1. 平面等距变换的代数与几何描述

本段是这一节的开篇，阐述了本节的核心目标和研究方法。

1. 研究对象: 平面的等距变换（isometries of the plane）。等距变换指的是平面上的一种变换（可以想象成移动或翻转），它保持任意两点之间的距离不变。就像你移动一张刚性纸片，纸片上任意两个点之间的距离在移动前后都是一样的。这种变换不会拉伸、压缩或撕裂平面。常见的等距变换包括平移、旋转和反射。
2. 研究角度: 作者提出了两个角度来描述这些变换：
   • 代数角度：将这些变换看作是一个代数结构——群 (Group) 的元素。群是一个集合，配上一种二元运算（在这里是变换的复合，即先做一个变换再做另一个），满足一些特定的公理（封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元）。我们会用符号、公式和方程来描述这些变换以及它们之间的相互作用。
   • 几何角度：关注这些变换在视觉上是如何改变平面的。例如，一个变换是把整个平面向右移动了3个单位，还是绕着某个点旋转了90度。
3. 研究方法:
   • 将所有平面的等距变换的集合记为 $M$。这个 $M$ 和变换的复合运算一起构成了一个群，称为平面的等距变换群。
   • 为了研究这个群 $M$，我们不需要列出其中所有的变换（因为有无穷多个）。相反，我们采用一种更高效的方法：找到一小组最基本的变换，称为生成元 (generators)。通过反复组合这些生成元，我们可以得到 $M$ 中的任何一个等距变换。这就像用红、黄、蓝三种基本颜色可以混合出各种颜色一样。
   • 定义了生成元之后，我们需要了解它们之间是如何相互作用的。这些相互作用的规则被称为关系 (relations)。例如，一个旋转和一个平移组合起来，会得到一个新的变换，这个新变换是什么？这就是关系要回答的问题。
4. 类比: 作者用对称群 $S_3$ 来类比。$S_3$ 是一个包含6个元素的有限群，它可以被一个旋转和一个反射这两个生成元所生成，并且它们之间满足一些简单的关系。而我们现在研究的等距变换群 $M$ 是一个无限群，因为它包含无数个平移（可以向任何方向移动任何距离）和旋转（可以绕任何点旋转任何角度）。因此，$M$ 的生成元之间的关系会比 $S_3$ 更复杂、更多样。

这段话定义了研究平面等距变换群 $M$ 所需的“基本积木”——生成元。

1. 建立坐标系: 为了用代数（数字和矩阵）来描述几何（点和变换），我们首先要在平面 $P$ 上建立一个笛卡尔坐标系。这样，平面上的每一个点都可以用一个坐标对 $(x_1, x_2)$ 来表示。这个坐标对可以看作是二维实数空间 $\mathbb{R}^2$ 中的一个向量 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$。这么做的本质是“数字化”几何空间。
2. 选择生成元: 作者没有选择所有类型的等距变换，而是只选了三种最基本的、特殊的变换作为生成元：
   • 平移 (translation): 记为 $t_a$，表示将平面上的每个点都移动一个向量 $a$ 的距离和方向。
   • 关于原点的旋转 (rotation about the origin): 记为 $\rho_{\theta}$，表示将平面上的每个点都绕着坐标系的原点 $(0,0)$ 逆时针旋转一个角度 $\theta$。
   • 关于 $e_1$-轴的反射 (reflection about the $e_1$-axis): 记为 $r$。这里的 $e_1$-轴就是我们通常说的 $x$-轴。这个变换就像沿着 $x$-轴放了一面镜子，把每个点都翻到它的镜像位置。
3. 生成元的特殊性: 注意，这里选择的旋转和反射都是非常特殊的。旋转必须是绕着原点的，反射必须是关于 $x$-轴的。为什么可以做这样的简化？因为后面会证明，任何等距变换（比如绕任意点 $p$ 的旋转，或关于任意直线 $\ell$ 的反射）都可以通过这三种基本生成元的组合来得到。
4. 符号约定:
   • $\rho_{\theta}$: 表示绕原点逆时针旋转角度 $\theta$。$\rho$ 是 rotation 的希腊字母写法。
   • $r$: 表示关于 $x$-轴（$e_1$-轴）的反射。$r$ 是 reflection 的首字母。
5. 与线性代数关联: 作者提到，旋转 $\rho_{\theta}$ 和反射 $r$ 都是线性算子。这意味着它们可以用矩阵来表示。一个变换 $f$ 是线性的，如果它满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 和 $f(cx)=cf(x)$。绕原点的旋转和关于过原点的直线的反射都满足这个性质。而平移（只要平移向量非零）不是线性算子，因为它不满足 $f(0)=0$（它会把原点移动到其他地方）。

这一部分给出了上一段提到的三种生成元的具体数学公式。

1. 平移 (Translation):
   • $t_a(x) = x + a$：这是平移的向量表示。$t_a$ 是作用在点 $x$ 上的变换，其结果是点 $x$ 的位置向量与平移向量 $a$ 相加。
   • $\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right]$：这是分量表示。点 $(x_1, x_2)$ 被移动到点 $(x_1+a_1, x_2+a_2)$。$x$ 坐标移动 $a_1$， $y$ 坐标移动 $a_2$。
2. 旋转 (Rotation):
   • $\rho_{\theta}(x) = R_{\theta}x$：这是旋转的矩阵表示。绕原点旋转一个角度 $\theta$ 的变换 $\rho_{\theta}$ 可以通过将点的坐标向量 $x$ 左乘一个 $2 \times 2$ 的旋转矩阵来实现。
   • $\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$：这是著名的二维旋转矩阵。当它乘以一个向量 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ 时，得到的新向量就是原向量绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角后的位置。
3. 反射 (Reflection):
   • $r(x) = S_0 x$: 这是关于 $x$ 轴（$e_1$ 轴）反射的矩阵表示。这个变换 $r$ 也是一个线性变换，可以通过左乘一个反射矩阵 $S_0$ 来实现。
   • $\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]$: 这是关于 $x$ 轴的反射矩阵。当它乘以一个向量 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ 时，结果是 $\begin{pmatrix} 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 \\ 0 \cdot x_1 + (-1) \cdot x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_2 \end{pmatrix}$。这正是点 $(x_1, x_2)$ 关于 $x$ 轴的镜像点。

这段话处理了一个潜在的疑问，并做出了一个核心论断。

1. 提出疑问/承认不足: 作者坦诚，我们刚刚定义的三种基本操作（平移、$t_a$；绕原点旋转、$\rho_\theta$；关于 $x$ 轴反射，$r$）显然不是全部的等距变换。例如：
   • 不通过原点的旋转: 比如，绕点 $(1,1)$ 旋转 $45^\circ$。这是一个合法的等距变换，但它不是我们定义的 $\rho_{45^\circ}$。
   • 关于其他直线的反射: 比如，关于直线 $y=x$ 的反射。
   • 滑移反射 (glide reflection): 这是一种更复杂的变换，它由一个反射和一个平行于反射轴的平移组合而成。想象在雪地上走路的脚印，左脚印和右脚印大致是镜像对称的，但又向前错开了一段距离。
2. 核心论断: 尽管我们只列出了三种“特殊”的变换，但这个集合已经足够了。这个论断是：“$M$ 的每个元素都是这些等距变换的乘积”。
   • “乘积”在这里指的是变换的复合（composition）。例如，$\rho_\theta \circ t_a$ 表示先进行平移 $t_a$，再进行旋转 $\rho_\theta$。（注意：函数复合的顺序是从右到左）。
   • 这个论断意味着，任何你能想到的平面等距变换，无论它看起来多么复杂（如绕任意点的旋转或滑移反射），都可以被拆解成一系列我们定义的三种基本变换的组合。
3. 生成群 (generate the group): 这个核心论断直接引出了结论——我们选出的这三种变换（平移、绕原点旋转、关于 $x$ 轴反射）是等距变换群 $M$ 的一个生成集 (generating set)。它们是构建整个群 $M$ 的基本材料。

这个定理是本节第一个重要的结构性结论。它为平面上的任何一个等距变换 $m$ 提供了一个“标准范式”或“标准分解式”。

1. 定理内容: 它说，任何一个等距变换 $m$ 都可以被写成以下两种形式之一：
   • 形式一: $m = t_v \rho_\theta$。这是一个绕原点的旋转 $\rho_\theta$，后面跟着一个平移 $t_v$。
   • 形式二: $m = t_v \rho_\theta r$。这是一个关于 $x$ 轴的反射 $r$，然后是一个绕原点的旋转 $\rho_\theta$，最后是一个平移 $t_v$。（注意复合顺序从右到左）。
2. 唯一性: 这种表示法是唯一的。对于一个给定的等距变换 $m$，能把它写成上述形式的平移向量 $v$ 和旋转角度 $\theta$ 是独一无二的。
3. 分类: 这个定理实际上将所有等距变换分成了两大类：
   • 保持定向 (orientation-preserving) 的变换，它们可以被写成 $t_v \rho_\theta$ 的形式。直观上，这些变换像是把平面作为一个刚性物体来移动和旋转，但不会“翻面”。比如，如果你在平面上画了一个顺时针的圆，经过这类变换后，它依然是顺时针的。平移和旋转都属于这一类。
   • 改变定向 (orientation-reversing) 的变换，它们可以被写成 $t_v \rho_\theta r$ 的形式。这些变换中包含了一次反射（翻面操作）。经过这类变换后，原来顺时针的圆会变成逆时针的。反射和滑移反射属于这一类。
4. $\theta$ 可能为零: 定理中提到 $\theta$ 可能为零。如果 $\theta=0$，那么 $\rho_0$ 就是恒等变换（不做任何旋转），因为旋转矩阵变成单位矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
   • 当 $\theta=0$ 时，形式一 $m=t_v \rho_0 = t_v$，就是一个纯粹的平移。
   • 当 $\theta=0$ 时，形式二 $m=t_v \rho_0 r = t_v r$，就是一个反射再加一个平移。这就是滑移反射的一般形式。

[证明思路解析]

1. 引用先前的结论 (推论 6.2.7): 证明的第一步是引用一个更早的结论：任何等距变换 $m$ 都可以被唯一地分解为一个平移 $t_v$ 和一个正交算子 $\varphi$ 的复合，即 $m = t_v \varphi$。
   • 正交算子 $\varphi$ 是一个保持原点不变的等距变换。在几何上，它保持向量的长度和向量之间的夹角不变。在线性代数中，它的矩阵 $Q$ 满足 $Q^T Q = I$（正交矩阵）。
2. 分类二维正交算子: 证明的第二步是具体化在二维平面 $\mathbb{R}^2$ 上，正交算子 $\varphi$ 到底有哪些。结论是，它们只有两种：
   • 旋转: 绕原点的旋转 $\rho_\theta$。这些变换的矩阵是 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$，其行列式为 $\cos^2\theta - (-\sin^2\theta) = 1$。这些是保持定向的正交算子。
   • 反射: 关于一条穿过原点的直线的反射。之前的章节 (5.1.17) 已经证明，任何这样的一条反射都可以表示为“先做一个标准的关于 $x$ 轴的反射 $r$，然后再做一个合适的绕原点的旋转 $\rho_\theta$”。也就是说，任何关于过原点直线的反射都可以写成 $\rho_\theta r$ 的形式。这些变换的矩阵行列式为 $-1$，是改变定向的正交算子。
3. 组合结论: 将步骤1和2结合起来：
   • 既然任何等距变换是 $m = t_v \varphi$，而 $\varphi$ 要么是 $\rho_\theta$，要么是 $\rho_\theta r$。
   • 那么 $m$ 就必然是 $m = t_v \rho_\theta$ 或者 $m = t_v \rho_\theta r$。
   • 由于 $m=t_v\varphi$ 的分解是唯一的，而 $\varphi$ 到 $\rho_\theta$ 或 $\rho_\theta r$ 的表示也是唯一的，因此整个分解 $m=t_v\rho_\theta$ 或 $m=t_v\rho_\theta r$ 中的 $v$ 和 $\theta$ 也是唯一的。

这段话是对定理 6.3.2 分类的几何意义的阐述。

1. 定向 (Orientation): 平面的定向可以直观地理解为“顺时针”和“逆时针”方向的区分。你可以在平面上画一个带箭头的圆弧，或者画一个带顶点顺序的三角形（如 $ABC$）。
2. 保持定向 (Orientation-Preserving): 一个变换如果保持定向，意味着它不会改变这种“顺时针/逆时针”的性质。
   • 如果你有一个按 $A \rightarrow B \rightarrow C$ 顺序为逆时针的三角形，经过变换后得到新三角形 $A'B'C'$，那么 $A' \rightarrow B' \rightarrow C'$ 的顺序也必须是逆时针的。
   • 平移 $t_v$ 只是把图形平移，显然不改变定向。
   • 旋转 $\rho_\theta$ 只是把图形转动，也不改变定向。
   • 它们的复合 $t_v \rho_\theta$ 自然也保持定向。
   • 从线性代数角度看，这种变换的线性部分（即 $\rho_\theta$）的矩阵行列式为 $+1$。
3. 改变定向 (Orientation-Reversing): 一个变换如果改变定向，意味着它会颠倒“顺时针/逆时针”的性质。
   • 如果原来的三角形 $ABC$ 是逆时针的，变换后的 $A'B'C'$ 会变成顺时针的。
   • 这本质上是一个“翻面”操作，就像你看镜子里的自己，你的左手在镜像里变成了“右手”（相对于镜像身体的左右）。
   • 反射 $r$ 是最基本的改变定向的变换。
   • 任何包含奇数次反射的复合变换都会改变定向。形式 $t_v \rho_\theta r$ 中包含了一次反射 $r$，所以它改变定向。
   • 从线性代数角度看，这种变换的线性部分（即 $\rho_\theta r$）的矩阵行列式为 $-1$。

这段给出了我们选定的生成元之间进行复合运算的“语法规则”，即关系。这些关系是进行代数计算的基础。我们逐条分析：

1. $\rho_{\theta} t_{v} =t_{v^{\prime}} \rho_{\theta}, \text{ 其中 } v^{\prime}=\rho_{\theta}(v)$
   • 含义: “先平移 $v$ 再绕原点旋转 $\theta$”，这个组合变换等价于“先绕原点旋转 $\theta$，再平移另一个向量 $v'$”。而这个新的平移向量 $v'$ 正是原来的平移向量 $v$ 被旋转 $\theta$ 角后得到的向量。
   • 直观理解: 想象一个点 $P$。先把它平移 $v$ 到 $P+v$，再把结果绕原点旋转 $\theta$ 得到 $\rho_\theta(P+v)$。由于旋转是线性的，所以 $\rho_\theta(P+v) = \rho_\theta(P) + \rho_\theta(v)$。这个结果可以看作是：先把 $P$ 点旋转 $\theta$ 得到 $\rho_\theta(P)$，然后再把它平移一个向量 $\rho_\theta(v)$。这正是 $t_{\rho_\theta(v)} \rho_\theta$ 作用在 $P$ 上的结果。
   • 核心: 旋转和平移的顺序可以交换，但代价是必须把平移向量也旋转一下。
2. $r t_{v} =t_{v^{\prime}} r, \text{ 其中 } v^{\prime}=r(v)$
   • 含义: “先平移 $v$ 再关于 $x$ 轴反射”，等价于“先关于 $x$ 轴反射，再平移一个新的向量 $v'$”。这个新向量 $v'$ 是原平移向量 $v$ 被 $x$ 轴反射后的向量。
   • 证明类似于上一条，利用了反射 $r$ 也是线性的性质：$r(P+v) = r(P) + r(v)$。
3. $r \rho_{\theta} =\rho_{-\theta} r$
   • 含义: “先绕原点旋转 $\theta$ 再关于 $x$ 轴反射”，等价于“先关于 $x$ 轴反射，再绕原点旋转 $-\theta$（即顺时针旋转 $\theta$）”。
   • 直观理解: 想象你面前有一本书，你先把它逆时针转了30度，然后上下翻个面。这和你先把它上下翻个面，再顺时针转30度，最后得到书的姿态是一样的。反射会把旋转的方向颠倒。
4. $t_{v} t_{w} =t_{v+w}, \quad \rho_{\theta} \rho_{\eta}=\rho_{\theta+\eta}, \quad \text{且} \quad r r=1$
   • 这三条是同类变换复合的规则。
   • $t_{v} t_{w} =t_{v+w}$: 两次平移的复合等于一次平移，平移向量是两次平移向量的和。这非常直观。
   • $\rho_{\theta} \rho_{\eta}=\rho_{\theta+\eta}$: 两次绕原点的旋转的复合等于一次旋转，旋转角度是两次旋转角度的和。
   • $r r = 1$: 连续两次做同一个反射，等于什么都没做（回到原位）。$1$ 在这里代表恒等变换 (Identity)。

这个定理是本节的另一个核心结论，它从纯粹的几何角度对所有平面等距变换进行了彻底的分类。它告诉我们，你能想到的任何保持距离的变换，最终都逃不出这四种类型。

1. 两大类: 和定理 6.3.2 类似，首先根据是否“翻面”分为两大类。
   • (a) 保持定向的等距变换: 不改变“顺时针/逆时针”的方向。
   • (b) 改变定向的等距变换: 改变“顺时针/逆时针”的方向。
2. 四小种: 在两大类下，进一步细分为四种基本的几何动作。
   • (a-i) 平移 (Translation): 整个平面“刚性”地滑动一个向量 $v$。其特征是没有不动点（除非是移动向量为零的恒等变换）。
   • (a-ii) 旋转 (Rotation): 整个平面围绕一个固定点（旋转中心）转动一个角度。其特征是有且仅有一个不动点（旋转中心）。（这里的旋转角度特指非零，零角度旋转是恒等变换，可以看作是平移向量为零的平移）。
   • (b-i) 反射 (Reflection): 关于一条直线（反射轴）的“镜面对称”。其特征是有一条直线上的所有点都是不动点（反射轴本身）。
   • (b-ii) 滑移反射 (Glide Reflection): 先沿着一条直线 $\ell$ 做反射，然后再沿着平行于 $\ell$ 的方向平移一段距离。其特征是没有任何不动点。
3. 分类的完备性与互斥性: 这个定理声称，任何一个平面等距变换，都必须是这四种类型中的一种，而且只能是一种（恒等变换除外，它可以被看作是零平移或零旋转）。这个分类是“不重不漏”的。

这部分通过几个例子，展示了如何应用定理 6.3.4 来推断复合变换的几何性质，其中一些结论是反直觉的。

1. 两个不同旋转的复合:
   • 结论: 先绕点 $P_1$ 旋转 $\theta_1$，再绕点 $P_2$ 旋转 $\theta_2$。这个复合变换的结果是什么？
   • 如果 $\theta_1 + \theta_2$ 不是 $360^\circ$ 的整数倍，那么结果是绕某个新的点 $P_3$ 的一次旋转，旋转角度为 $\theta_1+\theta_2$。
   • 如果 $\theta_1 + \theta_2$ 恰好是 $360^\circ$ 的整数倍，那么结果是一个平移。
   • 推导思路:
2. 旋转是保持定向的。
3. 两个保持定向的变换的复合，结果也必然保持定向。
4. 根据定理 6.3.4，任何保持定向的变换要么是平移，要么是旋转。
5. 因此，两个旋转的复合，结果只可能是平移或旋转。这本身就是一个很强的结论，排除了反射和滑移反射的可能性。
   • 为什么“不明显”: 直观上很难想象，绕着两个不同的中心点转圈，其效果等同于绕第三个点转一个圈。
6. 简单的复合:
   • 同心旋转: 绕同一点 $P$ 旋转 $\alpha$ 再旋转 $\beta$，显然等于绕 $P$ 点旋转 $\alpha+\beta$。
   • 平移复合: 平移 $a$ 再平移 $b$，等于一次性平移 $a+b$。
7. 两个反射的复合:
   • 结论: 两次反射的复合是保持定向的（因为“翻两次面等于没翻”）。因此，根据定理 6.3.4，其结果必然是平移或旋转。
   • 情况一：反射轴不平行。设反射轴 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 相交于点 $p$。
8. 先关于 $\ell_1$ 反射，再关于 $\ell_2$ 反射。
9. 点 $p$ 在 $\ell_1$ 上，所以第一次反射后不动。点 $p$ 也在 $\ell_2$ 上，所以第二次反射后也不动。因此，点 $p$ 是这个复合变换的不动点。
10. 一个保持定向且有不动点的变换，根据定理 6.3.4，必然是旋转。旋转中心就是这个不动点 $p$。
    • 情况二：反射轴平行。设反射轴 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 平行。
11. 这个复合变换没有不动点（可以自己画图验证，任何不在轴上的点都会被移动）。
12. 一个保持定向且没有不动点的变换，根据定理 6.3.4，必然是平移。
13. 可以进一步证明，平移的方向垂直于两条平行的反射轴，平移的距离是两轴间距离的两倍。

这部分开始着手证明几何分类定理（定理 6.3.4）。

1. 分而治之: 证明的第一步是采用分治策略。作者不一次性处理所有四种情况，而是先把问题分成两大块：
   • 保持定向的等距变换。
   • 改变定向的等距变换。
2. 处理第一大类（保持定向）:
   • 在保持定向的变换中，定理 6.3.4 声称它们要么是平移，要么是旋转。
   • 所以，证明的目标就变成了：证明一个保持定向的等距变换，如果它不是平移，那么它必然是旋转。
3. 使用代数形式: 为了进行证明，我们不能只停留在几何概念上，必须使用代数工具。
   • 我们知道，任何保持定向的等距变换 $f$ 都可以唯一地写成代数形式 $m = t_a \rho_\theta$（这是从定理 6.3.2 知道的）。
4. 翻译条件:
   • “$f$ 不是平移”这个几何条件，在代数上意味着什么？
   • 一个变换是平移，当且仅当它的旋转部分是平凡的，即旋转角度为零。
   • 所以，“$f$ 不是平移”等价于代数形式 $m=t_a\rho_\theta$ 中的 $\theta \neq 0$（或者说不是 $360^\circ$ 的整数倍）。
5. 明确证明目标: 综上所述，现在的任务非常明确了：
   • 已知: 一个等距变换 $f$，其代数形式为 $m = t_a \rho_\theta$，且 $\theta \neq 0$。
   • 欲证: 这个变换 $f$ 在几何上是一个绕着某个点 $p$ 的旋转。

这个引理（Lemma）是证明过程中的一个关键步骤，它本身就是一个小定理。它精确地陈述了我们在上一段分析出的证明目标。

• 引理的作用: 将一个代数形式与一个几何概念等同起来。
• 代数形式: $m = t_a \rho_\theta$ (先绕原点旋转 $\theta$，再平移 $a$)，其中旋转角度 $\theta$ 非零。
• 几何概念: 绕平面上某个点 $p$ 旋转角度 $\theta$。
• 证明的核心: 为了证明 $f$ 是绕某点 $p$ 的旋转，我们需要做两件事：

1. 找到那个旋转中心点 $p$。
2. 证明变换 $f$ 的效果确实是所有点都绕着 $p$ 转了 $\theta$ 角。
   • 一个变换是绕点 $p$ 的旋转，最核心的特征就是点 $p$ 本身在该变换下是不动的，即 $f(p)=p$。所以，找旋转中心 $p$ 的问题就转化为了找不动点的问题。
   • 方程: 我们要找一个点 $p$，使得 $f(p)=p$。代入代数形式，就是要解方程：
   • 只要这个关于 $p$ 的线性方程组有解，我们就找到了不动点，也就是找到了旋转中心。

这部分开始用一种非常巧妙的“改变坐标”的思路来证明引理。

1. 简化符号: $\rho_\theta$ 写作 $\rho$。
2. 核心思想: 我们要证明 $f$ 是绕点 $p$ 的旋转。这等价于说：如果我们把坐标系的原点移动到点 $p$ 上，那么在新的坐标系看来，这个变换 $f$ 就应该变成一个简单的、绕着新原点（也就是 $p$）的旋转 $\rho$。
3. 坐标变换公式:
   • 假设旧坐标为 $x$，新坐标为 $x'$。
   • 将原点移动到 $p$，意味着新坐标 $x'$ 和旧坐标 $x$ 的关系是 $x = x' + p$。用变换的语言说，就是 $x = t_p(x')$。
   • 一个在旧坐标下的变换 $m$，在新坐标下会变成什么样呢？
   • 一个新坐标点 $x'$，先通过 $t_p$ 变成旧坐标 $t_p(x')$。
   • 然后应用旧的变换 $m$，变成 $m(t_p(x'))$。
   • 最后把结果从旧坐标变回新坐标，需要应用 $t_p$ 的逆变换 $t_p^{-1} = t_{-p}$。
   • 所以，新变换 $m'$ 的公式是 $m' = t_p^{-1} m t_p$。这是一个非常重要的共轭变换公式。
4. 应用到我们的问题:
   • 我们的变换是 $m = t_a \rho$。
   • 我们希望找到一个 $p$，使得新变换 $m'$ 恰好等于 $\rho$。
   • 即：$t_p^{-1} (t_a \rho) t_p = \rho$。
   • 这个方程看起来有点复杂，我们来化简它。

这部分是对上面提出的方程进行代数化简。

1. 代入: $m' = t_p^{-1} m t_p = t_{-p} (t_a \rho) t_p = t_{-p} t_a \rho t_p$。
2. 使用复合规则: 我们不能随便交换这些变换的顺序。关键是处理 $\rho$ 和 $t_p$ 的复合。
   • 根据关系 (6.3.3) 的第一条，我们有 $\rho t_p = t_{\rho(p)} \rho$。
3. 化简:
   • $m' = t_{-p} t_a (\rho t_p)$
   • $m' = t_{-p} t_a (t_{\rho(p)} \rho)$
   • 根据平移的复合规则 $t_u t_v = t_{u+v}$，我们可以合并前面三个平移：
   • $m' = t_{-p+a+\rho(p)} \rho$
4. 设定目标: 我们希望新的变换 $m'$ 就是一个纯粹的旋转 $\rho$。这意味着，它前面的平移部分必须是恒等变换，即平移向量为零。
   • 令 $b = -p+a+\rho(p)$。
   • 我们希望 $b=0$。
5. 求解方程: 我们需要找一个点 $p$，使得 $-p+a+\rho(p) = 0$。
   • 重新整理方程：$a = p - \rho(p) = (I - \rho)p$。
   • 这和我们之前通过找不动点得到的方程 $a = (I - \rho_\theta)p$ 是完全一样的！这说明两种思路（找不动点 vs. 改变坐标）是等价的。

这部分是证明的核心，它论证了我们需要的点 $p$ 确实存在且唯一。

1. 矩阵形式: 将算子方程 $(I-\rho)p = a$ 转换成矩阵方程。
   • $I$ 的矩阵是 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
   • $\rho$ (即 $\rho_\theta$) 的矩阵是 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$。
   • 所以 $I-\rho$ 的矩阵就是 $\begin{pmatrix} 1-\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & 1-\cos\theta \end{pmatrix}$。（注意原文中第二行第一列的符号 $s$ 和 $-s$ 与推导不符，原文可能是笔误或使用了不同的约定，但最终行列式结果不受影响。我们按标准推导：$I-R_\theta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} c & -s \\ s & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-c & s \\ -s & 1-c \end{pmatrix}$，与原文一致）。
2. 求解条件: 一个线性方程组 $Ax=b$ 是否有唯一解，取决于系数矩阵 $A$ 的行列式是否为零。
   • 计算矩阵 $I-\rho$ 的行列式：
3. 分析行列式:
   • 什么时候行列式 $2-2\cos\theta$ 会等于零？
   • 当 $\cos\theta = 1$ 时。
   • 在 $0 \le \theta < 2\pi$ 的范围内，这只在 $\theta=0$ 时发生。
4. 利用已知条件: 引理的前提条件是 $\theta \neq 0$。
   • 既然 $\theta \neq 0$，那么 $\cos\theta \neq 1$，所以行列式 $2-2\cos\theta \neq 0$。
5. 结论: 因为系数矩阵 $I-\rho$ 的行列式非零，所以方程 $(I-\rho)p=a$ 对于任意的向量 $a$ 都存在唯一的解 $p$。
6. 证明完成: 我们已经证明了，总能找到这样一个唯一的点 $p$。以这个点 $p$ 为中心进行坐标变换后，我们的变换 $f$ 就变成了一个纯粹的绕原点的旋转 $\rho$。这就从几何上证明了，$f$ 本身就是一个以 $p$ 为旋转中心，以 $\theta$ 为旋转角度的旋转。引理证毕。

这部分给出了寻找不动点 $p$ 的一个纯几何构造方法，作为对前面代数求解的补充和直观化。

1. 回顾不动点方程: 我们要找的点 $p$ 满足 $\rho_\theta(p) + a = p$，即 $p - \rho_\theta(p) = a$。
2. 几何分析:
   • $\rho_\theta(p)$ 是将向量 $p$ 绕原点旋转 $\theta$ 得到的向量。
   • $p$ 和 $\rho_\theta(p)$ 都是从原点出发的向量，且长度相等。它们构成一个等腰三角形的两个腰，这个等腰三角形的顶角是 $\theta$。
   • $p - \rho_\theta(p)$ 是连接 $\rho_\theta(p)$ 向量终点和 $p$ 向量终点的向量。这个向量就是等腰三角形的底边。
   • 我们的目标是找到这样一个点 $p$，使得这个“底边”向量恰好等于给定的平移向量 $a$。
3. 解读图片:
   • 图中画出了原点 $O$，以及不动点 $p$。
   • 从 $O$ 到 $p$ 是向量 $p$。
   • 向量 $p$ 绕原点 $O$ 旋转 $\theta$ 角，得到向量 $Op'$，这里 $p'$ 就是 $\rho_\theta(p)$ 的终点。
   • 连接 $p'$ 和 $p$ 的向量 $\vec{p'p}$ 就是 $p - \rho_\theta(p)$，它必须等于向量 $a$。
   • 所以，图中的三角形 $Opp'$ 是一个顶角为 $\theta$ 的等腰三角形，其底边就是向量 $a$。
4. 构造方法:
   • 给定向量 $a$ 和角度 $\theta$。
   • 我们要做一个底边为 $a$，顶角为 $\theta$ 的等腰三角形 $Opp'$。
   • 这个三角形的顶点 $p$ 就是我们要找的不动点。
   • 直线 $\ell$ 是向量 $a$ 的中垂线，它必然穿过原点 $O$。
   • 这个构造在几何上是唯一的（因为 $\theta \neq 0$ 且 $\theta \neq 180^\circ$ 的情况），与代数解的唯一性相符。

这部分开始证明定理 6.3.4 的第二部分：对改变定向的变换进行分类。

1. 证明目标: 证明任何形式为 $m = t_a \rho_\theta r$ 的变换，在几何上要么是反射，要么是滑移反射。
2. 核心策略：简化问题: 形式 $t_a \rho_\theta r$ 看起来有点复杂，因为它涉及到三个变换的复合。证明的关键在于通过巧妙的坐标变换来简化这个代数形式。
3. 第一步简化:
   • 考虑变换中的 $\rho_\theta r$ 部分。我们知道这是一个关于某条穿过原点的直线 $\ell_0$ 的反射。（这条直线的角度是 $\theta/2$）。
   • 这个 $\ell_0$ 可能不是 $x$ 轴，这使得分析不方便。
   • 解决方案: 旋转坐标系！我们可以旋转我们的坐标轴，使得新的 $x'$ 轴恰好与反射轴 $\ell_0$ 重合。
4. 坐标变换后的效果:
   • 在新的坐标系中，原来的那个复杂的反射 $\rho_\theta r$ 就变成了简单的、标准的关于新 $x'$ 轴的反射。我们可以继续用符号 $r$ 来表示这个标准反射。
   • 原来的平移向量 $a$ 在新坐标系下会有新的坐标，但它仍然是一个平移。我们不妨把这个新坐标下的平移向量仍然记为 $a$。
5. 简化后的形式: 经过这个坐标旋转，原来的变换 $m = t_a \rho_\theta r$ 就被转化成了一个更简单的形式：$m' = t_a r$。
   • 这个形式的含义是：先做一个标准的关于 $x$ 轴的反射，然后再做一个平移。
   • 我们现在的任务就是分析 $t_a r$ 这种形式的变换的几何本质。

这部分对简化后的形式 $m=t_a r$ 进行最终分析。

1. 写出坐标分量:
   • $m(x) = t_a(r(x))$
   • $r$ 作用在 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ 上，得到 $\begin{pmatrix} x_1 \\ -x_2 \end{pmatrix}$。
   • $t_a$ 作用在结果上，其中 $a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$，得到 $\begin{pmatrix} x_1+a_1 \\ -x_2+a_2 \end{pmatrix}$。
2. 分解变换: 我们要证明这个看起来奇怪的变换 $(x_1, x_2) \rightarrow (x_1+a_1, -x_2+a_2)$ 是一个滑移反射。
   • 一个滑移反射包含两部分：一个反射和一个平行于反射轴的平移。
   • 让我们尝试把它分解成 $m = (\text{平移}) \circ (\text{反射})$。
   • 观察变换结果：$x_1$ 坐标变成了 $x_1+a_1$，这明显是一个水平平移。$x_2$ 坐标变成了 $-x_2+a_2$。
   • 我们可以把变换重写为：
   • 让我们换一种思路，先猜测反射轴。反射通常形式为 $y \rightarrow C - y$。我们的形式是 $x_2 \rightarrow a_2 - x_2$。这提示反射轴可能是 $x_2 = a_2/2$。
   • 我们来验证一下：关于直线 $\ell: x_2 = k$ 的反射将点 $(x_1, x_2)$ 映到 $(x_1, 2k-x_2)$。
   • 如果我们令 $k = a_2/2$，那么反射后的 $x_2$ 坐标是 $2(a_2/2) - x_2 = a_2-x_2$。这正是我们公式中 $x_2$ 坐标的后半部分！
3. 重新组合:
   • 所以，我们的变换 $m$ 可以分解为：
4. 第一步: 关于直线 $\ell: \{x_2 = a_2/2\}$ 做反射。这会将 $(x_1, x_2)$ 变为 $(x_1, a_2-x_2)$。
5. 第二步: 将结果 $(x_1, a_2-x_2)$ 再做一个平移。我们需要从 $(x_1, a_2-x_2)$ 得到最终结果 $(x_1+a_1, a_2-x_2)$（注意原文公式是 $-x_2+a_2$，这和 $a_2-x_2$ 是一样的）。这需要一个平移向量 $\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
   • 因此，$m = (\text{平移 } t_{(a_1,0)}) \circ (\text{反射于 } x_2=a_2/2)$。
6. 判断几何类型:
   • 反射轴是水平线 $x_2=a_2/2$。
   • 平移向量是 $\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \end{pmatrix} = a_1 e_1$，这是一个水平向量，它平行于反射轴。
   • 这完全符合滑移反射的定义：一个反射，接着一个平行于反射轴的平移。
7. 边界情况:
   • 如果平移向量的平行分量 $a_1=0$ 怎么办？
   • 那么平移就是零平移（恒等变换）。
   • 此时，$m$ 就退化成一个纯粹的、关于直线 $\ell: \{x_2 = a_2/2\}$ 的反射。
8. 证明闭环: 我们已经证明，任何改变定向的等距变换 $m = t_a \rho_\theta r$，通过适当的坐标旋转，都可以看作是 $m'=t_a r$ 的形式，而 $m'=t_a r$ 的几何本质就是一个滑移反射（当 $a_1 \neq 0$）或一个纯粹的反射（当 $a_1=0$）。这就完成了对定理 6.3.4 的完整证明。

这个推论是上述证明过程的一个直接结果。

1. 回顾证明过程: 在证明中，我们有一个改变定向的变换 $m = t_a \rho_\theta r$。我们的关键步骤是旋转坐标系，使得新的 $x'$ 轴与 $\rho_\theta r$ 的反射线 $\ell_0$ 对齐。
2. 滑移线的出现: 在这个新的坐标系中，我们证明了该变换是一个滑移反射，其反射轴（我们称之为滑移线）是 $x_2' = a_2'/2$，这是一条平行于新 $x'$ 轴的直线。
3. 连接两者:
   • 新 $x'$ 轴就是旧坐标系中的直线 $\ell_0$。
   • 滑移线 $x_2'=a_2'/2$ 平行于新 $x'$ 轴。
   • 因此，滑移线必然平行于旧坐标系中的直线 $\ell_0$。
4. 结论: 直线 $\ell_0$ 是 $\rho_\theta r$ 的反射线。所以，最终的结论是：一个一般形式的滑移反射 $t_a \rho_\theta r$，它的滑移线（即它实际上的反射轴），总是平行于它的正交部分 $\rho_\theta r$ 的反射轴。

这部分探讨了不同子群之间的关系，引入了群论中一个非常重要的概念——共轭 (conjugation)。

1. 稳定子群 (Stabilizer Subgroup):
   • 在群 $M$ 中，所有固定某一个特定点（比如原点 $o$）的变换集合，它们自身也构成一个子群。这个子群被称为点 $o$ 的稳定子群。
   • 固定原点的等距变换群，我们已经知道，就是正交群 $O_2$。它包含了所有的绕原点的旋转 $\rho_\theta$ 和所有关于过原点直线的反射 $\rho_\theta r$。
2. 提出问题: 那么，固定另一个点 $p \neq o$ 的所有等距变换，是否也构成一个子群？它和 $O_2$ 有什么关系？
   • 答案是肯定的，它们也构成一个子群，记为 $M_p$。
   • 命题 6.3.9 回答了第二个问题：$M_p$ 和 $M_o = O_2$ 是共轭关系。
3. 共轭子群:
   • 公式: $M_p = t_p O_2 t_p^{-1}$。
   • 解读: 这个公式是什么意思？它表示 $M_p$ 中的任何一个元素 $m_p$，都可以被写成 $t_p \circ m_o \circ t_p^{-1}$ 的形式，其中 $m_o$ 是 $O_2$ 中的某个元素（即某个固定原点的变换）。
   • $t_p^{-1}$: 先做一个平移 $t_{-p}$，把点 $p$ 移动到原点 $o$。
   • $m_o$: 然后，执行一个固定原点的变换（旋转或反射）。
   • $t_p$: 最后，再做一个反向的平移 $t_p$，把原点 $o$ 移回到点 $p$。
   • 整个流程下来，点 $p$ 经历了 $p \xrightarrow{t_{-p}} o \xrightarrow{m_o} o \xrightarrow{t_p} p$，所以最终 $p$ 点是不动的。这证明了 $t_p m_o t_p^{-1}$ 确实是固定点 $p$ 的变换。
   • 反之，任何固定 $p$ 的变换 $m_p$，都可以通过类似的方法 $t_p^{-1} m_p t_p$ 转化为一个固定原点的变换。

[证明思路解析]

证明过程非常简洁，完美地诠释了共轭操作的几何意义。

1. 第一部分: 证明 $M_p \subseteq t_p O_2 t_p^{-1}$。
   • 取任意一个固定 $p$ 的变换 $m \in M_p$。我们要证明 $m$ 可以被写成 $t_p m_o t_p^{-1}$ 的形式。
   • 构造一个新变换 $m' = t_p^{-1} m t_p$。我们来检验 $m'$ 的性质。
   • $m'$ 作用在原点 $o$ 上：$m'(o) = t_p^{-1}(m(t_p(o))) = t_p^{-1}(m(p))$。
   • 因为 $m$ 固定 $p$，所以 $m(p)=p$。
   • 于是 $m'(o) = t_p^{-1}(p) = o$。
   • 这说明 $m'$ 是一个固定原点的变换，因此 $m' \in O_2$。
   • 从 $m' = t_p^{-1} m t_p$，我们可以解出 $m = t_p m' t_p^{-1}$。由于 $m' \in O_2$，这正是我们想证明的形式。
2. 第二部分: 证明 $t_p O_2 t_p^{-1} \subseteq M_p$。
   • 取任意一个 $m_o \in O_2$（即 $m_o$ 固定原点）。构造一个新变换 $m = t_p m_o t_p^{-1}$。
   • 我们要证明 $m$ 固定点 $p$。
   • $m(p) = t_p(m_o(t_p^{-1}(p))) = t_p(m_o(o))$。
   • 因为 $m_o$ 固定原点，所以 $m_o(o)=o$。
   • 于是 $m(p) = t_p(o) = p$。
   • 这证明了形如 $t_p m_o t_p^{-1}$ 的变换确实都固定点 $p$，属于 $M_p$。
3. 结论: 两部分结合，证明了 $M_p = t_p O_2 t_p^{-1}$。

这正是对共轭表达式 $t_p \rho_\theta t_p^{-1}$ 的几何步骤的文字描述。一个绕任意点 $p$ 的旋转 $\rho_{\theta,p}$，其代数表达式就是：

$\rho_{\theta,p} = t_p \rho_\theta t_p^{-1}$

这个公式完美地体现了“将问题转化到原点处理，再将结果移回去”的思想，是应用数学和物理中非常常见的一种解题策略。

这部分将前面的讨论与一个重要的群同态联系起来。

1. 群同态 $\pi: M \rightarrow O_2$:
   • 这个同态是一个映射，它将一个任意的等距变换 $m \in M$ 对应到一个正交算子 $\varphi \in O_2$。
   • 具体是怎么对应的？任何等距变换 $m$ 都可以唯一分解为 $m = t_v \varphi$。这个同态 $\pi$ 的作用就是“扔掉平移部分，只保留正交（旋转/反射）部分”。即 $\pi(t_v \varphi) = \varphi$。
   • $\pi$ 是一个同态，意味着它保持群的运算结构：$\pi(m_1 m_2) = \pi(m_1)\pi(m_2)$。
2. 命题 6.3.10 的内容:
   • $\pi(\rho_{\theta,p}) = \rho_\theta$:
   • 一个绕任意点 $p$ 的旋转 $\rho_{\theta,p}$，经过 $\pi$ 映射后，变成了绕原点的、角度相同的旋转 $\rho_\theta$。
   • 这很好理解，因为 $\rho_{\theta,p} = t_p \rho_\theta t_{-p}$。根据复合规则，它可以被化为 $t_v \rho_\theta$ 的形式（其中 $v = p - \rho_\theta(p)$）。
   • 应用 $\pi$ 映射，$\pi(t_v \rho_\theta) = \rho_\theta$。
   • 直观意义: $\pi$ 映射忽略了旋转发生在哪里（哪个中心点），只关心旋转本身是什么（转了多少度）。
   • $\pi(r_\ell) = r$ (假设滑移线与 $x$ 轴平行)
   • $r_\ell$ 是关于直线 $\ell$ 的反射或滑移反射。
   • 在证明定理 6.3.4 时我们看到，任何这样的变换，如果它的反射轴 $\ell$ 平行于 $x$ 轴，那么它的代数形式可以写成 $m=t_a r$。
   • 应用 $\pi$ 映射，$\pi(t_a r) = r$。
   • 直观意义: $\pi$ 映射忽略了反射/滑移发生在哪条直线上以及平移了多少，只关心其正交部分的“本质”，在这里就是一个标准的关于 $x$ 轴的反射（在合适的坐标系下）。

这部分引入了一个在处理仿射变换（等距变换是其一种）时非常重要的哲学思辨：点 (Point) 和 向量 (Vector) 的区别。

1. 通常的混用: 在很多情况下（如基础线性代数），我们不严格区分一个点 $(x,y)$ 和一个从原点指向该点的向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$。我们都用 $\mathbb{R}^2$ 中的一个元素来表示。
2. 区分的必要性: 当我们开始研究平移时，这种混用会造成概念上的混乱。
   • 一个点代表一个“位置”。
   • 一个向量代表一个“位移”或“方向和大小”。
   • 你可以说“一个点被一个向量平移了”，得到一个新点。即：点 + 向量 = 点。
   • 你也可以说“两个向量相加”，得到一个新向量。即：向量 + 向量 = 向量。
   • 但是“两个点相加”在几何上没有明确的意义。
3. 引入新空间 V: 为了在数学上严格化这个区别，作者引入了两个不同的空间：
   • $P$ (Point Space): 点的集合。可以把它想象成一张白纸。$P$ 的元素是 $p$。
   • $V$ (Vector Space): 平移向量的集合。可以把它想象成一堆箭头。$V$ 的元素是 $v$。
   • $P$ 和 $V$ 在结构上都是 $\mathbb{R}^2$，但我们赋予它们不同的几何角色。
4. 相互作用:
   • 向量 $v \in V$ 作用于 点 $p \in P$，通过平移操作 $t_v$。
   • $t_v(p) = p+v$。这个“+”号的含义是，拿一个代表位置 $p$ 的向量，和代表位移 $v$ 的向量相加，得到的结果是一个代表新位置的向量。
   • 这样，点和向量的角色就分明了。$V$ 中的元素（向量）是作用在 $P$ 中元素（点）上的“动作”。

这部分解释了点和向量的根本区别：它们在坐标系平移下的不同表现。

1. 坐标系平移: 假设我们把坐标系的原点从 $o$ 移动到一个新的位置 $o'=-w$。
   • 对于一个固定的几何点，它在旧坐标系下的坐标是 $p$，在新坐标系下的坐标是 $p'$。
   • 它们的关系是 $p = p' + w$ 或 $p' = p - w$。比如，原点本身，旧坐标是 $(0,0)$，新坐标是 $(0-w_1, 0-w_2) = -w$。
2. 平移变换自身的变化:
   • 考虑一个由向量 $v$ 定义的平移变换 $m=t_v$。
   • 在新的坐标系下，这个变换会变成什么样？我们使用共轭公式 $m' = \eta^{-1} m \eta$，其中 $\eta = t_w$ 是坐标变换。
   • $m' = t_w^{-1} t_v t_w = t_{-w} t_v t_w$。
   • 根据平移的复合规则，这等于 $t_{-w+v+w} = t_v$。
3. 惊人的结论:
   • 平移变换 $t_v$ 在坐标系平移后，其形式完全不变！它仍然是 $t_v$。
   • 几何意义：平移这个“动作”（比如“向右移动5米”）的描述，与你把坐标系的原点放在哪里无关。
   • 对比: 点的坐标会改变 ($p' = p-w$)，但定义平移的向量 $v$ 不会变。
   • 这就是点和向量的本质区别。点的坐标是相对的，依赖于原点选择。向量（作为位移）是绝对的，不依赖于原点。

这里讨论另一种坐标变换——旋转或反射坐标系。

1. 坐标系旋转/反射: 我们保持原点不动，但旋转/反射坐标轴。这由一个正交算子 $\varphi$ 描述。
   • 一个固定的几何点，旧坐标为 $p$，新坐标为 $p'$。关系是 $p = \varphi(p')$ 或 $p'=\varphi^{-1}(p)$。
2. 平移变换的变化:
   • 还是考虑平移变换 $m=t_v$。
   • 在新坐标系下，它变成 $m' = \varphi^{-1} m \varphi = \varphi^{-1} t_v \varphi$。
   • 使用复合规则: $t_v \varphi = \varphi t_{\varphi^{-1}(v)}$（这是 $\rho_\theta t_v=t_{\rho_\theta(v)}\rho_\theta$ 规则的变体）。所以 $t_v = \varphi t_{\varphi^{-1}(v)} \varphi^{-1}$。
   • 因此 $\varphi^{-1} t_v \varphi = \varphi^{-1} (\varphi t_{\varphi^{-1}(v)} \varphi^{-1}) \varphi = t_{\varphi^{-1}(v)}$。
3. 结论:
   • 在旋转/反射的坐标变换下，平移变换 $t_v$ 变成了 $t_{v'}$，其中新的平移向量 $v'$ 是旧的平移向量 $v$ 被坐标变换的逆变换 $\varphi^{-1}$ 作用后的结果。
   • 几何意义：如果你把坐标轴转了 $30^\circ$，那么原来一个“向东”的平移向量，在新坐标系下看起来就是“向南偏东 $30^\circ$”了。它的分量会改变。
   • 在这种坐标变换下，点的坐标和向量的坐标（分量）以同样的方式变化，即 $p'=\varphi^{-1}(p)$ 且 $v' = \varphi^{-1}(v)$。

这几句是画龙点睛的总结。

1. P与V的唯一区别:
   • 在点空间 $P$ 中，没有哪个点是天生特殊的。“原点”只是我们为了方便计算而人为选择的一个参考点，它可以被随意平移。
   • 在向量空间 $V$ 中，零向量 $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 是一个绝对的、特殊的元素。它是加法的单位元，代表“没有位移”。你不能随意改变零向量的定义。
2. 算子的作用对象:
   • 正交算子（如 $\rho_\theta, r$）天生是作用在向量上的（它们是线性算子，保持零向量不变），所以它们作用于 $V$。
   • 正交算子不能直接“作用于点空间 $P$”，因为 $P$ 没有一个固定的中心。只有当你为 $P$ 人为地指定了一个原点 $o$ 时，你才能把点和从 $o$ 出发的向量等同起来，从而让正交算子作用在这些向量上，实现对点的变换。这就是为什么我们总是说“绕原点的旋转”。如果你不指定“原点”，那么“旋转”这个词本身是无意义的。