2.1_二元结构与群_二元运算与二元结构.ZH解释

本章标题指出了我们将要学习的两个核心代数概念：“二元结构”和“群”。这标志着我们从预备知识（如集合、函数、等价关系）正式进入抽象代数的核心领域。

“二元结构”是更基础、更广泛的概念。它仅仅是一个集合配上一个“运算规则”。这个规则告诉我们如何将该集合中的任意两个元素“组合”起来，得到该集合中的第三个元素。我们日常接触的加、减、乘、除都可以看作是某种二元结构的例子。

“群”则是一种特殊的、性质更丰富的二元结构。它在二元结构的基础上，增加了几个关键的“好”性质（结合律、单位元、逆元），这些性质使得群的结构非常优美和强大，成为抽象代数研究的基石。本章的目标就是首先理解最泛化的二元结构，然后聚焦于最重要的二元结构之一——群。

这个标题引入了本章的第一个小节，聚焦于构成二元结构的两个基本组成部分：“二元运算”和“二元结构”本身。我们将首先精确定义什么是“运算”，然后将它与一个集合捆绑在一起，形成一个完整的代数结构。这是我们从算术世界迈向抽象代数世界的第一步。

这部分给出了二元运算和二元结构最核心的数学定义。

首先，代数的本质被描述为“将两个事物结合得到第三个事物”。这句话非常关键，它抓住了所有代数运算的共同特征。例如，加法是把两个数（比如2和3）结合起来，得到第三个数（5）；矩阵乘法是把两个矩阵结合起来，得到第三个矩阵。

定义 1.1.1 将这个朴素的想法形式化、数学化了。

• “设 $X$ 是一个非空集合”：我们的舞台是一个集合，里面装着我们要操作的对象。它不能为空，否则就没什么可操作的了。
• “$X$ 上的二元运算是一个函数 $F: X \times X \rightarrow X$”：这是最关键的一句。
• 函数 $F$：运算的本质是一个函数，这意味着它有明确的输入和唯一的输出，不存在模棱两可的情况。
• 输入是 $X \times X$：这表示函数的输入是一个有序数对 $(a, b)$，其中 $a$ 和 $b$ 都必须是集合 $X$ 中的元素。这就是“二元”的含义——它操作两个元素。
• 输出是 $X$：这表示函数的输出结果 $c$ 也必须是集合 $X$ 中的元素。这个性质通常被称为闭包性（closure），即运算结果不会“跑出”原来的集合。例如，两个整数相加，结果仍然是整数，所以整数加法在整数集上是闭合的。但两个奇数相加，结果是偶数，所以加法在“奇数集”上是不闭合的。
• 符号的改变：为了书写方便和符合习惯，我们不用标准的函数表示法 $F(a, b)$，而是用中缀表示法，如 $a+b$ 或 $a*b$。这里的 $*$ 是一个占位符，可以代表任何具体的二元运算。

定义 1.1.2 在定义了二元运算后，定义二元结构就水到渠成了。

• “一个二元结构 $(X, *)$”：一个二元结构被表示为一个有序数对。
• $X$：第一个分量是集合，即我们的操作对象。
• $*$：第二个分量是定义在 $X$ 上的二元运算，即我们的操作规则。
• 这个定义告诉我们，讨论代数结构时，必须同时指明集合和其上的运算，两者缺一不可。例如，只说“整数集”是没有代数意义的，而说“整数集和其上的加法”，即 $(\mathbb{Z}, +)$，这才构成一个二元结构。

这部分通过大量丰富的例子来巩固对二元结构的理解。这些例子覆盖了数学的多个领域，展示了二元结构这个概念的普遍性。

1. 基于加法 (+) 的例子：
   • $(\mathbb{N},+),(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$: 这里的 $\mathbb{N}$ (自然数), $\mathbb{Z}$ (整数), $\mathbb{Q}$ (有理数), $\mathbb{R}$ (实数), $\mathbb{C}$ (复数) 都是我们熟悉的数集。在这些集合上，普通的加法运算都是闭合的（两个同类数相加，结果还是同类数），因此它们都构成了二元结构。
   • $(\mathbb{R}^{n},+)$: 这是 $n$ 维实向量的集合。向量的加法是逐分量相加，结果仍然是一个 $n$ 维实向量，所以是闭合的。
   • $(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),+)$: 这是所有 $n \times m$ 实矩阵的集合。矩阵的加法是对应位置的元素相加，结果仍然是一个 $n \times m$ 实矩阵，所以也是闭合的。
2. 基于减法 (-) 的例子：
   • $(\mathbb{Z},-),(\mathbb{Q},-),(\mathbb{R},-),(\mathbb{C},-),\left(\mathbb{R}^{n},-\right),\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),-\right)$: 在这些集合上，减法是闭合的。例如，两个整数相减，结果还是整数。但是注意，正如之前讨论的，$(\mathbb{N}, -)$ 不是二元结构，因为 $3-5=-2 \notin \mathbb{N}$。
3. 基于乘法 (·) 的例子：
   • $(\mathbb{N}, \cdot),(\mathbb{Z}, \cdot),(\mathbb{Q}, \cdot),(\mathbb{R}, \cdot),(\mathbb{C}, \cdot)$: 在这些数集上，乘法是闭合的。
   • $(\mathbb{Q}^{*}, \cdot),(\mathbb{R}^{*}, \cdot),(\mathbb{C}^{*}, \cdot)$: 这里的星号上标 * 表示“排除0”。例如 $\mathbb{Q}^{*}$ 是所有非零有理数的集合。为什么要排除0？因为如果我们想讨论除法（即乘以逆元），0是没有逆元的。但仅就乘法本身而言，两个非零实数相乘，结果也一定是非零实数，所以乘法在这些“去掉了0”的集合上是闭合的。
   • $(U(1), \cdot)$: $U(1)$ 是复平面上单位圆上的所有复数的集合，即所有模长为1的复数。两个模长为1的复数相乘，根据复数乘法性质 $|z_1 z_2| = |z_1||z_2| = 1 \cdot 1 = 1$，结果的模长仍然为1，所以结果仍在单位圆上。因此乘法在 $U(1)$ 上是闭合的。
   • $(\mu_{n}, \cdot)$: $\mu_{n}$ 是 $n$ 次单位根的集合，即方程 $z^n=1$ 在复数域中的所有解。如果 $z_1, z_2$ 都是 $n$ 次单位根，那么 $(z_1 z_2)^n = z_1^n z_2^n = 1 \cdot 1 = 1$，所以它们的乘积也仍然是一个 $n$ 次单位根。因此乘法在 $\mu_n$ 上是闭合的。
   • $(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot)$: $n \times n$ 的实方块矩阵的集合。两个 $n \times n$ 矩阵相乘，结果还是一个 $n \times n$ 矩阵，所以乘法在此闭合。
   • $(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot), (S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot), (O_{n}, \cdot), (S O_{n}, \cdot)$: 这些是特殊的矩阵集。$GL_n$ (General Linear) 是可逆矩阵集，两个可逆矩阵之积仍然可逆。$SL_n$ (Special Linear) 是行列式为1的矩阵集，两个行列式为1的矩阵之积的行列式也为1。$O_n$ (Orthogonal) 是正交矩阵集，两个正交矩阵之积仍然正交。$SO_n$ (Special Orthogonal) 是行列式为1的正交矩阵集，它们的乘积也保持此性质。这些运算在各自的集合上都是闭合的。
4. 基于函数复合 (∘) 的例子：
   • $(X^{X}, \circ)$: $X^X$ 表示所有从集合 $X$ 到自身的函数的集合。任取两个这样的函数 $f: X \rightarrow X$ 和 $g: X \rightarrow X$，它们的复合函数 $f \circ g$ (先用 $g$ 再用 $f$) 的定义域是 $X$，到达域也是 $X$。所以复合在 $X^X$ 上是闭合的。
   • $(S_{X}, \circ)$: $S_X$ 是所有从 $X$ 到自身的双射函数（即置换）的集合。两个双射函数的复合仍然是一个双射函数，所以复合在 $S_X$ 上是闭合的。
5. 基于等价类的例子：
   • $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+), (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$: 这是模 $n$ 同余类的集合。我们定义 $[a]+[b]=[a+b]$ 和 $[a]\cdot[b]=[ab]$。由于 $a+b$ 和 $ab$ 的结果仍然是整数，所以它们各自属于某个同余类，因此运算是闭合的。这里的关键是运算的良定义性，即运算结果不依赖于代表元的选择。例如在 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 中，$[1]+[2]=[3]=[0]$，我们也可以用 $[4]$ 代表 $[1]$，用 $[5]$ 代表 $[2]$，那么 $[4]+[5]=[9]$，而 $9 \pmod 3 = 0$，所以 $[9]=[0]$，结果是一致的。
   • $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$: 这可以理解为把实数轴 $\mathbb{R}$ 卷起来，长度为 $2\pi$ 的一段卷成一个圆。加法就是在这个圆上进行。例如，$[\pi] + [1.5\pi] = [2.5\pi]$，因为 $2.5\pi$ 和 $0.5\pi$ 相差一个 $2\pi$，所以 $[2.5\pi] = [0.5\pi]$。这个运算是闭合的。文中提到它没有自然的乘法，是因为我们很难定义一个良定义的乘法。例如，$[\pi] \cdot [\pi] = [\pi^2]$，但我们也可以用 $[3\pi]$ 代表 $[\pi]$，那么 $[3\pi]\cdot[3\pi]=[9\pi^2]$。$[\pi^2]$ 和 $[9\pi^2]$ 在 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 中通常不是同一个等价类。
6. 任意（或“奇异”）的例子：
   • $a * b = b$: 这个运算总是返回第二个元素。例如，在 $\{1,2,3\}$ 上，$1*2=2, 3*1=1$。结果总是在原集合中，所以是闭合的。
   • $a * b = c$: 这个运算总是返回一个固定的元素 $c$。例如，在 $\{1,2,3\}$ 上，固定 $c=2$，那么 $1*3=2, 1*1=2, 3*2=2$。结果总是在原集合中，所以是闭合的。

这段备注强调了一个非常关键的观点：在高等代数的语境下，“闭包性”或“闭合性质”（closure property）不是一个需要额外检验的性质，而是二元运算这个概念定义本身的一部分。

• 小学的视角：在初等教育中，通常会先给出一个运算（如加、减、乘、除），然后再给出一个数集（如自然数、整数），然后去“检验”这个运算在这个数集上是否“闭合”。例如，老师会问：“自然数集在加法下是闭合的吗？”（是，因为两个自然数相加还是自然数），“在减法下是闭合的吗？”（不是，因为 $3-5=-2$ 不是自然数）。

• 高等代数(本文)的视角：这里的定义更加抽象和严谨。我们直接定义“$X$ 上的二元运算”为一个函数 $F: X \times X \rightarrow X$。这个定义的箭头右边强制规定了输出结果必须在集合 $X$ 中。所以，如果一个操作在某个集合 $X$ 上不闭合，那么根据我们的定义，它就根本不配被称为“$X$ 上的二元运算”。它只是一个普通的函数，比如 $G: X \times X \rightarrow Y$，其中 $Y$ 是一个比 $X$ 更大的集合。

• 例子分析：
• “减法不是 $\mathbb{N}$ 上的二元运算”：这正是因为减法这个操作对于自然数集 $\mathbb{N}$ 不闭合。所以我们不承认它是 $\mathbb{N}$ 上的一个二元运算。
• “加法不是 $\mathbb{Q}^{*}$ 上的二元运算”：$\mathbb{Q}^{*}$ 是非零有理数集。取两个元素 $3 \in \mathbb{Q}^{*}$ 和 $-3 \in \mathbb{Q}^{*}$。它们的和是 $3+(-3)=0$。但 $0$ 不属于 $\mathbb{Q}^{*}$。因此，加法在 $\mathbb{Q}^{*}$ 上不闭合。所以，根据我们的严格定义，加法不能被称为“$\mathbb{Q}^{*}$ 上的二元运算”。

这部分引入了一种可视化有限二元结构的强大工具——运算表（operation table），有时也叫凯莱表（Cayley table）。

• 构造运算表：
• 对于一个包含 $n$ 个元素的有限集 $X=\{x_1, \dots, x_n\}$。
• 我们画一个 $n \times n$ 的方格表。
• 表格的表头行和表头列按相同的顺序列出集合 $X$ 的所有元素。
• 表格内部的第 $i$ 行第 $j$ 列的单元格，填写的是 $x_i * x_j$ 的运算结果。这里的 $x_i$ 来自表头列， $x_j$ 来自表头行。

• 运算表的意义：这个表格完整地、无歧义地定义了有限集上的一个二元运算。任何一个 $n \times n$ 的方格，只要每个格子都填上了 $X$ 中的元素，它就对应一个二元运算。

• 计数二元运算：
• 表格内部有 $n \times n = n^2$ 个单元格需要填写。
• 对于每个单元格，它的值可以是集合 $X$ 中的任意一个元素，所以有 $n$ 种选择。
• 根据乘法原理，总共的不同二元运算数量就是 $n \times n \times \dots \times n$（共 $n^2$ 个 $n$ 相乘），即 $n^{n^2}$。这是一个非常巨大的数字，即使对于很小的 $n$。例如，当 $n=2$ 时，有 $2^{2^2} = 2^4 = 16$ 种不同的二元运算。当 $n=3$ 时，有 $3^{3^2} = 3^9 = 19683$ 种。

• 具体例子：
• $(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$：
• 集合是 $\{[0], [1], [2]\}$。
• 运算是模3加法。
• 例如，要找表格中第2行第3列的元素（以内容区为准，即[1]行和[2]列交叉处），我们计算 $[1]+[2]=[3]$，因为在模3下 $[3]=[0]$，所以该位置填 $[0]$。
• $(\mu_{3}, \cdot)$:
• 集合是三次单位根 $\{1, \omega, \omega^2\}$。
• 运算是复数乘法。
• 例如，要找第2行第2列的元素（ω行和ω列交叉处），我们计算 $\omega \cdot \omega = \omega^2$。要找第2行第3列的元素，我们计算 $\omega \cdot \omega^2 = \omega^3$。因为 $\omega$ 是三次单位根，所以 $\omega^3=1$。该位置填 $1$。

• 表格的结构相似性：
• 作者敏锐地指出，$(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$ 和 $(\mu_{3}, \cdot)$ 的运算表“本质上是相同的”。
• 这意味着，如果我们建立一个对应关系（一个“字典”）：
• $[0] \leftrightarrow 1$
• $[1] \leftrightarrow \omega$
• $[2] \leftrightarrow \omega^2$
• 然后把 $(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$ 表格中的所有元素都用这个字典“翻译”一遍，我们得到的表格会和 $(\mu_{3}, \cdot)$ 的表格一模一样。
• 例如，在 $(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$ 表中我们有 $[1]+[2]=[0]$。翻译一下就是：$\omega + \omega^2 = 1$？不对，翻译的是运算结构。我们看表格对应位置，[1]行[2]列是[0]。在 $(\mu_3, \cdot)$ 表中，ω行ω²列是1。[1]对应ω，[2]对应ω²，[0]对应1，所以 $[1]+[2]=[0]$ 这个运算关系就对应着 $\omega \cdot \omega^2 = 1$ 这个运算关系。这是完全匹配的。
• 这种“本质上相同”的概念，就是之后要讲的“同构”。

本节标题“同构”直接点出了一个在抽象代数中至关重要的核心概念。“同构”一词源于希腊语，意为“相同的结构”（iso-morphism）。引言“一个关键概念是两个二元结构在何时是本质上相同的”精准地概括了同构的使命：它为我们提供了一个严格的数学标准，用来判断两个表面上可能完全不同的代数结构，在代数层面上是否可以被视为同一个东西。

这段内容给出了同构的严格数学定义，并说明了如何证明两个二元结构同构。

定义 1.2.1 分解：

一个同构 $f$ 是一个函数，它连接两个二元结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$。这个函数必须同时满足两个条件：

1. 结构上的条件：$f$ 是一个双射 (bijection)。
   • 双射意味着 $f$ 既是单射（injective）又是满射（surjective）。
   • 单射：$X_1$ 中不同的元素会被 $f$ 映射到 $X_2$ 中不同的元素。不会出现“多对一”的情况。
   • 满射：$X_2$ 中的每一个元素都有一个（且因单射性只有一个）来自 $X_1$ 的元素与之对应。不会出现 $X_2$ 中有“没人要”的元素。
   • 双射的直观意义是：$f$ 在两个集合 $X_1$ 和 $X_2$ 之间建立了一个完美的“一一对应”关系。它就像一个字典，可以把 $X_1$ 中的每个元素无遗漏、无重复地翻译成 $X_2$ 中的元素。这也意味着两个集合的基数（元素个数）必须相等。
2. 运算上的条件：“保持运算”的函数方程。
   • $f\left(a *_{1} b\right)=f(a) *_{2} f(b)$
   • 这个等式是同构的核心。它的意思是：
   • 等式左边 $f(a *_{1} b)$：先在第一个结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 中进行运算（$a *_1 b$），得到一个结果，然后再把这个结果通过函数 $f$ 映射到第二个结构 $X_2$ 中。
   • 等式右边 $f(a) *_{2} f(b)$：先把 $a$ 和 $b$ 分别通过 $f$ 映射到 $X_2$ 中，得到 $f(a)$ 和 $f(b)$，然后再在第二个结构 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 中对这两个新元素进行运算。
   • 等号：这个等式要求，以上两种走法的最终结果必须完全相同。
   • 直观意义：“先运算再映射”等于“先映射再运算”。这意味着函数 $f$ 完全尊重并保持了两个结构的运算规则。$f$ 不仅仅是元素的翻译，更是运算关系的翻译。

同构的概念：

• 如果我们能找到至少一个满足上述两个条件的函数 $f$，我们就说这两个二元结构是同构的，记作 $\left(X_{1}, *_{1}\right) \cong\left(X_{2}, *_{2}\right)$。
• 注意，满足条件的同构函数 $f$ 可能不止一个。

如何证明同构：

要证明 $f$ 是一个同构，必须完成两步检验：

1. 证明 $f$ 是双射：最常见的方法是找到 $f$ 的逆函数 $g: X_2 \rightarrow X_1$，并证明 $g \circ f = \text{Id}_{X_1}$ 和 $f \circ g = \text{Id}_{X_2}$。
2. 证明 $f$ 保持运算：验证对于所有 $a, b \in X_1$，等式 $f(a *_1 b) = f(a) *_2 f(b)$ 都成立。

这部分通过一系列具体的例子来展示同构的应用。有些同构是结构到自身的（称为自同构），有些是连接两个表面看起来截然不同的结构。

1. 平凡自同构 (The Trivial Automorphism)
   • 结构: 任何二元结构 $(X, *)$。
   • 同构: 恒等函数 $\text{Id}_X(x) = x$。
   • 解释: $\text{Id}_X$ 显然是双射。它也保持运算，因为 $\text{Id}_X(a*b) = a*b$，而 $\text{Id}_X(a) * \text{Id}_X(b) = a*b$。两者相等。这说明任何结构都和它自身同构。
2. 整数加法的自同构 (An Automorphism of (ℤ,+))
   • 结构: $(\mathbb{Z}, +)$ 到自身。
   • 同构: $f(n) = -n$。
   • 解释:
   • 双射: $f$ 的逆函数是它本身，因为 $f(f(n)) = f(-n) = -(-n) = n$。所以是双射。
   • 保持运算: $f(n+m) = -(n+m) = -n-m$。而 $f(n)+f(m) = (-n)+(-m) = -n-m$。两者相等。
   • 结论: $f(n)=-n$ 是一个自同构。它揭示了 $(\mathbb{Z}, +)$ 具有关于0的“对称性”。文中还提到，$(\mathbb{Z}, +)$ 所有的自同构只有恒等函数和这个取反函数。
3. 实数加法的自同构 (Automorphisms of (ℝ,+))
   • 结构: $(\mathbb{R}, +)$ 到自身。
   • 同构: $f(x)=tx$ 对于任意固定的非零实数 $t$。
   • 解释:
   • 双射: 逆函数是 $f^{-1}(x) = (1/t)x$，所以是双射。
   • 保持运算: $f(x+y) = t(x+y) = tx+ty$。而 $f(x)+f(y) = tx+ty$。两者相等。
   • 反例: 这个 $f(x)=tx$ 不是 $(\mathbb{R}, \cdot)$ 上的自同构（除非 $t=1$）。因为 $f(x \cdot y) = t(xy)$，而 $f(x) \cdot f(y) = (tx)(ty) = t^2xy$。通常 $txy \neq t^2xy$。这说明同构与结构的二元运算是密切相关的。
4. 向量空间加法的自同构 (Automorphisms of (ℝⁿ,+))
   • 结构: $(\mathbb{R}^n, +)$ 到自身。
   • 同构: 任何一个可逆的 $n \times n$ 矩阵 $A \in GL_n(\mathbb{R})$ 所定义的线性变换。
   • 解释:
   • 双射: $A$ 可逆的定义就是它代表的线性变换是双射。
   • 保持运算: 线性变换的基本性质就是 $A(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = A\mathbf{v}+A\mathbf{w}$。这恰好就是同构中保持运算的条件。
   • 结论: 从代数角度看，向量空间上的同构就是可逆线性变换。
5. 实数加法与正实数乘法的同构
   • 结构: $(\mathbb{R}, +)$ 和 $(\mathbb{R}^{>0}, \cdot)$。
   • 同构: $f(x) = e^x$。
   • 解释:
   • 双射: 指数函数是 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}^{>0}$ 的双射。
   • 保持运算: 指数函数的基本性质 $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ 完美地匹配了同构的条件 $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$。
   • 意义: 这个例子极具启发性。它告诉我们，加法和乘法这两种看似完全不同的运算，在特定的结构中可以是同构的。它实现了“将加法变乘法”的魔法。对数函数 $\ln(x)$ 则是反方向的同构，能“将乘法变加法”。计算尺的原理就基于此。
6. 模n加法与单位根乘法的同构
   • 结构: $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ 和 $(\mu_n, \cdot)$。
   • 同构: $f([a]) = e^{2a\pi i/n}$。
   • 解释:
   • 双射: $[0], [1], \dots, [n-1]$ 这 $n$ 个不同的同余类，恰好被映射到 $n$ 个不同的 $n$ 次单位根 $1, e^{2\pi i/n}, \dots, e^{2(n-1)\pi i/n}$。
   • 保持运算: $f([a]+[b]) = f([a+b]) = e^{2(a+b)\pi i/n}$。而 $f([a]) \cdot f([b]) = e^{2a\pi i/n} \cdot e^{2b\pi i/n} = e^{(2a\pi i/n) + (2b\pi i/n)} = e^{2(a+b)\pi i/n}$。两者相等。
   • 意义: 这个同构是离散傅里叶变换的核心思想。它在整数的模加世界和复平面上的旋转（单位根相乘）之间建立了一座桥梁。
7. 圆周群、旋转群与模加法群的同构
   • 结构: $(U(1), \cdot)$（单位圆上的复数乘法）, $(SO_2, \cdot)$（$2 \times 2$ 旋转矩阵乘法）, 和 $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)$（实数模 $2\pi$ 加法）。
   • 同构关系: $ (\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +) \cong (U(1), \cdot) \cong (SO_2, \cdot)$。
   • 解释:
   • 从 $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)$ 到 $(U(1), \cdot)$: 同构是 $f([\theta]) = e^{i\theta}$。这本质上是将一个角度（模 $2\pi$）映射到单位圆上的一个点。角度的相加对应于复数的相乘，即 $e^{i(\theta_1+\theta_2)} = e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$。
   • 从 $(U(1), \cdot)$ 到 $(SO_2, \cdot)$: 同构是 $g(e^{i\theta}) = g(\cos\theta+i\sin\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$。这在几何上非常直观：在复平面上乘以 $e^{i\theta}$ 的效果，就等同于对平面上的点进行一次逆时针旋转 $\theta$ 角的操作，而这个旋转操作正是由这个 $2 \times 2$ 旋转矩阵所描述的。
   • 意义: 这个例子揭示了三个看似不同，但在数学上描述同一个核心概念——“二维旋转”——的代数结构是完全同构的。

这部分主要讨论了两个重要话题：

1. 如何利用基数（元素个数）来快速判断两个结构不同构。
2. 如何利用代数性质的差异来证明两个结构不同构。这是一种更强大、更常用的方法。

1. 基于基数的判断

• 同构的定义要求存在一个双射。
• 双射存在的必要条件是两个集合的基数必须相等。
• 结论: 如果两个二元结构的基础集合的元素个数不同，那么它们绝对不可能同构。
• 例子:
• $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ 有 $n$ 个元素，$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, +)$ 有 $m$ 个元素。如果 $n \neq m$，它们不可能同构。
• $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ 是有限集，而 $(\mathbb{N}, +)$ 是无限集，它们不可能同构。
• $(\mathbb{Q}, +)$ 的基数是可数无穷（可以与自然数一一对应），而 $(\mathbb{R}, +)$ 的基数是不可数无穷。因为基数不同，所以它们不同构。
• 一个有趣的备注: 文中提到，尽管 $(\mathbb{R}, +)$, $(\mathbb{C}, +)$, $(\mathbb{R}^n, +)$ 的基数都是不可数无穷（且是相同的不可数无穷，即连续统基数），可以证明它们作为群是同构的。但这种同构通常是“非构造性”的，依赖于选择公理，我们无法具体地写出它的函数表达式，这超出了本课程的范围。

2. 基于代数性质的判断

• 核心思想: 如果两个结构同构，那么它们在代数上就是“克隆体”。一个拥有的任何纯代数性质，另一个也必须拥有。
• 什么是“代数性质”: 指那些只依赖于二元运算 $*$，而不依赖于元素具体是什么的性质。例如：
• 是否存在单位元？
• 运算是否交换？
• 是否每个元素都有逆元？
• 是否存在一个元素 $x$ 使得 $x*x=x$（幂等元）？
• 是否存在一个元素 $z$ 使得对所有 $x$ 都有 $z*x=z$（零元）？
• 反证法: 要证明 $(X_1, *_1)$ 和 $(X_2, *_2)$ 不同构，我们可以：

1. 假设存在一个同构 $f: (X_1, *_1) \rightarrow (X_2, *_2)$。
2. 在 $(X_1, *_1)$ 中找到一个特殊的代数性质或特殊元素。
3. 利用 $f$ 的同构性质，推导出 $(X_2, *_2)$ 中也必须存在对应的性质或元素。
4. 证明 $(X_2, *_2)$ 中实际上并不存在这样的性质或元素。
5. 产生矛盾，因此最初的假设（存在同构）是错误的。

• 例子分析:
• $(\mathbb{N}, \cdot)$ vs $(\mathbb{N}, +)$:
• 在 $(\mathbb{N}, \cdot)$ 中，存在一个单位元 $1$，满足 $n \cdot 1 = n$。
• 假设存在同构 $f: (\mathbb{N}, \cdot) \rightarrow (\mathbb{N}, +)$。
• 那么 $f$ 必须把 $(\mathbb{N}, \cdot)$ 的单位元 $1$ 映射成 $(\mathbb{N}, +)$ 的单位元。
• 我们来看看 $(\mathbb{N}, +)$ 是否有单位元 $e$。如果存在，则对所有 $n \in \mathbb{N}$ 都要有 $n+e=n$，这意味着 $e=0$。但 $0$ 不在 $\mathbb{N}$ (通行定义 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$) 中。所以 $(\mathbb{N}, +)$ 没有单位元。
• 一个有单位元，一个没有。它们的代数性质不同，因此不同构。
• 文中给出的证明稍微不同但更巧妙：$f(n) = f(n \cdot 1) = f(n)+f(1)$。这意味着 $f(1)=0$，但 $0 \notin \mathbb{N}$，矛盾。如果 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$，那么 $f(1)=0$，但 $f$ 是双射，那什么东西被映射到1呢？设 $f(k)=1$。$f(k\cdot 1) = f(k)+f(1) \implies 1 = 1+0$，这没问题。但考虑 $f(k\cdot k) = f(k)+f(k) = 1+1=2$。那么 $f(k^2)=2$。这似乎还没导出矛盾。还是“是否存在单位元”这个性质更直接。

• $(\mathbb{Z}, \cdot)$ vs $(\mathbb{Z}, +)$:
• 在 $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 中，存在一个零元 $0$，满足 $0 \cdot n = 0$ 对所有 $n \in \mathbb{Z}$ 成立。
• 假设存在同构 $f: (\mathbb{Z}, \cdot) \rightarrow (\mathbb{Z}, +)$。
• 那么 $f$ 会把这个零元 $0$ 映射到 $(\mathbb{Z}, +)$ 中的一个具有类似性质的元素 $a=f(0)$。
• 性质转换：$f(0 \cdot k) = f(0)$ 变为 $f(0) + f(k) = f(0)$，即 $a + f(k) = a$。
• 因为 $f$ 是满射，所以对于任何一个整数 $y \in \mathbb{Z}$，都存在一个 $k$ 使得 $f(k)=y$。
• 所以 $a$ 必须满足 $a+y=a$ 对所有 $y \in \mathbb{Z}$ 成立。
• 这意味着 $y=0$ 对所有 $y$ 都成立。这显然是矛盾的。
• 因此 $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 和 $(\mathbb{Z}, +)$ 不同构。

• 其他例子:
• $(\mathbb{R}^{>0}, \cdot)$ vs $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$: 在 $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$ 中存在元素 $x=-1$ 满足 $x \cdot x = 1$。而在 $(\mathbb{R}^{>0}, \cdot)$ 中，除了 $1$ 自身，不存在其他元素 $x$ 使得 $x^2=1$。代数性质不同，故不同构。
• $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$ vs $(\mathbb{C}^{*}, \cdot)$: 在 $(\mathbb{C}^{*}, \cdot)$ 中，方程 $x^4=1$ 有4个解（$1, i, -1, -i$），而在 $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$ 中只有2个解（$1, -1$）。解的个数是代数性质，因两者性质不同，故不同构。

这部分阐述了同构关系 ≅ 本身所具有的三个基本性质，这三个性质合起来就是等价关系的特征。

命题 1.2.3 的内容：

(i) 自反性 (Reflexivity):

• 内容: 任何一个二元结构都与它自身同构。
• 证明思路: 恒等函数 $\text{Id}_X$ 就是一个从 $(X,*)$ 到 $(X,*)$ 的同构。我们之前已经验证过这一点。

(ii) 对称性 (Symmetry):

• 内容: 如果 $(X_1, *_1)$ 同构于 $(X_2, *_2)$，那么反过来，$(X_2, *_2)$ 也同构于 $(X_1, *_1)$。
• 证明思路:
• 既然存在一个同构 $f: X_1 \rightarrow X_2$，那么根据定义 $f$ 是一个双射。
• 双射函数必然存在一个逆函数 $f^{-1}: X_2 \rightarrow X_1$，并且这个逆函数也必然是双射。
• 剩下只需证明 $f^{-1}$ 也保持运算。即，对任意 $y_1, y_2 \in X_2$，要证明 $f^{-1}(y_1 *_2 y_2) = f^{-1}(y_1) *_1 f^{-1}(y_2)$。
• 设 $x_1 = f^{-1}(y_1)$ 和 $x_2 = f^{-1}(y_2)$。这意味着 $f(x_1)=y_1$ 和 $f(x_2)=y_2$。
• 我们知道 $f(x_1 *_1 x_2) = f(x_1) *_2 f(x_2) = y_1 *_2 y_2$。
• 对这个等式两边同时作用 $f^{-1}$，得到 $f^{-1}(f(x_1 *_1 x_2)) = f^{-1}(y_1 *_2 y_2)$。
• 左边就是 $x_1 *_1 x_2$，代换回来就是 $f^{-1}(y_1) *_1 f^{-1}(y_2)$。
• 所以 $f^{-1}(y_1) *_1 f^{-1}(y_2) = f^{-1}(y_1 *_2 y_2)$，得证。

(iii) 传递性 (Transitivity):

• 内容: 如果 $(X_1, *_1)$ 同构于 $(X_2, *_2)$，并且 $(X_2, *_2)$ 同构于 $(X_3, *_3)$，那么 $(X_1, *_1)$ 也同构于 $(X_3, *_3)$。
• 证明思路:
• 存在同构 $f: X_1 \rightarrow X_2$ 和 $g: X_2 \rightarrow X_3$。
• 我们需要证明它们的复合函数 $g \circ f: X_1 \rightarrow X_3$ 是一个同构。
• 两个双射函数的复合仍然是双射，这是集合论的基本结论。
• 剩下只需证明 $g \circ f$ 保持运算。即，对任意 $a, b \in X_1$，要证明 $(g \circ f)(a *_1 b) = (g \circ f)(a) *_3 (g \circ f)(b)$。
• 左边: $(g \circ f)(a *_1 b) = g(f(a *_1 b))$。因为 $f$ 是同构，这等于 $g(f(a) *_2 f(b))$。
• 右边: $(g \circ f)(a) *_3 (g \circ f)(b) = g(f(a)) *_3 g(f(b))$。
• 因为 $g$ 是同构，它保持 $*_2$ 和 $*_3$ 的运算，所以 $g(f(a) *_2 f(b)) = g(f(a)) *_3 g(f(b))$。
• 这样，左边就等于右边了，得证。

结论

• 因为同构关系 ≅ 满足自反性、对称性和传递性，所以它表现得像一个等价关系。
• 这个“等价关系”可以将所有二元结构的世界划分成一个个的“同构类”。同一个同构类里的所有结构本质上都是一样的，只是元素的名字不同。抽象代数的研究，很大程度上就是研究这些“同构类”的性质，而不是单个结构的性质。

关于“不是真正的等价关系”的说明

• 等价关系的严格定义是作用在一个集合上的。
• “所有二元结构”这个整体，因为牵涉到“所有可能的集合”，根据集合论（特别是罗素悖论相关的思想），它太大而不能构成一个集合，它是一个“真类”(proper class)。
• 因此，从最严格的集合论角度讲，≅ 不是一个等价关系，因为它没有一个作为“集合”的定义域。
• 但在实际应用中，只要我们把讨论范围限制在一个集合中（例如，“所有包含3个元素的二元结构”的集合），那么在这个范围内，≅ 就是一个名副其实的等价关系。这个技术性的说明是为了数学上的严谨性，初学者可以暂时不必过分深究。

本节的标题揭示了数学中一个常见且强大的思想：从已有的对象出发，通过某种构造方法，生成新的、可能更复杂的对象。这里将介绍两种从已知二元结构构造新二元结构的通用方法。第一种方法是笛卡尔积。

这部分给出了积二元结构（product binary structure）的定义。

• 构造新集合:
• 我们从两个已有的二元结构 $(X_1, *_1)$ 和 $(X_2, *_2)$ 开始。
• 新结构的基础集合是两个旧集合的笛卡尔积 $X_1 \times X_2$。这个新集合的元素都是形如 $(x_1, x_2)$ 的有序数对，其中 $x_1 \in X_1, x_2 \in X_2$。

• 定义新运算:
• 我们需要在新集合 $X_1 \times X_2$ 上定义一个新的二元运算 $*$。
• 定义的方式非常自然，称为“逐分量运算”（component-wise operation）。
• 当我们要合并两个数对 $(x_1, x_2)$ 和 $(y_1, y_2)$ 时，我们把它们的第一个分量用第一个结构的运算 $*_1$ 合并，即 $x_1 *_1 y_1$。
• 同时，我们把它们的第二个分量用第二个结构的运算 $*_2$ 合并，即 $x_2 *_2 y_2$。
• 最后，把这两个结果组成一个新的数对 $(x_1 *_1 y_1, x_2 *_2 y_2)$，作为新运算的结果。

• 闭包性:
• 这个新定义的运算 $*$ 是闭合的吗？是的。
• 因为 $*_1$ 是 $X_1$ 上的二元运算，所以 $x_1 *_1 y_1$ 的结果一定还在 $X_1$ 里。
• 同理，$x_2 *_2 y_2$ 的结果一定还在 $X_2$ 里。
• 所以，最终的数对 $(x_1 *_1 y_1, x_2 *_2 y_2)$ 仍然是一个合法的 $X_1 \times X_2$ 中的元素。
• 因此，$(X_1 \times X_2, *)$ 是一个合法的二元结构。

• 推广:
• 这个思想可以 легко推广到任意 $n$ 个二元结构的积。$(\dots((X_1 \times X_2) \times X_3) \dots \times X_n)$ 的运算就是对 $n$ 元组的每个分量分别使用各自的运算。

• 例子:
• $(\mathbb{R}^n, +)$ 是一个典型的积结构。它可以看作是 $n$ 个 $(\mathbb{R}, +)$ 结构的笛卡尔积。
• $\mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}$ ($n$ 次)。
• 两个向量 $\mathbf{v}=(v_1, \dots, v_n)$ 和 $\mathbf{w}=(w_1, \dots, w_n)$ 相加，就是 $(v_1+w_1, \dots, v_n+w_n)$，这完全符合逐分量运算的定义。

这部分介绍了构造新二元结构的第二种通用方法：在函数集合上定义运算。

• 基本设置:
• 我们需要一个已有的二元结构 $(X, *)$，它提供了运算规则。这个 $X$ 也将是函数的到达域（codomain），即函数值的“取值范围”。
• 我们还需要任何一个集合 $Y$，它将作为函数的定义域（domain）。

• 构造新集合:
• 新结构的基础集合是 $X^Y$，它代表了所有从 $Y$ 到 $X$ 的函数的集合。
• 这个集合里的每一个元素都是一个函数，比如 $f_1, f_2$ 等，它们都满足 $f: Y \rightarrow X$。

• 定义新运算:
• 我们要定义如何“合并”两个函数 $f_1$ 和 $f_2$，得到一个新函数 $f_3 = f_1 * f_2$。
• 一个函数的定义在于它对定义域中的每一个元素如何取值。所以，我们需要定义新函数 $f_3$ 在任意一点 $y \in Y$ 的取值，即 $f_3(y)$ 是什么。
• 定义的方式是“逐点定义”（pointwise definition）：$f_3(y)$ 的值，是通过取出 $f_1$ 和 $f_2$ 在同一点 $y$ 的值（即 $f_1(y)$ 和 $f_2(y)$），然后用结构 $(X, *)$ 中的运算 $*$ 来合并它们。
• 所以，$(f_1 * f_2)(y) = f_1(y) * f_2(y)$。

• 闭包性:
• 这个新运算是闭合的吗？是的。
• 对于任意 $y \in Y$，$f_1(y)$ 和 $f_2(y)$ 都是 $X$ 中的元素。
• 因为 $*$ 是 $X$ 上的二元运算，所以 $f_1(y) * f_2(y)$ 的结果也必然是 $X$ 中的元素。
• 这意味着新函数 $f_1 * f_2$ 的每一个取值都在 $X$ 中，所以它仍然是一个从 $Y$ 到 $X$ 的合法函数，即 $(f_1 * f_2) \in X^Y$。

• 例子:
• 实值函数的加法和乘法。
• 设 $(X, *) = (\mathbb{R}, +)$，$Y$ 可以是任何集合，比如 $Y=\mathbb{R}$。
• 那么 $X^Y = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ 就是所有从 $\mathbb{R}$到 $\mathbb{R}$ 的函数的集合。
• 我们平常定义的两个函数 $f, g$ 的和 $(f+g)$，就是逐点定义的：$(f+g)(x) = f(x)+g(x)$。这完全符合上面的定义。
• 同样，函数的乘法 $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ 也是逐点定义的，它源于二元结构 $(\mathbb{R}, \cdot)$。

在定义了二元结构并看了大量例子之后，本节开始讨论这些结构可能具有的、一些重要的内在属性。这些属性是对我们从小熟悉的算术运算法则（如“加法交换律”、“加法结合律”）的抽象和推广。通过研究一个二元结构是否具有这些性质，我们可以对其进行更深入的分类和理解。

这部分定义了结合律（Associative Law）。

• 定义:
• 结合律是关于“运算顺序”的规则。当有三个或更多元素进行二元运算时，由于二元运算每次只能合并两个，所以必须分步进行。
• 结合律 $a*(b*c) = (a*b)*c$ 保证了，无论我们是先计算后两个元素（$b*c$），再把它和第一个元素 $a$ 合并；还是先计算前两个元素（$a*b$），再把它和第三个元素 $c$ 合并，最终得到的结果都是完全相同的。
• 换句话说，对于结合运算，计算的次序无关紧要。

• 重要性:
• 结合律是代数结构中一个极其重要和基础的性质。绝大多数有用的代数结构（如群、环、域）都要求其运算满足结合律。
• 处理非结合的结构（如李代数）需要更复杂和专门的工具。
• 大多数我们熟悉的运算，如数的加法、乘法，矩阵的加法、乘法，函数的复合，都是结合的。很多运算的结合律可以追溯到函数复合的结合律，因为 $(f \circ g) \circ h$ 和 $f \circ (g \circ h)$ 对任意输入 $x$ 的作用都是 $f(g(h(x)))$。

• 非结合运算的例子:
• 减法: $a-(b-c) = a-b+c$ 与 $(a-b)-c = a-b-c$ 显然不同。例如 $5-(3-1)=5-2=3$，而 $(5-3)-1=2-1=1$。
• 幂运算: $a^{b^c}$ 是指 $a$ 的 ($b^c$)次方，而 $(a^b)^c$ 是指 $a^b$ 的 $c$ 次方，根据指数法则等于 $a^{bc}$。这两者通常不同。例如 $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$，而 $(2^3)^2 = 8^2 = 64$。
• 文中指出，这两个非结合运算（减法和幂运算）背后都隐藏着一个结合运算（加法和乘法）。减法是加法的逆运算，幂运算是重复的乘法。

• 符号简化:
• 正是因为结合律保证了运算顺序不影响结果，我们才可以大胆地省略括号。
• 表达式 $a*b*c$ 是无歧义的。
• 进一步地，对于多个元素的连算，如 $a*b*c*d$，无论以何种顺序添加括号进行计算，例如 $a*(b*(c*d))$ 或 $((a*b)*c)*d$，结果都是相同的。这被称为“广义结合律”。

这部分定义了交换律（Commutative Law）。

• 定义:
• 交换律 $a*b=b*a$ 是关于运算中两个元素位置的规则。它意味着，交换两个操作数的前后位置，不会改变运算的结果。
• 满足交换律的运算或结构被称为“交换的”（commutative）或“阿贝尔的”（Abelian，尤其在讨论群时）。

• 惯例:
• 通常，如果一个二元运算用 + 符号表示，它被默认是交换的。这是沿用了我们对数和向量加法的习惯。

• 交换运算的例子:
• 所有常见数集上的加法和乘法都是交换的。例如 $(\mathbb{Z}, +)$ 和 $(\mathbb{R}, \cdot)$。

• 非交换运算的例子:
• 矩阵乘法: 这是非交换的最经典的例子。对于 $n \ge 2$ 的方阵，通常 $AB \neq BA$。这适用于所有相关的矩阵结构，如 $GL_n(\mathbb{R})$ 等。
• 函数复合: $f \circ g$ (先g后f) 和 $g \circ f$ (先f后g) 通常是不同的函数。
• 对称群/置换群 $S_n$: 对于 $n \ge 3$，置换的复合是不可交换的。例如，在 $S_3$ 中，将元素 (1,2,3) 先映射到 (2,1,3) 再映射到 (2,3,1) 与 先映射到 (1,3,2) 再映射到 (3,1,2) 的结果是不同的。

• 运算表和交换律:
• 运算表提供了一个判断交换律的直观方法。
• 交换律 $x_i * x_j = x_j * x_i$ 意味着表格中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素必须等于第 $j$ 行第 $i$ 列的元素。
• 这正好意味着表格沿着主对角线（从左上到右下）是对称的。
• 再次强调，从表格判断结合律非常困难，需要对每一组 $(x_i, x_j, x_k)$ 都进行验证。

• 重要性:
• 是否交换是代数结构的一个核心分类标准。交换的结构（阿贝尔群，交换环）通常比非交换的结构行为更简单，有更多的好性质。
• 因为存在大量重要的非交换结构（如矩阵和量子力学中的算符），我们不能像默认结合律那样总是默认交换律。

这部分定义了恒等元（Identity Element），也叫单位元。

• 定义:
• 恒等元 $e$ 是一个结构中的“中性”元素。任何元素 $x$ 与它进行运算，结果都等于 $x$ 本身，就像 $x$ 没有发生任何改变一样。
• 在非交换的结构中，必须强调这个中性作用在左边和右边都要成立，即 $e*x=x$ (左恒等) 和 $x*e=x$ (右恒等) 必须同时满足。这样的 $e$ 称为双边恒等元。

• 左/右恒等元:
• 只满足 $e_L * x = x$ 的是左恒等元。
• 只满足 $x * e_R = x$ 的是右恒等元。
• 一个结构中可能只有一个左恒等元而没有右恒等元，也可能存在多个左恒等元（如果运算不结合）。

• 命题 1.4.4：恒等元的唯一性
• 内容: 这是一个非常重要的结论。

1. 如果一个结构同时拥有一个左恒等元 $e_L$ 和一个右恒等元 $e_R$，那么它们必然相等 ($e_L = e_R$)，并且这个元素就是一个双边恒等元。
2. 如果一个结构存在一个（双边）恒等元，那么这个恒等元一定是唯一的。
   • 证明: 这个证明非常简洁和巧妙，是代数中一个经典的论证模式。
   • 考虑表达式 $e_L * e_R$。
   • 一方面，由于 $e_L$ 是左恒等元，它作用于任何元素（包括 $e_R$）都等于那个元素，所以 $e_L * e_R = e_R$。
   • 另一方面，由于 $e_R$ 是右恒等元，任何元素（包括 $e_L$）作用于它都等于那个元素本身，所以 $e_L * e_R = e_L$。
   • 将两式联立，我们得到 $e_R = e_L * e_R = e_L$，因此 $e_L=e_R$。
   • 唯一性证明: 假设 $e$ 和 $e'$ 都是双边恒等元。那么 $e$ 是一个左恒等元，$e'$ 是一个右恒等元。根据刚才的结论，$e=e'$。

• 运算表中的恒等元:
• 如果 $e$ 是恒等元，那么 $e * x_j = x_j$ 意味着运算表中对应于 $e$ 的那一行，必须和表头行一模一样。
• 同样，$x_i * e = x_i$ 意味着对应于 $e$ 的那一列，必须和表头列一模一样。

• 记号约定:
• 对于加法类型的运算 +，恒等元通常记作 0 或 0。
• 对于乘法类型的运算 ·，恒等元通常记作 1 或 I。

这部分定义了逆元（Inverse Element）。

• 先决条件:
• 讨论逆元之前，结构 $(X, *)$ 必须首先拥有一个恒等元 $e$。没有恒等元作为目标，“逆元”的概念就无从谈起。

• 定义:
• 对于结构中的某个元素 $x$，如果能找到另一个元素 $x'$，使得 $x$ 和 $x'$ 运算的结果恰好是恒等元 $e$，那么 $x'$ 就被称为 $x$ 的逆元。
• 与恒等元一样，在非交换结构中，我们需要这个“抵消”作用在左右两边都成立：$x' * x = e$（左抵消）和 $x * x' = e$（右抵消）。
• 拥有逆元的元素被称为可逆元（invertible element）或单位（unit）。
• 恒等元自身的逆元是它自己，因为 $e*e=e$。
• 逆元是相互的：如果 $x'$ 是 $x$ 的逆元，那么 $x$ 也是 $x'$ 的逆元。即 $(x')' = x$。

• 左/右逆元:
• $x'_L$ 是左逆元，如果 $x'_L * x = e$。
• $x'_R$ 是右逆元，如果 $x * x'_R = e$。

• 命题 1.4.6：结合结构中逆元的唯一性
• 内容: 这是另一个至关重要的结论。在一个结合的二元结构中：

1. 如果一个元素 $x$ 同时拥有一个左逆元 $x'_L$ 和一个右逆元 $x'_R$，那么它们必然相等 ($x'_L = x'_R$)。
2. 因此，如果一个元素的（双边）逆元存在，那么这个逆元一定是唯一的。
   • 关键前提: 这个命题要求结构是结合的。没有结合律，唯一性不成立。
   • 证明: 这个证明同样非常巧妙，它通过对同一个表达式 $x'_L * x * x'_R$ 使用两种不同的计算顺序（打括号的方式）来得到结论。
   • 第一种方式: $(x'_L * x) * x'_R$。因为 $x'_L$ 是左逆元，所以 $x'_L*x=e$。表达式变为 $e * x'_R$，又因为 $e$ 是恒等元，结果就是 $x'_R$。
   • 第二种方式: $x'_L * (x * x'_R)$。因为 $x'_R$ 是右逆元，所以 $x*x'_R=e$。表达式变为 $x'_L * e$，结果就是 $x'_L$。
   • 结合律保证了这两种计算方式的结果必须相同。所以，$x'_L = x'_R$。
   • 唯一性可以仿照恒等元唯一性的证明：假设 $x'$ 和 $x''$ 都是 $x$ 的逆元，那么 $x'$ 是 $x$ 的左逆元，$x''$ 是 $x$ 的右逆元，因此 $x'=x''$。

这部分提出了关于可逆元的三个重要性质，尤其揭示了“积的逆元”的计算法则。

命题 1.4.7 的内容:

这个命题的前提是结构 $(X,*)$ 必须是结合的并且有恒等元 $e$。

(i) 可逆元的闭包性 和 积的逆元法则:

• 内容: 如果两个元素 $x$ 和 $y$ 各自都是可逆的，那么它们的积 $x*y$ 也一定是可逆的。
• 更重要的是，这个积的逆元不是 $x' * y'$，而是顺序颠倒的 $y' * x'$。这就是著名的“袜子-鞋子法则”。
• 法则: $(x*y)' = y' * x'$。
• 证明: 要证明 $y'*x'$ 是 $x*y$ 的逆元，我们只需验证 $(x*y)*(y'*x') = e$ 和 $(y'*x')*(x*y)=e$。
• 证明 $(x*y)*(y'*x') = e$:
• $(x*y)*(y'*x')$
• $= x * (y * y') * x'$ (应用结合律，把中间的 $y$ 和 $y'$ 结合)
• $= x * e * x'$ (因为 $y*y'=e$)
• $= (x*e) * x'$ (应用结合律，先算 $x*e$)
• $= x * x'$ (因为 $x*e=x$)
• $= e$ (因为 $x*x'=e$)
• 另一个方向的证明是类似的。这个证明过程极度依赖结合律。

(ii) 恒等元的可逆性:

• 内容: 恒等元 $e$ 自身总是可逆的。
• 证明: 它的逆元就是它自己，因为 $e*e = e$。

(iii) 逆元的逆元:

• 内容: 如果 $x$ 可逆，那么它的逆元 $x'$ 也一定可逆。
• 证明: $x'$ 的逆元就是 $x$ 本身，因为定义 $x'*x=x*x'=e$ 本身就是对称的。

记号说明:

• 加法逆元: 对于加法运算，元素 $a$ 的逆元记作 $-a$。
• 乘法逆元: 对于乘法运算，元素 $a$ 的逆元记作 $a^{-1}$。
• 不推荐使用 $1/a$ 的记号，是因为在非交换的代数世界里，分数线容易引起歧义。$a^{-1}$ 只是一个符号，代表 $a$ 的那个唯一的逆元，并不一定意味着“1除以a”。

这部分形式化地证明了我们之前的直觉：同构会保持所有的代数性质。一个同构映射就像一个完美的“性质搬运工”。

命题 1.4.8 的内容:

这个命题说明，如果 $f$ 是一个同构，那么：

(i) 结合律的保持: 如果源结构是结合的，那么目标结构也一定是结合的。

• 证明思路: 要证明 $(y_1 *_2 y_2) *_2 y_3 = y_1 *_2 (y_2 *_2 y_3)$。因为 $f$ 是双射，可以把 $y_1, y_2, y_3$ 都写成 $f(x_1), f(x_2), f(x_3)$ 的形式。然后利用 $f$ 的保持运算性质，把 $X_2$ 上的运算转换成 $X_1$ 上的运算，在 $X_1$ 中利用结合律，再通过 $f$ 转换回来。

(ii) 交换律的保持: 如果源结构是交换的，那么目标结构也一定是交换的。

• 证明思路: 要证明 $y_1 *_2 y_2 = y_2 *_2 y_1$。同样把 $y$ 写成 $f(x)$ 的形式，转换到 $X_1$ 中去利用交换律 $x_1 *_1 x_2 = x_2 *_1 x_1$，再转换回来。

(iii) 恒等元的保持: 如果源结构有恒等元 $e_1$，那么它的像 $f(e_1)$ 就是目标结构的恒等元。

• 证明解析:
• 我们要证明 $f(e_1)$ 是 $X_2$ 的恒等元，即对任意 $y \in X_2$，都有 $f(e_1) *_2 y = y$。
• 关键一步是利用 $f$ 的满射性：既然 $y$ 是 $X_2$ 中的任意元素，那么一定存在一个 $x \in X_1$ 使得 $f(x)=y$。
• 然后开始推导：$f(e_1) *_2 y = f(e_1) *_2 f(x)$ (替换 $y$)
• $= f(e_1 *_1 x)$ (利用 $f$ 保持运算的性质，把 $X_2$ 的运算变为 $X_1$ 的)
• $= f(x)$ (因为 $e_1$ 是 $X_1$ 的恒等元，$e_1 *_1 x = x$)
• $= y$ (把 $f(x)$ 换回 $y$)
• 这样就证明了 $f(e_1)$ 是左恒等元。同理可证它是右恒等元，因此是双边恒等元。

(iv) 逆元的保持: 如果源结构中 $x$ 的逆元是 $x'$，那么在目标结构中，$f(x)$ 的逆元就是 $f(x')$。

• 证明解析:
• 我们要证明 $f(x')$ 是 $f(x)$ 的逆元。根据定义，就是要证明 $f(x) *_2 f(x') = e_2$ (其中 $e_2$ 是 $X_2$ 的恒等元)。
• 从 (iii) 我们已经知道 $e_2 = f(e_1)$。
• 推导：$f(x) *_2 f(x') = f(x *_1 x')$ (利用 $f$ 保持运算)
• $= f(e_1)$ (因为 $x'$ 是 $x$ 在 $X_1$ 中的逆元)
• $= e_2$ (根据 $e_2$ 的定义)
• 这样就证明了 $f(x')$ 是 $f(x)$ 的右逆元。同理可证它是左逆元。

核心意义: 这个命题是之前“通过代数性质证明不同构”的方法的理论基础。正是因为同构必须保持这些性质，所以一旦我们发现两个结构在某个性质上不一致，就可以断定它们之间不可能存在同构。

这部分系统地阐述了由商集（quotient set，即等价类的集合）构造的二元结构的性质。核心思想是：商结构的性质通常是从原结构“继承”而来的。

命题 1.4.9 的内容:

这个命题列举了三个重要的商结构及其性质。

(i) 模n加法: $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$

• 结合性: 是。
• 交换性: 是。
• 恒等元: $[0]$。
• 逆元: 每个元素 $[a]$ 都有逆元 $[-a]$。

(ii) 模n乘法: $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$

• 结合性: 是。
• 交换性: 是。
• 恒等元: $[1]$。
• 逆元: 这里没有说所有元素都有逆元，这是一个关键的区别点！我们将在后面看到，只有与 $n$ 互质的元素才有乘法逆元。

(iii) 实数模2π加法: $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)$

• 结合性: 是。
• 交换性: 是。
• 恒等元: $[0]$。
• 逆元: 每个元素 $[\theta]$ 都有逆元 $[-\theta]$。

证明思路的概括:

• “继承”原理: 商结构上的运算是通过其代表元在原结构中的运算来定义的。例如，要计算 $[a]+[b]$，我们实际上是计算 $a+b$ 然后取其等价类。因此，如果原结构的运算是结合的或交换的，这种性质很自然地会传递给商结构。

对 (i) 的证明解析:

• 证明结合性:
• 我们要证明 $([a]+[b])+[c] = [a]+([b]+[c])$。
• 左边: $([a]+[b])+[c] = [a+b]+[c]$ (根据商结构加法定义)。进一步等于 $[(a+b)+c]$。
• 右边: $[a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c]$ (根据商结构加法定义)。进一步等于 $[a+(b+c)]$。
• 在原结构 $(\mathbb{Z}, +)$ 中，我们知道加法是结合的，所以 $(a+b)+c = a+(b+c)$。
• 既然这两个整数相等，它们所在的等价类也必然相等，即 $[(a+b)+c] = [a+(b+c)]$。
• 因此，左边等于右边。商结构“继承”了结合律。

• 证明交换性: 类似地，$[a]+[b]=[a+b]$，而 $[b]+[a]=[b+a]$。因为在 $\mathbb{Z}$ 中 $a+b=b+a$，所以 $[a+b]=[b+a]$。

• 寻找恒等元:
• 原结构 $(\mathbb{Z}, +)$ 的恒等元是 $0$。我们很自然地猜测商结构的恒等元是 $0$ 所在的等价类 $[0]$。
• 验证: $[0]+[a] = [0+a] = [a]$。确实如此。

• 寻找逆元:
• 在原结构中，$a$ 的逆元是 $-a$。我们猜测 $[a]$ 的逆元是 $[-a]$。
• 验证: $[-a]+[a] = [-a+a] = [0]$。确实如此。
• 这也说明了符号的合理性：$[a]$ 的加法逆元 $-[a]$，正好就是元素 $-a$ 的等价类 $[-a]$。

这部分引入了一个非常重要的结构——模n乘法群（尽管这里还没正式称它为群）。

• 动机:
• 我们已经看到 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ 这个结构，但它有个“缺陷”：不是所有元素都有乘法逆元。
• 例如，在 $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, \cdot)$ 中，$[2]$ 就没有逆元，因为 $[2]\cdot[x]$ 的结果只能是 $[0], [2], [4]$，永远变不成恒等元 $[1]$。
• 为了得到一个所有元素都可逆的“完美”乘法结构，我们采取一个策略：把那些“坏”的、不可逆的元素都扔掉，只保留可逆的元素。

• 定义:
• $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ 这个新集合，是 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ 的一个子集。
• 它包含了原集合中所有拥有乘法逆元的元素。
• 根据数论知识，$[a]$ 在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中有乘法逆元的充要条件是 $\text{gcd}(a, n)=1$（$a$ 和 $n$ 互质）。

• 新结构的性质:
• 我们需要确认，在只保留可逆元后，乘法 · 在这个新集合 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ 上是否还是一个二元运算（即是否闭合）。
• 这正是命题 1.4.7(i) 的用武之地：它告诉我们，如果 $[a]$ 和 $[b]$ 都可逆，那么它们的乘积 $[a]\cdot[b]$ 也一定是可逆的。
• 这保证了乘法在 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ 上是闭合的！因此，$((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*, \cdot)$ 是一个合法的二元结构。
• 这个新结构继承了原结构的结合律和交换律。
• 恒等元 $[1]$ 肯定是可逆的（它的逆元是自己），所以 $[1]$ 一定在这个新集合里。它仍然是新结构的恒等元。
• 根据这个集合的定义（只保留可逆元），新结构中的每一个元素就都拥有逆元了。

• 结论: 通过筛选出所有可逆元，我们从一个不完美的乘法结构 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ 中，提炼出了一个性质非常好的新结构 $((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*, \cdot)$，它满足结合律、有恒等元、且所有元素都有逆元。这实际上就是一个交换群。

这部分通过一个大表格，系统地总结了之前讨论过的所有二元结构例子，并检查它们是否满足我们刚刚定义的四个关键代数性质：结合律、交换律、存在恒等元、存在逆元。

表格解读:

每一行代表一个二元结构，每一列代表一个性质。'✓' 表示满足该性质，空白表示不满足。

• 结合性: 作者指出，所有“感兴趣的”例子都是结合的，这再次强调了结合律的基础地位。非结合的结构（如减法、幂运算）没有被列入表格。

• 交换性:
• 加法类型的运算通常是交换的。
• 数的乘法是交换的。
• 矩阵乘法和函数复合通常是非交换的，这是非交换代数的主要来源。

• 恒等元:
• $(\mathbb{N}, +)$: 如果 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$，则没有恒等元。如果 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$，则 $0$ 是恒等元。这里的空白表明作者采用了不含0的定义。
• 大多数其他结构都有明确的恒等元：加法的0，乘法的1，矩阵的单位矩阵，函数复合的恒等函数。

• 逆元:
• 这一列的'✓'表示“所有元素都有逆元”。
• $(\mathbb{N}, +), (\mathbb{N}, \cdot)$: 明显没有逆元（除了在 $(\mathbb{N}, \cdot)$ 中1的逆元是1）。
• $(\mathbb{Z}, \cdot)$: 只有 1 和 -1 有逆元，所以不能打勾。
• $(\mathbb{M}_n, \cdot)$: 只有可逆矩阵才有逆元，所以不能打勾。
• $(X^X, \circ)$: 只有双射函数才有逆元，所以不能打勾。
• 凡是带 * 号的结构（如 $\mathbb{Q}^*$），以及所有加法结构（除了 $\mathbb{N}$），和所有特殊的矩阵群（$GL_n, SL_n$等），都满足所有元素有逆元。

注解解读:

注解部分处理了一些低维或小基数下的特殊情况（边界情况）。

• $n=1$: $1 \times 1$ 的矩阵本质上就是一个数，所以此时矩阵乘法是交换的。
• $SO_2$: $2 \times 2$ 的旋转矩阵是交换的，因为在二维平面上，先转 $\theta_1$ 再转 $\theta_2$ 和先转 $\theta_2$ 再转 $\theta_1$ 的结果是一样的。但在三维空间中，绕不同轴的旋转是不可交换的。
• $X$ 的元素个数很少时:
• $\#(X) \le 1$: 函数复合必然是交换的（因为没什么可换的）。
• $\#(X) \le 2$: 置换群 $S_1, S_2$ 是交换的。$S_3$ 是最小的非交换群。

在详细讨论了二元结构及其基本性质之后，我们现在聚焦于一类同时满足所有“好”性质的、最重要的代数结构——群。本节将正式引入群的定义。

这一小节将给出群（Group）的形式化数学定义。这是本章乃至整个抽象代数课程中最重要的定义之一。

这部分给出了群的四个公理（Axioms）。一个二元结构要成为一个群，必须同时满足这四个条件。

1. 公理0：闭包性 (Closure)
   • 这条公理隐藏在“二元结构”这个词里。它要求运算 $*$ 必须是闭合的，即对任意 $x, y \in X$，其运算结果 $x*y$ 也必须在 $X$ 中。
2. 公理1：结合律 (Associativity)
   • 运算 $*$ 必须是结合的。即对任意 $x, y, z \in X$，都有 $(x*y)*z = x*(y*z)$。
   • 这保证了我们可以无歧义地进行连续运算。
3. 公理2：恒等元 (Identity)
   • 集合 $X$ 中必须存在一个特殊的元素 $e$，称为恒等元。
   • 它对任何元素 $x \in X$ 都满足 $e*x = x*e = x$。
   • 我们已经证明，如果这样的元素存在，它一定是唯一的。
4. 公理3：逆元 (Inverse)
   • 对于集合 $X$ 中的每一个元素 $x$，都必须存在一个对应的元素 $x'$，称为 $x$ 的逆元。
   • 它满足 $x*x' = x'*x = e$。
   • 我们已经证明，在结合律成立的前提下，如果一个元素的逆元存在，它也一定是唯一的。

• 总结: 一个群就是一个满足闭包性、结合律、有恒等元、且每个元素都有逆元的二元结构。

• 交换群/阿贝尔群: 如果一个群还额外满足交换律（$x*y=y*x$），那么它被称为交换群或阿贝尔群（Abelian Group）。