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定理 2.4.9. 设 $G$ 是一个 60 阶简单群。那么 $G \cong A_{5}$。
证明. 如果 $G$ 是一个 60 阶简单群，那么每个 2-Sylow 子群的阶都是 4。令 $Y_{2}$ 为 $G$ 的所有 2-Sylow 子群的集合，并令 $n_{2}=\#\left(Y_{2}\right)$。因此 $n_{2} \equiv 1(\bmod 2)$（即为奇数）并且整除 60，所以是 $1,3,5$ 或 $15$。情况 $n_{2}=1$ 不可能，因为那样的话会有一个唯一的 2-Sylow 子群，它将是一个非平凡的真正规子群。所以我们可以假设 $n_{2}>1$。根据引理 2.4.1，情况 $n_{2}=3$ 也不可能，因为 60 不能整除 $3!$。
接下来假设 $n_{2}=5$。根据引理 2.4.1，由于 $\#(G)=5!/ 2$，所以 $G \cong A_{5}$。
为了完成定理 2.4.9 的证明，我们必须排除 $n_{2}=15$ 的情况。这可以通过类似于引理 2.4.8 证明中那种略复杂的计数论证来完成。首先我们声称存在两个不同的 2-Sylow 子群 $H$ 和 $K$ 使得 $\#(H \cap K)=2$：反之，假设对于每一对不同的 2-Sylow 子群 $H$ 和 $K$，都有 $H \cap K=\{1\}$。每个 2-Sylow 子群都有 3 个 2 阶或 4 阶的元素，所以总共有 $3 \cdot 15=45$ 个不同的 2 阶或 4 阶的元素。另一方面，$G$ 的 5-Sylow 子群的数量 $\equiv 1 \bmod 5$ 并且整除 12，所以有 1 个或 6 个 5-Sylow 子群。由于 $G$ 是简单群，所以必须有 6 个，所有阶都是 5。但是，每个 5-Sylow 子群中非单位元的元素都是生成元。因此，两个不同的 5-Sylow 子群的交集是 $\{1\}$，所以总共有 $4 \cdot 6=24$ 个 5 阶元素。但是有 45 个 2 阶或 4 阶元素，而 $45+24=69>60$，这是不可能的。
因此存在两个不同的 2-Sylow 子群 $H$ 和 $K$ 使得 $\#(H \cap K)=2$。注意 $H$ 和 $K$ 的阶都是 4，因此它们是阿贝尔群。那么 $H \cap K$ 是 $H$ 和 $K$ 的正规子群。按照定理 2.4.7 的证明中的论证，正规化子 $N=N_{G}(H \cap K)$ 严格包含 $H$ 和 $K$。因此，$N$ 的阶可以被 4 整除，大于 4，并且整除 60，但不等于 60，因为 $H \cap K$ 不能是 $G$ 的正规子群。因此，指数 $(G: N)=\#(G) / \#(N)$ 整除 15 且小于 15。唯一可能的情况是 $(G: N)=3$ 或 $5$。根据引理 2.4.3，情况 $(G: N)=3$ 不可能，如果 $(G: N)=5$，那么 $G \cong A_{5}$。（事实上，这种情况不会出现，因为可以直接验证 $A_{5}$ 有 5 个 2-Sylow 子群。）
练习 5.1. 设 $G$ 是一个群，设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是 $G$-集。证明 $G$ 通过以下规则作用于乘积 $X_{1} \times X_{2}$
给定 $\left(x_{1}, x_{2}\right) \in X_{1} \times X_{2}$，用 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的迷向子群来描述 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 的迷向子群。
练习 5.2. 设 $X=\{1,2,3\} \times\{1,2,3\} \times\{1,2,3\}$，并设 $S_{3}$ 作用于 $X$，如练习 5.1 中所述（但对于三个集而不是两个），通过作用
找到 $v=(1,2,3) ; v=(1,1,2) ; v=(1,1,1)$ 的轨道和迷向子群。在所有情况下验证轨道的元素数量整除 $S_{3}$ 的阶。
练习 5.3. 设 $S_{3}$ 通过置换矩阵 $P(\sigma)$ 作用于 $\mathbb{R}^{3}$，其中 $P(\sigma)$ 置换基向量：$P(\sigma)\left(\mathbf{e}_{i}\right)=\mathbf{e}_{\sigma(i)}$。证明，使用这个公式，
并且这实际上是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的一个作用。（注意：如果你考虑更自然的定义 $\sigma *\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}\right)$，那么结果是
顺序颠倒了。有关泛化，请参见练习 5.8。）找到 $\mathbf{v}=(1,2,3) ; \mathbf{v}=(1,1,2) ; \mathbf{v}=(1,1,1)$ 的轨道和迷向子群。这些与你在练习 5.2 中的答案有何不同？在所有情况下验证轨道的元素数量整除 $S_{3}$ 的阶。
练习 5.4. (i) 设 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 以通常方式作用于 $\mathbb{R}^{2}$。点 $(1,0)$ 的迷向子群是什么？
(ii) 证明 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 作用于 $\mathbb{R}^{2}$ 中所有过原点的直线的集合。对于这个作用，证明通过原点并由 $(1,0)$ 张成的直线 $L$，即直线
的迷向子群是练习 2.29 中定义的子群 $\mathbf{B}$。$G L_{2}(\mathbb{R})$ 是否传递作用于 $\mathbb{R}^{2}$ 中所有过原点的直线的集合？
练习 5.5. 设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个子群。那么 $H$ 通过左乘作用于 $G$（左乘作用对 $H$ 的限制）。在此作用下，$H$-轨道是什么？$H$ 何时传递作用？对于 $H$-作用，元素 $g \in G$ 的迷向子群是什么？
练习 5.6. 设 $X$ 是一个集合。
(i) 证明 $\mathbb{Z}$ 在 $X$ 上的作用与选择一个元素 $\sigma \in S_{X}$ 相同。
(ii) 假设 $X$ 是一个包含 $n$ 个元素的有限集，并且 $\mathbb{Z}$ 传递作用于 $X$。证明一个点的迷向群是 $n \mathbb{Z}$，并且 $X$ 是 $\mathbb{Z}$-同构于 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$。
练习 5.7. 设 $G$ 是一个群，设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合，通常设 $Y^{X}$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有函数的集合。假设 $Y$ 是一个 $G$-集。对于每个 $f \in Y^{X}$ 和 $g \in G$，定义 $g \cdot f$ 如下：
证明这定义了 $G$ 在 $Y^{X}$ 上的一个作用。
练习 5.8. 设 $G$ 是一个群，设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合。假设 $X$ 是一个 $G$-集。
(i) 在这种情况下，将 $Y^{X}$ 转化为 $G$-集的一个自然尝试是定义
然而，证明用这个定义，对于所有 $g, h \in G$，我们有
（ii）证明，如果我们将 $g \cdot f$ 定义为
那么这定义了 $G$ 在 $Y^{X}$ 上的一个作用。
（iii）设 $Y=\mathbb{R}$，并且对于每个 $a \in X$，定义“$\delta$-函数” $\delta_{a}: X \rightarrow \mathbb{R}$ 如下：
证明，根据（ii）中的作用定义，对于所有 $a \in X$，我们有 $g \cdot \delta_{a}=\delta_{g \cdot a}$。（比较练习 5.3，它对应于 $X=\{1,2,3\}, \delta_{i}=\mathbf{e}_{i}, G=S_{3}$ 的情况，具有在 $\{1,2,3\}$ 上的通常作用。）
练习 5.9. 设 $G$ 是一个群，设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合，两者都是 $G$-集。对于 $g \in G$ 和 $f \in Y^{X}$，定义 $g \cdot f$ 如下
证明这定义了在 $Y^{X}$ 上的一个作用，并且此作用的固定集 $\left(Y^{X}\right)^{G}$ 由函数 $f: X \rightarrow Y$ 组成，使得对于所有 $x \in X$，
这些函数称为 $G$-等变函数。（注意：如果我们将 $G$ 在 $X$ 或 $Y$ 上的作用设为平凡作用，则此定义可特化为练习 5.7 或练习 5.8 的定义。）
练习 5.10. 在定义 2.2.5 的术语中，证明如果 $G$ 是一个群且 $H \leq G$，那么 $N_{G}(H) \leq G$ 且 $H \triangleleft N_{G}(H)$。
练习 5.11.1. 设 $G$ 是一个 20 阶群。$G$ 的一个 2-Sylow 子群的阶是多少？一个 5-Sylow 子群的阶是多少？$G$ 的 2-Sylow 子群的数量有哪些可能性？$G$ 的 5-Sylow 子群的数量有哪些可能性？（注意：非阿贝尔群 $D_{10}$ 的阶是 20，并且有多个 2-Sylow 子群。）
练习 5.12. 设 $G$ 是一个 6 阶群。$G$ 恰好有一个 3-Sylow 子群，并且有 1 个或 3 个 2-Sylow 子群。
(i) 如果 $G$ 恰好有一个 2-Sylow 子群，证明 $G \cong \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}$。（一种方法是注意 2-Sylow 子群 $H$ 是正规的，然后根据练习 4.27，$H \leq Z(G)$，并且 $G / H$ 是 3 阶循环群。然后根据练习 4.28 论证 $G$ 是阿贝尔群，并且要么有一个 6 阶元素，要么有两个通勤元素 $g_{1}$ 和 $g_{2}$，其中 $g_{1}$ 的阶是 3，$g_{2}$ 的阶是 2。$g_{1} g_{2}$ 的阶是多少？）
(ii) 如果 $G$ 有三个 2-Sylow 子群 $H_{1}, H_{2}, H_{3}$，设 $X=\left\{H_{1}, H_{2}, H_{3}\right\}$ 是 $G$ 的所有 2-Sylow 子群的集合。直接证明 $G \cong S_{X} \cong S_{3}$ 如下：$G$ 通过共轭作用于 $X$，并且 $G$ 在 $X$ 上的作用定义了一个同态 $F: G \rightarrow S_{X}$。由于 $\#(G)=\#\left(S_{X}\right)=6$，当且仅当 $F$ 是单射时 $F$ 是同构。由于 Sylow 定理，$G$ 传递作用于 $X$，证明 $H_{1}$ 的迷向子群是 $H_{1}$，并且一个固定 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 的元素必须在 $H_{1} \cap H_{2}=\{1\}$ 中，最后 $\operatorname{Ker} F=H_{1} \cap H_{2} \cap H_{3} \subseteq H_{1} \cap H_{2}=\{1\}$。
练习 5.13. (i) 设 $G$ 是一个 12 阶群。证明，如果 $G$ 有一个 6 阶子群 $H$，那么 $G$ 有一个 3 阶正规子群。（提示：如果 $H$ 的阶是 6，那么 $H$ 是 $G$ 的正规子群——为什么？对 $H$ 应用 Sylow 定理，首先证明 $H$ 有一个唯一的 3-Sylow 子群 $K$，然后证明 $K$ 是 $G$ 的正规子群，而不仅仅是 $H$ 的正规子群。）
(ii) 证明 $A_{4}$ 没有 6 阶子群。（根据 (i)，$A_{4}$ 必须有一个 3 阶正规子群，必然由一个 3-循环生成。证明这是不可能的。）
练习 5.14. 设 $G$ 是一个 40 阶有限群。
(i) $G$ 的一个 2-Sylow 子群的阶是多少？一个 5-Sylow 子群的阶是多少？
(ii) Sylow 定理对 $G$ 的 2-Sylow 子群的可能数量说了些什么？对 5-Sylow 子群的可能数量说了些什么？
(iii) 证明 $G$ 不是简单群。
练习 5.15. 设 $G$ 是一个 56 阶群。按照命题 2.1.5 的证明思路论证，如果 $G$ 的 7-Sylow 子群不是正规的，那么 $G$ 的 2-Sylow 子群是正规的。
练习 5.16. 按照引理 2.4.8 的证明思路论证，证明没有 24 阶或 48 阶群是简单群。
练习 5.17. 设 $p, q, r$ 是三个素数且 $p<q<r$。证明，如果 $G$ 是一个 $p q r$ 阶有限群，那么 $G$ 不是简单群。（提示：设 $n_{p}, n_{q}, n_{r}$ 分别是 $p$-Sylow、 $q$-Sylow、 $r$-Sylow 子群的数量。注意，根据命题 2.1.5 的证明， $G$ 的 $r$ 阶元素数量是 $n_{r}(r-1)$， $G$ 的 $q$ 阶元素数量是 $n_{q}(q-1)$。假设 $n_{r}>1$ 且 $n_{q}>1$。首先证明 $n_{r}=p q$ 且 $n_{q} \geq q+1 \geq p+2$。然后估计 $G$ 的 $r$ 阶或 $q$ 阶元素的数量，并证明它大于 $p q r=\#(G)$。）
注意：以上表明 $q$-Sylow 子群或 $r$-Sylow 子群总是正规的。再努力一点，可以证明 $r$-Sylow 子群总是正规的。
群论的一个普遍主题是对称性。如果环论有任何主题，那很可能是因式分解。尽管群和环在形式上相似，但环论与群论有着非常不同的风味。此外，除了概念上的普遍复杂性之外，在讨论环和域时，我们几乎不使用群论，直到最后我们研究伽罗瓦理论。
定义 1.1.1. 一个环 $R=(R,+, \cdot)$ 由一个集合 $R$ 以及 $R$ 上的两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 组成，使得：
(1) 集合 $R$ 与二元运算 $+$，即二元结构 $(R,+)$，是一个阿贝尔群。
(2) 二元运算 $\cdot$ 是结合律的。我们通常将 $r \cdot s$ 写为 $r s$。
(3) 左右分配律成立：对于所有 $r, r, t \in R$，
虽然加法被要求是可交换的，但乘法（目前）没有这种假设。根据定义，如果乘法是可交换的，即对于所有 $r, s \in R$，$r s=s r$，则环 $R$ 是可交换的。与群一样，我们通常只写 $R$ 而不是 $(R,+, \cdot)$，其中运算 $+$ 和 $\cdot$ 通常从上下文中清楚。我们用 $0$ 表示 $R$ 的加法单位元，用 $-r$ 表示 $r$ 的加法逆元。
备注 1.1.2. 在给出许多环的例子之前，我们记录环 $R$ 公理的一些简单推论（大部分不加证明）：
(1) 对于所有 $r \in R$， $0 r=r 0=0$。这可以通过通常的论证得到，即
并根据（加法）消去律得到，对于 $r 0$ 也是如此。
(2) 对于所有 $r, s \in R$，
例如因为 $r s+(-r) s=(r+(-r)) s=0 s=0$，因此
(3) 广义分配律成立：给定两个和 $\sum_{i=1}^{n} r_{i}$ 和 $\sum_{j=1}^{m} s_{j}$，其中 $r_{i}, s_{j} \in R$，那么