1.4_预备知识_线性代数复习.ZH段落

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1内容

这个ZH.md文件是：

注意 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 之间的区别：对于 $n \in \mathbb{N}$ ，

(i) 每个非零复数 $z$ 恰好有 $n$ 个不同的 $n$ 次方根。

(ii) 如果 $n$ 是奇数，则每个实数 $t$ 恰好有一个实数 $n$ 次方根。

(iii) 如果 $n$ 是偶数，则实数 $t$ 如果 $t<0$ 则没有实数 $n$ 次方根；如果 $t=0$ 则恰好有一个实数 $n$ 次方根；如果 $t>0$ 则恰好有两个实数 $n$ 次方根 $\pm s$ 。

我们可以将上述关于 $n$ 次方根的讨论应用于复数 $1=\cos 0+i \sin 0$ 。

定义 3.4.6. 对于 $n \in \mathbb{N}$ ，定义 $\mu_{n}$ ，即 $n$ 次单位根，为集合

\mu_{n}=\left\{\zeta \in \mathbb{C}: \zeta^{n}=1\right\}

特别是， $\mu_{n} \subseteq U(1)$ ，即每个 $n$ 次单位根的绝对值都为 1。

由此可得：

命题 3.4.7. 对于 $n \in \mathbb{N}$ ，

\mu_{n}=\left\{\cos \left(\frac{2 k \pi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{2 k \pi}{n}\right): 0 \leq k \leq n-1\right\} .

因此 $\#\left(\mu_{n}\right)=n$ 。此外，

(i) 如果 $\zeta_{1}, \zeta_{2} \in \mu_{n}$ ，则 $\zeta_{1} \zeta_{2} \in \mu_{n}$ 。换句话说， $\mu_{n}$ 在乘法下是封闭的。

(ii) $1 \in \mu_{n}$ 。

(iii) 如果 $\zeta \in \mu_{n}$ ，则 $\zeta^{-1} \in \mu_{n}$ 。换句话说， $\mu_{n}$ 在取逆操作下是封闭的。

证明. (i) 通过将命题 3.4.4 应用于 $z=1$ 得到。(ii) 如果 $\zeta_{1}, \zeta_{2} \in \mu_{n}$ ，则 $\left(\zeta_{1} \zeta_{2}\right)^{n}=\zeta_{1}^{n} \zeta_{2}^{n}=1 \cdot 1=1$ 得到。(iii) 如果 $\zeta \in \mu_{n}$ ，则 $\left(\zeta^{-1}\right)^{n}=\zeta^{-n}=\left(\zeta^{n}\right)^{-1}=1^{-1}=1$ 得到。

备注 3.4.8. (i) $n$ 次单位根，看作 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量，是单位圆内接正 $n$ 边形的顶点，其中一个顶点位于 $(1,0)$ 。

(ii) 很容易看出，一旦我们找到一个非零复数 $z$ 的一个 $n$ 次方根 $u$ ，那么 $z$ 的所有 $n$ 次方根都是 $\zeta u$ 的形式，其中 $\zeta \in \mu_{n}$ 。也就是说，给定一个非零复数的任意两个 $n$ 次方根，它们之间相差一个 $n$ 次单位根的乘积。

警告：我们已经看到整数指数的常规规则适用于复数。然而，分数指数的常规规则（只要我们总是取正值，这些规则对正实数仍然成立）通常不适用于复数根；这与复数的 $n$ 次方根通常没有一个首选值的事实有关。例如，

-1=i^{2}=\sqrt{-1} \sqrt{-1} \neq \sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1

1Ch1.4. 线性代数复习 Review of linear algebra P27

1. 向量 Vectors

我们将简要提及线性代数的某些方面，其中大部分内容应该是熟悉的。我们将在第 7 章第 §2.2 节中给出更一般的处理方法，包括对以下一些结果的证明。

线性代数处理向量（即 $\mathbb{R}^{n}$ 的元素，我们此处将用粗体字母如 $\mathbf{v}$ 表示）和标量（换句话说， $\mathbb{R}$ 的元素）。(我们也可以根据需要使用 $\mathbb{C}^{n}$ 或 $\mathbb{Q}^{n}$ ，标量分别为 $\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{Q}$ 。关键在于，对于我们用作标量的任何集合，我们都需要能够进行加、减、乘、除（除数不能为 0），并且加法和乘法的常规性质都成立。) 我们可以将两个向量相加：如果 $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ 和 $\mathbf{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ ，那么 $\mathbf{v}+\mathbf{w}=\left(v_{1}+w_{1}, \ldots, v_{n}+w_{n}\right)$ 。标量乘法定义如下：给定 $t \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ ， $t \mathbf{v}=\left(t v_{1}, \ldots, t v_{n}\right)$ 。注意，给定 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ，那么 $\mathbf{v}+\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ (两个向量的和是一个向量)，而对于 $t \in \mathbb{R}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $t \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ (当我们将向量与标量相乘时，结果是一个向量)。

以下是向量加法和标量乘法的基本性质。通过使用实数加法和乘法的常规性质，它们很容易验证。

命题 4.1.1. (i) 向量加法是可交换和结合的，存在一个零向量 $\mathbf{0}=(0, \ldots, 0)$ ，并且每个向量 $\mathbf{v}$ 都有一个加法逆元 $-\mathbf{v}=(-1) \mathbf{v}=\left(-v_{1}, \ldots,-v_{n}\right)$ 。

(ii) 标量乘法满足：对于所有 $s, t \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $s(t \mathbf{v})=(s t) \mathbf{v}$ 且 $1 \mathbf{v}=\mathbf{v}$ 。

(iii) 有两个分配律的类比：对于所有 $s, t \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $(s+t) \mathbf{v}= s \mathbf{v}+t \mathbf{v}$ ；对于所有 $t \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $t(\mathbf{v}+\mathbf{w})=t \mathbf{v}+t \mathbf{w}$ 。

接下来我们回顾线性无关、张成、基和维数的标准定义：

定义 4.1.2. 给定 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量序列 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ ，它们的线性组合是形式为 $\sum_{i=1}^{k} t_{i} \mathbf{v}_{i}$ 的表达式。 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ 的张成是所有线性组合的集合：

\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}=\left\{t_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+t_{k} \mathbf{v}_{k}: t_{i} \in \mathbb{R}\right\}

注意 $\mathbf{v}_{i} \in \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}$ 对于所有 $1 \leq i \leq k$ 都成立（取 $t_{j}=0, j \neq i$ 且 $t_{i}=1$ ）。根据逻辑或惯例， $\operatorname{span} \emptyset=\{\mathbf{0}\}$ 。

向量 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ 是线性无关的，如果 $\sum_{i=1}^{k} t_{i} \mathbf{v}_{i}=\mathbf{0} \Longleftrightarrow t_{1}=\cdots=t_{k}=0$ ；它们是线性相关的，如果存在不全为 0 的 $t_{1}, \ldots, t_{k} \in \mathbb{R}$ 使得 $\sum_{i=1}^{k} t_{i} \mathbf{v}_{i}=\mathbf{0}$ 。很容易看出 $\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}$ 仅取决于集合 $\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}$ ，而 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ 线性无关的性质取决于序列 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ （但与 $\mathbf{v}_{i}$ 的顺序无关）。例如，如果对于某些 $i \neq j$ ， $\mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{j}$ ，则该序列是线性相关的，因为 $\mathbf{v}_{i}-\mathbf{v}_{j}=1 \cdot \mathbf{v}_{i}+(-1) \cdot \mathbf{v}_{j}=\sum_{k \neq i, j} 0 \cdot \mathbf{v}_{k}+1 \cdot \mathbf{v}_{i}+(-1) \cdot \mathbf{v}_{j}=\mathbf{0}$ 。

序列 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k} \in \mathbb{R}^{n}$ 是一个基，如果它是线性无关的且 $\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}=\mathbb{R}^{n}$ 。等价地，每个向量 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ 都可以唯一地写成 $\mathbf{v}_{i}$ 的线性组合。 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准基是 $\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}$ ，其中 $\mathbf{e}_{i}$ 的分量除了第 $i$ 个分量为 1 外，其余都为 0。因此，每个向量 $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ 都可以唯一地用标准基表示： $\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} v_{i} \mathbf{e}_{i}$ 。

以下是一个基本的线性代数事实：

命题 4.1.3. 令 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k} \in \mathbb{R}^{n}$ 。

(i) 如果 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ 线性无关，则 $k \leq n$ 。

(ii) 如果 $\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}=\mathbb{R}^{n}$ ，则 $k \geq n$ 。

(iii) 如果 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的基，则 $k=n$ 。

(iv) 如果 $k=n$ ，则 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ 线性无关 $\Longleftrightarrow \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\}=\mathbb{R}^{n} \Longleftrightarrow \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的基。

(v) $\mathbb{R}^{n}$ 中任何一组线性无关的向量都可以扩展成 $\mathbb{R}^{n}$ 的基。如果 $\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}=\mathbb{R}^{n}$ ，那么存在一个序列 $\mathbf{v}_{i_{1}}, \ldots, \mathbf{v}_{i_{n}}$ ，其项是 $\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}$ 的元素，并且它是一个基。

定义 4.1.4. $\mathbb{R}^{n}$ 的向量子空间或简称子空间是一个非空子集 $V$ ，使得 $V$ 在向量运算下是封闭的：对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ 和 $t \in \mathbb{R}$ ， $\mathbf{v}+\mathbf{w} \in V$ 且 $t \mathbf{v} \in V$ 。由此可知，对于 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k} \in V$ ， $\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\} \subseteq V$ 。关于 $V$ 中的 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ 何时张成 $V$ 以及何时它们是 $V$ 的基，有自然的定义。

命题 4.1.5. (i) $\mathbb{R}^{n}$ 的子集 $V$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的向量子空间 $\Longleftrightarrow$ 存在 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k} \in \mathbb{R}^{n}$ 使得 $V=\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}$ 。特别是， $\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}\right\}$ 总是向量子空间，并且它是包含 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ 的最小子空间。

(ii) $\mathbb{R}^{n}$ 的向量子空间 $V$ 的任意两个基具有相同的长度，我们将其记作 $\operatorname{dim} V$ 。

(iii) 如果 $V$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的向量子空间，则 $0 \leq \operatorname{dim} V \leq n$ 。此外， $\operatorname{dim} V=0 \Longleftrightarrow V=\{\mathbf{0}\}$ 且 $\operatorname{dim} V=n \Longleftrightarrow V=\mathbb{R}^{n}$ 。

定义 4.1.6. 两个向量 $\mathbf{v}= \left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ 和 $\mathbf{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ 的点积、标量积或内积（我们称之为内积并写作 $\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$ ）定义为

\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=v_{1} w_{1}+\cdots+v_{n} w_{n}=\sum_{i=1}^{n} v_{i} w_{i}

（如果称作点积，通常写为 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$ 。）两个向量的乘积是一个标量，因此得名标量积。例如，如果 $\mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ ，那么 $\left\langle\mathbf{v}, \mathbf{e}_{i}\right\rangle=v_{i}$ ，即 $\mathbf{v}$ 的第 $i$ 个分量。我们称 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 正交，如果 $\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=0$ 。

命题 4.1.7. 内积是对称的、双线性的和正定的：对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $t \in \mathbb{R}$ ，

\begin{gathered} \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{w}, \mathbf{v}\rangle . \\ \langle\mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{w}, \mathbf{u}\rangle \text{ 且 }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle ; \\ \langle t \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v}, t \mathbf{w}\rangle=t\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle ; \\ \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \geq 0 \text{ 且 }\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle=0 \Longleftrightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0} . \end{gathered}

定义 4.1.8. $\mathbf{v}$ 的长度或范数定义为

\|\mathbf{v}\|=(\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle)^{1 / 2}

命题 4.1.9. 对于所有 $t \in \mathbb{R}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ，

\begin{aligned} \|t \mathbf{v}\| & =|t|\|\mathbf{v}\| \\ \|\mathbf{v}+\mathbf{w}\| & \leq\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\| \text{ (**三角不等式**)。} \end{aligned}

一个有用的事实是以下内容，它表明唯一与 $\mathbb{R}^{n}$ 中每个向量都正交的向量是零向量。

引理 4.1.10. 如果 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 满足对于所有 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ 都有 $\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=0$ ，那么 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 。

证明. 如果对于所有 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ 都有 $\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=0$ ，那么特别地取 $\mathbf{w}=\mathbf{v}$ 即可看出 $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle=0$ ，因此 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 。（第二种证明是利用 $\left\langle\mathbf{v}, \mathbf{e}_{i}\right\rangle=v_{i}$ 的事实，推断出对于每个 $i$ 都有 $v_{i}=0$ 。）

定义 4.1.11. 标准正交基 $\mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{n}$ 是一个基，使得

\left\langle\mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j}\right\rangle= \begin{cases}0, & \text { 如果 } i \neq j \\ 1, & \text { 如果 } i=j\end{cases}

例如，标准基 $\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}$ 是一个标准正交基。更一般地， $\mathbb{R}^{n}$ 中向量序列 $\mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{k}$ 是标准正交的，如果对于所有 $i$ 都有 $\|\mathbf{u}_{i}\|=1$ ，并且对于所有 $i \neq j$ 都有 $\langle\mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j}\rangle=0$ 。很容易看出标准正交序列是线性无关的：由于 $\left\langle\sum_{i=1}^{k} t_{i} \mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j}\right\rangle=t_{j}$ ，如果 $\sum_{i=1}^{k} t_{i} \mathbf{u}_{i}=\mathbf{0}$ ，那么对于所有 $j$ 都有 $t_{j}=0$ 。特别地， $\mathbb{R}^{n}$ 中标准正交序列的最大可能长度是 $n$ 。

很容易明确地描述 $\mathbb{R}^{2}$ 中所有的标准正交基：首先，如果 $\mathbf{u}_{1}$ 是单位向量，即 $\|\mathbf{u}_{1}\|=1$ ，那么 $\mathbf{u}_{1}=(\cos \theta, \sin \theta)$ ，其中 $\theta$ 是一个实数，且在加上 $2 \pi$ 的整数倍后是唯一的。为了找到 $\mathbf{u}_{2}$ ，有一个标准方法，给定一个非零向量 $\mathbf{v}=(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ ，可以找到一个与 $\mathbf{v}$ 正交且 $\|\mathbf{v}^{\prime}\|=\|\mathbf{v}\|$ 的向量 $\mathbf{v}^{\prime}$ 。实际上，对于 $\mathbf{v}^{\prime}$ 只有两种可能性：它要么是 $(-b, a)$ ，要么是 $-(-b, a)=(b,-a)$ 。第一种可能性对应于将 $\mathbf{v}$ 逆时针旋转 $\pi/2$ 角，第二种对应于将 $\mathbf{v}$ 顺时针旋转 $\pi/2$ 角。（推论：如果 $\mathbb{R}^{2}$ 中两条非垂直线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 垂直，它们的斜率 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 满足： $m_{1} m_{2}=-1$ ，即互为“倒数负”）。总结如下：

命题 4.1.12. $\mathbb{R}^{2}$ 中的每个标准正交基要么是以下形式：

\mathbf{u}_{1}=(\cos \theta, \sin \theta), \quad \mathbf{u}_{2}=(-\sin \theta, \cos \theta)

要么是以下形式：

\mathbf{u}_{1}=(\cos \theta, \sin \theta), \quad \mathbf{u}_{2}=(\sin \theta,-\cos \theta)

其中 $\theta$ 是一个实数，作为 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 的元素是唯一的。

更一般地，存在一个算法（Gram-Schmidt）可以实现以下目的：给定一个线性无关的向量序列 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}$ ，它产生一个标准正交向量序列 $\mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{k}$ ，使得对于所有 $1 \leq i \leq k$ 的 $i$ ，

\operatorname{span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{i}\right\}=\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{i}\right\}

$\mathbf{u}_{i}$ 的构造很简单，但不幸的是，在大多数例子中执行起来涉及大量繁琐的平方根。

2. 矩阵 Matrices

回想一下， $m \times n$ 矩阵是一个矩形数组

A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)

我们通常将其缩写为 $A=\left(a_{i j}\right)$ 。上面的矩阵由 $m$ 行和 $n$ 列组成。我们将数字 $a_{i j}$ 称为 $(i, j)$ 元素。这意味着 $a_{i j}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列的数字。特别是，向量 $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ 也是一个矩阵，在这种情况下是一个 $1 \times n$ 矩阵。我们称这种矩阵为行向量。我们也可以将向量视为 $n \times 1$ 矩阵，我们称之为列向量。（由于我们对函数书写方式的约定，我们通常需要将向量视为列向量。）所有 $m \times n$ 矩阵的集合写作 $\mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ 。 $\mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{C}), \mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{Q})$ ，甚至 $\mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{Z})$ 也有类似的定义。在 $m=n$ 的情况下，我们将 $\mathbb{M}_{n, n}(\mathbb{R})$ 缩写为 $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ ，并称这种矩阵为方阵（ $n \times n$ ）矩阵， $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C}), \mathbb{M}_{n}(\mathbb{Q})$ 和 $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{Z})$ 也有类似称呼。我们可以通过将对应元素相加来将 $\mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ 中的两个矩阵 $A$ 和 $B$ 相加，并且可以将矩阵 $A$ 乘以标量 $t$ 。因此， $\left(a_{i j}\right)+\left(b_{i j}\right)=\left(a_{i j}+b_{i j}\right)$ 且 $t\left(a_{i j}\right)=\left(t a_{i j}\right)$ 。零矩阵 $O=O_{m, n} \in \mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ 是所有元素都为 0 的矩阵。除了元素排序问题， $\mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ 实际上与 $\mathbb{R}^{m n}$ 是同一回事，并且加法和标量乘法与常规向量运算相同。

给定一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和一个 $n \times k$ 矩阵 $B$ ，我们可以形成矩阵积 $AB$ ，它是一个 $m \times k$ 矩阵，其 $(i, j)$ 元素由 $\sum_{t=1}^{n} a_{i t} b_{t j}$ 给出。因此， $(i, j)$ 元素是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的内积。象征性地，如果我们写作

A=\left(\begin{array}{c} \mathbf{r}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{m} \end{array}\right) \text{ 且 } B=\left(\mathbf{c}_{1}, \cdots, \mathbf{c}_{k}\right)

其中 $\mathbf{r}_{i}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行， $\mathbf{c}_{j}$ 表示 $B$ 的第 $j$ 列，那么 $AB$ 的 $(i, j)$ 元素是 $\left\langle\mathbf{r}_{i}, \mathbf{c}_{j}\right\rangle$ 。

矩阵乘法具有结合性，且对矩阵加法（在定义域内）具有分配性，但对于 $A, B \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ （这是 $AB$ 和 $BA$ 都定义且形状相同的唯一情况），并且对于 $n>1$ ，通常不满足 $AB=BA$ ：矩阵乘法通常不具有交换性。 $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ 的一个重要元素是单位矩阵 $I_{n}=I$ ，其对角线元素 $a_{i i}$ 等于 1，其他元素 $a_{i j}, i \neq j$ 等于 0。等价地，

I_{n}=\left(\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}\right)=\left(\begin{array}{c} \mathbf{e}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{e}_{n} \end{array}\right)

其中 $\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的标准基。很容易看出，对于所有 $A \in \mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ ， $I_{m} A= A I_{n}=A$ 。当 $n$ 从上下文中清楚时，我们将 $I_{n}$ 缩写为 $I$ 。

回想一下，线性函数 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是一个函数 $F$ ，使得对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $t \in \mathbb{R}$ ， $F(\mathbf{v}+\mathbf{w})=F(\mathbf{v})+F(\mathbf{w})$ 且 $F(t \mathbf{v})=t F(\mathbf{v})$ 。一个线性函数通过其在标准基向量 $\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}$ 上的值完全确定。反之，给定任何 $n$ 个向量的序列 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n} \in \mathbb{R}^{m}$ ，存在一个唯一的线性函数 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ ，使得对于所有 $i$ ， $F\left(\mathbf{e}_{i}\right)=\mathbf{v}_{i}$ ，即 $F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i} x_{i} \mathbf{v}_{i}$ 。在这种情况下，回想一下我们可以将一个 $m \times n$ 矩阵与 $F$ 关联起来：将向量 $\mathbf{v}_{i}=\left(a_{1 i}, \ldots, a_{m i}\right)$ 写入。然后我们将矩阵与 $F$ 关联起来

A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right)

这里 $A$ 的列是向量 $\mathbf{v}_{i}$ ，写成列的形式，并且线性映射 $F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ 对应于矩阵积 $A \cdot \mathbf{x}$ ，其中 $A \cdot \mathbf{x}$ 是一个 $n \times 1$ 矩阵（列向量），其第 $j$ 个元素是 $\sum_{i=1}^{n} a_{j i} x_{i}$ 。特别地， $A \cdot \mathbf{e}_{i}=\mathbf{v}_{i}$ ，写成列向量；其第 $j$ 个元素是 $a_{j i}$ ，并且它等于 $\sum_{j=1}^{m} a_{j i} \mathbf{e}_{j}$ ，其中在等式

A \cdot \mathbf{e}_{i}=\sum_{j=1}^{m} a_{j i} \mathbf{e}_{j}

左侧的 $\mathbf{e}_{i}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的基向量，右侧的 $\mathbf{e}_{j}$ 是 $\mathbb{R}^{m}$ 中的基向量。注意索引的倒置！ $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 的情况对应于方阵（ $n \times n$ ）矩阵。例如，线性函数 $\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^{n}}$ 对应于单位矩阵 $I_{n}$ 。然后我们有：

命题 4.2.1. 如果 $F: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 和 $G: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是线性映射，并且 $A \in \mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ 和 $B \in \mathbb{M}_{n, k}(\mathbb{R})$ 分别是对应于 $G$ 和 $F$ 的矩阵，那么 $G \circ F: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 再次是线性的，并且对应于 $G \circ F$ 的矩阵是矩阵积 $A \cdot B$ 。

证明. 我们省略 $G \circ F$ 是线性的简单验证。根据线性函数和矩阵之间关系的公式，

\begin{aligned} F\left(\mathbf{e}_{i}\right) & =\sum_{j=1}^{n} b_{j i} \mathbf{e}_{j} \\ G\left(\mathbf{e}_{j}\right) & =\sum_{k=1}^{m} a_{k j} \mathbf{e}_{k} \end{aligned}

因此，计算得到

\begin{aligned} (G \circ F)\left(\mathbf{e}_{i}\right) & =\sum_{j=1}^{n} b_{j i} G\left(\mathbf{e}_{j}\right)=\sum_{k=1}^{m} a_{k j}\left(\sum_{j=1}^{n} b_{j i} \mathbf{e}_{k}\right) \\ & =\sum_{k=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n} a_{k j} b_{j i}\right) \mathbf{e}_{k} \end{aligned}

这意味着对应于 $G \circ F$ 的矩阵的 $(i, k)$ 元素是 $\sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j k}$ 。在重新标记索引后，这正是 $A \cdot B$ 的 $(i, k)$ 元素。

这为矩阵乘法的结合性提供了一个概念性证明：它具有结合性是因为函数复合具有结合性。（反之，我们也可以利用矩阵乘法的结合性来证明命题 4.2.1。）

矩阵乘法特别是一种方便描述线性方程组的方法：方程组

\begin{array}{cccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \cdots & + & a_{1 n} x_{n} & = \\ \vdots & & \vdots & & & & \vdots & \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \cdots & + & a_{m n} x_{n} & = \\ b_{m} \end{array}

更简洁地写为 $A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 。

3. 可逆矩阵 Invertible matrices

我们将线性映射 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 写成矩阵 $A: F(\mathbf{v})=A \mathbf{v}$ ，其中理解为，对于右侧， $\mathbf{v}$ 必须被视为列向量。定义 $A$ 的零空间或核为集合 $\left\{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}: A \mathbf{v}=\mathbf{0}\right\}$ 。然后我们有基本结果：

命题 4.3.1. $A$ 的零空间和像是向量子空间（分别为 $\mathbb{R}^{n}$ 和 $\mathbb{R}^{m}$ 的）。线性函数 $A: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是单射 $\Longleftrightarrow$ $A$ 的零空间是 $\{\mathbf{0}\} \Longleftrightarrow$ $A$ 的列是线性无关的。线性函数 $A: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是满射 $\Longleftrightarrow$ $A$ 的列张成 $\mathbb{R}^{m}$ 。更一般地， $\operatorname{Im} A$ 是 $A$ 的列的张成。

特别地，对于对应于 $A$ 的线性方程组 $A \cdot \mathbf{x}=\mathbf{b}$ ，我们看到解存在 $\Longleftrightarrow \mathbf{b} \in \operatorname{Im} A$ ，并且解是唯一的（但可能不存在） $\Longleftrightarrow$ $A$ 的零空间是 $\{\mathbf{0}\}$ 。

推论 4.3.2. 设 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是一个线性函数，对应于矩阵 $A$ 。

(i) 如果 $F$ 是单射，则 $n \leq m$ 。此外， $F$ 是单射 $\Longleftrightarrow$ $F$ 有一个也是线性函数的左逆。

(ii) 如果 $F$ 是满射，则 $n \geq m$ 。此外， $F$ 是满射 $\Longleftrightarrow$ $F$ 有一个也是线性函数的右逆。

(iii) 如果 $n=m$ ，则 $F$ 是单射 $\Longleftrightarrow F$ 是满射 $\Longleftrightarrow F$ 是双射，并且在这种情况下，逆函数 $F^{-1}$ 再次是线性的，因此对应于一个矩阵，记作 $A^{-1}$ ，具有以下性质

A A^{-1}=A^{-1} A=I_{n}

对于 $A \in \mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ ，我们可以用通常的方式定义左逆和右逆。然后，使用上述 (iii)， $A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ 有一个左逆 $B \Longleftrightarrow A$ 有一个右逆 $C$ ，并且实际上 $B=C=A^{-1}$ ，通过通常的论证：

B=B I_{n}=B(A C)=(B A) C=I_{n} C=C

定义 4.3.3. 矩阵 $A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ 是可逆的，如果逆矩阵 $A^{-1}$ 存在。定义一般线性群 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 为 $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ 中由可逆矩阵组成的子集。

以下是一个简单的计算：

命题 4.3.4. (i) 如果 $A, B \in G L_{n}(\mathbb{R})$ ，则 $AB$ 是可逆的，并且实际上 $(A B)^{-1}= B^{-1} A^{-1}$ 。因此 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 在矩阵乘积下是封闭的。

(ii) $I_{n} \in G L_{n}(\mathbb{R})$ ，并且实际上 $I_{n}^{-1}=I_{n}$ 。

(iii) 如果 $A \in G L_{n}(\mathbb{R})$ ，则 $A^{-1} \in G L_{n}(\mathbb{R})$ ，并且实际上 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ 。

判断给定 $n \times n$ 矩阵 $A$ 是否可逆的问题可以通过行列式来回答。回想一下，对于每个 $n$ ，我们都有一个函数 $\det: \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ ，具有以下性质：

(1) 对于所有 $A, B \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ ， $\operatorname{det}(A B)=(\operatorname{det} A)(\operatorname{det} B)$ 。

(2) $\operatorname{det} I_{n}=1$ 。

(3) $A$ 是可逆的 $\Longleftrightarrow \operatorname{det} A \neq 0$ 。因此 $G L_{n}(\mathbb{R})=\left\{A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}): \operatorname{det} A \neq 0\right\}$ 。如果 $A$ 是可逆的，那么

\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=(\operatorname{det} A)^{-1}

例 4.3.5. 对于 $2 \times 2$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ ，我们有

\operatorname{det} A=a d-b c

如果 $\det A \neq 0$ ，那么计算得到：

A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)

除了上面列出的性质 (1)-(3) 之外，还有两个重要的额外性质：行列式是 $A$ 的列的多线性函数，换句话说，当其余列保持不变时，它在每列中都是线性函数；并且行列式是 $A$ 的列的交错函数，换句话说，如果我们通过交换两列 $\mathbf{c}_{i}$ 和 $\mathbf{c}_{j}$ 将 $A$ 变为另一个 $n \times n$ 矩阵 $A^{\prime}$ ，那么 $\det A^{\prime}=-\det A$ 。实际上，这些性质加上上面的 (2) 就足以刻画行列式。

定义 4.3.6. 特殊线性群 $S L_{n}(\mathbb{R})$ 由下式给出

S L_{n}(\mathbb{R})=\left\{A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}): \operatorname{det} A=1\right\}

以下是上述性质的一个简单推论：

命题 4.3.7. $S L_{n}(\mathbb{R}) \subseteq G L_{n}(\mathbb{R})$ 。此外，

(i) 如果 $A, B \in S L_{n}(\mathbb{R})$ ，则 $A B \in S L_{n}(\mathbb{R})$ ，即 $S L_{n}(\mathbb{R})$ 在乘法下是封闭的。

(ii) $I_{n} \in S L_{n}(\mathbb{R})$ 。

(iii) 如果 $A \in S L_{n}(\mathbb{R})$ ，则 $A$ 是可逆的，并且 $A^{-1} \in S L_{n}(\mathbb{R})$ 。

4. 正交矩阵 Orthogonal matrices

首先我们回顾转置的定义。

定义 4.4.1. 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是一个 $m \times n$ 矩阵。转置矩阵 ${ }^{t} A$ 是一个 $n \times m$ 矩阵，其 $(i, j)$ 元素是 $a_{j i}$ 。例如，如果 $A$ 是一个方阵（ $n \times n$ ）矩阵，那么 ${ }^{t} A$ 是 $A$ 沿着从左上到右下的对角线的反射。一般来说， ${ }^{t} A$ 的列是 $A$ 的行，写成列向量，反之亦然。

命题 4.4.2. 对于所有 $A \in \mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ ，

(i) ${ }^{t}\left({ }^{t} A\right)=A$ 。

(ii) 对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m}$ 和 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ，

\langle\mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\left\langle{ }^{t} A \mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle

此外， ${ }^{t} A$ 是 $\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R})$ 中唯一的元素 $B$ ，使得对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m}$ 和 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\langle\mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\langle B \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$ 。

(iii) 如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是一个 $n \times k$ 矩阵，那么

{ }^{t}(A B)={ }^{t} B^{t} A

(iv) 如果 $A$ 是一个具有逆矩阵 $A^{-1}$ 的 $n \times n$ 矩阵，那么 ${ }^{t}\left(A^{-1}\right)=\left({ }^{t} A\right)^{-1}$ 。

证明. (i) 直接由定义得出。(ii) 对于所有标准基向量 $\mathbf{e}_{i} \in \mathbb{R}^{m}$ 和 $\mathbf{e}_{j} \in \mathbb{R}^{n}$ ，

\left\langle\mathbf{e}_{i}, A \mathbf{e}_{j}\right\rangle=a_{i j}=\left\langle{ }^{t} A \mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}\right\rangle

（这里当然，第一个内积是 $\mathbb{R}^{m}$ 中的向量的内积，第二个是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量的内积。）利用双线性，可以得出对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m}$ 和 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\langle\mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\left\langle{ }^{t} A \mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle$ ，通过将 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 展开为标准基向量的线性组合。要看 (ii) 中的第二个陈述，如果 $B$ 也满足 $\langle\mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\langle B \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$ ，那么

\left.\left\langle\left(B-{ }^{t} A\right) \mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle=\langle B \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle-\left\langle{ }^{t} A \mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle=\langle\mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle-\mathbf{v}, A \mathbf{w}\right\rangle=0

因此，对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m}$ 和所有 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\left(B-{ }^{t} A\right) \mathbf{v}$ 与 $\mathbf{w}$ 正交，因此是零向量 $\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{n}$ 。因此对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m}$ 都有 $B \mathbf{v}={ }^{t} A \mathbf{v}$ ，所以 $B={ }^{t} A$ 。

要看 (iii)，对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m}$ 和 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{k}$ ，我们有

\langle\mathbf{v}, A B \mathbf{w}\rangle=\left\langle{ }^{t} A \mathbf{v}, B \mathbf{w}\right\rangle=\left\langle{ }^{t} B{ }^{t} A \mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle

因此，根据 (ii) 中的唯一性陈述， ${ }^{t}(A B)={ }^{t} B^{t} A$ 。

最后，要看 (iv)，如果 $A A^{-1}=I_{n}$ ，那么

I_{n}={ }^{t} I_{n}={ }^{t}\left(A A^{-1}\right)={ }^{t}\left(A^{-1}\right)^{t} A

因此 ${ }^{t}\left(A^{-1}\right)$ 是 ${ }^{t} A$ 的左逆，也因此是右逆，所以 ${ }^{t}\left(A^{-1}\right)=\left({ }^{t} A\right)^{-1}$ 。

我们还有（无证明）：

命题 4.4.3. 对于所有 $A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ ， $\det { }^{t} A=\det A$ 。

正交矩阵是具有非常特殊几何性质的可逆矩阵。

定义 4.4.4. 线性函数 $A: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 是等距变换，如果对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\|A \mathbf{v}\|=\|\mathbf{v}\|$ 。换句话说， $A$ 保持长度不变。

命题 4.4.5. 给定 $A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ ，以下关于 $A$ 的条件是等价的。

(i) $A$ 是等距变换，即对于所有 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\|A \mathbf{v}\|=\|\mathbf{v}\|$ 。

(ii) 对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\langle A \mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$ 。换句话说， $A$ 保持内积不变。

(iii) $A$ 的列是 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基。

(iv) $A$ 是可逆的，且 ${ }^{t} A=A^{-1}$ 。

(v) $A$ 的行是 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基。

证明. (i) ⟹ (ii)：这由恒等式得出：

\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|^{2}=\langle\mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle+2\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle=\|\mathbf{v}\|^{2}+2\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle+\|\mathbf{w}\|^{2}

这是内积的双线性和对称性以及展开的推论。（将 $\mathbf{w}$ 替换为 $-\mathbf{w}$ ，这等价于 $\mathbb{R}^{2}$ 中的余弦定律。）换句话说，对于所有向量 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ，

2\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle=\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|^{2}-\|\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{w}\|^{2}

特别地将此应用于向量 $A \mathbf{v}, A \mathbf{w}$ 并使用 $A$ 是等距变换的事实，得到

\begin{aligned} 2\langle A \mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle & =\|A \mathbf{v}+A \mathbf{w}\|^{2}-\|A \mathbf{v}\|^{2}-\mid A \mathbf{w}\left\|^{2}=\right\| A(\mathbf{v}+\mathbf{w})\left\|^{2}-\right\| \mathbf{v}\left\|^{2}-\right\| \mathbf{w} \|^{2} \\ & =\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|^{2}-\|\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{w}\|^{2}=2\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \end{aligned}

因此，对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\langle A \mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$ 。

(ii) ⟹ (i)：如果对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ， $\langle A \mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$ ，那么取 $\mathbf{v}=\mathbf{w}$ ，使得 $\|A \mathbf{v}\|^{2}=\langle A \mathbf{v}, A \mathbf{v}\rangle= \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle=\|\mathbf{v}\|^{2}$ 。

(ii) ⟹ (iii)： $A$ 的列等于 $\mathbf{c}_{i}=A \mathbf{e}_{i}$ 。根据 (ii)， $\left\langle\mathbf{c}_{i}, \mathbf{c}_{j}\right\rangle=\left\langle A \mathbf{e}_{i}, A \mathbf{e}_{\mathbf{j}}\right\rangle=\left\langle\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}\right\rangle$ 。因此 $\mathbf{c}_{1}, \ldots, \mathbf{c}_{n}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基。

(iii) ⟺ (iv)：转置交换 $A$ 的行和列。因此， ${ }^{t} A A$ 的 $(i, j)$ 元素是内积 $\left\langle\mathbf{c}_{i}, \mathbf{c}_{j}\right\rangle$ 。因此 ${ }^{t} A A=I_{n} \Longleftrightarrow \left\langle\mathbf{c}_{i}, \mathbf{c}_{j}\right\rangle$ 如果 $i \neq j$ 则为 0，如果 $i=j$ 则为 1 $\Longleftrightarrow$ $A$ 的列是 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基。

(iv) ⟺ (v)：与上述类似，使用 $A^{t} A$ 而不是 ${ }^{t} A A$ 。

(iv) ⟹ (ii)：如果 ${ }^{t} A=A^{-1}$ ，那么对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$ ，

\langle A \mathbf{v}, A \mathbf{w}\rangle=\left\langle{ }^{t} A A \mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle=\left\langle A^{-1} A \mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle

因此 (ii) 成立。

我们看到命题中的五个陈述中的任何一个都蕴含其他任何一个，所以它们都是等价的。

定义 4.4.6. 满足上述任何（以及所有）等价性质的矩阵 $A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ 称为正交矩阵。所有 $n \times n$ 正交矩阵的集合记作 $O_{n}$ ，即正交群。行列式为 1 的所有正交矩阵的集合记作 $S O_{n}$ ，即特殊正交群。

命题 4.4.7. (i) 如果 $A, B \in O_{n}$ ，则 $A B \in O_{n}$ ；如果 $A, B \in S O_{n}$ ，则 $A B \in S O_{n}$ 。

(ii) $I_{n} \in S O_{n}$ ，因此 $I_{n} \in O_{n}$ 。

(iii) 如果 $A \in O_{n}$ ，则 $A^{-1} \in O_{n}$ ；如果 $A \in S O_{n}$ ，则 $A^{-1} \in S O_{n}$ 。

证明. 我们将基于命题 4.4.5 的性质 (iv) 给出证明。基于性质 (i) 给出证明也很容易。如果 $A, B \in O_{n}$ ，那么

{ }^{t}(A B)={ }^{t} B^{t} A=B^{-1} A^{-1}=(A B)^{-1}

因此 $A B \in O_{n}$ ，并且如果 $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=1$ ，那么 $\operatorname{det} A B=1$ 。由于 ${ }^{t} I_{n}=I_{n}=I_{n}^{-1}$ 且 $\operatorname{det} I_{n}=1$ ， $I_{n} \in S O_{n}$ ，因此 $I_{n} \in O_{n}$ 。最后，根据命题 4.4.2(iv)， ${ }^{t}\left(A^{-1}\right)=\left({ }^{t} A\right)^{-1}$ 。如果 $A$ 是正交的，

{ }^{t}\left(A^{-1}\right)=\left({ }^{t} A\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}

由于 ${ }^{t}\left(A^{-1}\right)=\left(A^{-1}\right)^{-1}$ ，根据定义 $A^{-1} \in O_{n}$ 。如果 $\operatorname{det} A=1$ ，那么 $\operatorname{det} A^{-1}=1$ 。

以下说明 $O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 之间没有太大区别：

命题 4.4.8. 如果 $A \in O_{n}$ ，则 $\operatorname{det} A= \pm 1$ 。

证明. 使用 ${ }^{t} A=A^{-1}$ ，我们看到

\operatorname{det} A=\operatorname{det}^{t} A=\operatorname{det} A^{-1}=(\operatorname{det} A)^{-1}

因此 $(\operatorname{det} A)^{2}=1$ ，所以 $\operatorname{det} A= \pm 1$ 。

我们有时将 $S O_{n}$ 视为 $\mathbb{R}^{n}$ 的刚体运动集合（固定原点）。群 $S O_{2}$ 和 $O_{2}$ 明确给出如下：

S O_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right): \theta \in \mathbb{R}\right\}

和

O_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right): \theta \in \mathbb{R}\right\} \cup\left\{\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right): \theta \in \mathbb{R}\right\}

因此 $S O_{2}$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 绕原点的旋转集合。

2Ch1.5. 习题 Exercises P36

练习 1.1. (i) 设 $X$ 为一个集合，设 $\Delta_{X}$ 为 $X \times X$ 中的对角线：

\Delta_{X}=\{(x, x): x \in X\} .

证明，如果 $X$ 至少有两个元素，那么不存在 $X$ 的子集 $A, B$ 使得 $\Delta_{X}=A \times B$ 。

(ii) 设 $X$ 和 $Y$ 为两个集合。定义函数 $F: \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X \times Y)$ 为 $F(A, B)=A \times B$ 。是否 $F$ 是单射？换句话说，如果 $A_{1} \times B_{1}=A_{2} \times B_{2}$ ，是否必然 $A_{1}=A_{2}$ 且 $B_{1}=B_{2}$ ？对于满射又如何？

练习 1.2. 直接使用函数的精确定义和一点逻辑，证明对于每个集合 $Y$ ，恰好有一个从 $\emptyset$ 到 $Y$ 的函数 $f$ 。 $f$ 何时是单射？满射？解释你的答案。

设 $X$ 为一个集合。证明从 $X$ 到 $\emptyset$ 的函数要么不存在，要么恰好有一个，取决于 $X \neq \emptyset$ 还是 $X=\emptyset$ 。

练习 1.3. 设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合，设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。证明 $f$ 的图 $G_{f}$ 具有 $X$ 的某个子集 $A$ 和 $Y$ 的某个子集 $B$ 的 $A \times B$ 形式 $\Longleftrightarrow f$ 是一个常数函数，即存在 $c \in Y$ 使得对于所有 $x \in X$ 都有 $f(x)=c$ 。

练习 1.4. 设 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 是由 $f(n)=n-1$ (如果 $n \geq 2$ ) 定义的函数，且 $f(1)=17$ （这里 $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ 是自然数集）。

(i) $f$ 是单射吗？满射吗？为什么？

(ii) 求出 $\mathbb{N}$ 的以下子集：

(a) $f(\{1,2,3,5\})$ ;

(b) $f(\{1,18\})$ ;

(d) $f^{-1}(\{1,2,3\})$

(e) $f^{-1}(17)$ ;

(f) $f^{-1}(\{1,17\})$ 。

(iii) 证明 $h(n)=n+1$ 是 $f$ 的右逆。 $f$ 的所有可能的右逆是什么？

(iv) 由于 $h$ 是 $f$ 的右逆， $f$ 是 $h$ 的左逆。 $h$ 的所有可能的左逆是什么？

练习 1.5. 直接从定义出发，证明两个单射函数的复合是单射的，并且两个满射函数的复合是满射的。

练习 1.6. 设 $X$ 和 $Y$ 为两个非空集合。定义投影函数 $\pi_{1}: X \times Y \rightarrow X$ 和 $\pi_{2}: X \times Y \rightarrow Y$ 为：

\pi_{1}(x, y)=x ; \quad \quad \pi_{2}(x, y)=y

函数 $\pi_{1}$ 称为第一投影或 $X \times Y$ 到第一个分量的投影， $\pi_{2}$ 类似。 $\pi_{1}$ 何时是单射？满射？当 $X=\emptyset$ 或 $Y=\emptyset$ 时会发生什么？解释你的答案。

练习 1.7. 设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。证明，如果 $f$ 有一个左逆 $g$ ，则 $f$ 是单射。反之，假设 $f$ 是单射且 $X \neq \emptyset$ 。证明 $f$ 有一个左逆。然而，使用练习 1.2，证明如果 $X=\emptyset$ 但 $Y \neq \emptyset$ ，那么唯一的函数 $f: X \rightarrow Y$ 是单射但没有左逆。

证明，如果 $f$ 有一个右逆 $h$ ，则 $f$ 是满射。（反之，如果 $f$ 是满射，则它有一个右逆，但这涉及一些更严肃的集合论。）

练习 1.8. 设 $Y=\{y\}$ 是一个恰好有一个元素的集合，设 $X$ 是一个任意集合。证明存在一个从 $X$ 到 $Y$ 的唯一函数 $f$ 。 $f$ 何时是单射？满射？双射？描述 $f$ 的所有可能的左逆，以及所有可能的右逆。