行间公式索引

这段话的核心思想是将我们熟悉的几何对称概念（比如图形的翻转、旋转）推广到更抽象的代数结构中。

1. 起点：几何对称：我们通常认为对称是针对几何图形的。一个正方形绕中心旋转90度，看起来和原来一样，这就是一种对称操作。一个等腰三角形沿着中线对折，两边重合，这也是一种对称操作。这些操作的共同点是：对图形进行某种变换后，图形的某些核心性质（如形状、大小）保持不变。
2. 推广到代数：作者提出，这种“保持结构不变的变换”思想可以应用到非几何的对象上，比如复数。
3. 第一个例子：复共轭：
   • 一个复数可以写成 $z = a + bi$ 的形式，其中 $a$ 是实部，$b$ 是虚部，$i$ 是虚数单位（$i^2 = -1$）。
   • 复共轭操作就是将虚部变号，即 $a+bi$ 变成 $a-bi$。
   • 为什么这是一种对称？因为它保持了复数的代数结构。这里的“代数结构”指的是加法和乘法运算。
   • 保持加法：两个复数 $z_1 = a_1 + b_1i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2i$。先相加再取共轭，和先取共轭再相加，结果是一样的。
   • $(z_1 + z_2)$ 的共轭 = $((a_1+a_2) + (b_1+b_2)i)$ 的共轭 = $(a_1+a_2) - (b_1+b_2)i$。
   • $z_1$ 的共轭 + $z_2$ 的共轭 = $(a_1 - b_1i) + (a_2 - b_2i)$ = $(a_1+a_2) - (b_1+b_2)i$。
   • 两者相等。
   • 保持乘法：同样，先相乘再取共轭，和先取共轭再相乘，结果也一样。
   • 这种保持代数运算的变换，在代数里有一个专门的术语，叫做“自同构”（automorphism）。“自”意味着是从一个集合到其自身的映射，“同构”意味着保持结构。所以复共轭是复数域 $\mathbb{C}$ 的一个自同构。
   • 它也有几何解释：在复平面上，实轴是横轴，虚轴是纵轴。一个点 $(a, b)$ 代表复数 $a+bi$。取共轭变成 $a-bi$，对应的点是 $(a, -b)$。这正好是点 $(a, b)$ 关于实轴的镜像对称。
   • 关键点：称其为自同构，强调的是它保持代数结构（加法、乘法）；称其为双边对称，强调的是它在复平面上的几何表现。
4. 第二个例子：Q[√2]：
   • 考虑一个数域 $F=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$，它的元素都是 $a+b\sqrt{2}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是有理数（比如 $3 + \frac{1}{2}\sqrt{2}$）。
   • 在这个域上，我们也可以定义一个变换：$a+b\sqrt{2}$ 变成 $a-b\sqrt{2}$。
   • 这个变换同样保持加法和乘法，因此也是一个自同构。
   • 但是，这个变换没有像复共轭那样直观的几何图像。$a+b\sqrt{2}$ 和 $a-b\sqrt{2}$ 都是实数，都在一条数轴上。我们无法像在复平面上那样画出一个“翻转”。所以这是一个纯粹的代数对称，而非几何对称。
5. 第三个例子：循环群：
   • 一个 3 阶的循环群 $H$，可以想象成 $\{e, g, g^2\}$，其中 $e$ 是单位元，$g^3 = e$。
   • 我们可以定义一个映射，让 $e$ 不变，但是交换 $g$ 和 $g^2$。
   • 这个映射也是一个自同构（它保持群的乘法运算）。例如，$\phi(g \cdot g) = \phi(g^2) = g$。而 $\phi(g) \cdot \phi(g) = g^2 \cdot g^2 = g^4 = g^3 \cdot g = e \cdot g = g$。两者相等。
   • 这同样是一个抽象的对称，它交换了群里的两个非单位元素，保持了群的结构。

1. 自同构构成群：
   • 考虑一个代数结构 $X$（比如一个群 $G$）。它所有的自同构（保持其结构的双射）放在一起，形成一个集合，我们称之为 $Aut(X)$。
   • 这个集合 $Aut(X)$ 本身也构成一个群。为什么？我们需要验证群的三个基本公理：
   • 封闭性：两个自同构 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 的复合（先做 $\phi_2$ 再做 $\phi_1$，记作 $\phi_1 \circ \phi_2$）是不是还是一个自同构？是的。因为 $\phi_1$ 和 $\phi_2$ 都保持结构，那么连续做两次，结构依然被保持。它们都是双射，两个双射的复合也是双射。所以 $Aut(X)$ 在映射复合下是封闭的。
   • 单位元：存在一个单位元吗？是的，就是恒等映射 $id(x)=x$。这个映射显然保持所有结构，所以它是一个自同构，是 $Aut(X)$ 中的单位元。
   • 逆元：每个自同构 $\phi$ 都有逆元吗？是的。因为自同构是双射，所以它的逆映射 $\phi^{-1}$ 存在。可以证明，如果 $\phi$ 保持结构，那么 $\phi^{-1}$ 也保持结构。所以 $\phi^{-1}$ 也是一个自同构。
   • 结合律：映射的复合运算天然满足结合律：$(\phi_1 \circ \phi_2) \circ \phi_3 = \phi_1 \circ (\phi_2 \circ \phi_3)$。
   • 结论：一个代数结构的所有自同构，在映射复合运算下，构成一个群，称为自同构群。
2. 自同构即对称：
   • 每个自同构都是对集合 $X$ 中元素的一种重新排列（置换）。
   • 这种排列不是随意的，它必须“尊重” $X$ 的代数结构（比如群的乘法）。
   • 因此，每个自同构都可以被看作是 $X$ 的一种对称，只不过是代数意义上的对称。
3. 术语辨析：
   • “自同构”和“对称”本质上是同一个概念：保持结构不变的变换。
   • 在实际使用中，有约定俗成的偏好：
   • 当变换的对象是代数结构（如群、环、域），我们倾向于用“自同构”这个词。
   • 当变换的对象是几何对象（如多边形、晶体），我们倾向于用“对称”这个词。
   • 这种区分不是绝对的，只是一个习惯。

这是本节的核心定义。它提供了一个统一的数学框架来描述一个群如何“操作”一个集合。

1. 核心思想：群作用是一个群 $G$ 和一个集合 $S$ 之间的互动。群 $G$ 里的每个元素 $g$ 都会对集合 $S$ 里的每个元素 $s$ 产生一个影响，把它变成 $S$ 里的另一个元素。
2. 形式化定义：
   • 我们有一个群 $G$（比如旋转群）和一个集合 $S$（比如正方形的顶点集合）。
   • 一个群作用就是一个函数（映射）。
   • 这个函数的输入是“一对”元素：一个来自群 $G$（比如一个旋转角度 $g$），一个来自集合 $S$（比如一个顶点 $s$）。
   • 这个函数的输出是集合 $S$ 里的一个元素（比如旋转后顶点的新位置 $s'$）。
   • 这个函数可以写成：$\phi: G \times S \rightarrow S$。其中 $G \times S$ 表示所有可能的 $(g, s)$ 对的集合。
   • 我们通常不用函数符号 $\phi(g, s)$，而是用一种更像乘法的记号，比如 $g \cdot s$ 或 $g * s$ 或者直接写成 $gs$。这表示“群元 $g$ 作用于集元 $s$ 得到的结果”。
3. 群作用的公理：这个“作用”不能是随意的，它必须满足两条非常自然和关键的规则（公理），这两条规则保证了“作用”的行为与群的结构相协调。我们将在下一部分详细解释这两条公理。

这两条公理是群作用的灵魂，它们确保了群的结构在作用到集合上时得到了正确的“翻译”。

1. 公理 (a): 单位元的作用
   • 原文：$1 * s = s$
   • 解释：这里的 $1$ 是群 $G$ 的单位元（Identity element）。单位元在群中的意义是“不做任何操作”。比如，旋转群的单位元是旋转0度，置换群的单位元是恒等置换（所有元素保持原位）。
   • 这条公理说的是，群里的“无操作”元素作用在集合的任何元素 $s$ 上，应该让 $s$ 保持不动。
   • 这非常符合直觉。如果我对一个正方形“旋转0度”，那么它的每个顶点都应该在原来的位置。如果我用“不交换任何数字”的置换去作用于数字3，3当然还是3。
2. 公理 (b): 作用的结合律
   • 原文：$(g g') * s = g * (g' * s)$
   • 解释：这条公理描述了如何处理连续的作用。让我们拆解两边：
   • 左边 $(g g') * s$：这里的 $g g'$ 是在群 $G$ 内部先进行乘法运算。比如 $g$ 是旋转90度，$g'$ 是旋转180度，那么 $g g'$ 就是旋转270度。然后，用这个“合并后”的操作（旋转270度）去作用于元素 $s$。
   • 右边 $g * (g' * s)$：这里是先执行群作用。首先，用 $g'$ 去作用于 $s$，得到一个新的元素 $s' = g' * s$。然后，再用 $g$ 去作用于这个新得到的结果 $s'$，即 $g * s'$。
   • 这条公理说的是，“先在群里合并操作，再作用一次” 的效果，应该和 “按照顺序，依次作用两次” 的效果完全一样。
   • 这保证了群的乘法结构和群作用的复合是兼容的。
3. 乘法表示法：
   • 为了简洁，我们通常省略星号 *，直接写成 $gs$。
   • 用这种记法，两条公理就变成了：
   • (a) $1s = s$
   • (b) $(gg')s = g(g's)$
   • 这种写法看起来很像普通的乘法，但务必记住它们的含义：
   • $(gg')s$ 里的 $gg'$ 是群内乘法。
   • $g(g's)$ 里的 $g's$ 是群作用，它的结果是一个集合元素；然后 $g(...)$ 是另一次群作用。括号只是为了清晰地表示运算顺序。

本段通过一系列具体的例子，来展示群作用这个抽象概念是多么普遍和自然。

1. 例子1：平面等距变换群 M
   • 群 $G$：是平面等距变换群 $M$。这个群的元素是所有保持距离不变的平面变换，包括平移、旋转、反射。
   • 这个群可以作用在不同的集合上：
   • 作用于点集：
   • 集合 $S$：平面上的所有点。
   • 作用：一个等距变换 $m \in M$ 作用于一个点 $p \in S$，结果就是点 $p$ 经过这个变换后得到的新点 $p'$。比如，平移变换将一个点移动到另一个位置。
   • 公理验证：单位元（不动）作用于点，点不动。先做变换 $m_1$ 再做 $m_2$，等同于做一个组合变换 $m_2 \circ m_1$。公理显然成立。
   • 作用于线集：
   • 集合 $S$：平面上的所有直线。
   • 作用：一个等距变换 $m$ 作用于一条直线 $L$，结果是直线 $L$ 上所有点经过变换 $m$ 后形成的新集合，这本身也是一条直线 $L'$。
   • 公理验证：同样，公理显然成立。
   • 作用于三角形集：
   • 集合 $S$：平面上的所有三角形。
   • 作用：一个等距变换 $m$ 作用于一个三角形 $\Delta$，结果是三角形 $\Delta$ 的三个顶点经过变换 $m$ 后形成的新三角形 $\Delta'$。因为 $m$ 是等距变换，所以 $\Delta'$ 和 $\Delta$ 是全等的。
   • 公理验证：公理依然显然成立。
2. 例子2：对称群 $S_n$
   • 群 $G$：对称群 $S_n$。它的元素是作用于 $n$ 个对象的所有置换。
   • 集合 $S$：是这 $n$ 个对象的标号（指标）集合，即 $\{\mathbf{1}, \mathbf{2}, \ldots, \mathbf{n}\}$。
   • 作用：一个置换 $p \in S_n$ 作用于一个指标 $k \in S$，结果就是 $p(k)$，即指标 $k$ 被置换 $p$ 映到的那个指标。
   • 公理验证：
   • 单位元（恒等置换）作用于任何指标 $k$，结果还是 $k$。
   • 先用置换 $p_1$ 再用 $p_2$ 作用于 $k$，即 $p_2(p_1(k))$，这正好是置换的复合 $(p_2 \circ p_1)(k)$ 的定义。公理成立。

这段话揭示了群作用的一个核心内涵：群作用为我们提供了一种将抽象群的元素“翻译”成具体置换的方法。

1. 固定一个群元 g：
   • 在群作用 $gs$ 中，我们有两个变量，$g \in G$ 和 $s \in S$。
   • 现在我们换个角度看问题：暂时只选定一个群元 $g$，不让它变。比如，选定 $g$ 为“逆时针旋转90度”。
2. 得到一个 S 上的映射：
   • 当 $g$ 固定后，$gs$ 就变成了一个只依赖于 $s$ 的函数。这个函数把 $S$ 中的每个元素 $s$ 都映射到 $S$ 中的另一个元素 $gs$。
   • 我们给这个由 $g$ 催生的映射起个名字，叫做 $m_g$。“m”可以理解为 multiplication（乘）或 mapping（映射）。
   • 所以，$m_g$ 是一个从 $S$ 到 $S$ 的映射，其定义就是 $m_g(s) = gs$。
   • 例如，如果 $g$ 是“旋转90度”，那么 $m_g$ 就是那个将整个平面旋转90度的函数。它把每个点 $s$ 都变成旋转90度后的点 $gs$。
3. 这个映射是一个置换（双射）：
   • $m_g$ 不仅仅是一个普通的映射，它总是一个双射（bijection），即既是单射（injective）又是满射（surjective）。在有限集上，双射和置换是同义词。为什么？
   • 要证明一个函数是双射，最简单的方法是找到它的逆函数。
   • $m_g$ 的作用是“用 $g$ 左乘”。它的逆操作是什么？直觉上应该是“用 $g$ 的逆元 $g^{-1}$ 左乘”。
   • 让我们来验证一下：我们声称 $m_{g^{-1}}$ 是 $m_g$ 的逆函数。
   • $(m_{g^{-1}} \circ m_g)(s) = m_{g^{-1}}(m_g(s)) = m_{g^{-1}}(gs)$
   • 根据 $m$ 的定义，这等于 $(g^{-1})(gs)$。
   • 根据群作用的公理(b)，这等于 $(g^{-1}g)s$。
   • 根据群的定义，$g^{-1}g = 1$ (群的单位元)。
   • 所以结果是 $1s$。
   • 根据群作用的公理(a)，$1s = s$。
   • 所以 $(m_{g^{-1}} \circ m_g)(s) = s$，这意味着 $m_{g^{-1}} \circ m_g$ 是恒等映射。
   • 同理可证 $(m_g \circ m_{g^{-1}})(s) = s$。
   • 既然 $m_g$ 有一个逆函数 $m_{g^{-1}}$，那么 $m_g$ 必须是一个双射，即一个 $S$ 上的置换。

轨道是群作用中最重要的基本概念之一。它描述了一个元素在群的所有成员作用下，能够“旅行”到的所有地方。

1. 出发点：从集合 $S$ 中选定一个起始元素 $s$。
2. 探索：让群 $G$ 中所有的元素 $g$ 逐一作用于这个起始点 $s$。
   • $g_1$ 作用于 $s$ 得到 $s_1 = g_1s$。
   • $g_2$ 作用于 $s$ 得到 $s_2 = g_2s$。
   • ...
   • 单位元 $1$ 作用于 $s$ 得到 $s$ 本身。
3. 收集：把所有可能得到的结果 $s', s_1, s_2, ...$ 全部收集到一个集合里。
4. 命名：这个收集起来的集合，就叫做元素 $s$ 的轨道，记作 $O_s$。

换句话说，$s$ 的轨道就是从 $s$ 出发，通过群 $G$ 的作用，能够到达的所有点的集合。

1. 三角形的轨道就是全等类：
   • 群 $G$：平面等距变换群 $M$。
   • 集合 $S$：平面上所有三角形的集合。
   • 取一个三角形 $\Delta$。它的轨道 $O_\Delta$ 是 $\{ m\Delta \mid m \in M \}$。
   • 等距变换的定义就是保持距离不变。所以，任何变换后的三角形 $m\Delta$ 的三条边长都和原来 $\Delta$ 的三条边长完全一样。
   • 根据中学几何，三条边长对应相等的两个三角形是全等的。
   • 反过来，任何一个与 $\Delta$ 全等的三角形 $\Delta'$，我们总能找到一个等距变换（平移加旋转）$m$，使得 $m\Delta = \Delta'$。
   • 结论：$\Delta$ 的轨道，不多不少，正好是平面上所有与 $\Delta$ 全等的三角形组成的集合。
2. 轨道是等价类的另一种看法：
   • 作者指出了一个非常深刻的性质：轨道实际上是一种等价关系所产生的等价类。
   • 让我们定义一个关系 ~ 在集合 $S$ 上：我们说 $s \sim s'$ （$s$ 与 $s'$ 等价），当且仅当存在一个群元 $g \in G$ 使得 $s' = gs$。
   • 要证明这是一种等价关系，需要验证三条性质：
   • 自反性 ($s \sim s$)：对任何 $s$，是否存在 $g$ 使得 $s = gs$？是的，取 $g=1$（群的单位元）。根据公理(a)，$1s=s$。所以 $s \sim s$ 成立。
   • 对称性 (若 $s \sim s'$, 则 $s' \sim s$)：如果 $s \sim s'$，意味着存在 $g$ 使得 $s' = gs$。我们想找一个 $h$ 使得 $s = hs'$。用 $g^{-1}$ 左乘 $s'=gs$ 的两边，得到 $g^{-1}s' = g^{-1}(gs) = (g^{-1}g)s = 1s = s$。所以我们找到了，这个 $h$ 就是 $g^{-1}$。因为 $g \in G$，所以 $g^{-1} \in G$。所以 $s' \sim s$ 成立。
   • 传递性 (若 $s \sim s'$ 且 $s' \sim s''$, 则 $s \sim s''$)：如果 $s \sim s'$，则存在 $g$ 使得 $s' = gs$。如果 $s' \sim s''$，则存在 $h$ 使得 $s'' = hs'$。将前者代入后者，得到 $s'' = h(gs) = (hg)s$。因为 $h,g \in G$，所以它们的乘积 $hg$ 也在 $G$ 中。所以我们找到了一个群元（即 $hg$）作用于 $s$ 得到 $s''$。所以 $s \sim s''$ 成立。
   • 既然 ~ 是一个等价关系，那么等价类是什么？根据定义，元素 $s$ 的等价类是所有与 $s$ 等价的元素 $s'$ 组成的集合。这正好就是轨道 $O_s$ 的定义！
3. 轨道划分集合 S：
   • 这是等价关系的一个基本定理：任何等价关系都会将原集合“切割”成若干个互不相交的子集（等价类），这些子集的并集就是原集合。
   • 因为轨道就是等价类，所以这个定理直接适用：
   • 所有轨道的并集等于 $S$。（因为 $S$ 中每个元素 $s$ 至少在它自己的轨道 $O_s$里）
   • 任意两个不同的轨道要么完全相同，要么完全没有交集。不可能只重叠一部分。
   • 这就是“轨道划分集合 S”的精确含义。它把复杂的集合 $S$ 分解成了若干个独立的“小世界”（轨道）。

1. 群在轨道上独立作用：
   • 因为轨道之间是互不相交的，所以一个群元 $g$ 作用于某个轨道 $O_1$ 里的元素 $s_1$，其结果 $gs_1$ 必定还在同一个轨道 $O_1$ 里。它不可能跑到另一个轨道 $O_2$ 去。
   • 因此，我们可以把整个群作用看成是群 $G$ 在每一个轨道 $O_i$ 上分别进行作用，这些作用互不干扰。
   • 例子：等距变换 $M$ 作用于三角形集。它会把一个边长为(3,4,5)的直角三角形变成另一个边长为(3,4,5)的直角三角形，但绝不会把它变成一个等边三角形。也就是说，它只在“边长(3,4,5)的直角三角形”这个轨道（全等类）内部进行置换。
2. 传递作用的定义：
   • 这是一个特殊但很重要的情況。当集合 $S$ 被划分后，发现只有一个轨道，这个轨道就是 $S$ 本身。
   • 这种情况就叫做传递作用。
   • 从轨道的定义来看，这意味着从 $S$ 中任意一个元素 $s$ 出发，它的轨道 $O_s$ 就等于整个集合 $S$。
   • 换句话说，对于 $S$ 中任意两个元素 $s_1$ 和 $s_2$，我们总能找到一个群元 $g \in G$ 使得 $s_2 = gs_1$。
   • 直观理解：集合 $S$ 是一个“完全连通”的空间，群 $G$ 的能力足够强，可以把任何一个点移动到任何另一个点。
3. 传递作用的例子：
   • $S_n$ 作用于 $\{1, ..., n\}$：这是传递的。为什么？对于任意两个指标 $i$ 和 $j$，我们总能找到一个置换来把 $i$ 变成 $j$。最简单的就是对换 $(i j)$。这个对换就是 $S_n$ 里的一个元素。
   • $M$ 作用于平面上的点集：这是传递的。对于任意两个点 $P$ 和 $Q$，我们总能找到一个等距变换（比如，一个平移）把 $P$ 移动到 $Q$。
   • $M$ 作用于平面上的线集：这也是传递的。对于任意两条直线 $L_1$ 和 $L_2$，我们总能找到一个等距变换（平移+旋转）使得 $L_1$ 与 $L_2$ 重合。
   • $M$ 作用于平面上的三角形集：这是不传递的。因为我们无法把一个边长(3,4,5)的三角形变成一个等边三角形。这个作用有无数个轨道（全等类）。

稳定子是与轨道对偶的另一个核心概念。如果说轨道是看一个点能“去哪里”，那么稳定子就是看哪些操作能让这个点“待在原地”。

1. 出发点：从集合 $S$ 中选定一个元素 $s$。
2. 筛选：遍历群 $G$ 中的所有元素 $g$，问一个问题：这个 $g$ 作用于 $s$ 之后，$s$ 是不是还在原来的位置？即 $gs=s$ 是否成立？
3. 收集：把所有回答“是”的群元 $g$ 收集到一个集合里。
4. 命名：这个收集起来的群元的集合，就叫做元素 $s$ 的稳定子，记作 $G_s$。

稳定子是一个子群：

作者直接断言 $G_s$ 是 $G$ 的一个子群。为什么？我们需要用子群判别法来验证：

• 非空：$G_s$ 是不是空的？不是。因为群的单位元 $1$ 满足 $1s=s$，所以 $1$ 永远在 $G_s$ 里。
• 封闭性：如果 $g_1$ 和 $g_2$ 都在 $G_s$ 里，那么它们的乘积 $g_1g_2$ 在不在 $G_s$ 里？
• $g_1 \in G_s$ 意味着 $g_1s = s$。
• $g_2 \in G_s$ 意味着 $g_2s = s$。
• 我们来计算 $(g_1g_2)s$：
• $(g_1g_2)s = g_1(g_2s)$ (根据群作用公理b)
• $= g_1(s)$ (因为 $g_2$ 稳定 $s$)
• $= s$ (因为 $g_1$ 稳定 $s$)
• 所以 $(g_1g_2)s = s$，这意味着 $g_1g_2$ 也在 $G_s$ 中。封闭性成立。
• 逆元存在性：如果 $g \in G_s$，那么它的逆元 $g^{-1}$ 在不在 $G_s$ 里？
• $g \in G_s$ 意味着 $gs=s$。
• 我们想验证 $g^{-1}s$ 是否等于 $s$。
• 用 $g^{-1}$ 左乘 $gs=s$ 的两边：
• $g^{-1}(gs) = g^{-1}s$
• $(g^{-1}g)s = g^{-1}s$ (公理b)
• $1s = g^{-1}s$ (群的逆元定义)
• $s = g^{-1}s$ (公理a)
• 所以 $g^{-1}$ 确实也稳定 $s$，它也在 $G_s$ 中。
• 结论：$G_s$ 满足子群的所有条件，所以它是一个子群。

本段通过三个核心例子，进一步阐明稳定子的含义。

1. 例子1：原点的稳定子
   • 群 $G$：平面等距变换群 $M$。
   • 集合 $S$：平面上的所有点。
   • 元素 $s$：原点 $(0,0)$。
   • 稳定子 $G_{(0,0)}$：是 $M$ 中所有使原点保持不变的等距变换。
   • 哪些等距变换能固定原点？
   • 平移：任何非零的平移都会移动原点，所以只有零平移（不动）可以。
   • 旋转：所有绕原点的旋转都保持原点不变。
   • 反射：所有通过原点的直线的反射都保持原点不变。
   • 这些“保持原点不变的等距变换”构成的群，正是正交群 $O_2$ 的定义。$O_2$ 包括了所有绕原点的旋转和反射。
   • 结论：原点的稳定子就是正交群 $O_2$。
2. 例子2：指标n的稳定子
   • 群 $G$：对称群 $S_n$。
   • 集合 $S$：指标集 $\{\mathbf{1}, \ldots, \mathbf{n}\}$。
   • 元素 $s$：指标 $\mathbf{n}$。
   • 稳定子 $G_{\mathbf{n}}$：是 $S_n$ 中所有使指标 $\mathbf{n}$ 保持不变的置换。
   • 这些置换 $p$ 满足 $p(\mathbf{n}) = \mathbf{n}$。这意味着它们只能在剩下的 $\mathbf{n-1}$ 个指标 $\{\mathbf{1}, \ldots, \mathbf{n-1}\}$ 内部进行排列。
   • 所有在 $\{\mathbf{1}, \ldots, \mathbf{n-1}\}$ 上的排列，构成的群正是对称群 $S_{n-1}$。
   • 结论：指标 $\mathbf{n}$ 的稳定子 $G_{\mathbf{n}}$ 是 $S_n$ 的一个子群，并且这个子群与 $S_{n-1}$ 同构。
3. 例子3：等边三角形的稳定子
   • 群 $G$：平面等距变换群 $M$。
   • 集合 $S$：平面上所有三角形的集合。
   • 元素 $s$：一个特定的等边三角形 $\Delta$。
   • 稳定子 $G_{\Delta}$：是 $M$ 中所有使三角形 $\Delta$ 保持不变的等距变换，即 $m(\Delta) = \Delta$。
   • $m(\Delta) = \Delta$ 意味着变换后的三角形与原三角形占据完全相同的位置。（注意，这不要求三角形内部的点不动，见下文的“注意”）。
   • 哪些等距变换能让一个等边三角形回到原来的位置？这正是等边三角形的对称操作：3次旋转（0，120，240度）和3次翻转。
   • 这些操作构成的群，正是二面体群 $D_3$。
   • 结论：等边三角形 $\Delta$ 的稳定子 $G_\Delta$，就是它自身的对称群，这个群与 $D_3$ 同构。
4. 重要提醒 (注意)
   • 作者特意强调了一个关键区别。当 $S$ 是由复杂对象（如三角形）构成的集合时，“稳定”的含义。
   • “$m$ 稳定 $\Delta$” ($m \in G_\Delta$) 意味着 $m(\Delta) = \Delta$。这是在三角形的集合 $S$ 中，元素 $\Delta$ 被 $m$ 映射回了自身。
   • 这不等于对于 $\Delta$ 上的每一个点 $p$，都有 $m(p)=p$。
   • 例如，将等边三角形旋转120度，这个操作属于稳定子 $G_\Delta$，因为它使得旋转后的三角形与原来的三角形重合。但在这个过程中，三角形的每一个顶点都被移动到了下一个顶点的位置，没有一个顶点（除了中心）被固定。
   • 唯一能固定三角形所有点的等距变换只有单位元（不动）。

这部分将稳定子与陪集这个重要的群论概念联系起来，并揭示了稳定子的核心作用：它衡量了群作用的“冗余度”。

1. 类比：同态的核 (Kernel)
   • 作者首先用一个类比来启发思考。回忆一下群同态 $\varphi: G \rightarrow G'$。
   • 核的定义是 $Ker(\varphi) = \{g \in G \mid \varphi(g) = e'\}$，其中 $e'$ 是 $G'$ 的单位元。
   • 核有一个重要性质：$\varphi(x) = \varphi(y)$ 当且仅当 $x^{-1}y \in Ker(\varphi)$。
   • 这意味着，核的大小衡量了同态的“压缩”程度。核里的所有元素都被映到了同一个点 $e'$。而一个陪集 $xK$ 里的所有元素，则都被映到了同一个点 $\varphi(x)$。
   • 现在，作者说稳定子 $G_s$ 扮演着类似核的角色。
2. 稳定子的作用
   • 问题：在群作用中，什么时候两个不同的群元 $a$ 和 $b$ 作用在同一个点 $s$ 上，会得到完全相同的结果？即，何时 $as = bs$？
   • 这个问题很重要。如果 $as=bs$ 经常发生，说明群 $G$ 中有很多“冗余”的操作。如果 $as=bs$ 只在 $a=b$ 时发生，说明群作用是“忠实”的。
   • 命题 6.7.7(a) 回答了这个问题。
3. 证明命题 6.7.7(a)
   • 第一部分：$as = bs \iff a^{-1}b \in H$
   • ($\Rightarrow$) 假设 $as=bs$。我们想证明 $a^{-1}b$ 在 $H$ (即 $G_s$) 中。
   • 要证明一个元素 $g$ 在 $H=G_s$ 中，就是要证明 $gs=s$。
   • 我们来计算 $(a^{-1}b)s$：
   • 左乘 $as=bs$ 的两边乘以 $a^{-1}$：
   • $a^{-1}(as) = a^{-1}(bs)$
   • $(a^{-1}a)s = (a^{-1}b)s$ (公理b)
   • $1s = (a^{-1}b)s$
   • $s = (a^{-1}b)s$ (公理a)
   • 这正好说明元素 $(a^{-1}b)$ 满足了进入稳定子 $H$ 的条件。所以 $a^{-1}b \in H$。
   • ($\Leftarrow$) 假设 $a^{-1}b \in H$。我们想证明 $as=bs$。
   • $a^{-1}b \in H$ 意味着 $(a^{-1}b)s = s$。
   • 左乘这个等式的两边乘以 $a$：
   • $a((a^{-1}b)s) = as$
   • $(a a^{-1})bs = as$ (公理b的变体，或写作 $(a(a^{-1}b))s = as$ 再用公理b)
   • $(1b)s = as$
   • $bs = as$。证明完毕。

• 第二部分：$a^{-1}b \in H \iff b \in aH$
• 这是左陪集 $aH$ 的基本定义和性质。
• $b \in aH$ 的定义是：存在某个 $h \in H$，使得 $b=ah$。
• 如果 $b = ah$，那么左乘 $a^{-1}$ 得到 $a^{-1}b = a^{-1}(ah) = (a^{-1}a)h = 1h = h$。因为 $h \in H$，所以 $a^{-1}b \in H$。
• 反过来，如果 $a^{-1}b \in H$，令 $h = a^{-1}b$。那么 $h$ 是 $H$ 中的一个元素。左乘 $a$ 得到 $a(a^{-1}b) = ah$，即 $(aa^{-1})b = ah$，所以 $b=ah$。这表明 $b$ 是 $a$ 和 $H$ 中某个元素 $h$ 的乘积，所以根据定义，$b \in aH$。

1. 结论解读：
   • $as=bs$ 当且仅当 $b \in aH$。
   • $aH$ 是 $H$ 在 $G$ 中的一个左陪集。它是由 $a$ 乘以 $H$ 中所有元素得到的集合。
   • 这个结论告诉我们，所有能把 $s$ 移动到同一个目标点 $as$ 的群元，不多不少，正好构成了稳定子 $H$ 的一个左陪集 $aH$。
   • 群作用的“冗余度”被稳定子 $H$ 精确地刻画了。$H$ 越大，冗余度越高，就有越多的元素做同样的事情。

这部分讨论了在同一个轨道上的不同点的稳定子之间的关系。结论是：它们是互相共轭的。

1. 问题设定：
   • $s$ 和 $s'$ 是在同一个轨道里的两个点。
   • 这意味着存在一个群元 $a$ 使得 $s' = as$。
   • $s$ 的稳定子是 $H = G_s$。
   • $s'$ 的稳定子是 $H' = G_{s'}$。
   • $H$ 和 $H'$ 这两个子群之间有什么关系？
2. 结论：共轭关系
   • 命题说：$H' = aHa^{-1}$。
   • $aHa^{-1}$ 是 $H$ 的一个共轭子群。它的定义是把 $H$ 中的每个元素 $h$ 都拿出来，用 $a$ 和 $a^{-1}$ 从两边“夹”一下，变成 $aha^{-1}$，然后把所有这些新元素收集起来。
   • 可以证明，如果 $H$ 是一个子群，那么 $aHa^{-1}$ 也是一个子群，并且它和 $H$ 是同构的。
   • 所以，同一个轨道上的所有点的稳定子，虽然可能是 $G$ 中不同的子群，但它们在代数结构上是完全一样的（都是同构的）。
3. 证明命题 6.7.7(b)
   • 证明一个集合相等 $A=B$，标准的做法是证明 $A \subset B$ 和 $B \subset A$。
   • 第一步：证明 $aHa^{-1} \subset H'$
   • 取任意一个元素 $g \in aHa^{-1}$。根据定义，存在一个 $h \in H$ 使得 $g = aha^{-1}$。
   • 我们的目标是证明 $g \in H'$，即证明 $g$ 稳定 $s'$，也就是 $gs' = s'$。
   • 开始计算 $gs'$：
   • $gs' = (aha^{-1})s'$ (代入 $g$ 的表达式)
   • $= (aha^{-1})(as)$ (代入 $s'=as$)
   • $= a(h(a^{-1}a))s$ (反复使用公理b，改变结合方式)
   • $= a(h(1s))$
   • $= a(hs)$
   • 因为 $h$ 属于 $s$ 的稳定子 $H$，所以 $hs=s$。
   • 所以 $gs' = a(s) = as$。
   • 而 $as$ 就是 $s'$。
   • 所以我们证明了 $gs' = s'$。这说明 $g$ 确实在 $s'$ 的稳定子 $H'$ 中。
   • 由于 $g$ 是任意选的，所以 $aHa^{-1} \subset H'$。

• 第二步：证明 $H' \subset aHa^{-1}$
• 作者用了一个巧妙的对称性论证。
• 我们有 $s'=as$，这可以改写成 $s = a^{-1}s'$。
• 现在，我们可以把 $s$ 和 $s'$ 的角色对调，把 $a$ 换成 $a^{-1}$。
• 套用我们刚刚在第一步得到的结论（把所有符号替换）：
• 用 $s$ 替换 $s'$，用 $s'$ 替换 $s$，用 $a^{-1}$ 替换 $a$。
• 原来的结论是：$s'$ 的稳定子 $H'$ 和 $s$ 的稳定子 $H$ 的关系是 $aHa^{-1} \subset H'$。
• 替换后我们得到：$s$ 的稳定子 $H$ 和 $s'$ 的稳定子 $H'$ 的关系是 $(a^{-1})H'(a^{-1})^{-1} \subset H$。
• 即 $a^{-1}H'a \subset H$。
• 现在我们得到了 $a^{-1}H'a \subset H$。为了得到 $H'$，我们用 $a$ 左乘，用 $a^{-1}$ 右乘不等式两边：
• $a(a^{-1}H'a)a^{-1} \subset aHa^{-1}$
• $(aa^{-1})H'(aa^{-1}) \subset aHa^{-1}$
• $1H'1 \subset aHa^{-1}$
• $H' \subset aHa^{-1}$。

• 结论：因为 $aHa^{-1} \subset H'$ 和 $H' \subset aHa^{-1}$ 同时成立，所以 $H' = aHa^{-1}$。

这是对命题 6.7.7(b) 背后直觉的一个总结性陈述。

1. 现象回顾：作者指出，在之前的学习中，可能已经遇到过类似“坐标系变换”的思想。一个在旧坐标系下的简单操作，在变到新坐标系后，形式会变得复杂。
2. 命题(b)的直观解读：
   • 我们有两个点 $s$ 和 $s'$，以及连接它们的变换 $a$ ($s'=as$)。
   • 一个群元 $g$ 能固定 $s$，意味着 $gs=s$。
   • 我们想知道，哪个群元 $g'$ 能固定 $s'$？
   • 命题(b)的结论 $G_{s'} = a G_s a^{-1}$ 告诉我们，所有能固定 $s'$ 的元素 $g'$ 都具有 $aga^{-1}$ 的形式，其中 $g$ 是一个能固定 $s$ 的元素。
   • 反过来，如果一个元素 $g$ 能固定 $s$，那么 $aga^{-1}$ 这个元素就一定能固定 $s'$。
   • 所以，“$g$ 固定 $s$” 和 “$aga^{-1}$ 固定 $s'$” 是两个等价的陈述。
3. 变换的观点：
   • $a$ 可以看作一个“坐标变换”，把我们的参考点从 $s$ 换到了 $s'$。
   • 一个在 $s$ 的参考系下的操作 $g$。
   • 要想知道这个操作在 $s'$ 的参考系下对应哪个操作，需要通过 $a$ 来“翻译”。
   • 翻译过程是：
4. 从 $s'$ 的世界，通过 $a^{-1}$ 回到 $s$ 的世界。
5. 在 $s$ 的世界里执行操作 $g$。
6. 通过 $a$ 再回到 $s'$ 的世界。
   • 整个过程就是 $aga^{-1}$。这正是共轭的结构。