1. COMS 3261 讲义 2B：确定性有限自动机练习解答

这部分是文档的标题和作者信息。

• COMS 3261：这是课程代码，代表哥伦比亚大学的一门课程，通常与“计算机科学理论”或“计算理论导论”相关。
• 讲义 2B：这表明该文档是系列讲义中的一部分，具体是第二单元B部分的内容，专注于练习题的解答。
• 确定性有限自动机 (DFA)：这是本次讲义的核心主题。DFA 是一种计算模型，用于识别正则语言。它由有限数量的状态、一个字母表（允许的输入符号集合）、一个转移函数（根据当前状态和输入符号决定下一个状态）、一个起始状态和一个接受状态集合组成。
• Angel Cui 和 Owen Keith：文档的作者。
• 2024 秋季：文档所属的学期。

这部分提出了第一个问题：给定一个确定性有限自动机 (DFA) 的状态图，要求我们判断一系列给定的字符串是否被这个 DFA 接受。

• DFA 状态图：这是 DFA 的一种可视化表示。
• 圆圈：代表状态。图中有三个状态：$q_0, q_1, q_2$。
• 指向 $q_0$ 的无源箭头：表示 $q_0$ 是起始状态。DFA 的计算总是从这里开始。
• 双层圆圈：代表接受状态。图中 $q_1$ 是一个接受状态。如果一个字符串处理完毕后，DFA 恰好停在接受状态，那么该字符串就被接受。
• 带标签的箭头：代表转移函数 $\delta$。例如，从 $q_0$ 出发，有一个标着 "0" 的箭头指回 $q_0$，这表示当 DFA 处于 $q_0$ 状态时，如果读入符号 "0"，它将转移到 $q_0$ 状态。$\delta(q_0, 0) = q_0$。同样，$\delta(q_0, 1) = q_1$。
• 接受 (Acceptance)：一个字符串被 DFA 接受，当且仅当 DFA 从起始状态开始，按顺序读完字符串中的每一个符号并进行相应的状态转移后，最终停留的状态是一个接受状态。
• 待检测字符串:
• $\varepsilon$：空字符串，不包含任何符号。
• $11$
• $010$
• $10$
• $0101$

这里详细解释了每个字符串的“计算过程”，即状态的演变序列。

1. 处理字符串 $\varepsilon$：
   • 计算开始：DFA 处于起始状态 $q_0$。
   • 读取字符串：$\varepsilon$ 是空字符串，没有符号可读。
   • 计算结束：DFA 停留在 $q_0$。
   • 判断：$q_0$ 不是接受状态（不是双圈）。
   • 结论：$\varepsilon$ 不被接受。
   • 状态序列: $(q_0)$
2. 处理字符串 $11$：
   • 计算开始：DFA 处于起始状态 $q_0$。
   • 读取第一个 '1'：根据转移 $\delta(q_0, 1) = q_1$，DFA 从 $q_0$ 转移到 $q_1$。
   • 读取第二个 '1'：根据转移 $\delta(q_1, 1) = q_1$，DFA 从 $q_1$ 转移到 $q_1$。
   • 计算结束：字符串读取完毕，DFA 停留在 $q_1$。
   • 判断：$q_1$ 是接受状态（是双圈）。
   • 结论：$11$ 被接受。
   • 状态序列: $(q_0, q_1, q_1)$
3. 处理字符串 $010$：
   • 计算开始：DFA 处于起始状态 $q_0$。
   • 读取第一个 '0'：根据转移 $\delta(q_0, 0) = q_0$，DFA 停留在 $q_0$。
   • 读取第二个 '1'：根据转移 $\delta(q_0, 1) = q_1$，DFA 转移到 $q_1$。
   • 读取第三个 '0'：根据转移 $\delta(q_1, 0) = q_2$，DFA 转移到 $q_2$。
   • 计算结束：字符串读取完毕，DFA 停留在 $q_2$。
   • 判断：$q_2$ 不是接受状态。
   • 结论：$010$ 不被接受。
   • 状态序列: $(q_0, q_0, q_1, q_2)$
4. 处理字符串 $10$：
   • 计算开始：DFA 处于起始状态 $q_0$。
   • 读取第一个 '1'：根据转移 $\delta(q_0, 1) = q_1$，DFA 转移到 $q_1$。
   • 读取第二个 '0'：根据转移 $\delta(q_1, 0) = q_2$，DFA 转移到 $q_2$。
   • 计算结束：字符串读取完毕，DFA 停留在 $q_2$。
   • 判断：$q_2$ 不是接受状态。
   • 结论：$10$ 不被接受。
   • 状态序列: $(q_0, q_1, q_2)$
5. 处理字符串 $0101$：
   • 计算开始：DFA 处于起始状态 $q_0$。
   • 读取第一个 '0'：$\delta(q_0, 0) = q_0$。当前状态 $q_0$。
   • 读取第二个 '1'：$\delta(q_0, 1) = q_1$。当前状态 $q_1$。
   • 读取第三个 '0'：$\delta(q_1, 0) = q_2$。当前状态 $q_2$。
   • 读取第四个 '1'：$\delta(q_2, 1) = q_1$。当前状态 $q_1$。
   • 计算结束：字符串读取完毕，DFA 停留在 $q_1$。
   • 判断：$q_1$ 是接受状态。
   • 结论：$0101$ 被接受。
   • 状态序列: $(q_0, q_0, q_1, q_2, q_1)$

这个问题要求我们将一个给定的 DFA 状态图 翻译成其形式化定义。形式化定义是描述 DFA 的一种精确、无歧义的数学语言。

• 形式化定义 (五元组)：一个 DFA $D$ 被定义为一个五元组 $D = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$，其中：

1. $Q$：一个有限的状态集合 (a finite set of states)。
2. $\Sigma$：一个有限的字母表 (a finite alphabet)，即输入符号的集合。
3. $\delta: Q \times \Sigma \to Q$：转移函数 (the transition function)。它接受当前状态和当前输入符号，输出下一个状态。
4. $q_0 \in Q$：起始状态 (the start state)。
5. $F \subseteq Q$：接受状态的集合 (the set of accept states)。
   • 分析状态图:
   • 状态 $Q$：图中有四个圆圈，分别标记为 $q_0, q_1, q_2, q_3$。所以 $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_3\}$。
   • 字母表 $\Sigma$：题目已给出 $\Sigma = \{a, b, c\}$。
   • 起始状态 $q_0$：$q_0$ 有一个无源的指向它的箭头，所以 $q_0$ 是起始状态。
   • 接受状态 $F$：$q_1$ 是双层圆圈，所以 $F = \{q_1\}$。注意，只有一个接受状态，所以它被放在一个集合中。
   • 转移函数 $\delta$：我们需要根据图中的箭头来构建一个表格。表格的行是当前状态，列是输入符号，表格单元格是下一个状态。

这部分给出了完整的五元组定义。

1. $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_3\}$：正确地列出了图中所有的状态。
2. $\Sigma = \{a, b, c\}$：正确地使用了题目给出的字母表。
3. $\delta$ 的表格：这个表格是对转移函数的完整描述。让我们逐行核对：
   • 行 $q_0$：
   • 读 'a'：$\delta(q_0, a)$，从 $q_0$ 有个标 'a' 的箭头指向 $q_1$。所以是 $q_1$。正确。
   • 读 'b'：$\delta(q_0, b)$，从 $q_0$ 有个标 'b' 的箭头指向 $q_3$。所以是 $q_3$。正确。
   • 读 'c'：$\delta(q_0, c)$，从 $q_0$ 有个标 'c' 的箭头指向 $q_3$。所以是 $q_3$。正确。
   • 行 $q_1$：
   • 读 'a'：$\delta(q_1, a)$，从 $q_1$ 有个标 'a' 的箭头指回 $q_1$。所以是 $q_1$。正确。
   • 读 'b'：$\delta(q_1, b)$，从 $q_1$ 有个标 'b' 的箭头指向 $q_2$。所以是 $q_2$。正确。
   • 读 'c'：$\delta(q_1, c)$，从 $q_1$ 有个标 'c' 的箭头指向 $q_3$。所以是 $q_3$。正确。
   • 行 $q_2$：
   • 读 'a'：$\delta(q_2, a)$，从 $q_2$ 有个标 'a' 的箭头指向 $q_1$。所以是 $q_1$。正确。
   • 读 'b'：$\delta(q_2, b)$，从 $q_2$ 有个标 'b' 的箭头指回 $q_2$。所以是 $q_2$。正确。
   • 读 'c'：$\delta(q_2, c)$，从 $q_2$ 有个标 'c' 的箭头指向 $q_3$。所以是 $q_3$。正确。
   • 行 $q_3$：
   • 读 'a', 'b', 'c'：从 $q_3$ 有一个标有 "a, b, c" 的箭头指回 $q_3$ 自身。这意味着对于任何输入符号，状态都保持不变。所以 $\delta(q_3, a)=q_3$, $\delta(q_3, b)=q_3$, $\delta(q_3, c)=q_3$。全部正确。
4. $q_0$ 是起始状态：正确识别。
5. $F = \{q_1\}$：正确识别接受状态并将其放入集合中。

• 死状态 (Dead State)：也称为陷阱状态 (Trap State) 或垃圾状态 (Garbage State)。它是一个特殊的非接受状态，一旦进入，就再也无法离开。从图中可以看到，$q_3$ 就是一个死状态，因为所有从 $q_3$ 出发的转移都指回它自己，而且 $q_3$ 不是接受状态。一旦计算路径到达 $q_3$，无论后面还有什么输入符号，DFA 都会一直停留在 $q_3$，因此该字符串最终一定会被拒绝。
• 省略死状态的约定：在绘制 DFA 状态图时，为了简化图形，人们常常会省略死状态以及所有指向它的转移。如果从某个状态出发，对于某个输入符号，图中没有画出对应的转移箭头，那么就默认这个转移是指向一个不可见的死状态。
• 形式化定义的要求：尽管在画图时可以省略死状态，但在编写形式化定义时，DFA 的转移函数 $\delta$ 必须是完全的。这意味着定义域 $Q \times \Sigma$ 中的每一个元素都必须有对应的输出。因此，死状态必须被明确地包含在状态集 $Q$ 中，并且所有指向它的转移也必须在转移函数 $\delta$ 中明确定义。

这个问题要求我们为一个特定的语言 $L$ 设计一个 DFA。

• 语言 $L$ 的描述：
• 字母表是 $\{a, b\}$。
• 语言中的字符串 $w$ 满足一个条件：$w$ 中 'a' 的数量不等于 2。
• 这意味着 'a' 的数量可以是 0, 1, 3, 4, 5, ... 等等，但唯独不能是 2。

这里提出了一种非常重要的解题策略：通过构造补集语言的 DFA 来解决。

• 补集语言 (Complement Language) $\bar{L}$：
• 对于一个定义在字母表 $\Sigma$ 上的语言 $L$，它的补集 $\bar{L}$ 包含了所有不在 $L$ 中，但由 $\Sigma$ 中的符号构成的字符串。
• 在本例中，$\Sigma^* = \{a,b\}^*$ 是所有可能的 'a' 和 'b' 构成的字符串集合。
• $L$ 是 “'a' 的数量不是 2” 的字符串集合。
• 那么 $\bar{L}$ 就是 “‘a’ 的数量是 2” 的字符串集合。
• 为什么先构造 $\bar{L}$ 的 DFA：
• 描述“恰好有两个 'a'”比描述“'a' 的数量不是 2”要直接得多。我们可以用状态来计数 'a' 的出现次数。
• 状态 $q_0$：表示到目前为止看到了 0 个 'a'。
• 状态 $q_1$：表示到目前为止看到了 1 个 'a'。
• 状态 $q_2$：表示到目前为止看到了 2 个 'a'。
• 状态 $q_3$：表示到目前为止看到了 超过 2 个 'a'。
• 分析 $\bar{L}$ 的 DFA：
• 起始状态 $q_0$（0 个 'a'）。
• 从 $q_0$ 读到 'b'，'a' 的数量不变，留在 $q_0$。读到 'a'，'a' 的数量变为 1，转移到 $q_1$。
• 从 $q_1$ 读到 'b'，'a' 的数量不变，留在 $q_1$。读到 'a'，'a' 的数量变为 2，转移到 $q_2$。
• 从 $q_2$ 读到 'b'，'a' 的数量不变，留在 $q_2$。读到 'a'，'a' 的数量变为 3，超过了 2，转移到 $q_3$ (一个死状态，因为一旦超过 2 个 'a'，就不可能再满足“恰好 2 个”的条件)。
• 从 $q_3$ 读到任何符号，'a' 的数量仍然大于 2，留在 $q_3$。
• 接受状态：语言 $\bar{L}$ 要求字符串结束时有“恰好两个 'a'”。这正好对应状态 $q_2$。所以 $q_2$ 是唯一的接受状态。
• 图中所示的 DFA 完全符合这个逻辑。

• 从 $\bar{L}$ 的 DFA 构造 $L$ 的 DFA：
• 理论基础：如果一个 DFA $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ 识别 语言 $\bar{L}$，那么 DFA $M' = (Q, \Sigma, \delta, q_0, Q \setminus F)$ 将识别 语言 $L$。
• $Q \setminus F$ 表示从状态全集 $Q$ 中去掉原接受状态集 $F$ 后剩下的状态。
• 直观操作：将原来所有的接受状态变成非接受状态，同时将原来所有的非接受状态变成接受状态。
• 应用到本题：
• 原 DFA (for $\bar{L}$) 中：
• $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_3\}$
• $F = \{q_2\}$ (唯一的接受状态)
• 非接受状态是 $\{q_0, q_1, q_3\}$。
• 新 DFA (for $L$) 中：
• 状态、字母表、转移函数、起始状态都保持不变。
• 新的接受状态集 $F'$ 就是原来的非接受状态集。所以 $F' = \{q_0, q_1, q_3\}$。
• 检查新的DFA：
• 起始状态 $q_0$ 变为接受状态。这接受了 'a' 数量为 0 的字符串 (例如 $\varepsilon$, "b", "bb")。正确。
• $q_1$ 变为接受状态。这接受了 'a' 数量为 1 的字符串 (例如 "a", "bab")。正确。
• $q_2$ 变为非接受状态。这拒绝了 'a' 数量恰好为 2 的字符串 (例如 "aa", "aba")。正确。
• $q_3$ 变为接受状态。这接受了 'a' 数量大于 2 的字符串 (例如 "aaa", "ababa")。正确。
• 这个新的 DFA 正确地识别了语言 $L$。

这个问题要求为语言 $L$ 设计一个 DFA，该语言的字符串需要同时满足两个条件：

1. 字符串的总长度是偶数。
2. 字符串中 'a' 的个数是奇数。

解题思路是将这个复杂的语言分解为两个更简单的语言的交集：

• $L_1$：所有偶数长度的字符串的语言。
• $L_2$：所有包含奇数个 'a' 的字符串的语言。
• $L = L_1 \cap L_2$。

这个思路是基于正则语言的另一个闭包性质：正则语言对交集运算是封闭的。这意味着如果 $L_1$ 和 $L_2$ 都是正则语言（即它们各自都有对应的 DFA），那么它们的交集 $L$ 也一定是正则语言，并且我们可以通过一个标准的构造方法（笛卡尔积构造）从 $L_1$ 和 $L_2$ 的 DFA 得到 $L$ 的 DFA。

1. 构造 $L_1$ (偶数长度) 的 DFA ($M_1$):
   • 我们需要记录字符串长度的奇偶性。
   • 状态 $q_e$ (even)：表示到目前为止读过的字符串长度为偶数。
   • 状态 $q_o$ (odd)：表示到目前为止读过的字符串长度为奇数。
   • 起始状态：空字符串 $\varepsilon$ 的长度是 0（偶数），所以起始状态是 $q_e$。
   • 转移：无论读到 'a' 还是 'b'，字符串长度都加 1。这会使长度的奇偶性翻转。所以，从 $q_e$ 读任何符号都到 $q_o$；从 $q_o$ 读任何符号都到 $q_e$。
   • 接受状态：语言 $L_1$ 要求偶数长度，所以 $q_e$ 是接受状态。
   • 图中 $p_0$ 对应这里的 $q_e$ (even)，$p_1$ 对应 $q_o$ (odd)。该 DFA 正确。
2. 构造 $L_2$ (奇数个 'a') 的 DFA ($M_2$):
   • 我们需要记录字符串中 'a' 个数的奇偶性。
   • 状态 $r_e$ (even)：表示到目前为止读过的 'a' 的个数为偶数。
   • 状态 $r_o$ (odd)：表示到目前为止读过的 'a' 的个数为奇数。
   • 起始状态：空字符串 $\varepsilon$ 中 'a' 的个数是 0（偶数），所以起始状态是 $r_e$。
   • 转移：
   • 如果读到 'b'，'a' 的个数不变，所以奇偶性不变。状态保持不变 ($r_e \xrightarrow{b} r_e$, $r_o \xrightarrow{b} r_o$)。
   • 如果读到 'a'，'a' 的个数加 1，奇偶性翻转。状态发生切换 ($r_e \xrightarrow{a} r_o$, $r_o \xrightarrow{a} r_e$)。
   • 接受状态：语言 $L_2$ 要求奇数个 'a'，所以 $r_o$ 是接受状态。
   • 图中 $s_0$ 对应这里的 $r_e$ (even)，$s_1$ 对应 $r_o$ (odd)。该 DFA 正确。

笛卡尔积构造 (Cartesian Product Construction) 是一种标准算法，用于从两个 DFA $M_1 = (Q_1, \Sigma, \delta_1, q_{0,1}, F_1)$ 和 $M_2 = (Q_2, \Sigma, \delta_2, q_{0,2}, F_2)$ 构造一个识别它们交集语言 $L(M_1) \cap L(M_2)$ 的新 DFA $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$。

• 新状态集 $Q$：是 $Q_1$ 和 $Q_2$ 的笛卡尔积，$Q = Q_1 \times Q_2$。新状态是一个有序对 $(p, r)$，其中 $p \in Q_1, r \in Q_2$。这个状态对同时追踪 $M_1$ 和 $M_2$ 的状态。
• $Q_1 = \{p_0, p_1\}$, $Q_2 = \{s_0, s_1\}$。
• $Q = \{(p_0, s_0), (p_0, s_1), (p_1, s_0), (p_1, s_1)\}$。图中这四个状态分别被命名为 $q_0, q_1, q_2, q_3$。
• $q_0 = (p_0, s_0)$: (偶数长, 偶数个a)
• $q_1 = (p_0, s_1)$: (偶数长, 奇数个a)
• $q_2 = (p_1, s_0)$: (奇数长, 偶数个a)
• $q_3 = (p_1, s_1)$: (奇数长, 奇数个a)
• 新起始状态 $q_0$：是原起始状态的有序对。
• $q_0 = (q_{0,1}, q_{0,2}) = (p_0, s_0)$。图中 $q_0$ 被正确设为起始状态。
• 新转移函数 $\delta$：对于任何新状态 $(p, r)$ 和输入符号 $\sigma$，新转移定义为 $\delta((p, r), \sigma) = (\delta_1(p, \sigma), \delta_2(r, \sigma))$。即两个 DFA 并行运行，各自独立进行转移。
• 以 $(p_0, s_0)$ 为例：
• 读 'a': $\delta((p_0, s_0), a) = (\delta_1(p_0, a), \delta_2(s_0, a)) = (p_1, s_1)$。所以从 $(p_0, s_0)$ 有一条标 'a' 的箭头指向 $(p_1, s_1)$。图中即 $q_0 \xrightarrow{a} q_3$。正确。
• 读 'b': $\delta((p_0, s_0), b) = (\delta_1(p_0, b), \delta_2(s_0, b)) = (p_1, s_0)$。所以从 $(p_0, s_0)$ 有一条标 'b' 的箭头指向 $(p_1, s_0)$。图中即 $q_0 \xrightarrow{b} q_2$。正确。
• 以 $(p_1, s_1)$ 为例:
• 读 'a': $\delta((p_1, s_1), a) = (\delta_1(p_1, a), \delta_2(s_1, a)) = (p_0, s_0)$。所以从 $(p_1, s_1)$ 有一条标 'a' 的箭头指向 $(p_0, s_0)$。图中即 $q_3 \xrightarrow{a} q_0$。正确。
• 读 'b': $\delta((p_1, s_1), b) = (\delta_1(p_1, b), \delta_2(s_1, b)) = (p_0, s_1)$。所以从 $(p_1, s_1)$ 有一条标 'b' 的箭头指向 $(p_0, s_1)$。图中即 $q_3 \xrightarrow{b} q_1$。正确。
• (其余转移可同理验证，图中均正确)
• 新接受状态集 $F$：一个字符串要被交集语言接受，必须同时被 $M_1$ 和 $M_2$ 接受。这意味着最终状态必须在 $F_1$ 和 $F_2$ 中。所以，新接受状态是那些两个分量都分别是原接受状态的状态对。
• $F = F_1 \times F_2 = \{p \in F_1 \text{ and } r \in F_2 \mid (p,r) \in Q\}$
• 在本题中，$F_1 = \{p_0\}$, $F_2 = \{s_1\}$。
• $F = \{(p_0, s_1)\}$。
• 对应的状态是 $q_1$。图中 $q_1$ 是唯一的接受状态。正确。

这个问题要求为一个有限语言 $L$ 设计一个 DFA。有限语言是指其包含的字符串数量是有限的。所有有限语言都是正则语言。

• 语言 $L$：只包含 "11", "101", "010", "0110" 这四个字符串。

构造有限语言的 DFA 的一种直接方法是：

1. 为语言中所有字符串的所有前缀（包括空字符串 $\varepsilon$ 和字符串本身）创建一个状态。
2. 起始状态是代表空字符串 $\varepsilon$ 的状态。
3. 转移函数：如果当前在代表前缀 $p$ 的状态，读入符号 $\sigma$，则转移到代表前缀 $p\sigma$ 的状态。
4. 接受状态：所有代表语言 $L$ 中字符串的状态都是接受状态。
5. 死状态：如果一个转移会产生一个不属于任何语言内字符串的前缀的字符串，那么该转移指向一个死状态。

让我们来分析图中的 DFA 是否符合这个思想：

• 状态的命名:
• $q_{\text{start}}$: 代表前缀 $\varepsilon$。
• $q_1$: 代表前缀 "1"。
• $q_0$: 代表前缀 "0"。
• $q_{11}$: 代表前缀 "11"。它是语言中的一个词，所以可以是接受状态。
• $q_{10}$: 代表前缀 "10"。
• $q_{01}$: 代表前缀 "01"。
• $q_{101}$: 代表前缀 "101"。
• $q_{010}$: 代表前缀 "010"。
• $q_{011}$: 代表前缀 "011"。
• $q_{0110}$: 代表前缀 "0110"。
• 图中设计思路的微小区别：
• 图中的设计者并没有严格为每个前缀都创建一个状态（例如 "01" 的前缀 "0" 和 "1" 的前缀 "1" 最终都可能导向别的路径）。但大体思路是为语言中的每个字符串构建一条“成功路径”。
• 它引入了一个通用的接受状态 $q_{\text{accept}}$ 和一个通用的拒绝状态 $q_{\text{reject}}$。

• DFA 的工作方式:

1. 路径 "11": $q_{\text{start}} \xrightarrow{1} q_1 \xrightarrow{1} q_{11}$。在 $q_{11}$ 之后，原文图中没有画出从 $q_{11}$ 出发的箭头，这通常意味着转移到死状态。但如果我们将 $q_{11}$ 本身就视为一个临时的接受状态，或者像图中一样，在识别出"11"后需要一个明确的结束信号，这里的设计有些不标准。更规范的画法是从 $q_{11}$ 出发，如果后面还有字符，则转移到$q_{reject}$。但这里的图似乎把 $q_{11}, q_{101}, q_{010}, q_{0110}$ 直接画成了最终的接受状态（虽然它们不是双圈，但没有后续路径）。然而，解答的文字描述是有一个统一的 $q_{accept}$，这与图不符。我们以图的结构为准进行分析。
   • 让我们重新解读这个图：$q_{11}, q_{101}, q_{010}, q_{0110}$ 就是接受状态。
   • 路径 "11": $q_{\text{start}} \xrightarrow{1} q_1 \xrightarrow{1} q_{11}$。结束在 $q_{11}$ (接受)。
   • 路径 "101": $q_{\text{start}} \xrightarrow{1} q_1 \xrightarrow{0} q_{10} \xrightarrow{1} q_{101}$。结束在 $q_{101}$ (接受)。
   • 路径 "010": $q_{\text{start}} \xrightarrow{0} q_0 \xrightarrow{1} q_{01} \xrightarrow{0} q_{010}$。结束在 $q_{010}$ (接受)。
   • 路径 "0110": $q_{\text{start}} \xrightarrow{0} q_0 \xrightarrow{1} q_{01} \xrightarrow{1} q_{011} \xrightarrow{0} q_{0110}$。结束在 $q_{0110}$ (接受)。
   • $q_{reject}$ (死状态): 任何不属于上述四个字符串及其前缀的路径都会导向 $q_{reject}$。
   • 例如，字符串 "00": $q_{\text{start}} \xrightarrow{0} q_0 \xrightarrow{0} q_{reject}$。
   • 例如，字符串 "110": $q_{\text{start}} \xrightarrow{1} q_1 \xrightarrow{1} q_{11} \xrightarrow{0} q_{reject}$。
   • 例如，字符串 "10": $q_{\text{start}} \xrightarrow{1} q_1 \xrightarrow{0} q_{10}$。停在 $q_{10}$，它不是接受状态，并且任何后续输入都会进入 $q_{reject}$。所以 "10" 不被接受。

• 关于 $q_{reject}$ 的省略: 如前所述，为了简化 DFA 图，可以省略死状态 $q_{reject}$ 和所有指向它的箭头。这样，任何在图中“无路可走”的转移都默认进入一个不可见的死状态。

这个问题是之前问题的“逆问题”：给定一个 DFA，要求我们用自然语言或集合符号来描述它所识别的语言。

分析步骤:

1. 识别 DFA 的基本组件:
   • 状态 $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_3, q_4\}$。
   • 字母表 $\Sigma = \{0, 1\}$。
   • 起始状态是 $q_0$。
   • 接受状态 $F = \{q_1, q_2, q_3, q_4\}$。唯一的非接受状态是 $q_0$。
2. 理解状态的含义: 这是关键一步。我们需要弄清楚每个状态代表了字符串的什么属性。
   • 读 '0'：在任何状态下读 '0'，状态都保持不变。这意味着 '0' 不影响我们正在追踪的属性。
   • 读 '1'：
   • $q_0 \xrightarrow{1} q_1$
   • $q_1 \xrightarrow{1} q_2$
   • $q_2 \xrightarrow{1} q_3$
   • $q_3 \xrightarrow{1} q_4$
   • $q_4 \xrightarrow{1} q_0$
   • 这个结构是一个环！每次读到一个 '1'，状态就在这个环上前进一格。这表明 DFA 正在对 '1' 的数量进行模运算（modulo）。环的大小是 5，所以是模 5。
   • 让我们验证一下：
   • 状态 $q_0$: 表示到目前为止 '1' 的数量是 $0 \pmod 5$。
   • 状态 $q_1$: 表示到目前为止 '1' 的数量是 $1 \pmod 5$。
   • 状态 $q_2$: 表示到目前为止 '1' 的数量是 $2 \pmod 5$。
   • 状态 $q_3$: 表示到目前为止 '1' 的数量是 $3 \pmod 5$。
   • 状态 $q_4$: 表示到目前为止 '1' 的数量是 $4 \pmod 5$。
3. 结合接受状态得出结论:
   • 接受状态是 $\{q_1, q_2, q_3, q_4\}$。
   • 这意味着，只要字符串处理完毕后，'1' 的数量模 5 的结果是 1, 2, 3, 或 4，该字符串就被接受。
   • 换句话说，只要 '1' 的数量不是 0 (模 5)，字符串就被接受。
   • “'1' 的数量是 $0 \pmod 5$” 等价于 “'1' 的数量是 5 的整数倍”。
   • 因此，被接受的字符串是那些 '1' 的数量不是 5 的整数倍的字符串。

解答完全正确，并清晰地指出了每个状态 $q_i$ 的含义是代表已经看到了 $i$ 个 '1' (模 5)。

• 语言 $L$ 的形式化描述: $L = \{ w \in \{0,1\}^* \mid (\text{count}_1(w) \pmod 5) \neq 0 \}$，其中 $\text{count}_1(w)$ 是 $w$ 中 '1' 的数量。
• 关于 0: 空字符串 $\varepsilon$ 中有 0 个 '1'。$0 \pmod 5 = 0$。计算路径是停在 $q_0$，而 $q_0$ 是非接受状态。所以 $\varepsilon$ 不被接受。这符合“0 是 5 的倍数”的逻辑。

同样，我们来分析这个 DFA。

1. 识别 DFA 的基本组件:
   • 状态 $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_3\}$。
   • 字母表 $\Sigma = \{0, 1\}$。
   • 起始状态是 $q_0$。
   • 接受状态 $F = \{q_2\}$。
2. 分析状态转移路径:
   • 从起始状态 $q_0$ 出发:
   • 如果第一个符号是 '1'，路径是 $q_0 \xrightarrow{1} q_3$。$q_3$ 是一个死状态（所有出边都指向自身，且非接受）。所以任何以 '1' 开头的字符串都会被拒绝。
   • 如果第一个符号是 '0'，路径是 $q_0 \xrightarrow{0} q_1$。这开启了一条通往接受状态的可能路径。
   • 从状态 $q_1$ 出发 (已经读了 '0'):
   • 如果第二个符号是 '0'，路径是 $q_1 \xrightarrow{0} q_3$。进入死状态。所以任何以 "00" 开头的字符串都会被拒绝。
   • 如果第二个符号是 '1'，路径是 $q_1 \xrightarrow{1} q_2$。进入了接受状态 $q_2$！
   • 从状态 $q_2$ 出发 (已经读了 "01"):
   • 无论读到 '0' 还是 '1'，状态都保持在 $q_2$ ($q_2 \xrightarrow{0,1} q_2$)。
   • 这意味着，一旦字符串的前缀是 "01"，DFA 就会进入并永远停留在接受状态 $q_2$。
3. 总结:
   • 只有以 "01" 开头的字符串才能到达接受状态 $q_2$。
   • 一旦到达 $q_2$，就再也不会离开。
   • 因此，这个 DFA 接受所有以 "01" 为前缀的字符串。

• 解答是完全正确的。它准确地描述了语言为“所有以'01'为前缀的字符串的集合”。
• 解答还清晰地分析了两种被拒绝的情况：以 '1' 开头和以 "00" 开头，这两种情况都会导致计算陷入死状态 $q_3$。
• 关于省略死状态的图示：最后的图示展示了省略死状态 $q_3$ 后的简化版 DFA。
• 从 $q_0$ 出发，标 '1' 的箭头被移除了。
• 从 $q_1$ 出发，标 '0' 的箭头被移除了。
• 按照约定，这些缺失的转移都默认指向一个不可见的死状态。这个简化图与原图在功能上是完全等价的，但视觉上更简洁。

这部分是文档末尾的一个脚注，它为在正文中多次提到的“死状态”提供了一个精确的、形式化的定义。理解这个定义对于掌握 DFA 的完整概念至关重要。让我们将这个定义分解成它的两个核心组成部分来详细解释。

1. 一个不是 接受状态 的 状态 q: 这是成为一个死状态的首要条件。死状态本质上是一个拒绝状态；它永远不能是接受状态（即在状态图中，它永远不会是双圈）。这意味着，只要一个字符串的计算过程最终停留在死状态，该字符串就一定被拒绝。这个特性是死状态“失败”属性的根本来源。
2. 对于每个 符号 σ，我们都有 δ(q, σ)=q: 这是第二个关键条件，它描述了死状态的行为模式。
   • 这里的 q 指的就是我们正在定义的这个死状态。
   • σ (sigma) 是一个变量，代表字母表 Σ 中的任意一个符号。
   • δ(q, σ) = q 是转移函数的表达。它说明：“如果你当前处于状态 q，并且你读入了任何一个符号 σ，那么你接下来要转移到的状态仍然是 q。”
   • 综合起来，这句话的含义是：一旦自动机的计算路径进入了死状态，它就再也无法离开。无论后续输入什么字符串，它都会永远被“困”在这个状态里。这就像一个计算的“黑洞”。

将这两个条件合在一起，我们得到一个完整的画像：死状态是一个非接受状态，并且它会将计算永久地困在自身内部。