4.3 待定系数法

具有常系数的非齐次 nn 阶线性微分方程

L[y]=a0y(n)+a1y(n−1)+⋯+an−1y′+any=g(t)\begin{equation*} L[y]=a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y^{\prime}+a_ny=g(t) \tag{1} \end{equation*}

的特解 YY 可以用待定系数法求得,前提是非齐次项 g(t)g(t) 具有适当的形式。虽然待定系数法不如下一节将要讨论的参数变分法普适,但在适用的情况下通常更容易使用。

就像二阶线性微分方程一样,当常系数线性微分算子 LL 作用于多项式 A0tm+A1tm−1+⋯+AmA_0t^m+A_1t^{m-1}+\cdots+A_m、指数函数 eαte^{\alpha t} 或正弦和余弦函数的线性组合 a1cos⁡(βt)+a2sin⁡(βt)a_1\cos(\beta t)+a_2\sin(\beta t) 时,结果分别是多项式、指数函数或正弦和余弦函数的线性组合。因此,如果 g(t)g(t) 是多项式、指数函数、正弦和余弦函数的和,或者这些函数的乘积,我们可以期望通过选择适当的多项式、指数函数等的组合,并乘以若干个待定常数来找到 Y(t)Y(t)。这些常数随后通过将假设的表达式代入非齐次线性微分方程(1)来确定。

在高阶方程中使用这种方法的主要区别源于特征多项式方程的根可能具有大于2的重数。因此,为了使非齐次部分的解与相应齐次方程解中的项不同,所提出的项可能需要乘以更高次幂的 tt。下面的例子说明了这一点。在这些例子中,我们省略了许多直接的代数步骤,因为我们的主要目标是展示如何得到假设解的正确形式。

例1

求微分方程

y′′′−3y′′+3y′−y=4et.\begin{equation*} y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=4e^t . \tag{2} \end{equation*}

的通解。

解：

对应于方程(2)的齐次方程的特征多项式是

r3−3r2+3r−1=(r−1)3r^3-3r^2+3r-1=(r-1)^3

所以齐次方程的通解是

yc(t)=c1et+c2tet+c3t2et.\begin{equation*} y_c(t)=c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t . \tag{3} \end{equation*}

为了找到方程(2)的特解 Y(t)Y(t),我们首先假设 Y(t)=AetY(t)=Ae^t。然而,由于 et,tete^t, te^t 和 t2ett^2e^t 都是齐次方程的解,我们必须将这个初始选择乘以 t3t^3。因此我们最终假设 Y(t)=At3etY(t)=At^3e^t,其中 AA 是待定系数。

为了找到 AA 的正确值,对 Y(t)Y(t) 求三次导数,将 yy 及其导数代入方程(2),并整理所得方程中的项。这样我们得到

6Aet=4et6Ae^t=4e^t

因此 A=23A=\frac{2}{3},特解为

Y(t)=23t3et\begin{equation*} Y(t)=\frac{2}{3}t^3e^t \tag{4} \end{equation*}

非齐次微分方程(2)的通解是方程(3)中的 yc(t)y_c(t) 和方程(4)中的 Y(t)Y(t) 的和：

y=c1et+c2tet+c3t2et+23t3et.y=c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t+\frac{2}{3}t^3e^t .

例2

求微分方程

y(4)+2y′′+y=3sin⁡t−5cos⁡t\begin{equation*} y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=3\sin t-5\cos t \tag{5} \end{equation*}

的特解。

解：

齐次方程的通解在第4.2节的例3中已经求得；它是

yc(t)=c1cos⁡t+c2sin⁡t+c3tcos⁡t+c4tsin⁡t\begin{equation*} y_c(t)=c_1\cos t+c_2\sin t+c_3t\cos t+c_4t\sin t \tag{6} \end{equation*}

对应于特征方程的根 r=i,i,−ir=i,i,-i 和 −i-i。我们对特解的初始假设是 Y(t)=Asin⁡t+Bcos⁡tY(t)=A\sin t+B\cos t,但我们必须将这个选择乘以 t2t^2 以使其与齐次方程的所有解不同。因此我们最终的假设是

Y(t)=At2sin⁡t+Bt2cos⁡tY(t)=At^2\sin t+Bt^2\cos t

接下来,我们对 Y(t)Y(t) 求四次导数,代入微分方程(5),并整理项,最终得到

−8Asin⁡t−8Bcos⁡t=3sin⁡t−5cos⁡t-8A\sin t-8B\cos t=3\sin t-5\cos t

因此 A=−38,B=58A=-\frac{3}{8}, B=\frac{5}{8},方程(4)的特解是

Y(t)=−38t2sin⁡t+58t2cos⁡t\begin{equation*} Y(t)=-\frac{3}{8}t^2\sin t+\frac{5}{8}t^2\cos t \tag{7} \end{equation*}

如果 g(t)g(t) 是几个项的和,在实践中分别计算对应于 g(t)g(t) 中每一项的特解可能更容易。就像二阶微分方程一样,完整问题的特解是各个分量问题的特解之和。下面的例子说明了这一点。

例3

求微分方程

y′′′−4y′=t+3cos⁡t+e−2t\begin{equation*} y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=t+3\cos t+e^{-2t} \tag{8} \end{equation*}

的特解。

解：

首先求解齐次方程。特征方程是 r3−4r=0r^3-4r=0,根是 r=0,±2r=0,\pm 2；因此

yc(t)=c1+c2e2t+c3e−2t.y_c(t)=c_1+c_2e^{2t}+c_3e^{-2t} .

我们可以将方程(8)的特解写成以下微分方程的特解之和

y′′′−4y′=t,y′′′−4y′=3cos⁡t,y′′′−4y′=e−2t.y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=t, \quad y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=3\cos t, \quad y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime}=e^{-2t} .

对于第一个方程,我们对特解 Y1(t)Y_1(t) 的初始选择是 A0t+A1A_0t+A_1,但由于常数是齐次方程的解,所以我们乘以 tt。因此

Y1(t)=t(A0t+A1).Y_1(t)=t(A_0t+A_1) .

对于第二个方程,我们选择

Y2(t)=Bcos⁡t+Csin⁡tY_2(t)=B\cos t+C\sin t

并且不需要修改这个初始选择,因为 sin⁡t\sin t 和 cos⁡t\cos t 不是齐次方程的解。最后,对于第三个方程,由于 e−2te^{-2t} 是齐次方程的解,我们假设

Y3(t)=Ete−2tY_3(t)=Ete^{-2t}

通过代入各个微分方程来确定常数；它们是 A0=−18,A1=0,B=0,C=−35A_0=-\frac{1}{8}, A_1=0, B=0, C=-\frac{3}{5} 和 E=18E=\frac{1}{8}。因此方程(8)的特解是

Y(t)=−18t2−35sin⁡t+18te−2t.\begin{equation*} Y(t)=-\frac{1}{8}t^2-\frac{3}{5}\sin t+\frac{1}{8}te^{-2t} . \tag{9} \end{equation*}

你应该记住,对于高阶方程,计算系数所需的代数运算量可能相当大,特别是当非齐次项稍微复杂时。计算机代数系统在执行这些代数计算时可能非常有帮助。

待定系数法可以在任何可以猜测 Y(t)Y(t) 正确形式的情况下使用。然而,对于没有常系数的微分方程,或者对于前面描述的类型以外的非齐次项,这通常是不可能的。对于更复杂的问题,我们可以使用参数变分法,这将在下一节讨论。

习题

在习题1至6中,求给定微分方程的通解。

  1. y′′′−y′′−y′+y=2e−t+3y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=2e^{-t}+3
  2. y(4)−y=3t+cos⁡ty^{(4)}-y=3t+\cos t
  3. y′′′+y′′+y′+y=e−t+4ty^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=e^{-t}+4t
  4. y(4)−4y′′=t2+ety^{(4)}-4y^{\prime\prime}=t^2+e^t
  5. y(4)+2y′′+y=3+cos⁡2ty^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=3+\cos 2t
  6. y(6)+y′′′=ty^{(6)}+y^{\prime\prime\prime}=t

在习题7至9中,求给定初值问题的解,并绘制其图像。 G 7. y′′′+4y′=t;y(0)=y′(0)=0,y′′(0)=1y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime}=t ; \quad y(0)=y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime\prime}(0)=1 (G) 8. y(4)+2y′′+y=3t+4;y(0)=y′(0)=0y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=3t+4 ; \quad y(0)=y^{\prime}(0)=0, y′′(0)=y′′′(0)=1y^{\prime\prime}(0)=y^{\prime\prime\prime}(0)=1 G 9. y(4)+2y′′′+y′′+8y′−12y=12sin⁡t−e−ty^{(4)}+2y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}+8y^{\prime}-12y=12\sin t-e^{-t}; y(0)=3,y′(0)=0,y′′(0)=−1,y′′′(0)=2y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime\prime}(0)=-1, \quad y^{\prime\prime\prime}(0)=2

在习题10至13中,如果要使用待定系数法,确定 Y(t)Y(t) 的适当形式。不要计算具体系数。 10. y′′′−2y′′+y′=t3+2ety^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+y^{\prime}=t^3+2e^t 11. y′′′−y′=te−t+2cos⁡ty^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=te^{-t}+2\cos t 12. y(4)−y′′′−y′′+y′=t2+4+tsin⁡ty^{(4)}-y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}=t^2+4+t\sin t 13. y(4)+2y′′′+2y′′=3et+2te−t+e−tsin⁡ty^{(4)}+2y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}=3e^t+2te^{-t}+e^{-t}\sin t

  1. 考虑非齐次 nn 阶线性微分方程

a0y(n)+a1y(n−1)+⋯+any=g(t)\begin{equation*} a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=g(t) \tag{10} \end{equation*}

其中 a0,…,ana_0,\ldots,a_n 是常数。验证如果 g(t)g(t) 具有形式

eαt(b0tm+⋯+bm)e^{\alpha t}(b_0t^m+\cdots+b_m)

那么代换 y=eαtu(t)y=e^{\alpha t}u(t) 将方程(10)化为形式

k0u(n)+k1u(n−1)+⋯+knu=b0tm+⋯+bm,\begin{equation*} k_0u^{(n)}+k_1u^{(n-1)}+\cdots+k_nu=b_0t^m+\cdots+b_m, \tag{11} \end{equation*}

其中 k0,…,knk_0,\ldots,k_n 是常数。用 aa 和 α\alpha 表示 k0k_0 和 knk_n。因此,求原方程特解的问题简化为求一个具有常系数和多项式非齐次项的方程的特解问题。

消去子法。在习题15至17中,我们考虑另一种在待定系数法中得到 Y(t)Y(t) 适当形式的方法。这个方法基于以下观察：指数项、多项式项或正弦项(或这些项的和与积)可以看作某些常系数线性齐次微分方程的解。使用符号 DD 表示 ddt\frac{d}{dt} 是很方便的。例如,e−te^{-t} 是 (D+1)y=0(D+1)y=0 的解；微分算子 D+1D+1 被称为消去 e−te^{-t} 的算子,或称为 e−te^{-t} 的消去子。同样地,D2+4D^2+4 是 sin⁡2t\sin 2t 或 cos⁡2t\cos 2t 的消去子,(D−3)2=D2−6D+9(D-3)^2=D^2-6D+9 是 e3te^{3t} 或 te3tte^{3t} 的消去子,以此类推。

  1. 证明常系数线性微分算子满足交换律。即证明对任意二阶可微函数 ff 和任意常数 aa 和 bb,有

(D−a)(D−b)f=(D−b)(D−a)f(D-a)(D-b)f=(D-b)(D-a)f

这个结果立即推广到任意有限个因子。

  1. 考虑求方程

(D−2)3(D+1)Y=3e2t−te−t\begin{equation*} (D-2)^3(D+1)Y=3e^{2t}-te^{-t} \tag{12} \end{equation*}

的特解 Y(t)Y(t) 的形式的问题,其中方程左边是按特征多项式的因式分解写出的。

a. 证明 D−2D-2 和 (D+1)2(D+1)^2 分别是方程(12)右边各项的消去子,且组合算子 (D−2)(D+1)2(D-2)(D+1)^2 同时消去方程(12)右边的两项。

b. 将算子 (D−2)(D+1)2(D-2)(D+1)^2 作用于方程(12),并利用习题15的结果得到

(D−2)4(D+1)3Y=0.\begin{equation*} (D-2)^4(D+1)^3Y=0 . \tag{13} \end{equation*}

因此 YY 是齐次方程(13)的解。通过求解方程(13),证明

Y(t)=c1e2t+c2te2t+c3t2e2t+c4t3e2t+c5e−t+c6te−t+c7t2e−t,\begin{align*} Y(t) & =c_1e^{2t}+c_2te^{2t}+c_3t^2e^{2t}+c_4t^3e^{2t}+c_5e^{-t} \\ & +c_6te^{-t}+c_7t^2e^{-t}, \tag{14} \end{align*}

其中 c1,…,c7c_1,\ldots,c_7 是待定常数。

c. 注意到 e2t,te2t,t2e2te^{2t}, te^{2t}, t^2e^{2t} 和 e−te^{-t} 是对应于方程(12)的齐次方程的解；因此这些项在求非齐次方程的解时没有用。所以,在方程(14)中取 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3 和 c5c_5 为零,得到

Y(t)=c4t3e2t+c6te−t+c7t2e−t\begin{equation*} Y(t)=c_4t^3e^{2t}+c_6te^{-t}+c_7t^2e^{-t} \tag{15} \end{equation*}

这就是方程(12)的特解 YY 的形式。系数 c4,c6c_4, c_6 和 c7c_7 的值可以通过将方程(15)代入微分方程(12)求得。

消去子法总结。假设

L(D)y=g(t),\begin{equation*} L(D)y=g(t), \tag{16} \end{equation*}

其中 L(D)L(D) 是常系数线性微分算子,且 g(t)g(t) 是指数项、多项式项或正弦项的和或积。要找到方程(16)的特解的形式,可以按如下步骤进行：

a. 找到一个常系数微分算子 H(D)H(D) 使其消去 g(t)g(t) ——即找到一个使得 H(D)g(t)=0H(D)g(t)=0 的算子。

b. 将 H(D)H(D) 作用于方程(16),得到

H(D)L(D)y=0\begin{equation*} H(D)L(D)y=0 \tag{17} \end{equation*}

这是一个更高阶的齐次方程。

c. 求解方程(17)。

d. 从步骤c中得到的解中去掉也出现在 L(D)y=0L(D)y=0 的解中的项。剩余的项构成方程(16)的特解的正确形式。

  1. 使用消去子法找出习题10至13中每个方程的特解 Y(t)Y(t) 的形式。不要计算具体系数。