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以便 $a_{1}+b_{1} \equiv a_{2}+b_{2}(\bmod n)$。同样，使用加减项的常用技巧，
因此 $a_{1} b_{1} \equiv a_{2} b_{2}(\bmod n)$。
警告：$\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 不是 $\mathbb{Z}$ 的子集，并且 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 上的加法与 $\mathbb{Z}$ 中的加法绝对不同。例如，通过选择“最佳”代表 $0, \ldots, n-1$，我们可以将 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 标识为子集 $\{0, \ldots, n-1\} \subseteq \mathbb{Z}$。然而，模 $n$ 加法（我们暂时用 $+_{n}$ 表示以区别于普通加法）将由复杂的公式给出
乘法描述起来会更加复杂。
尽管如此，当我们在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中进行计算时，我们使用 0 到 $n-1$ 之间的代表来描述结果。例如：在 $\mathbb{Z} / 13 \mathbb{Z}$ 中，$[9]+[5]=[1]$，$[9] \cdot[5]=[6]$。
一个非常相似的论证表明了以下内容：
命题 2.3.5. 对于 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$，换句话说，对于 $X=\mathbb{R}$ 和等价关系 $\equiv (\bmod 2 \pi)$，加法是从 $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}) \times(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})$ 到 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 的一个良定义函数。
与 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 一样，$\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 不是 $\mathbb{R}$ 的子集，并且 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上的加法与 $\mathbb{R}$ 中的加法不同。我们可以（有时也确实）将 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 标识为半开区间 $[0,2 \pi) \subseteq \mathbb{R}$。然而，模 $2 \pi \mathbb{Z}$ 加法（我们暂时用 $+_{\text {angle }}$ 表示以区别于普通加法）将由更复杂的公式给出
如果上述内容让你对何时可以在等价类上定义运算过于乐观，我们还要指出，乘法对于 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 来说并不是良定义的，换句话说，角度可以相加，但通常不能相乘。具体来说，如果 $t \in \mathbb{R}$ 但 $t \notin \mathbb{Z}$，那么除非 $t$ 是一个整数（练习 1.20），否则 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上的 $t$ 乘法不是良定义的。一个类似的论证表明，通常情况下，函数 $F\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)=\theta_{1} \theta_{2}$ 不是周期性的，即通常不满足对于所有 $\theta_{1}, \theta_{2} \in \mathbb{R}$ 和 $k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Z}$，$\left(\theta_{1}+2 k_{1} \pi\right)\left(\theta_{2}+2 k_{2} \pi\right)$ 与 $\theta_{1} \theta_{2}$ 相差 $2 \pi$ 的整数倍。
最后，上述例子（对于 $\mathbb{Q}, \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$）表明，即使我们已经选出了等价类的自然候选者，也很难使用“最佳”代表来工作。这强调了等价类是数学中一个非常自然和强大的工具的原因之一。然而，在某些情况下（例如向量加法），使用代表更容易。因此，给定两个向量 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}$，如果我们想定义它们的向量和，更自然的做法是写 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}} \sim \overrightarrow{\mathbf{0}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}} \sim \overrightarrow{\mathbf{0 r}_{\mathbf{2}}}$，然后首先将向量和定义为 $\overrightarrow{\mathbf{O r}}$ 的等价类，其中 $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{2}$ 是通常的向量和，然后检查这是否满足平行四边形法则。类似的评论也适用于标量乘法。
自然数 $\mathbb{N}$ 的基本性质是什么？首先，我们需要数 1。其次，给定一个数 $n \in \mathbb{N}$，我们总能找到一个“下一个”数，我们将其写为 $s(n)$ 并将其视为 $n$ 的后继。请注意，1 不是任何数的后继。
最后，我们通过取 1 及其所有后继来穷尽所有自然数。我们可以通过以下方式总结这些性质：存在一个函数 $s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$（后继函数）具有以下性质：
(1) 函数 $s$ 是单射的。换句话说，如果 $s(n)=s(m)$，那么 $n=m$。
(2) 存在一个唯一的元素 $1 \in \mathbb{N}$，使得 1 不在 $s$ 的像中，换句话说，$s$ 的像是 $\mathbb{N}-\{1\}$。
(3) 设 $X$ 是 $\mathbb{N}$ 的一个子集，具有以下性质：$1 \in X$，并且，如果 $n \in X$，那么 $s(n) \in X$。则 $X=\mathbb{N}$。
这里 (3) 被称为数学归纳法原理。它通常按以下方式使用：设 $P(n)$ 是关于自然数的某个命题，并假设 $P(1)$ 为真且 $P(n)$ 为真 $\Longrightarrow P(n+1)$ 为真。那么 $P(n)$ 对于所有 $n \in \mathbb{N}$ 都为真。
现在的想法是，构造了 $\mathbb{N}$ 和函数 $s$ 之后，我们可以通过 $s$（归纳地）定义所有其他关于 $\mathbb{N}$ 的感兴趣的东西。
加法。将 $n+1$（自然地）定义为 $s(n)$。现在我们可以归纳地定义加法：假设 $n+m$ 已经定义。然后将 $n+s(m)$ 定义为 $s(n+m)$。换句话说，我们将 $n+(m+1)$ 定义为 $(n+m)+1$，因此结合律的部分形式内置于定义中。然后，一些相当繁琐的归纳论证表明加法是结合的和交换的，并且消去律成立：$n_{1}+m=n_{2}+m \Longrightarrow n_{1}=n_{2}$。然而，减法仅在某些情况下定义：$n-m$ 仅在存在 $p \in \mathbb{N}$ 使得 $n=m+p$ 时定义，即当 $n>m$ 时（见下文关于序的讨论），在这种情况下 $n-m=p$。
乘法。自然的归纳定义如下：对于所有 $n \in \mathbb{N}$，$n \cdot 1=n$，并且 $n \cdot(m+1)=(n \cdot m)+n$。根据这个定义，乘法是交换和结合的，并且对加法有分配律。还有可除性：对于 $a, n \in \mathbb{N}$，如果存在一个 $d \in \mathbb{N}$ 使得 $n=a d$，即 $n$ 是 $k$ 的倍数，则我们说 $a$ 除 $n$，记作 $a \mid n$。请注意，对于每个 $n \in \mathbb{N}$，$1 \mid n$。然而，通常一个自然数很难除另一个自然数。例如，$n \mid 1 \Longleftrightarrow n=1$。
指数。定义 $a^{1}=a$ 和 $a^{n+1}=a^{n} \cdot a$。根据这个定义，我们有常用的指数规则：
证明同样通过归纳法。
阶乘。阶乘也可以归纳地定义：设置 $1!=1$ 和
序。我们如下定义 $\leq$：如果 $n=m$ 或存在某个 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $m=n+k$，则 $n \leq m$。因此，例如，对于每个 $n \in \mathbb{N}$，$1 \leq n$，并且对于所有自然数 $k, n$，$n \leq n k$，当且仅当 $k=1$ 时相等。然后可以证明：
命题 3.1.1 (三歧性)。如果 $n, m \in \mathbb{N}$，那么 $n \leq m$ 或 $m \leq n$。此外，如果 $n \leq m$ 且 $m \leq n$，那么 $m=n$。
数学归纳法与 $\mathbb{N}$ 的以下序性质密切相关：
命题 3.1.2 (良序原理)。设 $A$ 是 $\mathbb{N}$ 的一个非空子集。那么 $A$ 有一个最小元素，即一个元素 $x \in A$ 使得对于每个 $a \in A$，$x \leq a$。
我们说 $\mathbb{N}$ 是良序集。请注意，$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 不是良序集。例如，取 $A=\mathbb{N}$，1 是 $\mathbb{N}$ 的最小元素，但 $\mathbb{Z}$ 没有最小元素。
我们还有强归纳法原理（或完全归纳法）：
命题 3.1.3 (完全归纳法原理)。设 $A \subseteq \mathbb{N}$，并假设：
(1) $1 \in A$；
(2) 对于所有 $n \in \mathbb{N}$，如果对于所有 $k \leq n$，都有 $k \in A$，那么 $n+1 \in A$。
那么 $A=\mathbb{N}$。
完全归纳法原理有一种关于自然数命题 $P(n)$ 的重述，类似于普通数学归纳法原理。对我们来说，完全归纳法原理最重要的应用示例与素数的因子分解有关。回顾以下定义：
定义 3.1.4. 设 $p \in \mathbb{N}$。则 $p$ 是素数或质数，如果 $p \neq 1$ 并且对于所有自然数 $n, m$，如果 $p=n m$，那么 $n=1$（因此 $m=p$）或 $m=1$（因此 $n=p$）。
定理 3.1.5. 对于每个 $n \in \mathbb{N}$，要么 $n=1$，要么 $n=p_{1} \cdots p_{r}$ 是素数的乘积。这里，允许 $n=p$ 本身是素数的情况，这对应于 $r=1$ 的情况，即 $n$ 是一个素数的“乘积”。
证明。定义 $\mathbb{N}$ 的子集 $A$ 为
显然 $1 \in A$。给定 $n \in \mathbb{N}, n>1$，假设我们已经证明，对于每个 $k \leq n$， $k$ 是素数的乘积。对于归纳步骤，我们必须证明 $n+1$ 是素数的乘积。如果 $n+1$ 本身是素数，我们已经完成：取 $r=1$ 和 $p_{1}=n+1$。否则，$n+1=k_{1} k_{2}$，其中 $1<k_{i} \leq n$。那么根据归纳假设，$k_{1}$ 和 $k_{2}$ 都是素数的乘积。因此，$n+1$ 也是。因此，如果对于所有 $k \leq n$，都有 $k \in A$，那么 $n+1 \in A$，所以 $A=\mathbb{N}$。由此可知，每个 $n \in \mathbb{N}$ 要么是 1，要么是素数的乘积。
我们只对这些中的每一个做简要评论。
整数：整数集 $\mathbb{Z}$ 是通过将 0 和 $-n, n \in \mathbb{N}$ 添加到自然数集而获得的。我们将逆元扩展到所有 $\mathbb{Z}$：$-(-n)=n$。两个负整数通过规则 $(-n)+(-m)=-(n+m)$ 相加，并且对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$0+n=n+0=n$。我们按照以下方式相加一个正整数和一个负整数：
我们通过规则 $(-n) m=n(-m)=-n m$ 和 $(-n)(-m)=n m$ 来乘整数。特别地，我们有规则 $(-1)(-1)=1$。根据这些规则，加法和乘法是结合和交换的，乘法对加法有分配律，存在加法单位元 0 和加法逆元，并且存在乘法单位元 1。然而，只有 $\pm 1$ 具有乘法逆元。因此可除性对于整数来说很有趣：与自然数一样，给定 $k, n \in \mathbb{Z}$，如果存在一个整数 $d$ 使得 $k d=n$，即 $n$ 是 $k$ 的倍数，则我们说 $k$ 除 $n$，记作 $k \mid n$。因此，对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$1 \mid n$ 和 $n \mid 0$。然而，$0 \mid n \Longleftrightarrow n=0$，并且 $n \mid 1 \Longleftrightarrow n= \pm 1$。
有理数：有理数集 $\mathbb{Q}$ 可以被认为是“分数” $a / b$ 的集合，其中 $a, b \in \mathbb{Z}$ 且 $b \neq 0$。这里两个分数 $a / b$ 和 $c / d$ 相等 $\Longleftrightarrow a d=b c$。因此 $\mathbb{Q}=(\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})) / \sim$，其中 $\sim$ 是前面定义的等价关系。我们将整数与 $\mathbb{Q}$ 的一个子集标识，通过将 $n \in \mathbb{Z}$ 与 $n / 1 \in \mathbb{Q}$ 标识。请注意，$n / 1=m / 1 \Longleftrightarrow n=m$。等价地，由 $f(a)=a / 1$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ 是单射的，我们将其图像 $f(\mathbb{Z}) \subseteq \mathbb{Q}$ 标识为 $\mathbb{Z}$。正如我们所见，有理数的加法和乘法由以下公式定义
它们满足通常的性质：加法和乘法是结合和交换的，乘法对加法有分配律，存在加法单位元 $0=0 / 1$。请注意，$n / m=0 / 1 \Longleftrightarrow n=0$。因此加法逆元也存在：$-(a / b)=(-a) / b$。此外，存在乘法单位元 $1=1 / 1$。这里 $a / b=1 / 1 \Longleftrightarrow a=b$。因此，如果 $a / b \neq 0$，或者等价地，由上述可知 $a \neq 0$，那么 $b / a$ 是 $a / b$ 的乘法逆元。请注意，$(n / 1)+(m / 1)=(n+m) / 1$ 并且 $(n / 1) \cdot(m / 1)=(n m) / 1$，因此将整数视为整数或有理数进行加法或乘法会得到相同的结果。由于每个非零有理数都可以除每个有理数，因此可除性对于有理数来说并不是一个有趣的概念。
实数：实数 $\mathbb{R}$ 的构造本质上不是代数的，所以我们在这里不讨论它，只是指出实数的加法和乘法是定义的并满足通常的性质。明确地，加法和乘法是结合和交换的，乘法对加法有分配律，存在加法单位元 0 和加法逆元，并且存在乘法单位元 1 和每个非零实数的乘法逆元。此外，还存在序关系 $\leq$，并且 $\mathbb{R}$ 在 $\leq$ 方面是完备的。一种说法是，每个具有上界的非空实数集合都有一个最小上界。
复数集 $\mathbb{C}$ 是通过向实数集添加 -1 的平方根 $i$ 形成的：$i^{2}=-1$。每个复数都可以唯一地写成 $a+b i$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。我们通常用单个字母如 $z$ 来表示复数 $a+b i$。在这种情况下，$a$ 是 $z$ 的实部，记作 $a=\operatorname{Re} z$，而 $b$ 是 $z$ 的虚部，记作 $b=\operatorname{Im} z$。我们将 $\mathbb{R}$ 视为 $\mathbb{C}$ 的子集，定义为
并将 $a$ 写成 $a+0 i$ 的替代。复数 $z$ 是实数当且仅当 $z=\operatorname{Re} z$，或等价地 $\operatorname{Im} z=0$。它是纯虚数当且仅当 $z=(\operatorname{Im} z) i$，或等价地 $\operatorname{Re} z=0$。我们将纯虚数 $0+b i$ 简单地写成 $b i$。通常，一个复数是其实部与虚部乘以 $i$ 的和，并且两个复数相等当且仅当它们具有相同的实部和虚部。从这个意义上说，一个复数与一个实数的有序对是同一回事，因此 $\mathbb{C}$ 被标识为 $\mathbb{R}^{2}$。
我们通过通常的向量加法来加复数：
我们通过 $i^{2}=-1$ 和通常的规则来乘复数：
例如，
这样，繁琐的计算表明加法和乘法是结合和交换的，乘法对加法有分配律，存在加法单位元 0 和加法逆元 $(-(a+b i)=(-a)+(-b) i)$，并且存在乘法单位元 1。还请注意 $\operatorname{Re}\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{Re} z_{1}+\operatorname{Re} z_{2}$，虚部也类似，但乘法没有相应的命题。加法和乘法都与 $\mathbb{C}$ 的子集 $\mathbb{R}$ 上的通常加法和乘法运算一致。
在我们讨论乘法逆元之前，让我们回顾一下复共轭：复数 $z=a+b i$ 的复共轭 $\bar{z}$ 定义为 $\bar{z}=a-b i$。从几何上讲，如果我们将复数 $a+b i$ 视为对应于向量 $(a, b)$，那么取复共轭与在 $x$ 轴上反射是相同的。很容易看出：
因此，$z$ 是实数当且仅当 $\bar{z}=z$，并且是纯虚数当且仅当 $\bar{z}=-z$。更重要的是，我们有以下可以通过直接计算检查的公式：
命题 3.3.1. 对于所有 $z=a+b i, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$ 以及所有 $n \in \mathbb{N}$，
因此，$z \cdot \bar{z} \geq 0$，并且 $z \cdot \bar{z}=0$ 当且仅当 $z=0$。
定义 3.3.2. 我们设置 $|z|=\sqrt{z \cdot \bar{z}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，即 $z$ 的绝对值、长度或模。因此，对于 $z=a+b i$，$|z|=\|(a, b)\|$ 是向量 $(a, b)$ 的通常长度。
例如，$|2+i|=\sqrt{5}$。直接计算给出：
命题 3.3.3. 对于所有 $z=a+b i, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$，
这里第二个等式源自
绝对值和加法之间的联系较弱；只有三角不等式
推论 3.3.4. 如果 $z \neq 0$，那么 $z$ 有一个乘法逆元：
此外 $\left|z^{-1}\right|=|\bar{z}| /|z|^{2}=|z| /|z|^{2}=|z|^{-1}$。最后，如果 $|z|=1$，那么 $z^{-1}=\bar{z}$。
因此可以将一个复数除以一个非零复数，通过乘以逆元。就实部和虚部而言，除法通过“分母有理化”的熟悉过程给出：如果 $c, d$ 中至少有一个非零，那么
例如，要将 $(2+i) /(3-2 i)$ 表示为 $a+b i$ 的形式，我们写
如果 $z \neq 0$，那么 $z^{n}$ 对于每个整数 $n$ 都是定义的，包括 $n \leq 0$ 的情况，并且公式 $\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}$ 仍然成立。这里我们像往常一样设置 $z^{0}=1$（但不要尝试定义 $0^{0}$），对于 $n<0$，我们定义 $z^{n}=\left(z^{-n}\right)^{-1}$。然后，如果我们想使用负指数，指数的通常法则对于 $z \in \mathbb{C}$ 且 $z \neq 0$ 成立：
定义 3.3.5. 设 $U(1)$ 为绝对值为 1 的复数集合，即
根据上述讨论，我们有以下内容：
命题 3.3.6. (i) 对于所有 $z_{1}, z_{2} \in U(1)$，$z_{1} z_{2} \in U(1)$，因为此时 $\left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{\mid}\right| z_{2} \mid= 1 \cdot 1=1$。换句话说，$U(1)$ 在乘法下是封闭的。
(ii) $1 \in U(1)$。
(iii) 如果 $z \in U(1)$，那么 $z \neq 0$ 且 $z^{-1} \in U(1)$，因为 $\left|z^{-1}\right|=|z|^{-1}=1^{-1}=1$。换句话说，$U(1)$ 在取逆元下是封闭的。
正如我们所见，我们可以将复数 $z=a+b i$ 与点 $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ 标识。从这个角度来看，复数与二维向量之间没有区别，我们有时将 $\mathbb{C}$ 称为复平面。绝对值 $|z|$ 此时与 $\|(a, b)\|$ 相同，复数的加法则对应于向量加法。然而，复数的乘法更为复杂。理解它的一种方法是使用极坐标：如果 $z=a+b i$，其中 $(a, b)$ 对应于极坐标 $(r, \theta)$，那么 $r=|z|$ 且 $a=r \cos \theta, b=r \sin \theta$。因此我们可以写 $z=r \cos \theta+(r \sin \theta) i=r(\cos \theta+i \sin \theta)$。这有时被称为 $z$ 的极形式；$r=|z|$，正如我们所见，被称为 $z$ 的模，$\theta$ 被称为辐角，有时写作 $\theta=\arg z$。请注意，辐角对于 $z=0$ 未定义，并且对于 $z \neq 0$，$\arg z$ 仅在 $2 \pi$ 的整数倍下是良定义的。更自然地，对于 $z \neq 0$，$\arg z$ 是 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 的一个元素。如果 $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$，那么显然 $r$ 是实数且非负，并且 $\cos \theta+i \sin \theta$ 是绝对值为 1 的复数；因此每个复数 $z$ 都是一个非负实数乘以绝对值为 1 的复数的乘积。如果 $z \neq 0$，那么这个乘积表达式是唯一的。（如果 $z=0$ 会发生什么？）例如，对于 $z=1+i$，$|1+i|=\sqrt{2}$ 且 $\arg (1+i)=\pi / 4+2 n \pi$，对于 $n \in \mathbb{Z}$。因此 $1+i$ 的极形式是
给定两个复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$，其中 $z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right)$ 和 $z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right)$，我们可以询问 $z_{1} z_{2}$ 的极形式：
命题 3.4.1. 如果 $z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right)$ 且 $z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right)$，那么
证明。我们计算：
这里我们使用了正弦和余弦的标准加法公式。
我们可以将该命题重述如下：首先，乘积的模是模的乘积（这正是我们已经见过的公式 $\left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$）。其次，公式中真正有趣的部分是辐角相加：
当然，这必须理解为可能加上 $2 \pi$ 的整数倍，或者理解为 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 中的加法。
人们通常将表达式 $\cos \theta+i \sin \theta$ 简写为 $\operatorname{cis} \theta$。但使用欧拉公式可能更自然
这样，我们看到三角学中那些看起来有些奇怪的余弦和正弦加法公式等价于指数的通常性质：
更一般地，我们可以将复指数函数定义如下：
定义 3.4.2. 设 $z=a+b i \in \mathbb{C}$。定义 $e^{z}=e^{a} e^{i b}=e^{a}(\cos b+i \sin b)$。可以验证
其意义是上述幂级数定义了一个复数的收敛级数，其极限是 $e^{a}(\cos b+i \sin b)$，并且 $e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}} e^{z_{2}}$。
复数乘法的作用有一个几何解释。如果 $z$ 是实数，则乘以 $z$ 只是普通的标量乘法，并具有通常的几何解释。如果 $z=\cos \theta+i \sin \theta$ 的绝对值为 1，则将复数 $x+i y$ 乘以 $z$ 与将点 $(x, y)$ 旋转角度 $\theta$ 相同。对于一般的 $z$，将复数 $x+i y$ 乘以 $z$ 是这两个操作的组合：先旋转角度 $\theta$，然后标量乘法乘以非负实数 $|z|$。
使用乘法公式，我们有以下定理（棣莫弗定理）：
命题 3.4.3. 对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，如果 $z \neq 0$ 具有极形式 $r(\cos \theta+i \sin \theta)$，那么
证明。对于 $n>0$，命题 $z^{n}=r^{n}(\cos n \theta+i \sin n \theta)$ 很容易由命题 3.4.1 和归纳法（包括 $z=0$ 的情况）得出。对于 $n=0$，它只是对于 $z \neq 0$，$z^{0}=1$ 的命题。对于 $n=-1$ 和 $z \neq 0$，我们有
由此很容易验证，对于 $z \neq 0$，该公式适用于所有整数 $n$。
我们可以使用棣莫弗定理来寻找复数的幂和根。例如，我们已经看到 $1+i=\sqrt{2}(\cos (\pi / 4)+i \sin (\pi / 4))$。因此
棣莫弗定理可以通过二项式定理生成 $\sin n \theta$ 和 $\cos n \theta$ 的恒等式。例如，
等价实部和虚部，我们看到 $\cos 3 \theta=\cos ^{3} \theta-3 \cos \theta \sin ^{2} \theta$，同样 $\sin 3 \theta= 3 \cos ^{2} \theta \sin \theta-\sin ^{3} \theta$。
寻找根更有趣。回想一下，对于每个 $n \in \mathbb{N}$，每个非负实数 $r$ 都有一个唯一的 $n$ 次方根 $r^{1 / n}$；这很容易从中间值定理得出。设 $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ 是一个复数，我们假设它非零（因为 0 的唯一 $n$ 次方根是 0——为什么？），设 $w=s(\cos \varphi+i \sin \varphi)$。那么 $w^{n}=z$ 当且仅当 $s^{n}=r$ 且 $n \varphi=\theta+2 k \pi$ 对于某个整数 $k$。因此 $s=r^{1 / n}$，且 $\varphi=\theta / n+2 k \pi / n$ 对于某个整数 $k$。但有时这些数对于不同的 $k$ 值是相同的：如果 $\varphi_{1}=\theta / n+2 k_{1} \pi / n$ 和 $\varphi_{2}=\theta / n+2 k_{2} \pi / n$，那么
当且仅当 $\varphi_{1}$ 和 $\varphi_{2}$ 相差 $2 \pi$ 的整数倍，当且仅当 $2 k_{1} \pi / n$ 和 $2 k_{2} \pi / n$ 相差 $2 \pi$ 的整数倍，当且仅当 $n$ 除 $k_{1}-k_{2}$，或等价地 $\Longleftrightarrow k_{1} \equiv k_{2}(\bmod n)$。此外，我们可以通过取辐角来找到一组完整的选择
总结一下，我们已经证明了以下内容：
命题 3.4.4. 如果 $n$ 是一个正整数，那么非零复数 $z=r(\cos \theta+ i \sin \theta)$ 恰好有 $n$ 个不同的 $n$ 次方根，由以下给出
示例 3.4.5. (i) $i=\cos (\pi / 2)+i \sin (\pi / 2)$ 的两个平方根是
(ii) 要找到 $\sqrt{3}+i$ 的所有五次根，首先写
因此五次根由以下给出
然而请注意 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 之间的区别：对于 $n \in \mathbb{N}$，
(i) 每个非零复数 $z$ 恰好有 $n$ 个不同的 $n$ 次方根。
(ii) 如果 $n$ 是奇数，那么每个实数 $t$ 恰好有一个实 $n$ 次方根。
(iii) 如果 $n$ 是偶数，那么实数 $t$ 如果 $t<0$ 则没有实 $n$ 次方根，如果 $t=0$ 则恰好有一个实 $n$ 次方根，如果 $t>0$ 则恰好有两个实 $n$ 次方根 $\pm s$。
我们可以将上述关于 $n$ 次方根的讨论应用于复数 $1=\cos 0+i \sin 0$。
定义 3.4.6. 对于 $n \in \mathbb{N}$，定义 $\mu_{n}$，即 $n$ 次单位根，为集合
特别是，$\mu_{n} \subseteq U(1)$，即每个 $n$ 次单位根的绝对值为 1。
那么有以下内容：
命题 3.4.7. 对于 $n \in \mathbb{N}$，
因此 $\#\left(\mu_{n}\right)=n$。此外，
(i) 如果 $\zeta_{1}, \zeta_{2} \in \mu_{n}$，那么 $\zeta_{1} \zeta_{2} \in \mu_{n}$。换句话说，$\mu_{n}$ 在乘法下是封闭的。
(ii) $1 \in \mu_{n}$。
(iii) 如果 $\zeta \in \mu_{n}$，那么 $\zeta^{-1} \in \mu_{n}$。换句话说，$\mu_{n}$ 在取逆元下是封闭的。
证明。(i) 通过将命题 3.4.4 应用于 $z=1$ 得出。(ii) 得出，因为如果 $\zeta_{1}, \zeta_{2} \in \mu_{n}$，那么 $\left(\zeta_{1} \zeta_{2}\right)^{n}=\zeta_{1}^{n} \zeta_{2}^{n}=1 \cdot 1=1$。(iii) 得出，因为如果 $\zeta \in \mu_{n}$，那么 $\left(\zeta^{-1}\right)^{n}=\zeta^{-n}=\left(\zeta^{n}\right)^{-1}=1^{-1}=1$。
备注 3.4.8. (i) $n$ 次单位根，在 $\mathbb{R}^{2}$ 中被视为向量，是单位圆内接正 $n$ 边形的顶点，其中一个顶点等于 $(1,0)$。
(ii) 很容易看出，一旦我们找到了非零复数 $z$ 的一个 $n$ 次方根 $u$，那么 $z$ 的所有 $n$ 次方根都形如 $\zeta u$，其中 $\zeta \in \mu_{n}$，即给定非零复数的任意两个 $n$ 次方根相差一个 $n$ 次单位根的乘积。
警告：我们已经看到整数指数的常用规则适用于复数。然而，分数指数的常用规则，尽管它们对于正实数在始终取正值的情况下仍然成立，但通常不适用于复数根；这与通常没有复数的首选 $n$ 次方根的事实有关。例如，
我们将简要地提及线性代数的某些方面，其中大部分应该是熟悉的。我们将在第 7 章，§2.2 中给出更一般的处理，包括下面一些结果的证明。
线性代数处理向量，即 $\mathbb{R}^{n}$ 的元素，这里我们用粗体字母如 $\mathbf{v}$ 表示，以及标量，换句话说，$\mathbb{R}$ 的元素。（我们也可以根据需要使用 $\mathbb{C}^{n}$ 或 $\mathbb{Q}^{n}$，标量分别为 $\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{Q}$。关键是，对于我们用作标量的任何集合，我们需要能够进行加法、减法、乘法和除法（除了除以 0），并且加法和乘法的通常性质成立。）然后我们可以加两个向量：如果 $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ 和 $\mathbf{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$，那么 $\mathbf{v}+\mathbf{w}=\left(v_{1}+w_{1}, \ldots, v_{n}+w_{n}\right)$。标量乘法定义如下：给定 $t \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$，$t \mathbf{v}=\left(t v_{1}, \ldots, t v_{n}\right)$。请注意，给定 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$，