4.4 参数变分法
参数变分法 用于求非齐次 n n n 阶线性微分方程 的特解
L [ y ] = y ( n ) + p 1 ( t ) y ( n − 1 ) + ⋯ + p n − 1 ( t ) y ′ + p n ( t ) y = g ( t ) \begin{equation*}
L[y]=y^{(n)}+p_{1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(t)y^{\prime}+p_{n}(t)y=g(t) \tag{1}
\end{equation*}
L [ y ] = y ( n ) + p 1 ( t ) y ( n − 1 ) + ⋯ + p n − 1 ( t ) y ′ + p n ( t ) y = g ( t ) ( 1 )
这是二阶微分方程 方法的直接推广(见第3.6节)。和以前一样,使用参数变分法 首先需要求解相应的齐次微分方程 。一般来说,除非系数 是常数 ,否则这可能很困难。然而,参数变分法 比待定系数法 更具一般性,因为它可以为任何连续函数 g g g 特解 的表达式,而待定系数法 在实践中仅限于有限类的函数 g g g
假设我们已知齐次方程 的一组基本解 y 1 , y 2 , … , y n y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} y 1 , y 2 , … , y n 齐次方程 的通解 是
y c ( t ) = c 1 y 1 ( t ) + c 2 y 2 ( t ) + ⋯ + c n y n ( t ) . \begin{equation*}
y_{c}(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)+\cdots+c_{n}y_{n}(t) . \tag{2}
\end{equation*}
y c ( t ) = c 1 y 1 ( t ) + c 2 y 2 ( t ) + ⋯ + c n y n ( t ) . ( 2 )
求方程(1)特解 的参数变分法 基于确定 n n n u 1 , u 2 , … , u n u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n} u 1 , u 2 , … , u n Y ( t ) Y(t) Y ( t )
Y ( t ) = u 1 ( t ) y 1 ( t ) + u 2 ( t ) y 2 ( t ) + ⋯ + u n ( t ) y n ( t ) . \begin{equation*}
Y(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)+\cdots+u_{n}(t)y_{n}(t) . \tag{3}
\end{equation*}
Y ( t ) = u 1 ( t ) y 1 ( t ) + u 2 ( t ) y 2 ( t ) + ⋯ + u n ( t ) y n ( t ) . ( 3 )
由于我们要确定 n n n n n n Y Y Y n − 1 n-1 n − 1 u 1 , … , u n u_{1}, \ldots, u_{n} u 1 , … , u n 高阶微分方程 ,我们很难期望在确定 Y Y Y u 1 , … , u n u_{1}, \ldots, u_{n} u 1 , … , u n 高阶导数 的项。从方程(3)我们得到
Y ′ = ( u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ + ⋯ + u n y n ′ ) + ( u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 + ⋯ + u n ′ y n ) , \begin{equation*}
Y^{\prime}=(u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime}+\cdots+u_{n}y_{n}^{\prime})+(u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}+\cdots+u_{n}^{\prime}y_{n}), \tag{4}
\end{equation*}
Y ′ = ( u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ + ⋯ + u n y n ′ ) + ( u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 + ⋯ + u n ′ y n ) , ( 4 )
这里我们省略了方程(4)中每个函数所依赖的自变量 t t t
u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 + ⋯ + u n ′ y n = 0 \begin{equation*}
u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}+\cdots+u_{n}^{\prime}y_{n}=0 \tag{5}
\end{equation*}
u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 + ⋯ + u n ′ y n = 0 ( 5 )
由此,方程(4)中 Y ′ Y^{\prime} Y ′
Y ′ = u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ + ⋯ + u n y n ′ \begin{equation*}
Y^{\prime}=u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime}+\cdots+u_{n}y_{n}^{\prime} \tag{6}
\end{equation*}
Y ′ = u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ + ⋯ + u n y n ′ ( 6 )
我们继续这个过程,计算连续导数 Y ′ ′ , … , Y ( n − 1 ) Y^{\prime\prime}, \ldots, Y^{(n-1)} Y ′′ , … , Y ( n − 1 ) u 1 , … , u n u_{1}, \ldots, u_{n} u 1 , … , u n 导数 的项之和设为零。这样我们得到 n − 2 n-2 n − 2
u 1 ′ y 1 ( m ) + u 2 ′ y 2 ( m ) + ⋯ + u n ′ y n ( m ) = 0 , m = 1 , 2 , … , n − 2 \begin{equation*}
u_{1}^{\prime}y_{1}^{(m)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(m)}+\cdots+u_{n}^{\prime}y_{n}^{(m)}=0, \quad m=1,2,\ldots,n-2 \tag{7}
\end{equation*}
u 1 ′ y 1 ( m ) + u 2 ′ y 2 ( m ) + ⋯ + u n ′ y n ( m ) = 0 , m = 1 , 2 , … , n − 2 ( 7 )
由于这些条件,可知 Y ′ ′ , … , Y ( n − 1 ) Y^{\prime\prime}, \ldots, Y^{(n-1)} Y ′′ , … , Y ( n − 1 )
Y ( m ) = u 1 y 1 ( m ) + u 2 y 2 ( m ) + ⋯ + u n y n ( m ) , m = 2 , 3 , … , n − 1 \begin{equation*}
Y^{(m)}=u_{1}y_{1}^{(m)}+u_{2}y_{2}^{(m)}+\cdots+u_{n}y_{n}^{(m)}, \quad m=2,3,\ldots,n-1 \tag{8}
\end{equation*}
Y ( m ) = u 1 y 1 ( m ) + u 2 y 2 ( m ) + ⋯ + u n y n ( m ) , m = 2 , 3 , … , n − 1 ( 8 )
最后,我们需要施加 Y Y Y Y ( n − 1 ) Y^{(n-1)} Y ( n − 1 )
Y ( n ) = ( u 1 y 1 ( n ) + ⋯ + u n y n ( n ) ) + ( u 1 ′ y 1 ( n − 1 ) + ⋯ + u n ′ y n ( n − 1 ) ) \begin{equation*}
Y^{(n)}=(u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots+u_{n}y_{n}^{(n)})+(u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-1)}+\cdots+u_{n}^{\prime}y_{n}^{(n-1)}) \tag{9}
\end{equation*}
Y ( n ) = ( u 1 y 1 ( n ) + ⋯ + u n y n ( n ) ) + ( u 1 ′ y 1 ( n − 1 ) + ⋯ + u n ′ y n ( n − 1 ) ) ( 9 )
为了满足微分方程 ,我们将方程(3)、(6)、(8)和(9)中的 Y Y Y 导数 代入方程(1)。然后我们将涉及函数 y 1 , … , y n y_{1}, \ldots, y_{n} y 1 , … , y n 导数 的项分组。由于每个 y 1 , … , y n y_{1}, \ldots, y_{n} y 1 , … , y n L [ y i ] = 0 , i = 1 , 2 , … , n L[y_{i}]=0, i=1,2,\ldots,n L [ y i ] = 0 , i = 1 , 2 , … , n
u 1 ′ y 1 ( n − 1 ) + u 2 ′ y 2 ( n − 1 ) + ⋯ + u n ′ y n ( n − 1 ) = g \begin{equation*}
u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-1)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(n-1)}+\cdots+u_{n}^{\prime}y_{n}^{(n-1)}=g \tag{10}
\end{equation*}
u 1 ′ y 1 ( n − 1 ) + u 2 ′ y 2 ( n − 1 ) + ⋯ + u n ′ y n ( n − 1 ) = g ( 10 )
方程(10)、方程(5)和 n − 2 n-2 n − 2 u 1 ′ , u 2 ′ , … , u n ′ u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}, \ldots, u_{n}^{\prime} u 1 ′ , u 2 ′ , … , u n ′ n n n 联立线性非齐次代数方程 ：
y 1 u 1 ′ + y 2 u 2 ′ + ⋯ + y n u n ′ = 0 y 1 ′ u 1 ′ + y 2 ′ u 2 ′ + ⋯ + y n ′ u n ′ = 0 y 1 ′ ′ u 1 ′ + y 2 ′ ′ u 2 ′ + ⋯ + y n ′ ′ u n ′ = 0 ⋮ y 1 ( n − 1 ) u 1 ′ + ⋯ + y n ( n − 1 ) u n ′ = g . \begin{gather*}
y_{1}u_{1}^{\prime}+y_{2}u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n}u_{n}^{\prime}=0 \\
y_{1}^{\prime}u_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime}u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n}^{\prime}u_{n}^{\prime}=0 \\
y_{1}^{\prime\prime}u_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime\prime}u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n}^{\prime\prime}u_{n}^{\prime}=0 \tag{11} \\
\vdots \\
y_{1}^{(n-1)}u_{1}^{\prime}+\cdots+y_{n}^{(n-1)}u_{n}^{\prime}=g .
\end{gather*}
y 1 u 1 ′ + y 2 u 2 ′ + ⋯ + y n u n ′ = 0 y 1 ′ u 1 ′ + y 2 ′ u 2 ′ + ⋯ + y n ′ u n ′ = 0 y 1 ′′ u 1 ′ + y 2 ′′ u 2 ′ + ⋯ + y n ′′ u n ′ = 0 ⋮ y 1 ( n − 1 ) u 1 ′ + ⋯ + y n ( n − 1 ) u n ′ = g . ( 11 )
系统 (11)是关于未知量 u 1 ′ , … , u n ′ u_{1}^{\prime}, \ldots, u_{n}^{\prime} u 1 ′ , … , u n ′ 线性代数系统 。通过求解该系统并对所得表达式积分,你可以得到系数 u 1 , … , u n u_{1}, \ldots, u_{n} u 1 , … , u n 系数行列式 对每个 t t t 系数行列式 恰好是 W [ y 1 , y 2 , … , y n ] W[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}] W [ y 1 , y 2 , … , y n ] y 1 , … , y n y_{1}, \ldots, y_{n} y 1 , … , y n 齐次方程 的一组基本解 ,它在任何地方都不为零。因此可以确定 u 1 ′ , … , u n ′ u_{1}^{\prime}, \ldots, u_{n}^{\prime} u 1 ′ , … , u n ′ 克莱姆法则 3 ^3 3
u m ′ ( t ) = g ( t ) W m ( t ) W ( t ) , m = 1 , 2 , … , n \begin{equation*}
u_{m}^{\prime}(t)=\frac{g(t)W_{m}(t)}{W(t)}, \quad m=1,2,\ldots,n \tag{12}
\end{equation*}
u m ′ ( t ) = W ( t ) g ( t ) W m ( t ) , m = 1 , 2 , … , n ( 12 )
这里 W ( t ) = W [ y 1 , y 2 , … , y n ] ( t ) W(t)=W[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}](t) W ( t ) = W [ y 1 , y 2 , … , y n ] ( t ) W m W_{m} W m 列向量 ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) T (0,0,\ldots,0,1)^T ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) T W W W m m m 行列式 。用这个记号,方程(1)的一个特解 由下式给出
Y ( t ) = ∑ m = 1 n y m ( t ) ∫ t 0 t g ( s ) W m ( s ) W ( s ) d s \begin{equation*}
Y(t)=\sum_{m=1}^{n}y_{m}(t)\int_{t_{0}}^{t}\frac{g(s)W_{m}(s)}{W(s)}ds \tag{13}
\end{equation*}
Y ( t ) = m = 1 ∑ n y m ( t ) ∫ t 0 t W ( s ) g ( s ) W m ( s ) d s ( 13 )
其中 t 0 t_{0} t 0
例1
已知 y 1 ( t ) = e t , y 2 ( t ) = t e t y_{1}(t)=e^t, y_{2}(t)=te^t y 1 ( t ) = e t , y 2 ( t ) = t e t y 3 ( t ) = e − t y_{3}(t)=e^{-t} y 3 ( t ) = e − t
y ′ ′ ′ − y ′ ′ − y ′ + y = g ( t ) , \begin{equation*}
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=g(t), \tag{14}
\end{equation*}
y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = g ( t ) , ( 14 )
的齐次方程 的解,求方程(14)的一个特解 ,用积分表示。
3 ^3 3 克莱姆法则 归功于瑞士数学家加布里埃尔·克莱姆(1704-1752),他是日内瓦加尔文学院的教授,于1750年以一般形式发表了这个法则(但没有证明)。对于小型系统,这个结果在此之前就已为人所知。
解：
我们使用方程(13)。首先,我们有
W ( t ) = W [ e t , t e t , e − t ] ( t ) = ∣ e t t e t e − t e t ( t + 1 ) e t − e − t e t ( t + 2 ) e t e − t ∣ W(t)=W\left[e^{t}, te^{t}, e^{-t}\right](t)=\left|\begin{array}{ccc}
e^{t} & te^{t} & e^{-t} \\
e^{t} & (t+1)e^{t} & -e^{-t} \\
e^{t} & (t+2)e^{t} & e^{-t}
\end{array}\right|
W ( t ) = W [ e t , t e t , e − t ] ( t ) = e t e t e t t e t ( t + 1 ) e t ( t + 2 ) e t e − t − e − t e − t
从前两列中提取 e t e^t e t e − t e^{-t} e − t
W ( t ) = e t ∣ 1 t 1 1 t + 1 − 1 1 t + 2 1 ∣ W(t)=e^{t}\left|\begin{array}{ccr}
1 & t & 1 \\
1 & t+1 & -1 \\
1 & t+2 & 1
\end{array}\right|
W ( t ) = e t 1 1 1 t t + 1 t + 2 1 − 1 1
然后,通过从第二行和第三行中减去第一行,我们有
W ( t ) = e t ∣ 1 t 1 0 1 − 2 0 2 0 ∣ W(t)=e^{t}\left|\begin{array}{llr}
1 & t & 1 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 2 & 0
\end{array}\right|
W ( t ) = e t 1 0 0 t 1 2 1 − 2 0
最后,通过计算与第一列相关的余子式 ,我们发现
W ( t ) = 4 e t W(t)=4e^{t}
W ( t ) = 4 e t
接下来,
W 1 ( t ) = ∣ 0 t e t e − t 0 ( t + 1 ) e t − e − t 1 ( t + 2 ) e t e − t ∣ W_{1}(t)=\left|\begin{array}{ccr}
0 & te^{t} & e^{-t} \\
0 & (t+1)e^{t} & -e^{-t} \\
1 & (t+2)e^{t} & e^{-t}
\end{array}\right|
W 1 ( t ) = 0 0 1 t e t ( t + 1 ) e t ( t + 2 ) e t e − t − e − t e − t
使用与第一列相关的余子式 ,我们得到
W 1 ( t ) = ∣ t e t e − t ( t + 1 ) e t − e − t ∣ = − 2 t − 1 W_{1}(t)=\left|\begin{array}{cc}
te^{t} & e^{-t} \\
(t+1)e^{t} & -e^{-t}
\end{array}\right|=-2t-1
W 1 ( t ) = t e t ( t + 1 ) e t e − t − e − t = − 2 t − 1
类似地,
W 2 ( t ) = ∣ e t 0 e − t e t 0 − e − t e t 1 e − t ∣ = − ∣ e t e − t e t − e − t ∣ = 2 W_{2}(t)=\left|\begin{array}{rrr}
e^{t} & 0 & e^{-t} \\
e^{t} & 0 & -e^{-t} \\
e^{t} & 1 & e^{-t}
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}
e^{t} & e^{-t} \\
e^{t} & -e^{-t}
\end{array}\right|=2
W 2 ( t ) = e t e t e t 0 0 1 e − t − e − t e − t = − e t e t e − t − e − t = 2
且
W 3 ( t ) = ∣ e t t e t 0 e t ( t + 1 ) e t 0 e t ( t + 2 ) e t 1 ∣ = ∣ e t t e t e t ( t + 1 ) e t ∣ = e 2 t W_{3}(t)=\left|\begin{array}{ccc}
e^{t} & te^{t} & 0 \\
e^{t} & (t+1)e^{t} & 0 \\
e^{t} & (t+2)e^{t} & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
e^{t} & te^{t} \\
e^{t} & (t+1)e^{t}
\end{array}\right|=e^{2t}
W 3 ( t ) = e t e t e t t e t ( t + 1 ) e t ( t + 2 ) e t 0 0 1 = e t e t t e t ( t + 1 ) e t = e 2 t
将这些结果代入方程(13),我们有
Y ( t ) = e t ∫ t 0 t g ( s ) ( − 1 − 2 s ) 4 e s d s + t e t ∫ t 0 t g ( s ) ( 2 ) 4 e s d s + e − t ∫ t 0 t g ( s ) e 2 s 4 e s d s = 1 4 ∫ t 0 t ( e t − s ( − 1 + 2 ( t − s ) ) + e − ( t − s ) ) g ( s ) d s . \begin{align*}
Y(t) & =e^{t}\int_{t_{0}}^{t}\frac{g(s)(-1-2s)}{4e^{s}}ds+te^{t}\int_{t_{0}}^{t}\frac{g(s)(2)}{4e^{s}}ds+e^{-t}\int_{t_{0}}^{t}\frac{g(s)e^{2s}}{4e^{s}}ds \\
& =\frac{1}{4}\int_{t_{0}}^{t}\left(e^{t-s}(-1+2(t-s))+e^{-(t-s)}\right)g(s)ds . \tag{15}
\end{align*}
Y ( t ) = e t ∫ t 0 t 4 e s g ( s ) ( − 1 − 2 s ) d s + t e t ∫ t 0 t 4 e s g ( s ) ( 2 ) d s + e − t ∫ t 0 t 4 e s g ( s ) e 2 s d s = 4 1 ∫ t 0 t ( e t − s ( − 1 + 2 ( t − s )) + e − ( t − s ) ) g ( s ) d s . ( 15 )
根据具体的函数 g ( t ) g(t) g ( t ) 积分 可能可以也可能不可以用初等函数 表示。
虽然这个过程是直接的,但是当 n n n Y ( t ) Y(t) Y ( t ) 代数计算 变得越来越复杂。在某些情况下,通过使用Abel恒等式 (第4.1节习题15d),计算可以在某种程度上得到简化,
W ( t ) = W [ y 1 , … , y n ] ( t ) = c exp ( − ∫ p 1 ( t ) d t ) W(t)=W\left[y_{1},\ldots,y_{n}\right](t)=c\exp\left(-\int p_{1}(t)dt\right)
W ( t ) = W [ y 1 , … , y n ] ( t ) = c exp ( − ∫ p 1 ( t ) d t )
常数 c c c W W W
习题
在习题1至4中,使用参数变分法 求给定微分方程 的通解 。
y ′ ′ ′ + y ′ = tan t , − π 2 < t < π 2 y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=\tan t, \quad -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} y ′′′ + y ′ = tan t , − 2 π < t < 2 π y ′ ′ ′ − y ′ = t y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=t y ′′′ − y ′ = t y ′ ′ ′ − 2 y ′ ′ − y ′ + 2 y = e 4 t y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}-y^{\prime}+2y=e^{4t} y ′′′ − 2 y ′′ − y ′ + 2 y = e 4 t y ′ ′ ′ − y ′ ′ + y ′ − y = e − t sin t y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=e^{-t}\sin t y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = e − t sin t
在习题5和6中,求给定微分方程 的通解 。将答案用一个或多个积分 表示。
5. y ′ ′ ′ − y ′ ′ + y ′ − y = sec t , − π 2 < t < π 2 y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=\sec t, \quad -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = sec t , − 2 π < t < 2 π y ′ ′ ′ − y ′ = csc t , 0 < t < π y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=\csc t, \quad 0<t<\pi y ′′′ − y ′ = csc t , 0 < t < π
在习题7和8中,求给定初值问题 的解,并绘制其图像。
G 7. y ′ ′ ′ − y ′ ′ + y ′ − y = sec t ; y ( 0 ) = 2 , y ′ ( 0 ) = − 1 y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=\sec t ; \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1 y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = sec t ; y ( 0 ) = 2 , y ′ ( 0 ) = − 1 y ′ ′ ( 0 ) = 1 y^{\prime\prime}(0)=1 y ′′ ( 0 ) = 1 y ′ ′ ′ − y ′ = tan t ; y ( π 4 ) = 2 , y ′ ( π 4 ) = 1 y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=\tan t ; \quad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=2, \quad y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 y ′′′ − y ′ = tan t ; y ( 4 π ) = 2 , y ′ ( 4 π ) = 1 y ′ ′ ( π 4 ) = − 1 y^{\prime\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1 y ′′ ( 4 π ) = − 1
已知 x , x 2 x, x^2 x , x 2 1 / x 1/x 1/ x
x 3 y ′ ′ ′ + x 2 y ′ ′ − 2 x y ′ + 2 y = 2 x 4 , x > 0 , x^3y^{\prime\prime\prime}+x^2y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+2y=2x^4, \quad x>0,
x 3 y ′′′ + x 2 y ′′ − 2 x y ′ + 2 y = 2 x 4 , x > 0 ,
的齐次方程 的解,求一个特解 。
求微分方程
y ′ ′ ′ − y ′ ′ + y ′ − y = g ( t ) . y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=g(t) .
y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = g ( t ) .
的一个特解 的积分 表达式。
求微分方程
y ( 4 ) − y = g ( t ) . y^{(4)}-y=g(t) .
y ( 4 ) − y = g ( t ) .
的一个特解 的积分 表达式。
提示：函数 sin t , cos t , sinh t \sin t, \cos t, \sinh t sin t , cos t , sinh t cosh t \cosh t cosh t 齐次方程 的一组基本解 。
求微分方程
y ′ ′ ′ − 3 y ′ ′ + 3 y ′ − y = g ( t ) y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=g(t)
y ′′′ − 3 y ′′ + 3 y ′ − y = g ( t )
的一个特解 的积分 表达式。如果 g ( t ) = t − 2 e t g(t)=t^{-2}e^t g ( t ) = t − 2 e t Y ( t ) Y(t) Y ( t )
[^0]: 1 ^1 1 多项式方程 是否至少有一个根。这个问题的肯定答案,即代数基本定理 ,由卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)在1799年的博士论文中给出,尽管他的证明不符合现代严谨性标准。此后发现了几个其他的证明,包括高斯本人的三个证明。如今,学生们通常在复变函数 的初级课程中遇到代数基本定理 ,在那里它可以作为复解析函数 的一些基本性质的结果来建立。