4.1_同态、陪集与正规子群_同态.ZH解释

这段话是在引入“同态” (Homomorphism) 这个概念之前，先回顾一个大家可能更熟悉的概念——“同构” (Isomorphism)。

1. 回顾同构：首先，它提醒我们同构是什么。一个从群 $G$ 到群 $H$ 的同构映射 $f$，需要满足两个核心条件：
   • 结构保持：$f(g_1 g_2) = f(g_1)f(g_2)$。这个公式是关键。它的意思是，先在群 $G$ 中对两个元素 $g_1$ 和 $g_2$ 进行运算（比如乘法），得到 $g_1 g_2$，然后再通过映射 $f$ 把结果映到群 $H$ 中去；这和你先把 $g_1$ 和 $g_2$ 分别映到 $H$ 中得到 $f(g_1)$ 和 $f(g_2)$，再在 $H$ 中对它们进行运算，得到的结果是完全一样的。这说明 $f$ 完美地“翻译”了群 $G$ 的运算结构到群 $H$。
   • 双射 (Bijective)：这个映射 $f$ 必须是一一对应的。
   • 单射 (Injective)：$G$ 中不同的元素一定会被映到 $H$ 中不同的元素。不会出现“多对一”的情况。
   • 满射 (Surjective)：$H$ 中的每一个元素，都能在 $G$ 中找到一个元素与之对应。不会出现 $H$ 中有元素“无人问津”的情况。
   • 同构的本质：两个群如果同构，意味着它们在代数结构上是完全一样的，只是元素的“名字”不同。它们就像是穿着不同外衣的同一个人。
2. 放松条件，引出同态：接下来，文章提出了一个关键问题：如果我们保留“结构保持”这个美好的性质，但放弃“双射”这个苛刻的条件，会怎么样？
   • 也就是说，我们只要求函数 $f$ 满足 $f(g_1 g_2) = f(g_1)f(g_2)$，但不再要求它必须是单射或满射。
   • 这种更“宽松”的、但仍然保持了运算结构的映射，就是“同态”。

这是同态 (Homomorphism) 的正式数学定义。

1. 前提：我们有两个群，分别叫做 $G$ 和 $H$。它们各自有自己的元素集合和运算规则。
2. 核心对象：我们有一个函数 $f$，它能把群 $G$ 里的每一个元素“搬运”到群 $H$ 里。
3. 核心要求：这个函数 $f$ 不是随随便便的函数，它必须满足一个非常特殊的条件：$f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$。
4. 解读这个条件：
   • LHS (Left-Hand Side, 左边): $f(g_1 g_2)$。这里的步骤是：
5. 从群 $G$ 中拿出两个元素 $g_1$ 和 $g_2$。
6. 在群 $G$ 的规则下对它们进行运算，得到一个新元素 $g_1 g_2$ (它也必须在 $G$ 中，因为群是封闭的)。
7. 将这个运算结果 $g_1 g_2$ 通过函数 $f$ 映射到群 $H$ 中。
   • RHS (Right-Hand Side, 右边): $f(g_1) f(g_2)$。这里的步骤是：
8. 从群 $G$ 中拿出两个元素 $g_1$ 和 $g_2$。
9. 先把 $g_1$ 通过 $f$ 映射到 $H$ 中，得到 $f(g_1)$。
10. 再把 $g_2$ 通过 $f$ 映射到 $H$ 中，得到 $f(g_2)$。
11. 在群 $H$ 的规则下对 $f(g_1)$ 和 $f(g_2)$ 这两个在 $H$ 中的元素进行运算。
    • 相等意味着什么：定义要求，对于 $G$ 中的任何一对元素 $g_1, g_2$，上面两种不同顺序的操作，最终得到的结果必须是相同的。这精确地描述了“结构保持”的含义：$G$ 中的运算关系，被 $f$ “忠实地”反映为了 $H$ 中的运算关系。

这个例子非常直接，它是在说明同构 (Isomorphism) 和同态 (Homomorphism) 之间的关系。

1. 回顾同构的定义：一个从群 $G$ 到群 $H$ 的映射 $f$ 被称为同构，如果它同时满足两个条件：

a. $f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$ 对所有 $g_1, g_2 \in G$ 成立（结构保持）。

b. $f$ 是一个双射（即单射且满射）。

1. 回顾同态的定义：一个从群 $G$ 到群 $H$ 的映射 $f$ 被称为同态，如果它满足一个条件：

a. $f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$ 对所有 $g_1, g_2 \in G$ 成立（结构保持）。

1. 比较两个定义：我们可以清楚地看到，同态的定义就是同构定义的一部分。同构比同态多了一个“双射”的要求。
2. 得出结论：因此，任何一个满足同构定义的映射，必然也满足同态的定义。换句话说，“是同构”是比“是同态”更强的条件。这就好比说，“所有正方形都是矩形”一样。正方形是满足了矩形所有定义，并且还有额外要求（四边相等）的特殊矩形。同样，同构是满足了同态所有定义，并且还有额外要求（双射）的特殊同态。

这个例子讨论的是一个非常基础但重要的同态，叫做包含映射 (Inclusion Map)。

1. 场景设置：我们有一个大群 $G$ 和它内部的一个子群 $H$。子群 $H$ 本身也是一个群，它的运算规则和 $G$ 完全一样，只是它的元素集合是 $G$ 的一个子集。
2. 定义映射：我们定义一个映射 $i: H \rightarrow G$，它的作用非常简单：对于 $H$ 中的任何一个元素 $h$，映射 $i$ 把它“看作”是 $G$ 中的元素。所以 $i(h) = h$。这个映射什么也没做，只是在观念上把一个子群的元素“放回”到它本来的大群中。这个映射通常被称为包含映射或自然内射。
3. 验证同态：我们需要检查 $i(h_1 h_2) = i(h_1) i(h_2)$ 是否对所有 $h_1, h_2 \in H$ 成立。
   • LHS: $i(h_1 h_2)$。
   • 首先，在子群 $H$ 中计算 $h_1 h_2$。因为 $H$ 是子群，所以结果 $h_1 h_2$ 仍然在 $H$ 中。
   • 然后应用映射 $i$，根据定义，$i(h_1 h_2) = h_1 h_2$。
   • RHS: $i(h_1) i(h_2)$。
   • 首先，应用映射 $i$：$i(h_1) = h_1$，$i(h_2) = h_2$。这两个结果现在被看作是 $G$ 中的元素。
   • 然后，在大群 $G$ 中计算它们的积 $h_1 h_2$。
   • 比较：LHS 的结果是 $h_1 h_2$，RHS 的结果也是 $h_1 h_2$。两者相等。
   • 结论：所以包含映射 $i$ 是一个同态。
4. 解释其本质：“这本质上是说 $H$ 的群运算是由 $G$ 的群运算诱导的。” 这句话是点睛之笔。包含映射之所以是同态，其根本原因在于子群的定义：子群的运算规则不是自己发明的，而是直接“继承”自母群。我们在 $H$ 里算 $h_1 h_2$ 和在 $G$ 里算 $h_1 h_2$ 得到的是同一个东西，这正是同态公式所表达的内涵。
5. 关于单射和满射的讨论：
   • 单射 (Injective)：包含映射 $i$ 总是单射的。因为如果 $i(h_1) = i(h_2)$，那就意味着 $h_1=h_2$。不同的子群元素在母群里当然还是不同的元素。
   • 满射 (Surjective)：包含映射 $i$ 是满射的吗？这意味着 $G$ 中的任何一个元素都能在 $H$ 中找到原像。这只有在 $H$ 和 $G$ 完全相等的情况下才可能发生。如果 $H$ 是 $G$ 的一个真子群（即 $H \neq G$），那么 $G$ 中一定有不在 $H$ 里的元素，这些元素就没有原像，所以 $i$ 不是满射。当 $H=G$ 时，这个映射 $i$ 就变成了恒等映射 $\mathrm{Id}: G \rightarrow G$，即 $\mathrm{Id}(g)=g$，它显然是满射的。

这个例子介绍的是一种最极端的同态，称为平凡同态 (Trivial Homomorphism)。

1. 场景设置：我们有两个群 $G$ 和 $H$。
2. 定义映射：我们定义一个非常“霸道”的函数 $f: G \rightarrow H$，它把群 $G$ 里的所有元素，不管它们原来是什么，全都映射到群 $H$ 的单位元 $1_H$ 上。（为了简洁，通常只写 1）。所以 $f(g) = 1$ 对所有 $g \in G$ 都成立。
3. 验证同态：我们需要检查 $f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$ 是否对所有 $g_1, g_2 \in G$ 成立。
   • LHS: $f(g_1 g_2)$。
   • 不管 $g_1 g_2$ 是什么，根据 $f$ 的定义，它的映射结果就是 $H$ 的单位元 1。所以 $f(g_1 g_2) = 1$。
   • RHS: $f(g_1) f(g_2)$。
   • 根据 $f$ 的定义，$f(g_1) = 1$，$f(g_2) = 1$。
   • 在群 $H$ 中计算它们的积：$1 \times 1 = 1$ (单位元乘以单位元还是单位元)。
   • 比较：LHS 的结果是 1，RHS 的结果也是 1。两者相等。
   • 结论：所以这个把所有元素都“压扁”到单位元的映射是一个同态。
4. 关于单射和满射的讨论：
   • 单射 (Injective)：这个映射 $f$ 是单射的吗？单射要求不同的输入对应不同的输出。
   • 假设群 $G$ 不是平凡群（平凡群是指只包含一个单位元素的群，如 $\{1\}$）。那么 $G$ 中至少有两个不同的元素，比如 $g_a \neq g_b$。
   • 但是 $f(g_a) = 1$ 并且 $f(g_b) = 1$。我们得到了不同的输入对应了相同的输出。
   • 因此，只要源群 $G$ 不止一个元素，平凡同态就不是单射。
   • 满射 (Surjective)：这个映射 $f$ 是满射的吗？满射要求目标群 $H$ 中的每个元素都被“击中”（即作为输出出现过）。
   • 这个映射 $f$ 的像集（所有输出的集合）只有一个元素，那就是 $H$ 的单位元 $\{1_H\}$。
   • 假设群 $H$ 不是平凡群，那么 $H$ 中除了单位元外，至少还有另一个元素，比如 $h \neq 1$。
   • 这个元素 $h$ 永远不会被 $f$ 映射到。
   • 因此，只要目标群 $H$ 不止一个元素，平凡同态就不是满射。

这个例子介绍了一个在线性代数中非常重要的同态——行列式 (Determinant)。

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $GL_n(\mathbb{R})$。这是“n阶实数一般线性群 (General Linear Group)”。它的元素是所有 $n \times n$ 的实数可逆矩阵，群运算是矩阵乘法。可逆是关键，因为这样才能保证有逆元，构成群。
   • 目标群 $H$ 是 $\mathbb{R}^*$。这是所有非零实数构成的集合，群运算是普通乘法。
2. 定义映射：映射 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^*$ 就是我们熟知的求一个矩阵的行列式。对于任意一个 $n \times n$ 的可逆矩阵 $A$，$\det(A)$ 是一个非零的实数。所以这个映射是良定义的。
3. 验证同态：我们需要检查 $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ 是否成立。
   • 这正是线性代数中关于行列式的一个核心性质定理。该定理表明，两个矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积。
   • 这个等式完美地匹配了同态的定义 $f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$。
   • $g_1, g_2$ 对应矩阵 $A, B$。
   • $G$ 中的运算对应矩阵乘法 $AB$。
   • $H$ 中的运算对应实数乘法 $\det(A)\det(B)$。
   • 映射 $f$ 就是 $\det$ 函数。
   • 结论：因此，行列式是一个同态。
4. 关于满射的讨论：
   • 映射是满射的吗？问题是：对于任何一个非零实数 $t \in \mathbb{R}^*$，我们是否总能找到一个 $n \times n$ 的可逆矩阵 $A$，使得它的行列式正好是 $t$？
   • 答案是肯定的。例子中给出了一个构造方法：构造一个对角矩阵 $A$。
   • 让这个矩阵 $A$ 的第一个对角线元素为 $t$，其余的对角线元素都为 1，其他所有非对角线元素都为 0。
   • $A = \begin{pmatrix} t & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$
   • 这个对角矩阵的行列式就是对角线元素的乘积，即 $\det(A) = t \times 1 \times \cdots \times 1 = t$。
   • 因为 $t \neq 0$，所以这个矩阵是可逆的，属于 $GL_n(\mathbb{R})$。
   • 既然对于任何 $t \in \mathbb{R}^*$ 我们都能构造出这样一个矩阵，说明 $\det$ 是满射的。
5. 关于单射的讨论：
   • 映射是单射的吗？问题是：如果两个矩阵 $A$ 和 $B$ 的行列式相同，即 $\det(A) = \det(B)$，是否一定能推出 $A=B$？
   • 答案是否定的（只要 $n \geq 2$）。我们可以轻易地找到两个不同的矩阵，它们有相同的行列式。
   • 例如，当 $n=2$ 时，取 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$，则 $\det(A) = 6$。再取 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$，则 $\det(B) = 6$。显然 $A \neq B$，但 $\det(A) = \det(B)$。
   • 因此，行列式映射不是单射的。

这个例子讨论的是数学分析中另一个非常重要的函数——复指数函数，并揭示其代数同态的本质。

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $(\mathbb{C}, +)$，即所有复数构成的加法群。
   • 目标群 $H$ 是 $(\mathbb{C}^*, \times)$，即所有非零复数构成的乘法群。
2. 定义映射：映射 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^*$ 定义为 $f(z) = e^z$。
   • 这里给出了 $e^z$ 的两种等价表示：
   • 幂级数定义：$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots$ 这是它在复分析中的标准定义。
   • 欧拉公式形式：如果 $z=x+iy$（其中 $x, y$ 是实数），那么 $e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$。这是更常用的计算形式，它把复指数分解为一个实部指数 $e^x$ (决定长度) 和一个虚部相关的单位复数 $\cos y + i \sin y$ (决定角度)。
3. 验证同态：我们需要检查 $f(z_1 + z_2) = f(z_1) f(z_2)$ 是否成立。
   • 注意，源群的运算是加法，目标群的运算是乘法。
   • LHS: $f(z_1 + z_2) = e^{z_1 + z_2}$。
   • RHS: $f(z_1) f(z_2) = e^{z_1} e^{z_2}$。
   • 根据指数函数的基本性质（无论是在实数域还是复数域），$e^{a+b} = e^a e^b$ 这个恒等式总是成立的。
   • 这个恒等式恰好就是同态定义的要求。
   • 结论：复指数函数是一个把加法变成乘法的同态。
4. 关于满射的讨论：
   • 映射是满射吗？问题是：对于任何一个非零复数 $w \in \mathbb{C}^*$，我们是否总能找到一个复数 $z$，使得 $e^z = w$？
   • 答案是肯定的。这等价于解方程 $z = \ln(w)$，即求复对数。
   • 任何一个非零复数 $w$ 都可以写成极坐标形式 $w = r e^{i\theta}$，其中 $r=|w|>0$ 是模长，$\theta$ 是幅角。
   • 我们想找一个 $z=x+iy$ 使得 $e^{x+iy} = e^x e^{iy} = w = r e^{i\theta}$。
   • 比较模长和幅角，我们需要 $e^x = r$ 且 $y = \theta + 2k\pi$ (因为角度是周期性的)。
   • 从 $e^x=r$ 可以解出 $x=\ln(r)$ (这里的ln是实数对数)。
   • 所以我们可以取 $z = \ln(|w|) + i \cdot \mathrm{arg}(w)$，其中 $\mathrm{arg}(w)$ 是 $w$ 的一个幅角。
   • 既然总能找到这样的 $z$，说明复指数函数是满射的。
5. 关于单射的讨论：
   • 映射是单射吗？问题是：如果 $e^{z_1} = e^{z_2}$，是否一定能推出 $z_1 = z_2$？
   • 答案是否定的。从上面的满射讨论中可以看到，由于角度的周期性，幅角可以相差 $2\pi$ 的整数倍。
   • $e^{z_1} = e^{z_2} \iff e^{x_1}e^{iy_1} = e^{x_2}e^{iy_2}$。
   • 比较模长得到 $e^{x_1}=e^{x_2}$，因为实指数是单射的，所以 $x_1=x_2$。
   • 比较幅角得到 $y_1$ 和 $y_2$ 所代表的角度相同，这意味着 $y_2 = y_1 + 2n\pi$ 对于某个整数 $n \in \mathbb{Z}$。
   • 所以，$z_2 = x_2 + iy_2 = x_1 + i(y_1 + 2n\pi) = (x_1+iy_1) + 2n\pi i = z_1 + 2n\pi i$。
   • 这意味着，只要两个复数的虚部相差 $2\pi$ 的整数倍，它们的指数函数值就相同。
   • 例如，$e^0 = 1$，$e^{2\pi i} = \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) = 1$。但 $0 \neq 2\pi i$。
   • 因此，复指数函数不是单射的，它具有周期性，周期是 $2\pi i$。
6. 与实指数对比：
   • 实指数函数 $e^x: (\mathbb{R}, +) \rightarrow (\mathbb{R}^*, \times)$ 也是一个同态。
   • 它是单射的：如果 $e^{x_1} = e^{x_2}$，那么 $x_1=x_2$。
   • 它不是满射的：它的像集是所有正实数 $\mathbb{R}^{>0}$。任何负实数（比如 -1）都无法表示为 $e^x$。

这个例子讨论的是我们熟悉的绝对值函数（在复数域中称为模），并将其视为一个同态。

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $(\mathbb{C}^*, \times)$，所有非零复数的乘法群。
   • 目标群 $H$ 是 $(\mathbb{R}^*, \times)$，所有非零实数的乘法群。
2. 定义映射：映射 $f: \mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ 定义为 $f(z) = |z|$，即求复数 $z$ 的模（或绝对值）。模是一个非负实数，由于 $z \in \mathbb{C}^*$ (不为零)，所以 $|z|$ 是一个正实数，因此 $|z| \in \mathbb{R}^*$。
3. 验证同态：我们需要检查 $f(z_1 z_2) = f(z_1) f(z_2)$ 是否成立。这里的运算都是乘法。
   • LHS: $f(z_1 z_2) = |z_1 z_2|$。
   • RHS: $f(z_1) f(z_2) = |z_1| |z_2|$。
   • 根据复数的基本性质，乘积的模等于模的乘积，即 $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ 这个恒等式成立。
   • 这个恒等式完美匹配同态的定义。
   • 结论：复数绝对值函数是一个同态。
4. 关于满射的讨论：
   • 映射是满射吗？问题是：目标群 $\mathbb{R}^*$ 中的任何一个元素，是否都能作为某个复数的模出现？
   • $\mathbb{R}^*$ 包含正实数和负实数。
   • 一个复数的模 $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ 定义上总是非负的。由于 $z \neq 0$，模 $|z|$ 总是正实数。
   • 这意味着，输出结果（像集）只可能是所有正实数 $\mathbb{R}^{>0}$。
   • 目标群 $\mathbb{R}^*$ 中的所有负实数（例如 -2）都永远不会被映射到。
   • 因此，绝对值函数 $f(z)=|z|$ 不是满射。
5. 关于单射的讨论：
   • 映射是单射吗？问题是：如果 $|z_1| = |z_2|$，是否一定能推出 $z_1=z_2$？
   • 答案是否定的。$|z|$ 表示复数 $z$ 在复平面上到原点的距离。两个复数模相等，只表示它们到原点的距离相等，它们可能位于同一个圆上的不同位置。
   • 下面是对这个条件的逐步等价推导：
   • $f(z_1) = f(z_2)$
   • $\Longleftrightarrow |z_1| = |z_2|$ (根据 $f$ 的定义)
   • $\Longleftrightarrow \frac{|z_2|}{|z_1|} = 1$ (假设 $z_1 \neq 0$, 故 $|z_1| \neq 0$)
   • $\Longleftrightarrow |\frac{z_2}{z_1}| = 1$ (利用了模的性质)
   • 令 $u = z_2/z_1$，这意味着 $|u|=1$。
   • 模为 1 的复数 $u$ 构成的集合，正是单位圆上的所有点，这个集合在乘法下构成一个群，称为圆群，记作 $U(1)$。
   • 所以 $u \in U(1)$。
   • $\Longleftrightarrow$ 存在一个 $u \in U(1)$ 使得 $z_2 = u z_1$。
   • 这个推导说明，只要两个复数 $z_1, z_2$ 的比是一个模为1的复数（即 $z_2$ 是 $z_1$ 绕原点旋转某个角度得到的），它们的模就是相等的。
   • 例如，$z_1 = 2$, $z_2 = 2i$。$|z_1|=2$, $|z_2|=2$。但 $z_1 \neq z_2$。这里 $u = z_2/z_1 = i$，而 $|i|=1$。
   • 因此，绝对值函数不是单射的。

这个例子展示了与上一个例子 (6) 互补的同态。例子 (6) 保留了“长度”信息，丢弃了“方向”信息。而这个例子则相反，它保留了“方向”信息，丢弃了“长度”信息。

第一部分：实数符号函数

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $(\mathbb{R}^*, \times)$，非零实数的乘法群。
   • 目标群 $H$ 是 $(\{+1, -1\}, \times)$，这是一个只有两个元素的乘法群 (有时也记作 $\mathbb{Z}_2$)。
2. 定义映射：映射 $\mathrm{sign}: \mathbb{R}^* \rightarrow \{+1, -1\}$ 被称为符号函数。
   • 它的定义是 $\mathrm{sign}(x) = x/|x|$。
   • 如果 $x$ 是正数，$|x|=x$，所以 $\mathrm{sign}(x) = x/x = +1$。
   • 如果 $x$ 是负数，$|x|=-x$，所以 $\mathrm{sign}(x) = x/(-x) = -1$。
   • 这个函数提取了一个实数的“正负号”。
3. 验证同态：我们需要检查 $\mathrm{sign}(xy) = \mathrm{sign}(x) \mathrm{sign}(y)$。
   • LHS: $\mathrm{sign}(xy) = \frac{xy}{|xy|}$。
   • RHS: $\mathrm{sign}(x) \mathrm{sign}(y) = \frac{x}{|x|} \frac{y}{|y|}$。
   • 因为 $|xy|=|x||y|$，所以 LHS $= \frac{xy}{|x||y|} = (\frac{x}{|x|})(\frac{y}{|y|}) =$ RHS。
   • 等式成立，所以符号函数是同态。
   • 我们也可以通过讨论正负来验证：
   • 正 $\times$ 正 = 正 $\rightarrow (+1) \times (+1) = +1$
   • 正 $\times$ 负 = 负 $\rightarrow (+1) \times (-1) = -1$
   • 负 $\times$ 负 = 正 $\rightarrow (-1) \times (-1) = +1$
   • 完美匹配。

第二部分：复数“方向”函数

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $(\mathbb{C}^*, \times)$，非零复数的乘法群。
   • 目标群 $H$ 是 $U(1)$，单位圆群，即所有模为 1 的复数构成的乘法群。$U(1) = \{z \in \mathbb{C} : |z|=1\}$。
2. 定义映射：映射 $F: \mathbb{C}^* \rightarrow U(1)$ 定义为 $F(z) = z/|z|$。
   • 这个操作在几何上是什么意思？任何一个非零复数 $z$，都有一个模 $|z|$ 和一个方向。用 $z$ 除以它的模 $|z|$，得到的新复数 $z/|z|$ 的模是 $|z/|z|| = |z|/||z|| = |z|/|z|=1$。
   • 这意味着 $F(z)$ 总是一个模为 1 的复数，即它总落在单位圆上。
   • 这个操作保留了 $z$ 的原始方向（幅角），但把它的长度“归一化”到了 1。它提取了一个复数的“纯方向”。
3. 验证同态：我们需要检查 $F(z_1 z_2) = F(z_1) F(z_2)$。
   • LHS: $F(z_1 z_2) = \frac{z_1 z_2}{|z_1 z_2|}$。
   • RHS: $F(z_1) F(z_2) = (\frac{z_1}{|z_1|}) (\frac{z_2}{|z_2|})$。
   • 因为 $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$，且复数乘法满足交换律和结合律，所以 LHS $= \frac{z_1 z_2}{|z_1| |z_2|} = (\frac{z_1}{|z_1|}) (\frac{z_2}{|z_2|}) =$ RHS。
   • 等式成立，所以 $F(z) = z/|z|$ 是一个同态。

这个例子将群同态与线性代数中的线性映射（或称线性变换）联系起来。

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $(\mathbb{R}^n, +)$。这是所有 n 维实数列向量构成的加法群。向量的加法是对应分量相加。
   • 目标群 $H$ 是 $(\mathbb{R}^m, +)$。这是所有 m 维实数列向量构成的加法群。
2. 定义映射：映射 $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 是一个线性映射。
   • 根据线性代数的定义，一个映射是线性的，必须满足两个条件：
3. 验证同态：我们需要检查 $F$ 是否满足群同态的定义。
   • 源群 $(\mathbb{R}^n, +)$ 和目标群 $(\mathbb{R}^m, +)$ 的运算都是向量加法。
   • 同态的定义要求 $F(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) = F(\mathbf{v}_1) + F(\mathbf{v}_2)$。
   • 这恰好就是线性映射定义的第一部分——可加性！
   • 结论：因此，任何一个线性映射，就其作为向量空间之间的函数而言，自动地也是其底层的加法群之间的一个群同态。
4. 额外性质：
   • 文中提到，线性映射还具有额外的性质 $F(t\mathbf{v}) = tF(\mathbf{v})$（齐次性）。
   • 这个性质在群同态的定义中并没有要求。群同态只关心那个二元运算（这里是加法）是否被保持。
   • 齐次性关心的是“标量乘法”这个操作是否被保持。
   • 所以，一个线性映射是一个“加强版”的群同态，它不仅保持了加法结构，还保持了数乘结构。这种既是群同态，又能与标量乘法兼容的映射，在向量空间的语境下被称为线性映射。可以说，“线性映射”是“向量空间同态”的术语。
5. 与矩阵的关系：
   • 任何一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的线性映射 $F$，都可以由一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 来表示，使得 $F(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ (矩阵-向量乘法)。
   • 此时，可加性 $F(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = F(\mathbf{v})+F(\mathbf{w})$ 就源于矩阵乘法对加法的分配律：$A(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = A\mathbf{v} + A\mathbf{w}$。

这个例子讨论的是一种非常常见的映射类型——幂函数 (Power Map)，并探讨了它在何种条件下构成一个同态。

1. 具体例子先行：
   • 场景：源群和目标群都是 $(\mathbb{Q}^*, \times)$，非零有理数的乘法群。
   • 映射：$f(t) = t^n$，其中 $n$ 是一个固定的整数。
   • 验证同态：对于任意 $t_1, t_2 \in \mathbb{Q}^*$：
   • LHS: $f(t_1 t_2) = (t_1 t_2)^n$。
   • RHS: $f(t_1) f(t_2) = t_1^n t_2^n$。
   • 由于有理数乘法满足交换律，指数定律 $(ab)^n = a^n b^n$ 成立。
   • 所以 $f$ 是一个同态。
   • 推广：同样的逻辑适用于非零实数乘法群 $(\mathbb{R}^*, \times)$ 和非零复数乘法群 $(\mathbb{C}^*, \times)$，因为它们的乘法也是交换的。
2. 一般化到阿贝尔群：
   • 前面的例子成功的关键在于指数定律 $(ab)^n = a^n b^n$ 的成立。这个定律在普通的非交换群中不一定成立。例如，在矩阵群中，$(AB)^2 = ABAB$，而 $A^2B^2 = AABB$，两者通常不相等，除非 $A$ 和 $B$ 可交换 ($AB=BA$)。
   • 阿贝尔群 (Abelian Group) 的定义就是群运算满足交换律的群。
   • 结论：因此，对于任何一个阿贝尔群 $G$（使用乘法表示），幂函数 $f(g) = g^n$ (n为固定整数) 都是一个从 $G$ 到自身的同态 (这种映到自身的同态也叫自同态 Endomorphism)。
   • 证明：$f(gh) = (gh)^n$。因为群 $G$ 是阿贝尔群，所以 $gh=hg$。因此 $(gh)^n = g^n h^n$。（严格证明 $(gh)^n = g^n h^n$ 需要对n用归纳法，并利用 $gh=hg$ 这个条件，但这里我们直观地接受它）。而 $g^n h^n = f(g)f(h)$。所以 $f$ 是同态。
3. 分析 $f: \mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ 的单射和满射性：
   • 当 n 是奇数时 (如 $n=3, f(t)=t^3$)：
   • 单射：如果 $t_1^n = t_2^n$，两边开 n 次方根，由于 n 是奇数，实数域上的奇次根是唯一的，所以 $t_1=t_2$。故 $f$ 是单射。
   • 满射：对于任何实数 $y \in \mathbb{R}^*$，方程 $t^n = y$ 总是有实数解 $t = \sqrt[n]{y}$。故 $f$ 是满射。
   • 因此，当n为奇数时，该同态是一个同构。
   • 当 n 是偶数时 (如 $n=2, f(t)=t^2$)：
   • 非单射：例如 $f(2) = 2^2=4$，$f(-2)=(-2)^2=4$。不同的输入得到相同的输出。一般地，$(-t)^n=t^n$。故 $f$ 不是单射。
   • 非满射：由于任何实数的偶数次方都是非负的，且 $t \in \mathbb{R}^*$ 所以 $t^n$ 总是正数。像集是 $\mathbb{R}^{>0}$ (正实数集)。目标群 $\mathbb{R}^*$ 中的负数没有原像。故 $f$ 不是满射。

这个例子极为重要，它构建了从最基础的整数群 $(\mathbb{Z}, +)$ 或循环群 $(\mathbb{Z}_n, +)$ 到任意群 $G$ 的桥梁，是理解循环子群和阶的关键。

第一部分：从 $\mathbb{Z}$ 到 $G$

1. 场景设置：
   • 源群是 $(\mathbb{Z}, +)$，整数加法群。这是最基础的无限循环群。
   • 目标群是 $(G, \cdot)$，任何一个给定的群（这里用乘法表示）。
   • 在 $G$ 中固定一个元素 $g$。
2. 定义映射：$f: \mathbb{Z} \rightarrow G$ 定义为 $f(a) = g^a$。
   • 这个映射的意思是，把整数 $a$ 映到 $g$ 的 $a$ 次幂。
   • $f(1) = g^1 = g$
   • $f(2) = g^2 = g \cdot g$
   • $f(0) = g^0 = 1_G$ (单位元)
   • $f(-3) = g^{-3} = (g^{-1})^3$
3. 验证同态：我们需要检查 $f(a+b) = f(a) \cdot f(b)$。注意源群运算是 +，目标群是 ·。
   • LHS: $f(a+b) = g^{a+b}$。
   • RHS: $f(a) \cdot f(b) = g^a \cdot g^b$。
   • 根据群中元素幂的指数定律，$g^{a+b} = g^a g^b$ 恒成立。
   • 结论：所以 $f(a)=g^a$ 是一个同态。
4. 像集：这个同态的像集 $\mathrm{Im}(f)$ 是所有 $f(a)$ (即 $g^a$) 构成的集合，其中 $a$ 取遍所有整数。这个集合 $\{..., g^{-2}, g^{-1}, g^0, g^1, g^2, ...\}$ 正是由 $g$ 生成的循环子群 $\langle g \rangle$ 的定义。
5. 加法群情形：如果目标群 $G$ 是加法群，那么“幂” $g^a$ 对应于“倍数” $a \cdot g$。映射就写成 $f(a) = a \cdot g$。同态性质变为 $f(a+b) = (a+b)\cdot g = a\cdot g + b\cdot g = f(a)+f(b)$。像集同样是 $\langle g \rangle = \{k \cdot g \mid k \in \mathbb{Z}\}$。
6. 特例：$\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。
   • 这里 $G = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ 是加法群。我们取生成元 $g = [1]_n$。
   • 映射 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $f(a) = a \cdot [1]_n = [a]_n$。
   • 这正是之前例子中出现过的“取模”同态。

第二部分：从 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 到 $G$

1. 场景设置：
   • 源群是 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$，模n整数加法群。
   • 目标群是 $(G, \cdot)$。
   • 在 $G$ 中固定一个元素 $g$，这个 $g$ 有一个特殊要求：它的阶是 $n$ 的因子。这意味着 $g^n=1_G$。（如果 $g$ 的阶是 $d$，且 $d|n$，则 $g^n = (g^d)^{n/d} = 1^{n/d} = 1$）。
2. 定义映射：$f: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow G$ 定义为 $f([a]_n) = g^a$。
3. 良定义性 (Well-definedness)：这是关键！源群的元素是等价类，比如 $[a]_n = [a+kn]_n$。我们必须保证，无论我们用等价类中的哪个代表元来计算，结果都一样。
   • 我们需要检查 $f([a]_n)$ 是否等于 $f([a+kn]_n)$。
   • $f([a+kn]_n) = g^{a+kn} = g^a \cdot g^{kn} = g^a \cdot (g^n)^k$。
   • 因为我们要求了 $g^n=1$，所以上式 $= g^a \cdot 1^k = g^a$。
   • $f([a+kn]_n) = g^a = f([a]_n)$。两者相等。
   • 结论：所以这个映射是良定义的。这个要求 $g^n=1$ 是必不可少的。
4. 验证同态：$f([a]_n + [b]_n) = f([a+b]_n) = g^{a+b} = g^a g^b = f([a]_n)f([b]_n)$。成立。
5. 特例：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$。
   • $G = (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, +)$。取生成元 $g=[1]_m$。
   • 映射是 $f([a]_n) = a \cdot [1]_m = [a]_m$。
   • 良定义性的要求是 $n \cdot g = [0]_m$，即 $n \cdot [1]_m = [n]_m = [0]_m$。
   • $[n]_m=[0]_m$ 的意思就是 $n$ 是 $m$ 的倍数，即 $m$ 整除 $n$ ($m|n$)。
   • 这解释了为什么只有当 $m|n$ 时，这个映射才是定义良好的。
   • 当 $m|n$ 时，这个映射是满射的吗？是的，因为对于任何 $[k]_m \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，我们都可以取源群中的元素 $[k]_n$，有 $f([k]_n) = [k]_m$。所以是满射。

这个例子介绍了在直积群 (Product Group) 上一种非常自然的同态——投影映射 (Projection Map)。

1. 场景设置：
   • 我们有两个群 $G_1$ 和 $G_2$。
   • 我们构造它们的直积群 $G_1 \times G_2$。这个群的元素是所有形如 $(g_1, g_2)$ 的有序对，其中 $g_1 \in G_1, g_2 \in G_2$。
   • 直积群的运算是“按分量进行”的：$(g_1, g_2) \cdot (h_1, h_2) = (g_1 h_1, g_2 h_2)$。第一个分量在 $G_1$ 中运算，第二个分量在 $G_2$ 中运算。
2. 定义映射 $\pi_1$：
   • $\pi_1: G_1 \times G_2 \rightarrow G_1$ 定义为 $\pi_1(g_1, g_2) = g_1$。
   • 这个映射的作用就是“扔掉”第二个分量，只保留第一个分量。它的名字叫到第一分量的投影。
3. 验证 $\pi_1$ 是同态：
   • 我们需要检查 $\pi_1( (g_1,g_2) \cdot (h_1,h_2) ) = \pi_1(g_1,g_2) \cdot \pi_1(h_1,h_2)$。
   • LHS:
4. 先在源群 $G_1 \times G_2$ 中运算: $(g_1,g_2) \cdot (h_1,h_2) = (g_1 h_1, g_2 h_2)$。
5. 再应用映射 $\pi_1$: $\pi_1(g_1 h_1, g_2 h_2) = g_1 h_1$ (根据 $\pi_1$ 的定义，取第一个分量)。
   • RHS:
6. 先应用映射 $\pi_1$: $\pi_1(g_1,g_2) = g_1$ 和 $\pi_1(h_1,h_2) = h_1$。
7. 再在目标群 $G_1$ 中运算: $g_1 \cdot h_1$。
   • 比较: LHS 结果是 $g_1 h_1$，RHS 结果也是 $g_1 h_1$。两者相等。
   • 结论: $\pi_1$ 是一个同态。
8. 定义映射 $\pi_2$：
   • 类似地，$\pi_2: G_1 \times G_2 \rightarrow G_2$ 定义为 $\pi_2(g_1, g_2) = g_2$。
   • 它“扔掉”第一个分量，只保留第二个分量。称为到第二分量的投影。
   • 用完全相同的方法可以证明 $\pi_2$ 也是一个同态。

这个例子连接了置换群和线性代数，它将一个抽象的置换操作，具体地“表示”为一个矩阵。这个映射在表示论中非常重要。

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $S_n$，即包含所有对 $\{1, 2, ..., n\}$ 的置换（双射函数）的群，运算是函数复合。
   • 目标群 $H$ 是 $GL_n(\mathbb{R})$，n阶可逆实矩阵的乘法群。
   • $\mathbf{e}_i$ 是标准基向量，即第 $i$ 个分量是1，其余都是0的列向量。
2. 定义映射：映射 $P: S_n \rightarrow GL_n(\mathbb{R})$ 的作用是，给一个置换 $\sigma \in S_n$，它会生成一个 $n \times n$ 的矩阵 $P(\sigma)$。
   • 这个矩阵 $P(\sigma)$ 的功能被定义为：它作用在第 $i$ 个基向量 $\mathbf{e}_i$ 上时，会把它变成第 $\sigma(i)$ 个基向量 $\mathbf{e}_{\sigma(i)}$。
   • 换句话说，矩阵 $P(\sigma)$ 的第 $i$ 列就是向量 $\mathbf{e}_{\sigma(i)}$。这种矩阵被称为置换矩阵。它的每一行和每一列都恰好只有一个1，其余都是0。
3. 验证同态：我们需要检查 $P(\sigma \tau) = P(\sigma) P(\tau)$ 是否成立。这里的运算分别是函数复合和矩阵乘法。
   • 这是一个比较抽象的验证，关键在于看两个矩阵作用在任意基向量 $\mathbf{e}_i$ 上的效果是否相同。如果它们对所有基向量的作用都一样，那么这两个矩阵就是相等的。
   • LHS: 矩阵 $P(\sigma \tau)$ 作用在 $\mathbf{e}_i$ 上：
   • 根据定义，$P(\sigma \tau)(\mathbf{e}_i) = \mathbf{e}_{(\sigma \tau)(i)} = \mathbf{e}_{\sigma(\tau(i))}$。
   • RHS: 矩阵乘积 $P(\sigma)P(\tau)$ 作用在 $\mathbf{e}_i$ 上：
   • 首先，$P(\tau)$ 作用在 $\mathbf{e}_i$ 上，得到 $P(\tau)(\mathbf{e}_i) = \mathbf{e}_{\tau(i)}$。
   • 然后，让 $P(\sigma)$ 作用在这个新向量 $\mathbf{e}_{\tau(i)}$ 上。
   • 根据定义，$P(\sigma)$ 会把下标为 $j$ 的基向量变成下标为 $\sigma(j)$ 的基向量。现在我们的下标是 $j=\tau(i)$。
   • 所以，$P(\sigma)(\mathbf{e}_{\tau(i)}) = \mathbf{e}_{\sigma(\tau(i))}$。
   • 比较: LHS 和 RHS 作用在任意基向量 $\mathbf{e}_i$ 上的结果都是 $\mathbf{e}_{\sigma(\tau(i))}$。因此这两个矩阵相等：$P(\sigma \tau) = P(\sigma) P(\tau)$。
   • 结论: $P$ 是一个同态。

这个例子介绍置换群 $S_n$ 上的一个非常重要的同态——符号函数或称标志函数 (Sign function)。

1. 场景设置：
   • 源群 $G$ 是 $(S_n, \circ)$，n个元素的置换群。
   • 目标群 $H$ 是 $(\{+1, -1\}, \times)$，即由 $+1$ 和 $-1$ 构成的乘法群。
2. 定义映射：映射 $\varepsilon: S_n \rightarrow \{+1, -1\}$。
   • 一个置换 $\sigma$ 的符号 $\varepsilon(\sigma)$ 被定义为 $(-1)^{\text{inv}(\sigma)}$，其中 $\text{inv}(\sigma)$ 是 $\sigma$ 的逆序对的数量。
   • 另一种等价的定义是：任何一个置换都可以写成若干个对换（即只交换两个元素的置换）的乘积。虽然分解方式不唯一，但所需对换数量的奇偶性是唯一确定的。
   • 如果一个置换可以写成偶数个对换的乘积，我们称之为偶置换，并定义 $\varepsilon(\sigma)=+1$。
   • 如果一个置换可以写成奇数个对换的乘积，我们称之为奇置换，并定义 $\varepsilon(\sigma)=-1$。
3. 验证同态：我们需要检查 $\varepsilon(\sigma \tau) = \varepsilon(\sigma) \varepsilon(\tau)$。
   • 这是一个关于置换符号的核心定理。
   • 设 $\sigma$ 可以写成 $k$ 个对换的乘积，$\tau$ 可以写成 $l$ 个对换的乘积。
   • 那么 $\varepsilon(\sigma) = (-1)^k$, $\varepsilon(\tau) = (-1)^l$。
   • 它们的复合置换 $\sigma\tau$ 就可以写成这 $k+l$ 个对换的依次乘积。
   • 因此，$\sigma\tau$ 的符号是 $\varepsilon(\sigma\tau) = (-1)^{k+l}$。
   • 我们有 $\varepsilon(\sigma\tau) = (-1)^{k+l} = (-1)^k (-1)^l = \varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)$。
   • 等式成立。
   • 结论：符号函数 $\varepsilon$ 是一个同态。
4. 这个同态的意义：
   • 它将所有的置换分成了两大类：偶置换和奇置换。
   • 同态性质 $\varepsilon(\sigma\tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)$ 对应于奇偶性的运算规则：
   • 偶 $\circ$ 偶 = 偶 $\rightarrow (+1)\times(+1)=+1$
   • 偶 $\circ$ 奇 = 奇 $\rightarrow (+1)\times(-1)=-1$
   • 奇 $\circ$ 奇 = 偶 $\rightarrow (-1)\times(-1)=+1$
   • 这个同态的核（所有被映射到+1的元素）就是所有偶置换的集合，这个集合被称为交错群 (Alternating Group)，记作 $A_n$。

这个例子给出了一个非常简单的函数，并说明了为什么它不是一个群同态。

1. 场景设置：
   • 源群和目标群都是 $(\mathbb{Z}, +)$，整数加法群。
2. 定义映射：$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 定义为 $f(n) = n+1$。这个函数就是把每个整数都向右移动一个单位。
3. 验证同态（失败）：我们需要检查 $f(n+m) = f(n)+f(m)$ 是否对所有整数 $n,m$ 成立。
   • LHS (先在源群运算，再映射):
4. 在源群 $(\mathbb{Z}, +)$ 中运算：$n+m$。
5. 应用映射 $f$: $f(n+m) = (n+m) + 1$。
   • RHS (先分别映射，再在目标群运算):
6. 分别应用映射 $f$: $f(n) = n+1$，$f(m) = m+1$。
7. 在目标群 $(\mathbb{Z}, +)$ 中运算：$f(n)+f(m) = (n+1) + (m+1) = n+m+2$。
   • 比较: LHS 的结果是 $n+m+1$，RHS 的结果是 $n+m+2$。
   • 由于 $n+m+1 \neq n+m+2$ 恒成立，所以同态的定义不满足。
   • 结论：函数 $f(n)=n+1$ 不是一个同态。

这个例子讨论的是平方函数，并说明它在加法群上不是同态。

1. 场景设置：
   • 源群和目标群都是 $(\mathbb{Z}, +)$，整数加法群。
2. 定义映射：$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 定义为 $f(n) = n^2$。
3. 验证同态（失败）：我们需要检查 $f(n+m) = f(n)+f(m)$ 是否成立。
   • LHS: $f(n+m) = (n+m)^2 = n^2 + 2nm + m^2$。
   • RHS: $f(n)+f(m) = n^2 + m^2$。
   • 比较: LHS 和 RHS 之间差了一个交叉项 $2nm$。
   • 只有当 $2nm=0$ 时，两者才相等。在整数环中，这意味着 $n=0$ 或 $m=0$。
   • 但是同态的定义要求等式对所有 $n, m$ 都成立。既然存在 $n,m$ 不为0的情况使得等式不成立，那么这个函数就不是同态。
   • 结论：函数 $f(n)=n^2$ 不是一个从 $(\mathbb{Z},+)$ 到 $(\mathbb{Z},+)$ 的同态。
4. 推广：同样的论证适用于有理数加法群 $(\mathbb{Q},+)$，实数加法群 $(\mathbb{R},+)$，以及复数加法群 $(\mathbb{C},+)$。在这些群上，平方函数 $f(z)=z^2$ 都不是同态，因为 $(z_1+z_2)^2 = z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2 \neq z_1^2+z_2^2$（除非 $z_1$ 或 $z_2$ 为0）。

这个例子讨论的是数论中的欧拉$\phi$函数，并从两个层面说明了为什么谈论它是同态是无意义的或错误的。

1. 第一层反驳：域和陪域不是群
   • 函数是 $\phi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$，其中 $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ...\}$ 是自然数集。
   • 要谈论同态，源集合和目标集合都必须是群。
   • 我们考虑最自然的运算：乘法。
   • $(\mathbb{N}, \times)$ 不是一个群。它满足封闭性和结合律，也有单位元1。但是，除了1之外，没有任何元素有乘法逆元（例如，2的逆元是1/2，它不在 $\mathbb{N}$ 中）。
   • 既然函数的定义域和陪域都不是群，那么从根本上就无法讨论它是不是群同态。这是最致命的一点。
2. 第二层反驳：即使我们忽略第一点，函数性质也不满足
   • 假设我们退一步，不严格要求是群，只看函数方程 $\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$ 是否普遍成立。这种保持乘法性质的函数被称为“完全积性函数”。
   • 欧拉$\phi$函数的性质是：$\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$ 当且仅当 $\gcd(n,m)=1$ (即 n 和 m 互质)。这种性质被称为“积性函数”，但不是“完全积性”。
   • 因为这个公式不是对所有的 $n, m$ 都成立，所以它不满足同态定义中“对于所有元素”的普适性要求。
   • 反例：取 $n=2, m=2$。它们不互质。
   • LHS: $\phi(nm) = \phi(4)$。小于4且与4互质的数是1, 3。所以 $\phi(4)=2$。
   • RHS: $\phi(n)\phi(m) = \phi(2)\phi(2)$。小于2且与2互质的数只有1。所以 $\phi(2)=1$。
   • RHS $= 1 \times 1 = 1$。
   • LHS $= 2 \neq 1 =$ RHS。
   • 这就找到了一个反例，说明 $\phi$ 不是完全积性的。

这个例子探讨了两个在阿贝尔群上是同态，但在非阿贝尔群上通常不是同态的函数：求逆映射和平方映射。这深刻揭示了交换律 (阿贝尔性) 的重要性。

第一部分：求逆映射 $f(g)=g^{-1}$

1. 场景：源群和目标群都是同一个群 $G$。
2. 映射：$f(g) = g^{-1}$，即把每个元素映到它的逆元。
3. 验证同态：我们需要检查 $f(gh) = f(g)f(h)$ 是否对所有 $g,h \in G$ 成立。
   • LHS: $f(gh) = (gh)^{-1}$。
   • RHS: $f(g)f(h) = g^{-1}h^{-1}$。
   • 根据群的基本性质（“穿脱袜子”原则），我们知道 $(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}$。
   • 所以，同态条件 $f(gh)=f(g)f(h)$ 变成了 $h^{-1}g^{-1} = g^{-1}h^{-1}$。
   • 这个等式是否普遍成立？它意味着 $g^{-1}$ 和 $h^{-1}$ 必须可以交换位置。这等价于 $g$ 和 $h$ 可以交换位置（即 $gh=hg$）。
   • 如果群 $G$ 是阿贝尔群，那么交换律 $gh=hg$ 对所有元素成立，因此 $h^{-1}g^{-1} = (hg)^{-1} = (gh)^{-1} = g^{-1}h^{-1}$。但我们通常直接用 $h^{-1}g^{-1} = g^{-1}h^{-1}$。所以 $f(g)=g^{-1}$ 是同态。
   • 如果群 $G$ 不是阿贝尔群，那么必然存在某些元素 $g, h$ 使得 $gh \neq hg$，从而 $h^{-1}g^{-1} \neq g^{-1}h^{-1}$。对于这些元素，同态条件不成立。
   • 结论：求逆映射 $f(g)=g^{-1}$ 是一个同态，当且仅当 $G$ 是阿贝尔群。

第二部分：平方映射 $f(g)=g^2$

1. 场景：源群和目标群都是同一个群 $G$。
2. 映射：$f(g) = g^2 = gg$。
3. 验证同态：我们需要检查 $f(gh) = f(g)f(h)$ 是否成立。
   • LHS: $f(gh) = (gh)^2 = ghgh$。
   • RHS: $f(g)f(h) = g^2 h^2 = gghh$。
   • 所以，同态条件变成了 $ghgh = gghh$。
   • 我们来解这个方程：
   • $ghgh = gghh$
   • 左乘 $g^{-1}$: $g^{-1}(ghgh) = g^{-1}(gghh)$
   • $(g^{-1}g)hgh = (g^{-1}g)ghh$
   • $hgh = ghh$
   • 右乘 $h^{-1}$: $(hgh)h^{-1} = (ghh)h^{-1}$
   • $hg(hh^{-1}) = gh(hh^{-1})$
   • $hg = gh$
   • 这个推导表明，$f(gh)=f(g)f(h)$ 成立的充要条件是 $gh=hg$。
   • 如果这个同态性质要对所有 $g,h \in G$ 成立，那么就要求群 $G$ 对所有元素都满足交换律，即 $G$ 是阿贝尔群。
   • 结论：平方映射 $f(g)=g^2$ 是一个同态，当且仅当 $G$ 是阿贝尔群。

这个命题指出了由同态定义 $f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)$ 直接导出的两个基本且至关重要的性质。这意味着任何同态都必须自动地“尊重”群的单位元和逆元结构。

性质 (i): 单位元映到单位元

1. 陈述：$f(1_G) = 1_H$。一个同态必须把源群 $G$ 的单位元 $1_G$ 映射到目标群 $H$ 的单位元 $1_H$。
2. 证明思路：证明的关键是利用单位元的性质 $1 \cdot 1 = 1$ 和同态的结构保持性质。
3. 证明步骤:
   • 在源群 $G$ 中，我们有 $1_G \cdot 1_G = 1_G$。
   • 将等式两边用 $f$ 映射到 $H$ 中，得到 $f(1_G \cdot 1_G) = f(1_G)$。
   • 因为 $f$ 是同态，所以 LHS 可以展开：$f(1_G \cdot 1_G) = f(1_G) \cdot f(1_G)$。
   • 于是我们得到等式：$f(1_G) \cdot f(1_G) = f(1_G)$。这个等式现在完全在群 $H$ 中。
   • 在群 $H$ 中，我们可以使用消去律。等式两边同时右乘 $f(1_G)$ 的逆元 $(f(1_G))^{-1}$。
   • $(f(1_G) \cdot f(1_G)) \cdot (f(1_G))^{-1} = f(1_G) \cdot (f(1_G))^{-1}$。
   • $f(1_G) \cdot (f(1_G) \cdot (f(1_G))^{-1}) = 1_H$。
   • $f(1_G) \cdot 1_H = 1_H$。
   • $f(1_G) = 1_H$。
   • 证明完毕。

性质 (ii): 逆元的像等于像的逆元

1. 陈述：$f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$。对一个元素先求逆再映射，和先映射再求逆，结果是一样的。
2. 证明思路：证明的关键是利用逆元的定义 $g \cdot g^{-1} = 1_G$ 以及刚刚证明的性质 (i)。
3. 证明步骤:
   • 在源群 $G$ 中，我们有 $g \cdot g^{-1} = 1_G$。
   • 将等式两边用 $f$ 映射到 $H$ 中：$f(g \cdot g^{-1}) = f(1_G)$。
   • 根据性质 (i)，RHS $f(1_G) = 1_H$。
   • 根据同态定义，LHS $f(g \cdot g^{-1}) = f(g) \cdot f(g^{-1})$。
   • 于是我们得到等式：$f(g) \cdot f(g^{-1}) = 1_H$。这个等式在群 $H$ 中。
   • 根据群 $H$ 中逆元的唯一定义，如果 $a \cdot b = 1_H$，那么 $b$ 就是 $a$ 的逆元，即 $b = a^{-1}$。
   • 在我们的等式中，$a$ 对应 $f(g)$，$b$ 对应 $f(g^{-1})$。
   • 因此，我们必然有 $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$。
   • 证明完毕。

这段话是对刚刚证明的命题 1.1.4 的一个回顾和印证。它指出，我们在线性代数和数学分析中早已熟知的很多公式，其实就是这个抽象的群论命题的具体表现。

1. 回顾行列式的例子：
   • 同态: $\det: (GL_n(\mathbb{R}), \times) \rightarrow (\mathbb{R}^*, \times)$。
   • 命题性质 (i): $f(1_G) = 1_H$。
   • $G$ 的单位元 $1_G$ 是单位矩阵 $I$。
   • $H$ 的单位元 $1_H$ 是实数 1。
   • 套用命题，我们应该有 $\det(I)=1$。这正是我们在线性代数中学到的一个基本事实：单位矩阵的行列式等于1。
   • 命题性质 (ii): $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$。
   • $G$ 中元素 $A$ 的逆元是 $A^{-1}$。
   • $H$ 中元素 $\det(A)$ 的逆元是 $(\det(A))^{-1} = 1/\det(A)$。
   • 套用命题，我们应该有 $\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}$。这也正是我们在线性代数中学到的另一个重要公式：一个矩阵的逆的行列式，等于其行列式的倒数。
2. 回顾指数函数的例子：
   • 同态: $f(z)=e^z$ from $(\mathbb{C}, +)$ to $(\mathbb{C}^*, \times)$。
   • 命题性质 (i): $f(1_G) = 1_H$。
   • $G$ 的单位元 $1_G$ (加法单位元) 是 0。
   • $H$ 的单位元 $1_H$ (乘法单位元) 是 1。
   • 套用命题，我们应该有 $f(0)=1$，即 $e^0=1$。这是指数函数最基本的性质之一。
   • 命题性质 (ii): $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$。
   • $G$ 中元素 $z$ 的逆元 (加法逆元) 是 $-z$。
   • $H$ 中元素 $e^z$ 的逆元 (乘法逆元) 是 $(e^z)^{-1} = 1/e^z$。
   • 套用命题，我们应该有 $f(-z) = (f(z))^{-1}$，即 $e^{-z} = 1/e^z$。这也是指数函数的一个基本性质。

这个命题讨论的是同态的一个重要性质：复合封闭性。即，同态这种“结构保持”的性质，在函数复合这种操作下是保持的。

1. 场景设置：
   • 我们有三个群 $G_1, G_2, G_3$。
   • 有一个从 $G_1$到$G_2$的同态 $f_1$。
   • 有一个从 $G_2$到$G_3$的同态 $f_2$。
   • 我们可以构造一个复合函数 $f_2 \circ f_1$，它是一个从 $G_1$ 直接到 $G_3$ 的函数，其定义为 $(f_2 \circ f_1)(g) = f_2(f_1(g))$。
2. 命题陈述：这个新的复合函数 $f_2 \circ f_1$ 也是一个同态。
3. 证明思路：直接利用 $f_1$ 和 $f_2$ 各自的同态性质，来验证 $f_2 \circ f_1$ 是否满足同态定义。
4. 证明步骤：
   • 我们需要验证对于任意 $g, h \in G_1$，是否有 $(f_2 \circ f_1)(gh) = (f_2 \circ f_1)(g) \cdot (f_2 \circ f_1)(h)$。这里的 · 代表 $G_3$ 中的运算。
   • LHS:
   • $(f_2 \circ f_1)(gh) = f_2(f_1(gh))$ (根据复合函数定义)
   • 因为 $f_1$ 是同态，所以 $f_1(gh) = f_1(g) f_1(h)$。这里的乘积是在 $G_2$ 中。
   • 所以 LHS $= f_2( f_1(g) f_1(h) )$。
   • RHS:
   • $(f_2 \circ f_1)(g) \cdot (f_2 \circ f_1)(h) = f_2(f_1(g)) \cdot f_2(f_1(h))$ (根据复合函数定义)。这里的 · 是 $G_3$ 中的运算。
   • 连接LHS和RHS:
   • 我们来看 LHS 的结果 $f_2( f_1(g) f_1(h) )$。
   • 令 $x = f_1(g)$ 和 $y = f_1(h)$。这两个都是 $G_2$ 中的元素。
   • 那么 LHS 变成了 $f_2(xy)$。
   • 因为 $f_2: G_2 \rightarrow G_3$ 是同态，所以 $f_2(xy) = f_2(x) f_2(y)$。
   • 把 $x, y$ 代换回来，就是 $f_2(f_1(g)) \cdot f_2(f_1(h))$。
   • 这恰好就是我们计算出的 RHS！
   • 结论: LHS = RHS，所以 $f_2 \circ f_1$ 是一个同态。

这段话是命题 1.1.5 的两个直接应用和推论，说明了如何通过复合和限制来构造新的同态。

第一部分：同态与包含映射的复合

1. 场景：
   • 我们有一个同态 $f: G_1 \rightarrow H_2$。这里，映射的目标被明确限定在一个子群 $H_2$ 中。
   • $H_2$ 本身是另一个更大的群 $G_2$ 的一个子群 ($H_2 \leq G_2$)。
   • $i: H_2 \rightarrow G_2$ 是从子群到母群的包含映射 ($i(h)=h$)。根据例 1.1.2(2)，我们知道 $i$ 是一个同态。
2. 应用命题 1.1.5：
   • 我们现在有两个同态：$f: G_1 \rightarrow H_2$ 和 $i: H_2 \rightarrow G_2$。
   • 根据命题 1.1.5，它们的复合 $i \circ f$ 是一个从 $G_1$ 到 $G_2$ 的同态。
   • $(i \circ f)(g) = i(f(g)) = f(g)$。
   • 这意味着，如果一个函数 $f$ 映射到某个子群 $H_2$ 是一个同态，那么把这个函数的陪域“扩大”到整个母群 $G_2$，它仍然是一个同态。这看起来是显而易见的，但命题 1.1.5 给予了它严格的理论保证。

第二部分：同态在子群上的限制

1. 场景：
   • 我们有一个同态 $f: G \rightarrow H$。
   • 我们有源群 $G$ 的一个子群 $G' \leq G$。
2. 构造新函数：
   • 我们可以把函数 $f$ 的定义域“缩小”，只考虑它在子群 $G'$ 上的行为。这个新函数被称为 $f$ 在 $G'$ 上的限制 (Restriction)，记作 $f|_{G'}$。
   • $f|_{G'}: G' \rightarrow H$ 定义为 $f|_{G'}(g') = f(g')$ 对于所有 $g' \in G'$。
3. 结论：这个限制函数 $f|_{G'}$ 也是一个同态。
   • 证明:
   • 我们需要验证对于任意 $g'_1, g'_2 \in G'$，是否有 $f|_{G'}(g'_1 g'_2) = f|_{G'}(g'_1) f|_{G'}(g'_2)$。
   • LHS: $f|_{G'}(g'_1 g'_2) = f(g'_1 g'_2)$ (根据限制的定义)。
   • RHS: $f|_{G'}(g'_1) f|_{G'}(g'_2) = f(g'_1)f(g'_2)$ (根据限制的定义)。
   • 因为 $f$ 本身是 $G$ 上的同态，所以 $f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)$ 对 $G$ 中所有元素都成立，当然也对 $G'$ 中的元素 $g'_1, g'_2$ 成立。
   • 所以 $f(g'_1 g'_2) = f(g'_1)f(g'_2)$。
   • 因此 LHS = RHS。限制函数是同态。
   • 另一种证明思路: 限制可以看作是与包含映射的复合。令 $j: G' \rightarrow G$ 为包含映射（同态）。那么 $f|_{G'} = f \circ j$。根据命题 1.1.5，同态的复合是同态。

这个命题是同态理论的基石之一。它描述了同态如何与子群结构进行交互，结论是：同态既保持子群结构（向前），也反映子群结构（向后）。

Part (i): 子群的像是一个子群

1. 陈述：给定一个同态 $f: G_1 \rightarrow G_2$。如果你从源群 $G_1$ 中取出一个子群 $H_1$，然后把 $H_1$ 里的所有元素都通过 $f$ 映射到 $G_2$ 中，那么这些映射结果构成的集合，即像集 $f(H_1)$，它本身也是 $G_2$ 的一个子群。
2. 符号解释：
   • $H_1 \leq G_1$：表示 $H_1$ 是 $G_1$ 的一个子群。
   • $f(H_1)$：这是 $H_1$ 的像集，定义为 $\{f(h) \mid h \in H_1\}$。
   • $f(H_1) \leq G_2$：这是我们要证明的结论，即 $f(H_1)$ 是 $G_2$ 的一个子群。
3. 证明思路：要证明一个集合是子群，我们需要验证子群三条件：

a. 非空 (通常通过证明单位元在其中来满足)。

b. 运算封闭性：集合中任意两个元素运算，结果仍在该集合中。

c. 逆元封闭性：集合中任意一个元素的逆元，仍在该集合中。

(注：教材中将非空和单位元合并检验)

1. 证明步骤 (i)：
   • 单位元:
   • 因为 $H_1$ 是子群，所以 $G_1$ 的单位元 $1_{G_1}$ 必然在 $H_1$ 中。
   • 因此，$f(1_{G_1})$ 必然在像集 $f(H_1)$ 中。
   • 根据命题 1.1.4，我们知道同态映单位元到单位元，即 $f(1_{G_1}) = 1_{G_2}$。
   • 所以，$1_{G_2} \in f(H_1)$。$f(H_1)$ 非空且包含单位元。
   • 运算封闭性:
   • 从 $f(H_1)$ 中任取两个元素，叫它们 $y_1, y_2$。
   • 根据像集的定义，它们必然可以写成 $y_1=f(h_1)$ 和 $y_2=f(h_2)$ 的形式，其中 $h_1, h_2 \in H_1$。
   • 我们需要证明它们的积 $y_1 y_2$ 也在 $f(H_1)$ 中。
   • $y_1 y_2 = f(h_1) f(h_2)$。
   • 因为 $f$ 是同态，所以 $f(h_1) f(h_2) = f(h_1 h_2)$。
   • 因为 $H_1$ 是子群，所以它对运算是封闭的，故 $h_1 h_2 \in H_1$。
   • 既然 $h_1 h_2 \in H_1$，那么它的像 $f(h_1 h_2)$ 根据定义就属于 $f(H_1)$。
   • 所以 $y_1 y_2 \in f(H_1)$。封闭性得证。
   • 逆元封闭性:
   • 从 $f(H_1)$ 中任取一个元素 $y$，它可以写成 $y=f(h)$，其中 $h \in H_1$。
   • 我们需要证明它的逆元 $y^{-1}$ 也在 $f(H_1)$ 中。
   • $y^{-1} = (f(h))^{-1}$。
   • 根据命题 1.1.4，我们知道同态保持逆元，即 $(f(h))^{-1} = f(h^{-1})$。
   • 因为 $H_1$ 是子群，所以它对逆元是封闭的，故 $h^{-1} \in H_1$。
   • 既然 $h^{-1} \in H_1$，那么它的像 $f(h^{-1})$ 根据定义就属于 $f(H_1)$。
   • 所以 $y^{-1} \in f(H_1)$。逆元封闭性得证。
   • 结论：$f(H_1)$ 满足子群的所有条件，因此 $f(H_1) \leq G_2$。

Part (ii): 子群的原像是一个子群

1. 陈述：给定一个同态 $f: G_1 \rightarrow G_2$。如果你从目标群 $G_2$ 中取出一个子群 $H_2$，然后找到源群 $G_1$ 中所有能映射到 $H_2$ 内部的元素，那么这些元素构成的集合，即原像集 $f^{-1}(H_2)$，它本身也是 $G_1$ 的一个子群。
2. 符号解释：
   • $H_2 \leq G_2$：表示 $H_2$ 是 $G_2$ 的一个子群。
   • $f^{-1}(H_2)$：这是 $H_2$ 的原像集，定义为 $\{g \in G_1 \mid f(g) \in H_2\}$。
   • $f^{-1}(H_2) \leq G_1$：这是我们要证明的结论。
3. 证明步骤 (ii)：同样检验子群三条件。
   • 单位元:
   • 我们需要检查 $1_{G_1}$ 是否在 $f^{-1}(H_2)$ 中。
   • 这等价于检查 $f(1_{G_1})$ 是否在 $H_2$ 中。
   • 我们知道 $f(1_{G_1}) = 1_{G_2}$。
   • 因为 $H_2$ 是 $G_2$ 的子群，所以 $1_{G_2} \in H_2$。
   • 所以 $f(1_{G_1}) \in H_2$ 成立，即 $1_{G_1} \in f^{-1}(H_2)$。
   • 运算封闭性:
   • 从 $f^{-1}(H_2)$ 中任取两个元素，叫它们 $g_1, g_2$。
   • 根据原像集的定义，这意味着 $f(g_1) \in H_2$ 并且 $f(g_2) \in H_2$。
   • 我们需要证明它们的积 $g_1 g_2$ 也在 $f^{-1}(H_2)$ 中，即证明 $f(g_1 g_2) \in H_2$。
   • 因为 $f$ 是同态，所以 $f(g_1 g_2) = f(g_1) f(g_2)$。
   • 我们已知 $f(g_1)$ 和 $f(g_2)$ 都在子群 $H_2$ 中，而 $H_2$ 对运算是封闭的。
   • 所以它们的积 $f(g_1) f(g_2)$ 必然也在 $H_2$ 中。
   • 所以 $f(g_1 g_2) \in H_2$ 成立，即 $g_1 g_2 \in f^{-1}(H_2)$。封闭性得证。
   • 逆元封闭性:
   • 从 $f^{-1}(H_2)$ 中任取一个元素 $g$。这意味着 $f(g) \in H_2$。
   • 我们需要证明它的逆元 $g^{-1}$ 也在 $f^{-1}(H_2)$ 中，即证明 $f(g^{-1}) \in H_2$。
   • 因为 $f$ 是同态，所以 $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$。
   • 我们已知 $f(g) \in H_2$，而 $H_2$ 是子群，对逆元是封闭的。
   • 所以 $(f(g))^{-1}$ 必然也在 $H_2$ 中。
   • 所以 $f(g^{-1}) \in H_2$ 成立，即 $g^{-1} \in f^{-1}(H_2)$。逆元封闭性得证。
   • 结论：$f^{-1}(H_2)$ 满足子群的所有条件，因此 $f^{-1}(H_2) \leq G_1$。

这部分内容是命题 1.2.1 的详细证明，它严格地按照数学逻辑，验证了“子群的像”和“子群的原像”为什么满足子群的三个条件。这部分在之前的解释中已经作为“证明步骤”详细阐述过了，这里我们将其作为原文，并再次梳理其逻辑。

对证明(i)的梳理：证明 $f(H_1)$ 是子群

• 目标：证明 $f(H_1)$ 满足子群三条件。
• 逻辑链：

1. 证明单位元在其中：
   • $1_{G_1} \in H_1$ (因为 $H_1$ 是子群) $\rightarrow$ $f(1_{G_1}) \in f(H_1)$ (根据像的定义)。
   • $f(1_{G_1}) = 1_{G_2}$ (根据同态性质)。
   • $\rightarrow 1_{G_2} \in f(H_1)$。得证。
2. 证明运算封闭性：
   • 任取 $y_1, y_2 \in f(H_1)$ $\rightarrow$ 存在 $h_1, h_2 \in H_1$ 使得 $y_1=f(h_1), y_2=f(h_2)$ (像的定义)。
   • $y_1 y_2 = f(h_1)f(h_2) = f(h_1h_2)$ (同态性质)。
   • $h_1, h_2 \in H_1 \rightarrow h_1h_2 \in H_1$ (因为 $H_1$ 是子群)。
   • $h_1h_2 \in H_1 \rightarrow f(h_1h_2) \in f(H_1)$ (像的定义)。
   • $\rightarrow y_1y_2 \in f(H_1)$。得证。
3. 证明逆元封闭性：
   • 任取 $y \in f(H_1)$ $\rightarrow$ 存在 $h \in H_1$ 使得 $y=f(h)$。
   • $y^{-1} = (f(h))^{-1} = f(h^{-1})$ (同态性质)。
   • $h \in H_1 \rightarrow h^{-1} \in H_1$ (因为 $H_1$ 是子群)。
   • $h^{-1} \in H_1 \rightarrow f(h^{-1}) \in f(H_1)$ (像的定义)。
   • $\rightarrow y^{-1} \in f(H_1)$。得证。
   • 核心：证明的每一步都紧密地依赖于子群的定义、同态的定义以及像集的定义。

对证明(ii)的梳理：证明 $f^{-1}(H_2)$ 是子群

• 目标：证明 $f^{-1}(H_2)$ 满足子群三条件。
• 逻辑链：

1. 证明单位元在其中：
   • 要证 $1_{G_1} \in f^{-1}(H_2)$ $\leftrightarrow$ 需证 $f(1_{G_1}) \in H_2$ (原像定义)。
   • $f(1_{G_1})=1_{G_2}$ (同态性质)。
   • $1_{G_2} \in H_2$ (因为 $H_2$ 是子群)。
   • $\rightarrow$ 条件满足。得证。
2. 证明运算封闭性：
   • 任取 $g_1, g_2 \in f^{-1}(H_2)$ $\rightarrow$ $f(g_1) \in H_2$ 且 $f(g_2) \in H_2$ (原像定义)。
   • 要证 $g_1g_2 \in f^{-1}(H_2)$ $\leftrightarrow$ 需证 $f(g_1g_2) \in H_2$。
   • $f(g_1g_2) = f(g_1)f(g_2)$ (同态性质)。
   • $f(g_1) \in H_2, f(g_2) \in H_2 \rightarrow f(g_1)f(g_2) \in H_2$ (因为 $H_2$ 是子群)。
   • $\rightarrow$ 条件满足。得证。
3. 证明逆元封闭性：
   • 任取 $g \in f^{-1}(H_2)$ $\rightarrow$ $f(g) \in H_2$。
   • 要证 $g^{-1} \in f^{-1}(H_2)$ $\leftrightarrow$ 需证 $f(g^{-1}) \in H_2$。
   • $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$ (同态性质)。
   • $f(g) \in H_2 \rightarrow (f(g))^{-1} \in H_2$ (因为 $H_2$ 是子群)。
   • $\rightarrow$ 条件满足。得证。
   • 核心：证明的每一步都紧密地依赖于子群的定义、同态的定义以及原像集的定义。

这个定义引入了与同态相关的两个最核心、最重要的概念：像 (Image) 和 核 (Kernel)。

1. 像 (Image)

• 定义：同态 $f: G_1 \rightarrow G_2$ 的像，是指源群 $G_1$ 中所有元素在 $f$ 映射下的输出值的集合。
• 符号：$\mathrm{Im}(f)$ 或 $f(G_1)$。
• 数学语言：$\mathrm{Im}(f) = \{f(g) \mid g \in G_1\}$。
• 与命题 1.2.1 的关系：源群 $G_1$ 本身是自己的一个子群 ($G_1 \leq G_1$)。根据命题 1.2.1(i)，子群的像是子群，所以 $f(G_1)$ 必然是目标群 $G_2$ 的一个子群。定义中直接引用了这个结论。
• 直观理解：像是同态 $f$ 实际“击中”的区域。它告诉我们这个同态的“势力范围”有多大。如果 $\mathrm{Im}(f) = G_2$，说明 $f$ 是满射的。

2. 核 (Kernel)

• 定义：同态 $f: G_1 \rightarrow G_2$ 的核，是指源群 $G_1$ 中所有被 $f$ 映射到目标群 $G_2$ 单位元 $1_{G_2}$ 的元素的集合。
• 符号：$\mathrm{Ker}(f)$。
• 数学语言：$\mathrm{Ker}(f) = \{g \in G_1 \mid f(g) = 1_{G_2}\}$。
• 与命题 1.2.1 的关系：目标群 $G_2$ 的单位元构成的集合 $\{1_{G_2}\}$ 是 $G_2$ 的一个（最简单的）子群，称为平凡子群。核就是这个平凡子群的原像集 $f^{-1}(\{1_{G_2}\})$。根据命题 1.2.1(ii)，子群的原像是子群，所以 $\mathrm{Ker}(f)$ 必然是源群 $G_1$ 的一个子群。
• 直观理解：核是所有在映射中“消失”或“变得平凡”的元素的集合。它衡量了同态“压缩”信息的程度。如果核只包含单位元 $\mathrm{Ker}(f) = \{1_{G_1}\}$，说明没有非单位元元素在映射中“消失”，这意味着 $f$ 是单射的（后面会证明）。核越大，说明有越多不同的元素被映到了同一个单位元上，映射的“多对一”程度就越严重。

3. 加法群的表示

• 定义中特别提醒，如果目标群 $G_2$ 是加法群，它的单位元是 0。
• 因此，在这种情况下，核的定义变为 $\mathrm{Ker}(f) = \{g \in G_1 \mid f(g) = 0\}$。

这个部分的目标是重新审视之前在 例 1.1.2 中列举的所有同态例子，并为它们中的每一个都明确地找出其核 (Kernel) 和像 (Image)。这是将抽象定义应用到具体实例的关键练习，有助于深刻理解核与像的含义。

• 场景: $f$ 是一个同构 (isomorphism)。回顾一下，同构 = 同态 + 双射 (单射 + 满射)。
• 计算像 (Image):
• $\mathrm{Im}(f)$ 是 $f$ 的输出集合。
• 因为同构要求 $f$ 必须是满射 (surjective)，满射的定义就是像集等于陪域。
• 所以，$\mathrm{Im}(f) = G_2$。
• 计算核 (Kernel):
• $\mathrm{Ker}(f)$ 是所有被映射到单位元 $1_{G_2}$ 的元素的集合。
• 因为同构要求 $f$ 必须是单射 (injective)，单射意味着不同的输入必须有不同的输出。
• 我们知道 $f(1_{G_1}) = 1_{G_2}$ (同态的基本性质)。
• 如果还有其他某个元素 $g \neq 1_{G_1}$ 也满足 $f(g) = 1_{G_2}$，那么 $f(g) = f(1_{G_1})$ 但 $g \neq 1_{G_1}$，这就与 $f$ 是单射的这个前提相矛盾。
• 因此，唯一能被映射到单位元的元素，只能是源群自己的单位元。
• 所以，$\mathrm{Ker}(f) = \{1_{G_1}\}$ (只包含单位元的平凡子群)。
• 结论: 一个映射是同构，等价于它是一个同态，且其核是平凡的，其像是整个目标群。

• 场景: $i: H \rightarrow G$ 是子群 $H$ 到母群 $G$ 的包含映射，$i(h)=h$。
• 计算像 (Image):
• $\mathrm{Im}(i) = \{i(h) \mid h \in H\} = \{h \mid h \in H\} = H$。
• 像就是子群 $H$ 本身（在 $G$ 的视角下看）。
• 计算核 (Kernel):
• $\mathrm{Ker}(i) = \{h \in H \mid i(h) = 1_G\}$。
• $i(h) = h$，所以需要满足 $h = 1_G$。
• 但是，核必须是源群 $H$ 的子集，所以这个元素必须也在 $H$ 中。单位元 $1_G$ 同时也是子群 $H$ 的单位元 $1_H$。
• 所以，唯一满足条件的元素就是单位元。
• $\mathrm{Ker}(i) = \{1_H\}$。
• 注: 这与(1)的结论一致，因为包含映射是单射的。一个同态是单射等价于其核是平凡的。

• 场景: $f$ 是平凡同态，即对所有 $g \in G$，$f(g) = 1_H$。
• 计算像 (Image):
• $\mathrm{Im}(f)$ 是所有输出值的集合。
• 因为唯一的输出值就是 $1_H$。
• 所以，$\mathrm{Im}(f) = \{1_H\}$，即由目标群单位元构成的平凡子群。
• 计算核 (Kernel):
• $\mathrm{Ker}(f)$ 是所有满足 $f(g)=1_H$ 的 $g$ 的集合。
• 根据平凡同态的定义，所有 $g \in G$ 都满足这个条件。
• 所以，$\mathrm{Ker}(f) = G$，即整个源群。
• 等价关系:
• 如果一个同态的核是整个源群 $G$，那意味着 $G$ 中所有元素都被映到单位元，这正是平凡同态的定义。所以这个关系是双向的。

• 场景: 行列式同态。
• 计算像 (Image):
• 我们在例 1.1.2(4) 中已经论证过，对于任何非零实数 $t$，总能找到一个矩阵 $A$ 使得 $\det(A)=t$。
• 这意味着行列式映射是满射的。
• 因此，$\mathrm{Im}(\det) = \mathbb{R}^*$。
• 计算核 (Kernel):
• $\mathrm{Ker}(\det) = \{A \in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1\}$。这里的1是目标群 $\mathbb{R}^*$ 的单位元。
• 所有行列式为1的 $n \times n$ 矩阵的集合，在线性代数中有一个专门的名字，叫做n阶实数特殊线性群 (Special Linear Group)，记作 $SL_n(\mathbb{R})$。
• 所以，$\mathrm{Ker}(\det) = SL_n(\mathbb{R})$。这个核本身是一个非常重要的群。

• 复指数 $f(z)=e^z$ from $(\mathbb{C},+)$ to $(\mathbb{C}^*, \times)$:
• 像: 我们在例 1.1.2(5) 中论证过复指数函数是满射的。所以 $\mathrm{Im}(f) = \mathbb{C}^*$。
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{z \in \mathbb{C} \mid e^z = 1\}$。这里的1是目标群 $(\mathbb{C}^*, \times)$ 的单位元。
• 设 $z=x+iy$。$e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y) = 1$。
• 这意味着模 $e^x=1$，所以 $x=0$。
• 并且 $\cos y + i \sin y = 1$，这意味着 $\cos y = 1, \sin y = 0$。
• 满足这个条件的角度 $y$ 是 $2\pi$ 的所有整数倍，即 $y = 2n\pi$ for $n \in \mathbb{Z}$。
• 所以 $z = 0 + i(2n\pi) = 2n\pi i$。
• $\mathrm{Ker}(f) = \{..., -4\pi i, -2\pi i, 0, 2\pi i, 4\pi i, ...\}$。这个集合是在复平面虚轴上等距分布的点，它是在加法下由 $2\pi i$ 生成的循环子群，记作 $\langle 2\pi i \rangle$。
• 实指数 $g(x)=e^x$ from $(\mathbb{R},+)$ to $(\mathbb{R}^*, \times)$:
• 像: 我们知道 $e^x$ 的值域永远是正实数。所以 $\mathrm{Im}(g) = \mathbb{R}^{>0}$。
• 核: $\mathrm{Ker}(g) = \{x \in \mathbb{R} \mid e^x = 1\}$。解得 $x=0$。所以 $\mathrm{Ker}(g)=\{0\}$。这是源群 $(\mathbb{R},+)$ 的平凡子群。因为核是平凡的，所以实指数函数是单射的。

• 场景: $f(z)=|z|$ from $(\mathbb{C}^*, \times)$ to $(\mathbb{R}^*, \times)$。
• 像: 复数的模 $|z|$ 总是正实数（因为 $z \neq 0$）。所以 $\mathrm{Im}(f) = \mathbb{R}^{>0}$，正实数乘法子群。
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{z \in \mathbb{C}^* \mid |z|=1\}$。这里的1是目标群 $(\mathbb{R}^*, \times)$ 的单位元。
• 所有模为1的非零复数的集合，这正是单位圆群 $U(1)$ 的定义。
• 所以 $\mathrm{Ker}(f) = U(1)$。

• 场景: $\mathrm{sign}$ from $(\mathbb{R}^*, \times)$ to $(\{+1, -1\}, \times)$。
• 像: 符号函数的输出只有两种可能：+1 和 -1。只要源群 $\mathbb{R}^*$ 中既有正数也有负数，这两个值就都能取到。所以 $\mathrm{Im}(\mathrm{sign}) = \{+1, -1\}$，是整个目标群。该同态是满射的。
• 核: $\mathrm{Ker}(\mathrm{sign}) = \{x \in \mathbb{R}^* \mid \mathrm{sign}(x)=1\}$。这里的1是目标群 $\{+1, -1\}$ 的单位元。
• $\mathrm{sign}(x)=1$ 意味着 $x$ 是正数。
• 所以 $\mathrm{Ker}(\mathrm{sign}) = \mathbb{R}^{>0}$，所有正实数构成的乘法子群。

• 场景: $F: (\mathbb{R}^n, +) \rightarrow (\mathbb{R}^m, +)$ 是线性映射。
• 像: $\mathrm{Im}(F) = \{F(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\}$。在线性代数中，这被称为列空间或像空间 (Column Space or Image Space) of $F$ (或矩阵A)。它是 $\mathbb{R}^m$ 的一个子空间。
• 核: $\mathrm{Ker}(F) = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \mid F(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}$。这里的 $\mathbf{0}$ 是目标群 $(\mathbb{R}^m, +)$ 的单位元。
• 这个定义与线性代数中核或零空间 (Kernel or Null Space) 的定义完全一样。
• 它也是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间。
• 结论: 群论中的“核”的概念，在线性代数的向量空间范畴中，就是我们早已熟知的“核”或“零空间”。这再次体现了概念的统一性。

这个例子分析了幂函数同态的核与像，情况比较多样。

• $f(t)=t^n$ from $(\mathbb{Q}^*, \times)$ to $(\mathbb{Q}^*, \times)$:
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{t \in \mathbb{Q}^* \mid t^n=1\}$。
• 当 $n$ 是奇数，唯一的有理数解是 $t=1$。$\mathrm{Ker}(f)=\{1\}$。
• 当 $n$ 是偶数，有理数解是 $t=1$ 和 $t=-1$。$\mathrm{Ker}(f)=\{1, -1\}$。
• 像: $\mathrm{Im}(f) = \{t^n \mid t \in \mathbb{Q}^*\}$。这个集合不容易用简单的符号描述，就是所有有理数的n次幂。

• $f(t)=t^n$ from $(\mathbb{R}^*, \times)$ to $(\mathbb{R}^*, \times)$:
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{t \in \mathbb{R}^* \mid t^n=1\}$。和有理数情况一样，奇数n时是 $\{1\}$，偶数n时是 $\{1, -1\}$。
• 像:
• 当 $n$ 是奇数，任何实数都有唯一的奇次根，所以 $f$ 是满射的。$\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}^*$。
• 当 $n$ 是偶数，输出值永远是正数。$\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}^{>0}$。

• $f(z)=z^n$ from $(\mathbb{C}^*, \times)$ to $(\mathbb{C}^*, \times)$ (for $n>0$):
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{z \in \mathbb{C}^* \mid z^n=1\}$。
• 方程 $z^n=1$ 在复数域有 $n$ 个不同的解，它们构成了n次单位根的集合，记作 $\mu_n$。这些点在复平面单位圆上构成一个正n边形。
• 所以 $\mathrm{Ker}(f) = \mu_n$。这是一个包含 $n$ 个元素的循环群。
• 像: 复分析的结论是，任何一个非零复数都有n个n次根。这意味着对于任何 $w \in \mathbb{C}^*$，方程 $z^n=w$ 都有解。所以 $f$ 是满射的。$\mathrm{Im}(f)=\mathbb{C}^*$。

• $f(z)=z^n$ 的 $n \le 0$ 情况:
• n=0: $f(z)=z^0=1$。这是平凡同态。$\mathrm{Ker}(f)=\mathbb{C}^*$, $\mathrm{Im}(f)=\{1\}$。
• n<0: 设 $n=-m$ for $m>0$。$f(z)=z^{-m}=1/z^m$。
• 核: $1/z^m=1 \implies z^m=1 \implies z \in \mu_m$。$\mathrm{Ker}(f)=\mu_m$。
• 像: 由于 $z \mapsto z^m$ 是满射，且 $w \mapsto 1/w$ 也是满射，所以复合起来还是满射。$\mathrm{Im}(f)=\mathbb{C}^*$。

• 一般阿贝尔群 $f(g)=g^n$:
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{g \in G \mid g^n=1\}$。这个集合被称为 $G$ 的 n-挠子群 (n-torsion subgroup)，即所有阶是n的因子的元素构成的集合。
• 像: $\mathrm{Im}(f) = \{g^n \mid g \in G\}$。所有n次幂元素构成的子群。

• 场景: $f: (\mathbb{Z},+) \rightarrow G$ 定义为 $f(a)=g^a$。
• 像: $\mathrm{Im}(f)=\{g^a \mid a \in \mathbb{Z}\}$。这正是由 $g$ 生成的循环子群 $\langle g \rangle$ 的定义。
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{a \in \mathbb{Z} \mid g^a=1_G\}$。这里的1是目标群G的单位元。
• 如果 $g$ 的阶是无限的：这意味着只有当指数为0时，$g^a$ 才等于1。所以 $\mathrm{Ker}(f) = \{0\}$。这是源群 $(\mathbb{Z},+)$ 的平凡子群。
• 如果 $g$ 的阶是有限的，为 $n > 0$：这意味着 $g^a=1$ 当且仅当 $a$ 是 $n$ 的整数倍。所以 $\mathrm{Ker}(f) = \{..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...\}$。这个集合是由 $n$ 生成的 $\mathbb{Z}$ 的子群，记作 $n\mathbb{Z}$ 或 $\langle n \rangle$。
• 特例 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ defined by $f(a)=[a]$:
• 这是一个加法群的例子，同态是 $f(a)=a \cdot [1] = [a]$。
• 像: 像集是 $\{[a] \mid a \in \mathbb{Z}\}$，这显然是整个 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。所以是满射。
• 核: $\mathrm{Ker}(f) = \{a \in \mathbb{Z} \mid [a]=[0]\}$。$[a]=[0]$ 意味着 $a$ 是 $n$ 的倍数。所以 $\mathrm{Ker}(f)=n\mathbb{Z}=\langle n \rangle$。

• 场景: 投影映射 $\pi_1: G_1 \times G_2 \rightarrow G_1$。
• 像: 对于任何 $g_1 \in G_1$，我们总可以找到源群中的元素 $(g_1, 1_{G_2})$，使得 $\pi_1(g_1, 1_{G_2})=g_1$。所以 $\pi_1$ 是满射的。$\mathrm{Im}(\pi_1)=G_1$。
• **核
• 核: $\mathrm{Ker}(\pi_1) = \{(g_1, g_2) \in G_1 \times G_2 \mid \pi_1(g_1, g_2) = 1_{G_1}\}$。
• $\pi_1(g_1, g_2) = g_1$。所以条件是 $g_1 = 1_{G_1}$。
• 元素 $(g_1, g_2)$ 的第二个分量 $g_2$ 可以是 $G_2$ 中的任何元素。
• 所以，$\mathrm{Ker}(\pi_1) = \{(1_{G_1}, g_2) \mid g_2 \in G_2\}$。这个集合可以记作 $\{1\} \times G_2$。它同构于 $G_2$ 本身。
• 对于 $\pi_2: G_1 \times G_2 \rightarrow G_2$:
• 像: 同理，是满射的。$\mathrm{Im}(\pi_2) = G_2$。
• 核: $\mathrm{Ker}(\pi_2) = \{(g_1, g_2) \mid \pi_2(g_1, g_2) = 1_{G_2}\}$。条件是 $g_2 = 1_{G_2}$。
• 所以 $\mathrm{Ker}(\pi_2) = \{(g_1, 1_{G_2}) \mid g_1 \in G_1\} = G_1 \times \{1\}$。

• 场景: 置换矩阵同态 $P: S_n \rightarrow GL_n(\mathbb{R})$。
• 像: $\mathrm{Im}(P) = \{P(\sigma) \mid \sigma \in S_n\}$。
• 这个集合就是所有 $n \times n$ 置换矩阵构成的集合。
• 根据命题 1.2.1(i)，这个集合是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群。
• 核: $\mathrm{Ker}(P) = \{\sigma \in S_n \mid P(\sigma) = I\}$。这里的 $I$ 是目标群 $GL_n(\mathbb{R})$ 的单位元，即单位矩阵。
• $P(\sigma) = I$ 意味着 $P(\sigma)$ 作用在任何基向量 $\mathbf{e}_i$ 上都得到其自身：$P(\sigma)(\mathbf{e}_i) = \mathbf{e}_i$。
• 而根据 $P$ 的定义，$P(\sigma)(\mathbf{e}_i) = \mathbf{e}_{\sigma(i)}$。
• 所以我们必须有 $\mathbf{e}_{\sigma(i)} = \mathbf{e}_i$ 对所有 $i=1, ..., n$ 成立。
• 这意味着 $\sigma(i)=i$ 对所有 $i$ 成立。
• 满足这个条件的置换只有一个，那就是恒等置换 $e$。
• 所以 $\mathrm{Ker}(P) = \{e\}$，是源群 $S_n$ 的平凡子群。
• 关于单射性:
• 因为核是平凡子群 $\{e\}$，根据我们将在命题 1.2.4 中学到的结论，这个同态 $P$ 是单射的。这意味着不同的置换会被映射到不同的置换矩阵。

• 场景: 符号同态 $\varepsilon: S_n \rightarrow \{+1, -1\}$。
• 像: $\mathrm{Im}(\varepsilon)$ 是所有输出值的集合。
• 当 $n \ge 2$ 时，置换群 $S_n$ 中既有偶置换（如恒等置换 $e$），也有奇置换（如对换 $(12)$）。
• $\varepsilon(e) = +1$，$\varepsilon((12)) = -1$。
• 因此，输出集合中既包含+1也包含-1。
• 所以 $\mathrm{Im}(\varepsilon) = \{+1, -1\}$，是整个目标群。该同态是满射的。
• 核: $\mathrm{Ker}(\varepsilon) = \{\sigma \in S_n \mid \varepsilon(\sigma)=1\}$。这里的1是目标群 $\{+1, -1\}$ 的单位元。
• 所有符号为+1的置换，根据定义就是偶置换。
• 所有偶置换构成的集合，被称为交错群 (Alternating Group)，记作 $A_n$。
• 所以，$\mathrm{Ker}(\varepsilon) = A_n$。这个核本身是 $S_n$ 中一个极其重要的子群。

这个命题是同态理论中一个里程碑式的结论。它在同态的代数性质（核）与函数的集合性质（单射）之间建立了一座完美的桥梁。它告诉我们，要判断一个同态是否是“一对一”的，我们不再需要比较任意两个元素 $f(g_1)$ 和 $f(g_2)$，而只需要做一个更简单的检查：看看核里面是不是“干净”，即除了单位元之外是否还有别的元素。

证明 "$\implies$" (如果 $f$ 是单射，那么核是平凡的)

1. 假设: $f: G \rightarrow H$ 是一个单射同态。
2. 目标: 证明 $\mathrm{Ker}(f) = \{1_G\}$。这需要证明两件事：$1_G \in \mathrm{Ker}(f)$ 和 如果 $h \in \mathrm{Ker}(f)$ 那么 $h=1_G$。
3. 步骤:
   • 我们已经知道 $f(1_G)=1_H$，所以 $1_G$ 肯定在核里。
   • 现在，从核中任取一个元素 $h \in \mathrm{Ker}(f)$。
   • 根据核的定义，$f(h) = 1_H$。
   • 我们又知道 $f(1_G) = 1_H$。
   • 所以我们有 $f(h) = f(1_G)$。
   • 现在利用我们的假设：$f$ 是单射的。单射的定义是，如果 $f(a)=f(b)$，那么必然有 $a=b$。
   • 应用这个定义，从 $f(h)=f(1_G)$ 我们可以立即得出 $h=1_G$。
   • 这就证明了，核里的任何元素都必须是单位元。
   • 结论: $\mathrm{Ker}(f) = \{1_G\}$。

证明 "$\Longleftarrow$" (如果核是平凡的，那么 $f$ 是单射)

1. 假设: $\mathrm{Ker}(f) = \{1_G\}$。
2. 目标: 证明 $f$ 是单射。根据单射的定义，我们需要证明：如果 $f(g_1) = f(g_2)$，那么一定有 $g_1 = g_2$。
3. 步骤:
   • 假设我们有两个元素 $g_1, g_2 \in G$ 满足 $f(g_1)=f(g_2)$。
   • 我们的目标是从这个等式推导出 $g_1=g_2$。
   • 在群 $H$ 中，我们可以对等式 $f(g_1)=f(g_2)$ 两边同时左乘 $(f(g_1))^{-1}$。
   • $(f(g_1))^{-1} f(g_2) = 1_H$。
   • 利用同态性质 $(f(g_1))^{-1} = f(g_1^{-1})$ 和 $f(a)f(b)=f(ab)$，LHS 可以改写：
   • $f(g_1^{-1}) f(g_2) = f(g_1^{-1} g_2)$。
   • 所以我们得到了 $f(g_1^{-1} g_2) = 1_H$。
   • 这个等式告诉我们，元素 $g_1^{-1}g_2$ 经过 $f$ 映射后变成了单位元。根据核的定义，这意味着 $g_1^{-1}g_2$ 必须是核的成员。
   • 即 $g_1^{-1}g_2 \in \mathrm{Ker}(f)$。
   • 现在我们利用我们的假设: $\mathrm{Ker}(f) = \{1_G\}$。
   • 这意味着核里只有一个元素，就是单位元 $1_G$。
   • 所以，必然有 $g_1^{-1}g_2 = 1_G$。
   • 两边左乘 $g_1$，得到 $g_1(g_1^{-1}g_2) = g_1 1_G$，即 $g_2 = g_1$。
   • 这就完成了单射的证明。
   • 结论: 如果核是平凡的，那么 $f$ 是单射。

这个注释是对上一个命题证明过程的深入挖掘，它精确地刻画了同态“多对一”的程度和方式。

1. 陈述：两个元素 $g_1, g_2$ 具有相同的像，当且仅当，这两个元素“只差一个核里的元素”。即 $g_2$ 可以通过 $g_1$ 右乘一个核里的元素得到。
2. 证明思路：这个证明几乎就是命题1.2.4证明后半段的翻版，只是不把核限制为 $\{1\}$。
3. 证明 "$\Longleftarrow$" (如果 $g_2 = g_1 k$，那么 $f(g_1)=f(g_2)$)
   • 假设: $g_2 = g_1 k$，其中 $k \in \mathrm{Ker}(f)$。这意味着 $f(k)=1_H$。
   • 计算 $f(g_2)$:
   • $f(g_2) = f(g_1 k)$。
   • 因为 $f$ 是同态，$f(g_1 k) = f(g_1) f(k)$。
   • 因为 $k$ 在核里，$f(k)=1_H$。
   • 所以 $f(g_1)f(k) = f(g_1) \cdot 1_H = f(g_1)$。
   • 结论: $f(g_2) = f(g_1)$。
4. 证明 "$\implies$" (如果 $f(g_1)=f(g_2)$，那么存在 $k \in \mathrm{Ker}(f)$ 使得 $g_2 = g_1 k$)
   • 假设: $f(g_1) = f(g_2)$。
   • 从这个等式出发，我们推导出 $f(g_1^{-1} g_2) = 1_H$ (这在 1.2.4 的证明中已完成)。
   • 这个结果意味着元素 $g_1^{-1}g_2$ 在核里。
   • 所以，我们可以定义 $k = g_1^{-1}g_2$。这个 $k$ 满足 $k \in \mathrm{Ker}(f)$。
   • 对 $k = g_1^{-1}g_2$ 两边左乘 $g_1$，我们得到 $g_1 k = g_1 (g_1^{-1} g_2) = g_2$。
   • 结论: 我们找到了这样一个核里的元素 $k$，使得 $g_2 = g_1 k$。
5. 重要启示:
   • 对于给定的 $g_1$，所有与它有相同像的元素的集合是 $\{g_1 k \mid k \in \mathrm{Ker}(f)\}$。这个集合记作 $g_1 \mathrm{Ker}(f)$，被称为核的左陪集 (Left Coset)。
   • 这个注记揭示了一个深刻的结构：一个同态 $f$ 将源群 $G$ 进行了划分。每个划分块都是核的一个陪集，而同一个陪集里的所有元素都被 $f$ 映射到同一个目标元素。
   • 不同的陪集被映射到不同的目标元素。

这段话在正式叙述凯莱定理之前，先阐明了一个非常重要的普遍原则：单射同态和到子群的同构本质上是一回事。这为理解凯莱定理的意义铺平了道路。

1. 从“单射同态”到“到子群的同构”
   • 出发点: 我们有一个单射同态 $f: G \rightarrow G'$。
   • 第一步: 考察它的像。令 $H = \mathrm{Im}(f)$。根据命题 1.2.1，我们知道 $H$ 是 $G'$ 的一个子群 ($H \leq G'$)。
   • 第二步: 改变我们对 $f$ 的看法。原来的 $f$ 是从 $G$ 映到整个 $G'$ 的。现在我们把它的陪域从 $G'$ 缩小到它实际能到达的范围 $H$。我们得到一个“诱导”出的新函数，可以记为 $f': G \rightarrow H$，其定义和 $f$ 完全一样，$f'(g)=f(g)$。
   • 第三步: 分析这个新函数 $f': G \rightarrow H$ 的性质。
   • 同态性: 因为原来的 $f$ 是同态，所以 $f'$ 显然也是同态。
   • 单射性: 因为原来的 $f$ 是单射的，所以 $f'$ 也一定是单射的。
   • 满射性: $f'$ 是满射的吗？根据定义，$f'$ 的陪域是 $H = \mathrm{Im}(f)$。而像集 $\mathrm{Im}(f')$ 正好就是 $H$。因为像集等于陪域，所以 $f'$ 是满射的。
   • 第四步: 总结 $f'$ 的性质。$f': G \rightarrow H$ 是一个既单射又满射的同态。这正是同构 (Isomorphism) 的定义！
   • 结论: 任何一个单射同态 $f: G \rightarrow G'$，都唯一地确定了一个从 $G$ 到 $G'$ 的某个子群 $H$ 的同构。
2. 从“到子群的同构”到“单射同态” (反方向)
   • 出发点: 我们有一个从 $G$ 到 $G'$ 的子群 $H$ 的同构 $f: G \rightarrow H$。
   • 第一步: 我们还有一个从子群 $H$ 到母群 $G'$ 的包含映射 $i: H \rightarrow G'$，我们知道 $i$ 是一个单射同态。
   • 第二步: 复合这两个映射，得到新函数 $i \circ f: G \rightarrow G'$。
   • 第三步: 分析这个复合函数的性质。
   • 同态性: 根据命题 1.1.5，两个同态的复合是同态。所以 $i \circ f$ 是同态。
   • 单射性:
   • $f: G \rightarrow H$ 是同构，所以是单射。
   • $i: H \rightarrow G'$ 是包含映射，所以是单射。
   • 两个单射函数的复合必然是单射函数。
   • 结论: 这个复合函数 $i \circ f$ 是一个从 $G$到 $G'$ 的单射同态。
3. 总而言之 (Equivalence)
   • 上述两个方向的论证表明，“存在一个从 $G$ 到 $G'$ 的单射同态” 和 “$G$ 与 $G'$ 的某个子群同构” 这两个说法是完全等价的。它们是从不同角度描述同一个数学事实。
   • 这个原则非常有用。它意味着，只要我们能找到一个到 $G'$ 的单射同态，我们就证明了 $G$ 在结构上和 $G'$ 的一个“复刻版”（子群）是一样的。我们把 $G$ “嵌入”到了 $G'$ 中。

定理陈述

• 核心思想: 任何一个有限群，无论它看起来多么抽象和复杂，其内在的结构都和一个“具体的”置换群的子群是完全一样的。
• 换句话说: 我们可以把任何有限群的元素都看作是对某个集合的“重新排列”，并且群的运算就对应于这些“重新排列”操作的复合。
• 意义: 这个定理极大地降低了有限群的“神秘感”。它告诉我们，要研究所有有限群，我们只需要研究置换群 $S_n$ 和它的所有子群就够了。它为有限群提供了一个统一的、具体的“表示”或“舞台”。

• (i) 关于n的说明: 定理只说存在一个 $n$，但证明过程会更具体，它会告诉我们，这个 $n$ 可以直接取为群 $G$ 的阶（元素的个数）。例如，一个6阶群，一定同构于 $S_6$ 的某个子群。
• (ii) 历史背景: 这条注释提供了一个有趣的历史视角。在群论发展的早期（19世纪），数学家们研究的群大多就是具体的置换群（比如在解高次方程根的时候遇到的）。当时，“群”的概念就是和“置换群”紧密绑定的。后来，在20世纪初，更抽象的、公理化的群定义才出现。从这个抽象的定义出发，凯莱定理就成了一个深刻的结论，它把抽象的群“拉回”到了其具体的历史根源——置换群。但对于早期只知道置换群的数学家来说，这个定理就像是在说“所有苹果都是水果的一种”一样，听起来是理所当然的。

这部分是证明的路线图 (Roadmap)。它先把整个证明策略清晰地陈述出来。

1. 第一步 (核心构造): 证明对任意群 $G$（不管有限还是无限）都适用。我们的目标是构造一个单射同态 $f: G \rightarrow S_G$。
   • $S_G$ 是什么? 这是作用在群 G 自身集合上的置换群。它的元素是所有从集合 $G$到集合 $G$ 的双射函数。这是一个可能非常巨大的群。
2. 第二步 (应用1.3.1的原则): 一旦我们成功构造出这个单射同态 $f$，我们就可以直接套用上一节的结论：$G$ 与 $f$ 的像 $\mathrm{Im}(f)$ 同构，而 $\mathrm{Im}(f)$ 是 $S_G$ 的一个子群。这就证明了任何群都同构于某个置换群的子群。
3. 第三步 (特殊化到有限群):
   • 如果 $G$ 是一个有限群，有 $n$ 个元素，我们可以给这 $n$ 个元素编号 $g_1, ..., g_n$。
   • $S_G$ 是作用在集合 $\{g_1, ..., g_n\}$ 上的置换群。
   • $S_n$ 是作用在集合 $\{1, ..., n\}$ 上的置换群。
   • 这两个群显然是同构的，因为它们都是对一个含有n个元素的集合进行重排，只是集合里元素的名字不同。这个同构记为 $h: S_G \rightarrow S_n$。
   • 把第一步的单射同态 $f: G \rightarrow S_G$ 与这个同构 $h: S_G \rightarrow S_n$ 复合起来，得到一个新的映射 $h \circ f: G \rightarrow S_n$。
   • 这个新映射依然是一个单射同态。
   • 再次应用1.3.1的原则，我们得出 $G$ 与 $S_n$ 的一个子群同构。证明完毕。

总结：整个证明的核心，就是找到那个从 $G$ 到 $S_G$ 的单射同态 $f$。

这是证明的核心构造部分。

1. 目标: 为每一个 $g \in G$，都指定一个对应的置换（即 $S_G$ 中的一个元素）。这个指定规则就是映射 $f$。
2. 如何指定: 对于一个固定的元素 $g$，我们能用它来对整个群 $G$ 做点什么操作呢？最自然的操作就是让 $g$ 去左乘群里的每一个元素。
3. 定义 $\ell_g$: 我们定义一个函数 $\ell_g: G \rightarrow G$，它的功能就是“左乘 $g$”，即 $\ell_g(x) = gx$。
   • $\ell$ 代表 Left (左)。
4. $\ell_g$ 是一个合格的置换吗?: 我们需要确保 $\ell_g$ 是一个从集合 $G$ 到集合 $G$ 的双射，这样它才有资格成为 $S_G$ 的一员。
   • 单射: 如果 $\ell_g(x_1) = \ell_g(x_2)$，那么 $gx_1 = gx_2$。根据群的左消去律，我们得到 $x_1=x_2$。所以 $\ell_g$ 是单射。
   • 满射: 对于 $G$ 中任意一个元素 $y$，我们能找到一个 $x \in G$ 使得 $\ell_g(x)=y$ 吗？即 $gx=y$。是的，解就是 $x = g^{-1}y$，这个解一定在 $G$ 中。所以 $\ell_g$ 是满射。
   • 结论: 对于任何 $g \in G$，左乘映射 $\ell_g$ 确实是一个双射，即 $\ell_g \in S_G$。
5. 定义同态 $f$:
   • 现在我们可以定义我们的主映射 $f: G \rightarrow S_G$ 了。
   • 它的规则就是：把元素 $g$ 映射到我们刚刚为它量身定做的那个置换 $\ell_g$。
   • $f(g) = \ell_g$。

这是证明的收尾工作：验证我们构造的 $f(g)=\ell_g$ 确实是一个单射同态。

验证同态性

1. 目标: 证明 $f(gh) = f(g) f(h)$。
2. 翻译: 根据 $f$ 的定义，这等价于证明 $\ell_{gh} = \ell_g \circ \ell_h$。
3. 函数相等: 要证明两个函数（这里是 $\ell_{gh}$ 和 $\ell_g \circ \ell_h$）相等，我们必须证明它们对定义域中的任何一个输入 $x \in G$，给出的输出都是一样的。
4. 计算LHS: $\ell_{gh}(x) = (gh)x$ (根据 $\ell$ 的定义)。
5. 计算RHS:
   • $(\ell_g \circ \ell_h)(x) = \ell_g(\ell_h(x))$ (根据函数复合的定义)。
   • $= \ell_g(hx)$ (因为 $\ell_h(x)=hx$)。
   • $= g(hx)$ (因为 $\ell_g$ 的作用是左乘g)。
6. 比较: 在群中，乘法满足结合律，所以 $(gh)x = g(hx)$。
7. 结论: LHS = RHS。所以 $f$ 是一个同态。这个证明的关键在于群的结合律。

验证单射性

1. 方法一：用核 (Kernel) (命题 1.2.4)
   • $\mathrm{Ker}(f) = \{ g \in G \mid f(g) = \text{id}_G \}$，其中 $\text{id}_G$ 是 $S_G$ 的单位元，即恒等映射 $\text{id}_G(x)=x$。
   • $f(g) = \text{id}_G \iff \ell_g = \text{id}_G$。
   • $\ell_g = \text{id}_G \iff \ell_g(x) = x$ 对所有 $x \in G$ 成立。
   • $\iff gx = x$ 对所有 $x \in G$ 成立。
   • 两边右乘 $x^{-1}$，得到 $g=1_G$。
   • 所以，核里只有单位元 $1_G$。$\mathrm{Ker}(f) = \{1_G\}$。
   • 根据命题 1.2.4，核是平凡的，所以 $f$ 是单射。
2. 方法二：直接论证 (教材中使用的方法)
   • 假设 $f(g)=f(h)$。根据定义，这意味着 $\ell_g = \ell_h$。
   • 既然这两个函数完全一样，那么它们作用在任何元素上的结果都一样。我们随便挑一个简单的元素，比如单位元 $1_G$。
   • 所以 $\ell_g(1_G) = \ell_h(1_G)$。
   • 根据 $\ell$ 的定义，$\ell_g(1_G) = g \cdot 1_G = g$。
   • 同理，$\ell_h(1_G) = h \cdot 1_G = h$。
   • 所以，我们得到 $g=h$。
   • 这就证明了 $f$ 是单射。

这个注记探讨了一个自然的问题：既然左乘可以，那么右乘行不行？

1. 尝试右乘:
   • 定义一个新函数 $r_g: G \rightarrow G$，功能是“右乘g”，即 $r_g(x) = xg$。
   • 和左乘一样，可以证明 $r_g$ 也是一个双射，所以 $r_g \in S_G$。
2. 构造新映射 $F$:
   • 我们尝试定义一个新的映射 $F: G \rightarrow S_G$ 为 $F(g)=r_g$。
3. 检验同态性（失败）:
   • 我们需要检查 $F(gh)=F(g) \circ F(h)$，即 $r_{gh} = r_g \circ r_h$。
   • LHS: $r_{gh}(x) = x(gh)$。
   • RHS: $(r_g \circ r_h)(x) = r_g(r_h(x)) = r_g(xh) = (xh)g$。
   • 比较LHS和RHS：$x(gh)$ 和 $(xh)g$。
   • 由于群的结合律，$x(gh) = (xg)h$。
   • 所以，LHS 是 $(xg)h$，RHS 是 $(xh)g$。
   • 这两个通常是不相等的，除非群是阿贝尔群（交换群）。
   • 因此，$F(g)=r_g$ 通常不是一个同态。这种映射被称为反同态 (anti-homomorphism)，因为它把运算顺序颠倒了：$F(gh)=F(h)F(g)$，因为 $r_{gh}(x) = x(gh)$ 而 $(r_h \circ r_g)(x) = r_h(r_g(x)) = r_h(xg) = (xg)h = x(gh)$。
4. 如何修正:
   • 既然右乘把顺序搞反了，一个自然的修正方法是在定义映射时就预先把它“反”回来。
   • 我们定义一个新的映射 $F': G \rightarrow S_G$ 为 $F'(g) = r_{g^{-1}}$。
   • 检验新映射的同态性:
   • 我们需要检查 $F'(gh) = F'(g) \circ F'(h)$。
   • LHS: $F'(gh) = r_{(gh)^{-1}} = r_{h^{-1}g^{-1}}$。
   • $r_{h^{-1}g^{-1}}(x) = x(h^{-1}g^{-1})$。
   • RHS: $F'(g) \circ F'(h) = r_{g^{-1}} \circ r_{h^{-1}}$。
   • $(r_{g^{-1}} \circ r_{h^{-1}})(x) = r_{g^{-1}}(r_{h^{-1}}(x)) = r_{g^{-1}}(xh^{-1}) = (xh^{-1})g^{-1}$。
   • 由于结合律，$x(h^{-1}g^{-1}) = (xh^{-1})g^{-1}$。
   • LHS = RHS。所以 $F'(g) = r_{g^{-1}}$ 是一个同态。

这部分内容是凯莱定理的一个直接且重要的推论，它将有限群与我们更熟悉的矩阵群联系起来。

1. 对证明方法的回顾: 作者承认凯莱定理的证明（让群作用于自身）看起来有些“取巧”或“抽象”，但暗示了这种“让群作用于某个集合”的思想（即群作用）是一种非常强大和普遍的方法，以后还会遇到。
2. 推论的逻辑链:
   • 第一环 (凯莱定理): 给定一个有限群 $G$（设其阶为 $m$），凯莱定理告诉我们，存在一个单射同态 $f: G \rightarrow S_m$。
   • 第二环 (置换矩阵表示): 我们在例 1.1.2(12) 和 1.2.3(12) 中已经知道，存在一个从置换群到矩阵群的单射同态 $P: S_m \rightarrow GL_m(\mathbb{R})$。
   • 串联两环: 现在我们有两个单射同态，可以把它们复合起来：
   • $G \xrightarrow{f} S_m \xrightarrow{P} GL_m(\mathbb{R})$
   • 复合映射是 $P \circ f: G \rightarrow GL_m(\mathbb{R})$。
   • 分析复合映射:
   • 同态的复合是同态 (命题 1.1.5)。
   • 单射的复合是单射。
   • 因此，$P \circ f$ 是一个从 $G$ 到 $GL_m(\mathbb{R})$ 的单射同态。
3. 得出结论:
   • 我们已经找到了一个从 $G$ 到 $GL_m(\mathbb{R})$ 的单射同态。
   • 根据 1.3.1 节的普遍原则，这等价于说 “$G$ 同构于 $GL_m(\mathbb{R})$ 的一个子群”。
   • 这就证明了定理 1.3.4。这里的 $n$ 就是原群 $G$ 的阶 $m$。

这段话是对刚刚证明的定理的推广，并引出了一个极其重要的数学分支——群表示论 (Group Representation Theory)。

1. 表示的定义:
   • 一个群 $G$ 的一个 n 维实表示，就是一个从 $G$ 到 $GL_n(\mathbb{R})$ 的同态。
   • 注意，这里不再要求同态是单射的。
   • 这意味着，一个表示可能会“丢失”一部分群的信息（如果核非平凡）。
2. 复表示:
   • 作者补充说，在实践中，研究到复矩阵群 $GL_n(\mathbb{C})$ 的同态通常更方便、理论更优美。这被称为 $G$ 的复表示，通常简称为表示。
3. 表示论的目标:
   • 表示论这门学科的核心任务有两个：