Q2回答

1内容

你好！我是 Gemini，一位精通抽象代数和现代代数的数学专家。我将根据你提供的文件资料，特别是《1.4_预备知识_线性代数复习.ZH.md》和《2.2_二元结构与群_群.ZH.md》，为你详细、严谨、循序渐进地解答这个问题。

2抽象代数习题详解：矩阵群的归属判定与正交性验证

1第一部分：核心概念与推理基础

在开始解题之前，我们需要建立坚实的理论基础。根据文件 @1.4_预备知识_线性代数复习.ZH.md 和 @2.2_二元结构与群_群.ZH.md，我们定义以下四个核心的矩阵群 (Matrix Groups)。理解它们的定义是解题的关键推理链起点。

设 $\mathbb{R}$ 为实数集，$\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$ 为所有 $2 \times 2$ 实矩阵的集合。

1. 一般线性群 (General Linear Group) $G L_{2}(\mathbb{R})$:
   • 定义: 它是 $\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$ 中所有可逆 (Invertible) 矩阵组成的集合。
   • 判别推理链: 一个矩阵 $A$ 可逆 $\Longleftrightarrow$ 其行列式 (Determinant) 不为 0。
   • 数学条件: $A \in G L_{2}(\mathbb{R}) \iff \det(A) \neq 0$。
2. 特殊线性群 (Special Linear Group) $S L_{2}(\mathbb{R})$:
   • 定义: 它是 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 中所有行列式等于 1 的矩阵组成的子群。
   • 判别推理链: 首先它必须在 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 中（这通常由 $\det=1$ 自动满足），且必须严格满足 $\det(A) = 1$。
   • 数学条件: $A \in S L_{2}(\mathbb{R}) \iff \det(A) = 1$。
   • 包含关系: $S L_{2}(\mathbb{R}) \subseteq G L_{2}(\mathbb{R})$。
3. 正交群 (Orthogonal Group) $O_{2}(\mathbb{R})$:
   • 定义: 它是所有满足 $A^T A = I_2$（即转置矩阵等于逆矩阵）的矩阵组成的集合。几何上，这些矩阵代表保持长度和内积的变换（等距变换）。
   • 判别推理链:
   • 方法一（定义法）：验证 $A^T A = I$。
   • 方法二（行列式必要条件）：如果 $A \in O_{2}(\mathbb{R})$，则 $\det(A) = \pm 1$。这是一个快速排除的筛选器。
   • 方法三（列向量法）：$A$ 的列向量必须构成一组标准正交基 (Orthonormal Basis)。即列向量长度为 1，且彼此点积为 0。
   • 数学条件: $A \in O_{2}(\mathbb{R}) \iff \text{列向量标准正交}$。
   • 包含关系: $O_{2}(\mathbb{R}) \subseteq G L_{2}(\mathbb{R})$。
4. 特殊正交群 (Special Orthogonal Group) $S O_{2}(\mathbb{R})$:
   • 定义: 它是 $O_{2}(\mathbb{R})$ 中行列式为 1 的矩阵集合。几何上，这代表纯旋转 (Rotation)，不包含反射。
   • 判别推理链: 必须同时满足是正交矩阵 且 行列式为 1。
   • 数学条件: $A \in S O_{2}(\mathbb{R}) \iff A \in O_{2}(\mathbb{R}) \land \det(A) = 1$。
   • 包含关系: $S O_{2}(\mathbb{R}) \subseteq S L_{2}(\mathbb{R}) \subseteq G L_{2}(\mathbb{R})$ 且 $S O_{2}(\mathbb{R}) \subseteq O_{2}(\mathbb{R})$。

2第二部分：矩阵归属判定的详细步骤

我们将对每一个矩阵计算行列式，并检查正交性，从而构建完整的推理逻辑链。

1. 矩阵 1: $M_1 = \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

这是单位矩阵 (Identity Matrix) $I_2$。

1. 计算行列式:

1. 推理判断:
   • (i) $G L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_1) = 1 \neq 0$，是。
   • (ii) $S L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_1) = 1$，是。
   • (iii) $O_{2}(\mathbb{R})$: 列向量 $(1, 0)^T$ 和 $(0, 1)^T$ 显然是标准正交的（长度为 1，点积为 0）。或者直接验证 $I^T I = I$。是。
   • (iv) $S O_{2}(\mathbb{R})$: 既在 $O_2(\mathbb{R})$ 中，且 $\det(M_1)=1$。是。

结论: $M_1$ 属于 (i), (ii), (iii), (iv)。

2. 矩阵 2: $M_2 = \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$

这是一个置换矩阵 (Permutation Matrix)，几何上代表关于直线 $y=x$ 的反射。

1. 计算行列式:

1. 推理判断:
   • (i) $G L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_2) = -1 \neq 0$，是。
   • (ii) $S L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_2) = -1 \neq 1$，否。
   • (iii) $O_{2}(\mathbb{R})$: 检查列向量 $\mathbf{c}_1 = (0, 1)^T, \mathbf{c}_2 = (1, 0)^T$。
   • 长度: $\|\mathbf{c}_1\| = \sqrt{0^2+1^2} = 1$, $\|\mathbf{c}_2\| = 1$。
   • 点积: $\mathbf{c}_1 \cdot \mathbf{c}_2 = 0 \times 1 + 1 \times 0 = 0$。
   • 符合标准正交条件。是。
   • (iv) $S O_{2}(\mathbb{R})$: 虽然它是正交的，但 $\det(M_2) = -1 \neq 1$。否。

结论: $M_2$ 属于 (i), (iii)。

3. 矩阵 3: $M_3 = \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{array}\right)$

这个矩阵看起来像旋转缩放矩阵。

1. 计算行列式:

1. 推理判断:
   • (i) $G L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_3) = 13 \neq 0$，是。
   • (ii) $S L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_3) = 13 \neq 1$，否。
   • (iii) $O_{2}(\mathbb{R})$: 正交矩阵的必要条件是 $\det = \pm 1$。这里 $\det = 13$，所以直接排除。否。
   • (iv) $S O_{2}(\mathbb{R})$: 不在 $O_2$ 中，自然不在 $S O_2$ 中。否。

结论: $M_3$ 属于 (i)。

4. 矩阵 4: $M_4 = \left(\begin{array}{cc} 4 & 5 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$

1. 计算行列式:

1. 推理判断:
   • (i) $G L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_4) = -1 \neq 0$，是。
   • (ii) $S L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_4) = -1 \neq 1$，否。
   • (iii) $O_{2}(\mathbb{R})$: 虽然 $\det = -1$ 满足必要条件，但我们需要检查充分条件（列向量标准正交）。
   • 第一列 $\mathbf{c}_1 = (4, 1)^T$ 的长度平方为 $4^2 + 1^2 = 17 \neq 1$。
   • 不是单位向量，所以不是正交矩阵。否。
   • (iv) $S O_{2}(\mathbb{R})$: 不在 $O_2$ 中。否。

结论: $M_4$ 属于 (i)。

5. 矩阵 5: $M_5 = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

这是一个剪切矩阵 (Shear Matrix)。

1. 计算行列式:

1. 推理判断:
   • (i) $G L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_5) = 1 \neq 0$，是。
   • (ii) $S L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_5) = 1$，是。
   • (iii) $O_{2}(\mathbb{R})$: 检查列向量 $\mathbf{c}_1 = (1, 0)^T, \mathbf{c}_2 = (1, 1)^T$。
   • 点积: $\mathbf{c}_1 \cdot \mathbf{c}_2 = 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1 \neq 0$。
   • 列向量不正交，所以不是正交矩阵。否。
   • (iv) $S O_{2}(\mathbb{R})$: 不在 $O_2$ 中。否。

结论: $M_5$ 属于 (i), (ii)。

6. 矩阵 6: $M_6 = \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$

这是一个关于某条轴的反射矩阵 (Reflection Matrix)。

1. 计算行列式:

1. 推理判断:
   • (i) $G L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_6) = -1 \neq 0$，是。
   • (ii) $S L_{2}(\mathbb{R})$: $\det(M_6) = -1 \neq 1$，否。
   • (iii) $O_{2}(\mathbb{R})$: 检查列向量。
   • 长度: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。两列都是单位向量。
   • 点积: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$。正交。
   • 列向量标准正交。是。
   • (iv) $S O_{2}(\mathbb{R})$: 虽然是正交的，但 $\det(M_6) = -1 \neq 1$。否。

结论: $M_6$ 属于 (i), (iii)。

3第三部分：验证 $3 \times 3$ 矩阵的正交性

题目要求验证矩阵 $A$ 是否为正交矩阵 (Orthogonal Matrix)。

根据 @1.4_预备知识_线性代数复习.ZH.md 中的 命题 4.4.5，一个矩阵是正交矩阵 $\iff$ 它的列向量构成一组标准正交基。

这意味着我们需要验证两个条件：

1. 单位性 (Normality): 每个列向量的长度（模）为 1。即 $\|\mathbf{u}_i\| = 1$。
2. 正交性 (Orthogonality): 不同列向量之间的点积为 0。即 $\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle = 0$ (当 $i \neq j$)。

我们将列向量记为：

• $\mathbf{u}_{1}=\left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} \right)$
• $\mathbf{u}_{2}=\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right)$
• $\mathbf{u}_{3}=\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

1. 步骤 1: 验证列向量的长度 (单位性)

我们需要计算 $\|\mathbf{u}\|^2 = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}$。

1. 对于 $\mathbf{u}_1$:

$\checkmark$ 单位向量。

1. 对于 $\mathbf{u}_2$:

$\checkmark$ 单位向量。

1. 对于 $\mathbf{u}_3$:

$\checkmark$ 单位向量。

2. 步骤 2: 验证列向量之间的点积 (正交性)

我们需要计算两两之间的内积 $\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_j \rangle$。

1. $\mathbf{u}_1$ 与 $\mathbf{u}_2$:

$\checkmark$ 正交。

1. $\mathbf{u}_1$ 与 $\mathbf{u}_3$:

$\checkmark$ 正交。

1. $\mathbf{u}_2$ 与 $\mathbf{u}_3$:

$\checkmark$ 正交。

3. 结论

由于矩阵 $A$ 的列向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3$ 既是单位向量又是两两正交的（即它们构成了 $\mathbb{R}^3$ 的一组标准正交基），根据正交矩阵的定义（定义 4.4.6 及 命题 4.4.5），$A$ 是一个正交矩阵。即 $A \in O_3(\mathbb{R})$。

4. 补充验证：矩阵 A 的行列式与几何意义

虽然我们已经通过验证列向量的标准正交性证明了 $A$ 是正交矩阵，但计算其行列式可以告诉我们它是一个旋转（行列式为 1）还是一个包含反射的旋转（行列式为 -1）。

我们沿第三行展开计算 $\det(A)$：

注意 $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$。

结论：因为 $\det(A) = -1$，所以 $A \in O_3(\mathbb{R})$ 但 $A \notin S O_3(\mathbb{R})$。它代表了一个旋转加上一个反射（即非真旋转）。

5. 第四部分：问题 Q2 的最终结果汇总表

为了清晰起见，我们将练习 1.27 中所有矩阵的归属情况汇总如下表。

符号说明：

• GL: $G L_{2}(\mathbb{R})$ (可逆)
• SL: $S L_{2}(\mathbb{R})$ (行列式为 1)
• O: $O_{2}(\mathbb{R})$ (正交)
• SO: $S O_{2}(\mathbb{R})$ (旋转，行列式为 1)
• $\checkmark$: 属于
• $\times$: 不属于

关于 $3 \times 3$ 矩阵 $A$ 的验证结果：

• 列向量长度: 均为 1。
• 列向量正交性: 两两点积均为 0。
• 结论: $A$ 是一个正交矩阵。

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