1.1_预备知识_集合与函数.ZH解释

这段话介绍了现代数学的两个基石：集合和函数。

首先，它强调了这两个概念的普遍性。在数学的宏伟殿堂里，几乎所有的东西，无论是数字、图形还是更抽象的结构，都可以被看作或定义为集合。而我们对这些数学对象进行的操作，比如加法、求导，其本质都可以用函数来精确描述。

接着，文章采取了一种公理化的处理方式。它没有尝试去用更基本的词汇定义“什么是集合”，因为在数学的逻辑体系中，总需要一些不加定义的基本概念作为起点，否则就会陷入无限循环的定义。这就好比在几何学中，“点”、“线”、“面”是基本概念一样。在这里，集合、元素以及元素与集合之间的“属于”关系（成员关系），被当作我们直接接受的、不言自明的出发点。

我们用符号 $x \in X$ 来表示“$x$ 是集合 $X$ 的一个元素”。这个符号 $\in$ 是“属于”的数学语言。反之，如果 $x$ 不在集合 $X$ 里，我们就用 $x \notin X$ 表示，它是在 $\in$ 上画一条斜杠。

一个非常深刻的观点是“一个集合的元素本身就是集合”。这在朴素的层面可能难以理解，但在公理化集合论（如ZFC集合论）中，这是构建整个数学大厦的基础。例如，数字 "0" 可以被定义为空集 $\emptyset$，数字 "1" 可以被定义为包含空集的集合 $\{\emptyset\}$，数字 "2" 可以被定义为 $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$，以此类推。这种构造方式保证了所有数学对象都统一在“集合”这个框架下。

最后，文章指出了描述一个集合的两种常用方法：

1. 列举法 (Roster Method or Listing Method): 直接把集合里的所有元素一一列出来，用花括号 $\{\}$ 括起来，元素之间用逗号隔开。例如，集合 $\{1, 2, 4, 5\}$ 就包含了这四个数字。这种方法简单直观，但只适用于元素数量有限且不多的情况。
2. 描述法 (Set-Builder Notation): 不直接列出元素，而是描述这些元素所共同满足的性质。它的通用格式是 $\{变量 \in 源集合 : 变量满足的条件\}$。例如，原文中的 $\{n \in \mathbb{Z}: 1 \leq n \leq 5, n \neq 3\}$ 就是描述法。这里的变量是 $n$，源集合是 $\mathbb{Z}$（整数集），冒号后面是 $n$ 需要满足的三个条件：$1 \leq n \leq 5$ (n在1到5之间，包含1和5)，并且 $n \neq 3$ (n不等于3)。我们来找一下满足这些条件的整数：在1到5之间的整数有1, 2, 3, 4, 5。去掉3之后，就剩下1, 2, 4, 5。所以这个集合和用列举法写出的 $\{1, 2, 4, 5\}$ 是同一个集合。

最后提到的“$x$ 是 $X$ 的一个点”作为 $x \in X$ 的同义词，这是一种几何化的语言习惯。当我们研究欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$（可以看作一个点的集合）时，说“点 $P$ 在平面 $\mathbb{R}^2$ 中”和说“元素 $P$ 属于集合 $\mathbb{R}^2$”是完全等价的。

这个定义给出了判断两个集合何时“相等”的唯一标准，这个标准被称为“外延公理”(Axiom of Extensionality)。

它的核心思想非常简单直接：只要两个集合所包含的元素一模一样，那么这两个集合就是同一个集合。

这里的“一模一样”有两层含义：

1. 集合 $X$ 里的任何一个元素，都必须是集合 $Y$ 里的元素。
2. 反过来，集合 $Y$ 里的任何一个元素，也必须是集合 $X$ 里的元素。

这两个条件必须同时满足。只要你能找到一个元素，它在一个集合里，却不在另一个集合里，那么这两个集合就是不相等的。

原文中的逻辑符号 $\Longleftrightarrow$ (读作“当且仅当”) 精确地表达了这种双向关系。

$x \in X \Longleftrightarrow x \in Y$ 的意思是：

• 如果 $x \in X$，那么必然 $x \in Y$。($\Longrightarrow$ 方向)
• 如果 $x \in Y$，那么必然 $x \in X$。($\Longleftarrow$ 方向)

这个条件必须对“所有 $x$”都成立。这里的“所有 $x$”指的是宇宙中可能存在的所有对象。

“一个集合由其元素唯一指定”这句话是对这个定义的通俗总结。它意味着一个集合的全部信息都蕴含在它的元素之中，除此之外再无其他。集合的名字（比如 $X$ 或 $Y$）、元素的排列顺序、元素被列出的次数、描述集合的方式等等，都无关紧要。唯一重要的是：“里面究竟有哪些元素？”

这里定义了一个非常特殊但极其重要的集合——空集。

空集的定义是：一个不包含任何元素的集合。

“对于所有 $x, x \notin X$”这句话用逻辑语言精确描述了“没有元素”这个概念。它检查了宇宙中可能存在的任何一个对象 $x$，并断言，这个 $x$ 绝对不在集合 $X$ 里面。

既然集合是由其元素唯一指定的（根据上一节的外延公理），而空集的特征是“没有任何元素”，那么所有“没有任何元素”的集合，由于其元素构成完全相同（都是“无”），因此它们必然是同一个集合。这就是“空集只有一个”的逻辑依据。

为了方便，我们给这个唯一的、不包含任何元素的集合一个专门的符号：$\emptyset$。这个符号是一个带有斜杠的圆圈，不是希腊字母 $\phi$ (phi)。

我们可以思考一下为什么空集是唯一的。假设有两个空集，$A$ 和 $B$。

根据空集的定义，$A$ 中没有元素，$B$ 中也没有元素。

现在我们用集合相等的定义来判断 $A$ 和 $B$ 是否相等：

$A=B \Longleftrightarrow$ 对于所有 $x, x \in A \Longleftrightarrow x \in B$。

这个条件需要我们检查：

1. 如果 $x \in A$，那么 $x \in B$。
2. 如果 $x \in B$，那么 $x \in A$。

由于 $A$ 是空集，前提“$x \in A$”永远是假的。在逻辑学中，一个以假为前提的蕴含式（“如果 P 那么 Q”，当 P 为假时）总是为真的。这称为“善意推定原则”(principle of vacuous truth)。所以，第一个条件“如果 $x \in A$，那么 $x \in B$”自动成立。

同理，由于 $B$ 是空集，前提“$x \in B$”也永远是假的。因此第二个条件“如果 $x \in B$，那么 $x \in A$”也自动成立。

既然两个条件都成立，那么 $A$ 和 $B$ 的元素就是“一模一样”的（都是“没有”），所以 $A=B$。这就证明了空集是唯一的。

这个定义引入了集合之间的另一种基本关系：子集关系。

一个集合 $X$ 是另一个集合 $Y$ 的子集，直观上讲，就是 $X$ 里的所有元素也都在 $Y$ 里。$X$ 可以看作是 $Y$ 的一部分（或者全部）。

定义中的“对于每一个 $x \in X, x \in Y$”是其严格的数学表述。要验证 $X$是不是 $Y$ 的子集，你需要检查 $X$ 中的每一个元素，确保它也同时是 $Y$ 的元素。只要你能找到哪怕一个元素在 $X$ 里却不在 $Y$ 里，那么 $X$ 就不是 $Y$ 的子集。

符号解读：

• $X \subseteq Y$: 读作“$X$ 是 $Y$ 的子集”或“$X$ 包含于 $Y$”。这个符号 $\subseteq$ 很形象，像一个等号上面加了一个开口的U，暗示了“可以是部分，也可以是相等”。
• $Y \supseteq X$: 读作“$Y$ 包含 $X$”或“$Y$ 是 $X$ 的超集”。这和 $X \subseteq Y$ 是完全一样的意思，只是主语和宾语换了位置。
• $X \varsubsetneqq Y$ 或 $X \subset Y$: 读作“$X$ 是 $Y$ 的真子集”(proper subset)。这个关系比子集更严格，它要求 $X$ 是 $Y$ 的子集，并且 $X$ 和 $Y$ 不相等。也就是说，$X$ 里的所有元素都在 $Y$ 里，并且 $Y$ 至少有一个元素是 $X$ 里没有的。
• $X \varsubsetneqq Y \iff (X \subseteq Y \text{ 并且 } X \neq Y)$
• 符号 $\varsubsetneqq$ 是在 $\subseteq$ 上画一斜杠再去掉等号部分，强调“不相等”。
• 符号 $\subset$ 像小于号 $<$，也暗示了“更小”的含义。

符号使用的注意：作者特别指出，在本书中，$\subset$ 表示真子集，而 $\subseteq$ 表示子集。这是一个重要的约定，因为在其他一些数学文献中，作者可能会用 $\subset$ 来表示我们这里的 $\subseteq$（即允许相等）。因此，在阅读不同的数学书籍时，需要留意作者对这两个符号的具体定义。本书的约定是目前比较主流的用法，它能更好地区分两种关系。

这部分是对子集定义的进一步说明和引申，总结了几个重要属性。

(i) 两个基本子集

• $X \subseteq X$: 任何集合都是其自身的子集。这被称为自反性。这很容易理解，因为要满足子集定义，需要“$X$里的每个元素都在$X$里”，这显然是成立的。
• $\emptyset \subseteq X$: 空集是任何集合的子集。如前一节的“易错点”中所解释的，这是由于“善意推定原则”。因为你无法从空集中找到一个不在 $X$ 里的元素（因为空集里根本没有任何元素），所以“$\emptyset$ 是 $X$ 的子集”这个命题无法被证伪，因此为真。
• 真子集的重申：如果 $A$ 是 $X$ 的子集，但 $A$ 不等于 $X$，那么 $A$ 就是 $X$ 的真子集。这意味着 $X$ 中至少有一个元素不在 $A$ 中。

(ii) 子集与相等的关系，以及传递性

• $X=Y \Longleftrightarrow X \subseteq Y$ 且 $Y \subseteq X$: 这是证明两个集合相等的最常用和最重要的方法。它把相等的定义（元素完全相同）分解成了两个方向的子集关系，这在写证明时非常有用。要证明 $X=Y$，你通常需要分两步：

1. 证明 $X \subseteq Y$：任取一个 $x \in X$，通过一系列推理，证明 $x$ 也一定在 $Y$ 中。
2. 证明 $Y \subseteq X$：任取一个 $y \in Y$，通过一系列推理，证明 $y$ 也一定在 $X$ 中。

这两个证明都完成后，你就可以根据这个属性断定 $X=Y$。这种关系被称为反对称性。

• 传递性: $如果 $X \subseteq Y$ 且 $Y \subseteq Z$，则 $X \subseteq Z$。这个性质也非常直观。如果**集合** $X$ 是**集合** $Y$ 的一部分，而**集合** $Y$ 又是**集合** $Z$ 的一部分，那么 $X$ 自然也是 $Z$ 的一部分。
• 证明: 我们要证明 $X \subseteq Z$。根据定义，我们需要证明“对于每一个 $x \in X$, 都有 $x \in Z$”。

1. 我们任意取一个 $x \in X$。
2. 因为 $X \subseteq Y$，所以这个 $x$ 也一定在 $Y$ 中，即 $x \in Y$。
3. 因为 $Y \subseteq Z$，所以这个在 $Y$ 中的 $x$ 也一定在 $Z$ 中，即 $x \in Z$。
4. 我们从“任取一个 $x \in X$”出发，成功推导出“$x \in Z$”。所以 $X \subseteq Z$ 成立。

(iii) 单元素子集

• 如果一个元素 $x$ 在集合 $X$ 中，那么由这个元素单独构成的集合 $\{x\}$ 就是 $X$ 的子集。
• 这是对“元素”($\in$) 和“子集”($\subseteq$) 关系的一个清晰展示。$x$ 是 $X$ 的一个元素 ($x \in X$)，而 $\{x\}$ 是 $X$ 的一个子集 ($\{x\} \subseteq X$)。
• 这种只包含一个元素的子集被称为“单元素子集”或“单例子集”(singleton)。
• 括号里的“因此特别是 $X \neq \emptyset$”是在强调，只有非空集合才有元素，从而才能形成单元素子集。如果 $X=\emptyset$，那么它没有任何元素 $x$，也就谈不上 $\{x\} \subseteq \emptyset$ 了（事实上，$\emptyset$ 唯一的子集是它自身 $\emptyset$）。

这部分内容定义了什么是有限集以及如何计算其元素个数。

一个集合是有限的，如果它的元素可以被一一列举出来，并且这个列举的过程会在某一步结束。形式 $X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 就代表了这个过程，其中 $n$ 是一个自然数（或0）。

接下来是关于集合大小或基数(cardinality)的定义：

• 符号 $\#(X)$ (有些书也用 $|X|$ 或 $card(X)$) 表示集合 $X$ 中元素的个数。
• 计算个数有一个前提：集合的元素是互异的。如果在列举时 $\{x_1, \ldots, x_n\}$ 里的所有元素都互不相同，那么这个集合的元素个数就是 $n$，记作 $\#(X)=n$。
• 如果列举时有重复，比如 $\{1, 2, 2, 3\}$，你需要先去掉重复项得到 $\{1, 2, 3\}$，然后再计数，所以 $\#(\{1, 2, 2, 3\}) = 3$。

然后讨论了几个特殊情况：

• 空集: 空集 $\emptyset$ 被约定为有限集，它的元素个数是0。$\#(\emptyset)=0$。这是非常自然的，因为它里面没有任何元素。
• 反之: 如果一个有限集的元素个数是0，那它必然是空集。
• 单元素子集: 形式为 $\{x\}$ 的集合，它的元素个数是1。$\#(\{x\})=1$。
• 一个重要的例子: $\{\emptyset\}$。这是一个非空集合，它里面包含了一个元素，这个元素就是空集 $\emptyset$。所以，$\#(\{\emptyset\})=1$。这再次强调了 $\emptyset$（空集，0个元素）和 $\{\emptyset\}$（非空集，1个元素）是完全不同的。
• 更复杂的例子: $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$。这是一个集合，我们来看它的元素：

1. 第一个元素是 $\emptyset$。
2. 第二个元素是 $\{\emptyset\}$。

这两个元素是不同的（一个是空集，另一个是包含空集的集合）。因此，这个集合里有两个不相同的元素。所以，$\#(\{\emptyset, \{\emptyset\}\})=2$。

这些例子展示了集合论中元素可以是任何东西，包括其他集合，并且计数时需要严格区分这些不同层级的对象。

这部分简单地定义了什么是无限集。

定义非常直接：一个不是有限集的集合，就是无限集。

这是一个否定性的定义。我们先知道了什么是有限集（可以被数完的集合），那么所有不满足这个条件的集合（永远也数不完的集合）就都被归为无限集。

作者接着对一个常见的符号使用习惯提出了 cautionary note (警示说明)。

• 很多人，尤其是在初等数学中，喜欢用 $\#(X)=\infty$ 来表示“集合 $X$ 是无限的”。这个写法很直观，但作者指出他倾向于避免这种写法。
• 为什么？ 因为“无限”本身也分大小。例如，整数的个数是无限的，实数的个数也是无限的，但格奥尔格·康托(Georg Cantor)在19世纪末证明了，实数的“无限”比整数的“无限”要“大”得多，两者之间无法建立一一对应关系。
• 符号 $\infty$ (无穷大) 太模糊了，它没有区分这些不同等级的无限。直接写 $\#(X)=\infty$ 会让人误以为所有的无限集都是一样“大”的。
• 在更高等的数学（集合论）中，有专门的超穷基数 (transfinite cardinal numbers) 符号，如 $\aleph_0$ (阿列夫零，代表可数无限，如整数集的基数) 和 $\mathfrak{c}$ (代表连续统的基数，如实数集的基数) 来精确衡量不同无限集的大小。
• 因此，作者的建议是，在不引入这些专门工具的情况下，简单地称一个集合是“无限的”比用一个可能引起误解的符号 $\#(X)=\infty$ 要更严谨、更安全。

这部分内容是符号约定，介绍了五种在数学中极为常用的数集，并为它们指定了标准符号。这些符号是数学世界的通用语言，必须熟记。

(i) 自然数集 $\mathbb{N}$

• 符号：$\mathbb{N}$，来自英文 "Natural" 或德文 "Natürlich"。这个双线N是标准写法。
• 元素：$\{1, 2, 3, \ldots\}$，即所有正整数。
• 重要约定: 作者明确指出，本书的约定中，自然数从 1 开始，不包括 0。这是一个非常重要的细节，因为在不同的数学领域或不同的作者笔下，这个定义可能会有分歧。
• 数论中，自然数通常指正整数 $\{1, 2, 3, \ldots\}$。
• 集合论、逻辑和计算机科学中，自然数通常指非负整数 $\{0, 1, 2, \ldots\}$，因为 0 (代表空集的基数) 是一个非常自然的起点。
• 既然作者已经明确了本书的约定，我们在阅读后续内容时就必须遵守这个约定。

(ii) 整数集 $\mathbb{Z}$

• 符号：$\mathbb{Z}$，来自德文 "Zahlen"，意为“数字”。
• 元素：$\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$，包括了所有正整数、负整数和零。
• 关系：显然，自然数集是整数集的真子集，即 $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$。

(iii) 有理数集 $\mathbb{Q}$

• 符号：$\mathbb{Q}$，来自英文 "Quotient" (商)。
• 定义：所有可以表示为两个整数之商 $a/b$ 的数，其中分母 $b$ 不能为零。
• 相等性：这里遇到了一个重要问题，不同的分数可以表示同一个有理数。例如，$1/2$, $2/4$, $5/10$ 都是同一个有理数。定义中给出了判断两个分数 $a/b$ 和 $c/d$ 是否相等的准则：$a/b = c/d \Longleftrightarrow ad = bc$。这个“交叉相乘”的方法避免了做除法，只在整数域内进行判断。
• 最简形式: 任何一个有理数都有一个“最佳”或“标准”的表示，即最简形式。这要求分母为正整数，且分子分母没有大于1的公因子（即它们是互质的）。例如，$2/4$ 的最简形式是 $1/2$；$-6/10$ 的最简形式是 $-3/5$。作者提到“稍后会回到这一点”，暗示了这涉及到整数的唯一因子分解等更深的内容。
• 关系：所有整数都可以被看作有理数（例如 $3 = 3/1$），所以 $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$。

(iv) 实数集 $\mathbb{R}$

• 符号：$\mathbb{R}$，来自英文 "Real"。
• 概念：包含了所有有理数和无理数（如 $\sqrt{2}, \pi, e$ 等不能表示为整数之商的数）的集合。直观上，实数集与数轴上的所有点一一对应。
• 构造的复杂性: 作者指出 $\mathbb{R}$ 的定义不是代数的，它的严格构造（例如通过戴德金分割或柯西序列）超出了本书的范畴，因此这里只做直观介绍。这暗示了从有理数到实数的跨越是一个重大的概念飞跃。
• 关系：$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$。

(v) 复数集 $\mathbb{C}$

• 符号：$\mathbb{C}$，来自英文 "Complex"。
• 概念：形如 $a+bi$ 的数，其中 $a,b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数的引入使得所有多项式方程（如 $x^2+1=0$）都有解。
• 作者同样表示“稍后会回到 $\mathbb{C}$ 的性质”，说明这也会是后续讨论的一个对象。
• 关系：所有实数都可以被看作虚部为0的复数（例如 $5 = 5+0i$），所以 $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$。

总结这些集合的关系，我们有一个清晰的包含链：

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

这部分内容定义了三种最基本的集合运算，它们允许我们从已有的集合出发，像做算术一样，构造出新的集合。

(i) 并集 (Union)

• 定义: 两个集合 $X_1$ 和 $X_2$ 的并集，记作 $X_1 \cup X_2$，是一个新的集合，它的元素包括了所有在 $X_1$ 中 或 在 $X_2$ 中的元素。这里的“或”是逻辑上的“或”(inclusive or)，意思是“只要在其中一个集合里出现，就要被包含进来”。如果一个元素同时在两个集合里，它也只在并集里出现一次（根据集合的互异性）。
• 性质:
• $X_1$ 和 $X_2$ 都是它们并集的子集 ($X_1 \subseteq (X_1 \cup X_2)$)，这是显然的，因为并集包含了它们所有的元素。
• 并集运算满足交换律: $X_1 \cup X_2 = X_2 \cup X_1$。把两个集合的元素合并，先合并谁后合并谁，结果是一样的。
• 并集运算满足结合律: $(X_1 \cup X_2) \cup X_3 = X_1 \cup (X_2 \cup X_3)$。当合并三个集合时，先合并前两个再合并第三个，和先合并后两个再合并第一个，结果也一样。因此，我们可以直接写 $X_1 \cup X_2 \cup X_3$ 而不产生歧义。
• 推广: 并集可以推广到任意多个集合。$\bigcup_{i=1}^{n} X_i$ 表示将 $n$ 个集合 $X_1, \ldots, X_n$ 的所有元素汇集在一起。一个元素 $x$ 在这个大并集里的条件是：存在至少一个 $i$ (从1到n)，使得 $x \in X_i$。

(ii) 交集 (Intersection)

• 定义: 两个集合 $X_1$ 和 $X_2$ 的交集，记作 $X_1 \cap X_2$，是一个新的集合，它的元素是那些 同时 在 $X_1$ 中 且 在 $X_2$ 中的元素。换句话说，交集只包含两个集合公共的元素。
• 性质:
• 交集是原来两个集合的子集 ($(X_1 \cap X_2) \subseteq X_1$)，因为它的元素是从原来集合中挑选出来的，范围只会变小或不变。
• 交集运算满足交换律: $X_1 \cap X_2 = X_2 \cap X_1$。找两个集合的公共部分，谁先谁后无所谓。
• 交集运算满足结合律: $(X_1 \cap X_2) \cap X_3 = X_1 \cap (X_2 \cap X_3)$。找三个集合的公共部分，运算次序也无所谓。
• 推广: $\bigcap_{i=1}^{n} X_i$ 表示 $n$ 个集合 $X_1, \ldots, X_n$ 的交集。一个元素 $x$ 在这个大交集里的条件是：对于所有的 $i$ (从1到n)，都必须有 $x \in X_i$。

(iii) 差集 / 补集 (Difference / Complement)

• 定义: $X_2$ 在 $X_1$ 中的补集（或称为 $X_1$ 与 $X_2$ 的差集），记作 $X_1 - X_2$，是一个新的集合，它的元素由所有在 $X_1$ 中但 不 在 $X_2$ 中的元素组成。可以理解为从集合 $X_1$ 中“挖掉”所有也属于 $X_2$ 的部分。
• 性质:
• $X_2$ 和 $X_1 - X_2$ 的交集是空集。这是因为 $X_1-X_2$ 的定义就是排除所有在 $X_2$ 中的元素，所以它们不可能有公共元素。
• 如果 $X_2$ 是 $X_1$ 的子集 ($X_2 \subseteq X_1$)，那么把被挖掉的部分 $X_2$ 和剩下的部分 $X_1 - X_2$ 合并起来，就恰好还原成原来的 $X_1$。
• 特殊情况:
• $X - X = \emptyset$: 一个集合减去它自己，所有元素都被挖掉了，当然只剩下空集。
• $X - \emptyset = X$: 一个集合减去空集，等于什么都没挖掉，还是它自己。
• 注意: 这里的补集是相对补集的概念。有时在上下文中有一个明确的全集 $U$ 时，集合 $A$ 的补集（绝对补集）$A^c$ 或 $\bar{A}$ 指的是 $U-A$。但这里的 $X_1 - X_2$ 定义更为通用，不依赖于全集的存在。

这部分备注深入探讨了并集、交集和差集的一些关键性质，特别是它们作为“最大”或“最小”集合的角色，以及它们之间的相互作用规律。

(i) 并集的“最小性”

• 第一句话 $X_j \subseteq \bigcup_{i=1}^n X_i$ 是并集定义的结果，即所有参与并集运算的集合都是结果并集的子集。
• 第二句话是关键：如果存在另一个“候选”集合 $Y$，它也把所有的 $X_j$ 都“装”下了（即对所有 $j$ 都有 $X_j \subseteq Y$），那么这个“候选”集合 $Y$ 一定比我们构造的并集更大或者跟它一样大（即 $\bigcup_{i=1}^n X_i \subseteq Y$）。
• 综合起来: 并集 $\bigcup X_i$ 是一个包含所有 $X_i$ 的集合，而且它是满足这个条件的所有集合中“最经济”、“最小”的那一个。任何其他能包含所有 $X_i$ 的集合，都至少要包含并集的所有元素。

(ii) 交集的“最大性”

• 这部分与(i)形成完美的对偶关系。
• 第一句话 $\bigcap_{i=1}^n X_i \subseteq X_j$ 是交集定义的结果，即交集是所有参与运算的集合的子集。
• 第二句话是关键：如果存在另一个“候选”集合 $Y$，它也被所有 $X_j$“装”在里面（即对所有 $j$ 都有 $Y \subseteq X_j$），那么这个“候选”集合 $Y$ 一定比我们构造的交集更小或者跟它一样大（即 $Y \subseteq \bigcap_{i=1}^n X_i$）。
• 综合起来: 交集 $\bigcap X_i$ 是一个被所有 $X_i$ 包含的集合，而且它是满足这个条件的所有集合中“最富有”、“最大”的那一个。任何其他能被所有 $X_i$ 包含的集合，都必然是这个交集的子集。

(iii) 分配律 (Distributive Laws)

• 这里给出了交集和并集相互作用的两个重要定律，它们和普通算术中的乘法对加法的分配律 $y \times (x_1+x_2) = (y \times x_1) + (y \times x_2)$ 非常相似。

1. 交集对并集的分配律: $(X_1 \cup X_2) \cap Y = (X_1 \cap Y) \cup (X_2 \cap Y)$。
   • 直观理解：先将 $X_1$ 和 $X_2$ 合并，然后取合并后的大集合与 $Y$ 的公共部分；这等价于，分别取 $X_1$ 与 $Y$ 的公共部分、 $X_2$ 与 $Y$ 的公共部分，然后再将这两个小公共部分合并起来。
2. 并集对交集的分配律: $(X_1 \cap X_2) \cup Y = (X_1 \cup Y) \cap (X_2 \cup Y)$。
   • 这个定律在普通算术中没有直接对应（加法对乘法不满足分配律），但在集合代数和逻辑中是成立的。
   • 直观理解：先取 $X_1$ 和 $X_2$ 的公共部分，然后将这个公共部分与 $Y$ 合并；这等价于，分别将 $X_1$ 与 $Y$ 合并、$X_2$ 与 $Y$ 合并，然后再取这两个大集合的公共部分。

(iv) 德摩根定律 (De Morgan's Laws)

• 这部分给出了差集（相对补集）与并集、交集之间的转换关系。它源于逻辑学中的德摩根定律。

1. $Y - (X_1 \cap X_2) = (Y - X_1) \cup (Y - X_2)$
   • 从 $Y$ 中挖掉“同时属于 $X_1$ 和 $X_2$ 的部分”，等价于，(从 $Y$ 中挖掉 $X_1$ 的部分) 与 (从 $Y$ 中挖掉 $X_2$ 的部分) 的并集。
   • 作者给出了一个简短的逻辑提示：$x \in Y$ 且 $x \notin (X_1 \cap X_2)$ 意味着 $x \in Y$ 且 ($x \notin X_1$ 或 $x \notin X_2$)。
2. $Y - (X_1 \cup X_2) = (Y - X_1) \cap (Y - X_2)$
   • 从 $Y$ 中挖掉“属于 $X_1$ 或 $X_2$ 的部分”，等价于，(从 $Y$ 中挖掉 $X_1$ 的部分) 与 (从 $Y$ 中挖掉 $X_2$ 的部分) 的交集。
   • 逻辑上：$x \in Y$ 且 $x \notin (X_1 \cup X_2)$ 意味着 $x \in Y$ 且 ($x \notin X_1$ 且 $x \notin X_2$)。
   • 记忆技巧: 差集运算作用于一个带括号的并集/交集时，可以“分配”进去，但括号里的并集($\cup$)要变成交集($\cap$)，交集($\cap$)要变成并集($\cup$)。

这部分引入了一种全新的集合构造方式——笛卡尔积，它能从已有的集合创造出更高维度的、结构更丰富的集合。

核心概念：有序对 (Ordered Pair)

• 在学习笛卡尔积之前，必须先理解“有序对”$(x, y)$。
• 它和集合 $\{x, y\}$ 有本质区别：
• 顺序: 在有序对中，顺序是至关重要的。$(x, y)$ 和 $(y, x)$ 是不同的（除非 $x=y$）。而在集合中，顺序是无关紧要的，$\{x, y\}$ 和 $\{y, x\}$ 是同一个集合。
• 重复: 有序对的分量可以相同，例如 $(x, x)$。而在集合 $\{x, x\}$ 中，重复是无意义的，它就是 $\{x\}$。
• $(x, y)$ 中的 $x$ 被称为第一分量 (或 x-坐标)，$y$ 被称为第二分量 (或 y-坐标)。

笛卡尔积的定义

• 两个集合 $X$ 和 $Y$ 的笛卡尔积，记作 $X \times Y$，是一个由所有可能的有序对 $(x, y)$ 组成的新集合。
• 这些有序对的构造规则是：第一分量 $x$ 必须来自集合 $X$，第二分量 $y$ 必须来自集合 $Y$。
• 你可以想象一个“配对”的过程：从 $X$ 中任选一个元素，再从 $Y$ 中任选一个元素，将它们配成一个有序对。把所有可能的配对组合都收集起来，就得到了笛卡尔积 $X \times Y$。

推广到多个集合

• 这个概念可以自然地推广。$n$ 个集合 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的笛卡尔积 $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$ 是所有可能的有序 n-元组 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的集合。
• 构造规则同样是：第 $i$ 个分量 $x_i$ 必须来自第 $i$ 个集合 $X_i$。

简写符号

• 当所有参与笛卡尔积的集合都是同一个集合 $X$ 时，我们使用幂次方的简写：
• $X \times X$ 记作 $X^2$。
• $X \times X \times \cdots \times X$ ($n$ 次) 记作 $X^n$。
• 这个符号非常直观。例如，$\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 就是我们熟悉的二维笛卡尔坐标平面，它由所有有序对 $(x, y)$ 组成，其中 $x$ 和 $y$ 都是实数。$\mathbb{R}^3$ 就是三维空间。

这部分备注是对“有序对”这个概念的进一步哲学和技术性探讨。在上一节，我们直观地使用了有序对，这里作者解释了我们真正需要的是什么，以及它在集合论中是如何被严格定义的。

操作性质 (Operational Properties)

作者指出，对于有序对，我们不关心它“是什么”，只关心它“能做什么”。它需要满足两个核心的“操作性质”：

1. 存在性: 只要给定一个来自 $X$ 的 $x$ 和一个来自 $Y$ 的 $y$，就一定能构造出一个相应的有序对 $(x, y)$。这保证了笛卡尔积的构造是完备的。
2. 相等准则: 这是最重要的性质。两个有序对 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 相等的充分必要条件是它们对应的分量分别相等，即 $x_1=x_2$ 并且 $y_1=y_2$。
   • 这个准则精确地抓住了“有序”的本质。
   • 作者特意强调，这比集合的相等 ${x_1, y_1} = {x_2, y_2}$ 要严格得多。例如，如果 $(x_1, y_1)=(1, 2)$，$(x_2, y_2)=(2, 1)$，那么 $x_1 \neq x_2$，所以这两个有序对不相等。但对应的集合 $\{1, 2\}$ 和 $\{2, 1\}$ 却是相等的。

有序对的集合论定义

• 在现代数学中，所有概念都希望建立在集合论的基础上。那么“有序对”这个带有“顺序”概念的东西，如何用只有“包含”关系的集合来表达呢？
• 作者提到了一个由库拉托夫斯基(Kuratowski)在1921年提出的巧妙定义：

$(x, y) = \{\{x\}, \{x, y\}\}$

• 这个定义看起来很奇怪，但它完美地实现了有序对所需要的操作性质。
• 如何体现顺序？
• 这个大集合里有两个元素（两个子集）：一个是单元素子集 $\{x\}$，另一个是双元素子集 $\{x, y\}$ (如果x不等于y)。
• 我们可以通过观察这两个子集的大小来识别出第一分量。第一分量 $x$ 是那个在两个子集中都出现的元素。
• 更准确地说，取这两个子集的交集 $\bigcap (x,y) = \{x\} \cap \{x,y\} = \{x\}$，得到的就是只包含第一分量的集合。
• 再取它们的并集 $\bigcup (x,y) = \{x\} \cup \{x,y\} = \{x,y\}$，就得到了包含两个分量的集合。从这个并集中去掉第一分量，就得到了第二分量。
• 通过这种方式，我们仅使用集合和集合运算，就成功地从 $\{\{x\}, \{x, y\}\}$ 中唯一地解码出了 $x$ 是“第一”和 $y$ 是“第二”的信息。
• 作者的态度: 尽管这个定义非常漂亮，但作者也表明，在本书的后续内容中，我们不需要记住或使用这个具体的集合构造。我们只需要知道有序对满足那两条操作性质就足够了。这是一种常见的数学抽象手法：一旦一个对象的存在性和关键性质被保证，我们就可以把它当作一个“黑盒子”来使用，而不必关心其内部实现。

有序 n-元组的定义

作者还预告了，对于更一般的有序 n-元组，可以用函数的概念来给出一个更清晰的定义（我们将在1.3节看到），例如将 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 定义为一个从集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 到集合 $\{x_1, \ldots, x_n\}$ 的函数，其中 $f(i)=x_i$。

这部分备注总结了笛卡尔积的三个基本性质。

(i) 子集的笛卡尔积

• $如果 $A \subseteq X$ 且 $B \subseteq Y$，则 $A \times B \subseteq X \times Y$。
• 这个性质非常直观。$A \times B$ 是由有序对 $(a, b)$ 组成的，其中 $a \in A, b \in B$。
• 因为 $A$ 是 $X$ 的子集，所以任何 $a \in A$ 也必然有 $a \in X$。
• 因为 $B$ 是 $Y$ 的子集，所以任何 $b \in B$ 也必然有 $b \in Y$。
• 因此，任何一个来自 $A \times B$ 的有序对 $(a, b)$ 都满足 $a \in X$ 且 $b \in Y$，所以 $(a, b)$ 也必然是 $X \times Y$ 的一个元素。
• 根据子集的定义，这就证明了 $A \times B \subseteq X \times Y$。
• $但是，通常情况下，并不是 $X \times Y$ 的每个子集都具有这种形式$。
• 这是一个非常重要的提醒。$X \times Y$ 的子集有很多种，形如 $A \times B$ 的这种子集（可以称为“矩形子集”）只是其中一类特殊情况。
• 例如，考虑 $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$。它的一个子集是单位圆盘 $D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 1\}$。这个圆盘形状的子集，就无法表示为某个实数子集 $A$ 和另一个实数子集 $B$ 的笛卡尔积 $A \times B$。因为任何 $A \times B$ 在坐标平面上都表现为一个矩形（可能是无限延伸的），而圆盘不是矩形。

(ii) 与空集的笛卡尔积

• $\emptyset \times X=X \times \emptyset=\emptyset$。
• 任何集合与空集的笛卡尔积都是空集。
• 原因: 构造 $X \times \emptyset$ 的一个元素，需要一个有序对 $(x, y)$，其中 $x \in X$ 且 $y \in \emptyset$。但是空集 $\emptyset$ 中没有任何元素，所以我们永远也找不到一个 $y \in \emptyset$。因此，无法构造出任何一个有序对，所以结果的集合是空集。同理可证 $\emptyset \times X = \emptyset$。

(iii) 有限集的笛卡尔积的基数

• $\#(X \times Y) = \#(X) \times \#(Y)$。
• 如果 $X$ 和 $Y$ 都是有限集，那么它们的笛卡尔积 $X \times Y$ 也是有限集。
• 其元素个数等于原来两个集合的元素个数的乘积。
• 原因 (乘法原理): 构造一个有序对 $(x, y)$ 需要分两步：

1. 第一步，为第一分量 $x$ 选择一个值。我们有 $\#(X)$ 种选择。
2. 第二步，为第二分量 $y$ 选择一个值。我们有 $\#(Y)$ 种选择。

• 根据组合数学中的乘法原理，总的配对方案数就是每一步选择数的乘积，即 $\#(X) \times \#(Y)$。
• 推广: 这个公式可以推广到 $n$ 个集合的笛卡尔积：
• $\#\left(X_{1} \times \cdots \times X_{n}\right)=\#\left(X_{1}\right) \times \cdots \times \#\left(X_{n}\right)$
• 与(ii)的一致性:
• 如果我们将这个基数公式应用于空集，例如 $\#(\emptyset \times X)$。
• 因为 $\#(\emptyset) = 0$，所以公式给出 $\#(\emptyset \times X) = \#(\emptyset) \times \#(X) = 0 \times \#(X) = 0$。
• 一个基数为0的集合就是空集。这与(ii)中从逻辑上推导出的 $\emptyset \times X = \emptyset$ 的结论是完全一致的。

这部分定义了另一个非常重要的集合构造方法——幂集。

幂集的核心思想是：将一个给定集合 $X$ 的 所有可能的子集 收集起来，形成一个新的、更大的集合。

这个新集合的名字叫幂集，记作 $\mathcal{P}(X)$。

我们来分解这个概念：

1. 输入: 一个集合 $X$。
2. 操作:
   • 找出 $X$ 的所有子集。
   • 不要忘记两个特殊的子集：空集 $\emptyset$ 和 $X$ 自身。
3. 输出: 一个新的集合 $\mathcal{P}(X)$。这个新集合的元素，就是我们在上一步找到的那些子集。

所以，$\mathcal{P}(X)$ 是一个“集合的集合”。它的成员不是 $X$ 原来的元素，而是 $X$ 的各种子集。

举个例子，如果 $X = \{1, 2\}$。

1. 我们来找出 $X$ 的所有子集：
   • 不含任何元素的子集：$\emptyset$。
   • 含一个元素的子集：$\{1\}$, $\{2\}$。
   • 含两个元素的子集：$\{1, 2\}$ (即 $X$ 自身)。
2. 总共有这4个子集。
3. 现在，把这4个子集作为元素，放进一个新的集合里，就得到了 $X$ 的幂集：

$\mathcal{P}(X) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$。

这部分通过一系列例子来巩固和深化对幂集的理解，特别是处理集合的元素也是集合的复杂情况。

(i) 子集的幂集

• $如果 $Y \subseteq X$，则 $\mathcal{P}(Y) \subseteq \mathcal{P}(X)$。
• 解释:

1. 我们要证明 $\mathcal{P}(Y)$ 是 $\mathcal{P}(X)$ 的子集。根据子集定义，我们需要证明 $\mathcal{P}(Y)$ 中的任何一个元素也都在 $\mathcal{P}(X)$ 中。
2. 让我们任取一个元素 $A \in \mathcal{P}(Y)$。
3. 根据幂集的定义，$A \in \mathcal{P}(Y)$ 意味着 $A$ 是 $Y$ 的一个子集，即 $A \subseteq Y$。
4. 我们已知条件是 $Y \subseteq X$。
5. 现在我们有 $A \subseteq Y$ 并且 $Y \subseteq X$。根据子集的传递性（备注 1.1.4），我们可以得出 $A \subseteq X$。
6. $A \subseteq X$ 意味着什么？根据幂集定义，这意味着 $A$ 是 $\mathcal{P}(X)$ 的一个元素，即 $A \in \mathcal{P}(X)$。
7. 我们从“任取一个 $A \in \mathcal{P}(Y)$”出发，成功推导出“$A \in \mathcal{P}(X)$”。因此，$\mathcal{P}(Y) \subseteq \mathcal{P}(X)$ 成立。

(ii) 两个特殊的幂集元素

• $X \in \mathcal{P}(X)$ 且 $\emptyset \in \mathcal{P}(X)$。
• 这只是重申了幂集定义的一个直接结果。因为 $X$ 是自身的子集 ($X \subseteq X$)，所以 $X$ 必须是幂集 $\mathcal{P}(X)$ 的一个元素。同样，因为空集是 $X$ 的子集 ($\emptyset \subseteq X$)，所以 $\emptyset$ 也必须是 $\mathcal{P}(X)$ 的一个元素。

(iii) 单元素子集在幂集中

• $如果 $X \neq \emptyset$ 且 $x \in X$，则 $\{x\} \in \mathcal{P}(X)$。
• 如果 $X$ 不是空的，我们就可以从中取出一个元素 $x$。
• 由这个 $x$ 构成的单元素子集 $\{x\}$ 显然是 $X$ 的一个子集 ($\{x\} \subseteq X$)。
• 因此，根据幂集定义，$\{x\}$ 必须是 $\mathcal{P}(X)$ 的一个元素。

(iv) 迭代构造幂集

• 这部分是最有趣也最考验思维清晰度的地方，它展示了反复取幂集的效果。
• 第一步: $\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}$。
• 我们在上一节已经分析过。空集 $\emptyset$ 的唯一子集是它自身 $\emptyset$。所以它的幂集就是包含 $\emptyset$ 这一个元素的集合。
• $\#(\mathcal{P}(\emptyset)) = 1$。
• 第二步: $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))$。
• 这等于 $\mathcal{P}(\{\emptyset\})$，因为 $\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}$。
• 我们现在要求集合 $\{\emptyset\}$ 的幂集。这个集合只有一个元素，就是 $\emptyset$。
• 设 $Y = \{\emptyset\}$。$Y$ 的子集有哪些？
• 空集: $\emptyset$。
• $Y$ 自身: $\{\emptyset\}$。
• 就这两个子集。所以，$\mathcal{P}(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$。
• $\#(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))) = 2$。
• 第三步: $\mathcal{P}(\{\emptyset, \{\emptyset\}\})$。
• 我们现在要求集合 $Z = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ 的幂集。这个集合有两个元素：$\emptyset$ 和 $\{\emptyset\}$。
• $Z$ 的子集有哪些？（共 $2^2=4$ 个）
• 0个元素的子集: $\emptyset$。
• 1个元素的子集: $\{\emptyset\}$ (取第一个元素构成的子集), $\{\{\emptyset\}\}$ (取第二个元素构成的子集)。
• 2个元素的子集: $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ (Z 自身)。
• 把这4个子集收集起来，就是 $Z$ 的幂集：

$\mathcal{P}(\{\emptyset, \{\emptyset\}\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$。

• $\#(\mathcal{P}(\{\emptyset, \{\emptyset\}\})) = 4$。
• 结论: 这些例子都符合 $\#(\mathcal{P}(X))=2^{\#(X)}$ 的规律。作者在这里通过具体例子展示了这个规律，并预告了它的一般性。

这部分开始定义数学中另一个核心概念——函数。作者首先对比了两种理解函数的方式，并选择了一种更严谨、更适合集合论框架的方式。

两种视角：

1. 直观视角（“规则”）: 这是我们初中、高中学习函数时最常见的理解。函数是一个“过程”或一个“机器”，你“输入”一个来自集合 $X$ 的值 $x$，这个机器就根据一个固定的“规则” $f$ 进行运算，然后“输出”一个唯一确定的来自集合 $Y$ 的值 $y=f(x)$。这个视角非常直观，易于理解，但“规则”这个词本身不够数学化，不够精确。
2. 严谨视角（“图像”）: 这是现代数学，特别是集合论，所采用的定义方式。它不谈论抽象的“规则”，而是将函数实体化、静态化。一个函数 $f$ 被直接 定义为其图像 $G_f$。
   • 什么是图像？函数 $f$ 的图像是笛卡尔积 $X \times Y$ 的一个子集。这个子集由所有满足 $y=f(x)$ 的有序对 $(x, y)$ 组成。
   • 例如，函数 $f(x) = x^2$ 的图像就是所有形如 $(x, x^2)$ 的点的集合，如 $(1, 1), (2, 4), (-3, 9)$ 等等。这些点构成了笛卡尔坐标平面上的一条抛物线。

从“规则”到“图像”的性质分析：

作者指出，如果我们从直观的“规则”视角出发，那么函数的图像 $G_f$ 必然满足一个非常重要的性质：

对于 $X$ 中的每一个元素 $x$，都存在唯一一个 $Y$ 中的元素 $y$，使得有序对 $(x, y)$ 在图像 $G_f$ 中。

这句话包含两层意思，对应了函数定义的两个基本要求：

1. 存在性 (“对于每个 $x$ 都存在...”): 函数必须对定义域 $X$ 中的 每一个 元素都有定义。不能有的 $x$ 有对应的 $y$，有的 $x$ 没有。输入一个 $x$，机器不能“卡壳”或说“无法处理”。
2. 唯一性 (“...存在唯一的 $y$”): 对于一个给定的输入 $x$，输出的 $y$ 必须是 唯一确定 的。不能今天输入2，输出4；明天输入2，输出5。输入一个 $x$，机器不能“选择困难”。

垂直线测试 (Vertical Line Test)

这个性质就是我们在中学数学里非常熟悉的“垂直线测试”的抽象版本。

• 在 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 的坐标平面上，一个图形是不是一个函数的图像，就看任何一条垂直于x轴的直线，与该图形的交点是否 最多只有一个。
• 作者将其推广到任意集合 $X, Y$。对于 $X$ 中的某个特定元素 $x_0$，所有第一分量是 $x_0$ 的有序对组成的集合是 $\{x_0\} \times Y$。这可以想象成穿过 $x_0$ 的一条“垂直线”。
• 函数图像 $G_f$ 必须与任何一条这样的“垂直线” $\{x\} \times Y$ 恰好只有一个交点。
• “有交点”保证了存在性（对于这个 $x$ 有定义）。
• “只有一个交点”保证了唯一性（定义是明确的，无歧义的）。

反向定义

分析清楚了函数图像所满足的这个核心性质后，作者采取了“反向操作”：直接用这个性质来 定义 什么是函数。这就是下一节 $定义 1.3.1$ 的内容。这种“从性质到定义”的转化是数学公理化和形式化的常用手段。

这部分正式给出了函数的集合论定义，它是上一节讨论的逻辑终点。

定义的核心

一个函数 $f$ 从集合 $X$ 到集合 $Y$，其本质 就是 笛卡尔积 $X \times Y$ 的一个特殊子集。我们通常把这个子集称为函数的图像 $G$。

这个子集 $G$ 必须满足什么特殊条件呢？

这个条件就是抽象化的“垂直线测试”：

$对于每个 $x \in X$，$(\{x\} \times Y) \cap G$ 恰好包含一个点$

我们来逐步分解这个条件：

1. $对于每个 $x \in X$: 这个条件必须对**定义域** $X$ 中的所有元素进行检查，一个都不能少。
2. $\{x\} \times Y$: 这是我们在上一节讨论过的“垂直线”。它代表了 $X \times Y$ 中所有第一分量等于 $x$ 的有序对。
3. $(\{x\} \times Y) \cap G$: 这是“垂直线”与“图像”$G$ 的交集。也就是在图像 $G$ 中，所有第一分量为 $x$ 的那些点。
4. $恰好包含一个点$: 这是最关键的要求，它同时蕴含了存在性和唯一性。
   • “至少包含一个点” $\implies$ 存在性 (对于这个 $x$，函数有定义)。
   • “至多包含一个点” $\implies$ 唯一性 (对于这个 $x$，函数的定义是唯一的)。

从图像到函数值的记号

一旦我们确定了一个子集 $G$ 满足上述条件，从而确认它是一个函数的图像，我们就可以引入方便的函数记号 $f(x)$。

• 对于任意一个 $x \in X$，我们知道 $G$ 中有且仅有一个第一分量是 $x$ 的有序对。这个有序对必然是 $(x, y)$ 的形式，其中 $y$ 是某个来自 $Y$ 的元素。
• 我们就把这个唯一被确定的 $y$，记作 $f(x)$。
• 所以，$y=f(x)$ 只是一种简写，它的严格含义是 $(x, y) \in G$，其中 $G$ 就是函数本身。

定义域和值域的重要性

作者强调，$X$ (定义域, domain) 和 $Y$ (值域或共域, codomain) 是函数自身信息的一部分。

• 这意味着，一个函数不仅由它的对应规则（或图像子集）决定，还由它作用的范围和可能取值的范围共同决定。
• 例如，规则 $f(x)=x^2$，当它是从 $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数时，和当它是从 $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 的函数时，是两个完全不同的函数。它们的定义域不同，图像也不同（一个是连续的抛物线，一个是一系列离散的点）。
• 同样，规则 $g(x)=x^2$ 作为从 $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的函数，和作为从 $\mathbb{R} \rightarrow [0, \infty)$ 的函数，在某些严格的上下文（如范畴论）中也被视为不同的函数，因为它们的值域不同。这会影响到函数是否“满射”等性质。

同义词

“映射” (map) 或 “映照” (mapping) 通常可以和“函数” (function) 互换使用。在特定语境中，“映射”可能带有一点几何色彩，比如描述空间中的点如何变换。但在代数中，它们基本是同义的。

这部分备注进一步阐明了上一节函数定义所带来的一些重要推论和约定。

(i) 全域定义 (Total function)

• 这里强调了函数定义的“存在性”要求，即函数必须对定义域中的每一个元素都有定义。在更专门的术语中，我们这里定义的函数都是“全函数”(total functions)。
• 作者举了 $f(x)=1/x$ 的例子。在高中或初等微积分中，我们可能会说“函数 $f(x)=1/x$ 的定义域是所有非零实数”，这是一种“从规则反推定义域”的思路。
• 但在更严谨的现代代数和分析中，思路是反过来的：我们 先指定定义域。如果我们声明要定义一个函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，那么我们就必须为定义域 $\mathbb{R}$ 中的每一个元素（包括0）都指定一个在值域 $\mathbb{R}$ 中的值。对于规则 $f(x)=1/x$，我们无法为 $x=0$ 指定一个值，所以这个规则 无法 定义一个从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数。
• 要想使用这个规则，我们必须明确地将定义域限制为非零实数，例如定义一个函数 $g: (\mathbb{R}-\{0\}) \to \mathbb{R}$，规则是 $g(x)=1/x$。那么 $f$ 和 $g$ 就是两个不同的函数。
• 作者提到这与某些微积分课程的做法相反，是因为在那些课程中，为了方便，常常模糊处理，默认一个函数表达式的定义域是使其有意义的最大实数子集。而这里的上下文要求更严格的区分。

(ii) 函数的相等 (Function Equality)

• 这里给出了判断两个函数 $f_1$ 和 $f_2$ 何时相等的准则。
• 核心准则: 两个函数相等，当且仅当“对于定义域中所有的 $x$，它们对应的函数值都相等”，即 $f_1(x) = f_2(x)$ 对所有 $x \in X$ 成立。
• 这源于函数的集合论定义：如果两个函数在所有点上的取值都一样，那么它们生成的有序对 $(x, f(x))$ 的集合（即图像）必然是完全相同的。而我们已经把函数定义为其图像，所以图像相等就意味着函数相等。
• 前提条件: 作者特别强调，要比较两个函数是否相等，它们必须首先拥有 相同的定义域 和 相同的值域。
• 例如，令 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 定义为 $f(n)=n$。令 $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 定义为 $g(n)=n$。虽然它们的“规则”都是“返回输入值本身”，但它们是不同的函数，因为它们的定义域和值域都不同。$f$ 的图像是 $\{(1,1), (2,2), \ldots\}$，是 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 的子集。$g$ 的图像是 $\{\ldots, (-1,-1), (0,0), (1,1), \ldots\}$，是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的子集。这两个图像集合显然不同。
• 这个要求呼应了 $定义 1.3.1$中“定义域和值域是函数信息的一部分”的论断。

(iii) 有限集上的函数与表格

• 如果定义域 $X$ 是一个有限集，比如 $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$，那么一个函数 $f: X \to Y$ 就可以被完全、无歧义地通过一个两行的表格来描述。
• 表格的第一行是定义域中的所有元素。
• 表格的第二行是与上一行元素一一对应的函数值。
• 这个表格实际上就是函数图像的另一种表现形式。表格的每一列 $(x_i, f(x_i))$ 都对应了图像集合中的一个有序对。
• 这种表格表示法非常直观，特别是在讨论组合计数、对称群等问题时非常有用。

这部分内容非常丰富，通过一系列具体的例子，展示了函数概念的广泛应用和多种表现形式。

(i) 恒等函数 (Identity Function)

• 对于任何集合 $X$，总存在一个最简单的函数，就是把它自己映射到自己，什么都不改变。这个函数叫恒等函数，记作 $\operatorname{Id}_X$。
• 规则: $\operatorname{Id}_X(x) = x$。输入什么，就输出什么。
• 定义域和值域都是 $X$。
• 图像: 它的图像是 $X \times X$ 中的“对角线” $\Delta_X = \{(x, x) : x \in X\}$。
• 作者提问：“对角线是否满足作为函数图像的测试？” 答案是肯定的。对于每个 $x \in X$，“垂直线” $\{x\} \times X$ 与对角线 $\Delta_X$ 的交集恰好是有序对 $\{(x,x)\}$，只有一个点。所以它是一个合法的函数。

(ii) 包含函数 (Inclusion Function)

• 这是一个与恒等函数密切相关的例子，但定义域和值域不同。
• 当 $X$ 是 $Y$ 的子集时，我们可以定义一个函数 $i_X: X \to Y$，规则是 $i_X(x) = x$。
• 这个函数的作用是把子集 $X$ 的元素“看作”是更大集合 $Y$ 的元素。它什么也没做，只是换了一个“视角”。
• 它的图像也是 $\{(x, x) : x \in X\}$，但这次这个图像被看作是 $X \times Y$ 的子集，而不是 $X \times X$ 的子集。

(iii) 常数函数 (Constant Function)

• 给定非空集合 $X, Y$。从 $Y$ 中挑选一个固定的元素 $c$。
• 我们可以定义一个函数 $f: X \to Y$，它的规则是：无论输入什么，输出永远是那个固定的 $c$。即 $f(x)=c$ 对所有 $x \in X$ 成立。
• 作者提问：“这个函数的图像是什么，为什么它是一个函数？”
• 图像: $G_f = \{(x, c) : x \in X\}$。
• 为什么是函数: 对于每个 $x \in X$，“垂直线” $\{x\} \times Y$ 与 $G_f$ 的交集恰好是有序对 $\{(x, c)\}$，只有一个点。所以满足函数定义。

(iv) 微积分中的函数

• 这是一个回顾性的例子，我们熟悉的 $f(x)=x^2, \sin(x), e^x$ 等都是从 $\mathbb{R}$ (或其子集) 到 $\mathbb{R}$ 的函数。

(v) 笛卡尔积与函数的新视角

• 这部分提供了一个非常深刻和有用的观点：有序元组可以被看作是函数。
• 一个有序对 $(x_1, x_2)$，其中元素来自 $X$。我们可以把它看作一个定义域为 $\{1, 2\}$ 的函数 $f$。这个函数的规则是 $f(1)=x_1, f(2)=x_2$。
• 这个视角完美地捕捉了“有序”的本质：第1个位置对应的值，第2个位置对应的值。
• 这个观点可以推广：
• $X \times Y$ 中的有序对 $(x, y)$ 对应一个函数 $f: \{1,2\} \to X \cup Y$，满足 $f(1)=x \in X$ 和 $f(2)=y \in Y$。
• $X^n$ 中的有序 n-元组 $(x_1, \ldots, x_n)$ 对应一个函数 $f: \{1, 2, \ldots, n\} \to X$。
• $X_1 \times \cdots \times X_n$ 中的有序 n-元组对应一个函数 $f: \{1, 2, \ldots, n\} \to \bigcup X_i$，满足 $f(i) \in X_i$。
• 序列也是函数: 一个无限序列 $x_1, x_2, x_3, \ldots$ (比如数列)，其本质就是一个定义域为自然数集 $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots\}$ 的函数 $f: \mathbb{N} \to X$ (其中 $X$ 是序列中各项所在的集合，如 $\mathbb{R}$)。$x_i$ 只是 $f(i)$ 的简写。

(vi) 多变量函数

• 一个二元函数 $f(x, y)$，其本质是一个定义域为笛卡尔积 $X \times Y$ 的单变量函数。它的输入是有序对 $(x, y)$，输出是一个元素 $z \in Z$。
• 所以 $f(x, y)$ 只是 $f((x, y))$ 的一个习惯写法。这个观点将多变量问题统一到了单变量函数的框架下。

(vii) 投影函数 (Projection Function)

• 给定一个笛卡尔积，投影函数的作用是“提取”其中的某个分量。
• $\pi_1: X \times Y \to X$，其规则是 $\pi_1(x, y) = x$。它丢掉第二个分量，只返回第一个。
• $\pi_2: X \times Y \to Y$，其规则是 $\pi_2(x, y) = y$。它丢掉第一个分量，只返回第二个。
• 这个概念可以推广到 $X_1 \times \cdots \times X_n$，其中 $\pi_i$ 返回第 $i$ 个分量。
• 甚至可以有“部分投影”，比如 $\pi_{i,j}$ 返回由第 $i$ 和第 $j$ 个分量组成的新的有序对。

(viii) 函数集 (Function Set) 和 求值函数 (Evaluation Function)

• 函数集: 从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的 所有可能的函数 收集起来，它们自身也构成一个集合，记作 $Y^X$。
• 这个记号非常强大。如果 $X, Y$ 是有限集，$\#(X)=n, \#(Y)=m$，那么这个函数集的大小是 $\#(Y^X) = m^n = (\#(Y))^{\#(X)}$。
• 原因: 构造一个函数 $f: X \to Y$。对于 $X$ 中的第一个元素 $x_1$，它的函数值 $f(x_1)$ 可以是 $Y$ 中的任意一个元素，有 $m$ 种选择。对于 $x_2$，它的值 $f(x_2)$ 也有 $m$ 种选择。这个过程对所有 $n$ 个 $X$ 中的元素都独立。根据乘法原理，总的函数个数是 $m \times m \times \cdots \times m$ ($n$ 次)，即 $m^n$。
• 求值函数: 这是一个更高阶的函数。
• $\mathrm{ev}_x: Y^X \to Y$。它的定义域是函数集 $Y^X$。它的输入是一个函数 $f$，输出是这个函数 $f$ 在特定点 $x$ 的值 $f(x)$。所以 $\mathrm{ev}_x(f) = f(x)$。
• 这里，平时我们看作函数名的 $f$，变成了被操作的“变量”。
• 还可以定义一个二元求值函数 $e: X \times Y^X \to Y$，输入一个点 $x$ 和一个函数 $f$，输出 $f(x)$。
• 投影是求值的特例: 将有序 n-元组的集合 $X^n$ 看作函数集 $X^{\{1, \ldots, n\}}$ 后，第 $i$ 个投影函数 $\pi_i$ 的作用，就等价于在 $i$ 点的求值函数 $\mathrm{ev}_i$。即 $\pi_i(f) = f(i)$。

这部分定义了两个与函数相关的核心概念：像 (Image) 和 原像 (Preimage)。它们描述了函数如何在定义域的子集和值域的子集之间建立联系。

像 (Image)

• 函数 $f$ 的像: 记作 $\operatorname{Im} f$ 或 $f(X)$。它是值域 $Y$ 的一个子集，由所有“被函数 $f$ 命中”的元素组成。换句话说，一个元素 $y \in Y$ 在像里面，当且仅当定义域 $X$ 中至少有一个元素 $x$ 的函数值是它 ($f(x)=y$)。
• 作者的术语辨析: 作者特别强调了像 (Image) 和值域 (Codomain) 的区别。
• 值域 (Codomain)，即 $Y$，是我们在定义函数 $f:X \to Y$ 时预先指定的“靶子”范围。
• 像 (Image)，即 $f(X)$，是函数实际射出的所有“箭”的落点集合。
• 像一定是值域的子集 ($f(X) \subseteq Y$)，但未必相等。如果像等于值域，这个函数就有一个特殊的名字，叫“满射”。
• 子集的像: 这个概念可以推广。对于定义域 $X$ 的任何一个子集 $A$，它的像 $f(A)$ 就是 $A$ 中所有元素的函数值组成的集合。

原像 (Preimage / Inverse Image)

• 子集的原像: 给定值域 $Y$ 的一个子集 $B$，它的原像记作 $f^{-1}(B)$。这是一个定义域 $X$ 的子集，由所有那些“其函数值落在 $B$ 内部”的输入元素 $x$ 组成。
• 换句话说，一个元素 $x \in X$ 在原像 $f^{-1}(B)$ 里面，当且仅当它的函数值 $f(x)$ 在目标子集 $B$ 里面 ($f(x) \in B$)。
• 单元素的原像: 如果子集 $B$ 只有一个元素 $y$，即 $B=\{y\}$，我们通常把原像简写为 $f^{-1}(y)$。$f^{-1}(y)$ 是定义域中所有使得函数值为 $y$ 的那些 $x$ 的集合。
• 重要: $f^{-1}(y)$ 是一个 集合，不是一个元素！它可能包含多个元素，一个元素，也可能是空集。
• $f^{-1}(y)$ 不为空，当且仅当 $y$ 在函数的像中。
• $f^{-1}(Y)$ (整个值域的原像) 必然等于整个定义域 $X$，因为根据函数定义，每个 $x \in X$ 的值 $f(x)$ 都必须在 $Y$ 中。

关于符号 $f^{-1}$ 的严重警告

• 作者用非常重的语气提醒读者，符号 $f^{-1}$ 在数学中有两种截然不同但看起来一模一样的用法，这极易造成混淆。

1. 原像 (Preimage): 如本节所定义，$f^{-1}(B)$ 是一个从 $Y$ 的子集到 $X$ 的子集的映射。这个定义对于 任何函数 $f$ 都有效。$f^{-1}(y)$ 是一个集合。
2. 逆函数 (Inverse Function): 我们稍后会定义，只有当函数 $f$ 是双射时，才存在一个逆函数，也记作 $f^{-1}$。这个逆函数 $f^{-1}: Y \to X$ 是一个真正的函数。此时 $f^{-1}(y)$ 表示逆函数在元素 $y$ 上的取值，它是一个 元素。
   • 如何区分？ 只能依靠上下文！
   • 如果 $f^{-1}$ 的参数是一个集合 (如 $f^{-1}(B)$)，它几乎总是指原像。
   • 如果上下文已经明确 $f$ 是一个双射，并且 $y$ 是一个元素，那么 $f^{-1}(y)$ 通常指逆函数的值。
   • 作者坦言，这种符号上的模糊性是“旨在...造成最大的混淆”，这是一种幽默的说法，意在强调其危险性，并让读者保持高度警惕。

这部分内容探讨了像和原像这两个操作连续作用时的结果，并分析了之前几个基本函数的像和原像。

像与原像的复合关系

这里给出了两个非常重要的包含关系，它们描述了“先求原像再求像”和“先求像再求原像”之后，得到的集合与原始集合的关系。

1. $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$

• 过程: 从值域 $Y$ 的一个子集 $B$ 出发。

1. 先求 $B$ 的原像 $f^{-1}(B)$，得到定义域 $X$ 中的一个子集。这个子集里的元素 $x$ 都满足 $f(x) \in B$。
2. 再求这个新得到的子集 $f^{-1}(B)$ 的像。也就是把这里面所有的 $x$ 再通过 $f$ 映射回去。
   • 为什么是 $\subseteq$ 而不是 $=$ ?: 因为原像 $f^{-1}(B)$ 只收集了那些函数值落在 $B$ 里的 $x$。当你再把这些 $x$ 映射回去时，它们的函数值 $f(x)$ 根据定义，当然还在 $B$ 里面。但是，$B$ 中可能存在一些“没有被任何 $x$ 命中”的元素。这些元素在一开始就在 $B$ 中，但经过这一来一回的操作后，它们无法出现在最终的结果 $f(f^{-1}(B))$ 里。只有当 $B$ 中的每个元素都至少被一个 $x$ 命中时（即 $B \subseteq f(X)$），等号才成立。
   • 结论: “先回来再过去”，可能会丢失一部分“从未被达到”的区域。
3. $A \subseteq f^{-1}(f(A))$

• 过程: 从定义域 $X$ 的一个子集 $A$ 出发。

1. 先求 $A$ 的像 $f(A)$，得到值域 $Y$ 中的一个子集。
2. 再求这个新子集 $f(A)$ 的原像。也就是去寻找所有那些函数值落在 $f(A)$ 里的输入元素。
   • 为什么是 $\subseteq$ 而不是 $=$ ?:
   • 首先，对于 $A$ 中的任意一个元素 $a \in A$，它的函数值 $f(a)$ 必然在 $f(A)$ 中。因此，$a$ 满足“函数值落在 $f(A)$ 里”的条件，所以 $a$ 必然在 $f^{-1}(f(A))$ 中。这就保证了 $A \subseteq f^{-1}(f(A))$。
   • 但是，定义域中可能存在一些 不在 A 中 的元素 $x'$, 它们的函数值恰好和 $A$ 中某个元素的函数值相同，即 $f(x') \in f(A)$。那么根据原像定义，这些 $x'$ 也会被包含在 $f^{-1}(f(A))$ 中。这样一来，$f^{-1}(f(A))$ 就可能比 $A$ 更大。
   • 只有当函数 $f$ 是“一对一”的（单射），即不同的输入绝对不会产生相同的输出时，等号才成立。
   • 结论: “先过去再回来”，可能会“捎带”上一些拥有相同目标的“局外人”。

基本函数示例分析

(i) 恒等函数 $\operatorname{Id}_X: X \to X$

• 像: $\operatorname{Id}_X(A) = \{ \operatorname{Id}_X(x) : x \in A \} = \{x : x \in A\} = A$。
• 原像: $\operatorname{Id}_X^{-1}(A) = \{ x \in X : \operatorname{Id}_X(x) \in A \} = \{ x \in X : x \in A \} = A$。
• 结论：对于恒等函数，任何子集的像和原像都是它自己。此时上面两个包含关系都是等号。

(ii) 包含函数 $i_X: X \to Y$ (其中 $X \subseteq Y$)

• 像: $i_X(A) = \{i_X(a) : a \in A\} = \{a : a \in A\} = A$。结果 $A$ 被看作是值域 $Y$ 的子集。
• 原像: $i_X^{-1}(B) = \{ x \in X : i_X(x) \in B \} = \{ x \in X : x \in B \}$。一个元素 $x$ 既要在 $X$ 里，又要在 $B$ 里，这正是交集的定义。所以 $i_X^{-1}(B) = X \cap B$。

(iii) 常数函数 $f(x)=c$

• 像: $f(A) = \{f(a) : a \in A\}$。
• 如果 $A=\emptyset$，那么 $f(\emptyset)=\emptyset$。
• 如果 $A \neq \emptyset$，那么 $A$ 里至少有一个元素 $a$，它的函数值是 $c$。所有其他 $A$ 中元素的函数值也都是 $c$。根据集合互异性，所有这些 $c$ 汇集起来还是只有一个元素 $c$。所以 $f(A)=\{c\}$。
• 原像: $f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\} = \{x \in X : c \in B\}$。
• 如果常数值 $c$ 就在目标子集 $B$ 中 ($c \in B$)，那么定义域 $X$ 中的 所有 $x$ 都满足条件，因为它们的函数值 $c$ 在 $B$ 中。所以 $f^{-1}(B)=X$。
• 如果常数值 $c$ 不在目标子集 $B$ 中 ($c \notin B$)，那么定义域 $X$ 中 没有一个 $x$ 能满足条件。所以 $f^{-1}(B)=\emptyset$。

这部分备注讨论了如何通过调整函数的值域(Codomain)来得到新的、技术上不同但密切相关的函数。

1. 扩大值域

• $如果 $Y \subseteq Y'$，那么 $f: X \to Y$ 可以看作一个 $f': X \to Y'$ 的函数$。
• 解释: 假设我们有一个函数 $f$，它的所有输出值都落在集合 $Y$ 中。现在我们找一个更大的“靶子” $Y'$，它把 $Y$ 完全包含了。那么，原来的函数 $f$ 的对应规则完全不需要改变，它仍然可以被看作是一个映射到 $Y'$ 的函数，因为它的所有输出值也必然都在更大的 $Y'$ 中。
• 技术层面:
• 原函数 $f$ 的图像是 $G_f \subseteq X \times Y$。
• 因为 $Y \subseteq Y'$，所以 $X \times Y \subseteq X \times Y'$。
• 因此，$G_f$ 也是 $X \times Y'$ 的一个子集。
• 这个子集 $G_f$ 仍然满足“垂直线测试”（因为对应规则没变），所以它可以定义一个新函数 $f': X \to Y'$。
• 作者的提醒: 从严格定义上说， $f$ 和 $f'$ 是两个不同的函数，因为它们的值域不同。但在实际应用中，我们常常会不加区分地使用，因为它们的“核心行为”是一样的。

2. 缩小值域

• $给定 $f: X \to Y$，我们可以将其替换为一个 $g: X \to f(X)$ 的函数$。
• 解释: 这是一个非常有用的操作。原始函数 $f$ 的值域 $Y$ 可能很大，但其实际输出值（即像 $f(X)$）可能只占了 $Y$ 的一小部分。我们可以创建一个新函数 $g$，它和 $f$ 有完全相同的定义域 $X$ 和完全相同的对应规则，但我们把它的值域精确地“收缩”到它实际能达到的范围，即 $f(X)$。
• 这样做有一个立竿见影的好处：新函数 $g$ 必然是满射的（Surjective），因为根据定义，它的值域就是它的像。
• 更一般的情况: 只要我们找到任何一个“中间”集合 $B$，它包含了所有的函数实际输出值（$f(X) \subseteq B$），但它本身又是原始值域的子集（$B \subseteq Y$），我们都可以定义一个新函数 $h: X \to B$。

总结: 我们可以自由地、安全地扩大一个函数的值域，也可以在不丢失任何实际输出信息的前提下，将其值域缩小到它的像（或任何包含其像的集合）。