Q2

1prompt

please take a deep breath， think step by step，请扮演一位FUNDAMENTALS OF COMPUTER SYSTS的计算机专家，用详细的中文step by step地解释并回答以下双引号中的问题，名词请附上对应的英文：

让我们慢慢来，能否用详细的中文和清晰的符号表示给出题目中的从零基础的一步一步的概念解释：

能否用详细的中文和清晰的符号表示给出从零基础的一步一步的详细解题步骤，特别是看到什么的时候能够判断什么的推理链：

可以用精确的数学符号和数学表达式来展示细致严谨的推理逻辑链吗？从题目中的什么条件判断出什么，又因为什么公式推导出答案？

1. Q2

2. 将以下（十进制）数字转换为其8位二进制表示，使用：(i) 带符号位，(ii) 1的补码，(iii) 2的补码形式：

(a) $-1$

(b) $-15$

(c) $-67$

(d) $-127$

2A1

下面我用8位来做三种表示法，并把每一步的“看到什么→判断什么→怎么做”的推理链写清楚。（我会把关键名词/术语都加粗，并在后面给出对应英文。）

11. 题目在问什么

你要把给定的十进制（decimal）负数转换成8位二进制表示（8-bit binary representation），分别用三种有符号表示法（signed representation）：

1. 带符号位（sign-magnitude）
2. 1的补码（one’s complement）
3. 2的补码（two’s complement）

给定数字：$-1,,-15,,-67,,-127$

22. 三种表示法的核心规则（从零基础）

2. 1 8位结构与最高位

• 位（bit）一共8位，从左到右是 $b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0$
• 最左边 $b_7$ 是最高有效位（MSB, most significant bit）

2. 2 (i) 带符号位（sign-magnitude）

看到什么 → 判断什么：

看到“带符号位”，就知道：

• $b_7$ 是符号位（sign bit）
• $b_7=0$ 表示正数（positive）
• $b_7=1$ 表示负数（negative）

• 剩下 $7$ 位 $b_6\ldots b_0$ 表示绝对值（magnitude）的无符号二进制（unsigned binary）

算法：

1. 先算出 $|x|$ 的7位二进制（不足补前导零（leading zeros））
2. 负数就把符号位设为 $1$
3. 拼起来：$1,(\text{7位 magnitude})$

2. 3 (ii) 1的补码（one’s complement）

看到什么 → 判断什么：

看到“1的补码”，就知道负数是“把对应正数按位取反”。

规则：

• 先写出 $+|x|$ 的8位二进制（这一步很关键：是8位不是7位）
• 对每一位做按位取反（bitwise NOT）：$0\leftrightarrow 1$
• 得到 $-|x|$ 的1的补码

注意点（很常见的坑）：

• 1的补码有两个零（+0 和 -0）：00000000 和 11111111

2. 4 (iii) 2的补码（two’s complement）

看到什么 → 判断什么：

看到“2的补码”，就知道负数是“按位取反再加一”。

两种等价算法（任选一种做题）：

• 方法A：

1. 写 $+|x|$ 的8位二进制
2. 按位取反
3. 加1（+1，普通二进制加法）

• 方法B（更快）：

负数 $-x$ 的8位2补码 = $2^8 - x = 256 - x$ 的无符号二进制

33. 先把需要的正数写成8位二进制

这是后面三种方法的共同“底座”。

• $+1 =$ 00000001
• $+15 =$ 00001111
• $+67 =$ 01000011（因为 $67=64+2+1$）
• $+127=$ 01111111

44. 分别求三种表示（逐题逐项）

我把每个数字都给出三种结果，并在旁边写清楚关键步骤。

4. 1 (a) $-1$

1(i) 带符号位（sign-magnitude）

• $|1|$ 的7位 magnitude：0000001
• 符号位=1
• 结果：1 0000001 → 10000001

2(ii) 1的补码（one’s complement）

• $+1$ 的8位：00000001
• 按位取反：11111110
• 结果：11111110

3(iii) 2的补码（two’s complement）

• 在1的补码基础上 加1：11111110 + 1 = 11111111
• 结果：11111111

4. 2 (b) $-15$

1(i) 带符号位（sign-magnitude）

• $|15|$ 的7位 magnitude：0001111
• 结果：1 0001111 → 10001111

2(ii) 1的补码（one’s complement）

• $+15$ 的8位：00001111
• 按位取反：11110000
• 结果：11110000

3(iii) 2的补码（two’s complement）

• 11110000 + 1 = 11110001
• 结果：11110001

4. 3 (c) $-67$

1(i) 带符号位（sign-magnitude）

• $67$ 的7位 magnitude：1000011（正好7位）
• 结果：1 1000011 → 11000011

2(ii) 1的补码（one’s complement）

• $+67$ 的8位：01000011
• 按位取反：10111100
• 结果：10111100

3(iii) 2的补码（two’s complement）

• 10111100 + 1 = 10111101
• 结果：10111101

4. 4 (d) $-127$

1(i) 带符号位（sign-magnitude）

• $127$ 的7位 magnitude：1111111
• 结果：1 1111111 → 11111111

2(ii) 1的补码（one’s complement）

• $+127$ 的8位：01111111
• 按位取反：10000000
• 结果：10000000

3(iii) 2的补码（two’s complement）

• 10000000 + 1 = 10000001
• 结果：10000001

55. 汇总表（最容易核对）

66. 关键检查点（避免常见错误）

• 带符号位：只给7位 magnitude，别写成8位再加符号（会溢位）
• 1的补码：负数 = “对应正数的8位按位取反”，并且存在-0=11111111
• 2的补码：负数 = “1的补码再加1”，或直接算 $256-x$

如果你愿意，我也可以把每个结果用“把它当作有符号数再解码回去”的方式逐个验算一遍，确保完全一致。