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这部分是课程讲义的标题页，提供了最核心的背景信息。

• COMS3261: Computer Science Theory：这是课程的编号和全名。“COMS”是计算机科学（Computer Science）的缩写，W3261是哥伦比亚大学内部用于标识这门课程的代码，通常W代表本科课程，3000-level的课程意味着它是一门中级本科课程，适合已经有一定计算机基础（如数据结构、离散数学）的学生。课程名称“Computer Science Theory”（计算机科学理论）明确了本课程的重点，将要探讨的是计算机科学的理论基础，而不是具体的编程技巧或应用开发。这门课将关注“计算”这一概念本身的性质、能力和限制。
• Spring 2026：这指的是课程开设的学期，即2026年的春季学期。
• Mihalis Yannakakis：这是授课教授的名字。Mihalis Yannakakis是理论计算机科学领域的著名学者，他在计算复杂性理论、数据库理论、算法和组合优化等领域做出了杰出贡献。知道授课教授可以帮助学生了解课程的风格和深度。
• Lecture 1, 1/21/26：这表示这是该课程的第一次讲座，日期是2026年1月21日。这为讲义内容提供了时间上的定位。

这部分介绍了课程的管理和资源信息，告诉学生去哪里找资料以及能找到什么资料。

• 网站: Courseworks：Courseworks是哥伦比亚大学使用的在线课程管理系统（类似于其他大学的Canvas, Blackboard, Moodle）。教授会在这里发布通知、上传课程材料（讲义、作业）、公布成绩等。这是学生获取课程信息最主要的官方渠道。
• 文件: 这部分列出了在Courseworks上可以找到的关键文件类型。
• 课程信息 (Course Information / Syllabus)：这是一个非常重要的文件，通常是一个PDF或Word文档，被称为“教学大纲”。它包含了课程的“游戏规则”。
• 后勤 (Logistics)：上课的地点、时间等。
• 政策 (Policies)：关于迟交作业、学术诚信等的规定。
• 评分方案 (Grading Scheme)：作业、期中、期末各占多少分。
• 办公时间 (Office Hours)：教授和助教（TA）提供答疑的时间和地点。
• 暂定时间表 (Tentative Schedule)：这个文件会列出整个学期每周计划讲授的主题，以及重要的日期，如作业截止日期、期中和期末考试的日期。称之为“暂定”是因为教授可能会根据实际教学进度进行微调。
• 作业 (Assignments / Homework)：这里会发布具体的作业题目和要求。

这部分详细说明了学生的学业任务、相关政策和最终成绩的计算方式。

• 作业、期中考试、期末考试：明确了课程的考核方式由这三部分组成。
• 政策 (Policies)：
• 迟交作业（每迟交一天或不足一天扣10%）: 这是一条非常严格的规定。例如，如果作业满分100分，你得了90分，但迟交了1分钟，那么你的分数就会变成 $90 \times (1-10\%) = 81$ 分。如果迟交了25小时（超过一天但不足两天），就会被扣20%，分数变成 $90 \times (1-20\%) = 72$ 分。
• 舍弃最低分作业 (Drop the lowest homework score)：这是一项人性化的政策。如果一学期有10次作业，你的第3次作业因为生病或其他原因做得非常差，只得了20分，而其他作业都在90分以上，那么在计算总作业平均分时，这次20分的作业成绩将被剔除，不计入总分。这给了学生一次犯错或遭遇意外的机会。
• 合作政策 (Collaboration Policy)：理论课程通常允许学生讨论思路，但要求独立完成作业的最终书写。这条政策会明确界定“讨论”和“抄袭”的界限。例如，可以和同学讨论“这道题应该用哪种证明方法”，但不可以看同学写的具体证明步骤。
• 学术诚信 (Academic Integrity)：这是对合作政策的延伸和强调，严禁任何形式的作弊或抄袭。违反学术诚信的后果通常非常严重，可能导致课程失败甚至被学校处分。
• 评分 (Grading)：
• 作业20%，期中考试40%，期末考试40%：清晰地列出了最终成绩的构成比例。这意味着期中和期末考试对最终成绩的影响远大于作业。
• 考试 (Exams)：
• 期中考试（3/25），期末考试（5/4）课堂进行：明确了两次关键考试的日期和形式。“课堂进行”(in-class)意味着考试是在正常的上课时间和地点举行的闭卷考试。

这部分指定了课程的主要教科书。

• 必读 (Required): 这表明这本教科书是课程的核心材料，学生必须拥有并阅读它。课程的讲授顺序、概念定义、符号表示以及大部分作业题和示例，都将紧密围绕这本书展开。
• Introduction to the Theory of Computation, by M. Sipser: 这是教科书的全名和作者。这本书通常被简称为“Sipser”。它是计算机理论领域的经典教材，以其清晰的讲解、直观的示例和对证明思想的强调而著称。这本书分为三个主要部分：自动机与语言、可计算性理论、计算复杂性理论，这恰好是这类课程的标准结构。

这部分提供了另一本参考书。

• 其他 (Other / Optional / Recommended)：这表示这本书不是强制要求购买或阅读的，而是作为补充材料。
• Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, by Hopcroft, Motwani, Ullman: 这本书通常被它的作者姓氏首字母简称为“HU”或“HMU”（早期版本是Hopcroft和Ullman，后来加入了Motwani）。这也是计算理论领域的一本里程碑式的经典教材，甚至比Sipser的书历史更悠久。
• 与Sipser的区别：相比于Sipser，HMU这本书通常被认为在某些主题上更具深度和数学上的形式化，内容也更详尽。但对于初学者来说，它的表述可能不如Sipser那么平易近人。

这部分引出了计算理论的第一个核心问题：可计算性 (Computability)。

• 可计算性：哪些计算问题可以由计算机解决？：这是本课程要探讨的根本问题之一。这里的“计算机”不是指你桌上的笔记本电脑，而是一个理想化的、数学上精确定义的计算模型（如图灵机）。“解决”意味着是否存在一个算法，对于问题的任何一个实例，都能在有限的时间内给出正确的“是”或“否”的答案。
• 并非所有！：这是一个令人震惊但至关重要的结论。存在一些定义清晰的、我们很想解决的问题，但已经被数学证明是“不可计算的”(uncomputable) 或“不可判定的”(undecidable)，即不存在任何算法能解决它们的所有实例。
• 示例1：停机问题 (The Halting Problem)
• 给定程序P（比如Java）和一个输入x，P会在输入x上终止还是会永远运行下去？：这就是著名的停机问题。我们非常希望能有一个通用的“程序分析器”，它能分析任何程序P和任何输入x，然后告诉我们这个程序会不会死循环。然而，阿兰·图灵在1936年证明了这样的通用分析器是不可能存在的。停机问题是第一个被证明的不可计算问题。
• 语法正确 vs. 语义正确
• 语法正确的程序（即合法的Java）与语义正确的程序（即做它应该做的事情）：这里通过类比帮助理解问题的难度。编译器可以轻易检查一个程序是否“语法正确”（比如括号是否匹配，变量是否声明），但无法判断这个程序是否“语义正确”（比如一个排序程序是否真的能正确排序所有数组）。停机问题，以及更广泛的程序行为分析，都属于语义范畴，因此非常困难。
• 示例2：希尔伯特第十问题/定理证明
• 给定一个数学陈述...它是一个真定理吗？：这也是一个不可计算的问题。我们无法制造一个“万能定理证明机”，输入任何数学猜想（如费马大定理），它都能自动判断这个猜想是否为真。虽然对于某些特定的陈述（如费-马大定理本身），数学家可以找到证明，但不存在一个能解决所有这类问题的通用算法。

这部分引出了计算理论的第二个核心问题：计算复杂性 (Computational Complexity)。

• 复杂性：哪些问题可以高效计算（在合理的时间内）？：在确定一个问题是“可计算的”之后，我们下一个关心的问题是：解决它需要花费多少资源？这里的“高效”通常指算法的运行时间（或所需内存）是输入规模的多项式函数（polynomial time），而不是指数函数（exponential time）。这个问题比可计算性更贴近实际应用。
• 并非所有！：即使一个问题是可计算的，也不意味着我们有实际可行的解决方案。许多可计算问题的最优解法需要指数级的时间，当输入规模稍大时，其计算时间可能比宇宙的年龄还长，这在实践中等同于无法解决。
• 示例1：高效 vs. 低效
• 排序、加法、乘法数字的快速算法：这些问题都有高效的多项式时间算法。例如，对n个数字排序可以在 $O(n \log n)$ 时间内完成。
• 但没有因式分解的：将一个大整数分解成质因数，目前已知的最快算法都需要超多项式时间（接近指数时间）。虽然它是可计算的（最笨的方法是一个个试除），但对于几百位的数字，这个过程极其缓慢。
• 因式分解的难度是当前加密协议的基础：现代公钥密码体系（如RSA）的安全性，正是建立在“将两个大素数相乘很容易，但将它们的乘积分解回那两个素数非常困难”这一计算复杂性的不对称性之上的。
• 示例2：优化问题
• 许多优化问题——调度、网络设计、资源分配等：这些问题通常属于“NP-hard”问题类。例如，旅行商问题（TSP）：找到访问n个城市并返回起点的最短路径。这类问题目前没有已知的多项式时间算法。我们能找到近似解，但找到最优解非常困难。

这部分解释了为什么我们需要一个形式化的“计算模型”来研究上述问题。

• 计算模型 (Model of Computation)：这是一个抽象的、数学化的机器，它定义了什么是“计算”以及计算是如何一步步执行的。它不是物理设备，而是一个思想实验的工具。
• 形式化的数学基础：为了能够严格地证明一个问题是不可计算的，或者一个算法是多项式时间的，我们不能依赖于模糊的“计算机”概念或者具体的编程语言（如Java、Python），因为它们太复杂且不断变化。我们需要一个简单、稳定、可以用数学语言精确描述的模型。
• 建模和抽象在科学和工程中的重要性：这是一个普遍的科学方法论。例如，在物理学中，研究物体运动时，我们常常将其抽象为没有大小的“质点”，忽略空气阻力，这样才能应用牛顿定律进行简洁的数学分析。计算模型也是对真实计算机的一种高度抽象。
• 图灵机 (Turing Machine) [Turing 1936]：这是由阿兰·图灵提出的计算模型，是理论计算机科学的基石。它非常简单，主要由三部分组成：

1. 一条无限长的纸带 (tape)，划分为一个个格子，每个格子可以写入一个符号。
2. 一个读写头 (head)，可以在纸带上左右移动，并读取或写入格子中的符号。
3. 一个有限状态控制器 (finite state control)，它根据当前状态和读到的符号，来决定下一步要写入什么符号、向左还是向右移动，以及进入哪个新状态。
   • 简单的“朴素”模型，但其能力 ⇔ 计算机：尽管图灵机看起来非常原始和低效，但它的计算能力被认为等同于任何现实中或理论上可能的计算设备。这就是著名的丘奇-图灵论题 (Church-Turing Thesis)。它声称，任何能被直觉上认为是“算法”的过程，都可以由一台图灵机来执行。这意味着，如果一个问题图灵机不能解决，那么任何计算机（包括未来的量子计算机，在标准模型下）都不能解决。
   • 精确捕捉可计算性：由于丘奇-图灵论题，“可计算的”问题被形式化地定义为“可以被一台图灵机解决的”问题。这为可计算性理论提供了坚实的数学基础。
   • 捕捉复杂性的粗略差异：我们也可以在图灵机模型上分析复杂性，例如计算图灵机解决一个问题需要走多少步（时间复杂性）或用多少纸带格子（空间复杂性）。虽然图灵机的一步操作比真实CPU的一个时钟周期慢得多，但它能很好地区分大的复杂性类别，比如多项式时间和指数时间。一个在真实计算机上是多项式时间的问题，在图灵机上通常也是多项式时间（尽管多项式的次数可能不同）。

这部分介绍了除了图灵机之外的其他计算模型，特别是那些能力“较弱”但同样重要的模型。

• 其他规范形式化 (Other Formalisms)：计算理论中不止图灵机一种模型。我们还会研究其他模型。
• 更受限制的模型 (More Restricted Models)：有些模型的能力不如图灵机强大，它们不能解决所有图灵机能解决的问题。研究这些受限模型非常有价值，因为：

1. 它们的结构更简单，某些性质（如停机问题）对于它们来说可能是可判定的。
2. 它们恰好能描述某些特定的、在现实世界中很重要的任务。
   • 文法 (Grammars) 和 形式语言 (Formal Languages) [Chomsky 1950年代]：这是另一套非常重要的形式化体系，由语言学家诺姆·乔姆斯基提出。
   • 形式语言：不是指英语或中文，而是指一个由特定规则生成的字符串的集合（这个概念后面会详细定义）。
   • 文法：是一套用于生成（或识别）一个形式语言中所有字符串的产生式规则 (production rules)。
   • 最初是自然（人类）语言的模型：乔姆斯基的初衷是希望能用数学上精确的文法规则来描述和分析人类语言（如英语）的句子结构。例如，一个简单的英语句子结构规则可以是：句子 -> 名词短语 + 动词短语。
   • 用于编程语言：这个思想被计算机科学家迅速采纳，并成为描述和实现编程语言的基石。几乎所有编程语言的语法都是通过一种叫做上下文无关文法 (Context-Free Grammar) 的形式化文法来定义的。
   • 允许在高级别...指定计算...：
   • 高级别指定计算：使用文法，我们可以从一个高的、抽象的层次来描述我们想要的“合法字符串”的结构（例如，所有合法的C++程序），而不需要去描述一台图灵机如何一步步地去检查这些字符串的每一个字符。
   • 自动编译方法：基于文法的形式化定义，计算机科学家开发出了能够自动生成解析器 (parser) 的工具（如 YACC, Bison）。解析器是编译器的一个核心组件，其任务是检查输入的代码是否符合语言的语法规则。
   • 新语言：这套理论极大地简化了设计和实现新编程语言的过程。

这部分开始正式介绍本课程的第一个主要模型：自动机 (Automata)，也常被称为状态机 (State Machines)。

• 描述系统...的行为...：自动机是一个非常强大的、通用的建模工具，它可以用来描述任何一个其行为可以被分解为“状态”和“状态之间转换”的系统。这个系统可以是物理的（如一个自动售货机），也可以是抽象的（如一个通信协议）。
• 系统状态通过动作/事件/输入以离散步骤改变：这是自动机的核心思想。
• 状态 (State)：系统在某个时间点的快照或配置。例如，一个交通信号灯的状态可以是“红灯”、“黄灯”或“绿灯”。
• 动作/事件/输入 (Action/Event/Input)：触发状态改变的原因。例如，对于交通信号灯，一个“计时器超时”的事件会触发它从“绿灯”状态变为“黄灯”状态。
• 离散步骤 (Discrete steps)：状态的变化是瞬时发生的，不存在中间状态。
• 特别关注有限自动机 (Finite Automata)：这是自动机中最简单的一种，其“状态”的数量是有限的。尽管简单，但它的应用极其广泛。
• 历史渊源：这里提到了有限自动机思想的几个早期来源，展示了其跨学科的重要性。
• McCulloch, Pitts, 神经网络（大脑模型）1943：最早的自动机思想之一源于早期对人脑神经元工作的数学建模，他们试图用简单的逻辑单元（神经元）来模拟思维过程。
• Mealy, Moore, Huffman 1954-56: 顺序开关电路 (Sequential Switching Circuits)：在电子工程领域，工程师们用状态机的模型来设计和分析数字电路，特别是那些有记忆功能的电路（如计数器、寄存器）。Mealy机和Moore机是两种稍微不同的有限自动机模型，至今仍是数字逻辑设计的基础。
• 随后，许多其他应用：这个模型很快就被发现有更广泛的应用价值，远不止于大脑模型或电路设计。

这部分列举了有限自动机在计算机科学中的一系列重要应用，以展示其强大的实用价值。

• 编译器中的词法分析 (Lexical Analysis in Compilers)：
• 编译器在处理源代码时，第一步就是“词法分析”，即把一长串的字符流（你的代码）分解成一个个有意义的“词法单元”(tokens)。例如，对于代码 if (x > 10)，词法分析器会输出：IF, LEFT_PAREN, IDENTIFIER(x), GREATER_THAN, NUMBER(10), RIGHT_PAREN。
• 用来识别这些词法单元（如标识符、数字、关键字）的程序，其核心逻辑就是一个有限自动机。这个自动机读取字符流，根据预设的规则在不同状态间转换，最终识别出一个个token。
• 模式匹配 (Pattern Matching)：
• 像grep这样的命令行工具，可以在大量文本中快速搜索一个特定的字符串或一个更复杂的模式（由正则表达式定义）。例如，搜索所有以'http'开头，以'.com'结尾的网址。
• 实现这种高效搜索的算法，其底层正是将正则表达式首先转换成一个等价的有限自动机，然后用这个自动机来“过”一遍文本。
• 语音、语言处理 (Speech and Language Processing)：
• 在自然语言处理的某些层面，有限状态模型也很有用。例如，可以用它来建模词语的形态变化（如 walk, walks, walked, walking），或者用于简单的对话系统（客服机器人），根据用户的输入在不同的对话状态中跳转。
• 协议建模 (Protocol Modeling)：
• 通信协议（如TCP/IP）本质上就是状态机。例如，一个TCP连接有“建立中”、“已建立”、“关闭中”、“已关闭”等多种状态。当收到一个特定的数据包（如SYN, ACK, FIN）时，连接状态就会按照协议规定进行转移。
• 安全协议（如TLS握手）也同样可以用状态机来描述其复杂的交互流程。
• 软件和硬件系统的验证 (Verification of Systems)：
• 这是理论计算机科学的一个重要应用领域，称为“模型检测”(Model Checking)。
• 思路是：首先，用一个大的自动机 $M$ 来对我们要验证的系统（比如一个复杂的芯片设计或一个多线程程序）的所有可能行为进行建模。然后，用另一个自动机 $P$ 来描述我们期望系统满足的“正确性属性”（例如，“系统永远不会进入死锁状态”）。
• 验证过程就变成了一个数学问题：自动机 $M$ 的行为是否总是包含在自动机 $P$ 所允许的行为之内？这个问题可以通过算法自动进行检查。

这部分从更高的层次总结了这门课程旨在培养学生的核心能力，超越了具体的知识点。

1. 发展有用的抽象和模型 (Develop useful abstractions and models)：
   • 抽象：是指从复杂的事物中剥离出核心特征，忽略不重要的细节。例如，当我们用“状态”和“转移”来描述一个复杂的微波炉时，我们就忽略了它的物理材质、电路板的具体布局等细节，只关注其逻辑行为。
   • 模型：是抽象的结果，是一个简化的、形式化的系统，可以用来分析和预测原始系统的行为。
   • 这门课程会教你如何看待一个计算问题，然后为其建立合适的数学模型（如有限自动机、下推自动机、图灵机）。
2. 严谨地推理论证它们的能力 (Rigorously reason about their capabilities)：
   • 在建立了模型之后，下一步就是用数学的语言（逻辑、集合论、证明技巧）来精确地分析这个模型。
   • “能力”包括：这个模型能解决什么问题？（计算能力）它的局限性在哪里？（例如，有限自动机无法计数）解决问题需要多少资源？（复杂性）
   • “严谨地推理论证”意味着你的结论不能是基于直觉或猜测，而必须是基于一步步无懈可击的逻辑推导（即证明）。
   • 无论你之后做什么，这都是重要的技能：教授强调，这两种能力（抽象建模和严谨论证）是具有普适性的。
   • 如果你成为一名软件工程师，你需要将模糊的客户需求抽象成清晰的软件架构，并能论证你的设计为何能满足需求且性能达标。
   • 如果你成为一名科研人员（任何领域），你需要为研究对象建立模型，并用严谨的实验和逻辑来验证你的理论。
   • 即使在日常生活中，将复杂问题分解、抓住要点、并有条理地论证自己的观点，也是一种宝贵的思维能力。

这部分概述了学习本课程所必需的数学预备知识，这些内容通常在Sipser教科书的第0章有详细介绍，作为“热身”。

• 基本数学概念和定义 (Basic Mathematical Concepts and Definitions)：
• 集合 (Sets)：是这门课的基石。状态的集合、字母表的集合、语言（字符串的集合）等等，所有东西都是用集合来定义的。你需要熟悉集合的表示法（{...}）、基本运算（并、交、差、补）和概念（子集、幂集）。
• 函数和关系 (Functions and Relations)：自动机的转移函数 $\delta$ 就是一个函数。状态之间的可达性是一种关系。你需要理解函数的定义域、值域，以及关系的性质（自反、对称、传递）。
• 图 (Graphs)：自动机通常用有向图来可视化表示，其中节点是状态，带标签的边是转移。图论中的概念（路径、连通性）会很有用。
• 字符串和语言 (Strings and Languages)：这是本课程的核心研究对象。你需要理解字符串的定义（符号的序列）、操作（连接、长度）和相关概念（前缀、后缀）。“语言”在这里特指“字符串的集合”。
• 布尔逻辑 (Boolean Logic)：逻辑运算（与、或、非、蕴含）是所有数学证明的基础。
• 证明方法 (Proof Methods)：理论计算机科学是一门以证明为核心的学科。你不仅要知道结论，更要知道如何推导出结论。
• 证明 (Proof)：一个令人信服的、展示某个陈述为真的逻辑论证过程。
• 通过构造 (Proof by Construction)：要证明“某种东西存在”，最直接的方法就是把它构造出来。例如，要证明“存在一个能识别所有偶数的自动机”，你就直接画出这个自动机。
• 通过反证法 (Proof by Contradiction)：要证明“陈述P为真”，可以先假设P为假（即“非P”为真），然后从这个假设出发，通过一系列逻辑推导，得出一个荒谬的、自相矛盾的结论（比如 $1=0$）。这就说明最初的假设“非P”是错误的，因此P必须为真。这在证明“某事不可能”时特别有用。
• 通过归纳法 (Proof by Induction)：通常用于证明一个关于所有自然数 $n$（或所有长度为 $n$ 的字符串）的陈述。它包含两步：

1. 基础步骤 (Base Case)：证明当 $n=0$ 或 $n=1$ 时陈述成立。
2. 归纳步骤 (Inductive Step)：假设当 $n=k$ 时陈述成立（归纳假设），然后利用这个假设证明当 $n=k+1$ 时陈述也成立。

这是一个用有限自动机对一个非常简单的物理设备——开关——进行建模的例子。

• 系统: 一个带按钮的灯。
• 状态: 这个系统最核心的特性是灯的两种状态：“开 (on)” 和 “关 (off)”。因此，我们可以定义一个包含两个状态的集合 $Q = \{on, off\}$。
• 输入/事件: 改变系统状态的动作是“按下按钮 (push)”。因此，输入字母表 $\Sigma = \{push\}$。
• 状态转移:
• 如果当前状态是“off”，收到输入“push”，下一个状态应该是什么？根据操作描述“如果灯灭着则打开”，下一个状态是“on”。
• 如果当前状态是“on”，收到输入“push”，下一个状态应该是什么？根据操作描述“如果灯亮着则关掉”，下一个状态是“off”。
• 图示:
• 图片中画了两个圈，分别标记为 on 和 off，代表两个状态。
• 从 off 状态画了一个箭头指向 on 状态，箭头上标记着 push。这表示：在 off 状态，发生 push 事件，转移到 on 状态。
• 从 on 状态画了一个箭头指向 off 状态，箭头上也标记着 push。这表示：在 on 状态，发生 push 事件，转移到 off 状态。
• 我们可以任意指定一个初始状态，比如假设灯一开始是关着的，那么 off 就是初始状态。

这是一个稍微复杂一点的例子，用有限自动机（FA）对一个容量为3的缓冲区进行建模。

• 系统: 一个先进先出（FIFO）的队列，最多能容纳3个项目。
• 核心特性: 我们关心的系统核心特性是缓冲区里“有多少个项目”。
• 状态: 因此，状态可以定义为缓冲区中项目的数量。由于容量为3，可能的项目数是0, 1, 2, 3。所以状态集合 $Q = \{0, 1, 2, 3\}$。
• 输入/事件: 操作有两种：“插入 (insert, 简写为 ins)” 和 “删除 (delete, 简写为 del)”。所以输入字母表 $\Sigma = \{ins, del\}$。
• 状态转移:
• 插入 (ins)：
• 如果当前在状态 $i$ 且 $i < 3$（缓冲区未满），收到输入 ins，项目数增加1，转移到状态 $i+1$。
• 例如，从状态 0，输入 ins，到状态 1。从状态 2，输入 ins，到状态 3。
• 删除 (del)：
• 如果当前在状态 $i$ 且 $i > 0$（缓冲区非空），收到输入 del，项目数减少1，转移到状态 $i-1$。
• 例如，从状态 3，输入 del，到状态 2。从状态 1，输入 del，到状态 0。
• 边界情况的处理:
• 在状态3（满）时插入: 图片中的模型采取了“忽略”策略。从状态3出发，标有 ins 的箭头指回了状态3本身。这意味着在一个满的缓冲区上执行插入操作，什么也不会发生，状态不变。
• 在状态0（空）时删除: 同样，从状态0出发，标有 del 的箭头指回了状态0。在一个空的缓冲区上执行删除操作，状态不变。
• 可选的错误状态: 讲义中提到，另一种处理边界情况的方法是引入一个“错误”状态。
• 比如，从状态3，如果输入ins，可以转移到一个专门的Error状态。一旦进入Error状态，就永远停留在那里。这在需要明确标识非法操作的场景中很有用。
• 模型的抽象层次:
• 这个FA只跟踪数量: 这是一个关键的抽象。这个模型并不知道缓冲区里存的具体是什么项目（比如是数字5还是字符串"hello"），也不知道它们的顺序。它只知道有“几个”项目。
• 如果想跟踪身份: 如果需要跟踪每个项目的内容，状态就需要变得复杂得多。例如，一个状态可能需要表示为 (item1, item2, item3)。如果项目可以是任何整数，那么状态的数量就会变成无限的，这就超出了有限自动机的范畴了。

这部分开始为计算理论建立最基础的形式化定义，从“字母表”和“字符串”开始。

• 字母表 (Alphabet):
• 定义：一个有限的、非空的符号 (symbols) 集合。用大写希腊字母 $\Sigma$ (Sigma) 表示。
• 有限: 字母表里的符号数量必须是有限的，不能是无限的。
• 非空: 字母表里至少要有一个符号。
• 符号: 符号是构成字符串的最基本、不可再分的单位。
• 示例:
• $\Sigma = \{0, 1\}$: 二进制字母表，是计算机科学中最常见的字母表。
• $\Sigma = \{0, 1, \ldots, 9\}$: 十进制数字字母表。
• $\Sigma = \{a, b, \ldots, z\}$: 小写英文字母表。
• $\Sigma = \{ins, del\}$: 在缓冲区例子中，ins和del本身被看作是不可分割的符号。
• 字符串 (String):
• 定义：由字母表 $\Sigma$ 中的符号组成的一个有限序列。
• 有限: 字符串的长度必须是有限的。我们不研究无限长的字符串。
• 序列: 符号的顺序很重要。字符串 ab 和 ba 是不同的字符串。
• 示例:
• 如果 $\Sigma = \{0, 1\}$，那么 010010 是一个字符串。
• 如果 $\Sigma = \{a, b, \ldots, z\}$，那么 abba 和 then 都是字符串。
• 空字符串 (Empty String):
• 定义：一个特殊的、不包含任何符号的字符串。
• 符号：用小写希腊字母 $\varepsilon$ (epsilon) 表示。（有时也用 $\lambda$ (lambda)）
• 字符串的长度 (Length of a String):
• 定义：字符串中包含的符号的数量。
• 符号：对于字符串 $w$，其长度表示为 $|w|$。
• 示例:
• $|\varepsilon| = 0$ (空字符串的长度是0)。
• $|0100| = 4$。
• 如果 $\Sigma = \{ins, del\}$，那么字符串 $w = \text{ins, del, ins}$ 的长度 $|w| = 3$。

这部分定义了处理字符串的几种基本操作和符号。

• 前缀 (Prefix) 和 后缀 (Suffix):
• 前缀: 字符串开头部分的一个子串。如果 $w = uv$，那么 $u$ 就是 $w$ 的一个前缀。
• 后缀: 字符串结尾部分的一个子串。如果 $w = uv$，那么 $v$ 就是 $w$ 的一个后缀。
• 示例: 对字符串 abcd
• 前缀有: ε (空串是任何串的前缀), a, ab, abc, abcd (本身也是自己的前缀)。
• 后缀有: ε (空串是任何串的后缀), d, cd, bcd, abcd (本身也是自己的后缀)。
• 连接 (Concatenation):
• 定义：将两个字符串首尾相接，形成一个更长的字符串。
• 符号：用一个点 · 表示，但通常省略。如果 $x$ 和 $y$ 是字符串，它们的连接是 $xy$。
• 示例: $x = abra, y = cadabra \Rightarrow xy = abracadabra$。
• 单位元: 空字符串 $\varepsilon$ 是连接操作的单位元（Identity Element），就像数字0是加法的单位元，1是乘法的单位元一样。任何字符串与空字符串连接，都等于其本身。即 $x\varepsilon = \varepsilon x = x$。
• 字母表的幂 (Powers of an Alphabet):
• $\Sigma^k$: 表示由字母表 $\Sigma$ 中符号构成的、所有长度恰好为k的字符串的集合。
• $\Sigma^0 = \{\varepsilon\}$: 所有长度为0的字符串的集合，里面只有一个元素，就是空字符串。
• $\Sigma^1 = \Sigma$: 所有长度为1的字符串的集合，就是字母表本身。
• $\Sigma^2$: 是将 $\Sigma^1$ 中的每个字符串与 $\Sigma^1$ 中的每个字符串连接起来得到的所有结果。例如，如果 $\Sigma = \{0, 1\}$, 那么 $\Sigma^2 = \{00, 01, 10, 11\}$。
• $\Sigma^*$ (Kleene Star, 克林星号):
• 定义：所有任意有限长度（包括零）的字符串的集合。
• 它是 $\Sigma^k$ 的并集：$\Sigma^* = \Sigma^0 \cup \Sigma^1 \cup \Sigma^2 \cup \cdots$
• 这是理论计算机科学中最重要的符号之一，代表了“所有可能的字符串”。
• $\Sigma^+$ (Kleene Plus, 克林加号):
• 定义：所有正长度（大于零）的字符串的集合。
• $\Sigma^+ = \Sigma^1 \cup \Sigma^2 \cup \cdots = \Sigma^* - \{\varepsilon\}$。

这部分给出了计算理论中“语言”的形式化定义。

• 语言 (Language):
• 定义: 对于一个给定的字母表 $\Sigma$，一个语言 $L$ 是 $\Sigma^*$ 的任意一个子集。
• 换句话说: 一个语言就是一个字符串的集合。这个定义非常宽泛。任何你能想到的字符串的集合，无论多么奇怪，只要这些字符串都构建于同一个字母表之上，它就是一个语言。
• 示例:
• 平凡的例子:
• $\varnothing$ (空集): 不包含任何字符串的语言。
• $\Sigma$ (字母表本身): 是一个语言，包含了所有长度为1的字符串。
• $\Sigma^*$: 包含了所有可能字符串的语言。
• 来自现实世界的例子:
• 英文字典: 字母表是 $\Sigma=\{a, ..., z\}$。字典里所有单词的集合是一个语言。cat 在这个语言里，但 catt 不在。
• 所有有效的C程序: 字母表是ASCII字符集。所有能被C语言编译器成功编译的源文件（字符串）的集合，构成一个非常复杂的语言。
• 数学定义的例子:
• 所有偶数: 字母表是 $\Sigma=\{0, ..., 9\}$。语言 $L = \{w \in \Sigma^* | w \text{ 代表一个偶数}\}$。所以 10, 24, 0 在 $L$ 中, 但 13, 2.5 不在。
• 所有素数: 字母表是 $\Sigma=\{0, 1\}$。语言 $L = \{w \in \{0,1\}^* | w \text{ 是一个素数的二进制表示}\}$。所以 10(2), 11(3), 101(5) 在 $L$ 中, 但 100(4) 不在。
• 编码表示的例子:
• 任何离散的数学对象（如图、矩阵、甚至自动机本身）都可以被编码 (encode) 成一个字符串。例如，一个图可以用其邻接矩阵的二进制表示来编码。
• 所有平面图的编码集合: 这是一个语言。它的成员是所有代表“可以画在平面上而边不交叉的图”的字符串。判断一个给定的字符串是否属于这个语言，是一个重要的算法问题。

这部分给出了确定性有限自动机 (Deterministic Finite Automaton, DFA) 的严格数学定义。DFA是一个五元组 $(Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$。

1. $Q$ (Q is a finite set of states):
   • 一个有限的状态集合。这是“有限自动机”中“有限”一词的来源。机器的记忆力被限制在它当前处于哪个状态。
2. $\Sigma$ (Sigma is a finite input alphabet):
   • 一个有限的输入字母表，定义了所有机器可以读取的符号。
3. $\delta$ (delta is the transition function):
   • 转移函数，是DFA的“程序”或“逻辑核心”。
   • 它的形式是 $\delta: Q \times \Sigma \to Q$。
   • 解读: 这个函数的输入是一个序对 (当前状态, 当前读取的输入符号)，输出是一个 下一个状态。
   • 确定性 (Deterministic) 的含义就体现在这里：对于任何给定的当前状态和当前输入符号，下一个状态是唯一确定的。没有选择的余地，路径是唯一的。
   • 完全定义: $\delta$ 函数必须为 $Q \times \Sigma$ 中的每一个可能的输入对都指定一个输出。不允许出现“在状态q，读到符号a，不知道该去哪”的情况。
4. $q_0$ (q_0 is the start (or initial) state):
   • $q_0 \in Q$，是 $Q$ 中的一个特殊状态，规定了机器在读取任何输入之前所处的初始位置。
5. $F$ (F is the set of accept (or final) states):
   • $F \subseteq Q$，是 $Q$ 的一个子集（可以是空集）。
   • 这些状态是“好”的或“成功的”终止状态。如果机器在读完整个输入字符串后，恰好停在了 $F$ 中的某个状态，那么我们就说这个字符串被接受 (accepted) 了。

这部分介绍了如何将DFA的抽象五元组定义可视化为一张转移图 (Transition Diagram)。

• 转移图: 本质上就是一个有向图 (directed graph)，图的各个部分对应DFA五元组的各个部分。
• 节点 (Nodes/Vertices): 图中的每个节点（通常画成一个圆圈）代表DFA状态集 $Q$ 中的一个状态。
• 边 (Edges/Arcs): 图中的箭头代表状态之间的转移。
• 边的规则: 如果转移函数规定 $\delta(q, a) = p$，那么就在图上从节点 $q$ 画一个箭头指向节点 $p$，并在这个箭头上标记符号 $a$。
• 边的合并: 如果从状态 $q$ 出发，读入好几个不同的符号 $a, b, c$ 都转移到同一个状态 $p$，我们通常只画一条从 $q$ 到 $p$ 的边，然后在边上写上 $a,b,c$。
• 开始状态的表示: 用一个没有起点的、“凭空”出现的箭头指向开始状态 $q_0$。
• 接受状态的表示: 接受状态集 $F$ 中的所有状态，都用双层圆圈来表示，以区别于普通的单圈状态。
• 图例分析:
• 图中有三个状态，我们可以叫它们 $q_1, q_2, q_3$。所以 $Q=\{q_1, q_2, q_3\}$。
• 边上标记的符号有 a 和 b。所以 $\Sigma=\{a,b\}$。
• 有一个箭头指向 $q_1$，所以 $q_1$ 是开始状态 $q_0$。
• $q_2$ 是用双圈画的，所以 $q_2$ 是接受状态。$F=\{q_2\}$。
• 转移函数 $\delta$ 可以从图中读出：
• $\delta(q_1, a) = q_2$
• $\delta(q_1, b) = q_1$
• $\delta(q_2, a) = q_2$
• $\delta(q_2, b) = q_3$
• $\delta(q_3, a) = q_2$
• $\delta(q_3, b) = q_1$

这部分介绍了表示DFA的第三种方式：转移表 (Transition Table)。这是对转移函数 $\delta$ 最直接的描述。

• 表格结构:
• 行 (Rows): 表的每一行对应DFA状态集 $Q$ 中的一个状态。
• 列 (Columns): 表的每一列对应输入字母表 $\Sigma$ 中的一个符号。
• 单元格 (Entries): 在“状态q”行和“符号a”列交叉处的单元格里，填入的就是 $\delta(q,a)$ 的结果，即下一个状态。
• 特殊状态的标记:
• 开始状态 ($q_0$): 在表示开始状态的那一行的行首，画一个箭头 →。
• 接受状态 ($F$): 在表示接受状态的那些行的行首，画一个星号 。如果一个状态既是开始状态又是接受状态，就同时画上 → 和 。
• 图例分析:
• 这个表格表示的正是上一节转移图所表示的同一个DFA。
• 行: 有三行，分别对应状态 $q_1, q_2, q_3$。
• 列: 有两列，分别对应输入符号 a 和 b。
• 标记:
• $q_1$ 行前有 →，所以 $q_1$ 是开始状态。
• $q_2$ 行前有 *，所以 $q_2$ 是接受状态。
• 单元格内容:
• $(q_1, a)$ 单元格是 $q_2$，表示 $\delta(q_1, a) = q_2$。
• $(q_1, b)$ 单元格是 $q_1$，表示 $\delta(q_1, b) = q_1$。
• ...依此类推，表格完整地定义了整个转移函数 $\delta$。

这部分展示了如何用数学符号（五元组）来精确地、概括性地描述一个具有参数k的DFA家族。

• 系统: 一个容量为k的缓冲区。这里的k是一个参数，而不是一个具体的数字（如之前的3）。
• 五元组定义:
• $Q=\{0,1,2, \ldots, k\}$: 状态集是从0到k的k+1个整数，每个整数代表缓冲区中的项目数。这是一个依赖于参数k的集合。
• $\Sigma=\{\mathrm{ins}, \mathrm{del}\}$: 字母表是固定的，包含插入和删除两个操作。
• $\delta$: 转移函数是用带有条件的数学表达式来定义的，而不是像之前那样一一列举。
• $\delta(i, \mathrm{ins}) = i+1 \text{ if } i<k \text{ else } k$:
• 解读: 如果当前状态是 $i$ (有i个项目)，并且 $i<k$ (缓冲区未满)，那么在收到ins输入后，下一个状态是 $i+1$。
• 否则 (else)，如果 $i=k$ (缓冲区已满)，那么下一个状态仍然是 $k$ (状态不变)。
• 这可以用更紧凑的数学函数 min(i+1, k) 来表示。
• $\delta(i, \mathrm{del}) = i-1 \text{ if } i>0 \text{ else } 0$:
• 解读: 如果当前状态是 $i$ 且 $i>0$ (缓冲区非空)，在收到del输入后，下一个状态是 $i-1$。
• 否则 (else)，如果 $i=0$ (缓冲区已空)，那么下一个状态仍然是 $0$ (状态不变)。
• 这可以用更紧凑的数学函数 max(i-1, 0) 来表示。
• $q_{0}=0$: 初始状态是0，代表缓冲区一开始是空的。
• $F=\{k\}$: 接受状态被定义为状态 $k$。这意味着这个DFA的目的是识别那些“恰好能把缓冲区填满”的操作序列。

这部分形式化地定义了DFA的计算过程以及它如何接受或拒绝一个字符串，并最终定义了DFA的语言。

• 计算过程 (Computation):
• 输入是一个字符串，比如 $x = a_1 a_2 \ldots a_n$。
• 1. 初始化: 计算从起始状态 $q_0$ 开始。
• 2. 迭代处理: DFA像一个处理器，一个接一个地“消耗”输入字符串中的符号。
• 第1步: 读取第一个符号 $a_1$。根据转移函数，从当前状态 $q_0$ 移动到新状态 $q_1 = \delta(q_0, a_1)$。
• 第2步: 读取第二个符号 $a_2$。从当前状态 $q_1$ 移动到新状态 $q_2 = \delta(q_1, a_2)$。
• ...
• 第i步: 读取第 $i$ 个符号 $a_i$。从当前状态 $q_{i-1}$ 移动到新状态 $q_i = \delta(q_{i-1}, a_i)$。
• 3. 结束: 这个过程一直持续到字符串的所有符号都被读取完毕。当最后一个符号 $a_n$ 被处理后，DFA会停在一个最终状态 $q_n$。
• 状态序列: 整个计算过程产生了一个状态序列 $q_0, q_1, q_2, \ldots, q_n$。注意，这些状态不一定是互不相同的，DFA可能在某些状态之间来回访问。
• 接受与拒绝 (Acceptance and Rejection):
• 判断标准: 判断一个字符串是被接受还是拒绝，只看处理完所有符号后DFA所在的最终状态 $q_n$。
• 接受 (Accept): 如果最终状态 $q_n$ 是接受状态集合 $F$ 中的一个成员 (即 $q_n \in F$)，那么输入字符串 $x$ 被DFA接受。
• 拒绝 (Reject): 如果最终状态 $q_n$ 不在 $F$ 中 (即 $q_n \notin F$)，那么输入字符串 $x$ 被DFA拒绝。
• DFA的语言 (Language of a DFA):
• 定义: 一个DFA $A$ 的语言，记作 $L(A)$，是所有能被 $A$ 接受的字符串的集合。
• 形式化: $L(A) = \{ w \in \Sigma^* \mid \text{DFA } A \text{ 接受字符串 } w \}$。
• 凡是被 $A$ 接受的字符串，都是 $L(A)$ 的成员。凡是被 $A$ 拒绝的字符串，都不是 $L(A)$ 的成员。因此，每个DFA都精确地定义了一个语言。

这部分通过一个完整的例子，将前面介绍的3槽缓冲区DFA、输入处理和语言定义串联起来。

• DFA回顾:
• 这是k=3时的缓冲区自动机。
• $Q=\{0, 1, 2, 3\}$, $\Sigma=\{\text{ins, del}\}$, $q_0=0$, $F=\{3\}$。
• 接受状态是3，代表缓冲区的“满”状态。
• 处理输入字符串:
• 输入: ins ins ins del ins
• 路径 (Path): 演示了DFA如何一步步处理这个输入。
• 开始: 状态 0
• 读 'ins': $0 \to 1$ (从状态0，$\delta(0, \text{ins})=1$)
• 读 'ins': $1 \to 2$ (从状态1，$\delta(1, \text{ins})=2$)
• 读 'ins': $2 \to 3$ (从状态2，$\delta(2, \text{ins})=3$)
• 读 'del': $3 \to 2$ (从状态3，$\delta(3, \text{del})=2$)
• 读 'ins': $2 \to 3$ (从状态2，$\delta(2, \text{ins})=3$)
• 结束: 字符串读取完毕，最终状态是 3。
• 判断: 最终状态 3 是否在接受状态集 $F=\{3\}$ 中？是的。
• 结论: 字符串 ins ins ins del ins 被这个DFA接受。
• 自动机的语言 (Language of the Automaton):
• $L(A) = $ 使缓冲区变满的操作序列集合:
• 解读: 这个DFA的目的是识别所有那些执行完之后、能让缓冲区恰好处于满（即含有3个项目）状态的操作序列。
• 换句话说: 一个字符串 $w$ 在语言 $L(A)$ 中，当且仅当 $w$ 中 ins 的数量减去 del 的数量（考虑到边界条件）最终等于3。

这部分通过一个完整的例子，将前面介绍的3槽缓冲区DFA、输入处理和语言定义串联起来。

• DFA回顾:
• 这是k=3时的缓冲区自动机。
• $Q=\{0, 1, 2, 3\}$, $\Sigma=\{\text{ins, del}\}$, $q_0=0$, $F=\{3\}$。
• 接受状态是3，代表缓冲区的“满”状态。
• 处理输入字符串:
• 输入: ins ins ins del ins
• 路径 (Path): 演示了DFA如何一步步处理这个输入。
• 开始: 状态 0
• 读 'ins': $0 \to 1$ (从状态0，$\delta(0, \text{ins})=1$)
• 读 'ins': $1 \to 2$ (从状态1，$\delta(1, \text{ins})=2$)
• 读 'ins': $2 \to 3$ (从状态2，$\delta(2, \text{ins})=3$)
• 读 'del': $3 \to 2$ (从状态3，$\delta(3, \text{del})=2$)
• 读 'ins': $2 \to 3$ (从状态2，$\delta(2, \text{ins})=3$)
• 结束: 字符串读取完毕，最终状态是 3。
• 判断: 最终状态 3 是否在接受状态集 $F=\{3\}$ 中？是的。
• 结论: 字符串 ins ins ins del ins 被这个DFA接受。
• 自动机的语言 (Language of the Automaton):
• $L(A) = $ 使缓冲区变满的操作序列集合:
• 解读: 这个DFA的目的是识别所有那些执行完之后、能让缓冲区恰好处于满（即含有3个项目）状态的操作序列。
• 换句话说: 一个字符串 $w$ 在语言 $L(A)$ 中，当且仅当 $w$ 中 ins 的数量减去 del 的数量（考虑到边界条件）最终等于3。