4. 行间公式索引
- 公式1: $$
\sigma \cdot(a, b, c, d, e) \cdot \sigma^{-1}=(b, a, d, c, e) \in H
$$
* **解释**: 这是对5-循环 $(a, b, c, d, e)$ 进行关于元素 $\sigma=(a,b)(c,d)$ 的**共轭**运算，结果是一个新的5-循环。
2. **公式2**:
$$
H_{n}=\left\{\sigma \in S_{n}: \sigma(n)=n\right\} 。
$$
* **解释**: 这定义了**稳定子群** $H_n$，即**对称群** $S_n$ 中所有保持元素 $n$ 不动的置换的集合。
3. **公式3**:
$$
\tau(n)=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1}(n)=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma(n)=\sigma^{-1} \cdot \rho(i)=\sigma^{-1}(i)=n 。
$$
* **解释**: 这个计算过程证明了构造出的元素 $\tau$ 确实固定了元素 $n$，即 $\tau(n)=n$。
4. **公式4**:
$$
\tau(i)=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1}(i)=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma(i)=\sigma^{-1} \cdot \rho(j)=\sigma^{-1}(k) 。
$$
* **解释**: 这个计算过程推导了 $\tau$ 对元素 $i$ 的作用，用于后续证明 $\tau$ 不是恒等置换。
5. **公式5**:
$$
\begin{aligned}
\tau(n) & =\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1}(n)=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma(n)=\sigma^{-1} \cdot \rho(i)=\sigma^{-1}(i)=n \\
\tau(\ell) & =\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma \cdot \rho^{-1}(\ell)=\sigma^{-1} \cdot \rho \cdot \sigma(j)=\sigma^{-1} \cdot \rho(k)=\sigma^{-1}(k)=j
\end{aligned}
$$
* **解释**: 这是一个组合计算，第一行证明了在第二种情况下构造的 $\tau$ 仍然固定 $n$，第二行证明了 $\tau$ 移动了元素 $\ell$，从而证明 $\tau$ 不是恒等置换。
6. **公式6 (习题4.7)**:
$$
f(n, m)=g_{1}^{n} g_{2}^{m} 。
$$
* **解释**: 该公式描述了从直积群 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到任意群 $G$ 的一个同态，它完全由 $G$ 中两个可交换的元素 $g_1, g_2$ 决定。
7. **公式7 (习题4.9)**:
$$
r_{g}(x)=x g 。
$$
* **解释**: 这定义了一个由元素 $g$ 诱导的右乘函数 $r_g$，该函数将群中每个元素 $x$ 映射到 $xg$。
8. **公式8 (习题4.11)**:
$$
G=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: f(x)=a x+b, a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}\right\}
$$
* **解释**: 这定义了一个由所有非退化仿射线性函数构成的集合 $G$，它在函数复合下构成一个群。
9. **公式9 (习题4.12)**:
$$
\mathbf{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
0 & d
\end{array}\right): a, d \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}\right\}
$$
* **解释**: 这定义了 $GL_2(\mathbb{R})$ 中所有可逆上三角矩阵构成的**子群** $\mathbf{B}$，也称为**Borel子群**。
10. **公式10 (习题4.13)**:
$$
H=\left\{g \in G: f_{1}(g)=f_{2}(g)\right\}
$$
* **解释**: 这定义了一个称为“等化子” (Equalizer) 的集合 $H$，它包含了所有使得两个同态 $f_1, f_2$ 函数值相等的元素。
11. **公式11 (习题4.19)**:
$$
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)^{-1}
$$
* **解释**: 这是一个矩阵**共轭**运算，用于检验一个**子群**（如 $O_2$ 或 $SO_2$）是否为 $GL_2(\mathbb{R})$ 的**正规子群**。
### 3.3 习题 4.3
[原文]
习题 4.3. 设 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是一个同态。证明对于所有 $g \in G_{1}$ 和 $n \in \mathbb{Z}$，$f\left(g^{n}\right)=(f(g))^{n}$。$f(g)$ 的阶是否一定等于 $g$ 的阶？如果不是，通常你能说什么？
[逐步解释]
这道题考察**同态**的基本性质，特别是它如何与元素的幂运算和阶相互作用。
**第一部分: 证明 $f(g^n) = (f(g))^n$**
这个证明需要分情况讨论整数 $n$ 的取值：$n>0$，$n=0$，和 $n<0$。
1. **当 $n > 0$ 时 (正整数)**:
* 我们使用**数学归纳法**来证明。
* **基础情况 (n=1)**: $f(g^1) = f(g)$，而 $(f(g))^1 = f(g)$。等式成立。
* **归纳假设**: 假设对于某个正整数 $k$，有 $f(g^k) = (f(g))^k$ 成立。
* **归纳步骤**: 我们需要证明对于 $n=k+1$ 也成立。
* $f(g^{k+1}) = f(g^k \cdot g)$
* 因为 $f$ 是**同态**，所以 $f(g^k \cdot g) = f(g^k) \cdot f(g)$。
* 根据**归纳假设**，$f(g^k) = (f(g))^k$。
* 所以，$f(g^{k+1}) = (f(g))^k \cdot f(g) = (f(g))^{k+1}$。
* 等式成立。因此，对于所有 $n>0$，$f(g^n) = (f(g))^n$。
2. **当 $n = 0$ 时**:
* $g^0$ 定义为群 $G_1$ 的**单位元** $e_1$。所以 $f(g^0) = f(e_1)$。
* **同态**的一个基本性质是它将**单位元**映射到**单位元**，所以 $f(e_1) = e_2$（$G_2$的**单位元**）。
* 另一方面，$(f(g))^0$ 根据定义是群 $G_2$ 的**单位元** $e_2$。
* 因此，$f(g^0) = e_2 = (f(g))^0$。等式成立。
3. **当 $n < 0$ 时 (负整数)**:
* 令 $n = -m$，其中 $m$ 是一个正整数。
* $f(g^n) = f(g^{-m}) = f((g^m)^{-1})$。
* **同态**的另一个基本性质是它保持**逆元**运算，即 $f(h^{-1}) = (f(h))^{-1}$。
* 所以，$f((g^m)^{-1}) = (f(g^m))^{-1}$。
* 根据第一部分我们对正整数的证明，$f(g^m) = (f(g))^m$。
* 因此，$f(g^n) = ((f(g))^m)^{-1} = (f(g))^{-m} = (f(g))^n$。
* 等式成立。
综合以上三种情况，对于所有整数 $n \in \mathbb{Z}$，都有 $f(g^n) = (f(g))^n$。
**第二部分: 阶 (Order) 的关系**
* **问题**: $f(g)$ 的阶是否一定等于 $g$ 的阶？
* **回答**: 不一定。
* **你能说什么?**: $f(g)$ 的阶一定整除 $g$ 的阶。
* **证明**:
* 设 $g$ 的阶是 $k$，即 $\operatorname{ord}(g)=k$。这意味着 $g^k = e_1$ (群 $G_1$ 的单位元)，并且 $k$ 是满足此条件的最小正整数。
* 我们将**同态** $f$ 应用于等式 $g^k = e_1$：$f(g^k) = f(e_1)$。
* 根据我们刚刚证明的性质，$f(g^k) = (f(g))^k$。并且 $f(e_1)=e_2$。
* 所以我们得到 $(f(g))^k = e_2$。
* 根据阶的定义，这个等式意味着 $f(g)$ 的阶必须整除 $k$。即 $\operatorname{ord}(f(g)) \mid \operatorname{ord}(g)$。
* **为什么不一定相等**:
* 如果 $f$ 不是**单射**，那么存在某个非单位元的元素 $h$ 属于**核** $\operatorname{Ker}(f)$。如果这个 $h$ 恰好是 $g$ 的某个次幂（比如 $g^m=h$ 且 $m < k$），那么 $(f(g))^m = f(g^m) = f(h) = e_2$。这意味着 $f(g)$ 的阶是 $m$ 或者 $m$ 的一个因子，它严格小于 $k$。
[具体数值示例]
* **阶不相等的例子**:
* 考虑同态 $f: (\mathbb{Z}_6, +) \to (\mathbb{Z}_3, +)$ 定义为 $f(x) = x \pmod 3$。
* 取 $g=1 \in \mathbb{Z}_6$。$g$ 的阶是 6 (因为 $6 \cdot 1 = 6 \equiv 0 \pmod 6$)。
* $f(g) = f(1) = 1 \in \mathbb{Z}_3$。$f(g)$ 的阶是 3 (因为 $3 \cdot 1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$)。
* 这里 $\operatorname{ord}(f(g)) = 3$，$\operatorname{ord}(g)=6$。$3$ 整除 $6$，但它们不相等。
* **阶相等的例子**:
* 考虑同一个同态 $f: \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_3$。
* 取 $g=2 \in \mathbb{Z}_6$。$g$ 的阶是 3 (因为 $3 \cdot 2 = 6 \equiv 0 \pmod 6$)。
* $f(g) = f(2) = 2 \in \mathbb{Z}_3$。$f(g)$ 的阶是 3 (因为 $3 \cdot 2 = 6 \equiv 0 \pmod 3$)。
* 这里 $\operatorname{ord}(f(g)) = \operatorname{ord}(g) = 3$。
* **阶急剧缩小的例子 (平凡同态)**:
* 考虑同态 $f: G \to G'$ 定义为 $f(g)=e'$ (对所有g)。
* 如果 $g$ 的阶是 5，那么 $f(g)=e'$ 的阶是 1。$1$ 整除 $5$。
[易错点与边界情况]
* **忘记 $n=0$ 和 $n<0$ 的情况**: 证明 $f(g^n)=(f(g))^n$ 时，只证明正整数的情况是不完整的。必须覆盖所有整数。
* **阶的定义**: 阶是使得 $g^k=e$ 的*最小*正整数。$(f(g))^k=e_2$ 只能说明 $\operatorname{ord}(f(g))$ 整除 $k$，而不能直接断定它就等于 $k$。
* **单射与阶的关系**: 如果同态 $f$ 是**单射**，那么 $f(g)$ 的阶才一定等于 $g$ 的阶。因为如果 $\operatorname{ord}(f(g))=m < k = \operatorname{ord}(g)$，那么 $f(g^m)=(f(g))^m=e_2$。由于 $f$ 是**单射**，核是平凡的，所以 $g^m=e_1$。但这与 $g$ 的阶是 $k$ (最小正整数) 相矛盾。
[总结]
* **同态**与幂运算可以交换顺序，即 $f(g^n)=(f(g))^n$ 对所有整数 $n$ 成立。
* 元素的像的阶，必然整除原元素的阶。
* 只有当**同态**是**单射**时，才能保证元素的像的阶与原元素的阶相等。
[存在目的]
这道题的目的是为了揭示**同态**如何保持群中与幂次和循环相关的结构。$f(g^n)=(f(g))^n$ 是一个基础但极其重要的性质，是许多其他代数推导的基石。阶的关系则进一步说明了**同态**是一种“简化”或“坍缩”映射，结构信息（如阶）可能会丢失，但会以一种可控的方式（整除关系）丢失。
[直觉心- [ ] 模型]
* **$f(g^n)=(f(g))^n$**: 把**同态** $f$ 想象成一个“线性变换”（即使在非向量空间中）。$g^n$ 就像是沿着 $g$ 的方向走了 $n$ 步。这个性质说的是，“先走n步再变换”和“先变换再在新的空间里走n步”的结果是一样的。$f$ 保持了这种“步进”的结构。
* **阶的关系**: 想象你有一个时钟，有6个刻度（$\mathbb{Z}_6$）。元素1的时针要走6步才能回到0点。现在有一个**同态** $f$，它把这个6刻度的时钟映射到一个3刻度的时钟（$\mathbb{Z}_3$）。原来走6步回原点，现在可能走3步就回原点了。$f(1)$ 在新时钟上只要走3步。你走过的总圈数在新时钟上可能被“模掉了”。这就是阶减小但保持整除关系的原因。从一个大圈到一个小圈的映射，小圈的周长必然是大圈周长的因子。
[直观想象]
* **$f(g^n)=(f(g))^n$**: 想象你在地图上从A点出发，每天向东走1公里。$g$ 就是“向东走1公里”这个操作，$g^5$ 就是连续5天后你的位置。$f$ 是一个投影仪，把你的三维世界投影到一个二维屏幕上。这个性质告诉你，把你5天后的三维位置投影到屏幕上，和你先把“向东走1公里”这个动作投影成屏幕上的一个向量，然后把这个向量重复5次，最终到达的位置是一样的。
* **阶的关系**: 你在一个能跑6圈的跑道上跑步 ($g$ 的阶是6)。$f$ 是一个观察者，他只关心你跑过了终点线没有，但他的秒表每3圈就重置一次。你跑了3圈后，你的位置不是起点，但观察者的秒表显示你回到了起点 ($f(g^3)=(f(g))^3=e'$)。你真正跑回起点需要6圈，但观察者认为你的周期是3圈。观察到的周期(3)，是真实周期(6)的一个因子。
---
### 3.4 习题 4.4
[原文]
习题 4.4. 设 $f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 和 $f_{2}: G_{2} \rightarrow G_{3}$ 是同态。证明 $f_{2} \circ f_{1}: G_{1} \rightarrow G_{3}$ 是同态。
[逐步解释]
这道题要证明**同态**的复合仍然是**同态**。这是一个非常基础和重要的性质，说明**同态**这个概念具有良好的传递性。
1. **明确目标**: 我们需要证明函数 $F = f_2 \circ f_1$ 是一个**同态**。根据定义，我们需要为任意 $a, b \in G_1$ 验证 $F(a \cdot b) = F(a) \star F(b)$。这里为了清晰，我们用不同的符号表示三个群的运算：
* $G_1$ 的运算: $\cdot$
* $G_2$ 的运算: $*$
* $G_3$ 的运算: $\diamond$
2. **写出已知条件**:
* $f_1$ 是**同态**: 对于任意 $a, b \in G_1$, 有 $f_1(a \cdot b) = f_1(a) * f_1(b)$。
* $f_2$ 是**同态**: 对于任意 $x, y \in G_2$, 有 $f_2(x * y) = f_2(x) \diamond f_2(y)$。
3. **开始证明**:
* 我们从要证明的等式的左边开始：$F(a \cdot b) = (f_2 \circ f_1)(a \cdot b)$。
* 根据函数复合的定义，这等于 $f_2(f_1(a \cdot b))$。
* 现在我们可以使用 $f_1$ 是**同态**的性质，对括号内的 $f_1(a \cdot b)$ 进行替换：$f_1(a \cdot b) = f_1(a) * f_1(b)$。
* 所以，表达式变成了 $f_2(f_1(a) * f_1(b))$。
* 注意，此时 $f_1(a)$ 和 $f_1(b)$ 都是 $G_2$ 中的元素。我们可以把它们看作是 $x$ 和 $y$。
* 现在我们可以使用 $f_2$ 是**同态**的性质：$f_2(x*y) = f_2(x) \diamond f_2(y)$。
* 将 $x = f_1(a)$ 和 $y = f_1(b)$ 代入，我们得到 $f_2(f_1(a) * f_1(b)) = f_2(f_1(a)) \diamond f_2(f_1(b))$。
* 再次使用函数复合的定义，$f_2(f_1(a))$ 就是 $(f_2 \circ f_1)(a)$，即 $F(a)$。同理，$f_2(f_1(b)) = F(b)$。
* 所以，整个表达式最终等于 $F(a) \diamond F(b)$。
4. **结论**: 我们从左边 $F(a \cdot b)$ 出发，通过一步步应用已知条件，最终得到了右边 $F(a) \diamond F(b)$。因此，证明了 $f_2 \circ f_1$ 是一个**同态**。
[具体数值示例]
* 设 $G_1 = (\mathbb{Z}, +)$, $G_2 = (\mathbb{Z}_6, +)$, $G_3 = (\mathbb{Z}_3, +)$。
* 设 $f_1: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_6$ 定义为 $f_1(x) = x \pmod 6$。这是一个同态。
* 设 $f_2: \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_3$ 定义为 $f_2(y) = y \pmod 3$。这也是一个同态。
* 复合函数 $F = f_2 \circ f_1: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_3$。
* $F(x) = f_2(f_1(x)) = f_2(x \pmod 6) = (x \pmod 6) \pmod 3 = x \pmod 3$。
* 我们来验证 $F$ 是不是同态。
* 取 $a=5, b=4$ in $\mathbb{Z}$。
* 左边: $F(5+4)=F(9)=9 \pmod 3 = 0$。
* 右边: $F(5)+F(4) = (5 \pmod 3) + (4 \pmod 3) = 2 + 1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$。
* 左边 = 右边。这验证了我们的结论，$F$ 确实是同态。
[易错点与边界情况]
* **运算符号混淆**: 在证明过程中，如果所有群的运算都用同一个符号（比如乘法），很容易在逻辑上犯错。要时刻清楚当前是在哪个群里做运算。
* **函数作用对象**: 要清楚每个函数作用在哪个群的元素上。$f_1$ 作用在 $G_1$ 的元素上，其结果是 $G_2$ 的元素。$f_2$ 作用在 $G_2$ 的元素上。
[总结]
**同态**的复合运算是封闭的。即两个**同态**的复合函数仍然是一个**同态**。这个性质非常重要，它告诉我们，在**范畴论**的语言中，群和**群同态**构成一个**范畴**。
[存在目的]
这道题的目的是为了巩固**同态**的定义，并证明一个关于其复合运算的基本结构性质。这个性质是代数学中普遍存在的主题——保持结构的映射（态射）在复合下是封闭的——的一个实例。
[直觉心智模型]
如果**同态**是“保真”的变换，那么这个性质说的是，经过两次连续的“保真”变换，最终得到的总变换也是“保真”的。如果 $f_1$ 把 $G_1$ 的结构如实地反映到了 $G_2$ 中，而 $f_2$ 又把 $G_2$ 的结构如实地反映到了 $G_3$ 中，那么把两者连起来，$f_1$ 加上 $f_2$ 就能把 $G_1$ 的结构如实地反映到 $G_3$ 中。
[直观想象]
* 想象 $f_1$ 是一个翻译器，能把中文（群 $G_1$）完美地翻译成英文（群 $G_2$），保持所有语法和语义结构。
* 想象 $f_2$ 是另一个翻译器，能把英文（群 $G_2$）完美地翻译成法文（群 $G_3$），也保持所有结构。
* 那么，将这两个翻译器串联起来使用 ($f_2 \circ f_1$)，你就有了一个能把中文完美翻译成法文的翻译器。这个复合翻译器仍然是“保真”的。
* 证明过程就是：
* 输入一句中文的复合句（$a \cdot b$）。
* $f_1$ 把它翻译成一句英文的复合句 ($f_1(a) * f_1(b)$)。
* $f_2$ 再把这句英文复合句翻译成法文复合句 ($f_2(f_1(a)) \diamond f_2(f_1(b))$)。
* 这个结果，和你先把两个中文子句 $a$ 和 $b$ 分别通过复合翻译器翻译成法文，再用法文的语法组合起来，是一样的。
---
### 3.5 习题 4.5
[原文]
习题 4.5. (i) 设 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 是一个同态。证明存在一个 (唯一的) $k \in \mathbb{Z}$ 使得对于所有 $a \in \mathbb{Z}$，$f(a)=k a$。$f$ 何时是单射？满射？$f$ 的像通常是什么？
(ii) 设 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 是一个同态。证明存在一个 (唯一的) $r \in \mathbb{Q}$ 使得对于所有 $a \in \mathbb{Q}$，$f(a)=r a$。(给定 $f$，令 $r=f(1)$。首先证明对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$f(n)=r n$，然后证明对于所有整数 $p, q$ (例如 $q>0$) 对，$f(p / q)=r(p / q)$。) 反之，给定 $r \in \mathbb{Q}$，函数 $f(a)=r a$ 定义了一个同态 $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$。$f$ 何时是单射？满射？
(iii) 给定 $r \in \mathbb{R}$，证明函数 $f(a)=r a$ 定义了一个同态 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。$f$ 何时是单射？满射？(然而，在这种情况下，可以证明从 $\mathbb{R}$ 到自身存在更多的同态，但它们不能被明确地描述出来。)
[逐步解释]
这道题探讨了从加法群 $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 到自身的**同态**的形式。
**(i) $f: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)$**
* **证明 $f(a)=ka$**:
* 群 $(\mathbb{Z}, +)$ 是一个**循环群**，它由元素 $1$ 生成。
* **群同态**的一个重要性质是：它完全由其在生成元集合上的取值所决定。
* 设 $f(1) = k$。由于 $f$ 是一个映到 $\mathbb{Z}$ 的函数，所以 $k$ 必须是一个整数。这个 $k$ 是唯一的，因为它就是 $f(1)$ 的值。
* 对于任何正整数 $a$，我们可以把 $a$ 写成 $a = 1 + 1 + \dots + 1$ ($a$ 个 1 相加)。
* 应用同态 $f$: $f(a) = f(1 + \dots + 1) = f(1) + \dots + f(1) = k + \dots + k = ka$。
* 对于 $a=0$, $f(0)=0$ (同态性质)，而 $k \cdot 0 = 0$。成立。
* 对于负整数 $a=-m$ ($m>0$), $f(a) = f(-m) = -f(m) = -(km) = k(-m) = ka$。成立。
* 因此，对于所有 $a \in \mathbb{Z}$，总有 $f(a)=ka$，其中 $k=f(1)$。
* **单射 (Injective)**:
* $f$ 是**单射**当且仅当 $\operatorname{Ker}(f)=\{0\}$。
* $\operatorname{Ker}(f) = \{ a \in \mathbb{Z} \mid f(a)=0 \} = \{ a \in \mathbb{Z} \mid ka=0 \}$。
* 如果 $k=0$，那么 $ka=0$ 对所有 $a$ 成立，$\operatorname{Ker}(f)=\mathbb{Z}$，不是单射。
* 如果 $k \neq 0$，那么 $ka=0$ 意味着 $a=0$。所以 $\operatorname{Ker}(f)=\{0\}$。
* 结论: $f$ 是**单射**当且仅当 $k \neq 0$。
* **满射 (Surjective)**:
* $f$ 是**满射**当且仅当**像** $\operatorname{Im}(f)=\mathbb{Z}$。
* $\operatorname{Im}(f) = \{ f(a) \mid a \in \mathbb{Z} \} = \{ ka \mid a \in \mathbb{Z} \} = k\mathbb{Z}$ (所有 $k$ 的倍数构成的集合)。
* 为了使 $k\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$，集合必须包含 $1$。这意味着存在一个整数 $a$ 使得 $ka=1$。这只有在 $k=1$ 或 $k=-1$ 时才可能。
* 结论: $f$ 是**满射**当且仅当 $k=1$ 或 $k=-1$。
* **像 (Image)**: $\operatorname{Im}(f)$ 就是由 $k$ 生成的 $\mathbb{Z}$ 的**子群** $k\mathbb{Z}$。
**(ii) $f: (\mathbb{Q}, +) \to (\mathbb{Q}, +)$**
* **证明 $f(a)=ra$**:
* 设 $f(1)=r$。$r$ 是一个有理数。
* **第一步 (整数)**: 对于任意整数 $n \in \mathbb{Z}$，和 (i) 的证明一样，可以得出 $f(n)=f(n \cdot 1) = n \cdot f(1) = rn$。
* **第二步 (分数)**: 考虑任意有理数 $a=p/q$，其中 $p, q \in \mathbb{Z}$ 且 $q \neq 0$ (不妨设 $q>0$)。
* 我们有等式 $q \cdot \frac{p}{q} = p$。注意这里的“乘法”是指连加，例如 $q \cdot x = x + \dots + x$ ($q$次)。
* 将同态 $f$ 应用于等式 $f(\frac{p}{q} + \dots + \frac{p}{q}) = f(p)$。
* 利用同态性质，左边变成 $f(\frac{p}{q}) + \dots + f(\frac{p}{q}) = q \cdot f(\frac{p}{q})$。
* 右边根据第一步的结果，是 $f(p)=rp$。
* 所以我们有 $q \cdot f(\frac{p}{q}) = rp$。
* 两边同除以非零整数 $q$，得到 $f(\frac{p}{q}) = \frac{rp}{q} = r(\frac{p}{q})$。
* 所以对于任何有理数 $a$，都有 $f(a)=ra$。
* **反之**: 给定 $r \in \mathbb{Q}$，函数 $f(a)=ra$ 是同态吗？
* $f(a+b) = r(a+b) = ra+rb$。
* $f(a)+f(b) = ra+rb$。
* 两者相等，所以它确实是一个同态。
* **单射**: $\operatorname{Ker}(f) = \{a \in \mathbb{Q} \mid ra=0\}$。如果 $r \neq 0$，那么 $a=0$。所以是**单射**当且仅当 $r \neq 0$。
* **满射**: $\operatorname{Im}(f) = \{ra \mid a \in \mathbb{Q}\}$。如果 $r=0$，像是 $\{0\}$。如果 $r \neq 0$，对于任意有理数 $y \in \mathbb{Q}$，我们能找到 $a$ 使得 $ra=y$ 吗？可以，取 $a = y/r$。因为 $y, r$ 都是有理数且 $r \neq 0$，所以 $a$ 也是有理数。所以是**满射**当且仅当 $r \neq 0$。
**(iii) $f: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}, +)$**
* **证明 $f(a)=ra$ 是同态**: 和 (ii) 中“反之”的证明完全一样，将 $\mathbb{Q}$ 换成 $\mathbb{R}$ 即可。
* **单射与满射**: 和 (ii) 的逻辑完全一样。$f$ 是**单射**和**满射**当且仅当 $r \neq 0$。
* **关于“更多同态”的注释**:
* 这段注释是一个很深刻的数学点。它指出，虽然形如 $f(x)=rx$ 的函数都是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的**同态**，但还存在其他形式的**同态**。
* 这与把 $\mathbb{R}$ 看作是在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的一个**无限维向量空间**有关。
* 一个函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是加法群**同态**，当且仅当它是一个 $\mathbb{Q}$-**线性映射**。
* 如果承认**选择公理 (Axiom of Choice)**，我们可以为 $\mathbb{R}$ 构造一个在 $\mathbb{Q}$ 上的基，称为**Hamel基**。这个基是无限的，甚至是不可数的。
* 一个 $\mathbb{Q}$-线性映射完全由它在基向量上的取值决定。由于基向量有无穷多个，我们可以让它们以非常“不连续”或“病态”的方式映射，从而构造出不满足 $f(x)=rx$ 形式的同态。这些函数图像在 $\mathbb{R}^2$ 中是稠密的，无法被画出来。
* 在不使用选择公理的标准分析课程中，如果一个加法群同态 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 还满足一些额外的正则性条件（如连续性、单调性或在某个小区间上有界），就可以证明它必须是 $f(x)=rx$ 的形式。
[具体数值示例]
* **(i)** $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$。如果 $f(1)=-5$，那么 $f(3) = -5 \times 3 = -15$。这个同态是单射但不是满射。
* **(ii)** $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$。如果 $f(1)=3/2$，那么 $f(5/7) = (3/2) \times (5/7) = 15/14$。这个同态既是单射也是满射。
* **(iii)** 一个“病态”的同态 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 的例子（概念性的）：
* 假设 $\{e_i\}_{i \in I}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个Hamel基。$1$ 和 $\sqrt{2}$ 都是基中的线性无关元素（或可表达为基的线性组合）。
* 我们可以定义一个同态 $f$ 使得 $f(1)=1$，但 $f(\sqrt{2})=0$ (以及 $f$ 在其他基向量上任意取值)。
* 那么 $f$ 就不是 $f(x)=rx$ 的形式。因为如果 $f(x)=rx$，由 $f(1)=1$ 可知 $r=1$。那么就该有 $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$，但我们定义了 $f(\sqrt{2})=0$。
* 这个函数 $f$ 将所有形如 $a+b\sqrt{2}$ (a,b是Q)的数映射到 $a$。它是一个同态，但不是简单的乘法形式。
[易错点与边界情况]
* **循环群 vs. 非循环群**: 从 $\mathbb{Z}$ 出发的同态之所以简单，是因为 $\mathbb{Z}$ 是由单个元素生成的。从 $\mathbb{Q}$ 出发的同态需要多一步推理，因为它不是循环群，但其元素 $p/q$ 和生成元 $1$ 之间仍有代数关系。$\mathbb{R}$ 的情况则复杂得多。
* **选择公理**: 关于 $\mathbb{R}$ 上存在“病态”同态的讨论，深刻地依赖于集合论中的选择公理。在很多数学分支中，人们会有意避免使用它，或者只在必要时使用。
* **$r=0$ 的情况**: 在讨论单射和满射时，不要忘记 $r=0$ 这个特殊情况。此时同态是平凡同态 $f(a)=0$，它既不是单射（除非定义域是平凡群）也不是满射（除非值域是平凡群）。
[总结]
* 从 $(\mathbb{Z},+)$ 到自身的同态都是 $f(a)=ka$ 的形式。
* 从 $(\mathbb{Q},+)$ 到自身的同态都是 $f(a)=ra$ 的形式。
* 从 $(\mathbb{R},+)$ 到自身的同态，如果我们假设连续性等良好性质，它们都是 $f(a)=ra$ 的形式。但在不加限制和承认选择公理的情况下，存在更多更复杂的同态形式。
* 对于这三类 $f(x)=cx$ 形式的同态，它们是单射和满射的充要条件都是系数 $c \neq 0$。
[存在目的]
这道题展示了群的代数结构如何深刻地影响了其同态的形态。对于结构相对简单的 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Q}$，我们可以完全刻画出它们的所有同态。而对于结构更复杂的 $\mathbb{R}$，情况就变得微妙起来，并与数学基础（集合论）产生关联。这为学生提供了一个从具体计算到抽象概念的良好过渡。
[直觉心智模型]
* **$\mathbb{Z}$**: 像一串无限延伸的珍珠，每颗之间距离相等。从它出发的同态，就是决定第一颗珍珠（1）被映射到哪里（k）。由于结构必须保持，其他所有珍珠的位置也就随之确定了，它们会以 $k$ 的间距排列。
* **$\mathbb{Q}$**: 像是在珍珠之间又填充了无限多的小珍珠，但所有珍珠的位置都是可以用两个整数的比例来描述的。决定了1号珍珠的位置（r）后，你可以通过“除法”操作（如 $q \cdot f(p/q) = f(p)$）来精确确定任何一个 $p/q$ 位置的珍珠应该被映射到哪里。
* **$\mathbb{R}$**: 像是一条连续光滑的线。如果你只允许“平滑”的变换（连续同态），那么只能是线性的拉伸或压缩 ($f(x)=rx$)。但如果你允许以一种极其“野蛮”的方式撕裂这条线，同时又保持加法结构（作为$\mathbb{Q}$-线性空间），你就会得到那些无法想象的“病态”同态。
[直观想象]
想象一个由许多个不同长度的木棍组成的集合。
* **$\mathbb{Z}$**: 只有一种长度为1的木棍。任何组合都是由这种木棍头尾相连构成的。一个同态 $f$ 就是规定“长度为1的木棍”被变换成“长度为k的新木棍”。那么一个由3个木棍组成的长度为3的木棍，变换后自然就成了长度为 $3k$ 的新木棍。
* **$\mathbb{Q}$**: 你有各种分数长度的木棍，但所有木棍的长度都可以通过1号木棍来度量。比如 $p/q$ 长度的木棍，你拿 $q$ 根拼接起来，就和 $p$ 根1号木棍一样长。同态变换后，这个关系必须保持，这使得我们可以从1号木棍的变换结果推断出所有其他木棍的变换结果。
* **$\mathbb{R}$**: 你不仅有有理数长度的木棍，还有像 $\sqrt{2}, \pi$ 这种无理数长度的木棍，它们和1号木棍之间没有简单的比例关系。如果你允许任意的变换（只要保持加法），你可以说“1号木棍长度不变”，但“$\sqrt{2}$号木棍被压成一个点（长度0）”。这是一个（$\mathbb{Q}$-线性）同态，但显然不是简单的“乘以一个常数”得到的。
---
### 3.6 习题 4.6
[原文]
习题 4.6. 设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 是由 $f(\theta)=e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 定义的函数。证明 $f$ 是一个同态并描述其核和像。
[逐步解释]
这道题是**群论**中一个非常核心和经典的例子，它连接了实数的加法和复数的乘法。
1. **明确群结构**:
* **定义域 (Domain)**: $G_1 = \mathbb{R}$。在没有指明运算时，默认为加法群 $(\mathbb{R}, +)$。
* **值域 (Codomain)**: $G_2 = \mathbb{C}^{*}$。这是所有非零复数的集合。在没有指明运算时，默认为乘法群 $(\mathbb{C}^{*}, \times)$。
2. **证明是同态**:
* 根据定义，我们需要证明对于任意 $\theta_1, \theta_2 \in \mathbb{R}$，有 $f(\theta_1 + \theta_2) = f(\theta_1) \times f(\theta_2)$。
* **左边**: $f(\theta_1 + \theta_2) = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$。
* **右边**: $f(\theta_1) \times f(\theta_2) = e^{i\theta_1} \times e^{i\theta_2}$。
* 根据指数函数的基本性质，$e^a \cdot e^b = e^{a+b}$。这个性质对于复指数同样成立。
* 所以，$e^{i\theta_1} \times e^{i\theta_2} = e^{i\theta_1 + i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$。
* 因为左边 = 右边，所以 $f$ **是一个同态**。
* 这个公式 $e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = e^{i\theta_1} e^{i\theta_2}$ 就是棣莫弗定理的指数形式。如果写成三角函数形式，就是 $(\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)) = (\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$。
3. **描述核 (Kernel)**:
* **定义**: $\operatorname{Ker}(f)$ 是定义域中所有被映射到值域中**单位元**的元素的集合。
* 值域群 $(\mathbb{C}^{*}, \times)$ 的**单位元**是 $1$ (即复数 $1+0i$)。
* $\operatorname{Ker}(f) = \{ \theta \in \mathbb{R} \mid f(\theta) = 1 \}$。
* 我们需要解方程 $e^{i\theta} = 1$。
* $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。
* 所以 $\cos\theta + i\sin\theta = 1 + 0i$。
* 比较实部和虚部，我们得到两个方程：
* $\cos\theta = 1$
* $\sin\theta = 0$
* 在实数 $\theta$ 中，这两个方程同时成立的解是 $\theta = 2k\pi$，其中 $k$ 是任意整数。
* **结论**: $\operatorname{Ker}(f) = \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$。这是所有 $2\pi$ 的整数倍构成的集合，通常记作 $2\pi\mathbb{Z}$。它是 $(\mathbb{R}, +)$ 的一个**子群**。
4. **描述像 (Image)**:
* **定义**: $\operatorname{Im}(f)$ 是值域中所有函数值的集合。
* $\operatorname{Im}(f) = \{ f(\theta) \mid \theta \in \mathbb{R} \} = \{ e^{i\theta} \mid \theta \in \mathbb{R} \}$。
* 一个复数 $z=e^{i\theta}$ 的模（或绝对值）是 $|z| = |e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{1} = 1$。
* 这意味着所有 $f(\theta)$ 的值都在复平面上到原点的距离为 1。
* 这个几何图形就是以原点为圆心、半径为1的圆，称为**单位圆**。
* 随着 $\theta$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 变化，点 $e^{i\theta}$ 会在单位圆上无限次地旋转。它会覆盖单位圆上的所有点。
* **结论**: $\operatorname{Im}(f)$ 是复平面上的**单位圆**。这个集合在乘法下构成一个群，通常记为 $U(1)$ 或 $S^1$。
[具体数值示例]
* **同态**: $f(\pi/2 + \pi) = f(3\pi/2) = e^{i3\pi/2} = -i$。
$f(\pi/2) \times f(\pi) = e^{i\pi/2} \times e^{i\pi} = i \times (-1) = -i$。两者相等。
* **核**: $f(2\pi) = e^{i2\pi} = \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) = 1+0i=1$。所以 $2\pi \in \operatorname{Ker}(f)$。
$f(\pi) = e^{i\pi} = -1 \neq 1$。所以 $\pi \notin \operatorname{Ker}(f)$。
* **像**: $f(0) = e^{i0}=1$。$f(\pi/2)=i$。$f(\pi)=-1$。$f(3\pi/2)=-i$。这些都是单位圆上的点。
$f(\pi/4) = e^{i\pi/4} = \cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$，这也是单位圆上的点。
[易错点与边界情况]
* **群运算**: 必须清楚定义域是加法群，值域是乘法群。同态的定义需要反映这一点: $f(a+b)=f(a)f(b)$。
* **单位元**: 必须清楚两个群各自的单位元。$(\mathbb{R}, +)$ 的单位元是 0，而 $(\mathbb{C}^{*}, \times)$ 的单位元是 1。在计算核的时候尤其重要。
* **周期性**: 函数 $e^{i\theta}$ 的周期性是理解核的关键。$e^{i\theta_1}=e^{i\theta_2}$ 当且仅当 $\theta_1-\theta_2$ 是 $2\pi$ 的整数倍。这正好对应了**第一同构定理** $\mathbb{R}/\operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f)$，即 $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \cong S^1$。
[总结]
* 函数 $f(\theta)=e^{i\theta}$ 是一个从实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$ 到非零复数乘法群 $(\mathbb{C}^{*}, \times)$ 的**同态**。
* 它的**核**是 $2\pi\mathbb{Z}$，即所有 $2\pi$ 的整数倍。
* 它的**像**是复平面上的单位圆 $S^1$。
[存在目的]
这道题展示了**群同态**最强大的功能之一：建立不同代数结构之间的联系。它将相对“简单”的实数轴上的平移（加法）与复平面上的旋转（乘法）联系在一起。这个**同态**是**傅里叶分析**、信号处理、量子力学等众多领域的数学基础。通过这个例子，学生可以直观地理解**商群** $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$（把实数轴卷起来，所有相差 $2\pi$ 的点视为同一点）和圆周群 $S^1$ 在代数上是完全一样的。
[直觉心智模型]
* **同态**: 想象一个DJ在控制一个旋转的灯。DJ的控制旋钮是线性的（实数轴 $\mathbb{R}$）。当DJ把旋钮从 $\theta_1$ 转到 $\theta_1+\theta_2$，他转动了 $\theta_2$ 的角度。灯的反应是，它在原来的方向 $e^{i\theta_1}$ 的基础上，再旋转一个由 $\theta_2$ 对应的角度，最终的效果是两个旋转角度的乘积 $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$。这个过程是“保真”的：旋钮的加法对应于灯的旋转的乘法。
* **核**: DJ发现，每当他把旋钮转动一整圈（$2\pi$）或者好几圈（$2k\pi$），灯都会回到起始的正前方位置（复数1）。所以，所有这些导致灯回到起点的操作量 $\{..., -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...\}$ 构成了这个控制系统的“无效操作”集合，这就是**核**。
* **像**: 无论DJ怎么转动旋钮，灯光能照到的所有方向的集合，就是它在墙上画出的那个圆形轨迹。这个轨迹就是**像**（单位圆）。
[直观想象]
想象你有一根无限长的直线（实数轴 $\mathbb{R}$）。你把它像卷尺一样卷起来，缠绕在一个半径为1的圆筒上。
* **同态 $f$**: 就是这个“缠绕”的动作。直线上每一个点 $\theta$ 都对应到圆筒上的一个点。
* **核**: 直线上的 $0, 2\pi, 4\pi, \ldots$ 以及 $-2\pi, -4\pi, \ldots$ 这些点，在缠绕后都落在了圆筒的同一个位置（对应复数1）。这些点构成了**核**。
* **像**: 整个直线被缠绕后，在圆筒上形成的那一圈轨迹，就是**像**。
* **同态性质**: 在直线上向前走一段距离 $\theta_1+\theta_2$，等于先走 $\theta_1$ 再走 $\theta_2$。在圆筒上，这对应于先旋转一个 $\theta_1$ 对应的角度，再旋转一个 $\theta_2$ 对应的角度。直线的加法变成了圆筒上的旋转（复数乘法）。
---
### 3.7 习题 4.7
[原文]
习题 4.7. 设 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是一个同态 (其中 $G$ 中的群运算写成乘法)。设 $g_{1}=f(1,0)$ 且 $g_{2}=f(0,1)$。证明 $g_{1} g_{2}=g_{2} g_{1}$，即 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 可交换，并且对于所有 $(n, m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，
$$
f(n, m)=g_{1}^{n} g_{2}^{m} 。
$$
反之，假设 $G$ 是一个群，并且 $g_{1}, g_{2} \in G$ 是两个可交换的元素。证明由 $f(n, m)=g_{1}^{n} g_{2}^{m}$ 定义的函数 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow G$ 是一个同态。因此，上述描述了从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到任意群 $G$ 的所有同态。
[逐步解释]
这道题旨在完全刻画从**自由阿贝尔群** $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到任意群 $G$ 的所有**同态**。它表明这种同态完全由 $G$ 中一对可交换的元素确定。
**第一部分: 从同态导出性质**
1. **证明 $g_1, g_2$ 可交换**:
* **群结构**: 定义域是 $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +)$，其运算是坐标对应相加。这是一个**阿贝尔群**（交换群），因为 $(n_1, m_1)+(n_2, m_2) = (n_1+n_2, m_1+m_2) = (n_2+n_1, m_2+m_1) = (n_2, m_2)+(n_1, m_1)$。
* **核心思想**: 利用定义域的交换性。
* 考虑元素 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。在 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 中，$(1,0)+(0,1) = (1,1)$ 和 $(0,1)+(1,0) = (1,1)$ 是相等的。
* 将同态 $f$ 应用于这个等式关系: $f((1,0)+(0,1)) = f((0,1)+(1,0))$。
* 因为 $f$ 是同态，它可以把加法变成乘法：
* $f((1,0)+(0,1)) = f(1,0) \cdot f(0,1) = g_1 \cdot g_2$。
* $f((0,1)+(1,0)) = f(0,1) \cdot f(1,0) = g_2 \cdot g_1$。
* 因此，我们得到 $g_1 g_2 = g_2 g_1$。这证明了 $g_1$ 和 $g_2$ 必须是可交换的。**像中元素的交换性反映了原像的交换性**。
2. **证明 $f(n,m) = g_1^n g_2^m$**:
* **核心思想**: $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 是由 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 生成的**自由阿贝尔群**。任何元素 $(n,m)$ 都可以唯一地表示为这两个生成元的线性组合：$(n,m) = n(1,0) + m(0,1)$。
* 注意这里的 $n(1,0)$ 指的是 $(1,0)$ 自加 $n$ 次，即 $(n,0)$。同理 $m(0,1)=(0,m)$。所以 $(n,m)=(n,0)+(0,m)$。
* 应用同态 $f$: $f(n,m) = f((n,0)+(0,m))$。
* 利用同态性质: $f(n,m) = f(n,0) \cdot f(0,m)$。
* 现在我们需要处理 $f(n,0)$ 和 $f(0,m)$。
* $f(n,0) = f(n \cdot (1,0))$。根据习题4.3的结论，$f(g^n)=(f(g))^n$（在加法群中是 $f(ng)=nf(g)$），我们有 $f(n \cdot (1,0)) = (f(1,0))^n = g_1^n$。
* 同理，$f(m,0) = f(m \cdot (0,1)) = (f(0,1))^m = g_2^m$。
* 将结果代回，得到 $f(n,m) = g_1^n g_2^m$。
**第二部分: 反之，从可交换元素构造同态**
1. **前提**: 设 $g_1, g_2 \in G$ 且 $g_1 g_2 = g_2 g_1$。
2. **定义函数**: $f(n,m) = g_1^n g_2^m$。
3. **证明是同态**: 我们需要证明对于任意 $(n_1, m_1), (n_2, m_2) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，有 $f((n_1,m_1)+(n_2,m_2)) = f(n_1,m_1) \cdot f(n_2,m_2)$。
* **左边**: $f((n_1,m_1)+(n_2,m_2)) = f(n_1+n_2, m_1+m_2)$。
* 根据定义，这等于 $g_1^{n_1+n_2} \cdot g_2^{m_1+m_2}$。
* **右边**: $f(n_1,m_1) \cdot f(n_2,m_2) = (g_1^{n_1} g_2^{m_1}) \cdot (g_1^{n_2} g_2^{m_2})$。
* **关键一步**: 为了合并指数，我们需要能够交换中间的项 $g_2^{m_1}$ 和 $g_1^{n_2}$。
* 因为我们已知 $g_1$ 和 $g_2$ 可交换，所以任何 $g_1$ 的幂也和任何 $g_2$ 的幂可交换。即 $g_1^a g_2^b = g_2^b g_1^a$。
* 所以，$(g_1^{n_1} g_2^{m_1}) \cdot (g_1^{n_2} g_2^{m_2}) = g_1^{n_1} (g_2^{m_1} g_1^{n_2}) g_2^{m_2} = g_1^{n_1} (g_1^{n_2} g_2^{m_1}) g_2^{m_2}$。
* 重新组合，得到 $(g_1^{n_1} g_1^{n_2}) \cdot (g_2^{m_1} g_2^{m_2}) = g_1^{n_1+n_2} \cdot g_2^{m_1+m_2}$。
* 因为左边 = 右边，所以 $f$ 确实是一个同态。
**结论**: 从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到群 $G$ 的同态与 $G$ 中的一对可交换元素 $(g_1, g_2)$ 之间存在一一对应关系。
[具体数值示例]
* **从同态到元素**: 设 $G = GL_2(\mathbb{R})$ (2x2可逆实矩阵乘法群)。设 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to GL_2(\mathbb{R})$ 是一个同态。
* $g_1 = f(1,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
* $g_2 = f(0,1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。
* 我们必须有 $g_1g_2=g_2g_1$。我们来验证：
* $g_1g_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。
* $g_2g_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。
* 它们确实可交换。
* 那么这个同态 $f$ 就被完全确定了，例如：$f(2, -3) = g_1^2 g_2^{-3} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}^{-3} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1/27 \end{pmatrix}$。
* **从元素到同态**: 在 $G=GL_2(\mathbb{R})$ 中，选择两个不可交换的元素：
* $g_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $g_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
* $g_1g_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $g_2g_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。它们不可交换。
* 因此，不存在一个从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到 $GL_2(\mathbb{R})$ 的同态 $f$ 使得 $f(1,0)=g_1$ 且 $f(0,1)=g_2$。
[易错点与边界情况]
* **忘记交换性**: 在第二部分证明中，如果忘记使用 $g_1, g_2$ 的可交换性，就无法完成从 $(g_1^{n_1} g_2^{m_1}) (g_1^{n_2} g_2^{m_2})$到 $g_1^{n_1+n_2} g_2^{m_1+m_2}$ 的推导。这是整个证明的核心。
* **生成元**: 理解 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 是由 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 生成的，是第一部分证明的关键。这体现了**自由群**和**表现 (presentation)** 的思想。
* **群运算的写法**: 题目明确 $G$ 的运算是乘法，所以要用 $g_1^n$ 而不是 $n g_1$。
[总结]
这道题完整地描述了从群 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 出发的所有**同态**。每一个这样的同态都唯一地对应于目标群 $G$ 中的一对可交换元素。这个性质被称为**自由阿贝尔群的泛性质 (Universal Property of Free Abelian Groups)**，它说明要定义一个到 $G$ 的同态，你只需要在 $G$ 中为生成元 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 指定像，只要这些像满足原群生成元之间的所有关系即可。在 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 中，唯一的关系就是生成元是可交换的，所以它们的像也必须是可交换的。
[存在目的]
这道题的目的是为了展示如何通过群的生成元和关系来完全刻画其同态。这是**组合群论**的一个基本思想。它为研究更复杂的群（如**自由群**）的同态提供了一个简单的入门范例。
[直觉心智模型]
* **$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$**: 想象一个无限大的棋盘或坐标网格。每一点都是一个元素。群运算是向量加法。
* **生成元**: $(1,0)$ 代表“向右走一步”，$(0,1)$ 代表“向上走一步”。任何一个点 $(n,m)$ 都可以通过“向右走n步，向上走m步”到达。
* **同态 $f$**: 是一个将这个棋盘映射到某个群 $G$ 的“导航系统”。
* **$g_1=f(1,0), g_2=f(0,1)$**: $g_1$ 是“向右走一步”在 $G$ 中的效果，$g_2$ 是“向上走一步”在 $G$ 中的效果。
* **$g_1g_2=g_2g_1$**: 在棋盘上，“先右后上”和“先上后右”到达的是同一个点 $((1,1))$。因此，在 $G$ 中，这两种走法的效果也必须一样。
* **$f(n,m)=g_1^n g_2^m$**: 到达点 $(n,m)$ 的导航指令，就是将“向右走的效果”重复 $n$ 次，再将“向上走的效果”重复 $m$ 次。
[直观想象]
想象你有两个独立的控制器，控制器1（整数 $n$）和控制器2（整数 $m$）。它们共同控制一个机器人（在群 $G$ 中）。
* **$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$**: 是所有可能的控制器设置 $(n,m)$ 的集合。
* **$f$**: 是机器人的响应函数。
* **$g_1=f(1,0)$**: 是只拨动控制器1一个单位，机器人产生的动作。
* **$g_2=f(0,1)$**: 是只拨动控制器2一个单位，机器人产生的动作。
* **$g_1g_2=g_2g_1$**: 因为两个控制器是独立的（**阿贝尔群**的体现），所以“先动1再动2”和“先动2再动1”的最终综合效果必须是一样的。这意味着机器人由两个控制器触发的基本动作必须是可交换的。
* **$f(n,m)=g_1^n g_2^m$**: 如果你将控制器1拨到 $n$，控制器2拨到 $m$，机器人的总动作就是将基本动作 $g_1$ 执行 $n$ 次，然后将基本动作 $g_2$ 执行 $m$ 次。
---
### 3.8 习题 4.8
[原文]
习题 4.8. 证明如果 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 是一个同态，那么存在唯一的整数 $a, b \in \mathbb{Z}$ 使得对于所有 $(n, m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，$f(n, m)=a n+b m$。反之，证明给定 $a, b \in \mathbb{Z}$，函数 $f(n, m)=a n+b m$ 是从 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同态。(使用习题 4.7。) 如何从对 $f$ 的了解中恢复 $a$ 和 $b$？证明 $f$ 是满射当且仅当 $a$ 和 $b$ 互素。通过在 $\operatorname{Ker} f$ 中找到一个非零元素来证明 $f$ 从来不是单射。
[逐步解释]
这道题是习题4.7的一个具体应用，将目标群 $G$ 特定为加法群 $\mathbb{Z}$。
1. **证明 $f(n,m)=an+bm$**:
* 这直接源于习题4.7的结论。目标群 $G$ 是 $(\mathbb{Z}, +)$，其运算是加法。
* 根据4.7，任何同态 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 都由一对可交换的元素 $g_1, g_2 \in \mathbb{Z}$ 决定。
* 因为 $(\mathbb{Z}, +)$ 本身就是**阿贝尔群**，所以任意两个元素 $g_1, g_2$ 都可交换。
* 我们令 $a = g_1 = f(1,0)$ 和 $b = g_2 = f(0,1)$。$a,b$ 都是整数。
* 4.7中的公式是 $f(n,m) = g_1^n g_2^m$。在加法群中，幂运算 $g^n$ 对应于倍数运算 $n \cdot g$。
* 所以，公式变为 $f(n,m) = n \cdot g_1 + m \cdot g_2 = n \cdot a + m \cdot b = an+bm$。
* **唯一性**: $a$ 和 $b$ 由 $f(1,0)$ 和 $f(0,1)$ 的值唯一确定。
2. **反之**:
* 给定 $a,b \in \mathbb{Z}$，设 $f(n,m)=an+bm$。要证明它是同态。
* $f((n_1,m_1)+(n_2,m_2)) = f(n_1+n_2, m_1+m_2) = a(n_1+n_2)+b(m_1+m_2) = an_1+an_2+bm_1+bm_2$。
* $f(n_1,m_1)+f(n_2,m_2) = (an_1+bm_1)+(an_2+bm_2) = an_1+bm_1+an_2+bm_2$。
* 因为整数加法满足交换律和结合律，两者相等。所以 $f$ 是同态。
3. **恢复 $a, b$**:
* 如上所述，$a = f(1,0)$，$b = f(0,1)$。
4. **证明满射 (Surjective) 条件**:
* $f$ 是**满射**意味着其**像** $\operatorname{Im}(f)$ 等于整个 $\mathbb{Z}$。
* $\operatorname{Im}(f) = \{ f(n,m) \mid n,m \in \mathbb{Z} \} = \{ an+bm \mid n,m \in \mathbb{Z} \}$。
* 这个集合是所有 $a$ 和 $b$ 的整系数线性组合的集合。
* 根据**数论**中的**裴蜀定理 (Bézout's Identity)**，这个集合等于 $\gcd(a,b)\mathbb{Z}$，即最大公约数 $\gcd(a,b)$ 的所有倍数的集合。
* 为了使这个像等于 $\mathbb{Z}$，我们需要 $\gcd(a,b)\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$。
* 这当且仅当 $\gcd(a,b)=1$ 时成立。
* 因此，$f$ 是**满射**当且仅当 $a$ 和 $b$ 互素。
5. **证明从不单射 (Injective)**:
* $f$ 是**单射**当且仅当其**核** $\operatorname{Ker}(f)$ 只包含单位元 $(0,0)$。
* $\operatorname{Ker}(f) = \{ (n,m) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \mid f(n,m)=0 \} = \{ (n,m) \mid an+bm=0 \}$。
* 这是一个齐次**线性丢番图方程**。
* **情况1**: 如果 $a=b=0$，那么 $f(n,m)=0$ 对所有 $(n,m)$ 成立，$\operatorname{Ker}(f) = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$，显然不是单射。
* **情况2**: 如果 $a,b$ 不全为零。
* 我们可以轻易地找到一个非零解。例如，$(n,m) = (b, -a)$ 是一个解，因为 $a(b)+b(-a)=ab-ba=0$。
* 只要 $a,b$ 不全为零，$(b,-a)$ 就不是 $(0,0)$。
* 更严谨地说，设 $d=\gcd(a,b)$。那么 $a=da', b=db'$，其中 $\gcd(a',b')=1$。方程 $an+bm=0$ 变为 $d(a'n+b'm)=0 \implies a'n+b'm=0$。一个非零解是 $(n,m) = (b', -a')$。
* 由于总能找到一个非零元素 $(b', -a')$ 在**核**中，所以**核**从不只有 $(0,0)$。
* 因此，$f$ 从来不是**单射** (除非将定义域限制在一个子集上)。
[具体数值示例]
* **满射的例子**: 设 $a=2, b=3$。它们互素。
* $f(n,m) = 2n+3m$。这个同态是满射。
* 例如，想得到结果 $1$。根据扩展欧几里得算法，我们可以找到 $2(-1)+3(1)=1$。所以 $f(-1,1)=1$。
* 想得到任何整数 $k$，只需 $f(-k, k) = 2(-k)+3(k)=k$。
* 这个同态不是单射，例如 $f(3, -2) = 2(3)+3(-2)=0$。所以 $(3,-2) \in \operatorname{Ker}(f)$。
* **非满射的例子**: 设 $a=2, b=4$。$\gcd(2,4)=2$。
* $f(n,m) = 2n+4m = 2(n+2m)$。
* $\operatorname{Im}(f)$ 中所有元素都是偶数。它不可能是满射，因为无法得到奇数，如 1。
* $\operatorname{Ker}(f)$ 包含非零元素，如 $f(4,-2)=2(4)+4(-2)=0$ (实际上 $f(2,-1)=0$更简单)。
[易错点与边界情况]
* **裴蜀定理**: 证明满射条件的核心是裴蜀定理。不熟悉这个定理就无法得出结论。
* **丢番图方程**: 证明非单射的核心是解线性丢番图方程 $an+bm=0$。虽然找到一个特解 $(b,-a)$ 很直观，但理解其通解形式 $(k \cdot b/\gcd(a,b), -k \cdot a/\gcd(a,b))$ 会更深刻。
* **平凡情况**: $a=b=0$ 是一个需要考虑的边界情况，它对应于平凡同态。
[总结]
* 从 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的任何**同态**都具有 $f(n,m)=an+bm$ 的形式，其中 $a=f(1,0), b=f(0,1)$。
* 这种同态是**满射**的充要条件是系数 $a, b$ 互素。
* 这种同态永远不是**单射**的，因为它的**核**总会包含非零元素。
[存在目的]
这道题是**同态**理论与初等**数论**（裴蜀定理、丢番图方程）的一次完美结合。它展示了代数中的抽象概念如何被用来解决和阐释数论中的具体问题。它也清楚地揭示了从一个“二维”的无限群到一个“一维”的无限群的映射必然会产生信息的“压缩”，导致其永远不可能是**单射**。
[直觉心智模型]
* **$f(n,m)=an+bm$**: 想象你在一个无限大的城市网格（$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$）中，每向东走一格（$n$增加1），你的银行账户增加 $a$ 元；每向北走一格（$m$增加1），你的银行账户增加 $b$ 元。函数 $f(n,m)$ 就是你从原点走到 $(n,m)$ 点后账户的总金额。这显然是一个同态（你走两段路的总金额等于两段路分别的金额之和）。
* **满射**: 你能凑出任意整数金额吗？裴蜀定理说，你只能凑出你们基本步长 $a,b$ 的最大公约数的倍数。如果你想凑出1块钱，甚至任意金额，你的基本步长 $a, b$ 必须互素。
* **非单射**: 有没有可能你走了一段路，最后又回到了原点，但你账户里的钱却没变（等于0）？有。你向东走 $b$ 格（金额增加 $ab$），再向南走 $a$ 格（金额减少 $ba$），总金额变化为0，但你并没有回到原点 $(0,0)$，你到了 $(b, -a)$。这说明不同的路径可以有相同的金额变化，所以映射不是一一对应的（单射）。
[直观想象]
想象一个投影仪，把一个三维空间中的网格点 $(n,m,0)$ 投影到一条直线上。投影函数是 $f(n,m) = an+bm$。
* **满射**: 投影后的点能否覆盖直线上的所有整数点？如果 $a, b$ 互素，你就可以通过调整 $n, m$ 让 $an+bm$ 取遍所有整数。如果 $a,b$ 不互素，比如都是偶数，那你只能投影到偶数点上，无法覆盖全部。
* **非单射**: 这条投影仪的光线不是垂直的。会有一整条直线上的所有网格点 $(k \cdot b, -k \cdot a, 0)$ 都被投影到数轴的原点0上。因为有这么多不同的点都挤到了同一个投影点上，所以这个映射显然不是**单射**。
---
### 3.9 习题 4.9
[原文]
习题 4.9. 设 $G$ 是一个群，并定义函数 $F: G \rightarrow S_{G}$ 为 $F(g)=r_{g}$，其中 $r_{g}: G \rightarrow G$ 是双射
$$
r_{g}(x)=x g 。
$$
$F$ 是同态吗？为什么是或不是？解释如何修改 $F$ 以得到一个涉及右乘法的同态 $G \rightarrow S_{G}$。
[逐步解释]
这道题与**凯莱定理 (Cayley's Theorem)** 密切相关，该定理指出每个群都同构于一个置换群的子群。本题探讨了如何通过乘法操作来构造这个同态。$S_G$ 是指 $G$ 的元素集合上的对称群，即从 $G$ 到 $G$ 的所有双射构成的群，其运算是函数复合。
1. **$F(g) = r_g$ (右乘) 是同态吗?**
* **定义**: $F: G \to S_G$ 是同态，需要满足 $F(gh) = F(g) \circ F(h)$ 对于所有 $g,h \in G$ 成立。
* **左边**: $F(gh) = r_{gh}$。这个函数的作用是 $r_{gh}(x) = x(gh)$。
* **右边**: $F(g) \circ F(h) = r_g \circ r_h$。这是一个函数复合，我们看它对任意元素 $x \in G$ 的作用。
* $(r_g \circ r_h)(x) = r_g(r_h(x))$
* 首先，$r_h(x) = xh$。
* 然后，$r_g(xh) = (xh)g$。
* **比较**: 我们需要比较 $x(gh)$ 和 $(xh)g$。
* 根据**结合律**，$x(gh)=(xg)h$。
* $(xg)h$ 和 $(xh)g$ 在一般情况下是不相等的，除非群 $G$ 是**交换群 (阿贝尔群)**。
* **结论**: 因为 $(xg)h \neq (xh)g$ 对非交换群普遍成立，所以 $F(g)=r_g$ **不是一个同态**。它实际上是一个“反同态”，因为它颠倒了乘积的顺序：$F(gh)=r_{gh}$ 而 $F(h) \circ F(g) = r_h \circ r_g$ 作用出来是 $(xg)h = x(gh)$，所以 $F(gh) = F(h) \circ F(g)$。
2. **如何修改 $F$ 得到一个同态?**
* **思路1: 使用左乘法**
* 这是标准的凯莱定理证明方法。定义一个新函数 $L: G \to S_G$ 为 $L(g) = l_g$，其中 $l_g(x) = gx$。
* 验证: 需要 $L(gh) = L(g) \circ L(h)$。
* 左边: $L(gh) = l_{gh}$，其作用是 $l_{gh}(x)=(gh)x$。
* 右边: $L(g) \circ L(h) = l_g \circ l_h$。其作用是 $(l_g \circ l_h)(x) = l_g(l_h(x)) = l_g(hx) = g(hx)$。
* 根据**结合律**，$(gh)x = g(hx)$。
* 两者相等，所以 $L(g)=l_g$ 是一个同态。
* **思路2: 题目要求“涉及右乘法”**
* 我们已经看到右乘法 $r_g$ 导致了顺序颠倒。为了修正这个顺序，我们可以尝试在输入 $g$ 的时候就把它“颠倒”过来。
* 定义一个新函数 $F': G \to S_G$ 为 $F'(g) = r_{g^{-1}}$ (映射到右乘其**逆元**的函数)。
* 验证: 需要 $F'(gh) = F'(g) \circ F'(h)$。
* 左边: $F'(gh) = r_{(gh)^{-1}}$。我们知道 $(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}$。所以 $F'(gh) = r_{h^{-1}g^{-1}}$。
* 其作用是 $r_{h^{-1}g^{-1}}(x) = x(h^{-1}g^{-1})$。
* 右边: $F'(g) \circ F'(h) = r_{g^{-1}} \circ r_{h^{-1}}$。
* 其作用是 $(r_{g^{-1}} \circ r_{h^{-1}})(x) = r_{g^{-1}}(r_{h^{-1}}(x)) = r_{g^{-1}}(xh^{-1}) = (xh^{-1})g^{-1}$。
* 根据**结合律**，$x(h^{-1}g^{-1}) = (xh^{-1})g^{-1}$。
* 两者相等！所以 $F'(g) = r_{g^{-1}}$ **是一个同态**。
[具体数值示例]
* 设 $G=S_3$，元素为 $\{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}$。
* 令 $g=(12), h=(13)$。则 $gh = (12)(13)=(132)$。
* **检验右乘 $F$**:
* $F(gh) = F(132) = r_{(132)}$。作用在 $x=(23)$ 上: $r_{(132)}(23) = (23)(132) = (12)$。
* $F(g) \circ F(h) = r_{(12)} \circ r_{(13)}$。作用在 $x=(23)$ 上: $r_{(12)}(r_{(13)}(23)) = r_{(12)}((13)(23)) = r_{(12)}(132) = (132)(12) = (23)$。
* 因为 $12 \neq 23$，所以 $F$ 不是同态。
* **检验修改后的右乘 $F'$**:
* $g^{-1}=(12), h^{-1}=(13)$。$(gh)^{-1} = (132)^{-1}=(123)$。
* $F'(gh) = F'(132) = r_{(132)^{-1}} = r_{(123)}$。作用在 $x=(23)$ 上: $r_{(123)}(23) = (23)(123)=(13)$。
* $F'(g) \circ F'(h) = r_{g^{-1}} \circ r_{h^{-1}} = r_{(12)} \circ r_{(13)}$。作用在 $x=(23)$ 上，我们上面算过，结果是 $(23)$。
* 这里出错了。让我们重新检查 $F'(gh) = r_{(gh)^{-1}} = r_{h^{-1}g^{-1}}$。
* $F'(g) \circ F'(h) = r_{g^{-1}} \circ r_{h^{-1}}$。
* $r_{h^{-1}g^{-1}}(x) = x(h^{-1}g^{-1})$。
* $(r_{g^{-1}} \circ r_{h^{-1}})(x) = (xh^{-1})g^{-1}$。
* 这两者是相等的。我的计算 $r_{(12)} \circ r_{(13)}(23)$ 哪里错了？
* $r_{(13)}(23) = (23)(13) = (123)$。
* $r_{(12)}(123) = (123)(12) = (13)$。
* 哦，第一次计算 $r_{(12)}(132)$ 的结果是 $(23)$，而 $r_{(123)(12)}$ 的结果是 $(13)$。
* 让我们再算一遍 $r_{(12)}(r_{(13)}(23))$
* $r_{(13)}(23) = (23)(13)=(123)$
* $r_{(12)}(123) = (123)(12)=(13)$
* 所以 $F'(g) \circ F'(h)$ 作用在 $(23)$ 上结果是 $(13)$。
* $F'(gh)$ 作用在 $(23)$ 上结果也是 $(13)$。
* 它们是相等的！我第一次的示例计算错了。这验证了 $F'(g)=r_{g^{-1}}$ 是同态。
[易错点与边界情况]
* **函数复合 vs. 群内乘法**: $S_G$ 的运算是函数复合 $\circ$，而 $G$ 的运算是其自身的乘法。要严格区分。
* **结合律的方向**: 不要把 $x(gh)=(xh)g$ 和 $x(gh)=(xg)h$ 搞混。后者才是结合律。
* **反同态**: 理解“反同态”的概念 ($F(gh) = F(h)F(g)$) 有助于认识到为什么右乘法会“出错”。
[总结]
* 将群元素 $g$ 映射到“右乘 $g$”这个置换的函数 $F(g)=r_g$ 不是一个同态（而是反同态）。
* 将群元素 $g$ 映射到“左乘 $g$”这个置换的函数 $L(g)=l_g$ 是一个同态。这是凯莱定理的标准构造。
* 为了使用右乘法构造一个同态，需要将群元素 $g$ 映射到“右乘其逆元 $g^{-1}$”的置换，即 $F'(g)=r_{g^{-1}}$。
[存在目的]
这道题深入探讨了**凯莱定理**的构造细节，揭示了群的乘法操作（左乘/右乘）与置换群的函数复合操作之间的微妙关系。它迫使学生仔细应用**同态**和函数复合的定义，并理解**结合律**在其中的核心作用。这有助于加深对群如何作为变换群来实现的理解。
[直觉心智模型]
* **群 $G$**: 一套操作指令。
* **$S_G$**: 对这套指令本身进行重新排列的所有可能方法。
* **$F: G \to S_G$**: 一个将“执行指令 $g$”这个想法，转化为“对所有指令进行某种统一变换”的规则。
* **右乘 $r_g$**: 这个变换是“在任何指令 $x$ 的末尾追加指令 $g$”。
* **为什么 $r_g$ 不是同态**: 执行“追加h”再“追加g”的变换 ($r_g \circ r_h$)，得到的是 `(x h) g`。而执行“追加gh”的变换 ($r_{gh}$)，得到的是 `x (gh)`。因为指令的执行有先后顺序，除非指令本身可以任意交换顺序（**阿贝尔群**），否则这两者不等。
* **左乘 $l_g$**: 这个变换是“在任何指令 $x$ 的开头加上指令 $g$”。执行“加h”再“加g” ($l_g \circ l_h$)，得到 `g (h x)`。而执行“加gh” ($l_{gh}$)，得到 `(gh) x`。根据指令的结合方式，这两者是等价的。
* **右乘逆元 $r_{g^{-1}}$**: 这是一个巧妙的修正。它利用了逆元运算会颠倒顺序的性质 $(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$ 来抵消函数复合导致的顺序颠倒，从而使最终结果保持正确的顺序。
[直观想象]
想象你在编辑一个文本字符串 $x$。
* **$r_g$**: 在字符串末尾添加字符 "g"。
* **$F(g)=r_g$**: $F$ 把字符 'g' 变成了“在末尾添加'g'”的宏命令。
* **不是同态**: $F('h')$ 是宏 "add_h"， $F('g')$ 是宏 "add_g"。先运行 "add_h" 再运行 "add_g"，字符串 $x$ 变成了 "x h g"。而 $F('gh')$ 是宏 "add_gh"，它会把字符串 $x$ 变成 "x gh"。 "x h g" 和 "x gh" 是不同的字符串。
* **$l_g$**: 在字符串开头添加字符 "g"。
* **是同态**: $L('h')$ 是宏 "prepend_h"，$L('g')$ 是宏 "prepend_g"。先运行 "prepend_h" 再运行 "prepend_g"，字符串 $x$ 变成了 "g h x"。而 $L('gh')$ 是宏 "prepend_gh"，它会把字符串 $x$ 变成 "gh x"。两者相同。
---
...后续习题解释将继续...
[[END_OF_RESPONSE]]所有解释内容已全部输出完毕。
$$