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1现代代数 1
第 4 周笔记

2教授 Aise Johan de Jong

3目录

1 §4: 线性代数回顾 ..... 2

1.1 讲座 5: 线性代数回顾 ..... 2

1.2 向量子空间 ..... 3

1.3 $\mathbb{R}^{n}$ 上的内积 ..... 3

1.4 矩阵 ..... 4

1.5 线性函数 ..... 4

1.6 可逆矩阵 ..... 5

1.7 行列式与特殊子群 ..... 5

1.8 正交矩阵 ..... 6

2 §5: 二元结构 ..... 6

2.1 讲座 6: 二元结构 ..... 6

2.2 二元结构的同构 ..... 7

2.3 非示例 ..... 8

2.4 创建新的二元结构 ..... 8

2.5 二元结构的性质 ..... 8

2.6 逆元素 ..... 9

41 §4: 线性代数回顾

1. 1 讲座 5: 线性代数回顾

$\mathbb{R}^{n}$ 是一个向量空间。元素 $\bar{v}=\left(\begin{array}{c}v_{1} \\ \vdots \\ v_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n}$。

$$ \bar{v}+\bar{w}=\left(\begin{array}{c} v_{1}+w_{1} \\ \vdots \\ v_{n}+w_{n} \end{array}\right) $$

$$ t \bar{v}=\left(\begin{array}{c} t v_{1} \\ \vdots \\ t v_{n} \end{array}\right) $$

在 4.1.1 中有所解释。

给定一组向量 $\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k} \in \mathbb{R}^{n}$，我们称线性组合是形如

$$ t_{1} \bar{v}_{1}+\cdots+t_{k} \bar{v}_{k}, \quad t_{i} \in \mathbb{R} $$

的表达式。

$\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k}$ 的张成空间是

$$ \operatorname{span}\left\{\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k}\right\}=\text { 所有 } \bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k} \text { 的线性组合的集合 } $$

如果 $\sum t_{i} \bar{v}_{i}=\overline{0} \Longrightarrow t_{1}=\cdots=t_{k}=0$，则我们说 $\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k}$ 是线性无关的。

示例 1.1. 在 $\mathbb{R}^{2}$ 中：

1. 2 向量子空间

定义 1.2. 向量子空间 (或线性子空间) $V$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个子集，使得

$$ \overline{0} \in V, \quad \bar{v}, \bar{w} \in V \Longrightarrow \bar{v}+\bar{w} \in V, \quad \bar{v} \in V \Longrightarrow t \bar{v} \in V \text { 对于所有 } t \in \mathbb{R} 。 $$

示例 1.3. $\operatorname{span}\left\{\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k}\right\}$ 是一个子空间。

定义 1.4. 如果 $\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k} \in V$ 是线性无关的，并且

$$ \operatorname{span}\left\{\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k}\right\}=V $$

则 $\left(\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{k}\right)$ 是 $V$ 的一个基。

示例 1.5. 令

$$ V=\left\{\left.\bar{v}=\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\, v_{1}+v_{2}+v_{3}=0\right\} 。 $$

一个基是 $\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$，所以 $\operatorname{dim}(V)=2$。

1. 3 $\mathbb{R}^{n}$ 上的内积

对于 $\bar{v}, \bar{w} \in \mathbb{R}^{n}$，我们写作

$$ \langle\bar{v}, \bar{w}\rangle=\sum_{i} v_{i} w_{i} $$

称为点积、内积或标量积。

事实 1.6 (4.1.7).

  1. $\langle\bar{v}, \bar{v}\rangle=\sum v_{i}^{2} \geq 0$。
  2. $\langle\bar{v}, \bar{v}\rangle=0 \Longleftrightarrow \bar{v}=\overline{0}$。

定义 1.7. $\bar{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 的长度 (或范数) 是

$$ \|\bar{v}\|=\sqrt{\langle\bar{v}, \bar{v}\rangle} 。 $$

柯西-施瓦茨不等式、绝对齐次性和三角不等式成立。

示例 1.8. $\left\|\binom{3}{5}\right\|=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$。

定义 1.9. 我们说 $\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ 构成一个正交基当且仅当

$$ \left\langle\bar{u}_{i}, \bar{u}_{j}\right\rangle=\delta_{i j}= \begin{cases}0 & i \neq j \\ 1 & i=j\end{cases} $$

示例 1.10. $\mathbb{R}^{2}$ 的正交基是

$$ \left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \text { (标准基绕 } \theta \text { 旋转) } $$

和

$$ \left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right) \quad \text { (在角度为 } \theta / 2 \text { 的直线上反射)。 } $$

1. 4 矩阵

一个 $m \times n$ 矩阵是 $A=\left(a_{i j}\right)$，其中 $a_{i j} \in \mathbb{R}, i \in\{1, \ldots, m\}, j \in\{1, \ldots, n\}$：

$$ A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right) 。 $$

如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times k$ 矩阵，则 $A B$ 是 $m \times k$ 矩阵，其 $(i, j)$ 项为

$$ \sum_{t=1}^{n} a_{i t} b_{t j} 。 $$

重要的特殊情况：$B$ 是 $n \times 1$ 矩阵，即一个列向量。

事实. 任何 $m \times n$ 矩阵 $A$ 通过乘法确定一个线性函数

$$ \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, \quad \bar{v} \mapsto A \bar{v} 。 $$

反之，任何从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{m}$ 的线性函数都对应一个唯一的矩阵 $A$。

1. 5 线性函数

定义 1.11. 一个线性函数 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是一个满足以下条件的函数：

$$ f(\overline{0})=\overline{0}, \quad f(\bar{v}+\bar{w})=f(\bar{v})+f(\bar{w}), \quad f(t \bar{v})=t f(\bar{v}) $$

对于所有 $\bar{v}, \bar{w} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $t \in \mathbb{R}$。

示例 1.12.

事实. 映射的复合对应于矩阵的乘法。给定

$$ \mathbb{R}^{n} \xrightarrow{f} \mathbb{R}^{m} \xrightarrow{g} \mathbb{R}^{k} $$

其中 $f$ 是线性的 ($f \leftrightarrow A$, $m \times n$ 矩阵) 且 $g$ 是线性的 ($g \leftrightarrow B$, $k \times m$ 矩阵)，则 $g \circ f$ 是线性的，并对应于 $B A$。实际上，如果 $f(\bar{v})=A \bar{v}$ 且 $g(\bar{w})=B \bar{w}$，则

$$ (g \circ f)(\bar{v})=g(f(\bar{v}))=g(A \bar{v})=B A \bar{v} $$

示例 1.13. 映射 $\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}\end{array}\right) \mapsto v_{1}+v_{2}+v_{3}$，对应于矩阵 $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right]$。

1. 6 可逆矩阵

存在一个双射对应：

$$ \begin{aligned} \{n \times n \text { 矩阵 }\} & \longleftrightarrow\left\{\text { 线性函数 } f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\right\} \\ \{\text { 可逆矩阵 }\} & \longleftrightarrow\left\{\text { 可逆线性函数 } f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\right\} \end{aligned} $$

一个可逆矩阵是指存在一个逆 $n \times n$ 矩阵 $A^{-1}$ 使得 $A A^{-1}=A^{-1} A=I_{n}$。

定义 1.14. $M_{m, n}(\mathbb{R})=$ 所有 $m \times n$ 矩阵的集合。

$$ G L_{n}(\mathbb{R})=\left\{A \in M_{n, n}(\mathbb{R}) \mid A \text { 是可逆的 }\right\} \subseteq M_{n, n}(\mathbb{R}) $$

备注 1.15. $G L_{n}(\mathbb{R})$ 在矩阵乘法下是一个群：

1. 7 行列式与特殊子群

事实 1.16 (4.3.4-4.3.5). 我们有方阵的行列式：

示例 1.17. 对于 $2 \times 2$ 矩阵：

$$ \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)=a d-b c, \quad\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right) 。 $$

5定义 1.18.

$$ S L_{n}(\mathbb{R})=\left\{A \in G L_{n}(\mathbb{R}): \operatorname{det} A=1\right\} $$

$G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个子群。

1. 8 正交矩阵

一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 称为正交矩阵，如果

$$ \|A \bar{v}\|=\|\bar{v}\| \quad \text { 对于所有 } \bar{v} \text {, } $$

即 $A$ 是一个保持长度和距离的映射 (一个等距变换)。

6定义 1.19.

$$ O_{n}(\mathbb{R})=\left\{A \in M_{n, n}(\mathbb{R}) \mid A \text { 是正交的 }\right\}, $$

称为正交群，$G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个子群。

事实. 如果 $A$ 是正交的，那么 $\operatorname{det}(A)= \pm 1$。

一个正交矩阵 $A$ 等价于其列向量构成一个正交基。

7定义 1.20.

$$ S O_{n}(\mathbb{R})=\left\{A \in O_{n}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{det} A=1\right\} 。 $$

包含关系总结如下：

$$ \begin{array}{ccc} G L_{n}(\mathbb{R}) & \supseteq & S L_{n}(\mathbb{R}) \\ \cup & & \cup \\ O_{n}(\mathbb{R}) & \supseteq & S O_{n}(\mathbb{R}) \end{array} $$

示例 1.21.

$$ \begin{gathered} G L_{2}(\mathbb{R})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a d-b c \neq 0\right\} 。 \\ S L_{2}(\mathbb{R})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a d-b c=1\right\} 。 \\ O_{2}(\mathbb{R})=\left\{\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\right\}_{\text {旋转 }} \cup\left\{\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)\right\}_{\text {反射 }} 。 \\ S O_{2}(\mathbb{R})=\left\{\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\right\} 。 \end{gathered} $$

82 §5: 二元结构

2. 1 讲座 6: 二元结构

定义 2.1. 集合 $X$ 上的二元运算是一个函数 $F: X \times X \rightarrow X$。通常我们写作 $F(a, b)=a * b$ 或 $F(a, b)=a+b$。

一个二元结构是一个对 $(X, *)$，其中 $X$ 是一个集合，而 $*$ 是一个二元运算。

示例 2.2.

如果 $X$ 是有限的，可以给出 $*$ 值的凯莱表 (乘法表)：

$*$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\cdots$ $x_{j}$
$x_{1}$
$\vdots$ $x_{i} * x_{j}$
$x_{i}$

示例 2.3. 令 $X=\{1,2,3\}$，运算由下表给出：

$*$ 1 2 3
1 1 1 3
2 1 1 3
3 1 2 3

2. 2 二元结构的同构

定义 2.4. 给定二元结构 $(X_{1}, *_{1})$ 和 $(X_{2}, *_{2})$，从 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 到 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的一个同构是一个函数 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$，使得：

(i) $f$ 是一个双射，并且

(ii) $f\left(a *_{1} b\right)=f(a) *_{2} f(b)$ 对于所有 $a, b \in X_{1}$ (即“函数方程”)。

备注 2.5.

(1) 也可以说满足函数方程的函数 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$ 是一个“二元结构映射”。(这是二元结构范畴中的一个概念。)

(2) 如果 $f$ 是二元结构的同构，那么 $f^{-1}$ 也是二元结构的同构。

(3) 如果 $f:\left(X_{1}, *_{1}\right) \xrightarrow{\sim}\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 且 $g:\left(X_{2}, *_{2}\right) \xrightarrow{\sim}\left(X_{3}, *_{3}\right)$，则 $g \circ f:\left(X_{1}, *_{1}\right) \xrightarrow{\sim}\left(X_{3}, *_{3}\right)$ 是一个同构。

如果存在一个同构 $f:\left(X_{1}, *_{1}\right) \rightarrow \left(X_{2}, *_{2}\right)$，则 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是同构的。我们写作 $\left(X_{1}, *_{1}\right) \cong\left(X_{2}, *_{2}\right)$。

示例 2.6. $(\mathbb{R},+) \cong\left(\mathbb{R}^{>0}, \cdot\right)$。映射 $\exp : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{>0}, x \mapsto e^{x}$，满足：

示例 2.7. 对于每个整数 $n \geq 1,(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+) \cong\left(\mu_{n}, \cdot\right)$。映射是

$$ [a] \mapsto e^{2 \pi i a / n} $$

它是一个双射，并且明显满足函数方程。验证一下！

2. 3 非示例

9示例 2.8.

(a) $(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z},+) \neq(\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z},+)$：不能有双射，因为基数不同 ( $|\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}|=5 \neq 6=|\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}|$ )，所以不存在双射。

(b) $(\mathbb{R},+) \not \varsubsetneqq\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$，其中 $\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R} \backslash\{0\}=\mathbb{R}^{<0} \cup \mathbb{R}^{>0}$。

证明. 假设矛盾地，$f:(\mathbb{R},+) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ 是一个同构。选取 $a \in \mathbb{R}$ 使得 $f(a)=-1$。则

$$ \begin{gathered} f(2 a)=f(a+a)=f(a) \cdot f(a)=(-1)(-1)=1 。 \\ f(4 a)=f(2 a+2 a)=f(2 a) \cdot f(2 a)=1 \cdot 1=1 。 \end{gathered} $$

由于 $f$ 是内射，$f(4 a)=f(2 a)$，我们得出 $4 a=2 a$，所以 $a=0$。但这样 $f(0)=f(a)=-1$，这与 $f(0)=1$ (即 $\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ 的单位元) 矛盾。 $\square$ $\square$

示例 2.9. 摘自文本：$(\mathbb{N},+) \neq(\mathbb{N}, \cdot)$ 和 $(\mathbb{Z},+) \neq(\mathbb{Z}, \cdot)$。

2. 4 创建新的二元结构

积。给定 $(X_{1}, *_{1})$ 和 $(X_{2}, *_{2})$，形成

$$ \left(X_{1}, *_{1}\right) \times\left(X_{2}, *_{2}\right)=\left(X_{1} \times X_{2}, *\right), $$

其中 $*$ 定义为

$$ \left(x_{1}, x_{2}\right) *\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1} *_{1} y_{1}, x_{2} *_{2} y_{2}\right) 。 $$

示例 2.10. $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)=(\mathbb{R},+) \times \cdots \times(\mathbb{R},+)(n$ 次)。

逐点运算。假设 $(X, *)$ 是一个二元结构，$Y$ 是一个集合。在

$$ X^{Y}=\{\text { 函数 } f: Y \rightarrow X\} $$

上定义一个二元运算，通过

$$ f * g=\text { 函数 } y \mapsto f(y) * g(y) 。 $$

2. 5 二元结构的性质

(1) 结合律：$(x * y) * z=x *(y * z)$。

(2) 交换律：$x * y=y * x$。

(3) 右单位元：$x * e=x$。

(4) 左单位元：$e * x=x$。

如果 $e \in X$ 同时是左单位元和右单位元，则 $e$ 是一个单位元。

警告 2.11. 单位元不一定存在，并且一个二元结构可以有多个单侧单位元。

示例 2.12. 令 $X=\{1,2,3\}$，且对于所有 $a, b$， $a * b=b$。则凯莱表为：

$*$ 1 2 3
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3

此处 1,2, 和 3 都是左单位元，但不存在右单位元 (因此也没有双侧单位元)。

10引理 2.13.

(i) 如果 $(X, *)$ 有一个单位元，那么它是唯一的。

(ii) 如果 $(X, *)$ 既有左单位元 $e$ 又有右单位元 $e^{\prime}$，则 $e=e^{\prime}$ 是 (唯一的) 单位元。

11证明.

(i) 假设 $e_{1}, e_{2} \in X$ 都是单位元。则

$$ e_{1}=e_{1} * e_{2}=e_{2} $$

其中第一个等式成立是因为 $e_{2}$ 是一个单位元，第二个等式成立是因为 $e_{1}$ 是一个单位元。

(ii) 由于 $e$ 是一个右单位元，而 $e^{\prime}$ 是一个左单位元：

$$ e=e^{\prime} * e=e^{\prime} $$

其中 $e^{\prime} * e=e$ (使用 $e^{\prime}$ 作为左单位元，其中 $x=e$) 并且 $e^{\prime} * e=e^{\prime}$ (使用 $e$ 作为右单位元，其中 $x=e^{\prime}$)。因此 $e=e^{\prime}$。

2. 6 逆元素

定义 2.14. 令 $(X, *)$ 是一个带有单位元 $e$ 的二元结构。令 $x \in X$。

存在性和唯一性不保证。

如果 $x^{\prime}$ 是 $x$ 的左逆元，而 $x^{\prime \prime}$ 是 $x$ 的右逆元，则结合律是必要的，并且可以推出 $x^{\prime}=x^{\prime \prime}$：

$$ x^{\prime}=x^{\prime} * e=x^{\prime} *\left(x * x^{\prime \prime}\right)=\left(x^{\prime} * x\right) * x^{\prime \prime}=e * x^{\prime \prime}=x^{\prime \prime} 。 $$

引理 2.15. 令 $(X, *)$ 是一个具有单位元 $e$ 的结合结构。

(1) 如果 $x, y \in X$ 具有逆元 $x^{\prime}$ 和 $y^{\prime}$，则 $x * y$ 具有逆元 $y^{\prime} * x^{\prime}$。

(2) $e$ 是可逆的 (它是它自己的逆元)。

(3) 如果 $x^{\prime}$ 是 $x$ 的逆元，则 $x$ 是 $x^{\prime}$ 的逆元。

证明 (1). $(x * y) *\left(y^{\prime} * x^{\prime}\right)=x *\left(y * y^{\prime}\right) * x^{\prime}=x * e * x^{\prime}=x * x^{\prime}=e$，类似地 $\left(y^{\prime} * x^{\prime}\right) *(x * y)=e$。

备注. 如果两个二元结构是同构的，并且其中一个具有结构性质 (例如，结合律、单位元、逆元)，那么另一个也将具有该性质。

12示例 2.16.