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代数的精髓在于将两个事物结合起来得到第三个事物。我们将其归纳为定义：
定义 1.1.1。设 $X$ 是一个非空集合。$X$ 上的二元运算是一个函数 $F: X \times X \rightarrow X$。
然而，我们不将函数在数对 ( $a, b$ ) 上的值写成 $F(a, b)$，而是使用一些中间符号来表示这个值，例如 $a+b$ 或 $a \cdot b$，通常简写为 $a b$，或 $a \circ b$。目前，我们通常使用 $a * b$ 来表示一个泛指的二元运算。
定义 1.1.2。一个二元结构 $(X, *)$ 是一个由一个集合 $X$ 和 $X$ 上的二元运算组成的数对。
例 1.1.3。例子几乎多不胜数。例如，使用 +，我们有 $(\mathbb{N},+),(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$，以及向量空间和矩阵的例子，如 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 或 $\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),+\right)$。使用减法，我们有 $(\mathbb{Z},-),(\mathbb{Q},-),(\mathbb{R},-),(\mathbb{C},-),\left(\mathbb{R}^{n},-\right)$， $\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),-\right)$。
对于乘法，我们有 $(\mathbb{N}, \cdot),(\mathbb{Z}, \cdot),(\mathbb{Q}, \cdot),(\mathbb{R}, \cdot),(\mathbb{C}, \cdot)$。如果我们将 $\mathbb{Q}^{*}=\{a \in \mathbb{Q}: a \neq 0\}$， $\mathbb{R}^{*}=\{a \in \mathbb{R}: a \neq 0\}, \mathbb{C}^{*}=\{a \in \mathbb{C}: a \neq 0\}$，那么 $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 也是二元结构。同样地， $(U(1), \cdot)$ 和 $\left(\mu_{n}, \cdot\right)$ 是二元结构。此外还有矩阵例子： $\left(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(O_{n}, \cdot\right),\left(S O_{n}, \cdot\right)$。
接下来，有函数复合的例子：对于一个集合 $X$，$\left(X^{X}, \circ\right)$ 和 $\left(S_{X}, \circ\right)$。
我们还看到了等价类集合上的二元运算的例子。例如， $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+),(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$ 和 $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ 是二元结构的例子。这里，例如，给定 $[a],[b] \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，我们定义 $[a]+[b]=[a+b]$ 和 $[a] \cdot[b]=[a b]$。正如我们所见，这些运算是良定义的。$\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上的加法也类似定义。（但 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 上没有自然的乘法二元运算。）
最后，还有许多看起来更任意的例子。例如，对于一个集合 $X$，我们可以简单地定义 $a * b=b$ 对于所有 $a, b \in X$：要“组合”两个元素，你总是选择第二个。另一个例子是一个“常数”二元运算：对于一个非空集合 $X$ 和一个固定的元素 $c \in X$，并定义 $a * b=c$ 对于所有 $a, b \in X$。
备注 1.1.4。在小学讨论二元运算时，人们常提及“闭合性质”，其大致含义是，对于 $a, b \in X$， $a * b$ 被定义且 $a * b \in X$。对于我们来说，这个性质内置于二元运算的定义中，它被定义为从 $X \times X$ 到 $X$ 的函数。例如，减法不是 $\mathbb{N}$ 上的二元运算。同样地，如果 $\mathbb{Q}^{*}$ 是非零有理数集，加法不是 $\mathbb{Q}^{*}$ 上的二元运算，因为 $\mathbb{Q}^{*}$ 在加法下不是闭合的，换句话说，加法函数并非定义在 $\mathbb{Q}^{*}$ 中所有元素对上，至少如果我们要求对于所有 $a, b \in \mathbb{Q}^{*}$， $a+b \in \mathbb{Q}^{*}$。
如果 $X$ 是一个有 $n$ 个元素的有限集，假设我们枚举 $X=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$，那么 $X$ 上的二元运算可以用表格描述：
| $*$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\ldots$ | $x_{n}$ |
|---|---|---|---|---|
| $x_{1}$ | $x_{1} * x_{1}$ | $x_{1} * x_{2}$ | $\ldots$ | $x_{1} * x_{n}$ |
| $x_{2}$ | $x_{2} * x_{1}$ | $x_{2} * x_{2}$ | $\ldots$ | $x_{2} * x_{n}$ |
| $\vdots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $x_{n}$ | $x_{n} * x_{1}$ | $x_{n} * x_{2}$ | $\ldots$ | $x_{n} * x_{n}$ |
由此可见，在一个拥有 $\#(X)=n$ 个元素的有限集 $X$ 上，不同二元运算的数量是 $n^{n^{2}}$，因为表格有 $n^{2}$ 个条目，每个条目有 $n$ 种可能性。
例如，$(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$ 的表格如下：
| + | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ |
|---|---|---|---|
| $[0]$ | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ |
| $[1]$ | $[1]$ | $[2]$ | $[0]$ |
| $[2]$ | $[2]$ | $[0]$ | $[1]$ |
对于二元运算 $(\mu_{3}, \cdot)$，设 $\omega=e^{2 \pi i / 3}=\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}$，其表格如下：
| $\cdot$ | 1 | $\omega$ | $\omega^{2}$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | $\omega$ | $\omega^{2}$ |
| $\omega$ | $\omega$ | $\omega^{2}$ | 1 |
| $\omega^{2}$ | $\omega^{2}$ | 1 | $\omega$ |
请注意，这两个表格本质上是相同的，通过将 $[0]$ 重命名为 $\omega^{0}=1$，将 $[1]$ 重命名为 $\omega^{1}=\omega$，将 $[2]$ 重命名为 $\omega^{2}$。我们将在下面更一般地描述这一点。
一个关键概念是两个二元结构在何时是本质上相同的。
定义 1.2.1。设 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是两个二元结构。从 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 到 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的一个同构 $f$ 是一个双射 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$，使得对于所有 $a, b \in X_{1}$，
换句话说，当我们使用 $f$ 来“重命名” $X_{1}$ 的元素时，二元运算是对应的。我们写 $f:\left(X_{1}, *_{1}\right) \rightarrow\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是一个同构，表示 $f$ 是从 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 到 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的一个同构。
如果存在一个从 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 到 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的同构 $f$，则称两个二元结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是同构的。我们将其表示为 $\left(X_{1}, *_{1}\right) \cong\left(X_{2}, *_{2}\right)$。当然，如果 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是同构的，可能存在许多可能的同构 $f$ 的选择。
给定两个二元结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$，要证明函数 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$ 是一个同构（对于给定的二元结构），我们必须 (1) 证明 $f$ 是一个双射（回想一下，这通常最好通过找到一个逆函数来完成），然后建立“函数方程”或恒等式 $f\left(a *_{1} b\right)=f(a) *_{2} f(b)$ 对于所有 $a, b \in X_{1}$。
例 1.2.2。(1) 对于每个二元结构 $(X, *)$， $\operatorname{Id}_{X}: X \rightarrow X$ 是二元结构的同构，因为它是一个双射，并且对于所有 $a, b \in X$， $\operatorname{Id}_{X}(a * b)=a * b=\operatorname{Id}_{X}(a) * \operatorname{Id}_{X}(b)$。
(2) 定义 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 为 $f(n)=-n$。那么 $f$ 是从 $(\mathbb{Z},+)$ 到 $(\mathbb{Z},+)$ 的一个同构：首先，$f$ 是一个双射，因为它有一个逆；事实上 $f^{-1}=f$。然后，对于所有 $n, m \in \mathbb{Z}$，
因此 $f$ 是一个同构，事实上，从 $(\mathbb{Z},+)$ 到其自身的同构集合是 $\left\{\operatorname{Id}_{\mathbb{Z}}, f\right\}$。(3) 类似地，固定一个非零实数 $t$ 并定义 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为 $f(x)=t x$。那么 $f$ 是从 $(\mathbb{R},+)$ 到 $(\mathbb{R},+)$ 的一个同构。首先，$f$ 是一个双射，因为它有一个逆；事实上 $f^{-1}(x)= t^{-1} x$。对于所有 $x, y \in \mathbb{R}$，
因此 $f$ 是一个同构。类似的例子也适用于 $(\mathbb{Q},+)$ 和 $(\mathbb{C},+)$。但请注意，$f$ 不是从 $(\mathbb{R}, \cdot)$ 到 $(\mathbb{R}, \cdot)$ 的同构，除非 $t=1$，因为通常 $t(x y) \neq(t x)(t y)$。
(4) 固定元素 $A \in G L_{n}(\mathbb{R})$。那么 $A$ 定义了从 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 到 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 的一个同构。根据定义，$A$ 具有逆，因此是一个双射。此外，作为线性函数的一个一般性质，对于所有 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$，
这表明 $A$ 是一个同构。
(5) 寻找二元结构看起来完全不同的例子也很有趣。举一个非常基本的例子，设 $\mathbb{R}^{>0}$ 表示正实数集：
那么 $\left(\mathbb{R}^{>0}, \cdot\right)$ 是一个二元结构。我们声称 $(\mathbb{R},+) \cong\left(\mathbb{R}^{>0}, \cdot\right)$。为了证明这一点，我们需要找到一个从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}^{+}$ 的双射，将加法转换为乘法。一个熟悉的例子是指数函数 $f(x)=e^{x}$。正如我们从微积分中知道的，或者更早知道的，$e^{x}$ 是单射的，其像是 $\mathbb{R}^{>0}$。因此 $f$ 是一个双射。最后， $f$ 是一个同构的事实由函数方程表示：对于所有 $x, y \in \mathbb{R}$，
(6) 通过表格的检查，我们之前看到 $(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+) \cong\left(\mu_{3}, \cdot\right)$，在由 $[0] \mapsto 1,[1] \mapsto \omega,[2] \mapsto \omega^{2}$ 定义的双射下。对于 $\mu_{4}=\{1, i,-1,-i\}$。很容易直接验证 $(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z},+) \cong$ $(\mu_{4}, \cdot)$，在由 $[0] \mapsto 1,[1] \mapsto i,[2] \mapsto-1,[3] \mapsto-i$ 定义的双射下。更一般地， $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+) \cong\left(\mu_{n}, \cdot\right)$ 使用函数 $f([a])=e^{2 a \pi i / n}=\left(e^{2 \pi i / n}\right)^{a}$，我们将在稍后有更系统的方法来理解这一点。
(7) 对于我们最后一个例子，请注意 $U(1)$ 是绝对值为 1 的复数集，每个这样的复数都可以唯一地写成 $e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 的形式。同样，正如我们在第一章中所见， $S O_{2}$ 的每个元素都可以唯一地写成 $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ 的形式。由此很容易得出 $(U(1), \cdot) \cong\left(S O_{2}, \cdot\right)$，其中第一个乘法是复数的乘法，第二个是 $2 \times 2$ 矩阵的乘法。此外，这两个二元结构都同构于 $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$：我们已经看到函数 $F(\theta)=e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 诱导了一个从 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 到 $U(1)$ 的双射 $f$。恒等式
然后意味着
因此 $f$ 是一个同构。
如果两个二元结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是同构的，那么特别是存在一个从 $X_{1}$ 到 $X_{2}$ 的双射。因此 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 具有相同数量的元素，如果它们是有限的。特别是，如果 $m \neq n$， $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 不同构于 $(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z},+)$，并且对于任何 $n$ 的选择，它都不同构于 $(\mathbb{N},+)$。使用一些集合论， $(\mathbb{Q},+)$ 不同构于 $(\mathbb{R},+)$ 因为不存在从 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{R}$ 的双射（$\mathbb{Q}$ 是可数的但 $\mathbb{R}$ 是不可数的）。然而，使用更多的集合论，可以证明 $(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$ 和 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 都同构（但对于 $n>1$，没有明确的方法写出从 $(\mathbb{R},+)$ 到 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 的同构）。
更重要的是，两个同构的二元结构 $(X_{1}, *_{1})$ 和 $(X_{2}, *_{2})$（粗略地说）具有“相同”的代数性质。这里“代数”意味着一个仅能用二元运算来表达的性质，我们将在下面说明这一点。这提供了一种证明两个二元结构不同构的方法，即通过证明第一个二元结构的某个代数性质不是第二个二元结构的代数性质。例如， $(\mathbb{N}, \cdot)$ 和 $(\mathbb{N},+)$ 不同构：假设 $f:(\mathbb{N}, \cdot) \rightarrow(\mathbb{N},+)$ 是一个同构。那么，对于所有 $n \in \mathbb{N}$，
设 $a=f(1)$，取 $n=1$，这表示 $a=a+a$，但没有自然数具有此性质。同样地， $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 和 $(\mathbb{Z},+)$ 不同构：存在元素 $0 \in \mathbb{Z}$，使得对于所有 $n \in \mathbb{Z}$， $0 \cdot n=0$。如果存在一个同构 $f:(\mathbb{Z}, \cdot) \rightarrow(\mathbb{Z},+)$，那么 $f(0)+f(k)= f(0 \cdot k)=f(0)$。设 $f(0)=a$。由于 $f$ 是一个双射，每个元素 $n \in \mathbb{Z}$ 都形如 $f(k)$ 对于某个 $k \in \mathbb{Z}$。那么这将表示 $a \in \mathbb{Z}$ 具有对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$a+n=a$ 的性质，因此对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$n=0$。这是一个矛盾，因为并非每个整数都等于 0。对于其他例子， $(\mathbb{N}, \cdot)$ 不同构于 $(\mathbb{N},+)$， $\left(\mathbb{R}^{>0}, \cdot\right)$ 不同构于 $\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$，并且 $\left(\mathbb{R}^{>0}, \cdot\right)$ 和 $\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ 都不同构于 $\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$。
让我们收集一些关于同构的一般事实，我们之前已经隐含地触及了这些事实。证明是练习。
命题 1.2.3。(i) 对于每个二元结构 $(X, *)$， $\operatorname{Id}_{X}$ 是从 $(X, *)$ 到 $(X, *)$ 的二元结构的同构。
(ii) 设 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是两个二元结构。如果 $f$ 是从 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 到 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的同构，那么 $f^{-1}$（因为 $f$ 是双射而存在）是从 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 到 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 的同构。
(iii) 设 $\left(X_{1}, *_{1}\right),\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 和 $\left(X_{3}, *_{3}\right)$ 是三个二元结构。如果 $f$ 是从 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 到 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的同构，并且 $g$ 是从 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 到 $\left(X_{3}, *_{3}\right)$ 的同构，那么 $g \circ f$ 是从 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 到 $\left(X_{3}, *_{3}\right)$ 的同构。
这里，我们已经提到了 (i)，(ii) 和 (iii) 留作练习。该命题特别意味着 (i) 对于每个二元结构 $(X, *)$， $(X, *) \cong(X, *)$；(ii) 给定两个二元结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$，如果 $\left(X_{1}, *_{1}\right) \cong\left(X_{2}, *_{2}\right)$，那么 $\left(X_{2}, *_{2}\right) \cong\left(X_{1}, *_{1}\right)$；(iii) 给定三个二元结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right),\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 和 $\left(X_{3}, *_{3}\right)$，如果 $\left(X_{1}, *_{1}\right) \cong\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 并且 $\left(X_{2}, *_{2}\right) \cong\left(X_{3}, *_{3}\right)$，那么 $\left(X_{1}, *_{1}\right) \cong\left(X_{3}, *_{3}\right)$。因此关系 $\cong$ 是自反的、对称的、传递的。（但是，与基数一样，我们避免将其称为等价关系，因为所有二元结构的“集合”实际上太大而不能成为一个集合。）
有两种一般的方法来构建新的二元结构。第一种是通过笛卡尔积：
定义 1.3.1。设 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是两个二元结构。我们将积二元结构定义为集合 $X_{1} \times X_{2}$，以及二元运算 $*$，其定义为：对于所有 $\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right) \in X_{1} \times X_{2}$，
换句话说，我们通过在每个分量中组合来组合积的元素。 $n$ 个二元运算 $\left(X_{1}, *_{1}\right), \ldots,\left(X_{n}, *_{n}\right)$ 的积以类似的方式定义。
例如，二元结构 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 就是这样定义的。
第二种方法是关于函数集的：
定义 1.3.2。设 $(X, *)$ 是一个二元结构，设 $Y$ 是一个集合。在 $X^{Y}$（所有函数 $f: Y \rightarrow X$ 的集合）上定义一个二元运算，我们仍将其表示为 $*$，通过
我们称 $X^{Y}$ 上的运算是逐点定义的。
例如，我们习惯于这样加或乘实值函数。
从小学讨论数的性质时，我们熟悉某些基本性质。
定义 1.4.1。（结合律）我们说二元结构 $(X, *)$（或二元运算 $*$）是结合的，如果对于所有 $a, b, c \in X$，
结合律是一个如此基本的性质，以至于我们几乎总是假定它。处理非结合运算非常困难。我们用 + 或 ⋅ 或 o 表示的所有运算都是结合的。除了数的情况，这通常归结为函数复合是结合的这一事实。当然，可以写出有趣的非结合运算。例如，减法，例如在 $\mathbb{Z}$ 上，不是结合的，因为
除非 $c=0$。另一个例子是，在 $\mathbb{N}$ 上用幂运算定义二元运算 $*$：对于所有 $a, b \in \mathbb{N}$，$a * b=a^{b}$。那么
根据指数定律，通常这不等于 $a *(b * c)=a^{b^{c}}$。请注意，对于减法，“主要”运算是加法，而这实际上是结合的。同样地，幂运算是从乘法派生出来的，而乘法是结合的，因此在这两个非结合的例子中，背后都隐藏着一个结合运算。
对于一个结合二元运算 $*$，我们经常省略括号，简单地将 $a *(b * c)= (a * b) * c$ 写成 $a * b * c$。还有无限多个其他恒等式是结合律的结果，我们没有明确写下来。例如，
我们将所有这些表达式表示为 $a * b * c * d$。
定义 1.4.2。（交换律）二元结构 $(X, *)$（或二元运算 $*$）是交换的，如果对于所有 $a, b \in X$，
我们用 + 表示的所有运算都是交换的，并且根据惯例，用 + 表示的二元运算总是假定为交换的。对于数来说，用乘法表示的运算是交换的，所以 $(\mathbb{N}, \cdot),(\mathbb{Z}, \cdot),(\mathbb{Q}, \cdot),(\mathbb{R}, \cdot),(\mathbb{C}, \cdot)$ 都是交换的。然而，矩阵乘法通常不是交换的，事实上，对于 $n \geq 2$， $\left(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$ 和 $(O_{n}, \cdot)$ 不是交换的，对于 $n \geq 3$， $(S O_{n}, \cdot)$ 不是交换的。对于 $\#(X) \geq 2$ 或 $X$ 是无限集的集合 $X$， $\left(X^{X}, \circ\right)$ 不是交换的，对于 $\#(X) \geq 3$ 或 $X$ 是无限集的集合 $X$， $\left(S_{X}, \circ\right)$ 不是交换的；特别是对于 $n \geq 3$， $(S_{n}, \circ)$ 不是交换的。
有限集上的二元运算是交换的 $\iff$ 表格关于从左上角到右下角的对角线是对称的。（请注意，仅凭表格判断有限集上的二元运算是否结合将非常困难。）
由于存在许多有趣的非交换二元运算的例子，我们通常不会总是假定二元运算是交换的。
定义 1.4.3。（恒等元）$(X, *)$ 的恒等元是 $X$ 中的一个元素 $e$，使得对于所有 $x \in X$，$e * x=x * e=x$。请注意，如果 $*$ 不交换，我们必须检查 $e$ 在左边和右边都起作用。有时我们称这样的 $e$ 为双边恒等元，并定义左恒等元为 $X$ 的元素 $e_{L}$，使得对于所有 $x \in X$，$e_{L} * x=x$。同样地，右恒等元是 $X$ 的元素 $e_{R}$，使得对于所有 $x \in X$，$x * e_{R}=x$。
可能存在右恒等元而不存在左恒等元，并且如果存在右恒等元或左恒等元，它不一定是唯一的。如果右恒等元和左恒等元都存在，情况就不同了：
命题 1.4.4。假设 $(X, *)$ 是一个二元结构，并且右恒等元 $e_{R}$ 和左恒等元 $e_{L}$ 都存在。那么 $e_{L}=e_{R}$，因此 $e_{L}=e_{R}$ 是 $(X, *)$ 的一个恒等元。最后，如果 $(X, *)$ 存在恒等元，那么它是唯一的。
证明。根据右恒等元和左恒等元的定义，
为了说明第二个陈述，假设 $e$ 和 $e^{\prime}$ 都是 $(X, *)$ 的恒等元。那么特别是 $e$ 是一个左恒等元，$e^{\prime}$ 是一个右恒等元，因此根据命题 $e=e^{\prime}$。
如果 $(X, *)$ 是一个带有恒等元 $e$ 的有限二元结构，那么根据惯例，我们总是让 $e$ 是 $X$ 的第一个元素。因此，在表格中，第一行和第一列如下所示：
| $*$ | $e$ | $x_{2}$ | $x_{3}$ | $\ldots$ |
|---|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $x_{2}$ | $x_{3}$ | $\ldots$ |
| $x_{2}$ | $x_{2}$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $x_{3}$ | $x_{3}$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $\vdots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
记号：如果 $X$ 上的二元运算用 + 表示，并且存在恒等元，我们总是将恒等元表示为 0（在 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 的情况下有 $\mathbf{0}$ 或在 $\left(\mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R}),+\right)$ 的情况下有 $O=O_{m, n}$ 等微小变化）。如果 $X$ 上的二元运算用 $\cdot$ 表示，并且存在恒等元，我们通常（但不总是）将恒等元表示为 1（同样在 $\left(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$ 的情况下有 $I=I_{n}$ 等微小变化）。
定义 1.4.5。（逆元）假设 $(X, *)$ 是一个带有恒等元 $e$ 的二元结构。给定 $x \in X$， $x$ 的逆元是元素 $x^{\prime}$，使得 $x^{\prime} * x=x * x^{\prime}=e$。例如，$e$ 有一个逆元，事实上 $e^{\prime}=e$。具有逆元的元素称为可逆元。
显然，如果 $x$ 是可逆的，其逆元是 $x^{\prime}$，那么等式 $x^{\prime} * x=x * x^{\prime}=e$ 表明 $x^{\prime}$ 是可逆的，其逆元是 $x$，即 $\left(x^{\prime}\right)^{\prime}=x$。要说更多，我们需要结合律。 $x$ 的左逆元是元素 $x_{L}^{\prime}$，使得 $x_{L}^{\prime} * x=e$，而 $x$ 的右逆元是元素 $x_{R}^{\prime}$，使得 $x * x_{R}^{\prime}=e$。
命题 1.4.6。假设 $(X, *)$ 是一个结合二元结构。如果 $x_{L}^{\prime}$ 是 $x$ 的左逆元， $x_{R}^{\prime}$ 是右逆元，那么 $x_{L}^{\prime}=x_{R}^{\prime}$。因此，逆元（如果存在）是唯一的。
证明。(i) 考虑乘积 $x_{L}^{\prime} * x * x_{R}^{\prime}$。使用结合律，我们看到
但同时
因此 $x_{L}^{\prime}=x_{R}^{\prime}$。逆元的唯一性证明与命题 1.4.4 的证明类似。
命题 1.4.7。假设 $(X, *)$ 是一个带有恒等元 $e$ 的结合二元结构。
(i) 如果 $x, y \in X$ 都是可逆的，那么 $x * y$ 也是可逆的，并且 $(x * y)^{\prime}=y^{\prime} * x^{\prime}$。
(ii) 元素 $e \in X$ 是可逆的。
(iii) 如果 $x$ 是可逆的，其逆元是 $x^{\prime}$，那么 $x^{\prime}$ 也是可逆的，其逆元是 $x$，即 $\left(x^{\prime}\right)^{\prime}=x$。
证明。(i) 我们必须检查
我们只需检查 $(x * y) *\left(y^{\prime} * x^{\prime}\right)=e$。使用结合律，
等式 $\left(y^{\prime} * x^{\prime}\right) * x * y=e$ 类似。
(ii) , (iii) 我们在上面已经提到了这些事实。
记号：如果 $X$ 上的二元运算用 + 表示，恒等元为 0，我们通常将可逆元 $a$ 的（加性）逆元表示为 $-a$。如果 $X$ 上的二元运算用 - 表示，并且存在恒等元 1，我们通常将可逆元 $a$ 的（乘性）逆元表示为 $a^{-1}$。（记号 $1 / a$ 通常不被赞成；请不要使用它。）
接下来，我们证明我们定义的二元结构的基本性质在同构下得以保持。这说明了前面提到的基本原理，即如果两个二元结构 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 和 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是同构的，那么 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 的每个“代数性质”（换句话说，仅能用二元运算表达的性质）也是 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的一个代数性质。
命题 1.4.8。设 $f:\left(X_{1}, *_{1}\right) \rightarrow\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是二元结构的同构。
(i) 如果 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 是结合的，那么 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是结合的。
(ii) 如果 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 是交换的，那么 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 是交换的。
(iii) 如果 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 有恒等元 $e_{1}$，那么 $f\left(e_{1}\right)$ 是 $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的（必然唯一的）恒等元。
(iv) 如果 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 是结合的， $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 有恒等元 $e_{1}$ 并且 $x \in X_{1}$ 是可逆的，那么 $f(x)$ 也是可逆的，事实上 $(f(x))^{\prime}=f\left(x^{\prime}\right)$。
证明。我们省略 (i) 和 (ii) 的繁琐证明。为了说明 (iii)，设 $y \in X_{2}$。我们必须证明 $f\left(e_{1}\right) *_{2} y=y *_{2} f\left(e_{1}\right)=y$。由于 $f$ 是一个同构，它是一个双射，特别是它是满射的。因此，存在一个 $x \in X_{1}$ 使得 $f(x)=y$。那么
证明 $y *_{2} f\left(e_{1}\right)=y$ 类似。
最后，为了说明 (iv)，假设 $\left(X_{1}, *_{1}\right)$ 是结合的，并且有恒等元 $e$，并且 $x \in X_{1}$ 是可逆的。请注意，根据 (iii)， $\left(X_{2}, *_{2}\right)$ 的恒等元是 $e_{2}=f\left(e_{1}\right)$。我们必须证明 $f(x) *_{2} f\left(x^{\prime}\right)=f\left(x^{\prime}\right) *_{2} f(x)=e_{2}$。但是
证明 $f\left(x^{\prime}\right) *_{2} f(x)=e_{2}$ 类似。因此 $f\left(x^{\prime}\right)$ 是 $f(x)$ 的一个逆元。
以下描述了我们通过等价关系构建的一些二元结构的代数性质：
命题 1.4.9。(i) 对于每个 $n \in \mathbb{N}$，二元结构 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 是结合和交换的，其（加性）恒等元是 $0=[0]$，并且 $[a] \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的（加性）逆元 $-[a]$ 是 $[-a]$。
(ii) 对于每个 $n \in \mathbb{N}$，二元结构 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$ 是结合和交换的，其（乘性）恒等元是 $1=[1]$。
(iii) 二元结构 $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ 是结合和交换的，其（加性）恒等元是 $0=[0]$，并且 $[\theta] \in \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 的（加性）逆元 $-[\theta]$ 是 $[-\theta]$。
证明。我们只证明 (i)，因为 (ii) 和 (iii) 的证明类似。基本思想是，如果一个二元运算在一个集合 $X / \sim$ 的等价类上定义，对于一个在具有二元结构的 $X$ 上的关系 $\sim$，通过取代表元并使用 $X$ 上的二元结构，那么 $X / \sim$ 上的二元结构通常会“继承” $X$ 上的二元结构的性质。
因此，为了说明 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 是结合的，我们计算：对于所有等价类 $[a],[b],[c] \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，
但是，由于 $(\mathbb{Z},+)$ 是结合的， $(a+b)+c=a+(b+c)$，因此 $[(a+b)+c]=[a+(b+c)]$。因此最终
因此 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 是结合的。证明 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 是交换的类似。
为了找到 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 的恒等元，很自然地尝试 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 的恒等元的等价类，即 $[0]$。由于我们已经知道 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 是交换的，因此只需检查 $[0]$ 是 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 的左恒等元。对于所有 $[a] \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，
因此 $[0]$ 是 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 的左恒等元。证明加性逆元存在类似：对于所有 $[a] \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，
因此 $[-a]$ 是 $[a]$ 的左逆元，因此是逆元。证明还表明 $-[a]=[-a]$。
请注意，正如我们在练习 1.18 中所见，并非所有 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的非零元素都具有乘性逆元。为了弥补这一点，我们定义一个重要的新二元结构：
定义 1.4.10。对于 $n \in \mathbb{N}$，定义
换句话说， $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$ 由所有具有乘性逆元的同余类 $[a] \bmod n$ 组成。根据命题 1.4.7， $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$ 非空，因为 $1 \in(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$，并且乘法定义了 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$ 上的二元运算。二元结构 $\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$ 是结合和交换的，存在恒等元 $[1]$，并且根据定义， $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$ 的每个元素都是可逆的。
下表总结了我们考虑的大多数例子的代数性质。所有感兴趣的例子都是结合的，因此例如我们不考虑 $(\mathbb{N},-)$。
| 结合 | 交换 | 恒等元 | 逆元 | |
|---|---|---|---|---|
| ( $\mathbb{N},+$ ) | ✓ | ✓ | ||
| $(\mathbb{N}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{Z}$, +) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{Z}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $(\mathbb{Q},+)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{Q}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{Q}^{*}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mathbb{R},+$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{R}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{R}^{*}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mathbb{C},+$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{C}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{C}^{*}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(U(1), \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mu_{n}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mathbb{R}^{n},+$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $\left(\mathbb{M}_{m, n},+\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $\left(\mathbb{M}_{n}, \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ||
| $\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $O_{n}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $S O_{n}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $X^{X}, \circ$ ) | ✓ | ✓ | ||
| ( $S_{X}, \circ$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
注： $\left.\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(O_{n}, \cdot\right)\right)$ 在 $n=1$ 时是交换的。 $\left(S O_{n}, \cdot\right)$ 在 $n=1,2$ 时是交换的。 $(X^{X}, \circ)$ 在 $X=\emptyset$ 或 $X$ 只有一个元素时是交换的且逆元存在。 $(S_{X}, \circ)$ 在 $X$ 最多有 2 个元素时是交换的。
定义 2.1.1。一个群是一个二元结构 $(X, *)$，使得 $*$ 是结合的，具有恒等元 $e$，并且对于每个 $x \in X$，存在一个 $*$ 的逆元，即元素 $x^{\prime}$，使得 $x * x^{\prime}=x^{\prime} * x=e$。请注意，恒等元 $e$ 和元素 $x$ 的逆元 $x^{\prime}$ 是唯一的。
例 2.1.2。(1) 运算用 + 表示的群： $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$，以及向量空间和矩阵的例子，如 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 或 $\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),+\right)$。
(2) 运算用 $\cdot$ 表示的数群： $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 以及 $(U(1), \cdot)$ 和 $(\mu_{n}, \cdot)$。
(3) 矩阵乘法下的矩阵群： $\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(O_{n}, \cdot\right),\left(S O_{n}, \cdot\right)$。
(4) $(S_{X}, \circ)$，特别是有限群 $(S_{n}, \circ)$。