第4章 高阶线性微分方程

在上一章中，针对二阶线性方程所发展出的理论结构和解法可以直接扩展到三阶及更高阶的线性方程。本章我们简要回顾这一推广，特别注意那些可能出现新现象的情况，因为高阶方程可能涉及的情况更加多样。

4.1 $n^{\text{th}}$阶线性微分方程的一般理论

一个**$n^{\text{th}}$阶线性微分方程**的形式为

$$\begin{equation*} P_{0}(t) \frac{d^{n} y}{d t^{n}}+P_{1}(t) \frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}}+\cdots+P_{n-1}(t) \frac{d y}{d t}+P_{n}(t) y=G(t) \tag{1} \end{equation*}$$

我们假设函数$P_{0}, \ldots, P_{n}$以及$G$在某个区间$I: \alpha<t<\beta$上是连续的实值函数，并且$P_{0}$在该区间内始终不为零。然后，将方程(1)两边除以$P_{0}(t)$，得到

$$\begin{equation*} L[y]=\frac{d^{n} y}{d t^{n}}+p_{1}(t) \frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}}+\cdots+p_{n-1}(t) \frac{d y}{d t}+p_{n}(t) y=g(t) \tag{2} \end{equation*}$$

由方程(2)定义的**$n$阶线性微分算符**$L$类似于第三章中引入的二阶算符。与方程(2)相关的数学理论完全类似于二阶线性方程的理论；因此，我们仅列出**$n^{\text{th}}$阶问题的结果。大多数结果的证明也类似于二阶方程**的证明，通常作为习题留给读者。

由于方程(2)涉及$y$关于$t$的**$n^{\text{th}}$阶导数**，因此，解决方程(2)需要进行$n$次积分。每次积分引入一个任意常数。因此，我们预期，为了获得唯一解，必须指定$n$个初始条件

$$\begin{equation*} y\left(t_{0}\right)=y_{0}, \quad y^{\prime}\left(t_{0}\right)=y_{0}^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\left(t_{0}\right)=y_{0}^{(n-1)} \tag{3} \end{equation*}$$

其中$t_{0}$可以是区间$I$中的任何一点，$y_{0}, y_{0}^{\prime}, \ldots, y_{0}^{(n-1)}$是任意给定的实数常数。以下定理类似于定理3.2.1，保证初值问题(2)，(3)存在解且唯一。

定理 4.1.1

如果函数$p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$和$g$在开区间$I$上是连续的，则存在唯一解$y=\phi(t)$，使其满足微分方程(2)并且满足初始条件(3)，其中$t_{0}$是$I$中的任意点。这个解在区间$I$上是存在的。

我们在此不提供该定理的证明。然而，如果系数$p_{1}, \ldots, p_{n}$是常数，那么我们可以像第三章中一样构造初值问题(2)，(3)的解；参见4.2至4.4节。即使我们在这种情况下找到了一个解，我们也不能保证它是唯一的，除非使用定理4.1.1。定理的证明可以在Ince（第3.32节）或Coddington（第6章）中找到。

齐次方程。与相应的二阶问题一样，我们首先讨论齐次方程

$$\begin{equation*} L[y]=y^{(n)}+p_{1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(t) y^{\prime}+p_{n}(t) y=0 . \tag{4} \end{equation*}$$

如果函数$y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$是微分方程(4)的解，那么通过直接计算可以得出，线性组合

$$\begin{equation*} y=c_{1} y_{1}(t)+c_{2} y_{2}(t)+\cdots+c_{n} y_{n}(t) \tag{5} \end{equation*}$$

其中$c_{1}, \ldots, c_{n}$是任意常数，也是方程(4)的解。接下来自然要问，方程(4)的每一个解是否都可以表示为$y_{1}, \ldots, y_{n}$的线性组合。如果无论初始条件(3)如何给定，都能选择常数$c_{1}, \ldots, c_{n}$使得线性组合(5)满足初始条件，那么就能成立。也就是说，对于$I$中任意选择的点$t_{0}$，以及任意选择的$y_{0}, y_{0}^{\prime}, \ldots, y_{0}^{(n-1)}$，我们必须能够确定$c_{1}, \ldots, c_{n}$，使得方程组

$$\begin{align*} c_{1} y_{1}\left(t_{0}\right)+\cdots+c_{n} y_{n}\left(t_{0}\right) & =y_{0} \\ c_{1} y_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right)+\cdots+c_{n} y_{n}^{\prime}\left(t_{0}\right) & =y_{0}^{\prime} \tag{6}\\ & \vdots \\ c_{1} y_{1}^{(n-1)}\left(t_{0}\right)+\cdots+c_{n} y_{n}^{(n-1)}\left(t_{0}\right) & =y_{0}^{(n-1)} \end{align*}$$

得以满足。方程组(6)是一组$n$个线性代数方程，只要系数矩阵的行列式不为零，就能唯一解出常数$c_{1}, \ldots, c_{n}$。另一方面，如果系数矩阵的行列式为零，则总是可以选择$y_{0}, y_{0}^{\prime}, \ldots, y_{0}^{(n-1)}$的值，使得方程组(6)没有解。因此，方程组(6)对任意值$y_{0}, y_{0}^{\prime}, \ldots, y_{0}^{(n-1)}$有解的充要条件是朗斯基行列式

$$W\left[y_{1}, \ldots, y_{n}\right]=\left|\begin{array}{cccc} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \tag{7}\\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} & \cdots & y_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & \cdots & y_{n}^{(n-1)} \end{array}\right|$$

在$t=t_{0}$处不为零。由于$t_{0}$可以是区间$I$中的任意点，因此充要条件是$W\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right]$在区间内每一点都不为零。正如二阶线性方程的情况一样，可以证明，如果$y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$是方程(4)的解，则$W\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right]$要么在区间$I$内对每个$t$都为零，要么从不为零；参见问题15。因此，我们得到以下定理。

定理 4.1.2

如果函数$p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$在开区间$I$上连续，函数$y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$是方程(4)的解，并且如果$W\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right](t) \neq 0$在$I$中的至少一个点成立，那么方程(4)的每一个解都可以表示为$y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$的线性组合。

当方程(4)的解$y_{1}, \ldots, y_{n}$的朗斯基行列式不为零时，称它们构成了一个基本解组。基本解组的存在可以像二阶线性方程一样证明（参见定理3.2.5）。

由于齐次$n^{\text{th}}$阶线性微分方程(4)的所有解都可以表示为形式(5)的线性组合，因此我们用"通解"一词来指代方程(4)的任意基本解组的线性组合。

线性相关性与独立性。接下来我们探讨基本解组与线性独立性的关系，线性独立性是线性代数研究中的核心概念。我们说函数$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}$在区间$I$上线性相关，如果存在一组常数$k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}$，并且不是全为零，使得

$$\begin{equation*} k_{1} f_{1}(t)+k_{2} f_{2}(t)+\cdots+k_{n} f_{n}(t)=0 \tag{8} \end{equation*}$$

对于区间$I$内的所有$t$。我们说函数$f_{1}, \ldots, f_{n}$在$I$上线性无关，如果它们在$I$上不线性相关。

例1

判断函数 $f_{1}(t)=1, f_{2}(t)=t$ 和 $f_{3}(t)=t^{2}$ 在区间 $I: -\infty<t<\infty$ 上是线性相关还是线性无关。

解：

构造线性组合

$$k_{1} f_{1}(t)+k_{2} f_{2}(t)+k_{3} f_{3}(t)=k_{1}+k_{2} t+k_{3} t^{2}$$

并令其等于零得到

$$\begin{equation*} k_{1}+k_{2} t+k_{3} t^{2}=0 \tag{9} \end{equation*}$$

如果方程(9)对区间 $I$ 中的所有 $t$ 都成立，那么它必然在 $I$ 中任意三个不同点处都成立。任意三点都可以满足我们的目的，但选择 $t=0, t=1$ 和 $t=-1$ 会比较方便。在这些点处计算方程(9)，得到方程组

$$\begin{align*} k_{1} & =0 \\ k_{1}+k_{2}+k_{3} & =0 \tag{10}\\ k_{1}-k_{2}+k_{3} & =0 \end{align*}$$

从方程组(10)的第一个方程可知 $k_{1}=0$；然后从其他两个方程可以推出 $k_{2}=k_{3}=0$。因此，不存在一组不全为零的常数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 使得方程(9)即使在这三个选定点处成立，更不用说在整个区间 $I$ 上成立。因此，这些给定函数在 $I$ 上不是线性相关的，所以它们必然是线性无关的。实际上，它们在任何区间上都是线性无关的。这一点可以像本例一样证明，只是可能需要选择另外的三个点。

例2

判断函数

$$f_{1}(t)=1, \quad f_{2}(t)=2+t, \quad f_{3}(t)=3-t^{2}, \quad \text { and } f_{4}(t)=4 t+t^{2}$$

在任意区间 $I$ 上是线性相关还是线性无关。

解：

构造线性组合

$$\begin{align*} k_{1} f_{1}(t)+k_{2} f_{2}(t)+k_{3} f_{3}(t)+k_{4} f_{4}(t) & =k_{1}+k_{2}(2+t)+k_{3}\left(3-t^{2}\right)+k_{4}\left(4 t+t^{2}\right) \\ & =\left(k_{1}+2 k_{2}+3 k_{3}\right)+\left(k_{2}+4 k_{4}\right) t+\left(-k_{3}+k_{4}\right) t^{2} \tag{11} \end{align*}$$

要使这个表达式在整个区间上为零，充分条件是

$$k_{1}+2 k_{2}+3 k_{3}=0, \quad k_{2}+4 k_{4}=0, \quad-k_{3}+k_{4}=0 .$$

这三个方程有四个未知数，有多个解。例如，如果取 $k_{4}=1$，则 $k_{3}=1, k_{2}=-4$，且 $k_{1}=5$。如果我们在方程(11)中使用这些系数值，那么这些函数满足线性关系

$$5 f_{1}(t)-4 f_{2}(t)+f_{3}(t)+f_{4}(t)=0$$

对于任意 $t$ 值都成立。因此，这些给定函数在任意区间上都是线性相关的。

线性无关性的概念为齐次方程(4)的基本解组提供了另一种刻画。假设函数 $y_{1}, \ldots, y_{n}$ 是方程(4)在区间 $I$ 上的解，考虑方程

$$\begin{equation*} k_{1} y_{1}(t)+\cdots+k_{n} y_{n}(t)=0 . \tag{12} \end{equation*}$$

通过反复对方程(12)求导数，我们得到另外 $n-1$ 个方程

$$\begin{align*} k_{1} y_{1}^{\prime}(t)+\cdots+k_{n} y_{n}^{\prime}(t) & =0 \\ & \vdots \tag{13}\\ k_{1} y_{1}^{(n-1)}(t)+\cdots+k_{n} y_{n}^{(n-1)}(t) & =0 \end{align*}$$

由方程(12)和(13)组成的系统是一个关于未知数 $k_{1}, \ldots, k_{n}$ 的 $n$ 个线性代数方程组。这个系统的系数行列式就是 $y_{1}, \ldots, y_{n}$ 的朗斯基行列式 $W\left[y_{1}, \ldots, y_{n}\right](t)$。这导致了以下定理。

定理4.1.3

如果 $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ 构成齐次 $n$ 阶线性微分方程(4)

$$L[y]=y^{(n)}+p_{1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(t) y^{\prime}+p_{n}(t) y=0$$

在区间 $I$ 上的一个基本解组，则 $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ 在 $I$ 上线性无关。反之，如果 $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ 是方程(4)在 $I$ 上的线性无关解，则它们构成 $I$ 上的一个基本解组。

为证明这个定理，首先假设 $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ 构成齐次微分方程(4)在 $I$ 上的一个基本解组。则朗斯基行列式 $W\left[y_{1}, \ldots, y_{n}\right](t)$ 在 $I$ 中的每一点都不为零。因此，系统(12)，(13)在 $I$ 中的每一点 $t$ 处只有零解 $k_{1}=\cdots=k_{n}=0$。因此 $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ 在 $I$ 上不可能线性相关，所以必然线性无关。

为证明逆命题，设 $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ 在 $I$ 上线性无关。为证明它们构成基本解组，我们需要证明它们的朗斯基行列式在 $I$ 中从不为零。假设这不成立；则存在至少一点 $t_{0}$ 使得朗斯基行列式为零。在这一点，系统(12)，(13)有非零解；记为 $k_{1}^{*}, \ldots, k_{n}^{*}$。现在构造线性组合

$$\begin{equation*} \phi(t)=k_{1}^{*} y_{1}(t)+\cdots+k_{n}^{*} y_{n}(t) \tag{14} \end{equation*}$$

则 $y=\phi(t)$ 满足初值问题

$$\begin{equation*} L[y]=0, \quad y\left(t_{0}\right)=0, \quad y^{\prime}\left(t_{0}\right)=0, \ldots, y^{(n-1)}\left(t_{0}\right)=0 \tag{15} \end{equation*}$$

函数 $\phi$ 满足微分方程是因为它是解的线性组合；它满足初始条件是因为这些条件就是系统(12)，(13)在 $t_{0}$ 处的方程。然而，函数 $y(t)=0$ 对所有 $t \in I$ 也是这个初值问题的解，且根据定理4.1.1，初值问题(15)的解是唯一的。因此 $\phi(t)=0$ 对所有 $t \in I$ 成立。结果，$y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ 在 $I$ 上线性相关，这与假设矛盾。因此，假设存在朗斯基行列式为零的点是不成立的。所以，朗斯基行列式在 $I$ 上从不为零，证毕。

注意，对于不是齐次线性微分方程(4)的解的一组函数 $f_{1}, \ldots, f_{n}$，定理4.1.3的逆命题不一定成立。它们可能在 $I$ 上线性无关，即使它们的朗斯基行列式在某些点或甚至所有点都为零，但在不同点处有不同的常数组 $k_{1}, \ldots, k_{n}$。参见问题18中的例子。

非齐次方程。

现在考虑非齐次方程(2)

$$L[y]=y^{(n)}+p_{1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n}(t) y=g(t)$$

如果 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 是方程(2)的任意两个解，则由算子 $L$ 的线性性质立即可得

$$L\left[Y_{1}-Y_{2}\right](t)=L\left[Y_{1}\right](t)-L\left[Y_{2}\right](t)=g(t)-g(t)=0$$

因此，非齐次方程(2)的任意两个解的差是齐次微分方程(4)的解。由于齐次方程的任意解都可以表示为基本解组 $y_{1}, \ldots, y_{n}$ 的线性组合，因此非齐次微分方程(2)的任意解都可以写成

$$\begin{equation*} y=c_{1} y_{1}(t)+c_{2} y_{2}(t)+\cdots+c_{n} y_{n}(t)+Y(t) \tag{16} \end{equation*}$$

其中 $Y$ 是非齐次微分方程(2)的某个特解。线性组合(16)称为非齐次方程(2)的通解。

因此,主要问题是确定齐次 $n$ 阶线性微分方程(4)的一个基本解组 $\left\{y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}$。如果系数是常数,这是一个相当简单的问题；这将在下一节讨论。如果系数不是常数,通常需要使用第8章中的数值方法或类似于第5章的级数方法。随着方程阶数的增加,这些方法往往变得更加繁琐。

要在方程(16)中找到一个特解 $Y(t)$,待定系数法和参数变分法仍然可用。这些方法将分别在4.3节和4.4节中讨论和说明。

降阶法(第3.4节)也适用于 $n$ 阶线性微分方程。如果 $y_{1}$ 是方程(4)的一个解,那么代换 $y=v(t) y_{1}(t)$ 会导出关于 $v^{\prime}$ 的一个 $n-1$ 阶线性微分方程(当 $n=3$ 时的情况见问题19)。然而,如果 $n \geq 3$,降阶后的方程本身至少是二阶的,而且很少会比原方程简单很多。因此,在实践中,降阶法对于高于二阶的方程很少有用。

习题

对于习题1至4,确定解一定存在的区间。

1. $y^{(4)}+4 y^{\prime \prime \prime}+3 y=t$
2. $t(t-1) y^{(4)}+e^{t} y^{\prime \prime}+4 t^{2} y=0$
3. $(x-1) y^{(4)}+(x+1) y^{\prime \prime}+(\tan x) y=0$
4. $\left(x^{2}-4\right) y^{(6)}+x^{2} y^{\prime \prime \prime}+9 y=0$

对于习题5至7,判断给定函数是线性相关还是线性无关。如果是线性相关的,找出它们之间的线性关系。 5. $f_{1}(t)=2 t-3, f_{2}(t)=t^{2}+1, f_{3}(t)=2 t^{2}-t$ 6. $f_{1}(t)=2 t-3, f_{2}(t)=2 t^{2}+1, f_{3}(t)=3 t^{2}+t$ 7. $f_{1}(t)=2 t-3, f_{2}(t)=t^{2}+1, f_{3}(t)=2 t^{2}-t$, $f_{4}(t)=t^{2}+t+1$

对于习题8至11,验证给定函数是微分方程的解,并求出它们的朗斯基行列式。 8. $y^{(4)}+y^{\prime \prime}=0 ; \quad 1, t, \cos t, \sin t$ 9. $y^{\prime\prime\prime}+2 y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2 y=0 ; \quad e^{t}, e^{-t}, e^{-2 t}$ 10. $x y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}=0 ; 1, x, x^{3}$ 11. $x^{3} y^{\prime\prime\prime}+x^{2} y^{\prime\prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0 ; \quad x, x^{2}, 1/x$

12. a. 通过直接计算朗斯基行列式,证明对所有 $t$ 都有 $W\left[5, \sin^{2} t, \cos(2t)\right]=0$。 b. 不通过直接计算朗斯基行列式来证明同样的结果。
13. 验证由下式定义的微分算子

$$L[y]=y^{(n)}+p_{1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n}(t) y$$

是一个线性微分算子。即证明

$$L\left[c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2}\right]=c_{1} L\left[y_{1}\right]+c_{2} L\left[y_{2}\right],$$

其中 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是 $n$ 次可微函数, $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是任意常数。因此,证明如果 $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ 是 $L[y]=0$ 的解,那么线性组合 $c_{1} y_{1}+\cdots+c_{n} y_{n}$ 也是 $L[y]=0$ 的解。

14. 设线性微分算子 $L$ 由下式定义

$$L[y]=a_{0} y^{(n)}+a_{1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{n} y,$$

其中 $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ 是实常数。 a. 求 $L\left[t^{n}\right]$。 b. 求 $L\left[e^{r t}\right]$。 c. 求方程 $y^{(4)}-5 y^{\prime\prime}+4 y=0$ 的四个解。你认为这四个解构成基本解组吗？为什么？

15. 在本题中,我们展示如何将定理3.2.7(Abel定理)推广到高阶方程。我们首先概述三阶方程的处理过程

$$y^{\prime\prime\prime}+p_{1}(t) y^{\prime\prime}+p_{2}(t) y^{\prime}+p_{3}(t) y=0 .$$

设 $y_{1}, y_{2}$ 和 $y_{3}$ 是该方程在区间 $I$ 上的解。 a. 如果 $W=W\left[y_{1}, y_{2}, y_{3}\right]$,证明

$$W^{\prime}=\left|\begin{array}{lll} y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} & y_{3}^{\prime} \\ y_{1}^{\prime\prime\prime} & y_{2}^{\prime\prime\prime} & y_{3}^{\prime\prime\prime} \end{array}\right| .$$

提示：3×3行列式的导数是分别对第一、第二和第三行求导得到的三个3×3行列式之和。

b. 用微分方程中的表达式代入 $y_{1}^{\prime\prime\prime}, y_{2}^{\prime\prime\prime}$ 和 $y_{3}^{\prime\prime\prime}$；将第一行乘以 $p_{3}$,将第二行乘以 $p_{2}$,并将这些加到最后一行,得到

$$W^{\prime}=-p_{1}(t) W .$$

c. 证明

$$W\left[y_{1}, y_{2}, y_{3}\right](t)=c \exp \left(-\int p_{1}(t) d t\right)$$

由此可知 $W$ 在 $I$ 上要么恒为零要么处处非零。

d. 将这个论证推广到 $n$ 阶方程

$$y^{(n)}+p_{1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n}(t) y=0$$

及其解 $y_{1}, \ldots, y_{n}$。即证明Abel公式

$$\begin{equation*} W\left[y_{1}, \ldots, y_{n}\right](t)=c \exp \left(-\int p_{1}(t) d t\right) \tag{17} \end{equation*}$$

对这种情况成立。

对于习题16和17,使用Abel公式(17)求给定微分方程的基本解组的朗斯基行列式。 16. $y^{\prime\prime\prime}+2 y^{\prime\prime}-y^{\prime}-3 y=0$ 17. $t y^{\prime\prime\prime}+2 y^{\prime\prime}-y^{\prime}+t y=0$

18. 设 $f(t)=t^{2}|t|$ 且 $g(t)=t^{3}$。 a. 证明函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 在 $0<t<1$ 上线性相关。 b. 证明函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 在 $-1<t<0$ 上线性相关。 c. 证明函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 在 $-1<t<1$ 上线性无关。 d. 证明对 $-1<t<1$ 中的所有 $t$ 都有 $W[f,g](t)=0$。 e. 解释为什么c和d的结果不与定理4.1.3矛盾。
19. 证明如果 $y_{1}$ 是方程

$$y^{\prime\prime\prime}+p_{1}(t) y^{\prime\prime}+p_{2}(t) y^{\prime}+p_{3}(t) y=0$$

的一个解,那么代换 $y=y_{1}(t) v(t)$ 会导出关于 $v^{\prime}$ 的如下二阶方程：

$$y_{1} v^{\prime\prime\prime}+\left(3 y_{1}^{\prime}+p_{1} y_{1}\right) v^{\prime\prime}+\left(3 y_{1}^{\prime\prime}+2 p_{1} y_{1}^{\prime}+p_{2} y_{1}\right) v^{\prime}=0 .$$

对于习题20和21,使用降阶法(习题19)求解给定的微分方程。 20. $(2-t) y^{\prime\prime\prime}+(2 t-3) y^{\prime\prime}-t y^{\prime}+y=0, \quad t<2 ; \quad y_{1}(t)=e^{t}$ 21. $t^{2}(t+3) y^{\prime\prime\prime}-3 t(t+2) y^{\prime\prime}+6(1+t) y^{\prime}-6 y=0, t>0$; $y_{1}(t)=t^{2}, \quad y_{2}(t)=t^{3}$