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定义 1.1.1。 设 $\mathbf{G}$ 是一个群，$X$ 是一个集合。那么 $\mathbf{G}$ 在 $X$ 上的作用是一个函数 $F: \mathbf{G} \times X \rightarrow X$，我们写 $F(g, x)=g \cdot x$，满足：
(1) 对于所有 $g_{1}, g_{2} \in \mathbf{G}$ 和 $x \in X, g_{1} \cdot\left(g_{2} \cdot x\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) \cdot x$。
(2) 对于所有 $x \in X, 1 \cdot x=x$。
当作用 $F$ 被理解时，我们称 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合。（正如我们将看到的，有一些群 $\mathbf{G}$ 和集合 $X$ 的例子，其中 $X$ 有不止一个有趣的 $\mathbf{G}$ 作用，因此 $X$ 以不止一种方式是一个 $\mathbf{G}$-集合。）
请注意，群作用与二元结构不同。在二元结构中，我们结合 $X$ 的两个元素得到 $X$ 的第三个元素（我们结合两个苹果得到一个苹果）。在群作用中，我们结合 $\mathbf{G}$ 的一个元素和 $X$ 的一个元素得到 $X$ 的一个元素（我们结合一个苹果和一个橙子得到另一个橙子）。
示例 1.1.2。 (1) 平凡作用：对于所有 $g \in \mathbf{G}$ 和 $x \in X$, $g \cdot x=x$。
(2) 群 $\mathbb{R}^{*}$ 通过标量乘法作用于向量空间 $\mathbb{R}^{n}$：给定 $t \in \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$，令 $t \cdot \mathbf{v}=t \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 为标量乘法。这是一个作用，这可以从标量乘法的熟悉性质中看出：$t_{1}\left(t_{2} \mathbf{v}\right)=\left(t_{1} t_{2}\right) \mathbf{v}$ 和 $1 \mathbf{v}=\mathbf{v}$，对于所有 $t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$。（当然，这些性质也适用于 $t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R}$，但 $\mathbb{R}$ 在乘法下不是群。此外，标量乘法还有其他与标量或向量相加相关的性质。）
(3) $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R})$ 通过通常的规则 $A \cdot \mathbf{v}=A \mathbf{v}$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$，其中 $A \mathbf{v}$ 是矩阵 $A$ 乘以向量 $\mathbf{v}$，与 $F(\mathbf{v})$ 相同，其中 $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 是对应于 $A$ 的线性函数。类似地，$\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$。请注意，$\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R})$ 是 $\mathbf{S}_{\mathbb{R}^{n}}$ 的一个子群，$\mathbf{S}_{\mathbb{R}^{n}}$ 是从 $\mathbb{R}^{n}$ 到自身的所有双射的群，并且 $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用是由 $\mathbf{S}_{\mathbb{R}^{n}}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用通过将函数 $F$ 应用于向量 $\mathbf{v}$ 引起的。同样，子群 $\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的作用是由 $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R})$ 的作用引起的。这是一个普遍的图景的一部分：如果群 $\mathbf{G}$ 作用于集合 $X$，并且 $\mathbf{H} \leq \mathbf{G}$，那么 $\mathbf{H}$ 也通过限制作用于 $X$。
此外，$\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$ 作用于半径为 1 的 $(n-1)$-球面 $\mathbf{S}^{n-1}$，定义为
请注意，$\mathbf{S}^{1}=\mathbf{U}(1)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的单位圆，$\mathbf{S}^{2}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的单位球面。半径为 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面也类似定义，并且 $\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$ 也作用于半径为 $r$ 的 $(n-1)$-球面。
(4) $\mathbf{S}_{n}$ 作用于 $\{1, \ldots, n\}$，通过 $\sigma \cdot k=\sigma(k)$（这里我们使用 $\mathbf{S}_{n}$ 中乘法的定义作为函数复合）。更一般地，如果 $X$ 是任何集合，$\mathbf{S}_{X}$ 作用于 $X$，通过相同的公式：给定 $\sigma \in \mathbf{S}_{X}$ 和 $x \in X$，定义 $\sigma \cdot x=\sigma(x)$。要看出这确实是我们定义的作用，请注意，给定 $\sigma_{1}, \sigma_{2} \in \mathbf{S}_{X}$ 和 $x \in X$，
因为 $\mathbf{S}_{X}$ 上的群运算是函数复合。显然 $\operatorname{Id}_{X} \cdot x=\operatorname{Id}_{X}(x)=x$ 对于所有 $x \in X$ 都成立。因此 $\mathbf{S}_{X}$ 作用于 $X$。请注意，$\mathbf{S}_{X}$ 作用于与 $X$ 相关的许多其他对象，例如幂集 $\mathcal{P}(X)$，即 $X$ 的所有子集的集合，通过公式，对于所有 $\sigma \in \mathbf{S}_{X}$ 和 $A \subseteq X$，
因为 $\#(\sigma \cdot A)=\#(A)$，如果 $A$ 是有限的，$\mathbf{S}_{X}$ 也作用于 $\mathcal{P}(X)$ 的子集，该子集由 $X$ 的所有具有 2 个元素、或 3 个元素、或对于任何固定的 $k$ 具有 $k$ 个元素的子集组成。
这里 $\mathbf{S}_{X}$ 没有什么特别之处：如果群 $\mathbf{G}$ 作用于集合 $X$，那么它也作用于与 $X$ 相关的各种集合，例如 $\mathcal{P}(X)$ 或 $X \times X$。
(5) 令 $\mathbf{P}_{n}$ 为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的正 $n$-边形，$n \geq 3$。例如，我们可以取 $\mathbf{P}_{n}$ 以原点为中心，顶点为
二面体群 $\mathbf{D}_{n}$ 作用于 $\mathbf{P}_{n}$ 和顶点集合 $\left\{\mathbf{p}_{0}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}\right\}$，以及边集合 $\left\{\overline{\mathbf{p}_{0} \mathbf{p}_{1}}, \overline{\mathbf{p}_{1} \mathbf{p}_{2}}, \ldots, \overline{\mathbf{p}_{n-1} \mathbf{p}_{0}}\right\}$。使用上述符号，很容易看出（如我们之前所描述的）
(6) 与上一个示例部分类比，令 $S$ 为 $\mathbb{R}^{3}$ 中的正多面体（或柏拉图多面体），欧几里得、柏拉图以及更早的毕达哥拉斯学派已知。我们不给出精确定义。我们将 $S$ 视为以原点为中心。这里，与 $\mathbb{R}^{2}$ 的情况不同，$\mathbb{R}^{2}$ 对每个 $n \geq 3$ 都有正 $n$-边形，而 $\mathbb{R}^{3}$ 只有 5 种正多面体。正多面体是多面体的一个例子，它有顶点、边和面。如果我们列出这些信息，我们有以下正多面体列表（其中 $v$ 是顶点数，$e$ 是边数，$f$ 是面数）：
| 名称 | $v$ | $e$ | $f$ | $n$ |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 4 | 6 | 4 | 3 |
| 正方体 | 8 | 12 | 6 | 4 |
| 正八面体 | 6 | 12 | 8 | 3 |
| 正十二面体 | 20 | 30 | 12 | 5 |
| 正二十面体 | 12 | 30 | 20 | 3 |
这里 $n$ 是一个面的边数，它是一个正 $n$-边形。这可以通过上述数据确定，因为每条边恰好与两个面相交，因此 $2 e=n f$。例如，正十二面体的面是正五边形。请注意欧拉公式，在这种情况下它表示
对于每个正多面体 $S$，都有一个相关的对偶多面体 $S^{\vee}$，其中 $S^{\vee}$ 的顶点数等于 $S$ 的面数，反之亦然。这里正四面体是它自己的对偶，而正方体的对偶是正八面体，正十二面体的对偶是正二十面体。
给定一个正多面体 $S$，我们定义其对称群 $\mathbf{G}(S)$ 为
那么 $\mathbf{G}(S)$ 作用于 $S$，以及 $S$ 的顶点、边或面的集合。不难证明 $\mathbf{G}(S)=\mathbf{G}\left(S^{\vee}\right)$，所以只有三种形式的群 $\mathbf{G}(S)$。请注意（与允许 $\mathbf{O}_{2}$ 元素的 $\mathbf{D}_{n}$ 情况不同），我们只考虑 $\mathbf{S O}_{3}$ 的元素。群 $\mathbf{G}(S)$ 总是有限的，我们稍后会对其进行更多讨论。
(7) 剩下的两个例子与群论更直接相关。如果 $\mathbf{G}$ 是一个群，那么 $\mathbf{G}$ 通过左乘 作用于自身：$g \cdot x=g x$。群作用的公理就变成了 $\mathbf{G}$ 中乘法是结合律的事实（ $g_{1}\left(g_{2} x\right)=\left(g_{1} g_{2}\right) x$ ）和单位元的定义（ $1 x=x$ 对于所有 $x \in \mathbf{G}$ 都成立）。更一般地，如果 $\mathbf{H} \leq \mathbf{G}$ 是一个子群，不一定是正规的，那么 $\mathbf{G}$ 通过左乘 作用于左陪集 $\mathbf{G} / \mathbf{H}$ 的集合：$g \cdot(x H)=(g x) H$。证明这是一个作用的论证与左乘的情况类似。
(8) $\mathbf{G}$ 通过共轭 $\mathbf{i}_{g}: \mathbf{i}_{g}(x)=g x g^{-1}$ 作用于自身。（我们这样写是为了避免与左乘作用混淆，而不是写成 $g \cdot x$。）要看出这是一个作用，请注意，对于所有 $g_{1}, g_{2} \in \mathbf{G}$，
这里我们使用了熟悉的事实 $(g_{1} g_{2})^{-1}=g_{2}^{-1} g_{1}^{-1}$。因为显然
共轭确实构成了 $\mathbf{G}$ 在自身上的作用。这个作用是平凡作用 $\Longleftrightarrow g x g^{-1}=x$ 对于所有 $g, x \in \mathbf{G}$ 都成立 $\Longleftrightarrow g x=x g$ 对于所有 $g, x \in \mathbf{G}$ 都成立 $\Longleftrightarrow \mathbf{G}$ 是阿贝尔群。
定义 1.1.3。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合，那么 $X$ 的一个 $\mathbf{G}$-子集 $Y$ 是一个子集 $Y \subseteq X$，使得对于所有 $g \in \mathbf{G}$ 和 $y \in Y, g \cdot y \in Y$。一个 $\mathbf{G}$-子集本身就是一个 $\mathbf{G}$-集合。
定义 1.1.4。 如果 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是 $\mathbf{G}$-集合，从 $X_{1}$ 到 $X_{2}$ 的 $\mathbf{G}$-集合同构，$f$，或简称G-同构，是一个双射 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$，使得对于所有 $g \in \mathbf{G}$ 和 $x \in X$，$f(g \cdot x)=g \cdot f(x)$。在这种情况下，我们说 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 作为 $\mathbf{G}$-集合是同构的或G-同构的，并写成 $X_{1} \cong_{G} X_{2}$。显然 $\operatorname{Id}_{X}$ 是 $\mathbf{G}$-集合的同构。如果 $f: X_{1} \rightarrow X_{2}$ 是 $\mathbf{G}$-集合的同构，那么 $f^{-1}$ 也是。同样，两个同构的复合仍然是同构。因此，与同构的通常定义一样，关系 $\cong_{G}$ 是自反的、对称的和传递的。
我们已经隐含地在上述某些示例中看到的一个原则是：
命题 1.1.5。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合，并且 $f: \mathbf{G}^{\prime} \rightarrow \mathbf{G}$ 是一个同态，那么 $X$ 通过 $g^{\prime} \cdot x=f\left(g^{\prime}\right) \cdot x$ 成为一个 $\mathbf{G}^{\prime}$-集合。特别是，如果 $\mathbf{H} \leq \mathbf{G}$，那么一个 $\mathbf{G}$-集合 $X$ 也通过 $\mathbf{H}$ 到 $\mathbf{G}$ 的包含同态成为一个 $\mathbf{H}$-集合。
证明。 给定 $g_{1}^{\prime}, g_{2}^{\prime} \in \mathbf{G}^{\prime}$，
使用了 $f$ 是一个同态的事实。此外，如果 $1^{\prime}$ 是 $\mathbf{G}^{\prime}$ 中的单位元，那么 $f\left(1^{\prime}\right)=1$ 是 $\mathbf{G}$ 中的单位元，因此，对于所有 $x \in X$，
由此可见，公式 $g^{\prime} \cdot x=f\left(g^{\prime}\right) \cdot x$ 定义了 $\mathbf{G}^{\prime}$ 在 $X$ 上的作用。
示例 1.1.6。 如果 $\mathbf{G}$ 是一个群，那么 $\mathbf{S}_{\mathbf{G}}$ 作用于 $\mathbf{G}$ 和 $\mathbf{G}$ 的所有子集的集合 $\mathcal{P}(\mathbf{G})$。因此，$\mathbf{Aut} \mathbf{G}$，即 $\mathbf{G}$ 的自同构群（即从 $\mathbf{G}$ 到 $\mathbf{G}$ 的同构），它在复合下是 $\mathbf{S}_{\mathbf{G}}$ 的一个子群，也作用于这些集合。请注意，$\mathbf{Aut} \mathbf{G}$ 也作用于 $\mathbf{G}$ 的所有子群的集合，这是 $\mathcal{P}(\mathbf{G})$ 的一个子集，而 $\mathbf{S}_{\mathbf{G}}$ 不作用于此集合（因为从 $\mathbf{G}$ 到自身的一个双射通常不会将一个子群映射到一个子群）。此外，我们有共轭同态 $f: \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{Aut} \mathbf{G}$，定义为 $f(g)=i_{g}$，其中通常 $i_{g}(x)=g x g^{-1}$。复合 $\mathbf{G} \rightarrow \mathbf{Aut} \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{\mathbf{G}}$ 然后定义了 $\mathbf{G}$ 在自身上的共轭作用。特别是，$\mathbf{G}$ 在自身上的共轭作用也定义了在 $\mathbf{G}$ 的所有子群的集合上的作用，我们继续用 $i_{g}: i_{g}(H)=g H g^{-1}$ 来表示。
使用命题 1.1.5，我们可以给出凯莱定理的部分推广。回想一下，对于 $\mathbf{G}$ 通过左乘在自身上的作用，我们定义一个双射 $\ell_{g}: \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{G}$ 为：
更一般地，令 $\mathbf{G}$ 作用于集合 $X$，并定义 $\ell_{g}: X \rightarrow X$ 为
引理 1.1.7。 如上所述，
(i) 对于所有 $g_{1}, g_{2} \in \mathbf{G}$, $\ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}=\ell_{g_{1} g_{2}}$。
(ii) $\ell_{1}=\operatorname{Id}_{X}$。
(iii) 对于所有 $g \in \mathbf{G}$, $\ell_{g}$ 是从 $X$ 到 $X$ 的一个双射，即对于所有 $g \in \mathbf{G}$, $\ell_{g} \in \mathbf{S}_{X}$，并且 $\ell_{g}$ 的逆是 $\ell_{g^{-1}}$。
证明。 (i) 我们必须检查对于所有 $x \in X$, $\ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}(x)=\ell_{g_{1} g_{2}}(x)$。根据定义，
(ii) 显然，对于所有 $x \in X$, $\ell_{1}(x)=1 \cdot x=x$，因此 $\ell_{1}=\operatorname{Id}_{X}$。
(iii) 只需要证明 $\left(\ell_{g}\right)^{-1}=\ell_{g^{-1}}$，即 $\ell_{g} \circ \ell_{g^{-1}}=\ell_{g^{-1}} \circ \ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$。使用 (i) 和 (ii)，
类似地 $\ell_{g^{-1}} \circ \ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$。
特别请注意，如果 $y=g \cdot x$，那么 $x=g^{-1} \cdot y$。
推论 1.1.8。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合，那么定义为 $F(g)=\ell_{g}$ 的函数 $F: \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{X}$ 是从 $\mathbf{G}$ 到 $\mathbf{S}_{X}$ 的一个同态。
证明。 根据上述 (iii)，$\ell_{g} \in \mathbf{S}_{X}$。方程 $\ell_{g_{1}} \circ \ell_{g_{2}}=\ell_{g_{1} g_{2}}$ 表示 $F\left(g_{1} g_{2}\right)=F\left(g_{1}\right) \circ F\left(g_{2}\right)$，换句话说， $F$ 是一个同态。
备注 1.1.9。 对于 $\mathbf{G}$ 在自身上的左乘作用，同态 $F: \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{\mathbf{G}}$ 很容易看出是内射的；这就是凯莱定理的内容。然而，通常 $F$ 不必是内射的。例如，如果 $\mathbf{G}$ 通过平凡作用 $g \cdot x=x$ 对于所有 $g \in \mathbf{G}$ 都成立来作用于 $X$，那么对于所有 $g \in \mathbf{G}$, $\ell_{g}=\operatorname{Id}_{X}$，因此 $F$ 是平凡同态。
我们也可以反转推论的构造：给定一个同态 $F: \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{X}$，由于 $\mathbf{S}_{X}$ 作用于 $X$，根据命题 1.1.5，$X$ 成为一个 $\mathbf{G}$-集合。最后，刚刚描述的两种构造（从 $\mathbf{G}$ 在 $X$ 上的作用到同态 $\mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{X}$ 的转换，以及从同态 $\mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{X}$ 到 $\mathbf{G}$ 在 $X$ 上的作用的转换）是互逆的构造。因此，$\mathbf{G}$-集合 $X$ 的概念等同于同态 $\mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{X}$ 的概念。
定义 1.2.1。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合且 $x \in X$，则 $X$ 在 $\mathbf{G}$ 下的轨道是集合 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}= \{g \cdot x: g \in G\}$。因此 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x} \subseteq X$。显然 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$ 是 $X$ 的一个 $\mathbf{G}$-子集，并且是包含 $x$ 的最小 $\mathbf{G}$-子集。
示例 1.2.2。 在 $\mathbf{S}_{n}$ 在 $\{1, \ldots, n\}$ 上的作用中，给定 $\sigma \in \mathbf{S}_{n}$，我们之前定义了 $\sigma$ 的轨道 $\mathbf{O}_{\sigma}(\mathbf{i})$。与当前定义的联系如下：之前意义上的 $\sigma$ 的轨道是 $\langle\sigma\rangle$ 作为 $\mathbf{S}_{n}$ 的子群作用于 $\{1, \ldots, n\}$ 的轨道。换句话说，$\mathbf{O}_{\sigma}(\mathbf{i})=\langle\sigma\rangle \cdot i$。事实上，两边都等于
我们通过等价关系定义了轨道 $\mathbf{O}_{\sigma}(\mathbf{i})$，因此很自然地尝试对轨道 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$ 做同样的事情。
命题 1.2.3。 令 $\mathbf{G}$ 作用于集合 $X$，并定义 $x \sim_{G} y \Longleftrightarrow$ 存在 $g \in \mathbf{G}$ 使得 $g \cdot x=y$。那么 $\sim_{G}$ 是一个等价关系，并且包含 $x$ 的等价类是轨道 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$。因此， $\mathbf{G}$ 的两个轨道要么不相交要么相同。
证明。 自反性：$x=1 \cdot x$，因此 $x \sim_{G} x$。对称性：如果 $x \sim_{G} y$，那么根据定义存在 $g \in \mathbf{G}$ 使得 $g \cdot x=y$。我们已经看到，在这种情况下，$g^{-1} \cdot y=x$。因此 $y \sim_{G} x$。传递性：假设 $x \sim_{G} y$ 并且 $y \sim_{G} z$。那么存在 $g_{1} \in \mathbf{G}$ 使得 $g_{1} \cdot x=y$，并且存在 $g_{2} \in \mathbf{G}$ 使得 $g_{2} \cdot y=z$。因此 $z=g_{2} \cdot y=g_{2} \cdot\left(g_{1} \cdot x\right)=\left(g_{2} g_{1}\right) \cdot x$，所以 $x \sim_{G} z$。
剩下的陈述，即包含 $x$ 的等价类是轨道 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$，以及 $\mathbf{G}$ 的两个轨道要么不相交要么相同，根据定义和等价类的一般性质都很清楚。
定义 1.2.4。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合，并且对于一个（或等价地所有）$x \in X$， $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}=X$，我们说 $\mathbf{G}$ 传递地作用于 $X$。
示例 1.2.5。 (1) $\mathbf{S}_{n}$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\}$。这仅仅表示，对于所有 $k \in\{1, \ldots, n\}$，存在 $\sigma \in \mathbf{S}_{n}$ 使得 $\sigma(1)=k$，因此 $\mathbf{S}_{n} \cdot 1=\{1, \ldots, n\}$ 并且只有一个轨道。同样，很容易看出 $\mathbf{A}_{n}$ 对于 $n \geq 3$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\}$，但对于 $n=2$ 则不然。但是如果 $\sigma \in \mathbf{S}_{n}$，那么子群 $\langle\sigma\rangle$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\} \Longleftrightarrow \sigma$ 只有一个轨道并且它有 $n$ 个元素 $\Longleftrightarrow \sigma$ 是一个 $\mathbf{n}$-循环。
(2) $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R})$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$。有两个轨道：$\{\mathbf{0}\}$ 和 $\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$。这里，显然 $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{0}=\{\mathbf{0}\}$。要看出只有一个额外的轨道，我们证明 $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1}=\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$。令 $\mathbf{v}$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一个非零向量，即 $\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$ 的一个元素。根据标准线性代数，$\mathbf{v}$ 可以补全为 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个基 $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$。如果 $A$ 是列为 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ 的矩阵，那么 $A$ 是可逆的，即 $A \in \mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R})$，并且对于每个 $i$, $A \mathbf{e}_{i}=\mathbf{v}_{i}$。特别是 $A \mathbf{e}_{1}=\mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}$。这表明 $\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\} \subseteq \mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1}$，但也有 $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1} \subseteq \mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$，因为如果 $A$ 可逆， $A \mathbf{e}_{1}$ 不可能是 $\mathbf{0}$，因为 $A$ 的零空间是 $\{\mathbf{0}\}$。因此 $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb{R}) \cdot \mathbf{e}_{1}=\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}$。
同样，$\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$ 作用于 $\mathbb{R}^{n}$。对于 $n \geq 2$，对于 $\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$，轨道是 $\{\mathbf{0}\}$ 和以原点为中心、半径 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面。这可以从格拉姆-施密特正交化过程中看出：如果 $\mathbf{u}$ 是一个单位向量（ $\|\mathbf{u}\|=1$ ），那么 $\mathbf{u}$ 可以补全为 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个标准正交基 $\mathbf{u}=\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \ldots, \mathbf{u}_{n}$。如果 $A$ 是列为 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \ldots, \mathbf{u}_{n}$ 的矩阵，那么 $A$ 是一个正交矩阵，即 $A \in \mathbf{O}_{n}$，并且 $A \mathbf{e}_{1}=\mathbf{u}_{1}=\mathbf{u}$。如果 $\operatorname{det} A=-1$，我们也可以用 $-\mathbf{u}_{n}$ 替换 $\mathbf{u}_{n}$ 来使得 $A \in \mathbf{S O}_{n}$。这表明单位 $(n-1)$-球面 $\mathbf{S}^{n-1}$ 对于 $\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$ 是一个单一轨道，并且稍作修改可以处理半径 $r>0$ 的 $(n-1)$-球面的情况。特别是，对于 $n \geq 2$，$\mathbf{O}_{n}$ 和 $\mathbf{S O}_{n}$ 传递地作用于 $\mathbf{S}^{n-1}$。因为这个作用是传递的，所以 $\mathbf{S}^{n-1}$ 的几何是齐次的，即它在每个点看起来都一样。
(3) 二面体群 $\mathbf{D}_{n}$ 传递地作用于 $\mathbf{P}_{n}$ 的顶点集合 $\left\{\mathbf{p}_{0}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}\right\}$。
(4) 群 $\mathbf{G}$ 通过左乘 作用于自身。这个作用是传递的，因为例如轨道 $\mathbf{G} \cdot 1$ 显然是 $\mathbf{G}$。类似地，如果 $\mathbf{H} \leq \mathbf{G}$ 并且 $\mathbf{G}$ 通过左乘 作用于 $\mathbf{G} / \mathbf{H}$，那么单位陪集 $\mathbf{H}=1 H$ 的轨道 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{H}$ 显然是 $\mathbf{G} / \mathbf{H}$，因为根据 $\mathbf{G}$ 在 $\mathbf{G} / \mathbf{H}$ 上的作用的定义，$g \cdot H=g H$。因此，作用再次是传递的。
(5) 群 $\mathbf{G}$ 通过共轭 作用于自身。$x \in \mathbf{G}$ 的轨道是 $x$ 的共轭类，即集合 $\mathbf{C}(\mathbf{x})$，它由所有与 $x$ 共轭的元素组成。因此根据定义
例如，$C(1)=\{1\}$，因此只要 $\mathbf{G}$ 不是平凡群，共轭作用就永远不是传递的。
定义 1.2.6。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合且 $x \in X$，稳定子群 $\mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 是集合 $\{g \in G: g \cdot x=x\}$。子群 $\mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 也被称为 $x$ 的稳定器，有时写为 $\operatorname{Stab} x$。
引理 1.2.7。 $\mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 是 $\mathbf{G}$ 的一个子群。
证明。 封闭性：如果 $g_{1}, g_{2} \in G_{x}$，那么
单位元：因为 $1 \cdot x=x$，对于每个 $x$，$1 \in G_{x}$。逆元：如果 $g \in G_{x}$，那么根据定义 $g \cdot x=x$。正如我们所见，$g^{-1} \cdot x=x$，因此 $g^{-1} \in G_{x}$。因此 $\mathbf{G}_{\mathbf{x}} \leq \mathbf{G}$。
定义 1.2.8。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合，那么不动点集 $\mathbf{X}^{\mathbf{G}}$ 是集合 $\{x \in X: g \cdot x= x \text{ 对于所有 } g \in G\}$。它是 $X$ 的最大的 $\mathbf{G}$-子集，其 $\mathbf{G}$-作用是平凡的。显然 $x \in X^{G} \Longleftrightarrow G_{x}=G \Longleftrightarrow G \cdot x=\{x\} \Longleftrightarrow$ 轨道 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$ 恰好包含一个元素。
注意：不要混淆不动点集 $\mathbf{X}^{\mathbf{G}}$ 与从 $\mathbf{G}$ 到 $X$ 的函数集合。尽管我们对两者使用相同的符号，但其含义希望始终能从上下文中清楚。
以下是轨道和稳定子群之间的基本联系：
命题 1.2.9。 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合且 $x \in X$，那么存在一个从 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$ 到 $\mathbf{G} / \mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 的 $\mathbf{G}$-集合同构，其中 $\mathbf{G}$ 以通常的方式（通过陪集的左乘）作用于 $\mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 在 $\mathbf{G}$ 中的左陪集集合。特别是，如果 $\mathbf{G}$ 传递地作用于 $X$，那么 $X$ 与 $\mathbf{G} / \mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 是 $\mathbf{G}$-同构的。
证明。 最简单的方法是定义一个函数 $F: \mathbf{G} / \mathbf{G}_{\mathbf{x}} \rightarrow \mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$，并首先证明它是一个双射，然后证明它是一个 $\mathbf{G}$-集合同构。给定一个陪集 $g G_{x}$，定义 $F\left(g G_{x}\right)=g \cdot x$（请注意，这确实是 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$ 的一个元素）。我们必须证明 $F$ 是良定义的，即与陪集 $g G_{x}$ 的代表元 $g$ 无关。$g G_{x}$ 的任何其他元素都形如 $g h$，其中 $h \in G_{x}$，因此
因为根据 $\mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 的定义，$h \cdot x=x$。因此 $F$ 是良定义的，并且根据 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$ 的定义，它是满射的。接下来，我们声称 $F$ 是单射的。假设 $F\left(g_{1} G_{x}\right)=F\left(g_{2} G_{x}\right)$。那么根据定义 $g_{1} \cdot x=g_{2} \cdot x$，所以
因此 $g_{1}^{-1} g_{2} \in G_{x}$，所以 $g_{1} G_{x}=g_{2} G_{x}$。因此 $F$ 是单射的，从而是一个双射。最后，我们必须检查 $F$ 是否是一个 $\mathbf{G}$-集合同构。这可以通过以下方式得出，对于所有 $g \in \mathbf{G}$ 和陪集 $h G_{x} \in \mathbf{G} / \mathbf{G}_{\mathbf{x}}$，根据 $\mathbf{G}$ 在 $\mathbf{G} / \mathbf{G}_{\mathbf{x}}$ 上的作用的定义，
因此 $F$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合同构。
推论 1.2.10。 假设 $\mathbf{G}$ 是有限的。令 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合且 $x \in X$。那么
等价地，
因此 $X$ 中 $\mathbf{G}$ 的一个轨道的阶除以 $\mathbf{G}$ 的阶。特别是，如果 $\mathbf{G}$ 传递地作用于 $X$，那么 $\#(G)=\#\left(G_{x}\right) \cdot \#(X)$，或等价地 $\#(X)=\left(G: G_{x}\right)$。
示例 1.2.11。 (1) $\mathbf{S}_{n}$ 传递地作用于 $\{1, \ldots, n\}$，并且 $n$ 的稳定子群是
因此 $\mathbf{S}_{n} / \mathbf{H}_{n}$ 与 $\{1, \ldots, n\}$ S-同构。请注意，$\#\left(S_{n}\right)=n!$, $\#\left(H_{n}\right)=\#\left(S_{n-1}\right)=(n-1)!$，并且 $\#(\{1, \ldots, n\})=n=n!/(n-1)!=\#\left(S_{n}\right) / \#\left(H_{n}\right)$。
(2) $\mathbf{S O}_{n}$ 传递地作用于 $\mathbf{S}^{n-1}$，并且 $\mathbf{e}_{n}$ 的稳定子群很容易看出是 $\mathbf{S O}_{n-1}$。因此 $\mathbf{S O}_{n} / \mathbf{S O}_{n-1}$ 与 $\mathbf{S}^{n-1}$ SO-同构。在拓扑学中，这是 $(n-1)$-球面与群 $\mathbf{S O}_{n}$ 之间的一个重要关系。
(3) 二面体群 $\mathbf{D}_{n}$ 传递地作用于 $\mathbf{P}_{n}$ 的顶点集合 $\left\{\mathbf{p}_{0}, \ldots, \mathbf{p}_{n-1}\right\}$，并且例如 $\mathbf{p}_{0}$ 的稳定子群是关于 $\mathbf{p}_{0}$ 的反射。这提供了另一个证明 $\#\left(D_{n}\right)=2 n$ 的论据。
(4) 令 $S$ 为正十二面体，$\mathbf{G}(S)$ 为 $S$ 的对称群。通过对 $S$ 的模型进行实验，似乎 $\mathbf{G}(S)$ 传递地作用于 $S$ 的 12 个面，并且一个面的稳定子群的阶为 5，对应于五边形可能的旋转。因此我们预期 $\#(G(S))=60$。通过观察 $\mathbf{G}(S)$ 在 20 个顶点上的作用，其中稳定子群的阶为 3，或者在 30 条边上的作用，其中稳定子群的阶为 2，我们也会得到类似的结论。事实上，可以证明 $\mathbf{G}(S) \cong \mathbf{A}_{5}$。类似论证适用于其他正多面体：正四面体的对称群的阶为 12，并且同构于 $\mathbf{A}_{4}$；正方体或正八面体的对称群的阶为 24，并且同构于 $\mathbf{S}_{4}$。
(5) 如果 $\mathbf{H}$ 是 $\mathbf{G}$ 的一个子群，那么 $\mathbf{G}$ 传递地作用于 $\mathbf{G} / \mathbf{H}$，因为轨道 $\mathbf{G} \cdot \mathbf{H}=\mathbf{G} / \mathbf{H}$。H 的稳定子群根据定义是
xH 的稳定子群是
因为 $g x H=x H \Longleftrightarrow x^{-1} g x \in H \Longleftrightarrow g \in x H x^{-1}$。
(6) 如果 $\mathbf{G}$ 通过共轭 作用于自身，那么不动点集 $\mathbf{G}^{\mathbf{G}}$ 恰好是 $\mathbf{G}$ 的中心 $\mathbf{Z}(\mathbf{G})$，$x \in \mathbf{G}$ 的轨道，如我们所见，是 $x$ 的共轭类 $\mathbf{C}(\mathbf{x})=\left\{g x g^{-1}: g \in G\right\}$，并且 $x$ 的稳定子群是 $x$ 的中心化子，即子群
即 $\mathbf{G}$ 中所有与 $x$ 可交换的元素的子群。因此 $\mathbf{C}(\mathbf{x})$ 与 $\mathbf{G} / \mathbf{Z}(\mathbf{x})$ G-同构，并且，如果 $\mathbf{G}$ 是有限的，那么
关于稳定子群的另外两个有用的事实如下：
命题 1.2.12。 (i) 如果 $X$ 是一个 $\mathbf{G}$-集合，$x \in X$，并且 $y=g \cdot x \in \mathbf{G} \cdot \mathbf{x}$，那么 $\mathbf{G}_{\mathbf{y}}=g \mathbf{G}_{\mathbf{x}} g^{-1}$。换句话说，$x$ 和 $y$ 的稳定子群通过 $g$ 共轭。
(ii) 推论 1.1.8 中定义的同态 $F: \mathbf{G} \rightarrow \mathbf{S}_{X}$ 的核是
证明。 (i) 给定 $h \in \mathbf{G}, h \cdot y=y \Longleftrightarrow h \cdot(g \cdot x)=g \cdot x \Longleftrightarrow(h g) \cdot x=g \cdot x \Longleftrightarrow g^{-1} \cdot((h g) \cdot x)=x \Longleftrightarrow\left(g^{-1} h g\right) \cdot x=x \Longleftrightarrow g^{-1} h g \in G_{x} \Longleftrightarrow h \in g G_{x} g^{-1}$。因此 $\mathbf{G}_{\mathbf{y}}=g \mathbf{G}_{\mathbf{x}} g^{-1}$。
(ii) 根据定义，$g \in \operatorname{Ker} F \Longleftrightarrow F(g)=\ell_{g}=\operatorname{Id}_{X} \Longleftrightarrow$ 对于所有 $x \in X, g \cdot x=x \Longleftrightarrow$ 对于所有 $x \in X, g \in G_{x}$。
备注 1.2.13。 为了解释上述 (i) 中的假设，请注意，只有当两个元素在同一个轨道中时，比较稳定子群才有意义。
首先，令 $C$ 为 $\mathbb{R}^{3}$ 中以原点为中心的正方体，顶点为 $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$。请注意，$C$ 的边长为 2。我们可以将 $C$ 的 8 个顶点集合写为 $\left\{\pm \mathbf{v}_{0}, \pm \mathbf{v}_{1}, \pm \mathbf{v}_{2}, \pm \mathbf{v}_{3}\right\}$，其中
因此 $\mathbf{v}_{i}$ 的分量中有偶数个负数，而 $-\mathbf{v}_{i}$ 的分量中有奇数个负数。对于顶点 $\mathbf{v}_{i}$，我们称顶点 $-\mathbf{v}_{i}$ 为对顶点，类似地，$\mathbf{v}_{i}$ 是 $-\mathbf{v}_{i}$ 的对顶点。例如，包含在平面 $\{z=1\}$ 中的 $C$ 的面是正方形，其顶点按逆时针顺序为 $\mathbf{v}_{0},-\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{3},-\mathbf{v}_{2}$。在平面 $\{z=-1\}$ 中有对面，其对应的顶点 $-\mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{2},-\mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}$ 是通过将 $z$ 替换为 $-z$ 获得的。
令 $T$ 为内接于 $C$ 的正四面体，顶点为 $\left\{\mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\}$。请注意，对于所有 $i, j$， $\left\|\mathbf{v}_{i}-\mathbf{v}_{j}\right\|=2 \sqrt{2}$，因此 $T$ 的边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等边三角形。因此 $T$ 是一个正四面体。在 $C$ 中还有一个内接正四面体 $T^{\prime}$，顶点为 $-\mathbf{v}_{0}=(-1,-1,-1),-\mathbf{v}_{1}=(-1,1,1),-\mathbf{v}_{2}=(1,-1,1), \mathbf{v}_{3}=(1,1,-1)$。对于 $0 \leq i \leq 3$，令 $X_{i}=\left\{\mathbf{v}_{i},-\mathbf{v}_{i}\right\}$ 是由一对对顶点组成的集合，并令 $\mathbf{X}=\left\{X_{0}, X_{1}, X_{2}, X_{3}\right\}$。
我们定义 $\mathbf{G}(C)=\left\{A \in \mathbf{S O}_{3}: A(C)=C\right\}$ 和 $\mathbf{G}(T)=\left\{A \in \mathbf{S O}_{3}: A(T)=T\right\}$。等价地，$\mathbf{G}(C)$ 是 $\mathbf{S O}_{3}$ 的子群，由保持集合 $\{( \pm 1, \pm 1, \pm 1)\}= \left\{ \pm \mathbf{v}_{0}, \pm \mathbf{v}_{1}, \pm \mathbf{v}_{2}, \pm \mathbf{v}_{3}\right\}$ 的 $A$ 组成，而 $\mathbf{G}(T)$ 是 $\mathbf{S O}_{3}$ 的子群，由保持集合 $\mathbf{V}=\left\{\mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\}$ 的 $A$ 组成。如果 $A \mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{j}$ 对于某个 $j$ 成立，那么 $A\left(-\mathbf{v}_{i}\right)=-A \mathbf{v}_{i}$，所以 $A \in G(T) \Longrightarrow A \in G(C)$，即 $\mathbf{G}(T) \leq \mathbf{G}(C)$。另请注意，$\mathbf{G}(T)$ 作用于集合 $\mathbf{V}$。上述编号将 $\mathbf{V}$ 与 $\mathbf{X}$ 以及这两个集合与 $\{0,1,2,3\}$ 关联起来。如果 $\mathbf{S}_{\{0,1,2,3\}}$ 是集合 $\{0,1,2,3\}$ 的置换群，那么 $\mathbf{S}_{\{0,1,2,3\}} \cong \mathbf{S}_{4}$。我们将以通常的方式使用循环记号表示 $\mathbf{S}_{\{0,1,2,3\}} \cong \mathbf{S}_{4}$ 的元素：一个 $\mathbf{k}$-循环 $\sigma=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \in \mathbf{S}_{\{0,1,2,3\}}$ 具有 $a_{i} \in\{0,1,2,3\}$，并且 $\sigma\left(a_{i}\right)=a_{i+1}$ 对于 $i<k, \sigma\left(a_{k}\right)=a_{1}$。
引理 1.3.1。 集合 $\mathbf{V}=\left\{\mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\}$ 张成 $\mathbb{R}^{3}$。因此，由 $\mathbf{G}(T)$ 在 $T$ 的顶点集合上的作用定义的诱导同态 $\mathbf{G}(T) \rightarrow \mathbf{S}_{\mathbf{V}} \cong \mathbf{S}_{4}$ 是单射的，并给出了从 $\mathbf{G}(T)$ 到 $\mathbf{S}_{4}$ 的一个子群的同构。
证明。 第一个陈述很清楚，因为对于 $1 \leq i \leq 3$, $\mathbf{v}_{0}+\mathbf{v}_{i}=2 \mathbf{e}_{i}$。因此，如果 $A \in \mathbf{G}(T)$ 并且对于每个 $i$, $A \mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{i}$，那么 $A=\operatorname{Id}$。因此同态 $\mathbf{G}(T) \rightarrow \mathbf{S}_{\mathbf{V}}$ 的核是 $\{\mathrm{Id}\}$，所以这个同态是单射的。
群 $\mathbf{G}(C)$ 作用于 $C$ 的顶点的完整集合 $\left\{\pm \mathbf{v}_{0}, \pm \mathbf{v}_{1}, \pm \mathbf{v}_{2}, \pm \mathbf{v}_{3}\right\}$。然而，如果 $A \in \mathbf{G}(C)$，那么 $A\left(-\mathbf{v}_{i}\right)=-A \mathbf{v}_{i}$，因此 $\mathbf{G}(C)$ 更自然地作用于集合 $\mathbf{X}$，其元素是对顶点。因此存在一个同态 $\mathbf{G}(C) \rightarrow \mathbf{S}_{\mathbf{X}} \cong \mathbf{S}_{4}$。
我们的目标是证明以下内容：
定理 1.3.2。 $\mathbf{G}(C)$ 在 $\mathbf{X}$ 上的自然作用定义了一个同构 $\mathbf{G}(C) \cong \mathbf{S}_{\mathbf{X}}$，即 4 元素集合 $\mathbf{X}$ 的置换群。因此 $\mathbf{G}(C) \cong \mathbf{S}_{4}$。通过任何这样的同构选择，$\mathbf{G}(T) \cong \mathbf{A}_{4}$。特别是，$\#(G(C))=24$ 且 $\#(G(T))=12$。
事实上，我们将明确描述 $\mathbf{G}(C)$ 和 $\mathbf{G}(T)$ 的元素。首先，有面对的旋转：
例如，$R_{1}$ 是绕 $x$-轴以 $\pi / 2$ 角旋转；它固定 $x$-轴并以 $\pi / 2$ 角逆时针旋转 $yz$-平面。请注意，$R_{i}$ 和 $R_{i}^{3}$ 在 $\mathbf{G}(C)$ 中但不在 $\mathbf{G}(T)$ 中。根据顶点 $\mathbf{v}_{i}$，$R_{1} \mathbf{e}_{1}=\mathbf{e}_{1}, R_{1} \mathbf{e}_{2}=\mathbf{e}_{3}$，和 $R_{1} \mathbf{e}_{3}=-\mathbf{e}_{2}$。因此 $R_{1} \mathbf{v}_{0}=-\mathbf{v}_{2}, R_{1} \mathbf{v}_{1}=-\mathbf{v}_{3}, R_{1} \mathbf{v}_{2}=-\mathbf{v}_{1}, R_{1} \mathbf{v}_{3}=-\mathbf{v}_{0}$，因此 $R_{1} X_{0}=X_{2}, R_{1} X_{1}=X_{3}$，$R_{1} X_{2}=X_{1}, R_{1} X_{3}=X_{0}$。就循环而言，$R_{1}$ 对应于 4-循环 $(0,2,1,3)$。在上述符号中，$H_{i}=R_{i}^{2} \in \mathbf{G}(T)$，其中 $H_{i}^{2}=I, H_{1} H_{2}=H_{2} H_{1}=H_{3}, H_{1} H_{3}=H_{3} H_{1}=H_{2}$，和 $H_{2} H_{3}=H_{3} H_{2}=H_{1}$。例如，显式计算表明 $H_{1} \mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}_{1}, H_{1} \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{0}$，$H_{1} \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{3}, H_{1} \mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}_{2}$。因此 $H=\left\{I, H_{1}, H_{2}, H_{3}\right\}$ 是 $\mathbf{G}(T)$ 的一个子群，因此也是 $\mathbf{G}(C)$ 的子群，并且它同构于克莱因四元群。这里 $H_{1}$ 对应于 $(0,1)(2,3)$，而 $R_{1}^{3}=R_{1}^{-1}$ 对应于 4-循环 $(0,3,1,2)$。类似地，$R_{2}$ 对应于 4-循环 $(0,1,2,3)$，$H_{2}$ 对应于两个不相交对换的乘积 $(0,2)(1,3)$，$R_{3}$ 对应于 4-循环 $(0,1,3,2)$，而 $H_{3}$ 对应于乘积 $(0,3)(1,2)$。请注意，$R_{i}$ 和 $R_{i}^{-1}$ 不保留 $T$，即它们不是 $\mathbf{G}(T)$ 的元素。6 个元素 $R_{i}$ 和 $R_{i}^{-1}$ 解释了 $\mathbf{S}_{4}$ 中的所有 6 个 4-循环，3 个元素 $H_{i}$ 解释了 3 个两个不相交对换的乘积。
接下来，有绕连接一对对顶点 $\mathbf{v}_{i}$ 和 $-\mathbf{v}_{i}$ 的对角线的旋转：定义
显然 $A_{0} \mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}_{0}$，因此 $A_{0} X_{0}=X_{0}$。此外，$A_{0} \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{2}, A_{0} \mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}_{3}$，和 $A_{0} \mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}_{1}$。因此 $A_{0} X_{1}=X_{2}, A_{0} X_{2}=X_{3}$，和 $A_{0} X_{3}=X_{1}$，所以 $A_{0}$ 对应于 3-循环 $(1,2,3)$，并且 $\langle A_{0}\rangle \cong \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$。由于对于所有 $i$, $A_{0} \mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{j}$ 对于某个 $j$， $A_{0} \in \mathbf{G}(T)$。类似地，$A_{1} \mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}_{3}, A_{1} \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{1}$，$A_{1} \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{0}$，和 $A_{1} \mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}_{2}$。因此 $A_{1} \in \mathbf{G}(T)$ 并且 $A_{1}$ 对应于 3-循环 $(0,3,2)$。同样，$A_{2}$ 和 $A_{3}$ 分别对应于 3-循环 $(0,1,3)$ 和 $(0,2,1)$，并且 $A_{2}, A_{3} \in \mathbf{G}(T)$。对于所有 $i$，我们有 $A_{i} \mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{i}$ 并且 $A_{i} X_{i}=X_{i}$。8 个元素 $A_{i}$ 和 $A_{i}^{-1}$ 解释了 $\mathbf{S}_{4}$ 中的所有 8 个 3-循环。
最后，为了找到 $\mathbf{G}(C)$ 中对应于 $\mathbf{S}_{4}$ 中 6 个对换的元素，定义
例如，$S_{03} \mathbf{v}_{0}=-\mathbf{v}_{3}, S_{03} \mathbf{v}_{1}=-\mathbf{v}_{1}, S_{03} \mathbf{v}_{2}=-\mathbf{v}_{2}$，和 $S_{03} \mathbf{v}_{3}=-\mathbf{v}_{0}$，因此 $S_{03}$ 对应于对换 $(0,3) \in \mathbf{S}_{\mathbf{X}} \cong \mathbf{S}_{4}$。类似的计算表明 $S_{ij}$ 对应于对换 $(i, j)$。从几何上看，$C$ 的 12 条边成 6 对对边。给定这样一对对边 $\left\{E_{1}, E_{2}\right\}$，令 $L$ 为连接 $E_{1}$ 的中点到 $E_{2}$ 的中点的直线。那么对于适当的 $i, j$ 选择，$S_{ij}$ 是绕轴 $L$ 以 $\pi$ 角（或 $180^{\circ}$）的旋转。它交换对面的面对。例如，$S_{03}$ 交换包含在 $\{z=1\}$ 和 $\{z=-1\}$ 中的两个对面，并且在通过垂直投影识别这两个面之后，它通过关于连接 $-\mathbf{v}_{3}$ 和 $-\mathbf{v}_{0}$ 的对角线的反射来诱导在正方形 $-\mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{2},-\mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}$ 上的反射。同样，$S_{12}$ 交换包含在 $\{z=1\}$ 和 $\{z=-1\}$ 中的两个对面，并且通过关于连接 $\mathbf{v}_{2}$ 和 $\mathbf{v}_{1}$ 的对角线的反射来诱导在正方形 $-\mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{2},-\mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}$ 上的反射。我们可以将 $S_{03}$ 和 $S_{12}$ 描述为 $\mathbb{R}^{3}$ 中两个反射的乘积，因此它们是 $\mathbf{O}_{3}$ 的元素而不是 $\mathbf{S O}_{3}$ 的元素：首先关于 $xy$-平面反射，然后关于平面 $y=x$ 对于 $S_{03}$ 反射，以及关于平面 $y=-x$ 对于 $S_{12}$ 反射。
定理 1.3.2 的证明。 首先考虑正四面体 $T$ 的情况。我们已经看到 $\mathbf{G}(T)$ 包含 12 个元素 $\operatorname{Id}, H_{i}, 1 \leq i \leq 3$，以及 8 个元素 $A_{i}$ 和 $A_{i}^{-1}, 0 \leq i \leq 3$。根据上述计算，子群 $H=\left\{\mathrm{Id}, H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}\right\}$ 已经传递地作用于顶点集合 $\mathbf{V}$。对于 $\mathbf{G}(T)$ 在 $\mathbf{V}$ 上的作用，$\mathbf{v}_{0} \in \mathbf{V}$ 的稳定子群包含 $\langle A_{0}\rangle$，其阶为 3。如果 $A \in \mathbf{G}(T)$ 固定 $\mathbf{v}_{0}$，那么它也固定与 $\mathbf{v}_{0}$ 相对的面 $F_{0}$，因此定义了三角形 $F_{0}$ 的对称，即 $\mathbf{D}_{3}$ 的一个元素。这个元素必须是旋转，因为 $\operatorname{det} A=1$ 或者等价地因为 $A$ 必须保持朝外的单位法向量到 $F_{0}$。因此稳定子群的阶也为 3。因此 $\mathbf{G}(T)$ 的阶为 12，所以上面列出的 12 个元素是 $\mathbf{G}(T)$ 的所有元素。这些元素都定义了偶置换，所以 $\mathbf{G}(T)$ 在 $\mathbf{S}_{4}$ 中的像包含在 $\mathbf{A}_{4}$ 中。由于 $\#\left(A_{4}\right)=12=\#(G(T))$，所以这个像就是 $\mathbf{A}_{4}$ 的全部，因此 $\mathbf{G}(T) \cong \mathbf{A}_{4}$。
至于 $\mathbf{G}(C)$，上述计算也表明它在 $\mathbf{S}_{4}$ 中的像就是 $\mathbf{S}_{4}$ 的全部。因此，为了证明映射 $\mathbf{G}(C) \rightarrow \mathbf{S}_{4}$ 是一个同构，只需要证明 $\#(G(C)) \leq 24$。正方体 $C$ 的面的朝外的单位法向量是 $\pm \mathbf{e}_{1}, \pm \mathbf{e}_{2}, \pm \mathbf{e}_{3}$。因此，如果 $A \in \mathbf{G}(C)$，那么 $A$ 必须置换集合 $\left\{\pm \mathbf{e}_{1}, \pm \mathbf{e}_{2}, \pm \mathbf{e}_{3}\right\}$。稍有不同地表达， $A$ 是一个置换矩阵，带有正负号：它的列是 $\pm \mathbf{e}_{i}$。很容易看出有 48 个这样的矩阵 $A$：忽略正负号，$A$ 定义了 $\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\}$ 的一个置换，有 6 种。对于每个置换，有 $8=2^{3}$ 种正负号选择，因此总数为 $6 \cdot 8=48$。然而，$\operatorname{det} A=1$ 的条件将选择数量减半。因此对于 $A \in \mathbf{G}(C)$ 最多有 24 种选择。那么，由于同态 $\mathbf{G}(C) \rightarrow \mathbf{S}_{4}$ 是满射的，它就是一个同构。
这个证明也表明，每个 $A \in \mathbf{G}(C)$ 满足：要么 $A T=T$，在这种情况下 $\mathbf{G}(T)$ 是保持 $T$ 的指标为二的子群，要么 $A T=T^{\prime}$，即顶点为 $-\mathbf{v}_{0},-\mathbf{v}_{1},-\mathbf{v}_{2},-\mathbf{v}_{3}$ 的正四面体。
备注 1.3.3。 正十二面体 $D$（或等价地正二十面体）的情况更复杂，因为无法将 $D$ 的顶点选择为有理数。
等价地，相应对称群 $\mathbf{G}(D)$ 的元素将不具有有理系数。明确地说， $D$ 的顶点可以取为
其中 $\varphi=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ 是黄金比例。
我们通过将单元素轨道分组到 $\mathbf{X}^{\mathbf{G}}$ 中来重写这个表达式，如下：
其中第二个和是对所有具有一个以上元素的轨道求和。请注意，如果 $\mathbf{G}$ 是有限的，并且如果 $\#\left(O_{i}\right)>1$，那么 $\#\left(O_{i}\right)$ 是 $\#(G)$ 的一个非平凡因子，即 $\#\left(O_{i}\right)$ 整除 $\#(G)$ 并且 $\#\left(O_{i}\right) \neq 1$。
特别是，如果 $\mathbf{G}$ 是一个有限群，并且我们让 $\mathbf{G}$ 通过共轭作用于自身，那么不动点集 $\mathbf{G}^{\mathbf{G}}$ 恰好是 $\mathbf{G}$ 的中心，轨道 $\mathbf{G} \cdot x_{i}$ 是共轭类
对于 $\mathbf{G}$ 的共轭作用，$x_{i} \in \mathbf{G}$ 的稳定子群是中心化子 $\mathbf{Z}(\mathbf{x}_{\mathbf{i}})$，并且 $\#\left(C\left(x_{i}\right)\right)=\left(G: Z\left(x_{i}\right)\right)$，即 $x_{i}$ 的中心化子在群 $\mathbf{G}$ 中的指标。因此我们得到类方程：
其中和是对所有具有一个以上元素的不同共轭类 $\mathbf{C}(\mathbf{x}_{\mathbf{i}})$ 求和（即对于 $x_{i} \notin Z(G)$ 的情况）。
示例 1.4.1。 在 $\mathbf{S}_{n}$ 中，共轭类由不相交循环的乘积的“形状”描述。换句话说，给定 $\sigma \in \mathbf{S}_{n}$，存在整数 $k_{1}, \ldots, k_{r} \geq 2$ 且 $k_{1}+\cdots+k_{r} \leq n$，使得 $\sigma$ 是长度为 $k_{1}, \ldots, k_{r}$ 的不相交循环的乘积，并且任何两个具有相同 $k_{1}, \ldots, k_{r}$ 的这种乘积都是共轭的。这里 1 是空积。因此，例如在 $\mathbf{S}_{3}$ 中，有三个共轭类：
请注意，所有元素之和是 $\#\left(S_{3}\right)=6$，并且每个共轭类的阶都整除 6。$\mathbf{S}_{4}$ 中的情况已经复杂得多。这里，$C(1)=\{1\}$ 只有一个元素。对换的共轭类是所有对换的集合，有 $\binom{4}{2}=6$ 个。两个不相交对换的乘积的共轭类是所有两个不相交对换的乘积的集合，我们已经看到有 $\frac{1}{2}\binom{4}{2}=3$ 个。3-循环的共轭类是所有 3-循环的集合，有 $(4 \cdot 3 \cdot 2) / 3=8$ 个。4-循环的共轭类是所有 4-循环的集合，有 $(4 \cdot 3 \cdot 2) / 4=6$ 个。因此，每个共轭类的阶都整除 $24=\#\left(S_{4}\right)$，总数为
回到有限群 $\mathbf{G}$ 在有限集合 $X$ 上的一般作用，我们有：
命题 1.4.2。 如果 $\#(G)=p^{r}$，其中 $p$ 是一个素数且 $r \geq 1$，并且如果 $X$ 是一个有限 $\mathbf{G}$-集合，那么
证明。 在上述公式 $\#(X)=\#\left(X^{G}\right)+\sum_{\#\left(O_{i}\right)>1} \#\left(O_{i}\right)$ 中，所有 $\#\left(O_{i}\right)>1$ 的项都是 $p^{r}$ 的非平凡因子，因此形如 $p^{s}$，其中 $1 \leq s \leq r$。因此，如果 $\#\left(O_{i}\right)>1$，那么 $\#\left(O_{i}\right) \equiv 0(\bmod p)$，因此 $\#(X) \equiv \#\left(X^{G}\right)(\bmod p)$。
推论 1.4.3。 令 $p$ 为一个素数。如果 $\#(G)=p^{r}$ 且 $r \geq 1$，并且如果 $X$ 是一个有限 $\mathbf{G}$-集合，使得 $p$ 不整除 $\#(X)$，那么 $\mathbf{X}^{\mathbf{G}} \neq \emptyset$。
证明。 根据命题，$\#\left(X^{G}\right)$ 不与 $0 \bmod p$ 同余，特别地 $\#\left(X^{G}\right) \neq 0$。因此 $\mathbf{X}^{\mathbf{G}} \neq \emptyset$。
推论 1.4.4。 令 $p$ 为一个素数。如果 $\#(G)=p^{r}$ 且 $r \geq 1$，那么 $\mathbf{Z}(\mathbf{G}) \neq\{\mathbf{1}\}$。特别是，如果 $\#(G)>p$，那么 $\mathbf{G}$ 不是单群（因此，通过归纳法，是可解群）。
证明。 在这种情况下，我们令 $X=G$ 并采用共轭作用。那么不动点集 $\mathbf{X}^{\mathbf{G}}$ 恰好是 $\mathbf{G}$ 的中心，所以
因此 $\mathbf{Z}(\mathbf{G})$ 是 $\mathbf{G}$ 的一个子群，其阶可被 $p$ 整除，因此 $\mathbf{Z}(\mathbf{G}) \neq\{\mathbf{1}\}$。我们已经看到 $\mathbf{Z}(\mathbf{G}) \triangleleft \mathbf{G}$。因此，要么 $\mathbf{Z}(\mathbf{G})$ 是 $\mathbf{G}$ 的一个真（非平凡）正规子群，要么 $\mathbf{Z}(\mathbf{G})=\mathbf{G}$。在后一种情况下，$\mathbf{G}$ 是阿贝尔群，并且 $\mathbf{G}$ 的每个子群都是正规的，所以 $\mathbf{G}$ 是单群 $\Longleftrightarrow \mathbf{G}$ 没有真非平凡子群 $\Longleftrightarrow \mathbf{G}$ 同构于 $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$（根据练习 3.15）。
推论 1.4.5。 令 $p$ 为一个素数。如果 $\#(G)=p^{2}$，那么 $\mathbf{G}$ 是阿贝尔群。
证明。 根据前一个推论，中心 $\mathbf{Z}(\mathbf{G})$ 是 $\mathbf{G}$ 的一个子群，其 $\#(Z(G))=p$ 或 $\#(Z(G))=p^{2}$。如果 $\#(Z(G))=p^{2}$，那么 $\mathbf{G}=\mathbf{Z}(\mathbf{G})$，因此 $\mathbf{G}$ 是阿贝尔群。所以让我们假设 $\#(Z(G))=p$。我们将证明在这种情况下 $\mathbf{G}$ 也是阿贝尔群，这与 $\mathbf{Z}(\mathbf{G})=\mathbf{G}$ 矛盾。如果 $\#(Z(G))=p$，那么 $\mathbf{Z}(\mathbf{G}) \triangleleft \mathbf{G}$ 且 $\mathbf{G} / \mathbf{Z}(\mathbf{G})$ 是一个阶为 $p$ 的群。但是每个阶为 $p$ 的群都是循环群，所以特别是 $\mathbf{G} / \mathbf{Z}(\mathbf{G})$ 是一个循环群。根据练习 4.28，$\mathbf{G}$ 随后是阿贝尔群。
备注 1.4.6。 事实上，可以证明，如果 $\#(G)=p^{2}$，那么 $\mathbf{G}$ 要么是循环群，因此 $\mathbf{G} \cong \mathbb{Z} / p^{2} \mathbb{Z}$，要么 $\mathbf{G} \cong(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})$。
定义 2.1.1。 令 $p$ 为一个素数。写 $\#(G)=p^{r} m$，其中 $p$ 不整除 $m$。换句话说，$p^{r}$ 是整除 $n$ 的 $p$ 的最大幂次。我们通常假设 $r \geq 1$，即 $p \mid n$。$\mathbf{G}$ 的一个 $\mathbf{p}$-西罗子群是一个子群 $\mathbf{P}$，使得 $\#(P)=p^{r}$。
定理 2.1.2（西罗定理）。 令 $\mathbf{G}$ 是一个阶为 $n$ 的群，令 $p$ 是一个素数，使得 $p \mid n$，并写 $n=p^{r} m$，其中 $p$ 不整除 $m$。那么：