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你在高中学过，二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个根，由所谓的二次公式给出：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
因此，满足方程 $x^2 + 3x - 2 = 0$ 的两个 $x$ 值（称为根）是
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} $$
虽然三次方程和四次方程的根有通用公式，但使用起来非常不方便，而且对于五次或更高次的方程则没有公式。不幸的是，在实践中我们经常会遇到这类方程，必须学会处理。幸运的是，随着手持计算器和个人电脑的出现，多项式方程和 $x - \cos x = 0$ 等其他类型方程的数值求解已成为常规操作。虽然这些方程可以通过“蛮力”试错法来求解，但更系统化的程序可以获得几乎任意所需的精确度。最广为人知的程序或许是牛顿-拉弗森方法，通过图示说明效果最佳。图G.1显示了函数 $f(x)$ 对 $x$ 的曲线。方程 $f(x) = 0$ 的解记为 $x_*$。牛顿-拉弗森方法的思想是猜测一个初始 $x$ 值（记为 $x_0$），使其“足够接近” $x_*$，并在 $x_0$ 处绘制曲线 $f(x)$ 的切线，如图G.1所示。通常情况下，切线与水平轴的交点会比 $x_0$ 更接近 $x_*$。我们将这个 $x$ 值记为 $x_1$，然后使用 $x_1$ 重复此过程以获得一个新的 $x_2$ 值，它将比 $x_1$ 更接近 $x_*$。通过重复这个过程（称为迭代），我们可以以几乎任意所需的精确度逼近 $x_*$。
图G.1 牛顿-拉弗森方法的图示。
我们可以利用图G.1来推导出 $x$ 迭代值的便捷公式。 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的斜率 $f'(x_n)$ 由下式给出：
$$ f'(x_n) = \frac{f(x_n) - 0}{x_n - x_{n+1}} $$
解出 $x_{n+1}$ 得到
$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \quad \text{(G.1)} $$
这就是牛顿-拉弗森方法的迭代公式。作为此公式的一个应用，考虑化学反应方程
$$ 2 \text{ NOCl(g)} \rightleftharpoons 2 \text{ NO(g)} + \text{Cl}_2\text{(g)} $$
在一定温度下，其相关的平衡常数为 2.18。（化学平衡将在第24章讨论，但此时我们仅将下面的代数方程作为一个例子。）如果将 1.00 atm 的 NOCl(g) 引入反应容器，则在平衡时 $P_{NOCl} = 1.00 - 2x$， $P_{NO} = 2x$， $P_{Cl_2} = x$；这些分压满足平衡常数表达式
$$ \frac{P_{NO}^2 P_{Cl_2}}{P_{NOCl}^2} = \frac{(2x)^2 x}{(1.00 - 2x)^2} = 2.18 $$
我们将其写为
$$ f(x) = 4x^3 - 8.72x^2 + 8.72x - 2.18 = 0 $$
根据反应方程的化学计量，我们所寻求的 $x$ 值必须介于 0 和 0.5 之间，因此我们将 0.250 作为初始猜测 ($x_0$)。表G.1显示了使用方程 G.1 的结果。注意，我们在仅三个步骤内就收敛到了三位有效数字。
表G.1 牛顿-拉弗森方法求解方程 $f(x) = 4x^3 - 8.72x^2 + 8.72x - 2.18 = 0$ 的结果。
| $n$ | $x_n$ | $f(x_n)$ | $f'(x_n)$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.2500 | $-4.825 \times 10^{-1}$ | 5.110 |
| 1 | 0.3442 | $-4.855 \times 10^{-2}$ | 4.139 |
| 2 | 0.3559 | $-6.281 \times 10^{-4}$ | 4.033 |
| 3 | 0.3561 | $-1.704 \times 10^{-5}$ | 4.031 |
| 4 | 0.3561 |
在第16章，我们将求解三次方程
$$ x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0 $$
使用牛顿-拉弗森方法找到此方程的实根，精确到五位有效数字。
解：
我们将方程写为
$$ f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0 $$
通过观察，一个解位于 0 和 1 之间。使用 $x_0 = 0.5$ 得到下表：
| $n$ | $x_n$ | $f(x_n)$ | $f'(x_n)$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.500000 | 1.37500 | 6.7500 |
| 1 | 0.296300 | 0.178294 | 5.04118 |
| 2 | 0.260930 | 0.004809 | 4.76983 |
| 3 | 0.259920 | -0.000005 | 4.76220 |
| 4 | 0.259920 |
精确到五位有效数字的答案是 $x = 0.25992$。注意，随着我们接近满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值，每一步的 $f(x_n)$ 都显著变小，这是预期的，而 $f'(x_n)$ 的变化不明显。表G.1也显示了相同的行为。
尽管牛顿-拉弗森方法非常强大，但并非总是有效；当它有效时，方法的工作是显而易见的；当它无效时，可能甚至更显而易见。一个显著的失败例子是由方程 $f(x) = x^{1/3} = 0$ 提供的，其 $x_* = 0$。如果我们从 $x_0 = 1$ 开始，我们将得到 $x_1 = -2$，$x_2 = +4$，$x_3 = -8$，依此类推。图G.2显示了该方法未能收敛的原因。这里的启示是，你应该总是先绘制 $f(x)$ 的图，以了解相关的根位于何处
图G.2 绘制 $y = x^{1/3}$ 的图，说明牛顿-拉弗森方法在此情况下失效。
以及函数是否具有任何特殊的性质。你应该做习题 G-1 到 G-9，以熟练掌握牛顿-拉弗森方法。
还有一些数值方法用于评估积分。你在微积分中学过，积分是曲线与水平轴之间的面积（曲线下的面积），位于积分上下限之间，因此
$$ I = \int_a^b f(u)du \quad \text{(G.2)} $$
的值由图G.3中的阴影区域给出。回想一下微积分基本定理，该定理指出，如果
$$ F(x) = \int_a^x f(u)du $$
图G.3 $f(u)$ 从 $a$ 到 $b$ 的积分由阴影区域给出。
那么
$$ \frac{dF}{dx} = f(x) $$
函数 $F(x)$ 有时被称为 $f(x)$ 的原函数（或反导数）。如果不存在导数是 $f(x)$ 的基本函数 $F(x)$，我们就说 $f(x)$ 的积分不能进行解析评估。基本函数是指可以表示为多项式、三角函数、指数函数和对数函数的有限组合的函数。
事实证明，许多积分无法进行解析评估。一个特别重要的、无法用基本函数表达的积分例子是
$$ \Phi(x) = \int_0^x e^{-u^2} du \quad \text{(G.3)} $$
方程 G.3 用于定义（非基本）函数 $\Phi(x)$。对于任何 $x$ 值， $\Phi(x)$ 的值由曲线 $f(u) = e^{-u^2}$ 从 $u = 0$ 到 $u = x$ 下方的面积给出。
让我们考虑由方程 G.2 或图G.3中的阴影区域给出的更一般的情况。我们可以通过多种方式近似这个面积。首先，将区间 $(a,b)$ 分成 $n$ 个等间距的子区间 $u_1 - u_0, u_2 - u_1, \dots, u_n - u_{n-1}$，其中 $u_0 = a$ 且 $u_n = b$。我们将令 $h = u_{j+1} - u_j$，对于 $j = 0, 1, \dots, n - 1$。图G.4显示了一个子区间（例如 $u_j, u_{j+1}$ 子区间）的放大图。一种近似曲线下方面积的方法是连接点 $f(u_j)$ 和 $f(u_{j+1})$，用直线如图G.4所示。在该区间内，直线近似 $f(u)$ 下方的面积是矩形面积 [$hf(u_j)$] 和三角形面积 [$\frac{1}{2}h[f(u_{j+1}) - f(u_j)]$] 的总和。对所有区间使用此近似，从 $u = a$ 到 $u = b$ 的曲线下方总面积由以下求和给出：
$$ I \approx I_n = hf(u_0) + \frac{h}{2}[f(u_1) - f(u_0)] $$
$$ + hf(u_1) + \frac{h}{2}[f(u_2) - f(u_1)] $$
$$ \vdots $$
$$ + hf(u_{n-2}) + \frac{h}{2}[f(u_{n-1}) - f(u_{n-2})] $$
$$ + hf(u_{n-1}) + \frac{h}{2}[f(u_n) - f(u_{n-1})] $$
$$ = \frac{h}{2}[f(u_0) + 2f(u_1) + 2f(u_2) + \dots + 2f(u_{n-1}) + f(u_n)] \quad \text{(G.4)} $$
注意，方程 G.4 中的系数按 1, 2, 2, ..., 2, 1 的顺序排列。方程 G.4 对于 $n = 10$ 左右的手持计算器和使用电子表格的个人电脑（对于更大的 $n$ 值）来说很容易实现。由方程 G.4 给出的对积分的近似称为梯形近似法（trapezoidal approximation）。[误差约为 $Ah^2$，其中 $A$ 是一个常数，取决于函数 $f(u)$ 的性质。实际上，如果 $M$ 是区间 $(a, b)$ 中 $|f''(u)|$ 的最大值，那么误差至多为 $M(b - a)h^2/12$。] 表G.2显示了
图G.4 梯形近似法中第 $j + 1$ 个子区间面积的图示。
$$ \Phi(1) = \int_0^1 e^{-u^2} du \quad \text{(G.5)} $$
对于 $n = 10$ ($h = 0.1$)， $n = 100$ ($h = 0.01$)， 和 $n = 1000$ ($h = 0.001$) 的值。到八位小数的“公认”值（使用更复杂的数值积分方法）是 0.74682413。
我们可以通过用二次函数而不是直线来近似图G.4中的 $f(u)$，从而开发出更精确的数值积分例程。如果我们用二次函数近似 $f(u)$，我们得到辛普森法则（Simpson's rule），其公式为
$$ I_{2n} = \frac{h}{3}[f(u_0) + 4f(u_1) + 2f(u_2) + 4f(u_3) + 2f(u_4) + \dots $$
$$ + 2f(u_{2n-2}) + 4f(u_{2n-1}) + f(u_{2n})] \quad \text{(G.6)} $$
注意，系数按 1, 4, 2, 4, 2, 4, ..., 4, 2, 4, 1 的顺序排列。我们在方程 G.6 中写成 $I_{2n}$ 是因为辛普森法则要求区间数必须是偶数。表G.2显示了方程 G.5 中 $\Phi(1)$ 对于 $n = 10, 100$ 和 1000 的值。注意，
表G.2 梯形近似法（方程 G.4）和辛普森法则（方程 G.6）应用于评估方程 G.5 给出的 $\Phi(1)$。精确度到八位小数的值是 0.74682413。
| $n$ | $h$ | $I_n$ (梯形近似法) | $I_{2n}$ (辛普森法则) |
|---|---|---|---|
| 10 | 0.1 | 0.74621800 | 0.74682494 |
| 100 | 0.01 | 0.74681800 | 0.74682414 |
| 1000 | 0.001 | 0.74682407 | 0.74682413 |
当 $n = 100$ 时，辛普森法则的结果与“公认”值仅在第八位小数上差一个单位。辛普森法则的误差约为 $h^4$，而梯形近似法的误差约为 $h^2$。实际上，如果 $M$ 是区间 $(a, b)$ 中 $|f^{(4)}(u)|$ 的最大值，那么误差至多为 $M(b - a)h^4/180$。习题 G-10 到 G-13 说明了梯形近似法和辛普森法则的使用。
一种理论（来自德拜）认为，单原子晶体的摩尔热容为
$$ \bar{C}_V = 9R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x-1)^2} dx $$
其中 $R$ 是摩尔气体常数（$8.314 \text{ J K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$），而 $\Theta_D$（德拜温度）是晶体物质的特征参数。已知铜的 $\Theta_D = 309 \text{ K}$，计算铜在 $T = 103 \text{ K}$ 时的摩尔热容。
解：
在 $T = 103 \text{ K}$ 时，需要进行数值评估的基本积分是
$$ I = \int_0^3 \frac{x^4 e^x}{(e^x-1)^2} dx $$
使用梯形近似法（方程 G.5）和辛普森法则（方程 G.6），我们得到以下 $I$ 值：
| $n$ | $h$ | $I_n$ (梯形近似法) | $I_{2n}$ (辛普森法则) |
|---|---|---|---|
| 10 | 0.3 | 5.9725 | 5.9648 |
| 100 | 0.03 | 5.9649 | 5.9648 |
| 1000 | 0.003 | 5.9648 | 5.9648 |
103 K 时的摩尔热容由下式给出：
$$ \bar{C}_V = 9R \left(\frac{1}{3}\right)^3 I $$
即 $\bar{C}_V = 16.5 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$，与实验值一致。
尽管牛顿-拉弗森方法和辛普森法则可以在电子表格上轻松实现，但也有许多易于使用的数值软件包，如 MathCad, Kaleidagraph, Mathematica, 或 Maple，它们可以使用更复杂的数值方法来评估代数方程的根和积分。
G-1. 求解方程 $x^5 + 2x^4 + 4x = 5$，对于介于 0 和 1 之间的根，精确到四位有效数字。
G-2. 使用牛顿-拉弗森方法推导迭代公式
$$ x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{A}{x_n}\right) $$
用于求解 $\sqrt{A}$ 的值。此公式由一位巴比伦数学家在 2000 多年前发现。使用此公式计算 $\sqrt{2}$，精确到五位有效数字。
G-3. 使用牛顿-拉弗森方法求解方程 $e^{-x} + (x/5) = 1$，精确到四位有效数字。此方程出现在习题 1-5 中。
G-4. 考虑由以下方程描述的化学反应
$$ \text{CH}_4\text{(g)} + \text{H}_2\text{O(g)} \rightleftharpoons \text{CO(g)} + 3 \text{H}_2\text{(g)} $$
在 300 K 下。如果将 1.00 atm 的 CH₄(g) 和 H₂O(g) 引入反应容器，平衡时的分压满足方程
$$ \frac{P_{CO} P_{H_2}^3}{P_{CH_4} P_{H_2O}} = \frac{(x)(3x)^3}{(1-x)(1-x)} = 26 $$
求解此方程中的 $x$。
G-5. 在第16章，我们将求解三次方程
$$ 64x^3 + 6x^2 + 12x - 1 = 0 $$
使用牛顿-拉弗森方法找到此方程唯一的实根，精确到五位有效数字。
G-6. 求解方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 的所有三个根，精确到小数点后四位。
G-7. 在示例 16-3 中，我们将求解三次方程
$$ V^3 - 0.1231V^2 + 0.02056V - 0.001271 = 0 $$
使用牛顿-拉弗森方法找到此方程接近 $V = 0.1$ 的根。
G-8. 在第 16-3 节中，我们将求解三次方程
$$ V^3 - 0.3664V^2 + 0.03802V - 0.001210 = 0 $$
使用牛顿-拉弗森方法证明此方程的三个根分别为 0.07073, 0.07897, 和 0.2167。
G-9. 牛顿-拉弗森方法不仅限于多项式方程。例如，在习题 4-38 中，我们通过在同一坐标系中绘制 $\varepsilon^{1/2} \tan \varepsilon^{1/2}$ 和 $(12 - \varepsilon)^{1/2}$ 对 $\varepsilon$ 的曲线，并注意两条曲线的交点，求解了方程
$$ \varepsilon^{1/2} \tan \varepsilon^{1/2} = (12 - \varepsilon)^{1/2} $$
求 $\varepsilon$。我们发现 $\varepsilon = 1.47$ 和 $11.37$。使用牛顿-拉弗森方法求解上述方程，并获得相同的 $\varepsilon$ 值。
G-10. 使用梯形近似法和辛普森法则计算
$$ I = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2} $$
此积分可以解析计算；它由 $\tan^{-1}(1)$ 给出，等于 $\pi/4$，所以 $I = 0.78539816$（到小数点后八位）。
G-11. 通过计算
$$ \ln 2 = \int_1^2 \frac{dx}{x} $$
求 $\ln 2$，精确到小数点后六位。需要多少个区间 $n$ 才能保证六位有效数字的精度？
G-12. 使用辛普森法则计算
$$ I = \int_0^\infty e^{-x^2} dx $$
并将您的结果与精确值 $\sqrt{\pi}/2$ 进行比较。
G-13. 积分
$$ I = \int_0^\infty \frac{x^3 dx}{e^x - 1} $$
出现在习题 1-42 中，其中我们使用了它的精确值 $\pi^4/15$。使用辛普森法则计算 $I$，精确到小数点后六位。
G-14. 使用数值软件包，例如 MathCad, Kaleidagraph, 或 Mathematica，计算积分
$$ S = 4\pi^{1/2} \left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{3/4} \int_0^\infty r^2 e^{-r^2} e^{-\alpha r^2} dr $$
对于 $\alpha$ 在 0.200 到 0.300 之间的值，并证明 $S$ 在 $\alpha = 0.271$ 处有最大值（参见习题 11-11）。
约翰内斯·迪德里克·范德瓦尔斯（Johannes Diderik van der Waals）于1837年11月23日出生于荷兰莱顿，卒于1923年。由于他未曾学习拉丁语和希腊语，起初无法继续大学学业，因此在中学担任教师。然而，在新法规通过后，范德瓦尔斯获得了大学古典语言要求的豁免，并于1873年在莱顿大学提交了他的博士论文。在他的论文中，他提出了对气相和液相连续性以及临界点现象的解释，并推导出了一个新的气体状态方程，现称为范德瓦尔斯方程。几年后，他提出了对应态定律，该定律将所有气体的性质归结为一个共同基础。尽管他的论文是用荷兰语写的，但他的工作很快引起了麦克斯韦的注意，麦克斯韦于1875年在英国期刊《自然》上发表了一篇英文评论，从而使这项工作引起了更广泛读者的关注。1876年，范德瓦尔斯被任命为新成立的阿姆斯特丹大学的第一任物理学教授。该大学在很大程度上通过范德瓦尔斯的影响，成为了流体理论和实验研究的中心。范德瓦尔斯因其“关于气体和液体状态方程的工作”于1910年被授予诺贝尔物理学奖。