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1CSEE 3827：计算机系统基础（2026 年春季学期）

1. 第 1 讲

授课教师：Dan Rubenstein 教授

电子邮箱：danr@cs.columbia.edu

1Ch1. 快速公告 Quick Announcements P1

• 请填写办公时间可用性，链接如下：
• http://uribe.cs.columbia.edu/sched/table.php（截止日期：1 月 24 日，**星期六）
• 作业 #0：可以先尝试！不要提交！解答将很快提供（可能在星期五）

2Ch2. 关于讲义的说明 A note on lecture slides P2

• 本学期共有 13 份讲义
• 它们按主题分组
• 显然，我们不可能总是在一堂课中完成一套讲义。有些可能需要 2、3 或 4 次课堂讲座

3Ch3. 议程 (M&K 章节 1, 3.11, 9.7) Agenda P3

• 从（非常高层次）数字视角看计算机
• 数字/二进制
• 与十进制、十六进制
• 术语：
• 位/字节/字 & 字长
• 最高有效位 (most significant) 位，最低有效位 (least significant) 位
• 负数格式：
• 符号/幅度
• 1 的补码
• 2 的补码
• 通过二进制的浮点 (P&H 3.5 - 跳过 MIPS 子节中的 FP)
• 加法
• 乘法

4Ch4. 课程概述：构建计算机（数字视角） Course Overview: Building a computer (digital perspective) P4

• CPU：计算机的“大脑”
• 控制单元对数据通路中的数据进行计算
• 内存：存储数据（供以后使用）

• 输入/输出：与外部的接口（磁盘、网络、显示器、键盘、鼠标等）

• 课程：从这种更简单的视图（下一幻灯片）开始

1Ch4.1. 课程概述：第一季度 Course Overview: 1st quarter P5

• 课程第一季度：非常简单的视图：“计算机”不维护状态
• 输入 → 计算 → 输出（仅仅是数学函数）
• 输入相同，输出相同

2Ch4.2. 课程概述：第二季度 Course Overview: 2nd quarter P6

• 第二季度：“计算机”有内存（系统状态）
• 可以使用输入和内存中存储的内容来确定输出

3Ch4.3. 课程概述：后半部分 Course Overview: 2nd Half P7

计算机处理程序（存储在内存中）

• 程序由指令序列组成
• 程序修改也存储在内存中的数据

本学期稍后会详细介绍...

• 丹尼尔必须“打蜡，擦拭”才能掌握空手道..

• 你也必须“打蜡，擦拭”，然后我们才能进入更有趣的内容

到五月...

到五月...

到五月...

5Ch5. 不同进制的加法 Addition in different bases P8

1Ch5.1. 数制回顾：10 进制 (十进制) Number systems review: Base 10 (Decimal) P9

• 人类（通常）处理数字的方式
• 10 个数字 $=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
• 示例：4537.8 基数 10 又名 $(4537.8)_{10}$

1. 数制回顾：10 进制 (十进制) Number systems review: Base 10 (Decimal) P10

• 人类（通常）处理数字的方式
• 10 个数字 $=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
• 示例：4537.8 基数 10 又名 $(4537.8)_{10}$

• 计算机如何“思考”数字
• 2 个数字 $=\{0,1\}$
• 示例：$(1011.1)_{2}$

2Ch5.2. 数制：2 进制 (二进制) Number systems: Base 2 (Binary) P11

• 计算机如何“思考”数字
• 2 个数字 $=\{0,1\}$：我们将二进制数字称为位
• 示例：$(1011.1)_{2}$

将一列向左移会使数字的值乘以 2

3Ch5.3. 数制：16 进制 (十六进制) Number systems: Base 16 (Hexadecimal) P12

• （书呆子）人类与计算机交互的方式
• 16 个数字 = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}

1. 数制：16 进制 (十六进制) Number systems: Base 16 (Hexadecimal) P13

• （书呆子）人类与计算机交互的方式
• 16 个数字 = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}
• 示例：$(26 \mathrm{BA})$ [十六进制的替代表示法：0x26BA]

• （书呆子）人类与计算机交互的方式
• 16 个数字 $=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F\}$
• 示例：$(26 \mathrm{BA})$ [十六进制的替代表示法：0x26BA]

• 将一列向左移会使数字的值乘以 $(16)_{10}$
• 为何重要：比二进制更简洁，但相关（2 的幂）

6Ch6. 数字范围 Number ranges P14

• 无法在有限内存中映射无限的数字：限制在某个有限的范围内：必须为计算机选择表示形式
• 我可以用...来表示多少个数字

...5 个十进制数字？ $10^{5}$ 可能值 $(100,000)_{10}$

...8 个二进制数字？ $2^{8}$ 可能值 $(256)_{10}$

...4 个十六进制数字？ $16^{4}$ 可能值 $(65,536)_{10}$

7Ch7. 为什么基数 16 (十六进制) 有用 Why Base 16 (Hexadecimal) is useful P15

• 计算机以基数 2 (二进制) 工作
• 书写基数 2 数字令人困惑/费力
• 例如，$74,638_{(10)}=10110110001111000110_{(2)}$
• 基数 2 与基数 16 之间转换容易，原因如下：
• 取任何基数-2 值：
• 例如，1010111111010110101101
• 从右开始，将位分组成 4 个一组：
• 1010111111010110101101
• 从左边用 0 位填充，直到每组有 4 位：
• 001010111111010110101101
• 填充没有改变基数-2 值（接下一页）

1Ch7.1. 为什么基数 16 (十六进制) 有用（续） Why Base 16 (Hexadecimal) is useful (cont'd) P16

• 请注意，每组基数-4 位将表示 0 到 15 之间的值：用十六进制值表示
• 第 i 个数字（从右边开始）在十六进制中应该在的位置！
• 例如，看“1010” $=1 \cdot 2^{7}+0 \cdot 2^{6}+1 \cdot 2^{5}+0 \cdot 2^{4}$

• 26BA
• $=2000+600+\mathrm{BO}+\mathrm{A}$
• = 2（左移 3）+ 6（左移 2）+ B（左移 1）+ A [这些是十六进制数字]
• = 0010（左移 12）+ 0110（左移 8）+1011（左移 4）+ 1010 [这些是二进制数字]
• $=0010000000000000+011000000000+10110000+1010$
• = 0010011010111010

26 B A

2Ch7.2. 使用基数 16 Using Base 16 P17

• 对长序列的二进制\\表示很有用，例如，32-位量：
• 01101010111110100000110000111111
• 6 A F A 0 C 3 F
• 即，32-位量可以写作 6AFA0C3F，它是
• 01101010111110100000110000111111

8Ch8. 定义 & 术语 Defs & Terminology P18

1Ch8.1. 从数字视角看计算机 Computer from Digital Perspective P19

• （数字）信息：仅仅是二进制（0 和 1）的序列
• 真 = 1，假 = 0
• 数字：当计算机“看到”时转换为二进制形式
• 例如，19（10 进制）= 10011（2 进制）

. 即，$(16(1)+8(0)+4(0)+2(1)+1(1))$ 在二进制中

• 字符：分配一个特定的数值（ASCII 标准）
• 例如，' A ' $=65$ [10 进制] = 1000001 [2 进制]，' a ' $= 97 = 1100001$
• 文本是字符序列：
• “你好” = 72, 105, 32, 116, 104, 101, 114, 101

[10 进制]

• $=1001000,1101001, \ldots$

[二进制]

• 位：一个单一的二进制数字（一个‘0’或一个‘1’）
• 字节：8 位的分组，例如，10110010。问：存在多少个不同的字节？
• 字：依赖于计算机架构的位分组
• 计算机架构可以一次处理的位数
• 例如，64-位字架构期望数据以 64-位分组\\传入（并返回输出）
• 架构使用的位数称为其字长
• 观察：计算机对一次能处理的输入量有限制
• 字长限制同时的位数，限制了它们能处理的数字大小（在单个计算周期内）

2Ch8.2. 术语 2：最高/最低位/有效位 Terminology 2: Highest / Lowest Order / significant bits P20

• 左边的位是最高位（又名最重要位）
• 右边的位是最低位（又名最不重要位）

• 较高的位在作为数字读取时代表“更大”的值
• 例如，上面是 $64+16+4+2+1=87$ 如果作为无符号二进制读取
• $k$-位值的常用参考表示法：$b_{k-1} b_{k-2} b_{k-3} \ldots b_{1} b_{0}$
• 或者替代地：$\mathrm{b}_{\mathrm{k}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}-1} \mathrm{~b}_{\mathrm{k}-2} \ldots \mathrm{~b}_{2} \mathrm{~b}_{1}$

9Ch9. 模运算 Modular Arithmetic P21

1Ch9.1. 定义与基本示例 Definition & Basic Examples P22

• 定义：$X \bmod Y = \text{余数}(X / Y)$（即 0 到 $Y-1$ 之间的值）
• 例如，
• $10 \bmod 8$ 是多少？

• 定义：$\mathrm{X} \bmod \mathrm{Y} = \text{余数}(\mathrm{X} / \mathrm{Y})$（即 0 到 $\mathrm{Y}-1$ 之间的值）
• 例如，
• $10 \bmod 8$ 是多少？
• 是 2！
• 那么 $-10 \bmod 8$ 呢？

“风车”表示法：对正数顺时针移动，

对负数逆时针移动

这个风车是用于 $\bmod 8$

2Ch9.2. 负数模运算与风车表示法 Negative Modular Arithmetic & Pinwheel P23

• 定义：$X \bmod Y = \text{余数}(X / Y)$（即 0 到 $Y-1$ 之间的值）
• 例如，
• $10 \bmod 8$ 是多少？
• 是 2！
• 那么 $-10 \bmod 8$ 呢？
• 是 6！

“风车”表示法：对正数顺时针移动，对负数逆时针移动

这个风车是用于 $\bmod 8$

3Ch9.3. 模运算性质与更多示例 Properties & More Examples P24

• 定义：$X \bmod Y = \text{余数}(X / Y)$（即 0 到 $Y-1$ 之间的值）
• 例如，

$22 \bmod 5=2$

$22=5 * 4+2)$

• $100 \bmod 9=1$,
• $-10 \bmod 3=-1 \bmod 3=2 \bmod 3\left(-4^{*} 3+2\right)$
• 观察：当 $X=Z+K Y$ 对于某个整数 $K$ 时， $X \bmod Y=Z \bmod Y$
• 例如，$1 \bmod 9=100 \bmod 9: X=1, Z=100, Y=9, K=-11$

“风车”表示法：对正数顺时针移动，对负数逆时针移动

这个风车是用于 $\bmod 8$

10Ch10. 带负数表示的模运算 Modular Arithmetic with negative representations P25

• 对于 $\mathrm{X} \bmod \mathrm{Y}$，我们通常将余数定义为 0 到 $\mathrm{Y}-1$ 之间的值
• 有用的替代方法：将余数定义在 $-\mathrm{Y} / 2$ 和 $\mathrm{Y}/2-1$ 之间
• 例如，$\bmod 8$ 将使用 -4 到 3 的余数值：
• 注意：
• 7 变为 -1（它们在 $\bmod 8$ 下是相同的）
• 6 变为 -2（在 $\bmod 8$ 下也相同）
• 一直到 4 变为 -4（在 $\bmod 8$ 下相同）

“风车”表示法：对正数顺时针移动，

对负数逆时针移动

• 有用的替代方法：将余数定义在 $-\mathrm{Y} / 2$ 和 $\mathrm{Y}/2-1$ 之间
• 在此替代表示法中， $10 \bmod 8$ 是多少？

“风车”表示法：对正数顺时针移动，对负数逆时针移动

这个风车是用于 $\bmod 8$ （范围 $\mathbf{- 4}$ 到 $\mathbf{3}$ ）

对 2 的补码很重要（稍后讨论）

1Ch10.1. 替代余数定义（负范围） Alternative Remainder Definition (Negative Range) P26

• 有用的替代方法：将余数定义在 $-\mathrm{Y} / 2$ 和 $\mathrm{Y}/2-1$ 之间
• 在此替代表示法中， $10 \bmod 8$ 是多少？
• 仍然是 2！
• 那么 $-10 \bmod 8$ 呢？

“风车”表示法：对正数顺时针移动，对负数逆时针移动

这个风车是用于 $\bmod 8$ （范围 -4 到 3 ）

对 2 的补码很重要（稍后讨论）

2Ch10.2. 负范围模运算示例 Negative Range Modular Arithmetic Examples P27

• 有用的替代方法：将余数定义在 $-\mathrm{Y} / 2$ 和 $\mathrm{Y}/2-1$ 之间
• 在此替代表示法中， $10 \bmod 8$ 是多少？
• 仍然是 2！
• 那么 $-10 \bmod 8$ 呢？
• 现在是 -2！
• 那么 4 呢？

“风车”表示法：对正数顺时针移动，对负数逆时针移动

这个风车是用于 $\bmod 8$ （范围 -4 到 3 ）

对 2 的补码很重要（稍后讨论）

3Ch10.3. 更多负范围示例与补码关联 More Examples & Complement Connection P28

• 有用的替代方法：将余数定义在 $-\mathrm{Y} / 2$ 和 $\mathrm{Y}/2-1$ 之间
• 在此替代表示法中， $10 \bmod 8$ 是多少？
• 仍然是 2！
• 那么 $-10 \bmod 8$ 呢？
• 现在是 -2！

• 那么 4 呢？
• 现在是 -4（没有 4 的表示）
• 对于 $X \bmod Y$，我们通常将余数定义为 0 到 $Y-1$ 之间的值
• 有用的替代方法：将余数定义在 $-\mathrm{Y} / 2$ 和 $\mathrm{Y}/2-1$ 之间
• 例如，$\bmod 8$ 将使用 -4 到 3 的余数值：
• $4 \bmod 8=-4 \quad\left(4=8^{*} 1+(-4)\right)$
• $7 \bmod 8=-1 \quad\left(7=8^{*} 1+(-1)\right.$
• $-5 \bmod 8=3\left(-5=8^{*}-1+3\right)$

“风车”表示法：对正数顺时针移动，

对负数逆时针移动

• $30 \bmod 8=-2\left(30=8^{*} 4+(-2)\right)$

这个风车是用于 $\bmod 8$ （范围 $\mathbf{- 4}$ 到 $\mathbf{3}$ ）

• $30 \bmod 10=0\left(30=10^{\star} 3+0\right)$

对 2 的补码很重要（稍后讨论）

11Ch11. 整数 # 格式（带字长限制） Integer # Formats (with word size restriction) P29

假设 字长 $=k$（例如， $k=3$）

• 有多少不同的位序列

具有 字长 $k$？

• $2^{k}$（例如，对于 $k=3, 2^{3}=8$）

假设 字长 $=k$（例如， $k=3$）

• 有多少不同的位序列

具有 字长 $k$？

• $2^{k}$（例如，对于 $k=3, 2^{3}=8$）
• 可以将每个数值分配给一个不同的位序列：最多可以有 $2^{k}$ 个不同的数值

• 二进制序列仅表示非负值（正数或 0）
• 例如，字长 $=4$（计算机“思考”时一次使用 4 位）
• $0000=0$
• $0011=3$
• $1011=11$
• $1111=15$
• 不能用字长为 4 的无符号二进制表示 16 或更大的数字！！
• 不能用无符号二进制表示负数

12Ch12. 二进制加法算法（无符号数） Binary Addition Algorithm (of unsigned numbers) P30

• 类似于常规（基数 10）加法算法，除了：
• $1+1=0$ 带进位 1，$1+1+1=1$ 带进位 1
• 例如，字长 $=5$（所有数值表示限制为 5 位）
• 加 11110 和 $10101 (30+21)$

1Ch12.1. 二进制加法算法（无符号数） Binary Addition Algorithm (of unsigned numbers) P31

• 类似于常规（基数 10）加法，除了：
• $1+1=0$ 带进位 1，$1+1+1=1$ 带进位 1
• 例如，字长 = 5，加 11110 和 $10101 (30+21)$

• 溢出：当结果不能\\适合字长\\约束时
• 例如，上面，“正确”的答案 $110011(=51)$ 需要 6 位：不能仅用 5 位在无符号表示中表示

2Ch12.2. 模运算和溢出 Modular Arithmetic and Overflow P32

• 假设我们没有限制字长，允许\\解决方案使用\\额外的位
• 解决方案将是 $110011=51$
• 字长限制阻止了我们包含\\位 = 32
• 结果 $(19)$ 差 32，但模 $32 = \bmod 2$ 字长是正确的
• 即，$19=51 \bmod 2^{5}$
• 换句话说，固定字长内的算术计算\\余数，即正确的结果 $\bmod 2$ 字长
• 给定：计算机有固定字长（例如，4）
• 问：当受到固定字长\\约束时，如何表示正数和负数？
• 注意：我们需要位序列到值的替代映射（与无符号二进制使用的不同），以便某些位序列\\表示负数
• 答：有几种方法可以做到，有些对人类更容易，有些对计算机...

负数 \# 表示：符号位 1 的补码 2 的补码

13Ch13. 负数：符号幅度表示 Negative Numbers: Signed Magnitude representation P33

• 最高位 ($b_{k-1}$) 表示符号：$0$=正，$1$=负
• 剩余位表示幅度
• 例如，$0011=3$
• 例如，$1011=-3$
• 例如，$1000=0000=0$
• 符号幅度中的正数与无符号表示中的位数相同
• 对人类来说\\易于解释，但对计算机来说\\进行加法/减法操作\\不是最简单的形式（我们很快会看到...）
• 再次，最高位 ($b_{k-1}$) 表示符号：$0$=正，$1$=负
• 非负数与无符号数（和带符号位）表示方式相同
• 要取反一个 \#，翻转所有位（不只是\\像带符号位一样的最高位）
• 请注意，翻转所有位也会翻转最高位（符号位）
• 例如，字长 $=4$
• $0010=2$
• $1101=-2$
• 非负数与无符号数（和带符号位）表示方式相同
• 要取反一个 \#，翻转所有位（不只是\\像带符号位一样的最高位）
• 例如，字长 $=4$
• $0010=2$
• $1101=-2$
• 问：假设字长是 8，当 11101011 以 1 的补码表示一个 \# 时，它的值是多少？
• 答：设 $X=11101011$（这是一个负数）
• 通过翻转所有位来取反 X：$-\mathrm{X}=00010100$
• $-X=20$，所以 $X=-20$

14Ch14. 负数：1 的补码表示 Negative Numbers: 1's Complement representation P34

• 非负数与无符号数（和带符号位）表示方式相同
• 要取反一个 \#，翻转所有位（不只是\\像带符号位一样的最高位）
• 例如，字长 $=4$
• $0010=2$
• $1101=-2$
• 问：假设字长是 8，当 11101011 以 1 的补码表示一个 \# 时，它的值是多少？
• 答：设 $X=11101011$（这是一个负数）
• 通过翻转所有位来取反 X：$-\mathrm{X}=00010100$
• $-\mathrm{X}=20$，所以 $X=-20$
• 注意：1 的补码中表示 0 的两种方式：全 0 和全 1
• 例如，对于字长 8，00000000 和 11111111 在 1 的补码中都是 0

15Ch15. 有符号幅度 & 1 的 补码的问题 Problems with signed mag & 1's C P35

• 假设我们想要一种包含负数的表示方法，其中我们可以应用\\二进制加法算法 (BAA) 执行加法：
• 1 的补码和有符号幅度并非总是\\有效
• 例如，4-位字示例：

使用二进制加法算法

1Ch15.1. 二进制加法算法在有符号幅度下的局限性 BAA Limitations in Signed Magnitude P36

• 假设我们想要一种包含负数的表示方法，其中我们可以应用\\二进制加法算法 (BAA) 执行加法：
• 1 的补码和有符号幅度并非总是\\有效
• 例如，4-位字示例：

2Ch15.2. 符号幅度加法错误示例 Signed Magnitude Addition Error Example P37

• 假设我们想要一种包含负数的表示方法，其中我们可以应用\\二进制加法算法 (BAA) 执行加法：
• 1 的补码和有符号幅度并非总是\\有效
• 例如，4-位字示例：

使用二进制加法算法 (BAA)

3Ch15.3. 1的补码加法的问题 Problems with 1's Complement Addition P38

• 假设我们想要一种包含负数的表示方法，其中我们可以应用\\二进制加法算法执行加法：
• 1 的补码和有符号幅度并非总是\\有效
• 例如，4 位示例：

使用二进制加法算法 (BAA)

16Ch16. 负数：2 的补码表示 Negative Numbers: 2's complement representation P39

• 非负数的形式与无符号数（和有符号位）相同
• 要取反一个 \#，翻转所有位，然后（使用二进制加法算法）加 1
• 忽略溢出（只在取反 0 时发生）
• 例如，字长 = 4
• $0010=2$，所以 $1101+0001=1110=-2$
• $0011=3$，所以 $1100+0001=1101=-3$
• $1101=-3$，所以 $0010+0001=0011=3$（也可以取反\\负数！）
• $0000=0$，所以 $1111+0001=0000=0$（0 在 2 的补码中是唯一的）
• 注意：取反两种方式都适用（从正到负或从负到正）
• 例外：一个 1 后跟所有 0，例如 1000
• 对于字长 $k$，值为 $-2^{k-1}$，例如 $k=4$，值为 -8
• 注意：在 2 的补码形式中，不能用 $k$ 位表示 $2^{k-1}$ 的正值

17Ch17. 数字编码 Number encodings P40

有符号幅度和 1 的补码浪费了一个位模式：2 个表示 0

1Ch17.1. 数字编码 Number encodings P41

在 2 的补码中，二进制加法算法总是有效的（除非发生溢出）！

2Ch17.2. 使用二进制加法算法 Using binary addition algorithm P42

当发生溢出时，结果将差 $2^{\text{字长}}$

18Ch18. 2 的补码的特殊之处 What's special about 2's complement P43

• 与无符号数类似，当使用 BAA 进行加法时，结果在 $\bmod 2^{\mathrm{k}}$ 下是正确的（ $k$ 是字长）

• 无论是无符号还是 2 的 补码形式，都将落在模 $2^{k}$ 正确的值上，但如果不在\\风车上则实际值不正确

• 思考模运算（例如，$\bmod 8$）
• 如果我们选择“无符号” $\bmod 8 = (0,1,2,3,4,5,6,7)$
• $3+6 \bmod 8=1$（即 $\text{余数}(9/8)$）
• $3-6 \bmod 8=5$

1Ch18.1. 模运算与溢出的关联 Modular Arithmetic & Overflow P44

• 思考模运算（例如，$\bmod 8$）
• 如果我们选择“无符号” $\bmod 8 = (0,1,2,3,4,5,6,7)$
• $3+6 \bmod 8=1$（即 $\text{余数}(9/8)$）
• $3-6 \bmod 8=5$（也溢出）

2Ch18.2. 补码环形表示（风车） Pinwheel Representation P45

• 但也可以选择“2 的 补码” $\bmod 8 = (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3)$
• 6（即 110）将变为 -2
• $3+(-2) \bmod 8 = 3-2 \bmod 8 = 1$
• $3-(-2) \bmod 8 = 3+2 \bmod 8 = -3$

011

+110

3Ch18.3. C语言中的补码示例 C Example P46

• 但也可以选择“2 的 补码” $\bmod 8 = (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3)$

011

• 6（即 110）将变为 -2
• $3+(-2) \bmod 8 = 3-2 \bmod 8 = 1$
• $3-(-2) \bmod 8 = 3+2 \bmod 8 = -3$

```

int main() {

int x = 47;

int y=-50;

unsigned int z = 50;

printf("%d %d %uln", x, y, z);

}

```

你（无意中）在哪里使用过 2 的补码？

```

int main() {

int x = 47;

int y=-50;

unsigned int z = 50;

printf("%d %d %uln", x, y, z);

}

• The computer represents
• x and y as signed 2 's complement
• $z$ as an unsigned
• C Demo: https://onlinegdb.com/49zlpDA9P8
• Note:
• $0 \times F$ (in Hex) is $15=1111$ in (unsigned) binary
• $0 \times 8$ (in Hex) is $8=1000$ in (unsigned) binary
• $2^{32}=4,294,967,296$ and $2^{31}=2,147,483,648$

```

4Ch18.4. “翻转位+1”的直观解释 Flip bits + 1 Intuitive Proof P47

负值正好在对面

2 的补码

所有位翻转的值比\\正好在对面的值顺时针少 1 刻度

5Ch18.5. “翻转位+1”的正式证明 Flip bits + 1 Formal Proof P48

• 从任何 $k$-位字 $X$（除了 $100 \ldots 000$）开始，并以 2 的补码表示它
• 设 $Y = X$ 并翻转所有位
• $X+Y=11 \ldots 1111$（使用二进制加法算法）
• 因此，$X+Y=-1$ 在 2 的补码表示中（在“风车”上从 $00 \ldots 0000$ 逆时针旋转 1 位）
• 然后 $X+Y+1=00 \ldots 0000$（使用二进制加法算法）
• 所以 $Y+1=-X$（并且回想 $Y$ 是 $X$ 翻转所有位）

19Ch19. 表示 vs. 操作 Representation vs. Operation P49

1Ch19.1. k-位字 & 各种表示的范围 k-bit Words & Ranges P50

• 给定一个 $k$-位字，可以表示的数字范围是：
• 无符号：0 到 $2^{k}-1$（例如，$k=8$，0 到 255）
• 有符号幅度：$-2^{k-1}+1$ 到 $2^{k-1}-1$（例如，$k=8$，-127 到 127 [2 种表示 0 的方式]）
• 1 的补码：与有符号幅度相同（但负数表示方式不同）
• 2 的补码：$-2^{k-1}$ 到 $2^{k-1}-1$（例如，$k=8$，-128 到 127 [1 种表示 0 的方式]）

20Ch20. 获取表示 Getting representation P51

• 问：给定 8-位字长，10001011 的值是多少？

1Ch20.1. 获取表示 Getting representation P52

• 问：给定 8-位字长，10001011 的值是多少？
• 答：它是以无符号、有符号幅度、1 的补码还是 2 的补码表示？
• 无符号：$128+8+2+1=139$
• 有符号幅度：$-1 * (8+2+1)=-11$
• 1 的补码：01110100 的取反 $=-116$
• 2 的补码：01110101 的取反 $=-117$
• 注意：对于给定的一组位，当 \# 为负数时，2 的补码比 1 的补码小 1

21Ch21. 表示 vs. 操作 (总结) Representation vs. Operation (Summary) P53

• 我们已经讨论了表示整数的各种方法
• 无符号、有符号幅度、1 的补码、2 的补码
• 还有以位为单位的操作，名称相同
• 1 的补码操作：翻转所有位
• 2 的补码操作：翻转所有位并（BAA）加 1
• 操作可以在数字上执行，无论\\表示形式如何
• 例如，设 10111 是一个有符号幅度形式的数字（值为 -7）
• 在 10111 上执行 2 的补码（操作） $=01001$（在有符号幅度形式中值为 9）
• 观察：
• 当数字\\使用 2 的补码表示时，2 的补码操作会取反该数字
• 当数字\\使用 1 的补码表示时，1 的补码操作会取反该数字

22Ch22. 自动化减法 Automating Subtraction P54

• 问：为什么我们对 2 的补码感兴趣，尽管它\\看起来如此不直观？
• 答：自动化减法（即加符号相反的 \#）要容易得多
• 例如，字长 6，使用有符号幅度表示执行 14-21

1Ch22.1. 自动化减法示例 Automating Subtraction Example P55

• 问：为什么我们对 2 的补码感兴趣，尽管它\\看起来如此不直观？
• 答：自动化减法（即加符号相反的 \#）要容易得多
• 例如，字长 6，使用有符号幅度表示执行 14-21

• 有符号幅度有很多潜在的“繁重工作”
• 例如，翻转顶部 & 底部，“从较高位借位”等。

23Ch23. 2 的补码减法：利用 BAA 2's-complement subtraction: make use of BAA P56

• 只需取反减数（减法中的底数）并加
• 例如，字长 6，使用 2 的补码表示执行 14-21

1Ch23.1. 补码减法示例 Complement Subtraction Example P57

• 只需取反减数（减法中的底数）并加
• 例如，字长 6，使用 2 的补码表示执行 14-21

2 的补码减法：利用 BAA

• 只需取反减数（减法中的底数）并加
• 例如，字长 6，使用 2 的补码表示执行 14-21

$X=111001, -X=000111=7, X=-7$

24Ch24. 检测溢出 Detecting Overflow P58

• 问：如何判断计算结果是否溢出（即结果无法在字长约束内表示）
• 例如，4-位字，无符号：1110 + $1010 (14 + 10)$
• 结果是 24，无法在 4-位无符号中表示（只有 0-15 的值）
• 因此，溢出
• 无符号检测\\容易：
• 加法溢出

• 减法：减数大于 \#（结果为负），则溢出

25Ch25. 2 的补码中的溢出检测很简单 Overflow detection in 2's-complement is easy P59

• 需要考虑 3 种情况：
• 两个 \# 都是正数（即最高位都是 0）
• 两个 \# 都是负数（即最高位都是 1）
• 一个是正数（最高位 0），另一个\\是负数（最高位 1）

26Ch26. 为什么 2 的补码溢出检测有效的证明 Proof of why 2's complement overflow detection works P60

• 情况 1：两者皆正：
• 写下两个最高位\\进位为 A 和 B
• 写下两个最高位\\进位为 $A$ 和 $B \quad A B$
• $A=$ 进位 B $+0+0 O X_{k-2} X_{k-3} \ldots X_{0}$

$O Y_{k-2} Y_{k-3} \ldots Y_{0}$

• A 始终为 0！
• 最高位 $= B+0+0$
• $B=1$：将结果解释为负数？

错误

• $B=0$：正常（刚刚执行了无符号 $K-1$ 位

加法）

1Ch26.1. 情况2：两者皆负 Case 2: both negative P61

• 情况 2：两者皆负：
• 写下两个最高位\\进位为 A 和 B
• $A=$ 进位 B $+1+1$

• A 始终为 1！
• 最高位 = B + 1 + 1
• $B=0$：最高位 = 0：正数 \#？错误
• $B=1$：负数：正常（并且 $\bmod 2^{\mathrm{k}}$ 正确）

2Ch26.2. 情况3：一正一负 Case 3: one positive, other negative P62

• 情况 3：一个正数，另一个负数：
• 写下两个最高位\\进位为 $A$ 和 $B+X_{k-2} X_{k-3} \ldots X_{0}$
• $A=$ 进位 $(B+1): B=0 \rightarrow A=0, B=1 \rightarrow A=1 \quad 1 Y_{k-2} Y_{k-3} \ldots Y_{0}$
• 所以永远不会溢出？
• 没错！
• 注意 $X+(-Y)$ 将小于 $X$ 且大于 $-Y$
• 如果 $X$ 可以用 2 的补码表示，并且 $-Y$ 可以\\用 2 的补码表示，那么任何 $Z$ 在 $-Y \leq Z \leq X$ 之间也都可以表示。
• 不能过分强调\\溢出意味着结果无法在字长内表示（不一定\\是结果太大）！
• 示例：假设我选择一个（奇怪的）方式将 2-位字\\映射到值，如下所示：

27Ch27. 关于溢出的最后思考 Final thoughts on Overflow P63

• 不能过分强调\\溢出意味着结果无法在字长内表示（不一定\\是结果太大）！
• 示例：假设我选择一个（奇怪的）方式将 2-位字\\映射到值，如下所示：

1Ch27.1. 溢出示例分析 Overflow Example Analysis P64

• 不能过分强调\\溢出意味着结果无法在字长内表示（不一定\\是结果太大）！
• 示例：假设我选择一个（奇怪的）方式将 2-位字\\映射到值，如下所示：

$1+3$ 应该等于 4，但没有 2-位组合表示 4

因此，对于此表示，00+01 导致溢出

28Ch28. 浮点 Floating Point P65

29Ch29. 需要更大的范围？浮点表示 Need a bigger range? Floating Point Representation P66

• 改变编码。
• 浮点（用于以紧凑方式表示\\非常大的数字）
• 很像科学记数法：

尾数

注意：尾数总是采用 X.XX... 形式**

（又名小数部分）

（**小数点前一位）

1Ch29.1. 浮点表示示例 Floating Point Representation Example P67

• 改变编码。
• 浮点（用于以紧凑方式表示\\非常大的数字）
• 很像科学记数法：

尾数

注意：尾数总是采用 X.XX... 形式**

（又名小数部分）

（**小数点前一位）

• 但对于本课程，请考虑二进制：

注意：在正确形式中，对于二进制，尾数总是 1.XX... （小数点前一位，且该位\\总是 1）

唯一例外：$0=0.0 \times 2^{0}$

30Ch30. 浮点数的标准形式 Standard Forms for Floating Point Numbers P68

• 如何在 32-位字的限制内表示浮点数
• 字的位分成不同的\\字段

3130292827262524232221201918171615141312111009080706050403020100

符号 小数部分 (尾数)

• IEEE 754 标准规定
• 哪些位表示哪些\\字段（位 31 是符号位，位 30-23 是 8-位指数，位 22-00 是 23-位小数部分）
• 如何解释每个字段

31Ch31. IEEE 754 浮点描述 IEEE 754 Floating Point description P69

3130292827262524232221201918171615141312111009080706050403020100

• 符号：0 = 正数 \#，1 = 负数 \#（像有符号幅度）
• 指数：无符号，偏移量为 127
• 指数值 = 8 位无符号二进制表示 -127
• 小数部分：回想小数部分总是1.XXXXXX形式
• 省略‘1’，只表示“XXXXXXX”部分

3130292827262524232221201918171615141312111009080706050403020100

1000011011010000000000000000000

• $=(-1) \times 1.101_{(2)} \times 2^{13-127}=-1.625_{(10)} \times 2^{-114}=-7.82409 \times 10^{-35}$
• 因为表示总是 $\pm 1.\mathrm{XXXX} \times 2^{\text{yyy}}$ 形式，不能表示真正的 0
• 注意：所有位都设为 0 等于 $1.0 \times 2^{-127}$，一个非常非常小的数字，实际上是 0

32Ch32. 偏移量和浮点数比较 Bias and Comparing floats P70

• 偏移量允许指数在 -127（非常小）和 128（非常大）之间
• 问：为什么使用偏移量而不是 2 的补码或无符号幅度？
• 答：比较两个浮点数 A & B 哪个更大很容易
• 步骤 1：检查符号。A 为正，B 为负，返回 A > B。A 为负，B 为正，返回 A < B

1Ch32.1. 步骤2：检查指数 Step 2: Check exponents P71

• 偏移量允许指数在 -127（非常小）和 128（非常大）之间
• 问：为什么使用偏移量而不是 2 的补码或无符号幅度？
• 答：比较两个浮点数 A & B 哪个更大很容易
• 步骤 1：检查符号。A 为正，B 为负，返回 A > B。A 为负，B 为正，返回 A < B
• 步骤 2 (A 和 B 符号相同): 检查指数
• (A 为正且 A.指数 > B.指数) 或 (A 为负且 A.指数 < B.指数)，返回 A > B
• (A 为负且 A.指数 > B.指数) 或 (A 为正且 A.指数 < B.指数)，返回 A < B

2Ch32.2. 步骤3：检查小数部分 Step 3: Check fraction P72

• 偏移量允许指数在 -127（非常小）和 128（非常大）之间
• 问：为什么使用偏移量而不是 2 的补码或无符号幅度？
• 答：比较两个浮点数 A & B 哪个更大很容易
• 步骤 1：检查符号。A 为正，B 为负，返回 A > B。A 为负，B 为正，返回 A < B
• 步骤 2 (A 和 B 符号相同): 检查指数
• (A 为正且 A.指数 > B.指数) 或 (A 为负且 A.指数 < B.指数)，返回 A > B
• (A 为负且 A.指数 > B.指数) 或 (A 为正且 A.指数 < B.指数)，返回 A < B
• 步骤 3 (A 和 B 符号相同，指数相同): 检查小数部分
• (A 为正且 A.小数部分 > B.小数部分) 或 (A 为负且 A.小数部分 < B.小数部分)，返回 A > B
• (A 为负且 A.小数部分 > B.小数部分) 或 (A 为正且 A.小数部分 < B.小数部分)，返回 A < B

3Ch32.3. 步骤4：完全相等与有符号比较的相似性 Step 4: Full Equality & Signed Comparison P73

• 偏移量允许指数在 -127（非常小）和 128（非常大）之间
• 问：为什么使用偏移量而不是 2 的补码或无符号幅度？
• 答：比较两个浮点数 A & B 哪个更大很容易
• 步骤 1：检查符号。A 为正，B 为负，返回 A > B。A 为负，B 为正，返回 A < B
• 步骤 2 (A 和 B 符号相同): 检查指数
• (A 为正且 A.指数 > B.指数) 或 (A 为负且 A.指数 < B.指数)，返回 A > B
• (A 为负且 A.指数 > B.指数) 或 (A 为正且 A.指数 < B.指数)，返回 A < B
• 步骤 3 (A 和 B 符号相同，指数相同): 检查小数部分
• (A 为正且 A.小数部分 > B.小数部分) 或 (A 为负且 A.小数部分 < B.小数部分)，返回 A > B
• (A 为负且 A.小数部分 > B.小数部分) 或 (A 为正且 A.小数部分 < B.小数部分)，返回 A < B
• 步骤 4 (A 和 B 符号相同，指数相同，小数部分相同): 返回 A = B
• 观察：当位按照符号、指数、幅度排序时，过程\\与比较 2 个有符号幅度数相同

哪个 IEEE 754 FP \# 最大？

• 所有 + \#s，$B > A$（指数更大），$B > C$（指数相同，小数部分更大）
• 如果 \#s 简单地视为有符号幅度，会怎样？
• 结果相同：$B > C > A$

33Ch33. IEEE 754 64-位 (双精度) IEEE 754 64-bit (double) precision P74

• 在 32-位架构中描述为两个 32-位字

3130292827262524232221201918171615141312111009080706050403020100

字 2 小数部分 (低位)

• 11-位指数，偏移量为 1023
• 小数部分长 52 位（字 1 中 20 个高位，字 2 中剩余 32 个低位）

34Ch34. 下溢 Underflow P75

• 当值的幅度\\太小而无法用表示形式描述时
• 例如，在 IEEE 754 浮点中：
• $X = 1 \times 2^{-100}$ 可以通过标准表示（指数字段中的位集是什么？）
• 但是，$X^2$ 等于 $2^{-200}$ 太小，无法表示
• 最小可能指数是 -127
• 因此，尝试计算 $X*X$ 会导致下溢

35Ch35. 讲座结束 Lecture End P76

• 课程其余部分的重要要点：
• 计算机的高层视角（数字化视角）：字长这一概念
• 二进制数：负数表示法（二进制补码）
• 加法、减法、溢出、溢出检测

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