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1.1. 定义和例子。回顾一下，如果 $G$ 和 $H$ 是群，那么同构 $f: G \rightarrow H$ 是一个双射 $f: G \rightarrow H$，使得对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$，
在许多情况下，我们给定的函数 $f: G \rightarrow H$ 不一定是双射，但 $f$ 仍然满足函数方程 $f\left(g_{1} g_{2}\right)=f\left(g_{1}\right) f\left(g_{2}\right)$。我们将其定义如下：
定义 1.1.1。设 $G$ 和 $H$ 是群。同态 $f: G \rightarrow H$ 是一个函数 $f: G \rightarrow H$，使得对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$，
例 1.1.2。同态有许多众所周知的例子：
(1) 每个同构都是一个同态。
(2) 如果 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，且 $i: H \rightarrow G$ 是内射，那么 $i$ 是一个同态，这本质上是说 $H$ 的群运算是由 $G$ 的群运算诱导的。注意 $i$ 总是单射，但它是一个满射 $\Longleftrightarrow H=G$ 且 $i=\mathrm{Id}$。
(3) 定义为对所有 $g \in G$ 有 $f(g)=1$ 的函数 $f: G \rightarrow H$ 是一个同态（平凡同态）。注意，如果 $G$ 不是平凡群，则 $f$ 不是单射；如果 $H$ 不是平凡群，则 $f$ 不是满射。
(4) 行列式 $\operatorname{det}: G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 是一个同态。这是恒等式 $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det} A \operatorname{det} B$ 的内容。这里 det 是满射，因为对于每个非零实数 $t$，我们都可以找到一个可逆的 $n \times n$ 矩阵 $A$，使得 $\operatorname{det} A=t$。例如，可以将 $A$ 取为满足 $A \mathbf{e}_{1}=t \mathbf{e}_{1}$ 且对于 $i>1$ 有 $A \mathbf{e}_{i}=\mathbf{e}_{i}$ 的对角矩阵。然而，当 $n \geq 2$ 时，det 不是单射。
(5) (复指数。) 定义 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 为
这里，如果 $z=x+i y$，那么
$f$ 是同态的事实遵循于恒等式
复指数是满射：$\mathbb{C}^{*}$ 的每个元素都形如 $e^{z}$ (对于某个 $z \in \mathbb{C}$ )。但它不是单射。实际上，$e^{z_{1}}=e^{z_{2}} \Longleftrightarrow z_{2}=z_{1}+2 n \pi i$ (对于某个 $n \in \mathbb{Z}$ )。这与实指数 $e^{x}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 形成对比，实指数是单射但不是满射（其像集是正实数子群）。
(6) 绝对值函数 $f: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 是一个同态，因为
这里 $f$ 不是满射，因为它的像集是正实数集。它也不是单射：$f\left(z_{1}\right)=f\left(z_{2}\right) \Longleftrightarrow\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right| \Longleftrightarrow u=z_{2} / z_{1}$ 的绝对值为 1，即是 $U(1)$ 的一个元素 $\Longleftrightarrow$ 存在一个 $u \in U(1)$ 使得 $z_{2}=u z_{1}$。
(7) 存在与绝对值函数相关的同态。例如，符号函数 $\operatorname{sign}: \mathbb{R}^{*} \rightarrow\{ \pm 1\}$ 定义为
同样，函数 $F(z)=z /|z|$ 定义了一个同态 $\mathbb{C}^{*} \rightarrow U(1)$。
(8) 如果 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是一个线性映射，对应于矩阵 $A$，那么 $F$ 是一个同态（并且具有额外的性质，即对于所有 $t \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$，有 $F(t \mathbf{v})=t F(\mathbf{v})$）。
(9) 给定一个固定的整数 $n$，由 $f(t)=t^{n}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Q}^{*} \rightarrow \mathbb{Q}^{*}$ 是一个同态，因为 $f\left(t_{1} t_{2}\right)=\left(t_{1} t_{2}\right)^{n}=t_{1}^{n} t_{2}^{n}=f\left(t_{1}\right) f\left(t_{2}\right)$。相应的函数 $f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 也是同态。更一般地，如果 $G$ 是一个阿贝尔群（乘法表示）且 $n \in \mathbb{Z}$ 是一个固定整数，那么由 $f(g)=g^{n}$ 定义的函数 $f: G \rightarrow G$ 是一个同态，根据阿贝尔群的指数定律：对于所有 $g, h \in G$，
例如，如果 $G=\mathbb{R}^{*}$ 且 $n \in \mathbb{N}$，那么当 $n$ 为奇数时 $f$ 是单射和满射。如果 $n$ 为偶数，那么 $(-t)^{n}=t^{n}$，因此 $f$ 不是单射，并且 $f$ 的像集是正实数集，因此 $f$ 也不是满射。
(10) 设 $G$ 是一个群（乘法表示），且 $g \in G$ 是固定的。那么由 $f(a)=g^{a}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是一个同态（指数定律）。对于加法群 $G$，我们写成 $f(a)=a \cdot g$。在这两种情况下，$f$ 的像集都是 $\langle g\rangle$。此示例的一个特例是由 $f(a)=[a]=a \cdot[1]$ 定义的同态 $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$。类似地，假设 $G$ 是一个群，并且 $g \in G$ 的阶是 $n$ 的因子，即 $g^{n}=1$。那么由 $f\left([a]_{n}\right)=g^{a}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是定义良好的，并且很容易验证它是一个同态（再次根据指数定律）。我们已经见过的一个例子是由 $f\left([a]_{n}\right)=[a]_{m}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$，当且仅当 $m$ 整除 $n$ 时它是定义良好的；这里 $G=\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ 且 $g=[1]_{m}$。在这个例子中，$f$ 是从 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ 的一个满射同态。
(11) 如果 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是两个群，且 $G_{1} \times G_{2}$ 是积群，那么由 $\pi_{1}\left(g_{1}, g_{2}\right)=g_{1}$ 定义的 $\pi_{1}: G_{1} \times G_{2} \rightarrow G_{1}$ 是一个同态。这是群运算在乘积中定义方式的结果：
类似地，由 $\pi_{1}\left(g_{1}, g_{2}\right)=g_{2}$ 定义的函数 $\pi_{2}: G_{1} \times G_{2} \rightarrow G_{2}$ 是一个同态。我们称 $\pi_{1}$ 和 $\pi_{2}$ 为到第一和第二因子的投影。
(12) 第 3 章中讨论的函数 $P: S_{n} \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$，定义为
是一个同态。
(13) 对于群 $S_{n}$，符号函数 $\varepsilon: S_{n} \rightarrow\{ \pm 1\}$ 是一个同态。
例 1.1.3。以下不是同态：
(1) 由 $f(n)=n+1$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$。在这种情况下。
(2) 由 $f(n)=n^{2}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$。在这种情况下，
除非 $n, m$ 中有一个是 0。类似例子也适用于 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$。
(3) 欧拉 $\phi$-函数 $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 不是同态。首先，$\mathbb{N}$ 在乘法下甚至不是群。其次，公式 $\phi(n m)=\phi(n) \phi(m)$ 仅在 $n$ 和 $m$ 互质时成立，而不是对所有 $n$ 和 $m$ 都成立。
(4) 对于一般的群 $G$ (乘法表示)，如果 $G$ 不是阿贝尔群，则函数 $f(g)=g^{-1}$ 不是同态。类似地，$f(g)=g^{2}$ 是同态 $\Longleftrightarrow G$ 是阿贝尔群，因为
且 $g h g h=g^{2} h^{2} \Longleftrightarrow g h=h g$。
以下是同态的一个直接性质：
命题 1.1.4。设 $G$ 和 $H$ 是群，乘法表示，且 $f: G \rightarrow H$ 是一个同态。那么
(i) $f(1)=1$，其中左边的 1 是 $G$ 中的单位元，右边的 1 是 $H$ 中的单位元。换句话说，$f$ 将 $G$ 中的单位元映射到 $H$ 中的单位元。
(ii) 对于所有 $g \in G, f\left(g^{-1}\right)=(f(g))^{-1}$。
证明。(i) 由于 $1 \cdot 1=1, f(1 \cdot 1)=f(1)$。但 $f(1 \cdot 1)=f(1) f(1)$。因此 $f(1) f(1)=f(1)$。消去后，我们得到 $f(1)=1$。(ii) 我们有 $f\left(g g^{-1}\right)=f(1)=1$，由 (i) 得到。但 $f\left(g g^{-1}\right)=f(g) f\left(g^{-1}\right)$。因此 $f(g) f\left(g^{-1}\right)=1$，所以 $f\left(g^{-1}\right)=(f(g))^{-1}$。
该命题的许多例子应该都很熟悉。例如，对于上面 (4) 中的同态 $\operatorname{det:} G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{*}$，我们有熟悉的性质 $\operatorname{det}(I)=1$ 和 $\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)= (\operatorname{det} A)^{-1}$。类似地，对于实或复指数 $e^{z}$，我们知道 $e^{0}=1$ 并且 $e^{-z}=1 / e^{z}$。
命题 1.1.5。设 $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ 是群，且 $f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 和 $f_{2}: G_{2} \rightarrow G_{3}$ 是同态。那么 $f_{2} \circ f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{3}$ 是一个同态。换句话说，两个同态的复合仍然是同态。
证明。这是一个直接的计算，留作练习。
例如，假设 $f: G_{1} \rightarrow H_{2}$ 是一个同态，并且 $H_{2}$ 是群 $G_{2}$ 的一个子群。设 $i: H_{2} \rightarrow G_{2}$ 是内射，根据例 1.1.2 的 (2) 它是一个同态。那么 $i \circ f$ 是一个同态。同样，同态到子群的限制也是一个同态（定义在该子群上）。
1.2. 核和像
命题 1.2.1。设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是群，且 $f: G_{1} \rightarrow $G_{2}$ 是一个同态。
(i) 如果 $H_{1} \leq G_{1}$，那么 $f\left(H_{1}\right) \leq G_{2}$。换句话说，子群的像是一个子群。
(ii) 如果 $H_{2} \leq G_{2}$，那么 $f^{-1}\left(H_{2}\right) \leq G_{1}$。换句话说，子群的原像是一个子群。
证明。(i) 我们需要检查封闭性、单位元和逆元。封闭性：假设给出 $f\left(H_{1}\right)$ 的两个元素，它们必然是形如 $f(h)$ 和 $f\left(h^{\prime}\right)$，其中 $h, h^{\prime} \in H_{1}$。那么 $f(h) f\left(h^{\prime}\right)= f\left(h h^{\prime}\right)$。由于 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的子群，$h h^{\prime} \in H_{1}$。根据定义，$f\left(h h^{\prime}\right) \in f\left(H_{1}\right)$。因此，乘积 $f(h) f\left(h^{\prime}\right) \in f\left(H_{1}\right)$，所以 $f\left(H_{1}\right)$ 在乘法下是封闭的。单位元：由于 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的子群，$1 \in H_{1}$。那么 $f(1) \in f\left(H_{1}\right)$。根据命题 1.1.4 的 (i)，$f(1)=1$。因此 $1 \in f\left(H_{1}\right)$。逆元：给定 $f\left(H_{1}\right)$ 的一个元素，必然是形如 $f(h)$，其中 $h \in H_{1}$，根据命题 1.1.4 的 (ii)，我们有 $(f(h))^{-1}=f\left(h^{-1}\right)$。由于 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的子群，$h^{-1} \in H_{1}$。因此 $f\left(h^{-1}\right)=(f(h))^{-1} \in f\left(H_{1}\right)$。因此 $f\left(H_{1}\right)$ 在取逆元下是封闭的，所以是 $G_{2}$ 的一个子群。
(ii) 回顾一下，根据定义，$f^{-1}\left(H_{2}\right)=\left\{g \in G_{1}: f(g) \in H_{2}\right\}$。同样我们必须检查封闭性、单位元和逆元。封闭性：假设给出 $f^{-1}\left(H_{2}\right)$ 的两个元素 $g, g^{\prime}$。我们必须证明 $g g^{\prime} \in f^{-1}\left(H_{2}\right)$。根据定义，$f(g), f\left(g^{\prime}\right) \in H_{2}$，并且我们必须检查 $f\left(g g^{\prime}\right) \in H_{2}$。但是
因为 $H_{2} \leq G_{2}$ 且 $f(g), f\left(g^{\prime}\right) \in H_{2}$。因此 $g g^{\prime} \in f^{-1}\left(H_{2}\right)$。单位元：我们必须检查 $1 \in f^{-1}\left(H_{2}\right)$，即 $f(1) \in H_{2}$。但根据命题 1.1.4 的 (i)，$f(1)=1$，并且由于 $H_{2} \leq G_{2}$，$1 \in H_{2}$。因此 $1 \in f^{-1}\left(H_{2}\right)$。逆元：假设 $g \in f^{-1}\left(H_{2}\right)$，即 $f(g) \in H_{2}$。那么根据命题 1.1.4 的 (ii)，$f\left(g^{-1}\right)=f(g)^{-1}$，并且由于 $f(g) \in H_{2}$ 且 $H_{2} \leq G_{2}$，$f(g)^{-1} \in H_{2}$。因此 $g^{-1} \in f^{-1}\left(H_{2}\right)$。由此可知 $f^{-1}\left(H_{2}\right) \leq G_{1}$。
定义 1.2.2。设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是群，且 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是一个同态。$f$ 的像集是子群 $f\left(G_{1}\right) \leq G_{2}$；根据命题 1.2.1 的 (i)，它是 $G_{2}$ 的一个子群。$f$ 的核是子群 $f^{-1}(1) \leq G_{1}$，即 1 的原像（或等价地 $\{1\}$）。根据命题 1.2.1 的 (ii)，它是 $G_{1}$ 的一个子群，因为 $\{1\} \leq G_{2}$。我们分别用 $\operatorname{Im} f$ 和 $\operatorname{Ker} f$ 表示 $G_{2}$ 的子群 $\operatorname{Im} f$ 和 $G_{1}$ 的子群 $\operatorname{Ker} f$。为了强调，我们回顾一下
如果 $G_{2}$ 是加法表示，我们将条件 $f(g)=1$ 替换为 $f(g)=0$。
例 1.2.3。我们现在回顾例 1.1.2 的例子，并描述核和像。
(1) 如果 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是一个同构，那么 $\operatorname{Ker} f=\{1\}$ 且 $\operatorname{Im} f=G_{2}$。
(2) 如果 $i: H \rightarrow G$ 是子群的内射，那么 $\operatorname{Ker} i=\{1\}$ 且 $\operatorname{Im} i=H$。
(3) 如果 $f: G \rightarrow H$ 是平凡同态，那么 $\operatorname{Ker} f=G$ 且 $\operatorname{Im} f=\{1\}$。显然，同态 $f: G \rightarrow H$ 是平凡同态 $\Longleftrightarrow \operatorname{Ker} f=G$。
(4) $\operatorname{det}: G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 的核按定义是 $S L_{n}(\mathbb{R})$。det 的像集是 $\mathbb{R}^{*}$，因为 det 是满射。
(5) 如果 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 是复指数，$f(z)=e^{z}$，那么 $\operatorname{Ker} f=\{2 n \pi i: n \in \mathbb{Z}\}=\langle 2 \pi i\rangle$，且 $\operatorname{Im} f=\mathbb{C}^{*}$ 因为复指数是满射。对于实指数 $e^{x}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$，$\operatorname{Ker} e^{x}=\{0\}$ 且 $\operatorname{Im} e^{x}=\mathbb{R}^{>0}$，即正实数子群。
(6) 对于由 $f(z)=|z|$ 定义的绝对值函数 $f: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$，$\operatorname{Ker} f=U(1)$ (按定义)，且 $\operatorname{Im} f=\mathbb{R}^{>0}$。
(7) 对于符号函数 $\operatorname{sign}: \mathbb{R}^{*} \rightarrow\{ \pm 1\}$，$\operatorname{Ker} \operatorname{sign}=\mathbb{R}^{>0}$，且 $\operatorname{Im} \operatorname{sign}=\{ \pm 1\}$。
(8) 如果 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 是一个线性映射，对应于矩阵 $A$，那么 $\operatorname{Ker} F$ 通常被称为 $F$ 的核或零空间。
(9) 对于由 $f(t)=t^{n}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Q}^{*} \rightarrow \mathbb{Q}^{*}$，当 $n$ 为奇数时 $\operatorname{Ker} f=\{1\}$，当 $n$ 为偶数时是 $\{ \pm 1\}$。$f$ 的像集较难描述；它是 $n$ 次幂的全体有理数集合。对于类似的函数 $f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ (我们粗心地也用 $f$ 表示)，仍然是当 $n$ 为奇数时 $\operatorname{Ker} f=\{1\}$，当 $n$ 为偶数时是 $\{ \pm 1\}$。在这种情况下，当 $n$ 为奇数时 $\operatorname{Im} f=\mathbb{R}^{*}$，当 $n$ 为偶数时 $\operatorname{Im} f=\mathbb{R}^{>0}$。最后，对于由 $f(z)=z^{n}$ 定义的 $f: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$，且 $n>0$，$\operatorname{Ker} f=\mu_{n}$ (按定义)，其中 $\#\left(\mu_{n}\right)=n$，且 $\operatorname{Im} f=\mathbb{C}^{*}$ (每个复数都是一个 $n$ 次幂)。如果 $n<0$ 会怎样？如果 $n=0$ 会怎样？对于任意阿贝尔群 $G$，为简单起见取 $n \in \mathbb{N}$，对于由 $f(g)=g^{n}$ 定义的函数 $f: G \rightarrow G$，$\operatorname{Ker} f$ 是 $G$ 的 $n$-挠点子群（这在练习 2.21 中定义），$\operatorname{Im} f$ 是 $n$ 次幂的子群。
(10) 给定一个群 $G$（乘法表示）和一个元素 $g \in G$，对于由 $f(n)=g^{n}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow G$，如果 $g$ 有无限阶，则 $\operatorname{Ker} f=\{0\}$；如果 $g$ 有有限阶 $n$，则 $\operatorname{Ker} f=\langle n\rangle$。根据定义，$\operatorname{Im} f=\langle g\rangle$。对于由 $f(a)=[a]$ 定义的特殊情况 $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，$\operatorname{Ker} f=\langle n\rangle$ 且 $\operatorname{Im} f=\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$。
(11) 对于由 $\pi_{1}\left(g_{1}, g_{2}\right)=g_{1}$ 定义的 $\pi_{1}: G_{1} \times G_{2} \rightarrow G_{1}$，$\operatorname{Ker} \pi_{1}=\{1\} \times G_{2}$ 且 $\operatorname{Im} \pi_{1}=G_{1}$。类似地，$\operatorname{Ker} \pi_{2}=G_{1} \times\{1\}$ 且 $\operatorname{Im} \pi_{2}=G_{2}$。
(12) 对于由 $P(\sigma)\left(\mathbf{e}_{i}\right)=\mathbf{e}_{\sigma(i)}$ 定义的同态 $P: S_{n} \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$，很容易看出 $P$ 是单射。根据定义，$\operatorname{Im} P$ 是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 中置换矩阵的子群。
(13) 对于群 $S_{n}$ 和同态 $\varepsilon: S_{n} \rightarrow\{ \pm 1\}$，$\operatorname{Ker} \varepsilon=A_{n}$ (按定义)，且只要 $n \geq 2$，$\operatorname{Im} \varepsilon=\{ \pm 1\}$。
关于同态的一个重要事实如下（你可能在线性代数中见过线性映射的相应表述）：
命题 1.2.4。设 $f: G \rightarrow H$ 是一个同态。那么 $f$ 是单射 $\Longleftrightarrow \operatorname{Ker} f=\{1\}$。
证明。$\implies$: 假设 $f$ 是单射。我们必须证明 $h \in \operatorname{Ker} f \Longleftrightarrow h=1$。注意 $1 \in \operatorname{Ker} f$。反之，如果 $h \in \operatorname{Ker} f$，那么根据定义 $f(h)=1=f(1)$。由于 $f$ 是单射，$h=1$。
$\Longleftarrow$: 假设 $\operatorname{Ker} f=\{1\}$。如果 $f\left(g_{1}\right)=f\left(g_{2}\right)$，那么 $\left(f\left(g_{1}\right)\right)^{-1} f\left(g_{2}\right)=1$。根据命题 1.1.4 的 (ii)，$\left(f\left(g_{1}\right)\right)^{-1}=f\left(g_{1}^{-1}\right)$。因此
由此可知 $g_{1}^{-1} g_{2} \in \operatorname{Ker} f$，因此根据假设 $g_{1}^{-1} g_{2}=1$。因此 $g_{1}=g_{2}$，$f$ 是单射。
注 1.2.5。上述证明更一般地表明，如果 $f: G \rightarrow H$ 是任意同态，且 $g_{1}, g_{2} \in G$，那么 $f\left(g_{1}\right)=f\left(g_{2}\right) \Longleftrightarrow$ 存在一个元素 $k \in \operatorname{Ker} f$ 使得 $g_{2}=g_{1} k$。
1.3. 凯莱定理
一般而言，设 $f: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个单射同态。那么 $\operatorname{Im} f=H \leq G^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 的一个子群，并且存在一个诱导同态（我们仍然粗心地用 $f$ 表示）从 $G$ 到 $H$。这个诱导同态仍然是单射，并且根据定义它现在是满射，因此是一个同构。因此，一个单射同态 $f: G \rightarrow G^{\prime}$ 定义了从 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个子群的同构。反之，如果 $f: G \rightarrow H$ 是从 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个子群 $H$ 的同构，且 $i: H \rightarrow G^{\prime}$ 是内射同态，那么 $i \circ f: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个单射同态。总而言之，一个单射同态 $f: G \rightarrow G^{\prime}$ 等价于从 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个子群的同构。
定理 1.3.1 (凯莱定理)。设 $G$ 是一个有限群。那么存在一个 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $G$ 同构于 $S_{n}$ 的一个子群。
注 1.3.2。(i) 证明将表明我们可以取 $n=\#(G)$。
(ii) 在代数的早期，所有研究的有限群都明确地作为 $S_{n}$ 的子群给出，因此这个定理并没有什么真正的实质内容。
凯莱定理的证明。设 $G$ 是任意群，有限或无限。我们将构造一个单射同态 $f: G \rightarrow S_{G}$。令 $H=\operatorname{Im} f$，存在一个相应的同态（我们再次粗心地用 $f$ 表示）从 $G$ 到 $H$。那么 $f$ 仍然是单射，并且根据定义它已经变为满射，因此它是一个同构。最后，取 $G$ 为有限群，将 $G$ 的元素列举为 $g_{1}, \ldots, g_{n}$，其中 $n=\#(G)$，定义了一个同构 $h: S_{G} \rightarrow S_{n}$。用 $h \circ f$ 替换上面的同态 $f: G \rightarrow H$ 得到从 $G$ 到 $S_{n}$ 的一个子群的同构。
为了找到同态 $f$，我们必须对于 $G$ 中的每个 $g$，找到一个双射 $\ell_{g}: G \rightarrow G$。$\ell_{g}$ 的定义早在我们学习群论的最初几天就已预示：定义 $\ell_{g}: G \rightarrow G$ 为 $\ell_{g}(x)=g x$。因此函数 $\ell_{g}$ 是左乘 $g$ 的运算，这就是选择字母 $\ell$ 的原因。我们已经看到，对于每个 $g$，$\ell_{g}$ 是一个双射，即是 $S_{G}$ 的一个元素（群讲义的推论 3.4）。然后定义 $f: G \rightarrow S_{G}$ 为：
我们首先检查 $f$ 是否是同态。我们必须证明 $f(g h)=f(g) f(h)$，或等价地 $\ell_{g h}=\ell_{g} \circ \ell_{h}$。为了检查函数相等性，我们检查对于 $G$ 中的每个 $x$，它们的值是否相等。但是
因此 $f$ 是一个同态。最后，我们必须证明 $f$ 是单射。可以通过应用命题 1.2.4 来完成，但直接论证也很容易：如果 $\ell_{g}=\ell_{h}$，那么函数 $\ell_{g}$ 和 $\ell_{h}$ 在 $G$ 中的任何 $x$ 上都具有相同的值，特别是对于 $x=1$。因此 $\ell_{g}(1)=\ell_{h}(1)$。另一方面，$\ell_{g}(1)=g \cdot 1=g$，类似地 $\ell_{h}(1)=h$。因此 $g=h$，且 $f$ 是单射。
注 1.3.3。我们不必使用左乘，也可以尝试使用右乘 $r_{g}: G \rightarrow G$，定义为 $r_{g}(x)=x g$。那么 $r_{g}$ 仍然是 $S_{G}$ 的一个元素。然而，由 $F(g)=r_{g}$ 定义的函数 $F: G \rightarrow S_{G}$ 通常不是同态！不过，很容易看出 $F$ 为什么不是同态，并修正 $F$ 的定义使其成为从 $G$ 到 $S_{G}$ 的同态。具体细节留作练习 4.9。
凯莱定理的证明可能看起来像是使用了障眼法。然而，我们将在后面看到这种证明方法的有趣变体。
我们已经看到，对于每个 $n \in \mathbb{N}$，同态 $P: S_{n} \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$ 是单射。因此，给定一个有限群 $G$，根据凯莱定理，存在一个从 $G$ 到某个 $S_{n}$ 的单射同态，并且存在一个单射同态 $P: S_{n} \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$。因此，存在一个从 $G$ 到某个 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的单射同态。换句话说：
定理 1.3.4。设 $G$ 是一个有限群。那么存在一个 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $G$ 同构于 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个子群。
更一般地，同态 $f: G \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$（不一定是单射）被称为 $G$ 的一个实表示。（这里，事实证明，最好考察同态 $f: G \rightarrow G L_{n}(\mathbb{C})$，它们被称为复表示或简称为 $G$ 的表示。）表示理论的目标是描述群 $G$ 的所有表示，并利用这种描述来理解 $G$ 的性质。
2.1. 陪集的定义。我们的目标是推广群 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的构造。其思想是从群 $\mathbb{Z}$ 和子群 $n \mathbb{Z}=\langle n\rangle$（其中 $n \in \mathbb{N}$）开始，然后构造一个集合 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，它最终也成为一个群（在加法下）。($\mathbb{Z}$ 上有两种二元运算 + 和 •，但 $\mathbb{Z}$ 只是一个加法群。因此，我们也可以在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 上定义乘法的事实在这里不起作用，但其自然推广在《现代代数 II》中非常重要。) 我们希望将上述构造，从模 $n$ 同余开始，推广到一般的群 $G$（乘法表示）以及 $G$ 的子群 $H$ 的情况。然而，如果 $G$ 不是阿贝尔群，我们将不得不非常小心。