好的，这是您要求的内容，其中名词已加粗，符号和公式保持原样：
许多物理操作，例如放大、旋转和通过平面进行的反射，都可以用称为矩阵的量进行数学表示。矩阵简单地说是一个二维数组，它遵循一个称为矩阵代数的规则集。即使您对矩阵完全陌生，它们也非常方便，值得学习它们的一些更简单的性质。
考虑图 F.1 中所示的两个向量中较低的一个。该向量的 x 和 y 分量由 $x_1 = r \cos \alpha$ 和 $y_1 = r \sin \alpha$ 给出，其中 $r$ 是 $\mathbf{r}_1$ 的长度。现在让我们将该向量逆时针旋转一个角度 $\theta$，使得 $x_2 = r \cos(\alpha + \theta)$ 和 $y_2 = r \sin(\alpha + \theta)$（见图 F.1）。使用三角公式，我们可以写成
$$ x_2 = r \cos(\alpha + \theta) = r \cos \alpha \cos \theta - r \sin \alpha \sin \theta $$
$$ y_2 = r \sin(\alpha + \theta) = r \cos \alpha \sin \theta + r \sin \alpha \cos \theta $$
或
$$ x_2 = x_1 \cos \theta - y_1 \sin \theta $$
$$ y_2 = x_1 \sin \theta + y_1 \cos \theta \quad \text{(F.1)} $$
我们可以将 $x_1$ 和 $y_1$ 的系数集表示为以下形式
$$ R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \quad \text{(F.2)} $$
我们已将 R 表示为矩阵形式，它是一个数组，包含数字（或在此情况下是函数），遵循一个称为矩阵代数的规则集。我们将用无衬线符号表示矩阵，例如 A, B 等。与行列式（参见数学附录 E）不同，矩阵不必是方阵。此外，与行列式不同，矩阵不能简化为单个数字。方程 F.2 中的矩阵 R 对应于通过角度 $\theta$ 的旋转。
矩阵 A 中的条目称为其矩阵元素，用 $a_{ij}$ 表示，其中与行列式的情况一样，$i$ 表示行，$j$ 表示列。两个矩阵 A 和 B 相等当且仅当它们具有相同的维度并且对于所有 $i$ 和 $j$，$a_{ij} = b_{ij}$。换句话说，相等的矩阵是相同的。矩阵只能在具有相同的行数和列数时进行加减法，在这种情况下，结果矩阵的元素由 $a_{ij} + b_{ij}$ 给出。因此，如果
$$ A = \begin{pmatrix} -3 & 6 & 4 \ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \ -6 & 4 & 3 \end{pmatrix} $$
则
$$ C = A+B = \begin{pmatrix} -1 & 7 & 5 \ -5 & 4 & 5 \end{pmatrix} $$
如果我们写
$$ A+A=2A = \begin{pmatrix} -6 & 12 & 8 \ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
我们看到，矩阵的标量乘法意味着每个元素都乘以该标量。因此，
$$ cM = \begin{pmatrix} cM_{11} & cM_{12} \ cM_{21} & cM_{22} \end{pmatrix} \quad \text{(F.3)} $$
使用上面的矩阵 A 和 B，求矩阵 D = 3A - 2B。
解：
$$ D = 3\begin{pmatrix} -3 & 6 & 4 \ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \ -6 & 4 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} -9 & 18 & 12 \ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \ -12 & 8 & 6 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} -13 & 16 & 10 \ 15 & -8 & 0 \end{pmatrix} $$
矩阵最重要的方面之一是矩阵乘法。为简单起见，我们首先讨论方矩阵的乘法。考虑从 $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2, y_2)$ 的一些线性变换：
$$ x_2 = a_{11}x_1 + a_{12}y_1 $$
$$ y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}y_1 \quad \text{(F.4)} $$
由矩阵表示
$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \quad \text{(F.5)} $$
现在我们将 $(x_2, y_2)$ 变换到 $(x_3, y_3)$：
$$ x_3 = b_{11}x_2 + b_{12}y_2 $$
$$ y_3 = b_{21}x_2 + b_{22}y_2 \quad \text{(F.6)} $$
由矩阵表示
$$ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \quad \text{(F.7)} $$
设从 $(x_1, y_1)$ 直接到 $(x_3, y_3)$ 的变换由下式给出
$$ x_3 = c_{11}x_1 + c_{12}y_1 $$
$$ y_3 = c_{21}x_1 + c_{22}y_1 \quad \text{(F.8)} $$
由矩阵表示
$$ C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} \quad \text{(F.9)} $$
象征性地，我们可以写成
$$ C = BA $$
因为 C 是通过先使用 A 将 $(x_1, y_1)$ 变换到 $(x_2, y_2)$，然后使用 B 将 $(x_2, y_2)$ 变换到 $(x_3, y_3)$ 得到的。让我们找出 C 的元素与 A 和 B 的元素之间的关系。将方程 F.4 代入 F.6 得
$$ x_3 = b_{11}(a_{11}x_1 + a_{12}y_1) + b_{12}(a_{21}x_1 + a_{22}y_1) $$
$$ y_3 = b_{21}(a_{11}x_1 + a_{12}y_1) + b_{22}(a_{21}x_1 + a_{22}y_1) \quad \text{(F.10)} $$
或
$$ x_3 = (b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21})x_1 + (b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22}) y_1 $$
$$ y_3 = (b_{21}a_{11} + b_{22}a_{21})x_1 + (b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22}) y_1 $$
因此，我们看到
$$ C = BA = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21} & b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} \ b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21} & b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22} \end{pmatrix} \quad \text{(F.11)} $$
这个结果可能看起来很复杂，但它有一个很好的模式，我们将通过两种方式来说明。数学上，C 的第 $ij$ 个元素由以下公式给出
$$ c_{ij} = \sum_k b_{ik}a_{kj} \quad \text{(F.12)} $$
例如，
$$ c_{11} = \sum_k b_{1k}a_{k1} = b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} $$
如方程 F.11 所示。更直观的方式是注意到 C 中的任何元素都可以通过将 B 中的任何行的元素与 A 中任何列的对应元素相乘，然后相加，并将结果放在 C 中相应的行和列相交的位置来获得。例如，$c_{11}$ 是通过将 B 的第 1 行的元素与 A 的第 1 列的元素相乘得到的，或通过以下示意表示：
$$ \rightarrow \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \downarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} & \dots \ \dots & \dots \end{pmatrix} $$
而 $c_{12}$ 通过以下方式得到
$$ \rightarrow \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \downarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dots & b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} \ \dots & \dots \end{pmatrix} $$
求 C = BA 如果
$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 3 & 0 & -1 \ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad A = \begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \ 1 & 4 & 0 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
解：
$$ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 3 & 0 & -1 \ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \ 1 & 4 & 0 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} 1(-3)+2(1)+1(1) & 1(0)+2(4)+1(1) & 1(-1)+2(0)+1(1) \ 3(-3)+0(1)+(-1)(1) & 3(0)+0(4)+(-1)(1) & 3(-1)+0(0)+(-1)(1) \ (-1)(-3)+(-1)(1)+2(1) & (-1)(0)+(-1)(4)+2(1) & (-1)(-1)+(-1)(0)+2(1) \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} -3+2+1 & 0+8+1 & -1+0+1 \ -9+0-1 & 0+0-1 & -3+0-1 \ 3-1+2 & 0-4+2 & 1+0+2 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 0 \ -10 & -1 & -4 \ 4 & -2 & 3 \end{pmatrix} $$
方程 F.2 给出的矩阵 R 表示通过角度 $\theta$ 的旋转。证明 R² 表示通过角度 2$\theta$ 的旋转。
解：
$$ R^2 = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & -\cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \ \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta & -\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & -2 \sin \theta \cos \theta \ 2 \sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \end{pmatrix} $$
使用标准三角恒等式，我们得到
$$ R^2 = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix} $$
这表示通过角度 2$\theta$ 的旋转。
矩阵不必是方阵才能相乘，但方程 F.11 或上面所示的示意方法表明，矩阵 B 的列数必须等于矩阵 A 的行数。当满足此条件时，A 和 B 被称为是兼容的。例如，方程 F.4 可以写成矩阵形式
$$ \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix} \quad \text{(F.13)} $$
矩阵乘法的一个重要方面是 BA 不一定等于 AB。例如，如果
$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
则
$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} $$
和
$$ BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
所以在此情况下 AB = -BA。如果确实发生 AB = BA，则称 A 和 B 是可交换的。
如果矩阵 A 和 B 是否可交换
$$ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
解：
$$ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
和
$$ BA = \begin{pmatrix} 3 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
所以它们不可交换。
矩阵乘法的另一个与普通标量乘法不同的性质是，方程
$$ AB = O $$
其中 O 是零矩阵（所有元素都等于零），并不意味着 A 或 B 必然是零矩阵。例如，
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
一种不改变 $(x_1, y_1)$ 的线性变换称为恒等变换，相应的矩阵称为恒等矩阵或单位矩阵。恒等矩阵的所有元素都等于零，除了主对角线上的元素等于一：
$$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} $$
I 的元素是 $\delta_{ij}$，即克罗内克符号，当 $i = j$ 时等于一，当 $i \ne j$ 时等于零。单位矩阵具有性质
$$ IA = AI \quad \text{(F.14)} $$
单位矩阵是对角矩阵的一个示例。对角矩阵唯一的非零元素位于其对角线上。对角矩阵必然是方阵。
如果 BA = AB = I，则称 B 是 A 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$。因此，$A^{-1}$ 具有性质
$$ AA^{-1} = A^{-1}A = I \quad \text{(F.15)} $$
如果 A 代表某种变换，则 $A^{-1}$ 会撤销该变换并恢复到原始状态。有计算矩阵的逆的规则，但我们不需要它们（然而，请参阅问题 F-9）。尽管如此，从物理角度来看应该清楚，方程 F.2 中的 R 的逆矩阵是
$$ R^{-1} = R(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \quad \text{(F.16)} $$
它是通过将 R 中的 $\theta$ 替换为 $-\theta$ 得到的。换句话说，如果 R($\theta$) 表示通过角度 $\theta$ 的旋转，则 $R^{-1} = R(-\theta)$ 并表示相反方向的旋转。很容易证明 R 和 $R^{-1}$ 满足方程 F.15。使用方程 F.2 和 F.16，我们有
$$ R^{-1}R = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & -\cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \theta \ -\sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
和
$$ RR^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \ \sin \theta \cos \theta - \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
我们可以将一个行列式与一个方矩阵相关联，写成
$$ \det A = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
因此，R 的行列式是
$$ \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} = \cos^2 \theta - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $$
并且 $\det R^{-1} = 1$ 也成立。如果 $\det A = 0$，则称 A 是奇异矩阵。奇异矩阵没有逆。
群论中出现的量，我们将在下一章学习，是对角元素的和，称为矩阵的迹。因此，矩阵
$$ B = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1/2 \end{pmatrix} $$
的迹是 3，我们写成 Tr B = 3。
F-1. 给定两个矩阵
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ -1 & 2 & 0 \ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \ 3 & 0 & 2 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
求矩阵 C = 2A - 3B 和 D = 6B – A。
F-2. 给定三个矩阵
$$ A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
证明 $A^2 + B^2 + C^2 = 2I$，其中 I 是单位矩阵。也证明
$$ AB - BA = iC $$
$$ BC - CB = iA $$
$$ CA - AC = iB $$
F-3. 给定矩阵
$$ A = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \ i & 0 & -i \ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
证明
$$ AB - BA = iC $$
$$ BC - CB = iA $$
$$ CA - AC = iB $$
F-4. 您是否发现问题 F-2 和 F-3 的结果与涉及角动量分量的对易关系之间有任何相似之处？
F-5. 围绕 z-轴的三维旋转可以用矩阵表示
$$ R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
证明
$$ \det R = |R| = 1 $$
也证明
$$ R^{-1} = R(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
F-6. 矩阵 A 的转置，我们记为 $\tilde{A}$，是通过将 A 的第一行替换为其第一列，第二行替换为其第二列等方式形成的。证明此过程等价于关系 $a'_{ij} = a_{ji}$。证明问题 F-5 中给出的矩阵 R 的转置是
$$ \tilde{R} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
注意 $\tilde{R} = R^{-1}$。当 $R = R^{-1}$ 时，矩阵 R 被称为正交矩阵。
F-7. 给定矩阵
$$ C_3 = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad \sigma'_v = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \sigma''_v = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix} $$
证明
$$ \sigma'_v C_3 = \sigma''_v $$
$$ C_3 \sigma'_v = \sigma''_v $$
$$ \sigma''_v \sigma'_v = C_3 $$
$$ C_3 \sigma''_v = \sigma'_v $$
计算每个矩阵的行列式。计算每个矩阵的迹。
F-8. 问题 F-7 中的哪些矩阵是正交矩阵（见问题 F-6）？
F-9. 矩阵 A 的逆矩阵可以通过以下步骤找到： a. 将 A 的每个元素替换为其在对应行列式中的余子式（余子式的定义见数学附录 E）。 b. 对步骤 1 得到的矩阵进行转置。 c. 将步骤 2 得到的矩阵的每个元素除以 A 的行列式。例如，如果
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
则 det A = -2，并且
$$ A^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} $$
证明 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。使用上述过程求以下矩阵的逆矩阵
$$ A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \ 1 & 1 & 1 \ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
F-10. 回想一下，奇异矩阵是指其行列式等于零的矩阵。参考问题 F-9 中的步骤，您是否明白为什么奇异矩阵没有逆矩阵？
F-11. 考虑联立代数方程组
$$ x + y = 3 $$
$$ 4x - 3y = 5 $$
证明这对方程可以写成矩阵形式
$$ Ax = c \quad \text{(1)} $$
其中
$$ x = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}, \quad c = \begin{pmatrix} 3 \ 5 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 4 & -3 \end{pmatrix} $$
现在将方程 1 从左边乘以 $A^{-1}$ 得到
$$ x = A^{-1}c \quad \text{(2)} $$
现在证明
$$ A^{-1} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & -1 \end{pmatrix} $$
并且
$$ x = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 3 & 1 \ 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} $$
或者说 $x = 2$ 且 $y = 1$。您是否明白此过程如何推广到任意数量的联立方程？
F-12. 用问题 F-11 中发展的矩阵逆方法求解以下联立代数方程组：
$$ x+y-z=1 $$
$$ 2x - 2y + z = 6 $$
$$ x + 3z = 0 $$
首先证明
$$ A^{-1} = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 6 & 3 & 1 \ 5 & -4 & 3 \ -2 & -1 & 4 \end{pmatrix} $$
并计算 $x = A^{-1}c$。
[此处应有图片]
这照片展示了发现巴克敏斯特富勒烯 ($C_{60}$) 的研究团队，这是已知最对称的分子之一。巴克敏斯特富勒烯如此对称，以至于在其 174 种正常振动模式中，只有四种是红外活性的。照片中跪着的是（从左到右）：Sean O'Brien、Rick Smalley、Harry Kroto 和 Jim Heath；Bob Curl 站在背景中。在当时的时间（1985 年）Smalley、Kroto 和 Curl 是化学教授，O'Brien 和 Heath 是研究生。Smalley、Kroto 和 Curl 因“发现富勒烯”而分享了 1996 年的诺贝尔化学奖。Richard E. Smalley 于 1943 年 6 月 6 日出生于俄亥俄州阿克伦，1973 年获得普林斯顿大学化学博士学位。1976 年，他移居莱斯大学，至今仍在此工作。他目前的研究兴趣在于纳米技术。Robert F. Curl, Jr. 于 1933 年 8 月 23 日出生于得克萨斯州爱丽丝，1957 年获得加州大学伯克利分校化学博士学位。他于 1958 年加入莱斯大学教师队伍，至今仍在此工作。Curl 的研究兴趣是激光光谱学和化学动力学。Harold Kroto 于 1939 年 10 月 7 日出生于英格兰威斯贝奇，1964 年获得谢菲尔德大学化学博士学位。在加拿大和美国进行博士后研究后，他回到英格兰萨塞克斯大学（位于布莱顿），至今仍在此工作。Kroto 的研究涉及星际空间分子的光谱学。