1925年，欧文·薛定谔和维尔纳·海森堡独立地建立了一个普适性的量子理论。初看起来，这两种方法似乎截然不同，因为海森堡的方法是用矩阵表述的，而薛定谔的方法是用偏微分方程表述的。然而仅仅一年后，薛定谔就证明了这两种表述在数学上是等价的。由于大多数物理化学专业的学生对矩阵代数不熟悉，量子理论通常按照薛定谔的表述来呈现，其核心特征是一个现在被称为薛定谔方程的偏微分方程。偏微分方程听起来可能并不比矩阵代数更令人放心，但幸运的是，处理本书中的问题只需要基本的微积分。经典物理学中的波动方程描述了各种波动现象，例如振动弦、振动鼓膜、海浪和声波。经典波动方程不仅为薛定谔方程提供了物理背景，而且求解经典波动方程所涉及的数学对于任何关于量子力学的讨论都至关重要。由于大多数物理化学专业的学生对经典波动方程知之甚少，本章将讨论这个主题。特别是，我们将求解振动弦的标准问题，因为求解此问题的方法不仅与我们求解薛定谔方程的方法相似，而且还为我们提供了将问题的数学解与其物理性质联系起来的绝佳机会。本章末的许多问题说明了物理问题与本章所发展的数学之间的联系。
考虑一根固定在两个定点之间的均匀拉紧的弦，如图2.1所示。弦偏离其平衡水平位置的最大位移称为其振幅。如果我们用 $u(x, t)$ 表示弦的位移，则 $u(x, t)$ 满足方程
$$ \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2} \quad (2.1) $$
其中 $v$ 是扰动沿弦传播的速度。方程2.1是经典波动方程。方程2.1是一个偏微分方程，因为未知函数 $u(x, t)$ 出现在偏导数中。变量 $x$ 和 $t$ 被称为自变量，而依赖于 $x$ 和 $t$ 的 $u(x, t)$ 被称为因变量。方程2.1是一个线性偏微分方程，因为 $u(x, t)$ 及其导数只出现一次方，并且没有交叉项。
除了必须满足方程2.1之外，振幅 $u(x, t)$ 还必须满足某些物理条件。由于弦的两端固定，在这两个点的振幅始终为零，因此我们有以下要求：
$$ u(0, t) = 0 \quad \text{and} \quad u(l, t) = 0 \quad \text{(对于所有 t)} \quad (2.2) $$
这两个条件称为边界条件，因为它们规定了 $u(x, t)$ 在边界上的行为。通常，偏微分方程必须在某些边界条件下求解，这些条件的性质将从物理角度明显看出。
经典波动方程以及薛定谔方程和物理化学中出现的许多其他偏微分方程，通常可以用一种称为分离变量法的方法求解。我们将使用振动弦问题来说明这种方法。
41
分离变量法的关键步骤是假设 $u(x, t)$ 可以分解为一个仅依赖于 $x$ 的函数 $X(x)$ 乘以一个仅依赖于 $t$ 的函数 $T(t)$，即
$$ u(x, t) = X(x)T(t) \quad (2.3) $$
如果我们将方程2.3代入方程2.1，我们得到
$$ T(t) \frac{d^2 X(x)}{dx^2} = \frac{1}{v^2} X(x) \frac{d^2 T(t)}{dt^2} \quad (2.4) $$
现在我们除以 $u(x, t) = X(x)T(t)$，得到
$$ \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} = \frac{1}{v^2 T(t)} \frac{d^2 T(t)}{dt^2} \quad (2.5) $$
方程2.5的左边仅是 $x$ 的函数，右边仅是 $t$ 的函数。由于 $x$ 和 $t$ 是独立的变量，方程2.5的每一边都可以独立地变化。要使两边的等式在 $x$ 和 $t$ 的任何变化下都保持不变，唯一的方法是使每一边都等于一个常数。如果我们设这个常数为 $K$，我们可以写出
$$ \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} = K \quad (2.6) $$
和
$$ \frac{1}{v^2 T(t)} \frac{d^2 T(t)}{dt^2} = K \quad (2.7) $$
其中 $K$ 称为分离常数，将在后面确定。方程2.6和2.7可以写成
$$ \frac{d^2 X(x)}{dx^2} - K X(x) = 0 \quad (2.8) $$
和
$$ \frac{d^2 T(t)}{dt^2} - K v^2 T(t) = 0 \quad (2.9) $$
方程2.8和2.9称为常微分方程（与偏微分方程相对），因为未知函数 $X(x)$ 和 $T(t)$ 在此情况下以常导数的形式出现。这两个微分方程都是线性的，因为未知函数及其导数只出现一次方。此外，这些方程中涉及未知函数的每一项的系数都是常数；也就是说，方程2.8中是 1 和 $-K$，方程2.9中是 1 和 $-Kv^2$。这些方程被称为带常系数的线性微分方程，并且很容易求解，正如我们将看到的。
方程2.8和2.9中的 $K$ 值尚未确定。我们现在不知道 $K$ 是正数、负数，甚至是零。让我们首先假设 $K = 0$。在这种情况下，方程2.8和2.9可以立即积分得到
$$ X(x) = a_1 x + b_1 \quad (2.10) $$
和
$$ T(t) = a_2 t + b_2 \quad (2.11) $$
其中 $a$ 和 $b$ 只是积分常数，可以通过使用方程2.2中给出的边界条件来确定。用 $X(x)$ 和 $T(t)$ 表示，边界条件是
$$ u(0, t) = X(0)T(t) = 0 \quad (2.12) $$
和
$$ u(l, t) = X(l)T(t) = 0 \quad (2.13) $$
由于 $T(t)$ 肯定不会对所有 $t$ 都消失，我们必须有
$$ X(0) = 0 \quad \text{and} \quad X(l) = 0 \quad (2.14) $$
这就是边界条件对 $X(x)$ 的影响。回到方程2.10，我们得出结论，满足方程2.14的唯一方法是 $a_1 = b_1 = 0$，这意味着 $X(x) = 0$，因此对于所有 $x$ 都有 $u(x, t) = 0$。这被称为方程2.1的平凡解，没有物理意义。（丢弃数学方程的解不应该让您感到不安。我们从物理学中得知，每个物理上可接受的解 $u(x, t)$ 都必须满足方程2.1，而不是方程的每个解都物理上可接受。）
我们来看看 $K > 0$ 时方程2.8和2.9。这两个方程都具有形式
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - k^2 y(x) = 0 \quad (2.15) $$
其中 $k$ 是一个实常数。经验表明，右侧等于零的带常系数的线性微分方程的每个解都具有 $y(x) = e^{\alpha x}$ 的形式，其中 $\alpha$ 是待确定的常数。因此，我们在方程2.15中设 $y(x) = e^{\alpha x}$，得到
$$ (\alpha^2 - k^2)y(x) = 0 $$
因此，$(\alpha^2 - k^2)$ 或 $y(x)$ 必须等于零。$y(x) = 0$ 的情况是一个平凡解，所以 $\alpha^2 - k^2$ 必须等于零。因此，
$$ \alpha = \pm k $$
43 2-2. 波动方程可以用分离变量法求解
因此，有两个解：$y(x) = e^{kx}$ 和 $e^{-kx}$。我们可以很容易地证明
$$ y(x) = c_1 e^{kx} + c_2 e^{-kx} $$
（其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数）也是一个解。这是所有具有方程2.15的形式的微分方程的通解。两个解 $e^{kx}$ 和 $e^{-kx}$ 的和也是一个解，这一事实直接源于方程2.15是一个线性微分方程。注意，方程2.15中的最高阶导数是二阶导数，这意味着在某种意义上，我们在找到其解时进行了两次积分。当我们进行两次积分时，我们总是会得到两个积分常数。我们找到的解有两个常数 $c_1$ 和 $c_2$，这表明它是最一般的解。
其他带常系数常微分方程的解最好通过例子来说明。
求解方程
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0 $$
解：
如果我们将 $y(x) = e^{\alpha x}$ 代入此微分方程，我们得到
$$ \alpha^2 y - 3\alpha y + 2y = 0 $$
$$ \alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0 $$
$$ (\alpha - 2)(\alpha - 1) = 0 $$
或者 $\alpha = 1$ 和 2。两个解是 $y(x) = e^x$ 和 $y(x) = e^{2x}$，通解是
$$ y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} $$
通过将此解代回原方程来证明这一点。
求解例2-1中的方程，受制于两个边界条件 $y(0) = 0$ 和 $dy/dx(\text{在 } x = 0) = -1$。
解：
通解是
$$ y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} $$
给定的两个条件允许我们确定 $c_1$ 和 $c_2$，从而找到一个特解。将 $x = 0$ 代入 $y(x)$ 并将 $x = 0$ 代入 $dy/dx$ 得到
$$ y(0) = c_1 + c_2 = 0 $$
$$ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} = c_1 + 2c_2 = -1 $$
同时解这两个方程得到 $c_1 = 1$ 和 $c_2 = -1$，因此
$$ y(x) = e^x - e^{2x} $$
不仅满足微分方程，而且满足两个边界条件。
现在我们考虑方程2.8和2.9中 $K < 0$ 的情况。在这种情况下，$\alpha$ 将是虚数。作为一个具体的例子，考虑微分方程
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + y(x) = 0 \quad (2.16) $$
这本质上是 $K = -1$ 的方程2.8。如果我们设 $y(x) = e^{\alpha x}$，我们有
$$ (\alpha^2 + 1) y(x) = 0 $$
或者
$$ \alpha = \pm i $$
(数学附录 A)。方程2.16的通解是
$$ y(x) = c_1 e^{ix} + c_2 e^{-ix} \quad (2.17) $$
我们可以很容易地通过将方程2.17直接代入方程2.16来验证这是一个解。
使用欧拉公式（方程 A.6）改写方程2.17中的 $e^{ix}$ 或 $e^{-ix}$ 通常更方便：
$$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$
如果我们将欧拉公式代入方程2.17，我们发现
$$ y(x) = c_1 (\cos x + i \sin x) + c_2 (\cos x - i \sin x) $$
$$ = (c_1 + c_2) \cos x + (ic_1 - ic_2) \sin x $$
45 2-3. 一些微分方程具有振荡解
但是 $c_1 + c_2$ 和 $ic_1 - ic_2$ 也只是常数，如果我们分别称它们为 $c_3$ 和 $c_4$，我们可以写成
$$ y(x) = c_3 \cos x + c_4 \sin x $$
代替
$$ y(x) = c_1 e^{ix} + c_2 e^{-ix} $$
这两种形式的 $y(x)$ 是等价的。
证明
$$ y(x) = A \cos x + B \sin x $$
（其中 $A$ 和 $B$ 是常数）是微分方程
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + y(x) = 0 $$
的一个解。
解：
$y(x)$ 的一阶导数是
$$ \frac{dy}{dx} = -A \sin x + B \cos x $$
二阶导数是
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} = -A \cos x - B \sin x $$
因此，我们看到
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + y(x) = (-A \cos x - B \sin x) + (A \cos x + B \sin x) = 0 $$
或者说 $y(x) = A \cos x + B \sin x$ 是微分方程
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + y(x) = 0 $$
的一个解。
下一个例子很重要，其通解应该被掌握。
求解方程
$$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0 $$
受制于初始条件 $x(0) = A$ 且 $dx/dt = 0$ 在 $t = 0$ 时。
46 第二章 / 经典波动方程
解：
在这种情况下，我们发现 $\alpha = \pm i\omega$ 并且
$$ x(t) = c_1 e^{i\omega t} + c_2 e^{-i\omega t} $$
或者
$$ x(t) = c_3 \cos \omega t + c_4 \sin \omega t $$
现在
$$ x(0) = c_3 = A $$
和
$$ \left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=0} = \omega c_4 = 0 $$
这意味着 $c_4 = 0$，我们正在寻找的特解是
$$ x(t) = A \cos \omega t $$
此解绘制在图2.2中。注意它随时间呈余弦振荡，振幅为 $A$。振荡的波长为 $2\pi/\omega$，频率 $\nu$ 由下式给出（见问题2-3）
$$ \nu = \frac{\omega}{2\pi} $$
+A x(t) -A t 图 2.2
$x(t) = A \cos \omega t$ 的图，这是例2-4中问题的解。振幅为 $A$，波长为 $2\pi/\omega$，频率为 $\omega/2\pi$。
现在让我们评估一下目前的进展。我们通过对波动方程应用分离变量法获得了方程2.8和2.9。我们已经证明，如果分离常数 $K$ 为零，那么只会得到一个平凡解。现在让我们假设 $K$ 是正数。为此，我们将 $K$ 写成 $\beta^2$，其中 $\beta$ 是实数。这确保了
47 2-4. 波动方程的通解是简正模式的叠加
$K$ 是正数，因为它是一个实数的平方。在 $K = \beta^2$ 的情况下，方程2.8的通解是
$$ X(x) = c_1 e^{\beta x} + c_2 e^{-\beta x} $$
我们可以很容易地证明，满足边界条件（方程2.14）的唯一方法是 $c_1 = c_2 = 0$，因此我们再次只找到一个平凡解。
让我们希望假设 $K$ 为负数会给我们一些有趣的东西。如果我们设 $K = -\beta^2$，那么如果 $\beta$ 是实数，则 $K$ 是负数。在这种情况下，方程2.8是
$$ \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \beta^2 X(x) = 0 $$
参照例2-4中获得的结果，我们看到通解可以写成
$$ X(x) = A \cos \beta x + B \sin \beta x $$
边界条件 $X(0) = 0$ 意味着 $A = 0$。边界 $x = l$ 处的条件是
$$ X(l) = B \sin \beta l = 0 \quad (2.18) $$
方程2.18可以通过两种方式满足。一种是 $B = 0$，但这与 $A = 0$ 一起导致了平凡解。另一种方式是要求 $\sin \beta l = 0$。由于 $\sin \theta = 0$ 当 $\theta = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$ 时，方程2.18意味着
$$ \beta l = n\pi \quad n = 1, 2, 3, \dots \quad (2.19) $$
这里我们省略了 $n = 0$ 的情况，因为它导致 $\beta = 0$，从而产生一个平凡解。方程2.19确定了参数 $\beta$，从而确定了分离常数 $K = -\beta^2$。到目前为止，我们有
$$ X(x) = B \sin \frac{n\pi x}{l} \quad (2.20) $$
记住我们还有方程2.9要解。方程2.9可以写成
$$ \frac{d^2 T(t)}{dt^2} + \beta^2 v^2 T(t) = 0 \quad (2.21) $$
其中方程2.19表明 $\beta = n\pi/l$。再次参照例2-4中获得的结果，方程2.21的通解是
$$ T(t) = D \cos \omega_n t + E \sin \omega_n t \quad (2.22) $$
48 第二章 / 经典波动方程
其中 $\omega_n = \beta v = n\pi v/l$。我们没有条件来指定 $D$ 和 $E$，所以振幅 $u(x, t)$ 是（参见方程2.3）
$$ u(x, t) = X(x)T(t) $$
$$ = \left( B \sin \frac{n\pi x}{l} \right) (D \cos \omega_n t + E \sin \omega_n t) $$
$$ = (F_n \cos \omega_n t + G_n \sin \omega_n t) \sin \frac{n\pi x}{l} \quad n = 1, 2, \dots $$
这里我们设 $F_n = BD$ 和 $G_n = EB$。因为每个整数 $n$ 都有一个 $u(x, t)$，并且 $F$ 和 $G$ 的值可能依赖于 $n$，我们应该将 $u(x, t)$ 写成
$$ u_n(x, t) = (F_n \cos \omega_n t + G_n \sin \omega_n t) \sin \frac{n\pi x}{l} \quad n = 1, 2, \dots \quad (2.23) $$
由于每个 $u_n(x, t)$ 都是线性微分方程/方程2.1的解，它们的和也是方程2.1的解，并且实际上是通解。因此，对于通解，我们有
$$ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} (F_n \cos \omega_n t + G_n \sin \omega_n t) \sin \frac{n\pi x}{l} \quad n = 1, 2, \dots \quad (2.24) $$
无论弦最初如何被拨动，其形状都将按照方程2.24演变。我们可以通过直接代入很容易验证方程2.24是方程2.1的解。问题2-5表明，$F \cos \omega t + G \sin \omega t$ 可以写成等价形式 $A \cos(\omega t + \phi)$，其中 $A$ 和 $\phi$ 是可用 $F$ 和 $G$ 表示的常数。量 $A$ 是波的振幅，$\phi$ 称为相位角。使用这个关系，我们可以将方程2.24写成以下形式
$$ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(\omega_n t + \phi_n) \sin \frac{n\pi x}{l} = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x, t) \quad (2.25) $$
方程2.25有一个很好的物理解释。每个 $u_n(x, t)$ 都称为简正模式，每个简正模式的时间依赖性表示频率为
$$ \nu_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = \frac{nv}{2l} \quad (2.26) $$
其中我们使用了 $\omega_n = \beta v = n\pi v/l$ 的事实（参见方程2.19）。方程2.25中前几项的空间依赖性如图2.3所示。第一项 $u_1(x, t)$，称为基频或第一谐波，代表图2.3a所示运动的频率为 $v/2l$ 的正弦（谐波）时间依赖性。第二谐波或第一泛音 $u_2(x, t)$ 以频率 $v/l$ 谐波振动，看起来像图2.3b所示的运动。注意，此谐波的中点在所有 $t$ 时都固定在零。这样的点称为波节，这是一个在量子力学中也会出现的概念。注意 $u(0)$ 和 $u(l)$ 也等于零。这些项不是波节，因为它们的值由边界条件固定。注意
49 и u и 0 (a) 图 2.3
0 1 0 1 (b) (c) 振动弦的前三种简正模式。注意每个简正模式都是一个驻波，并且第 $n$ 个谐波有 $n - 1$ 个波节。
第二谐波的振荡频率是第一谐波的两倍。图2.3c显示第三谐波或第二泛音有两个波节。很容易继续并证明波节的数量等于 $n - 1$（问题2-10）。图2.3中所示的波称为驻波，因为波节的位置随时间固定。在波节/之间，弦上下振荡。
考虑一个简单的例子，其中 $u(x, t)$ 仅包含前两个谐波，形式为（参见方程2.25）
$$ u(x, t) = \cos \omega_1 t \sin \frac{\pi x}{l} + \frac{1}{2} \cos \left(\omega_2 t + \frac{\pi}{2}\right) \sin \frac{2\pi x}{l} \quad (2.27) $$
方程2.27在图2.4中进行了说明。图2.4的左侧显示了每种模式的时间依赖性。注意，图示时间内 $u_2(x, t)$ 已经完成了一个完整的振荡，而 $u_1(x, t)$ 只完成了半个周期，这很好地说明了 $\omega_2 = 2\omega_1$。图2.4的右侧显示了两个谐波的总和，或者说弦随时间变化的实际运动。您可以看到图左侧驻波的叠加如何产生了右侧的行波。将任何复杂、一般的波运动分解为简正模式的和或叠加是振荡行为的一个基本性质，并且源于波动方程是一个线性方程的事实。
从波动方程到其解的路径相当长，因为我们必须学习如何求解某类常微分方程。整体过程实际上是直接的，为了说明此过程，我们将在第2-5节中求解振动矩形膜的问题，这是一个二维问题。
方程2.1向二维的推广是
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \quad (2.28) $$
图 2.4
说明两个驻波如何组合产生行波。在两部分中，时间向下增加。左侧部分显示了前两个谐波的独立运动。两个谐波都是驻波；第一谐波在所示时间内完成半个周期，第二谐波完成一个完整的周期。右侧显示了两个谐波的总和。总和不是驻波。如图所示，总和是一个在固定端之间来回传播的行波。所示时间内，行波完成了半个周期。
其中 $u = u(x, y, t)$，而 $x, y,$ 和 $t$ 是自变量。我们将此方程应用于一个整个周长都被夹紧的矩形膜。参照图2.5中的几何形状，我们看到 $u(x, y, t)$ 必须满足的边界条件，因为它的四条边都被夹紧：
$$ u(0, y) = u(a, y) = 0 \quad \text{(对于所有 t)} \ u(x, 0) = u(x, b) = 0 \quad \text{(对于所有 t)} \quad (2.29) $$
通过将分离变量法应用于方程2.28，我们假设 $u(x, y, t)$ 可以写成空间部分和时间部分的乘积，即
$$ u(x, y, t) = F(x, y)T(t) \quad (2.30) $$
我们将方程2.30代入方程2.28并除以 $F(x, y)T(t)$，得到
$$ \frac{1}{v^2 T(t)} \frac{d^2 T(t)}{dt^2} = \frac{1}{F(x, y)} \left( \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \right) \quad (2.31) $$
图 2.5
一个沿周长夹紧的矩形膜。
方程2.31的右边仅是 $x$ 和 $y$ 的函数，左边仅是 $t$ 的函数。只有当两边都等于一个常数时，这种等式才能对所有 $t, x,$ 和 $y$ 都成立。预料到分离常数会像前几节一样是负数，我们将其写为 $-\beta^2$，并得到两个分离的方程
$$ \frac{d^2 T}{dt^2} + v^2 \beta^2 T(t) = 0 \quad (2.32) $$
和
$$ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} + \beta^2 F(x, y) = 0 \quad (2.33) $$
方程2.33仍然是一个偏微分方程。为了求解它，我们再次使用分离变量法。将 $F(x, y) = X(x)Y(y)$ 代入方程2.33并除以 $X(x)Y(y)$，得到
$$ \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac{d^2 Y(y)}{dy^2} + \beta^2 = 0 \quad (2.34) $$
我们再次论证，由于 $x$ 和 $y$ 是独立变量，此方程能够成立的唯一方法是
$$ \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} = -p^2 \quad (2.35) $$
和
$$ \frac{1}{Y(y)} \frac{d^2 Y(y)}{dy^2} = -q^2 \quad (2.36) $$
52 第二章 / 经典波动方程
其中 $p^2$ 和 $q^2$ 是分离常数，根据方程2.34必须满足
$$ p^2 + q^2 = \beta^2 \quad (2.37) $$
方程2.35和2.36可以重写/写成
$$ \frac{d^2 X}{dx^2} + p^2 X(x) = 0 \quad (2.38) $$
和
$$ \frac{d^2 Y}{dy^2} + q^2 Y(y) = 0 \quad (2.39) $$
方程2.28，一个三个变量的偏微分方程，已被简化为三个常微分方程（方程2.32、2.38和2.39），每个方程都与例2-4中讨论的形式完全相同。方程2.38和2.39的解是
$$ X(x) = A \cos px + B \sin px \quad (2.40) $$
和
$$ Y(y) = C \cos qy + D \sin qy \quad (2.41) $$
边界条件，方程2.29，用函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 表示，是
$$ X(0)Y(y) = X(a)Y(y) = 0 $$
和
$$ X(x)Y(0) = X(x)Y(b) = 0 $$
这意味着
$$ X(0) = X(a) = 0 \ Y(0) = Y(b) = 0 \quad (2.42) $$
将方程2.42的第一个条件应用于方程2.40，表明 $A = 0$ 且 $pa = n\pi$，因此
$$ X(x) = B \sin \frac{n\pi x}{a} \quad n = 1, 2, \dots \quad (2.43) $$
以完全相同的方式，我们发现 $C = 0$ 且 $qb = m\pi$，其中 $m = 1, 2, \dots$，因此
$$ Y(y) = D \sin \frac{m\pi y}{b} \quad m = 1, 2, \dots \quad (2.44) $$
回想 $p^2 + q^2 = \beta^2$，我们看到
$$ \beta_{nm} = \pi \left( \frac{n^2}{a^2} + \frac{m^2}{b^2} \right)^{1/2} \quad n = 1, 2, \dots, m = 1, 2, \dots \quad (2.45) $$
我们已给 $\beta$ 添加下标，以强调它取决于两个整数 $n$ 和 $m$。
最后，现在我们求解方程2.32以获得时间依赖性：
$$ T_{nm}(t) = E_{nm} \cos \omega_{nm} t + F_{nm} \sin \omega_{nm} t \quad (2.46) $$
其中
$$ \omega_{nm} = v\beta_{nm} = v\pi \left( \frac{n^2}{a^2} + \frac{m^2}{b^2} \right)^{1/2} \quad (2.47) $$
根据问题2-15，方程2.46可以写成
$$ T_{nm}(t) = G_{nm} \cos(\omega_{nm}t + \phi_{nm}) \quad (2.48) $$
方程2.28的完整解是
$$ u(x, y, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} u_{nm} (x, y, t) $$
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} A_{nm} \cos(\omega_{nm}t + \phi_{nm}) \sin \frac{n\pi x}{a} \sin \frac{m\pi y}{b} \quad (2.49) $$
就像振动弦的一维情况一样，我们看到矩形鼓膜的一般振动运动可以表示为简正模式 $u_{nm}(x, y, t)$ 的叠加。图2.6显示了其中一些模式。注意，在这个二维问题中，我们得到了波节线。在二维问题中，波节是线，而一维问题中是点。图2.6显示了 $a \neq b$ 情况下的简正模式。$a = b$ 的情况很有趣。简正模式的频率由方程2.47给出。当方程2.47中 $a = b$ 时，我们有
$$ \omega_{nm} = \frac{v\pi}{a} (n^2 + m^2)^{1/2} \quad (2.50) $$
从方程2.50我们看到，在这种情况下 $\omega_{12} = \omega_{21} = v\pi \sqrt{5}/a$；然而，简正模式 $u_{12}(x, y, t)$ 和 $u_{21}(x, y, t)$ 是不一样的，如图2.7所示。这是一个简并的例子，我们说频率 $\omega_{12} = \omega_{21}$ 是双重简并或两重简并。注意，简并现象是由于 $a = b$ 时引入的对称性引起的。通过比较图2.7中的模式 $u_{12}$ 和 $u_{21}$ 可以很容易地看出这一现象。方程2.50表明，当 $m \neq n$ 时将至少存在双重简并，因为 $m^2 + n^2 = n^2 + m^2$。我们将看到简并的概念也出现在量子力学中。
本章介绍了波动方程及其解。在第三章中，我们将使用在此处发展的数学方法，因此我们建议在继续之前完成本章末的许多问题。有几个问题涉及物理系统，并作为对经典力学的回顾或介绍。
图 2.6
矩形膜的前几种简正模式，阴影部分和透明部分具有相反的正弦位移，如图所示。
图 2.7
正方形膜的简正模式，说明了此系统中简并的发生。简正模式 $u_{12}$ 和 $u_{21}$ 具有不同的方向但频率相同，由方程2.50给出。模式 $u_{13}$ 和 $u_{31}$ 也是如此。
2-1. 求以下微分方程的通解。 a.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} +3y = 0 $$
b.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 6\frac{dy}{dx} = 0 $$
c.
$$ \frac{d y}{dx} + 3y = 0 $$
d.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} - y = 0 $$
e.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0 $$
55 问题
2-2. 求解以下微分方程： a.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4y = 0 \ y(0) = 2; \quad \frac{dy}{dx} (\text{在 } x = 0) = 4 $$
b.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0 \ y(0) = -1; \quad \frac{dy}{dx} (\text{在 } x = 0) = 0 $$
c.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 2y = 0 \ y(0) = 2 $$
2-3. 证明 $x(t) = \cos \omega t$ 以频率 $\nu = \omega/2\pi$ 振荡。证明 $x(t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t$ 以相同的频率 $\omega/2\pi$ 振荡。
2-4. 求解以下微分方程： a.
$$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0 \ x(0) = 0; \quad \left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=0} = v_0 $$
b.
$$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0 \ x(0) = A; \quad \left(\frac{dx}{dt}\right)_{t=0} = v_0 $$
在这两种情况下都证明 $x(t)$ 以频率 $\omega/2\pi$ 振荡。
2-5. 微分方程
$$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0 $$
的通解是
$$ x(t) = c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t $$
为了方便，我们通常将此解写成等价形式
$$ x(t) = A \sin(\omega t + \phi) $$
或者
$$ x(t) = B \cos(\omega t + \psi) $$
证明这三个表达式都等价于 $x(t)$。推导出用 $c_1$ 和 $c_2$ 表示 $A$ 和 $\phi$ 的方程，以及用 $c_1$ 和 $c_2$ 表示 $B$ 和 $\psi$ 的方程。证明所有这三种形式的 $x(t)$ 都以频率 $\omega/2\pi$ 振荡。提示：使用三角恒等式
$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $$
和
$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$
2-6. 在我们目前讨论的所有微分方程中，我们找到的指数 $\alpha$ 的值要么是实数，要么是纯虚数。让我们考虑一个 $\alpha$ 结果是复数的情况。考虑方程
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 10y = 0 $$
如果我们将 $y(x) = e^{\alpha x}$ 代入此方程，我们发现 $\alpha^2 + 2\alpha + 10 = 0$，即 $\alpha = -1 \pm 3i$。通解是
$$ y(x) = c_1 e^{(-1+3i)x} + c_2 e^{(-1-3i)x} $$
$$ = c_1 e^{-x} e^{3ix} + c_2 e^{-x} e^{-3ix} $$
证明 $y(x)$ 可以写成等价形式
$$ y(x) = e^{-x}(c_3 \cos 3x + c_4 \sin 3x) $$
因此我们看到 $\alpha$ 的复数值会导致由指数因子调制过的三角函数解。求解以下方程。 a.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0 $$
b.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 6\frac{dy}{dx} + 25y = 0 $$
c.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2\beta \frac{dy}{dx} + (\beta^2 + \omega^2)y = 0 $$
d.
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 5y = 0 \ y(0) = 1; \quad \frac{dy}{dx} (\text{在 } x = 0) = -3 $$
2-7. 本问题旨在阐述经典谐振子的概念。考虑一个连接到弹簧的质量 $m$，如图2.8所示。假设没有引力作用在 $m$ 上，因此唯一的力来自弹簧。设弹簧的松弛或未形变长度为 $x_0$。胡克定律指出作用在质量 $m$ 上的力为 $f = -k(x – x_0)$，其中 $k$ 是弹簧的特征常数，称为弹簧的劲度系数（力常数）。注意负号表示力的方向：如果 $x > x_0$（拉伸），力向左；如果 $x < x_0$（压缩），力向右。质量的动量为
$$ p = m \frac{dx}{dt} = m \frac{d(x - x_0)}{dt} $$
牛顿第二定律指出动量的变化率等于力
$$ \frac{dp}{dt} = f $$
用胡克定律替换 $f(x)$，证明
$$ m \frac{d^2 (x - x_0)}{dt^2} = -k(x - x_0) $$
m X 图 2.8
一个质量为 $m$ 的物体通过弹簧连接到墙壁。
57 问题
设 $\xi = x - x_0$ 为弹簧相对于其未形变长度的位移，则
$$ m \frac{d^2 \xi}{dt^2} + k\xi = 0 $$
已知质量从 $\xi = 0$ 处以初速度 $v_0$ 开始运动，证明位移由下式给出
$$ \xi(t) = v_0 \left(\frac{m}{k}\right)^{1/2} \sin \left(\left(\frac{k}{m}\right)^{1/2} t\right) $$
解释并讨论此解。运动看起来像什么？频率是多少？振幅是多少？
2-8. 考虑线性二阶微分方程
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y(x) = 0 $$
注意，这个方程是线性的，因为 $y(x)$ 及其导数只出现一次方，并且没有交叉项。然而，它不具有常系数，并且不像常系数方程那样存在通用的简单求解方法。事实上，这种类型的每个方程都必须或多或少地单独处理。尽管如此，由于它是线性的，如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是任意两个解，那么它们的线性组合
$$ y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) $$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数，也必须是一个解。证明 $y(x)$ 是一个解。
2-9. 我们将在第三章看到，限制在0到 $a$ 之间的线上自由运动的质量为 $m$ 的粒子的薛定谔方程是
$$ \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \left(\frac{8\pi^2 mE}{h^2}\right) \psi(x) = 0 $$
边界条件为
$\psi(0) = \psi(a) = 0$
在此方程中，$E$ 是粒子的能量，$\psi(x)$ 是其波函数。求解此微分方程得到 $\psi(x)$，应用边界条件，并证明能量只能取以下值
$$ E_n = \frac{n^2 h^2}{8ma^2} \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
也就是说能量是量子化的。
2-10. 证明两端夹紧的振动弦的第 $n$ 个谐波的波节数量是 $n - 1$。
58 第二章 / 经典波动方程
2-11. 证明
$$ y(x, t) = A \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} (x - vt) \right) $$
是一个波长为 $\lambda$、频率为 $\nu = v/\lambda$ 并以速度 $v$ 向右传播的波。
2-12. 绘制振动矩形膜的简正模式草图，并让自己相信它们看起来像图2.6中所示的那样。
2-13. 本问题是问题2-9向二维的扩展。在这种情况下，粒子被限制在边长为 $a$ 和 $b$ 的矩形表面上自由运动。此问题的薛定谔方程是
$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \left(\frac{8\pi^2 mE}{h^2}\right) \psi(x, y) = 0 $$
边界条件为
对于所有 $y$， $0 \le y \le b$， $\psi(0, y) = \psi(a, y) = 0$ 对于所有 $x$， $0 \le x \le a$， $\psi(x, 0) = \psi(x, b) = 0$
求解此方程得到 $\psi(x, y)$，应用边界条件，并证明能量按照以下公式量子化
$$ E_{n_x n_y} = \frac{n_x^2 h^2}{8ma^2} + \frac{n_y^2 h^2}{8mb^2} \quad n_x = 1, 2, 3, \dots, n_y = 1, 2, 3, \dots $$
2-14. 将问题2-9和2-13扩展到三维，其中粒子被限制在边长为 $a, b,$ 和 $c$ 的矩形盒内自由运动。此系统的薛定谔方程是
$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} + \left(\frac{8\pi^2 mE}{h^2}\right) \psi(x, y, z) = 0 $$
边界条件是 $\psi(x, y, z)$ 在盒子所有表面上都消失。
2-15. 证明方程2.46和2.48是等价的。方程2.48中的 $G_{nm}$ 和 $\phi_{nm}$ 与方程2.46中的量有什么关系？
问题2-16到2-19说明了微分方程在经典力学中的一些其他应用。
许多经典力学问题可以简化为求解带常系数的微分方程的问题（参见问题2-7）。基本出发点是牛顿第二定律，它指出动量的变化率等于作用在物体上的力。动量 $p$ 等于 $mv$，因此如果质量恒定，则在一维情况下我们有
$$ \frac{dp}{dt} = m \frac{dv}{dt} = m \frac{d^2 x}{dt^2} = f $$
如果给定力是 $x$ 的函数，则此方程是关于 $x(t)$ 的微分方程，称为粒子的运动轨迹。回到问题2-7中讨论的简单谐振子，如果我们设 $x$ 是质量相对于其平衡位置的位移，则胡克定律指出 $f(x) = -kx$，牛顿第二定律对应的微分方程是
$$ \frac{d^2 x}{dt^2} + kx(t) = 0 $$
这是一个我们已经见过几次的微分方程。
2-16. 考虑一个物体从高度 $x_0$ 自由下落，如图2.9a所示。如果我们忽略空气阻力或粘性阻力，作用在物体上的唯一力是引力 $mg$。使用图2.9a中的坐标，$mg$ 与 $x$ 方向相同，因此牛顿第二定律对应的微分方程是
$$ m \frac{d^2 x}{dt^2} = mg $$
证明
$$ x(t) = \frac{1}{2} gt^2 + v_0 t + x_0 $$
其中 $x_0$ 和 $v_0$ 是 $x$ 和 $v$ 的初始值。根据图2.9a，$x_0 = 0$，因此
$$ x(t) = \frac{1}{2} gt^2 + v_0 t $$
如果粒子仅仅是自由落体，则 $v_0 = 0$，因此
$$ x(t) = \frac{1}{2} gt^2 $$
讨论此解。
现在使用图2.9b作为所涉及的各种量的定义来做同一个问题，并证明尽管方程可能看起来与上述方程不同，但它们表达的完全是同一件事，因为我们绘制的定义 $x, v_0,$ 和 $mg$ 方向的图不会影响下落的物体。
x $v_0$ mg (a) $x_0$ 0 X (b) mg x $x_0$ 图 2.9
(a) 物体从高度 $x_0$ 下落的坐标系，以及 (b) 物体从高度 $x_0$ 下落的不同坐标系。
60 第二章 / 经典波动方程
2-17. 如果物体以速度 $v_0$ 垂直向上射出，推导其能达到的最大高度的方程。参考图2.9b，但要注意在这种情况下 $v_0$ 指向上方。物体需要多长时间才能返回其初始位置 $x = 0$?
2-18. 考虑如图2.10所示的单摆。我们设摆长为 $l$，并假设摆的所有质量都集中在其末端，如图2.10所示。这种物理例子可能是用绳子悬挂的质量。我们假设摆的运动被设定为在平面内振荡，因此我们得到一个平面极坐标问题。设图中沿圆弧的距离描述摆的运动，因此其动量为 $m ds/dt = ml d\theta/dt$，其动量变化率为 $ml d^2\theta/dt^2$。证明沿运动的方向的力分量为 $-mg \sin \theta$，其中负号表示此力的方向与角度 $\theta$ 的方向相反。证明运动方程为
$$ ml \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mg \sin \theta $$
现在假设运动只在非常小的角度范围内发生，并证明其运动变成一个简谐振子的运动。这个简谐振子的固有频率是多少？提示：对于小的 $\theta$ 值，使用 $\sin \theta \approx \theta$ 的事实。
2-19. 考虑问题2-18中的摆在粘性介质中摆动。假设粘性力与速度成正比但方向相反；也就是说，
$$ f_{\text{粘性}} = -\lambda \frac{ds}{dt} = -\lambda l \frac{d\theta}{dt} $$
其中 $\lambda$ 是一个粘性阻力系数。证明对于小角度，牛顿方程为
$$ ml \frac{d^2 \theta}{dt^2} + \lambda l \frac{d\theta}{dt} + mg\theta = 0 $$
证明如果
$$ \lambda^2 > \frac{4m^2 g}{l} $$
则没有谐波运动。介质粘性如此之大以至于摆不发生谐波运动，这在物理上是否有意义？
图 2.10
描述振荡摆的坐标系。
2-20. 考虑两个长度和质量相等的摆，它们通过一个遵守胡克定律的弹簧（问题2-7）连接。这个系统如图2.11所示。假设运动发生在平面内，并且每个摆相对于水平方向的角位移很小，证明此系统的运动方程是
$$ m \frac{d^2 x}{dt^2} = -m\omega_0^2 x - k(x - y) $$
$$ m \frac{d^2 y}{dt^2} = -m\omega_0^2 y - k(y - x) $$
其中 $\omega_0$ 是每个孤立摆的固有振动频率 [即 $\omega_0 = (g/l)^{1/2}$]，而 $k$ 是连接弹簧的劲度系数。为了求解这两个联立微分方程，假设两个摆都谐波摆动，因此尝试
$x(t) = A e^{i\omega t}$ $y(t) = B e^{i\omega t}$
将这些表达式代入两个微分方程，得到
$$ (\omega^2 - \omega_0^2)A - \frac{k}{m}(A - B) = 0 $$
$$ (\omega^2 - \omega_0^2)B - \frac{k}{m}(B - A) = 0 $$
现在我们有两个关于两个振幅 $A$ 和 $B$ 的联立线性齐次代数方程。我们将在数学附录E中了解到，系数行列式必须为零才能存在非平凡解。证明此条件给出
$$ (\omega^2 - \omega_0^2)^2 - \left(\frac{k}{m}\right)^2 = 0 $$
现在证明此系统存在两个固有频率，即
$$ \omega_1^2 = \omega_0^2 \quad \text{和} \quad \omega_2^2 = \omega_0^2 + \frac{2k}{m} $$
通过将 $\omega_1^2$ 和 $\omega_2^2$ 代回关于 $A$ 和 $B$ 的两个方程来解释与这些频率相关的运动。与这些 $A$ 和 $B$ 值相关的运动称为简正模式，此系统的任何复杂、一般运动都可以写成这些简正模式的线性组合。注意，此问题中有两个坐标（$x$ 和 $y$）和两个简正模式。我们将在第13章看到，分子的复杂振动运动可以分解为固有模式或简正模式的线性组合。
2-21. 问题2-20可以通过引入质心坐标和相对坐标（参见第5-2节）来求解。将关于 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的微分方程相加和相减，然后引入新变量
$\eta = x + y$ 和 $\xi = x - y$
证明关于 $\eta$ 和 $\xi$ 的微分方程是独立的。分别求解它们，并将您的结果与问题2-20的结果进行比较。
图 2.11
两个通过遵守胡克定律的弹簧耦合的摆。