：
同态是群论中的核心概念，意为“保持结构的映射”。
具体来说，对 $M_n$ 中的任意两个元素 $f, g$，先对它们进行群运算（复合），再做 $\pi$ 映射，得到的结果 $\pi(fg)$；与先分别对它们做 $\pi$ 映射得到 $\pi(f)$ 和 $\pi(g)$，再在目标群 $O_n$ 中进行群运算（复合），得到的结果 $\pi(f)\pi(g)$，是完全相同的。
即 $\pi(fg) = \pi(f)\pi(g)$。
直观上，这意味着 $M_n$ 中的运算结构被 $\pi$ “投影”到了 $O_n$ 中，并且投影保持了运算的对应关系。
(b) $\pi$ 是一个满射 (Surjection)：
满射意味着目标集合 $O_n$ 中的每一个元素，都至少是源集合 $M_n$ 中某个元素的像。
也就是说，对于任何一个正交算子 $\psi \in O_n$，我们都能在 $M_n$ 中找到一个等距变换 $f$，使得 $\pi(f) = \psi$。
这其实是“显而易见”的，因为对于给定的 $\psi \in O_n$，我们可以构造一个 $f = t_0 \psi = \psi$。这个 $f$ 本身就在 $M_n$ 里，并且 $\pi(f)=\psi$。我们甚至可以构造无穷多个，如 $f = t_a \psi$ 对于任意 $a$ 都满足 $\pi(f)=\psi$。
(c) $\pi$ 的核 (Kernel) 是平移群 $T$，且 $T$ 是 $M_n$ 的正规子群：
同态的核：一个群同态 $\pi: G \rightarrow H$ 的核，被定义为源群 $G$ 中所有被映射到目标群 $H$ 的单位元的元素的集合。记作 $\text{Ker}(\pi)$。
在我们的例子中，目标群 $O_n$ 的单位元是恒等变换 $I$ (Identity operator)。
所以 $\text{Ker}(\pi)$ 就是 $M_n$ 中所有满足 $\pi(f) = I$ 的等距变换 $f$。
如果 $f = t_a \varphi$，那么 $\pi(f)=\varphi$。要使 $\varphi=I$，那么 $f$ 的形式必须是 $f = t_a I = t_a$。
这意味着，所有被映射到单位元的元素，恰好就是所有的纯平移变换。
因此，$\pi$ 的核就是所有平移构成的集合 $T = \{ t_v | v \in \mathbb{R}^n \}$。
正规子群 (Normal Subgroup)：这是群论中一个至关重要的概念。一个子群 $N$ 是群 $G$ 的正规子群，如果对于任意 $g \in G$ 和 $n \in N$，元素 $gng^{-1}$ 仍然在 $N$ 中。
一个基本定理是：任何群同态的核都是一个正规子群。
所以，一旦证明了 $\pi$ 是一个同态，它的核 $T$ 就自动成为 $M_n$ 的一个正规子群。

3. 证明过程的逐步解释

证明 $\pi$ 是同态：这是证明的核心。
取任意两个等距变换 $f = t_a \varphi$ 和 $g = t_b \psi$。
根据 $\pi$ 的定义，我们有 $\pi(f)=\varphi$ 和 $\pi(g)=\psi$。
我们需要计算 $\pi(fg)$。首先要计算出复合 $fg$ 的标准分解形式。
$fg = (t_a \varphi)(t_b \psi) = t_a (\varphi t_b) \psi$ （结合律）
这里遇到了 $\varphi t_b$，需要使用上一节的交换规则 (6.2.8)：$\varphi t_b = t_{\varphi(b)} \varphi$。
代入得到：$fg = t_a (t_{\varphi(b)} \varphi) \psi = (t_a t_{\varphi(b)}) (\varphi \psi)$ （结合律）
再次使用平移的复合规则 $t_a t_b = t_{a+b}$，令 $b' = \varphi(b)$，则 $t_a t_{b'} = t_{a+b'}$。
最终得到 $fg$ 的标准分解形式：$fg = t_{a+\varphi(b)} (\varphi \psi)$。
这是一个“先做 $\varphi\psi$ 变换，再平移 $a+\varphi(b)$”的等距变换。
现在对这个结果应用映射 $\pi$。根据定义，$\pi$ 提取其正交算子部分。
所以 $\pi(fg) = \varphi \psi$。
另一方面，我们计算 $\pi(f) \pi(g) = \varphi \psi$。
两者相等！$\pi(fg) = \pi(f)\pi(g)$。同态性质得证。

证明满射和核：
如前所述，满射是显而易见的。
因为 $\pi$ 是同态，根据群论基本定理，其核 $T$ (平移群) 必然是 $M_n$ 的正规子群。证明完成。

💡 [数值示例]

设 $f$ 是先旋转90度再平移 $(5,-2)$，即 $f=t_{(5,-2)}\varphi_{90}$。
$\pi(f) = \varphi_{90}$ (90度旋转)。
设 $g$ 是先反射（沿x轴），再平移 $(1,1)$。$\psi(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$。$g = t_{(1,1)}\psi$。
$\pi(g) = \psi$ (沿x轴反射)。
计算 $\pi(fg)$：
$fg = (t_{(5,-2)}\varphi_{90}) (t_{(1,1)}\psi)$
$= t_{(5,-2)} (\varphi_{90} t_{(1,1)}) \psi$
交换 $\varphi_{90} t_{(1,1)}$: 新平移向量是 $\varphi_{90}(1,1)=(-1,1)$。

所以 $\varphi_{90} t_{(1,1)} = t_{(-1,1)} \varphi_{90}$。

$fg = t_{(5,-2)} t_{(-1,1)} \varphi_{90} \psi$
合并平移: $t_{(5,-2)+(-1,1)} = t_{(4,-1)}$。
$fg = t_{(4,-1)} (\varphi_{90} \psi)$。
根据定义，$\pi(fg) = \varphi_{90} \psi$。
计算 $\pi(f)\pi(g)$：
$\pi(f)\pi(g) = \varphi_{90} \psi$。
两者结果相同，验证了同态性质。
核的例子：
$f$ 是一个纯平移 $f = t_{(3,4)}$。它的标准分解是 $f = t_{(3,4)} I$。
$\pi(f) = I$ (恒等变换)。
所以 $f$ 在 $\pi$ 的核里面。

⚠️ [易错点]

同态的方向：$\pi$ 是从 $M_n$ 到 $O_n$ 的映射，不能反过来。它是一个“多对一”的映射，很多不同的等距变换（有相同旋转/反射部分但不同平移部分）会被映射到同一个正交算子上。
正规子群的意义：$T$ 是正规子群，意味着用任何一个等距变换 $g$ 去“共轭”一个平移 $t_v$ (即计算 $g t_v g^{-1}$)，其结果必然还是一个平移。
我们来验证一下：$g = t_a \varphi$。$g^{-1} = \varphi^{-1} t_{-a}$。
$g t_v g^{-1} = (t_a \varphi) t_v (\varphi^{-1} t_{-a}) = t_a \varphi t_v \varphi^{-1} t_{-a}$
$= t_a (t_{\varphi(v)} \varphi) \varphi^{-1} t_{-a}$ （交换规则）
$= t_a t_{\varphi(v)} (\varphi \varphi^{-1}) t_{-a} = t_a t_{\varphi(v)} I t_{-a} = t_{a+\varphi(v)} t_{-a}$
$= t_{a+\varphi(v)-a} = t_{\varphi(v)}$。
结果是一个平移量为 $\varphi(v)$ 的平移。它确实还在平移群 $T$ 里。这从另一个角度证明了 $T$ 是正规子群。

📝 [总结]

本段揭示了等距变换群 $M_n$ 的一个深刻的内部结构。通过定义一个“只看旋转/反射部分”的映射 $\pi$，我们建立了一个从 $M_n$ 到其子群 $O_n$ (正交群) 的满射同态。这个同态的核恰好是平移群 $T$。根据群论的基本同态定理，这实际上说明了 $O_n$ 同构于 $M_n$ 对 $T$ 的商群 $M_n/T$。换句话说，等距变换群在结构上可以被看作是由平移群 $T$ 和正交群 $O_n$ “粘合”而成的，其粘合方式是一种半直积 $T \rtimes O_n$。

🎯 [存在目的]

这部分的目的在于使用群论的语言来精确描述等距变换的结构。

结构分解：将复杂的 $M_n$ 群分解为两个更基本、我们更了解的群：平移群 $T$ (这是一个交换群) 和正交群 $O_n$ (研究对称性的核心群)。
简化问题：很多关于等距变换的问题，可以被分解为两部分：一部分在核 $T$ 中解决（关于平移），另一部分在商群 $O_n$ 中解决（关于旋转/反射）。
理论高度：它将推论 6.2.7 的“每个元素可以分解”提升到了“整个群可以分解”的层面，是更高层次的抽象和洞察，为后续的代数理论（如半直积）的应用埋下伏笔。

🧠 [直觉心智模型]

想象一个公司的组织架构。

$M_n$ 是公司全体员工，每个人都有一个“职位”（如经理、工程师）和一个“工位号”（如A-01, B-12）。一个员工就是一个 $(职位, 工位号)$ 对。
$O_n$ 是所有“职位”的集合（{经理, 工程师, ...}）。
$T$ 是所有“工位号”的集合。
映射 $\pi$ 就是一个查询操作：“告诉我这个员工的职位是什么？” $\pi(\text{张三, A-01}) = \text{工程师}$。
同态：如果“经理”和“工程师”合作一个项目，其领导作用等同于一个“高级经理”。那么，一个在A-01工位的经理，和一个在B-12工位的工程师合作，无论他们在哪里，他们合作的领导作用仍然是“高级经理”。$\pi$ 保持了这种职务上的合作关系。
核：问：“哪些人的职位是‘无职位’（单位元）？” 答案是所有只有工位号、没有具体职位的人（例如实习生，可以看作是纯粹的“劳动力”，对应平移）。这个“实习生”群体就是核。
正规子群：如果你让一个高级经理（$g$）去管理一个实习生（$t_v$），然后再撤销这个经理的管理权（$g^{-1}$），这个过程 ($gt_vg^{-1}$) 的净效应是把这个实习生变成了另一个实习生（可能换了个任务），但他不会变成经理。实习生群体是“稳定”的，这就是正规子群的直观感受。

💭 [直观想象]

看一部电影。

$M_n$ 是电影的每一帧画面。每一帧都是对初始画面的一次等距变换。
$O_n$ 是电影中所有可能的“镜头旋转角度/镜像翻转”。
$T$ 是电影中所有可能的“镜头平移位置”。
映射 $\pi$ 是一个滤镜，它只显示画面的“旋转/翻转”信息，忽略其“位置”信息。你看到的是一个始终在屏幕中央旋转跳跃的物体。
同态 $\pi(fg)=\pi(f)\pi(g)$ 意味着：先播放第1秒的运动，再播放第2秒的运动，其总的“旋转效果”，等于第1秒的“旋转效果”和第2秒的“旋转效果”的叠加。
核 $\text{Ker}(\pi)=T$ 是那些 $\pi$ 滤镜下“看起来静止不动”的画面。什么样的运动在只看旋转的滤镜下是静止的？答案是纯平移。在纯平移中，物体朝向不变，所以滤镜认为什么都没发生。

6.2.10 坐标变换

📜 [原文10]

坐标变换

设$P$表示一个$n$维空间。等距变换的公式$t_{a} \varphi$取决于我们对坐标的选择，所以我们来问一下当坐标改变时，公式会如何变化。我们将允许通过正交矩阵的改变以及通过平移改变原点。换句话说，我们可以通过任何等距变换来改变坐标。

为了分析这种改变的效果，我们从一个等距变换$f$，$P$中的点$p$及其像$q=f(p)$开始，不参考坐标。当我们引入我们的坐标系时，空间$P$与$\mathbb{R}^{n}$识别，点$p$和$q$具有坐标，例如$x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{t}$和$y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)^{t}$。同样，等距变换$f$将根据坐标有一个公式$t_{a} \varphi$；我们称这个公式为$m$。方程$q=f(p)$转换为

$y=m(x)\left(=t_{a} \varphi(x)\right)$。我们想确定当坐标改变时，坐标向量和公式会发生什么。线性算子的基变换的类似计算提供了线索：$m$将通过共轭改变。

我们的坐标变换将由某个等距变换给出，我们用$\eta$ (eta)表示它。设$p$和$q$的新坐标向量分别为$x^{\prime}$和$y^{\prime}$。$f$的新公式$m^{\prime}$是使得$m^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=y^{\prime}$的那个。我们也有与基变换公式$P X^{\prime}=X(3.5.11)$类似的公式$\eta\left(x^{\prime}\right)=x$。

我们将$\eta\left(x^{\prime}\right)=x$和$\eta\left(y^{\prime}\right)=y$代入方程$m(x)=y$，得到$m \eta\left(x^{\prime}\right) =\eta\left(y^{\prime}\right)$，或者$\eta^{-1} m \eta\left(x^{\prime}\right)=y^{\prime}$。新公式是共轭的，正如预期的那样：

\begin{equation*} m^{\prime}=\eta^{-1} m \eta . \tag{6.2.11} \end{equation*}

📖 [逐步解释]

这部分探讨了一个核心问题：一个等距变换的数学公式是如何依赖于我们选择的坐标系的。

问题的提出
- 一个抽象的等距变换（比如“将某个物体移动到另一个位置”）是独立于坐标系存在的客观实体。
- 但是，我们用来描述它的公式，如 $m(x) = Ax+a$ (其中 $A$ 是正交矩阵)，是依赖于坐标系的。向量 $x$ 和 $a$ 以及矩阵 $A$ 的具体数值都取决于坐标原点在哪里，坐标轴朝向哪里。
- 问题：如果我们换一个坐标系，这个变换的公式会变成什么样？
类比：线性算子的基变换
- 作者提示我们回想一下线性算子的基变换。
- 如果一个线性算子在旧坐标系（旧基）下的矩阵是 $A$，新旧坐标之间的关系是 $x = Px'$（其中 $P$ 是基变换矩阵），那么在新坐标系下，同一个线性算子的矩阵会变成 $A' = P^{-1}AP$。这个 $P^{-1}AP$ 的形式被称为共轭（conjugation）。
- 作者预期，等距变换的公式在坐标变换下，也会发生类似共轭的变化。
建立分析框架
- 抽象空间 $P$：想象一个不依赖任何坐标的、“纯粹”的几何空间，比如一张白纸。
- 抽象变换 $f$：白纸上的一个刚体运动，比如把一个画好的三角形移动到别处。$f$ 是一个从 $P$ 到 $P$ 的映射。
- 抽象点 $p, q$：$p$ 是白纸上的一个点，$q=f(p)$ 是它运动之后到达的点。这些都是客观存在，与坐标无关。
- 引入旧坐标系：我们在白纸上画一个坐标系（我们称之为“旧坐标系”）。
- 空间 $P$ 与 $\mathbb{R}^n$ 识别（identify）：这意味着白纸上的每个点现在都有了一个独一无二的坐标向量。
- 点 $p$ 获得了坐标 $x$。
- 点 $q$ 获得了坐标 $y$。
- 抽象变换 $f$ 现在可以用一个依赖于坐标的公式 $m$ 来描述，满足 $y=m(x)$。这个 $m$ 就是我们之前学的 $t_a \varphi$ 的形式。
- 引入新坐标系：我们擦掉旧坐标系，在白纸上画一个新的坐标系（比如原点不同，轴也旋转了）。
- 点 $p$ 在新坐标系下的坐标是 $x'$。
- 点 $q$ 在新坐标系下的坐标是 $y'$。
- 我们想找的，就是 $f$ 在这个新坐标系下的新公式 $m'$，它必须满足 $y' = m'(x')$。
描述坐标变换本身
- 新旧坐标系之间的关系是怎样的？
- 从新坐标到旧坐标的转换：一个点，它的新坐标是 $x'$。我们想知道它的旧坐标 $x$ 是多少。
- 作者指出，允许的坐标变换本身就是一个等距变换 $\eta$。这意味着新坐标系相对于旧坐标系，也只是进行了一次刚体运动（平移+旋转/反射）。
- 关键关系：$x = \eta(x')$。
- 理解这个公式：这与线性算子的基变换 $x=Px'$ 非常类似。它的意思是，拿一个点的新坐标 $x'$，对它进行 $\eta$ 变换，就能得到它的旧坐标 $x$。
- 直觉例子：假设新坐标系就是把旧坐标系向右平移2个单位。那么 $\eta$ 就是向右平移2的变换, $\eta(z)=z+2$。一个点在新坐标系下的坐标是 $x'=3$，意味着它在新原点的右边3个单位。它的旧坐标是什么？旧原点在新原点的左边2个单位处，所以这个点在旧原点的右边 $3+2=5$ 个单位处。所以旧坐标 $x=5$。这符合 $x = \eta(x') = x'+2 = 3+2=5$。
- 所以，我们有两条转换规则：
- $x = \eta(x')$ (点p的坐标转换)
- $y = \eta(y')$ (点q的坐标转换)
推导新公式 $m'$
- 我们的出发点是在旧坐标系下成立的物理规律：$y = m(x)$。
- 现在，把上面两条坐标转换规则代入这个规律中。
- 用 $\eta(y')$ 替换 $y$，用 $\eta(x')$ 替换 $x$。
- 得到：$\eta(y') = m(\eta(x'))$。
- 我们的目标是找到一个 $m'$，使得 $y' = m'(x')$。所以我们需要把上式中的 $y'$ 解出来。
- 在等式 $\eta(y') = m(\eta(x'))$ 的两边同时从左边施加 $\eta$ 的逆变换 $\eta^{-1}$。
- $\eta^{-1}(\eta(y')) = \eta^{-1}(m(\eta(x')))$
- 左边变成了 $y'$。
- 右边变成了 $(\eta^{-1} m \eta)(x')$。
- 所以我们得到 $y' = (\eta^{-1} m \eta)(x')$。
- 对比我们寻找的目标形式 $y' = m'(x')$，我们立刻发现：
结论
- 新坐标系下的变换公式 $m'$，等于旧公式 $m$ 被坐标变换 $\eta$ 共轭之后的结果。
- 这与线性算子基变换下的矩阵变化规律 $A' = P^{-1}AP$ 在形式上是完全一致的。

∑ [公式拆解]

\begin{equation*} m^{\prime}=\eta^{-1} m \eta . \tag{6.2.11} \end{equation*}

$m$: 等距变换 $f$ 在旧坐标系下的数学公式（例如 $m(x)=Ax+a$）。
$m'$: 同一个等距变换 $f$ 在新坐标系下的数学公式。
$\eta$: 描述坐标变换本身的等距变换。它定义了新坐标与旧坐标之间的关系，具体为 $x_{old} = \eta(x_{new})$。
$\eta^{-1}$: $\eta$的逆变换，它定义了从旧坐标到新坐标的关系: $x_{new} = \eta^{-1}(x_{old})$。
推导过程：

物理关系: $q = f(p)$
旧坐标系下的公式: $y = m(x)$
新坐标系下的目标: $y' = m'(x')$
坐标变换关系: $x = \eta(x')$, $y = \eta(y')$
代入 (2): $\eta(y') = m(\eta(x'))$
两边左乘 $\eta^{-1}$: $\eta^{-1}(\eta(y')) = \eta^{-1}(m(\eta(x')))$
化简: $y' = (\eta^{-1} m \eta)(x')$
对比 (3) 和 (7)，得出 $m' = \eta^{-1} m \eta$。

💡 [数值示例]

设一个等距变换 $m$ 是绕原点的90度旋转: $m(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$。
设坐标变换 $\eta$ 是沿x轴正方向平移2个单位: $\eta(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x'+2 \\ y' \end{pmatrix}$。这意味着新坐标系的原点在旧坐标系的 $(2,0)$ 点。
问题：在新的坐标系下，这个90度旋转看起来是怎样的？它的新公式 $m'$ 是什么？
计算 $\eta^{-1}$: $\eta$ 是向右平移2，它的逆 $\eta^{-1}$ 就是向左平移2。$\eta^{-1}(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x-2 \\ y \end{pmatrix}$。
计算 $m' = \eta^{-1} m \eta$: 这是一个三层复合函数，我们作用于一个新坐标点 $p' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$。

第一步 $\eta(p')$: $\eta(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x'+2 \\ y' \end{pmatrix}$。 (从新坐标转到旧坐标)
第二步 $m(\eta(p'))$: 对上一步的结果进行 $m$ 变换（旋转90度）。

$m(\begin{pmatrix} x'+2 \\ y' \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y' \\ x'+2 \end{pmatrix}$。 (在旧坐标系中完成旋转)

第三步 $\eta^{-1}(m(\eta(p')))$: 对上一步的结果进行 $\eta^{-1}$ 变换（从旧坐标转回新坐标）。

$\eta^{-1}(\begin{pmatrix} -y' \\ x'+2 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} (-y')-2 \\ (x'+2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y'-2 \\ x'+2 \end{pmatrix}$。

结论：新公式是 $m'(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -y'-2 \\ x'+2 \end{pmatrix}$。
直观解释：在旧坐标系看，变换是绕着 $(0,0)$ 点旋转。在以 $(2,0)$ 为原点的新坐标系看来，这个变换是什么样的呢？它变成了绕着新坐标系中的点 $(-2,0)$ 的旋转。一个绕 $(-2,0)$ 的旋转可以分解为：先平移到原点，再旋转，再平移回去。
$p' \rightarrow p' - (-2,0) = (x'+2, y')$
旋转 $\rightarrow (-y', x'+2)$
平移回来 $\rightarrow (-y', x'+2) + (-2,0) = (-y'-2, x'+2)$。
结果与我们通过共轭公式算出来的一样！这说明共轭运算 $m'=\eta^{-1} m \eta$ 在代数上完美地捕捉了“在另一个坐标系下观察同一个几何变换”的效果。

⚠️ [易错点]

$x=\eta(x')$ 的方向：非常容易搞混 $x=\eta(x')$ 和 $x'=\eta(x)$。一定要记住 $x=\eta(x')$ 意味着 $\eta$ 是从新坐标映射到旧坐标的变换。一个好的记忆方法是类比基变换 $X=PX'$，其中 $P$ 的列是旧坐标系下的新基向量。
共轭的顺序：$m' = \eta^{-1} m \eta$ 这个顺序是固定的，不能写成 $\eta m \eta^{-1}$。可以理解为：1. 把新坐标“翻译”成旧坐标($\eta$)；2. 在旧坐标系下执行操作($m$)；3. 把结果“翻译”回新坐标($\eta^{-1}$)。

📝 [总结]

本段的核心结论是，当坐标系通过一个等距变换 $\eta$ 改变时，一个在旧坐标系下公式为 $m$ 的等距变换，其在新坐标系下的新公式 $m'$ 是通过共轭运算得到的：$m' = \eta^{-1} m \eta$。这个变换法则与线性代数中算子矩阵的基变换法则形式完全相同，揭示了一个深刻的代数结构共性。

🎯 [存在目的]

这部分的目的是为了建立“物理实在”与“数学描述”之间的关系。一个几何变换是客观的，但它的公式依赖于观察者的坐标系。

不变性研究：有了这个变换法则，我们就可以研究哪些量在坐标变换下是不变的。例如，一个矩阵的迹（trace）和行列式（determinant）在相似变换（共轭）下是不变的。这启发我们去寻找等距变换在共轭下的不变量，这些不变量能反映变换的内在几何属性，而与坐标选择无关。
问题简化：有时候，一个在某个坐标系下看起来很复杂的变换公式，可以通过巧妙地选择另一个坐标系，让它的公式变得非常简单（例如，变成纯旋转或纯平移）。找到这个“好”的坐标系的过程，就涉及到对共轭变换的理解。
理论一致性：它表明等距变换的坐标变换规律与更广泛的代数结构（如线性算子）中的变换规律是和谐统一的，都遵循共轭这一基本模式。

🧠 [直觉心智模型]

想象你（变换 $m$）是一个只会说中文的医生，要给一个说法语的病人（点 $p'$）看病。

病人 $p'$ 用法语描述他的症状（坐标 $x'$）。
$\eta$ (翻译官)：你需要一个法译中翻译官 $\eta$。他把病人的法语症状 $x'$ 翻译成你听得懂的中文 $x = \eta(x')$。
$m$ (你)：你根据中文症状 $x$ 进行了诊断，并开出了中文药方 $y=m(x)$。
$\eta^{-1}$ (翻译官)：病人看不懂中文药方，所以你需要一个中译法翻译官 $\eta^{-1}$（恰好是之前那个翻译官的逆操作）。他把你的中文药方 $y$ 翻译成病人能看懂的法语药方 $y' = \eta^{-1}(y)$。
新公式 $m'$：从病人的角度看，他只经历了一个黑箱操作 $m'$：输入法语症状 $x'$，得到法语药方 $y'$。这个黑箱 $m'$ 的内部操作流程就是 $m' = \eta^{-1} m \eta$。即“法译中 -> 中文诊断 -> 中译法”。

💭 [直观想象]

你在用一个绘图软件（旧坐标系）里的一个“绕左上角旋转”的工具（变换$m$）。

现在，你把整个画布放大并平移了一下（坐标变换 $\eta$）。
你再去点击那个“绕左上角旋转”的工具，它的行为看起来变了。它不再是绕着你现在屏幕的左上角旋转，而是绕着那个被你移动和缩放过的、原始画布的左上角旋转。
在新画布（新坐标系）下，这个工具的新行为（新公式 $m'$）就是通过 $m'=\eta^{-1}m\eta$ 计算出来的。它描述了旧的几何操作在新的“视窗”下看起来是什么样子。

6.2.11 坐标变换下的同态

📜 [原文11]

推论 6.2.12 当原点通过平移移动时，同态$\pi: M_{n} \rightarrow O_{n}$ (6.2.10) 不变。

当原点通过平移$t_{v}=\eta$移动时，(6.2.11)读作$m^{\prime}=t_{-v} m t_{v}$。由于平移在$\pi$的核中，并且由于$\pi$是同态，所以$\pi\left(m^{\prime}\right)=\pi(m)$。$\square$

📖 [逐步解释]

推论 6.2.12 的核心内容
- 这个推论说的是一个关于映射 $\pi$ 的不变性。
- 映射 $\pi$ 的作用是提取一个等距变换的“旋转/反射”部分。
- 推论指出：如果我们仅仅是平移了一下我们的坐标系（改变原点位置，但不旋转坐标轴），那么对于任何一个固定的等距变换，我们从中提取出的“旋转/反射”部分是不会改变的。
- 换句话说，一个刚体运动的“旋转量”是内禀的，它不依赖于我们把坐标原点放在哪里来观察它。
证明过程的逐步解释
- 第一步：设定坐标变换
- 推论的条件是“原点通过平移移动”。这意味着新坐标系相对于旧坐标系，只是进行了一次平移。
- 设这个平移由向量 $v$ 定义。我们用 $\eta = t_v$ 来表示这个坐标变换。
- 回忆一下，$\eta$ 是从新坐标到旧坐标的映射，所以 $x_{old} = x_{new} + v$。这确实对应于新原点在旧坐标系的 $v$ 点。

第二步：应用坐标变换公式
根据上一节的公式 (6.2.11)，一个在旧坐标系下公式为 $m$ 的变换，在新坐标系下的公式为 $m' = \eta^{-1} m \eta$。
将 $\eta = t_v$ 代入。$\eta^{-1}$ 就是 $t_v^{-1} = t_{-v}$。
所以，新公式为 $m' = t_{-v} m t_v$。

第三步：对新公式应用同态 $\pi$
我们想知道 $m'$ 的“旋转/反射”部分是什么，也就是计算 $\pi(m')$。
$\pi(m') = \pi(t_{-v} m t_v)$。
这里是关键：我们利用 $\pi$ 是一个群同态的性质。同态满足 $\pi(ABC) = \pi(A)\pi(B)\pi(C)$。
所以，$\pi(t_{-v} m t_v) = \pi(t_{-v}) \pi(m) \pi(t_v)$。

第四步：利用核的性质
$t_{-v}$ 和 $t_v$ 都是纯平移变换。
根据命题 6.2.10，所有的平移都在同态 $\pi$ 的核 (kernel) 中。
根据核的定义，任何在核里的元素，经过 $\pi$ 映射后，都会变成目标群的单位元。
$O_n$ 群的单位元是恒等变换 $I$。
所以，$\pi(t_{-v}) = I$ 且 $\pi(t_v) = I$。

第五步：得出结论
将上一步的结果代入：

$\pi(m') = \pi(t_{-v}) \pi(m) \pi(t_v) = I \cdot \pi(m) \cdot I$。

用单位元 $I$ 去乘任何元素，都等于那个元素本身。
所以，$\pi(m') = \pi(m)$。
证明完毕：这表明，变换前后的公式 $m$ 和 $m'$，它们的“旋转/反射”部分是完全相同的。同态 $\pi$ 的值在坐标系平移下保持不变。

💡 [数值示例]

设定
等距变换 $m$: 先绕原点旋转90度，再平移 $(3,4)$。

$m = t_{(3,4)} \varphi_{90}$。

它的旋转部分是 $\pi(m) = \varphi_{90}$。

坐标变换 $\eta$: 将坐标系原点移动到旧坐标的 $v=(10,0)$ 处。

$\eta = t_{(10,0)}$。

计算新公式 $m'$
$m' = \eta^{-1} m \eta = t_{(-10,0)} (t_{(3,4)} \varphi_{90}) t_{(10,0)}$
$= t_{(-10,0)} t_{(3,4)} (\varphi_{90} t_{(10,0)})$
$= t_{(-7,4)} (\varphi_{90} t_{(10,0)})$
应用交换规则 $\varphi_{90}t_{(10,0)} = t_{\varphi_{90}(10,0)} \varphi_{90} = t_{(0,10)} \varphi_{90}$。
$m' = t_{(-7,4)} t_{(0,10)} \varphi_{90} = t_{(-7, 14)} \varphi_{90}$。
分析结果
旧公式 $m = t_{(3,4)} \varphi_{90}$。它的旋转部分是 $\varphi_{90}$，平移部分是 $(3,4)$。
新公式 $m' = t_{(-7,14)} \varphi_{90}$。它的旋转部分仍然是 $\varphi_{90}$，但平移部分变成了 $(-7,14)$。
计算 $\pi(m')$: 根据定义，$\pi(m')$ 就是 $m'$ 的旋转部分，即 $\varphi_{90}$。
比较: $\pi(m') = \varphi_{90}$ 并且 $\pi(m) = \varphi_{90}$。
结论: $\pi(m') = \pi(m)$。这个例子验证了推论，即坐标系的平移只改变了等距变换公式中的平移部分，而没有改变其旋转/反射部分。

⚠️ [易错点]

推论的适用范围：这个推论只适用于坐标变换是纯平移的情况。如果坐标变换 $\eta$ 本身也包含旋转（即 $\eta$ 是一个一般的等距变换），那么结论 $\pi(m') = \pi(m)$ 一般不成立。
在这种情况下，$m' = \eta^{-1} m \eta$。设 $m=t_a\varphi, \eta=t_b\psi$。
$\pi(m') = \pi(\eta^{-1}m\eta) = \pi(\eta^{-1})\pi(m)\pi(\eta) = \psi^{-1} \varphi \psi$。
$\pi(m') = \psi^{-1} \varphi \psi$ 通常不等于 $\pi(m) = \varphi$（除非 $\psi$ 和 $\varphi$ 恰好可以交换）。
几何意义：如果观察者自己也转了个身（坐标系旋转），那么他观察到的同一个物体运动的“旋转量”也会发生改变。例如，你看到一个物体顺时针转了30度，但如果你自己同时逆时针转了10度，那么在你看来，那个物体只顺时针转了20度。

📝 [总结]

推论 6.2.12 指出了同态映射 $\pi$ 的一个重要不变性：它所提取出的正交（旋转/反射）部分，是一个不随坐标系原点平移而改变的内禀属性。证明巧妙地运用了群论的语言，将坐标变换下的公式变化 $m' = t_{-v} m t_v$ 与同态 $\pi$ 的性质（$\pi$是同态且其核为平移群）相结合，简洁地得出了 $\pi(m') = \pi(m)$ 的结论。

🎯 [存在目的]

这个推论的目的是强调等距变换分解 $f=t_a\varphi$ 中，$\varphi$ 部分的“更加基本”的地位。

定义内禀属性：它告诉我们，一个刚体运动的“旋转/反射”分量是独立于我们从哪里开始测量的（只要我们不改变测量的方向）。这使得“旋转/反射”成为一个可以脱离坐标系进行讨论的、更本质的几何属性。
简化分类：当我们对等距变换进行分类时（例如，分为“旋转”、“反射”、“螺旋运动”等），这个分类应该只依赖于内禀属性 $\varphi$，而不应该因为我们换了个地方观察就改变。这个推论为这种分类的合理性提供了理论依据。
承上启下：它为下一节“定向”做了铺垫。一个变换是“保持定向”还是“反转定向”，将完全由 $\pi(f)=\varphi$ 的行列式决定。由于 $\pi(f)$ 不随坐标原点改变，所以“定向”这个概念也是一个内禀的、与坐标原点选择无关的性质。

🧠 [直觉心智模型]

想象你在分析一段视频，视频中有一个物体在运动（变换$m$）。你的分析工具是 $\pi$，它可以告诉你这个物体在每一帧的“朝向”（旋转/反射状态 $\varphi$）。

推论的场景：你现在在用一个视频编辑器，你使用了“平移”工具，把整个视频画面在屏幕上挪动了一下（坐标系平移 $\eta=t_v$）。视频的内容本身没有变，只是播放的窗口位置变了。
推论的结论：你再次使用分析工具 $\pi$ 去分析被移动过的视频（变换$m'$），它报告的物体“朝向”信息 $\pi(m')$，和你移动视频前分析得到的“朝向”信息 $\pi(m)$，是完全一样的。
结论：物体的朝向（旋转状态）是物体的内禀属性，和你把播放窗口放在屏幕的哪个角落无关。

💭 [直观想象]

你正站在地面上观察一架正在飞行的飞机。

飞机自身的运动 (m)：飞机正在进行一个复杂的机动，比如同时向上爬升、向北飞行并向右侧翻滚。这是一个等距变换。
你的观察 (π(m))：你眯起眼睛，忽略飞机的远近和位置变化，只关注它自身的姿态变化。你判断出：“它正在向右侧翻滚”。这个“向右侧翻滚”就是 $\pi(m)$，是运动的旋转部分。
坐标系平移 (η)：现在，你跳上一辆向东行驶的火车，继续观察这架飞机。你的坐标系原点相对于地面发生了平移。
推论的结论 (π(m')=π(m))：在火车上，你看到的飞机位置轨迹（$m'$）与在地面上看到的不同了。但是，当你再次眯起眼睛，忽略位置，只看姿态时，你仍然会得出结论：“它正在向右侧翻滚”。飞机“侧翻”这个事实，不因为你是在地面上还是在匀速行驶的火车上观察而改变。这个不随观察者平移而变的属性，就是 $\pi(f)$。

6.2.12 定向

📜 [原文12]

定向

$\mathbb{R}^{n}$上的正交算子$\varphi$的行列式是$\pm 1$。如果行列式为1，则称该算子保持定向；如果行列式为-1，则称该算子反转定向。类似地，一个保持定向（或反转定向）的等距变换$f$是指当它写成$f=t_{a} \varphi$的形式时，算子$\varphi$是保持定向（或反转定向）的。平面的等距变换如果交换平面的前后，则是反转定向的；如果将前面映射到前面，则是保持定向的。

映射

\begin{equation*} \sigma: M_{n} \rightarrow\{ \pm 1\} \tag{6.2.13} \end{equation*}

它将保持定向的等距变换映射到1，将反转定向的等距变换映射到-1，是一个群同态。

📖 [逐步解释]

这部分引入了定向（orientation）的概念，并用它来对等距变换进行一个非常重要的二元分类。

定向的来源：正交算子的行列式
- 我们知道正交算子 $\varphi$ 可以用一个正交矩阵 $A$ 来表示。
- 正交矩阵的定义是 $A^T A = I$ (单位矩阵)。
- 对这个等式两边取行列式：$\det(A^T A) = \det(I)$。
- 利用行列式的性质 $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ 和 $\det(A^T)=\det(A)$，我们得到：
- 而单位矩阵的行列式是1，即 $\det(I)=1$。
- 所以，$(\det(A))^2 = 1$。
- 这意味着正交矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$ 只有两种可能的值：$+1$ 或 $-1$。
根据行列式定义定向
- 保持定向 (orientation-preserving)：如果正交算子 $\varphi$ 对应矩阵的行列式为 $+1$，则称 $\varphi$ 保持定向。
- 在 $\mathbb{R}^2$ 中，这对应于旋转。
- 在 $\mathbb{R}^3$ 中，这对应于旋转。
- 反转定向 (orientation-reversing)：如果正交算子 $\varphi$ 对应矩阵的行列式为 $-1$，则称 $\varphi$ 反转定向。
- 在 $\mathbb{R}^2$ 中，这对应于反射。
- 在 $\mathbb{R}^3$ 中，这对应于反射，或者“旋转+反射”的组合（称为“瑕旋转”或“旋转反射”）。
将定向概念推广到一般等距变换
- 一个一般的等距变换 $f$ 本身没有行列式，因为它不一定是线性的。
- 但是，我们有唯一的分解 $f = t_a \varphi$。这个变换 $f$ 的“本质”旋转/反射行为完全由其正交部分 $\varphi$ 决定。
- 因此，我们定义 $f$ 的定向性质与其正交部分 $\varphi$ 的定向性质相同。
- 如果 $\det(\varphi)=+1$，我们说 $f$ 是保持定向的。
- 如果 $\det(\varphi)=-1$，我们说 $f$ 是反转定向的。
- 这个定义的合理性依赖于推论 6.2.12：因为 $\varphi = \pi(f)$ 不随坐标原点的平移而改变，所以一个变换是保持定向还是反转定向，也是一个不依赖于坐标原点选择的内禀属性。
定向的直观几何解释
- 平面的例子：想象一张纸，一面是白色（前面），一面是灰色（后面）。
- 保持定向的变换（如在纸面上滑动和旋转）无论怎么移动，你看到的永远是白色的一面。
- 反转定向的变换（如把纸翻过来）会导致你看到灰色的一面。它交换了“前”和“后”。
- 三维空间的例子：
- 你的右手。它由大拇指、食指、中指构成一个“右手系”坐标。
- 保持定向的变换（平移和旋转）会把你的右手移动到空间中另一个位置，但它仍然是一只右手。
- 反转定向的变换（如镜面反射）会把它变成一只左手。你永远无法通过旋转和平移把你的右手变成左手。
- “定向”在代数上就是行列式的符号，在几何上就是区分“右手系”和“左手系”的性质。
映射 $\sigma$ 与群同态
- 我们定义一个新的映射 $\sigma$，它作用于等距变换群 $M_n$。
- $\sigma: M_n \rightarrow \{+1, -1\}$。这里的 $\{+1, -1\}$ 是一个只有两个元素的集合，它在乘法下构成一个简单的群（$1 \cdot 1=1, 1 \cdot (-1)=-1, (-1) \cdot (-1)=1$）。
- 映射规则：
- 如果 $f$ 保持定向，则 $\sigma(f) = +1$。
- 如果 $f$ 反转定向，则 $\sigma(f) = -1$。
- 如何计算 $\sigma(f)$？
分解 $f = t_a \varphi$。
找到 $\varphi$ 对应的矩阵 $A$。
计算 $\det(A)$。
$\sigma(f) = \det(A)$。
- 所以，$\sigma$ 可以看作是两个映射的复合：$\sigma = \det \circ \pi$。即先用 $\pi$ 提取出正交部分 $\varphi$，再取其行列式。

$\sigma$ 是一个群同态：
这意味着 $\sigma(fg) = \sigma(f) \sigma(g)$。
证明：
我们知道 $\pi$ 是一个同态：$\pi(fg) = \pi(f)\pi(g)$。
我们还知道行列式 $\det$ 对于矩阵乘法（即算子复合）也是一个同态：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$。
$\sigma(fg) = \det(\pi(fg))$ （根据 $\sigma$ 的定义）
$= \det(\pi(f)\pi(g))$ （因为 $\pi$ 是同态）
$= \det(\pi(f)) \det(\pi(g))$ （因为 $\det$ 是同态）
$= \sigma(f) \sigma(g)$ （根据 $\sigma$ 的定义）
结论：$\sigma$ 确实是一个群同态。

∑ [公式拆解]

\begin{equation*} \sigma: M_{n} \rightarrow\{ \pm 1\} \tag{6.2.13} \end{equation*}

$\sigma$: (sigma) 映射的名称，通常用于表示“符号”或“正负号”。
$M_n$: 源群，即所有$n$维等距变换的群。
$\{ \pm 1\}$: 目标群，也写作 $C_2$，是一个二元乘法群。
映射的含义：这是一个群同态，它将等距变换分为两类。
所有保持定向的等距变换（旋转、平移、螺旋运动）都被映射到 1。这个集合本身构成了 $M_n$ 的一个正规子群，称为特殊欧几里得群 $SE(n)$，它是 $\sigma$ 的核。
所有反转定向的等距变换（反射、滑移反射等）都被映射到 -1。这个集合是一个陪集。

💡 [数值示例]

示例1：保持定向
$f$ 是先旋转90度再平移 $(5,-2)$。$f=t_{(5,-2)}\varphi_{90}$。
$\pi(f) = \varphi_{90}$。
$\varphi_{90}$ 的矩阵是 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
$\det(A) = 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 = 1$。
所以 $\sigma(f) = +1$。$f$ 是保持定向的。几何上，这是一个旋转加平移，它不会把“右手”变成“左手”。

示例2：反转定向
$g$ 是沿x轴的反射。$g(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$。
这是一个正交算子，它的分解是 $g = t_0 g$。
$\pi(g) = g$。
$g$ 的矩阵是 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。
$\det(B) = 1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0 = -1$。
所以 $\sigma(g) = -1$。$g$ 是反转定向的。几何上，它把一个包含y轴正向的“右手系”变成了包含y轴负向的“左手系”。

示例3：同态性质验证
考虑 $f$ 和 $g$ 的复合 $fg$。
$\sigma(f) = 1$, $\sigma(g) = -1$。同态性质预测 $\sigma(fg) = \sigma(f)\sigma(g) = 1 \cdot (-1) = -1$。
让我们来计算：
$fg = t_{(5,-2)}\varphi_{90} g$。
$\pi(fg) = \pi(t_{(5,-2)}\varphi_{90} g) = \varphi_{90} g$。
$\sigma(fg) = \det(\varphi_{90} g) = \det(\varphi_{90}) \det(g) = (+1) \cdot (-1) = -1$。
预测正确。一个保持定向的变换和一个反转定向的变换复合后，结果是反转定向的。

⚠️ [易错点]

平移不影响定向：纯粹的平移 $t_a$ ($a \neq 0$)，其分解为 $t_a I$。其正交部分是恒等算子 $I$。$\det(I)=1$。所以任何纯平移都是保持定向的。这很符合直觉，你把一个物体从桌子一头搬到另一头，它的左右手朝向不会改变。
特殊欧几里得群 $SE(n)$：所有保持定向的等距变换的集合，即 $\sigma$ 的核，自身也构成一个非常重要的群，记作 $SE(n)$。它是 $M_n$ 的指数为2的正规子群。在机器人学和计算机视觉中，物体的姿态通常用 $SE(3)$ 中的元素来表示。

📝 [总结]

本段通过正交算子的行列式（只能是 $\pm 1$），定义了定向（orientation）的概念，并将等距变换分为保持定向（行列式为+1）和反转定向（行列式为-1）两大类。这种分类是通过考察等距变换唯一分解 $f=t_a\varphi$ 中正交部分 $\varphi$ 的行列式来实现的。最后，定义了一个映射 $\sigma$ 来捕捉这种分类，并证明了 $\sigma$ 是一个从等距变换群 $M_n$ 到乘法群 $\{\pm 1\}$ 的群同态。

🎯 [存在目的]

引入定向的概念是为了对等距变换进行更精细的、具有深刻几何意义的分类。

区分本质不同的运动：它从代数上严格区分了“旋转”类的运动（保持定向）和“反射”类的运动（反转定向）。例如，在三维中，任何保持定向的刚体运动都可以通过连续的微小运动实现（比如从一个姿态平滑地变成另一个姿态）。但你无法通过平滑的连续运动将你的右手变成左手，这中间必须有一次“断裂”性的反射操作。
物理学应用：在物理学中，很多守恒律与对称性有关。某些相互作用（如电磁相互作用）在反射下是不变的（宇称守恒），而某些相互作用（如弱相互作用）则不是。定向这个概念是讨论宇称（Parity）对称性的数学基础。
群论结构：定义同态 $\sigma$ 进一步揭示了 $M_n$ 的结构。它说明 $M_n$ 可以被分为两个大小相等的部分：保持定向的变换（子群 $SE(n)$）和反转定向的变换（$SE(n)$ 的一个陪集）。

🧠 [直觉心智模型]

将等距变换想象成一系列操作指令。

$\pi$ 同态：就像一个“审计员”，他只关心指令中的“旋转/反射”部分，忽略“平移”部分。
$\sigma$ 同态：就像一个“高级审计员”，他看审计员 $\pi$ 拿来的“旋转/反射”指令，进一步简化，只在报告上盖一个章：“合格”（+1，保持定向）或“不合格”（-1，反转定向）。
$\sigma$ 是同态：意味着，如果你把两个指令合起来执行，高级审计员对这个组合指令盖的章，等于他分别给两个单独指令盖的章的乘积。例如，一个“合格”操作跟着一个“不合格”操作，总体就是“不合格”（$1 \times -1 = -1$）。两个“不合格”操作合在一起，反而变成了“合格”（$-1 \times -1 = 1$，例如照两次镜子等于没照）。

💭 [直观想象]

你在一面巨大的镜子前跳舞。

你的运动 (f)：你做的每个动作都是一个保持定向的等距变换。$\sigma(f)=+1$。
镜子反射 (g)：镜子本身是一个反转定向的等距变换。$\sigma(g)=-1$。
镜中你的像的运动 (gfg^{-1})：你看到镜子里的你也在跳舞。他的每个动作 $f'$ 是 $gfg^{-1}$。
$\sigma(f') = \sigma(gfg^{-1}) = \sigma(g)\sigma(f)\sigma(g^{-1})$。
因为 $g^{-1}$ 也是反射，所以 $\sigma(g^{-1})=-1$。
$\sigma(f') = (-1)(+1)(-1) = +1$。
这意味着镜子里的像做的动作，就其本身而言，也是保持定向的。你跳了一段右手順滑的舞，镜子里的像也跳了一段左手順滑的舞，他没有在自己的世界里突然左右手互换。
从真实世界到镜像世界：从你（真实世界）到你的像（镜像世界）的变换是 $g$ (反射)，这是一个反转定向的操作，$\sigma(g)=-1$。它把你这个“右手人”变成了“左手人”。

2行间公式索引

1. 等距变换的定义

\begin{equation*} |f(u)-f(v)|=|u-v| . \tag{6.2.1} \end{equation*}

这个公式定义了等距变换$f$，即变换后的任意两点$f(u), f(v)$的距离等于变换前两点$u, v$的距离。

2. 引理6.2.4的证明核心

((x-y) \cdot(x-y))=(x \cdot x)-2(x \cdot y)+(y \cdot y)=0 .

此公式用于证明如果$(x \cdot x)=(x \cdot y)=(y \cdot y)$，那么向量$x-y$的长度平方为零，从而$x=y$。

3. 证明(b)⇒(c)中的待证相等点积

\left(w^{\prime} \cdot w^{\prime}\right), \quad\left(w^{\prime} \cdot\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)\right), \quad \text { 和 } \quad\left(\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right) \cdot\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)\right)

为了使用引理证明$w' = u'+v'$，需要证明这三个关于变换后向量的点积是相等的。

4. 证明(b)⇒(c)中的展开形式

\left(w^{\prime} \cdot w^{\prime}\right)=\left(w^{\prime} \cdot u^{\prime}\right)+\left(w^{\prime} \cdot v^{\prime}\right)=\left(u^{\prime} \cdot u^{\prime}\right)+2\left(u^{\prime} \cdot v^{\prime}\right)+\left(v^{\prime} \cdot v^{\prime}\right) .

这是上一个表达式中三个点积展开后的形式，证明它们相等是证明线性可加性的关键。

5. 证明(b)⇒(c)中的无撇形式

\begin{equation*} (w \cdot w)=(w \cdot u)+(w \cdot v)=(u \cdot u)+2(u \cdot v)+(v \cdot v) . \tag{6.2.5} \end{equation*}

利用“保持点积”的假设，将关于$u',v',w'$的待证等式转化为了这个关于$u,v,w$的代数恒等式。

6. 证明(a)⇒(b)的起点

\begin{equation*} \left(\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right) \cdot\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right)\right)=((u-v) \cdot(u-v)), \tag{6.2.6} \end{equation*}

这是等距变换定义两边平方后的点积形式，是推导“保持点积”性质的出发点。

7. 等距变换的复合规则

\begin{equation*} t_{a} t_{b}=t_{a+b} \quad \text { and } \quad \varphi t_{a}=t_{a^{\prime}} \varphi, \quad \text { where } \quad a^{\prime}=\varphi(a) . \tag{6.2.8} \end{equation*}

此公式给出了平移与平移的复合规则，以及正交算子与平移交换顺序的规则。

8. 坐标变换下的公式变化

\begin{equation*} m^{\prime}=\eta^{-1} m \eta . \tag{6.2.11} \end{equation*}

该公式表明，在坐标系经过等距变换$\eta$后，原变换公式$m$会通过共轭运算变为新公式$m'$。

9. 定向映射的定义

\begin{equation*} \sigma: M_{n} \rightarrow\{ \pm 1\} \tag{6.2.13} \end{equation*}

定义了一个从等距变换群$M_n$到乘法群$\{\pm1\}$的群同态$\sigma$，用于判断变换是保持定向（+1）还是反转定向（-1）。