5.1_群作用与西罗定理_群作用.1.ZH解释

这句话是本章内容的引言，旨在说明群这个抽象的代数概念在数学和物理学的实际应用中，通常不是孤立存在的，而是通过“作用”于其他数学对象（即“其他结构”）来体现其价值和意义。

• 群 (Group)：在数学中，群是一个集合，连同一个在该集合上定义的二元运算，满足四个基本性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。这是一个非常基础和核心的代数结构。例如，整数集合与加法运算构成一个群。
• 其他结构 (Other Structures)：这里的“结构”是一个广义的术语，指任何数学对象或集合。常见的例子包括：
• 几何对象：如点、线、多边形、多面体、球面等。
• 向量空间：如我们熟悉的二维平面 $\mathbb{R}^2$ 或三维空间 $\mathbb{R}^3$。
• 集合本身：可以是一个包含任何元素的集合，比如 {1, 2, 3, ..., n}。
• 其他代数结构：一个群也可以作用于另一个群。

这句话的核心思想是，研究一个群的性质，往往可以通过观察它如何“操控”或“变换”其他对象来更直观、更深入地理解。这种“操控”或“变换”就是所谓的“群作用”。

这句话紧接着前一句，给出了两个具体的例子来说明群是如何与其他结构相关的。它指出了在几何学和物理学这两个重要领域中，群最常见的两种表现形式：对称群和变换群。

• 几何学或物理学中出现的群：这是限定了讨论的范围。在这些应用驱动的学科里，群的概念非常具体。
• 几何对象的对称群 (Symmetry group of a geometric object)：
• 几何对象：如一个正n边形、一个立方体、一个晶体结构。
• 对称：一个操作被称为对象的“对称”，如果操作之后，对象看起来和原来一模一样，占据的空间也完全相同。
• 对称群：一个几何对象的所有对称操作的集合，以操作的“复合”（即连续执行两个操作）为群运算，构成一个群。这个群精确地描述了该对象的对称性质。
• $D_n$：这是二面体群 (Dihedral group) 的标准符号。它是一个具体的例子，代表正n边形的所有对称操作构成的群。例如，$D_3$是等边三角形的对称群，$D_4$是正方形的对称群。$D_n$中的元素作用于那个正n边形。
• 空间的变换群 (Transformation group of a space)：
• 空间：通常指一个向量空间，比如三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$。
• 变换：指从空间到其自身的某种函数或映射，通常要求保持某些性质，比如距离、角度或体积。
• 变换群：满足特定性质的一组变换，在函数复合下构成一个群。
• $S O(3)$：这是三维特殊正交群 (Special Orthogonal group in 3 dimensions) 的标准符号。它代表了三维空间中所有保持原点不变、保持距离和方向（即不含镜像翻转）的旋转操作。物理学中，刚体的转动就是由 $S O(3)$ 来描述的。$S O(3)$ 中的元素作用于整个三维空间 $\mathbb{R}^3$。

这句话是一个承上启下的句子，它正式点明了本章的核心主题。

• 这种关系：指的是前文所描述的，群（如 $D_n$, $S O(3)$）与其它结构（如正n边形，三维空间 $\mathbb{R}^3$）之间的关联。这种关联表现为群的元素可以“操作”或“变换”那个结构。
• 背后的思想：意味着数学家们已经将这种普遍存在的“关系”提炼、抽象成一个统一的、精确的数学概念。
• 是群作用 (is a group action)：这正式给出了这个核心概念的名称。接下来的内容将会围绕“群作用”的严格定义、性质和应用展开。

简而言之，这句话的作用就是为一个即将被正式定义的重要概念命名，并告诉读者，我们之前讨论的所有例子，都可以被“群作用”这个统一的理论框架所描述。

这是群作用的正式数学定义，是本章乃至后续所有内容的基础。我们来逐句、逐符号地拆解它。

• 设 $G$ 是一个群，$X$ 是一个集合。
• 这是定义的前提条件。我们需要两个基本的“原料”：一个群 $G$（提供“操作”的集合）和一个集合 $X$（提供“被操作对象”的集合）。
• $G$ 拥有群结构（封闭的二元运算、结合律、单位元、逆元）。
• $X$ 在这里可以只是一个普通的集合，没有要求它有额外的结构（比如加法或乘法），它就是一堆元素的聚集。

• 那么 $G$ 在 $X$ 上的一个作用是一个函数 $F: G \times X \rightarrow X$
• 函数 $F$：群作用的本质是一个函数。
• 定义域 $G \times X$：这个函数的输入是一个“有序对” $(g, x)$，其中 $g$ 是来自群 $G$ 的一个元素， $x$ 是来自集合 $X$ 的一个元素。这就像输入“一个操作”和“一个对象”。
• 值域 $X$：这个函数的输出是集合 $X$ 中的一个元素。这意味着，用 $G$ 中的一个元素 $g$ 去作用于 $X$ 中的一个元素 $x$，结果仍然是 $X$ 中的一个元素。集合 $X$ 在这个作用下是“封闭”的。

• 我们记 $F(g, x)=g \cdot x$
• 这纯粹是为了书写方便而引入的简写符号。
• 原始的函数写法 $F(g, x)$ 比较繁琐。
• 新的写法 $g \cdot x$ 更直观，看起来就像是“$g$ 作用在 $x$ 上”或者“$g$ 乘以 $x$”，读作 "g dot x" 或 "g acts on x"。这个点 · 就是群作用的标志。

• 满足：
• 一个任意的函数 $F: G \times X \rightarrow X$ 并不能都叫做群作用。它必须满足下面两条非常重要的公理。

• (1) 对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$ 和 $x \in X$, $g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot x\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) \cdot x$。
• 结合律公理 (Associativity Axiom)：这条规则描述了“连续作用”的行为。
• 左边 $g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot x\right)$：表示一个两步过程。第一步，先用 $g_2$ 作用于 $x$，得到一个新元素 $x' = g_2 \cdot x$。第二步，再用 $g_1$ 作用于这个新元素 $x'$。
• 右边 $\left(g_{1} g_{2}\right) \cdot x$：表示一个一步过程。第一步，先在群 $G$ 内部，将 $g_1$ 和 $g_2$ 按照群的运算规则进行运算，得到一个新的群元素 $g_3 = g_1 g_2$。第二步，直接用这个“复合后”的新元素 $g_3$ 作用于原始的 $x$。
• 等号的意义：这条公理要求上述两种方式得到的结果必须完全相同。换句话说，先连续作用，等价于先在群内复合再作用。这保证了群作用与群自身的运算结构是相容的。

• (2) 对于所有 $x \in X$, $1 \cdot x=x$。
• 单位元公理 (Identity Axiom)：这条规则描述了群中“单位元”的行为。
• $1$：这里的 $1$ 是群 $G$ 的单位元（Identity element）。
• $1 \cdot x = x$：表示用群的单位元去作用于集合 $X$ 中的任何元素 $x$，结果就是 $x$ 本身，什么都没有改变。
• 意义：单位元在群作用中扮演了“无操作”或“恒等变换”的角色，这符合我们对单位元的直觉。

这句话引入了一个术语和一个重要的提醒。

• 当作用 $F$ 被理解时，我们称 $X$ 为 $G$-集。
• 术语引入：这里定义了一个新的名词 $G$-集 ($G$-set)。
• 含义：一个集合 $X$ 如果配备了一个群 $G$ 在其上的作用，那么我们就给这个集合 $X$ 一个新的身份，称它为 "$G$ 的一个集合"，简称 $G$-集。
• 语境依赖：“当作用 $F$ 被理解时” (when the action F is understood) 这个状语很重要。意思是，当我们谈论一个 $G$-集时，我们心中已经明确了是哪个群 $G$ 以及是通过哪种作用方式联系起来的。如果作用方式不明确，就不能简单地称 $X$ 为 $G$-集。

• （正如我们将看到的，...）
• 重要的提醒：括号里的内容是对前面术语的一个补充说明，强调了“作用方式”的重要性。
• $X$ 有不止一种有趣的 $G$ 作用：同一个群 $G$ 和同一个集合 $X$ 之间，可以定义多种不同的、都满足群作用公理的函数 $F$。
• 因此 $X$ 以不止一种方式成为 $G$-集：这意味着，当我们说“$X$ 是一个 $G$-集”时，我们必须清楚我们指的是哪一种作用下的 $G$-集。不同的作用会引发完全不同的数学性质和结论。

这段话旨在通过类比，辨析两个容易混淆的数学概念：群作用 (Group Action) 和 二元结构 (Binary Structure) / 二元运算 (Binary Operation)。

• 请注意，群作用与二元结构不同。
• 这是一个明确的提示，要求读者注意区分。
• 二元结构：通常指一个集合 $X$ 配备一个二元运算。二元运算是一个函数 $\circ: X \times X \rightarrow X$，它取集合 $X$ 中的两个元素，经过运算后得到 $X$ 中的一个新元素。我们熟悉的加法、乘法都是二元运算。

• 在二元结构中，我们结合 $X$ 的两个元素得到 $X$ 的第三个元素...
• 这描述了二元运算的本质：操作的对象和产生的结果都来自同一个集合 $X$。
• 函数形式是 $\circ: X \times X \rightarrow X$。
• （我们结合两个苹果得到一个苹果）：这是一个非常生动的比喻。想象一个“苹果汁”操作：输入是一个苹果和另一个苹果，输出还是一个苹果（可能是它们的混合物，但种类没变）。

• 在群作用中，我们结合 $G$ 的一个元素与 $X$ 的一个元素得到 $X$ 的一个元素...
• 这描述了群作用的本质：操作的发起者 $g$ 来自群 $G$，被操作者 $x$ 来自集合 $X$，而结果 $g \cdot x$ 仍然在集合 $X$ 中。
• 函数形式是 $F: G \times X \rightarrow X$。
• （我们结合一个苹果和一个橙子得到另一个橙子）：这是与之对应的比喻。
• 橙子：代表被作用的集合 $X$ 的元素。
• 苹果：代表作用者群 $G$ 的元素。
• 操作：可以想象成“用苹果给橙子染色”。比如，一个“红苹果”（群元素）作用在一个“黄橙子”（集合元素）上，得到一个“红橙子”（集合元素）。结果的类别（橙子）没有变，但状态变了。操作的发起者（苹果）和被操作者（橙子）来自不同的集合。

这是群作用中最简单、最基础的一种形式，被称为平凡作用 (Trivial Action)。

• 定义: 对于任何来自群 $G$ 的元素 $g$，以及任何来自集合 $X$ 的元素 $x$，作用的结果永远是 $x$ 本身。
• 含义: 群里的所有元素，包括单位元和非单位元，作用在集合的元素上时，都表现为“什么也不做”。被作用的元素 $x$ 的状态没有任何改变。

我们来验证它是否满足群作用的两条公理：

• 验证公理(1)：$g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot x\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) \cdot x$
• 左边：$g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot x\right)$。根据平凡作用的定义，$g_2 \cdot x = x$。所以左边等于 $g_1 \cdot x$。再根据定义，$g_1 \cdot x = x$。所以左边最终结果是 $x$。
• 右边：$\left(g_{1} g_{2}\right) \cdot x$。令 $g_3 = g_1 g_2$，这是群里的一个新元素。根据平凡作用的定义，$g_3 \cdot x = x$。所以右边结果也是 $x$。
• 左边 = 右边，公理(1)成立。
• 验证公理(2)：$1 \cdot x=x$
• 根据平凡作用的定义，对于所有 $g \in G$ 都有 $g \cdot x=x$。群的单位元 $1$ 当然也是 $G$ 的一个元素，所以 $1 \cdot x = x$ 自然成立。公理(2)成立。

既然两条公理都满足，平凡作用确实是一个合法的群作用。

这个例子展示了一个非常实用和常见的群作用：标量乘法。

• 群 $\mathbb{R}^{*}$：
• 符号 $\mathbb{R}$ 代表所有实数的集合。
• 上标 * (星号) 通常表示从集合中去掉加法单位元（即0）。所以 $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} - \{0\}$，是所有非零实数的集合。
• 这个集合在乘法运算下构成一个群。
• 封闭性：两个非零实数相乘，结果还是非零实数。
• 结合律：$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$。
• 单位元：是数字 1。
• 逆元：任何非零实数 $t$ 的逆元是 $1/t$。

• 向量空间 $\mathbb{R}^{n}$：
• 这是我们的集合 $X$。它是一个 $n$ 维实数向量空间。
• 元素是形如 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)$ 的向量。

• 作用方式：$t \cdot \mathbf{v}=t \mathbf{v}$ (标量乘法)
• 这里的 · 是群作用的符号，而右边的 $t\mathbf{v}$ 是我们在线性代数中熟悉的标量乘法。
• 标量乘法定义为：$t(v_1, v_2, ..., v_n) = (tv_1, tv_2, ..., tv_n)$。即将向量的每个分量都乘以标量 $t$。
• 这个作用的几何意义是缩放：如果 $|t|>1$，向量被拉长；如果 $0<|t|<1$，向量被缩短；如果 $t<0$，向量方向反转。

• 验证这是一个作用:
• 公理(1)：$t_{1} \cdot (t_{2} \cdot \mathbf{v}) = (t_1 t_2) \cdot \mathbf{v}$
• 左边：$t_1 \cdot (t_2 \mathbf{v})$。根据定义，这等于标量乘法 $t_1(t_2\mathbf{v})$。
• 右边：$(t_1 t_2) \cdot \mathbf{v}$。根据定义，这等于标量乘法 $(t_1t_2)\mathbf{v}$。
• 线性代数的基本性质告诉我们，$t_1(t_2\mathbf{v}) = (t_1t_2)\mathbf{v}$。这个性质就是标量乘法与实数乘法的相容性或结合律。所以公理(1)成立。
• 公理(2)：$1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$
• 群 $\mathbb{R}^{*}$ 的单位元是 1。
• 根据定义，$1 \cdot \mathbf{v}$ 等于标量乘法 $1\mathbf{v}$。
• 线性代数的基本性质告诉我们，$1\mathbf{v} = \mathbf{v}$。所以公理(2)成立。

• 括号里的补充说明:
• “当然，这些性质对于 $t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}$ 也成立”: 指的是标量乘法的结合律和单位元律对于所有实数（包括0）都成立。
• “但 $\mathbb{R}$ 在乘法下不是群”: 这是一个关键点。为什么我们选择 $\mathbb{R}^*$ 而不是 $\mathbb{R}$ 作为群？因为 0 在乘法下没有逆元 ($1/0$ 无定义)，所以 $\mathbb{R}$ 和乘法不能构成一个群。群作用的定义要求 $G$ 必须是一个群。
• “此外，标量乘法还有与标量或向量的加法相关的附加性质”: 这是提醒我们，$\mathbb{R}^n$ 不仅仅是一个集合，它还是一个向量空间，拥有更丰富的结构。标量乘法还满足分配律，如 $t(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = t\mathbf{u} + t\mathbf{v}$ 和 $(t_1+t_2)\mathbf{v} = t_1\mathbf{v} + t_2\mathbf{v}$。但在讨论群作用时，我们只关心那两条核心公理，暂时忽略了这些额外的加法性质。

这个例子介绍了另一类非常重要的群作用：矩阵群对向量空间的作用。

• $G L_{n}(\mathbb{R})$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$:
• 群 $G = G L_{n}(\mathbb{R})$：这是 $n$ 维一般线性群 (General Linear group)。它包含了所有 $n \times n$ 的可逆实数矩阵。群运算是矩阵乘法。单位元是 $n \times n$ 的单位矩阵 $\mathbf{I}$。
• 集合 $X = \mathbb{R}^{n}$：$n$ 维向量空间。
• 作用方式 $A \cdot \mathbf{v}=A \mathbf{v}$：作用被定义为标准的矩阵与向量的乘法。输入一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和一个 $n \times 1$ 的列向量 $\mathbf{v}$，输出一个新的 $n \times 1$ 的列向量。

• 验证作用:
• 公理(1)：$A_1 \cdot (A_2 \cdot \mathbf{v}) = (A_1 A_2) \cdot \mathbf{v}$
• 左边：$A_1 \cdot (A_2 \mathbf{v})$。根据定义，这等于矩阵乘法 $A_1(A_2 \mathbf{v})$。
• 右边：$(A_1 A_2) \cdot \mathbf{v}$。根据定义，这等于矩阵乘法 $(A_1 A_2)\mathbf{v}$。
• 矩阵乘法满足结合律，所以 $A_1(A_2 \mathbf{v}) = (A_1 A_2)\mathbf{v}$。公理(1)成立。
• 公理(2)：$\mathbf{I} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$
• 群 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的单位元是单位矩阵 $\mathbf{I}$。
• 根据定义，$\mathbf{I} \cdot \mathbf{v}$ 等于矩阵乘法 $\mathbf{I}\mathbf{v}$。
• 线性代数的基本性质是 $\mathbf{I}\mathbf{v} = \mathbf{v}$。公理(2)成立。

• 与线性函数的关系:
• 每个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 都定义了一个线性变换 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$，其规则就是 $F(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$。所以说，矩阵作用于向量，等价于该矩阵对应的线性函数作用于向量。

• 子群的作用:
• $O_{n}$ (正交群 Orthogonal group)：所有 $n \times n$ 正交矩阵的集合。正交矩阵的性质是 $A^T A = \mathbf{I}$，它保持向量的长度（范数）不变。它是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个子群。
• $S O_{n}$ (特殊正交群 Special Orthogonal group)：所有 $n \times n$ 正交矩阵且行列式为1的集合。它在保持长度的基础上还保持空间的“定向”（不含镜像翻转）。它是 $O_n$ 的子群，也是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的子群。
• 类似地，$O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$: 因为 $O_n$ 和 $S O_n$ 的元素本身就是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的元素，所以它们作用于 $\mathbb{R}^n$ 的方式完全相同，都是通过矩阵乘法。由于它们是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的子群，已经在大群里被验证过的群作用公理，在子群中自然也成立。

• 更一般性的解释:
• $S_{\mathbb{R}^{n}}$：这是集合 $\mathbb{R}^n$ 上所有双射（bijective functions，即一一对应的函数）构成的群，群运算是函数的复合。这是一个非常巨大、抽象的群。
• $G L_{n}(\mathbb{R})$ 是 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 的子群: 每个可逆矩阵 $A$ 对应的线性变换 $F(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ 都是一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的双射。因此，$G L_{n}(\mathbb{R})$ 可以看作是 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 中那些恰好是线性变换的双射构成的子群。
• 作用的诱导 (Induced Action)：

1. 首先，有一个最普遍的作用：$S_{\mathbb{R}^{n}}$ 作用于 $\mathbb{R}^n$，方式是函数求值，即 $\sigma \cdot \mathbf{v} = \sigma(\mathbf{v})$，其中 $\sigma \in S_{\mathbb{R}^{n}}$。
2. 因为 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 是 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 的子群，所以 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的作用可以看作是 $S_{\mathbb{R}^{n}}$ 作用的限制 (restriction)。
3. 同样，$O_n$ 是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的子群，所以 $O_n$ 的作用也是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 作用的限制。

• 一般结论: 如果群 $G$ 作用于集合 $X$ 并且 $H \leq G$（H是G的子群），那么 $H$ 也通过限制作用于 $X$。这是因为 $H$ 的元素都属于 $G$，并且 $H$ 的运算也是 $G$ 的运算，所以满足群作用公理的条件对于 $H$ 来说自动满足。

这句话在前一个例子的基础上，进一步缩小了被作用的集合，从整个空间 $\mathbb{R}^n$ 缩小到一个特定的子集——单位球面 $S^{n-1}$。

• $O_{n}$ 和 $S O_{n}$: 我们已经知道，这是正交群和特殊正交群。它们的核心特性是其矩阵表示的变换保持向量长度（范数）不变。
• 作用于... $(n-1)$-球面 $S^{n-1}$:
• 球面 $S^{n-1}$: 这是一个几何对象的符号。它表示在 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^n$ 中的一个单位球面。上标 $n-1$ 指的是球面的维度。一个 $k$ 维球面是局部看起来像 $\mathbb{R}^k$ 的曲面。
• 为什么是 $n-1$ 维？ 因为球面上的任意一点，它的邻域可以被 $n-1$ 个坐标参数化。例如，地球表面（2维球面）上的一个点，可以用经度和纬度（2个参数）来定位。
• 作用的合法性:

1. 我们已知 $O_n$ 和 $S O_n$ 作用于整个空间 $\mathbb{R}^n$。
2. 现在我们考虑一个特殊的子集 $X' = S^{n-1} \subset \mathbb{R}^n$。
3. 要想让 $O_n$ 和 $S O_n$ 能够作用于 $X'$，必须保证对于任何 $A \in O_n$ (或 $S O_n$) 和任何 $\mathbf{v} \in X'$, 作用的结果 $A\mathbf{v}$ 仍然在 $X'$ 中。
4. 让我们来检查：
   • 设 $\mathbf{v} \in S^{n-1}$，这意味着 $\|\mathbf{v}\| = 1$。
   • 设 $A \in O_n$。正交变换的定义就是它保持范数，即 $\|A\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\|$。
   • 因此，$\|A\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\| = 1$。
   • 这说明 $A\mathbf{v}$ 仍然是一个单位向量，所以 $A\mathbf{v} \in S^{n-1}$。
5. 结论：集合 $S^{n-1}$ 在 $O_n$ 和 $S O_n$ 的作用下是封闭的（或者叫不变的）。因此，$O_n$ 和 $S O_n$ 可以合法地作用于单位球面 $S^{n-1}$。

这段话是对前面例子的具体化和推广。

• 请注意，$S^{1}=U(1)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的单位圆
• $S^1$: 根据前面的定义，$n=2$ 时， $S^{2-1} = S^1$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的单位球面，也就是单位圆。
• $U(1)$: 这是另一个数学符号，代表 酉群 (Unitary group) of degree 1。它定义为所有绝对值为1的复数的集合，在复数乘法下构成一个群。即 $U(1) = \{z \in \mathbb{C} : |z|=1\}$。
• $S^1 = U(1)$: 这里是在说，单位圆 $S^1$ 和群 $U(1)$ 是可以被看作是同一个东西的。我们可以通过复平面将它们等同起来：$\mathbb{R}^2$ 中的点 $(x, y)$ 对应于复数 $z = x+iy$。那么，点在单位圆上的条件 $\sqrt{x^2+y^2}=1$ 就等价于复数的绝对值 $|z|=1$。因此，$S^1$ 作为点的集合与 $U(1)$ 作为复数的集合是完全对应的。这个等号在不同上下文中有细微差别：作为点的集合是相等的；而 $U(1)$ 还额外强调了其上的群结构（复数乘法），$S^1$ 在这里仅被看作一个被作用的集合。

• $S^{2}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的单位球面
• 这是 $n=3$ 的情况， $S^{3-1}=S^2$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的单位球面。这是我们日常生活中最熟悉的球面，像篮球、地球仪的表面。

• 半径为 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面类似地定义
• 单位球面的半径是1。半径为 $r$ 的球面，其定义就是把条件 $\|\mathbf{v}\|=1$ 改成 $\|\mathbf{v}\|=r$。
• 它的数学表达式是：$\{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}:\|\mathbf{v}\|=r\}$。

• $O_{n}$ 和 $S O_{n}$ 也作用于半径为 $r$ 的 $(n-1)$-球面
• 这与作用于单位球面是完全相同的逻辑。
• 设 $\mathbf{v}$ 是一个长度为 $r$ 的向量，即 $\|\mathbf{v}\|=r$。
• 设 $A \in O_n$。因为正交变换保持长度，所以 $\|A\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\| = r$。
• 这意味着作用后的向量 $A\mathbf{v}$ 仍然在半径为 $r$ 的球面上。
• 因此，半径为 $r$ 的球面也是 $O_n$ 和 $S O_n$ 作用下的一个不变子集。

这个例子介绍了对称群 (Symmetric Group) 的自然作用，这是群论中最基本、最核心的作用之一。

• 群 $G = S_n$:
• $S_n$ 是对称群或称置换群。
• 它的元素是所有从集合 $\{1, 2, ..., n\}$ 到其自身的双射（即一一对应的函数）。这种双射被称为一个置换 (permutation)。
• 群运算是函数的复合 (composition)。如果 $\sigma_1, \sigma_2 \in S_n$，那么它们的乘积 $\sigma_1 \sigma_2$ 是一个新的函数，定义为 $(\sigma_1 \sigma_2)(k) = \sigma_1(\sigma_2(k))$，即先应用 $\sigma_2$，再应用 $\sigma_1$。
• 单位元是恒等置换 $\mathrm{Id}$，它使得 $\mathrm{Id}(k)=k$ 对所有 $k$ 成立。

• 集合 $X = \{1, 2, ..., n\}$:
• 这是一个包含 $n$ 个元素的有限集合。

• 作用方式 $\sigma \cdot k = \sigma(k)$:
• 作用的定义非常直观：群元素 $\sigma$ (一个函数) 作用于集合元素 $k$ (一个数字)，结果就是将 $k$ 作为输入代入函数 $\sigma$ 中，得到的输出值 $\sigma(k)$。
• 这就是置换的本意：将数字 $k$ “移动”到位置 $\sigma(k)$。

• 验证这是一个作用:
• 公理(1)：$\sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot k) = (\sigma_1 \sigma_2) \cdot k$
• 左边：$\sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot k)$。根据作用定义，括号里是 $\sigma_2(k)$。所以左边是 $\sigma_1 \cdot (\sigma_2(k))$。再根据作用定义，这等于 $\sigma_1(\sigma_2(k))$。
• 右边：$(\sigma_1 \sigma_2) \cdot k$。这里的 $\sigma_1 \sigma_2$ 是群内的运算，即函数复合。所以右边是 $(\sigma_1 \circ \sigma_2) \cdot k$。根据作用定义，这等于 $(\sigma_1 \circ \sigma_2)(k)$。
• 函数复合的定义就是 $(\sigma_1 \circ \sigma_2)(k) = \sigma_1(\sigma_2(k))$。所以左右两边相等。公理(1)成立。这正是原文括号里强调“使用函数复合定义”的原因，这个定义使得群作用的结合律公理与函数复合的结合律天然吻合。
• 公理(2)：$\mathrm{Id} \cdot k = k$
• 群 $S_n$ 的单位元是恒等置换 $\mathrm{Id}$。
• 根据作用定义，$\mathrm{Id} \cdot k = \mathrm{Id}(k)$。
• 根据恒等置换的定义，$\mathrm{Id}(k) = k$。公理(2)成立。

这段话将上一个例子从有限集合 $\{1, ..., n\}$ 推广到了任意集合 $X$。

• 更一般地，如果 $X$ 是任何集合...
• 这里的 $X$ 可以是有限集，也可以是无限集，比如实数集 $\mathbb{R}$ 或复数集 $\mathbb{C}$。
• $S_X$:
• 这是对应于集合 $X$ 的对称群。
• 定义：$S_X$ 是所有从集合 $X$ 到其自身的双射（一一对应函数）的集合。
• 群运算：函数复合。
• 单位元：恒等函数 $\mathrm{Id}_X$，定义为 $\mathrm{Id}_X(x) = x$ for all $x \in X$。
• 当 $X = \{1, ..., n\}$ 时，$S_X$ 就是我们之前讨论的 $S_n$。

• 通过相同的公式作用于 $X$： $\sigma \cdot x = \sigma(x)$
• 作用的定义和之前完全一样：群元素 $\sigma$ (一个函数) 作用于集合元素 $x$，结果就是函数值 $\sigma(x)$。

• 要看到这确实是我们定义的作用...
• 这里，作者详细地重演了一遍验证过程，以强调其普适性。
• 验证公理(1)：
• 过程：$\sigma_{1} \cdot\left(\sigma_{2} \cdot x\right) = \sigma_{1} \cdot\left(\sigma_{2}(x)\right) = \sigma_{1}\left(\sigma_{2}(x)\right) = \left(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}\right)(x) = \left(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}\right) \cdot x$
• 第一步 $\sigma_{1} \cdot\left(\sigma_{2} \cdot x\right)=\sigma_{1} \cdot\left(\sigma_{2}(x)\right)$：对括号内部应用作用的定义 $\sigma_2 \cdot x = \sigma_2(x)$。
• 第二步 $\sigma_{1} \cdot\left(\sigma_{2}(x)\right)=\sigma_{1}\left(\sigma_{2}(x)\right)$：对整个表达式应用作用的定义。此时被作用的对象是 $\sigma_2(x)$。
• 第三步 $\sigma_{1}\left(\sigma_{2}(x)\right)=\left(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}\right)(x)$：这是函数复合的定义。
• 第四步 $\left(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}\right)(x)=\left(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}\right) \cdot x$：再次应用作用的定义。注意，这里的 $\sigma_1 \circ \sigma_2$ 是群 $S_X$ 中的一个元素。
• 结论：左边的起始表达式等于右边的最终表达式，公理(1)成立。其核心在于群作用的定义与群运算（函数复合）的定义完美契合。

• 验证公理(2):
• 显然 $\operatorname{Id}_{X} \cdot x=\operatorname{Id}_{X}(x)=x$ 对于所有 $x \in X$。
• 单位元是 $\mathrm{Id}_X$。
• 应用作用定义：$\mathrm{Id}_X \cdot x = \mathrm{Id}_X(x)$。
• 应用恒等函数定义：$\mathrm{Id}_X(x) = x$。
• 公理(2)成立。

• 因此 $S_X$ 作用于 $X$。
• 这是一个总结论。因为两条公理都对任意集合 $X$ 成立，所以这个结论是普适的。

这段话进一步扩展了群作用的应用范围：一个群不仅能作用于一个基本集合 $X$，还能作用于由 $X$ 派生出来的更复杂的结构，比如它的幂集。

• $S_{X}$ 作用于许多其他与 $X$ 相关的对象：这是一个概括性的陈述。意思是，一旦我们有了 $S_X$ 在 $X$ 上的基础作用，就可以“升级”或“提升(lift)”这个作用，让它去操作更复杂的对象。

• 例如幂集 $\mathcal{P}(X)$，即 $X$ 的所有子集的集合:
• 幂集 (Power Set) $\mathcal{P}(X)$: 这是集合 $X$ 的所有可能的子集构成的集合。
• 如果 $X = \{1, 2\}$，那么它的子集有 $\emptyset$ (空集), $\{1\}$, $\{2\}$, $\{1, 2\}$。所以 $\mathcal{P}(X) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$。
• 现在，我们的新“被作用集合”是 $\mathcal{P}(X)$，它的元素是集合，而不是像之前那样的单个数字或向量。

• 作用方式：$\sigma \cdot A = \sigma(A) = \{\sigma(a) : a \in A\}$:
• $\sigma \in S_X$：作用者，还是原来的置换。
• $A \subseteq X$: 被作用者，是 $X$ 的一个子集，即 $\mathcal{P}(X)$ 中的一个元素。
• $\sigma \cdot A$: 作用的记号。
• $\sigma(A)$: 是一个简写，表示 $\sigma$ 作用在集合 $A$ 上。
• $\{\sigma(a) : a \in A\}$: 这是作用的精确定义。它的意思是：

1. 遍历子集 $A$ 中的每一个元素 $a$。
2. 对每一个 $a$，计算出它在置换 $\sigma$ 下的像 $\sigma(a)$。
3. 把所有这些像收集起来，组成一个新的集合。这个新集合就是 $\sigma \cdot A$ 的结果。
   • 简而言之，就是将子集中的每个元素都进行置换，得到一个新的子集。

• 验证这是一个作用: (作者省略了，但我们可以自行验证)
• 公理(1): $\sigma_1 \cdot (\sigma_2 \cdot A) = (\sigma_1 \sigma_2) \cdot A$
• 左边：$\sigma_1 \cdot (\{\sigma_2(a) : a \in A\}) = \{\sigma_1(b) : b \in \{\sigma_2(a) : a \in A\}\} = \{\sigma_1(\sigma_2(a)) : a \in A\}$。
• 右边：$(\sigma_1 \sigma_2) \cdot A = \{(\sigma_1 \sigma_2)(a) : a \in A\} = \{\sigma_1(\sigma_2(a)) : a \in A\}$。
• 左右相等。
• 公理(2): $\mathrm{Id}_X \cdot A = A$
• $\mathrm{Id}_X \cdot A = \{\mathrm{Id}_X(a) : a \in A\} = \{a : a \in A\} = A$。
• 成立。
• 所以这确实是一个合法的群作用。

• 由于 $\#(\sigma \cdot A)=\#(A)$，如果 $A$ 是有限的:
• $\#(\cdot)$: 表示集合的基数 (cardinality)，即元素的个数。
• 因为 $\sigma$ 是一个双射，它把不同的元素映射到不同的像。所以，如果原集合 $A$ 有 $k$ 个元素，那么由它们的像构成的新集合 $\sigma(A)$ 也必然有 $k$ 个元素。
• 这说明，置换作用保持子集的大小。

• $S_{X}$ 也作用于...由所有具有...固定 $k$ 个元素的子集组成
• 这是一个重要的推论。既然置换不改变子集的大小，那么一个大小为 $k$ 的子集，经过置换后，必然还是一个大小为 $k$ 的子集。
• 设 $\mathcal{P}_k(X)$ 是 $X$ 所有大小为 $k$ 的子集的集合。
• 如果 $A \in \mathcal{P}_k(X)$，那么 $\sigma \cdot A$ 的大小也是 $k$，所以 $\sigma \cdot A \in \mathcal{P}_k(X)$。
• 这意味着 $\mathcal{P}_k(X)$ 在 $S_X$ 的作用下是封闭的（不变的）。
• 因此，$S_X$ 不仅作用于整个幂集 $\mathcal{P}(X)$，还能将其作用限制在这些大小固定的子集构成的集合上。

这句话是对前面例子背后思想的进一步提炼和推广。

• 这里 $S_{X}$ 并没有什么特别之处:
• 这句话的意思是，前面例子中能够将作用从 $X$ 提升到 $\mathcal{P}(X)$ 的能力，并非 $S_X$ (对称群) 所独有。
• 它的“不特别”在于，这个“提升作用”的原理是普适的。

• 如果群 $G$ 作用于集合 $X$:
• 这是推广的前提。我们不再局限于 $S_X$ 这个特定的群，而是考虑任意一个已经作用在 $X$ 上的群 $G$。
• 我们有一个已知的作用 $g \cdot x$ 满足两条公理。

• 那么它也作用于与 $X$ 相关的各种集合，例如 $\mathcal{P}(X)$ 或 $X \times X$:
• 这是推广的结论：这个任意的群 $G$ 也可以被用来定义在 $\mathcal{P}(X)$ 或 $X \times X$ (笛卡尔积) 等派生集合上的新作用。
• 作用于 $\mathcal{P}(X)$:
• 定义方式和 $S_X$ 的例子完全一样：对于 $g \in G$ 和 $A \subseteq X$，定义 $g \cdot A = \{g \cdot a : a \in A\}$。
• 验证过程也完全一样，因为验证只依赖于 $g \cdot a$ 满足群作用公理，而这正是我们的前提。
• 作用于 $X \times X$:
• $X \times X$ 是所有形如 $(x_1, x_2)$ 的有序对的集合，其中 $x_1, x_2 \in X$。
• 我们可以定义一个分量式作用 (component-wise action)：对于 $g \in G$ 和 $(x_1, x_2) \in X \times X$，定义 $g \cdot (x_1, x_2) = (g \cdot x_1, g \cdot x_2)$。
• 也就是说，用同一个群元素 $g$ 分别作用于有序对的每一个分量。
• 这个定义同样可以被验证为是一个合法的群作用。

这个例子回到了引言中提到的二面体群，并给出了更精确的数学描述。

• 设 $P_{n}$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的一个正 $n$-边形，$n \geq 3$:
• $P_n$: 代表一个正 $n$ 边形。这是一个几何对象。
• $\mathbb{R}^2$: 它位于二维平面中。
• $n \geq 3$: 多边形至少要有3条边（三角形）。

• 例如，我们可以将 $P_{n}$ 设为以原点为中心，顶点为...:
• 为了具体化，这里给出了顶点的坐标。这些顶点位于以原点为中心的单位圆上，并且均匀分布。
• $\mathbf{p}_{k}=(\cos (2 \pi k / n), \sin (2 \pi k / n))$: 这是顶点 $k$ 的坐标公式。
• $k=0, 1, ..., n-1$：顶点的索引。
• $2\pi k/n$：是第 $k$ 个顶点与正x轴之间的夹角（以弧度计）。所有角度都是 $2\pi/n$ (360/n 度) 的整数倍。

• 二面体群 $D_{n}$ 作用于...:
• 群 $G=D_n$: 二面体群，即正 $n$ 边形的所有对称操作（旋转和翻转）构成的群。
• 作用于 $P_n$: $D_n$ 的每个元素都是一个作用于整个平面的变换（属于 $O_2$），这个变换恰好能让 $P_n$ 这个图形整体上看起来没变。所以 $D_n$ 自然作用于 $P_n$ 本身。
• 作用于顶点集 $\left\{\mathbf{p}_{0}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}\right\}$:
• 这是一个大小为 $n$ 的集合。
• $D_n$ 中的一个对称操作（如旋转）会把一个顶点移动到另一个顶点的位置上。例如，逆时针旋转 $2\pi/n$ 会把顶点 $\mathbf{p}_k$ 移动到 $\mathbf{p}_{k+1}$ (模n) 的位置。这是一个在顶点集上的置换。
• 作用于边集 $\left\{\overline{\mathbf{p}_{0} \mathbf{p}_{1}}, \ldots\right\}$:
• 边 $\overline{\mathbf{p}_k \mathbf{p}_{k+1}}$ 是连接顶点 $\mathbf{p}_k$ 和 $\mathbf{p}_{k+1}$ 的线段。
• 一个对称操作同样会把一条边变换成另一条边。例如，逆时针旋转 $2\pi/n$ 会把边 $\overline{\mathbf{p}_k \mathbf{p}_{k+1}}$ 移动到边 $\overline{\mathbf{p}_{k+1} \mathbf{p}_{k+2}}$ 的位置。
• 这可以看作是 $D_n$ 作用于顶点集的提升作用。边是由顶点对定义的，所以 $D_n$ 对顶点集的作用诱导了对边集的作用。

• $D_{n}=\left\{A \in O_{2}: A\left(P_{n}\right)=P_{n}\right\}$:
• 这是 $D_n$ 的一个集合论定义。
• $A \in O_2$: $D_n$ 的元素都是 $2 \times 2$ 的正交矩阵。这意味着它们是刚性变换（旋转或反射），保持距离和角度。
• $A(P_n) = P_n$: 这是筛选条件。我们只选取那些能让正n边形 $P_n$ 整体保持不变 (set-wise invariant) 的正交变换 $A$。$A(P_n)$ 指的是将 $P_n$ 上的每一个点都经过 $A$ 变换后得到的新点的集合。这个新集合必须与原来的 $P_n$ 完全重合。
• 总结: $D_n$ 是正交群 $O_2$ 中，能使正 $n$ 边形 $P_n$ 保持不变的那些变换构成的子群。

这段话将前一个例子从二维的正多边形推广到三维的正多面体。

• 在与上一个示例部分类比的情况下: 这是一个引导，告诉读者接下来的逻辑与 $D_n$ 的例子是相似的：我们将要讨论一个三维几何体和它的对称群。

• 设 $S$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的一个正多面体（或柏拉图多面体）:
• $S$: 代表一个正多面体 (Regular Polyhedron)，这是一个三维几何对象。
• 柏拉图多面体 (Platonic Solid)：这是正多面体的别称，因为古希腊哲学家柏拉图在《蒂迈欧篇》中对它们有深入的哲学论述。
• 欧几里得、柏拉图、毕达哥拉斯学派: 提及这些名字是为了强调这些几何体的历史悠久和在数学史上的重要地位。
• 我们不给出精确的定义: 作者在此处选择不给出正多面体的严格定义（即所有面都是全等的正多边形，且每个顶角汇集了相同数目的面），而是通过列举来让读者了解。
• 我们认为 $S$ 以原点为中心: 这是一个重要的简化假设，确保对称操作是绕原点的旋转。

• 在这里，...，只有 5 个正多面体:
• 这是一个非常著名的数学事实。与二维情况（存在无穷多种正 $n$ 边形）形成鲜明对比，三维空间中符合正多面体严格定义的对象只有五种。这本身就是一个深刻的几何约束的结果。

• 正多面体是多面体的一个例子，它有顶点、边和面:
• 这介绍了构成多面体的三个基本元素：
• 顶点 (Vertices)：角点。
• 边 (Edges)：连接顶点的线段。
• 面 (Faces)：由边围成的平面多边形。

• 如果我们列出这些信息...: 接下来通过一个表格来具体展示这五种正多面体和它们的属性。
• $v$: 顶点数 (number of vertices)。
• $e$: 边数 (number of edges)。
• $f$: 面数 (number of faces)。

这张表格详细列出了五种正多面体的组合学特性。

• 表格列的含义:
• 名称 (Name): 正多面体的中文名。
• $v$ (vertices): 顶点的数量。
• $e$ (edges): 边的数量。
• $f$ (faces): 面的数量。
• $n$: 表格后面解释了，这是每个面是正几边形。

• 逐行解读:
• 四面体 (Tetrahedron):
• 由4个顶点、6条边、4个面组成。
• 每个面都是三角形 ($n=3$)。
• 立方体 (Cube / Hexahedron):
• 由8个顶点、12条边、6个面组成。
• 每个面都是正方形 ($n=4$)。
• 八面体 (Octahedron):
• 由6个顶点、12条边、8个面组成。
• 每个面都是三角形 ($n=3$)。
• 十二面体 (Dodecahedron):
• 由20个顶点、30条边、12个面组成。
• 每个面都是正五边形 ($n=5$)。
• 二十面体 (Icosahedron):
• 由12个顶点、30条边、20个面组成。
• 每个面都是三角形 ($n=3$)。

这段话解释了表格中最后一列 $n$ 的含义，并引入了两个重要的组合关系式。

• 这里 $n$ 是面的边数，面是正 $n$-边形。
• 这明确了 $n$ 的定义。$n=3$ 意味着面是等边三角形，$n=4$ 意味着面是正方形，$n=5$ 意味着面是正五边形。

• 这可以通过上述数据确定，因为每条边恰好连接两个面，因此 $2e = nf$。
• 一个重要的计数原理: 这句话揭示了一个计算多面体边数的巧妙方法。
• 思考方式1：从面的角度数边。
• 一个多面体有 $f$ 个面。
• 每个面是正 $n$-边形，所以有 $n$ 条边。
• 如果我们简单地把所有面的边数加起来，得到 $n \times f$。
• 思考方式2：重复计算的修正。
• 在上面的计算中，多面体的每一条边实际上都同时属于两个相邻的面。
• 因此，每条边都被我们数了两次。
• 为了得到真正的边数 $e$，我们必须将总数 $nf$ 除以2。
• 结论: $e = \frac{nf}{2}$，或者写成更整洁的形式 $2e = nf$。
• 验证:
• 立方体: $v=8, e=12, f=6, n=4$。$2e = 2 \times 12 = 24$。$nf = 4 \times 6 = 24$。公式成立。
• 二十面体: $v=12, e=30, f=20, n=3$。$2e = 2 \times 30 = 60$。$nf = 3 \times 20 = 60$。公式成立。

• 例如，十二面体的面是正五边形。
• 这是一个具体的应用。对于十二面体，$f=12, e=30$。
• 使用公式 $2e=nf \implies n = \frac{2e}{f} = \frac{2 \times 30}{12} = \frac{60}{12} = 5$。
• 计算结果 $n=5$ 证实了十二面体的面是正五边形。

• 请注意欧拉公式，在这种情况下它表示 $v-e+f=2$
• 欧拉公式 (Euler's Formula) for polyhedra：这是拓扑学中的一个基本而深刻的定理，适用于所有与球面同胚的（即可以“吹气”变成球面的）多面体。
• $v-e+f=2$: 顶点数减去边数加上面数，结果恒等于2。这个值被称为多面体的欧拉示性数 (Euler characteristic)。
• 验证:
• 立方体: $v-e+f = 8 - 12 + 6 = 2$。
• 十二面体: $v-e+f = 20 - 30 + 12 = 2$。
• 读者可以自行验证其他三种正多面体，该公式都成立。

这段话引入了对偶多面体 (Dual Polyhedron) 的概念。

• 对偶多面体 $S^{\vee}$:
• 对于每一个正多面体 $S$，都存在一个与之配对的“对偶”多面体，记作 $S^{\vee}$。
• 构造方法（直观理解）：

1. 在原多面体 $S$ 的每个面的中心，放置一个新的顶点。
2. 如果 $S$ 中有两个面是相邻的（共享一条边），那么就在它们对应的两个新顶点之间连接一条新的边。
3. 这些新的顶点和新的边会围成新的面。每个新面的中心对应于 $S$ 的一个旧顶点。
   • 这个过程构造出来的新的多面体就是 $S^{\vee}$。

• $S^{\vee}$ 的顶点数等于 $S$ 的面数，反之亦然:
• 这是对偶变换的核心结果。
• 记 $S$ 的顶点、边、面数为 $(v, e, f)$。
• 记 $S^{\vee}$ 的顶点、边、面数为 $(v^{\vee}, e^{\vee}, f^{\vee})$。
• 对偶关系意味着：
• $v^{\vee} = f$ (新顶点来自旧面的中心)
• $f^{\vee} = v$ (新面对应旧顶点)
• $e^{\vee} = e$ (新边对应旧边)

• 具体对偶关系:
• 四面体是它自己的对偶 (self-dual):
• 四面体有 $(v,e,f)=(4,6,4)$。
• 它的对偶有 $(v^{\vee}, e^{\vee}, f^{\vee}) = (f, e, v) = (4, 6, 4)$。
• 得到的还是一个四面体。
• 立方体的对偶是八面体:
• 立方体: $(v,e,f)=(8,12,6)$。
• 其对偶: $(v^{\vee}, e^{\vee}, f^{\vee}) = (f, e, v) = (6, 12, 8)$。
• 这正好是八面体的 $(v,e,f)$ 数据。反之，八面体的对偶是立方体。
• 十二面体的对偶是二十面体:
• 十二面体: $(v,e,f)=(20,30,12)$。
• 其对偶: $(v^{\vee}, e^{\vee}, f^{\vee}) = (f, e, v) = (12, 30, 20)$。
• 这正好是二十面体的 $(v,e,f)$ 数据。反之亦然。

这段话正式定义了正多面体的对称群，并指出了其关键性质。

• 给定一个正多面体 $S$，我们定义它的对称群 $G(S)$ 为...
• $G(S)$: 这是一个记号，代表多面体 $S$ 的对称群。

• $G(S)=\left\{A \in S O_{3}: A(S)=S\right\}$:
• 这是 $G(S)$ 的集合论定义，与 $D_n$ 的定义非常相似。
• $A \in S O_3$: 对称群的元素是来自三维特殊正交群 $S O(3)$ 的变换。
• $O_3$ (正交群) 包含所有三维空间中保持原点不变的刚性变换（旋转和反射）。
• $S O_3$ (特殊正交群) 是 $O_3$ 的子群，它只包含那些行列式为+1的变换，即纯旋转，排除了所有包含反射的操作。
• $A(S)=S$: 这是筛选条件，要求变换 $A$ 必须使多面体 $S$ 整体保持不变。
• 定义总结: $S$ 的（旋转）对称群，是所有能让 $S$ 复原的、绕原点的空间旋转操作的集合。

• 那么 $G(S)$ 作用于 $S$，并作用于 $S$ 的顶点集、边集或面集。
• 这是群作用的直接应用。
• 作用于 $S$: $G(S)$ 的定义本身就保证了它作用于 $S$。
• 作用于顶点集、边集、面集:
• 一个旋转操作会把一个顶点变到另一个（或自身）顶点的位置，把一条边变到另一条边的位置，一个面变到另一个面的位置。
• 这些都是 $G(S)$ 在相应派生集合上的诱导作用。

• 不难证明 $G(S)=G\left(S^{\vee}\right)$，所以只有三种形式为 $G(S)$ 的群。
• $G(S)=G(S^{\vee})$: 一个多面体的对称群和其对偶多面体的对称群是同一个群。
• 直观理解: 任何一个使原多面体 $S$ 复原的旋转，必然也使其对偶多面体 $S^{\vee}$ 复原。因为对偶的构造（取面中心、连线）是与原几何体结构绑定的，旋转 $S$ 的同时，$S^{\vee}$ 也被以完全相同的方式旋转了。
• 所以只有三种形式为 $G(S)$ 的群:

1. 四面体群 $G(\text{四面体})$。
2. 立方体/八面体群 $G(\text{立方体}) = G(\text{八面体})$。
3. 十二面体/二十面体群 $G(\text{十二面体}) = G(\text{二十面体})$。
   • 这意味着我们只需要研究这三个群。

• 请注意（与 $D_{n}$ 的情况不同...），我们只考虑 $S O_{3}$ 的元素。
• 关键区别: 在定义二维的 $D_n$ 时，我们允许来自 $O_2$ 的元素，这包括了翻转（一种反射）。但在定义三维的 $G(S)$ 时，我们特意将其限制在 $S O_3$ 内，只考虑纯旋转。
• 原因: 这是一种惯例。在三维中，通常将纯旋转构成的群称为“旋转对称群”或简称为“对称群”。如果包含反射，则称为“全对称群”，它会比 $G(S)$ 大一倍。本书在这里选择研究更基本、更核心的旋转对称群。

• 群 $G(S)$ 总是有限的，我们稍后会对此多说一点。
• 这是一个重要事实。因为正多面体是具体的、有限的物体，能让它复原的旋转操作也只有有限多种。这与 $S O_3$ 本身是无限群形成对比。$G(S)$ 是 $S O_3$ 的一个有限子群。

这个例子介绍了两种非常核心的、纯代数的群作用，它们不依赖于任何外部几何对象。

• 剩下的两个例子与群论更直接相关: 预示着接下来的作用是群论内部的构造，更具抽象性。

• 第一种作用：左乘作用 (Action by Left Multiplication)
• 群 $G$ 作用于自身: 这里，作用者是群 $G$，被作用的集合也是 $G$ 本身 ($X=G$)。
• 作用方式: $g \cdot x = gx$:
• $g \in G$: 作用者。
• $x \in G$: 被作用者。
• $gx$: 结果。这里的乘法就是群 $G$ 自身的二元运算。
• 验证公理:
• 作者指出，群作用的公理在这种情况下，直接退化成了群定义自身的公理。
• 公理(1): $g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = (g_1 g_2) \cdot x$
• 左边: $g_1 \cdot (g_2 x) = g_1(g_2 x)$。
• 右边: $(g_1 g_2) \cdot x = (g_1 g_2)x$。
• 根据群的定义，群运算必须满足结合律 (Associativity)，即 $g_1(g_2 x) = (g_1 g_2)x$。所以公理(1)自动成立。
• 公理(2): $1 \cdot x = x$
• 左边: $1 \cdot x = 1x$。
• 根据群的定义，单位元 (Identity element) $1$ 满足 $1x=x$。所以公理(2)自动成立。
• 结论: 任何群都可以通过其自身的乘法（左乘）作用于其自身。这被称为正则作用 (Regular Action)。

• 第二种作用：在陪集上的左乘作用
• 更一般地: 这是将上一种作用的推广。
• 如果 $H \leq G$ 是一个子群: $H$ 是 $G$ 的一个子群。
• 作用于左陪集 $G / H$ 的集合:
• 被作用的集合 $X = G/H$: 它的元素不是 $G$ 中的单个元素，而是形如 $xH = \{xh : h \in H\}$ 的左陪集。陪集是 $G$ 的子集。
• 作用方式: $g \cdot (xH) = (gx)H$:
• $g \in G$: 作用者。
• $xH \in G/H$: 被作用者（一个陪集）。
• $(gx)H$: 结果。先在群内计算 $g$ 乘以陪集的代表元 $x$ 得到 $gx$，然后用这个新元素 $gx$ 生成一个新的陪集。
• 验证:
• 这个作用是良定义的吗？ 首先需要确认作用的定义不依赖于陪集代表元的选择。如果 $xH = yH$，那么 $y=xh$ for some $h \in H$。我们需要验证 $g \cdot (xH) = g \cdot (yH)$。
• $g \cdot (yH) = (gy)H = (g(xh))H = ((gx)h)H$。
• 因为 $h \in H$，根据陪集的性质，对于任何元素 $z$ 和任何 $h' \in H$，都有 $(zh')H = zH$。所以 $((gx)h)H = (gx)H$。
• 因此 $g \cdot (xH) = g \cdot (yH)$，作用是良定义的 (well-defined)。
• 公理(1): $g_1 \cdot (g_2 \cdot (xH)) = (g_1 g_2) \cdot (xH)$
• 左边: $g_1 \cdot ((g_2 x)H) = (g_1(g_2 x))H = ((g_1 g_2)x)H$ (利用群的结合律)。
• 右边: $(g_1 g_2) \cdot (xH) = ((g_1 g_2)x)H$。
• 左右相等。
• 公理(2): $1 \cdot (xH) = xH$
• 左边: $1 \cdot (xH) = (1x)H = xH$。
• 成立。

这个例子介绍了另一种重要的、纯代数的群作用：共轭作用 (Action by Conjugation)。

• $G$ 通过共轭...作用于自身:
• 与左乘作用类似，作用者是群 $G$，被作用的集合也是 $G$ 本身 ($X=G$)。
• 但是作用的方式完全不同。

• 作用方式：$i_{g}(x)=g x g^{-1}$:
• $i_g$: 作者引入了一个新的函数记号来表示共轭作用，以避免与之前的 · 混淆。$i_g$ 表示由元素 $g$ 决定的“共轭函数”或“内部自同构”。
• $i_g(x)$: 表示 $g$ 共轭作用于 $x$ 的结果。
• $g x g^{-1}$: 这是作用的定义。它是一个三步过程：

1. 乘以 $g$。
2. 乘以 $x$。
3. 再乘以 $g$ 的逆元 $g^{-1}$。
   • 几何/代数意义: 共轭通常被理解为“在另一个元素的‘视角’下看待当前元素”。如果 $g$ 是一个坐标变换，那么 $gxg^{-1}$ 可以理解为：先变到旧坐标系 ($g^{-1}$)，执行 $x$ 操作，再变回新坐标系 ($g$)。结果就是在新坐标系下执行了等价于 $x$ 的操作。

• （我们这样写是为了避免与左乘作用混淆...）:
• 这是一个文体上的说明。因为 $G$ 作用于自身已经有了左乘作用 $g \cdot x = gx$，为了不让读者混淆两种不同的作用，作者特意换了一套符号 $i_g(x)$。在其他文献中，也可能写成 $g \cdot x = gxg^{-1}$，此时必须根据上下文判断是哪种作用。

这段内容是对共轭作用满足群作用公理(1)的详细验证。

• 要看到这是一个作用，...: 表明下面的内容是证明过程。

• 验证公理(1): $i_{g_1}(i_{g_2}(x)) = i_{g_1 g_2}(x)$
• 这个等式就是群作用公理(1)在使用 $i_g(x)$ 记号下的形式。
• 左边 $i_{g_1}(i_{g_2}(x))$：先用 $g_2$ 共轭作用于 $x$，再用 $g_1$ 共轭作用于其结果。
• 右边 $i_{g_1 g_2}(x)$：先在群内将 $g_1$ 和 $g_2$ 相乘，然后用这个乘积 $g_1 g_2$ 共轭作用于 $x$。
• 证明过程就是要说明这两边是相等的。

• 推导步骤:

1. $i_{g_{1}}\left(i_{g_{2}}(x)\right) = i_{g_{1}}\left(g_{2} x g_{2}^{-1}\right)$
   • 这是第一步，将括号内的 $i_{g_2}(x)$ 按定义展开为 $g_2 x g_2^{-1}$。
2. $... = g_{1}\left(g_{2} x g_{2}^{-1}\right) g_{1}^{-1}$
   • 这是第二步，将外层的 $i_{g_1}$ 作用应用在 (g2 x g2^-1) 这个整体上。根据定义，就是用 $g_1$ 乘以这个整体，再乘以 $g_1$ 的逆。
3. $... = \left(g_{1} g_{2}\right) x\left(g_{2}^{-1} g_{1}^{-1}\right)$
   • 这一步使用了群运算的结合律。括号 $g_1(g_2 x g_2^{-1})g_1^{-1}$ 可以重新组合。我们可以去掉内部的括号，看作 $g_1 g_2 x g_2^{-1} g_1^{-1}$，然后重新组合成 $(g_1 g_2) x (g_2^{-1} g_1^{-1})$。
4. $... = \left(g_{1} g_{2}\right) x\left(g_{1} g_{2}\right)^{-1}$
   • 这是关键的一步。它使用了群的一个基本性质：乘积的逆元等于逆元的反序乘积。
   • 即 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$。
   • 将这个性质应用于 $(g_1 g_2)^{-1}$，我们得到 $(g_1 g_2)^{-1} = g_2^{-1} g_1^{-1}$。
   • 因此，前一步表达式中的 $(g_2^{-1} g_1^{-1})$ 可以被替换为 $(g_1 g_2)^{-1}$。
5. $... = i_{g_{1} g_{2}}(x)$
   • 这是最后一步，将表达式 $\left(g_{1} g_{2}\right) x\left(g_{1} g_{2}\right)^{-1}$ 重新用 $i$ 的定义写回去。这里作用者是 $g_1 g_2$ 这个整体。

• 结论: 经过一系列推导，我们证明了 $i_{g_1}(i_{g_2}(x)) = i_{g_1 g_2}(x)$，所以群作用的公理(1)对于共轭作用成立。

• 这里我们使用了熟知的事实 $\left(g_{1} g_{2}\right)^{-1}=g_{2}^{-1} g_{1}^{-1}$。
• 作者特意点明了推导中最关键的一步所使用的定理，这个定理因为像穿袜子和脱袜子一样顺序相反，所以也被戏称为“袜子和鞋子定理” (Socks and Shoes Property)。(穿的时候先穿袜子再穿鞋，脱的时候必须先脱鞋再脱袜子)。

这段话完成了共轭作用的验证，并讨论了它在何种情况下会退化为平凡作用。

• 由于显然 $i_{1}(x)=1 x 1^{-1}=1 x 1=x$
• 这是对群作用公理(2)的验证。
• $i_1(x)$: 用群的单位元 $1$ 来进行共轭作用。
• $1 x 1^{-1}$: 根据共轭的定义展开。
• $1^{-1}=1$: 单位元的逆元是它自身。
• $1x1 = x$: 根据单位元的性质，$1x=x$ 且 $x1=x$。
• 结论: 公理(2)成立。

• 共轭确实给出了 $G$ 在自身上的一个作用。
• 这是一个总结。因为公理(1)和公理(2)都已验证成立，所以共轭是一种合法的群作用。

• 这个作用是平凡作用 $\Longleftrightarrow g x g^{-1}=x$ 对于所有 $g, x \in G$
• 平凡作用的定义: 对所有作用者 $g$ 和被作用者 $x$，都有 $g \cdot x = x$。
• $\Longleftrightarrow$: 逻辑等价符号，"当且仅当"。
• 将平凡作用的定义套用到共轭作用上，就是：$i_g(x) = x$ 对于所有 $g,x \in G$。
• 展开 $i_g(x)$ 的定义，就得到 $gxg^{-1}=x$。

• $\Longleftrightarrow g x=x g$ 对于所有 $g, x \in G$
• 这是从上一步推导出来的。
• 如果 $gxg^{-1}=x$，我们在等式右边乘以 $g$：
• $(gxg^{-1})g = xg$
• $gx(g^{-1}g) = xg$
• $gx(1) = xg$
• $gx = xg$。
• 这个式子意味着元素 $g$ 和 $x$ 是可交换的 (commute)。

• $\Longleftrightarrow G$ 是阿贝尔群。
• 阿贝尔群 (Abelian Group) 的定义就是：群中任意两个元素都是可交换的。
• 前一步的结论是 "$gx=xg$ 对于所有 $g, x \in G$"，这正是阿贝尔群的定义。
• 结论: 共轭作用是一个平凡作用，当且仅当这个群本身是一个阿贝尔群。
• 换句话说，对于非阿贝尔群，共轭作用必然不是平凡作用（即至少存在一对 $g,x$ 使得 $gxg^{-1} \neq x$）。共轭作用的“非平凡性”是衡量一个群“非交换”程度的标尺。

这段话定义了 $G$-子集，也叫不变子集 (Invariant Subset)。

• 如果 $X$ 是一个 $G$-集: 这是前提。我们已经有一个群 $G$ 作用在一个集合 $X$ 上。

• 那么 $X$ 的一个 $G$-子集 $Y$ 是一个子集 $Y \subseteq X$:
• 首先，$G$-子集 $Y$ 必须是原集合 $X$ 的一个普通子集。

• 使得对于所有 $g \in G$ 和 $y \in Y, g \cdot y \in Y$:
• 这是成为 $G$-子集的核心条件。
• 含义: 从子集 $Y$ 中任取一个元素 $y$，再从群 $G$ 中任取一个元素 $g$，用 $g$ 作用于 $y$，得到的结果 $g \cdot y$ 必须仍然在子集 $Y$ 中。
• 换句话说，子集 $Y$ 在群 $G$ 的所有作用下是封闭的 (closed) 或不变的 (invariant)。群里的任何操作都不能把 $Y$ 里的元素“踢出”到 $Y$ 外面去。

• 一个 $G$-子集本身就是一个 $G$-集:
• 这是一个直接的推论。
• 既然对于任何 $g \in G$ 和 $y \in Y$，结果 $g \cdot y$ 都在 $Y$ 中，那么我们可以把作用 $G \times X \rightarrow X$ 限制 (restrict) 到 $G \times Y \rightarrow Y$。
• 原来在 $X$ 上成立的两条群作用公理，对于 $Y$ 中的元素自然也成立。
• 因此，$Y$ 配备上这个限制后的作用，就构成了一个新的、独立的 $G$-集。

这段话定义了$G$-集同构，这是判断两个 $G$-集是否“本质上相同”的标准。

• 如果 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是 $G$-集: 前提是我们有两个集合，$X_1$ 和 $X_2$，并且同一个群 $G$ 已经分别在它们上面定义了作用。我们用 · 表示在两个集合上的作用，尽管它们可能是不同的函数。

• $G$-集同构...是一个双射 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$:
• 同构的核心是一个函数 $f$。
• 双射 (bijection): $f$ 必须是一一对应的。这意味着 $X_1$ 和 $X_2$ 作为普通集合，必须有相同数量的元素。$f$ 为它们之间建立了一个完美的配对。

• 使得对于所有 $g \in G$ 和 $x \in X$, $f(g \cdot x)=g \cdot f(x)$:
• 这是成为$G$-同构的核心条件，也被称为G-等变性 (G-equivariance)。
• 左边 $f(g \cdot x)$: 表示一个“先作用，后映射”的过程。

1. 在 $X_1$ 内部，用 $g$ 作用于 $x$，得到新元素 $g \cdot x$。
2. 将这个新元素通过函数 $f$ 映射到 $X_2$ 中，得到 $f(g \cdot x)$。
   • 右边 $g \cdot f(x)$: 表示一个“先映射，后作用”的过程。
3. 先将元素 $x \in X_1$ 通过函数 $f$ 映射到 $X_2$ 中，得到元素 $f(x) \in X_2$。
4. 在 $X_2$ 内部，用同一个 $g$ 作用于 $f(x)$，得到新元素 $g \cdot f(x)$。
   • 等号的意义: 这个条件要求上述两种路径得到的结果必须完全相同。它保证了映射 $f$ 保持了群作用的结构。无论是在作用前还是作用后进行映射，结果都一样。这可以用一个交换图来表示：

• $X_{1} \cong_{G} X_{2}$:
• 如果存在这样一个 $G$-同构 $f$，我们就说 $X_1$ 和 $X_2$ 作为 $G$-集是同构的。
• 这意味着，从群 $G$ 的“视角”来看，$X_1$ 和 $X_2$ 是无法区分的。它们只是同一套“游戏规则”（$G$ 的作用）在两个不同“游戏棋盘”（$X_1, X_2$）上的实现，而 $f$ 就是棋盘之间的翻译器。

• 关系 $\cong_{G}$ 是自反的、对称的、和传递的:
• 这是一个重要的结论，说明“$G$-同构”是一种等价关系 (equivalence relation)。
• 自反性 (Reflexive): $X \cong_G X$。因为恒等映射 $\mathrm{Id}_X: X \rightarrow X$ 是一个双射，且 $\mathrm{Id}_X(g \cdot x) = g \cdot x = g \cdot \mathrm{Id}_X(x)$。
• 对称性 (Symmetric): 如果 $X_1 \cong_G X_2$，那么 $X_2 \cong_G X_1$。因为如果 $f$ 是一个 $G$-同构，它的逆映射 $f^{-1}$ 也是一个双射。我们需要验证 $f^{-1}(g \cdot y) = g \cdot f^{-1}(y)$。设 $y=f(x)$，则左边是 $f^{-1}(g \cdot f(x)) = f^{-1}(f(g \cdot x)) = g \cdot x = g \cdot f^{-1}(y)$。成立。
• 传递性 (Transitive): 如果 $X_1 \cong_G X_2$ 且 $X_2 \cong_G X_3$，那么 $X_1 \cong_G X_3$。因为两个 $G$-同构（双射）的复合仍然是双射，并且也保持作用结构。

这句话是承上启下的引言。它告诉读者，接下来要陈述的命题（一个普遍原理），其实并不是全新的东西，它的思想已经在前面的例子中反复出现过了。作者通过这句话，引导读者从具体的例子回顾中提炼出抽象的规律。

• 我们...隐含地看到了: "隐含地" (implicitly) 是关键词。意思是，虽然没有明确点出这个原理，但它是之前几个例子的共同基础。
• 上面的一些例子:
• 例子 (3): $O_n$ 和 $S O_n$ 是 $G L_n(\mathbb{R})$ 的子群，它们继承了 $G L_n(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的作用。
• 例子 (4) 的推广: 如果群 $G$ 作用于 $X$，我们可以将其作用提升到 $\mathcal{P}(X)$ 上。这里其实可以看作有一个从 $G$ 到 $S_{\mathcal{P}(X)}$ 的同态。
• 以下原理: 预示着一个命题或定理即将到来。

这是本节提出的第一个正式命题，它描述了如何通过群同态来“传递”或“诱导”出一个新的群作用。

• 前提条件:

1. $X$ 是一个 $G$-集: 我们有一个已知的群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用。我们记作 $g \cdot_G x$ (这里用下标区分)。
2. $f: G^{\prime} \rightarrow G$ 是一个同态: 我们有一个新的群 $G'$，以及一个从 $G'$ 到 $G$ 的群同态 $f$。
   • 同态 (homomorphism) 意味着 $f$ 保持群的运算结构，即对于所有 $g'_1, g'_2 \in G'$，都有 $f(g'_1 g'_2) = f(g'_1) f(g'_2)$。

• 结论: $X$ 通过 ... 成为一个 $G^{\prime}$-集
• 我们可以利用已有的材料，在同一个集合 $X$ 上，定义一个新的群 $G'$ 的作用。

• 新作用的定义: $g^{\prime} \cdot x=f\left(g^{\prime}\right) \cdot x$
• 左边 $g' \cdot x$: 这是我们要定义的新作用，作用者是来自新群 $G'$ 的 $g'$。为了清晰，我们记作 $g' \cdot_{G'} x$。
• 右边 $f(g') \cdot x$: 这是新作用的计算方式。

1. 取一个新群的元素 $g' \in G'$。
2. 通过同态 $f$，将它“翻译”成旧群 $G$ 里的一个元素 $f(g')$。
3. 使用 $G$ 在 $X$ 上的旧作用，让 $f(g')$ 这个元素去作用于 $x$。
   • 直观理解: 新群 $G'$ 的成员，要想在 $X$ 上“发号施令”，必须先通过“翻译官” $f$ 把自己的指令变成旧群 $G$ 能听懂的指令，然后再去执行。

• 证明: 这个命题的后半部分给出了详细的证明。我们需要验证这个新定义的作用满足群作用的两条公理。

• 特殊情况：子群:
• 特别是，如果 $H \leq G$ ...: 这是一个非常重要且常见的特例。
• $H \leq G$: $H$ 是 $G$ 的一个子群。
• 包含同态 (inclusion homomorphism): 我们可以定义一个最简单的同态 $f: H \rightarrow G$，其定义就是 $f(h) = h$。这个同态就是把 $H$ 的元素看作是 $G$ 的元素，它显然保持群运算。
• ... 成为一个 $H$-集:
• 将这个包含同态代入上面的通用公式：$h \cdot x = f(h) \cdot x = h \cdot x$。
• 结论: 如果 $G$ 作用于 $X$，那么任何 $G$ 的子群 $H$ 都通过完全相同的作用方式作用于 $X$。我们只是把允许使用的操作从整个 $G$ 的工具箱，限制到了 $H$ 这个小工具箱。
• 这就解释了为什么在例(3)中，$O_n$ 和 $S O_n$ 能继承 $G L_n(\mathbb{R})$ 的作用。

这是对命题1.1.5的证明的第一部分，即验证新定义的作用满足群作用的公理(1)（结合律公理）。

• 前提:
• 新作用的定义: $g' \cdot x = f(g') \cdot x$
• $G$ 在 $X$ 上的旧作用 $g \cdot x$ 满足公理(1): $g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = (g_1 g_2) \cdot x$
• $f: G' \rightarrow G$ 是同态: $f(g'_1 g'_2) = f(g'_1) f(g'_2)$

• 目标: 证明 $g'_{1} \cdot (g'_{2} \cdot x) = (g'_{1} g'_{2}) \cdot x$。

• 推导步骤:

1. $g'_{1} \cdot (g'_{2} \cdot x) = g'_{1} \cdot (f(g'_{2}) \cdot x)$
   • 从左边开始。首先对括号内的 $g'_2 \cdot x$ 应用新作用的定义，将其替换为 $f(g'_2) \cdot x$。
2. $... = f(g'_{1}) \cdot (f(g'_{2}) \cdot x)$
   • 再次应用新作用的定义，这次是对于外层的 $g'_1$。它作用在 $(f(g'_2) \cdot x)$ 这个整体上，所以 $g'_1$ 被翻译成 $f(g'_1)$，然后使用旧作用 ·。
3. $... = (f(g'_{1}) f(g'_{2})) \cdot x$
   • 这一步是关键。表达式 $f(g'_{1}) \cdot (f(g'_{2}) \cdot x)$ 是旧作用的形式。
   • $f(g'_1)$ 和 $f(g'_2)$ 都是旧群 $G$ 中的元素。
   • 因为旧作用满足公理(1)，所以我们可以应用它：$g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = (g_1 g_2) \cdot x$。
   • 在这里，令 $g_1 = f(g'_1)$ 和 $g_2 = f(g'_2)$，就得到了这一步的转换。
4. $... = f(g'_{1} g'_{2}) \cdot x$
   • 这一步使用了$f$ 是同态这一核心条件。
   • 我们将群 $G$ 内的乘积 $f(g'_1)f(g'_2)$ 替换为 $f(g'_1 g'_2)$。
5. $... = (g'_{1} g'_{2}) \cdot x$
   • 这是最后一步。我们观察到表达式 $f(g'_{1} g'_{2}) \cdot x$ 的形式。
   • 如果把 $g'_1 g'_2$ 看作一个整体，比如 $g'_3 = g'_1 g'_2$，那么这个表达式就是 $f(g'_3) \cdot x$。
   • 根据新作用的定义，这恰好就是 $g'_3 \cdot x$，即 $(g'_{1} g'_{2}) \cdot x$。
   • 这正是我们想要证明的等式的右边。

• 使用了 $f$ 是同态的事实。: 作者点出了步骤3到步骤4转换的依据，这是整个证明的核心。没有同态性质，证明链就断了。

这部分是命题1.1.5证明的收尾工作，验证新作用满足群作用的公理(2)（单位元公理）。

• 此外，如果 $1^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 中的恒等元，那么 $f(1^{\prime})=1$ 是 $G$ 中的恒等元:
• $1'$: 这是新群 $G'$ 的单位元。
• $1$: 这是旧群 $G$ 的单位元。
• $f(1')=1$: 这是群同态的一个基本性质。任何群同态都必须将单位元映射到单位元。
• 证明: $f(1') = f(1' \cdot 1') = f(1') f(1')$。在群 $G$ 中，设 $y=f(1')$，则 $y = y \cdot y$。两边乘以 $y^{-1}$，得到 $1 = y$。所以 $f(1')=1$。
• 作者在这里直接引用了这个“熟知的事实”。

• 因此，对于所有 $x \in X$， $1' \cdot x = f(1') \cdot x = 1 \cdot x = x$:
• 这是验证公理(2)的推导链。
• 目标: 证明 $1' \cdot x = x$。
• 第一步 $1' \cdot x = f(1') \cdot x$: 应用新作用的定义 $g' \cdot x = f(g') \cdot x$，这里 $g'=1'$。
• 第二步 $... = 1 \cdot x$: 使用了同态的性质 $f(1')=1$。
• 第三步 $... = x$: 使用了旧作用满足公理(2)的已知事实。

• 由此可见，公式 $g^{\prime} \cdot x=f\left(g^{\prime}\right) \cdot x$ 定义了 $G^{\prime}$ 在 $X$ 上的一个作用。
• 这是一个最终的结论。
• 因为我们已经证明了新作用满足公理(1)（结合律）和公理(2)（单位元），所以根据定义，它是一个合法的、良定义的群作用。
• 命题1.1.5得证。

这个例子应用了命题1.1.5的子群特例，讨论了自同构群的作用。

• 如果 $G$ 是一个群，那么 $S_{G}$ 作用于 $G$ ...:
• 根据例(4)的推广，对于任何集合（这里集合是 $G$），其上的对称群 $S_G$ 都通过函数求值作用于它。即 $\sigma \cdot x = \sigma(x)$ for $\sigma \in S_G, x \in G$。

• ...并作用于 $G$ 的所有子集的集合 $\mathcal{P}(G)$:
• 根据例(4)的再推广， $S_G$ 也作用于幂集 $\mathcal{P}(G)$。作用方式是 $\sigma \cdot A = \{\sigma(a) : a \in A\}$ for $A \subseteq G$。

• 因此，Aut $G$ 也作用于它:
• Aut $G$: 这是 $G$ 的自同构群 (Automorphism Group)。
• 自同构 (Automorphism): 是一个从群 $G$ 到其自身的同构 (isomorphism)。即一个双射 $\phi: G \rightarrow G$ 并且保持群运算 $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$。
• 它是 $S_G$ ... 的子群:
• $S_G$ 是所有从 $G$ 到 $G$ 的双射。
• Aut $G$ 是其中那些既是双射又保持群运算的特殊双射。
• 因此，Aut $G$ 是 $S_G$ 的一个子群。
• 也作用于它: “它”指的是 $G$ 和 $\mathcal{P}(G)$。
• 应用命题1.1.5: 因为 Aut $G \leq S_G$，并且我们知道 $S_G$ 作用于 $G$ 和 $\mathcal{P}(G)$，根据命题1.1.5的子群特例，Aut $G$ 也通过完全相同的方式作用于 $G$ 和 $\mathcal{P}(G)$。

• 请注意，Aut $G$ 也作用于 $G$ 的所有子群的集合...:
• 所有子群的集合: 设为 $\mathrm{Sub}(G)$。这是一个比 $\mathcal{P}(G)$ 小得多的集合，因为不是 $G$ 的所有子集都是子群。$\mathrm{Sub}(G) \subseteq \mathcal{P}(G)$。
• Aut $G$ 作用于 $\mathrm{Sub}(G)$:
• 我们需要验证 $\mathrm{Sub}(G)$ 在 Aut $G$ 的作用下是不变的。
• 设 $H \in \mathrm{Sub}(G)$ (即 $H$ 是 $G$ 的一个子群)，并设 $\phi \in \mathrm{Aut}(G)$。
• 作用结果是 $\phi \cdot H = \{\phi(h) : h \in H\}$。
• 我们需要证明这个新集合 $\{\phi(h) : h \in H\}$ 也是 $G$ 的一个子群。
• 同构保持子群结构:

这直接就是同构 (isomorphism) 的定义，即一个保持群运算的双射。

• 一个子集...在...作用下是封闭的: 这是一个关键观察。如果一个集合 $A$ 在某个操作下是封闭的，意味着这个操作可以被限制在该集合上，形成一个新的、更小的作用体系。
• 因此 Aut $G$ 也作用于...: 这是一个结论。因为自同构保持子群结构，所以我们可以放心地说，Aut $G$ 作用在 $\mathrm{Sub}(G)$ 这个集合上，而不会把一个子群变成“非子群”。

• 而 $S_{G}$ 不作用于该集合（因为从 $G$ 到自身的双射通常不会将子群映射到子群）。
• 对比: 这里指出了 Aut $G$ 与 $S_G$ 的一个本质区别。
• 一般的双射 $\sigma \in S_G$ 不一定保持群的乘法结构。因此，它不能保证将一个子群（一个具有代数结构的对象）映射到另一个子群。
• 例子: 设 $G = \mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}$，其子群 $H = \{0, 2\}$。考虑一个双射 $\sigma \in S_G$ 定义为 $\sigma(0)=0, \sigma(1)=3, \sigma(2)=1, \sigma(3)=2$。
• 作用在 $H$ 上：$\sigma \cdot H = \{\sigma(0), \sigma(2)\} = \{0, 1\}$。
• 集合 $\{0, 1\}$ 在 $\mathbb{Z}_4$ 中不是一个子群，因为 $1+1=2 \notin \{0,1\}$。
• 这个例子表明，$\mathrm{Sub}(G)$ 在 $S_G$ 的作用下不是封闭的，因此我们不能说 $S_G$ 作用于 $\mathrm{Sub}(G)$。

• 此外，我们有共轭同态 $f: G \rightarrow$ Aut $G$，定义为 $f(g)=i_{g}$，其中通常 $i_{g}(x)=g x g^{-1}$。
• 共轭同态: 这是一个非常重要的映射，它将群 $G$ 本身与它的自同构群联系起来。
• $f(g)=i_g$: 这个映射将群中的每个元素 $g$ 对应到一个函数 $i_g$。
• 函数 $i_g(x) = gxg^{-1}$ 就是我们之前讨论过的共轭操作。
• $i_g$ 是一个自同构:

1. 同态性: $i_g(xy) = g(xy)g^{-1} = gx(g^{-1}g)yg^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1}) = i_g(x)i_g(y)$。
2. 双射性: $i_g$ 的逆函数是 $i_{g^{-1}}$，因为 $i_{g^{-1}}(i_g(x)) = g^{-1}(gxg^{-1})g = x$。
   • 因此，每个 $i_g$ 都是 $G$ 的一个自同构，称为内部自同构 (Inner Automorphism)。
   • $f$ 是一个同态: 我们需要验证 $f(g_1g_2) = f(g_1) \circ f(g_2)$，即 $i_{g_1g_2} = i_{g_1} \circ i_{g_2}$。这正是我们在例(8)中为验证共轭作用满足公理(1)时所做的推导。

• 复合 $G \rightarrow$ Aut $G \rightarrow S_{G}$ 定义了 $G$ 通过共轭在自身上的作用。
• 这是一个用命题1.1.5的视角来重新诠释共轭作用。

1. 最底层的舞台是 $S_G$ 作用于集合 $G$。
2. 我们有一个从 $G$ 到 $S_G$ 的同态，这个同态是两步复合而成的：第一步是从 $G$ 到 Aut $G$ 的共轭同态 $f: g \mapsto i_g$，第二步是从 Aut $G$ 到 $S_G$ 的自然包含（因为 Aut $G$ 是 $S_G$ 的子群）。
3. 根据命题1.1.5，这个复合的同态 $g \mapsto i_g$ 就诱导了 $G$ 在 $G$ 上的一个作用。
4. 这个作用就是 $g \cdot x = (\text{复合映射}(g))(x) = i_g(x) = gxg^{-1}$，这正是共轭作用。

• 特别是，$G$ 在自身上的共轭作用也定义了在 $G$ 的所有子群的集合上的作用，我们继续表示为 $i_{g}: i_{g}(H)=g H g^{-1}$。
• 逻辑链:

1. 我们已知 Aut $G$ 作用于 $\mathrm{Sub}(G)$。
2. 我们有一个同态 $f: G \rightarrow \mathrm{Aut}(G)$。
3. 再次应用命题1.1.5，群 $G$ 通过同态 $f$ 诱导了一个在 $\mathrm{Sub}(G)$ 上的作用。
   • 作用方式: 对于 $g \in G$ 和子群 $H \in \mathrm{Sub}(G)$，
   • $g \cdot H = f(g) \cdot H = i_g \cdot H$
   • 根据在幂集上的作用定义， $i_g \cdot H = \{i_g(h) : h \in H\} = \{ghg^{-1} : h \in H\}$。
   • 这个新集合通常被简记为 $gHg^{-1}$。
   • 结论: 群 $G$ 可以通过共轭作用于其所有子群的集合。这个作用将一个子群 $H$ 变换成另一个（同构的）子群 $gHg^{-1}$。

这段话是在引入一个重要的构造，它是将“群作用”和“置换群”联系起来的关键一步。

• 使用命题 1.1.5，我们可以给出凯莱定理的部分推广。:
• 凯莱定理 (Cayley's Theorem): 是群论的一个基本定理，它指出任何一个群 $G$ 都同构于某个对称群的子群。
• 部分推广: 意味着我们将要得出的结论，在精神上和凯莱定理相似，但应用于更一般的情境（任意群作用，而不仅仅是左乘作用）。
• 这里的论述逻辑是，通过将群作用转化为到 $S_X$ 的同态，我们实际上是将抽象的群 $G$ “表示”为了一组具体的置换。这个“表示”的思想，就是凯莱定理的核心精神。

• 回想一下，...左乘作用，我们定义了一个双射 $\ell_g: G \rightarrow G$ ... $\ell_g(x)=gx$:
• 这是在回顾构建凯莱定理证明时的关键一步。
• 对于群 $G$ 在自身上的左乘作用，我们可以把每个群元素 $g$ 看作一个函数 $\ell_g$。
• 这个函数 $\ell_g$ 的功能就是“左乘 $g$”。
• 双射: 之前已经证明过，这个函数 $\ell_g$ 是一个从 $G$到$G$的双射。
• 单射: 如果 $\ell_g(x_1) = \ell_g(x_2)$，即 $gx_1=gx_2$，两边左乘 $g^{-1}$ 得 $x_1=x_2$。
• 满射: 对于任何 $y \in G$，我们总能找到一个 $x=g^{-1}y$，使得 $\ell_g(x) = g(g^{-1}y) = y$。
• 因为 $\ell_g$ 是一个双射，所以 $\ell_g \in S_G$。

• 更一般地，设 $G$ 作用于一个集合 $X$，并定义 $\ell_{g}: X \rightarrow X$ 由公式 $\ell_{g}(x)=g \cdot x$:
• 这是本节的核心构造。
• 我们将上述思想进行推广。
• 不再局限于左乘作用，而是考虑任意一个群 $G$ 在任意一个集合 $X$ 上的作用 $g \cdot x$。
• 对于群 $G$ 中的每一个元素 $g$，我们都定义一个相应的函数 $\ell_g$。
• 这个函数 $\ell_g$ 的定义域和值域都是 $X$。
• $\ell_g(x) = g \cdot x$: 函数 $\ell_g$ 的功能，就是执行“用元素 $g$ 进行群作用”这个操作。
• 这里的 $\ell$ 可以理解为 "left" 的意思，代表 $g$ 是从左边作用的。

这个引理阐述了我们刚刚定义的函数 $\ell_g$ 的三个核心性质。

• 符号如上: 意味着我们继续使用 $\ell_g(x) = g \cdot x$ 这个定义。

• (i) 对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G, \ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}=\ell_{g_{1} g_{2}}$
• o: 这里的 o 是函数的复合 (composition)。
• 左边 $\ell_{g_1} \circ \ell_{g_2}$: 是两个函数的复合。它代表“先应用函数 $\ell_{g_2}$，再对结果应用函数 $\ell_{g_1}$”。
• 右边 $\ell_{g_1 g_2}$: 是一个函数。这个函数是由群中 $g_1$ 和 $g_2$ 的乘积 $g_1 g_2$ 所定义的。
• 等式的意义: 这个性质说明，函数的复合结构与群的乘法结构是对应的。“先用 $g_2$ 作用再用 $g_1$ 作用”这个两步操作，其效果等同于“直接用复合元素 $g_1 g_2$ 作用”这个一步操作。这其实是群作用公理(1)的“函数化”版本。

• (ii) $\ell_{1}=\operatorname{Id}_{X}$
• $\ell_1$: 是由群的单位元 1 所定义的函数。
• $\mathrm{Id}_X$: 是集合 $X$ 上的恒等函数，即 $\mathrm{Id}_X(x)=x$ for all $x$。
• 等式的意义: 这个性质说明，由群单位元定义的函数，就是集合上的恒等变换（什么都不做）。这源自群作用的公理(2)。

• (iii) 对于所有 $g \in G, \ell_{g}$ 是从 $X$ 到 $X$ 的双射...
• 双射 (bijection): 即单射 (injective) 又是满射 (surjective)。
• 即... $\ell_g \in S_X$: $S_X$ 就是 $X$ 上所有双射构成的对称群。说 $\ell_g$ 是双射，等价于说 $\ell_g$ 是 $S_X$ 的一个元素。
• $\ell_g$ 的逆是 $\ell_{g^{-1}}$: 这句话给出了如何找到 $\ell_g$ 的逆函数。函数 $\ell_g$ 的逆函数，恰好就是由 $g$ 的逆元 $g^{-1}$ 所定义的那个函数 $\ell_{g^{-1}}$。这说明群中的逆元运算和函数求逆运算是对应的。

这是对引理1.1.7 (i) 的证明。

• 我们必须检查...: 两个函数相等，意味着它们对于定义域中的任何一个输入，都给出相同的输出。所以我们需要对任意 $x \in X$ 验证 $\ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}(x)=\ell_{g_{1} g_{2}}(x)$。

• 推导步骤:

1. $\ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}(x) = \ell_{g_{1}}(\ell_{g_{2}}(x))$
   • 这是函数复合的定义。
2. $... = \ell_{g_{1}}(g_{2} \cdot x)$
   • 这是对括号内的 $\ell_{g_2}(x)$ 应用 $\ell$ 的定义，将其替换为 $g_2 \cdot x$。
3. $... = g_{1} \cdot (g_{2} \cdot x)$
   • 这是再次应用 $\ell$ 的定义，这次是对于外层的 $\ell_{g_1}$，它作用在 $g_2 \cdot x$ 这个元素上。
4. $... = (g_{1} g_{2}) \cdot x$
   • 这是证明中最核心的一步，它直接使用了群作用的公理(1)（结合律公理）。
5. $... = \ell_{g_1 g_2}(x)$
   • 这是最后一步，将表达式 $(g_1 g_2) \cdot x$ 用 $\ell$ 的定义反向写回去。这里作用者是 $g_1 g_2$ 这个整体。

• 结论: 推导链的开头和结尾分别是待证等式的左边和右边作用于 $x$ 的结果，它们相等，所以函数 $\ell_{g_1} \circ \ell_{g_2}$ 和 $\ell_{g_1 g_2}$ 是同一个函数。

这是对引理1.1.7 (ii) 的证明。

• $\ell_1(x) = 1 \cdot x$: 应用 $\ell$ 的定义，其中群元素是单位元 $1$。
• $... = x$: 使用群作用的公理(2)（单位元公理）。
• 因此 $\ell_1 = \mathrm{Id}_X$: 因为对于任何输入 $x$，函数 $\ell_1$ 的输出都是 $x$，所以根据定义，$\ell_1$ 就是恒等函数 $\mathrm{Id}_X$。

这是对引理1.1.7 (iii) 的证明。

• 只需要证明 $\left(\ell_{g}\right)^{-1}=\ell_{g^{-1}}$:
• 一个函数是双射，当且仅当它存在一个逆函数。
• 所以，我们不需要分别去证单射和满射，只要能找到 $\ell_g$ 的逆函数，就能同时证明 $\ell_g$ 是双射。
• 这里提出的猜想是：$\ell_g$ 的逆函数就是 $\ell_{g^{-1}}$。

• 即 $\ell_{g} \circ \ell_{g^{-1}}=\ell_{g^{-1}} \circ \ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$:
• 这是验证一个函数是另一个函数的逆函数的标准方法：将它们双向复合，看结果是否都是恒等函数。

• 使用 (i) 和 (ii): 预告了将要使用的工具是本引理前面已经证明的两条性质。

• 推导链:

1. $\ell_{g} \circ \ell_{g^{-1}} = \ell_{g g^{-1}}$
   • 这是应用性质 (i)，即 $\ell_{g_1} \circ \ell_{g_2} = \ell_{g_1 g_2}$。这里令 $g_1=g, g_2=g^{-1}$。
2. $... = \ell_1$
   • 这是因为在群 $G$ 内部， $g g^{-1} = 1$ (逆元定义)。
3. $... = \mathrm{Id}_X$
   • 这是应用性质 (ii)，即 $\ell_1 = \mathrm{Id}_X$。

• 类似地 $\ell_{g^{-1}} \circ \ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$:
• 推导过程完全一样：$\ell_{g^{-1}} \circ \ell_g = \ell_{g^{-1}g} = \ell_1 = \mathrm{Id}_X$。

• 结论: 因为我们成功地找到了 $\ell_g$ 的逆函数（就是 $\ell_{g^{-1}}$），所以 $\ell_g$ 必然是一个双射，即 $\ell_g \in S_X$。

• 特别注意，如果 $y=g \cdot x$，那么 $x=g^{-1} \cdot y$:
• 这是一个非常实用的推论，是对(iii)的另一种表述。
• $y = g \cdot x$ 可以写作 $y = \ell_g(x)$。
• 两边用 $\ell_g$ 的逆函数 $\ell_{g^{-1}}$ 作用：$\ell_{g^{-1}}(y) = \ell_{g^{-1}}(\ell_g(x))$。
• 左边是 $g^{-1} \cdot y$。
• 右边是 $(\ell_{g^{-1}} \circ \ell_g)(x) = \mathrm{Id}_X(x) = x$。
• 所以 $x = g^{-1} \cdot y$。
• 直观意义: 如果 $g$ 把 $x$ “推”到了 $y$，那么 $g$ 的逆操作 $g^{-1}$ 就能把 $y$ “拉回”到 $x$。

这个推论是引理1.1.7的直接结果，也是本节最重要的结论之一。

• 如果 $X$ 是一个 $G$-集: 这是前提。
• 那么由 $F(g)=\ell_{g}$ 定义的函数 $F: G \rightarrow S_{X}$...:
• 我们定义了一个新的函数 $F$。
• 定义域: 是群 $G$。
• 值域: 是集合 $X$ 上的对称群 $S_X$。
• 映射规则 $F(g)=\ell_g$: 这个函数 $F$ 把群 $G$ 中的每个元素 $g$，映射到 $S_X$ 中的一个元素，这个元素就是我们之前定义的那个双射函数 $\ell_g$。
• 映射的合法性: 引理1.1.7(iii) 证明了每个 $\ell_g$ 确实是一个双射，所以 $\ell_g \in S_X$，因此这个映射的值域是正确的。

• ...是从 $G$ 到 $S_X$ 的同态。
• 同态 (homomorphism): 意味着 $F$ 保持群的运算结构。
• $G$ 中的运算: 是群乘法。
• $S_X$ 中的运算: 是函数的复合 o。
• 需要验证: $F(g_1 g_2) = F(g_1) \circ F(g_2)$。
• 证明:
• 左边: $F(g_1 g_2) = \ell_{g_1 g_2}$ (根据 $F$ 的定义)。
• 右边: $F(g_1) \circ F(g_2) = \ell_{g_1} \circ \ell_{g_2}$ (根据 $F$ 的定义)。
• 在引理1.1.7(i)中，我们已经证明了 $\ell_{g_1 g_2} = \ell_{g_1} \circ \ell_{g_2}$。
• 因此，同态的条件成立。

这个备注是对推论1.1.8中同态 $F$ 的一个重要补充说明，讨论了它的核 (kernel)。

• 对于 $G$ 在自身上的左乘作用，同态 $F: G \rightarrow S_{G}$ 很容易看出是内射的:
• 内射 (injective / one-to-one): 意味着同态的核只包含单位元。即 $\ker(F)=\{1\}$。
• 核的定义: $\ker(F) = \{g \in G : F(g) = \text{Id}_{S_G}\}$。在 $S_G$ 中，单位元是恒等函数 $\mathrm{Id}_G$。
• 验证:
• $F(g) = \mathrm{Id}_G \iff \ell_g = \mathrm{Id}_G$。
• $\ell_g = \mathrm{Id}_G \iff \ell_g(x) = x$ for all $x \in G$。
• $\iff gx = x$ for all $x \in G$。
• 在一个群中，如果 $gx=x$ 成立，那么两边右乘 $x^{-1}$ 可得 $g=1$。
• 所以，只有当 $g=1$ 时，才有 $F(g)=\mathrm{Id}_G$。
• 因此 $\ker(F)=\{1\}$，所以 $F$ 是单射。
• 这是凯莱定理的内容: 凯莱定理指出 $G$ 同构于 $F(G)$，其证明的关键就是 $F$ 是单射。

• 然而，在一般情况下，$F$ 不必是内射的。
• 这是关键的提醒。对于任意的群作用，诱导出的同态 $F: G \rightarrow S_X$ 不一定是单射。
• 核: $\ker(F) = \{g \in G : F(g) = \mathrm{Id}_X\} = \{g \in G : \ell_g = \mathrm{Id}_X\} = \{g \in G : g \cdot x = x \text{ for all } x \in X\}$。
• 核就是那些作用在 $X$ 的任何元素上都像单位元一样“什么也不做”的群元素的集合。这个核有时被称为作用的忠实核 (kernel of faithfulness)。如果核是平凡的（只有单位元），则称作用是忠实的 (faithful)。

• 例如，如果 $G$ 通过平凡作用 ... $F$ 是平凡同态。
• 平凡作用: $g \cdot x = x$ for all $g, x$。
• 在这种情况下，对于任何 $g \in G$，对应的函数 $\ell_g$ 都是 $\ell_g(x) = g \cdot x = x$。
• 这意味着，对于任何 $g \in G$，函数 $\ell_g$ 都是恒等函数 $\mathrm{Id}_X$。
• $F(g) = \ell_g = \mathrm{Id}_X$: 对于任何 $g \in G$，它都被 $F$ 映射到 $S_X$ 的单位元 $\mathrm{Id}_X$。
• 平凡同态: 一个将所有元素都映射到目标群的单位元的同态，称为平凡同态。
• 在这种情况下，$\ker(F) = G$。如果 $G$ 不是平凡群，那么 $F$ 显然不是单射。

这段话完成了本节的理论闭环，指出了“群作用”和“到对称群的同态”这两种描述是完全等价的。

• 我们也可以逆转推论的构造:
• 推论1.1.8的构造是：群作用 $\implies$ 同态 $G \rightarrow S_X$。
• 现在我们要考虑逆向构造：同态 $G \rightarrow S_X \implies$ 群作用。

• 给定一个同态 $F: G \rightarrow S_{X}$:
• 这是逆向构造的出发点。我们有一个群 $G$，一个集合 $X$，以及一个从 $G$ 到 $X$ 的对称群 $S_X$ 的同态 $F$。

• 由于 $S_{X}$ 作用于 $X$:
• 我们知道 $S_X$ 通过函数求值的方式自然地作用于 $X$，即 $\sigma \cdot x = \sigma(x)$。

• 根据命题 1.1.5，$X$ 成为一个 $G$-集:
• 命题1.1.5说：如果有一个群（这里是 $S_X$）作用于一个集合（这里是 $X$），并且有一个到该群的同态（这里是 $F: G \rightarrow S_X$），那么我们就能诱导出一个新群（这里是 $G$）在该集合（$X$）上的作用。
• 这个诱导作用的定义是：$g \cdot x = F(g) \cdot x$。
• 因为 $S_X$ 的作用是函数求值，所以 $F(g) \cdot x = (F(g))(x)$。
• 所以，从一个同态 $F$ 出发，我们定义了一个群作用，其规则是 $g \cdot x = (F(g))(x)$。

• 两种构造是逆向构造:
• 构造1 (作用 $\rightarrow$ 同态):
• 输入：作用 $g \cdot x$
• 输出：同态 $F_1: G \rightarrow S_X$ 定义为 $F_1(g) = \ell_g$，其中 $\ell_g(x)=g \cdot x$。
• 构造2 (同态 $\rightarrow$ 作用):
• 输入：同态 $F: G \rightarrow S_X$
• 输出：作用 $g \cdot_F x$ 定义为 $g \cdot_F x = (F(g))(x)$。
• 验证它们互为逆向:
• 先1后2: 从一个作用 $g \cdot x$ 出发，得到同态 $F_1$。再用 $F_1$ 定义一个新作用 $g \cdot' x$。
• $g \cdot' x = (F_1(g))(x) = (\ell_g)(x) = g \cdot x$。新作用和原作用完全相同。
• 先2后1: 从一个同态 $F$ 出发，得到作用 $g \cdot_F x$。再用这个作用定义一个新同态 $F'$。
• $F'(g) = \ell_g^{\text{new}}$，其中 $\ell_g^{\text{new}}(x) = g \cdot_F x = (F(g))(x)$。
• 这意味着函数 $\ell_g^{\text{new}}$ 和函数 $F(g)$ 对于任何输入 $x$ 都给出相同输出，所以它们是同一个函数。
• 因此 $F'(g) = F(g)$。新同态和原同态完全相同。
• 既然两种构造可以相互抵消，回到起点，它们就是互为逆的。