好的，以下是原文的忠实中文翻译，保留了原有的格式，并根据您的要求将中文名词加粗：
在下一章中，我们将学习熵，它是一个热力学态函数，在分子层面可以解释为衡量系统无序程度的指标。为此，我们需要将系统无序的概念量化。我们将遇到的一个问题是确定如何排列 $N$ 个可区分对象，使得第一组中有 $n_1$ 个对象，第二组中有 $n_2$ 个对象，等等，满足
$$ n_1 + n_2 + n_3 + \dots = N $$
也就是说，所有对象都得到分配。这个问题实际上是统计学中一个相当标准的问题。
首先，我们来解决将 $N$ 个可区分对象分成两组的问题，然后将结果推广到任意数量的组。首先，我们计算 $N$ 个可区分对象的排列数，即 $N$ 个可区分对象的不同排列或排序方式的数量。我们从 $N$ 个对象中选择一个放在第一个位置，从剩余的 $N-1$ 个对象中选择一个放在第二个位置，以此类推，直到所有 $N$ 个对象都被排序。显然，第一个位置有 $N$ 种选择，第二个位置有 $N-1$ 种选择，依此类推，直到最后只剩下一个对象用于第 $N$ 个位置。总的排序方式的数量是所有选择的乘积：
$$ N(N-1)(N-2) \dots (2)(1) = N! $$
接下来，我们计算将 $N$ 个可区分对象分成两组的方式的数量，其中一组包含 $N_1$ 个对象，另一组包含剩余的 $N - N_1 = N_2$ 个对象。有
$$ N(N-1) \dots (N-N_1+1) $$
$N_1$ 项的方法来形成第一组。这个乘积可以更方便地写成
$$ N(N-1)(N-2) \dots (N-N_1+1) = \frac{N!}{(N-N_1)!} \quad (\text{J.1}) $$
这可以通过注意到
$$ N! = (N)(N-1) \dots (N-N_1+1) \times (N-N_1)! $$
来看出。形成第二组的方式的数量是 $N_2! = (N - N_1)!$。你可能会认为总的排列的数量是这两个因数的乘积，$N!/(N-N_1)!$ 和 $N_2!$，但这个乘积严重地多算了情况，因为在第一组中排列 $N_1$ 个对象以及在第二组中排列 $N_2$ 个对象的顺序与所陈述的问题无关。第一组的所有 $N_1!$ 种顺序和第二组的所有 $N_2!$ 种顺序对应于将 $N$ 个可区分对象分成包含 $N_1$ 和 $N_2$ 个对象的一组的一种划分方式。因此，我们将 $N!/(N-N_1)!$ 和 $N_2!$ 的乘积除以 $N_1!$ 和 $N_2!$，得到
$$ W(N_1, N_2) = \frac{N!}{(N-N_1)!N_1!} = \frac{N!}{N_1!N_2!} \quad (\text{J.2}) $$
其中我们用 $W(N_1, N_2)$ 表示结果。(问题 J-12 表明 $0! = 1$。)
使用公式 J.2 计算将四个可区分对象分成包含三个对象和单个对象的两组的方式的数量。通过明确列举来验证你的结果。
解答： 我们有 $N=4$， $N_1=3$， 和 $N_2=1$， 因此公式 J.2 给出
$$ W(3, 1) = \frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6 \times 1} = 4 $$
如果我们让 a, b, c, d 是四个可区分对象，则四种排列方式是 abc: d, abd: c, acd: b, 和 bcd: a。没有其他方式了。
公式 J.2 中的组合因数称为二项式系数，因为二项式 $(x+y)^N$ 的展开式由下式给出：
$$ (x+y)^N = \sum_{N_1=0}^N \frac{N!}{N_1!(N-N_1)!} x^{N_1} y^{N-N_1} \quad (\text{J.3}) $$
例如，
$$ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = \sum_{N_1=0}^2 \frac{2!}{N_1!(2-N_1)!} x^{N_1} y^{2-N_1} $$
和
$$ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = \sum_{N_1=0}^3 \frac{3!}{N_1!(3-N_1)!} x^{N_1} y^{3-N_1} $$
公式 J.3 可以写成更对称的形式：
$$ (x+y)^N = \sum_{N_1=0}^N \sum_{N_2=0}^N {}^* \frac{N!}{N_1!N_2!} x^{N_1} y^{N_2} \quad (\text{J.4}) $$
其中求和符号上的星号表示只包含满足 $N_1 + N_2 = N$ 的项。二项式展开的这种对称形式暗示了下面公式 J.6 中给出的多项式展开的形式。简单的数值示例验证了公式 J.3 和 J.4 是等效的。
公式 J.2 推广到将 $N$ 个可区分对象分成 $r$ 组，第一组包含 $N_1$ 个，第二组包含 $N_2$ 个，依此类推，形式如下：
$$ W(N_1, N_2, \dots, N_r) = \frac{N!}{N_1!N_2!\dots N_r!} \quad (\text{J.5}) $$
其中 $N_1 + N_2 + \dots + N_r = N$。这个量称为多项式系数，因为它出现在多项式展开中：
$$ (x_1 + x_2 + \dots + x_r)^N = \sum_{N_1=0}^N \sum_{N_2=0}^N \dots \sum_{N_r=0}^N {}^* \frac{N!}{N_1!N_2!\dots N_r!} x_1^{N_1} x_2^{N_2} \dots x_r^{N_r} \quad (\text{J.6}) $$
其中星号表示只包含满足 $N_1 + N_2 + \dots + N_r = N$ 的项。注意公式 J.6 如何直接推广了公式 J.4。
计算将 10 个可区分对象分成包含 2 个、5 个和 3 个对象的三个组的方式的数量。
解答： 我们使用公式 J.5：
$$ W(2, 5, 3) = \frac{10!}{2!5!3!} = \frac{3628800}{(2)(120)(6)} = \frac{3628800}{1440} = 2520 $$
如果我们使用公式 J.5 计算将阿伏伽德罗数粒子分布到它们的能态的方式的数量，那么我们被迫处理巨大数的阶乘。即使计算 100! 也是一件苦差事，更不用说 $10^{23}!$ 了，除非我们对 $N!$ 有一个很好的近似。我们将看到，对于 $N!$ 有一种近似，它实际上随着 $N$ 的增大而改进。这种近似称为渐近近似，即函数随着自变量增加而变得越来越精确的近似。
因为 $N!$ 是一个乘积，所以处理 $\ln N!$ 很方便，因为它是一个和。$\ln N!$ 的渐近展开式称为斯特林近似，由下式给出：
$$ \ln N! = N \ln N - N \quad (\text{J.7}) $$
这肯定比计算 $N!$ 再取对数容易得多。表 J.1 显示了 $\ln N!$ 的值与斯特林近似值对于不同 $N$ 值的比较。注意，协议 (我们用相对误差表示) 随着 $N$ 的增加显著改善。
更精确版本的斯特林近似 (我们在下一章中不需要使用) 是：
$$ \ln N! \approx N \ln N - N + \ln(2\pi N)^{1/2} $$
使用这个版本的斯特林近似计算 $N = 10$ 的 $\ln N!$，并将相对误差与表 J.1 中的进行比较。
解答： 对于 $N=10$，
$$ \ln 10! \approx 10 \ln 10 - 10 + \ln(2\pi \times 10)^{1/2} = 10(2.3026) - 10 + \ln(62.83)^{1/2} = 23.026 - 10 + (1/2)\ln(62.83) = 13.026 + (1/2)(4.140) = 13.026 + 2.070 = 15.096 $$
使用表 J.1 中 $\ln 10!$ 的值，我们看到
$$ \text{相对误差} = \frac{15.104 - 15.096}{15.104} = \frac{0.008}{15.104} \approx 0.0005 $$
相对误差显著小于表 J.1 中的值。对于表 J.1 中其他项，使用此扩展版本的斯特林近似，相对误差基本为零。
表 J.1 $\ln N!$ 与斯特林近似的数值比较。
| N | $\ln N!$ | $N \ln N - N$ | 相对误差$^a$ |
|---|---|---|---|
| 10 | 15.104 | 13.026 | 0.1376 |
| 50 | 148.48 | 145.60 | 0.0194 |
| 100 | 363.74 | 360.52 | 0.0089 |
| 500 | 2611.3 | 2607.3 | 0.0015 |
| 1000 | 5912.1 | 5907.7 | 0.0007 |
$^a$相对误差 = $(\ln N! - (N \ln N - N))/ \ln N!$
斯特林近似的证明并不困难。因为 $N!$ 由 $N! = N(N - 1)(N - 2) \dots (2)(1)$ 给出，所以 $\ln N!$ 由下式给出：
$$ \ln N! = \sum_{n=1}^N \ln n \quad (\text{J.8}) $$
图 J.1 显示了整数 x 对应的 $\ln x$ 图像。根据公式 J.8，图 J.1 中到 N 为止的矩形下的面积总和是 $\ln N!$。图 J.1 也显示了在同一张图上绘制的连续曲线 $\ln x$。因此，可以看出 $\ln x$ 形成了矩形的包络线，并且随着 x 增加，这个包络线越来越平滑地近似于这些矩形。因此，我们可以用 $\ln x$ 的积分来近似这些矩形下的面积。$\ln x$ 下的面积仅在开始时会很差地近似矩形。如果 N 足够大 (我们正在推导一个渐近展开式)，这部分面积对总面积的贡献将可以忽略不计。那么，我们可以写成：
$$ \ln N! = \sum_{n=1}^N \ln n \approx \int_1^N \ln x dx = N \ln N - N \quad (N \text{ 很大时}) \quad (\text{J.9}) $$
这就是 $\ln N!$ 的斯特林近似。下限也可以取为 0，因为 N 很大。(记住当 $x \to 0$ 时，$x \ln x \to 0$。) 我们将在接下来的几章中频繁使用斯特林近似。
图 J.1
$\ln x$ 对 x 的图。到 N 为止的矩形下的面积总和是 $\ln N!$。
J-1. 使用公式 J.3 写出 $(1 + x)^5$ 的展开式。使用公式 J.4 做同样的事情。 J-2. 使用公式 J.6 写出 $(x + y + z)^2$ 的表达式。将你的结果与通过将 $(x + y + z)$ 乘以 $(x + y + z)$ 获得的结果进行比较。 J-3. 使用公式 J.6 写出 $(x + y + z)^4$ 的表达式。将你的结果与通过将问题 J-2 中的 $(x + y + z)^2$ 乘以自身获得的结果进行比较。 J-4. 字母 a, b, c 有多少种排列方式？数量是多少？ J-5. $(1 + x)^n$ 展开式的系数可以排列成以下形式：
n 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1
你是否看到从一行到下一行的模式？这里的三角形排列称为帕斯卡三角形。 J-6. 从九人中选择三人的委员会有多少种方式？数量是多少？ J-7. 使用示例 J-3 中给出的斯特林近似公式计算 $N = 50$ 时的相对误差，并将结果与使用公式 J.7 在表 J.1 中给出的结果进行比较。取 $\ln 50!$ 为 148.47776 (摘自 CRC Handbook of Chemistry and Physics)。 J-8. 证明当 $x \to 0$ 时，$x \ln x \to 0$。 J-9. 证明 $W(N, N_1) = N!/(N - N_1)!N_1!$ 的最大值在 $N_1 = N/2$ 时取得。(提示：将 $N_1$ 视为连续变量。) J-10. 证明公式 J.5 中 $W(N_1, N_2, \dots, N_r)$ 的最大值在 $N_1 = N_2 = \dots = N_r = N/r$ 时取得。 J-11. 证明
$$ \sum_{k=0}^N \frac{N!}{k!(N-k)!} = 2^N $$
J-12. 我们定义的 $n!$ 量只对正整数 $n$ 定义。现在考虑由下式定义的关于 $x$ 的函数：
$$ \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt \quad (1) $$
分部积分 (令 $u = t^{x-1}$ 和 $dv = e^{-t}dt$) 得到：
$$ \Gamma(x) = (x - 1) \int_0^\infty t^{x-2}e^{-t}dt = (x - 1)\Gamma(x-1) \quad (2) $$
现在使用公式 2 证明如果 $x$ 是正整数，则 $\Gamma(x) = (x-1)!$。尽管公式 2 提供了一个通用的函数，当 $x$ 取整数值时等于 $(n - 1)!$，但它对非整数值也同样定义良好。例如，证明 $\Gamma(3/2)$，在某种意义上是 $(1/2)!$，等于 $\pi^{1/2}/2$。公式 1 也可用于解释为什么 $0! = 1$。在公式 1 中令 $x = 1$ 来证明 $\Gamma(1)$ (我们可以写成 $0!$) 等于 1。由公式 1 定义的函数 $\Gamma(x)$ 称为伽马函数，由欧拉引入以推广阶乘概念至一般值 $n$。伽马函数出现在化学和物理学的许多问题中。
鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）于 1822 年 1 月 2 日出生于普鲁士科斯林（现波兰科沙林），于 1888 年逝世。尽管克劳修斯最初对历史感兴趣，但他最终于 1847 年在哈雷大学获得了数学物理学的博士学位。他在苏黎世大学任职多年，但后来回到德国，并于 1871 年在波恩大学安顿下来，在那里度过了余生。克劳修斯被誉为热力学早期基础的奠基人。1850 年，他发表了第一篇关于热力学理论的伟大论文，他在其中拒绝了当时流行的热质说，并论证系统的能量是一个热力学态函数。1865 年，他发表了第二篇里程碑式的论文，在其中引入了另一个新的热力学态函数，他称之为熵，并用熵表达了热力学第二定律。克劳修斯还研究了气体动理论并做出了重要贡献。他有些沙文主义，强烈捍卫德国的成就，反对他认为的他人侵犯。克劳修斯的大部分工作是在 1870 年之前完成的，这是因为他生命中的两件事件。1870 年，他在普法战争中作为救护队成员受伤，伤痛伴随余生。更悲惨的是，他的妻子死于难产，他承担起了抚养六个年幼子女的责任。