2.2_二元结构与群_群.ZH解释

这部分是一个概览性的表格，它系统地梳理了在抽象代数中常见的各种数学结构，并判断它们是否满足成为一个群所需的四个核心代数性质：结合律、交换律、单位元和逆元。这个表格是学习群论的起点，它通过具体的例子帮助我们建立直观的认识，理解哪些我们熟悉的数集和运算构成了群，哪些则不构成，以及为什么。

表格的每一行代表一个二元结构，即一个集合配上一个在该集合上定义的二元运算。例如，第一行 ( \mathbb{N},+ ) 表示自然数集 $\mathbb{N}$ 和加法运算 + 组成的二元结构。

表格的每一列对应一个代数性质：

• 结合律 (Associativity): 运算不依赖于括号的顺序。对于任意三个元素 a, b, c，(a b) c 总是等于 a (b c)。这个性质是构建更复杂代数结构的基础，保证了运算结果的确定性。
• 交换律 (Commutativity): 运算不依赖于操作数的顺序。对于任意两个元素 a, b，a b 总是等于 b a。满足交换律的群被称为阿贝尔群，这是一种性质特别好的群。
• 单位元 (Identity Element): 集合中存在一个特殊的元素 e，当它与任何其他元素 a 进行运算时，结果仍然是 a。即 a e = e a = a。单位元像是一个“中性”的元素，不改变其他元素。
• 逆元 (Inverse Element): 对于集合中的每一个元素 a，都存在另一个元素 a'，使得它们之间的运算结果等于单位元 e。即 a a' = a' a = e。逆元提供了“撤销”操作的可能性。

一个二元结构要成为一个群 (Group)，必须满足结合律、存在单位元、并且每个元素都存在逆元。交换律不是必须的，但如果满足，则这个群是一个阿贝尔群。

下面我们逐行解析表格中的例子，理解为什么它们被标记为 ✓ 或留空。

• 行1: ( \mathbb{N},+ )
• 集合: $\mathbb{N}$，自然数集，通常指 $\{1, 2, 3, ...\}$ 或者 $\{0, 1, 2, ...\}$。在抽象代数的上下文中，通常不包含0，除非特别说明。这里我们假设 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$。
• 运算: + (加法)。
• 结合律: ✓。整数加法满足结合律，例如 $(2+3)+5 = 5+5 = 10$ 和 $2+(3+5) = 2+8 = 10$。
• 交换律: ✓。整数加法满足交换律，例如 $2+3 = 5$ 和 $3+2 = 5$。
• 单位元: (留空)。加法的单位元是 0，但 0 不在集合 $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ...\}$ 中。因此，这个结构没有单位元。
• 逆元: (留空)。因为没有单位元，讨论逆元没有意义。即使有单位元0，对于任意 $n \in \mathbb{N}$，它的加法逆元是 $-n$，而 $-n$ 也不在 $\mathbb{N}$ 中。
• 结论: $(\mathbb{N}, +)$ 不是一个群。

• 行2: (\mathbb{N}, \cdot)
• 集合: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$。
• 运算: · (乘法)。
• 结合律: ✓。整数乘法满足结合律，例如 $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ 和 $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$。
• 交换律: ✓。整数乘法满足交换律，例如 $2 \cdot 3 = 6$ 和 $3 \cdot 2 = 6$。
• 单位元: ✓。乘法的单位元是 1，而 1 在集合 $\mathbb{N}$ 中。
• 逆元: (留空)。除了元素 1 (其逆元是 1 本身)，其他任何元素 $n > 1$ 的乘法逆元是 $1/n$，而 $1/n$ 不是自然数（除非 $n=1$）。所以不是每个元素都有逆元。
• 结论: $(\mathbb{N}, \cdot)$ 不是一个群。

• 行3: ( \mathbb{Z}, +)
• 集合: $\mathbb{Z}$，整数集，$\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$。
• 运算: + (加法)。
• 结合律: ✓。
• 交换律: ✓。
• 单位元: ✓。加法的单位元是 0，它在 $\mathbb{Z}$ 中。
• 逆元: ✓。对于任何整数 a，它的加法逆元是 -a，-a 也是一个整数。例如，5的逆元是-5。
• 结论: $(\mathbb{Z}, +)$ 是一个阿贝尔群。

• 行4-13: (\mathbb{Z}, \cdot), (\mathbb{Q},+), ..., (\mathbb{C}^{*}, \cdot)
• 这些行遵循类似的逻辑。
• $(\mathbb{Z}, \cdot), (\mathbb{Q}, \cdot), (\mathbb{R}, \cdot), (\mathbb{C}, \cdot)$ 都不是群，因为元素 0 没有乘法逆元。
• 一旦我们从 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 中去掉 0，得到 $\mathbb{Q}^{*}, \mathbb{R}^{*}, \mathbb{C}^{*}$ (分别表示非零有理数、非零实数、非零复数)，它们在乘法下就构成了阿贝尔群。因为现在每个元素 $x$ 都有逆元 $1/x$。
• $(\mathbb{Q},+), (\mathbb{R},+), (\mathbb{C},+)$ 都是阿贝尔群。

• 行14: $(U(1), \cdot)$
• 集合: $U(1)$ 是复平面上的单位圆上的所有复数的集合，即所有模为1的复数 $\{z \in \mathbb{C} : |z|=1\}$。
• 运算: · (复数乘法)。
• 结合律 & 交换律: ✓，继承自复数乘法。
• 单位元: ✓。乘法单位元是 1，它在 $U(1)$ 中 (因为 $|1|=1$ )。
• 逆元: ✓。对于任何 $z \in U(1)$，它的逆元是 $1/z$。因为 $|z|=1$，所以 $|1/z| = 1/|z| = 1/1 = 1$，所以 $1/z$ 也在 $U(1)$ 中。实际上，$z$ 的逆元就是它的共轭 $\bar{z}$。
• 结论: $(U(1), \cdot)$ 是一个阿贝尔群。

• 行15: ( $\mu_{n}, \cdot$ )
• 集合: $\mu_{n}$ 是n次单位根的集合，即方程 $z^n=1$ 在复数域中的所有解。
• 运算: · (复数乘法)。
• 这是一个有限群，包含 n 个元素。它是 $U(1)$ 的一个子群。所有四个性质都满足。
• 结论: $(\mu_{n}, \cdot)$ 是一个阿贝尔群。

• 行16-22: 矩阵相关的结构
• $(\mathbb{R}^{n},+)$, $(\mathbb{M}_{m, n},+)$ 都是向量或矩阵的加法群，它们都是阿贝尔群。
• $(\mathbb{M}_{n}, \cdot)$ (n阶方阵的乘法) 不是群，因为不是所有矩阵都有逆矩阵（例如，行列式为0的矩阵）。
• $GL_n(\mathbb{R})$ (一般线性群) 是所有 n 阶可逆实矩阵的集合。根据定义，它满足逆元条件。矩阵乘法满足结合律，单位矩阵是单位元。但矩阵乘法通常不满足交换律（除非 $n=1$）。
• $SL_n(\mathbb{R})$ (特殊线性群，行列式为1的矩阵)，$O_n$ (正交群)，$SO_n$ (特殊正交群) 都是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的子群，它们也都是群，并且通常是非阿贝尔的。

• 行23-24: 函数与置换
• $(X^X, \circ)$ 是从集合 X到其自身的所有函数的集合，运算是函数复合。它满足结合律和有单位元（恒等函数），但通常不是所有函数都有逆函数（只有双射函数才有）。
• $S_X$ (对称群) 是从集合 X 到其自身的所有双射函数（也叫置换）的集合。根据定义，所有元素都有逆元。因此 $S_X$ 是一个群。当 X 的元素个数大于2时，它通常是非阿贝尔的。

• 行25-28: 模算术
• $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ (模n加法群) 是一个有n个元素的有限阿贝尔群。
• $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$ (模n乘法) 不是群，因为 [0] 没有逆元。
• $((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot)$ 是模n乘法群，其集合是所有与n互质的等价类。这些元素在模n乘法下都有逆元。这是一个阿贝尔群。
• $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ 实数模 $2\pi$ 的加法群，可以想象成一个圆周上的点的加法。这是一个阿贝尔群。

关于注记的解释:

注记部分对表格中的一些特殊情况进行了补充说明，指出了在某些特定条件下，一些非交换群会变成交换群。

• 当 $n=1$ 时，$GL_1(\mathbb{R})$ 就是 $\mathbb{R}^{*}$ (非零实数)，$SL_1(\mathbb{R})$ 是 $\{1\}$，$O_1(\mathbb{R})$ 是 $\{+1, -1\}$。这些都是交换的。$SO_1(\mathbb{R})$ 也是 $\{1\}$，是交换的。
• 当 $n=2$ 时，$SO_2$ 代表平面上的旋转，任意两次旋转的复合其结果与顺序无关，所以是交换的。
• 当 $X$ 为空集或单点集时，从 $X$到 $X$ 的函数只有0个或1个，显然是交换的。
• 当 $X$ 最多有2个元素时，置换群 $S_X$（即 $S_1$ 或 $S_2$）是交换的。$S_1$ 是平凡群， $S_2$ 有两个元素，同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

这是群 (Group) 的核心形式化定义，它建立在二元结构的基础上，并增加了三个额外的约束条件。让我们一步步拆解这个定义。

1. “一个群是一个二元结构 $(X, *)$”:
   • 这句话是说，一个群首先是一个数学结构，这个结构由两部分组成：一个非空集合 $X$ 和一个在 $X$ 上定义的二元运算 $*$。
   • 集合 $X$: 这是群的“舞台”，包含了所有的“演员”（元素）。例如，整数集 $\mathbb{Z}$。
   • 二元运算 $*$": 这是“剧本”，规定了任意两个“演员”如何互动产生第三个“演员”。它是一个函数，输入是 $X$ 中的两个元素，输出也是 $X$ 中的一个元素。这保证了运算的封闭性 (Closure)，即运算结果不会跑到集合 $X$ 的外面去。例如，整数的加法 $+$, $3+5=8$，输入的 3 和 5 都是整数，输出的 8 也是整数。
2. “其中 $*$ 是结合的”:
   • 这是对二元运算 $*$ 的第一个要求：结合律 (Associativity)。
   • 形式化描述: 对于集合 $X$ 中的任意三个元素 $a, b, c$，必须满足 $(a * b) * c = a * (b * c)$。
   • 直观理解: 当你连续进行多次运算时，你不需要担心括号的位置。你可以先算前面两个，再算第三个；也可以先算后面两个，再算第一个，结果总是一样的。这保证了长串运算的结果是明确的，不会有歧义。
3. “带有一个单位元 $e$”:
   • 这是第二个要求：存在一个特殊的元素，叫做单位元 (Identity Element)。
   • 形式化描述: 在集合 $X$ 中，必须存在一个元素 $e$，对于 $X$ 中的任何一个元素 $x$，都满足 $x * e = e * x = x$。
   • 直观理解: 单位元就像是“什么都不做”的操作。任何元素和它运算，都等于它自身。在加法中，这个角色由 0 扮演 ($x+0=x$)；在乘法中，由 1 扮演 ($x \cdot 1=x$)。
4. “并且对于每一个 $x \in X$，都存在一个 $*$ 的逆元”:
   • 这是第三个要求：集合中的每一个元素都必须有一个“配对”的逆元 (Inverse Element)。
   • 形式化描述: 对于集合 $X$ 中的每一个元素 $x$，都必须存在一个对应的元素 $x^{\prime}$ (也在 $X$ 中)，使得 $x * x^{\prime} = x^{\prime} * x = e$。
   • 直观理解: 逆元提供了“撤销”或“返回”的能力。如果你执行了一个操作 $x$，那么再执行它的逆操作 $x^{\prime}$，你就能回到单位元这个“原点”状态。在整数加法中，5 的逆元是 -5，因为 $5 + (-5) = 0$。在非零有理数乘法中，5 的逆元是 $1/5$，因为 $5 \cdot (1/5) = 1$。
5. “注意，单位元 $e$ 和元素 $x$ 的逆元 $x^{\prime}$ 是唯一的”:
   • 这是一个非常重要的性质，虽然它没有作为定义的一部分，但是可以从定义中推导出来。
   • 单位元的唯一性: 假设一个群里有两个单位元 $e$ 和 $f$。根据单位元的定义，$e * f = f$ (因为 $e$ 是单位元)，同时 $e * f = e$ (因为 $f$ 是单位元)。所以，必然有 $e=f$。因此单位元是唯一的。
   • 逆元的唯一性: 假设元素 $x$ 有两个逆元 $x^{\prime}$ 和 $x^{\prime\prime}$。
   • 我们有 $x * x^{\prime} = e$ 和 $x * x^{\prime\prime} = e$。
   • 考虑表达式 $x^{\prime} * (x * x^{\prime\prime})$。
   • 一方面，根据结合律，它等于 $(x^{\prime} * x) * x^{\prime\prime} = e * x^{\prime\prime} = x^{\prime\prime}$。
   • 另一方面，由于 $x * x^{\prime\prime} = e$，它等于 $x^{\prime} * e = x^{\prime}$。
   • 所以，必然有 $x^{\prime} = x^{\prime\prime}$。因此逆元也是唯一的。

这部分内容给出了群的大量具体例子，涵盖了数、矩阵、函数、等价类等多个领域，并介绍了构造新群的方法（如直积）。同时，它也列举了一些常见的反例。这是将抽象定义与具体实践联系起来的关键一步。

(1) 运算记作 + 的群：

• $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$: 这四个是最基础的加法群。它们都满足：加法是封闭的、结合的、交换的；单位元都是0；每个元素 $x$ 的逆元都是 $-x$。因为它们都满足交换律，所以都是阿贝尔群。
• $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$: n维实向量空间。集合是所有的n维向量 $(x_1, ..., x_n)$。运算是向量的逐分量加法。这同样是一个阿贝尔群。单位元是零向量 $(0, ..., 0)$，一个向量 $\vec{v}$ 的逆元是 $-\vec{v}$。
• $\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),+\right)$: 所有 $n \times m$ 的实矩阵的集合。运算是矩阵的逐元素加法。这也是一个阿贝尔群。单位元是零矩阵，一个矩阵 $A$ 的逆元是 $-A$。

(2) 运算记作 · 的数字群：

• $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$: 这里的星号 * 表示排除了0。非零有理数、非零实数、非零复数在乘法下构成阿贝尔群。单位元是1，每个元素 $x$ 的逆元是 $1/x$ (因为 $x \neq 0$，所以 $1/x$ 存在)。
• $(U(1), \cdot)$: 模为1的复数在乘法下构成的群，也叫圆群。
• $(\mu_{n}, \cdot)$: n次单位根在乘法下构成的有限群。

(3) 矩阵乘法下的矩阵群：

这些是典型的非阿贝尔群（当 $n>1$ 时）。

• $\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$: 一般线性群 (General Linear Group)。集合是所有n阶可逆实矩阵。运算是矩阵乘法。结合律成立，单位元是单位矩阵 $I_n$。因为集合只包含可逆矩阵，所以每个矩阵 $A$ 都有逆矩阵 $A^{-1}$。
• $\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$: 特殊线性群 (Special Linear Group)。集合是所有n阶且行列式为1的实矩阵。这是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群。
• $\left(O_{n}, \cdot\right)$: 正交群 (Orthogonal Group)。集合是所有n阶正交矩阵（满足 $A^T A = I_n$）。这也是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群。
• $\left(S O_{n}, \cdot\right)$: 特殊正交群 (Special Orthogonal Group)。集合是所有n阶行列式为1的正交矩阵。它是旋转群。

(4) ( $S_{X}, \circ$ ):

• 对称群 (Symmetric Group)。集合是从集合X到其自身的所有双射（置换）。运算是函数复合 $\circ$。
• $(S_n, \circ)$: 当 $X = \{1, 2, ..., n\}$ 时，记作 $S_n$。这是一个包含 $n!$ 个元素的有限群。当 $n \geq 3$ 时，它是非阿贝尔群。

(5) 等价类:

• $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$: 整数模n加法群。集合是整数关于模n同余关系的等价类 $\{[0], [1], ..., [n-1]\}$。运算是 $[a]+[b]=[a+b]$。这是一个有限阿贝尔群。
• $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$: 实数模 $2\pi$ 加法群。可以看作是圆周上的角度加法。
• $\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$: 整数模n乘法群。集合是在模n乘法下可逆的等价类。这等价于所有与n互质的数的等价类。运算是 $[a] \cdot [b] = [ab]$。这是一个有限阿贝尔群。公式给出了它的严格定义。

(6) 构造新群:

• 群的直积 (Direct Product): 如果 $(G_1, *_1)$ 和 $(G_2, *_2)$ 是群，那么它们的直积 $(G_1 \times G_2, *)$ 也是一个群。
• 集合: $G_1 \times G_2$ 是所有有序对 $(g_1, g_2)$ 的集合，其中 $g_1 \in G_1, g_2 \in G_2$。
• 运算: 逐分量运算，即 $(g_1, g_2) * (h_1, h_2) = (g_1 *_1 h_1, g_2 *_2 h_2)$。
• 单位元: $(e_1, e_2)$，其中 $e_1, e_2$ 分别是 $G_1, G_2$ 的单位元。
• 逆元: $(g_1, g_2)$ 的逆元是 $(g_1^{-1}, g_2^{-1})$。
• 阶: 如果 $G_1, G_2$ 是有限群，则直积群的阶（元素个数）是 $\#(G_1) \times \#(G_2)$。
• 函数群 $\left(G^{Y}, *\right)$: 如果 $(G, *)$ 是一个群，$Y$ 是任意一个集合，那么所有从 $Y$ 到 $G$ 的函数构成的集合 $G^Y$ 也能形成一个群。
• 运算: 逐点运算。对于两个函数 $f, h \in G^Y$，它们的“乘积” $f*h$ 是一个新的函数，定义为对任意 $y \in Y$，$(f*h)(y) = f(y) * h(y)$。

反例:

这部分重申了之前表格中的一些反例，强调它们为什么不是群。

• $(\mathbb{N},+)$: 没有单位元0，没有负数作为逆元。
• $(\mathbb{N}, \cdot)$: 大部分元素没有乘法逆元。
• $(\mathbb{Z}, \cdot), (\mathbb{Q}, \cdot), (\mathbb{R}, \cdot), (\mathbb{C}, \cdot)$: 元素0没有乘法逆元。
• $\left(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$: 行列式为0的矩阵没有逆元。
• $\left(X^{X}, \circ\right)$: 只有双射函数才有逆函数，不是所有函数都可逆。

这个注记揭示了一种非常重要且普遍的从一个已有的代数结构中“提炼”出群的方法。这个方法可以概括为“筛选法”：从一个不那么完美的结构中，筛选出所有“表现良好”的元素，让它们自己组成一个群。

第一种方法：“筛选法”或“取可逆元法”

1. 起点: 我们从一个“准群”开始，它是一个二元结构 $(X, *)$，这个结构已经满足了两个不错的性质：
   • 运算 $*$ 是结合的。
   • 存在一个单位元 $e$。
2. 筛选过程:
   • 我们定义一个新的集合 $X^{\prime}$，它只包含 $X$ 中那些可逆的 (invertible) 元素。
   • 一个元素 $x \in X$ 被称为可逆的，如果存在一个 $x^{\prime} \in X$，使得 $x * x^{\prime} = x^{\prime} * x = e$。
   • 这个集合 $X^{\prime}$ 就是 $X$ 的所有可逆元素组成的子集。
3. 结果: 经过筛选后得到的新结构 $(X^{\prime}, *)$ 就是一个群。为什么呢？
   • 封闭性: 这是最关键的一点。如果 $x$ 和 $y$ 都是可逆的，那么它们的乘积 $x*y$ 也必须是可逆的。这是因为 $(x*y)$ 的逆元就是 $y' * x'$ (注意顺序反了)。$(x*y)*(y'*x') = x*(y*y')*x' = x*e*x' = x*x' = e$。所以 $X'$ 在运算 $*$ 下是封闭的。
   • 结合律: 既然 $*$ 在更大的集合 $X$ 上都是结合的，那么在它的子集 $X'$ 上自然也是结合的。这个性质被“继承”了。
   • 单位元: 单位元 $e$ 本身是可逆的（它的逆元就是它自己，$e*e=e$），所以 $e$ 必然在 $X'$ 中。因此 $(X', *)$ 有单位元。
   • 逆元: 根据 $X'$ 的定义，我们只把有逆元的元素选了进来。并且，如果 $x$ 的逆元是 $x'$，那么 $x'$ 本身也是可逆的（它的逆元是 $x$），所以 $x'$ 也一定在 $X'$ 中。因此，在 $X'$ 中的每个元素，它的逆元也在 $X'$ 中。

应用这个方法的例子:

• 从 $(\mathbb{Q}, \cdot)$ (有理数乘法，一个幺半群) 中筛选出所有可逆元素。唯一不可逆的是 0。所以筛选后的集合是 $\mathbb{Q}^{*} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$，得到的群是 $(\mathbb{Q}^{*}, \cdot)$。
• 从 $(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot)$ (n阶方阵乘法，一个幺半群) 中筛选出所有可逆元素。可逆矩阵的集合正是一般线性群 $G L_{n}(\mathbb{R})$。因此 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 就是这样“提炼”出来的。
• 从 $(X^{X}, \circ)$ (从X到X的函数复合，一个幺半群) 中筛选出所有可逆元素。可逆函数就是双射函数（置换）。所以筛选出的集合是对称群 $S_X$。
• 从 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$ 中筛选出所有可逆元素，就得到了群 $\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$。

第二种方法：“扩张法”

与“筛选法”相对的是“扩张法”，即在一个不完美的结构基础上，添砖加瓦，把它“修补”成一个群。

• 例子: 我们从 $(\mathbb{N}, +)$ 开始，这里 $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ...\}$。
• 第一步: 它没有单位元。我们把 0 加进来，得到集合 $\{0, 1, 2, ...\}$。现在有单位元了。
• 第二步: 它没有逆元。对于每个元素 $n$，我们都“发明”一个它的逆元 $-n$ 加进来。这样，集合就被扩张成了 $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$，也就是整数集 $\mathbb{Z}$。
• 结果: 经过扩张，我们从 $(\mathbb{N}, +)$ 得到了群 $(\mathbb{Z}, +)$。

这个“扩张”的过程在数学上被称为群的完备化 (Group Completion) 或构造格罗滕迪克群 (Grothendieck Group)。它比“筛选法”要复杂得多，并且只在特定条件下才能成功（例如，原结构需要满足交换律和消去律）。

这部分内容设定了群论中一些最基本的符号和术语约定。

1. 通用群的符号:
   • $(G, *)$: 这是表示一个通用群 (generic group) 的标准符号。
   • $G$: 代表集合 (Group set)。选择字母 $G$ 是因为它就是 Group 的首字母。
   • $*$: 代表一个通用的二元运算，可以是加法、乘法或任何其他满足群公理的运算。
   • 字母 $G$ 的惯例: 在抽象代数的语境中，如果你看到一个大写字母 $G$ 被用作一个代数结构的符号，几乎可以百分之百地确定它代表一个群。这已经成为一个约定俗成的习惯，就像在微积分中 $f(x)$ 通常代表一个函数一样。
2. 交换律的地位:
   • 非必须性: 群的定义中只包含了结合律、单位元和逆元这三个核心要求（以及隐含的封闭性）。交换律（即 $a*b = b*a$）是一个额外的、非必须的性质。
   • 重要性: 尽管不是必须的，但交换律是一个非常重要的性质。满足交换律的群比不满足的群在结构上通常更简单，性质也更好。
   • 特殊名称: 为了区分这两种群，满足交换律的群被赋予了一个特殊的名字。

这是对满足交换律的群的正式命名。

1. “令 $(G, *)$ 为一个群”: 这个定义的前提是，我们讨论的对象已经是一个群了。也就是说，它已经满足了封闭性、结合律、有单位元、每个元素有逆元。
2. “如果 $*$ 是交换的”: 这是增加的条件。
   • 形式化描述: 对于集合 $G$ 中的任意两个元素 $g_1, g_2$，都必须满足 $g_1 * g_2 = g_2 * g_1$。
   • 直观理解: 运算的顺序不影响结果。
3. “则称 G 是阿贝尔群或交换群”:
   • 阿贝尔群 (Abelian group): 这是标准的数学术语。它是为了纪念19世纪的挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔 (Niels Henrik Abel)。他在研究五次方程根式解的过程中，深入研究了这类群的性质。将这类重要的群以他的名字命名，是为了表彰他的巨大贡献。
   • 交换群 (Commutative group): 这是一个更具描述性的名字，直接说明了该群的特性。在文献中，这两个词可以互换使用，但“阿贝尔群”更常用，也显得更专业。

这句话是对非阿贝尔群重要性的一个强调。

1. “矩阵群”: 指的是像 $GL_n(\mathbb{R})$, $SL_n(\mathbb{R})$ 等以矩阵为元素，矩阵乘法为运算的群。我们在之前的例子中已经看到，当矩阵的阶数 $n \geq 2$ 时，矩阵乘法通常是非交换的。
2. “$\left(S_{n}, \circ\right)$ (当 $n \geq 3$)”: 指的是对 $n$ 个元素进行置换的对称群。
   • 当 $n=1$ 时，$S_1$ 只有一个元素（恒等置换），是平凡群，自然是阿贝尔的。
   • 当 $n=2$ 时，$S_2$ 有两个元素（恒等置换和交换1、2的置换），它同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，也是阿贝尔的。
   • 当 $n \geq 3$ 时，对称群 $S_n$ 一定是非阿贝尔的。我们在 $S_3$ 的例子中已经验证了这一点。这个结论可以推广到所有更大的 $n$。
3. “例子表明，存在许多不阿贝尔的有趣群”:
   • 存在许多: 非阿贝尔群不是少数特例，而是广泛存在的。事实上，随着阶数的增加，非阿贝尔群的数量会远远超过阿贝尔群。
   • 有趣: “有趣”在这里指的是这些群具有深刻的数学结构和广泛的物理应用。矩阵群是线性代数和李群理论的核心，在物理学中描述空间对称性和基本粒子的内禀对称性。对称群 $S_n$ 是伽罗瓦理论（解决多项式方程可解性）的基石，并在组合学和概率论中有重要应用。

这一大段内容详细阐述了群这个数学概念为何如此重要，因为它在数学和科学的各个分支中都作为描述核心现象的自然语言而出现。作者将群的来源和应用归纳为八个方面，展示了其无与伦比的普遍性和深刻性。

(1) 数字群 (Number Groups)

• 内容: 列举了最基本的加法群 $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$ 和乘法群 $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$。
• 评价: "最熟悉，但对我们来说也将是最不有趣的"。
• 解释: 这句话的意思是，虽然这些群是我们入门的跳板，但它们的结构相对简单（都是无限阿贝尔群），群论中许多深刻和复杂的现象（如非交换性、有限群的复杂结构、正规子群和商群的微妙之处）在这些简单的群中无法体现。群论的真正威力在于处理比它们复杂得多的结构。

(2) 来自数论和周期性的群 (Groups from Number Theory and Periodicity)

• $(\mathbb{Z},+)$ 和 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$:
• $(\mathbb{Z},+)$ 与初等数论的关系在于，所有整数都可以由元素 1 (或-1) 反复相加生成。它是最简单的无限循环群，是研究整除性、素数等问题的基础。
• $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 完美地描述了周期性。例如，一周7天就是一个模7的系统，今天是周六(6)，5天后是 $6+5=11 \equiv 4 \pmod 7$，即周四。钟表是模12，月份是模12。这个有限循环群是研究同余理论的核心。
• $\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$: 模n乘法群在数论中至关重要，特别是在密码学（如RSA算法）和欧拉定理、费马小定理中。
• $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$: 这个群将实数轴“卷起来”成一个圆。它与周期函数的联系在于，一个周期为 $2\pi$ 的函数 $f(\theta)$，其性质在 $\theta$ 和 $\theta+2\pi$ 处是相同的，这正好对应了 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$ 中 $[\theta]=[\theta+2\pi]$ 的情况。这个群（也记作 $U(1)$ 或 $SO(2)$）是傅里叶分析的基础。

(3) 矩阵群 (Matrix Groups) 与物理学

• 与线性代数的关系: 矩阵群是可逆线性变换的集合，因此是线性代数的自然组成部分。
• 与物理学的关系:
• 不变性 (Invariance): 这是核心思想。物理定律不应该因为你观察它的坐标系不同而改变。例如，无论你是正对着一个实验，还是歪着头看，牛顿定律都应该是一样的。这些改变坐标系的操作（如旋转）就形成了一个群（如旋转群 $SO(3)$）。说物理定律在 $SO(3)$ 下是不变的，意味着定律的数学形式在坐标系旋转变换下保持不变。
• 狭义相对论: 爱因斯坦的洞察是，物理定律不仅在空间旋转下不变，也应该在洛伦兹变换（描述不同惯性参考系之间时空坐标变换的规则）下不变。所有洛伦兹变换构成的群就是洛伦兹群。这个群保持不变的“距离”不再是空间的欧几里得距离 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，而是时空的闵可夫斯基间隔 $\sqrt{x^2+y^2+z^2-c^2t^2}$。
• 现代粒子物理学: 标准模型将基本粒子描述为更抽象的对称群（如 $SU(3)$, $SU(2)$, $U(1)$）的表示。这些“内禀对称性”决定了粒子的性质以及它们之间如何相互作用。
• 与数论的联系: 矩阵群在现代数论中也扮演着核心角色，例如在朗兰兹纲领和费马大定理的证明中，都用到了与椭圆曲线相关的伽罗瓦表示，这些表示的目标空间就是矩阵群。

(4) 几何对称群 (Geometric Symmetry Groups)

• 核心思想: 一个几何对象的对称操作是指那些让该对象看起来不变的变换（如旋转、反射）。所有这些对称操作的集合，以操作的复合为运算，自然地形成一个群，称为该对象的对称群。
• 二面体群 $D_n$: 正n边形的对称群。它包含 $n$ 个旋转（包括不动）和 $n$ 个反射。总共有 $2n$ 个元素。文中给出了它在 $O_2$（二维正交群）中的具体实现：$A_{2k\pi/n}$ 是旋转， $B_{2k\pi/n}$ 是反射。
• 柏拉图多面体: $\mathbb{R}^3$ 中只有5种正多面体。它们的旋转对称群是有限群的重要例子。对偶的多面体（如正方体和正八面体）有同构的对称群。
• 欧拉公式 $v-e+f=2$: 这个公式对所有凸多面体都成立，是拓扑学中的一个基本结果，揭示了形状的内在组合结构。
• 应用: 对称群是理解和分类模式的关键。晶体的原子排列结构可以用晶体群（三维空间中的离散对称群）来分类，墙纸图案可以用二维的壁纸群来分类。魔方的所有可能操作也构成一个巨大的有限群。

(5) 四元数群 $Q$ (Quaternion Group)

• 这是一个阶为8的非阿贝尔群。它不能被看作是任何几何图形的对称群，是一个比较独特的代数对象。
• 四元数: 是汉密尔顿发现的一种数，可以看作是复数的推广。一个四元数有4个分量：$a+bi+cj+dk$。其中 $i,j,k$ 是虚数单位，它们之间的乘法是非交换的，遵循 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ 这组核心规则（文中给出的规则是等价的）。
• 群 $Q$: 是由 $\{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ 这8个单位四元数构成的乘法群。
• 结合性的验证: 直接用定义验证四元数乘法的结合性很繁琐。一个聪明的办法是找到一组 $2 \times 2$ 的复矩阵或 $4 \times 4$ 的实矩阵来表示 $1,i,j,k$，使得它们的矩阵乘法规则与四元数乘法规则一致。因为矩阵乘法是结合的，所以四元数乘法的结合性就得证了。

(6) 置换群 $S_n$ (Permutation Group)

• 与组合和概率的联系: $S_n$ 的元素代表了对 $n$ 个不同物体进行排列的所有方式。因此，它在计算有多少种排列方式（组合数学）以及随机排列的性质（概率论）中非常重要。例如，一副52张的扑克牌，所有可能的洗牌结果（排列）构成了 $S_{52}$ 这个巨大群的元素。

(7) 来自拓扑学和几何学的无限群 (Infinite groups from Topology and Geometry)

• 这是一个引申。在拓扑学中，会研究基本群、同调群等，它们是描述拓扑空间“有多少洞”或“连通性”的代数不变量。这些群通常是无限群，并且可能是非阿贝尔的。

(8) 历史来源：伽罗瓦理论 (Historical Origin: Galois Theory)

• 这是群论诞生的最初动机。
• 背景: 数学家们很早就知道如何解一元二次、三次、四次方程，并且解的公式只涉及系数的加减乘除和开方（统称根式）。人们想知道五次及更高次方程是否存在类似的“求根公式”。
• 阿贝尔和伽罗瓦的贡献: 阿贝尔首先证明了，一般的五次方程不存在根式解。而伽罗瓦则给出了一个方程能否用根式求解的完整判别准则。
• 伽罗瓦的洞察: 伽罗瓦发现，一个多项式方程的根的对称性可以用一个群来描述，这个群后来被称为该多项式的伽罗瓦群。这个群的元素是根的置换，但不是所有置换，而是那些保持根之间所有代数关系的置换。
• 核心结论: 方程能否用根式求解，完全取决于其伽罗瓦群的结构是否“足够简单”（专业术语是“可解群”）。五次方程的一般伽罗瓦群是 $S_5$，而 $S_5$ 不是一个可解群，因此一般五次方程没有根式解。
• 历史意义: 群的概念最初不是被“定义”出来的，而是从解决具体问题的过程中被“发现”的。伽罗瓦的工作是抽象代数的开端，它展示了用代数结构来研究问题本身的对称性是何等强大。

课程焦点: 最后一段话点明了本课程的范围，将主要关注有限群的理论。这是因为有限群的理论相对完善，并且是进入更高级的无限群、李群等理论的必要基础。

这是群的一个非常基本但极其重要的性质，称为消去律 (Cancellation Law)。它表明在群的方程中，我们可以像在初等代数的方程中那样“消去”公共因子。

1. 命题的陈述:
   • 前提: 我们有一个群 $(G, *)$。这意味着我们可以使用群的所有公理：结合律、单位元的存在、每个元素逆元的存在。
   • 左消去律 (Left Cancellation Law): "如果 $a * b = a * c$，则 $b=c$。"
   • 这句话的意思是，如果在方程的两边，左边都有一个相同的元素 $a$，我们可以把这个 $a$ “消掉”，得到 $b=c$。
   • 右消去律 (Right Cancellation Law): "如果 $b * a = c * a$，则 $b=c$。"
   • 同理，如果在方程的两边，右边都有一个相同的元素 $a$，我们也可以把它“消掉”。
2. 为什么这个性质重要?
   • 在普通的实数或有理数的乘法中，我们对这个定律习以为常。如果 $2x = 2y$ 且 $2 \neq 0$，我们两边都除以2，得到 $x=y$。“除以2”这个操作，在群论的语言中，就是“乘以2的逆元 $1/2$”。
   • 这个命题告诉我们，这种“消去”操作在任何群中都成立，即使这个群是非阿贝尔的，即使它的元素不是数而是矩阵或置换。
   • 它的成立，完全依赖于逆元的存在。在一些没有逆元的结构中，消去律可能不成立。例如，在整数模6乘法中，$[2] \cdot [3] = [6] = [0]$ 并且 $[4] \cdot [3] = [12] = [0]$。我们有 $[2] \cdot [3] = [4] \cdot [3]$，但我们不能消去 $[3]$ 得到 $[2]=[4]$。这是因为 $(\mathbb{Z}_6, \cdot)$ 不是一个群，元素 $[3]$ 没有乘法逆元。
3. 与除法的区别:
   • 我们不能说“两边都除以a”，因为群的运算不一定是乘法，而且“除法”这个词有特定的含义。
   • 更精确的说法是：“用a的逆元 $a^{-1}$ 从左边（或右边）作用于方程两边”。

这个证明是群论中基本证明手法的绝佳范例。它只用了群的三个核心公理。

1. 证明左消去律:
   • 假设 (Hypothesis): 我们从已知条件出发，即 $a * b = a * c$。这是一个在群 $G$ 中成立的等式。
   • 关键步骤: “将两边左乘 $a$ 的逆元 $a^{\prime}$”。
   • 因为 $G$ 是一个群，所以对于元素 $a \in G$，它的逆元 $a^{\prime}$ 必定存在于 $G$ 中。
   • 我们可以在等式两边同时进行同一个操作，等式仍然成立。这里的操作就是“从左边乘以 $a^{\prime}$”。
   • 于是，我们得到新的等式: $a^{\prime} * (a * b) = a^{\prime} * (a * c)$。注意，这里的括号是为了清晰，根据结合律，它们可以不写。
   • 运用公理:
   • 左边: 考虑 $a^{\prime} * (a * b)$。
   • 根据结合律，我们可以移动括号: $(a^{\prime} * a) * b$。
   • 根据逆元的定义，$a^{\prime} * a = e$ (其中 $e$ 是单位元)。所以表达式变为 $e * b$。
   • 根据单位元的定义，$e * b = b$。
   • 右边: 同理，考虑 $a^{\prime} * (a * c)$。
   • 根据结合律: $(a^{\prime} * a) * c$。
   • 根据逆元定义: $e * c$。
   • 根据单位元定义: $c$。
   • 结论: 由于左边等于 $b$，右边等于 $c$，并且它们源自一个等式，所以我们得出 $b = c$。左消去律得证。
2. 证明右消去律:
   • 证明过程完全类似。
   • 假设: $b * a = c * a$。
   • 关键步骤: 将两边右乘 $a$ 的逆元 $a^{\prime}$。得到 $(b * a) * a^{\prime} = (c * a) * a^{\prime}$。
   • 运用公理:
   • 左边: $b * (a * a^{\prime}) = b * e = b$。
   • 右边: $c * (a * a^{\prime}) = c * e = c$。
   • 结论: $b=c$。右消去律得证。

这个注记是一个非常重要的提醒，旨在防止对消去律的错误滥用。

1. “混合消去律 (Mixed Cancellation Law)”: 这个词是作者为了形象说明而创造的，它指的是一个元素在等式的一边在左边，在另一边在右边的情况。
2. “如果 $a * b = c * a$，我们通常不能得出 $b=c$ 的结论”:
   • 这句话的核心在于群可能是非阿贝尔的（非交换的）。
   • 让我们分析为什么不能得出结论。从 $a * b = c * a$ 出发，如果我们想孤立出 $b$，我们需要去掉左边的 $a$。我们可以左乘 $a$ 的逆元 $a'$:
   • $a' * (a * b) = a' * (c * a)$
   • $(a' * a) * b = a' * c * a$
   • $e * b = a' * c * a$
   • $b = a' * c * a$
   • 现在的问题是，表达式 $a' * c * a$ 是否等于 $c$？
   • 只有当 $a'$ 和 $c$ 以及 $a$ 和 $c$ 可以自由交换位置时，才可能简化。例如，如果群是阿贝尔的，那么 $a' * c * a = a' * a * c = e * c = c$。在这种情况下，$b=c$ 成立。
   • 但如果群是非阿贝尔的，我们不能保证 $a' * c * a = c$。因此，我们不能从 $a * b = c * a$ 推出 $b=c$。

这个命题是群公理的另一个重要推论，它保证了在群中，最基本的一类方程总是有解，而且解是唯一的。

1. 命题的陈述:
   • “线性方程”: 作者在这里用了一个比喻。在初等代数中，$ax=b$ 被称为线性方程。在群的语境下，方程 $a*x=b$ 形式上很像它，所以也借用了这个名字。这有助于我们建立直觉。
   • 两个方程: 因为群不一定是阿贝尔的，所以 $a*x=b$ 和 $y*a=b$ 是两个不同的方程。
   • $a*x=b$: 未知数 $x$ 在右边，可以看作是“左线性方程”。
   • $y*a=b$: 未知数 $y$ 在左边，可以看作是“右线性方程”。
   • 核心结论: “存在唯一的解 (there exists a unique solution)”。这句话包含两层意思：
   • 存在性 (Existence): 解一定是存在的，方程不会无解。
   • 唯一性 (Uniqueness): 解只有一个，不会有两个或更多的解。
2. 与普通数系的对比:
   • 在实数中，解方程 $ax=b$：
   • 如果 $a \neq 0$，那么有唯一解 $x = b/a$。
   • 如果 $a = 0$ 且 $b \neq 0$，那么无解。
   • 如果 $a = 0$ 且 $b = 0$，那么有无穷多解。
   • 在群 $(G, *)$ 中，情况要简单得多！因为群中的每个元素 $a$ 都像是一个“非零”的数，它总有逆元。所以，群中的线性方程永远不会出现无解或无穷多解的情况，总是恰好有一个解。
3. 这个性质的意义:
   • 它体现了群结构的“完美”和“自洽”。在群的世界里，你可以通过一个元素 $a$ 将任何元素 $x$ “变换”到另一个元素 $b$，而且这种变换是一一对应的。
   • 这是群作为一个“变换群”或“对称群”的基础。群的元素可以看作是对集合本身进行的操作，而这个命题保证了从任何一个起点，你都可以通过某个操作到达任何一个终点。

这个证明非常漂亮，它同时完成了唯一性和存在性的证明。

证明方程 $a*x=b$ 的解存在且唯一:

1. 从唯一性入手 (Proving Uniqueness):
   • 假设: 假设存在一个解 $x$，满足 $a*x=b$。我们的目标是证明这个 $x$ 只能是某一个特定的表达式，从而说明解是唯一的。
   • 推导: 这个推导过程和消去律的证明几乎一样。
   • 我们有方程: $a * x = b$。
   • 两边左乘 $a$ 的逆元 $a'$: $a' * (a * x) = a' * b$。
   • 使用结合律: $(a' * a) * x = a' * b$。
   • 使用逆元定义: $e * x = a' * b$。
   • 使用单位元定义: $x = a' * b$。
   • 唯一性结论: 这个推导表明，如果解 $x$ 存在，那么它必须等于 $a' * b$。因为 $a'$ (a的逆元) 是唯一的，b是给定的，所以 $a' * b$ 是一个唯一确定的元素。因此，解最多只有一个。
2. 证明存在性 (Proving Existence):
   • 思路: 我们刚才已经找到了解的唯一“候选人”：$x = a' * b$。现在我们只需要验证这个“候选人”是不是真的解就行了。
   • 验证: 把 $x = a' * b$ 代入原方程 $a * x = b$ 的左边：
   • $a * x = a * (a' * b)$
   • 使用结合律: $(a * a') * b$
   • 使用逆元定义: $e * b$
   • 使用单位元定义: $b$
   • 存在性结论: 我们看到，代入后，方程的左边确实等于右边 $b$。这说明 $x = a' * b$ 的确是一个解。
   • 综合结论: 因为我们证明了（1）解最多只有一个，并且（2）我们找到了一个解，所以我们最终证明了方程 $a*x=b$ 存在唯一的解，这个解就是 $x = a' * b$。

证明方程 $y*a=b$ 的解存在且唯一:

证明过程完全对称。

1. 唯一性: 假设 $y*a=b$ 有解。两边右乘 $a$ 的逆元 $a'$。
   • $(y * a) * a' = b * a'$
   • $y * (a * a') = b * a'$
   • $y * e = b * a'$
   • $y = b * a'$。所以解如果存在，必是 $b*a'$。
2. 存在性: 将 $y = b * a'$ 代入原方程 $y*a=b$ 的左边。
   • $y * a = (b * a') * a$
   • $y * a = b * (a' * a) = b * e = b$。
   • 验证成功。
   • 结论: 方程 $y*a=b$ 存在唯一的解，这个解就是 $y = b * a'$。

这个推论是前一个命题的直接应用，它将群的代数性质与集合上的函数（特别是置换）联系起来，是通往著名的凯莱定理的桥梁。

1. 定义了两个函数:
   • $\ell_{a}: G \rightarrow G$: 这是一个以群 $G$ 为定义域和值域的函数。它的名字 $\ell$ 代表左 (Left)。它的作用是把输入的任何元素 $x$ 变成 $a*x$。所以 $\ell_a$ 就是“左乘 a (left multiplication by a)”这个操作。
   • $r_{a}: G \rightarrow G$: 类似地，$r$ 代表右 (Right)。它的作用是把输入的任何元素 $x$ 变成 $x*a$。所以 $r_a$ 就是“右乘 a (right multiplication by a)”这个操作。
   • 对于每个群元素 $a$，我们都有一对这样的函数 $\ell_a$ 和 $r_a$。
2. 核心结论:
   • “$\ell_{a}$ 和 $r_{a}$ 都是从 $G$ 到 $G$ 的双射”:
   • 双射 (Bijection): 一个函数是双射，意味着它既是单射 (Injective) 又是满射 (Surjective)。
   • 单射: 一对一的。不同的输入一定会得到不同的输出。如果 $x_1 \neq x_2$，那么 $f(x_1) \neq f(x_2)$。等价地，如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么必然 $x_1 = x_2$。
   • 满射: 映上的。值域中的任何一个元素 $b$，都至少有一个输入 $x$ 能映射到它，即 $f(x)=b$。
   • “因此 $\ell_{a}, r_{a} \in S_{G}$”:
   • $S_G$: 这是作用在集合 $G$ 上的对称群，即从 $G$ 到 $G$ 的所有双射函数（置换）构成的群。
   • 这个结论是说，“左乘a”和“右乘a”这两个操作，本身就是 $G$ 这个集合上的置换。
3. 证明的解读:
   • 证明 $\ell_a$ 是双射:
   • 方法一 (利用前一个命题):
   • 命题2.2.3告诉我们，对于任何一个 $b \in G$，方程 $\ell_a(x) = a*x=b$ 存在唯一解。
   • “存在解”意味着：对于任何一个目标输出 $b$，我们总能找到一个输入 $x$。这正是满射的定义。
   • “解是唯一的”意味着：一个输出 $b$ 只会对应一个输入 $x$。如果 $\ell_a(x_1) = \ell_a(x_2) (=b)$，那么必然 $x_1=x_2$。这正是单射的定义。
   • 既然 $\ell_a$ 既是单射又是满射，所以它是双射。
   • 方法二 (构造逆函数):
   • 要证明一个函数 $f$ 是双射，一个有效的方法是找到它的逆函数 $f^{-1}$，满足 $f \circ f^{-1}$ 和 $f^{-1} \circ f$ 都是恒等函数。
   • 作者指出，$\ell_a$ 的逆函数就是 $\ell_{a'}$ (其中 $a'$ 是 $a$ 的逆元)。我们来验证：
   • $(\ell_{a'} \circ \ell_a)(x) = \ell_{a'}(\ell_a(x)) = \ell_{a'}(a*x) = a'*(a*x) = (a'*a)*x = e*x = x$。
   • $(\ell_a \circ \ell_{a'})(x) = \ell_a(\ell_{a'}(x)) = \ell_a(a'*x) = a*(a'*x) = (a*a')*x = e*x = x$。
   • 因为我们成功找到了逆函数，所以 $\ell_a$ 是一个双射。这个证明方法更具构造性。
   • 证明 $r_a$ 是双射: 证明完全类似。它的逆函数是 $r_{a'}$ (右乘a的逆元)。

这句话是推论2.2.4在一个非常具体场景下的直接应用——分析有限群的运算表（也叫凯莱表 Cayley Table）。

1. 群表 (Group Table) / 凯莱表 (Cayley Table):
   • 这是一种可视化有限群运算规则的表格。
   • 表格的行和列的表头都按相同顺序列出群的所有元素。
   • 表格第 $i$ 行、第 $j$ 列的单元格内容是第 $i$ 行表头元素与第 $j$ 列表头元素的运算结果。通常约定为 (行元素) * (列元素)。
2. “每一行都恰好包含G的每个元素一次”:
   • 让我们看第 $a$ 行。这一行的所有元素是 $a*g_1, a*g_2, ..., a*g_n$，其中 $g_1, ..., g_n$ 是群的所有元素。
   • 这组元素 $a*g_1, ..., a*g_n$ 正是函数 $\ell_a(x) = a*x$ 的所有输出值。
   • 根据推论2.2.4，$\ell_a$ 是一个双射（一个置换）。
   • 双射意味着它把输入集合 $\{g_1, ..., g_n\}$ 重新排列，得到的输出集合 $\{a*g_1, ..., a*g_n\}$ 仍然是 $\{g_1, ..., g_n\}$，只是顺序变了。
   • “重新排列”意味着输出的元素既不重复（单射性保证），也不遗漏（满射性保证）。
   • 因此，第 $a$ 行的所有格子里，群的每个元素都必须出现，且只出现一次。
3. “每一列也恰好包含G的每个元素一次”:
   • 让我们看第 $a$ 列。这一列的所有元素是 $g_1*a, g_2*a, ..., g_n*a$。
   • 这组元素正是函数 $r_a(x) = x*a$ 的所有输出值。
   • 根据推论2.2.4， $r_a$ 也是一个双射。
   • 同理，这意味着第 $a$ 列的所有格子里，群的每个元素也必须出现，且只出现一次。
4. “数独性质 (Sudoku Property)”:
   • 这是一个非常形象的比喻。在数独游戏中，要求每一行、每一列、每一个九宫格都包含1到9的数字各一次。
   • 群的凯莱表要求每一行、每一列都包含群的所有元素各一次。这和数独的行、列规则是完全一样的，因此得名。

这部分内容展示了如何利用数独性质以及其他群公理，系统地推导出所有阶数很小（1, 2, 3阶）的群的结构。这个过程是有限群分类思想的萌芽。

1. 阶为1的群 (Order 1 Group)

• 集合: $G=\{e\}$。只有一个元素，这个元素必须是单位元 $e$。
• 运算: 只有一种可能的运算：$e*e$。
• 凯莱表:

• 为了满足单位元的定义 ($e*x=x$)，必须有 $e*e=e$。
• 结论: 世界上只有一种1阶群的结构，称为平凡群 (trivial group)。它的凯莱表是唯一的。

2. 阶为2的群 (Order 2 Group)

• 集合: $G=\{e, a\}$。$e$ 是单位元。
• 构建凯莱表:

• 第一步 (使用单位元性质):
• 第一行是 $\ell_e(x)=e*x$ 的结果，所以是 $e*e=e, e*a=a$。
• 第一列是 $r_e(x)=x*e$ 的结果，所以是 $e*e=e, a*e=a$。
• 表格变为:

• 第二步 (使用数独性质):
• 看第二行 [a, ?]。根据数独性质，这一行必须包含 $e$ 和 $a$ 各一次。既然 $a$ 已经有了，那么 ? 必须是 $e$。所以 $a*a=e$。
• 表格完成:

• 第三步 (识别结构):
• 这个凯莱表和群 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$ 的凯莱表是完全一样的（只要把 $e$ 看作 $[0]$，把 $a$ 看作 $[1]$）。
• $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$ 的表:

• 因为两者结构完全相同，我们说它们是同构 (isomorphic) 的，记作 $(G, *) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$。
• 结论: 所有2阶群都同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。换句话说，在同构的意义下，只有一种2阶群。

3. 阶为3的群 (Order 3 Group)

• 集合: $G=\{e, a, b\}$。
• 构建凯莱表:

• 第一步 (单位元性质): 填好第一行和第一列。
• 第二步 (数独性质):
• 看第二行 [a, ?, ?]。中间的格子是 $a*a$。
• $a*a$ 能等于 $a$ 吗？ 如果 $a*a=a*e$，根据左消去律，得 $a=e$，但这与 $G$ 有3个不同元素矛盾。所以 $a*a \neq a$。
• $a*a$ 能等于 $e$ 吗？ 我们先假设可以。如果 $a*a=e$。
• 那么第二行就是 [a, e, ?]。根据数独性质，剩下的 ? 必须是 $b$。所以 $a*b=b$。但根据右消去律，$a*b=e*b$ 意味着 $a=e$，矛盾。所以 $a*b \neq b$。
• 呃，我的推理有误。如果 $a*a=e$，那么第二行是 [a, e, ?]，第三个元素 $a*b$ 必须是 $b$。但是如果 $a*b=b=e*b$，则 $a=e$，矛盾。所以 $a*a=e$ 这个假设一开始就是错的。
• 正确的推理: 在第二行 [a, ?, ?] 中，$a*a$ 不能是 $a$ (由消去律)。所以 $a*a$ 只能是 $e$ 或 $b$。
• 情况1: 假设 $a*a = e$。那么第二行是 [a, e, ?]。剩下的 $a*b$ 必须是 $b$。但 $a*b = b$ 意味着 $a=e$，矛盾。所以 $a*a=e$ 是不可能的。
• 情况2: $a*a$ 必须是 $b$。这是唯一剩下的可能。
• 现在第二行是 [a, b, ?]。根据数独性质，剩下的 $a*b$ 必须是 $e$。
• 表格变为:

• 第三步 (继续用数独性质):
• 看第二列 [a, b, ?]。$b*a$ 必须是 $e$。
• 看第三行 [b, e, ?]。$b*b$ 必须是 $a$。
• 表格完成:

• 第四步 (识别结构): 这个表和 $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +)$ 的表结构相同（令 $e=[0], a=[1], b=[2]$）。
• 结论: 所有3阶群都同构于 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。

关于结合律的说明:

• 作者在这里提出了一个非常严谨的观点：我们通过数独性质和消去律填出了唯一的凯莱表，但这并没有证明这个表定义的运算满足结合律。
• 例如，我们需要验证 $(a*a)*b = a*(a*b)$ 是否成立。
• 左边: $(a*a)*b = b*b = a$。
• 右边: $a*(a*b) = a*e = a$。
• 这个验证通过了。但我们需要对所有 $3^3=27$ 种组合都进行验证，这非常繁琐。
• 聪明的办法: 作者提供了一个捷径。我们不需要去硬生生验证结合律。我们只需要认出这个凯莱表的结构和某个我们已知的群（比如 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$）的凯莱表是同构的。
• 既然 $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +)$ 已经确定是一个群了（所以它的加法必然是结合的），而我们的新结构 $(G, *)$ 和它有着完全一样的运算结构，那么 $(G, *)$ 的运算也必然是结合的。这个性质通过“同构”关系被“传递”了过来。
• 这是一个非常重要的思想：通过同构来证明性质。

这段内容继续进行小阶有限群的分类，转向了更复杂的4阶群。它揭示了4阶群不再是唯一的结构，而是有两种本质不同的可能性。

分类4阶群的逻辑:

一个4阶群 $G=\{e, a, b, c\}$，其中 $e$ 是单位元。关键在于分析非单位元素的性质。

• 核心问题: 群中元素的阶是多少？一个元素的阶是使得 $x^n=e$ 的最小正整数 $n$。根据拉格朗日定理（虽然这里还没学），元素的阶必须整除群的阶。所以4阶群中非单位元素的阶只能是2或4。

• 分类讨论的依据:
• 情况A: 群中存在一个阶为4的元素。
• 情况B: 群中所有非单位元素的阶都是2。

1. 情况A: 存在一个阶为4的元素

• 假设: 存在某个元素，比如 $a$，它的阶是4。这意味着 $a \neq e, a^2 \neq e, a^3 \neq e$，但是 $a^4=e$。
• 构造:
• 我们有四个不同的元素了：$e, a, a^2, a^3$。
• 因为群只有4个元素，所以这四个必然就是 $e, a, b, c$。
• 我们不妨设 $b = a^2$, $c = a^3$。
• 那么这个群的元素就是 $\{e, a, a^2, a^3\}$，运算规则由指数律 $a^i * a^j = a^{i+j}$ (指数模4) 决定。
• 凯莱表推导:
• $a*e=a, a*a=a^2=b, a*a^2=a^3=c, a*a^3=a^4=e$。这给出了第二行: [a, b, c, e]。
• $b*e=a^2=b, b*a=a^2*a=a^3=c, b*a^2=a^2*a^2=a^4=e, b*a^3=a^2*a^3=a^5=a$。这给出了第三行: [b, c, e, a]。
• $c*e=a^3=c, c*a=a^3*a=a^4=e, c*a^2=a^3*a^2=a^5=a, c*a^3=a^3*a^3=a^6=a^2=b$。这给出了第四行: [c, e, a, b]。
• 结果: 这正好对应文中的第一个运算表。
• 识别结构: 这个群由一个元素 $a$ 生成，它的运算与整数模4加法完全一样。因此，它同构于循环群 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$。

2. 情况B: 所有非单位元素的阶都是2

• 假设: 对于所有 $x \in \{a, b, c\}$，都有 $x*x = e$。
• 构造凯莱表:
• 主对角线上除了 $e*e=e$ 以外，都是 $e$。

• 使用数独性质填充:
• 看第二行 [a, e, ?, ?]。$a*b$ 不能是 $a$ 或 $b$（否则 $b=e$ 或 $a=e$，矛盾），也不能是 $e$（否则 $b=a$，矛盾）。所以 $a*b$ 必须是 $c$。
• 那么第二行就是 [a, e, c, b]。
• 看第三行 [b, ?, e, ?]。$b*a$ 不能是 $b$ 或 $a$ 或 $e$。所以 $b*a$ 必须是 $c$。
• 表格变为:

• 继续填充，最后得到文中的第二个运算表。
• 识别结构: 这个群的特点是每个非单位元素都是2阶的。这和我们之前分析过的 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$ 的性质完全一样。因此，它同构于 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$。这个群被称为克莱因四元群 (Klein four-group)，记作 $V_4$ 或 $K_4$。

3. 两种结构的比较:

• 同构: 作者再次强调，我们是通过识别出与已知群 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ 和 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 同构，来确定这两个表确实代表了群，从而绕过了繁琐的结合律验证。
• 非同构: 为什么 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ 和 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 不同构？
• 一个简单的理由是看元素的阶。
• 在 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 中，存在阶为4的元素（如 $[1]$ 和 $[3]$）。
• 在 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 中，所有非单位元素的阶都是2。
• 同构会保持元素的阶。既然这两个群的元素阶的分布情况不同，它们就不可能是同构的。
• 结论: 恰好存在两种非同构的4阶群。

这段话旨在简化后续的数学书写，建立一套简洁明了的记法和沟通约定。

1. 符号 G 的重申:
   • 再次确认，大写字母 $G$ 将被用作一个通用群的符号。
2. 简化表示:
   • “群 G” vs “群 (G, )”: 在严谨的定义中，一个群必须同时包含集合和运算，即 $(G, *)$。但在实际交流和书写中，如果运算是什么已经非常明确，或者只有一种合理的选择，那么每次都写上 () 就显得很累赘。
   • 约定: 我们约定，在不引起歧义的情况下，可以直接说“群 $G$”，而把运算 $*$ 隐含在上下文中。
3. 根据上下文确定运算的例子:
   • “群 $\mathbb{Z}$”: 当我们提到“群 $\mathbb{Z}$”，我们指的是 $(\mathbb{Z}, +)$。为什么？
   • 因为 $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 不是一个群（大部分元素没有乘法逆元）。
   • $(\mathbb{Z}, -)$ 更不是一个群（减法不满足结合律: $(8-3)-2=3$ 但 $8-(3-2)=7$）。
   • 所以，唯一能让 $\mathbb{Z}$ 成为一个“自然”群的运算就是加法。
   • 其他加法群: 同理，“群 $\mathbb{Q}$”, “群 $\mathbb{R}$”, “群 $\mathbb{C}$”, “群 $\mathbb{M}_{m,n}(\mathbb{R})$” 都默认指它们的加法群结构。
   • 乘法群: 当我们提到 “群 $\mathbb{Q}^*$”, “群 $\mathbb{R}^*$”, “群 $\mathbb{C}^*$”, “群 $U(1)$”, “群 $\mu_n$”，默认的运算都是乘法，因为这是让它们成为群的“自然”选择。
   • 矩阵群: 对于 $GL_n(\mathbb{R})$ 等，运算总是矩阵乘法。
   • 置换群: 对于 $S_X$ 或 $S_n$，运算总是函数复合 $\circ$。作者还补充说，即使是函数复合，为了书写方便，以后也可能直接简写成乘法的形式（例如，把 $\sigma \circ \tau$ 写成 $\sigma\tau$）。

这段话建立了群运算符号的两套“标准模板”：加法记法和乘法记法。

1. 放弃通用符号 *:
   • 星号 * 作为一个通用的占位符，在定义阶段很有用。但在具体的讨论中，使用我们更熟悉的 + 和 · 更直观。
2. 两套标准记法:

• 加法记法 (Additive Notation):
• 运算符号: +
• 约定: 使用 + 时，几乎总是默认这个群是阿贝尔群（即 $g+h=h+g$）。这是一个非常强的约定。如果你看到一个群的运算被记为 +，你可以大胆假设它是交换的。
• 单位元: 记作 0。对于向量或矩阵，为了与数字0区分，可能写成黑体的 0 或大写的 O。
• 逆元: 元素 $g$ 的逆元记作 -g。运算 $g + (-h)$ 简写为 $g-h$。

• 乘法记法 (Multiplicative Notation):
• 运算符号: ·，但通常省略不写。$g \cdot h$ 直接写成 $gh$。
• 约定: 这是最通用的记法。当使用乘法记法时，不做任何关于交换性的假设。这个群可能是阿贝尔的，也可能是非阿贝尔的。因此，在证明一个对所有群都成立的定理时，标准做法是使用乘法记法。
• 单位元: 记作 1。在特定上下文中，如矩阵群，可能用 I (Identity Matrix)；在函数群中，可能用 Id (Identity map)。
• 逆元: 元素 $g$ 的逆元记作 $g^{-1}$。
• 不使用 $1/g$: 作者提醒，虽然 $g^{-1}$ 和 $1/g$ 在数的乘法中意思一样，但在抽象群论中，我们倾向于使用 $g^{-1}$。这是因为 $1/g$ 容易让人联想到“除法”，而在群中没有定义“除法”运算。更重要的是，在非阿贝尔群中，$a/b$ 会有歧义：它到底是指 $a \cdot b^{-1}$ 还是 $b^{-1} \cdot a$？这两个通常是不同的。为了避免歧义，我们总是明确地写出乘以逆元的形式。

1. 通用群的默认记法:
   • 当讨论一个不确定其具体性质的通用群 $G$ 时，我们将默认使用乘法记法。这是一种安全的选择，因为它没有假定交换性。

这段话定义了群的一个基本属性：阶 (Order)。

1. 群的阶 (Order of a Group):
   • 定义: 一个群 $G$ 的阶就是其 underlying 集合 $G$ 中所包含的元素的数量。
   • 术语: "阶" 这个词在群论中有两个不同的含义，一个是群的阶，另一个是元素的阶（后面会讲）。这里指的是群的阶。
   • 符号:
   • #(G): 这是作者推荐的符号，源自集合论中表示集合基数 (cardinality) 的符号。
   • |G|: 这是另一种非常常见的符号，也表示集合的基数。
   • 两者可以互换使用，但同一本书或文章中通常会保持一致。
2. 有限阶与无限阶:
   • 有限群 (Finite Group): 如果群 $G$ 的阶是一个有限的自然数，则称 $G$ 是一个有限群，或称 $G$ 具有有限阶。例如，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的阶是 $n$。$S_n$ 的阶是 $n!$。
   • 无限群 (Infinite Group): 如果群 $G$ 的元素数量是无限的，则称 $G$ 是一个无限群，或称 $G$ 具有无限阶。例如，$(\mathbb{Z}, +)$ 和 $(\mathbb{R}, +)$ 都是无限群。
3. 对无穷符号的评论:
   • 作者不赞成使用 $|G|=\infty$ 或 $\#(G)=\infty$ 这种写法。
   • 原因: “$\infty$ 有许多不同的大小”。这是指集合论中一个深刻的概念：无限是有不同等级的。
   • 可数无穷 (Countably Infinite): 可以与自然数集 $\mathbb{N}$ 建立一一对应的无限集。例如，$\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Q}$ 的基数都是可数无穷，记作 $\aleph_0$ (aleph-naught)。
   • 不可数无穷 (Uncountably Infinite): 不能与自然数集建立一一对应的无限集。例如，实数集 $\mathbb{R}$ 和复数集 $\mathbb{C}$ 的基数是不可数无穷，记作 $\mathfrak{c}$ (continuum)。
   • 简单地写 ∞ 丢失了这种重要的区分。说一个群是无限群比写 $|G|=\infty$ 更精确。

这部分将我们熟悉的数字指数运算推广到任意的群中。

1. 乘法记法下的指数

这是对一个元素进行重复自身运算的简写。

• 正整数指数:
• $g^1 = g$ (自身)
• $g^2 = g \cdot g$ (自身运算一次)
• $g^3 = g^2 \cdot g = (g \cdot g) \cdot g$
• 归纳定义: $g^{n+1} = g^n \cdot g$。这就是说，想计算 $g$ 的 $(n+1)$ 次幂，就先计算 $n$ 次幂，再乘上一个 $g$。
• 等价定义: 文中提到 $g^{n+1}$ 也等于 $g \cdot g^n$。为什么？这需要结合律。例如，$g^3 = (g \cdot g) \cdot g$。我们想证明它也等于 $g \cdot (g \cdot g)$。这是结合律的直接应用。对于更长的乘积，可以通过广义结合律来证明，即在群中，一长串元素的乘积与括号怎么加无关。

• 零指数:
• 定义: $g^0 = 1$ (这里的 1 是群的单位元)。
• 合理性: 这个定义是为了让指数定律 $g^n \cdot g^m = g^{n+m}$ 能够对 $m=0$ 也成立。例如，$g^n \cdot g^0 = g^n \cdot 1 = g^n$，而 $g^{n+0} = g^n$。两者一致。

• 负整数指数:
• $g^{-1}$: 这就是 $g$ 的逆元的符号，定义与之前的约定一致。
• $g^{-2} = (g^{-1})^2 = g^{-1} \cdot g^{-1}$。
• $g^{-n} = (g^{-1})^n$，即 $g$ 的逆元的 $n$ 次幂。
• 等价性质: 也可以证明 $g^{-n} = (g^n)^{-1}$，即 $g$ 的 $n$ 次幂的逆元。
• 证明: 我们需要验证 $g^n \cdot g^{-n} = 1$。
• $g^n \cdot g^{-n} = g^n \cdot (g^{-1})^n = (g \cdot \dots \cdot g) \cdot (g^{-1} \cdot \dots \cdot g^{-1})$。
• 通过反复使用 $g \cdot g^{-1} = 1$，可以把中间的项全部消掉，最后剩下 1。

• 总结: 通过这些定义，$g^n$ 对于任意整数 $n \in \mathbb{Z}$ 都有了明确的含义。

这部分介绍了加法群中与指数等价的记法。

2. 加法记法下的倍数

在加法群中，重复的运算不再是“幂”，而是“倍数”。

• 正整数倍数:
• $1 \cdot g = g$
• $2 \cdot g = g + g$
• $3 \cdot g = (g+g)+g$
• 归纳定义: $(n+1) \cdot g = n \cdot g + g$。
• 因为加法群默认是阿贝尔的，所以 $n \cdot g + g = g + n \cdot g$。

• 零倍数:
• 定义: $0 \cdot g = 0$。
• 重要区分: 作者特地指出，左边的 0 是整数 0，代表“0倍”；右边的 0 是群 $G$ 的加法单位元。这两个 0 在不同的世界里。

• 负整数倍数:
• $(-1) \cdot g = -g$ (元素 $g$ 的加法逆元)。
• $(-n) \cdot g = -(n \cdot g)$，即 $g$ 的 $n$ 倍的加法逆元。

• 对 $n \cdot g$ 记法的说明:
• 不是乘积: 强调 $n \cdot g$ 不是两个群元素的乘积。因为 $n$ 是一个整数，而 $g$ 是群 $G$ 的元素，它们通常不在同一个集合里。
• 是指数的加法版本: $g^n$ 和 $n \cdot g$ 在概念上是完全平行的。前者是乘法重复n次，后者是加法重复n次。
• 类似于标量乘法: 这种记法非常像向量空间中的标量乘法，其中整数环 $\mathbb{Z}$ 扮演了标量域的角色。这实际上引出了模 (Module) 的概念，即环作用在阿贝尔群上，是向量空间的推广。
• 与普通乘法的联系: 在我们熟悉的数集中，例如在 $(\mathbb{Z}, +)$ 中， $3 \cdot 5$ (作为群的倍数) 的意思是 $5+5+5=15$。而 $3 \times 5$ (作为环 $\mathbb{Z}$ 中的乘法) 的结果也是15。在这种特殊情况下，两种运算的结果恰好吻合。

这部分内容将在群中成立的指数定律和不一定成立的指数定律进行了区分和说明。这是非交换代数区别于初等代数的又一个关键点。

1. 在所有群中都成立的指数定律

对于任意一个群 $G$（无论是否阿贝尔），任意一个元素 $g \in G$，以及任意整数 $n, m \in \mathbb{Z}$，以下两条定律永远成立：

• 同底数幂相乘: $g^n \cdot g^m = g^{n+m}$
• 直观理解: 先执行 $g$ 操作 $m$ 次，再执行 $g$ 操作 $n$ 次，总共就是执行了 $n+m$ 次。
• 例子: $g^2 \cdot g^3 = (g \cdot g) \cdot (g \cdot g \cdot g) = g^5$。

• 幂的幂: $(g^n)^m = g^{nm}$
• 直观理解: 把“执行 $g$ 操作 $n$ 次”这个“复合操作”本身，再重复执行 $m$ 次，总共就是执行了 $n \times m$ 次 $g$ 操作。
• 例子: $(g^2)^3 = (g^2) \cdot (g^2) \cdot (g^2) = (g \cdot g) \cdot (g \cdot g) \cdot (g \cdot g) = g^6$。

2. 一个重要的推论：一个元素的任意两个幂都可交换

• 推导: $g^n \cdot g^m = g^{n+m}$。因为整数加法是交换的，$n+m=m+n$，所以 $g^{n+m} = g^{m+n}$。而根据定律，$g^{m+n} = g^m \cdot g^n$。
• 结论: $g^n \cdot g^m = g^m \cdot g^n$。
• 意义: 这说明，即使在一个非阿贝尔群中，如果我们只跟某一个固定元素 $g$ 以及它的各种幂（$g^2, g^{-3}$ 等）打交道，那么这些元素之间构成了一个交换的“子世界”。这个“子世界”就是一个循环子群，我们后面会学到。

3. 在非阿贝尔群中通常不成立的指数定律

• 定律: $(gh)^n = g^n h^n$。这个我们非常熟悉的定律，在群论中不是普遍成立的！
• 不成立的原因: 非交换性。
• 我们来看 $n=2$ 的情况：
• $(gh)^2 = (gh) \cdot (gh) = g \cdot h \cdot g \cdot h$。
• 而 $g^2 h^2 = g \cdot g \cdot h \cdot h$。
• 为了让 $g \cdot h \cdot g \cdot h = g \cdot g \cdot h \cdot h$ 成立，我们需要能够交换中间的 $h$ 和 $g$。
• $g \underline{hg} h = g \underline{gh} h$
• 这需要 $hg=gh$，也就是说，$g$ 和 $h$ 必须是交换的。
• 结论: $(gh)^n = g^n h^n$ 这个定律成立的充分必要条件是 $g$ 和 $h$ 相互交换。

4. 证明的说明

• 作者表示，这些定律的严格证明是繁琐的，需要对指数 $n, m$ 的正负情况进行分类讨论，然后对正数部分使用数学归纳法。这个过程和在高中证明有理数指数幂的法则是完全一样的，因此这里略去。

这部分将指数定律“翻译”成加法群的语言。

1. 加法群中的定律

由于使用加法记法时，我们默认群是阿贝尔的，所以情况要比乘法记法简单。

• 同底数幂相乘 -> 倍数相加:
• 定律: $n \cdot g + m \cdot g = (n+m) \cdot g$
• 乘法类比: $g^n \cdot g^m = g^{n+m}$
• 直观理解: 先把 $g$ 加 $n$ 次，再加 $m$ 次，总共就是加了 $n+m$ 次。
• 作者的注解: 这个等式中，左边的 + 是群 $G$ 的运算，而右边括号里的 + 是整数的加法。例如，$(2 \cdot g) + (3 \cdot g) = (g+g)+(g+g+g) = 5 \cdot g = (2+3) \cdot g$。