行间公式索引

这一段开始着手，一步步地、形式化地构造自由群。作者采取的策略是“循序渐进”，先从一个更简单的结构——自由半群 (Free Semigroup) ——开始。

1. 第一步：定义原材料
   • 我们从一个集合 $S$ 开始，这个集合可以是任何东西，比如 $S=\{a, b, c\}$ 或者 $S=\{\text{猫}, \text{狗}\}$。
   • $S$ 中的元素被称为符号 (symbols) 或字母 (letters)。它们是构建一切的基础，就像字母表里的字母。
2. 第二步：定义“字”
   • 一个字 (word) 就是由这些符号组成的一个有限长度的序列（字符串）。
   • 允许重复: 就像在英文单词 "book" 中 'o' 可以重复一样，我们也可以有字 "aa"。
   • 例子: 如果 $S=\{a, b\}$，那么
   • $a$ 是一个字（长度为1）。
   • $aa$ 是一个字（长度为2）。
   • $ba$ 是一个字（长度为2）。
   • $aaba$ 是一个字（长度为4）。
   • 顺序很重要：$ba$ 和 $ab$ 是两个不同的字。
3. 第三步：定义运算
   • 我们定义一个操作，叫做并置 (concatenation)，就是简单地把两个字首尾相连。
   • 比如，字 $w_1 = aa$ 和字 $w_2 = ba$，它们的并置 $w_1w_2$ 就是 $aaba$。
   • 这个操作是天生就满足结合律 (associative law) 的。比如，$(w_1 w_2) w_3$ (先把 $w_1, w_2$ 连接，再连上 $w_3$) 和 $w_1 (w_2 w_3)$ (先把 $w_2, w_3$ 连接，再把 $w_1$ 连在前面) 得到的结果显然是一样的。例如，$("ab")"c"$ 和 $"a"("bc")$ 都得到 $"abc"$。
4. 第四步：引入单位元
   • 为了让这个结构更接近群，我们引入一个特殊的字，叫做空字 (empty word)。它不包含任何符号，长度为0。
   • 我们用符号 $1$ 来表示空字。
   • 空字的作用是单位元 (identity element)。任何字 $w$ 与空字 $1$ 进行并置，都等于 $w$ 本身。$w \cdot 1 = 1 \cdot w = w$。例如，$aba \cdot 1 = aba$。
5. 第五步：命名这个结构
   • 到目前为止，我们有了一个集合 $W$（所有字的集合，包括空字），以及一个满足结合律的运算（并置），并且还有一个单位元（空字）。
   • 这种代数结构（有结合律和单位元的集合）被称为幺半群 (Monoid)。文中称之为 $S$ 上的自由半群，更准确的说是自由幺半群 (Free Monoid)。
   • 半群 (Semigroup) 仅要求运算满足结合律。幺半群在半群的基础上还要求有单位元。
6. 最后一步：指出缺陷
   • 作者明确指出，这个自由半群 $W$ 还不是一个群。
   • 为什么？因为它缺少逆元 (inverses)。对于一个非空的字，比如 $a$，你在 $W$ 中找不到另一个字 $w'$，使得 $a \cdot w' = 1$（空字）。把任何非空字符串接在 $a$ 后面，只会让它变得更长，永远变不回空字。
   • 添加逆元是构造自由群的下一步，也是更复杂的一步。

这一段是构造自由群的关键一步。我们解决了上一段提出的“缺少逆元”的问题，方法是：

1. 显式地为每个符号添加一个对应的逆符号。
2. 定义一个“抵消”规则，让符号和其逆符号可以互相消除。

让我们分解这个过程：

1. 扩大字母表:
   • 之前我们的字母表是 $S = \{a, b, c, \ldots\}$。
   • 现在我们创建一个新的、更大的字母表，叫做 $S'$。
   • 对于 $S$ 中的每一个符号 $a$，我们在 $S'$ 中放入两样东西：符号 $a$ 本身，以及一个全新的符号，我们记作 $a^{-1}$。
   • $a^{-1}$ 被称为 $a$ 的逆符号 (inverse symbol)。它目前只是一个形式上的记号，看起来像幂，但其实只是一个新字母。
   • 所以，如果 $S=\{a, b\}$，那么新的字母表就是 $S'=\{a, a^{-1}, b, b^{-1}\}$。
2. 创建新的字集:
   • 和之前一样，我们用新字母表 $S'$ 中的符号来构成字。所有这些新字的集合，我们称之为 $W'$。
   • $W'$ 本身也是一个自由半群（或幺半群），运算同样是并置。
   • 现在的字可以包含逆符号了，例如：$ab^{-1}$, $a^{-1}a$, $bba^{-1}b$ 都是 $W'$ 中的字。
3. 定义核心规则：抵消 (Cancellation)
   • 这是最关键的创新。我们规定：在一个字中，如果一个符号和它的逆符号紧挨在一起，它们就可以被“抵消”或“删除”。
   • 这个规则有两种形式：
   • 一个符号后面跟着它的逆符号，如 $aa^{-1}$。
   • 一个逆符号后面跟着它对应的原符号，如 $a^{-1}a$。
   • 抵消会使字的长度变短。例如，在字 $ba a^{-1} c$ 中，中间的 $aa^{-1}$ 可以被抵消，得到更短的字 $bc$。
4. 定义“约化”:
   • 约化字 (Reduced Word): 如果一个字里面已经没有任何可以抵消的部分了（即找不到任何相邻的 $xx^{-1}$ 或 $x^{-1}x$），那么这个字就被称为约化的。
   • 例如：$ab^{-1}c$ 是约化的，因为 $a$ 和 $b^{-1}$ 不能抵消，$b^{-1}$ 和 $c$ 也不能。$aab$ 也是约化的。
   • 而 $abb^{-1}a$ 不是约化的，因为中间有 $bb^{-1}$。
   • 约化形式 (Reduced Form): 从任何一个字 $w$ 开始，我们可以不断地进行抵消操作。因为每次抵消都会使字的长度减少，这个过程必然会在有限步内结束。当不能再进行任何抵消时，我们得到的那个约化字，就称为 $w$ 的约化形式。
   • 例如，字 $w = c a^{-1} a b b^{-1}$。
   • 抵消 $a^{-1}a$ 得到 $c b b^{-1}$。
   • 再抵消 $b b^{-1}$ 得到 $c$。
   • $c$ 本身是约化的，所以 $c$ 就是 $w$ 的约化形式。
   • 另一个例子：$w = a b^{-1} b a^{-1}$。抵消 $b^{-1}b$ 得到 $aa^{-1}$。再抵消 $aa^{-1}$ 得到空字 $1$。所以 $w$ 的约化形式是 $1$。

这一部分解决了一个至关重要的问题：约化过程的最终结果是否依赖于我们选择的抵消顺序？如果不同的顺序导致不同的约化字，那么我们的整个构造就会陷入混乱。本段通过一个例子和一则命题，给出了一个明确的答案：最终结果是唯一的。

1. 问题的提出:
   • 在一个字中，可能同时存在多个可以抵消的相邻对。
   • 例如，在字 $w = a b b^{-1} c^{-1} c b$ 中，我们既可以先抵消中间的 $b b^{-1}$，也可以先抵消它旁边的 $c^{-1} c$。
   • 这就引出了一个问题：我选择先抵消哪个，会影响最终的结果吗？
2. 通过例子建立直觉:
   • 作者给出了 $w = a \underline{b} \underline{b}^{-1} \underline{c}^{-1} \underline{c} \underline{b}$ 的例子。（原文中下划线的符号是最终保留的，这里我用下划线标出可操作的对来解释）
   • 方式一 (先抵消 $bb^{-1}$):
3. $a (b b^{-1}) c^{-1} c b \to a c^{-1} c b$
4. $a (c^{-1} c) b \to a b$
5. 最终得到 $ab$。
   • 方式二 (先抵消 $c^{-1}c$):
6. $a b b^{-1} (c^{-1} c) b \to a b b^{-1} b$
7. $a (b b^{-1}) b \to a b$
8. 最终也得到 $ab$。
   • 例子的结论: 在这个例子中，无论我们先处理哪一对，最终得到的约化字都是 $ab$。这暗示我们，最终结果可能是唯一的。
9. 正式的结论：命题 7.9.2
   • 作者将这个观察提升为一个普适的数学命题。
   • 命题 7.9.2: 对于任何一个给定的字 $w$，无论你采用什么样的抵消顺序，最终得到的那个无法再抵消的约化字（即约化形式）是独一无二的。
   • 这个命题是整个自由群理论的基石。它保证了“约化形式”这个概念是良好定义的 (well-defined)。因为每个字都对应着一个唯一的约化形式，我们才能放心地把这个约化形式当作是群里的一个规范的元素代表。

这是对命题 7.9.2（约化形式唯一性）的证明。证明的核心思想是数学归纳法，并结合对抵消过程的精细分析。

1. 证明策略：数学归纳法
   • 证明是基于字的长度 $n$ 来进行的。
   • 基本情况 (Base Case): 如果字 $w$ 的长度很短（比如0或1），它本身就是约化的，只有一个约化形式（它自己）。或者，如果一个字 $w$ 本身就是约化的，那么它的约化形式就是它自己，显然是唯一的。这部分是平凡的，所以证明中直接说“无需证明”。
   • 归纳假设 (Inductive Hypothesis): 假设对于所有长度小于 $n$ 的字，它们的约化形式都是唯一的。
   • 归纳步骤 (Inductive Step): 我们需要证明，对于一个长度为 $n$ 的字 $w$，它的约化形式也是唯一的。
2. 证明的逻辑流程
   • 取一个长度为 $n$ 的、非约化的字 $w$。因为它非约化，所以它内部至少包含一个可抵消的对，我们不妨把它记作 $\underline{xx^{-1}}$。
   • 我们的目标是证明：$w$ 的任何一个约化形式，都可以通过先抵消 $\underline{xx^{-1}}$ 这一步，然后对得到的更短的字 $w'$ 进行约化来得到。
   • 令 $w'$ 是抵消 $\underline{xx^{-1}}$ 后得到的字。即 $w' = \text{(一些符号)(另一些符号)}$。
   • $w'$ 的长度是 $n-2$，比 $w$ 的长度 $n$ 要短。
   • 根据归纳假设，$w'$ 有一个唯一的约化形式，我们称之为 $w'_{red}$。
   • 如果我们可以证明 $w$ 的所有可能的约化形式都等于这个 $w'_{red}$，那么就证明了 $w$ 的约化形式也是唯一的。
3. 核心论证：分析任意一个约化过程
   • 假设我们有一个任意的抵消序列，它把 $w$ 变成了某个约化形式 $w_0$。我们来分析这个序列中，最初的那对 $\underline{xx^{-1}}$ 发生了什么。
   • 可能性1：$\underline{xx^{-1}}$ 这对符号在某个步骤中被直接抵消了。
   • 比如，序列是 $w \to w_1 \to \dots \to w_k \to \dots \to w_0$，在第 $k$ 步，我们把最初的那个 $xx^{-1}$ 对给抵消了。
   • 证明指出，我们可以调整抵消顺序，把“抵消 $\underline{xx^{-1}}$”这一步提到最前面来做，这不会影响后续的抵消。这在直觉上是显然的，因为抵消这对符号只影响它们自身，不影响远处的其他符号对。
   • 所以，这种情况下的约化形式 $w_0$，确实可以通过先抵消 $\underline{xx^{-1}}$ 得到。这符合我们的目标。

• 可能性2：$\underline{xx^{-1}}$ 这对符号从来没有被“直接”抵消过，但它们最终还是消失了。
• 它们为什么会消失？因为 $w_0$ 是约化的，所以 $x$ 和 $x^{-1}$ 不可能还挨在一起。这意味着，它们中的至少一个，比如 $x$，肯定在某个步骤中跟它旁边的另一个符号抵消了。
• 那么，这个与 $x$ 抵消的符号必须是 $x^{-1}$。这个 $x^{-1}$ 从哪里来？它只能是原先紧挨着 $x$ 的那个 $x^{-1}$ 的邻居。
• 所以，这种情况必然是形如 $\dots y \underline{x^{-1} x} x^{-1} y^{-1} \dots$ 的结构，我们抵消了中间的 $x^{-1}x$。但更具体地，我们看 $w = \dots \underline{x x^{-1}} \dots$。如果 $x$ 或 $x^{-1}$ 要和别的符号抵消，那一定是下面这两种情况之一的第一次发生：

证明中给出的形式是更微妙的一层：

或者

我们来分析第一种：$\cdots x^{-1} \underline{x x^{-1}} \cdots$。

• 在这个字里，如果某个抵消步骤是抵消了 $x^{-1}x$ (下划线左边的 $x^{-1}$ 和 $x$)，那么字会变成 $\cdots x^{-1} \cdots$。
• 但是，如果我们不这么做，而是先抵消我们最开始选定的 $\underline{xx^{-1}}$，那么字会变成 $\cdots x^{-1} \cdots$。
• 关键观察: 两种不同的抵消步骤，得到的结果是完全一样的！
• 这意味着，即使抵消序列看起来没有“直接”处理我们选定的 $\underline{xx^{-1}}$，它在某个中间步骤产生的效果，也和我们先处理 $\underline{xx^{-1}}$ 是等价的。
• 因此，我们可以“劫持”这个过程，把它看作是先抵消了 $\underline{xx^{-1}}$，然后再继续。这样一来，这种情况也被转化为了可能性1。

1. 结论
   • 我们证明了，对于 $w$ 的任何一个约化形式 $w_0$，它所对应的抵消过程，都可以被看作是“先抵消我们选定的 $\underline{xx^{-1}}$，然后约化更短的 $w'$” 这一过程。
   • 由于 $w'$ 的约化形式根据归纳假设是唯一的，那么 $w$ 的约化形式也就是唯一的。
   • 归纳步骤完成，命题得证。

在证明了约化形式的唯一性之后，我们现在可以利用这个强大的工具来定义自由群的元素了。思路是：不把每个字都看作一个独立的元素，而是把所有能被约化成同一个约化字的字“捆绑”在一起，看作一个整体。

1. 定义等价关系 ~:
   • 我们定义一种新的关系，称为“等价”，用符号 ~ 表示。
   • 定义: 两个字 $w$ 和 $w'$ 是等价的 (写成 $w \sim w'$)，当且仅当它们的约化形式完全相同。
   • 例子:
   • 令 $w = a b b^{-1} c$，它的约化形式是 $ac$。
   • 令 $w' = a c c^{-1} c$，它的约化形式也是 $ac$。
   • 因为它们的约化形式相同，所以我们说 $w$ 和 $w'$ 是等价的，即 $a b b^{-1} c \sim a c c^{-1} c$。
   • 而字 $ab$ 的约化形式是 $ab$，与 $ac$ 不同，所以 $ab \nsim w$。
2. 验证这是一个等价关系:
   • 一个关系要成为等价关系 (Equivalence Relation)，必须满足三个性质：
   • 自反性 (Reflexivity): 对任何字 $w$，都有 $w \sim w$。
   • 这是显然的，因为 $w$ 的约化形式和它自己的约化形式当然是同一个。
   • 对称性 (Symmetry): 如果 $w \sim w'$，那么 $w' \sim w$。
   • 这也很好理解。如果 $w$ 和 $w'$ 的约化形式相同，那么 $w'$ 和 $w$ 的约化形式自然也相同。
   • 传递性 (Transitivity): 如果 $w \sim w'$ 并且 $w' \sim w''$，那么 $w \sim w''$。
   • 如果 $w$ 和 $w'$ 有相同的约化形式（比如 $w_{red}$），$w'$ 和 $w''$ 也有相同的约化形式（也必须是 $w_{red}$），那么 $w$ 和 $w''$ 就必然拥有共同的约化形式 $w_{red}$。因此 $w \sim w''$。
   • 既然三个性质都满足，那么 ~ 确实是一种等价关系。
3. 等价关系的作用:
   • 等价关系会把整个集合 $W'$（所有字的集合）分割成一个个互不相交的子集，这些子集被称为等价类 (Equivalence Classes)。
   • 每个等价类由所有具有相同约化形式的字组成。
   • 例如，等价类 $[ac]$ (用约化形式 $ac$ 来命名这个类) 包含了字 $ac$, $abb^{-1}c$, $acc^{-1}c$, $ad^{-1}dac$ 等等所有能约化成 $ac$ 的字。
   • 这些等价类，未来就会成为我们自由群中的元素！
4. 为群运算铺路：命题 7.9.3
   • 我们想在这些等价类上定义一个运算（乘法）。自然的想法是：[w] * [v] = [wv]。也就是说，两个等gao类相乘，就是从每个类里随便挑一个代表字 $w$ 和 $v$，把它们并置成 $wv$，然后看看 $wv$ 属于哪个等价类。
   • 但这里有一个严重的问题：这个运算的结果是否依赖于我们挑选的代表？
   • 例子: 假设 $[w] = [w']$ 且 $[v] = [v']$。我们定义的运算必须保证 $[wv] = [w'v']$。否则，这个运算就是不“良定义”的。
   • 命题 7.9.3 正是来解决这个问题的。它保证了：如果你从两个等价的字 $w, w'$ 和另外两个等价的字 $v, v'$ 开始，把它们分别并置起来得到 $wv$ 和 $w'v'$，那么这两个新的、更长的字也一定是等价的。
   • 这个命题确保了我们可以在等价类上定义一个一致的、无歧义的乘法运算。

[原文]（逐字逐句） (命题7.9.3的证明)

证明。为了获得与乘积 $w v$ 等价的约化字，我们首先可以在 $w$ 和 $v$ 中尽可能多地抵消，将 $w$ 约化为 $w_{0}$，将 $v$ 约化为 $v_{0}$。然后 $w v$ 被约化为 $w_{0} v_{0}$。现在我们继续在 $w_{0} v_{0}$ 中抵消，直到该字被约化。如果 $w \sim w^{\prime}$ 且 $v \sim v^{\prime}$，则将相同的过程应用于 $\boldsymbol{w}^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}$，它也会通过 $w_{0} v_{0}$，因此它会得到相同的约化字。$\square$

这个证明非常直观。它解释了为什么在等价类上定义的乘法是合理的。

1. 证明的目标: 证明如果 $w \sim w'$ 且 $v \sim v'$，那么 $wv \sim w'v'$。根据定义，这等价于证明 $wv$ 和 $w'v'$ 有相同的约化形式。
2. 分析 $wv$ 的约化过程:
   • 如何求 $wv$ 的约化形式？一个自然的方法是分步进行：
3. 应用到 $w'v'$:
   • 现在我们对 $w'v'$ 做同样的事情。
   • 因为我们已知 $w \sim w'$，根据定义，这意味着 $w$ 和 $w'$ 有相同的约化形式。所以 $w'$ 的约化形式也必须是 $w_0$。
   • 同理，因为 $v \sim v'$，所以 $v'$ 的约化形式也必须是 $v_0$。
   • 因此，当我们约化 $w'v'$ 时，我们同样会先得到中间步骤 $w_0v_0$。
   • 从 $w_0v_0$ 开始，后续的抵消过程对于 $wv$ 和 $w'v'$ 来说是完全一样的。
   • 既然它们经过了完全相同的后续处理步骤，它们最终得到的约化形式也必然是完全相同的。
4. 结论:
   • 我们证明了 $wv$ 和 $w'v'$ 具有相同的约化形式。
   • 因此，$wv \sim w'v'$ 成立。
   • 命题得证。

这是构造过程的高潮。我们终于将前面所有的铺垫组合起来，正式声明我们已经成功构建了一个群——自由群。

1. 集合 $\mathcal{F}$ 的定义:
   • $\mathcal{F}$ 是由所有字的等价类构成的集合。
   • 回顾一下，一个等价类 $[w]$ 是所有与字 $w$ 具有相同约化形式的字的集合。
   • 因此，$\mathcal{F}$ 中的每一个元素，都是 $W'$ 中的一个子集。例如，$[a], [b], [ab], [a^{-1}b]$ 都是 $\mathcal{F}$ 中不同的元素。
2. 运算的定义:
   • 我们在 $\mathcal{F}$ 上定义一个二元运算（我们称之为乘法），这个运算是由字的并置操作“诱导”出来的。
   • 定义: 两个等价类 $[w]$ 和 $[v]$ 的乘积，被定义为 $[w][v] = [wv]$。
   • 诱导 (induced) 这个词的意思是，我们在新集合（等价类的集合）上的运算，是借助旧集合（字的集合）上的运算来定义的。
   • 上一个命题 7.9.3 已经保证了这个运算是“良定义的”，即结果不依赖于你从等价类中选择哪个字作为代表。
3. 命题 7.9.4 的声明:
   • 这个命题的核心声明是：集合 $\mathcal{F}$ 和我们定义的乘法运算一起，构成了一个群。
4. 证明 (验证群公理):
   • 要证明 $(\mathcal{F}, \cdot)$ 是一个群，我们需要验证它满足群的四个基本公理（闭包性已由运算定义保证）。

• a. 结合律 (Associativity):
• 我们需要证明对任意三个元素 $[w], [v], [u] \in \mathcal{F}$，都有 $([w][v])[u] = [w]([v][u])$。
• 左边: $([w][v])[u] = [wv][u] = [(wv)u]$。
• 右边: $[w]([v][u]) = [w][vu] = [w(vu)]$。
• 在字的层面，我们知道并置操作是满足结合律的，即 $(wv)u = w(vu)$。这两个是完全相同的字符串。
• 既然 $(wv)u$ 和 $w(vu)$ 是同一个字，它们当然属于同一个等gao类。所以 $[(wv)u] = [w(vu)]$。
• 结论: 结合律成立。它直接继承自字的并置操作的结合律。

• b. 单位元 (Identity Element):
• 我们需要在 $\mathcal{F}$ 中找到一个元素 $[e]$，使得对任何 $[w] \in \mathcal{F}$，都有 $[w][e] = [e][w] = [w]$。
• 考虑空字 $1$。它自己就是约化的。我们来看看它所在的等价类 $[1]$。
• $[w][1] = [w \cdot 1] = [w]$。
• $[1][w] = [1 \cdot w] = [w]$。
• 这完全符合单位元的定义。
• 结论: 空字的等价类 $[1]$ 就是 $\mathcal{F}$ 中的单位元。

• c. 逆元 (Inverse Element):
• 这是最关键的一步。对于 $\mathcal{F}$ 中的任意一个元素 $[w]$，我们能否找到另一个元素 $[w'] \in \mathcal{F}$，使得 $[w][w'] = [w'][w] = [1]$？
• 设 $w$ 是一个字，比如 $w = x y \cdots z$，其中 $x, y, z$ 是来自扩展字母表 $S'$ 的符号。
• 我们构造一个新的字 $w_{inv} = z^{-1} \cdots y^{-1} x^{-1}$。这个构造方法是“把原来的字倒过来，再把每个符号换成它的逆符号”。
• 现在我们来计算 $[w][w_{inv}]$:
• $[w][w_{inv}] = [w \cdot w_{inv}] = [(x y \cdots z)(z^{-1} \cdots y^{-1} x^{-1})]$。
• 我们来约化这个长字 $w \cdot w_{inv}$：
• $(x y \cdots z)(z^{-1} \cdots y^{-1} x^{-1})$
• 中间的 $z$ 和 $z^{-1}$ 相邻，可以抵消。
• $(x y \cdots)(y^{-1} x^{-1})$
• 中间的 $y$ 和 $y^{-1}$ 现在相邻了，也可以抵消。
• 这个过程一直持续下去，直到最后只剩下 $x x^{-1}$，它们也抵消。
• 最终结果是空字 $1$。
• 所以，$w \cdot w_{inv}$ 的约化形式是 $1$。这意味着 $[w \cdot w_{inv}] = [1]$。
• 同理，我们计算 $[w_{inv}][w]$:
• $[w_{inv}][w] = [(z^{-1} \cdots y^{-1} x^{-1})(x y \cdots z)]$
• 中间的 $x^{-1}$ 和 $x$ 相邻，抵消。然后是 $y^{-1}$ 和 $y$，等等。
• 最终结果也是空字 $1$。所以 $[w_{inv} \cdot w] = [1]$。
• 结论: 对于任意等价类 $[w]$，它的逆元就是 $[w_{inv}]$，其中 $w_{inv}$ 是通过“反转并取逆”得到的字。所有元素都可逆。

1. 最终结论:
   • 既然结合律、单位元、逆元都已满足，我们证明了 $(\mathcal{F}, \cdot)$ 确实是一个群。

这一段是对刚刚构造出的自由群进行总结，并给出了更实用、更直观的计算方式和一些基本性质。

1. 正式命名:
   • 我们把历经千辛万苦构造出来的那个群 $\mathcal{F}$（由 $S'$ 中字的等价类构成），正式命名为“集合 $S$ 上的自由群 (Free group on the set S)”。
   • 这里的 $S$ 是我们最开始选定的生成元集合 $\{a, b, c, \ldots\}$。
   • 如果 $S$ 有 $n$ 个元素，对应的自由群通常记作 $F_n$。
2. 元素的一一对应:
   • 虽然我们把群的元素定义为等价类（一个集合），但在实际操作中，这样做太繁琐了。
   • 我们知道，每一个等价类中，都包含一个且仅一个约化字。
   • 因此，我们可以把群的元素与约化字建立一个一一对应的关系。
   • 这极大地简化了我们对自由群的看法：可以不严谨但很有效地认为，“自由群的元素就是所有的约化字”。
   • 例如，当我们说自由群的元素 $[ab^{-1}c]$ 时，我们脑子里想的就是那个唯一的约化字 $ab^{-1}c$。
3. 实用的乘法规则:
   • 基于“元素就是约化字”这个看法，两个元素的乘法就变得非常具体：
   • 要计算两个约化字 $w_1$ 和 $w_2$ 的乘积：
4. 组合 (Concatenate): 把它们并置起来，形成一个新的、更长的字 $w_1w_2$。
5. 抵消 (Cancel/Reduce): 对这个新字 $w_1w_2$ 进行约化，即在 $w_1$ 的尾部和 $w_2$ 的头部之间寻找并消除所有可抵消的对，直到得到最终的约化字。
   • 例子: 计算 $(abc^{-1})$ 和 $(cb)$ 的乘积。
6. 组合: $(abc^{-1})(cb) \to abc^{-1}cb$。
7. 抵消: 中间的 $c^{-1}c$ 可以抵消，得到 $ab b$。
8. $abb$ 是约化字，这就是乘积的结果。
9. 引入幂符号:
   • 为了书写方便，我们可以使用幂 (power) 的简写形式。
   • $aaa$ 可以写成 $a^3$。
   • $b^{-1}b^{-1}$ 可以写成 $b^{-2}$。
   • 于是，像 $aaab^{-1}b^{-1}$ 这样的约化字就可以简洁地写成 $a^3b^{-2}$。
   • 注意: 只有相同的符号（或逆符号）连续出现时才能合并。$a^2b^3$ 不能再化简了。
10. 基本例子和性质:
    • 一个生成元的自由群 ($F_1$):
    • 如果 $S=\{a\}$，那么 $S'=\{a, a^{-1}\}$。
    • 所有的约化字是什么？是形如 $a^k$ 的字，其中 $k$ 是任意整数（正数表示 $a$ 的重复，负数表示 $a^{-1}$ 的重复，0表示空字 $1$）。例如 $a^3=aaa$, $a^{-2}=a^{-1}a^{-1}$, $a^0=1$。
    • 乘法就是指数相加：$a^k \cdot a^m = a^{k+m}$。
    • 这和整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 的结构是完全一样的（数学上称为同构）。
    • 它是一个无限循环群，由 $a$ (或 $a^{-1}$) 生成。
    • 两个或更多生成元的自由群 ($F_n, n \ge 2$):
    • 如果 $S=\{a, b\}$，约化字就五花八门了，比如 $a, b, ab, ba, a^2b, ab^{-1}a^2, \ldots$。
    • 由于 $ab \neq ba$，这个群是非交换的。
    • 可以证明，这种群的结构“相当复杂”，具有许多深刻和有趣的数学性质。它们是组合群论和几何群论的核心研究对象。