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换句话说，$S_{X}$ 在复合运算下是封闭的，包含 $X$ 上的恒等函数，并且 $S_{X}$ 的每个元素都有一个逆，该逆也在 $S_{X}$ 中。
对于一个有限集 $X$，若 $\#(X)=n$，我们通常将 $X$ 视为标准的 $n$ 个元素的有限集，即 $\{1, \ldots, n\}$，并将 $S_{\{1, \ldots, n\}}$ 简写为 $S_{n}$。通过计数可知，$\#\left(S_{n}\right)=n!$，因为要定义一个双射 $f:\{1, \ldots, n\} \rightarrow\{1, \ldots, n\}$，对于 $f(1)$ 有 $n$ 种可能的选择，但对于 $f(2)$ 只有 $n-1$ 种选择，因为 $f(1)$ 的值已被排除：由于 $f$ 是单射，我们不能有 $f(1)=f(2)$。继续下去，对于 $f(3)$ 恰好有 $n-2$ 种选择，……，对于 $f(n-1)$ 有 $2$ 种选择，对于 $f(n)$ 只有一种选择。这表明从 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $\{1, \ldots, n\}$ 的单射总数为
但根据备注 1.5.4，从 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $\{1, \ldots, n\}$ 的单射与从 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $\{1, \ldots, n\}$ 的双射是同一个概念。因此 $\#\left(S_{n}\right)=n!$。当然，类似的论证表明，对于任何具有 $\#(X)=n$ 的有限集 $X$，$\#\left(S_{X}\right)=n!$。
定义 1.6.15. 集合 $S_{n}$ 是 $n$ 个字母上的对称群或 $n$ 次对称群。
在数学中，有许多情况下我们希望将两个对象视为相同。
示例 2.1.1. (i) $\mathbb{R}^{2}$ 或 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量：一个定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$ 是一个有向线段。这里 $\mathbf{p}$ 是起点或起始点，$\mathbf{q}$ 是终点。我们说 $\mathbf{p}$ 定位于其起始点 $\mathbf{p}$。在物理学中，我们将向量（未定位）视为具有大小和方向的对象。在数学上，这意味着如果两个定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}$ 具有相同的大小和方向，即线段具有相同的长度、平行并且“指向同一方向”，即以显而易见的方式具有相同的起始点，则它们定义相同的向量。当然，在数学中，我们总是将向量定位于 $\mathbf{0}$，并将定位向量 $\overrightarrow{\text { 0r }}$ 与其另一个终点 $\mathbf{r}$，即与 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个元素进行识别。
(ii) 在平面几何中，我们经常将两个全等三角形视为相同。
(iii) 同样在平面几何中，我们有时将角视为在一点相交的两条射线，并规定如果两个这样的角在适当的意义上是全等的，则它们定义相同的角。我们也可以将角视为实数 $\theta$，但对于每个整数 $k$，两个实数 $\theta$ 和 $\theta+2 k \pi$ 定义相同的角。
(iv) 有理数与分数 $a / b$ 是同一个概念，其中 $a, b \in \mathbb{Z}$ 且 $b \neq 0$，因此由序对 $(a, b) \in \mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 指定。但不同的序对 $(a, b)$ 可以定义相同的有理数 $a / b$。事实上，$a / b$ 和 $c / d$ 定义相同的有理数当且仅当 $a d=b c$。一种选择分数 $a / b$ 的“最佳”描述的方法是约定我们只考虑“最简形式”的序对 $(a, b)$，换句话说，使得 $b>0$ 尽可能小，这恰好发生在 $a$ 和 $b$ 没有公因数时。但这会导致关于因式分解的复杂问题，因此更方便的做法是让 $(a, b)$ 是 $\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 的任意元素，然后建立一个将某些此类序对视为相等的框架。
定义 2.1.2. 设 $X$ 是一个集合。$X$ 上的关系 $\mathcal{R}$ 是 $X \times X$ 的一个子集。
在数学中，有两种重要的关系类型：(1) 序关系（这里我们通常用 $x \leq y$ 或 $x<y$ 表示 $(x, y) \in \mathcal{R}$），以及 (2) 等价关系，用于“类似”相等的关系。对于一个等价关系 $\mathcal{R}$，条件 $(x, y) \in \mathcal{R}$ 有时表示为 $x \mathcal{R} y$，但更常见的是我们使用一些特殊符号，例如 $\leq, \sim, \cong$ 或 $\equiv$，并写成例如 $x \sim y$ 来表示 $(x, y) \in \mathcal{R}$。以下是形式定义：
定义 2.1.3. 集合 $X$ 上的等价关系是 $X$ 上的一个关系 $\mathcal{R}$，具有以下性质：将 $(x, y) \in R$ 表示为 $x \sim y$，我们有
(i) 对于所有 $x \in X, x \sim x$。（$\sim$ 具有自反性。）
(ii) 对于所有 $x, y \in X$，如果 $x \sim y$ 则 $y \sim x$。（$\sim$ 具有对称性。）
(iii) 对于所有 $x, y, z \in X$，如果 $x \sim y$ 且 $y \sim z$ 则 $x \sim z$。（$\sim$ 具有传递性。）
这里 (i) 表明对角线 $\Delta_{X}=\{(x, x): x \in X\}$ 是 $\mathcal{R}$ 的一个子集。(ii) 表明集合 $\mathcal{R}$ 关于对角线是对称的，即 ${ }^{t} \mathcal{R}=\mathcal{R}$，其中 ${ }^{t} \mathcal{R}$ 是集合
然而，直接描述 (iii) 的几何意义并不简单。
示例 2.1.4. 以下是一些重要的等价关系示例：
(i) 相等关系。换句话说，$x \sim y \Longleftrightarrow x=y$。这里 $\mathcal{R}=\Delta_{X}$。
(ii) 对于所有 $x, y \in X$，关系 $x \sim y$。这里 $\mathcal{R}=X \times X$。
(iii) 所有平面三角形（或所有平面图形）集合上的全等关系；同样地，三角形的相似关系。
(iv) 设 $\ell_{1}=\overrightarrow{\mathbf{p}_{1} \mathbf{q}_{1}}$ 和 $\ell_{2}=\overrightarrow{\mathbf{p}_{2} \mathbf{q}_{2}}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的两个有向线段（即 $\ell_{i}$ 是从 $\mathbf{p}_{i}$ 开始到 $\mathbf{q}_{i}$ 结束的线段）。那么我们可以定义 $\ell_{1}$ 和 $\ell_{2}$ 是等价的，如果它们具有相同的大小和方向，或者等价地，如果它们定义相同的向量；这等同于要求 $\mathbf{q}_{1}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{q}_{2}-\mathbf{p}_{2}$。很容易验证（习题 1.12）这在 $\mathbb{R}^{n}$ 中的有向线段集合上定义了一个等价关系。
(v) 我们可以通过说存在从 $A$ 到 $B$ 的双射来定义两个集合 $A$ 和 $B$ 何时具有相同数量的元素。这是一个等价关系，前提是我们限制 $A$ 和 $B$ 是某个给定集合的子集。（我们不能仅仅将其定义为所有集合的“集合”上的等价关系，因为所有集合的“集合”太大了，不构成一个集合，否则会产生罗素悖论等逻辑悖论。）例如，我们可以为所有 $A, B \subseteq \mathbb{R}$ 定义此关系，即 $A, B \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$，实数的所有子集的集合。此陈述的内容如下：(1) 给定一个集合 $A, A \sim A$，即存在从 $A$ 到自身的双射（恒等函数 $\operatorname{Id}_{A}$）；(2) 如果 $A \sim B$，即存在从 $A$ 到 $B$ 的双射，例如 $f: A \rightarrow B$，那么存在从 $B$ 到 $A$ 的双射，事实上 $f^{-1}$ 存在，因为 $f$ 是双射，并且 $f^{-1}: B \rightarrow A$ 是从 $B$ 到 $A$ 的双射，因为 $f$ 是其逆；(3) 如果 $A \sim B$ 且 $B \sim C$，则 $A \sim C$。事实上，给定从 $A$ 到 $B$ 的双射 $f$，以及从 $B$ 到 $C$ 的双射 $g$，那么我们已经看到复合 $g \circ f$ 是从 $A$ 到 $C$ 的双射。
(vi) 考虑整数上的以下等价关系：$n$ 和 $m$ 是等价的（写为 $n \equiv m(\bmod 2)$），如果它们都是偶数或都是奇数。另一种说法是 $n \equiv m(\bmod 2)$ 当且仅当 $n-m$ 是偶数，当且仅当 $2$ 整除 $n-m$。更一般地，如果 $n \in \mathbb{N}$ 是一个固定的自然数（模数），并且 $a, b \in \mathbb{Z}$，我们定义
其中记号 $d \mid k$，对于整数 $d, k$，表示 $d$ 整除 $k$。这读作“ $a$ 同余于 $b$ 模 $n$”。这是一个等价关系：显然 $a \equiv a(\bmod n)$，因为 $n$ 总是整除 $a-a=0$。因此 $\equiv(\bmod n)$ 具有自反性。接下来，如果 $a \equiv b(\bmod n)$，则 $n \mid(b-a)$，因此 $n \mid(a-b)=-(b-a)$。因此 $\equiv(\bmod n)$ 具有对称性。最后，要证明 $\equiv(\bmod n)$ 具有传递性，假设 $a \equiv b(\bmod n)$ 并且 $b \equiv c(\bmod n)$。那么根据定义，$n \mid(b-a)$ 并且 $n \mid(c-b)$，因此
则 $a \equiv c(\bmod n)$，因此 $\equiv(\bmod n)$ 具有传递性，从而是一个等价关系。
(vii) 对于一个相关的例子，定义 $\mathbb{R}$ 上的以下关系 $\equiv(\bmod 2 \pi)$：给定两个实数，我们暗示性地写为 $\theta_{1}$ 和 $\theta_{2}$，$\theta_{1} \equiv \theta_{2}(\bmod 2 \pi)$（读作“$\theta_{1}$ 同余于 $\theta_{2}$ 模 $2 \pi$”）$\Longleftrightarrow \theta_{2}-\theta_{1}=2 k \pi$ 对于某个整数 $k$。类似于上述的论证表明 $\equiv(\bmod 2 \pi)$ 是一个等价关系。这里直观上 $\theta_{1} \equiv \theta_{2} (\bmod 2 \pi)$ 如果 $\theta_{1}$ 和 $\theta_{2}$ “定义相同的角”。
(viii) 对于 $X=\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$，定义 $(a, b) \sim(c, d)$ 如果 $a d=b c$。这是一个等价关系：首先，$(a, b) \sim(a, b)$ 因为 $a b=b a$。接下来，如果 $(a, b) \sim(c, d)$，即如果 $a d=b c$，那么 $(c, d) \sim(a, b)$ 因为 $c b=a d$。最后，假设 $(a, b) \sim(c, d)$ 并且 $(c, d) \sim(e, f)$。因此 $a d=b c$ 和 $c f=d e$。那么
由于 $d \neq 0$，我们可以消去它得到 $a f=b e$，从而 $(a, b) \sim(e, f)$。因此 $\sim$ 具有传递性。
(ix) 假设 $X$ 是一个集合，$f: X \rightarrow Y$ 是从 $X$ 到某个集合 $Y$ 的一个固定函数。定义 $a \sim b$ 如果 $f(a)=f(b)$。$\sim$ 是一个等价关系的事实，遵循 $Y$ 上相等的基本性质（习题 1.14）。
示例 2.1.5. 以下是一些不属于等价关系的关系。
(i) 函数 $f: X \rightarrow X$ 的图像仅当它是恒等式时才是一个等价关系，即图像是对角线。（这是因为对于每个 $x \in X$，我们必须在图像中包含 $(x, x)$。）
(ii) 序关系通常不是等价关系，例如在 $X=\mathbb{R}$ 上：$\leq$ 不具有对称性，而 $<$ 既不具有自反性也不具有对称性。
(iii) 对于 $X=\{$ 人类 $\}$，关系 $x$ 爱 $y$ 既不具有自反性、不具有对称性也不具有传递性。
警告：关系 $\mathcal{R}$ 是 $X \times X$ 的一个子集，但等价关系是关于 $X$ 的元素而言的，而不是关于 $X$ 的序对而言的。序对部分之所以出现，是因为关系 $\mathcal{R}$ 是所有满足 $x \sim y$ 的 $(x, y)$ 的集合。上述等价关系的两个例子涉及的集合 $X$（即 $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}$ 或 $\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$）本身恰好是序对的集合，这是一个偶然（但令人困惑）的情况。
等价关系是一种将集合 $X$ 划分为不相交子集的并集的方法：
定义 2.2.1. 给定一个等价关系 $\sim$ 和 $x \in X$，定义 $[x]$，即 $x$ 的等价类，如下：
因此我们有 $x \in[x]$，因为 $x \sim x$。特别是，一个等价类绝不为空。给定一个等价类 $[x]$，$[x]$ 的一个代表元是 $[x]$ 的一个元素，换句话说，它是一个满足 $y \sim x$ 的 $y \in X$。因此 $x$ 总是 $[x]$ 的一个代表元。（有些人用记号 $\bar{x}$ 表示 $[x]$。）
示例 2.2.2. 以下是我们的等价关系示例的等价类：
(i) 如果 $\sim$ 是相等关系 $=$, 那么 $[x]=\{x\}$。
(ii) 如果 $\sim$ 对应于 $\mathcal{R}=X \times X$，换句话说，对于所有 $x, y \in X$， $x \sim y$，那么对于每个 $x \in X$， $[x]=X$。
(iii) 如果 $\sim$ 是三角形的全等关系 $\cong$，那么三角形 $T$ 的等价类是所有与 $T$ 全等的三角形的集合。这有时称为全等类。
(iv) 有向线段的等价类在物理学中称为向量。
(v) 对于关系 $A \sim B \Longleftrightarrow$ 存在从 $A$ 到 $B$ 的双射，一个等价类称为一个基数。
(vi) 对于 $\mathbb{Z}$ 上的等价关系 $\equiv(\bmod 2)$，有两个等价类，$[0]$，即偶数的集合，和 $[1]$，即奇数的集合。更一般地，给定一个正整数 $n$，$\equiv(\bmod n)$ 的等价类对应于除以 $n$ 后的所有可能余数，换句话说，有 $n$ 个等价类，我们可以写成 $[0],[1], \ldots,[n-1]$，并且，给定 $a \in \mathbb{Z}$ 且 $0 \leq a \leq n-1$，整数 $k \in[a] \Longleftrightarrow k$ 除以 $n$ 的余数是 $a$，即存在一个整数 $q$ 使得 $k=n q+a$。我们将在后面更详细地描述这个过程。在这种情况下，$\equiv(\bmod n)$ 的一个等价类通常称为模 $n$ 同余类。如果我们要强调设置中的模数 $n$，我们有时用 $[a]_{n}$ 表示模 $n$ 同余类。
(vii) 如前所述，我们将 $\equiv(\bmod 2 \pi)$ 的等价类视为角，并将其称为模 $2 \pi$ 同余类。
(viii) 对于 $(a, b) \in \mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 且 $(a, b) \sim(c, d) \Longleftrightarrow a d=b c$，一个等价类与一个有理数是同一个概念。在这种情况下，我们写 $[(a, b)]=a / b$。请注意，由 $f(a)=a / 1$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ 是单射，因为 $(a, 1) \sim(b, 1) \Longleftrightarrow a=b$。我们将 $\mathbb{Z}$ 与其图像 $f(\mathbb{Z}) \subseteq \mathbb{Q}$ 识别。例如，$0=0 / 1=[(0,1)]$，并且 $(a, b) \sim(0,1) \Longleftrightarrow a=0$。同样地，$1=1 / 1=[(1,1)]$，并且 $(a, b) \sim(1,1) \Longleftrightarrow a=b$（必然 $a, b \neq 0$）。
(ix) 给定一个函数 $f: X \rightarrow Y$ 和等价关系 $x \sim y$ 如果 $f(x)=f(y)$，则等价类是 $f$ 图像中 $z$ 的原像 $f^{-1}(z)$ 的集合。（为什么？）特别是，$[x]=f^{-1}(f(x))$。
在上述示例中，两个不相等的等价类是不相交的。事实上，这是一个普遍的性质：
命题 2.2.3. 设 $\sim$ 是集合 $X$ 上的等价关系，并设 $[x]$ 是 $x$ 的等价类。如果 $[x] \cap[y] \neq \emptyset$，则 $[x]=[y]$。因此，对于每个 $x \in X$， $x$ 恰好包含在一个等价类中。
证明。假设存在某个 $z \in[x] \cap[y]$。我们首先证明 $[x] \subseteq[y]$。根据定义，$z \sim x$ 且 $z \sim y$。利用 $\sim$ 的对称性，也有 $x \sim z$，因此 $x \sim y$。给定 $w \in[x]$，根据定义 $w \sim x$。由于 $x \sim y$，根据传递性 $w \sim y$。因此根据定义 $w \in[y]$，从而 $[x] \subseteq[y]$。然后由对称性得出 $[y] \subseteq[x]$（选择 $x$ 和选择 $y$ 没有特别之处），因此 $[x]=[y]$。
定义 2.2.4. 对于等价关系 $\sim$，我们用 $X / \sim$ 表示所有等价类的集合 $\{[x]: x \in X\}$。对于 $X=\mathbb{Z}$ 且 $\sim$ 等于 $\equiv(\bmod n)$，我们用 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 表示 $\mathbb{Z} / \sim$。对于 $X=\mathbb{R}$ 且 $\sim$ 等于 $\equiv(\bmod 2 \pi)$，我们用 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 表示 $\mathbb{R} / \sim$。
备注 2.2.5. 根据定义，$X / \sim$ 是幂集 $\mathcal{P}(X)$ 的一个子集，具有以下性质：$X$ 的两个位于 $X / \sim$ 中的子集要么相等，要么不相交（这是上述命题的陈述），并且 $X$ 的每个元素都位于 $X / \sim$ 中的某个（因此恰好一个）集合中。换句话说：$X$ 是等价类的不相交并集。我们也说 $X / \sim$ 中的子集是 $X$ 的一个划分。
我们也可以通过逆转这个过程来定义等价关系：假设 $X$ 是不相交子集的并集，换句话说，$\mathcal{I} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 使得对于每个 $x \in X$，恰好存在一个 $A \in \mathcal{I}$ 使得 $x \in A$。定义 $x \sim y$ 如果存在一个 $A \in \mathcal{I}$（必然是唯一的）使得 $x, y \in A$。那么我们可以验证 $\sim$ 是一个等价关系，使得 $X / \sim=\mathcal{I}$。
示例 2.2.6. 以下是我们某些示例中集合 $X / \sim$ 的描述：
(i) 如果 $\sim$ 是相等关系 $=$, 那么 $X /=$ 是集合 $\{\{x\}: x \in X\}$。当然，存在从 $X$ 到 $\{\{x\}: x \in X\}$ 的由 $f(x)=\{x\}$ 定义的明显双射。因此，我们将 $X /=$ 与 $X$ 识别。
(ii) 如果 $\sim$ 对应于 $\mathcal{R}=X \times X$，换句话说，对于所有 $x, y \in X$， $x \sim y$，那么 $X / \sim$ 是单元素集合 $\{X\}$。
(vi) 对于 $\mathbb{Z}$ 上的等价关系 $\equiv(\bmod n)$，
特别是，$\#(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})=n$。
(vii) 如前所述，我们将等价类的集合 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 视为角的集合。
(viii) 对于 $X=\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 和等价关系 $(a, b) \sim(c, d) \Longleftrightarrow a d=b c$，我们用 $\mathbb{Q}$ 表示所有等价类 $(\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})) / \sim$ 的集合。
定义 2.2.7. 存在一个自然满射函数 $\pi: X \rightarrow X / \sim$，通常称为投影，定义如下：对于所有 $x \in X$，
有时等价类可以有一个“最佳”代表元。对于定位向量，我们通常将 $[\overrightarrow{\mathbf{p q}}]$ 的最佳代表元视为位于原点的唯一 $\overrightarrow{\mathbf{0 r}} \in[\overrightarrow{\mathbf{p q}}]$。对于另一个例子，对于有理数 $a / b$，一个好的代表元选择是取 $a / b$ 使得 $b>0$ 且尽可能小（或等价地，使得 $a$ 和 $b$ 没有公因数）。对于 $\mathbb{Z}$ 上的关系 $\equiv(\bmod 2)$，有两个等价类，偶数和奇数，一个明显的选择是取 $0$ 作为偶数等价类的代表元，取 $1$ 作为奇数等价类的代表元。更一般地，如我们将看到的，对于 $\equiv(\bmod n)$，每个等价类 $[a]$ 都有一个唯一的代表元 $k$ 满足 $0 \leq k \leq n-1$。对于 $\mathbb{R}$ 上的等价关系 $\equiv(\bmod 2 \pi)$，通常使用满足 $0 \leq \theta_{0}<2 \pi$ 的 $[\theta]$ 的唯一代表元 $\theta_{0}$。然而，对于一般的等价关系，并不总是能以自然的方式挑选出好的代表元。
备注 2.2.8. 对于每个等价类 $[x] \in X / \sim$，选择一个代表元 $y \in[x]$，等同于一个函数 $s:(X / \sim) \rightarrow X$，使得对于所有 $[x] \in X / \sim, [s([x])]=[x]$。等价地，对于所有 $[x] \in X / \sim, \pi\left(s([x])=[x]\right.$，即 $\pi \circ s=\operatorname{Id}_{X \mu}$，或者换句话说 $s$ 是 $\pi$ 的一个右逆。这样的右逆称为 $\pi$ 的一个截面。
我们经常希望定义从等价类集合出发的函数，即形式为 $f: X / \sim \rightarrow Y$ 的函数。同样，我们希望在等价类集合 $X / \sim$ 上定义诸如“加法”或“乘法”之类的运算。有一个通用的程序可以做到这一点：
(i) 从函数 $F: X \rightarrow Y$ 开始并定义：$f([x])=F(x)$。换句话说，我们选择 $[x]$ 中的一个代表元 $x$，并将 $f([x])$ 定义为 $F$ 在 $x$ 上的值。这称为“在代表元上定义函数 $f$”。
(ii) 要证明这个过程实际上在 $X / \sim$ 上给出了一个函数 $f$，我们必须证明，如果我们选择了另一个代表元 $x^{\prime} \in[x]$，那么 $F\left(x^{\prime}\right)=F(x)$，或者等价地 $x \sim x^{\prime} \Longrightarrow F(x)=F\left(x^{\prime}\right)$。等价地，对于每个 $x \in X$，函数 $F$ 在等价类 $[x]$ 上是常数。这称为“证明函数 $f$ 定义良好”。我们说函数 $F$ 诱导了函数 $f$。在这种情况下，我们有：$F=f \circ \pi$。
例如，如果 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 是两个全等三角形，那么 $\operatorname{area}\left(T_{1}\right)=\operatorname{area}\left(T_{2}\right)$，所以面积是在全等三角形等价类上定义良好的函数。同样，如果 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}$ 是两个等价的定位向量，那么长度 $\left\|\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}\right\|$ 和 $\left\|\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}\right\|$ 相等，因此长度是在 $\mathbb{R}^{n}$ 中所有向量集合上定义良好的函数。同样，函数 $F(\overrightarrow{\mathbf{p q}})=\mathbf{q}-\mathbf{p}$ 诱导了在定位向量等价类集合上的一个定义良好函数，这本质上是根据定义。它的几何意义是什么？另一方面，面积对于相似三角形来说不是一个定义良好函数：如果 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 是相似的，通常情况下 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 的面积不相等。对于定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$，将定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$ 映射到其起始点 $\mathbf{p}$ 的函数在定位向量等价类上也不是定义良好的。另一方面，将定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$ 映射到与 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$ 等价的起始点为 $\mathbf{0}$ 的唯一定位向量的终点 $\mathbf{r}$ 的函数是定义良好的；这是将 $\mathbb{R}^{n}$ 中的定位向量与 $\mathbb{R}^{n}$ 的元素识别的通常方法。
对于另一个例子，对于 $X=\mathbb{R}$ 和 $\equiv(\bmod 2 \pi)$，我们可以定义一个角 $[\theta]$ 的余弦，即我们取由 $F(\theta)=\cos \theta$ 定义的函数 $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。然后我们定义 $f([\theta])=F(\theta)$。如果 $\theta^{\prime} \in[\theta]$，即如果 $\theta^{\prime}$ 和 $\theta$ 是 $[\theta]$ 的两个不同代表元，那么 $\theta^{\prime}=\theta+2 k \pi$，因此 $\cos \left(\theta^{\prime}\right)=\cos \theta$。因此 $\cos$ 在 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上是定义良好的，换句话说，我们可以将 $\cos \theta$ 视为一个函数 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$。注意，如果我们选择函数 $F(\theta)=\theta$，或 $F(\theta)=\theta^{2}$，或 $F(\theta)=e^{\theta}$，那么相应的函数就不会定义良好。例如，对于 $F(\theta)=\theta$，只要 $k \neq 0$，函数 $F$ 在 $[\theta]$ 的两个不同代表元 $\theta$ 和 $\theta+2 k \pi$ 上的值不同，因为 $F(\theta)=\theta \neq F(\theta+2 k \pi)=\theta+2 k \pi$。事实上，$F$ 诱导一个在 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上定义良好函数的条件正是 $F$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数。因此 $\sin$ 也定义了一个函数 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$。将这两个函数结合起来，我们得到一个函数 $f: \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$，它由函数 $F(\theta)=(\cos \theta, \sin \theta)$ 诱导。显然，$f(\theta)$ 是单位圆上的一点，并且单位圆上的每一点都具有这种形式。三角学的一个基本事实是：
命题 2.3.1. 由 $F(\theta)=(\cos \theta, \sin \theta)$ 定义的函数 $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ 诱导了从 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{R}^{2}$ 中单位圆的双射。
通常，$Y=X^{\prime} / \approx$ 也是一个等价类空间，即 $X^{\prime}$ 是一个集合，并且 $\approx$ 是 $X^{\prime}$ 上的等价关系。在我们的许多例子中，事实上 $X^{\prime}=X$ 且 $\approx$ 等于 $\sim$。在这种情况下，我们使用上述 (i) 和 (ii) 的一个稍有不同的变体：
(i) 从函数 $F: X \rightarrow X^{\prime}$ 开始并定义：$f([x])=[F(x)]$。换句话说，我们选择 $[x]$ 中的一个代表元 $x$，并将 $f([x])$ 定义为包含 $F(x)$ 的等价类（对于 $\approx$）。
(ii) 要证明函数 $f$ 定义良好，我们必须证明，如果我们选择了另一个代表元 $y \in[x]$，那么 $[F(y)]=[F(x)]$，或者等价地 $x \sim y \Longrightarrow F(x) \approx F(y)$。
例如，你可以验证函数 $F(\theta)=2 \theta$ 诱导了一个函数 $f: \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$。（更精确的陈述见习题 1.20。）
作为另一个应用，给定 $n, m \in \mathbb{N}$，可以证明恒等函数 $F: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 诱导了一个定义良好函数 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \Longleftrightarrow m \mid n$（习题 1.19）。
有一个重要的变体，我们希望定义一个函数 $f:(X / \sim) \times(X / \sim) \rightarrow X / \sim$。如我们将看到的，这样的函数称为二元运算。例如，取
我们定义加法和乘法为从 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{Q}$ 的函数，如下：
这意味着：要定义和 $[(a, b)]+[(c, d)]$，我们选择 $[(a, b)]$ 中的两个代表元 $(a, b)$ 和 $[(c, d)]$ 中的代表元 $(c, d)$，并尝试将和定义为：$[(a, b)]+[(c, d)]=[(a d+b c, b d)]$。为了使其有意义，我们必须证明以下内容：
命题 2.3.2. 等价类 $[(a d+b c, b d)]$ 和 $[(a c, b d)]$ 与代表元 $(a, b)$ 和 $(c, d)$ 的选择无关。等价地
证明。为了证明第一个陈述，使用传递性，我们可以将计算分为两个步骤：首先证明 $(a, b) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$，然后 $(a, b)+(c, d) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)+(c, d)$，并通过类似的计算证明，如果 $(c, d) \sim\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)$，那么 $\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)+(c, d) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)+\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)$。例如，假设 $a b^{\prime}=a^{\prime} b$。要证明 $(a d+b c, b d) \sim\left(a^{\prime} d+b^{\prime} c, b^{\prime} d\right)$，我们必须检查
然而左侧是 $d\left(b^{\prime} a d+b^{\prime} b c\right)=d\left(a^{\prime} b d+b^{\prime} b c\right)=(b d)\left(a^{\prime} d+b^{\prime} c\right)$，所以 $(a, b)+(c, d) \sim \left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)+(c, d)$。这证明了第一步，第二步是类似的。
一个更简单的计算表明，如果 $(a, b) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$ 并且 $(a, b) \sim\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$，那么 $(a, b) \cdot(c, d) \sim \left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \cdot\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)$。事实上，我们有 $a b^{\prime}=a^{\prime} b$ 和 $c d^{\prime}=d^{\prime} c$，并且必须检查 $(a c, b d) \sim\left(a^{\prime} c^{\prime}, b^{\prime} d^{\prime}\right)$。但是
因此 $(a c, b d) \sim\left(a^{\prime} c^{\prime}, b^{\prime} d^{\prime}\right)$ 成立。
接下来我们收集 $\mathbb{Q}$ 上加法和乘法的一些基本性质。证明是直接的计算，将省略。
命题 2.3.3. 在 $\mathbb{Q}=(\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})) / \sim$ 以及如上定义的加法和乘法下，
(i) 将整数 $a$ 与 $a / 1$ 识别，我们有
因此，将两个整数 $a, b$ 视为 $\mathbb{Q}$ 的元素时的加法与将 $a$ 和 $b$ 视为 $\mathbb{Z}$ 的元素时的加法相同。对于乘法也有类似的陈述：
(ii) 有理数的加法和乘法具有所有通常的性质（交换律、结合律、乘法对加法的分配律）。
(iii) 存在加法恒等元 $0=0 / 1$，并且 $a / b$ 的加法逆元是 $(-a) / b=a /(-b)$。
(iv) 存在乘法恒等元 $1=1 / 1$。如果 $a / b \neq 0$，则 $(b, a)$ 是 $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\})$ 的一个元素，并且 $(a / b)(b / a)=a b / a b=1$。因此每个非零元素都有一个乘法逆元。特别是，对于 $b \neq 0, 1 / b=b^{-1}$ 是 $b$ 的乘法逆元。因此 $a / b=(a / 1)(1 / b)$，即 $\mathbb{Q}$ 的每个元素都是两个整数的比值。
两个有理数 $a / b$ 和 $c / d$ 的加法通常按以下方式进行：如果 $a / b$ 和 $c / d$ 是最简形式，我们找到一个公分母 $e=b n=d m$（通常是 $b$ 和 $d$ 的最小公倍数），并写成
然而请注意，即使 $a / b$ 和 $c / d$ 是最简形式，并且 $e$ 是 $b$ 和 $d$ 的最小公倍数，也不能保证 $(a n+c m) / e$ 仍将是最简形式。
以下是一些更多的例子：
命题 2.3.4. 对于 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，换句话说对于 $X=\mathbb{Z}$ 和等价关系 $\equiv (\bmod n)$，加法和乘法是定义良好函数，从 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})$ 到 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，其中我们定义 $[a]+[b]=[a+b]$ 和 $[a][b]=[a b]$。
证明。假设 $a_{1} \equiv a_{2}(\bmod n)$ 并且 $b_{1} \equiv b_{2}(\bmod n)$。那么，根据定义，存在整数 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 使得 $a_{1}-a_{2}=k_{1} n$ 且 $b_{1}-b_{2}=k_{2} n$。因此
所以 $a_{1}+b_{1} \equiv a_{2}+b_{2}(\bmod n)$。同样地，使用通常的加减一个项的技巧，
因此 $a_{1} b_{1} \equiv a_{2} b_{2}(\bmod n)$。
警告：$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 不是 $\mathbb{Z}$ 的子集，并且 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 上的加法与 $\mathbb{Z}$ 中的加法绝不相同。例如，通过选择“最佳”代表元 $0, \ldots, n-1$，我们可以将 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 与子集 $\{0, \ldots, n-1\} \subseteq \mathbb{Z}$ 识别。然而，模 $n$ 加法（我们暂时用 $+_{n}$ 来区别于普通加法）将由复杂的公式给出
乘法将更难描述。
尽管如此，当我们在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中进行计算时，我们使用 $0$ 到 $n-1$ 之间的代表元来描述结果。例如：在 $\mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z}$ 中，$[9]+[5]=[1],[9] \cdot[5]=[6]$。
一个非常相似的论证表明以下内容：
命题 2.3.5. 对于 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$，换句话说对于 $X=\mathbb{R}$ 和等价关系 $\equiv (\bmod 2 \pi)$，加法是定义良好函数，从 $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}) \times(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})$ 到 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$。
与 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 一样，$\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 不是 $\mathbb{R}$ 的子集，并且 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上的加法与 $\mathbb{R}$ 中的加法不同。我们可以（有时也确实如此）将 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 与半开区间 $[0,2 \pi) \subseteq \mathbb{R}$ 识别。然而，模 $2 \pi \mathbb{Z}$ 加法（我们暂时用 $+_{\text {angle }}$ 来区别于普通加法）将由更复杂的公式给出
万一上述内容让您对何时可以在等价类上定义运算过于乐观，我们还要指出乘法对于 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 不是定义良好的，换句话说，我们可以加角，但通常不可能乘角。具体来说，如果 $t \in \mathbb{R}$ 但 $t \notin \mathbb{Z}$，那么 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上的乘以 $t$ 的运算不是定义良好的，除非 $t$ 是一个整数（习题 1.20）。类似的论证表明，通常，函数 $F\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)=\theta_{1} \theta_{2}$ 在某种意义上不是周期函数，即通常情况下并非对于所有 $\theta_{1}, \theta_{2} \in \mathbb{R}$ 和 $k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$，$\left(\theta_{1}+2 k_{1} \pi\right)\left(\theta_{2}+2 k_{2} \pi\right)$ 与 $\theta_{1} \theta_{2}$ 相差整数倍的 $2 \pi$。
最后一点，上述例子（对于 $\mathbb{Q}, \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$）表明，即使我们已经挑选出自然的候选者，处理等价类的“最佳”代表元也常常很困难。这突出了等价类在数学中是一个非常自然和强大的工具的原因之一。然而，在某些情况下（例如向量加法），使用代表元更简单。因此，给定两个向量 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}$，如果我们要定义它们的向量和，更自然的做法是写 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}} \sim \overrightarrow{\mathbf{0}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}} \sim \overrightarrow{\mathbf{0 r}_{\mathbf{2}}}$，然后首先将向量和定义为 $\overrightarrow{\mathbf{O r}}$ 的等价类，其中 $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{2}$ 是通常的向量和，然后检查这是否满足平行四边形法则。类似的备注也适用于标量乘法。
3.1. 自然数。自然数 $\mathbb{N}$ 的基本性质是什么？首先，我们需要数 $1$。其次，给定一个数 $n \in \mathbb{N}$，我们总能找到一个“下一个”数，我们将其写为 $s(n)$ 并将其视为 $n$ 的后继。请注意，$1$ 不是任何数的后继。