1.4_预备知识_线性代数复习.ZH解释

这部分内容首先对比了在实数（$\mathbb{R}$）和复数（$\mathbb{C}$）域中开 $n$ 次方的不同情况，然后引出了一个在复数域中非常重要的概念——n次单位根。

1. 开篇对比：作者开宗明义，提醒读者注意实数和复数在开方运算上的根本区别。这是理解后续内容的基础。
   • 在复数域中，问题总是很“完美”。一个非零的复数，不管它是什么，开 $n$ 次方总能得到不多不少正好 $n$ 个根。这体现了复数域的代数完备性。
   • 在实数域中，情况就复杂得多，需要分类讨论。
   • 当 $n$ 是奇数时（如开 3 次方，5 次方），任何实数（正、负、零）都有且仅有一个实数根。例如，8 的立方根是 2，-8 的立方根是 -2。
   • 当 $n$ 是偶数时（如开 2 次方，4 次方），情况更复杂：
   • 负数没有实数偶次方根（例如 $\sqrt{-1}$ 在实数范围内无解）。
   • 零的任何次方根都只有零这一个。
   • 正数则有两个实数偶次方根，它们互为相反数（例如 4 的平方根是 $\pm 2$）。
2. 引出主题：在铺垫了这些背景之后，作者将讨论的焦点转向一个特殊的开方运算：求复数 1 的 $n$ 次方根。这是一个核心例子，因为它具有非常优美的结构。作者特意将 1 写成复数的极坐标形式 $1 = \cos 0 + i \sin 0$，这是为了方便后续使用棣莫弗定理进行开方运算。
3. 定义 n次单位根：
   • 符号 $\mu_{n}$ 是专门用来表示所有 $n$ 次单位根的集合。希腊字母 $\mu$ (mu) 在这里被用作这个特定集合的符号。
   • 这个集合的定义是数学语言的精确描述：它包含所有那些属于复数（$\zeta \in \mathbb{C}$）并且满足方程 $\zeta^n = 1$ 的数 $\zeta$。
   • 通俗地讲，一个数如果它的 $n$ 次方等于 1，那么这个数就是一个 n次单位根。
4. n次单位根的性质：
   • 作者立即指出了一个重要性质：$\mu_{n} \subseteq U(1)$。
   • $U(1)$ 是单位圆群的符号，代表复平面上所有绝对值为 1 的复数组成的集合。这些数可以写成 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 的形式，它们构成了一个乘法群。
   • $\mu_{n} \subseteq U(1)$ 的意思是，所有 $n$ 次单位根都在单位圆上。
   • 这个结论的推导很简单：如果 $\zeta^n = 1$，那么我们对等式两边取绝对值，得到 $|\zeta^n| = |1|$。根据复数绝对值的性质，$|\zeta^n| = |\zeta|^n$，而 $|1| = 1$。所以我们有 $|\zeta|^n = 1$。因为 $|\zeta|$ 是一个非负实数，唯一能满足这个方程的解就是 $|\zeta| = 1$。这就证明了所有 $n$ 次单位根的绝对值都为 1，即它们都位于复平面的单位圆上。

这部分内容给出了 n次单位根 的具体计算公式，并证明了 n次单位根 的集合在复数乘法下构成一个群。

1. n次单位根的公式：
   • 命题 3.4.7 给出了一个明确的公式来计算出所有的 n次单位根。
   • 这个公式是基于复数的极坐标表示和棣莫弗定理。任何一个要求解 $\zeta^n=1$ 的复数 $\zeta$，我们都可以将其设为极坐标形式 $\zeta = r(\cos\theta + i\sin\theta)$。
   • 根据上一节的结论，我们已经知道 $r=|\zeta|=1$。所以 $\zeta = \cos\theta + i\sin\theta$。
   • 根据棣莫弗定理，$\zeta^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$。
   • 而 $1$ 的极坐标形式是 $1 = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi)$，其中 $k$ 是任意整数。
   • 所以方程 $\zeta^n=1$ 就变成了 $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta) = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi)$。
   • 这意味着 $n\theta$ 必须等于 $2k\pi$。因此，$\theta = \frac{2k\pi}{n}$。
   • 我们将不同的整数 $k$ 代入，就可以得到不同的根。
   • 当 $k=0$ 时，$\theta=0$，$\zeta = \cos 0 + i\sin 0 = 1$。
   • 当 $k=1$ 时，$\theta=\frac{2\pi}{n}$，$\zeta = \cos(\frac{2\pi}{n}) + i\sin(\frac{2\pi}{n})$。
   • ...
   • 当 $k=n-1$ 时，$\theta=\frac{2(n-1)\pi}{n}$，$\zeta = \cos(\frac{2(n-1)\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(n-1)\pi}{n})$。
   • 当 $k=n$ 时，$\theta=\frac{2n\pi}{n} = 2\pi$，这与 $k=0$ 的情况得到的根是同一个。当 $k>n$ 或 $k<0$ 时，我们得到的根也都会与 $k=0, 1, ..., n-1$ 这 $n$ 个根中的一个重合。
   • 因此，我们只需要取 $k=0, 1, \ldots, n-1$ 这 $n$ 个值，就可以得到所有 $n$ 个不同的 n次单位根。
2. 根的数量：
   • #(\mu_n) = n 这句话是公式的直接推论。符号 #(S) 表示集合 S 中元素的个数（也叫集合的基数）。
   • 因为 $k$ 从 0 到 $n-1$ 一共取了 $n$ 个值，并且这 $n$ 个值对应的角度 $\frac{2k\pi}{n}$ 在 $[0, 2\pi)$ 范围内都是不同的，所以我们得到了 $n$ 个不同的复数。
3. 群结构的验证：
   • 这部分内容实际上是在证明 $\mu_n$ 集合在复数乘法下满足群的三个基本公理（封闭性、单位元、逆元）。
   • (i) 封闭性 (Closure)：证明任意两个 n次单位根 相乘，结果仍然是一个 n次单位根。
   • 证明过程非常直接：设 $\zeta_1, \zeta_2$ 都是 n次单位根，这意味着 $\zeta_1^n=1$ 且 $\zeta_2^n=1$。
   • 我们要检验它们的乘积 $\zeta_1\zeta_2$ 是不是也是 n次单位根，也就是检验 $(\zeta_1\zeta_2)^n$ 是否等于 1。
   • 利用指数律，$(\zeta_1\zeta_2)^n = \zeta_1^n \zeta_2^n$。因为我们知道 $\zeta_1^n=1$ 和 $\zeta_2^n=1$，所以结果是 $1 \cdot 1 = 1$。
   • 这就证明了乘积确实也是一个 n次单位根，所以集合 $\mu_n$ 在乘法下是封闭的。
   • (ii) 单位元 (Identity Element)：证明集合中包含乘法单位元 1。
   • 这非常显然，因为 $1^n=1$ 对于任何自然数 $n$ 都成立。所以 1 永远是 n次单位根 集合中的一员。
   • (iii) 逆元 (Inverse Element)：证明集合中每个元素的乘法逆元也存在于该集合中。
   • 一个复数 $\zeta$ 的乘法逆元是 $\zeta^{-1}$ 或 $1/\zeta$。
   • 我们要证明：如果 $\zeta$ 是一个 n次单位根，那么它的逆元 $\zeta^{-1}$ 也是。
   • 已知 $\zeta^n=1$。我们要检验 $(\zeta^{-1})^n$ 是否等于 1。
   • 利用指数律，$(\zeta^{-1})^n = \zeta^{-n} = (\zeta^n)^{-1}$。
   • 因为 $\zeta^n=1$，所以结果是 $(1)^{-1} = 1$。
   • 这就证明了逆元也满足方程，因此也在集合 $\mu_n$ 中。

这部分内容分为两个“备注”和一个“警告”，分别阐述了 n次单位根 的几何图像、其在求解一般复数开方中的应用，以及使用分数指数时需要注意的陷阱。

1. 备注 (i)：几何意义
   • 这句话将代数对象“n次单位根”与几何图形“正n边形”直接联系起来。
   • 一个复数 $a+bi$ 可以看作是二维实数平面 $\mathbb{R}^2$ 上的一个点或一个向量 $(a,b)$。
   • 根据上一节的公式，所有的 n次单位根 的形式为 $(\cos(\frac{2k\pi}{n}), \sin(\frac{2k\pi}{n}))$。这些点与原点的距离（模长）都是1，所以它们都在以原点为圆心，半径为1的单位圆上。
   • 这些点的辐角（角度）是 $0, \frac{2\pi}{n}, \frac{4\pi}{n}, \ldots, \frac{2(n-1)\pi}{n}$。相邻两个点之间的角度差都是 $\frac{2\pi}{n}$。
   • 这意味着这些点将单位圆的周长 $n$ 等分了。
   • 将这些点依次连接起来，正好构成一个内接于单位圆的正 $n$ 边形。
   • 当 $k=0$ 时，我们得到的根是 $(\cos 0, \sin 0) = (1,0)$，所以这个正 n 边形的一个顶点总是在实轴的正半轴上。
2. 备注 (ii)：求解任意复数的n次方根
   • 这部分揭示了单位根的核心应用之一：它是解开任意复数开方问题的“万能钥匙”。
   • 假设我们要解方程 $w^n = z$，其中 $z$ 是一个给定的非零复数。
   • “一旦我们找到一个...根 $u$”，这意味着我们通过某种方法（比如将 $z$ 写成极坐标形式然后开方）得到了一个特解 $u$，满足 $u^n=z$。
   • 那么其他的根是什么呢？设 $w$ 是另一个根，也满足 $w^n=z$。
   • 我们来看它们的比值：$(\frac{w}{u})^n = \frac{w^n}{u^n} = \frac{z}{z} = 1$。
   • 这个方程 $(\frac{w}{u})^n = 1$ 恰好是 n次单位根 的定义！这意味着比值 $\frac{w}{u}$ 必须是一个 n次单位根。
   • 令 $\frac{w}{u} = \zeta$，其中 $\zeta \in \mu_n$。
   • 因此，$w = \zeta u$。
   • 这就告诉我们一个非常强大的结论：要求一个复数 $z$ 的所有 $n$ 个 $n$ 次方根，我们只需要找到它的 一个 根 $u$，然后用这个根 $u$ 去乘以 所有 $n$ 个 n次单位根，得到的结果集合 $\{ \zeta u : \zeta \in \mu_n \}$ 就是 $z$ 的所有 $n$ 次方根。
   • 最后一句“任意两个 n 次方根，它们之间相差一个 n 次单位根的乘积”是对这个结论的另一种表述。如果 $w_1, w_2$ 都是 $z$ 的 $n$ 次方根，那么 $w_1 = \zeta_1 u$, $w_2 = \zeta_2 u$。所以 $\frac{w_1}{w_2} = \frac{\zeta_1 u}{\zeta_2 u} = \frac{\zeta_1}{\zeta_2}$。由于 $\mu_n$ 是一个群，$\zeta_2$ 的逆元 $\zeta_2^{-1}$ 也在 $\mu_n$ 中，所以 $\frac{\zeta_1}{\zeta_2} = \zeta_1 \zeta_2^{-1}$ 也在 $\mu_n$ 中。
3. 警告：分数指数的陷阱
   • 作者提醒我们，不能像处理正实数那样随意地使用分数指数（如 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$）。
   • 在实数中，$\sqrt{x}$ 通常被定义为 $x$ 的“正”的平方根，这给了我们一个唯一的、首选的值。例如 $\sqrt{4}=2$ 而不是 $\pm 2$。因为有了这个唯一性约定，所以 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 对于正实数 $a, b$ 是成立的。
   • 但在复数中，$\sqrt{z}$ (或 $z^{1/2}$) 是一个多值函数。$\sqrt{-1}$ 有两个值：$i$ 和 $-i$。我们没有一个公认的标准去说哪个是“首选”的。
   • 作者给出的例子非常经典：
   • 从等式 $-1=i^2$ 出发。
   • 如果我们不假思索地认为 $i = \sqrt{-1}$，那么 $i^2$ 就变成了 $\sqrt{-1}\sqrt{-1}$。
   • 如果此时我们错误地套用实数的运算法则 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，就会得到 $\sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1}$。
   • 而 $\sqrt{1}$ 在实数语境下的首选值是 1。
   • 这样就推导出了 $-1 = 1$ 这个荒谬的结论。
   • 这个错误的根源在于第二步到第三步的转换：$\sqrt{-1} \sqrt{-1} \neq \sqrt{(-1)(-1)}$。在复数中，$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 这个法则只有在特定条件下才成立，不能滥用。
   • 这个警告的本质是：复数的 $n$ 次方根是 $n$ 个平等的根，没有哪一个是“主要的”或“首选的”，因此依赖于这种唯一性的运算法则在复数域中会失效。

这部分内容为回顾线性代数设定了基调，并定义了最基本的两个概念——向量和标量，以及它们之间的两种基本运算——向量加法和标量乘法。

1. 引言：
   • 作者首先说明这部分是“简要提及”，假设读者已有一定的线性代数基础。
   • 同时预告了在后续章节（第7章）中会有更抽象、更一般化的处理。这暗示了当前的回顾是基于具体的 $\mathbb{R}^n$ 空间，而未来会推广到抽象的向量空间。
2. 核心对象：向量与标量：
   • 线性代数的研究对象被明确为向量和标量。
   • 向量 (Vector)：在这里被具体定义为 $\mathbb{R}^n$ 的元素。一个 $\mathbb{R}^n$ 的元素是一个有序的 $n$ 元数组，如 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$。作者约定使用粗体字母（如 $\mathbf{v}$）来表示向量，以区别于标量。
   • 标量 (Scalar)：在这里被具体定义为 $\mathbb{R}$ 的元素，即普通的实数。标量通常用来“缩放”向量。
   • 推广：括号里的内容非常重要，它揭示了线性代数的抽象本质。
   • 我们不一定非要用实数。向量可以是 $\mathbb{C}^n$（$n$ 个复数组成的数组），此时标量就是复数 $\mathbb{C}$。向量也可以是 $\mathbb{Q}^n$（$n$ 个有理数组成的数组），此时标量就是有理数 $\mathbb{Q}$。
   • 关键在于，充当“标量”的那个数集，必须是一个“域”(Field)。“域”是一个代数结构，在其中可以进行加、减、乘、除（除以非零数）四则运算，并且这些运算满足我们所熟悉的交换律、结合律、分配律等。$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ 都是域的例子。这个概念是抽象代数的核心。
3. 基本运算的定义：
   • 向量加法 (Vector Addition)：
   • 定义为“对应分量相加”。
   • 如果 $\mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_n)$ 和 $\mathbf{w} = (w_1, \ldots, w_n)$，那么它们的和 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 就是一个新的向量，其第一个分量是 $v_1+w_1$，第二个分量是 $v_2+w_2$，以此类推。
   • 这个定义非常直观，几何上对应于向量的“平行四边形法则”或“首尾相连法则”。
   • 标量乘法 (Scalar Multiplication)：
   • 定义为一个标量 $t$ 乘以一个向量 $\mathbf{v}$。
   • 其结果是将向量的 每一个 分量都乘以该标量。$t\mathbf{v} = (tv_1, \ldots, tv_n)$。
   • 几何上，这对应于将向量进行拉伸或压缩。如果 $t>1$，向量被拉长；如果 $0<t<1$，向量被缩短；如果 $t<0$，向量被反向并缩放。
4. 运算的封闭性：
   • 作者特意强调了运算的封闭性，这是构建代数结构的第一步。
   • “两个向量的和是一个向量”：$\mathbb{R}^n$ 中的任意两个向量相加，结果仍然在 $\mathbb{R}^n$ 中，不会跑到空间外面去。
   • “向量与标量相乘，结果是一个向量”：用一个实数去乘一个 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，结果也仍在 $\mathbb{R}^n$ 中。
   • 这两个封闭性是向量空间定义的前两条基本要求。

这部分内容系统地罗列了向量加法和标量乘法所满足的8条基本运算法则。这些法则是构成一个“向量空间”的公理，也是进行一切线性代数运算的基础。作者指出，这些性质的证明都非常直接，因为它们本质上就是将向量运算拆解为分量上的实数运算，而实数的运算性质是我们所熟知的。

1. 命题 4.1.1 (i)：关于向量加法的性质 (构成阿贝尔群)
   • 可交换 (Commutative): $\mathbf{v}+\mathbf{w} = \mathbf{w}+\mathbf{v}$。
   • 证明：$\mathbf{v}+\mathbf{w} = (v_1+w_1, \ldots) = (w_1+v_1, \ldots) = \mathbf{w}+\mathbf{v}$。这里利用了实数加法的交换律 $v_i+w_i = w_i+v_i$。
   • 几何意义：平行四边形的两条邻边，先走哪一条再走另一条，最终到达的顶点是同一个。
   • 可结合 (Associative): $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$。
   • 证明：同样是利用实数加法的结合律 $(u_i+v_i)+w_i = u_i+(v_i+w_i)$。
   • 意义：三个或更多向量相加时，计算顺序无所谓。
   • 存在零向量 (Zero Vector): 存在一个特殊的向量 $\mathbf{0}$，使得对任意向量 $\mathbf{v}$ 都有 $\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{v}$。这个向量就是所有分量都为0的向量 $(0, \ldots, 0)$。
   • 证明：$\mathbf{v}+\mathbf{0} = (v_1+0, \ldots) = (v_1, \ldots) = \mathbf{v}$。
   • 存在加法逆元 (Additive Inverse): 对每个向量 $\mathbf{v}$，都存在一个向量 $-\mathbf{v}$，使得 $\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{0}$。这个逆元就是 $(-v_1, \ldots, -v_n)$，它恰好等于用标量 -1 乘以 $\mathbf{v}$。
   • 证明：$\mathbf{v}+(-\mathbf{v}) = (v_1+(-v_1), \ldots) = (0, \ldots) = \mathbf{0}$。
   • 这四条性质说明，集合 $\mathbb{R}^n$ 在向量加法这个运算下，构成一个交换群（也叫阿贝尔群）。
2. 命题 4.1.1 (ii)：关于标量乘法的性质
   • 标量乘法的结合律: $s(t\mathbf{v})=(st)\mathbf{v}$。
   • 证明：$s(t\mathbf{v}) = s(tv_1, \ldots) = (s(tv_1), \ldots) = ((st)v_1, \ldots) = (st)\mathbf{v}$。这里利用了实数乘法的结合律。
   • 意义：对一个向量进行两次连续的缩放，等价于一次性用两个缩放因子的乘积进行缩放。
   • 标量乘法的单位元: $1\mathbf{v}=\mathbf{v}$。
   • 证明：$1\mathbf{v} = (1 \cdot v_1, \ldots) = (v_1, \ldots) = \mathbf{v}$。
   • 意义：标量 1 在标量乘法中扮演着“不变”的角色，就像乘法中的1一样。
3. 命题 4.1.1 (iii)：连接两种运算的分配律
   • 标量加法对向量乘法的分配律: $(s+t)\mathbf{v} = s\mathbf{v} + t\mathbf{v}$。
   • 证明：$(s+t)\mathbf{v} = ((s+t)v_1, \ldots) = (sv_1+tv_1, \ldots) = (sv_1, \ldots) + (tv_1, \ldots) = s\mathbf{v} + t\mathbf{v}$。这里利用了实数乘法对加法的分配律。
   • 意义：把一个向量同时拉伸 $s$ 倍和 $t$ 倍，效果等同于一次性拉伸 $s+t$ 倍。
   • 标量乘法对向量加法的分配律: $t(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = t\mathbf{v} + t\mathbf{w}$。
   • 证明：$t(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = t(v_1+w_1, \ldots) = (t(v_1+w_1), \ldots) = (tv_1+tw_1, \ldots) = (tv_1, \ldots) + (tw_1, \ldots) = t\mathbf{v} + t\mathbf{w}$。
   • 意义：先将两个向量相加得到合向量，然后对合向量进行缩放；等同于先分别对两个向量进行同样的缩放，然后再将它们相加。几何上，这说明缩放操作保持了平行四边形法则。

这部分内容定义了线性代数中四个相互关联的核心概念：线性组合、张成、线性无关和基。这些概念是描述和理解向量空间结构的关键。

1. 线性组合 (Linear Combination)：
   • 这是最基本的构造模块。给定一组向量 $\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ 和一组标量 $\{t_1, \ldots, t_k\}$。
   • 表达式 $t_1\mathbf{v}_1 + t_2\mathbf{v}_2 + \cdots + t_k\mathbf{v}_k$ 就被称为这些向量的一个线性组合。
   • 本质上，线性组合就是对一些基本向量进行“缩放”（通过标量乘法）然后“相加”（通过向量加法）得到的新向量。
2. 张成 (Span)：
   • 一个向量集合的张成，是指由这组向量能够通过线性组合生成的所有向量的集合。
   • 符号 span 就是指这个集合。
   • 例如，$\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ 就是所有形如 $t_1\mathbf{v}_1 + t_2\mathbf{v}_2$ 的向量的集合，其中 $t_1, t_2$ 可以是任意实数。
   • 几何上，两个不共线的向量在三维空间中张成的是一个平面。一个非零向量张成的是一条穿过原点的直线。
   • 作者提到，任何一个向量 $\mathbf{v}_i$ 本身都属于它所在集合的张成，因为我们可以选择系数 $t_i=1$，而其他所有系数 $t_j=0$。
   • span $\emptyset = \{\mathbf{0}\}$ 是一个约定。空集无法进行线性组合，我们约定它生成零向量。这在理论上是必要的，因为零向量构成的空间是维度最小的子空间。
3. 线性无关 (Linearly Independent) 与 线性相关 (Linearly Dependent)：
   • 这两个概念是互斥的，用来描述一组向量的“冗余”程度。
   • 线性无关：一组向量被称为线性无关，如果唯一能让它们的线性组合等于零向量的方法，就是让所有的标量系数都为零。
   • 即 $\sum t_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}$ 能够推出的结论必然是 $t_1=t_2=\cdots=t_k=0$。
   • 直观意义：这组向量里没有任何一个是“多余”的。你无法用其他向量的线性组合来表示出其中任何一个向量。每一个向量都指向一个“新的维度”。
   • 线性相关：如果存在 不全为零 的一组标量系数，使得线性组合的结果是零向量，那么这组向量就是线性相关的。
   • 直观意义：这组向量里至少有一个是“多余”的、可以被其他向量表示出来的。例如，如果 $t_1\mathbf{v}_1 + t_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ 且 $t_1 \neq 0$，那么 $\mathbf{v}_1 = (-\frac{t_2}{t_1})\mathbf{v}_2$，说明 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 指向相同或相反的方向（共线），其中一个是多余的。
   • 作者给出了一个例子：如果一个序列中包含重复的向量，比如 $\mathbf{v}_i = \mathbf{v}_j$，那么这个序列一定是线性相关的。因为我们可以构造一个线性组合 $1 \cdot \mathbf{v}_i + (-1) \cdot \mathbf{v}_j = \mathbf{0}$，这里的系数 1 和 -1 不全为零。
4. 基 (Basis)：
   • 基是向量空间的“骨架”。一个向量序列要成为一个基，必须同时满足两个条件：
5. 它们是线性无关的（没有冗余）。
6. 它们可以张成整个空间（足够表达空间中的任何向量）。
   • 等价定义：一个向量集合是一个基，当且仅当空间中的任何一个向量都可以被这个集合中的向量 唯一地 线性组合出来。
   • “可以组合出来”对应“张成”性质。
   • “唯一地”对应“线性无关”性质。如果组合方式不唯一，说明有冗余，也就是线性相关。
   • 标准基 (Standard Basis)：这是 $\mathbb{R}^n$ 空间中最简单、最自然的一组基。
   • $\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)$
   • $\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)$
   • ...
   • $\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)$
   • 任何一个向量 $\mathbf{v}=(v_1, \ldots, v_n)$ 都可以非常容易地用标准基表示出来：$\mathbf{v} = v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + \cdots + v_n\mathbf{e}_n$。这里的系数恰好就是向量本身的分量。

这部分内容陈述了关于维数、基、线性无关和张成之间关系的五个核心定理。这些定理构成了有限维向量空间理论的基石，虽然此处未提供证明，但它们是线性代数课程中的关键结论。

1. 命题 4.1.3 (i)：
   • 内容：在一个 $n$ 维空间 ($\mathbb{R}^n$) 中，线性无关的向量个数最多不能超过 $n$。
   • 直观理解：在三维空间里，你最多只能找到三个“相互独立”的方向（比如墙角的三条棱线）。如果你试图引入第四个方向的箭头，那么这个箭头一定可以被前三个方向的箭头组合表示出来，它躺在前三个箭头构成的“坐标系”里。因此，四个或更多的向量在三维空间中必然是线性相关的。
2. 命题 4.1.3 (ii)：
   • 内容：如果要张成整个 $n$ 维空间，你至少需要 $n$ 个向量。
   • 直观理解：在三维空间里，只用两个向量，你最多只能张成一个平面，无法覆盖整个三维空间。你需要至少三个向量（而且它们还不能共面）才有可能填满整个空间。
3. 命题 4.1.3 (iii)：
   • 内容：$\mathbb{R}^n$ 的任何一个基都恰好包含 $n$ 个向量。
   • 推导：这是 (i) 和 (ii) 的直接结果。根据基的定义，它既要线性无关，又要能张成整个空间。
   • 由 (i)，作为线性无关的向量组，其个数 $k$ 必须 $k \leq n$。
   • 由 (ii)，作为能张成 $\mathbb{R}^n$ 的向量组，其个数 $k$ 必须 $k \geq n$。
   • 同时满足 $k \leq n$ 和 $k \geq n$ 的唯一可能性就是 $k=n$。
   • 意义：这个结论极其重要，它说明了“维数”是一个向量空间内在的、不变的属性。无论你选择哪一套基（坐标系），构成这个基的向量数量总是一个固定的数 $n$。这个数 $n$ 就被定义为向量空间的维数。
4. 命题 4.1.3 (iv)：
   • 内容：对于一个恰好包含 $n$ 个向量的向量组（在 $n$ 维空间中），“线性无关”和“张成整个空间”这两个条件是等价的。只要满足其中一个，另一个就自动满足，并且这个向量组就是一个基。
   • 意义：这是一个非常强大的简化工具。在判断 $n$ 个向量是否构成 $n$ 维空间的基时，我们不再需要同时检验线性无关和张成性这两个条件。
   • 我们只需要检验它们是否线性无关。如果是，它们就自动能张成整个空间，从而构成一个基。
   • 或者，我们只需要检验它们是否能张成整个空间。如果是，它们就自动是线性无关的，从而构成一个基。
   • 在实际计算中，判断 $n$ 个 $n$ 维向量是否线性无关（通常通过计算它们构成的矩阵的行列式是否非零）往往比证明它们能张成整个空间要容易得多。
5. 命题 4.1.3 (v)：
   • 内容：这描述了基的“可扩展性”和“可收缩性”。
   • 第一部分（扩展）：任何一组线性无关的向量，如果它还不足以构成一个基（因为它包含的向量个数少于 $n$），那么我们总可以从空间中挑选一些新的向量加入进来，把它“扩充”成一个完整的基。
   • 直观理解：在三维空间中，如果你有两个线性无关的向量（它们张成一个平面），你总能找到第三个不在此平面内的向量，把它加进来构成三维空间的一个基。
   • 第二部分（收缩）：如果一组向量能够张成整个空间，但它包含的向量个数多于 $n$（因此它必然是线性相关的，有冗余），那么我们总可以从这组向量中“剔除”掉一些多余的向量，剩下的向量构成一个基。
   • 直观理解：在三维空间中，你有四个向量可以张成整个空间。那么这四个向量中至少有一个是多余的，可以被其他向量表示。你把它扔掉，剩下的三个（或更少，直到线性无关为止）可能仍然能张成整个空间。这个过程可以一直进行下去，直到你得到一个不多不少，正好包含 $n$ 个线性无关的向量的基。

这部分内容引入了向量子空间的概念，并给出了它与“张成”的等价关系，以及子空间的维数的性质。

1. 定义 4.1.4：向量子空间的定义
   • 子空间是“大空间” $\mathbb{R}^n$ 内部的一个“小空间”。它本身也必须是一个向量空间。
   • 要成为一个子空间，一个子集 $V \subseteq \mathbb{R}^n$ 必须满足三个条件：
2. 非空 (Non-empty)：$V$ 至少要包含一个向量。（实际上，任何子空间都必须包含零向量 $\mathbf{0}$，所以这个条件通常通过检验 $\mathbf{0} \in V$ 来满足）。
3. 对加法封闭 (Closed under addition)：$V$ 里的任意两个向量相加，结果仍然在 $V$ 里面，不会“跑出去”。
4. 对标量乘法封闭 (Closed under scalar multiplication)：$V$ 里的任意一个向量乘以任意一个标量，结果也仍然在 $V$ 里面。
   • 一个直接的推论是：如果一个子空间 $V$ 包含向量 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$，那么它必然包含这些向量的所有线性组合。因为线性组合就是通过标量乘法和向量加法构造出来的，而 $V$ 对这两种运算都是封闭的。这意味着 $\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ 整个都包含在 $V$ 中。
   • 最后，作者提到，对于一个子空间 $V$ 自身而言，我们也可以讨论它里面的向量何时能张成 $V$，以及何时构成 $V$ 的一个基。这些概念是普适的。
5. 命题 4.1.5 (i)：子空间与张成的等价性
   • 这个命题建立了一个至关重要的联系：子空间和张成空间其实是同一回事。
   • 正向 ($\Rightarrow$)：如果 $V$ 是一个子空间，那么它总可以被看作是某组向量的张成。我们可以找到 $V$ 的一个基 $\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$，那么 $V = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$。
   • 反向 ($\Leftarrow$)：任何一组向量的张成空间 $W = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$，它自身一定是一个向量子空间。
   • 证明：我们需要验证子空间的三个条件。
6. 非空：$W$ 至少包含零向量（所有系数取0）。
7. 对加法封闭：取 $W$ 中任意两个向量 $\mathbf{a} = \sum t_i\mathbf{v}_i$ 和 $\mathbf{b} = \sum s_i\mathbf{v}_i$。它们的和 $\mathbf{a}+\mathbf{b} = \sum(t_i+s_i)\mathbf{v}_i$ 仍然是 $\mathbf{v}_i$ 的线性组合，所以也在 $W$ 中。
8. 对标量乘法封闭：取 $W$ 中任意一个向量 $\mathbf{a} = \sum t_i\mathbf{v}_i$ 和任意标量 $c$。$c\mathbf{a} = c\sum t_i\mathbf{v}_i = \sum(ct_i)\mathbf{v}_i$ 仍然是 $\mathbf{v}_i$ 的线性组合，所以也在 $W$ 中。
   • “最小子空间”的含义：包含向量集 $\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ 的子空间可能有很多，但 $\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ 是其中最小的那一个。任何其他包含这些向量的子空间，都必然把 $\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ 作为自己的一个子集。
9. 命题 4.1.5 (ii)：子空间的维数
   • 这个命题将维数的概念推广到子空间。
   • 一个子空间 $V$ 也是一个向量空间，所以它也有基。
   • 关键结论是：$V$ 的任意一个基所包含的向量数量都是相同的。这个不变的数值就被定义为子空间 $V$ 的维数，记作 $\operatorname{dim} V$。
   • 例如，在 $\mathbb{R}^3$ 中，任何一个穿过原点的平面都是一个子空间，它的任何一组基都由2个向量构成，所以它的维数是2。
10. 命题 4.1.5 (iii)：子空间维数的范围
    • 一个在 $\mathbb{R}^n$ 中的子空间 $V$，其维数不可能是任意值。它必须在 0 到 $n$ 之间。$\operatorname{dim} V \le n$ 是因为子空间 $V$ 中的线性无关的向量个数不能超过大空间 $\mathbb{R}^n$ 的维数 $n$。
    • 两个极端的例子：
    • 维数为 0：唯一的 0 维子空间就是只包含零向量的集合 $\{\mathbf{0}\}$。它的基是空集 $\emptyset$。
    • 维数为 n：如果一个子空间的维数达到了 $n$，那么它就不是“子”空间了，它就是整个大空间 $\mathbb{R}^n$ 本身。

这部分内容引入了一个全新的运算：内积（或称点积）。之前的向量加法和标量乘法是向量空间的“骨架”定义，而内积则为这个骨架增加了“血肉”，引入了长度、角度、正交等几何概念。

1. 多样的名称：
   • 作者首先列出了这个运算的三个常用名称：点积 (dot product)、标量积 (scalar product)、内积 (inner product)。
   • 点积：因其常用符号是一个点 · 而得名，如 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$。
   • 标量积：因
   • 内积：这是一个更抽象、更普适的名称。在 $\mathbb{R}^n$ 中，我们定义的这种运算是内积的一种具体实现（称为“标准内积”或“欧几里得内积”）。在更抽象的向量空间中（比如函数空间），可以定义满足同样性质的其他形式的内积。作者在这里选择使用内积的记法 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle$。
2. 定义：
   • 内积的计算方法非常简单：将两个向量的对应分量逐个相乘，然后将所有乘积相加。
   • 这个定义是代数的，但它背后蕴含着深刻的几何意义。
3. 内积的应用举例：
   • 提取分量：作者给出了一个非常巧妙的应用：一个向量 $\mathbf{v}$ 与标准基向量 $\mathbf{e}_i$ 的内积，恰好就是 $\mathbf{v}$ 的第 $i$ 个分量 $v_i$。
   • 证明：$\langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_i \rangle = \langle (v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_n), (0, \ldots, 1, \ldots, 0) \rangle = v_1 \cdot 0 + \cdots + v_i \cdot 1 + \cdots + v_n \cdot 0 = v_i$。
   • 这个性质非常有用，它说明可以通过内积运算来“探测”或“投影”一个向量在某个坐标轴上的分量。
4. 正交 (Orthogonal) 的定义：
   • 这是内积引入的最核心的几何概念之一。
   • 如果两个向量的内积为零，我们就称这两个向量是正交的。
   • 在二维或三维空间中，“正交”就是我们通常所说的“垂直 (perpendicular)”。
   • 这个定义将代数条件 ($\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0$) 与几何概念 (垂直) 等同起来，并将其推广到了任意高维空间。现在我们可以讨论 $\mathbb{R}^{100}$ 空间中两个向量是否“垂直”了。

这部分内容罗列了内积运算所满足的四个核心性质。这些性质在更抽象的层面定义了什么是“内积”。任何一个在向量空间上定义的二元运算，只要满足这四个性质，都可以被称为一个内积。

1. 对称性 (Symmetry):
   • 公式: $\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle$
   • 解释: 计算内积时，两个向量的顺序无所谓。
   • 证明: $\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \sum v_i w_i = \sum w_i v_i = \langle \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle$。这利用了实数乘法的交换律。
2. 双线性 (Bilinearity):
   • 这个性质实际上是两个性质的结合，它描述了内积与向量加法和标量乘法的互动关系。它意味着，如果你固定内积中的一个向量，那么内积运算对于另一个向量来说是线性的。
   • 对第一个变量的线性:
   • 加法: $\langle \mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{u} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{w}, \mathbf{u} \rangle$
   • 标量乘法: $\langle t\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = t\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle$
   • 对第二个变量的线性:
   • 加法: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}+\mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle$
   • 标量乘法: $\langle \mathbf{v}, t\mathbf{w} \rangle = t\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle$
   • 证明 (以第一个加法为例): $\langle \mathbf{v}+\mathbf{w}, \mathbf{u} \rangle = \sum (v_i+w_i)u_i = \sum (v_iu_i + w_iu_i) = \sum v_iu_i + \sum w_iu_i = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle + \langle \mathbf{w}, \mathbf{u} \rangle$。其他几个的证明类似，都依赖于实数的分配律和结合律。
   • 注意，因为对称性的存在，我们其实只需要证明对第一个变量的线性，对第二个变量的线性就可以自动推导出来。原文把标量乘法的两条合并写了，更清晰地展示了标量可以随意“提出”。
3. 正定性 (Positive-definiteness):
   • 这个性质也由两部分组成，描述了一个向量与自身的内积。
   • 第一部分: $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \ge 0$
   • 解释: 任何一个向量与自身的内积永远是非负的。
   • 证明: $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \sum v_i v_i = \sum v_i^2$。因为 $v_i$ 是实数，$v_i^2$ 永远大于等于0。一堆非负数的和当然也是非负的。
   • 第二部分: $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 \Longleftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}$
   • 解释: 一个向量与自身的内积等于0，当且仅当这个向量本身就是零向量。
   • 证明:
   • ($\Leftarrow$) 如果 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$，那么所有 $v_i=0$，所以 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \sum 0^2 = 0$。
   • ($\Rightarrow$) 如果 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0$，那么 $\sum v_i^2 = 0$。因为每一项 $v_i^2$ 都是非负的，一堆非负数相加等于0，唯一的可能性就是每一项都必须是0。即对于所有的 $i$ 都有 $v_i^2=0$，这意味着 $v_i=0$。所以 $\mathbf{v}=(0, \ldots, 0) = \mathbf{0}$。
   • 意义: 正定性是后面定义“长度”或“范数”的合法性的保证。长度必须是非负的，并且只有“零向量”的长度才是零。

这部分内容利用刚刚定义的内积，来正式定义向量的长度（也称为范数），并陈述了范数满足的两条重要性质。

1. 定义 4.1.8：长度/范数的定义
   • 一个向量 $\mathbf{v}$ 的长度，被定义为它与自身的内积的平方根。
   • 符号 $\|\mathbf{v}\|$ 读作“v的范数 (norm)”，在几何语境下也直接读作“v的长度 (length)”。双竖线是范数的标准记号。
   • 这个定义是合理的，因为它推广了我们熟悉的几何概念。在 $\mathbb{R}^2$ 中，向量 $\mathbf{v}=(x,y)$ 的长度根据勾股定理是 $\sqrt{x^2+y^2}$。而它的内积是 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = x^2+y^2$。因此，定义 $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}$ 与勾股定理完全吻合。
   • 上一节内积的正定性保证了这个定义的良好性：
   • 因为 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \ge 0$，所以开平方根总是有意义的（在实数范围内）。
   • 因为 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 \iff \mathbf{v}=\mathbf{0}$，所以长度为0当且仅当向量是零向量。
2. 命题 4.1.9：范数的性质
   • 这里给出了范数（作为一种“长度”度量）必须满足的基本性质。
   • 第一条性质：与标量乘法的关系
   • 公式: $\|t\mathbf{v}\| = |t|\|\mathbf{v}\|$
   • 解释: 将一个向量缩放 $t$ 倍，其新的长度等于原长度乘以 $|t|$（$t$ 的绝对值）。
   • 证明:
   • 第二条性质：三角不等式 (Triangle Inequality)
   • 公式: $\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\| \leq \|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{w}\|$
   • 解释: “两边之和大于第三边”。在由向量 $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ 和 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 构成的三角形中（根据向量加法的首尾相连法则），代表“直达”路径的边 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 的长度，不会超过“绕路”走的两条边 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 的长度之和。
   • 证明: 这个证明稍微复杂，通常依赖于另一个重要的不等式——柯西-施瓦茨不等式 ($\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle^2 \le \|\mathbf{v}\|^2 \|\mathbf{w}\|^2$)。(原文未给出证明，这里简要概述)

这部分内容提出了一个虽然简单但非常关键的引理，称为内积的非退化性 (non-degeneracy)。

1. 引理的内容：
   • 它说：在 $\mathbb{R}^n$ 空间中，如果存在一个向量 $\mathbf{v}$，它“神通广大”，与空间中 所有 的向量（包括它自己）都正交（内积为0），那么这个向量 $\mathbf{v}$ 不可能是别的，只能是零向量 $\mathbf{0}$。
   • 换句话说，不存在一个非零的“幽灵向量”，它躲在某个维度里，与我们能感知到的所有向量都垂直。
2. 第一个证明：
   • 这是一个非常巧妙和常见的数学证明技巧，叫做“代入特殊值”。
   • 前提: 对于 所有 的 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$，都有 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0$。
   • 技巧: 既然对 所有 的 $\mathbf{w}$ 都成立，那么必然对某个 特殊 的 $\mathbf{w}$ 也成立。我们该选哪个特殊 $\mathbf{w}$ 呢？最能揭示 $\mathbf{v}$ 自身信息的向量就是 $\mathbf{v}$ 本身！
   • 推导: 我们选择让 $\mathbf{w} = \mathbf{v}$。根据前提，我们必须有 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0$。
   • 结论: 根据内积的正定性（命题 4.1.7），$\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0$ 的充分必要条件是 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$。
   • 证明完毕。这个证明非常优雅，一步到位。
3. 第二个证明：
   • 这是一个更“构造性”的证明方法，它直接展示了为什么 $\mathbf{v}$ 的所有分量都必须是0。
   • 前提: 同样是对于 所有 的 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$，都有 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0$。
   • 技巧: 这次我们代入另一组特殊的向量——标准基向量 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$。
   • 推导:
   • 让 $\mathbf{w} = \mathbf{e}_1$。根据前提，$\langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_1 \rangle = 0$。而我们之前知道 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_i \rangle = v_i$，所以这意味着 $v_1=0$。
   • 让 $\mathbf{w} = \mathbf{e}_2$。根据前提，$\langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_2 \rangle = 0$，所以 $v_2=0$。
   • ...
   • 让 $\mathbf{w} = \mathbf{e}_n$。根据前提，$\langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_n \rangle = 0$，所以 $v_n=0$。
   • 结论:既然 $\mathbf{v}$ 的所有分量 $v_1, v_2, \ldots, v_n$ 都等于0，那么 $\mathbf{v}$ 只能是零向量 $\mathbf{0}$。

这部分内容定义了内积空间中一类非常重要和好用的基——标准正交基。

1. 定义标准正交基：
   • 一个标准正交基首先必须是一个基，即它由 $n$ 个线性无关的向量构成，能张成整个 $\mathbb{R}^n$ 空间。
   • 在此基础上，它还必须满足额外的“标准正交”条件，这个条件可以用一个简洁的公式表达：$\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = \delta_{ij}$ (Kronecker delta)。
   • 这个条件分解开来就是两条：
2. 正交性 (Orthogonality)：当 $i \neq j$ 时，$\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = 0$。这意味着基中任意两个 不同 的向量都是相互垂直的。
3. 标准化 (Normalization)：当 $i=j$ 时，$\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle = 1$。根据范数的定义，这等价于 $\|\mathbf{u}_i\|^2 = 1$，即 $\|\mathbf{u}_i\| = 1$。这意味着基中的 每一个 向量都是单位向量（长度为1）。
   • 简而言之，标准正交基就是一套由相互垂直的单位向量组成的基。
4. 标准基的例子：
   • 我们最熟悉的标准基 $\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}$ 就是一个标准正交基。
   • 验证：
   • 正交性：如果 $i \neq j$，$\mathbf{e}_i$ 在第 $i$ 位是1，其他位是0；$\mathbf{e}_j$ 在第 $j$ 位是1，其他位是0。$\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle = \sum_k (\mathbf{e}_i)_k (\mathbf{e}_j)_k = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + \ldots = 0$。
   • 标准化：$\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_i \rangle = 1^2 = 1$。
   • 所以标准基完美符合标准正交基的定义。它对应于我们最熟悉的直角坐标系的坐标轴方向。
5. 标准正交序列的性质：
   • 作者在这里放宽了条件，讨论一个不一定是基的“标准正交序列” $\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k\}$（即只满足相互垂直且长度为1，但个数 $k$ 可能小于 $n$）。
   • 一个关键结论：一个标准正交序列必然是线性无关的。
   • 证明:
   • 假设我们有一个线性组合等于零向量：$\sum_{i=1}^k t_i \mathbf{u}_i = \mathbf{0}$。我们的目标是证明所有系数 $t_j$ 都必须是0。
   • 技巧：将这个等式两边同时与其中一个向量 $\mathbf{u}_j$ 做内积。
   • $\langle \sum_{i=1}^k t_i \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = \langle \mathbf{0}, \mathbf{u}_j \rangle = 0$。
   • 利用内积的线性，左边可以展开：$\sum_{i=1}^k t_i \langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = 0$。
   • 现在利用标准正交的性质：在这个和式中，当 $i \neq j$ 时，$\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = 0$，这些项都消失了。唯一剩下的项是当 $i=j$ 时，此时 $\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j \rangle = 1$。
   • 所以整个和式简化为：$t_j \cdot 1 = 0$，即 $t_j=0$。
   • 因为 $j$ 可以是 $1, \ldots, k$ 中的任意一个，所以我们证明了所有的系数 $t_1, \ldots, t_k$ 都必须是0。
   • 根据线性无关的定义，这个标准正交序列是线性无关的。
   • 推论: 因为标准正交序列是线性无关的，根据命题 4.1.3(i)，在 $\mathbb{R}^n$ 中，任何线性无关的向量个数都不能超过 $n$。因此，标准正交序列的长度 $k$ 也不能超过 $n$。

这部分内容分为两块：首先详细分析了二维平面 $\mathbb{R}^2$ 中所有标准正交基的形态，然后引出了一个更具普适性的算法——Gram-Schmidt（格拉姆-施密特）正交化过程。

1. 分析 $\mathbb{R}^2$ 中的标准正交基：
   • 一个标准正交基由两个向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2$ 构成。
   • 第一步：确定第一个向量 $\mathbf{u}_1$。
   • $\mathbf{u}_1$ 必须是一个单位向量 ($\|\mathbf{u}_1\|=1$)。
   • 在 $\mathbb{R}^2$ 中，任何单位向量都可以写成 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 的形式，其中 $\theta$ 是该向量与 x 轴正方向的夹角。这个角度在模 $2\pi$ 的意义下是唯一的。
   • 第二步：寻找第二个向量 $\mathbf{u}_2$。
   • $\mathbf{u}_2$ 必须与 $\mathbf{u}_1$ 正交，并且自身也是单位向量。
   • 作者先给出了一个通用技巧：对于任意非零向量 $\mathbf{v}=(a,b)$，如何找到一个与它正交且等长的向量 $\mathbf{v}'$。
   • 我们可以验证 $\mathbf{v}' = (-b,a)$ 满足条件：$\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}' \rangle = \langle (a,b), (-b,a) \rangle = a(-b) + b(a) = -ab+ab = 0$。它们是正交的。
   • 它们的长度：$\|\mathbf{v}\|^2 = a^2+b^2$, $\|\mathbf{v}'\|^2 = (-b)^2+a^2 = b^2+a^2$。长度相等。
   • 另一个选择是 $-(-b,a) = (b,-a)$，同样也满足正交和等长。
   • 几何上，从 $(a,b)$ 到 $(-b,a)$ 是逆时针旋转 $90^\circ$ ($\pi/2$)；到 $(b,-a)$ 是顺时针旋转 $90^\circ$。
   • 应用到 $\mathbf{u}_1$：
   • 我们已经有 $\mathbf{u}_1 = (\cos\theta, \sin\theta)$。这里 $a=\cos\theta, b=\sin\theta$。
   • 根据上面的技巧，与之正交的单位向量 $\mathbf{u}_2$ 就有两种可能：
2. $(-b, a) = (-\sin\theta, \cos\theta)$。
3. $(b, -a) = (\sin\theta, -\cos\theta)$。
   • 斜率推论：作者插入了一个有趣的推论。如果一条线的方向向量是 $(1, m_1)$，另一条线的方向向量是 $(1, m_2)$。如果它们垂直，则它们的内积为0：$1 \cdot 1 + m_1 m_2 = 0 \implies m_1m_2 = -1$。这为“垂直直线的斜率乘积为-1”提供了向量方法的证明。
4. 命题 4.1.12：$\mathbb{R}^2$ 标准正交基的完整描述
   • 这个命题是对上述分析的总结。
   • $\mathbb{R}^2$ 中的任何一个标准正交基，都必然是以下两种形态之一：
5. 右手系 (Right-handed)：$\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\} = \{(\cos\theta, \sin\theta), (-\sin\theta, \cos\theta)\}$。这对应于一个标准的直角坐标系，绕原点旋转了 $\theta$ 角。从 $\mathbf{u}_1$ 到 $\mathbf{u}_2$ 是逆时针旋转 $90^\circ$。这种基的定向 (orientation) 是正的。
6. 左手系 (Left-handed)：$\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\} = \{(\cos\theta, \sin\theta), (\sin\theta, -\cos\theta)\}$。这对应于一个经过“镜面反射”的坐标系。从 $\mathbf{u}_1$ 到 $\mathbf{u}_2$ 是顺时针旋转 $90^\circ$。这种基的定向是负的。（这与后面行列式为+1或-1的正交矩阵相对应）。
7. 引出 Gram-Schmidt 过程
   • 在 $\mathbb{R}^2$ 中找标准正交基很简单，但在更高维空间呢？
   • 作者在这里引出了 Gram-Schmidt 正交化过程，这是一个通用的、构造性的算法。
   • 输入：一组线性无关的向量 $\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$。
   • 输出：一组标准正交的向量 $\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k\}$。
   • 关键性质：这个算法生成的标准正交向量组，在每一步都保持了与原向量组相同的“张成历史”。即，前 $i$ 个新向量张成的空间，与前 $i$ 个旧向量张成的空间是完全一样的。$\operatorname{span}\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_i\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_i\}$。
   • 算法思想（未展开）：
8. 取 $\mathbf{v}_1$，将它单位化得到 $\mathbf{u}_1$。
9. 取 $\mathbf{v}_2$，减去它在 $\mathbf{u}_1$ 方向上的投影，得到一个与 $\mathbf{u}_1$ 垂直的新向量。然后将这个新向量单位化，得到 $\mathbf{u}_2$。
10. 取 $\mathbf{v}_3$，减去它在 $\mathbf{u}_1$ 和 $\mathbf{u}_2$ 张成的平面上的投影，得到一个与该平面垂直的新向量。再单位化得到 $\mathbf{u}_3$。
11. 以此类推。
    • 缺点：作者也指出了这个算法在手算时的缺点：由于反复进行投影（涉及内积）和单位化（涉及除以长度），计算中会频繁出现分数和平方根，过程可能相当繁琐。

这部分内容回顾了矩阵的基本定义、相关术语以及矩阵的两种基本运算：加法和标量乘法。

1. 矩阵的定义：
   • 一个 $m \times n$ 矩阵被定义为一个矩形的数字排列，有 $m$ 行 (rows) 和 $n$ 列 (columns)。
   • $a_{ij}$ 是矩阵 $A$ 的一个元素，其中第一个下标 $i$ 代表它所在的行号，第二个下标 $j$ 代表列号。这个约定必须牢记。
   • $A=(a_{ij})$ 是矩阵的紧凑记法。
2. 向量作为矩阵：
   • 作者将我们之前讨论的向量与矩阵联系起来。
   • 一个向量 $(x_1, \ldots, x_n)$ 可以被看作是一个只有一行的矩阵，即 $1 \times n$ 矩阵，称为行向量 (row vector)。
   • 同样，它也可以被看作是一个只有一列的矩阵，即 $n \times 1$ 矩阵，称为列向量 (column vector)。
   • 作者特别指出，在线性代数中，特别是当矩阵要作用于向量时（函数应用），通常约定将向量写成列向量的形式。这是后续理解矩阵乘法的关键。
3. 矩阵集合的符号：
   • $\mathbb{M}_{m,n}(\mathbb{R})$：表示所有 $m \times n$ 实数矩阵的集合。
   • 括号里的 $\mathbb{R}$ 指明了矩阵中元素的来源。它可以被替换为复数 $\mathbb{C}$、有理数 $\mathbb{Q}$，甚至是整数 $\mathbb{Z}$。
   • 方阵 (Square Matrix)：当行数和列数相等时 ($m=n$)，这种矩阵被称为 $n \times n$ 方阵。其集合简写为 $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$。方阵有许多特殊的性质，是线性代数研究的核心对象之一。
4. 矩阵的加法和标量乘法：
   • 矩阵加法：只有尺寸相同的两个矩阵才能相加。加法被定义为对应位置的元素相加。$(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$。
   • 标量乘法：一个标量 $t$ 乘以一个矩阵 $A$，结果是将矩阵的每一个元素都乘以 $t$。$(tA)_{ij} = t \cdot a_{ij}$。
   • 零矩阵 (Zero Matrix) $O$：所有元素都为 0 的矩阵。它在矩阵加法中扮演单位元的角色 ($A+O=A$)。
5. 矩阵空间与向量空间的关系：
   • 作者提出了一个深刻的见解：所有 $m \times n$ 矩阵组成的集合 $\mathbb{M}_{m,n}(\mathbb{R})$，在刚刚定义的矩阵加法和标量乘法下，其本身也构成一个向量空间。
   • 这个向量空间与 $\mathbb{R}^{mn}$ 是“同构”的。意思是，我们可以把一个 $m \times n$ 矩阵的所有 $mn$ 个元素按一定顺序（比如逐行）拉直，就得到了一个 $\mathbb{R}^{mn}$ 中的向量。矩阵的加法和标量乘法在这种“拉直”操作下，与 $\mathbb{R}^{mn}$ 中向量的加法和标量乘法是完全对应的。
   • 这意味着，我们之前讨论的关于向量空间的所有概念（线性无关、基、维数等）都可以应用在矩阵空间上。例如，矩阵空间 $\mathbb{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ 的维数就是 $mn$。

这部分定义了矩阵之间最重要、最独特的运算——矩阵乘法，并阐述了它的基本性质。

1. 矩阵乘法的定义：
   • 尺寸要求：矩阵乘法 $AB$ 并非对任意两个矩阵都有定义。它要求第一个矩阵 $A$ 的 列数 必须等于第二个矩阵 $B$ 的 行数。如果 $A$ 是 $m \times n$ 的，那么 $B$ 必须是 $n \times k$ 的。
   • 结果尺寸：乘积 $C=AB$ 的尺寸是 $m \times k$，即它有第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数。
   • 元素计算：结果矩阵 $C$ 中第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素 $c_{ij}$，是由 $A$ 的第 $i$ 行和 $B$ 的第 $j$ 列计算得出的。
   • 核心规则：“行乘以列”：计算 $c_{ij}$ 的方法，就是将 $A$ 的第 $i$ 行看作一个向量，将 $B$ 的第 $j$ 列看作一个向量，然后计算这两个向量的内积（点积）。
   • $c_{ij} = (AB)_{ij} = \sum_{t=1}^n a_{it}b_{tj} = \text{A的第i行} \cdot \text{B的第j列}$。
2. 矩阵乘法的性质：
   • 结合律 (Associativity)：$(AB)C = A(BC)$。只要尺寸允许相乘，运算顺序无所谓。这个性质非常重要，但其直接证明相当繁琐。后面会给出一个更“概念性”的证明。
   • 分配律 (Distributivity)：$A(B+C) = AB+AC$ 和 $(A+B)C = AC+BC$。矩阵乘法对矩阵加法满足分配律。
   • 不满足交换律 (Non-commutativity)：这是矩阵乘法与普通数字乘法最根本的区别。在绝大多数情况下，$AB \neq BA$。
   • 首先，如果 $A, B$ 不是方阵，$AB$ 和 $BA$ 可能只有一个有定义，或者尺寸完全不同，根本无法比较。
   • 即使 $A, B$ 都是 $n \times n$ 方阵，使得 $AB$ 和 $BA$ 都有定义且尺寸相同，它们的结果也通常是不同的。
3. 单位矩阵 (Identity Matrix)：
   • 单位矩阵 $I_n$ 是一个 $n \times n$ 的方阵。
   • 定义：它的主对角线（从左上到右下的元素 $a_{ii}$）上的元素都是1，所有其他位置的元素都是0。
   • 向量表示：可以将 $I_n$ 的列看作是 $\mathbb{R}^n$ 的标准基向量 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n$ 排成的列向量。也可以将其行看作是标准基向量排成的行向量。
   • 乘法单位元：单位矩阵在矩阵乘法中扮演着数字 1 的角色。任何矩阵 $A$ 乘以一个尺寸合适的单位矩阵，结果还是 $A$ 本身。
   • $I_m A = A$ (左乘)
   • $A I_n = A$ (右乘)
   • 这个性质的验证可以通过矩阵乘法的定义直接进行。例如，$(AI_n)_{ij} = \sum_t a_{it} (I_n)_{tj}$。在和式中，只有当 $t=j$ 时 $(I_n)_{tj}$ 才为1，其余都为0。所以和式只剩下 $a_{ij} \cdot 1 = a_{ij}$。

这部分内容揭示了矩阵在线性代数中的核心角色：作为线性函数（或称线性映射、线性变换）的具体表示。

1. 线性函数的定义：
   • 一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的函数 $F$ 被称为是线性的，如果它保持向量空间的结构，即满足两条性质：
2. 保持加法: $F(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = F(\mathbf{v}) + F(\mathbf{w})$
3. 保持标量乘法: $F(t\mathbf{v}) = tF(\mathbf{v})$
   • 直观上，一个线性变换可能旋转、缩放、投影、剪切空间，但它保持网格线平行且等距，并且保持原点不动。
4. 线性函数的确定性：
   • 一个线性函数 $F$ 的行为，被它如何变换基向量所完全决定。
   • 任何一个向量 $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)$ 都可以写成标准基的线性组合：$\mathbf{x} = \sum x_i \mathbf{e}_i$。
   • 利用 $F$ 的线性性质：$F(\mathbf{x}) = F(\sum x_i \mathbf{e}_i) = \sum F(x_i \mathbf{e}_i) = \sum x_i F(\mathbf{e}_i)$。
   • 这个结果表明，只要我们知道了标准基向量 $\mathbf{e}_i$ 经过变换后变成了什么向量 $F(\mathbf{e}_i)$，我们就可以通过简单的线性组合计算出 任何 向量 $\mathbf{x}$ 的变换结果。
5. 从线性函数构造矩阵：
   • 这正是矩阵表示线性变换的关键所在。
   • 假设我们知道了 $F(\mathbf{e}_1), F(\mathbf{e}_2), \ldots, F(\mathbf{e}_n)$ 的结果。这些结果都是 $\mathbb{R}^m$ 中的向量。我们称它们为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$。
   • 构造规则：构造一个 $m \times n$ 矩阵 $A$，其 第 $i$ 列 就由向量 $\mathbf{v}_i = F(\mathbf{e}_i)$ 的分量构成。
   • $A = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \\ | & | & & | \end{pmatrix}$
6. 矩阵乘法与函数应用的对应：
   • 有了这个矩阵 $A$，那么线性函数 $F$ 作用于任意向量 $\mathbf{x}$ 的过程 $F(\mathbf{x})$，就完全等价于矩阵 $A$ 与列向量 $\mathbf{x}$ 的矩阵乘法 $A\mathbf{x}$。
   • 我们来验证一下：
   • 这与我们上面推导出的 $F(\mathbf{x}) = \sum x_i F(\mathbf{e}_i)$ 完全一致。
   • 这解释了为什么矩阵乘法要定义成那个样子：它是为了让矩阵-向量乘法能够完美地模拟线性变换的“线性组合”过程。
7. 索引倒置的说明：
   • 作者提到了一个容易混淆的细节。$F(\mathbf{e}_i) = \mathbf{v}_i$。$\mathbf{v}_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 列。
   • $\mathbf{v}_i$ 本身是 $\mathbb{R}^m$ 中的向量，其分量是 $(a_{1i}, a_{2i}, \ldots, a_{mi})$。
   • 所以，$\mathbf{v}_i = \sum_{j=1}^m a_{ji} \mathbf{e}_j$。注意这里的求和下标是 $j$，代表在目标空间 $\mathbb{R}^m$ 中展开。
   • 所以我们有 $F(\mathbf{e}_i) = \sum_{j=1}^m a_{ji} \mathbf{e}_j$。
   • 左边的 $\mathbf{e}_i$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的第 $i$ 个基向量，右边的 $\mathbf{e}_j$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的第 $j$ 个基向量。而矩阵元素 $a_{ji}$ 的列索引 $i$ 对应源空间的基向量索引，行索引 $j$ 对应目标空间的基向量索引。这种索引关系初看有些绕，但它是矩阵表示法的内在逻辑。
8. 特殊情况：
   • 方阵：如果变换是从 $\mathbb{R}^n$ 到其自身，即 $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，那么对应的矩阵 $A$ 就是一个 $n \times n$ 方阵。
   • 单位矩阵：恒等变换 $\operatorname{Id}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ 是一个线性变换。它将每个标准基向量 $\mathbf{e}_i$ 变换为它自身 $\mathbf{e}_i$。所以构造出的矩阵，其第 $i$ 列就是 $\mathbf{e}_i$。这个矩阵正是单位矩阵 $I_n$。

这部分内容达到了前面铺垫的高潮，明确指出了矩阵乘法和函数复合之间的深刻联系，并简要提及了矩阵在书写线性方程组中的便捷性。

1. 命题 4.2.1：核心结论
   • 前提:
   • 有两个线性变换：$F$ (从 $\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$) 和 $G$ (从 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$)。
   • $F$ 对应的矩阵是 $B$ (尺寸 $n \times k$)。
   • $G$ 对应的矩阵是 $A$ (尺寸 $m \times n$)。
   • 复合函数: 我们先对一个向量做 $F$ 变换，再对结果做 $G$ 变换，得到复合函数 $G \circ F$。这个新的函数是从 $\mathbb{R}^k$ 直接到 $\mathbb{R}^m$ 的。
   • 结论:
2. 这个复合函数 $G \circ F$ 本身也是一个线性函数。
3. 表示 $G \circ F$ 这个新线性函数的矩阵，恰好就是两个矩阵的乘积 $A \cdot B$。
   • 重要提示: 注意顺序！函数复合是 $G \circ F$ (F first, G second)，而对应的矩阵乘法是 $AB$。这个顺序的对应关系非常重要。
4. 证明思路：
   • 要找到复合函数 $G \circ F$ 对应的矩阵 $C$，我们只需要知道 $C$ 的每一列是什么。根据上一节的规则，$C$ 的第 $i$ 列就是 $(G \circ F)$ 作用在第 $i$ 个标准基向量 $\mathbf{e}_i$ 上的结果。
   • 所以证明的目标就是计算 $(G \circ F)(\mathbf{e}_i)$。
   • 第一步: 根据矩阵 $B$ 的定义， $F(\mathbf{e}_i)$ 是 $B$ 的第 $i$ 列，可以写成目标空间 $\mathbb{R}^n$ 中基向量的线性组合: $F(\mathbf{e}_i) = \sum_{j=1}^n b_{ji} \mathbf{e}_j$。
   • 第二步: 将 $F(\mathbf{e}_i)$ 作为输入代入 $G$ 中。利用 $G$ 的线性性质：
   • 第三步: 根据矩阵 $A$ 的定义，我们知道 $G$ 如何变换基向量 $\mathbf{e}_j$ (这里的 $\mathbf{e}_j$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的基): $G(\mathbf{e}_j) = \sum_{k=1}^m a_{kj} \mathbf{e}_k$ (这里的 $\mathbf{e}_k$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的基)。
   • 第四步: 将第三步的结果代入第二步：
   • 第五步: 整理求和顺序。我们可以先把关于 $k$ 的求和提到外面，因为 $b_{ji}$ 不依赖于 $k$：
   • 第六步: 解读结果。这个公式告诉我们，复合函数作用在 $\mathbf{e}_i$ 上的结果，是一个 $\mathbb{R}^m$ 中的向量。这个向量在 $\mathbb{R}^m$ 的第 $k$ 个基向量 $\mathbf{e}_k$ 上的坐标是 $(\sum_{j=1}^n a_{kj}b_{ji})$。
   • 因此，代表复合函数 $G \circ F$ 的矩阵 $C$，其第 $k$ 行、第 $i$ 列的元素 $c_{ki}$ 就是 $(\sum_{j=1}^n a_{kj}b_{ji})$。
   • 这恰好就是矩阵乘积 $A \cdot B$ 的 $(k,i)$ 元素的定义！证明完成。
5. 矩阵乘法结合律的概念性证明：
   • 函数复合本身是满足结合律的：$H \circ (G \circ F) = (H \circ G) \circ F$。先做F再做G，然后做H；等同于先做F，然后做“G和H的组合”。这是函数的基本性质。
   • 既然矩阵乘法完美地对应于线性函数的复合，那么矩阵乘法的结合律 $A(BC)=(AB)C$ 就是函数复合结合律的直接“翻译”。
   • 这个证明比直接用元素去展开证明要优雅得多，更能体现数学结构之间的联系。
6. 矩阵与线性方程组：
   • 作者最后回到一个非常实际的应用。一个包含 $m$ 个方程、$n$ 个未知数的线性方程组可以被简洁地表示为矩阵形式。
   • 将所有系数 $a_{ij}$ 组成一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$。
   • 将所有未知数 $x_j$ 组成一个 $n \times 1$ 的列向量 $\mathbf{x}$。
   • 将所有等号右边的常数 $b_i$ 组成一个 $m \times 1$ 的列向量 $\mathbf{b}$。
   • 那么，整个庞大的方程组就可以用一个极其简洁的矩阵方程来表示：$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$。
   • 这是因为矩阵-向量乘法 $A\mathbf{x}$ 的结果向量的第 $i$ 个元素，正好是 $\sum_j a_{ij}x_j$，这与原方程组的第 $i$ 个方程的左边完全一样。

这部分内容将线性变换（由矩阵 $A$ 表示）与函数论中的单射 (injective) 和满射 (surjective) 概念联系起来，并引入了两个核心的子空间：零空间 (null space) 和像 (image)。

1. 零空间 (Null Space) / 核 (Kernel)：
   • 定义: 矩阵 $A$ 的零空间，记作 $\operatorname{Nul}(A)$ 或 $\ker(A)$，是所有那些被矩阵 $A$ 变换后变成零向量的输入向量 $\mathbf{v}$ 的集合。
   • 即，它是齐次线性方程组 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$ 的所有解的集合。
   • 这个集合是输入空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个子集。
2. 像 (Image) / 列空间 (Column Space)：
   • 定义: 矩阵 $A$ 的像，记作 $\operatorname{Im}(A)$ 或 $\operatorname{Col}(A)$，是所有可能的输出向量的集合。也就是说，它是由输入空间 $\mathbb{R}^n$ 中所有向量经过 $A$ 变换后得到的所有结果构成的集合。
   • $\operatorname{Im}(A) = \{A\mathbf{v} : \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\}$。
   • 这个集合是输出空间 $\mathbb{R}^m$ 的一个子集。
3. 命题 4.3.1：核心性质
   • 第一部分：子空间性质
   • 零空间和像这两个集合，不仅仅是子集，它们都是向量子空间。
   • 零空间是子空间：
4. 非空：$A\mathbf{0}=\mathbf{0}$，所以 $\mathbf{0} \in \operatorname{Nul}(A)$。
5. 加法封闭：如果 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}, A\mathbf{w}=\mathbf{0}$，则 $A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=A\mathbf{v}+A\mathbf{w}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$。
6. 标量乘法封闭：如果 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$，则 $A(t\mathbf{v})=t(A\mathbf{v})=t\mathbf{0}=\mathbf{0}$。
   • 像是子空间：这个结论源于像与列空间的等价性，下面会解释。
   • 第二部分：单射性 (Injectivity)
   • 单射的含义：一对一，不同的输入必有不同的输出。如果 $F(\mathbf{v})=F(\mathbf{w})$，则必有 $\mathbf{v}=\mathbf{w}$。
   • 等价条件1：零空间：一个线性函数 $F$ (或矩阵 $A$) 是单射的，当且仅当它的零空间只包含零向量 $\mathbf{0}$。
   • ($\Rightarrow$) 如果是单射，我们知道 $A\mathbf{0}=\mathbf{0}$。如果还有另一个向量 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ 使得 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$，那么 $A\mathbf{v}=A\mathbf{0}$ 但 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，与单射定义矛盾。所以零空间里只能有 $\mathbf{0}$。
   • ($\Leftarrow$) 如果零空间只有 $\mathbf{0}$，假设 $A\mathbf{v}=A\mathbf{w}$。移项得 $A(\mathbf{v}-\mathbf{w})=\mathbf{0}$。这说明向量 $\mathbf{v}-\mathbf{w}$ 在零空间里。既然零空间只有零向量，那么 $\mathbf{v}-\mathbf{w}=\mathbf{0}$，即 $\mathbf{v}=\mathbf{w}$。这正是单射的定义。
   • 等价条件2：列的线性无关性：一个矩阵 $A$ 是单射的，当且仅当它的所有列向量是线性无关的。
   • 原因：方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 可以写成 $x_1\mathbf{c}_1 + \cdots + x_n\mathbf{c}_n = \mathbf{0}$，其中 $\mathbf{c}_i$ 是 $A$ 的列向量。零空间只有零向量意味着这个方程只有唯一解 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$。而根据线性无关的定义，这恰好说明了列向量 $\mathbf{c}_1, \ldots, \mathbf{c}_n$ 是线性无关的。
   • 第三部分：满射性 (Surjectivity)
   • 满射的含义：输出能够覆盖整个目标空间。对于目标空间 $\mathbb{R}^m$ 中的任意一个向量 $\mathbf{b}$，都至少存在一个输入向量 $\mathbf{x}$ 使得 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
   • 等价条件：列张成空间：一个矩阵 $A$ 是满射的，当且仅当它的列向量张成整个目标空间 $\mathbb{R}^m$。
   • 原因: “$A$ 是满射的”意味着像 $\operatorname{Im}(A)$ 等于整个 $\mathbb{R}^m$。而更一般地，$\operatorname{Im}(A)$ 到底是什么？一个输出向量 $A\mathbf{x}$ 就是 $A$ 的列的线性组合：$A\mathbf{x} = x_1\mathbf{c}_1 + \cdots + x_n\mathbf{c}_n$。所有这些可能的线性组合的集合，正是 $A$ 的列的张成空间 $\operatorname{span}\{\mathbf{c}_1, \ldots, \mathbf{c}_n\}$。因此，$\operatorname{Im}(A) = \operatorname{span}\{\mathbf{c}_i\}$。所以，“像等于 $\mathbb{R}^m$” 就直接等价于 “列的张成等于 $\mathbb{R}^m$”。
7. 与线性方程组的联系：
   • 解的存在性：方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，意味着 $\mathbf{b}$ 必须是一个可能的输出。也就是说，$\mathbf{b}$ 必须在 $A$ 的像（或列空间）中。
   • 解的唯一性：如果一个解 $\mathbf{x}_p$ 存在 ($A\mathbf{x}_p = \mathbf{b}$)，那么通解是什么？设 $\mathbf{x}_h$ 是齐次方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的任意解（即 $\mathbf{x}_h \in \operatorname{Nul}(A)$），那么 $A(\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h) = A\mathbf{x}_p + A\mathbf{x}_h = \mathbf{b}+\mathbf{0} = \mathbf{b}$。这意味着 $\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h$ 也是一个解。
   • 因此，解是唯一的，当且仅当齐次方程只有零解，即零空间只有 $\mathbf{0}$。如果零空间非平凡，那么一旦有一个特解，就会有无穷多个解（特解加上零空间中的任意向量）。

这部分内容从上一节单射和满射的结论出发，推导了关于矩阵形状的限制，并引入了左逆、右逆和最终的逆矩阵概念。

1. 推论 (i)：关于单射
   • 形状限制: 如果变换 $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 是单射的，那么输入空间的维数 $n$ 不能大于输出空间的维数 $m$ ($n \le m$)。
   • 原因: 单射等价于 $A$ 的 $n$ 个列向量（它们是 $\mathbb{R}^m$ 中的向量）是线性无关的。而在 $\mathbb{R}^m$ 空间中，线性无关的向量个数最多不能超过 $m$（命题 4.1.3(i)）。所以 $n \le m$。
   • 直观: 你无法把一个高维空间（如3D）“无损地”塞进一个低维空间（如2D平面）里。必然会有重叠和信息丢失，因此不可能是单射。
   • 左逆: 单射变换 $F$ 存在一个“左逆” (left inverse) 函数 $G: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$，使得 $G \circ F$ 是恒等变换 ($G(F(\mathbf{x})) = \mathbf{x}$)。
   • 直观: $F$ 把 $\mathbb{R}^n$ “嵌入”到 $\mathbb{R}^m$ 中，形成一个 $n$ 维的子空间。左逆 $G$ 的作用就是把这个子空间完美地“映射回”原来的 $\mathbb{R}^n$，而把子空间之外的所有东西都“压扁”到 $\mathbb{R}^n$ 中的某处。
2. 推论 (ii)：关于满射
   • 形状限制: 如果变换 $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 是满射的，那么输入空间的维数 $n$ 不能小于输出空间的维数 $m$ ($n \ge m$)。
   • 原因: 满射等价于 $A$ 的 $n$ 个列向量能够张成整个 $\mathbb{R}^m$ 空间。而要张成 $m$ 维空间，至少需要 $m$ 个向量（命题 4.1.3(ii)）。所以 $n \ge m$。
   • 直观: 你无法用一个低维空间（如2D平面）去“填满”一个高维空间（如3D）。你最多只能填满其中的一部分。
   • 右逆: 满射变换 $F$ 存在一个“右逆” (right inverse) 函数 $H: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$，使得 $F \circ H$ 是恒等变换 ($F(H(\mathbf{y})) = \mathbf{y}$)。
   • 直观: 对于目标空间 $\mathbb{R}^m$ 中的任何一个点 $\mathbf{y}$，因为是满射，所以它在输入空间中至少有一个“原像”。右逆 $H$ 的作用就是为每一个 $\mathbf{y}$ “指定”一个确定的原像。这种指定可能不唯一。
3. 推论 (iii)：关于双射 (方阵的情况)
   • 核心结论: 当输入和输出空间维数相同时，即 $n=m$（对应于方阵），单射和满射这两个性质是等价的！
   • 原因: 对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，它的 $n$ 个列向量是 $\mathbb{R}^n$ 中的 $n$ 个向量。根据命题 4.1.3(iv)，对于 $n$ 个在 $n$ 维空间中的向量，“线性无关”（对应单射）和“张成整个空间”（对应满射）是等价的。
   • 双射 (Bijective)：一个函数既是单射又是满射，就称为双射。对于方阵来说，只要满足单射或满射之一，它就自动是双射。
   • 逆函数/逆矩阵: 一个双射函数存在一个唯一的逆函数 $F^{-1}$。对于线性变换，它的逆函数 $F^{-1}$ 也必然是线性的。因此，$F^{-1}$ 也可以用一个矩阵来表示，记作 $A^{-1}$。
   • $A^{-1}$ 满足 $A A^{-1} = I_n$ (因为 $F \circ F^{-1} = \operatorname{Id}$) 和 $A^{-1} A = I_n$ (因为 $F^{-1} \circ F = \operatorname{Id}$)。
4. 方阵的左逆与右逆：
   • 作者最后做了一个总结。对于一个方阵 $A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})$：
   • 如果它有一个左逆 $B$ (使得 $BA=I_n$)，那么 $A$ 必然是单射的，因此是双射的，所以它也必然有一个右逆。
   • 如果它有一个右逆 $C$ (使得 $AC=I_n$)，那么 $A$ 必然是满射的，因此是双射的，所以它也必然有一个左逆。
   • 更重要的是，它的左逆和右逆必然是同一个矩阵，也就是它的逆矩阵 $A^{-1}$。
   • 证明: $B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C$。这个经典的代数证明利用了结合律，展示了只要同时存在左逆和右逆，它们就必然相等。

这部分内容正式定义了可逆矩阵和一般线性群，并阐述了可逆矩阵在矩阵乘法下构成的群结构。

1. 定义 4.3.3：可逆矩阵与一般线性群
   • 可逆矩阵 (Invertible Matrix)：一个方阵 $A$ 被称为是可逆的，如果存在一个矩阵 $A^{-1}$ 满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。这个 $A^{-1}$ 就是它的逆矩阵。
   • 一般线性群 (General Linear Group)：
   • 所有 $n \times n$ 的可逆实数矩阵的集合，被赋予一个特殊的名字，叫做一般线性群，记作 $GL_n(\mathbb{R})$。
   • “General (一般)”是因为它包含了所有可逆的线性变换。
   • “Linear (线性)”是因为它的元素代表了线性变换。
   • “Group (群)”是因为这个集合在矩阵乘法这个运算下，满足群的公理。这正是下一个命题要阐述的。
   • $GL_n(\mathbb{R})$ 是群论中一个极其重要的例子，代表了 $n$ 维向量空间的“对称性”。
2. 命题 4.3.4：$GL_n(\mathbb{R})$ 的群结构
   • 这个命题实际上是在验证 $GL_n(\mathbb{R})$ 满足群的三个基本公理。
   • (i) 封闭性 (Closure) 与 逆的性质：
   • 内容: 如果 $A$ 和 $B$ 都是可逆的 $n \times n$ 矩阵，那么它们的乘积 $AB$ 也一定是可逆的。
   • 逆的公式: 并且，乘积的逆等于逆的“反序”乘积：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。这个公式必须牢记，顺序非常重要。
   • 证明: 我们需要验证 $B^{-1}A^{-1}$ 是不是 $AB$ 的逆。我们来计算乘积：
   • 右乘: $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A(I)A^{-1} = AA^{-1} = I$。
   • 左乘: $(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}(I)B = B^{-1}B = I$。
   • 既然从左、右两边乘都得到单位矩阵，那么根据逆矩阵的定义，$B^{-1}A^{-1}$ 确实是 $AB$ 的逆。
   • “穿脱袜子”的比喻：这就像穿鞋袜，先穿袜子 ($B$) 再穿鞋 ($A$)。脱的时候要反过来，先脱鞋 ($A^{-1}$) 再脱袜子 ($B^{-1}$)。
   • (ii) 单位元 (Identity Element)：
   • 内容: 单位矩阵 $I_n$ 本身是可逆的，并且它的逆就是它自己。
   • 证明: $I_n \cdot I_n = I_n$，这完美符合逆的定义。
   • 因此，单位矩阵是一般线性群 $GL_n(\mathbb{R})$ 的单位元。
   • (iii) 逆元 (Inverse Element)：
   • 内容: 如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么它的逆矩阵 $A^{-1}$ 也一定是可逆的。并且，“逆的逆”就是原来的矩阵 $A$：$(A^{-1})^{-1}=A$。
   • 证明: 根据逆矩阵的定义，我们有 $A^{-1}A = I_n$ 和 $AA^{-1}=I_n$。如果把 $A^{-1}$ 看作主角，那么 $A$ 这个矩阵，当它从右边或左边乘以 $A^{-1}$ 时，结果都是单位矩阵。这恰好说明 $A$ 就是 $A^{-1}$ 的逆矩阵。